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Visualización de Fluidos
Dr. Luis Gerardo de la Fraga
E-mail: [email protected] de Computación
Cinvestav Zacatenco
28 de marzo, 2012
Dr. Luis Gerardo de la Fraga ENC2012, Salamanca Visualización de Fluidos 1/53
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Contenido
1. Contexto de la visualización de fluidos
2. Técnicas de visualización
3. Simulación de fluidos
4. Visualización de la superficie del fluido
5. Conclusiones
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Mis áreas de investigación
I Visión por computadora
I Aplicaciones de algoritmos evolutivos
I Modelos deformables
I Seguridad en redes de computadoras
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Las tres áreas principales a
aFoley, van Dam, Feiner, Hughes, Computer Graphics: principles andpractice, 2000, Addison Wesley.
1. Graficación: Trata la śıntesis de escenas con objetos realeso imaginarios a partir de sus modelos computacionales.
2. Procesamiento de Imagen:
2.1 Realzado de imagen2.2 Detección y reconocimiento de patrones2.3 Análisis de escenas2.4 Visión por computadora: Reconstrucción de un modelo
3D de una escena a partir de varias imágenes 2D.
Desde los años 90 del siglo pasado, visión es un área es śı mismadebido al número de publicaciones y revistas en el área.
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Áreas relacionadas
1. Procesamiento de imágenes
2. Graficación
2.1 Realidad virtual2.2 Geometŕıa computacional2.3 Interfaces hápticas2.4 Interfaces hombre-máquina2.5 Modelos deformables2.6 Visualización de fluidos
3. Visión
3.1 Geometŕıa proyectiva3.2 Realidad aumentada (usa las tres áreas)3.3 Análisis numérico3.4 Procesamiento paralelo (GPUs)
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¿Para qué simular fluidos? (1/2)
Para representar fenómenos de la naturaleza
1. Formación de estrellas en galaxias [1]
2. Formación planetaria y estelar
3. Movimiento de arena [2]
4. Fenónenos atmosféricos(tornados, inundaciones)
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¿Para qué simular fluidos? (2/2)
Para realizar aplicaciones como:
1. Simuladores para entrenimiento [3](simular fuego, humo, agua)
2. Cambios de fase en objetos deformables [4]
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Estado del arte
Los algoritmos de visualización de fluidos usados en trabajosrevisados:
Encajamiento de cubos FFFFFFFFF9Trazo de rayos, superficies impĺıcitas FFFFF5Trazo de rayos, poĺıgonos FFF3Esferas poligonales FFF3Aplanados FF2Objetos sin forma FF2Conjuntos de nivel FF2Conjuntos de nivel con part́ıculas F1Encajamiento de mosaicos F1Encajamiento de rebanadas F1Sprites F1Sema-iimpĺıcito de part́ıculas móviles F1Volumétrico F1
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Campos escalares (1/2)
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Campos escalares (2/2)
Pixels en 2D
Voxels en 3D
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Encajamiento de cubo (1/2)
Este es un algoritmo de graficación [5] para extraer una mallapoligonal de una isosuperficie de un campo escalartridimensional.
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Encajamiento de cuadros (1/2)
1
1
321
1
1
1 1 1 1 1
1
1
11111
1
2
2
2
3 3
3
3
3
3
3
0
1
1 1
11
1
1
1
1
1
1
1
0 0 0 0 0 0
0
0
0
000000
0
0
www.wikipedia.org
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Encajamiento de cuadros (2/2)
6
733311
9
9
13
4
1 2
8
0
0
0
00
0
12 12 12 14
6
11
1
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3
3
3
3
3
1
1
321
1
1
1 1 1 1 1
1
1
111
Caso 0
Caso 15Caso 14Caso 13Caso 12
Caso 11Caso 10Caso 9Caso 8
Caso 7Caso 6Caso 5Caso 4
Caso 3Caso 2Caso 1
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Encajamiento de cubo (2/2)
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Aplanados (splatting) [6]
En esta técnica de visualización se linealiza por trozos lasuperficie del objeto a visualizar, por cada punto en la superficiese dibuja un aplanado orientado de acuerdo a la normal a lasuperficie.
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Aplanados en 2D
10
20
30
40
50
60
70
25 30 35 40 45 50 55 60
’tmp.dat’
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Aplanados en 3D (1/2)
Se puede usar cualquier figura plana: ćıculos, triángulos,cuadrados, etc.
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Aplanados en 3D (2/2)
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Trazo de rayos (1/2)
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Trazo de rayos (2/2)
Imagen realizada por Carlos Daniel Venegas Tamayo en el curso de
Graficación 2011 usando povray (www.povray.org)
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Objetos sin forma (blobs)
I Son ideales para modelar átomos y moléculas.
I Matemáticamente son isosuperficies de campos escalares
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Objetos sin forma
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Fluido
Definición de la Real Academia Española de la Lengua:
(es un adjetivo que se usa también como sustantivo)Dı́cese de cualquier cuerpo cuyas moléculas tienenentre śı poca o ninguna coherencia, y toma siempre laforma del recipiente o vaso que lo contiene; como losĺıquidos y los gases.
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Simulación de fluidos
Existen dos enfoques:
1. Euleriano (usa una rejilla)
2. Lagrangiano (con part́ıculas)
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Euleriano
El espacio de trabajo es fijo
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Lagrangiano
El espacio de trabajo es arbitrario
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Hidrodinámica Suavizada con Part́ıculas [7, 8]
I HSP es un método de interpolación que funciona a partirde un número finito de part́ıculas.
I Utiliza una ventana de interpolación
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Interpolación
Una cantidad A : R→ R se interpola en la posición r como:
A(r) =∑j
mjAjρjW (r− rj , h)
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Propiedades de la ventana W
I Es par: W (r, h) = W (−r, h)I Está normalizada:
∫W (r)dr = 1
I Gradiente: ∇A(r) =∑
jmjAjρj∇W (r− rj , h
I Laplaciano: ∇2A(r) =∑
jmjAjρj∇2W (r− rj , h
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Ecuaciones de Navier-Stokes (1/2)
I Rigen el comportamiento de los fluidos
I Todos los simuladores las utilizan
I Estas son ecuaciones diferenciales que se basan enI La conservación de la masaI La conservación del momento linealI La conservación del momento angularI La conservación de la enerǵıa
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Ecuaciones de Navier-Stokes (2/2)
La ecuación de conservación del movimiento:
ρ
(dv
dt+ v · ∇v
)= −∇p+ ρg + µ∇2v
donde ρ es la densidad del fluido, p es la presión, v es lavelocidad, g es la aceleración gravitacional y µ es un factor deviscosidad.La ecuación de la conservación de la masa:
dρ
dt+ ρ · ∇v = 0
La conservación de la enerǵıa
ρ = kp
donde k depende de la temperatura.
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I En HSP la masa se conserva de forma automática, debido aque se usa un número finito de part́ıculas con la mismamasa.
I Debido a que las part́ıculas se mueven junto con el fluido,el término convectivo v · ∇v es cero.
ρ
(dv
dt
)= −∇p+ ρg + fv
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Viscosidad
Usamos en las simulaciones la viscosidad de Muller [5]
fv = µ∇2v
= µ∑j
mjvj − viρj
∇2 W (ri − rj , h)
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Ventanas de Muller [5]
Wpoli6(r, h) =
{Cpoli6(h
2 − |r|2)3, si 0 ≤ |r| < h0, de otro modo
Wspiky(r, h) =
{Cspiky(h− |r|)3, si 0 ≤ |r| < h0, de otro modo
Wvis(r, h) =
{Cvis
(− |r|
3
2h3+ |r|
2
h2+ h2|r| − 1
), si 0 ≤ |r| < h
0, de otro modo
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Espacio Cpoli6 Cspiky Cvis
2D 4πh8
10πh5
103πh2
3D 31564πh9
15πh6
152πh3
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Método salto de rana
Dada una ecuación diferencial de la forma
md2p
dt2= f
(dp
dt,p, t
)Se integra de la forma
pi+1 = pi + vi+1/2 δt
vi+1/2 = vi−1/2 + ai δt
con las condiciones iniciales p0 y v−1/2.
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Búsqueda eficiente de los vecinos
h
h
El espacio de trabajo se dividió en celdas de tamaño h× h y cadacelda mantiene una lista de las part́ıculas dentro de ella.
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Diseño del contenedor en 2D
p
b
p
a
a
b
a
b
p
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Contenedor en 3D
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Colisión de las part́ıculas con el contenedor
Suponemos que las superficies son elásticas y se comporta comoun sistema masa–resorte-amortiguador (MRA)
bk
m
F
El sistema MRA se modelacomo:
mẍ+ bẋ+ kx = F
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La solución de la ecuación diferencial mẍ+ bẋ+ kx = F es bienconocida y presenta tres casos:
Si b2 − 4mk es
> 0, sobreamortiguada,
= 0, cŕıticamente amortiguada,
> 0, subamortiguada.
deformación
sobreamortiguado
subamortiguado
tiempo
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La solución subamortiguada para ẍ+ 2λẋ+ ω2x = 0, tiene larespuesta más rápida y es, para x(0) = 0 y ẋ(0) > 0:
x(t) =ẋ(0)√ω2 − λ2
e−λt sen(t√ω2 − λ2
)ẋ(t) =
ẋ(0)√ω2 − λ2
e−λt[√
ω2 − λ2 cos(t√ω2 − λ2
)− λ sen
(t√ω2 − λ2
)]
I La colisión termina en el tiempo tf =π√
ω2−λ2
I La velocidad final será ẋ(tf ) = −ẋ(0) exp −πλ√ω2−λ2
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Modelo de la colisión
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1D
espl
azam
ient
od (m
etro
s)
Velo
cida
d (m
/s)
Tiempo (segundos)
tf
x(t)v(t)
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Bola del fluido
Campo de fuerza central
fc : Rn ← Rn
fc(p) =
0, si 0 < ‖r‖ ≤ �F r‖r‖ , si 0 < ‖r‖ ≤ R0, si R < ‖r‖
donde r = pcentro − p.R
ε
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Animación de la fuerza de gravedad
g
En vez de girar la caja Gira la gravedad
g
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SimulacionesI Simulación en 2D con 300 part́ıculas
I Simulación en 3D con 500 part́ıculas
I Simulación en 2D con 300 y 200 celdas
I Visualización en 3D con trazo de rayo
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Conclusiones
1. Se expusieron las técnicas de visualización más usadas paravisualizar fluidos: trazo de rayo, objetos sin forma yaplanados.
2. Se presentó como se simula un fluido utilizando el métodode hidrodinámica suavizada con part́ıculas.
3. Se mostraron dos ejemplos, en 2D y 3D, de un fluidodentro de una caja redondeada.
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Trabajo a futuro
1. Entender que significado f́ısico tienen los resultados de lasimulación
2. Ejecución en GPUs
3. Diseño de un sensor para cantidades vectoriales
4. Modelar el cambio de fase
5. Representar objetos deformables como fluidos
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¡Gracias!
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J.J. Monaghan.
Simulating free surface flows with SPH.
Journal of Computational Physics, 110(2):399–406, 1994.
Y. Zhu and R. Bridson.
Animating sand as a fluid.
ACM Trans. Graph., 24(3):965–972, 2005.
M. Müller, S. Schirm, and M. Teschner.
Interactive bllod simulation for virtual surgery based onsmoothed particle hydrodynamics.
Technology and health care, 12:25–31, April 2004.
R. Keiser, B. Adams, D. Gasser, P. Bazzi, P. Dutré, andM. Gross.
An unified lagrangian approach to solid-fluid animation.
In Symposium on Point-Based Graphics, pages 124–148, 2005.
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M. Müller, D. Charypar, and M. Gross.
Particle-based fluid simulation for interactive applications.
In Symposium on Computer Animation, pages 154–159, 2003.
Ma. del Rosario Mart́ınez Gómez.
Sistema de visualización para un tomógrafo de rayos X.
Master’s thesis, Cinvestav, Departamento de Ingenieŕıa Eléctrica,2006.
Andrés Cortés Dávalos.
Visualización de fluidos generados por el método hsp.
Master’s thesis, Cinvestav, Departamento de Computación, 2011.
Fernando Garćıa Arregúın.
Objeto deformable inmerso en un fluido.
Master’s thesis, Cinvestav, Departamento de Ingenieŕıa Eléctrica,2007.
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Departamento de Computación del Cinvestav
Ofrecemos la maestŕıa y doctorado enCiencias de la Computación.
I Página del Departamento: http://www.cs.cinvestav.mx
I Página personal: http://cs.cinvestav.mx/˜fraga
I Correo-e: [email protected]
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