ÚVOD DO DIFERENCIÁLNEJ GEOMETRIE DifGeo.pdf · Prvá lekcia sa skladá z úvodu do kurzu a z...
Transcript of ÚVOD DO DIFERENCIÁLNEJ GEOMETRIE DifGeo.pdf · Prvá lekcia sa skladá z úvodu do kurzu a z...
Univerzita Komenského v Bratislave
Fakulta matematiky, fyziky a informatiky
ÚVOD DO DIFERENCIÁLNEJ GEOMETRIE
Miloš BOŽEK
Bratislava 2015
1
Univerzita Komenského v Bratislave
Fakulta matematiky, fyziky a informatiky
ÚVOD DO DIFERENCIÁLNEJ GEOMETRIE
Miloš BOŽEK
Bratislava 2015
2
Názov: ÚVOD DO DIFERENCIÁLNEJ GEOMETRIE
Autor: doc. RNDr. Miloš Božek, CSc.
Recenzenti: Doc. RNDr. Vojtech BÁLINT , CSc.
RNDr. Ján BAKŠA, PhD..
Vydavateľ: Knižničné a edičné centrum FMFI UK Bratislava
Vydané s finančnou podporou grantu KEGA 094UK-4/2013, E-matik+, Kontinuálne vzdelávanie učiteľov matematiky
Rukopis neprešiel jazykovou úpravou.
(C) Miloš BOŽEK, 2015
ISBN 978-80-8147-044-8
EAN 9788081470448
3
M. BOŽEK: ÚVOD DO DIFERENCIÁLNEJ GEOMETRIE
OBSAH
Úvod ............................................................................................................................ 4
Časť 1 KRIVKY
Lekcia 1. Kap. 1. Parametrické vyjadrenie krivky (1. časť) ...................................... 7
Lekcia 2. Kap. 1. Parametrické vyjadrenie krivky (2. časť) ...................................... 13
Kap. 2. Dotyčnica a normála krivky .......................................................... 16
Lekcia 3. Kap. 3. Oskulačná rovina priestorovej krivky. Frenetov trojhran ............. 19
Lekcia 4. Kap. 4. Dĺžka krivky. Prirodzená parametrizácia krivky .......................... 22
Lekcia 5. Kap. 5. Krivosť krivky ............................................................................... 30
Lekcia 6. Kap. 6. Styk kriviek ................................................................................... 34
Obrázky ku krivkám ..................................................................................................... 39
Úlohy k lekciám 1 – 6 .................................................................................................... 42
Časť 2 PLOCHY
Lekcia 7 Kap. 1. Parametrické vyjadrenie plochy ..................................................... 45
Lekcia 8 Kap. 2. Krivky na ploche ............................................................................. 50
Lekcia 9 Kap. 3. Normálová krivosť plochy – definícia ............................................ 55
Lekcia 10 Kap. 4. Normálová krivosť plochy – vlastnosti ........................................... 59
Obrázky k plochám .......................................................................................................... 64
Úlohy k lekciám 7 – 10 .................................................................................................... 68
Prílohy
Príloha 1 Vektorový súčin .......................................................................................... 70
Príloha 2 Kinematicky zadané krivky ........................................................................ 73
Príloha 3 O čom je diferenciálna geometria .............................................................. 76
Príloha 4 Nesprávna predstava o oskulačnej kružnici rovinnej krivky ....................... 79
4
Úvod
Celý text, ktorý budeme spolu preberať, vznikol na základe stručného učebného materiálu k
jednosemestrálnej voliteľnej prednáške Diferenciálna geometria v treťom roku štúdia učiteľstva
matematiky na FMFI UK. Tomu odpovedá jeho trochu surová podoba.
Každá lekcia pozostáva z učebného textu, v ktorom sú voľne rozmiestnené komentáre. Práve čítate
prvý z nich. Kvôli zreteľnému odlíšeniu od vlastného textu ich píšem, ako vidíte, iným typom písma,
inou farbou a menšou veľkosťou písma. Od textu ich navyše oddeľujú vodorovné čiary.
Prvá lekcia sa skladá z úvodu do kurzu a z prvej časti prvej kapitoly. Úvod si prečítajte a prvú
kapitolu naštudujte. V nej a aj v ďalších kapitolách sa nachádzajú úlohy, tie si nemusíte veľmi všímať.
Sú to akési pozostatky z predchádzajúcich podôb textu, bolo mi ľúto ich zlikvidovať. Pre tento kurz
platia iné zadania. Každý týždeň ich nájdete v samostatnom súbore.
Uvedomujem si, že s písaním riešení vašich úloh v elektronickej podobe môžete mať ťažkosti, ak
nemáte dostatočné skúsenosti so sadzbou matematického textu. V takom prípade navrhujem jednu
z dvoch náhradných možností:
1. Riešenie napíšte rukou, a ak máte možnosť, naskenujte ju a pošlite ako obrázok.
2. Ak nemáte prístup k skeneru, riešenie napíšte rukou a pošlite mi ho klasickou poštou na fakultnú
adresu. Aby sa ale dodržali formálne pravidlá eVyučovania, súčasne pošlite prostredníctvom
Moodlu aj stručné elektronické oznámenie o odoslaní riešenia v papierovej podobe.
Ak to však čo len trochu pôjde, snažte sa riešenia zasielať vo formáte PDF.
Diferenciálna geometria sa zaoberá zakrivenými geometrickými objektmi. Pri ich
skúmaní využíva metódy a výsledky matematickej analýzy, v prvom rade – ako už jej názov
napovedá – čerpá z diferenciálneho počtu. To znamená, že jej základným pracovným
prostriedkom sú derivácie. Skúmanými objektmi sú najmä krivky a plochy veľmi rozmanitých
tvarov. V tomto kurze sa oboznámite s ich najjednoduchšími vlastnosťami.
Nevyhnutným predpokladom pre použitie derivácií je prítomnosť funkcií, ktoré sa
majú derivovať, preto musíme mať geometrické objekty vyjadrené prostredníctvom čísel, čiže
súradnicami. V tomto zmysle môžeme teda diferenciálnu geometriu považovať za nadstavbu
či pokračovanie analytickej geometrie. Okrem dobrého ovládania základných pravidiel
diferenciálneho počtu predpokladáme preto u účastníkov kurzu aj dôvernú znalosť analytickej
geometrie v jej bodovo – vektorovej podobe, ako sa bežne prezentuje na vysokých školách
v prvých ročníkoch štúdia matematiky resp. učiteľstva matematiky.
Krivky a plochy sa objavujú už v učive matematickej analýzy ako grafy funkcií jednej
resp. dvoch premenných, pričom mnohé výsledky analýzy sa kvôli názornosti formulujú aj v
geometrickej podobe. Typickou ukážkou je predstava lokálneho extrému funkcie jednej
premennej ako bodu, v ktorom je dotyčnica grafu rovnobežná s osou x. Reprezentácia
v podobe grafov funkcií však na vyjadrenie mnohých kriviek a plôch nestačí, lebo už
napríklad (celú!) kružnicu nemožno opísať ako graf funkcie (v takej podobe sa dajú zvládnuť
iba niektoré jej časti, napríklad polkružnica). Preto ale aj z iných dôvodov budeme krivky
a plochy vyjadrovať v našom kurze parametricky.
Mohlo by sa zdať, že geometria čakala na vznik matematickej analýzy a potom
jednoducho od nej prevzala hotové výsledky. História matematiky však ukazuje, že veci mali
podstatne zložitejšiu podobu a priebeh. Vznik a rozvoj matematickej analýzy bol z veľkej
časti motivovaný práve otázkami, ktoré kládla geometria. Veľmi pekne to ilustruje názov
Leibnizovho článku z roku 1684, ktorý sa všeobecne spolu s Newtonovými Matematickými
základmi prírodnej filozofie považuje za zrod diferenciálneho a integrálneho počtu: Nová
metóda pre maximá a minimá, ako aj pre dotyčnice, ktorá platí aj pre iracionálne a lomené
5
hodnoty, a pozoruhodný spôsob počítania pre tento účel. Vidíme teda, že jednou zo
základných motivácií vzniku matematickej analýzy bola geometrická úloha o dotyčnici.
Diferenciálna geometria v podobe, v akej ju predkladáme v tomto kurze, sa
ustálila zhruba v polovici 19. storočia (až na jej spôsob zápisu v bodovo – vektorovej podobe,
ten je dieťaťom prvej tretiny 20. storočia). Bežne sa jej hovorí klasická diferenciálna
geometria. Približne v tretine až polovici 20. storočia vznikla moderná diferenciálna
geometria, ktorej objekty skúmania a používané metódy zasahujú veľmi hlboko do viacerých
oblastí súčasnej matematiky. Ako príklad objektu skúmaného v modernej diferenciálnej
geometrii spomeňme množinu všetkých zhodností trojrozmerného euklidovského priestoru,
ktorá okrem toho, že je grupou, má aj prirodzenú štruktúru šesťrozmerného zakriveného
priestoru. Obe tieto štruktúry sú navzájom zosúladené, takže vzniká objekt, ktorému sa hovorí
Lieova grupa (číta sa „líova“ – Sophus Lie, nórsky matematik, 19. storočie); v dnešnej
matematike sa takéto grupy intenzívne skúmajú a využívajú. Napríklad spomenutá grupa
zhodností sa v mechanike interpretuje ako konfiguračný priestor všetkých polôh tuhého
telesa.
Stručne o obsahu kurzu. Kurz pozostáva z dvoch tematických celkov. Prvý je
venovaný krivkám, druhý plochám. V prvej kapitole o krivkách zavedieme pojem krivky.
Napriek snahe o čo najjednoduchší postup, naša definícia krivky má zložitejšiu podobu, ako
by sa asi čakalo. Nasledujú dve kapitoly s opisným charakterom. Zavádzame v nich rovné
objekty spojené s krivkou v každom jej bode: dotyčnicu, normálu, oskulačnú rovinu
a Frenetov trojhran. V ďalšej kapitole stručne spomenieme dĺžku krivky a venujeme sa
prirodzenej parametrizácii krivky, ktorá je založená práve na dĺžke úsekov krivky. Kľúčovým
pojmom pre krivky je krivosť, ktorej je venovaná piata kapitola. Poslednú kapitolu o krivkách
pojednávajúcu o styku kriviek sme do kurzu zaradili najmä kvôli jej veľmi aktuálnym
aplikáciám v počítačovej grafike.
Tematický celok o plochách je už menej rozsiahly. V prvej kapitole uvádzame pojem
plochy, v druhej hovoríme o dotykovej rovine a o normále plochy. Ťažiskové sú tretia a štvrtá
kapitola o normálovej krivosti plochy, prostredníctvom ktorej sa skúma tvar plochy.
Kapitoly sú v oboch tematických celkoch číslované samostatne, teda prvá kapitola
o plochách má číslo 1 rovnako ako prvá kapitola o krivkách. Vety, príklady, poznámky,
úlohy a obrázky číslujeme samostatne v podvojnej podobe (teda veta 5.2 je druhá veta
piatej kapitoly, v nej môže byť aj príklad či obrázok s rovnakým číslom 5.2). Definície sa
neuvádzajú ako číslované textové jednotky. Poznáme ich podľa kurzívy (font italic), ktorou
je napísaný definovaný pojem. Najmä kvôli úspore miesta (v zobrazenom texte i v jeho
súbore) pomerne často používame zjednodušený zápis zlomkov a odmocnín v tvare a/b a
x. V zložitejších situáciách sa správne čítajú a píšu pomocou zátvoriek napr. takto:
cd
ab
cd
bacdab )( , (ab)c cab .
Všimnite si, čo by spôsobili chýbajúce zátvorky:
c
abdd
c
bacdab , abc bca .
Text učiva kurzu je poprekladaný komentármi, prezrádza ich modrá farba a menšie
ležaté písmo.
6
Z technických dôvodov (čo je jemné vyjadrenie autorovej nešikovnosti) nie sú
obrázky priamou súčasťou textu, nachádzajú sa iba v samostatných súboroch. Navyše,
väčšinou sú to iba nasnímané rukou načrtnuté skice.
V oboch tematických celkoch sa sústreďujeme iba na najzákladnejšie veci a
vynechávame mnohé partie, ktoré sú štandardnou súčasťou učiva v bežných kurzoch klasickej
diferenciálnej geometrie. Pri krivkách nenájdete najmä témy Frenetove vzorce, torzia,
singulárne body a obálky. Pri plochách vynechávame omnoho viac, vlastne takmer všetko
(rozvinuteľné priamkové plochy, prvá základná forma plochy a meranie na ploche, zobrazenia
plôch, hlavné krivosti a Gaussova krivosť, ...). Absolvent kurzu by však v prípade potreby či
záujmu mal byť schopný oboznámiť sa s ďalšími témami klasickej diferenciálnej geometrie
samostatne.
Čo sa týka odporúčanej literatúry, ktorá by pokrývala a prípadne rozširovala látku
tohto kurzu, pre slovenského čitateľa sú iba zlé správy. Dostupnej literatúry vlastne niet. Pre
úplnosť a z dôvodu dodržania dobrých mravov predsa len uvediem niekoľko relevantných
titulov:
Budinský, B.: Analytická a diferenciální geometrie. SNTL, Praha, 1983,
Pogorelov, A.V.: Geometrija. Nauka, Moskva 1983,
Rutter, G.: Geometry of Curves. Chapman and Hall 2000.
Budinského učebnica je kurzu určite najbližšia. Nielen jazykovo, ale tiež z hľadiska obsahu
a spôsobu výkladu. Možno ju ešte nájdete v niektorej knižnici.
Zaujímavé informácie o krivkách a plochách sú samozrejme aj na internete.
Najčastejšie majú podobu albumov, v ktorých si môžeme prezerať mnoho obrázkov, často
interaktívnych či so sprievodným textom. Ak si teda chcete pozrieť pekné obrázky kriviek a
prípadne sa o nich aj niečo zaujímavé dočítať, skúste otvoriť nasledujúce stránky. Vyhľadala
ich moja bývalá diplomantka Mgr. Eva Kozáková.
http://xahlee.org/PageTwo_dir/more.html
http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/%7Ehistory/Curves/Curves.html
http://www.math.hmc.edu/faculty/gu/curves_and_surfaces/curves/cycloid.html
Ak nájdete ďalšie zaujímavé internetové zdroje k našej téme, budem vám veľmi vďačný, ak
ma s nimi zoznámite. Nemenej vďačný budem za všetky ohlasy a pripomienky, ktoré by
mohli vylepšiť budúce verzie textu.
Vo vašej práci v rámci kurzu vám prajem veľa trpezlivosti, ktorá vám isto prinesie
úspechy a tie zasa pocity radosti a uspokojenia.
Kontakty na vyučujúceho:
doc. RNDr. Miloš Božek, CSc. pracovňa: M 156
Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky 02 60295209
UK FMFI : [email protected]
Mlynská dolina 842 48 Bratislava
7
Lekcia 1
1. Parametrické vyjadrenie krivky (1. časť)
Cieľom prvej kapitoly je oboznámiť sa s pojmom krivky. Základnými technickými nástrojmi sú bodové
a vektorové funkcie jednej premennej a ich derivácie.
Uvedené funkcie sa od bežných číselných funkcií odlišujú v podstate iba oborom hodnôt – je ním
množina bodov resp. vektorov priestoru resp. roviny. Keď body a vektory reprezentujeme súradnicami,
bodová či vektorová funkcia jednej premennej nie je vlastne nič iné ako usporiadaná trojica (pre
rovinu dvojica) obyčajných číselných funkcií so spoločným definičným oborom (je ním interval na
číselnej osi).
Algebraické aj analytické operácie (limity, derivácie a integrály) s bodovými a vektorovými funkciami,
ktoré sú dané súradnicami, vykonávame po zložkách.
Prečo požívame bodové aj vektorové funkcie? Bodovú funkciu potrebujeme na analytické vyjadrenie
krivky. Keď ho zderivujeme (raz, dvakrát, ...), vznikajú vektorové funkcie, preto je prirodzené, že sa
zaoberáme aj s nimi.
Prečo potom krivku nevyjadrujeme vektorovou funkciou? Je pravda, že vtedy by sme pracovali iba
s vektorovými funkciami, teda s menším počtom pomocných pojmov, a že takýto prístup nájdete
v mnohých učebniciach diferenciálnej geometrie. Neodpovedá to ale dobre realite, lebo asi nikto si
nepredstavuje krivku zloženú z vektorov, z bodov však hádam každý.
So slovom „krivka“ sa stretávame v každodennom živote, v technike, v prírodných
vedách a v matematike. Kvôli tejto rôznorodosti jeho výskytu nemožno očakávať univerzálnu
definíciu, ktorá by úplne uspokojila všetkých používateľov.
V diferenciálnej geometrii a v počítačovej grafike sa krivky v rovine resp. v priestore
najčastejšie zadávajú parametricky prostredníctvom bodovej funkcie jednej (číselnej)
premennej, čo je funkcia, ktorá každému reálnemu číslu z nejakého intervalu číselnej osi
priraďuje bod v rovine resp. v priestore. Ide teda o zobrazenie
(1.1) P: I E2, resp. P: I E
3,
kde I je interval na číselnej osi R (, ).
Klasický zápis bodovej funkcie jednej premennej (1.1) je
(1.2) P = P(t), tI.
Hodnotu premennej t v tejto súvislosti nazývame parametrom bodu P(t).
Zápis bodovej funkcie (1.2) je analógiou zápisu číselnej funkcie v tvare
y y(x), xI,
ktorý sa používa napríklad v diferenciálnych rovniciach. Oproti častejšie sa vyskytujúcemu zápisu
číselnej funkcie v podobe y f(x), xI má podoba y y(x) tú výhodu, že sa v nej ušetrilo písmeno f.
Rovnaký šetriaci efekt vidíme aj v zápise bodovej funkcie (1.2).
V súradniciach vyzerá bodová funkcia jednej premennej takto:
(1.3a) P(t) = (x(t), y(t), z(t)), tI, (pre krivku v priestore)
resp.
(1.3b) P(t) = (x(t), y(t)), tI, (pre krivku v rovine),
8
kde x = x(t), y = y(t), z = z(t) sú obvyklé číselné funkcie so spoločným definičným oborom I
(obr. 1.1). Ich hodnoty sú súradnice bodov krivky.
Symbol rovnosti „“ vo vzorcoch (1.3a) a (1.3b) čítame rovnako ako v analytickej geometrii
„má súradnice“. Používa sa aj takýto zápis parametrického vyjadrenia krivky v priestore
(1.3c) x = x(t), y = y(t), z = z(t), tI
Parametricky zadanú krivku v rovine môžeme považovať aj za krivku v priestore, ak
stotožníme bod v rovine so súradnicami (x(t), y(t)) s bodom v priestore so súradnicami
(x(t), y(t), 0). Preto takmer vždy budeme spoločné vlastnosti kriviek v rovine a v priestore
formulovať iba pre priestorový prípad.
Bodovú funkciu jednej premennej fyzikálne interpretujeme ako matematické
vyjadrenie pohybu hmotného bodu. Premennú t vtedy považujeme za čas (prvé písmeno
latinského slova tempus čas; analogicky P je prvé písmeno slova punctum bod). V súlade
s tým symbol P(t) čítame „bod P v momente t“ (a nie „bod P v bode t“, ako by sa patrilo
podľa zvyklostí matematickej analýzy).
Nasleduje séria príkladov bodových funkcií jednej premennej a odpovedajúcich kriviek.
Príklad 1.1
Priamka: P(t) = A + tu, tR.
Je to z analytickej geometrie známe parametrické vyjadrenie priamky určenej bodom
A a vektorom u. V súradnicovej podobe (1.3a) má tvar
P(t) = (a1 + u1t, a2 + u2t, a3 + u3t), tR,
kde koeficientmi sú súradnice určujúceho bodu a vektora priamky:
A (a1, a2, a3), u (u1, u2, u3).
Symboly rovnosti v zápise súradníc bodu a vektora čítame „má súradnice“.
Fyzikálne funkcia P(t) = A + tu vyjadruje rovnomerný priamočiary pohyb.
Príklad 1.2
Kružnica so stredom v začiatku sústavy súradníc a s polomerom r (obr. 1.2):
P(t) = (rcost, rsint), t0, 2,
ináč zapísané: x = rcost, t0, 2.
y = rsint,
Zrejme platí P(0) = (r, 0), P(2) = (r, 0), čiže P(2) = P(0). Koncový bod krivky teda splýva
s počiatočným, čo znamená, že kružnica je uzavretá krivka.
Geometrický význam parametra: t je orientovaný uhol jednotkového vektora e1 osi x s
vektorom P(t) O.
Uvedené parametrické vyjadrenie kružnice fyzikálne vyjadruje rovnomerný otáčavý pohyb
bodu okolo začiatku sústavy súradníc.
1. Informácia o geometrickom či fyzikálnom význame parametra v parametrickom vyjadrení krivky je
dôležitá nielen pre tvorbu správnych intuitívnych predstáv, ale aj pri aplikáciách teórie krivek.
2. Prečo sme kružnicu parametricky vyjadrili na uzavretom intervale 0, 2 a nie na intervale 0, 2)
či (0, 2? Veď aj vtedy by sme mali vyjadrenú celú krivku a navyše každý jej bod by odpovedal presne
jednej hodnote parametra t!
9
Dôvody sú dva. Pri použití uzavretého intervalu, pričom obrazom jeho krajných bodov je ten istý bod
krivky, zdôrazňujeme, že krivka začína a končí v rovnakom bode, teda, že krivka je uzavretá.
Druhý dôvod spoznáme v kapitole 4, kde uvidíme, že dĺžka krivky sa definuje pre krivky parametricky
zadané na uzavretým a ohraničeným intervale.
Príklad 1.3
Elipsa s osami na súradnicových osiach (obr. 1.3), ktorej rovnica je x2/a
2 y
2/b
2 1 0, má
parametrické vyjadrenie
P(t) = (acost, bsint), t0, 2, a b 0.
Geometrický význam parametra dáva obr. 1.3.
Príklad 1.4
Opäť elipsa:
22
2
1
2 ,
1
1)(
t
tb
t
tatP , t(, +), a b 0.
Presvedčte sa, že všetky tieto body vyhovujú rovnici x2/a
2 y
2/b
2 1 0. Toto parametrické
vyjadrenie nepokrýva celú elipsu, lebo nezachycuje „ľavý vrchol“ so súradnicami (a, 0).
Príklad 1.5
Dve vetvy hyperboly s osami na súradnicových osiach (obr. 1.4), ktorej rovnica je
x2/a
2 y
2/b
2 1 0:
P(t) = ( acosht, bsinht ), t(, +), a, b 0.
Pre znamienko vznikne „ľavá“ a pre „pravá“ vetva hyperboly.
Pripomeňme dve menej známe funkcie
hyperbolický kosínus: coshx = ½(ex + e
x),
hyperbolický sínus: sinhx = ½(ex e
x)
a ich základné vlastnosti: cosh2x sinh
2x = 1, coshx = sinhx, sinhx = coshx.
Inverzná funkcia k hyperbolickému sínusu sa nazýva aj „argument hyperbolického sínusu“
a má tvar
sinh1
x = Argsinhx = )1ln( 2 xx .
Na rozdiel od bežného sínusu a kosínusu, hyperbolický kosínus, hyperbolický sínus a k nemu inverzná
funkcia nepredstavujú novú triedu „hyperbolických goniometrických funkcií“, lebo sú vyjadrené
prostredníctvom ostatných elementárnych funkcií.
Funkcie sinhx a coshx nie sú periodické!
Príklad 1.6
Parabola s rovnicou y2 2px = 0 (obr. 1.5):
P(t) =
t
p
t ,
2
2
, t(, +), p 0.
Príklad 1.7
Cykloida (obr. 1.6):
10
P(t) = (a(t – sint), a(1 – cost)), t(, +).
Fyzikálne: Pohyb bodu (0, 0) kružnice x2 (y a)
2 a
2 0, ktorá sa bez kĺzania kotúľa po
osi x. V štartovacej polohe t 0 sa kružnica „zhora“ dotýka osi x v začiatku sústavy súradníc.
Príklad 1.8
Reťazovka (obr. 1.7):
a
tattP cosh ,)( , t(, +), a 0.
Fyzikálne: Krivka vyjadruje tvar voľne zaveseného homogénneho lana upevneného v dvoch
bodoch. Možno ju pozorovať v krajine ako drôty vysokého elektrického napätia.
Pre a 1 ide o graf funkcie y coshx.
Príklad 1.9
Traktrix (obr. 1.8):
tat
tatP sin ),cos
2tg(ln)( , t(0, ), a 0.
Príklad 1.10
Astroida (obr. 1.9):
P(t) = (acos3t, asin
3t), t0, 2, a 0.
Príklad 1.11
Skrutkovica (obr. 1.10) je v našich príkladoch jediný priamy zástupca priestorových kriviek:
P(t) = (acost, asint, bt), t(, +), a 0, b 0.
Osou skrutkovice s uvedenou parametrizáciou je os z. Fyzikálne: Funkcia vyjadruje pohyb
bodu, ktorý sa rovnomerne otáča okolo osi z a súčasne sa pozdĺž nej rovnomerne posúva.
Príklad 1.12
Bézierova kubika:
P(t) = (1 – t)3A0 + 3(1 – t)
2tA1 + 3(1 – t)t
2A2 + t
3A3, t0,1.
Body A0, A1, A2, A3 sa nazývajú riadiace vrcholy Bézierovej kubiky. Bod P(t) je ich lineárnou
kombináciou s premennými koeficientmi (1 – t)3, 3(1 – t)
2, 3(1 – t)t
2, t
3. Prakticky to
znamená, že súradnice bodu P(t) sú lineárnymi kombináciami súradníc riadiacich vrcholov
s uvedenými koeficientmi.
Táto krivka môže byť priestorová aj rovinná. Rovinná je vtedy, keď všetky jej riadiace
vrcholy ležia v jednej rovine, v nej potom ležia všetky body krivky.
Bézierove kubiky hrajú obrovskú úlohu v počítačovej grafike pri vytváraní kriviek a plôch
(ako sa trochu prehnane hovorí) ľubovoľného tvaru.
Lineárna kombinácia bodov je (neúplná) analógia lineárnej kombinácie vektorov. Definovaná je iba
v dvoch prípadoch: Keď je súčet koeficientov 1, výsledkom je bod, keď je súčet koeficientov 0,
výsledkom je vektor. Súradnice lineárnej kombinácie bodov sú lineárne kombinácie súradníc
kombinovaných bodov. Napríklad stred dvojice bodov A,B môžeme zapísať ako ½A ½B.
Vzorec z definície Bézierovej krivky definuje bod, lebo na pravej strane je súčet koeficientov 1:
11
1 [(1 – t) t]3 (1 – t)
3 3(1 – t)
2t 3(1 – t)t
2 t
3.
Úloha 1.1
a) Napíšte parametrické vyjadrenie kružnice so stredom v bode S = (m, n).
b) Napíšte parametrické vyjadrenie úsečky s krajnými bodmi A, B.
Základné pojmy matematickej analýzy – limitu, spojitosť a deriváciu – prenesieme na
bodové funkcie jednej číselnej premennej, a to prostredníctvom súradníc.
Limita bodovej funkcie P(t) = (x(t), y(t), z(t)), tI v momente t0 je bod
)(lim),(lim),(lim)(lim
0000
tztytxtPtttttttt
.
Bodová funkcia P(t) = (x(t), y(t), z(t)), tI je spojitá, ak sú spojité jej súradnicové
zložky x(t), y(t), z(t).
Derivácia bodovej funkcie P(t) = (x(t), y(t), z(t)), tI v momente t0I je vektor
P(t0) = (x(t0), y(t0), z(t0)).
(Vektorový charakter derivácie P(t0) sa vysvetľuje v poznámke 1.1)
Podobne ako bodová funkcia jednej premennej sa definuje vektorová funkcia jednej
premennej u: I V(E3).
V programátorskom jazyku by sme mohli povedať, že návratová hodnota bodovej funkcie má typ bod a
návratová hodnota vektorovej funkcie má typ vektor.
Súradnicové vyjadrenie vektorovej funkcie je rovnaké ako pre bodovú funkciu:
u(t) = (x(t), y(t), z(t)), tI.
Rovnako sa definuje jej limita a derivácia:
)(lim),(lim),(lim)(lim
0000
tztytxttttttttt
u ,
u(t0) = (x(t0), y(t0), z(t0)).
Deriváciou vektorovej funkcie je funkcia vektorová. Pretože deriváciou aj bodovej funkcie je
funkcia vektorová, nielen prvá, ale aj vyššie derivácie bodovej funkcie sú vektorové funkcie.
Pri počítaní s deriváciami bodových a vektorových funkcií platia obvyklé pravidlá
diferenciálneho počtu, napr.
(P(t) + u(t)) = P(t) + u(t), (derivácia súčtu)
(f(t)u(t)) = f(t)u(t) + f(t)u(t), (derivácia skalárneho násobku)
(u(t) v(t)) = u(t) v(t) + u(t) v(t), (derivácia skalárneho súčinu)
(u(t) v(t)) = u(t) v(t) + u(t) v(t), (derivácia vektorového súčinu)
P(t) = 0 pre všetky t funkcia P = P(t) je konštantná. (derivácia konštanty)
Príklad 1.13
Pre deriváciu bodovej funkcie P(t) = (acos3t, asin
3t) (ako už vieme z príkladu 1.10,
uvažovaná funkcia vyjadruje parametricky astroidu) platí
12
P(t) = (3a cos2t sint, 3a sin
2t cost) = 3a cost sint (cost, sint).
Rovnosť P(t) = 3a cost sint (cost, sint) je korektná, lebo pravá strana vyjadruje v súradniciach
operáciu násobenia vektora číslom. Naproti tomu úprava zápisu bodovej funkcie P(t) = (acos3t, asin
3t)
do podoby P(t) = a(cos3t, sin
3t) je neprípustná, lebo operácia „číslo krát bod“ nie je definovaná.
Úloha 1.2
Vypočítajte prvú a druhú deriváciu aspoň niektorých bodových funkcií, ktoré vyjadrujú
krivky z príkladov 1.1 – 1.12.
Úloha 1.3
Dokážte niektoré z vyššie uvedených pravidiel pre počítanie s deriváciami, napríklad pravidlo
derivácie skalárneho súčinu. [Návod: Zapíšte bodové a vektorové funkcie vystupujúce
v pravidle prostredníctvom súradníc.]
Poznámka 1.1
1. Uvažujme bodovú funkciu P(t) = (x(t), y(t), z(t)), tI a číslo t0I. Uvedomme si, že funkcia
)()(1)()(
0
00
0 tPtPtttt
tPtP
, t t0
je vektorová, lebo na pravej strane je súčin čísla s vektorom. Funkcia má súradnice
0
0
0
0
0
0
0
0 )()(,
)()(,
)()()()(
tt
tztz
tt
tyty
tt
txtx
tt
tPtP
Jej limita v momente t0 je teda vektor a jeho súradnice sú (x(t0), y(t0), z(t0)). Tým sa
vysvetľuje, prečo je derivácia bodovej funkcie v každom momente vektor.
2. Fyzikálna interpretácia derivácií bodovej funkcie: Vektor P(t0) vyjadruje okamžitú rých-
losť a vektor P(t0) okamžité zrýchlenie pohybujúceho sa bodu P(t) v momente t0.
Vektorový charakter derivácie bodovej funkcie má obrovský význam, lebo pri skúmaní kriviek nám
umožňuje využívať bohatý aparát lineárnej algebry.
Ďalšie úlohy na tému parametricky zadaných kriviek nájdete v priloženom texte Tvorba
kriviek. Samozrejme, aj všetky tamojšie úlohy sú nepovinné.
Prvú kapitolu ukončíme v ďalšej lekcii.
13
Lekcia 2
V prvej časti lekcie dokončíme prvú kapitolu učebného textu.
Doteraz sme sa zoznámili s bodovými a vektorovými funkciami jednej premennej a s ich limitami
a deriváciami. Na mnohých konkrétnych príkladoch sme videli, že bodové funkcie veľmi úzko súvisia
s krivkami.
Na začiatku lekcie budeme postupne pripravovať definíciu krivky. Už teraz upozorňujem, že jej
výsledná podoba pravdepodobne nesplní vaše očakávania. Definícia nebude mať totiž tvar „krivka je
množina bodov v priestore resp. v rovine, parametricky vyjadrená bodovou funkciou jednej
premennej“. Dôvodom je skutočnosť, že existujú také „krivky“ v zmysle naznačenej definície, ktoré
majú pri rôznych parametrických vyjadreniach rôzne geometrické vlastnosti.
Pripravte sa teda na pomerne krkolomnú definíciu krivky.
Od bodovej funkcie P(t) = (x(t), y(t), z(t)), tI, ktorá parametricky určuje krivku, sa spravidla
vyžaduje, že má nasledujúce dve vlastnosti:
(1.4a) hladkosť: existujú derivácie všetkých rádov (t.j. súradnicové funkcie x(t), y(t) a
z(t) majú derivácie všetkých rádov, teda sú hladké) a
(1.4b) regulárnosť: vektor P(t) je nenulový pre všetky t.
Vektor P(t) sa v druhej. kapitole stane smerovým vektorom dotyčnice krivky v bode P(t), preto v
definícii vyžadujeme, aby bol nenulový, teda aby spolu s bodom P(t) určoval priamku.
Aby sme zachytili čo najviac kriviek z rôznych oblastí aplikácií, v príkladoch na konkrétnych
krivkách pripúšťame výskyt niekoľkých bodov, pre ktoré nie je podmienka regulárnosti
splnená. Také body, teda body P(t) s vlastnosťou P(t) 0, sa nazývajú singulárne body
krivky. Ostatné body krivky sú regulárne.
Príklad 1.14
(Pokračovanie príkladu 1.13.) Bodová funkcia P(t) = (acos3t, asin
3t), t0, 2, je zrejme
hladká a P(t) = 3a cost sint (cost, sint) = 0 práve vtedy, keď t = k/2, k 0, 1, 2, 3, 4.
Astroida má teda práve štyri singulárne body P(/2), P(), P(3/2), P(2) P(0) osami (bod
P(0) pre k 0 sme stotožnili s bodom P(2) pre k 4). Sú to priesečníky krivky so
súradnicovými osami. Ostatné body astroidy sú regulárne (obr. 1.9).
Úloha 1.5
Skúmajte splnenie podmienky regulárnosti pre cykloidu a traktrix.
Príklad 1.15
(obr. 1.11) Graf funkcie y = f (x), xI je krivka s parametrizáciou
P(t) = (t, f (t)), tI.
Pre hladkú funkciu f je táto parametrizácia jej grafu hladká, lebo obe funkcie
x(t) t a y(t) f (t)
sú hladké. Uvedená parametrizácia je aj regulárna, lebo P(t) = (1, f (t)) (0, 0) pre všetky t
kvôli prvej súradnici.
14
Niekedy je výhodná zmena parametrického vyjadrenia krivky:
Parametrizácia krivky P(t), tI sa zmení prostredníctvom substitúcie t = (u), uJ, kde J je
nejaký interval. Vtedy nová parametrizácia krivky je
Q(u) = P( (u)), uJ.
Od substitúcie sa vyžaduje, aby funkcia : J R bola
(1.5a) hladká, čiže existujú derivácie všetkých rádov: , , , ...,
(1.5b) regulárna, čiže (u) 0 pre všetky u,
(1.5c) surjektívna, čiže interval J zobrazuje na interval I, t.j. J (I).
Vtedy funkcia : J R zobrazuje interval J bijektívne na interval I. Hovoríme tiež, že v
parametrizáciách P(t), tI a Q(u) = P( (u)), uJ si body Q(u) a P((u)) navzájom
odpovedajú.
Orientácia krivky je určená jej parametrizáciou. Parametrizácia Q(u) = P((u)) určuje na
krivke rovnakú orientáciu ako pôvodná parametrizácia P(t) práve vtedy, keď (u) 0 pre
všetky u, teda práve vtedy, keď substitučná funkcia t (u) je rastúca.
Orientáciu krivky intuitívne chápeme ako jeden z dvoch smerov pohybu po nej.
Každá parametricky zadaná krivka má nekonečne veľa parametrizácií a práve dve orientácie.
Príklad 1.16
(obr. 1.12) Grafom funkcie 22 xaaby , x(a, a) je „horná“ polelipsa s odpovedajúcim
parametrickým vyjadrením 22 ,)( taabttP , t(a, a). Substitúciou t = a cos u, u(0, )
získame parametrizáciu Q(u) = ( a cos u, b sin u), u(0, ) z príkladu 1.3.
Tento komentár je dúfam zbytočný, ale predsa.
V príklade 1.16 sa oproti príkladu 1.3 zmenilo označenie funkcií a premenných. Tam bolo P(t) =
(acost, bsint) a tu je Q(u) = (acosu, bsinu). To však nikomu nesmie vadiť .Samozrejme zmenil sa aj
definičný obor parametrizácie, lebo v príklade 1.16 nepracujeme s celou elipsou.
Úloha 1.6
Presvedčite sa, že substitúcia z predchádzajúceho príkladu je hladká, regulárna a surjektívna.
Zachováva sa pri nej orientácia polelipsy?
Úloha 1.7
Presvedčte sa, že substitúcia t = tg(u/2), u(,) zmení parametrizáciu elipsy z príkladu
1.4 na parametrizáciu z príkladu 1.3 s upraveným definičným oborom (, ).
[Využite vzorce známe z integrovania
2
22
2
tg1
tg1cos
x
x
x
,
2
22tg1
tg2sin
x
x
x
.]
Pozorný čitateľ si mohol všimnúť, že doteraz sme nedefinovali krivku, iba jej
parametrizáciu. Hoci si pod krivkou intuitívne predstavujeme geometrický útvar, teda
množinu bodov s istými vlastnosťami, presná a pritom dostatočne všeobecná definícia
v takejto podobe by vyžadovala ďalšiu rozsiahlu prípravu. Aby sme sa jej vyhli, bude krivka
definovaná nasledovne:
15
(1.6a) Krivka je určená svojou parametrizáciou, teda hladkou a (takmer všade) regulárnou
bodovou funkciou jednej premennej.
(1.6b) Dve bodové funkcie jednej premennej určujú rovnakú krivku, ak jedna vznikne
z druhej hladkou regulárnou a surjektívnou substitúciou.
Bod krivky je ľubovoľný bod z oboru hodnôt jej parametrického vyjadrenia.
Namiesto o krivke určenej parametrizáciou P(t), tI jednoducho hovoríme krivka P(t), tI .
Je evidentné, že pri zmene parametrického vyjadrenia krivky sa množina jej bodov
nezmení – zaručuje to podmienka (1.5c). Takto krivka konečne súvisí s množinou bodov. Pre
parametrické vyjadrenie P(t), tI je to množina {P(t); tI}. Krivka však nie je iba množinou
bodov, ale množinou bodov s parametrickým vyjadrením. Toto parametrické vyjadrenie
môžeme mnohými spôsobmi zmeniť, nesmieme ho však vynechať.
Sú známe príklady rôznych parametrických vyjadrení kriviek s rovnakou množinou bodov, ktoré majú
rôzne geometrické vlastnosti (napr. rôznu dĺžku alebo v tom istom bode rôzne dotyčnice). Jeden taký
príklad spoznáme v kapitole 4.
Naším cieľom nebolo a nie je podrobne analyzovať pojem krivky, ale čím skôr začať skúmať vlastností
kriviek. Preto ešte raz zdôrazňujeme:
1. Krivka nie je iba množina bodov, ale množina bodov spolu s jej parametrickým vyjadrením
prostredníctvom bodovej funkcie jednej premennej.
2. Krivka má nekonečne veľa parametrických vyjadrení.
3. Parametrické vyjadrenie krivky určuje na nej orientáciu.
Myslím, že na uvedené tri zásady si dosť rýchlo zvyknete.
Teda „krivka je niečo, čo je nejako určené“. Ak vám veľmi chýba definícia krivky v podobe „krivka je
niečo, čo má nejaké vlastnosti“, ozvite sa. Odpoveď mám pripravenú, i keď vás asi nepoteší. Možno ju
však nájdete aj sami...
Tu by mohla prvá kapitola skončiť. Kto chce, nemusí z nej ďalej čítať ani slovo a môže prejsť rovno ku
kapitole 2. Myslím si však, že nasledujúca úvaha je poučná.
Poznamenajme ešte, že definícia krivky má rovnakú štruktúru, ako definícia vektora
v elementárnej geometrii:
Vektor je určený orientovanou úsečkou.
Dve orientované úsečky určujú rovnaký vektor, ak majú rovnakú dĺžku a rovnaký
smer.
Ešte jednoduchší príklad uvedeného postupu je určovanie racionálnych čísiel zlomkami.
Pokúste sa sformulovať definíciu racionálneho čísla, ktorá by začínala vetou „Racionálne
číslo je určené zlomkom“.
Z prísne matematického hľadiska zlomok nie je racionálne číslo, iba ho určuje (vyjadruje,
reprezentuje, ...). Dôvod je ten, že rôznymi zlomkami, napr. 1/2 a 2/4, zapisujeme rovnaké racionálne
číslo. Uvedené dva zlomky sú naozaj navzájom rôzne, lebo, lebo majú rôzne čitatele a rôzne
menovatele. Zlomky sú vlastne usporiadané dvojice celých čísel, iba iným spôsobom zapísané. Prvá
zložka zlomku – dvojice sa nazýva čitateľ a druhá menovateľ.
16
2. Dotyčnica a normála krivky
V druhej a v tretej kapitole zostrojíme v bode krivky isté priamky a roviny, ktoré sú s krivkou
bezprostredne späté a do istej miery vyjadrujú jej tvar blízkosti uvažovaného bodu. Najprirodzenejším
takým objektom je dotyčnica.
Daná je krivka parametrizáciou P(t), tI a číslo t0I.
Dotyčnica krivky v bode P(t0) je priamka určená bodom P(t0) a vektorom P(t0) (obr. 2.1).
Vektor P(t0) sa nazýva dotykový vektor krivky. Pritom predpokladáme, že tento vektor je
nenulový, teda, že bod P(t0) je regulárny bod krivky.
V singulárnom bode dotyčnicu teda nedefinujeme. Nie že by sa to vôbec nedalo, ale bolo by to trochu
náročné. Napríklad dotyčnicou astroidy (príklad 1.10) v singulárnom bode P(0) je os x.
Príklad 2.1
Dotyčnica elipsy P(t) = (acost, bsint), t0, 2 v bode P(/6) je určená bodom P(/6) =
(acos(/6), bsin(/6)) = (a3/2, b/2) a vektorom P(/6) = (asin(/6), bcos(/6)) = (–a/2,
b3/2), preto má parametrické rovnice
x = a3/2 a/2 u, y = b/2 + b3/2 u.
Dotyčnica elipsy v jej všeobecnom bode P(t) = (acost, bsint) je určená bodom P(t) a
vektorom P(t) = (–asint, bcost), preto jej parametrické rovnice sú
x = acost ausint, y = bsint + aucost .
Všimnite si, že v parametrických rovniciach dotyčnice krivky v jej všeobecnom bode
vystupujú dva parametre. Parameter t vyjadruje bod krivky, v ktorom určujeme dotyčnicu,
a druhý parameter u vyjadruje polohu bodu na dotyčnici.
Príklad 2.2
Dotyčnica grafu funkcie (obr. 2.2). Graf funkcie y = f(x) má parametrické vyjadrenie
P(t) = (t, f(t)), preto dotykový vektor tejto krivky je P(t) = (1, f (t)). Smernicová rovnica
dotyčnice v bode (x0, f(x0)) má teda dobre známy tvar y = f(x0) + f (x0)(x – x0). To znamená,
že definícia dotyčnice parametricky zadanej krivky rozširuje pojem dotyčnice grafu funkcie
z úvodného kurzu matematickej analýzy.
Úloha 2.1
Napíšte parametrické rovnice dotyčnice reťazovky P(t) = (t, acosh(t/a)), t(, +) v jej
ľubovoľnom bode.
Úloha 2.2
a) Napíšte parametrické rovnice dotyčnice astroidy v jej ľubovoľnom regulárnom bode.
b) Dokážte, že súradnicové osi vytínajú na všetkých dotyčniciach astroidy úsečky s rovnakou
dĺžkou (obr. 1.9).
c) Narysujte niekoľko (povedzme 10, lepšie viac) úsečiek s rovnakou dĺžkou a (napr.
a 5 cm), ktorých krajné body ležia na kladných polosiach súradnicových osí. „Obálkou“
týchto úsečiek je astroida, presnejšie jeden z jej štyroch oblúkov. Skúste to naprogramovať.
17
d) Geometrický význam parametra astroidy: Dokážte, že uhol dotyčnice astroidy v bode P(t)
= (acos3t, asin
3t), t(0, /2) s osou x je t.
Úloha 2.3
a) Napíšte parametrické rovnice dotyčnice traktrixy P(t) = (a(ln tg t/2 + cost), asint), t(0, )
v jej ľubovoľnom bode P(t), t /2.
b) Dokážte, že úsek na dotyčnici od bodu dotyku po os x má na všetkých dotyčniciach
rovnakú dĺžku (obr. 1.8).
Úloha 2.4
a) Napíšte parametrické rovnice dotyčnice skrutkovice v jej ľubovoľnom bode.
b) Presvedčite sa, že všetky dotyčnice skrutkovice zvierajú s osou skrutkovice rovnaký uhol.
Pri zmene parametrizácie krivky sa dĺžka a orientácia dotykového vektora môže
zmeniť, ale jeho (neorientovaný) smer nie, preto je dotyčnica krivky definovaná nezávisle od
aktuálneho parametrického vyjadrenia krivky. Dôvodom je skutočnosť, že platí klasický
vzorec pre deriváciu zloženej funkcie Q(u) = P((u)):
(2.1) Q(u) = P((u)) (u).
Pravá strana má štruktúru vektor P ((u)) krát číslo (u). Uvedomujeme si, že tento zápis nie je
z hľadiska algebry úplne korektný, správne by malo byť Q(u) = (u)P ((u)). Dávame však prednosť
analýze, teda štruktúre vzorca pre deriváciu zloženej funkcie: derivácia vonkajšej zložky krát
derivácia vnútornej zložky.
Vzorec (2.1) možno ľahko dokázať prostredníctvom súradníc, pre jednoduchšie
písanie iba v rovine. Ak P(t) (x(t), y(t)), tak Q(u) = P((u)) (x((u)), y((u))), preto
Q(u) (x((u)), y((u))) (x((u)) (u), y((u)) (u)) = P((u)) (u).
V poslednej rovnosti bolo dôležité, že obidve súradnice vektora
Q(u) (x((u)) (u), y((u)) (u))
obsahujú rovnaký činiteľ (u).
Bežne sa hovorí, že dotyčnica krivky je limitná poloha sečníc. Myslí sa to takto:
Uvažujme priamku p(t), ktorá je určená bodmi P(t0) a P(t), t t0. Keď sa číslo t blíži k t0, bod
P(t) sa blíži po danej krivke k bodu P(t0) a priamka p(t) sa následne otáča okolo bodu P(t0).
Dá sa dokázať, že limitnou polohou priamky p(t) je dotyčnica krivky v bode P(t0).
Dôsledkom predošlej úvahy je tvrdenie: Spomedzi všetkých priamok, ktoré
prechádzajú daným bodom krivky, je ku krivke najtesnejšie priložená dotyčnica. Podrobnejšie
v kap. 6.
Uvedená limitná vlastnosť dotyčnice sa v staršej literatúre vyjadruje frázou „dotyčnica krivky je
spojnica jej dvoch nekonečne blízkych bodov“ alebo tiež „spojnica dvoch súmedzných bodov krivky“.
Normála krivky v regulárnom bode krivky je každá priamka idúca bodom krivky
kolmo na dotyčnicu v tom bode. V rovine má krivka v každom bode práve jednu normálu
(obr. 2.3), v priestore prechádza bodom krivky nekonečne veľa normál. Tieto vypĺňajú
rovinu, ktorá prechádza bodom krivky kolmo na dotyčnicu. Nazývame ju normálová rovina
krivky (obr. 2.4).
18
Úloha 2.5
Napíšte parametrické rovnice a rovnicu normály v ľubovoľnom bode niektorej krivky z
príkladov 1.1 – 1.9.
Úloha 2.6
Napíšte parametrické rovnice a rovnicu normálovej roviny v ľubovoľnom bode skrutkovice z
príkladu 1.11.
Treba zdôrazniť, že dotyčnica krivky, normála a v 3D aj normálová rovina krivky sa vždy viaže na
jeden bod krivky, sú to objekty „v tom bode krivky“.
19
Lekcia 3
Doteraz sme sa zoznámili s bodovými a vektorovými funkciami jednej premennej a s ich limitami
a deriváciami. Pomocou bodových funkcií určujeme parametricky krivky. Pomocou prvej derivácie
parametrického vyjadrenia krivky určujeme dotyčnicu ku krivke.
V tejto lekcii budeme pracovať nielen s prvou, ale aj s druhou deriváciou parametrického vyjadrenia
krivky. Objavuje sa v nej po prvý krát vektorový súčin. Jeho pre geometriu najdôležitejšie vlastnosti
som zhrnul do samostatného pomocného textu.
3. Oskulačná rovina priestorovej krivky. Frenetov trojhran
Bod P(t) rovinnej alebo priestorovej krivky sa nazýva inflexný bod, k sú vektory P(t)
a P(t) lineárne závislé. Ak sú nezávislé, P(t) je neinflexný bod krivky.
Inflexné body krivky z našich úvah spravidla vynechávame.
S výrazom „inflexný bod“ ste sa určite stretli v prvom ročníku vysokoškolského štúdia v predmete
Matematická analýza pri skúmaní priebehu funkcie jednej premennej. Tam sa inflexný bod funkcie
obvykle definuje ako bod, v ktorom má funkcia nulovú druhú deriváciu.
V nasledujúcom príklade sa presvedčíme, že inflexný bod krivky je prirodzeným rozšírením
odpovedajúceho pojmu z matematickej analýzy.
Príklad 3.1
Bod P(t) = (t, f(t)) je inflexným bodom grafu funkcie y = f(x), xI práve vtedy, keď bod t je
inflexným bodom funkcie y = f(x).
Tvrdenie vyplýva zo skutočnosti, že vektory P (t) = (1, f(t)), P (t) = (0, f (t)) sú
lineárne závislé práve vtedy, keď f (t) = 0. Naozaj, vektory P(t), P(t) dvojrozmerného
priestoru sú lineárne závislé práve vtedy, keď determinant z ich súradníc je nulový. V našom
prípade ale
)()(0
)(1tf
tf
tf
.
Preto vektory P(t), P(t) dvojrozmerného priestoru sú lineárne závislé práve vtedy, keď
f (t) 0.
Pomocou prvej derivácie parametrického vyjadrenia krivky sme definovali dotyčnicu krivky ako
priamku, ktorá je v danom bode krivky ku krivke najtesnejšie priložená. Pomocou prvej a druhej
derivácie budeme definovať ku krivke najtesnejšie priloženú rovinu. Aby rovina bola určená
jednoznačne, musia byť určujúce vektory lineárne nezávislé, teda bod krivky musí byť neinflexný.
Oskulačná rovina priestorovej krivky v neinflexnom bode P(t) je rovina určená bodom P(t) a
vektormi P(t) a P(t).
20
Geometrický význam oskulačnej roviny: Daná je krivka P(t), tI a jej bod P(t0).
Dotyčnicou krivky v bode P(t0) označme p0. Uvažujme rovinu (t) prechádzajúcu priamkou
p0 a bodom krivky P(t), t t0. Keď sa číslo t blíži k t0, bod P(t) sa po krivke blíži k bodu P(t0),
pričom rovina (t) sa otáča okolo priamky p0. Dá sa dokázať, že limitnou polohou roviny (t)
je oskulačná rovina krivky v bode P(t0). Preto spomedzi všetkých rovín, ktoré prechádzajú
dotyčnicou krivky, je ku krivke najtesnejšie priložená jej oskulačná rovina. (Názov pochádza
z latinského slova osculatio = bozkávanie.)
Názov zaviedol v 18. storočí W. Leibniz. Teda ani vtedy neboli všetci matematici suchári.
Príklad 3.2
Oskulačná rovina skrutkovice. Pre parametrizáciu P(t) = (acost, asint, bt) máme P(t) =
(–asint, acost, b), P(t) = (–acost, –asint, 0). Za normálový vektor oskulačnej roviny môžeme
teda vziať vektor P(t) P(t) = a(bsint, –bcost, a), ešte lepšie vektor s jednoduchšími
súradnicami m (bsint, –bcost, a). Oskulačná rovina skrutkovice v bode P(t) má symbolickú
rovnicu m(X P(t)) 0. Po rozpísaní je to rovnica
(bsint)x (bcost)y + az – abt = 0.
Úloha 3.1
Dokážte, že v ľubovoľnom bode skrutkovice je uhol oskulačnej roviny s osou skrutkovice,
teda s osou z, konštantný. (Porovnajte s úlohou 2.4.)
Úloha 3.2
Dokážte, že pre krivku, ktorej všetky body ležia v jednej rovine, platí:
a) Vektory prvej a druhej (a všetkých ďalších) derivácií parametrického vyjadrenia krivky sú
rovnobežné s tou rovinou (resp. ležia v nej, resp. sú jej smerové vektory – formulácia je vec
vkusu).
b) Táto rovina je oskulačnou rovinou krivky v každom jej bode.
Návod: a) Dosaďte súradnice parametrického vyjadrenia krivky P(t) = (x(t), y(t), z(t)) do
rovnice roviny ax by cz d 0 a derivujte. b) Využite tvrdenie a).
Pripomeňme, že normála krivky je každá priamka prechádzajúca daným bodom krivky kolmo na
dotyčnicu v tom bode krivky.
Spomedzi všetkých nekonečne veľa normál priestorovej krivky v jej neinflexnom
bode sú dve významné. Prvá leží v oskulačnej rovine – nazýva sa hlavná normála, druhá je na
oskulačnú rovinu kolmá – nazýva sa binormála. Binormála a dotyčnica určujú rektifikačnú
rovinu krivky.
Takto v každom neinflexnom bode krivky vznikli tri navzájom kolmé priamky –
dotyčnica, hlavná normála a binormála a tri navzájom kolmé roviny určené tými priamkami –
oskulačná rovina určená dotyčnicou a hlavnou normálou, normálová rovina určená hlavnou
normálou a binormálou a rektifikačná rovina určená dotyčnicou a binormálou (obr. 3.1).
Na dotyčnici, hlavnej normále a na binormále ležia jednotkové vektory t, n a b, ktoré
vznikajú ortonormalizačným procesom z vektorov P, P a P P:
21
(3.1) . ,)()(
)()( ,
PP
PP
PPPPPP
PPPPPP
P
P
bnt
Nazývajú sa vektor dotyčnice, vektor hlavnej normály a vektor binormály (obr. 3.1).
Podstatnú časť vzorca pre vektor n sme získali riešením rovnice P (uP vP ) 0, teda rovnice
(P P )u (P P )v 0. Najjednoduchším nenulovým riešením je u P P , v P P .
Vzorec (3.1) pre vektor n je pomerne komplikovaný, preto sa vektory t, n a b častejšie
počítajú v zmenenom poradí:
(3.2) tbnbt
, ,
PP
PP
P
P
Poradie vektorov na pravej strane posledného vzorca neslobodno zmeniť, lebo t b = n.
Pre krivky v rovine majú zmysel iba prvé dva zo vzorcov (3.1), lebo vektorový súčin tam nie
je definovaný. Podobne ako v priestore aj tu je k dispozícii výpočtová alternatíva pre vektor
n:
(3.3) t = P/P , n = [sgn det(P, P)] t
Pritom det(P, P) je determinant, ktorého riadky sú súradnice daných vektorov, teda
det(P, P) yx
yx
a vektor t
vznikne z vektora t otočením o +90, teda t
= (b, a) pre
t = (a, b). Konečne sgn je skratka slova signum, čo je znamienko.
Podrobnejšie, pre vektor n z (3.3) platí: Ak det(P, P) 0, tak n = t. Ak det(P, P) 0, tak n = t
.
Prečo sme ale v (3.3) nenapísali jednoducho n = t? Dôvodom je skutočnosť, že z dvoch jednotkových
vektorov t a t
,ktoré sú kolmé na vektor t, berieme za vektor n ten, pre ktorý je báza t, n orientovaná
rovnako ako báza P, P. V analytickej geometrii sa hovorí, že dvojice nezávislých vektorov roviny
(t, n) a (P, P) sú rovnako orientované práve vtedy, keď determinanty det(t, n) a det(P, P) majú
rovnaké znamienka.
Ortonormálne vektory t, n a b tvoria Frenetov trojhran alebo tiež Frenetov repér
krivky. (Francúzske slovo repére znamená značka, zárez. V geometrii sa slovo „repér“
tradične používa na vyjadrenie objektu, ktorý určuje sústavu súradníc.)
1. Francúzsky matematik J. P. Frenet sa okolo roku 1850 stal spoluobjaviteľom dôležitých vzorcov
z diferenciálnej geometrie kriviek, ktoré sa dnes zapisujú pomocou vektorov t, n, b a ich derivácií.
Preto sa tieto vektory menujú po ňom.
2. Všimnite si, že vektor binormály b(t) je kolmý na oskulačnú rovinu krivky v bode P(t), preto jej
rovnicu môžeme zapísať v tvare
b(t)(X P(t)) 0,
kde X (x, y, z) je ľubovoľný bod priestoru a jeho súradnice sú v predošlej rovnici neznámymi.
Vedeli by ste obdobným spôsobom napísať rovnicu normálovej roviny?
Touto lekciou sa skončila prvá časť tematického celku Krivky. Mala opisný charakter,
prevládali definície a príklady. Od budúcej lekcie sa charakter kurzu začne meniť, objavia sa
prvé vety (teorémy) o vlastnostiach kriviek.
22
Lekcia 4
Základným cieľom tejto lekcie je spoznať prirodzenú parametrizáciu krivky, ktorá je hádam
najčastejšie používaným nástrojom teórie kriviek. Dôležitý medzikrok v tomto smere, ktorý však má aj
svoj samostatný význam, je dĺžka krivky. Budeme ju definovať analyticky, čoskoro však vo vete 4.1
ukážeme, že takýto postup je v súlade s bežnou predstavou o dĺžke čiary.
4. Dĺžka krivky. Prirodzená parametrizácia krivky
Dĺžka krivky s parametrizáciou P(t), ta, b je integrál
ttPPl
b
a
d)()( .
Poznámka 4.1
Všimnime si, že dĺžka je definovaná iba pre krivky, ktorých parametrické vyjadrenie je
definované na uzavretom a ohraničenom intervale. Takéto krivky sa niekedy nazývajú oblúky.
Hovoríme, že oblúk P(t), ta,b spája svoje krajné body P(a), P(b).
Poznámka 4.2
Veta o substitúcii v určitom integráli zabezpečuje, že dĺžka krivky nezávisí od voľby jej
parametrického vyjadrenia. Presvedčme sa o tom.
Parametrické vyjadrenie P(t), ta,b sa po substitúcii t (u), uc,d zmení na Q(u)
P((u)), uc,d, pričom Q(u) P((u)) (u) pre všetky u (vzorec (2.1)). Funkcia (u) je
monotónna, kvôli určitosti nech je klesajúca. Vtedy (c) b, (d) a a (u) (u) pre
všetky u. Preto
)(d)(d)())((d)())((d)()()(
)(
1
1
QluuQuuuPuuuPttPPld
c
c
d
b
a
b
a
.
Nasledujúce tri príklady ukážu, že pre jednoduché krivky dáva definícia dĺžky krivky očakávané
výsledky.
Príklad 4.1
Dĺžka úsečky s parametrickým vyjadrením P(t) A t(B A), t0,1:
ABABtABtABttPPl )01(][ dd)()( 10
1
0
1
0
23
Príklad 4.2
Dĺžka kružnice s polomerom r s parametrickým vyjadrením P(t) (rcost, rsint), t0,2 je
2r, lebo
rtrtrttrtrttPPl
2][ dd)sin,cos(d)()( 20
2
0
2
0
2
0
Príklad 4.3
Dĺžka grafu funkcie y = f(x), xa,b. Krivka má parametrické vyjadrenie P(t) = (t, f(t)), preto
dotykový vektor krivky je P (t) = (1, f (t)). Z definície dĺžky krivky dostávame známy vzorec
pre dĺžku grafu funkcie
.d)(1 2 xxfl
b
a
Úloha 4.1
Presvedčite sa, že bodové funkcie
P1(t) = (rcost, rsint), t0, 2 (kružnica)
a
P2(t) = (rcost, rsint), t0, 4 (dvakrát obehnutá kružnica)
neurčujú rovnakú krivku, hoci nimi zadané krivky majú rovnaké množiny bodov.
[Návod: Vypočítajte dĺžku oboch kriviek a využite tvrdenie z poznámky 4.2.]
Nasledujúca veta dáva definícii dĺžky krivky geometrický zmysel. Najprv ale príde
definícia.
Lomená čiara vpísaná do krivky P(t), ta,b je lomená čiara s vrcholmi P(t0), P(t1),
…, P(tk 1), P(tk), kde a = t0 t1 … tk 1 tk = b je delenie intervalu a,b (obr. 4.1). Dĺžka
lomenej čiary P(t0)P(t1) … P(tk 1)P(tk) je súčet dĺžok jej strán, teda číslo
l(P(t0)P(t1) … P(tk 1)P(tk)) |P(t0) P(t1)| ... |P(tk 1) P(tk )|.
Pripomeňme, že suprémum množiny AR je najmenšie horné ohraničenie množiny A, teda reálne číslo
c, ktoré vyhovuje podmienkam
1. c x pre všetky xA,
2. pre každé 0 existuje xA, pre ktoré x c .
Prvá podmienka hovorí, že číslo c je horné ohraničenie množiny A a druhá, že žiadne číslo menšie ako
c už nie je horné ohraničenie množiny A. Suprémum množiny A zapisujeme supA. Mimoriadne dôležitá
veta z matematickej analýzy hovorí, že každá neprázdna zhora ohraničená množina reálnych čísel má
práve jedno suprémum.
Veta 4.1 (Geometrická interpretácia dĺžky krivky)
a) Úsečka je najkratšia krivka spájajúca dva body.
b) Dĺžka krivky je suprémum dĺžok do krivky vpísaných lomených čiar.
Dôkaz vykonáme kvôli jednoduchšiemu zápisu iba pre krivky v rovine. Uvažujme teda krivku
s parametrizáciou P(t) (x(t), y(t)), ta,b.
a) V dôkaze tohto tvrdenia zvoľme sústavu súradníc tak, že body P(a), P(b) ležia na prvej
súradnicovej osi, teda P(a) (x(a),0), P(b) (x(b),0), pričom ešte x(a) x(b). Zrejme platí
24
)( )()()(d)(d)(d)()(d)()( 222 bPaPaxbxttxttxttytxttPPl
b
a
b
a
b
a
b
a
.
V nerovnostiach sme využili monotónnosť určitého integrálu, teda tvrdenie
b
a
b
a
dxxgdxxfxgxfbax )()()()(,
V prvej nerovnosti pre premennú x t a funkcie 22 )()()( tytxtf a 2)()( txtg ,
v druhej nerovnosti pre funkcie )()()( 2 txtxtf a )()( txtg .
b) Z definície vpísanej lomenej čiary a jej dĺžky a z predchádzajúcej časti vety vyplýva, že
dĺžka každej lomenej čiary vpísanej do krivky je menšia alebo sa rovná dĺžke krivky. Ostáva
dokázať, že k dĺžke krivky sa môžeme s ľubovoľnou presnosťou priblížiť dĺžkou vhodne
vybranej vpísanej lomenej čiary. Túto časť dôkazu iba naznačíme.
Zvoľme ľubovoľné delenie a = t0 t1 … tk 1 tk = b intervalu a,b.
Odpovedajúca lomená čiara P(t0)P(t1) … P(tk 1)P(tk) má dĺžku
1
0
21
21
1
0
1 )()()()()()(k
i
iiii
k
i
ii tytytxtxtPtP
V každom z intervalov ti, ti1 aplikujeme na funkcie x x(t) a y y(t) Lagrangeovu vetu
o strednej hodnote.
Pripomeňme Lagrangeovu vetu o strednej hodnote: Pre každú číselnú funkciu y f(x), ktorá je spojitá
na intervale a, b a má deriváciu na intervale (a, b) existuje také číslo c(a, b), že
f(b) f(a) f (c)(b a)
Geometricky: V bode (c, f(c)) je dotyčnica grafu funkcie y f(x) rovnobežná s priamkou, ktorá spája
body (a, f(a)), (b, f(b)), teda krajné body grafu.
V ďalšom kroku dôkazu aplikujeme Lagrangeovu vetu o strednej hodnote najprv na funkciu x x(t) na
intervale ti, ti1. Číslo c z Lagrangeovej vety označíme i, aby sme zvýraznili jeho závislosť od funkcie
x(t) a od i-tého intervalu delenia. Podobne pre funkciu y y(t) vznikne číslo i.
Podľa Lagrangeovej vety existujú v otvorenom intervale (ti, ti1) také čísla i, i, že
iiiiiiiiii ttytytyttxtxtx 1111 )()()( a )()()( ,
preto
1
0
2
1
2
1
1
0
2
1
2
1 ])([])([)()()()(k
i
iiiiii
k
i
iiii ttyttxtytytxtx
ii
k
i
ii ttyx
1
1
0
22 )()( .
Pre jemné delenie intervalu a,b sú intervaly (ti, ti1) veľmi krátke, a pretože i, i(ti, ti1),
platí približná rovnosť i i , a teda aj y(i) y(i). To nám umožňuje pokračovať:
ii
k
i
iii
k
i
iiii
k
i
ii ttPttyxttyx
1
1
0
1
1
0
221
1
0
22 )()()()()(
Posledná suma je integrálny súčet funkcie f(t) |P(t)|, ta, b. Pre dostatočne jemné delenie
intervalu a,b sa tento súčet približne rovná integrálu, teda dĺžke krivky. Súčasne pre všetky
25
i 1, ..., k 1 platí y(i) y(i), teda integrálny účet sa približne rovná dĺžke vpísanej
lomenej čiary, ktorá vznikne na základe toho delenia intervalu.
Zhrnutie: Pre dostatočne jemné delenie intervalu a,b sa dĺžka odpovedajúcej vpísanej
lomenej čiary približne rovná dĺžke krivky P(t), ta,b.
Poznamenajme, že presný dôkaz druhej časti vety 4.1 sa dá urobiť využitím faktu, že funkcia
22 )()(),( yxf
je rovnomerne spojitá na dvojrozmernom intervale a,b a,b.
Parametrizácia P(t), tI sa nazýva prirodzená parametrizácia krivky alebo
parametrizácia s jednotkovou rýchlosťou, ak P(t) = 1 pre všetky t.
Príklad 4.4
Nájdime prirodzenú parametrizáciu priamky. Začneme ľubovoľnou parametrizáciou z analy-
tickej geometrie P(t) A tu. Vtedy P(t) u, preto táto parametrizácia priamky je
prirodzená parametrizácia práve vtedy, keď u = 1.
Príklad 4.5
Nájdime prirodzenú parametrizáciu kružnice P(t) = (rcost, rsint), t0, 2. Na základe textu
za príkladom 1.15 pri zmene parametrického vyjadrenia krivky pracujeme so substitúciou
t = (s), sJ. Teraz hľadáme takú, aby Q(s) = P((s)) bola prirodzená parametrizácia, teda
takú, aby vektor Q(s) = P((s)) (s) bol jednotkový. Pretože
Q(s) = (–r (s) sin(s), r (s) cos(s)) r (s)(–sin(s), cos(s))
vektor Q(s) je jednotkový práve vtedy, keď r (s) = 1, teda práve vtedy, keď (s) = 1/r.
Vtedy (s) = (1/r)ds s/r + C. Pretože nehľadáme všetky prirodzené parametrizácie
kružnice ale iba jednu, pre jednoduchosť zvolíme znamienko + a integračnú konštantu C = 0:
Q(s) = (rcos(s/r), rsin(s/r)), s0, 2r.
Úloha 4.1
Nájdite prirodzenú parametrizáciu skrutkovice P(t) = (rcost, rsint, bt), t0, 2.
[Výsledok: Q(s) = (acos s/(a2 b
2), asin s/(a
2 b
2), bs/(a
2 b
2)).
Návod: (s) = 1/(a2 b
2), t = (s) s/(a
2 b
2).]
Kvôli nasledujúcej vete pripomeňme, že symbol Pa,b znamená zúženie funkcie P(t), tI na
podmnožinu a,b definičného oboru I. Predpis funkcie sa teda nemení, iba jej definičný obor je menší.
Veta 4.2 (Geometrická interpretácia prirodzenej parametrizácie)
Pre prirodzenú parametrizáciu krivky P(t), tI platí: Pre každý podinterval a,b I sa dĺžka
úseku krivky Pa,b rovná dĺžke b – a odpovedajúcej časti definičného oboru parametrizácie
(obr. 4.2), t.j.
l(Pa,b) = b – a pre všetky intervaly a,b I.
Dôkaz Pre prirodzenú parametrizáciu platí abtttPbaPl
b
a
b
a
d1d)(),( .
26
Položme vo vete 4.2 a 0 a b s. Vtedy l(P0, s) s, teda s je dĺžka oblúka krivky medzi
bodmi P(0) a P(s). Inými slovami, bod pohybujúci sa po krivke z bodu P(0) do bodu P(s)
vykoná dráhu dĺžky s, čo je v súlade s obvyklým označením v mechanike. Preto premennú
v prirodzenej parametrizácii krivky spravidla označujeme písmenom s a prirodzenú
parametrizáciu nazývame tiež parametrizácia dĺžkou oblúka.
Postup z príkladu 4.3 zovšeobecňuje nasledujúca veta. Kvôli jej dôkazu definujme pre
krivku P(t), tI a pre číslo aI funkciu
RIsa : ,
t
a
a u.uPts d)()(
Pre všetky tI zrejme platí
(4.1) )()( tPtsa ,
(4.2) sa(t) l(Pa,t) ak t a,
(4.3) sa(t) l(Pt,a) ak t a.
Rovnosť (4.1) vyplýva zo známeho vzorca pre deriváciu funkcie, ktorá je integrálom
s premennou hornou hranicou:
x
a
xfduufdx
d)()( ,
ďalšie dve rovnosti vyplývajú z definície dĺžky krivky a z vety o výmene hraníc určitého
integrálu.
Veta 4.3
Nech P(t), tI je regulárna parametrizácia krivky a nech t0I a s0R sú ľubovoľné čísla.
Potom existuje taká substitúcia t = (s), sJ, že s0J, (s0) = t0 a Q(s) = P((s)) je prirodzená
parametrizácia danej krivky, ktorá krivku orientuje rovnako ako pôvodná parametrizácia (t.j.
(s) 0 pre všetky s).
Dôkaz. Uvážme funkciu (t) = s0 + sa(t) pre a = t0. Zrejme (t0) = s0 a
(t) = sa(t) P(t) 0 pre všetky t.
Preto existuje inverzná funkcia t = 1(s), sJ, ktorú označíme (s). Na základe vety
o derivácii inverznej funkcie dostávame
(s) = 1/ ((s)) = 1/sa((s)) = 1/P((s)) 0.
Funkcia (s) je teda rastúca, preto nová parametrizácia Q(s) = P((s)) orientuje krivku
rovnako ako parametrizácia P(t). Q(s) je prirodzená parametrizácia, lebo pre všetky s platí
Q(s) = P((s)) (s) = P((s)) (s) = P((s)) 1/P((s)) = 1.
Poznámka 4.3
Veta 4.3 hovorí, že každá regulárna krivka má nekonečne veľa prirodzených parametrizácií.
Smutnou skutočnosťou však je, že prostredníctvom elementárnych funkcií ich možno vyjadriť
len pre veľmi málo kriviek. Napríklad z kužeľosečiek možno prirodzenú parametrizáciu
explicitne (teda vzorcom) napísať iba pre kružnicu (príklad 4.5).
27
Poznámka 4.4
Prirodzená parametrizácia krivky sa používa najmä v teoretických úvahách, lebo pre ňu
mnohé vzorce nadobúdajú jednoduchšiu podobu. Vidno to napr. na nižšie sa nachádzajúcom
vzorci (4.6b) a na dôsledku 4.1.
Poznámka 4.5
Keď krivku skúmame v jednom jej bode, môžeme na základe vety 4.3 predpokladať, že
krivka je vyjadrená prirodzenou parametrizáciou P(s), pričom skúmaný bod je P(s0). Kvôli
jednoduchšiemu zápisu často kladieme s0 0.
Úloha 4.3
Nájdite prirodzenú parametrizáciu
a) reťazovky P(t) = (t, cosht). [Q(s) = (ln(s (s2 1), (s
2 1)). Návod: (t) = s0(t) sinht,
t = (s) Argsinhs ln(s (s2 1). Funkcie sinhx a coshx nájdete v príklade 1.5.]
b) krivky P(t) = (etcost, e
tsint, e
t).
[Q(s) = ((s 3)/3 cos ln((s 3)/3), (s 3)/3 sin ln((s 3)/3), (s 3)/3).
Návod: (t) = s0(t) 3(et 1), t = (s) ln((s 3)/3).]
Lema 4.1
Ak je dĺžka vektorovej funkcie u(t) konštantná, tak u(t)u(t) 0, čiže u(t) u(t) pre všetky t.
Dôkaz. Ak u(t) = c pre všetky t, tak u(t)u(t) = c2 všade. Po zderivovaní oboch strán máme
2u(t)u(t) = 0 pre všetky t, čiže u(t)u(t) = 0, t.j. u(t) u(t) pre všetky t.
Nasledujúce vzorce vyjadrujú základné vlastnosti prirodzenej parametrizácie, budeme ich
často používať. Tu a aj neskôr skratka (PP) upozorňuje, že vzorec platí iba pre prirodzenú
parametrizáciu krivky, pre iné typy parametrizácií už platiť nemusí.
(4.4) P(s) = 1 t.j. P(s)P(s) 1 (PP)
(4.5) P(s) P(s) t.j. P(s)P(s) 0 (PP)
(4.6a) t(s) = P(s) (PP)
(4.6b) n(s) = P(s)/P(s) (PP)
(4.6c) b(s) = t(s) n(s) (PP)
Vzorce odôvodníme jednoducho: Vzorec (4.4) iba opakuje definíciu prirodzenej
parametrizácie, vzorec (4.5) je vzhľadom na lemu 4.1 dôsledkom vzorca (4.4) pre funkciu
u(t) P(s). Zo vzorcov (3.1), (4.4) a (4.5) dostaneme (4.6a), (4.6b). Vzorec (4.6c) platí
dokonca pre ľubovoľnú parametrizáciu krivky, tu ho uvádzame iba kvôli úplnosti informácie.
Dôsledok 4.1
Bod P(s) je inflexným bodom krivky vyjadrenej v prirodzenej parametrizácii práve vtedy,
keď P(s) = 0 (PP).
Dôkaz Bod P(s) je inflexným bodom krivky práve vtedy, keď vektory P(s) a P(s) sú lineárne
závislé. Podľa vzorca (4.5) máme P(s) P(s) pre všetky s. Lenže vektor P(s) je lineárne
závislý s nenulovým vektorom P(s) a súčasne naň kolmý práve vtedy, keď je nulový.
28
Nasledujúca veta hovorí o rozložení bodov rovinnej krivky vzhľadom na jej dotyčnicu v neinflexnom
bode. Pre jej dôkaz pripomíname niektoré fakty o analytickom vyjadrení priamky a polroviny.
V rovine môžeme rovnicu priamky a, ktorá prechádza bodom A kolmo na vektor n, symbolicky zapísať
pomocou skalárneho súčinu vektorov v tvare n(X A) 0.
Priamka a s rovnicou n(X A) 0 je hranicou dvoch navzájom opačných polrovín. Tieto sú vyjadre-
né nerovnicami n(X A) 0 resp. n(X A) 0. Do prvej z polrovín smeruje vektor n, do druhej
vektor n. Hovoríme tiež, že polrovina n(X A) 0 je určená priamkou a vektorom n.
Veta 4.4
V blízkosti neinflexného bodu leží rovinná krivka v polrovine určenej dotyčnicou a vektorom
normály.
Dôkaz (obr. 5.5). Podľa poznámky 4.5 môžeme predpokladať, že krivka je zadaná
prirodzenou parametrizáciou a že ju skúmame v bode P(0). Dotyčnica v bode P(0) má
rovnicu n(0)X – P(0) 0, polrovina určená dotyčnicou a vektorom normály krivky je
vyjadrená nerovnicou n(0)X – P(0) 0. Pre funkciu h(s) = n(0)P(s) – P(0) platí
h(0) n(0)P(0) – P(0) 0,
h(0) = n(0)P(0) = n(0)t(0) = 0,
h(0) = n(0)P(0) = n(0)P(0)n(0) = P(0)n(0)n(0) = P(0) 0.
(V druhej rovnosti poslednej série sme využili obmenu vzorca (4.6b) P(0) P(0)n(0).)
Funkcia h(s) má teda v bode 0 ostré lokálne minimum rovné 0, preto pre s nenulové ale blízke
nule je kladná. Teda pre s blízke k 0 vyhovujú body P(s) nerovnici n(0)X – P(0) 0, preto
ležia v polrovine, ktorá je určená dotyčnicou a vektorom normály krivky v bode P(0).
1. Precízna podoba výroku „pre s blízke k 0 vyhovujú body P(s) nerovnici n(0)X – P(0) 0“ je:
„existuje také 0, že pre všetky s(,) platí n(0)X – P(0) 0“. Analogicky aj inde.
2. Funkcia h(s) = n(0)P(s) – P(0) z predchádzajúceho dôkazu vyjadruje orientovanú vzdialenosť
bodu P(s) od dotyčnice krivky v bode P(0). Ak je dotyčnica „vodorovná“, h(s) je „výška“ bodu P(s)
nad dotyčnicou. Odtiaľ symbol h. V sústave súradníc P(0), t(0), n(0) je h(s) druhá súradnica bodu
P(s).
Poznámka 4.6
Pre dostatočne veľké hodnoty parametra môžu body krivky prejsť do opačnej polroviny
s nerovnicou n(0)[X – P(0)] 0, a to aj vtedy, keď všetky body krivky sú neinflexné.
Typickým príkladom krivky, ktorá sa tak chová, je Archimedova špirála
P(t) (tcost, tsint), t(0, ).
Viac informácií o nej vrátane obrázka možno nájsť napríklad na stránke
https://en.wikipedia.org/wiki/Archimedean_spiral.
Poznámka 4.7
Veta 4.4 je ukážkou výsledku tzv. lokálnej diferenciálnej geometrie, ktorá skúma vlastnosti
„malých častí“ kriviek. Pre ňu je typické, že z vlastností derivácií v jednom bode (v tomto
prípade z vlastnosti, že vektory P(0) a P(0) sú lineárne nezávislé) sa získajú vlastnosti bodov
ležiacich blízko skúmaného bodu (tu to bolo tvrdenie, že blízke body ležia v jednej polrovine
vzhľadom na dotyčnicu).
29
V našom kurze sa venujeme iba lokálnej diferenciálnej geometrii. Jej opakom je tzv.
globálna diferenciálna geometria, ktorá skúma vlastnosti celých kriviek. Jednoduchou
ukážkou vety globálnej diferenciálnej geometrie je tvrdenie, že každá uzavretá krivka má
aspoň dve dotyčnice rovnobežné s danou priamkou.
Poznámka 4.8
V blízkosti inflexného bodu môže krivka ležať vzhľadom na dotyčnicu v oboch polrovinách
(napr. graf funkcie y x3 pre x 0), alebo iba v jednej polrovine (napr. graf funkcie y x
4
opäť pre x 0).
30
Lekcia 5
Ako už naznačuje samotné slovo krivka, jej základnou vlastnosťou je, že je krivá. Niektoré krivky sú
zakrivené viac, niektoré menej, niektoré v každom bode rovnako, iné v každom bode ináč. Veľkosť
zakrivenia krivky číselne vyjadruje jej krivosť.
5. Krivosť krivky
Krivosť (resp. flexia resp. prvá krivosť) krivky v bode P(t) je číslo
(5.1) 3
)(
)()()(
tP
tPtPtk
.
Uvedená definícia krivosti je veľmi formálna, nevidno v nej geometriu. Zatiaľ sa s tým musíme zmieriť,
geometrický význam krivosti spoznáme až na záver kapitoly. V prvých dvoch úlohách čoskoro podľa
toho podivného vzorca (5.1) vypočítame krivosť dvoch najjednoduchších kriviek – priamky a kružnice
– a uvidíme, že získame očakávané výsledky.
Je zrejmé, že krivosť je číselná funkcia nadobúdajúca iba nezáporné hodnoty. Položme si
otázku, kedy nadobúda hraničnú hodnotu k(t) 0. Podľa definície (5.1) je to práve vtedy, keď
P(t) P(t) 0. Lenže vektorový súčin dvoch vektorov je nulový práve vtedy, keď sú
lineárne závislé, preto krivosť je nulová práve v inflexnom bode krivky. To spolu s
alternatívnym názvom „flexia“ pre krivosť a s predponou „in“, ktorá často vyjadruje zápor,
spätne objasňuje názov „inflexný bod“ ( nekrivý bod bod bez krivosti bod s nulovou
krivosťou).
Vzorcom (5.1) môžeme krivosť určiť nielen pre priestorové ale aj pre rovinné krivky. Stačí
bod P(t) = (x(t), y(t)) krivky v rovine považovať za bod v priestore so súradnicami (x(t),
y(t), 0). Vtedy ,0,0()()( tPtPyx
yx
), preto pre krivosť rovinnej krivky platí
(5.2) 2322 yx
yx
yx
k
.
Špeciálnym prípadom rovinnej krivky je graf funkcie y = f(x). Jej parametrické vyjadrenie je
P(t) = (t, f(t)), preto z (5.2) vyplýva
(5.3) 2321 f
fk
.
Úloha 5.1
Presvedčite sa, že priamka má v každom bode nulovú krivosť.
31
(Pre parametrické vyjadrenie priamky P(t) = A tu totiž platí P(t) 0.)
Úloha 5.2
Presvedčite sa, že kružnica s polomerom r má konštantnú krivosť k = 1/r.
V neinflexnom bode krivky definujeme ďalšie objekty súvisiace s krivosťou:
polomer krivosti r = 1/k,
stred krivosti S = P + rn,
oskulačná kružnica: leží v oskulačnej rovine a je určená stredom krivosti a
polomerom krivosti krivky (obr. 5.1).
Príklad 5.1
Elipsa P(t) = (acost, bsint), a > b. Platí
P(t) = (–asint, bcost), P(t) = (–acost, –bsint),
232222 cossin
)(tbta
abtk
.
Krivosť je extrémna pre t = 0, /2, , …., stačí hľadať extrémy funkcie a2sin
2t b
2cos
2t.
Vidíme teda, že elipsa má extrémnu krivosť práve vo vrcholoch. Pre polomery krivosti vo
vrcholoch zrejme platí rmin = r(0) = b2/a, rmax = r(/2) = a
2/b. Na týchto rovnostiach je
založená konštrukcia stredov oskulačných kružníc vo vrcholoch elipsy (Na obr. 5.2 si
všimnite podobnosť dvoch vhodných pravouhlých trojuholníkov).
1.Oskulačná kružnica v hlavnom vrchole elipsy leží vnútri elipsy, vo vedľajšom vrchole leží zvonka. V
zvyšných bodoch elipsa prechádza z jednej strany oskulačnej kružnice na druhú, čo ostatne platí pre
väčšinu bodov väčšiny kriviek. Podrobnejšie v priloženom článku Božek, M.: O nesprávnej predstave
oskulačnej kružnice rovinnej krivky.
2. Interpretujte výsledok príkladu 5.1 pre a b r. Opätovne sa pozrite na úlohu 5.2.
Príklad 5.2
Parabola s rovnicou y2 2px = 0:
P(t) = (t2/(2p), t), P(t) = (t/p, 1), P(t) = (1/p, 0),
2322
2
)(tp
ptk
, kmax = k(0) = 1/p, .0)(lim
tk
t
Získané výsledky môžeme neformálne povedať takto: Parabola je najviac zakrivená vo
vrchole. Keď sa od neho vzďaľujeme, zakrivenie klesá k nule, parabola je čoraz viac
„rovnejšia“.
Ohnisko paraboly je stredom dvojice bodov (vrchol paraboly, stred oskulačnej kružnice vo
vrchole) (obr. 5.3), lebo v súradniciach vrchol V P(0) (0, 0), ohnisko F (p/2, 0) a stred
oskulačnej kružnice vo vrchole S(0) (p, 0). Pre stred S(0) je potrebné poznať vektor
(hlavnej) normály n(0) (1, 0), ktorý najľahšie určíme druhým zo vzorcov (3.3).
Príklad 5.3
Hyperbola P(t) = (acosht, bsinht). Platí
P(t) = (asinht, bcosht), P(t) = (acosht, bsinht),
32
232222 coshsinh
)(tbta
abtk
.
Polomer krivosti je extrémny vo vrchole P(0): rmin = r(0) = b2/a, z čoho vyplýva konštrukcia
stredu oskulačnej kružnice vo vrchole hyperboly (obr. 5.4).
Porovnajte štruktúry výrazov pre krivosť hyperboly a elipsy.
Príklad 5.4
Oblúk cykloidy P(t) = (a(t – sint), a(1 – cost)), t(0, 2). Platí
P(t) = (a(1–cost), asint), P(t) = (asint, acost),
.cos122
1)(
tatk
a
kk4
1)(min ,
)(lim)(lim
20tktk
tt .
Ďalšia veta hovorí o výraznom zjednodušení vzorca pre krivosť, keď krivka je vyjadrená v prirodzenej
parametrizácii
Veta 5.1
Krivosť krivky v prirodzenej parametrizácii P(s):
k(s) = P(s) (PP)
Dôkaz. Zo známeho vzorca
(5.4) a b2 (aa)(bb) (ab)
2
a z vzorca (4.5) dostaneme P(s) P(s) = P(s) P(s) . Ďalej P(s) = 1 (vzorec (4.4)),
preto P(s) P(s) = P(s). Z definície krivosti a opäť zo vzorca (4.4) vyplýva k(s) = P(s).
V nasledujúcom príklade budeme pracovať s (neurčitým) integrálom vektorovej
funkcie. Pritom integrál z vektorovej funkcie je bodová alebo vektorová funkcia, ktorej
súradnice vzniknú integrovaním súradníc pôvodnej funkcie. Typ výsledku (bod alebo vektor)
určujeme z kontextu. Prakticky je typ výsledku daný typom integračnej konštanty.
Príklad 5.5
Krivka s nulovou krivosťou v každom bode je priamka, polpriamka alebo úsečka. Naozaj, pre
krivku s identicky nulovou krivosťou platí P(s) = 0 pre všetky s. (V duchu poznámky 4.2
sme automaticky prešli k prirodzenej parametrizácii.) Uvedenú rovnosť budeme dvakrát
integrovať. Prvým integrovaním dostávame, že vektor P(s) je konštantný, označíme ho u:
P(s) = u. (Výsledok musí byť typu vektor, lebo P(s) je vektor.) Po druhom integrovaní
máme P(s) us C, pričom integračná konštanta C je bod, lebo ľavá strana je bod. Výraz
us C nie je zapísaný celkom korektne, správna podoba je C su. Teda P(s) C su, čo je
parametrické vyjadrenie priamky, polpriamky alebo úsečky v závislosti od definičného oboru
funkcie P(s).
Poznamenajme ešte, že vektor u je jednotkový, lebo pre prirodzenú parametrizáciu
platí P(s) 1a v našom prípade P(s) = u.
33
Výsledok predchádzajúceho príkladu vyjadruje heslo: Krivka so všade nulovou krivosťou je priamka.
Nech P(s), sI je prirodzená parametrizácia krivky v rovine. Symbolom Q(s) označíme stred
kružnice, ktorá prechádza bodmi P(s) a P(s0) a má s krivkou v bode P(s0) spoločnú dotyčnicu
(na obr. 5.6 je ten bod označený ako S(s, s0)).
Dôkaz nasledujúcej vety je dosť namáhavý, preto ho môžete vynechať. Samotná veta je ale veľmi
dôležitá, lebo opisuje vznik oskulačnej kružnice geometrickým postupom, nezávisle od parametrického
vyjadrenia krivky.
Veta 5.2 (Geometrická interpretácia oskulačnej kružnice.)
V neinflexnom bode P(s0) je limitou bodovej funkcie Q(s) pre s idúce k s0 stred S(s0)
oskulačnej kružnice krivky.
Dôkaz. Pretože krivka a uvažovaná kružnica majú v spoločnom bode P(s0) totožné dotyčnice,
bod Q(s) leží na normále krivky v bode P(s0), teda Q(s) = P(s0) + f(s)n(s0). Aby sme získali
limitu bodovej funkcie Q(s) = P(s0) + f(s)n(s0), stačí vypočítať limitu číselnej funkcie f(s).
Číslo f(s) vyjadríme z podmienky P(s) Q(s) = P(s0) Q(s), ktorá je ekvivalentná s rovnicou
|[Q(s) – P(s0)] + [P(s0) – P(s)]| = |Q(s) – P(s0)| ,
teda s rovnicou
([Q(s) – P(s0)] + [P(s0) – P(s)])2 = (Q(s) – P(s0))
2 ,
kde druhá mocnina je v zmysle skalárneho súčinu: a2 aa. Upravíme mocniny a vyriešime
)()()(2
)()()(
00
2
0
ssPsP
sPsPsf
n
.
Limita čitateľa aj menovateľa zlomku pre f(s) je nulová, použijeme preto l'Hospitalovo
pravidlo
)()(2
)()()(2lim
)()()(2
)()(lim)(lim
0
0
00
2
0
ssP
sPsPsP
ssPsP
sPsPsf
ooo ssssss nn
Pretože limita čitateľa aj menovateľa posledného zlomku je opäť nulová, po krátení dvomi
pokračujeme ešte raz l'Hospitalovým pravidlom
)()(
)()()()()(lim)(lim
0
0
ssP
sPsPsPsPsPsf
oo ssss n
)()(
1
)()(
)(0
000
2
0sr
skssP
sP
n
Predposledná rovnosť je dôsledkom základných vlastností prirodzenej parametrizácie:
P(s0) = 1 a P(s0) = k(s0) n(s0).
Získali sme geometrickú interpretáciu oskulačnej kružnice krivky a následne aj interpretáciu krivosti:
Oskulačná kružnica v bode krivky je spomedzi všetkých kružníc prechádzajúcich bodom krivky tá,
ktorá je k danej krivke v tomto bode najtesnejšie priložená. Krivosť krivky je prevrátená hodnota
polomeru oskulačnej kružnice.
34
Lekcia 6
V tejto lekcii ukončíme štúdium kriviek. Budeme v nej skúmať dve krivky, ktoré majú spoločný bod.
Budeme ich skúmať z hľadiska, ako tesne sú jedna k druhej priložené.
6. Styk kriviek
Dve krivky majú v spoločnom bode M styk rádu (aspoň) k 0, 1, ... práve vtedy, keď existujú
také ich parametrizácie P1(t), P2(t) a čísla t1, t2, že
(6.1a) P2(t2) = P1(t1) M
(6.1b) P2(i)
(t2) = P1(i)
(t1) pre všetky i = 1, …, k.
Vtedy tiež hovoríme, že bodové funkcie P1(t) a P2(t) majú v číslach t1, t2 styk rádu k.
Pre zadané parametrizácie P1(t), P2(t) kriviek platí: ak sú podmienky (6.1a) a (6.1b) splnené, krivky
majú styk rádu k. Ak však tieto podmienky splnené nie sú, nemožno ešte tvrdiť, že krivky nemajú styk
rádu k. Podmienky by totiž mohli byť splnené pre inú dvojicu parametrických vyjadrení kriviek. Určiť
rád styku na základe zadaných parametrizácií kriviek čiastočne umožní veta 6.3.
Poznámky 6.1
1. Styk rádu 0 je nezaujímavý, lebo znamená iba to, že krivky majú spoločný bod.
2. Ak majú dve krivky v danom bode styk istého rádu, tak zrejme majú aj styk všetkých
nižších rádov.
3. Dá sa dokázať, že ak majú dve krivky styk rádu k1, tak podmienky (6.1.a) a (6.1b) sú
splnené pre ich prirodzené parametrizácie, ktoré spoločnú dotyčnicu orientujú rovnako.
4. Dá sa dokázať, že pre súhlasne orientované prirodzené parametrizácie Q1(s) a Q2(s) dvoch
kriviek so spoločným bodom M Q1(0) Q2(0) platí: Krivky majú v bode M styk rádu
k1 práve vtedy, keď
0)()(
lim21
0
ks s
sQsQ
Odtiaľ vyplýva geometrický význam rádu styku kriviek: Pre k 1 rád styku dvoch kriviek
vyjadruje, ako rýchlo sa zužuje medzera medzi dvomi krivkami, keď sa k ich spoločnému
bodu približujeme po oboch krivkách z rovnakej strany tak, že v každom momente sú úseky
kriviek od spoločného bodu k približujúcim sa bodom na oboch krivkách rovnako dlhé.
5. Dá sa dokázať: Ak parametricky zadané krivky P1(t) a P2(t) majú v spoločnom bode
M P1(t1) = P2(t2) styk rádu k, tak pre každé u1R existuje taká substitúcia t (u), že
t1 (u1) a pre zmenenú parametrizáciu prvej krivky Q1(u) P1((u)) platí
Q1(i)
(u1) = P2(i)
(t2) pre všetky i = 1, …, k.
35
6. V technických aplikáciách a v počítačovej grafike spravidla vystačíme so stykom rádu 2,
preto sa v ďalšom obmedzíme iba naň, o styku vyššieho rádu ako 2 sa zmieňujeme len v
poznámke 6.2.2. Teória styku ľubovoľného rádu k 2 by bola oveľa náročnejšia.
Veta 6.1
a) Ak krivky majú styk rádu 1, tak v spoločnom bode majú spoločnú dotyčnicu.
b) Ak krivky majú styk rádu 2, tak v spoločnom neinflexnom bode majú spoločnú dotyčnicu,
oskulačnú rovinu, hlavnú normálu, binormálu, vektor krivosti, krivosť a oskulačnú kružnicu.
Dôkaz. Uvedené objekty sa dajú vyjadriť prvými deriváciami (pre styk rádu 1) resp. prvými a
druhými deriváciami (pre styk rádu 2). Keďže sa tieto derivácie pre vhodné parametrické
vyjadrenia oboch kriviek navzájom rovnajú, rovnaké sú aj spomínané objekty.
Úloha 6.1
Odhadnite rád styku kriviek z obr. 6.1 a 6.2.
Nasledujúca veta charakterizuje dotyčnicu a oskulačnú kružnicu krivky prostredníctvom ich styku s
krivkou.
Veta 6.2
a) Priamka má s krivkou styk rádu 1 práve vtedy, keď je dotyčnicou krivky.
b) Kružnica má s krivkou v jej neinflexnom bode styk rádu 2 práve vtedy, keď je oskulačnou
kružnicou krivky.
Dôkaz. a) Ak má krivka s priamkou styk rádu 1, tak podľa vety 6.1a má krivka a priamka
spoločnom bode rovnakú dotyčnicu. Lenže dotyčnicou priamky je ona sama, preto daná
priamka je dotyčnicou danej krivky.
Naopak, majme ľubovoľnú krivku P1(t) a jej (regulárny) bod P1(t0). Dotyčnicu v bode P1(t0)
vyjadríme parametricky takto: P2(t) P1(t0) (t t0)P1(t0). Zrejme P2(t0) P1(t0) a P2(t0)
P1(t0), preto má krivka s dotyčnicou styk rádu 1.
b) Ak má krivka s kružnicou styk rádu 2, tak podľa vety 6.1b má krivka a kružnica v spo-
ločnom bode rovnakú oskulačnú kružnicu. Lenže oskulačnou kružnicou kružnice je ona sama,
preto daná kružnica je oskulačnou kružnicou danej krivky.
Naopak, majme ľubovoľnú krivku a jej neinflexný bod. Podľa vety 4.3 môžeme dosiahnuť, že
krivka je vyjadrená prirodzenou parametrizáciou, označme ju Q1(s), a že uvažovaný bod je
Q1(0). Ako vieme z kapitoly 5, oskulačná kružnica v bode Q1(0) má polomer r(0) 1/k(0) a
stred S(0) Q1(0) n(0)/k(0). V sústave súradníc so začiatkom v bode S(0) a so
súradnicovými vektormi n(0), t(0) definujme krivku
sk
ksk
ksQ )0(sin
)0(
1,)0(cos
)0(
1)(2
To je v prirodzenej parametrizácii vyjadrená kružnica so stredom S(0) a s polomerom 1/k(0),
pozri príklad 4.5, teda oskulačná kružnica krivky Q1(s) v bode Q1(0). Ľahko zistíme, že
Q2(0) (1/k(0), 0),
Q2(0) (0, 1) t(0),
Q2(0) (k(0), 0) k(0)n(0).
Pretože Q1(0) S(0) n(0)/k(0) (1/k(0), 0), platí Q2(0) Q1(0). Z rovností t(0) Q1(0) a
k(0)n(0) Q1(0) (pozri vzorce (4.6a), (4.6b) a vetu 5.1a), dostávame Q2(0) Q1(0) a
36
Q2(0) Q1(0). Vidíme teda, že oskulačná kružnica Q2(s) krivky Q1(s) má s krivkou Q1(s)
styk rádu 2.
Úloha 6.2
Dokážte: a) Krivka má s priamkou styk rádu 2 práve vtedy, keď priamka je dotyčnicou a bod
dotyku je inflexným bodom krivky. b) Kružnica má s krivkou v jej neinflexnom bode styk rádu 3 práve vtedy, keď kružnica je
oskulačnou kružnicou a krivosť krivky v spoločnom bode má nulovú deriváciu. (Taký bod sa
nazýva vrchol krivky). c) Presvedčite sa, že vrcholmi kužeľosečiek (elipsa, hyperbola a parabola, príklady 1.3, 1.5
a 1.6) sú práve ich vrcholy v elementárnom zmysle, teda priesečníky kužeľosečiek s osami.
Definícia styku sa nehodí na zisťovanie styku konkrétnych kriviek, preto si pomáhame nasledujúcou
vetou 6.3. V jej dôkaze budeme intenzívne využívať vzťahy pre derivácie zloženej funkcie, ktorá vzniká
pri zmene parametrického vyjadrenia krivky P(t) substitúciou t (u):
(6.2a) Q(u) P ((u)) (u)
(6.2b) Q(u) P ((u)) (u)2 P ((u)) (u)
Skrátene a prehľadnejšie ich zapisujeme takto:
(6.2c) Q(u) P (t) (u)
(6.2d) Q(u) P (t) (u)2 P (t) (u)
Vzorce (6.2b) resp. (6.2d) získame derivovaním rovností (6.2a) resp. (6.2c) podľa premennej u. Pritom
nesmieme zabudnúť, že P (t) P ((u)) je tiež zložená funkcia s vnútornou zložkou (u), preto
[P ((u))] P ((u)) (u).
Veta 6.3 (Beta podmienky styku rádu 2)
Krivky P1(t) a P2(t) majú v spoločnom bode M P1(t1) = P2(t2) styk rádu 2 práve vtedy, keď
existujú také čísla 1 a 2, že 1 0 a
(6.3a) P2(t2) = 1 P1(t1),
(6.3b) P2(t2) = 12
P1(t1) + 2 P1(t1).
Dôkaz. Nutná podmienka (implikácia ). Podľa poznámky 6.1.5 existuje taká substitúcia
t (u), že (0) = t1 a pre nové parametrické vyjadrenie Q1(u) = P1((u)) prvej krivky platí
(6.4) Q1(0) = P2(t2) a Q1(0) = P2(t2)
Označme 1 (0) a 2 (0). Zrejme 1 0. Z rovností (6.4) a (6.2a), (6.2b) ihneď máme
P2(t2) = P1(t1) 1(0) 1
P1(t1)
P2(t2) = P1(t1) 1(0)
2 + P1(t1)
1(0) 12
P1(t1) + 2 P1(t1).
Postačujúca podmienka (implikácia ). Predpokladáme teda, že sú splnené podmienky (6.3a)
a (6.3b). Zmeňme parametrizáciu prvej krivky P1(t) na R1(u) prostredníctvom substitúcie
t (u) t1 + 1(u t1) + (2/2)(u t1)2 + c(u t1)
3
kde c je nenulová konštanta s rovnakým znamienkom ako 1. Zvolíme ju tak, aby derivácia
(6.5) (u) 1 + 2(u t1) + 3c(u t1)2
37
bola nenulová pre všetky u. (Dá sa dokázať, že také číslo c existuje). Vtedy (t1) 1 a
(t1) 2. Pre funkciu
Q1(u) = P1((u)) = P1(t1 + 1(u t1) + (2/2)(u t1)2 + c(u t1)
3)
zrejme platí P2(t2) = Q1(t1). Z pravidiel (6.2c) a (6.2d) pre deriváciu zloženej funkcie, z
predpokladov (6.3a) a (6.3b) a z rovností 1 (t1) a 2 (t1) vyplývajú rovnosti P2(t2) =
Q1(t1) a P2(t2) = Q1(t1), preto uvažované krivky majú styk rádu 2.
Konštantu c zo vzorca (6.5) treba voliť tak, aby kvadratická rovnica 3cx2 + 2x + 1 0 nemala reálne
riešenie, teda tak, aby jej diskriminant 22 12c1 bol záporný. Pretože c1 0, také číslo c existuje,
napr. c (12 2
2)/(121). Preň je splnená aj podmienka sgn c sgn 1.
Poznámky 6.2
1. Podmienky (6.3a) a (6.3b) prepísané do súradníc predstavujú v rovine 4 rovnice s dvomi
neznámymi 1 a 2 a v priestore 6 rovníc s dvomi neznámymi. Pritom vo vete 6.3 nejde
o hodnoty neznámych, ale o riešiteľnosť sústavy.
2. Podmienky styku rádu 2 majú analogickú štruktúru ako vzorce pre výpočet prvej a druhej
derivácie zloženej funkcie. Vzhľadom na dôkaz vety 6.3 táto podobnosť nie je náhodná, preto
možno dokázať, že platí aj pre styk rádov vyšších ako 2. Napríklad pre styk rádu 3 k
podmienkam (6.3a) a (6.3b) pribudne ešte podmienka
(6.3c) P2(t2) = 13
P1(t1) + 312 P1(t1) + 3 P1(t1).
Pravá strana podmienky (6.3c) súvisí so vzorcom pre tretiu deriváciu zloženej funkcie
P((u)) (u)3 P((u)) + 3 (u) (u) P((u)) + (u) P((u))
pričom za 1 sa berie (u), za 2 (u) a za 3 (u).
Úloha 6.3
Dokážte, že grafy funkcií y f(x) a y g(x) majú v bode x0 styk rádu 2 práve vtedy, keď
f(x0) g(x0), f(x0) g(x0) a f(x0) g(x0). [Návod: Všimnite si prvú súradnicu beta
podmienok styku.]
Styk kriviek má v počítačovej grafike veľmi významnú aplikáciu v podobe geometrickej
hladkosti krivky spojenej z dvoch segmentov: Nech pre krivky P1(t), ta,b a P2(t), tb,c
platí P1(b) = P2(b). Vtedy definujeme spojenú krivku P(t), ta,c (obr. 6.3):
(6.6) P(t) = P1(t) pre ta,b a P(t) = P2(t) pre tb,c.
Spojená krivka je geometricky hladká rádu 2 (v grafike sa častejšie hovorí geometricky
spojitá rádu 2), ak krivka P1(t) a krivka P2(t) majú v spoločnom bode P1(b) = P2(b) styk rádu
2.
Často sa spájajú krivky P1(t) a P2(t) so spoločným definičným oborom 0,1, pre ktoré P1(1) = P2(0).
Vtedy sa definícia spojenej krivky P(t), t0,2 upraví takto
(6.6a) P(t) = P1(t) pre t0,1 a P(t) = P2(t 1) pre t1,2.
Lineárnou transformáciou parametra môžeme dosiahnuť, že aj spojená krivka je definovaná na 0,1.
Nasledujúca veta je priamym dôsledkom vety 6.3.
Veta 6.4
38
Spojená krivka daná predpisom (6.6) je geometricky hladká rádu 2 práve vtedy, keď existujú
také čísla 1 a 2, 1 0, že
(6.7a) P2(b+) = 1 P1(b),
(6.7b) P2(b+) = 12
P1(b) + 2 P1(b).
1. Na ľavých stranách rovností (6.7a), (6.7b) vystupujú derivácie sprava a na pravých stranách
derivácie zľava: f (b) je derivácia funkcie f(x) v bode b sprava, čo znamená, že limita vystupujúca
v definícii derivácie sa zamení za limitu sprava, teda pre x b.
2. Podmienka 1 0 vyjadruje skutočnosť, že krivky P1(t) a P2(t) sú v spoločnom bode P1(b) = P2(b)
rovnako orientované, teda že druhá krivka vychádza zo spoločného bodu v rovnakom smere, v akom
do neho vošla prvá.
3. Parametrické vyjadrenie (6.6) zloženej krivky geometricky hladkej rádu 2 nemusí byť hladké
v zmysle prvej kapitoly, lebo nie je zaručená existencia derivácií P(b) a P(b). Ak však nahradíme
parametrické vyjadrenia úsekov krivky parametrickými vyjadreniami, o ktorých sa hovorí v definícii
styku kriviek resp. v poznámke 6.1.5, nové parametrické vyjadrenie spojenej krivky bude hladké triedy
C2. Nemusí však už byť hladké triedy C
3.
Úvahy s spojenej krivke sú jediným miestom v celom kurze, kde sa pracuje s hladkosťou
menšou ako C.
4. V počítačovej grafike sa vyskytuje aj parametrická hladkosť zloženej krivky: Zložená krivka P(t)
daná predpisom (6.6) je parametricky hladká rádu 2 práve vtedy, ak ľavostranné derivácie prvého
a druhého rádu prvého segmentu krivky v čísle b sa rovnajú odpovedajúcim pravostranným
deriváciám druhého segmentu krivky v čísle b. Vtedy je parametrizácia (6.6) hladká funkcia triedy C2.
Zo vzorcov (6.7a) a (6.7b) ihneď vidíme, že parametrická spojitosť zloženej krivky je špeciálnym
prípadom geometrickej spojitosti, a to pre 1 1 a 2 0.
Zložené krivky s geometrickou hladkosťou rádu 2 sa používajú napr. pri projektovaní
zákrut v dopravnom, najmä v železničnom staviteľstve. Z hľadiska geometrie ide o hladké
prepojenie úsečky s kruhovým oblúkom. Prepájajúca krivka sa nazýva prechodnica. U nás sa
ako prechodnica najčastejšie používa klotoida. Bližšie informácie o nej môžete vyhľadať
napr. na stránke http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Clothoid_dir/clothoid.html.
Vyhľadať ju môžete tiež pod názvom Eulerova špirála alebo Cornuova špirála.
Základná vlastnosť klotoidy je, že krivosť je priamo úmerná dĺžke, t.j. v prirodzenej
parametrizácii pre ňu platí k(s) cs. Práve to je podstatou jej využitia ako prechodnice: Na
koniec rovného úseku dráhy priložíme bod klotoidy s krivosťou 0 a na začiatok kruhového
oblúka s polomerom r bod s krivosťou 1/r. Pritom samozrejme dbáme na to, aby krivky mali
v spoločných bodoch aj spoločné dotyčnice. Rovnaká krivosť v bode prepojenia dvoch
kriviek z hľadiska mechaniky znamená, že pri konštantnej skalárnej rýchlosti nepôsobia na
pohybujúci sa objekt v momente prechodu z jednej krivky na druhú nežiaduce rázové sily.
Obzvlášť dôležité je to pri pohybe po koľajniciach.
39
Obrázky ku krivkám
40
41
42
Úlohy k lekciám 1 – 6
Úlohy k lekcii 1
Uvažujme bodovú funkciu
22
2
12 ,
1
1)(
t
tb
t
tatP , tR.
a) Dokážte, že každý bod P(t) leží na elipse s rovnicou x2/a
2 y
2/b
2 1 0.
Návod: Dosaďte ...
b)Vypočítajte limitu P(t) pre t idúce do a pre t idúce do .
Návod: Zlomok x(t) a(1 t2)/(1 t
2) rozšírte výrazom 1/t
2.
Úlohy k lekcii 2
Vyriešte jednu z nasledujúcich troch úloh:
Úloha 2.2 a) Napíšte parametrické rovnice dotyčnice astroidy
P(t) = (acos3t, asin
3t), t0, 2
v jej ľubovoľnom regulárnom bode.
b) Dokážte, že súradnicové osi vytínajú na všetkých dotyčniciach astroidy úsečky s rovnakou
dĺžkou (obr. 1.9).
(Pekné úlohy o astroide sú aj úlohy 2.2 c), d) z lekcie 2, nie sú však povinné.)
Úloha 2.3 a) Napíšte parametrické rovnice dotyčnice traktrixy
P(t) = (a(ln tg t/2 + cost), asint), t(0, )
v jej ľubovoľnom bode P(t), t /2.
b) Vypočítajte priesečník Q(t) dotyčnice krivky v bode P(t) so súradnicovou osou x.
b) Dokážte, že úsek od bodu dotyku po os x má na všetkých dotyčniciach traktrixy rovnakú
dĺžku (obr. 1.8). Teda P(t) Q(t) konšt.
Úloha 2.4 a) Napíšte parametrické rovnice dotyčnice skrutkovice
P(t) = (acost, asint, bt), t(, +)
v jej ľubovoľnom bode.
b) Presvedčte sa, že všetky dotyčnice skrutkovice zvierajú s osou skrutkovice rovnaký uhol.
Úlohy k lekcii 3
Daná je krivka
P(t) = (cos3t, sin
3t, cos2t), t0, ½
a) Určite všetky inflexné body krivky.
b) Vypočítajte v ľubovoľnom neinflexnom bode krivky vektory t, n, b, Frenetovho trojhranu.
43
Úlohy k lekcii 4
Pracujeme s reťazovkou
a
tattP cosh ,)( , tR
Potrebné vlastnosti funkcií y coshx a y sinhx nájdete v príklade 1.5 z lekcie 1.
a) Vypočítajte dĺžku krivky medzi bodmi P(t1) a P(t2), t1 t2.
Výsledok: a(sinh(t2/a) sinh(t1/a)).
b) Nájdite substitúciu t (s), (0) 0, ktorá zmení parametrizáciu reťazovky na prirodzenú
parametrizáciu Q(s) = P((s)).
Výsledok by mal byť a
assat
22
ln
.
Návod: Úloha je náročnejšia. Postupujte podľa dôkazu vety 4.3.
Kontrolné etapy:
P(t) cosh(t/a),
(t) s0(t) asinh(t/a),
Pri hľadaní inverznej funkcie k funkcii s (t) riešime rovnicu s asinh(t/a) s neznámou t.
Inverzná funkcia pre y sinhx sa nachádza v príklade 1.5 lekcie 1.
Úlohy k lekcii 5
Vypočítajte krivosť kriviek
a) skrutkovica P(t) = (acost, asint, bt), t(, +) k(t) = a/(a2 + b
2),
b) jeden oblúk astroidy P(t) = (acos3t, asin
3t) t(0, /2). k(t) = 1/(3acost sint)
A na záver všetečná otázka, na ktorú nemusíte odpovedať:
Prečo nepočítame krivosť celej astroidy, teda pre t0, 2?
Úlohy k lekcii 6
Presvedčite sa, že oskulačná kružnica v hlavnom vrchole P(0) = (a, 0) elipsy P(t) = (acost,
bsint) má s elipsou styk rádu 3.
Návod V hlavnom vrchole P(0) = (a, 0) elipsy platí n(0) (1, 0), r(0) b2/a, preto oskulačná
kružnica v tomto bode má parametrické vyjadrenie
Q(t) = (a b2/a b
2/a
cost, b
2/a
sint)
Zrejme P(0) = Q(0). Pri skúmaní styku kriviek P(t) a Q(t) využite vetu 6.3 a rovnicu (6.3c) z
poznámky 6.2.2. Treba teda ukázať, že sústava troch vektorových rovníc
Q(0) = 1 P(0)
Q(0) = 12
P(0) + 2 P(0) ()
44
Q(0) = 13
P(0) + 312 P(0) + 3 P(0)
s neznámymi reálnymi číslami 1, 2 a 3 má riešenie, pričom 1 0.
Poznámka 6.2.1 hovorí, že sústave () máme 6 rovníc (za každú vektorovú rovnicu dve
číselné – súradnice vektorov) pre 3 neznáme. Sústava 6 rovníc s tromi neznámymi má
riešenie iba pri splnení istých podmienok. V geometrickej podobe tie podmienky hovoria, že
oskulačná kružnica a krivka majú styk vyššieho rádu (a to 3), ako zaručuje teória (veta 6.2b
zaručuje styk rádu 2).
Z rovníc sústavy () postupne vypočítame 1 ... 0, 2 ... a 3 ... . Podstatné je
skontrolovať, že vypočítané hodnoty neznámych vyhovujú všetkým šiestim rovniciam!
Rovnaké tvrdenie platí aj vo vedľajšom vrchole elipsy, teda oskulačné kružnice vo vrcholoch elipsy
majú s elipsou styk rádu 3. Dá sa dokázať, že vo všetkých ďalších bodoch elipsy má oskulačná
kružnica s elipsou styk presne rádu 2, teda nemá tam styk rádu 3. Inými slovami: Oskulačná kružnica
elipsy má s krivkou styk rádu 3 práve vo vrcholoch.
Nasledujúci komentár nepatrí základnému učivu, môžete ho ignorovať.
Tvrdenie, že oskulačná kružnica vo vrchole elipsy má s elipsou styk rádu 3 sa zmôže zdať rozporné
s vetou 6.2b, podľa ktorej má oskulačná kružnica v každom bode elipsy s elipsou styk rádu 2.
V skutočnosti tam žiadny rozpor nie je, lebo z definície styku bezprostredne vyplýva: Ak majú dve
krivky v spoločnom bode styk rádu 3, tak majú aj styk rádu 2 (a tiež aj styk rádu 1). Inými slovami, ak
povieme, že dve krivky maj v spoločnom bode styk rádu 2, nevylučujeme tým, že v tom bode majú styk
rádu 3, prípadne ešte vyšší.
Skutočnosť, že vo vrcholoch elipsy má oskulačná kružnica s elipsou lepší styk ako v iných jej bodoch,
nie je náhodná. Aby sme to vysvetlili, najprv definujeme vrchol ľubovoľnej krivky ako bod so
stacionárnou krivosťou, teda ako bod, v ktorom má krivosť krivky deriváciu rovnú nule: k(t) 0. Dá
sa dokázať, že o vrcholoch krivky platí:
1. Vrcholmi kužeľosečiek (elipsy, hyperboly a paraboly) v tomto rozšírenom zmysle sú práve ich
vrcholy v bežnom zmysle. (Dôkaz je pomerne ľahký, môžete sa do neho smelo pustiť. Nadviažete na
príklady 5.1, 5.2 a 5.3)
2. Vo vrchole krivky má oskulačná kružnica s krivkou styk rádu (aspoň) 3. (Dôkaz je už ťažší.)
3. Ak má krivka os súmernosti, tak priesečník krivky s jej osou súmernosti je vrchol krivky. (Tu už je
dôkaz pomerne ťažký.)
Neskúsite nájsť vrcholy cykloidy alebo astroidy či reťazovky? Ak sa do toho dáte, tak sa najprv
podívajte, čo všetko sme o cykloide zistili v príklade 5.4.
Riešenia naznačených tém z tohto komentára môžete pribaliť k riešeniu povinnej úlohy. Riešenie témy
č. 2 alebo 3 môže byť obsahom záverečného projektu.
45
Lekcia 7
V tejto lekcii začíname skúmať plochy. Budeme k nim pristupovať rovnako ako ku krivkám, teda na
základe ich parametrického vyjadrenia. Na rozdiel od kriviek, kde sme pracovali s
deriváciami bodových a vektorových funkcií jednej premennej, pre plochy sa používajú funkcie dvoch
premenných a ich parciálne derivácie.
Kapitoly a obrázky tohto tematického celku sa z technických dôvodov začínajú číslovať znova od
jednotky. Nemalo by to viesť k dvojznačnosti, lebo v kapitolách o plochách sa vyskytuje iba veľmi málo
priamych odkazov na lekcie týkajúce sa kriviek.
1. Parametrické vyjadrenie plochy
V diferenciálnej geometrii sa plochy najčastejšie zadávajú parametricky
prostredníctvom bodovej funkcie dvoch (číselných) premenných, teda pomocou zobrazenia
P: D E3, kde D je oblasť v číselnej rovine R
2.
Klasický zápis: P P(u,v), (u,v)D.
Pomocou súradníc: P(u,v) (x(u,v), y(u,v), z(u,v)), (u,v)D, alebo
x x(u,v)
y y(u,v) (u,v)D,
z z(u,v)
kde x x(u,v), y y(u,v), z z(u,v) sú číselné funkcie premenných (u,v)D (obr. 1.1).
Čísla (u,v) nazývame parametrami bodu P(u,v).
Zjednodušene hovoríme o ploche P(u,v), (u,v)D.
Pod oblasťou v číselnej rovine rozumieme neprázdnu množinu D v R2
so súvislým
vnútrom, ktorej uzáver je uzáverom jej vnútra: DD int . Najčastejšími príkladmi oblastí sú
dvojrozmerné intervaly ako (a, b) (c, d), a, b (c, d), a, b c, d, ...
Analogicky sa definuje vektorová funkcia dvoch číselných premenných, napr.:
m(u,v) (x(u,v), y(u,v), z(u,v)), (u,v)D
Parciálne derivácie bodových, vektorových a číselných funkcií zjednodušene
označujeme pomocou dolných indexov, napr.
2
22
2
2
, , , ,,,v
PP
vu
PP
u
PP
v
PPzyx
u
PP vvuvuuvuuuu
.
Parciálna derivácia Pu(u0,v0) bodovej funkcie je vektor. Je to dotykový vektor Q(u0) ku
krivke Q(u) P(u,v0), ktorá vznikla z funkcie P(u,v) dvoch premenných pre v v0.
Rovnako parciálna derivácia Pv(u0,v0) a derivácie vyšších rádov Puu(u0,v0), ... sú vektory resp.
vektorové funkcie Pv(u,v) Puu(u,v) premenných u a v.
V nasledujúcej kapitole budeme pomocou parciálnych derivácií Pu(u0,v0) a Pv(u0,v0) definovať
dotykovú rovinu plochy v bode P(u0,v0).
46
Pre počítanie s parciálnymi deriváciami bodových a vektorových funkcií platia obvyklé
pravidlá diferenciálneho počtu, napr. pravidlo o derivácii súčtu
(P(u,v) + a(u,v))u Pu(u,v) + au(u,v).
Od parametrického vyjadrenia P P(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)), (u,v)D plochy sa
vyžaduje, aby funkcia P(u,v) bola hladká a regulárna.
Hladkosť funkcie P(u,v) (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) znamená, že pre ňu existujú a sú sapojité
parciálne derivácie všetkých rádov. To znamená, že existujú a sú sapojité parciálne derivácie
všetkých rádov súradnicových funkcií x(u,v), y(u,v), z(u,v), čo sú bežné číselné funkcie.
Regulárnosť funkcie P P(u,v) znamená, že vektory Pu a Pv sú lineárne nezávislé pre všetky
hodnoty premenných u a v. Ekvivalentne sa to vyjadruje jednou z podmienok
Pu Pv 0 pre všetky (u,v)
hodnosť Jacobiho matice
v
u
v
u
v
u
z
z
y
y
x
x
vu
zyx
),(
),,( je 2 všade
Pri preverovaní podmienky regulárnosti konkrétnej plochy sa najčastejšie používa vektor Pu Pv. Ešte
výhodnejšia je jeho dĺžka, lebo Pu Pv 0 práve vtedy, keď Pu Pv 0.
Všimnite si, že v riadkoch Jacobiho matice funkcie P sú súradnice vektorov Pu a Pv.
Príklad 1.1
Rovina parametricky vyjadrená parametrickými rovnicami, ktoré robre poznáme z analytickej
geometrie:
P(u,v) A + ua + vb, u,vR.
Zrejme Pu(u,v) a, Pv(u,v) b, preto uvedené parametrické vyjadrenie roviny je hladké
a regulárne.
Príklad 1.2
Graf funkcie dvoch premenných (obr. 1.2):
Číselná funkcia dvoch premenných z = f(x,y), (x,y)D určuje plochu P(u,v) (u, v, f(u,v)),
(u,v)D. Podmienka regulárnosti je splnená, lebo Pu (1, 0, fu) a Pv (0, 1, fv) a tieto
vektory sú zrejme lineárne nezávislé.
V počítačovej grafike sa plocha tvorená grafom funkcie dvoch premenných zvykne nazývať terén.
Príklad 1.3
Opäť rovina, teraz vyjadrená v podobe grafu lineárnej funkcie dvoch premenných:
z ax + by + c, x,y(, +).
Odpovedajúca parametrizácia roviny je P(u,v) (u, v, au + bv + c), u,v(, +).
Príklad 1.4
Eliptický a hyperbolický paraboloid (obr. 1.3.a,b)
Tieto dve plochy sú grafy kvadratických funkcií dvoch premenných
47
2
2
2
2
2
1
b
x
a
xz .
Eliptickému paraboloidu prislúcha súčet „+“, hyperbolickému rozdiel „–“. Napíšte
odpovedajúce parametrické vyjadrenia oboch paraboloidov.
Slovo „paraboloid“ v názvoch oboch plôch sa vysvetľuje skutočnosťou, že takmer všetky „zvislé“
roviny (teda roviny rovnobežné s treťou súradnicovou osou) pretínajú plochu v parabole. Slová
„eliptický“ resp. „hyperbolický“ vyjadrujú vlastnosti rezov plochy „vodorovnými“ rovinami.
Príklad 1.5
Rotačné plochy (obr. 1.4).
V priestore je daná karteziánska sústava súradníc Oxyz a v rovine Oxz krivka Q(u)
(x(u), z(u)) uI, pričom x(u) 0 pre všetky u. Rotáciou tej krivky okolo osi z pre všetky
hodnoty uhla v0,2 vznikne plocha s parametrickým vyjadrením
P(u,v) (x(u) cosv, x(u) sinv, z(u)), (u,v)I 0,2.
Krivka Q(u) sa nazýva profil rotačnej plochy.
Bod Q(u) (x(u), z(u)) z roviny Oxz má „priestorové“ súradnice (x(u), 0, z(u)). Pripomeňme rovnice
otočenia okolo osi Oz o uhol v:
x x cosv y sinv, y x sinv y cosv, z z,
Keď do nich dosadíme x x(u), y 0, z z(u), získame bod P(u,v) (x(u) cosv, x(u) sinv, z(u)).
Podmienka x(u) 0 v definícii rotačnej plochy znamená, že profilová krivka leží v „pravej“ polrovine
roviny Oxz. Na zaradenie tejto podmienky do definície sú dva dôvody:
1. Je zbytočné, aby profilová krivka zasahovala do „ľavej“ polroviny roviny Oxz, lebo v nej sa body
profilovej krivky ocitnú po otočení okolo osi z o uhol v .
2. Ak by sa body profilovej krivky nachádzali v ľavej aj pravej polrovine, krivka by pretínala
súradnicovú os z. Inými slovami, na profilovej krivke by ležal bod s nulovou súradnicou x. Lenže
odpovedajúci bod rotačnej plochy nespĺňa podmienku regulárnosti, lebo pre x(u) 0 platí
Pv(u,v) (x(u) sinv, x(u) cosv, 0) (0, 0, 0) 0.
Príklad 1.6
Guľová plocha (bez „severného a južného pólu“, obr. 1.5.a)
je rotačná plocha, ktorej profilom je polkružnica bez okrajových bodov Q(u) (rcosu, rsinu),
u(–/2, /2), teda x(u) r cosu, y(u) r sinu:
P(u,v) (r cosu cosv, r cosu sinv, r sinu), (u,v) (–/2, /2) 0,2.
Príklad 1.7
Torus alebo tiež anuloid (obr. 1.5.b)
je rotačná plocha, ktorej profilom je kružnica Q(u) = (a b cosu, b sinu), u0, 2, pričom
a b 0:
P(u,v) = ((a b cosu) cosv, (a b cosu) sinv, b sinu), (u,v) 0,2 0,2.
Úloha 1.1
Skúmajte hladkosť a regulárnosť torusu.
48
Príklad 1.8
Priamkové plochy (obr. 1.6):
V priestore je daná krivka Q(u), uI (riadiaca krivka priamkovej plochy) a všade nenulová
vektorová funkcia a(u), uI. Priamková plocha je vyjadrená funkciou
P(u,v) = Q(u) va(u), (u,v)IR.
Pri pevnom u a premennom v bod P(u,v) prebieha priamku určenú bodom Q(u) a vektorom
a(u). Táto priamka sa nazýva povrchová priamka (skrátene površka) priamkovej plochy. Platí
Pu(u,v) = Q(u) va(u), Pv(u,v) = a(u).
Aby bola splnená podmienka regulárnosti, definičný obor parametrického vyjadrenia
priamkovej plochy sa niekedy zmenšuje na interval IJ , kde J je vhodný interval na číselnej
osi.
Priamkovú plochu intuitívne chápeme ako vyjadrenie pohybu priamky v priestore: Pohybujúca
priamka je určená pohybujúcim sa bodom Q(u) a pohybujúcim sa vektorom a(u).
Nasledujú tri konkrétne príklady priamkových plôch. Upozorňujeme, že pojmy „valcová plocha“
a „kužeľová plocha“, ktoré sa bežne chápu ako „rotačná valcová plocha“ a „rotačná kužeľová
plocha“, sa v tomto texte ponímajú v širšom význame, keď určujúcou krivkou môže byť ľubovoľná
krivka, nielen kružnica.
Príklad 1.9
Valcová plocha (obr. 1.7)
je priamková plocha P(u,v) = Q(u) va(u), pre ktorú sú všetky vektory a(u) lineárne závislé.
Najjednoduchší prípad je, keď funkcia a(u) je konštantná. Môžeme to dosiahnuť vždy, stačí
vektor a(u), ktorý má konštantný smer, nahradiť vektorom a(u)/a(u). Ten má rovnaký smer
ako vektor a(u) a konštantnú dĺžku 1.
Všetky povrchové priamky valcovej plochy sú navzájom rovnobežné. Ak je riadiacou krivkou
kružnica ležiaca v rovine kolmej na smer površiek, vznikne rotačná valcová plocha.
Parametrické vyjadrenie rotačnej valcovej plochy ako rotačnej plochy s profilom Q(u) = (r,u),
uR je
P(u,v) = (r cosv, r sinv, u), (u, v) R 0,2.
Príklad 1.10
Kužeľová plocha (obr. 1.8)
je priamková plocha, ktorej všetky površky prechádzajú jedným bodom. Nazývame ho vrchol
kužeľovej plochy.
Kužeľovú plochu s vrcholom V môžeme parametricky vyjadriť napríklad v tvare
P(u,v) = Q(u) v(V – Q(u))
teda pre a(u) = V – Q(u). Iná možnosť je položiť a(u) Q(u) – V a za riadiacu krivku vziať
degenerovanú krivku R(u) V pre všetky u. Takto získame iné parametrické vyjadrenie
kužeľovej plochy
P(u,v) = V v(Q(u) – V)
Ak je riadiacou krivkou kružnica a vrchol V leží na priamke idúcej stredom kružnice kolmo
na rovinu kružnice, vznikne rotačná kužeľová plocha. Parametrické vyjadrenie rotačnej
kužeľovej plochy ako rotačnej plochy s profilom Q(u) = (u, cu), uR je
P(u,v) = (u cosv, u sinv, cu), (u, v) R 0,2.
49
Príklad 1.11
Ešte raz hyperbolický paraboloid.
V parametrickom vyjadrení z príkladu 1.4 P(u,v) = (u, v, ½(u2/a
2 v
2/b
2)), (u, v)R R
vykonajme substitúcie u = a(p q), v = b(p q). Dostaneme nové parametrické vyjadrenie
hyperbolického paraboloidu
Q(p,q) = (ap aq, bp bq, 2pq), (p, q)R R
Prepíšme ho do obvyklej symboliky P, u, v (teda namiesto Q napíšeme P atď.)
P(u,v) = (au av, bu bv, 2uv)
a upravme do tvaru bod plus vektor
(1.1) P(u,v) = (au, bu, 0) v(a, –b, 2u)
Zo vzorca (1.1) vyplýva, že hyperbolický paraboloid je priamková plocha určená riadiacou
krivkou Q(u) = (au, bu, 0) a vektorovou funkciou a(u) = (a, –b, 2u). Riadiaca krivka Q(u) je
priamka ležiaca v rovine súradníc x, y a povrchové priamky sú priečky mimobežných priamok
Q(u) = (au, bu, 0) a R(u) Q(u) a(u) = (a au, –b bu, 2u)
spájajúce bod Q(u) s bodom R(u). Všetky povrchové priamky sú rovnobežné s rovinou
x/a y/b = 0, lebo v nej ležia všetky vektory a(u) = R(u) Q(u) = (a, –b, 2u), uR.
Príklad 1.11 možno zovšeobecniť: Pre každé dve parametricky vyjadrené mimobežky Q(u) = A ua,
R(u) = B ub je priamková plocha, ktorej površky spájajú bod Q(u) s bodom R(u), hyperbolický
paraboloid.
Parametrické vyjadrenie uvažovanej priamkovej plochy je
P(u,v) Q(u) vR(u) Q(u) Q(u) v(B A) u(b a)
Všetky jej površky sú rovnobežné s rovinou, v ktorej ležia vektory B A a b a
Geometrickejšie to možno povedať aj takto: Dané sú dve mimobežné priamky a rovina s nimi
rôznobežná. Vtedy všetky priečky mimobežiek rovnobežné s danou rovinou sú povrchové priamky
hyperbolického paraboloidu. (Každú takú priečku zostrojíme tak, že vezmeme rovinu rovnobežnú s
danou rovinou, zostrojíme jej priesečníky s obomi mimobežkami a spojíme ich priamkou.)
50
Lekcia 8
Základnou metódou skúmania plôch bude štúdium vlastností kriviek, ktoré na tej ploche ležia. V tejto
kapitole si pripravíme niektoré nástroje na túto činnosť.
2. Krivky na ploche
Krivka na ploche P(u,v), (u,v)D sa zadáva tak, že za parametre u a v bodu plochy
sa dosadia funkcie premennej t, teda u = u(t), v = v(t), tI. Vznikne krivka s parametrickým
vyjadrením
(2.1) Q(t) = P(u(t), v(t)), tI.
Všetky jej body sú súčasne bodmi plochy. Rovnice
(2.2) u = u(t), v = v(t), tI
sa nazývajú parametrické rovnice krivky na ploche.
Krivka na ploche vznikne teda tak, že sa najprv vezme nejaká krivka R(t) = (u(t), v(t))
ležiaca v oblasti parametrov plochy D R2 a táto sa parametrizáciou P prenesie na plochu
(obr. 2.1).
Jednoduchými ale veľmi dôležitými príkladmi takých kriviek sú tzv. u–krivky Q(u) =
P(u,v0) a v–krivky R(v) = P(u0,v), ktoré sa spoločne nazývajú súradnicové krivky (obr. 2.2).
Názov u-krivka vyjadruje skutočnosť, že v parametrickom vyjadrení plochy ostala iba
premenná u, v je už konštanta. Podobne pre v-krivku.
Každým bodom plochy P(u0,v0) prechádza jedna u–krivka a jedna v–krivka.
Plochu si teda môžeme predstaviť ako v priestore rozloženú látku (oblek, záclonu, lietajúci koberec,
...) utkanú z u-kriviek a z v-kriviek. Ak z nekonečne veľa súradnicových kriviek vyberieme iba konečný
počet, získame tzv. drôtený model plochy (wire-frame model), ktorý je veľmi populárny v počítačovej
grafike. Je to matematický model takmer všetkých drotárskych výrobkov.
Príklad 2.1
Súradnicové krivky na rotačnej valcovej ploche.
u–krivkami na rotačnej valcovej ploche P(u,v) = (rcosv, rsinv, u), (u,v)(,)0,2 sú
povrchové priamky Q(u) = P(u,v0) = (rcosv0, rsinv0, u), u(,); v–krivkami sú kružnice
R(v) = P(u0,v) = (rcosv, rsinv, u0), v0,2 ležiace v rovinách z u0 0 kolmých na os z.
Príklad 2.2
Skrutkovica na rotačnej valcovej ploche.
Po substitúcii
u = at, v = t
51
do parametrického vyjadrenia rotačnej valcovej plochy P(u,v) = (rcosv, rsinv, u) vznikne
skrutkovica
Q(t) = (rcost, rsint, at)
ležiaca na uvažovanej ploche.
Príklad 2.3
Súradnicové krivky na paraboloidoch z príkladu 1.4 (obr. 1.3a,b)
Uvažujeme dve plochy s parametrickými vyjadreniami
(2.3) P(u,v) = (u, v, ½ (u2/a
2 ± v
2/b
2)), u,v(, +)
Pripomíname, že v alternatíve „±“ súčet „“ prislúcha eliptickému paraboloidu a rozdiel „“
hyperbolickému paraboloidu.
Na oboch paraboloidoch sú u–krivkami aj v–krivkami paraboly
Q(u) = P(u,v0) = (u, v0, ½ (u
2/a
2 ± v0
2/b
2)), u(, +)
R(v) = P(u0,v) = (u0, v, ½ (u02/a
2 ± v
2/b
2)), v(, +)
Z parametrického vyjadrenia v-krivky R(v) vidíme, že ide o rez plochy rovinou x u0 0.
Všetky v-krivky sú navzájom zhodné, lebo každá vznikne z paraboly P(0,v) (0, v, ±½ v2/b
2)
posunutím o vektor so súradnicami (u0, 0, ½ u02/a
2):
P(u0,v) = (u0, v, ½ (u02/a
2 ± v
2/b
2)) = (0, v, ±½ v
2/b
2) (u0, 0, ½ u0
2/a
2).
Eliptický aj hyperbolický paraboloid vzniká teda takto: V rovine y 0 máme danú parabolu
Q0(u) = (u, 0, ½ u2/a
2), u(, +)
a v rovine x 0 parabolu
R0(v) = (0, v, ±½ v2/b
2), v(, +)
Keď parabolu R0(v) posúvame v priestore tak, aby sa jej vrchol R(0) pohyboval po parabole
Q0(u), dostaneme v-krivky paraboloidu (2.3). Pritom pre eliptický paraboloid ležia obe
paraboly Q0(u) a R0(v) v jednom polpriestore vzhľadom na rovinu z 0 (osi parabol sú
rovnako orientované), pre hyperbolický paraboloid ležia paraboly Q0(u) a R0(v) v opačných
polpriestoroch vzhľadom na rovinu z 0 (osi parabol sú opačne orientované).
Podobne, u-krivky oboch paraboloidov sú paraboly ležiace v rovine y v0 0.
Príklad 2.4
Súradnicové krivky na hyperbolickom paraboloide z príkladu 1.11 (pozri posledný obrázok k
plochám)
Uvažujeme iné parametrické vyjadrenie hyperbolického paraboloidu
P(u,v) = (au av, bu bv, 2uv), u,v(, +)
Teraz sú u–krivky aj v–krivky priamky
Q(u) = P(u,v0) = (au av0, bu bv0, 2uv0), u(, +)
R(v) = P(u0,v) = (au0 av, bu0 bv, 2u0v), v(, +)
To znamená, že každým bodom P(u0,v0) hyperbolického paraboloidu prechádzajú dve priam-
ky ležiace na ploche. Táto vlastnosť plochy sa niekedy využíva v pozemnom staviteľstve pri
zastrešovaní rozsiahlych objektov. Príkladom je športová hala v Bratislave na Pasienkoch. Jej
strecha má tvar časti hyperbolického paraboloidu.
52
Inou kvadratickou plochou, ktorej každým bodom prechádzajú dve priamky ležiace na ploche, je
jednodielny hyperboloid. Jeho štandardná rovnica je
x2/a
2 y
2/b
2 z
2/c
2 1 = 0
(Pozri poslednú stranu obrázkov.) Pre a b máme rotačný jednodielny hyperboloid, ktorý vzniká z
hyperboly s rovnicou x2/a
2 z
2/c
2 1 = 0 v rovine y = 0 rotáciou okolo osi z. Všeobecný jednodielny
hyperboloid vznikne z rotačného jednodielneho hyperboloidu afinnou transformáciou (škálovaním).
Skúmajme dotykový vektor krivky ležiacej na ploche. Začneme so súradnicovými
krivkami. Dotykovým vektorom u–krivky Q(u) = P(u,v0) v momente u0 je vektor parciálnej
derivácie Pu(u0,v0), analogicky pre v–krivky (obr. 2.2).
Z matematickej analýzy je známy vzorec pre deriváciu zloženej funkcie tvaru g(t)
f((t), (t)), ktorej vonkajšia zložka je funkcia z f(x, y):
)())(),((
)())(),((
)( tx
ttft
x
ttftg
Keď ho aplikujeme na súradnice bodovej funkcie Q(t) = P(u(t), v(t)), dostaneme dotykový
vektor všeobecnej krivky na ploche
(2.4) Q(t) = Pu(u(t), v(t)) u(t) Pv(u(t), v(t)) v(t)
skrátene vektor
Q = Pu u Pv
v
To znamená, že dotykový vektor krivky na ploche je lineárnou kombináciou vektorov Pu a Pv
(s koeficientmi u a v), preto leží v rovine určenej bodom P(u,v) a vektormi Pu(u,v) a Pv(u,v).
Táto rovina sa nazýva dotyková rovina plochy v bode P(u,v) (obr. 2.3). Označujeme ju (u,v).
Podmienka regulárnosti parametrického zadania plochy zabezpečuje korektnosť
definície dotykovej roviny v každom bode plochy (vektory určujúce rovinu musia byť
lineárne nezávislé).
Geometricky môžeme teda dotykovú rovinu plochy v danom bode vyjadriť ako
zjednotenie dotyčníc všetkých kriviek, ktoré ležia na danej ploche a prechádzajú daným
bodom.
Parametrické vyjadrenie dotykovej roviny plochy v bode P(u,v) vyplýva priamo z jej
definície:
(2.5) (u,v): X = P(u,v) r Pu(u,v) s Pv(u,v), r, s R.
Vystupujú v ňom štyri parametre u, v a r, s. Prvé dva parametre u, v určujú bod plochy, v kto-
rom sa dotyková rovina (u,v) uvažuje, druhé dva parametre r, s vyjadrujú polohu bodu X
v rovine (u,v).
Rovnicu dotykovej roviny plochy v bode P(u,v) získame ľahko, lebo poznáme jeden jej bod (a
síce bod P(u,v)) a tiež vektor na ňu kolmý (a to vektor Pu(u,v) Pv(u,v)). Vtedy
(2.6) (u,v): (Pu(u,v) Pv(u,v)) (X P(u,v)) = 0.
Rovnicu dotykovej roviny sme zapísali pomocou skalárneho súčinu, teda v tvare
n (X A) = 0,
kde n je normálový vektor roviny a A je bod, ktorým rovina prechádza.
Priamka idúca bodom P(u,v) kolmo na dotykovú rovinu (u,v) sa nazýva normála plochy
v bode P(u,v). Určená je bodom P(u,v) a vektorom Pu(u,v) Pv(u,v) (obr. 2.5). Každá rovina,
53
ktorá obsahuje normálu plochy v bode P(u,v), sa nazýva normálová rovina plochy v bode
P(u,v).
V každom bode plochy existuje práve jedna normála a nekonečne veľa normálových rovín.
Vektor normály plochy v bode P(u,v) je vektor
vu
vu
PP
PPvu
),(m
Je to jednotkový vektor, ktorý je smerovým vektorom normály plochy, čiže je kolmý na
dotykovú rovinu plochy. Považujeme ho za kolmý na plochu. Vektorová funkcia m(u,v),
(u,v)D vyjadruje orientáciu plochy.
Výpočet vektora normály je veľmi jednoduchý, preto príklady vektora normály plochy
spolu s nadväzujúcimi výpočtami uvedieme až v nasledujúcej kapitole.
Parametrické vyjadrenie plochy P(u,v) vytvára v každej dotykovej rovine (u,v) afinnú
sústavu súradníc so začiatkom P(u,v) a so súradnicovými vektormi Pu(u,v), Pv(u,v). Súradnice
premenného vektora u z dotykovej roviny (u,v) sa v spomenutej sústave súradníc tradične
označujú symbolmi du, dv. Tieto symboly sú síce zapísané dvomi písmenami, tvoria však
ďalej nedeliteľné celky, preto ich vo vzorcoch spravidla nedávame do zátvoriek. Na základe
definície súradníc vektora dostávame rovnosť u du Pu dv Pv. Je zvykom zapisovať ju
v trochu inej podobe
(2.7) u Pu du Pv
dv
Pravá strana rovnosti (2.7) má formálne tvar diferenciálu funkcie dvoch premenných
P(u,v). Zdôrazňujeme však, že jej zmysel je iný: Symboly du a dv nie sú diferenciály funkcií
u a v, ale označenie pre súradnice ľubovoľného vektora z dotykovej roviny plochy v sústave
súradníc P, Pu, Pv.
V ďalšom skúmaní plôch budú veľmi dôležité dve kvadratické formy v dotykovej rovine. Pripomeňme,
že pod kvadratickou formou v rovine rozumieme funkciu, ktorá vektoru x so súradnicami (x, y)
priraďuje číslo tvaru
(*) f(x, y) Ax2 2Bxy Cy
2.
Spravidla predpokladáme, že forma je nenulová, čo znamená, že aspoň jeden z koeficientov A, B, C je
rôzny od nuly. Prostredný člen 2Bxy obsahuje činiteľ 2 preto, aby nadväzujúce vzorce boli
jednoduchšie.
Pri plochách sa koeficienty aj premenné kvadratických foriem zapisujú inými symbolmi ako v bežnom
zápise (*), navyše koeficienty závisia od parametrov u, v. Kvadratické formy na ploche majú teda tvar
(**) A(u,v) du2 2B(u,v) du dv C(u,v) dv
2
V jazyku blízkom fyzike by sme hovorili o poli kvadratických foriem. Podobne by sme mohli hovoriť
o poliach dotykových vektorov parciálnych derivácií Pu(u,v), Pu(u,v), o poli normálových vektorov
m(u,v) atď.
Prvá základná forma plochy v bode P(u,v) je kvadratická forma v dotykovej rovine
(u,v), ktorá ľubovoľnému vektoru u = Pu du Pv
dv z dotykovej roviny (u,v) priraďuje číslo
(2.8) I(u) = u2 = uu = E du
2 2F du dv G dv
2.
Písmeno „I“ v symbole prvej základnej formy plochy vyjadruje rímsku číslicu 1, ktorá súvisí so slovom
„prvá“ v názve „prvá základná forma plochy“.
54
Koeficienty E = E(u,v), F = F(u,v) a G = G(u,v) sme získali roznásobením vektorov
(Pu du Pv
dv)(Pu du Pv
dv)
preto pre ne platí
E = E(u,v) = Pu(u,v)Pu(u,v)
(2.9) F = F(u,v) = Pu(u,v)Pv(u,v)
G = G(u,v) = Pv(u,v)Pv(u,v).
Pre prvú základnú formu plochy sa často používa označenie ds2. Ako funkciu číselných
premenných ju môžeme chápať ako funkciu dvoch premenných I(du,dv) resp. štyroch
premenných I(u,v du,dv), kde prvé dve premenné určujú bod P(u,v) plochy a prejavujú sa
v koeficientoch E(u,v), F(u,v) a G(u,v) a druhé dve premenné du, dv vyjadrujú dotykový
vektor plochy v bode P(u,v), na ktorý sa aplikuje skalárna mocnina.
Príklad 2.3
Prvá základná forma guľovej plochy s parametrickým vyjadrením
P(u,v) = (r cosu cosv, r cosu sinv, r sinu).
Máme
Pu (r sinu cosv, r sinu sinv, r cosu),
Pv (r cosu sinv, r cosu cosv, 0),
preto pre koeficienty prvej základnej formy guľovej plochy s daným parametrickým
vyjadrením platí
E = PuPu r2, F = PuPv = 0, G = PvPv = r
2 cos2u.
Prvá základná forma guľovej plochy je
I(u) r2 du
2 r
2 cos2u dv
2.
V nasledujúcej kapitole zavedieme ešte tzv. druhú základnú formu plochy. Obe tieto
formy využijeme pri skúmaní plochy. Samotná prvá základná forma plochy sa používa pri
meraní na ploche. Jej prostredníctvom, teda pomocou jej koeficientov, môžeme vyjadriť tieto
čísla spojené s objektmi na ploche:
dĺžka krivky na ploche,
uhol, pod akým sa pretínajú dve krivky na ploche a
obsah plochy resp. jej časti.
Napríklad pre dĺžku krivky Q(t) = P(u(t), v(t)), ta,b platí
b
a
b
a
b
a
dttQIdttQdttQl ))(( )( )( 2
dttvtvtuGtvtutvtuFtutvtuE
b
a
22 )())(),(()()())(),((2)())(),(( .
Vidíme teda, že ak je na ploche P(u,v) daná krivka prostredníctvom funkcií u u(t) a v v(t), tak jej
dĺžku môžeme vyjadriť pomocou koeficientov E, F, G prvej základnej formy plochy a pomocou
derivácií funkcií u a v. Takto je krivka aj jej dĺžka vyjadrená iba prostredníctvom parametrov u, v,
ktoré môžeme považovať za krivočiaru sústavu súradníc na ploche.
Pre nedostatok priestoru ďalšie informácie o meraní na ploche vynechávame.
55
Lekcia 9
V tejto lekcii začíname skúmať krivosť plochy. Podrobnejšiu geometrickú charakterizáciu použitého
postupu odložíme do vety 4.1 z ďalšej lekcie.
3. Normálová krivosť plochy – definícia
Parametricky je daná plocha P(u,v), (u,v)D. Pripomeňme, že vektor normály plochy
v bode P(u,v) je vektor
),(),( vuPP
PPvu
vu
vu
m
Je to jednotkový vektor, ktorý je smerovým vektorom normály plochy, teda je kolmý na
plochu, presnejšie na jej dotykovú rovinu.
Pomocou vektora normály plochy a parciálnych derivácií druhého rádu
parametrického vyjadrenia plochy definujeme v každom bode plochy nasledujúce tri čísla,
presnejšie tri funkcie premenných u, v:
(3.1) L = L(u,v) = Puum, M = M(u,v) = Puvm, N = N(u,v) = Pvvm
Druhá základná forma plochy v bode P(u,v) je kvadratická forma v dotykovej rovine
(u,v), ktorá ľubovoľnému vektoru u = Pudu Pvdv z dotykovej roviny (u,v) priraďuje číslo
(3.2) II(u) = L du2 2M du dv N dv
2 .
Rovnako ako v prípade prvej základnej formy plochy, aj druhú základnú formu môžeme
chápať tiež ako funkciu číselných premenných, a to ako funkciu dvoch premenných II(du,dv)
resp. štyroch premenných II(u,v du,dv). Premenné u, v sa na pravej strane rovnosti (3.2) ukrý-
vajú v koeficientoch L, M, N.
Lema 3.1
Pre nenulové lineárne závislé dotykové vektory u, v v jednom bode plochy platí
II(u)/I(u) II(v)/I(v)
Preto číslo II(u)/I(u) nezávisí od vektora u ale iba od jeho smeru.
Dôkaz Nech u Pu(u,v) du Pv(u,v) dv. Vtedy v c u Pu (c du) Pv
(c du), c 0. Preto
)(
)(
)(
)(
)())((2)(
)())((2)(
)(
)(2
2
22
22
u
u
u
u
u
u
I
II
Ic
IIc
cdvGcdvcduFcduE
cdvNcdvcduMcduL
cI
cII
Normálová krivosť plochy v bode P(u,v) v smere vektora u = Pu du Pv
dv z dotykovej
roviny (u,v) je číslo
(3.3) 22
22
2
2
)(
)()(
GdvFdudvEdu
NdvMdudvLdu
I
IIkn
u
uu
56
Normálová krivosť plochy je funkciou, pričom premennou je nenulový dotykový vek-
tor plochy. Chápeme ju tiež ako funkciu dvoch číselných premenných kn(du,dv) kn(u) resp.
ako funkciu štyroch premenných kn(u,v du,dv) kn(u), pričom u Pu(u,v) du Pv(u,v) dv.
Lema 3.1 hovorí, že, že normálová krivosť plochy v jej bode závisí iba od smeru
vektora u. Vo vete 4.1 neskôr uvidíme, že absolútna hodnota normálovej krivosti kn(u) je
krivosť krivky, ktorá vzniká ako rez plochy normálovou rovinou určenou bodom P a vektormi
m a u.
Znamienko normálovej krivosti závisí od orientácie plochy: Pri zmene orientácie
plochy sa zmení vektor m na opačný, preto podľa (3.1) sa zmenia znamienka koeficientov
druhej základnej formy plochy, a teda aj znamienko čísla II(u). Číslo I(u) sa zrejme nezmení,
preto pri zmene orientácie plochy dôjde k zmene znamienka normálovej krivosti kn(u)
II(u)/I(u).
Príklad 3.1
Rovina. Pre parametrizáciu
P(u,v) = A ua vb
platí Pu(u,v) = a, Pv(u,v) = b, z čoho vyplýva
E(u,v) = aa, F(u,v) = ab, G(u,v) = bb
Ďalej Puu(u,v) = au = 0, teda L(u,v) = Puu(u,v)m(u,v) = 0. Podobne dostaneme ďalšie rovnosti:
(3.4a) L(u,v) = M(u,v) = N(u,v) = 0
Zo vzorca (3.3) vyplýva, že normálová krivosť roviny je v každom bode a v každom smere
nulová:
(3.4b) kn(u,v,du,dv) = 0 pre všetky u, v, du, dv
Príklad 3.2
Graf funkcie z = f(x,y)
Plochu najprv vyjadríme parametricky P(u,v) = (u, v, f(u, v)). Vtedy
Pu = (1, 0, fu), Pv = (0, 1, fv)
Puu = (0, 0, fuu), Puv = (0, 0, fuv), Pvv = (0, 0, fvv)
Odtiaľ Pu Pv = (fu, fv, 1), teda
221
1,,
vu
vu
ff
ff
m . Preto
(3.5a) E = PuPu = 1 fu2, F = PuPv = fu fv, G = PvPv = 1 fv
2
(3.5b) 2 2 2 2 2 2
, , 1 1 1
uu uv vvuu
u v u v u v
f f fL P M N
f f f f f f
m
Príklad 3.3
Rovina ako graf funkcie z ax by c.
Teraz fu a, fv b, fuu fuv fvv 0, preto podľa vzorcov (3.5a) a (3.5b) platí
(3.6a) E(u,v) = 1 a2, F(u,v) = 0, G(u,v) = 1 b
2
(3.6b) L(u,v) = M(u,v) = N(u,v) = 0
57
Z výsledkov príkladov 3.1 a 3.3 vidíme, že koeficienty prvej základnej formy plochy závisia
od spôsobu jej parametrického vyjadrenia. To isté platí vo všeobecnosti aj pre koeficienty
druhej základnej formy plochy, hoci príklady 3.1 a 3.3 to nepotvrdili.
Príklad 3.4
Eliptický a hyperbolický paraboloid s parametrizáciou z ½ (x2/a
2 ± y
2/b
2).
Na základe vzorcov (3.5a) a (3.5b) máme
(3.7a) 4
2
224
2
1 , ,1b
vG
ba
uvF
a
uE
(3.7a) 242444
2
242444
2
,0 ,vaubba
aNM
vaubba
bL
.
Zameriame sa na bod P(0,0). Normálová krivosť v ňom je
)(
),,0,0(2222
2222
dvduba
dvadubdvdukn
.
Normálová krivosť v bode P(0,0) závisí od smeru vektora u. Napríklad
pre u Pu Pu 1 Pv
0, teda pre du 1 a
dv 0 je kn(0,0,1,0) 1/a
2
pre u Pv Pu 0 Pv
1, teda pre du 0 a
dv 1 je kn(0,0,0,1) ±1/b
2
Pre rotačný paraboloid z ½(x2/a
2 y
2/a
2), ktorý vznikne rotáciou paraboly x
2 = 2a
2z okolo
osi z, platí
(3.8) 2224
2222 1
)(),,0,0(
advdua
dvaduadvdukn
Na rozdiel od hyperbolického a všeobecného eliptického paraboloidu, normálová krivosť
rotačného paraboloidu v bode P(0,0) je vo všetkých smeroch rovnaká.
Príklad 3.5
Rotačné plochy Ich štandardné parametrické vyjadrenie je
P(u,v) = (x(u) cosv, x(u) sinv, z(u)), x(u) 0
Vtedy Pu = (x cosv, x sinv, z), Pv = x(sinv, cosv, 0), Pu Pv = x(z cosv, z sinv, x) a
m = (z cosv, z sinv, x) / (x2 z
2)½. Ďalej
(3.9a) E = x2 z
2, F = 0, G = x
2
Puu = (x cosv, x sinv, z), Puv = x(sinv, cosv, 0), Pvv = x(cosv, sinv, 0) a
(3.9b) 2222
,0 ,zx
zxNM
zx
zxzxL
Príklad 3.6
Anuloid je rotačná plocha s parametrickým vyjadrením
P(u,v) = ((a bcosu) cosv, (a bcosu) sinv, b sinu), a b 0, u, (príklad 1.7).
Na základe vzorcov (3.9a) a (3.9b) z predchádzajúceho príkladu platí
E = b2, F = 0, G = (a bcosu)
2
L = b, M = 0, N = (a bcosu)cosu
58
Úloha 3.1
Vypočítajte normálovú krivosť anuloidu v jeho ľubovoľnom bode.
[kn(u,v,du,dv) (b du2 (a bcosu) cosu dv
2)/(b
2du
2 (a bcosu)
2 dv2)]
Príklad 3.7
Guľová plocha s parametrickým vyjadrením P(u,v) = (r cosu cosv, r cosu sinv, r sinu).
Na základe príkladu vzorcov (3.9a) a (3.9b) máme
(3.10a) E = r2, F = 0, G = r
2 cos2u
(3.10b) L = r, M = 0, N = r cos2u
Pomocou vzorca (3.3) sa ľahko presvedčíme, že normálová krivosť guľovej plochy s polo-
merom r je v každom bode a v každom smere rovnaká:
(3.11) kn = 1/r
Úloha 3.2
Vypočítajte prvú a druhú základnú formu a normálovú krivosť hyperbolického paraboloidu
P(u,v) = (u v, u v, 2uv) z príkladu 1.11 pre a b 1.
[I(u,v,du,dv) 2[(1 2v2) du
2 4 u v du dv (1 2v
2) dv
2),
II(u,v,du,dv) 4du dv / [(1 2u2 2v
2)].
59
Lekcia 10
V tejto lekcii získame geometrickú charakterizáciu normálovej krivosti plochy a klasifikáciu bodov
plochy. Budeme tiež skúmať rozloženie plochy vzhľadom na dotykovú rovinu. Na záver sa zmienime o
Gaussovej krivosti plochy.
4. Normálová krivosť plochy – vlastnosti
Lema 4.1
Pre krivku Q(t) = P(u(t), v(t)), tI na ploche P(u,v) platí II(Q) Qm .
Dôkaz Začneme s rovnosťou
(4.1) Q(t) = (Puu u
2 2Puv u
v Pvv v
2) (Pu
u Pv v)
Pri jej odvodení si treba uvedomiť, že Q(t) [Pu(u(t), v(t)) u(t) Pv(u(t), v(t)) v(t)], pričom
Pu(u(t), v(t)) je zložená funkcia s vonkajšou zložkou Pu(u,v) a s vnútornými zložkami u(t),
v(t). Pv(u(t), v(t)) podobne. Rovnosť (4.1) vznikne kombináciou vety o derivácii súčinu s
vetou o derivácii zloženej funkcie, ktorej vonkajšia zložka je funkciou dvoch premenných,
takto:
(Puu) = (Pu) u Pu(u) (Puu
u Puv v) u Pu
u = Puu u
2 Puv
u v Pu u
Podobne (Pvv) Puv u v Pvv
v2 Pv
v. Rovnosť (4.1) je dokázaná.
Pretože m Pu, Pv, máme (Pu u Pv
v)m = 0, preto
Qm = (Puum) u2 2 (Puvm) u v (Pvvm) v
2
Podľa definície (3.1) a (3.2) druhej základnej formy plochy tak platí
Qm = L u2 2M u v N v
2 II(Q)
Lema dáva geometrický význam druhej základnej formy plochy:
Bod Q spolu s vektorom m vytvára karteziánsku sústavu súradníc na normále plochy, preto vektor
(Qm)m je kolmý priemet vektora Q do normály. Hodnota druhej základnej formy plochy II(Q) je
teda normálová zložka vektora Q.
Normálová rovina (u) plochy v smere vektora u je určená bodom P = P(u,v) a vek-
tormi m = m(u,v) a u, teda (u) je rovina Pmu. Táto rovina pretína plochu v blízkosti bodu P
v krivke, ktorá sa nazýva normálový rez plochy (obr. 3.2). Pomocou nej môžeme geometricky
charakterizovať normálovú krivosť plochy:
Veta 4.1
Nech u je dotykový vektor plochy v bode P a nech m označuje polpriestor ohraničený
dotykovou rovinou v bode P, do ktorého smeruje vektor m. Potom
a) kn(u) je krivosť normálového rezu plochy rovinou (u).
b) Ak kn(u) 0, tak normálový rez plochy v smere vektora u leží blízko bodu P v polpries-
tore m. Teda v smere vektor u sa plocha prikláňa k vektoru m (obr. 3.3.a).
60
c) Ak kn(u) 0, tak normálový rez plochy v smere vektora u leží blízko bodu P v
polpriestore opačnom k m. Teda v smere vektor u sa plocha odkláňa od vektora m (obr.
3.3.b).
Dôkaz (obr. 3.3.c). Nech Q(s) P(u(s),v(s)) je prirodzená parametrizácia normálového rezu,
pričom Q(0) je skúmaný bod plochy. Pretože rezová krivka leží v rovine (u) Pum, ležia
v nej aj vektory Q(0) a Q(0). Pretože Q(0) Q(0) a m u a vektory Q(0) a u sú lineárne
závislé, sú lineárne závislé aj vektory Q(0) a m, preto Q(0) je násobkom vektora m. Pretože
vektor m je jednotkový, platí Q(0) [Q(0)m]m. Z lemy 4.1 teda vyplýva
Q(0) II(Q(0))m
Pretože Q(s) je prirodzená parametrizácia krivky, pre jej krivosť platí k(s) Q(s). Preto
k(0) II(Q(0))m II(Q(0)) II(Q(0)) / I(Q(0)) kn(Q(0)) kn(u).
Tretia rovnosť vyplýva z rovností I(Q(s)) Q(s)2 1, piata z lemy 3.1. Dokázali sme časť
a).
Nech kn(u) 0. Podľa časti a) je Q(0) neinflexný bod krivky Q(s). Pre jej vektor hlavnej
normály platí n(0) Q(0)/Q(0), lebo Q(s) je prirodzená parametrizácia. Vzhľadom na lemu
4.1 teda máme
mm
mn
))0((
))0((
)0(
)0()0(
QII
QII
Q
Q
pričom výsledné znamienko sa rovná znamienku čísla II(Q(0)), čo je znamienko pre kn(u).
Tvrdenia b) a c) vyplývajú teraz z tejto známej vlastnosti rovinných kriviek: V blízkosti
neinflexného bodu krivka lokálne leží v polrovine určenej dotyčnicou a vektorom hlavnej
normály (veta 4.4. z lekcie 4).
V nasledujúcich troch príkladoch určíme normálovú krivosť (presnejšie iba jej absolútnu
hodnotu) jednoduchých plôch pomocou krivosti normálových rezov.
Príklad 4.1 Rovina
Normálový rez roviny je vždy priamka, a tá má nulovú krivosť. Takto opätovne zisťujeme, že
normálová krivosť roviny je v každom bode a v každom smere nulová (príklady 3.1 a 3.3).
Príklad 4.2 Rotačný paraboloid
vznikajúci rotáciou paraboly x2 = 2a
2z okolo osi z. Všetky jeho normálové rezy vo vrchole
(0,0,0) sú paraboly zhodné s profilovou parabolu x2 = 2a
2z, preto normálová krivosť
rotačného paraboloidu vo vrchole je až na znamienko krivosť paraboly x2 = 2a
2z vo vrchole,
teda číslo 1/a2. Potvrdil sa výsledok z príkladu 3.4, vzorec (3.8). V tom príklade sme
pracovali s parametrickým vyjadrením plochy, preto tá plocha bola orientovaná a jej
normálová krivosť mala teda určené znamienko. V tomto príklade orientácia plochy nie je
určená, preto nie je určené ani znamienko jej normálovej krivosti.
Príklad 4.3 Guľová plocha
s polomerom r. Všetky jej normálové roviny prechádzajú stredom guľovej plochy, preto
všetky normálové rezy sú kružnice s polomerom r. Potvrdil sa výsledok príkladu 3.7, vzorec
(3.11): Normálová krivosť guľovej plochy je konštanta 1/r.
Komentár k znamienku je rovnaký ako v predchádzajúcom príklade.
61
Bod P(u,v) sa nazýva eliptický bod plochy resp. hyperbolický bod plochy podľa toho,
či je v ňom číslo = LN M2 kladné alebo záporné.
Pre úplnosť dodajme, že bod plochy, v ktorom = LN M 2 0, sa nazýva parabolický bod
plochy, ak je jedno z čísel L, M, N nenulové, alebo planárny bod plochy, ak L M N 0.
Príklad 4.4 Rovina
(príklad 3.1, vzorec (3.4a)): L M N 0 všade, preto všetky body roviny sú planárne.
Príklad 4.5 Guľová plocha
(príklad 3.7): Z rovností (3.10.b) dostávame = LN M 2 = r2 cos
2u 0. Teda všetky body
guľovej plochy sú eliptické.
Príklad 4.6 Anuloid
(príklad 3.6): V záujme jednoduchšieho zápisu výsledku zmeňme obor parametra u:
u, v zostáva. Platí LN M 2 = b (a b cosu) cosu. Vzhľadom na
nerovnosti a b 0 je číslo b (a b cosu) kladné pre všetky u, preto znamienko je rovnaké
ako znamienko cosu. To znamená, že bod P(u, v) je eliptickým bodom práve vtedy, keď
u( ) a hyperbolickým bodom práve vtedy, keď u( ) (obr. 3.5). Pre u
a u je M N 0 a L 0, preto pre u a u sú všetky body parabolické.
Parabolické body vypĺňajú „najnižšiu“ a „najvyššiu“ „vodorovnú“ kružnicu na anuloide.
Úloha 4.3
Dokážte, že všetky body eliptického paraboloidu sú eliptické a všetky body hyperbolického
paraboloidu sú hyperbolické.
Poznámka o znamienku kvadratickej formy f(x, y) Ax2 2Bxy Cy
2.
Zrejme f(0, 0) 0. V algebre sa dokazuje, že
1. Ak AC B2 0, tak obe čísla A, C sú nenulové a majú rovnaké znamienka. Pre všetky (x, y) (0, 0)
je f(x, y) 0 a všetky čísla f(x, y) majú rovnaké znamienko ako čísla A, C.
2. Ak AC B2 0, tak v závislosti od (x, y) (0, 0), f(x, y) môže byť kladné, záporné alebo nulové.
V prvom prípade sa kvadratická forma nazýva definitná kvadratická forma. S týmto pojmom ste sa
možno stretli na matematickej analýze pri extrémoch funkcií dvoch premenných. Pre definitnú
kvadratickú formu je grafom odpovedajúce funkcie z Ax2 2Bxy Cy
2 eliptický paraboloid.
V druhom prípade hovoríme o indefinitnej kvadratickej forme. Grafom odpovedajúcej kvadratickej
funkcie z Ax2 2Bxy Cy
2 je hyperbolický paraboloid.
Veta 4.2
a) V eliptickom bode má normálová krivosť plochy v každom smere rovnaké znamienko,
ktoré závisí od orientácie plochy. V okolí eliptického bodu plocha leží v jednom polpriestore
vzhľadom na dotykovú rovinu (obr. 3.4.a).
b) V hyperbolickom bode je normálová krivosť kladná, záporná alebo nulová v závislosti od
smeru, v ktorom krivosť určujeme a od orientácie plochy. Plocha zasahuje do oboch
polpriestorov vzhľadom na dotykovú rovinu (obr. 3.4.b).
Dôkaz Prvá základná forma plochy je v každom bode pre všetky nenulové vektory kladná,
preto znamienko normálovej krivosti plochy kn(u) je rovnaké ako znamienko druhej
kvadratickej formy II(u). V eliptickom bode je táto forma definitná, čo znamená, že pre
62
všetky nenulové vektory u je kladná alebo pre všetky je záporná, teda všetky normálové
krivosti majú rovnaké znamienko. V hyperbolickom bode plochy je druhá základná forma
indefinitná, preto v závislosti od smeru vektora u môže byť táto forma, a teda aj normálová
krivosť plochy, kladná, nulová alebo záporná.
Tvrdenia o rozmiestnení plochy vzhľadom na dotykovú rovinu vyplývajú z už dokázaných
častí vety a z vety 4.1b, c.
Dá sa dokázať, že v každom bode plochy je normálová krivosť kn(u) = kn(du,dv)
ohraničená funkcia premenných du, dv a že nadobúda svoje extrémne hodnoty. Jej minimum
resp. maximum označujeme k1 resp. k2. Funkcia
(4.2) K = K(u,v) = k1k2
sa nazýva Gaussova krivosť plochy.
Dá sa tiež dokázať, že Gaussovu krivosť možno vyjadriť prvou a druhou základnou formou:
(4.3) 2
2
FEG
MLNK
Úloha 4.1
Dokážte, že a) Gaussova krivosť roviny je v každom bode nulová,
b) Gaussova krivosť guľovej plochy s polomerom r sa v každom bode rovná 1/r2.
[Prvú časť úlohy možno riešiť pomocou predchádzajúceho vzorca (4.3) a rovnosti (3.4a).
Možno tiež postupovať podľa definície Gaussovej krivosti (4.2), a to na základe rovnosti
kn(u,v) = 0, pozri (3.4b). Z nej totiž vyplýva k1 k2 0. Pre úlohu b) podobne. Môžeme
využiť alebo vzorce (4.3), (3.10a) a (3.10b) alebo (4.2) a (3.11).]
Úloha 4.2
Dokážte, že znamienko Gaussovej krivosť nezávisí od orientácie plochy.
Úloha 4.4
(Nepovinná úloha) a) Dokážte, že v každom bode plochy platí EG F2 0.
[Návod: Vzorec a b2 (aa)(bb) (ab)
2 aplikujte na vektory Pu a Pv. Uvedomte si tiež,
že pre nezávislé vektory a, b platí a b 0.]
b) Dokážte, že Gaussova krivosť je kladná práve v eliptickom bode plochy, záporná práve
v hyperbolickom bode a nulová práve v parabolickom alebo planárnom bode.
Na záver malá ukážka praktického využitia teórie. Naznačíme, prečo nemôžu existo-
vať dokonalé zemepisné mapy.
Uvažujme o zobrazení jednej plochy do druhej. Ak sa každá krivka na prvej ploche
zobrazí do krivky na druhej ploche s rovnakou dĺžkou, zobrazenie sa nazýva izometria plôch.
O takom zobrazení sa dá dokázať, že Gaussova krivosť v každom bode prvej plochy sa rovná
Gaussovej krivosti druhej plochy v obraze toho bodu. V úlohe 4.1a, b sa hovorí, že Gaussova
krivosť v ľubovoľnom bode roviny a Gaussova krivosť v ľubovoľnom bode guľovej plochy
sú rôzne čísla. Odtiaľ máme významný dôsledok: Neexistuje izometrické zobrazenie žiadnej
oblasti guľovej plochy na časť roviny. To znamená, že v kartografii nemožno zostrojiť mapu,
ktorá by neskresľovala vzdialenosti.
Na druhej strane existuje viacero konštrukcií máp zobrazujúcich časti povrchu gule do
roviny, pri ktorých sa zachovávajú uhly medzi krivkami resp. obsahy častí guľovej plochy
63
(tzv. uhlojavné resp. plochojavné projekcie). Poznamenajme, že mapa vytvorená uhlojavnou
projekciou je veľmi vhodná na navigáciu, lebo uhol medzi poludníkom a smerom trasy je na
mape rovnaký ako v realite.
64
Obrázky k plochám
65
66
67
68
Úlohy k lekciám 7 – 10
Úlohy k lekcii 7
Dokážte, že vo vrchole každej kužeľovej plochy
P(u,v) = Q(u) v(V – Q(u)), (u,v)I (–,)
teda v bode V P(u,1), u ľubovoľné, nie je splnená podmienka regulárnosti parametrického
vyjadrenia plochy.
(Preto sa definičný obor uvedenej parametrizácie kužeľovej plochy spravidla zmenšuje na
jednu z oblastí I (–,1) alebo I (1,), ktoré vyjadrujú „polovice“ kužeľovej plochy.)
Úlohy k lekcii 8
Helikoid je plocha s parametrickým vyjadrením
(*) P(u,v) (ucosv, usinv, av), (u, v)R2
Môžete ho uvidieť uprostred poslednej strany v obrázkovom súbore k plochám.
Intuitívne ide o točené schodište ,ktorého schody majú nulovú výšku.
Zrejme všetky jej u-krivky sú priamky, pričom pre v 0 je u-krivkou os x. Možno teda
povedať, že táto plocha vzniká pohybom priamky v priestore v závislosti od premennej vR.
Podrobnejšie: Priamka, ktorou je v štartovacej polohe (pre v 0) os x, sa v závislosti od času
v rovnomerne otáča okolo osi z a súčasne sa rovnomerne posúva v smere osi z.
Dôvodom je skutočnosť, že otočenie v priestore okolo osi z o uhol v vyjadrujú rovnice
x xcosv ysinv
y xsinv ycosv
z z
(Čiarka neznamená deriváciu, ale skutočnosť, že (x, y, z) sú súradnice obrazu bodu so
súradnicami (x, y, z).) V tomto otočení sa bod P(u,0) (ucos0, usin0, a0) (u, 0, 0), čo je
ľubovoľný bod osi x, zobrazuje do bodu so súradnicami (ucosv, usinv, 0). Tento ešte
posunieme v smere osi z o vektor (0, 0, av) a dostaneme bod
(ucosv, usinv, 0) (0, 0, av) (ucosv, usinv, av) P(u,v),
ktorý leží na priamke idúcej bodom (0, 0, av) a so smerovým vektorom (cosv, sinv, 0).
Po tomto dlhom úvode otázky o helikoide (*):
a) Spĺňajú všetky body plochy podmienku regulárnosti parametrického vyjadrenia plochy?
b) Geometricky charakterizujte v-krivky plochy (pomenujte ich).
c) Vypočítajte prvú základnú formu plochy.
69
Úlohy k lekcii 9
Pre helikoid P(u,v) (ucosv, usinv, av), a 0 vypočítajte koeficienty L, M, N druhej
základnej formy plochy.
Úlohy k lekcii 10
1 Dokážte, že všetky body eliptického paraboloidu sú eliptické a všetky body hyperbolického
paraboloidu sú hyperbolické.
2 a) Dokážte, že v každom bode plochy platí EG F2 0.
[Návod: Vzorec a b2 (aa) (bb) (ab)
2 aplikujte na vektory Pu a Pv. Uvedomte si tiež,
že pre nezávislé vektory a, b platí a b 0.]
b) Dokážte, že v eliptickom bode plochy je Gaussova krivosť kladná a v hyperbolickom
záporná.
3 Bez počítania dokážte: Ak na ploche leží priamka, tak normálová krivosť plochy v bode tej
priamky a v jej smere je nulová.
Návod: veta 4.1
70
Príloha 1 Vektorový súčin
Pripomenieme si základné vlastnosti vektorového súčinu. Ako hovorí jeho názov, vektorový
súčin je operácia, ktorá dvom vektorom (z trojrozmerného priestoru E3) priradí vektor.
Definovať ho budeme pomocou karteziánskej sústavy súradníc.
Definícia Vektorovým súčinom vektorov a (a1, a2, a3), b (b1, b2, b3) z E3 je vektor
(1)
21
21
31
31
32
32
122113312332 ,,,,bb
aa
bb
aa
bb
aabababababababa .
Poznamenajme, že tento vektor závisí od orientácie sústavy súradníc: Ak sa pri zmene sústavy
súradníc zmení jej orientácia, vektorový súčin vypočítaný v druhej sústave súradníc sa zmení
na opačný vektor. V geometrických aplikáciách to však spravidla nevadí.
Symbol det(u, v, w) vyjadruje determinant, ktorého riadky sú súradnice vektorov u, v, w.
Veta 1 (Základné algebraické vlastnosti vektorového súčinu)
Pre všetky vektory a, b, c E3 a pre všetky čísla kR platí
a) (a b) c a c b c , (distributívny zákon)
b) (ka) b k(a b) , („asociatívny“ zákon)
c) b a (a b) , (antikomutatívny zákon)
d) a b a, a b b ,
e) a b2 (aa)(bb) (ab)
2 ,
f) det(a, b, a b) a b2 ,
g) a b 0 vektory a, b sú lineárne závislé.
Tvrdenie e) môžeme zapísať tiež v tvare
a b2 a
2 b
2 (ab)
2 ,
alebo v tvare
a b2 a
2 b
2 (ab)
2 .
Pritom a2 aa a
2.
Veta 2 (Jednoduché aplikácie vektorového súčinu)
a) Vektor (a1, a2, a3) (b1, b2, b3) je bázou jednorozmerného vektorového priestoru riešení
sústavy nezávislých lineárnych rovníc
a1x1 a2x2 a3x3 0
b1x1 b2x2 b3x3 0
b) Vektor u v je normálový vektor roviny Auv.
c) Vektor n m je smerový vektor priesečnice rôznobežných rovín : n(X A) 0,
: m(X B) 0.
(V zápise rovnice roviny prostredníctvom skalárneho súčinu v tvare n(X A) 0 vidíme, že
rovina je určená bodom A a normálovým vektorom n.)
d) 22
222 )(sin
ba
baba
ba
baab
, ak a, b 0.
e) a b a b sinab, ak a, b 0.
f) Pre obsah rovnobežníka ABCD v E3 platí
71
S(ABCD) (B A) (D A).
g) Pre vzdialenosť bodu P od priamky Au platí
u
uu
)(,
APAP
h) Pre kladne orientované ortonormálne vektory i, j, k platí
i j k, j k i, k i j
Poznamenajme, že výraz
(2) bbab
baaabababa
222 )(),(G
sa nazýva Gramov determinant vektorov a, b. Analogicky sa tento determinant definuje pre
tri a viac vektorov. Podľa vety 1e sa dĺžka vektorového súčinu rovná druhej odmocnine
z Gramovho determinantu činiteľov.
Ešte raz zdôrazňujeme, že vektorový súčin je definovaný iba v trojrozmernom priestore.
Avšak, o dĺžke vektorového súčinu môžeme hovoriť aj v rovine, keď ju definujeme
prostredníctvom Gramovho determinantu na základe vzorca z vety 1e. Vtedy pre vektory a
(a1, a2), b (b1, b2) a a (a1, a2, 0), b (b1, b2, 0) platí
(3) a b det(a, b) a b,
kde det(a, b) je, ako obvykle, determinant zo súradníc vektorov a, b.
Týmto trikom niekedy dosiahneme jednotný zápis vzorcov pre rovinu i priestor. Ako príklad
môže poslúžiť vzorec z vety 2g, ktorý môžeme použiť aj pre vzdialenosť bodu od priamky
v rovine, ak čitateľ pravej strany interpretujeme v zmysle predošlého odstavca.
Ak je vám vektorový súčin cudzí, môžete sa s ním zblížiť prostredníctvom nasledujúcich
úloh.
Úlohy
1 Vypočítajte ab pre a) a (0,1,2), b (2,0,3), b) a (8,6,4), b (1,2,2).
2 Zjednodušte výraz (ab)(ab).
3 Dokážte, že pre vektory e1 (1,0,0), e2 (0,1,0), e3 (0,0,1) platí
e1e2 e3, e2e3 e1, e3e1 e2.
4 Určte sínus uhla vektorov a, b pre a) a (11,10,2), b (2,2,1),
b) a (2,2,1), b (2,3,2) c) a (5,10), b (2,2).
5 Dané je |a| 3, |b| 5, ab 60. Vypočítajte a) |ab| b) |(ab)(ab)|
c) |(3ab)(a3b)|.
6 Dané je |a| 3, |b| 4, ab 6. Vypočítajte |ab|.
7 Presvedčte sa, že vektory a (2,1,2), b (2,2,1) umiestnené do jedného bodu vyjadrujú
dve hrany kocky a nájdite vektor tretej hrany vychádzajúcej z toho bodu.
8 Určte vzdialenosť bodu P (2,1,6) od priamky AB, ak A (1,2,3), B (2,1,5).
9 Nájdite vektor x s dĺžkou 138, ktorý je kolmý na vektory (2,3,1), (1,1,3) a s vektorom
e1 zviera tupý uhol.
10 Dokážte rovnosti (3).
Výsledky a návody
1 a) (3,4,2) b) (20,20,10)
2 2ab
4 a) 89/45 b) 1 c) 1/5 (Druhú rovnosť z vety 5.19d možno využiť aj v dvojrozmernom
priestore.)
72
5 a) 153/2 b) 153 c) 753
6 63
7 (a b) (1,2,2)
8 1/3
9 x (8,7,5)
10 Obe strany rovnosti a b a b vyjadrite cez odpovedajúce Gramove determinantny.
Ľavú stranu rovnosti a b det(a, b) vypočítajte z definície vektorového súčinu (1).
73
Príloha 2 Kinematicky zadané krivky
V nasledujúcich úlohách uvádzame niektoré krivky, ktoré vznikajú ako dráhy pohybu bodu P
v rovine. Väčšina z nich zohrala významné úlohy v dejinách vedy a techniky.
Úlohy Zostavte parametrické vyjadrenia nasledujúcich kriviek.
1. Daná je kružnica s priemerom OA dĺžky 2a a dotyčnica p k nej v bode A. Na priamke p
zvolíme bod B. Priamka OB pretína kružnicu v bode C O. Bod P leží na úsečke OB tak, že
OP CB. Dioklesova cissoida 1 je krivka tvorená bodmi P, keď bod B prebehne priamku p.
2. Daná je kružnica k: x2 (y a/2)
2 a
2/4 0, na nej bod C (0, a) a dotyčnica p v ňom.
Priamka OD, Dk, D O pretína priamku p v bode E. Bodmi D, E vedieme priamky
rovnobežné po rade s osami Ox a Oy, P je ich priesečník. Anieziovej lokón je krivka tvorená
bodmi P, keď bod D prebehne kružnicu k.
3. Bod P sa rovnomerne pohybuje s rýchlosťou a po polpriamke OA, ktorá sa rovnomerne
otáča okolo bodu O s konštantnou rýchlosťou . Vznikne Archimedova špirála.
4. Polpriamka OA sa otáča okolo bodu O s konštantnou rýchlosťou , bod P sa po nej
pohybuje s rýchlosťou úmernou k vzdialenosti OP s konštantou a. Vznikne logaritmická
špirála 2.
5. Úsečka AB dĺžky 2a sa kĺže svojimi krajnými bodmi po súradnicových osiach, AOx,
BOy. Bod P je kolmý priemet začiatku sústavy súradníc do úsečky AB. Vznikne štvorlistová
ružica.
6. P je bod kružnice s polomerom a, ktorá sa bez preklzávania kotúľa po priamke. Vznikne
cykloida 2
.
7. Z bodu O kružnice s polomerom a vychádza priamka pretínajúca kružnicu v ďalšom bode
A. Na obe strany od bodu A sa na priamku OA nanesú úsečky AP1 a AP2 dĺžky 2b. Vznikne
Pascalov slimák 3
, pre a b kardioida (srdcovka).
8. Úsečka AB dĺžky a sa kĺže svojimi krajnými bodmi po súradnicových osiach. Bod C je
štvrtý vrchol obdĺžnika OACB, P je jeho kolmý priemet do úsečky AB. Vznikne astroida.
9. Bod P leží na kružnici s polomerom r, ktorá sa bez preklzávania zvonka kotúľa po kružnici
s polomerom R. Vznikne epicykloida.
10. Bod P leží na kružnici s polomerom r, ktorá sa bez preklzávania zvnútra kotúľa po
kružnici s polomerom R. Vznikne hypocykloida.
Pomôcky
Posunutie u v rovine o vektor u (u, v) zobrazuje bod X (x, y) do bodu X (x, y), kde
x x u, y y v.
Otočenie M, v rovine okolo stredu M (m, n) o uhol R zobrazuje bod X (x, y) do bodu
X (x, y), kde x (x m)cos (y n)sin m, y (x m)sin (y n)cos n.
1 Krivka sa dá využiť pri zdvojení kocky, čo je jedna z troch slávnych úloh antickej matematiky (kvadratúra
kruhu, zdvojenie kocky a trisekcia uhla). 2 Veľmi zaujímavá krivka, odporúčam web, napr. wiki.
3 Krivka sa nazýva po otcovi slávneho Blaisa Pascala, 1623 1662 (Pascalov trojuholník v kombinatorike,
Pascalov zákon v hydrostatike, Pascalova veta o kužeľosečkách, ..., jednotka tlaku Pa, programovací jazyk
Pascal).
74
Polárne súradnice (r, ) bodu X O s karteziánskymi súradnicami (x, y) (0, 0). r je
vzdialenosť bodu X od O a je uhol vektorov e1 (1, 0), X O. Platí (x, y) (rcos, rsin).
75
Výsledky
1. Napr. P(t) (2asin2t, 2asin
3t/cost), kde t je uhol priamky OB s osou Ox, pričom A (2a, 0).
2. Napr. P(t) (t, a3/(t
2 a
2)), teda graf funkcie y a
3/(x
2 a
2).
3. Napr. P(t) (atcost, atsint), kde t je uhol priamky OA s osou Ox v momente t.
4. Napr. P(t) (eat
cost, eat
sint), kde t je uhol priamky OA s osou Ox v momente t.
5. Napr. P(t) (asin2tcost, asin2tsint), kde t je uhol priamky AB s osou Oy.
6. Napr. P(t) = (a(t – sint), a(1 – cost)).
Kružnica sa kotúľa po osi Ox v kladnom smere. V momente t 0 je stred kružnice v bode S
S(0) (0, a) a bod P v bode O (0, 0). Parameter t je uhol vektorov e2, P(t) S(t), kde e2
(0, 1).
7. Napr. P(t) ((2acost 2b)cost, (2acost 2b)sint), kde t je uhol priamky OA s osou Ox.
Bod O je začiatok sústavy súradníc, stred danej kružnice má súradnice (a, 0).
8. Napr. P(t) (acos3t, asin
3t), kde t je uhol priamky AB s osou Ox.
9. P(t) ((R r) cos r/R t r cos (R r)/r t, (R r) sin r/R t r sin (R r)/r t).
Začiatok sústavy súradníc je v strede pevnej kružnice, bod P(t) je v momente t 0 v bode A
(R, 0).
10. P(t) ((R r) cos r/R t r cos (R r)/r t, (R r) sin r/R t r sin (R r)/r t).
Začiatok sústavy súradníc je v strede pevnej kružnice, bod P(t) je v momente t 0 v bode A
(R, 0).
Návody
1. Napr. P(t) (2asin2t, 2asin
3t/cost), kde t je uhol priamky OB s osou Ox.
2. Napr. P(t) (t, a3/(x
2 a
2)), teda graf funkcie y a
3/(x
2 a
2).
3. Bod P(t) vyjadrite v polárnych súradniciach P(t) (rcos, rsin).
4. Vzdialenosť OP(t) označme s(t). Vtedy v(t) s(t), čiže s(t) as(t). Bod P(t) vyjadrite
v polárnych súradniciach P(t) (rcos, rsin).
5. Bod P(t) vyjadrite v polárnych súradniciach P(t) (rcos, rsin).
6. P(t) ate ◦ S, t(O), kde v je posunutie v rovine o vektor v a M, je otočenie v rovine
okolo stredu M o uhol a e (1, 0).
7. Bod P(t) vyjadrite v polárnych súradniciach P(t) (rcos, rsin).
9. Kotúľajúca kružnica sa otáča okolo stredu S (R r, 0) s rýchlosťou 1 v kladnom smere
a súčasne okolo bodu O s rýchlosťou m r/R v kladnom smere. Teda P(t) O, m ◦ S, t(A), kde
M, je otočenie v rovine okolo stredu M o uhol .
10. Pozri návod k predchádzajúcej úlohe, pozor však na smery otáčania kružníc.
76
Príloha 3 O čom je diferenciálna geometria?
Diferenciálna geometria je najmä o krivkách a plochách všeobecného tvaru, teda krivkách
a plochách, ktoré sú zadané ľubovoľnými, nielen algebraickými rovnicami. Skúmame ich
pomocou derivácií.
Príkladom takej krivky je povedzme astroida s parametrickým vyjadrením
x acos3t, y asin
3t, t0, 2:
(Obrázok je prevzatý zo stránky http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/%7Ehistory/Curves/Astroid.html)
Krivka sa skladá zo štyroch oblúkov, ktoré sú definované na intervaloch 0, /2, /2, , ... .
Číslo a je vzdialenosť začiatku sústavy súradníc od priesečníkov krivky so súradnicovými
osami. Vyjadruje „veľkosť“ astroidy.
Okrem iného sa o tejto krivke možno v kurze dozvedieť, že dotyčnica v ľubovoľnom bode
P(t) (acos3t, asin
3t), t 0, /2, , 3/2, 2,
má parametrické rovnice
x acos3t ucost
y asin3t usint
(Parametrom na priamke je číslo u, číslo t určuje, v ktorom bode krivky sa dotyčnica počíta.)
A trochou analytickej geometrie sa teraz už ľahko môžeme presvedčiť, že astroida má túto
zaujímavú vlastnosť:
Na každej dotyčnici astroidy má úsečka ohraničená priesečníkmi dotyčnice so súradnicovými
osami rovnakú dĺžku a.
Platí aj obrátené tvrdenie: Všetky úsečky s dĺžkou a 0, ktorých krajné body ležia na
súradnicových osiach, „obaľujú“ astroidu.
Keby sme teda opreli rebrík strmo o stenu, podtrhli ho a zboku nafilmovali jeho pád, po
položení jednotlivých políčok filmu na seba by sme nakoniec uvideli jeden oblúk astroidy.
Charakteristickým údajom pre krivku je krivosť, ktorá vyjadruje veľkosť jej
„zakrivenia“ v jednotlivých bodoch. Ukáže sa, že priamka má v každom bode krivosť rovnú 0
a kružnica s polomerom r má všade rovnakú krivosť 1/r. Trochu namáhavý výpočet dá, že
krivosť astroidy v bode P(t) je číslo
77
ttatk sincos3)( .
Keď už bude toto je známe, ľahko sa možno bežnými postupmi skúmania priebehu funkcie
presvedčiť, že v strede každého zo štyroch oblúkov astroidy je krivosť krivky minimálna
a smerom ku krajným bodom oblúka rastie do . Dobre to súhlasí s obrázkom.
Spomeňme ešte jednu zaujímavú krivku, a to traktrix. Jej parametrické vyjadrenie je
x asint, y a[ln tg (t/2) + cost], t(0, ):
(Obrázok je prevzatý zo stránky http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/%7Ehistory/Curves/Tractrix.html)
Krivka sa skladá z dvoch navzájom osovo súmerných oblúkov, ktoré sú určené hodnotami
parametra t(0, /2 a t/2, ). Číslo a je vzdialenosť začiatku sústavy súradníc od
priesečníku krivky s osou x. Jej dotyčnica má podobnú vlastnosť, akú sme videli pri astroide:
V každom bode traktrix má úsečka na dotyčnici od bodu dotyku po priesečník s osou y
rovnakú dĺžku a.
Traktrix má veľmi zaujímavý vzťah k plochám. V priestore otáčajme „horný“ oblúk
traktrix okolo osi y pre všetky hodnoty uhla otáčania v intervale 0, 360. Vzniknutá rotačná
plocha má tvar „nekonečnej trúby“, ktorá sa a zužuje do nuly pre y idúce do . Nazýva sa
pseudosféra. Jej významná vlastnosť je, že má konštantnú krivosť (tzv. Gaussovu krivosť)
rovnú 1/a2.
Pre porovnanie s najjednoduchšími plochami, rovina má Gaussovu krivosť 0, guľová
plocha s polomerom r má Gaussovu krivosť 1/r2. Vidíme teda, že z hľadiska Gaussovej
krivosti sa pseudosféra podobá guľovej ploche, odlišuje sa od nej práve znamienkom. Ak do
vzorca pre Gaussovu krivosť guľovej plochy dosadíme za r hodnotu ia (i je imaginárna
jednotka z komplexných čísiel), dostaneme Gaussovu krivosť pseudosféry! Táto formálna
algebraická hra má mimoriadne dôležitý geometrický obsah. Dá sa totiž dokázať – ide to však
ďaleko za rámec kurzu – že na pseudosfére sa realizuje geometria časti Lobačevského
neeuklidovskej roviny. (Úsečkou s danými krajnými bodmi v tejto geometrii je najkratšia
krivka ležiaca na pseudosfére spájajúca dané body.) V histórii matematiky bola táto vlastnosť
pseudosféry dôležitým momentom v procese uznania Lobačevského geometrie ako plno-
hodnotnej alternatívy k bežnej euklidovskej geometrii.
Charakteristickou vlastnosťou Lobačevského planimetrie je nejednoznačnosť rovnobežky: Každým
bodom, ktorý neleží na danej priamke, možno viesť (aspoň) dve priamky, ktoré nepretínajú danú priamku.
Pre ohraničenú časť Lobačevského roviny možno sformulovať a dokázať takéto jej nečakané vlastnosti:
78
Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je menší ako priamy uhol.
Existuje trojuholník, ktorý nemá opísanú kružnicu (lebo dve osi jeho strán sa nepretnú).
79
Príloha 4
O NESPRÁVNEJ PREDSTAVE OSKULAČNEJ KRUŽNICE ROVINNEJ KRIVKY
(Príspevok zo Zborníku príspevkov z konferencie Ematik 2008, s. 11 – 18.)
Miloš BOŽEK Abstrakt: Hlavným cieľom príspevku je opísať vzájomnú polohu krivky a jej oskulačnej kružnice a to pre všeobecný bod krivky a pre obyčajný vrchol. Kľúčové slová: Rovinná krivka, oskulačná kružnica, vrchol krivky, Frenetove vzorce.
Úvod Základnú predstavu o tvare rovinnej krivky v blízkosti jej bodu dáva oskulačná kružnica krivky v tom bode. Na obr. 1 vidíme oskulačné kružnice elipsy v hlavnom a vedľajšom vrchole spolu s populárnou konštrukciou ich stredov. Všimnime si, že v hlavnom vrchole leží elipsa zvonka oskulačnej kružnice a vo vedľajšom zvnútra. Rozšírená ale nesprávna predstava je, že jedným alebo druhým spôsobom sa (lokálne) správa každá rovinná krivka vzhľadom na oskulačnú kružnicu v ľubovoľnom svojom bode. Túto predstavu ilustruje obr. 2, na ktorom je znázornená nepravá oskulačná kružnica vo všeobecnom bode elipsy, teda v bode, ktorý nie je vrcholom krivky.
Naším cieľom je ukázať, že táto predstava je falošná a uviesť ju na správnu mieru – pozri vety 1 a 2 v odseku 2. Veta 1 hovorí, že vo všeobecnom bode krivky prechádza krivka z jednej strany oskulačnej kružnice na druhú (obr. 3).
V príspevku sa zaoberáme regulárnymi hladkými rovinnými krivkami bez inflexných bodov. Nadväzujeme na základné fakty o krivkách z kurzu [1] doplnené Frenetovými vzorcami.
Obr. 1 Oskulačná kružnica elipsy v hlavnom vrchole A a vo vedľajšom vrchole C. Ich stredy sú body SA a SC
A SA S B
SC
E C
D
a
b
80
1. Príprava – Frenetove vzorce Okrem jedného príkladu, v celom príspevku predpokladáme, že máme danú rovinnú krivku
vyjadrenú prirodzenou parametrizáciou P(s) (x(s),y(s)), sI, kde I je interval na číselnej osi, a že ju skúmame v blízkosti bodu P(s0). Pripomeňme niektoré základné vlastnosti prirodzenej parametrizácie. S výnimkou posledných dvoch ich možno nájsť napríklad v kurze [1]. (Niekedy sa tieto vlastnosti považujú za definície v nich vystupujúcich pojmov).
Vektor prvej derivácie P(s) má jednotkovú dĺžku:
(1.1) P(s) 1 pre všetky sI.
Vektory prvej a druhej derivácie sú navzájom kolmé4:
(1.2) P(s)P(s) 0
Krivosť krivky je dĺžka vektora druhej derivácie:
(1.3) k(s) P(s)
Bod krivky je neinflexný práve vtedy, keď je v ňom vektor druhej derivácie nenulový:
(1.4) bod P(s) je neinflexný P(s) 0.
V každom bode krivky môžeme veľmi jednoducho vyjadriť vektor dotyčnice
(1.5) t(s) P(s)
a pretože skúmame krivky bez inflexných bodov, aj vektor normály5
4 Kvôli stručnosti a väčšej prehľadnosti budeme odteraz spravidla vynechávať dodatok, že výrok
vyjadrený vzorcom platí pre všetky sI, teda pre všetky body krivky. 5 Rovinná krivka má v každom bode iba jednu normálu – na rozdiel od priestorovej krivky, ktorá ich má
nekonečne veľa. Preto namiesto „hlavná normála“ hovoríme jednoducho „normála“ krivky.
P
Obr. 2 Falošná predstava o oskulačnej kružnici elipsy v bode, ktorý nie je vrchol
81
(1.6) n(s) P(s)/P(s) P(s)/k(s)
a tiež polomer krivosti a stred krivosti
(1.7) r(s) 1/k(s) 1/P(s)
(1.8) S(s) P(s) r(s)n(s)
Kružnica so stredom S(s) a s polomerom r(s) sa nazýva oskulačná kružnica krivky v bode P(s).
Základným pokročilejším nástrojom diferenciálnej geometrie na skúmanie vlastností kriviek sú tzv. Frenetove vzorce, pozri napr. [2], odsek 26.11.1 alebo [3], vzorce (6.4). Pre rovinné krivky vyjadrujú derivácie vektorov, presnejšie vektorových funkcií t(s) a n(s), v tvare lineárnych kombinácií vektorov t(s) a n(s) prostredníctvom funkcie krivosti k(s):
(1.9) t(s) k(s)n(s)
(1.10) n(s) k(s)t(s)
2. Poloha rovinnej krivky vzhľadom na oskulačnú kružnicu Pripomeňme, že skúmame rovinnú krivku bez inflexných bodov, zadanú prostredníctvom
prirodzenej parametrizácie P(s), sI. V bode P(s0), s0I máme zadanú oskulačnú kružnicu
krivky so stredom S(s0) a polomerom r(s0), ktoré sú vyjadrené vzorcami (1.8) a (1.7) pre s s0. Pre čísla s blízke k s0 chceme zistiť polohu bodov P(s) vzhľadom na spomenutú oskulačnú kružnicu. Na to stačí skúmať, ako sa v blízkosti čísla s0 mení vzdialenosť bodu P(s) od stredu oskulačnej kružnice S(s0), teda preskúmať priebeh funkcie
g(s) P(s) S(s0), sI
Táto funkcia je v okolí čísla s0 kladná, preto má z hľadiska monotónnosti a lokálnych extrémov rovnaký priebeh ako jej druhá mocnina
(2.2) f(s) g(s)2 P(s) S(s0)2
(S(s0) P(s))(S(s0) P(s)) (S(s0) P(s))2
Ako o chvíľu uvidíme, funkcia f(s) sa pomerne pohodlne derivuje, na rozdiel od funkcie g(s). Najprv však funkciu f(s) vyjadríme pomocou Frenetovho repéra, čiže pomocou vektorov t(s) a n(s):
f(s) P(s) S(s0)2 (S(s0) P(s))2
{[P(s0) P(s)] r(s0)n(s0)}2
[P(s) P(s0)]2 2r(s0)n(s0)[P(s) P(s0)] r(s0)
2
teda
(2.3) f(s) [P(s) P(s0)]2 2r(s0)n(s0)[P(s) P(s0)] r(s0)
2
Pri úpravách sme okrem iného využili vzorec (1.8) a skutočnosť, že normálový vektor n(s0) je jednotkový.
Kvôli prehľadnosti výrazov zavedieme vektorovú funkciu (s) P(s) P(s0). Pre jej deriváciu zrejme platí
(2.4) (s) P(s) t(s).
Odteraz budeme pri funkciách často vynechávať premennú s a hodnoty funkcií pre s s0
budeme vyjadrovať pomocou indexu 0, napríklad r0 r(s0), n0 n(s0). Vzorec (2.3) má teraz podstatne jednoduchší tvar
(2.5) f 2 2r0n0 r02
82
Lema 1 Pre derivácie funkcie f v ľubovoľnom čísle sI platí
a) f(1) 2 { r0n0} t
b) f(2) 2 {1 k ( r0n0) n}
c) f(3) 2 ( r0n0) (k2t k(1)n)
d) f(4) 2 {k2 ( r0n0) [3kk(1)t (k3 k(2))n]}
Dôkaz. a) Derivujme funkciu f vyjadrenú vzorcom (2.5):
f(1) 2 2r0n0 2 { r0n0} 2 { r0n0} t
Využili sme rovnosti (2.4).
b) Derivujme rovnosť z tvrdenia a):
f(2) 2 {t ( r0n0) t} 2 {tt ( r0n0) (kn)}
2 {1 k ( r0n0) n}
V druhej rovnosti sme využili vzorce (2.4) a (1.9), v tretej (1.5) a (1.1).
c) Derivujme rovnosť z tvrdenia b):
f(3) 2 {k ( r0n0) n k n k( r0n0) n}
2 {k ( r0n0) n kt n k( r0n0) (kt)}
2 ( r0n0) (k2t k(1)n)
V druhej rovnosti sme využili vzorce (2.4) a (1.10) a v tretej skutočnosť, že vektory t, n sú navzájom kolmé, t.j.
(2.6) t n 0
d) Derivujme predchádzajúcu rovnosť:
f(4) 2 { (k2t k(1)n) ( r0n0) (2k2k t k2t k(2)n k(1)n)
2 {k2 ( r0n0) (2kkt k2t k(2)n k(1)n)
2 {k2 ( r0n0) (2kkt k3n k(2)n kk(1)t)
2 {k2 ( r0n0) [3kk(1)t (k3 k(2))n]}
V druhej rovnosti sme postupne využili vzorce (2.4), (1.5) spolu s (1.1), a (2.6). V tretej rovnosti sme využili oba Frenetove vzorce (2.9) a (2.10).
Pre naše ďalšie úvahy bude rozhodujúce poznať hodnoty derivácií funkcie f(s) v čísle s0.
Dôsledok Pre derivácie funkcie f pre s s0 platí
a) f(1)(s0) 0
b) f(2)(s0) 0
c) f(3)(s0) 2r(s0) k(1)(s0)
d) f(4)(s0) 2r(s0) k(2)(s0)
Dôkaz. Do vzorcov z predchádzajúcej lemy dosadíme s s0. Zrejme (s0) 0. Preto
f(1)(s0) 2 r0n0 t0 0
lebo n0 t0 6. Dokázali sme prvú časť dôsledku.
6 Tu aj v ďalších častiach dôkazu je dôležité, že hodnoty všetkých funkcií sa uvažujú v rovnakom bode
krivky (a to pre s s0).
83
V druhej časti postupujeme podobne, pričom využijeme rovnosti n0 n0 1 a k0r0 1. V tretej časti dôsledku je výpočet takýto:
f(3)(s0) 2 (0 r0n0) (k02t0 k(1)
0n0)
2 {r0k02(n0 t0) r0k
(1)0(n0 n0)} 2r(s0) k
(1)(s0)
Opäť sme využili rovnosti n0 t0 0 a n0 n0 1. V dôkaze poslednej časti dôsledku sa postupuje podobne ako v predchádzajúcich troch, pričom sa využijú všetky doteraz aplikované rovnosti.
V hlavných výsledkoch príspevku významným spôsobom vystupujú nasledujúce pojmy, pozri napr. [4], odsek 9.1.
Vrchol krivky je bod, v ktorom je krivosť stacionárna. Pre krivku s parametrizáciou P(t) je
to teda bod, pre ktorý k(t0) 0. Ak navyše platí k(t0) 0, vrchol P(t0) sa nazýva obyčajný vrchol.
Poznamenajme, že 1. Uvedené podmienky zrejme nezávisia od voľby parametrického vyjadrenia krivky. 2. V obyčajnom vrchole krivky má krivosť lokálny extrém, a to ostré lokálne minimum pre
k(t0) 0 a ostré lokálne maximum pre k(t0) 0.
Príklad 1 Uvažujme elipsu s rovnicou x2/a2 y2/b2 1, a b 0 (obr. 1). Jej bežné
parametrické vyjadrenie je P(t) = (acost, bsint), t0, 2 (nie je to prirodzená parametrizácia). Ukážeme, že vrcholmi elipsy v zmysle predchádzajúcej definície sú práve
jej vrcholy v obvyklom chápaní, teda body so súradnicami (a,0), (0,b), čiže body A P(0)
P(2), C P(/2), B P(), D P(3/2). Pre krivosť elipsy platí
k(t) ab/(a2sin2t b2cos2t)3/2
pozri napr. [1], príklad 5.1. Priamym výpočtom sa presvedčíme, že krivosť je stacionárna
práve pre t = 0, /2, , 3/2,2, pričom
k(0) k() k(2) 3a(a2 b2)/b4 0,
k(/2) k(3/2) 3b(a2 b2)/a4 0.
Dostali sme teda obyčajné vrcholy A P(0) P(2), C P(/2), B P(),
D P(3/2).Pre krivosť v nich zrejme platí kmax k(0) k() k(2) a/b2, kmin k(/2)
k(3/2) b/a2. Pre polomery krivosti vo vrcholoch preto platí rmin r(0) r() r(2) b2/a,
rmax r(/2) r(3/2) a2/b. Na týchto rovnostiach sa zakladá konštrukcia stredov oskulačných kružníc vo vrcholoch elipsy.
Podobným postupom sa možno presvedčiť, že vrcholmi hyperboly a paraboly v zmysle predchádzajúcej definície sú práve ich vrcholy v bežnom zmysle. Aby sme mohli dokázať hlavné výsledky príspevku, pripomeňme vetu z matematickej analýzy o využití derivácií vyšších rádov pri skúmaní priebehu funkcie, pozri napr. [5], veta 144.
Veta Nech je funkcia definovaná na intervale a nech
(1)(x0) ... (n1)(x0) 0 a (n)(x0) 0
pričom n 1. Potom platí
a) Ak n je nepárne, tak funkcia v okolí bodu x0 rastie resp. klesá podľa toho, či číslo
(n)(x0) je kladné alebo záporné.
b) Ak n je párne, tak funkcia má v bode x0 ostré lokálne minimum resp. ostré lokálne
maximum podľa toho, či číslo (n)(x0) je kladné alebo záporné.
84
Veta 1 V bode rovinnej krivky, ktorý nie je vrcholom, je krivosť ostro monotónna a krivka prechádza z jednej strany oskulačnej kružnice na druhú. Dovnútra oskulačnej kružnice vchádza v smere rastúcej krivosti.
Dôkaz. Uvažujme bod P(s0) krivky, ktorá je vyjadrená prirodzenou parametrizáciou P(s), sI,
pričom tento bod nie je vrcholom krivky. Vtedy k(s0) 0, preto krivosť krivky je v čísle s0 ostro monotónna. Prvá časť vety je dokázaná.
Podľa dôsledku lemy 1 nerovnosť k(s0) 0 pre funkciu f(s) P(s) S(s0)2 znamená, že
f(1)(s0) f(2)(s0) 0 a f(3)(s0) 2r(s0) k(1)(s0) 0
lebo polomer r(s0) oskulačnej kružnice je nenulový. Tento polomer je dokonca kladný, preto číslo f(3)(s0) má opačné znamienko ako číslo k(1)(s0). Z prvej časti vyššie uvedenej vety
o priebehu funkcie teda vyplýva, že pre k(1)(s0) 0 funkcia f(s) v čísle s0 klesá a pre k(1)(s0) 0 rastie.
V prvom prípade, keď k(1)(s0) 0, krivosť krivky v bode P(s0) s rastúcim s rastie a súčasne, pre s blízke k s0 a väčšie ako s0, vzdialenosť bodu P(s) od stredu S(s0) oskulačnej kružnice v bode P(s0) klesá, preto pre také čísla s ležia body krivky vnútri uvažovanej oskulačnej kružnice. Z rovnakého dôvodu ležia body P(s), pre s blízke k s0 a menšie ako s0, zvonka
oskulačnej kružnice v bode P(s0). Teda pre k(1)(s0) 0 je veta dokázaná.
Druhý prípad k(1)(s0) 0 je úplne analogický.
Veta 2 V obyčajnom vrchole má krivosť krivky ostrý lokálny extrém a rovinná krivka ostáva v blízkosti vrchola na jednej strane oskulačnej kružnice. V prípade lokálneho minima krivosti leží krivka lokálne zvonka oskulačnej kružnice, pri lokálnom maxime vnútri.
P
Obr. 3 K vete 1: Oskulačná kružnica elipsy v bode, ktorý nie je vrchol. Elipsa prechádza z jednej strany kružnice na druhú.
85
Dôkaz. Uvažujme bod P(s0) krivky, ktorá je vyjadrená prirodzenou parametrizáciou P(s), sI,
pričom tento bod je obyčajným vrcholom krivky. Vtedy k(1)(s0) 0 a
k(2)(s0) 0, preto krivosť krivky má v čísle s0 ostrý lokálny extrém. Prvá časť vety je dokázaná.
Podľa dôsledku lemy 1 rovnosť k(1)(s0) 0 spolu s nerovnosťou k(2)(s0) 0 pre funkciu f(s)
P(s) S(s0)2 dávajú, že
f(1)(s0) f(2)(s0) f(3)(s0) 0 a f(4)(s0) 2r(s0) k(2)(s0) 0.
Pretože polomer oskulačnej kružnice je kladný, číslo f(4)(s0) má opačné znamienko ako číslo
k(2)(s0). Z druhej časti vyššie vyššie uvedenej vety o priebehu funkcie vyplýva, že pre k(2)(s0)
0 má funkcia f(s) v čísle s0 ostré lokálne maximum a pre k(2)(s0) 0 ostré lokálne minimum.
V prvom prípade, keď k(2)(s0) 0, má krivosť krivky v bode P(s0) ostré lokálne minimum. Súčasne vzdialenosť bodu P(s) od stredu S(s0) oskulačnej kružnice má v bode P(s0) ostré lokálne maximum, preto v blízkosti čísla s0 ležia body krivky vnútri uvažovanej oskulačnej
kružnice. Teda pre k(2)(s0) 0 je veta dokázaná.
Druhý prípad k(2)(s0) 0 je opäť úplne analogický.
Vetu 2 ilustruje obrázok 1.
Záver V príspevku sme preskúmali vzájomnú polohu rovinnej krivky a jej oskulačnej kružnice vo všeobecnom bode a v obyčajnom vrchole. Otvorený ostáva prípad vrcholov, ktoré nie sú obyčajné, teda takých bodov krivky, v ktorých sú prvé dve derivácie krivosti nulové. Literatúra [1] Božek, M.: Úvod do diferenciálnej geometrie. e-Learningový kurz v rámci projektu
Inovačné trendy vo vzdelávaní budúcich učiteľov matematiky a v ďalšom vzdelávaní učiteľov matematiky (e-learningovou formou). http://elearn.ematik.sk/course/view.php?id=52
[2] Budinský, B.: Analytická a diferenciální geometrie. SNTL, Praha, 1983. [3] Budinský, B., Kepr, : Základy diferenciální geometrie s technickými aplikacemi. SNTL,
Praha, 1970. [4] Gibson, C.,G: Eelementary Geometry of Differentiable Curves: an Undergraduate
Introduction. Cambridge University Press, Cambridge 2001. [5] Jarník, V.: Diferenciální počet I. Nakladatelství ČSAV Praha 1963. Adresa autora doc. RNDr. Miloš Božek, PhD. Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky Fakulta matematiky, fyziky a informatiky UK Mlynská dolina, 842 48 Bratislava E-mail: [email protected] Copyright © 2008 Konferencia ematik. All Rights reserved.