Višekriterijsko programiranje
-
Upload
tanjadespotovic -
Category
Documents
-
view
28 -
download
1
description
Transcript of Višekriterijsko programiranje
1
1. Uvod
Tema našeg projekta je Višekriterijsko programiranje. Na kolegiju „Menadžersko
odlučivanje“ susreli smo se sa pojmom višekriterijsko odlučivanje te naučili da u procesu
odlučivanja često nije moguće definirati samo jednu funkciju cilja. Rješenje kojemu težimo i
koje treba biti zadovoljeno obično ima više kriterija.
Primjerice, kod kupnje mobitela želimo ostvariti što bolju kvalitetu, brzinu, velik broj
funkcija, ali i estetski izgled. Konačno rješenje predstavlja kompromis između nekoliko
zahtjeva koji su najčešće konfliktni. Od donositelja odluke zahtijeva se da odabere
najprihvatljiviju alternativu. U tome pomažu i metode višekriterijskog programiranja.
Projekt se sastoji od pet poglavlja. Prvo poglavlje je uvod, u drugom poglavlju upoznajemo se
sa odlučivanjem i odlukama. Treće poglavlje donosi podjelu višekriterijalnog odlučivanja dok
četvrto poglavlje govori o metodama višekriterijalnog programiranja. U petom poglavlju
donosimo primjer problema rasporeda policijskih patrola koji je riješen metodom ciljnog
programiranja, jednom od metoda višekriterijskog programiranja.
2
2. Pojam i definiranje odlučivanja
Odlučivanje je kao pojam u vrlo širokoj uporabi. Ono je prisutno u svakodnevnom životu,
kako profesionalnom, tako i u privatnom.
Donošenje odluke, odnosno odlučivanje, staro je isto toliko koliko je staro ljudsko društvo,
odnosno ljudski rod. Svaka ljudska aktivnost posljedica je nekog ranijeg procesa odlučivanja
ili je ona sama odlučivanje. Odlučivanje je po samoj definiciji proces koji traje određeno
(duže ili kraće) vrijeme, a završava donošenjem odluke. Trajanje procesa odlučivanja, zavisno
od vrste odluka, kreće se u rasponu od djelića sekunde pa do dugotrajnijeg procesa koji se
mjeri, ne samo satima i danima, već mjesecima pa i godinama. I dok se odluka, npr. o tome
što smo odjenuli danas, u pravilu donosi u jednom trenutku, istovremeno, npr. odluka o tome
koji proizvodni program izabrati, na koje se tržište kupaca orijentirati i slično, traje znatno
duže.
Čovjek se stalno, svakodnevno susreće s odlučivanjem. U suvremenim uvjetima rada i života,
s obzirom da se živi intenzivnije i brže, i odlučivanje je neusporedivo češće i intenzivnije.
U literaturi koja obrađuje problematiku odlučivanja susrećemo brojne definicije odlučivanja.
Za H. Koontza i H. Weihricha1 odlučivanje (decision making) bi se moglo definirati kao
izabiranje smjera odnosno načina djelovanja između više inačica. U svezi s odlučivanjem jest
i davanje odgovora na sljedeća pitanja:
Gdje se neki posao mora obaviti (mjesto odlučivanja)?
Kada se određeni posao mora obaviti (vrijeme odlučivanja)?
Kako se taj posao mora obaviti (način odlučivanja)?
Tko će obaviti taj posao (osoba koja donosi odluke)
U svim definicijama odlučivanja, zajedničko je to što se radi o izboru između više inačica pa
bismo odlučivanje mogli definirati kao proces izbora između dvije ili više mogućnosti
rješavanja nekog problema.
Dakle, za odlučivanje je bitno da se radi o »procesu«, koji traje kraće ili duže vrijeme, u
kojem se vrši »izbor« između najmanje »dvije ili više mogućnosti«, a da bi se »riješio
problem« zbog kojega smo se i odlučili na odlučivanje.
1 Harold Koontz, Heinz Wcihrich: Essentials of Management, Fifth Edition, Mc Graiv--Hill Publishing Company, New York, 1990.,
str. 108.
3
a) Pojam odluke2
Kada su u pitanju odluke, njih možemo lako definirati kao izbor između više alternativa. Ono
što svaka odluka treba sadržavati je:
subjekt, objekt, strukturu ili sastav na koji se odluka odnosi i koju odluku treba
realizirat
aktivnosti koje treba izvrsiti radi realizacije odluke
sustav ciljeva koje treba ostvariti kroz realizaciju odluke
sustav ograničenja ili limitirajućih faktora
termine, rokove, prostorne, vremenske kao i druge resurse
sustav materijalno-tehničkog, financijskog i drugog osiguranja realizacije odluke.
S aspekta prirode problema o kojem se odlučuje razlikujemo:
strukturirane odluke – donose se u okviru neke strukture i uvjetovane su tom
strukturom i to su najčešće programirane odluke na nižim razinama menadžmenta
nestrukturirane odluke - donose se u situacijama gdje nema stalnih uloga ni linija
komunikacija. Neprogramirane odluke su na razini top menadžmenta.
b) Rješavanje problema i odlučivanje
Rješavanje problema je proces identificiranja razlike između aktualnog stanja sustava i
poželjnog stanja, te poduzimanje aktivnosti za uklanjanje uočenih razlika.
Faze procesa odlučivanja: 3
1. Priprema odluke (podfaze)
- Identifikacija problema
- Definiranje zadatka
- Snimanje i analiza postojećeg stanja
2 Barković Dražen, Menadžersko odlučivanje, Ekonomski fakultet u Osijeku
3 Hunjak Tihomir, Nina Begčević, Teorija odlučivanja, Fakultet organizacije i informatike, Varaždin.
4
- Traženje alternativnih rješenja problema
- Vrednovanje svih alternativnih rješenja
2. Donošenje odluke
3. Provođenje odluke
4. Kontrola provođenja odluke
Slika 1: Proces odlučivanja – strukturiranje i analiziranje problema
Izvor: Hunjak Tihomir, Nina Begčević, Teorija odlučivanja, Fakultet organizacije i informatike, Varaždin.
STRUKTURIRANJE PROBLEMA ANALIZIRANJE PROBLEMA
5
3. Višekriterijalno odlučivanje
U području gospodarenja, zbog složenosti sustava, na višim razinama odlučivanja proces
donošenja odluka, po svojim osobinama, pripada višekriterijalnom odlučivanju koje se koristi
u situacijama kada postoji veći broj, najčešće konfliktnih kriterija, što predstavlja veliko
približenje stvarnim zadaćama u procesima odlučivanja.
Karakteristike višekriterijalnog odlučivanja4:
veći broj kriterija, atributa
konflikti izemđu kriterija
neusporedive jedinice mjere
rješenje ovakve vrste problema je projektiranje najbolje akcije (alternative) ili izbor
najbolje iz prethodno definiranog skupa akcija
Zadaće iz skupine višekriterijalnog odlučivanja mogu se klasificirati kao:
višeatributativno odlučivanje (VAO) ili višekriterijalna analiza (VKA)
višeciljno odlučivanje (VCO)
Višeatributivno odlučivanje Višeciljno odlučivanje
Kriterij (definiranje) atributima ciljevima
Cilj implicitan (loše definiran) eksplicitan
Atribut eksplicitan implicitan
Ograničenja neaktivna (uključena u atribute) aktivna
Akcije (alternative) konačan broj (diskretna) beskonačan broj (kontinuirana)
Interakcije s donositeljima
odluke nije izrazita izrazita
Primjena izbor/evaluacija projektiranje
4 http://bib.irb.hr/datoteka/407750.mag-rad-vlah-final.pdf
6
a) Višeatributivno odlučivanje (Multiple attribute decision making)
Metoda se temelji na atributima koji služe u procesu ocjene ili evaluacije pojedinog kriterija.
Veći broj atributa karakterizira pojedinu akciju (alternativu), a biraju se na temelju izabranih
kriterija od strane donositelja odluke.
Višeatributivno odlučivanje se najčešće prikazuje u matričnom obliku.
Matrica odlučivanja D=
Xij je vrijednost i-te akcije ai (i=1,… ,m) u odnosu na j-ti atribut Aj (j=1,…,n)
Skale mjerenja za kvalitative atribute:
ordinalna skala - formira redoslijed akcija, te ne vodi računa o relativnim razlikama
između skala
intervalna skala - osigurava jednake intervale između akcija i označava odstupanje
akcija od unaprijed definirane referentne akcije
skala odnosa - osigurava jednake intervale između akcija i označava odstupanje akcija
od referentne akcije koja nije unaprijed definirana
b) Višeciljno odlučivanje
Za višeciljno odlučivanje karakteristično je da sve do sada razvijene metode imaju slijedeće
zajedničke osobine:
skup ciljeva koji mogu biti kvantificirani,
skup dobro definiranih ograničenja,
7
proces dobijanja trade-off informacija (eksplicitnih ili implicitnih) o identificiranim
ciljevima (koji recimo nisu kvantificirani).
Posljednja osobina je posebno značajna. Naime, većinu realnih ciljeva je vrlo teško
kvantificirati, pa je za korištenje metoda iz ove grupe (višeciljno odlučivanje), potrebno
raspolagati procesom koji bi bio u stanju da osigura određenu razinu kvantifikacije svih
ciljeva.
4. Višekriterijsko programiranje
U procesu odlučivanja često nije moguće definirati samo jednu funkciju cilja. Kriterija koje
traženo rješenje treba zadovoljavati obično ima više. Kod izbora automobila, na primjer, bilo
pri kupovini ili proizvodnji, želimo ostvariti što veću udobnost, brzinu i ubrzanje uz najmanju
cijenu i utrošak goriva. Problem prehrane traži zadovoljenje dnevnih potreba organizma uz
najmanje troškove i minimalnu konzumiranu količinu štetnih tvari. Kod planiranja
proizvodnje želi se postići maksimalni doprinos za pokriće (kontribucija), tj. razlika između
prihoda i direktnih troškova, ali cilj može biti i zadovoljenje potreba tržišta u što kraćem roku.
Izbor konačnog rješenja tada predstavlja kompromis između nekoliko zahtjeva, često
suprotnih. Od donosioca odluke zahtijeva se da procijeni prihvatljivost ponuđenog rješenja i
eventualno usmjeri proces optimizacije prema boljemu. Metoda višekriterijskog
programiranja ima mnogo, od kojih svaka ima neke prednosti, ali i nedostatke. Ovdje će biti
spomenute najpoznatije i najčešće korištene metode.
4.1. Podjela metoda višekriterijskog programiranja
Višekriterijsko programiranje može se podijeliti u dvije osnovne kategorije5:
1. Metode optimalnog izbora (Multiple Attribute Decision Making Methods) koriste se u
slučaju da treba izabrati najbolju mogućnost između ograničenog broja prethodno definiranih
mogućnosti. Svaka će mogućnost biti opisana s nekoliko atributa, koji mogu biti kvalitativni i
kvantitativni. Kao optimalno rješenje odabire se mogućnost čiji su atributi po nekim
kriterijima bolji od atributa ostalih mogućnosti. Te će se metode koristiti, na primjer, pri
5 Kalpić Damir, Mornar Vedran, Operacijska istraživanja, Zagreb 1996.
8
kupovini elektroničkog računala kad treba izabrati najpovoljniju između nekoliko ponuda
raznih proizvođača, pri odabiranju poslovnih partnera i slično.
2. Metode optimizacije s više funkcija cilja (Multiple Objective Decision Making Methods)
nisu povezane s izborom iz skupa prethodno definiranih rješenja. Problemi kojima se te
metode bave sastoje se od određenog broja funkcija cilja koje treba maksimizirati ili
minimizirati i skupa ograničenja koja se postavljaju na varijable modela. Takvi problemi
imaju beskonačno mnogo rješenja. Kao primjer za tu grupu metoda može se navesti problem
smjese, prehrane, ili oblikovanja novog proizvoda.
Svaka metoda višekriterijskog programiranja zahtijeva prisutnost čovjeka koji postavlja
zahtjeve, usmjerava proces optimizacije i na kraju prihvaća ili odbija ponuđeno rješenje. Za tu
osobu, ili više njih, uobičajeni je naziv donosilac odluke. Dalja podjela obiju grupa uslijedit će
prema učešću donosioca odluke u procesu optimizacije.
4.2. Metode optimizacije s više funkcija cilja
4.2.1. Osnovni pojmovi i definicije
Problem optimizacije s više funkcija cilja matematički se može prikazati kao
max ( f ( x ) , f 2 ( x ) , . . . . . . . f k ( x ) )
gdje su fi(x), i=1,...,k funkcije cilja, uz ograničenja
gj ( x ) < 0 , j=1, . . . , m x jest n-dimenzionalan vektor.
Rješavanjem k problema max fj (x)
j = 1 , . . . , k uz ograničenja
g ( x ) < 0
dobijemo k optimalnih rješenja.
Rješenja mogu biti:
1. Savršeno rješenje – rijetko će se postići zbog najčešće konfliktnih zahtjeva na funkciju
cilja
2. Efikasno rješenje takvo je rješenje kod kojeg nije moguće postići poboljšanje niti
jedne funkcije cilja bez istovremenog pogoršanja barem jedne od preostalih funkcija
cilja. Drugim riječima, ne postoji niti jedno rješenje koje je po jednom kriteriju bolje, a
9
da po ostalima nije lošije od njega. Za efikasno rješenje nalazimo još i sljedeće
nazive: nedominirano, neinferiorno ili paretovski optimalno rješenje.
3. Efikasno rješenje koje donosilac odluke prema nekim vlastitim mjerilima prihvati kao
konačno naziva se najbolje rješenje.
4. Zadovoljavajuće rješenje ne mora biti ujedno i efikasno, ali ga donosilac odluke
prihvaća u nemogućnosti da svojim znanjem, sposobnostima, ili metodom koju
koristi dođe do boljega
Za ilustraciju navedenih pojmova može poslužiti sljedeći primjer.
Potrebno je maksimizirati dvije funkcije cilja
max f1 = x1 + x2
max f2 = x2 - x1
Uz ograničenja:
3
, 0
Skup dozvoljenih rješenja X i funkcije cilja u svojim optimumima prikazani su na slici 1
Skup dozvoljenih rješenja nalazi se unutar konveksnog skupa ABCD, dok se skup efikasnih
rješenja nalazi na dužini BC. Na slici 2 prikazana je ovisnost među iznosima rješenja za
funkcije cilja. Konveksni skup ABCD tu predstavlja skup funkcionalnih vrijednosti. Donosilac
odluke može sada izabrati najbolje rješenje iz skupa efikasnih rješenja, tj. sa spojnice
optimalnih rješenja BC.
10
Slika 1 Skup mogućih rješenja
Izvor: Kalpić Damir, Mornar Vedran, Operacijska istraživanja, Zagreb 1996.
Slika 2 Skup funkcionalnih rješenja
Izvor: Kalpić Damir, Mornar Vedran, Operacijska istraživanja, Zagreb 1996.
Općenito postoje dva pristupa u rješavanju linearnog problema optimizacije s više funkcija
cilja. Prvi pristup sastoji se u optimizaciji jedne funkcije cilja dok se na ostale dodaju
ograničenja koja predstavljaju ciljeve koji se u procesu moraju postići. Takav pristup naziva se
ciljno programiranje i može se formulirati kao
max fi(x)
uz uvjete
g(x) ≤ 0
fj(x) ≤ aj, j=1,...,k j≠i
11
aj jest cilj koji želimo postići za funkciju cilja j.
Drugi pristup, ekvivalentan traženju efikasnog rješenja, uključuje optimizaciju nove funkcije
cilja
k
max Σ wi fi(x)
i=1
uz uvjete
g(x) ≤ 0
wi jesu težine ili ponderi koji se obično normaliziraju tako da je
k
Σ wi = 1 , wi > 0
i=1
Naravno, kod složenijih modela nije moguće unaprijed odrediti ciljeve odnosno težine, tako
da oba postupka, u jednostavnu obliku u kojem su prikazana ovdje, nisu prikladna za
rješavanje problema iz prakse. To, naravno, ne znači da se njihovom doradom ne mogu
dobiti efikasni i vrlo upotrebljivi algoritmi.
4.2.2. Metode kod kojih se informacije o preferencijama daju prije rješavanja problema
Donosilac odluke, odlučivši se za jednu od ovih metoda, dužan je saopćiti svoje preferencije
prije nego započne s rješavanjem problema, a nakon formiranja modela. Informacije mogu biti
kardinalne ili mješovite (kardinalne i ordinalne). Kod zadavanja kardinalnih informacija
preferencije će biti definirane nekim brojčanim iznosom, dok će se u slučaju ordinalnih
informacija funkcije cilja zadavati redom prema značenju.
12
a) Metoda globalnog kriterija
Osnovna ideja metode vidljiva je već iz naziva: sastoji se u optimizaciji nekog globalnog
kriterija, npr. minimizaciji sume kvadrata udaljenosti od idealnih rješenja za pojedine
funkcije cilja.
b) Metode funkcije korisnosti
Karakterizira stav donositelja odluke prema problemu donošenja odluke pri riziku i
neizvjesnosti.
Slika 3 Osoba s averzijom prema riziku
Izvor:http://www.fonforum.org/download/treca/Teorija_odlucivanja/Teorija_Odlucivanja-skripta_for_dummies.p(17.05.2012.)
Slika 4 Osoba sklona riziku
Izvor:http://www.fonforum.org/download/treca/Teorija_odlucivanja/Teorija_Odlucivanja-skripta_for_dummies.p(17.05.2012.)
Slika 5 Sklonost riziku pri malim novčanim iznosima
Izvor:http://www.fonforum.org/download/treca/Teorija_odlucivanja/Teorija_Odlucivanja-skripta_for_dummies.p(17.05.2012.)
13
i(x
c) Metoda ograničavanja funkcije cilja
Kod tih metoda donosilac odluke postavlja minimalne prihvatljive iznose na pojedine
funkcije cilja kao što je već prije bilo opisano i pristupa optimizaciji jedne od njih.
max fr(x)
gi ) ≤ 0, i=1,...,m
fj(x) ≥ 1j, j=1,...,k, j≠r
Moguće je zadati i najveći dozvoljeni iznos, pa tako gornjim nejednadžbama
dodajemo još i
fj(x) ≤ hj, j=1,...,k, j≠r
Poteškoću kod korištenja te metode predstavlja zadavanje korektnih iznosa koje funkcije
cilja moraju postići. Nedostatak informacija o ponašanju modela u trenutku zadavanja lako
može odvesti k nemogućem rješenju, a odabiranje jedne od funkcija cilja za optimizaciju
zapravo je degradiranje višekriterijalnosti.
d) Leksikografska metoda
Ova metoda polazi od predpostavke da je DO u stanju utvrditi strogu hijerarhiju između
kriterija. On treba odrediti takozvani leksikografski poredak kriterija. U ovom poretku su
kriteriji poredani po prioritetu: na prvom mjestu se nalazi kriterij najvišeg prioriteta i njega
najprije treba optimizirati. Slijedi kriterij drugog prioriteta, koji se primjenjuje samo za ona
rješenja koja su optimalna po prvom kriteriju. Postupak se tim slijedom nastavlja dalje.
Time se zadatak višekriterijalnog odlučivanja svodi na rješavanje najviše p zadataka
jednokriterijske optimizacije. Zato se ova metoda zove i metoda sekvencijalnih
optimizacija.6
6 M. Vujošević,„Uvod u optimizaciju“, Internet izvor,(http://www.laboi.fon.bg.ac.yu/download/MetOpt/uvoduvko.pdf)
14
e) Ciljno programiranje
Ciljno programiranje je vrsta linearnog programiranja nastala s ciljem uklanjanja
nedostataka i limitacija linearnog programiranja. Pojam se prvi put koristi u tekstu autora
Abraham Charnes i William Wager Cooper. Tekst je opisivao modele linearnog
programiranja s više ciljeva. Ti ciljevi su najčešće konfliktni tako da se metodom ciljnog
programiranja traži najbolje zadovoljavajuće rješenje s obzirom na dana ograničenja i
ciljeve.
Glavno obilježje ciljnog programiranja je definiranje odstupanja od zadanog cilja. Na
primjer, uzmemo li običan oblik cilja linearnog programiranja: „Maksimiziraj profit“, njega
bi mogli preoblikovati u: „Osiguraj x jedinica profita“. Moguća stanja su da je profit manji,
jednak ili veći od x. Situaciju s profitom manjim od x nazivamo nepoželjno odstupanje.
Zadatak ciljnog programiranja je minimizirati nepoželjna odstupanja modela.7
f) Interaktivne metode
Sljedeća, vjerojatno najvažnija grupa metoda višekriterijskog programiranja, gdje donosilac
odluke u toku optimizacije progresivno utječe na usmjeravanje procesa, naziva se
interaktivnim metodama.
U te metode spadaju:
1. Metode zadovoljavajućih ciljeva
2. STEM metode
4.2.3. Metode kod kojih se informacije o preferencijama daju naknadno
Ta grupa metoda određuje podskup efikasnih rješenja i predočava ga donosiocu odluke koji
na temelju nekih svojih naknadno zadanih preferencija iz toga podskupa izabire najbolje
rješenje.
Najpoznatija metoda je metoda Variranje težine.
7 Ignizio, J. P. (1985). Introduction to Linear Goal Programming: Quantitative Applications in the Social Sciences. Sage Publications Inc.
15
4.3. Metoda optimalnog izbora
Problemi koji se rješavaju metodama optimalnog izbora sastoje se od nekoliko mogućnosti
između kojih treba pronaći najprikladniju. Svaka mogućnost opisana je skupom atributa, a
atributi mogu biti kvalitativni i kvantitativni.
U te metode spadaju:
1. Transformacija atributa
2. Metoda dominacije
3. Maximin
4. Maximax
5. Leksikografska metoda
6. Aditivna metoda
7. Metoda ELECTRE
8. Metoda TOPSIS
9. Metoda LINMAP8
8http://www.cbmn.org/slike_i_fajlovi//fajlovi/fajlovi_o_nama/nagrada_cbcg/doktorat__zdenka_dragasevic.pdf
(17.05.2012.)
16
5. Primjer rješavanja problema razmještaja gradskih policijskih
patrola korištenjem leksikografskog ciljnog programiranja
Kao primjer korištenja ciljnog programiranja, odabrali smo problem rješavanja
problema razmještaja (alokacije) policijskih patrola u indijskom gradu Delhiju. Primjer je
riješen u časopisu Information and Management Sciences [Sharma, Ghosh i Gaur, 2007, str.
173-188]. Iako je za primjer uzet dotični indijski grad, primjer se može upotrijebiti na svakom
gradu.
a) Opis primjera
Model razmještaja policijskih patrola pomaže policiji (odjel prometne policije)
utvrđivanje broja patrolnih vozila koji mora biti prisutan u određenoj smjeni na određenoj
lokaciji u gradu (ulični segment). Također, ovaj model uzima u obzir prometnije dijelove
grada i dijelove grada sa učestalijim prometnim nesrećama te u skladu s tim informacijama
usklađuje broj patrolnih vozila na tim lokacijama.
Za kreiranje modela koristila se metoda leksikografskog ciljnog programiranja.
Leksikografsko ciljno programiranje je, kao što je već rečeno ranije u radu, jedna od metoda
ciljnog programiranja. U obzir se uzimaju različiti ulični segmenti (skupine ulica) i smjene.
U obradi primjera nećemo se fokusirati na opisivanje načina rješavanja problema
putem leksikografskog ciljnog programiranja, jer je to već napravljeno u prethodnim
dijelovima ovog projektnog rada. Više ćemo obratiti pozornost na same ciljeve koji trebaju
biti postignuti, te na načine predstavljanja problema kako bi se mogla iskoristiti metoda
leksikografskog ciljnog programiranja za njegovo rješavanje.
Za ovaj problem, kao što je već rečeno, uzeo se primjer indijskog grada Delhija. Za
potrebe modela, ulice Delhija su podijeljene na tri ulična segmenta: međugradski ulični
segment (povezuje dijelove grada Delhija sa ostalim gradovima u županiji i šire), gradski
17
ulični segment (povezuje dijelove grada) te obilaznice. Ukupan broj radnih sati svakog
patrolnog vozila podijeljen je u 3 smjene jednakog broja sati (8).
b) Analiza (obrada) primjera
Prije svega, napominjemo da je tokom cijele analize primjera korištena prethodno
spomenuta literatura, dakle [Sharma, Ghosh i Gaur, 2007, str. 173-188]. Stoga, nećemo
prilikom uzimanja svake jednadžbe, formule ili nejdednadžbe referencirati izvor, budući da bi
to bilo nepregledno, pa smo zato napravili ovu napomenu.
Za rješavanje problema leksikografskom metodom ciljnog programiranja korištena
je sljedeća notacija:
- Indeksi:
o – predstavlja indeks uličnog segmenta .
o – predstavlja indeks smjene .
- Varijable i parametri:
o – broj patrolnih vozila razmještenih na ulični segment i u smjeni j.
o – broj uličnih segmenata u gradu.
o – ukupan broj smjena u jednom danu.
o – ukupan broj dostupnih patrolnih vozila.
o – ukupni budžet dostupan za jedan dan, za sva patrolna vozila9.
o – prosječni dostupni dnevni budžet za svako patrolno vozilu u
uličnom segmentu j.
o – procijenjeni minimalni broj potrebnih patrolnih vozila na uličnom
segmentu i u smjeni j.
o – procijenjeni maksimalni broj potrebnih patrolnih vozila na
uličnom segmentu i u smjeni j.
o – ukupan broj patrolnih vozila na t-tom nizu povezanih uličnih
segmenata .
o – broj uličnih segmenata koji imaju jednaku gustoću prometa
o – minimalni broj patrolnih vozila dodijeljenih za ulični segment i.
9 Budžet se odnosi na količinu novca potrebnu za benzin te eventualne kvarove patrolnih vozila.
18
- Definirani ciljevi (poredani po prioritetima, s time prvi cilj ima najveći
prioritet):
o Cilj 1, prioritet 1: Minimiziranje broja dodijeljenih patrolnih vozila
o Cilj 2, prioritet 2: Minimiziranje ukupnog budžeta
o Cilj 3, prioritet 3: Osiguravanje dovoljnog broja patrolnih vozila za
prometnije ulične segmente tijekom specifičnih razdoblja
o Cilj 4, prioritet 4: Zadovoljavanje potreba manje prometnih uličnih
segmenata i minimalnih potreba pojedinih smjena.
Također, zadana su i ograničenja kojih se treba pridržavati tijekom izračunavanja
cilja. Ta ograničenja su:
Broj patrolnih vozila koja su dostupna za pojedine ulične segmente u
određenim smjenama. To se ograničenje može izraziti i ciljnom jednadžbom:
Kao što je prikazano u objašnjenju notacije, P predstavlja ukupan broj
dostupnih vozila. Varijable i
predstavljaju varijable odstupanja
(specifične za ciljno programiranje, budući da se ciljno programiranje temelji
na tome da se pokušava što je bliže moguće približiti cilju, a razlika između
postignutog i planiranog cilja je – varijabla odstupanja ili devijacije).
predstavlja devijacijsku varijablu prekoračenja, a predstavlja devijacijsku
varijablu podbačaja.
Budžet – policijska uprava ograničava dnevnu količinu benzina koji patrolna
vozila smiju iskoristiti. Ta ograničenja, naravno, ovise o duljini puta kojeg će
patrolno vozilo morati prijeći (tj. ovise o uličnom segmentu). Ciljna jednadžba
za ukupni budžet izražava se:
Donja i gornja granica patrolnih vozila određuje se kako bi se osigurao
dovoljan broj vozila na svakom uličnom segmentu. Te granice se određuju
19
prema gustoći prometa i učestalosti prometnih nesreća na pojedinom uličnom
segmentu. Ciljna jednadžba za donju granicu izražava se:
Ciljna jednažba za gornju granicu izražava se:
Minimalna količina patrolnih vozila po smjeni – određuje se prema gustoći
prometa i učestalosti prometnih nesreća u određenom uličnom segmentu. Da bi
se utvrdila minimalna potrebna količina vozila po smjeni, potrebno je izraziti
ciljne jednadžbe za svaki od tipova uličnih segmenata:
o Ulični segmenti koji su spojeni:
s time da je i .
o Ulični segmenti koji imaju jednaku gustoću prometa:
s time da je , i .
o Svaki ulični segment:
s time da je .
I ovime je sada završeno definiranje ciljeva i njihovih ograničenja. Prije nego što
krenemo dalje, treba još definirati smjene:
Prva smjena - = Između 6.00 i 14.00 sati
Druga smjena - = Između 14.00 i 22.00 sati
Treća smjena - = Između 22.00 i 6.00 sati
20
U leksikografskom ciljnom programiranju sva ograničenja su fleksibilna zbog već
spomenutih varijabli odstupanja i prioriteta nad svakim ciljem. Sada ćemo pokazati
ograničenja koja su postavljena:
- Patrolna vozila
o Ukupno 60 patrolnih vozila dodijeljuje se na 17 uličnih segmenata
tijekom tri dnevne smjene. Ukupan broj patrolnih vozila može se
prikazati jednadžbom:
- Budžet
o Maksimalni dnevni dostupni budžet iznosi 5500 indijskih rupija (Rs).
Jednadžba se može izraziti:
- Gornja i donja granica broja patrolnih vozila po uličnom segmentu
o Kao što je već spomenuto, ukupan broj dostupnih patrolnih vozila je 60.
Kako bi se osigurao uvijek dovoljan broj vozila, potrebno je definirati
minimalni broj patrolnih vozila na svakom uličnom segmentu. Raspon
između donje i gornje granice broja vozila može se zapisati pomoću
nejednadžbe , gdje i predstavljaju procijenjene
vrijednosti minimalnog i maksimalnog broja patrolnih vozila u uličnom
segmentu i za vrijeme trajanja smjene j. Slijedi prikaz gornjih i donjih
granica za odgovarajuće ulične segmente, putem gore navedene
nejednadžbe:
Interpretacija: Na uličnim segmentima 1, 2, 3, 4, 10 i 14
u prvoj smjeni minimalan broj patrolnih vozila je 2, a
maksimalan 4. Za ostale nejednadžbe interpretacije su
identične (treba uzeti u obzir parametre).
21
o Sada se gore navedene nejednadžbe mogu prikazati kao ciljne jednadžbe
(uz dodane varijable odstupanja). Dakle, pojednostavljuje se zapis za
svaki pojedini ulični segment i smjenu (nema više varijable i koja
određuje ulični segment, sada se ciljna jednadžba definira za svaki
segment. U tablici 4.1. dan je prikaz navedenih ciljnih jednadžbi. Kraj
svake jednadžbe u zagradi je napisan broj ograničenja. (1) i (2) su redni
brojevi ograničenja za patrolna vozila i budžet, pa je logično da se kreće
sa brojem (3) kao rednim brojem prve ciljne jednadžbe ograničenja za
gornju i donju granicu patrolnih vozila, po pojedinom uličnom
segmentu. Osim ako se radi o slučaju da je donja granica jednaka nuli
(nakon 70. ciljne jednadžbe), vrijednosti u lijevom stupcu predstavljaju
ciljne jednadžbe za gornju granicu (maks. broj) patrolnih vozila, dok one
vrijednosti u lijevom stupcu predstavljaju ciljne jednadžbe za donju
granicu (min. broj) patrolnih vozila (uz vrijednosti odstupanja).
Tablica 4.1. Ciljne jednadžbe za gornju i donju granicu patrolnih vozila
22
23
Izvor: [Sharma, Ghosh i Gaur, 2007, str. 181-182]
- Minimalna količina patrolnih vozila po smjeni – slijede ciljne jednadžbe za
određivanje minimalnog broja patrolnih vozila po smjeni. Kao što je već
spomenuto, ta količina se određuje kroz 3 kategorije uličnih segmenata:
o Ulični segmenti koji su spojeni:
(Interpretacija: vrijednost jednadžbe iznad znači da na uličnim segmentima 7,
11, i 16, koji su spojeni, kroz prvu i drugu smjenu minimalna količina
potrebnih vozila, uz moguća odstupanja, iznosi 22. Na isti način se
interpretiraju ostale jednadžbe, uzevši u obzir njihove parametre.)
24
o Ulični segmenti koji imaju podjednaku gustoću prometa:
o Svaki pojedini ulični segment (dakle, minimalni broj potrebnih patrolnih
vozila za svaki ulični segment u svakoj smjeni):
25
s time da su
gdje su .
26
c) Rezultati i zaključak primjera
Problem koji je prethodno zadan postavljen je u odgovarajući softver, koji je
napravljen pomoću Microsoftovog IDE-a Visual C++. Ukupno je izvršeno 39 iterativnih
koraka kako bi se dobio završni rezultat. Rezultat u obliku rasporeda patrolnih vozila po
uličnim segmentima u pojedinim smjenama prikazan je u tablici 4.2.
Tablica 4.2. Rezultat kao raspored patrolnih vozila po uličnim segmentima i smjenama
Segment i
Smjena j
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1
2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1
3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Izvor: [Sharma, Ghosh i Gaur, 2007, str. 185]
Nakon provedene analize, zaključeno je da su postignuti ciljevi 1, 2 i 3. Naime,
vidljivo je iz tablice da je broj ukupnih patrolnih vozila reduciran na 50 (cilj 1). Ukupni
budžet je reduciran sa 5.500 Rs na 5.250 Rs (cilj 2). Također, ispunjen je i cilj 3, tj. ispunjen
je uvjet zadovoljenja broja patrolnih vozila na uličnim segmentima tijekom veće gužve u
prometu. Ipak, cilj 4 nije ispunjen, a s njime ni alokacija vozila u trećoj smjeni.
Nakon pristupa problemu pomoću metode leksikografskog ciljnog programiranja,
može se zaključiti da nije postignuto optimalno rješenje (najbolje moguće), ali je postignuto
zadovoljavajuće rješenje. Što je najvažnije, problemi čiji je prioritet viši su riješeni.
27
6. Zaključak
U seminarskom radu su proučeni aspekti višekriterijalnog programiranja u teoriji odlučivanja
te je naglašena opširnost i interdisciplinarnost polja rada. Odlučivanje je staro koliko i svijet u
kojemu živimo i djelujemo. S novim vremenima dolaze i novi izazovi. Tako je pojavom
interneta i novih informacijskih tehnologijama život eksponencijalno ubrzan. Samim time je i
proces donošenja odluka prešao iz kontinuiranog razmatranja alternative u akciju koja mora
biti brza, precizna i kvalitetna.
U radu je prikazan osvrt na metode višekriterijalnog odlučivanja koje u konačnici
nisu problematične za implementaciju, a imaju svoju korisnost na svim razinama života.
Navedene su prednosti i mane metoda, no razmislimo o njima u kontekstu svakodnevne
upotrebe u poslovanju kroz primjer rješavanja problema razmještaja gradskih policijskih
patrola korištenjem leksikografskog ciljnog programiranja. Teško se može reći da su metode
precizne za korištenje, izričito bez upotrebe nekog programskog rješenja koje automatizira
proces. No, njihova korisnost je neupitna te svakako ima svoje prednosti.
Postoji niz različitih pristupa problemu konačnog odabira samo jedne alternative iz skupa
ponuđenih rješenja ili problemu njihova rangiranja, najčešće zasnovano na nekom principu
preferencije. Prilikom donošenja odluke pomažemo si prethodno navedenim metodama
višekriterijalne optimizacije. Međutim, valja računati i na brojne izvore neizvjesnosti
vrijednosti s kojima se ulazi u problem višekriterijalnog programiranja i i neizvjesnosti
uzrokovanih nedostatkom dostupnog znanja.
28
Literatura
Knjige:
1. Barković, D. Operacijska istraživanja u investicijskom odlučivanju, Osijek: Ekonomski
fakultet u Osijeku, 2004.
2. Kalpić, D., Mornar, V. Operacijska istraživanja, Zagreb: DRIP, 1996.
3. Perić, T. Višekriterijsko programiranje, Zagreb: Alka script, 2008.
4. Tepeš, B. Višekriterijalno programiranje, Zagreb: Informator, 1978.
Znanstveni članci:
1. Tepeš, B., Rješenje problema uništavanja ciljeva metodom višekriterijalnog programiranja,
Radovi TVA, 13(1977); 3 – 11.
2. Martić, Lj. Višekriterijalno programiranje, Zagreb: Informator, 1998.
Internet:
1. http://gradst.hr/~knezic/nastava/prezentacije/visekriterijalno_odlucivanje.pdf (12.5.2012.)
2. http://www.scribd.com/doc/16640211/Ciljno-programiranje (12.5.2012.)
3. http://matematika.fkit.hr/staro/izborna/referati/Daniela%20Petkovicek%20-
%20Linearno%20programiranje.pdf (13.5.2012.)
4. http://www.hupi.hr/zoran/Zoran%20Lukic%20-%20Portfelji%20-%20Seminarski%20rad.pdf
(14.5.2012.)
5. http://www.fonforum.org/download/treca/Teorija_odlucivanja/Teorija_Odlucivanja-
skripta_for_dummies.pdf (16.5.2012.)
6. http://bib.irb.hr/datoteka/407750.mag-rad-vlah-final.pdf (16.5.2012.)
7. http://www.facebook.com/l.php?u=http%3A%2F%2Fwww.scribd.com%2Fdoc%2F65614823
%2FVI%25C5%25A0EKRITERIJSKA-OPTIMIZACIJA&h=0AQE-qvA_ (16.5.2012.)
8. http://web.efzg.hr/dok/INF/Ceric/SPO/%282c%29_vi%C5%A1ekriterijsko_odlu%C4%8Diva
nje.pdf (16.5.2012.)
9. http://web.efzg.hr/dok/OIM/dtipuric/7%20-Vi%C5%A1ekriterijsko%20odlu%C4%8Divanje-
2010.pdf (17.5.2012.)
10. http://www.scribd.com/doc/71739581/Teorije-odlucivanja