volpi.ru · Created Date: 12/24/2014 12:20:24 PM
Transcript of volpi.ru · Created Date: 12/24/2014 12:20:24 PM
-
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧ-РЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА «ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА И МАТЕМАТИКА»
С.О. Зубович, А.Л. Суркаев
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОУДАРЕНИЯ ТЕЛ
Методические указания
Волгоград 2015
-
УДК 53 (075.5)
Р е ц е н з е н т :
Канд. физ.-мат. наук, доцент Т.А. Сухова
Издается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета
С.О. Зубович, Изучение законов соударения тел [Электронный ресурс]: методиче-
ские указания / С.О. Зубович, А.Л. Суркаев //Сборник «Методические указания» Вы-пуск 3.-Электрон. текстовые дан.(1файл:141Kb) – Волжский: ВПИ (филиал) ГОУВПО ВолгГТУ, 2015.-Систем.требования:Windows 95 и выше; ПК с процессором 486+; CD-ROM.
Методические указания содержат рекомендации к выполнению лабораторной
работы, представленной в первой части практикума кафедры «Прикладная физика и математика» Волжского политехнического института.
Предназначены для студентов всех форм обучения.
Волгоградский
государственный технический
университет, 2015 Волжский
политехнический институт, 2015
-
– 3 –
Лабораторная работа № 106
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОУДАРЕНИЯ ТЕЛ 106.1. Цель работы: Изучение законов сохранения импульса и меха-
нической энергии для упругих столкновений. Измерение параметров цен-
трального неупругого удара двух шаров.
106.2. Описание лабораторной установки
Общий вид лабораторной установки для исследования столкновения
шаров представлен на рис.106.1. В основании 1 закреплена колонна 2 с
прикрепленным сверху кронштейном. На кронштейне закреплена рама 3, к
которой на гибких нитях 4 подвешены упругие шары.
Шары сгруппиро-
ваны в двух вариантах:
группа из пяти шаров 5
служит для исследова-
ния закона сохранения
импульса, группа из
двух шаров 6 – для оп-
ределения коэффициен-
та восстановления от-
носительной скорости и
энергии после цен-
трального удара двух шаров.
Чтобы добиться центрального соударения, на установке предусмотре-
ны регулировочные винты 7 и 8.
В основании закреплены угольники со шкалами 9 и 10, показывающие
углы отклонения шариков в градусах, а на специальных направляющих –
Рис.106.6. Общий вид лабораторной установки.
5 1
9 9
2
10
6
7
11
8
4
3
-
– 4 –
электромагнит 11, удерживающий первый шарик в исходном отклоненном
положении. Электромагнит можно передвигать вдоль правой шкалы и
фиксировать высоту его установки, что позволяет изменять начальный
угол отклонения первого шара от вертикали.
Внимание: Установка для опытов настроена и никаким регулировкам
винтами не подлежит.
106.2.1. Установка для определения коэффициента восстановления
Для измерения времени контакта шаров используется электронный
секундомер, показывающий время удара в микросекундах (рис.106.2). Се-
кундомер электрически соединен с шариками и электромагнитом. На ли-
цевой панели секундомера находятся следующие манипуляционные эле-
менты:
1. «Сеть» – выключатель сети.
2. «Пуск» – управление электромагнитом.
При нажатии кнопки «Пуск» на секундомере магнит отпускает пер-
вый шарик. В момент соприкосновения шариков они замыкают цепь се-
кундомера и включают на нем счетчик микросекунд, который работает до
момента размыкания шариков, а затем останавливается, фиксируя время
их электрического контакта, которое и принимается равным времени уда-
α1 мкс сеть пуск
h1
β2
h2
Рис.106.2. Схема соударения шаров и измере-ния времени удара.
-
– 5 –
ра . При обратном ударе шариков счетчик уже не меняет своего показа-
ния, так что на нем фиксируются только время первого удара.
Для восстановления исходного состояния системы надо отжать кноп-
ку «Пуск» (при этом включится электромагнит и обнулятся показания таб-
ло на секундомере) и прилепить первый шарик к электромагниту.
При спокойном положении шариков внизу они должны быть на одном
уровне и в плоскости касания, почти касаться друг друга, а их указатели
показывать на нули шкалы углов. При захвате магнитом первого шарика
его указатель показывает на α1 = 15°.
Массы шариков m1 = m2 = m = 320 г, их радиусы R = 25 мм, расстояния
от точек подвесов до центров шариков ℓ = 55 см. Если реально эти пара-
метры иные, то они указаны на установке.
106.2.2. Установка для исследования закона сохранения импульса
Сначала происходит соударение шаров (рис.106.3) 1 и 2. В результате
шар 1 останавливается полностью передав шару 2 свой импульс (а значит
и скорость). Далее происходит аналогичная передача скорости шару 3 и
т.д. Таким образом, последний шар 5, получив толчок, отклонится на такой
же угол, на какой первоначально был отклонен шар 1, а все остальные ша-
ры будут при этом покоится. Именно это движение последнего шара мы и
видим: движение «промежуточных» шаров незаметно для глаза.
1 ℓp
5 4 3 2 1
Рис.106.3. Схема установки для изучения закона сохранения импульса.
β5
-
– 6 –
Закон сохранения импульса 21 umm
, в проекции на горизонтальную
плоскость υ1 = υ2. Закон сохранения энергии 22
22
21 mum , 22
21 u и так да-
лее. Когда шар 5 вернется после отскока, мы увидим отскок шара 1 на тот
же угол и т.д.
Если отвести первоначально шары 1 и 2, то описанный процесс про-
изойдет дважды: сначала по цепочке пробежит «толчок» от удара шара 2, а
затем, спустя малое время, «толчок» от удара шара 1. В результате мы
увидим, что с другой стороны цепочки отклоняется только шары 4 и 5, а
затем – снова отклоняется только шары 1 и 2 и т.д.
Массы шариков одинаковы mp = 110 г, их радиусы Rp = 30 мм, рас-
стояния от точек подвесов до центров шариков ℓp = 72 см. Если реально
эти параметры иные, то они указаны на установке.
106.3. Методика эксперимента
Рассмотрим соударение шаров на данной ус-
тановке. Изобразим все внешние силы, дейст-
вующие на шары во время удара (рис.106.4): gm 1 ,
gm 2 − силы тяжести шаров; 1N
, 2N
− силы реак-
ции нитей. Силы взаимного отталкивания, возни-
кающие во время столкновения, являются внут-
ренними, поэтому мы их не изображаем. Внут-
ренние силы не изменяют импульса рассматри-
ваемой системы.
Используя второй закон Ньютона, запишем закон изменения импульса
системы за время столкновения Δt:
tNNgmgmpсистемы 2121 . (106.1)
α1
X
gm 2 gm
1
2N
1N
h1
Рис.106.4
ℓ
-
– 7 –
Пусть первый шар до столкновения имеет скорость 1 , а второй до
столкновения покоился (υ2 = 0). В этом случае 022 Ngm , 011 Ngm
.
Не скомпенсированной остается сила реакции нити 1N
, действующей на
первый шарик перед ударом, т.к. первый шарик в этот момент имеет цен-
тростремительное ускорение. В этом случае мы имеем не замкнутую сис-
тему. Предполагая, что за время столкновения вектор суммы внешних сил
меняется не значительно, спроектировав равенство (106.1) на ось ОХ, по-
лучим:
OX: (Δpсистемы)x = ( m1gx + m2gx + N1x + N2x )·Δt. (106.2) Очевидно, что m1gx = m2gx = N1x = N2x = 0, поэтому проекция измене-
ния импульса системы на ось ОХ равно нулю, т.е. проекция импульса сис-
темы до удара равна проекции импульса системы после удара. Это утвер-
ждение справедливо как для упругого, так и для неупругого удара. Это ут-
верждение подлежит проверке в данной работе.
Очевидно, что m1gx = m2gx = N1x = N2x = 0, поэтому проекция измене-
ния импульса системы на ось ОХ равно нулю, т.е. проекция импульса сис-
темы до удара равна проекции импульса системы после удара. Это утвер-
ждение справедливо как для упругого, так и для неупругого удара. Это ут-
верждение подлежит проверке в данной работе.
Для определения скоростей шаров до и после ударов воспользуемся
законом сохранения механической энергии. При движении первого шара
до удара на него действуют две силы: сила тяжести gm 1 и сила натяжения
нити 1N
. Сила тяжести является консервативной, а сила натяжения в дан-
ном случае не совершает работы, т.к. на любом бесконечно малом участке
траектории она направлена перпендикулярно бесконечно малому переме-
щению. Поэтому во время полета механическая энергия первого шара со-
храняется. Это же утверждение справедливо и для движения шаров после
-
– 8 –
столкновения. Обозначим начальный угол отклонения первого шара через
α1 и высоту – через h1.
Запишем закон сохранения механической энергии для первого шара:
1211
2mghm , (106.3)
где m1gh1 – начальная механическая (потенциальная) энергия шара; 2
211m –
механическая (кинетическая) энергия шара перед столкновением. Отсюда
имеем следующее соотношение: 11 2gh . Из рис.106.4 видно что
2
21 12111
sincoscosh , тогда:
2
212 111
singcosg . (106.4)
Аналогично определяются скорости первого u1 и второго шариков u2
сразу после удара:
11 12 cosgu , 222 122 cosgghu , (106.5) где β1 – угол отскока первого шарика, β2 – угол отскока второго шарика,
h2 – высота подъема второго шарика.
Рассмотрим особенности абсолютно упругого и абсолютно неупруго-
го ударов.
Абсолютно упругий удар – это такой удар, при котором кинетическая
энергия стакиваются тел частично или полностью (т.е. без тепловых по-
терь) переходит в энергию их упругой деформации, а затем вновь превра-
щается в кинетическую энергию разлетающихся тел. При этом оба тела
полностью восстанавливают свою форму. При абсолютно упругом ударе
выполняются законы сохранения как импульса, так и механической энер-
гии.
-
– 9 –
ЗАМЕЧАНИЕ. После удара тела могут и вращаться, так что следовало
бы добавить и закон сохранения момента импульса, позволяющий опреде-
лить скорость вращения, но с целью упрощения опытов и расчетов, враща-
тельным движением пренебрегаем.
Рассмотрим центральный абсолютно упругий удар шаров. Пусть мас-
сы шаров m1 и m2, скорости до удара υ1 и υ2, после удара u1 и u2. Закон со-
хранения импульса системы двух шаров в общем виде имеет вид:
2121 pppp или 22112211 umummm
, где 21 p,p
– соответствен-
но импульсы первого и второго шаров до соударения, 21 p,p – соответст-
венно импульсы первого и второго шаров после соударения
В применении к данной задаче закон сохранения импульса в проекци-
ях на ось OX имеет вид:
p1x + p2x = p'1x + p'2x или 22112211 umummm . (106.6)
Закон сохранения энергии дает:
2222
222
211
222
211 umummm . (106.7)
Решая полученную систему уравнений (106.6–106.7) совместно, полу-
чаем:
121
2211
21
221211 2
2
mmmm
mmmmmu , (106.8)
221
2211
21
112122 2
2
mmmm
mmmmmu . (106.9)
Исследуем полученный результат в частных случаях.
1) Соударение одинаковых шаров. Тогда m1 = m2 и из системы урав-
нений (106.8–106.9) получаем: u1 = υ2, u2 = υ1. В этом случае в результате
соударения тела только обменяются энергией и, соответственно, скоро-
стью. Времена ударов, близких к абсолютно упругим, весьма малы – по-
-
– 10 –
рядка 10–4 – 10–5 с, а давления на площадках контакта достигает
109 – 1010 Па (10 4 – 10 5 атм).
2) Удар шара о массивную стенку. В этом случае m2 >> m1 и из систе-
мы уравнений (106.8–106.9) приближенно будем иметь:
211 2u , (106.10)
212
122 2 m
mu . (106.11)
Как видно из выражений (106.10–106.11), скорость массивного тела
после удара меняется незначительно. В результате удара стенке передается
значительный импульс Δp = m2u2 + m2υ2 = 2m1υ1, но передача энергии при
ударе сравнительно мала.
Выражение (106.4) позволяет выразить импульс и кинетическую энер-
гию первого шара перед ударом:
2
212 1111111
singmcosgmmp xx , (106.12)
2
212
12111
211
1
singmcosgmmT . (106.13)
Рассуждая аналогично для движения шаров после столкновения, мож-
но записать следующие выражения для их импульсов и энергий:
2
2 11111
singmump xx , 22 22222
singmump xx , (106.14)
2
22
121
211
1
singmmT , 2
22
222
221
2
singmmT , (106.15)
где β1, β2 − соответственно углы отклонения первого и второго шаров по-
сле удара.
Проекция импульса первого удара после столкновения p'1x является
положительной величиной в том случае, когда направление скорости пер-
вого шара до и после удара совпадают, в противном случае проекция им-
пульса является отрицательной величиной.
-
– 11 –
Коэффициент восстановления скоростей и энергий k, равный отноше-
нию нормальных составляющих относительной скорости тел после u и до
удара υ:
uk , (106.16)
также можно определить как отношение кинетической энергии системы
после удара T' к кинетической энергии системы до удара T:
21
21
TTTTk
. (106.17)
Для установки (рис.106.2) T2 = 0, т.к. второй шар перед ударом поко-
ится.
Коэффициент восстановления k для прямого удара шаров согласно
формуле (106.16) определяется отношением:
21
12
12
12
uuuuk , (106.18)
где υ1 и υ2 – скорости шаров до удара; u1 и u2 – после удара.
Значение k можно определить экспериментально, например, по высоте
h, на которую подскакивает шарик, свободно подающий на горизонталь-
ную плиту с высоты Н. Так как плита неподвижна, для нее υ2 = u2 = 0, а для
шарика: gH21 , ghu 21 , следовательно из формулы (106.16):
Hhk . (106.19)
В настоящей работе коэффициент k определяется по формуле (106.18)
по скоростям двух одинаковых соударяющихся шаров, один из которых
вначале неподвижен: m1 = m2 = m и υ2 = 0.
Абсолютно неупругий удар – это такой удар, после которого оба тела
движутся как одно целое. При этом упругая деформация не возникает или
же она очень мала и не приводит к отскоку, а кинетическая энергия тел
-
– 12 –
частично или полностью переходит в тепловую. Поэтому при абсолютно
неупругом ударе закон сохранения механической энергии не выполняется,
а выполняется только закон сохранения импульса.
Рассмотрим центральный абсолютно неуп-
ругий удар шаров (рис.106.5). При таком ударе
энергия налетающего шара полностью расходу-
ется на изменение внутренней энергии другого
шара и на сообщение ему некоторой скорости.
Закон сохранения механической энергии не выполняется, и для определе-
ния скорости после удара достаточно закона сохранения импульса:
p1x + p2x = px или ummmm 212211 , откуда после несложных преобразований получаем:
21
2211
mmmmu
, (106.20)
где px, u – импульс и скорость единого тела после удара.
Потеря механической энергии ΔE, перешедшей во внутреннюю энер-
гию шаров, равна разности энергий до и после удара:
22121
212
21222
211
2222
mmmmummmmE . (106.21)
Когда неподвижное тело имеет большую массу (m2 > m1), то почти вся
кинетическая энергия переходит при ударе во внутреннюю энергию. На-
против, при m1 >> m2 изменение внутренней энергии мало и большая часть
кинетической энергии идет на сообщение движения ударяемому телу.
Импульс и кинетическая энергия первого шара перед ударом опреде-
ляются выражениями (106.14–106.15). Те же величины для движения ша-
ров после столкновения запишутся в виде:
2
2 21121
singmmmmp xx , (106.22)
2N
1N
1
m1 + m2 m1 m2 Рис.106.5. Схема цен-трального абсолютно
неупругого удара.
-
– 13 –
2
22
221
2121
singmmmmT , (106.23)
где β – угол отклонения первого и второго шаров, двигающихся как единое
тело, после удара.
Сила удара. Радиус контактной площадки. Давление.
Если второй шар до соударения остаётся в
покое, то закон изменения его импульса в проек-
ции на ось ОХ запишется в виде:
OX: Δp2x = (m2g + N2x + < Fx >) τ, (106.24)
где Δp2x = m2u2x – m2υ2x – проекция вектора
изменения импульса второго шара, υ2x – проекция
его скорости до удара, < Fx > – среднее значение
проекции силы, действующий на второй шар со стороны первого в течение
времени столкновения τ.
Т.к. второй шар до удара покоился (υ2 = 0), то Δp2x = m2u2x, кроме того
m2gx = N2x = 0 (рис.106.2). Рассуждая аналогично – изменение импульса
первого шара Δp1x = Δp2x = m1υ1x – m1u1x. Окончательно имеем выражение
для средней силы взаимодействия шаров (средней силы удара) за время τ
(время удара):
22
22
22 221111
221111singmsingmsingmumummF
. (106.25)
Время контакта в работе измеряется электронным секундомером.
Величина < F > называется импульсом силы.
Очевидно, что при ударе сила взаимодействия растет от нуля (при на-
чале контакта) до максимальной (при максимальном сжатии шаров), а за-
тем снова падает до нуля (рис.106.6). Вид кривой F(t) определить непро-
сто, однако с достаточной точностью можно считать, что она имеет при-
мерно треугольный вид, как показано на рис.106.6, и тогда:
τ
F
Рис.106.6. Графическая зависимость F(t).
-
– 14 –
Fmax ≈ 2< F >. (106.26) Оценим характерную величину давления при ударе:
S
FP max , (106.27)
где S = π r2 – максимальная площадь
контакта при взаимном сжатии шаров,
r – радиус контактной площадки
(рис.106.7,a). Из рис.106.7,б видно
(считая, что
-
– 15 –
106.4. Порядок выполнения работы
106.4.1. Определение коэффициента восстановления
1. Проверьте правильность исходного состояния установки, указанно-
го в разделе 106.2.1. Контактная поверхность шариков должна быть чис-
той, иначе их электрический контакт будет плох и его время показывае-
мое секундомером, не будет соответствовать времени механического кон-
такта, т.е. истинному времени удара.
2. Включите секундомер кнопкой «Сеть». Кнопка «Пуск» отжата. На
табло должны высветиться нули.
3. Отведите первый шарик до его захвата магнитом (α1 = 15º). Шарик
при этом не должен перекручиваться на подвесе. Второй шарик – непод-
вижен.
4. Нажмите кнопку «Пуск» и зафиксируйте по угловым шкалам мак-
симальный отброс второго шарика β2 и угол β1, на который отклонится
первый шарик, двигаясь по инерции после первого удара (угол β1 очень
мал и его сложно замерить, поэтому рекомендуется принять его значение в
пределах 1–2°). Затем спишите с табло время удара .
5. Восстановите исходное состояние установки, отжав кнопку «Пуск»,
прилепите к магниту первый шарик и успокойте второй.
6. Повторите опыт с определением времени и углов β1 и β2 еще че-
тыре раза. Результаты запишите в таблицу 106.1.
7. Выключите секундомер кнопкой «Сеть».
-
– 16 –
Таблица 106.1. Определение коэффициента восстановления
скорости и энергии. №
опыта
α1,
град
β1,
град
,
град
β2,
град
,
град
τ,
мкс
,
мкс
υ1,
м/с
u1,
м/с
u2,
м/с
T1,
Дж
T'1,
Дж
T'2,
Дж kυ kT
1
2
3
4
5
Для установки, состоящей из 2–х шаров: m = ________ кг, R = _________ м, ℓ = ______ м.
106.4.2. Исследование закона сохранения импульса
1. Проверьте правильность исходного состояния установки, указанно-
го в разделе 106.2.2. Шарики должны висеть, выстроившись в одну линию
и на одном уровне, и не должны перекручиваться на подвесе.
2. Отклоните шар 1 на угол α1 = 15º и по угловым шкалам определите
угол отклонения β5 шара 5 и угол β1, на который отклонится шар 1, двига-
ясь по инерции после первого удара (угол β1 очень мал и его сложно заме-
рить, поэтому рекомендуется принять его значение в пределах 1–3°).
3. Повторите опыт с определением углов β1 и β2 еще два раза, откло-
няя шар 1 на углы 20º и 25º (значение угла β1 рекомендуется принять в
пределах 2–5°). Результаты опытов запишите в таблицу 106.2.
Таблица 106.2. Определение импульсов и энергий шаров до и после удара.
№ опыта
α1, град
β1, град
β5, град
υ1, м/с
u1, м/с
u5, м/с
p1, кг·м/с
p'1 + p'5, кг·м/с
T1, Дж
T'1 + T'5, Дж kT
1 15
2 20
3 25
Для установки, состоящей из 5–ти шаров: mp = ________ кг, ℓp = _________ м.
-
– 17 –
106.5. Обработка результатов измерений
1. Вычислите средние значения величин: < β1 >, < β2 >, < τ >.
2. По формулам (106.5) и (106.6) вычислите скорости шаров υ1, u1, u2 и
u5.
ЗАМЕЧАНИЕ. Из–за трения шаров и проводов подвеса о воздух, ис-
тинная скорость υ1 будет несколько меньше вычисленной по формуле
(106.5), а истинные u1, u2 и u5 – несколько больше вычисленных по форму-
лам (106.6). В данной работе это трение не учитывается.
3. По формуле (106.14) вычислите кинетическую энергию первого
шара до удара T1. По формулам (106.16) вычислите кинетические энергии
шаров после удара T'1, T'2 и T'5.
4. По формуле (106.13) вычислите импульс первого шара до удара p1.
По формулам (106.15) вычислите импульсы шаров после удара p'1, p'2 и p'5.
5. Вычислите коэффициент восстановления kυ по формуле (106.18),
полагая в ней υ2 = 0. Вычислите коэффициент восстановления kT по фор-
муле (106.17), полагая в ней T2 = 0 и T5 = 0. Результаты расчетов запишите
в таблицы 106.1 и 106.2. Сделайте выводы.
6. По формуле (106.25) вычислите среднюю силу удара < F >.
7. По формуле (106.29) вычислите радиус контактной площадки r.
8. По формуле (106.30) вычислите давление Р при ударе.
106.6. Контрольные вопросы
1. На примере двух частиц вывести закон изменения импульса этой
системы. Сформулировать условия, при которых сохраняется импульс сис-
темы или его проекция.
2. Что такое внешние и внутренние силы?
-
– 18 –
3. Что такое механическая работа? Привести формулу для нахождения
работы переменной силы по криволинейному участку траектории.
4. Какие силы называются консервативными и неконсервативными?
Что такое понятие потенциальная энергия?
5. Дать понятие кинетической энергии материальной точки и твердого
тела. Вывести теорему об изменении кинетической энергии.
6. На примере одной материальной точки вывести закон изменения ее
полной механической энергии.
7. В чем различие между упругим и неупругим ударами?
8. Что такое изолированная система?
9. Какие превращения механической энергии совершаются в данной
работе?
10. От каких факторов зависят случайные погрешности в данной экс-
периментальной работе?
Литература, рекомендуемая для обязательной проработки: [1],
§§22, 23, 30; [2], §§25,…, 29; [3], §15; [4], §4.6; [5], §I.4.6.
ЛИТЕРАТУРА
1. Савельев И.В. Курс общей физики в 4-х томах. Механика. Молеку-лярная физика и термодинамика. – М.: КноРус, 2012. – Т.1. – 528 с.
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика. – М.: ФИЗМАТЛИТ, МФТИ, 2010. – Т.1. – 560 с.
3. Трофимова Т.И. Курс физики. – 20-е изд., стер. – М.: Изд-во «Ака-демия», 2014. – 560 с.
4. Иродов И.Е. Механика. Основные законы: Учебное пособие для фи-зич. спец. вузов. – 12-е изд. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. – 309 с.
5. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. – 8-е изд., испр. и перераб. – М.: Изд-во «Оникс», 2008. – 1056 с.
-
У ч е б н о е и з д а н и е
Сергей Олегович Зубович Анатолий Леонидович Суркаев
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОУДАРЕНИЯ ТЕЛ
Методические указания
в авторской редакции Темплан 2007 г., поз.№ __28. В_
Лицензия ИД № 04790 от 18.05.2001 г.
Подписано в печать _________. Формат 60x84 1/16. Бумага газетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. _1,16___.
Уч.-изд. л. _1,2 на магнитоносителе Волгоградский государственный технический университет.
400131, г. Волгоград, просп. им. В.И. Ленина 28.
РПК “Политехник” Волгоградского государственного технического университета.
400131, Волгоград, ул. Советская, 35.