VJEROJATNOST

SLUČAJNI EKSPERIMENT

SLUČAJNI DOGAĐAJ

SLUČAJNI EKSPERIMENT

Slučajni eksperiment je postupak koji se može proizvoljan broj puta ponavljati, azavršava s dva ili više ishoda.

Rezultati slučajnog eksperimenta opisuju se riječima, brojevima ili riječima i brojevima.

Premda je ishod slučajnog eksperimentaneizvjestan, pretpostavlja se da se rezultatislučajnog eksperimenta barem misaono moguobuhvatiti.

.

Skup rezultata slučajnog eksperimenta zove se PROSTOR SLUČAJNIH DOGAĐAJA ili PROSTOR UZORKA (SAMPLE SPACE), a on može biti :

Konačan,Prebrojiv,Neprebrojiv skup

Primjerslučajni eksperiment = bacanje novčića

prostor slučajnih događaja S1={P,G}

slučajni eksperiment = broj «glava» u dvauzastopna bacanja novčića S2={0,1,2}

slučajni eksperiment= broj poziva natelefonskoj centrali u određenom vremenskomintervalu (0,T) S3={0,1,2,…}

slučajni eksperiment= količina vode u bociod 1 litre S4=[0,1]

Svaki podskup prostora slučajnihdogađaja S je slučajni događaj. Slučajnidogađaj ostvarit će se ako se ostvari baremjedan od rezultata slučajnog eksperimentakoji su elementi tog podskupa.

Rezultat slučajnog eksperimenta zovese elementarni događaj. Svaki je rezultatslučajnog eksperimenta slučajni događaj, alisvaki slučajni događaj nije elementarnislučajni događaj.

S

A

Slučajni se događaji označavaju velikim slovima abecede:A, B, C, …, a opisuju se riječima.Do novih se slučajnih događaja dolazi skupovnim operacijama (unija, presjek, komplement) nad postojećim skupom slučajnih događaja:

dogodio se događaj A «ili» događaj B

dogodio se događaj A «i» događaj B

nije se dogodio A. je suprotni događaj od A

BA

A A

BA

A

B

A B

A B

AB

A B=

S

Slučajni događaji A i B su međusobno isključivi

A

A

S

SAA

AA

S i su također slučajni događaji. S je sigurni događaj (jer je sigurno da će se pri izvođenju eksperimenta događaj A ostvariti ili da se neće ostvariti.

je nemoguć događaj jer se događaji A i međusobno isključuju.

A

SAA

AAS obzirom da za svaka dva suprotna događaja vrijedi:

SS

S

A također vrijedi:

Nemoguć događaj i sigurni događaj su suprotni događaji

Primjer

Slučajni eksperiment bacanja kocke S={1,2,3,4,5,6}

A=pao je parni broj A={2,4,6}B=pao je broj manji od 3 B={1,2}C=pao je broj 4 C={4}

A B={1,2,4,6}

S

A1 2

5 34

6

B

A B ={2}

C={4}

Vjerojatnost slučajnog događaja

Vjerojatnost slučajnog događaja izraz je mogućnosti

ostvarenja tog događaja, a može se definirati na više

načina.

Klasična definicija

U klasičnoj se teoriji pretpostavlja da je prostor elementarnih događaja konačan, da su svi ishodi jednako mogući, te da je vjerojatnost događaja omjer broja ishoda koji realiziraju događaj i broja svih jednako mogućih ishoda.

N

MAP )(

M = broj ishoda koji realizira događaj A

N = broj svih jednako mogućih ishoda

U slučajnom eksperimentu bacanja kocke

)(16

4)(

2

1

6

3)(

3

2

6

4)(

6

1)(

3

1

6

2)(

2

1

6

3)(

BPBPAP

BAPBAP

BPAP

Ovako definirana vjerojatnost zove se još i vjerojatnost a priori, jer se može izračunati prije nego što se izvede slučajni eksperiment.

Statistička definicija vjerojatnosti

Statistička definicija vjerojatnosti zasniva se na pretpostavci da je slučajni eksperiment moguće ponavljati proizvoljan broj puta u nepromijenjenim uvjetima, pri čemu su pojedini pokušaji međusobno neovisni.

Vjerojatnost promatranog događaja definira se kao granična vrijednost njegove relativne frekvencije kad broj

ponavljanja slučajnog eksperimenta neomeđeno raste.

U skladu s tom definicijom vjerojatnostdogađaja A je:

n

A mA Pn

) (lim ) (

n

AmAP n

)(lim)(

Iz navedenih definicija slijedi da je vjerojatnost sigurnog događaja jednaka 1, vjerojatnost nemogućeg događaja jednaka nuli, a vjerojatnost proizvoljnog događaja A je :

0 P(A) 1

PRIMJER 6.12.

Aksiomatska definicija vjerojatnosti

Aksiomatska definicija vjerojatnosti obuhvaća sve prije utemeljene definicije kao posebne slučajeve, a formulira se kao preslikavanje koje svakom događaju A S pridružuje realan broj P(A), koji se zove vjerojatnost od A, a zadovoljava slijedeće aksiome:

1.Za svaki događaj A S vrijedi : 0 P(A) 1

2. P(S)=1

3.Ako se događaji A i B međusobno isključuju, tjA B= , tada P(A B)=P(A)+P(B)

Ovaj se aksiom zove “aditivni zakon” i lako se može poopćiti na niz od konačno mnogo međusobno isključivih događaja :

ji )( ji AAP

Ako vrijedi:

Tada je

)()()()( 2121 nn APAPAPUAAAP

)()()()( 2121 nn APAPAPAAAP

Da bi se aditivni zakon proširio na prebrojivo mnogo međusobno isključivih događaja, aksiom 3 treba proširiti uvođenjem aksioma 3’:

Na navedenim se aksiomima temelji cijela teorija vjerojatnosti

Aditivni zakon

)()()( BPAPBAP )()()()( BAPBPAPAUBP

Kolika je vjerojatnost nemogućeg

slučajnog događaja?

Aksiom 2: P(S)=1

Aksiom 3: P(A B)=P(A)+P(B) ←A B=

Specijalno:

)(1)(

)()()()(1

APAP

APAPAAPSP

P( )=1-P(S)=1-1=0

Uvjetna vjerojatnost

Često se želi izračunati vjerojatnost pojave nekog događaja B, uz uvjet da se ostvario događaj A. Ta se vjerojatnost zove uvjetna vjerojatnost događaja B. Simbolički se označava s P(B/A), a definirana je izrazom:

0)( )(

)()/( AP

AP

BAPABP

Multiplikativni zakon

0)( )(

)()/( AP

AP

BAPABP 0)(

)(

)()/( BP

BP

BAPBAP

)/()()( ABPAPBAP)/()()( BAPBPBAP

Slučajni događaji A i B su međusobno nezavisni akopojava događaja A nema utjecaja na vjerojatnostnastupa događaja B.

)()()(

)()/( )()/(

BPAPBAP

APBAPBPABP

Bayesova formula

)(

)/()()/(

)/()()/()(

AP

BAPBPABP

BAPBPABPAP

PRIMJER 6.20.

Slučajne varijable mogu biti:

Diskretne

Kontinuirane

Mješovitog tipa

Slučajna varijabla Moguće vrijednosti, tip varijable

Broj neispravnih proizvoda u pošiljci veličine 30

X:0,1,…,30(diskretna)

Vrijeme čekanja (u min) na šalteru banke

0 x<

(kontinuirana)

Broj kupaca koji čeka nablagajni samoposluživanja

X:0,1,…(diskretna)

Vremenski interval između dolazaka pacjenata u

bolnicu

0 x<

(kontinuirana)

Količina pića u plastičnoj boci od 1 l

0 x 1

(kontinuirana)

Diskretna slučajna varijabla

Varijabla X je diskretna slučajna varijabla, ako poprima konačno ili prebrojivo mnogo vrijednosti s vjerojatnostima

)()( ii xpxXP

pri čemu vrijedi:

1)( 0)(i

ii xpxp

Funkcija koja svakoj vrijednosti slučajnevarijable pridružuje određenu vjerojatnost zovese funkcija (zakon) vjerojatnosti diskretneslučajne varijable. Ona može biti zadanagrafički, tabelarno ili analitičkim izrazom.

Kumulativna funkcija distribucije slučajne varijable X

definirana je izrazom:

Kumulativna funkcija distribucije diskretne slučajne varijable

izračunava se kako slijedi:

xXPxF )(

itd

xpxpxpxXPxF

xpxpxXPxF

xpxXPxF

)()()()(

)()()(

)()(

32133

2122

111

Očekivana vrijednost i varijanca diskretne

slučajne varijable

Očekivana vrijednost (sredina) diskretne slučajne

varijable definirana je izrazom:

E(X) )()(i

ii xpxXE

Kontinuirana slučajna varijabla poprima neprebrojivomnogo (kontinuum mnogo) vrijednosti na skupu realnihbrojeva. Njezina vjerojatnosna svojstva opisana su prekofunkcije gustoće vjerojatnosti koja ima slijedećasvojstva:

Kontinuirana slučajna varijabla

Funkcija gustoće vjerojatnosti f(x) ima slijedećasvojstva:

1. f(x) 0 za svaki x

2. Ukupna površina ispod krivulje gustoćevjerojatnosti jednaka je 1.

3. P a x b = dio površine ispod krivulje f(x)omeđen intervalom a,b

4. F(a) = P X a P - <X a = dio površine ispodkrivulje f(x) omeđen intervalom (- ,a

b

a

aFbFbXaPdxxf

dxxf

xf

)()()()(.3

1)(.2

0)(.1

Funkcija f(x) nema značenje vjerojatnosti.Kao vjerojatnost može se interpretiratiumnožak f(x)dx koji označuje vjerojatnostda slučajna varijabla poprimi vrijednost uokolini točke x.

S pomoću f(x) vjerojatnosti se pridružuju intervalima vrijednosti, dok je vjerojatnost da kontinuirana slučajna varijabla poprimi vrijednost u jednoj točki jednaka nuli

Funkcija distribucije može se izračunati s pomoću

funkcije gustoće izrazom:x

dttfxXPxXPxF )()()()(

2

)()2()2()2( dttfXPXPF

F(2)

x=2

Iz izloženog se može zaključiti da je slučajnavarijabla potpuno definirana ako je poznatanjena funkcija gustoće vjerojatnosti ili funkcijadistribucije. S obzirom na to da analitički izrazitih funkcija mogu biti složeni, slučajne varijableopisuju se pomoću parametara, kao što suočekivana vrijednost, varijanca i općenitomomenti višeg reda.

Očekivana vrijednost

Definicija:

)( )()( )()( XEdxxxfXExpxXE i

i

i

Može se pokazati da ako je X slučajna varijabla i akosu a i b konstante, tada je :

. (5.12)

.

(5.13)

)(XE

dxxfxg

xpxg

XgEi

ii

)()(

)()(

)(

Očekivana vrijednost je broj ili konstanta i označava prvimoment oko nule slučajne varijable X. Najčešće seoznačava s:

Ako je X slučajna varijabla, a g(X) jednoznačna funkcija tevarijable, tada je:

Svojstva očekivane vrijednosti

Za proizvoljne konstante a i b vrijedi:

bXaEbaXE )()(Dokaz:Neka je X diskretna slučajna varijabla i neka je

baXXg )(

bXaExpbxpxaxpbaxbaXEXgEi i

i

XE

iiiii )()()()()()()(

1)(

Varijanca

.var )()(

.var )()(

))(()(nakontinuiradxxfx

diskretnaxpx

XEXEXVari

ii

2

2

2

Alternativno se varijanca može odrediti:

2222)()()( XEXEXVar

Može se pokazati da ako je X slučajna varijabla iako su a i b konstante, tada je :

)()( XVarabaXVar2

S obzirom da je varijanca izražena u kvadratima mjernihjedinica slučajne varijable, računa se njoj pridruženalinearizirana mjera, standardna devijacija:

)(XVar

Analitički izrazi distribucija vjerojatnostidiskretnih slučajnih varijabli najčešćekorištenih u primjenama zovu se modelidiskretnih distribucija vjerojatnosti.

Najvažnije diskretne distribucije vjerojatnostisu :

Odabrani modeli diskretnih distribucija vjerojatnosti

Binomna distribucijaPoissonova distribucijaHipergeometrijska distribucijaGeometrijska distribucijaDiskretna uniformna distribucija

Binomna distribucija vezana je uzBernoullijev pokus kojeg karakterizirajuslijedeća svojstva:

pri izvođenju slučajnog eksperimenta nekislučajni dogđaj A će se ostvariti svjerojatnosti P(A)=p, odnosno neće seostvariti sa suprotnom vjerojatnosti:

1-P(A)= 1-p =q.

Slučajna varijabla (koja rezultateslučajnog eksperimenta preslikava u skuprealnih brojeva) poprima vrijednosti 0(ako događaj A nije nastupio) i 1 ako jenastupio događaj A. Ta se varijabla zoveBernoullijeva varijabla.

pqqppqpqqp

ppqpxVar

ppqXE

)(

)1()0()(

10)(

22

22

Pretpostavi li se da se pokus ponavlja n puta, te da supri tom uzastopni pokušaji nezavisni tada se možedefinirati varijabla X koja broji koliko se putaostvario događaj A u n ponavljanja eksperimenta.Varijabla X zove se binomna slučajna varijabla i možese prikazati kao zbroj n nezavisnih Bernoullijevihvarijabli:

npqXVarXVarXVar

XXXVarXVar

npXEXEXE

XXXEXE

qpx

nxp

nX

pXXXX

n

n

n

n

xnx

n

)()()(

)()(

)()()(

)()(

)(

,2,1,0:

n,1,2,i i, pq)Var(X, )E(X

21

21

21

21

ii21

Binomna distribucija vjerojatnosti

npq

npqXVar

npXE

qpx

nxp

nX

xnx

)(

)(

)(

,,1,0:

Automatski stroj izrađuje proizvod A s

konstantnim postotkom škarta od 3%.

Rad stroja se kontrolira pomoću slučajnog uzorka.

a) Ako se u uzorak izabere 5 proizvoda, kolika jevjerojatnost da su dva škartna?

b) Izabere li se u slučajni uzorak 3 proizvoda, kolika jevjerojatnost da su svi neispravni?

b) Koliki je očekivani broj neispravnih proizvoda uuzorku od 100 proizvoda? Koliko je prosječno odstupanjeod očekivanog broja neispravnih proizvoda?

Rješenje:

7059.197.003.0100npq

30.03100npE(X)

0.03p 100n )

000027.003.097.003.03

3p(3)

3 0.03p 3n )

008214.097.003.02

5)2(

2x 5n 0.970.03-1q 03.0 )

303

32

c

xb

p

pa

13

1

Var(X) )(

0 !

)(

,2,1,0:

43

XE

x

exp

X

x

Poissonova distribucija vjerojatnosti

Dnevna prodaja strojeva za pranje rublja je slučajna

varijabla distribuirana po Poissonovoj distribuciji. Dnevno

se u prosjeku proda 6 strojeva za pranje rublja.

Napišite analitički izraz za konketnu distribuciju.

!6

6)( 0

!)(

,2,1,0:

6e

xpx

exp

X

xx

Kolika je vjerojatnost da u jednom danu ne

bude prodan nijedan stroj za pranje rublja?

0025.000248.0!0

6)0(

0

60e

p

x

Ako je na skladištu 16 strojeva za pranje rublja kolika je vjerojatnost da dnevna potražnja ne bude zadovoljena?

)18()17(17 ppXP

Modeli distribucija vjerojatnosti

kontinuiranih slučajnih varijabli

·

Normalna distribucijaStudentova distribucijaGamma distribucijaEksponencijalna distribucijaHi –kvadrat distribucijaBeta distribucijaF-distribucijaUniformna distribucijaWeibullova distribucijaParetova distribucijaUniformna distribucija

Normalna distribucija

Slučajna varijabla X ima normalnu distribuciju ako jenjena funkcija gustoće vjerojatnosti:

30

2

1 2

2

1

43

2

)(

Var(X) E(X)

0 - )(

x

exf

Normalna distribucija ovisi o dva parametra i. (X N( , 2))

Zvonolika je oblika, simetrična oko sredine stočkama infleksije .

Standardizirana normalna

distribucijaLinearnom transformacijom oblika preslikava senormalno distribuirana slučajna varijabla X sasredinom i standardnom devijacijom ustandardiziranu normalnu varijablu Z koja je neovisna omjernim jedinicama. Očekivanje i varijanca od Z su

111

011

22)()()()(

))(()()()(

XVarXVarX

VarZVar

XEXEX

EZE

tj Z N(0 1)

z- )(2

2

1

2

1 z

ezf

STANDARDIZIRANA NORMALNA DISTRIBUCIJA

PRIMJER 6.90.

0.3413 0.3413

3413.010 ZPXP

0 1

3413.001 ZPXP

0.3413 0.3413

6826.03413.0211 ZPXP

-1 0 1

0.68260.6826

8185.04772.03413.0

212 ZPXP

2

0.3413

0.4772

-1 0 2

STUDENTOVA DISTRIBUCIJA

(t-distribucija)

t-distribucija je distribucija vjerojatnostikontinuirane slučajne varijable t ,(- <t < ) Ona je usko povezana s normalnomstandardiziranom distribucijom. Očekivanavrijednost distribucije E(t)=0, a varijancaVar(t)== /( -2) (za 3)

PRIMJER 6.94.

PRIMJER 6.97.

PRIMJER 6.99.