VioricaSofronie-Stokkermans...
Transcript of VioricaSofronie-Stokkermans...
![Page 2: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/2.jpg)
Literatur zur Vorlesung
Skriptum von U. Furbach
Ulrich Furbach
Logic for Computer Scientists
http://userpages.uni-koblenz.de/∼obermaie/script.htm
Buch von U. Schoning
Uwe Schoning
Logik fur Informatiker
5. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag
Buch von M. Fitting
Melvin Fitting
First-Order Logic and Automated Theorem Proving
2. Auflage, Springer-Verlag
2
![Page 3: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/3.jpg)
Logik in der Informatik
Was ist Logik?
• Mathematisch?
ja
• Unverstandlich?
hoffentlich nein
• Reine Theorie ohne praktischen Nutzen?
nein: Verifikation von Hardware, Software, Protokollen
Sprachverarbeitung und Wissensreprasentation
Abfragensprachen fur Datenbanken; ...
3
![Page 4: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/4.jpg)
Formale Logik
Ziel
• Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens
• Rational richtige Ableitung von neuem Wissen aus gegebenem
Rolle der Logik in der Informatik
• Anwendung innerhalb der Informatik
Spezifikation, Programmentwicklung, Programmverifikation
• Werkzeug fur Anwendungen außerhalb der Informatik
Kunstliche Intelligenz, Wissensreprasentation
4
![Page 5: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/5.jpg)
Modellierung
Abstraktion
5
![Page 6: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/6.jpg)
Modellierung
Adaquatheit des Modells
Wenn formulierbare Aussage wahr im Modell, dann entsprechende Aussage
wahr in Wirklichkeit
6
![Page 7: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/7.jpg)
Modellierung: Strukturen
Aufzug oben Aufzug oben
Aufzug mitte
oben
mitte
unten
Mitte gedruckt
F.nach unten
oben
mitte
unten
oben
mitte
unten
Mitte gedruckt
F.nach unten
F.nach unten
Unten gedruckt
v(AufzugOben) = wahr v(AufzugMitte) = wahr v(AufzugOben) = wahr
v(AufzugMitte) = wahr
v(MitteGedruckt) = wahr v(UntenGedruckt) = wahr v(MitteGedruckt) = wahr
v(FahrtNachUnten) = wahr v(FahrtNachUnten) = wahr v(FahrtNachUnten) = wahr
7
![Page 8: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/8.jpg)
Modellierung: Strukturen
Aufzug oben Aufzug oben
Aufzug mitteAufzug mitte
oben
mitte
unten
Mitte gedruckt
F.nach unten
oben
mitte
unten
Mitte gedruckt
F.nach unten
oben
mitte
unten
F.nach unten
Unten gedruckt
v(AufzugOben) = wahr v(AufzugMitte) = wahr v(AufzugOben) = wahr
v(AufzugMitte) = wahr
v(MitteGedruckt) = wahr v(UntenGedruckt) = wahr v(MitteGedruckt) = wahr
v(FahrtNachUnten) = wahr v(FahrtNachUnten) = wahr v(FahrtNachUnten) = wahr
8
![Page 9: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/9.jpg)
Modellierung: Strukturen
Aufzug oben Aufzug oben
Aufzug mitteAufzug mitte
oben
mitte
unten
Mitte gedruckt
F.nach unten
oben
mitte
unten
Mitte gedruckt
F.nach unten
oben
mitte
unten
F.nach unten
Unten gedruckt
Aussagen beziehen sich auf Strukturen
(Formale) Aussagen sind in jeder einzelnen Struktur zu wahr oder falsch
auswertbar
9
![Page 10: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/10.jpg)
Formale Logik
• Syntax
welche Formeln?
• Semantik
Modelle (Strukturen)
Wann ist eine Formel wahr (in einer Struktur)?
• Deduktionsmechanismus
Ableitung neuer wahrer Formeln
10
![Page 11: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/11.jpg)
Aussagenlogik: Syntax
Die Welt besteht aus Fakten
Bausteine: Atomare Aussagen
Beispiele: Aufzug ist oben:
AufzugOben
Mittlerer Knopf gedruckt:
MitteGedruckt
Verknupft mit logischen Operatoren
und oder impliziert nicht
(“wenn, dann”)
∧ ∨ → ¬
11
![Page 12: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/12.jpg)
Aussagenlogik: Syntax
Komplexe Aussagen:
Beispiele:
Wenn mittlerer Knopf gedruckt, dann Aufzug nicht in der Mitte
MitteGedruckt → ¬AufzugMitte
Der Aufzug ist oben und der Aufzug ist nicht unten
AufzugOben ∧ ¬AufzugUnten
12
![Page 13: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/13.jpg)
Aussagenlogik: Semantik
Der Aufzug ist oben und der Aufzug ist nicht unten
AufzugOben ∧ ¬AufzugUnten
wahr in: Aufzug oben oben
mitte
unten
Mitte gedruckt
F.nach unten
13
![Page 14: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/14.jpg)
Aussagenlogik: Semantik
Der Aufzug ist oben und der Aufzug ist nicht unten
AufzugOben ∧ ¬AufzugUnten
falsch in:
Aufzug mitte
oben
mitte
unten
F.nach unten
Unten gedruckt
14
![Page 15: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/15.jpg)
Aussagenlogik: Deduktionsmechanismus
• Deduktionsmechanismus
Ableitung neuer wahrer Formeln
Syllogismen:
P P → Q
Q
AufzugUnten AufzugUnten → ¬AufzugOben
¬AufzugOben
15
![Page 16: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/16.jpg)
Aussagenlogik: Deduktionsmechanismus
Deduktionsmechanismus im allgemeinen
Kalkul
In dieser Vorlesung:
• Wahrheitstafeln
• Logische Umformung
• Resolutionskalkul
• Tableaukalkul
16
![Page 17: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/17.jpg)
Pradikatenlogik
Aussagenlogik: Die Welt besteht aus Fakten
... aber: Aussagenlogik hat nur beschrankte Ausdruckskraft
Beispiele:
• Die Aussage “Alle Menschen sind sterblich” erfordert eine Formel fur
jeden Mensch.
• Die Aussage “Jede naturliche Zahl ist entweder gerade oder ungerade”
erfordert eine Formel fur jede Zahl.
17
![Page 18: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/18.jpg)
Pradikatenlogik
Reichere Struktur
• Objekte (Elemente)
Leute, Hauser, Zahlen, Theorien, Farben, Jahre, ...
• Relationen/Eigenschaften
rot, rund, gerade, ungerade, prim, mehrstockig, ...
ist Bruder von, ist großer als, ist Teil von, hat Farbe, besitzt, ..
=, ≥, ...
• Funktionen
+, Mitte von, Vater von, Anfang von, ...
18
![Page 19: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/19.jpg)
Beispiel 1
Objekte (Elemente): Zahlen
Funktionen: +, *
Terme: 2 + 3, 3 ∗ (5 + 6), x , x + 2, x ∗ (2− y)
Relationen/Eigenschaften: gerade, ungerade
Formel:
gerade(2), ungerade(5), gerade(100), ungerade(100)
gerade(2)∧ ungerade(5)
gerade(x) → gerade(x + 1)
Quantoren:
A
(fur alle);
E
(es gibt)
Formeln mit Quantoren:
A
x gerade(x)∨ gerade(x + 1)
E
x ungerade(x)
19
![Page 20: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/20.jpg)
Beispiel 2:
• Objekte (Elemente): Menschen
• Funktionen: Vater, Mutter, Jan, Anna
x Jan Anna
Vater(x) Vater(Jan) Vater(Anna)
Mutter(x) Mutter(Jan) Mutter(Anna)
Vater(Mutter(x)) Vater(Mutter(Jan)) ...
• Eigenschaften: ist-Bruder-von; Mann; Frau
Mann(x) Mann(Jan) Mann(Anna)
Mann(Vater(x)) Frau(Vater(Jan)) Mann(Vater(Jan))
ist-Bruder-von(x , y) ist-Bruder-von(x , Jan) ist-Bruder-von(x ,Anna)
ist-Bruder-von(Jan,Anna)
20
![Page 21: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/21.jpg)
Beispiel 2:
Formel:
Mann(Vater(Jan))
Mann(Vater(Jan)) ∧ Frau(Mutter(Jan))
Mann(Mutter(Anna))
Mann(Vater(Jan))∧ ist-Bruder-von(Jan,Anna)
Quantoren
A
: fur alle
E
: es gibt
Formeln mit Quantoren:
A
x Mann(Vater(x))
A
x Mann(Mutter(x))
A
x , y (ist-Bruder-von(x , y) → Mann(x))
21
![Page 22: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/22.jpg)
Beispiel 3
“Alle, die in Koblenz studieren, sind schlau”
• Objekte (Elemente): Menschen
• Funktionen: koblenz
• Eigenschaften: studiertIn, schlau
Ax(studiertIn(x , koblenz) → schlau(x))
“Es gibt jemand, der in Landau studiert und schlau ist”
• Objekte (Elemente): Menschen
• Funktionen: landau
• Eigenschaften: studiertIn, schlau
E
x(studiertIn(x , landau) ∧ schlau(x))
22
![Page 23: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/23.jpg)
Pradikatenlogik: Deduktionsmechanismus
• Deduktionsmechanismus
Ableitung neuer wahrer Formeln
Syllogismen:
Ax(P(x) → Q(x))
Ax(Q(x) → R(x))
A
x(P(x) → R(x))
A
x(studiertIn(x , koblenz) → schlau(x))
A
x(schlau(x) → gute-noten(x))
A
x(studiertIn(x , koblenz) → gute-noten(x))
23
![Page 24: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/24.jpg)
Pradikatenlogik: Deduktionsmechanismus
• Deduktionsmechanismus
Ableitung neuer wahrer Formeln
Syllogismen:
Q(a)Ax(Q(x) → R(x))
R(a)
Beispiel:
studiertIn(Jan, koblenz)
A
x(studiertIn(x , koblenz) → schlau(x))
schlau(Jan)
24
![Page 25: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/25.jpg)
Pradikatenlogik: Deduktionsmechanismus
In dieser Vorlesung:
• Resolutionskalkul
• Tableaukalkul
25
![Page 26: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/26.jpg)
Das Prinzip
z.B. naturliche Sprache
Problem Losung
LosungFormeln
prazise Beschreibung
26
![Page 27: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/27.jpg)
Anwendungesbeispiel: Sicherheitsprotokole
Ziel: zwei Personen (Alice und Bob) wollen miteinander kommunizieren
• uber ein unsicheres Daten- oder Telefonnetz,
• sicher, d. h., ohne daß ein Eindringling (Charlie) mithoren oder sich als
Alice oder Bob ausgeben kann.
Hilfsmittel: Verschlusselung
• Alice und Bob vereinbaren einen gemeinsamen Schlussel
und nutzen ihn, um ihr Gesprach zu verschlusseln.
• Nur wer den Schlussel kennt, kann das Gesprach entschlusseln.
27
![Page 28: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/28.jpg)
Beispiel: Sicherheitsprotokolle
Problem: wie kommen die Gesprachspartner an den gemeinsamen Schlussel?
• Personliche Ubergabe kommt nicht immer in Frage.
• Wird der gemeinsame Schlussel uber das Netz
unverschlusselt verschickt, konnte Charlie ihn abfangen oder
austauschen.
• Annahme: es gibt eine sichere Schlusselzentrale, mit der Alice und Bob
jeweils einen gemeinsamen Schlussel vereinbart haben.
28
![Page 29: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/29.jpg)
Beispiel: Sicherheitsprotokolle
Das folgende Schlusselaustauschverfahren wurde 1993 von den beiden Kryp-
tographen Neuman und Stubblebine vorgeschlagen:
Schritt 1:
Alice schickt (offen) Identifikation und Zufallszahl an Bob.
29
![Page 30: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/30.jpg)
Beispiel: Sicherheitsprotokolle
Schritt 2:
Bob leitet Nachricht weiter an Schlusselzentrale (”Trust“).
30
![Page 31: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/31.jpg)
Beispiel: Sicherheitsprotokolle
Schritt 3:
Trust schickt Nachricht an Alice. Darin: ein neuer gemeinsamer Schlussel,
einmal fur Alice und einmal fur Bob verschlusselt.
31
![Page 32: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/32.jpg)
Beispiel: Sicherheitsprotokolle
Schritt 4:
Alice leitet den neuen gemeinsamen Schlussel weiter an Bob.
32
![Page 33: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/33.jpg)
Beispiel: Sicherheitsprotokolle
Schritt 5:
Alice und Bob konnen nun mit dem gemeinsamen Schlussel kommunizieren.
33
![Page 34: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/34.jpg)
Beispiel: Sicherheitsprotokolle
Ist das Verfahren sicher?
Wir ubersetzen das Problem in Formeln und lassen sie von einem
Theorembeweiser untersuchen.
34
![Page 35: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/35.jpg)
Beispiel: Sicherheitsprotokolle
Zuerst formalisieren wir die Eigenschaften des Protokolls:
• Wenn Alice/Bob/Trust eine Nachricht in einem bestimmten Format
bekommt, dann schickt er/sie eine andere Nachricht ab.
Dann formalisieren wir die Eigenschaften des Angreifers:
• Wenn eine Nachricht ubermittelt wird, kann Charlie sie mithoren.
• Wenn Charlie eine verschlusselte Nachricht bekommt und den
passenden Schlussel hat, kann er sie entschlusseln.
• Wenn Charlie eine Nachricht hat, dann kann er sie an Alice/Bob/Trust
abschicken.
. . .
35
![Page 36: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/36.jpg)
Formalisierung
Zum Schluss mussen wir noch formalisieren was es bedeutet, dass der
Angreifer Erfolg hat.
Dies ist dann der Fall, wenn er einen Schlussel zur Kommunikation mit Bob
hat, von dem Bob glaubt, es sei ein Schlussel fur Alice.E
x[Ik(key(x , b)) ∧ Bk(key(x , a))]
36
![Page 37: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/37.jpg)
Automatische Analyse
Die Formalisierung des Protokolls, Formeln (1)-(8) zusammen mit den
Angreiferformeln (9)-(20) und der Erfolgsbedingung fur den Angreifer kann
man nun in einen Theorembeweiser eingeben.
Der Theorembeweiser beweist dann automatisch, dass der Angreifer das
Protokoll brechen kann.
37
![Page 38: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/38.jpg)
Das ganze Bild
Probleme (Beschreibung in natürlicher Sprache)
Formalisierung
Logik
Gültige Formel Beweisbare Formel
Kalkül
Logische Sprache: Syntax
Aussagenlogik /
Formel
Modelle: Semantik
Vollständigkeit
Korrektheit
Prädikatenlogik
38
![Page 39: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/39.jpg)
Das ganze Bild
Modellierung
Probleme (Beschreibung in natürlicher Sprache)
Formalisierung
Logik
Gültige Formel Beweisbare Formel
Kalkül
Logische Sprache: Syntax
Aussagenlogik / Prädikatenlogik
Formel
Modelle: Semantik
Vollständigkeit
Korrektheit
39
![Page 40: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/40.jpg)
Das ganze Bild
(automatische)
Deduktion
Probleme (Beschreibung in natürlicher Sprache)
Formalisierung
Logik
Gültige Formel Beweisbare Formel
Kalkül
Logische Sprache: Syntax
Aussagenlogik /
Formel
Modelle: Semantik
Vollständigkeit
Korrektheit
Prädikatenlogik
40
![Page 41: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/41.jpg)
Inhalt der Vorlesung
• 1. Einfuhrung: Motivation, Beweisstrategien (insb. Induktion)
• 2. Aussagenlogik
– Syntax und Semantik
– Deduktionsmechanismen:
- Resolution, Vollstandigkeits- und Korrektheitsbeweise
- Analytische Tableaux
• 3. Pradikatenlogik
– Syntax und Semantik
– Deduktionsmechanismen:
- Resolution, Vollstandigkeits- und Korrektheitsbeweise
- Analytische Tableaux
• 4. Weitere Aussichten
- Nichtklassische Logiken; Logiken hoherer Stufe
- Anwendungen: z.B. Datenbanken oder Verifikation
41
![Page 42: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/42.jpg)
Einfuhrung: Zusammenfassung
• Ziel und Rolle der Formalen Logik in der Informatik
• Modellierung, Adaquatheit der Modellierung
• Wesentliche Komponenten fur jede Logik: Syntax, Semantik,
Deduktionsmechanismus (Kalkul)
• Beispiel Aussagenlogik: Syntax, Semantik, Syllogismen
• Beispiel Pradikatenlogik: Syntax, Semantik, Syllogismen
• The Whole Picture:
– Formel in der “wahren Welt” / (semantisch) gultige Formel,
gultige Formel / ableitbare Formel
– Vollstandigkeit und Korrektheit von Kalkulen
42
![Page 43: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/43.jpg)
1. Grundlegende Beweisstrategien
43
![Page 44: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/44.jpg)
Mathematisches Beweisen
Mathematische Aussagen
- haben oft die Form: Wenn A, dann B.
- als Formel: A → B
Mathematischer Beweis
- bzgl. eines vorgegebenen Axiomensystems
- mit Hilfe von Inferenzregeln
44
![Page 45: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/45.jpg)
Grundlegende Beweisstrategien
Mathematische Aussagen der Form A → B (Wenn A, dann B)
- Direkter Beweis:
Annahme: A gilt. Benutze A, Axiome, und Inferenzregeln
um B zu beweisen.
Behauptung: Das Quadrat einer ungeraden naturlichen Zahl n ist stets ungerade.
Beweis: Es sei n eine ungerade naturliche Zahl. Dann lasst sich n als n = 2k + 1
darstellen, wobei k ∈ N. Daraus folgt mit Hilfe der ersten binomischen Formel,
dass:
n2= (2k + 1)
2= 4k
2+ 4k + 1 = 2 · (2k2
+ 2k) + 1.
Aus der Moglichkeit, n2 so darzustellen folgt, dass n2 ungerade ist.
45
![Page 46: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/46.jpg)
Grundlegende Beweisstrategien
Mathematische Aussagen der Form A → B (Wenn A, dann B)
- Beweis durch Kontraposition:
Beweis von ¬B → ¬A.
- Beweis durch Widerspruch:
Beweise dass A ∧ ¬B → falsch
Behauptung: Ist die Wurzel aus einer geraden naturlichen Zahl n eine naturliche
Zahl, so ist diese gerade.
Beweis: Angenommen,√n = k ware ungerade. Dann ist wegen der bereits be-
wiesenen Behauptung auch k2 = n ungerade, und das ist ein Widerspruch zu der
Voraussetzung, dass n gerade ist.
Also ist die getroffene Annahme falsch, d.h.,√n ist gerade.
46
![Page 47: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/47.jpg)
Grundlegende Beweisstrategien
Mathematische Aussagen, die nicht die Form A → B haben
- Aquivalenzbeweis (A ⇔ B) (A genau dann, wenn B)
Beweise dass A → B und dass B → A.
(Wenn A, dann B, und wenn B, dann A.)
47
![Page 48: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/48.jpg)
Grundlegende Beweisstrategien
- Beweis durch Widerspruch
Um A zu beweisen:
Annahme: A ist falsch (die Negation von A ist wahr)
Zeige, dass dies zu einem Widerspruch fuhrt.
Behauptung:√2 6∈ Q.
Beweis: Wir nehmen an dass√2 ∈ Q und somit
√2 = p
qwobei der Bruch p/q in gekurzter
Form vorliegt (d.h. p und q teilerfremde ganze Zahlen sind). Dann(
pq
)2= 2, d.h: p2 = 2q2.
Da 2q2 eine gerade Zahl ist, ist auch p2 gerade. Daraus folgt, dass auch p gerade ist, d.h.
p = 2r (wobei r ∈ Z). Damit erhalt man mit obiger Gleichung: 2q2 = p2 = (2r)2 = 4r2,
und hieraus nach Division durch 2: q2 = 2r2. Mit der gleichen Argumentation wie zuvor folgt,
dass q2 und damit auch q eine gerade Zahl ist. Da p und q durch 2 teilbar sind, erhalten
wir einen Widerspruch zur Teilerfremdheit von p und q. Dieser Widerspruch zeigt, dass die
Annahme,√2 sei eine rationale Zahl, falsch ist und daher das Gegenteil gelten muss. Damit
ist die Behauptung, dass√2 irrational ist, bewiesen.
48
![Page 49: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/49.jpg)
Grundlegende Beweisstrategien
- Beweis durch Fallunterscheidung
Um B zu beweisen, beweise dass A1 → B, . . . ,An → B,
wobei A1 ∨ · · · ∨ An ≡ wahr
Behauptung: Jede Primzahl p≥3 hat die Form p = 4·k + 1 oder p = 4·k − 1 mit k ∈ N.
Beweis: Man unterscheidet folgende vier Falle fur p, von denen immer genau einer eintritt:
Fall 1: p = 4kFall 2: p = 4k + 1Fall 3: p = 4k + 2Fall 4: p = 4k + 3 = 4(k + 1) − 1
Im ersten dieser Falle ist p durch 4 teilbar und damit keine Primzahl,
im dritten Fall ist p durch 2 teilbar und somit ebenfalls keine Primzahl.
Also muss einer der Falle zwei oder vier eintreten, das heißt p hat die Form p = 4 · k + 1
oder p = 4 · k − 1 mit k ∈ N.
49
![Page 50: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/50.jpg)
Grundlegende Beweisstrategien
- Beweis durch Fallunterscheidung
Um B zu beweisen, beweise dass A1 → B, . . . ,An → B,
wobei A1 ∨ · · · ∨ An ≡ wahr
Es sei angemerkt, dass die Fallunterscheidung zwar vollstandig sein
muss, aber die untersuchten Falle sich nicht gegenseitig ausschließen
mussen.
50
![Page 51: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/51.jpg)
Grundlegende Beweisstrategien
Aussagen mit Quantoren
A
x ∈ U : (p(x) → q(x))
Wahle a beliebig aus U.
Beweise, dass p(a) → q(a).
Da a beliebig gewahlt werden kann, folgtA
x ∈ U : p(x) → q(x)
Behauptung:
A
n ∈ N : (n ist gerade und√n ist eine naturliche Zahl
︸ ︷︷ ︸
p(n)
→√n ist gerade
︸ ︷︷ ︸
q(n)
).
Beweis: Sei n beliebig aus N.
Wir zeigen, dass wenn n gerade ist und√n eine naturliche Zahl ist, dann
√n gerade ist.
(Dies wurde auf Seite 46 bewiesen.)
51
![Page 52: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/52.jpg)
Grundlegende Beweisstrategien
Aussagen mit Quantoren
E
x ∈ U A(x)
Sei a ein geeignetes Element aus U.
Beweise, dass A(a) wahr ist. Damit folgt
E
x ∈ U : A(x).
Behauptung:
E
x ∈ N : x2 − 2x + 1 = 0
Beweis: A(x) : x2 − 2x + 1 = 0
Sei a = 1. Wir zeigen, dass A(a) wahr ist: a2 − 2a + 1 = 12 − 2 + 1 = 0.
Damit folgt
E
x ∈ N : A(x)
52
![Page 53: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/53.jpg)
Grundlegende Beweisstrategien
Aussagen mit Quantoren
E
x ∈ U A(x)
Sei a ein geeignetes Element aus U.
Beweise, dass A(a) wahr ist. Damit folgt
E
x ∈ U : A(x).E
x ∈ U (p(x) → q(x))
Sei a ein geeignetes Element aus U.
Beweis der Implikation p(a) → q(a).
Damit folgt
E
x ∈ U : p(x) → q(x).
53
![Page 54: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/54.jpg)
Grundlegende Beweisstrategien
Beweise mittels Vollstandiger Induktion
54
![Page 55: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/55.jpg)
Induktion
Wesentliches Beweisprinzip in Mathematik und Logik
Einfache Version
Induktion uber die naturlichen Zahlen N
(natural induction)
Generalization
Noethersche Induktion
(noetherian induction/
induction over well-founded partially ordered sets)
Hier: Strukturelle Induktion
55
![Page 56: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/56.jpg)
Induktion uber die naturlichen Zahlen
Idee: Definition der naturlichen Zahlen
(A1) 0 ist eine naturliche Zahl
(A2) Jede naturliche Zahl n hat einen Nachfolger S(n)
(A3) Aus S(n) = S(m) folgt n = m
(A4) 0 ist nicht Nachfolger einer naturlichen Zahl
(A5) Jede Menge X , die 0 und mit jeder naturlichen Zahl n
auch deren Nachfolger S(n) enthalt, umfasst alle
naturlichen Zahlen.
56
![Page 57: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/57.jpg)
Induktion uber die naturlichen Zahlen
(A5) Jede Menge X , die 0 und mit jeder naturlichen Zahl n
auch deren Nachfolger S(n) enthalt, umfasst alle
naturlichen Zahlen.
A
X Menge: Falls 0 ∈ X , und
A
n ∈ N : n ∈ X → n + 1 ∈ X
so
A
n ∈ N : n ∈ X
Induktionssatz
Gelten die beiden Aussagen:
- p(0) und Induktionsbasis
-
A
n ∈ N : p(n) → p(n + 1), Induktionsschritt
dann gilt auch
A
n ∈ N : p(n).
57
![Page 58: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/58.jpg)
Induktion uber die naturlichen Zahlen
Struktur eines Induktionsbeweises
(1) Induktionsbasis: Beweise p(0)
(2) Induktionsschritt: Beweise p(n) → p(n + 1)
fur ein beliebiges n ∈ N
58
![Page 59: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/59.jpg)
Induktion uber die naturlichen Zahlen
Struktur eines Induktionsbeweises
(1) Induktionsbasis: Beweise p(0)
(2) Induktionsvoraussetzung: Fur ein beliebig gewahltes
n ∈ N gilt p(n)
(3) Induktionsschluss: Folgere p(n + 1) aus der
Induktionsvoraussetzung p(n)
0 1 2 3
59
![Page 60: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/60.jpg)
Beispiel
Behauptung: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n2.
Fur alle n ∈ N,
n−1∑
i=0
(2i + 1) = n2.
p(n) :
n−1∑
i=0
(2i + 1) = n2
(1) Induktionsbasis: Beweise p(0) OK
(2) Induktionsvoraussetzung: Fur ein beliebig gewahltes
n ∈ N gilt p(n):
n−1∑
i=0
(2i + 1) = n2
(3) Induktionsschluss: Folgere p(n + 1) aus p(n)
p(n + 1) :
n∑
i=0
(2i + 1) = (n + 1)2.
Beweis:
n∑
i=0
(2i + 1) = (
n−1∑
i=0
(2i + 1)) + (2n + 1)p(n)= n
2+ (2n + 1) = (n + 1)
2.
60
![Page 61: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/61.jpg)
Wohlfundierte (Noethersche) Induktion
Verallgemeinerte vollstandige Induktion
Gelten die beiden Aussagen:
p(0) und
A
n ∈ N : p(0) ∧ p(1) ∧ · · · ∧ p(n) → p(n + 1)
dann gilt die Aussage
A
n ∈ N : p(n).
Aquivalent
Gelten die beiden Aussagen:
p(0) und
A
n ∈ N : (
A
k ∈ N : (k < n + 1 → p(k)) → p(n + 1))
dann gilt die Aussage
A
n ∈ N : p(n).
61
![Page 62: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/62.jpg)
Wohlfundierte (Noethersche) Induktion
Verallgemeinerte vollstandige Induktion
Gelten die beiden Aussagen:
p(0) und
A
n ∈ N : p(0) ∧ p(1) ∧ · · · ∧ p(n) → p(n + 1)
dann gilt die Aussage
A
n ∈ N : p(n).
Aquivalent
Gilt die Aussage:
A
n ∈ N : (
A
k ∈ N : (k < n → p(k)) → p(n))
dann gilt die Aussage
A
n ∈ N : p(n).
62
![Page 63: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/63.jpg)
Vollstandige Induktion
Zu zeigen:
A
n ≥ n0 : P(n)
Sei n ∈ N, n ≥ n0.
Induktionsvoraussetzung: p(k) gilt fur alle k < n
Induktionsschluss: Folgere p(n) aus der Induktionsvoraussetzung.
63
![Page 64: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/64.jpg)
Wohlfundierte (Noethersche) Induktion
Theorem:
Falls
A
n ∈ N : (
A
k ∈ N : (k < n → p(k)) → p(n)) P
dann gilt
A
n ∈ N : p(n) Q
Beweis: Zu zeigen: P → Q
Kontrapositionsbeweis: Wir zeigen, dass ¬Q → ¬P
Annahme: ¬Q := ¬(
A
n ∈ N : p(n)) ≡
E
n ∈ N : ¬p(n).
> wohlfundierte Ordnung auf N: es gibt keine unendliche Folge
x1, . . . , xn, . . . mit x1 > x2 > · · · > xn > . . . .
Sei Y = {n ∈ N | ¬p(n)} 6= ∅. Dann hat Y ein minimales Element m, d.h.
E
m(m ∈ Y ∧ (
A
k ∈ N : (k < m → k 6∈ Y ))) = ¬P.
64
![Page 65: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/65.jpg)
Wohlfundierte (Noethersche) Induktion
Theorem:
Falls
A
n ∈ N : (
A
k ∈ N : (k < n → p(k)) → p(n)) P
dann gilt
A
n ∈ N : p(n) Q
Beweis: Zu zeigen: P → Q
Kontrapositionsbeweis: Wir zeigen, dass ¬Q → ¬P
Annahme: ¬Q := ¬(
A
n ∈ N : p(n)) ≡
E
n ∈ N : ¬p(n).
> wohlfundierte Ordnung auf N: es gibt keine unendliche Folge
x1, . . . , xn, . . . mit x1 > x2 > · · · > xn > . . . .
Sei Y = {n ∈ N | ¬p(n)} 6= ∅. Dann hat Y ein minimales Element m, d.h.
E
m(m ∈ Y ∧ (
A
k ∈ N : (k < m → k 6∈ Y ))) = ¬P.
65
![Page 66: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/66.jpg)
Wohlfundierte (Noethersche) Induktion
Theorem:
Falls
A
n ∈ N : (
A
k ∈ N : (k < n → p(k)) → p(n)) P
dann gilt
A
n ∈ N : p(n) Q
Verallgemeinerung
- beliebige Menge A statt N
- < Ordnung auf A
- < wohlfundiert (es gibt keine unendliche Folge x1, . . . , xn, . . . mit
x1 > x2 > · · · > xn > . . . )
66
![Page 67: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/67.jpg)
Beispiel
Satz: Jede naturliche Zahl n ≥ 2 lasst sich als Produkt von Primzahlen darstellen.
p(n): n ≥ 2 → n lasst sich als Produkt von Primzahlen darstellen.
Beweis: Sei n ∈ N, n ≥ 2, beliebig gewahlt.
Induktionsvoraussetzung: p(k) gilt fur alle k < n
Induktionsschluss: Folgere p(n) aus der Induktionsvoraussetzung.
Fallunterscheidung:
Fall 1: n Primzahl. Dann lasst sich n als Produkt von Primzahlen
darstellen (n = n)
Fall 2: n keine Primzahl. Dann n = k1 · k2, mit k1, k2 ∈ N, k1, k2 ≥ 2.
Da aber ki < n, i = 1, 2 ist nach Induktionsvoraussetzung bereits eine
Darstellung als Produkt von Primzahlen fur ki bekannt.
Multipliziert man diese beiden Produkte miteinander, so erhalt man
eine Darstellung fur n.
67
![Page 68: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/68.jpg)
Fehlerquellen
Haufige Fehler bei Induktionsbeweisen
• es gibt unendliche absteigende Ketten x1 > x2 > . . .
• Induktionsanfang inkorrekt
• Bei Induktionsschritt die Grenzfalle nicht bedacht
68
![Page 69: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/69.jpg)
Fehlerquellen
Was ist hier falsch?
Behauptung: Alle Menschen haben die gleiche Haarfarbe
p(n) : In einer Menge von n Menschen haben alle die gleiche Haarfarbe
Induktionbasis: n = 1
Fur eine Menge mit nur einem Menschen gilt die Behauptung trivial
69
![Page 70: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/70.jpg)
Fehlerquellen
Was ist hier falsch?
Behauptung: Alle Menschen haben die gleiche Haarfarbe
p(n) : In einer Menge von n Menschen haben alle die gleiche Haarfarbe
Induktionsvoraussetzung: p(n) wahr.
Induktionsschritt: Beweise, dass aus p(n), p(n + 1) folgt.
n + 1 Menschen werden in eine Reihe gestellt.
Der Mensch links außen wird rausgeschickt. Es bleiben nur n Menschen.
Nun kann die Induktionsbehauptung angewendet werden und alle
verbliebenen haben die gleiche Haarfarbe (mit dem rechts außen).
70
![Page 71: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/71.jpg)
Fehlerquellen
Was ist hier falsch?
Behauptung: Alle Menschen haben die gleiche Haarfarbe
p(n) : In einer Menge von n Menschen haben alle die gleiche Haarfarbe
Induktionsvoraussetzung: p(n) wahr.
Induktionsschritt: Beweise, dass aus p(n), p(n + 1) folgt.
n + 1 Menschen werden in eine Reihe gestellt.
Der Mensch rechts außen wird rausgeschickt. Es bleiben nur n Menschen.
Die Induktionsbehauptung kann angewendet werden und alle
verbliebenen haben die gleiche Haarfarbe (mit dem links außen).
Also haben die beiden außen die gleiche Haarfarbe, wie die in
der Mitte, und die haben auch alle die gleiche Haarfarbe
Also haben alle n + 1 Menschen die gleiche Haarfarbe.
71
![Page 72: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/72.jpg)
Strukturelle Induktion
Bei der vollstandigen Induktion werden Eigenschaften der naturlichen
Zahlen bewiesen.
Bei der strukturellen Induktion werden Eigenschaften fur Mengen bewiesen,
deren Elemente aus Grundelementen durch eine endliche Anzahl von
Konstruktionsschritten (unter Verwendung bereits konstruierter Elemente)
bzw. mittels eines Erzeugungssystems entstehen.
72
![Page 73: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/73.jpg)
Induktive Definitionen
Induktive Definition von Mengen:
Induktive Definition einer Menge M aus einer Basismenge B mit
“Konstruktoren” in Σ.
(Konstruktoren sind Funktionssymbole; fur f ∈ Σ, a(f ) ∈ N ist die
Stelligkeit von f .)
Basismenge: B
Erzeugungsregel: Wenn f ∈ Σ mit Stelligkeit n und
e1, . . . , en ∈ M, dann gilt f (e1, . . . , en) ∈ M.
M ist die kleinste Menge,• die die Basismenge B enthalt,
• mit der Eigenschaft, dass fur alle f ∈ Σ mit Stelligkeit n und alle
e1, . . . , en ∈ M: f (e1, . . . , en) ∈ M.
73
![Page 74: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/74.jpg)
Induktive Definitionen: Beispiele
(1) Menge N aller naturlichen Zahlen
Basismenge: 0
Erzeugungsregel: Wenn n ∈ N, dann gilt n + 1 ∈ N
N ist die kleinste aller Mengen A mit folgenden Eigenschaften:
(1) A enthalt 0;
(2) fur alle Elemente n, falls n ∈ A so n + 1 ∈ A.
Das bedeutet, dass:
(1) 0 ∈ N
(2) Falls n ∈ N so n + 1 ∈ N.
(3) Fur jede Menge A mit Eigenschaften (1) und (2) gilt: N ⊆ A.
74
![Page 75: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/75.jpg)
Induktive Definitionen: Beispiele
(2) Menge Σ∗ aller Worter uber ein Alphabet Σ
Basismenge: Das leere Wort ǫ ∈ Σ∗
Erzeugungsregel: Wenn w ∈ Σ∗ und a ∈ Σ,
dann gilt wa ∈ Σ∗
Σ∗ ist die kleinste aller Mengen A mit folgenden Eigenschaften:
(1) A enthalt das leere Wort ǫ
(2) fur alle Elemente w , falls w ∈ A und a ∈ Σ, so wa ∈ A.
Das bedeutet, dass:
(1) ǫ ∈ Σ∗
(2) Falls w ∈ Σ∗ und a ∈ Σ so wa ∈ Σ∗.
(3) Fur jede Menge A mit Eigenschaften (1) und (2) gilt: Σ∗ ⊆ A.
75
![Page 76: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/76.jpg)
Induktive Definitionen: Beispiele
(3) Bin : die Menge aller (vollstandigen) binaren Baume
Basismenge: ◦ Baum mit nur einem Knoten.
Erzeugungsregel: Wenn B1,B2 ∈ Bin, dann ist auch
Tree(B1,B2) ∈ Bin.
B B1 2
Tree(B , B )1 2
Beispiele:
= Tree( , ) = Tree( , ) = Tree( , )
76
![Page 77: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/77.jpg)
Induktive Definitionen: Beispiele
(3) Bin : die Menge aller (vollstandigen) binaren Baume
Basismenge: ◦ Baum mit nur einem Knoten.
Erzeugungsregel: Wenn B1,B2 ∈ Bin, dann ist auch
Tree(B1,B2) ∈ Bin.
Bin ist die kleinste aller Mengen A mit folgenden Eigenschaften:
(1) A enthalt der Baum mit nur einem Knoten ◦.(2) fur alle Elemente B1,B2, falls B1,B2 ∈ A so Tree(B1,B2) ∈ A.
Das bedeutet, dass:
(1) ◦ ∈ Bin
(2) Falls B1,B2 ∈ Bin so Tree(B1,B2) ∈ Bin.
(3) Fur jede Menge A mit Eigenschaften (1) und (2) gilt: Bin ⊆ A.
77
![Page 78: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/78.jpg)
Induktive Definitionen: Beispiele
(4) Menge aller aussagenlogischen Formeln
Basismenge: ⊥ (falsch), ⊤ (wahr), P0,P1,P2, . . . sind
aussagenlogische Formeln (atomare Formeln)
Erzeugungsregel: Wenn F1, F2 aussagenlogische Formeln sind,
dann sind auch ¬F1, F1 ∧ F2, F1 ∨ F2,
F1 → F2, F1 ↔ F2 aussagenlogische Formeln
78
![Page 79: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/79.jpg)
Induktive DefinitionenInduktive Definition von Mengen:
Induktive Definition einer Menge M aus einer Basismenge B mit Operationssymbole
(“Konstruktoren”) Σ (wobei a(f ) Stelligkeit von f fur f ∈ Σ).
Basismenge: B
Erzeugungsregel: Wenn f ∈ Σ mit Stelligkeit n und
e1, . . . , en ∈ M, dann gilt f (e1, . . . , en) ∈ M.
M ist die kleinste aller Mengen A mit folgenden Eigenschaften:
(1) A enthalt die Basismenge B
(2) fur alle Elemente e1, . . . , en ∈ A, und alle f ∈ Σ (mit Stelligkeit n), ist auch
f (e1, . . . , en) in A.
Dass bedeutet, dass:
(1) B ⊆ M
(2) Falls e1, . . . , en ∈ M und f ∈ Σ (mit Stelligkeit n), so f (e1, . . . , en) ∈ M.
(3) Fur jede Menge A mit Eigenschaften (1) und (2) gilt: M ⊆ A.
79
![Page 80: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/80.jpg)
Strukturelle Induktion
Zu zeigen:
A
x ∈ M : P(x)
(1) Induktionsbasis: Beweise, dass fur alle b ∈ B, P(b) gilt.
(2) Sei e ∈ M, e 6∈ B.
Dann e = f (e1, . . . , en), mit f ∈ Σ und e1, . . . , en ∈ M.
Induktionsvoraussetzung: Wir nehmen an, dass P(e1), . . . ,P(en) gelten.
Induktionsschluss: Folgere, dass P(e) gilt.
80
![Page 81: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/81.jpg)
Strukturelle Induktion
Satz. Falls:
(1) bewiesen werden kann, dass fur alle b ∈ B, P(b) gilt. (Induktionsbasis)
(2) falls e = f (e1, . . . , en) mit f ∈ Σ
unter der Annahme dass P(e1), . . . ,P(en) gelten (Induktionsvoraussetzung)
wir beweisen konnen, dass auch P(e) gilt (Induktionsschritt)
Dann gilt P(m) fur alle m ∈ M.
Beweis: Sei A = {e | P(e) wahr }.(1) Da bewiesen werden kann, dass fur alle b ∈ B, P(b) gilt, wissen wir, dass A die
Basismenge B enthalt.
(2) Da wir, aus der Annahme dass P(e1), . . . ,P(en) wahr sind, beweisen konnen,
dass auch P(e) wahr ist, wissen wir, dass
falls e1, . . . , en ∈ A, und f ∈ Σ (mit Stelligkeit n), so f (e1, . . . , en) in A.
Da M die kleinste aller Mengen mit Eigenschaften (1) und (2) ist, folgt, dass
M ⊆ A = {e | P(e) wahr }, d.h. A
m ∈ M,P(m) wahr.
81
![Page 82: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/82.jpg)
Beispiel
Σ∗ : die Menge aller Worter uber ein Alphabet Σ
Basismenge: Das leere Wort ǫ ∈ Σ∗
Erzeugungsregel: Wenn w ∈ Σ∗ und a ∈ Σ,
dann gilt wa ∈ Σ∗
Sei die Umkehrung (Reverse) eines Wortes wie folgt definiert:
rev(ǫ) = ǫ
rev(wa) = a rev(w) mit w ∈ Σ∗ und a ∈ Σ.
82
![Page 83: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/83.jpg)
Beispiel
Zu zeigen:
A
w1,w2 ∈ Σ∗, rev(w1w2) = rev(w2)rev(w1)
Sei w1 ∈ Σ∗, beliebig.
Zu zeigen:
A
w2 ∈ Σ∗, p(w2) wobei: p(w2) : rev(w1w2) = rev(w2)rev(w1)
Induktion uber die Struktur von w2.
(1) Induktionsbasis: Wir zeigen, dass die Eigenschaft gilt fur w2 = ǫ
(d.h. dass P(ǫ) : rev(w1ǫ) = rev(ǫ)rev(w1) wahr ist).
Beweis: rev(w1ǫ) = rev(w1) = ǫrev(w1) = rev(ǫ)rev(w1).
83
![Page 84: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/84.jpg)
Beispiel
Zu zeigen:
A
w1,w2 ∈ Σ, rev(w1w2) = rev(w2)rev(w1)
Sei w1 ∈ Σ∗, beliebig.
Zu zeigen:
A
w2 ∈ Σ, p(w2) wobei: p(w2) : rev(w1w2) = rev(w2)rev(w1)
(2) Sei w2 ∈ Σ∗, w2 6= ǫ. Dann w2 = wa.
Induktionsvoraussetzung: Wir nehmen an, dass p(w) gilt,
d.h. dass rev(w1w) = rev(w)rev(w1).
Induktionsschluss: Wir beweisen, dass dann p(w2) gilt.
rev(w1w2) = rev(w1(wa)) = rev((w1w)a) = a rev(w1w) (Definition von rev)
= a rev(w)rev(w1) (Induktionsvoraussetzung)
= (a rev(w))rev(w1) = rev(wa)rev(w1) (Definition von rev)
= rev(w2)rev(w1)
84
![Page 85: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/85.jpg)
Beispiel 2
Bin : Menge allen (vollstandigen) binaren Baume
Basismenge: ◦ Baum mit nur einem Knoten.
Erzeugungsregel: Wenn B1,B2 ∈ Bin, dann ist auch
Tree(B1,B2) ∈ Bin.
B B1 2
Tree(B , B )1 2
85
![Page 86: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/86.jpg)
Beispiel 2
Behauptung:
Fur alle B ∈ Bin, falls B n Blatter hat, so besitzt B genau n − 1 innere Knoten.
P(B) : Falls B n ≥ 1 Blatter hat,
dann besitzt B genau n − 1 innere Knoten.
(1) Induktionsbasis: Wir zeigen, dass P(B) gilt wenn B nur aus einem Knoten ◦besteht.
Beweis: Sei B Baum, der nur aus einem Knoten besteht.
Dann besteht T nur aus einem Blatt, und B hat keinen inneren Knoten. d.h.
P(B) gilt.
86
![Page 87: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/87.jpg)
Beispiel 2 ... ctd.
(2) Sei B ∈ Bin, B nicht in der Basismenge, d.h. B = Tree(B1,B2).
Induktionsvoraussetzung: Wir nehmen an, dass P(B1),P(B2) gelten.
Induktionsschluss: Wir beweisen, dass P(B) gilt.
Beweis: Sei B = Tree(B1,B2). Dann gilt:
• n = n1 + n2, wobei n, n1, n2 Anzahl der Blatter von B,B1 bzw. B2 sind.
• mit m,m1,m2 als Anzahl innerer Knoten von B,B1 bzw. B2:
m = 1 + m1 + m2 nach Definition von B = Tree(B1,B2)
= 1 + (n1 − 1) + (n2 − 1) nach Induktionsvoraussetzung
= (n1 + n2) − 1 = n − 1.
Somit ist es bewiesen, dass
A
B ∈ Bin,P(B) gilt.
87
![Page 88: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/88.jpg)
Zusammenfassung
• Grundlegende Beweisstrategien
• Induktion uber die naturlichen Zahlen
• Fehlerquellen
• Strukturelle Induktion
88
![Page 89: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/89.jpg)
2. Aussagenlogik
Teil 1
23.04.2013
89
![Page 90: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/90.jpg)
Beispiel: Das 8-Damen Problem
Man platziere acht Damen so auf einem Schachbrett, dass sie sich
gegenseitig nicht bedrohen.
90
![Page 91: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/91.jpg)
Beispiel: Das 8-Damen Problem
Beschreibung des Problems
Fur jedes Feld des Schachbretts eine aussagenlogische Variable
Dij
Mit der Vorstellung, dass Dij den Wert wahr hat, wenn auf dem Feld (i , j)
eine Dame steht.
Wir benutzen kartesische Koordinaten zur Notation von Positionen
91
![Page 92: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/92.jpg)
Beispiel: Das 8-Damen Problem
Beispiel: Auf dem Feld (5, 7) steht eine Dame 7→ D57 wahr.
Einschrankungen pro Feld: Fij
Falls auf dem Feld (5, 7) eine Dame steht:
• keine andere Dame auf Feld(5,8), (5,6), (5,5), (5,4),(5,3), (5,2), (5,1)
D57 → ¬D58 ∧ ¬D5,6 ∧ ¬D5,5 ∧ ¬D5,4 ∧ ¬D5,3 ∧ ¬D5,2 ∧ ¬D5,1
• keine andere Dame auf Feld(1,7), (2,7), (3,7), (4,7),(6,7), (7,7), (8,7)
D57 → ¬D17 ∧ ¬D2,7 ∧ ¬D3,7 ∧ ¬D4,7 ∧ ¬D6,7 ∧ ¬D7,7 ∧ ¬D87
• keine andere Dame auf Feld (6,8), (4,6), (3,5), (2,4),(1,3)
D57 → ¬D68 ∧ ¬D4,6 ∧ ¬D3,5 ∧ ¬D2,4 ∧ ¬D1,3
• keine andere Dame auf Feld (4,8), (6,6), (7,5), (8,4)
D57 → ¬D48 ∧ ¬D6,6 ∧ ¬D7,5 ∧ ¬D8,4
92
![Page 93: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/93.jpg)
Beispiel: Das 8-Damen Problem
Beispiel: Auf dem Feld (5, 7) steht eine Dame 7→ D57 wahr.
Einschrankungen pro Feld: Fij
D57 → ¬D58 ∧ ¬D5,6 ∧ ¬D5,5 ∧ ¬D5,4 ∧ ¬D5,3 ∧ ¬D5,2 ∧ ¬D5,1
D57 → ¬D17 ∧ ¬D2,7 ∧ ¬D3,7 ∧ ¬D4,7 ∧ ¬D6,7 ∧ ¬D7,7 ∧ ¬D87
D57 → ¬D68 ∧ ¬D4,6 ∧ ¬D3,5 ∧ ¬D2,4 ∧ ¬D1,3
D57 → ¬D48 ∧ ¬D6,6 ∧ ¬D7,5 ∧ ¬D8,4
︸ ︷︷ ︸
F57
Globale Einschrankungen
Fur jedes k mit 1 ≤ k ≤ 8:
Rk := D1,k ∨ D2,k ∨ D3,k ∨ D4,k ∨ D5,k ∨ D6,k ∨ D7,k ∨ D8,k
93
![Page 94: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/94.jpg)
Beispiel: Das 8-Damen Problem
Struktur: Wahrheitswerte fur die atomaren Aussagen Dij
Modell fur Fij (Rk): Wahrheitswerte fur die atomaren Aussagen Dij so dass
Fij wahr (bzw. Rk wahr).
Losung des 8-Damen Problems:
Eine aussagenlogische Struktur beschreibt eine Losung des 8-Damen-
Problems genau dann, wenn sie ein Modell der Formeln
• Fij fur alle 1 ≤ i , j ≤ 8
• Rk fur alle 1 ≤ k ≤ 8
ist.
94
![Page 95: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/95.jpg)
Formale Logik
• Syntax
welche Formeln?
• Semantik
Modelle (Strukturen)
Wann ist eine Formel wahr (in einer Struktur)?
• Deduktionsmechanismus
Ableitung neuer wahrer Formeln
95
![Page 96: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/96.jpg)
Syntax der Aussagenlogik: Logische Zeichen
⊤ Symbol fur die Formel “wahr”
⊥ Symbol fur die Formel “falsch”
¬ Negationssymbol (“nicht”)
∧ Konjunktionssymbol (“und”)
∨ Disjunktionssymbol (“oder”)
→ Implikationssymbol (“wenn . . . dann”)
↔ Symbol fur Aquivalenz (“genau dann, wenn”)
( ) die beiden Klammern
96
![Page 97: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/97.jpg)
Vokabular der Aussagenlogik
Abzahlbare Menge von Symbolen, etwa
Π = {P0, . . . ,Pn}
oder
Π = {P0,P1, . . . }
Bezeichnungen fur Symbole in Π
• atomare Aussagen
• Atome
• Aussagenvariablen
97
![Page 98: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/98.jpg)
Formeln der Aussagenlogik
Definition: Menge ForΠ der Formeln uber Π:
Die kleinste Menge mit:
• ⊤ ∈ ForΠ und ⊥∈ ForΠ
• Π ⊆ ForΠ
• Wenn F ,G ∈ ForΠ, dann auch
¬F , (F ∧ G), (F ∨ G), (F → G), (F ↔ G)
Elemente von ForΠ.
98
![Page 99: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/99.jpg)
Aussagenformeln
ForΠ Menge der Formeln uber Π:
F ,G ,H ::= ⊥ (Falsum)
| ⊤ (Verum)
| P, P ∈ Π (atomare Formel)
| ¬F (Negation)
| (F ∧ G) (Konjunktion)
| (F ∨ G) (Disjunktion)
| (F → G) (Implikation)
| (F ↔ G) (Aquivalenz)
99
![Page 100: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/100.jpg)
Konventionen zur Notation
• Klammereinsparungen werden nach folgenden Regeln vorgenommen:
– ¬ >p ∧ >p ∨ >p → >p ↔ (Prazedenzen),
– ∨ und ∧ sind assoziativ und kommutativ,
100
![Page 101: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/101.jpg)
Konventionen zur Notation
• Klammereinsparungen werden nach folgenden Regeln vorgenommen:
– ¬ >p ∧ >p ∨ >p → >p ↔ (Prazedenzen),
– ∨ und ∧ sind assoziativ und kommutativ,
Beispiele: Π = {P,Q,R}
⊥, P, ¬Q, P ∧ ¬Q, (P ∨ (¬R ∧ ⊤)) sind Formeln
Wir schreiben P ∧ Q ∧ R statt (P ∧ Q) ∧ R.
101
![Page 102: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/102.jpg)
Beispiel: 8-Damenproblem
Aussagenlogische Variablen
Di ,j bedeutet: Auf dem Feld (i , j) steht eine Dame.
Formeln
“Wenn auf dem Feld (5, 7) eine Dame steht, kann keine Dame auf Feld
(5,8), (5,6), (5,5), (5,4),(5,3), (5,2), (5,1) stehen”:
D57 → ¬D58 ∧ ¬D5,6 ∧ ¬D5,5 ∧ ¬D5,4 ∧ ¬D5,3 ∧ ¬D5,2 ∧ ¬D5,1
102
![Page 103: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/103.jpg)
Beispiel 1
Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit trinke, dann habe ich immer Fisch.
◮ ¬B→F
Immer wenn ich Fisch und Bier zur selben Mahlzeit habe, verzichte ich
auf Eiscreme.
◮ F∧B→ ¬E
Wenn ich Eiscreme habe oder Bier meide, dann ruhre ich Fisch nicht an.
◮ E∨¬B→ ¬F
103
![Page 104: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/104.jpg)
Beispiel 1
◮ ¬B→F
◮ F∧B→ ¬E
◮ E∨¬B→ ¬F
Wir mochten wissen, welche Menus solche Diatregeln erfullen.
z.B.: Formalisierung:
• kein Bier, Fisch und Eiscreme B 7→ falsch,F 7→ wahr,E 7→ wahr
erfullt 3. Diatregel nicht!
• Bier, Fisch, keine Eiscreme B 7→ wahr,F 7→ wahr,E 7→ falsch
erfullt alle Diatregeln
104
![Page 105: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/105.jpg)
Beispiel 1
◮ ¬B→F
◮ F∧B→ ¬E
◮ E∨¬B→ ¬F
Wir mochten wissen, welche Menus solche Diatregeln erfullen.
z.B.: Formalisierung:
0:falsch, 1:wahr A : {B,F ,E} → {0, 1}
• kein Bier, Fisch und Eiscreme A(B) = 0,A(F ) = 1,A(E) = 1
erfullt 3. Diatregel nicht!
• Bier, Fisch, keine Eiscreme A(B) = 1,A(F ) = 1,A(E) = 0
erfullt alle Diatregeln
105
![Page 106: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/106.jpg)
Semantik der Aussagenlogik
Π eine aussagenlogische Signatur
Aussagenvariablen fur sich haben keine Bedeutung.
Hierfur mussen Wertebelegungen (Valuationen) explizit oder implizit aus
dem Kontext zur Verfugung stehen.
Eine Valuation (Wertebelegung) ist eine Abbildung
A : Π → {0, 1}
Wir werden Wertebelegungen auch Aussagenlogische Strukturen,
Aussagenlogische Modelle oder Interpretationen nennen.
106
![Page 107: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/107.jpg)
Semantik der Aussagenlogik
Π eine aussagenlogische Signatur
Aussagenvariablen fur sich haben keine Bedeutung.
Hierfur mussen Wertebelegungen (Valuationen) explizit oder implizit aus
dem Kontext zur Verfugung stehen.
Eine Wertebelegung ist eine Abbildung
A : Π → {0, 1}
Beispiel:
A B C
0 1 0(Bei drei Symbolen gibt es 8 mogliche Modelle)
107
![Page 108: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/108.jpg)
Semantik der Aussagenlogik
Auswertung von Formeln
Sei A : Π → {0, 1} eine Wertebelegung.
A∗ : ForΠ → {0, 1} wird wie folgt definiert:
A∗(⊥) = 0
A∗(⊤) = 1
A∗(P) = A(P)
108
![Page 109: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/109.jpg)
Semantik der Aussagenlogik
Auswertung von Formeln
Sei A : Π → {0, 1} eine Wertebelegung.
A∗ : ForΠ → {0, 1} wird wie folgt definiert:
A∗(¬F ) =
0 falls A∗(F ) = 1
1 falls A∗(F ) = 0
109
![Page 110: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/110.jpg)
Semantik der Aussagenlogik
Auswertung von Formeln
Sei A : Π → {0, 1} eine Wertebelegung.
A∗ : ForΠ → {0, 1} wird wie folgt definiert:
A∗(F1 ∧ F2) =
0 falls A∗(F1) = 0 oder A∗(F2) = 0
1 falls A∗(F1) = A∗(F2) = 1
110
![Page 111: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/111.jpg)
Semantik der Aussagenlogik
Auswertung von Formeln
Sei A : Π → {0, 1} eine Wertebelegung.
A∗ : ForΠ → {0, 1} wird wie folgt definiert:
A∗(F1 ∧ F2) =
0 falls A∗(F1) = 0 oder A∗(F2) = 0
1 falls A∗(F1) = A∗(F2) = 1
A∗(F1 ∨ F2) =
0 falls A∗(F1) = A∗(F2) = 0
1 falls A∗(F1) = 1 oder A∗(F2) = 1
111
![Page 112: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/112.jpg)
Semantik der Aussagenlogik
Auswertung von Formeln
Sei A : Π → {0, 1} eine Wertebelegung.
A∗ : ForΠ → {0, 1} wird wie folgt definiert:
A∗(F1 → F2) =
1 falls A∗(F1) = 0 oder A∗(F2) = 1
0 falls A∗(F1) = 1 und A∗(F2) = 0
A∗(F1 ↔ F2) =
1 falls A∗(F1) = A∗(F2)
0 sonst
112
![Page 113: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/113.jpg)
Wahrheitstafel fur die logischen Operatoren
P ¬P
0 1
1 0
∧ 0 1
0 0 0
1 0 1
∨ 0 1
0 0 1
1 1 1
→ 0 1
0 1 1
1 0 1
↔ 0 1
0 1 0
1 0 1
113
![Page 114: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/114.jpg)
Semantik der Aussagenlogik
Auswertung von Formeln
Sei A : Π → {0, 1} eine Π-Valuation.
A∗ : ForΠ → {0, 1} wird induktiv uber Aufbau von F wie folgt definiert:
A∗(⊥) = 0
A∗(⊤) = 1
A∗(P) = A(P)
A∗(¬F ) = 1−A∗(F )
A∗(FρG) = Bρ(A∗(F ),A∗(G))
Bρ(x , y) berechnet entschpr. der Wahrheitstafel fur ρ
z.B. : B∨(0, 1) = (0 ∨ 1) = 1; B→(1, 0) = (1 → 0) = 0
Wir schreiben normalerweise A statt A∗.
114
![Page 115: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/115.jpg)
Beispiel
Sei A : {P,Q,R} → {0, 1} mit A(P) = 1,A(Q) = 0,A(R) = 1.
A∗((P ∧ (Q ∨ ¬P)) → R) = A∗(P ∧ (Q ∨ ¬P) → A∗(R)
= (A∗(P) ∧ A∗(Q ∨ ¬P)) → A∗(R)
= (A(P) ∧ (A(Q) ∨ ¬A(P))) → A(R)
= (1 ∧ (0 ∨ ¬1)) → 1
= 1
115
![Page 116: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/116.jpg)
Wahrheitstabellen: Beispiel
F = (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C)
A B C (A ∨ C) ¬C (B ∨ ¬C) (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C)
0 0 0 0 1 1 0
0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 0 1 1 0
0 1 1 1 0 1 1
1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 0
1 1 0 1 1 1 1
1 1 1 1 0 1 1
116
![Page 117: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/117.jpg)
Modell einer Formel(menge)
Definition: Interpretation A ist Modell einer Formel F ∈ ForΠ, falls
A∗(F ) = 1.
Definition: Interpretation A ist Modell einer Formelmenge M ⊆ ForΠ, falls
A∗(F ) = 1 fur alle F ∈ M
Notation:
A |= F
A |= M
117
![Page 118: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/118.jpg)
Beispiel
F = (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C)
A B C (A ∨ C) ¬C (B ∨ ¬C) (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C)
0 0 0 0 1 1 0
0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 0 1 1 0
0 1 1 1 0 1 1
1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 0
1 1 0 1 1 1 1
1 1 1 1 0 1 1
Sei A : {P,Q,R} → {0, 1} mit A(P) = 0,A(Q) = 1,A(R) = 1.
A |= (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C)
A |= {(A ∨ C), (B ∨ ¬C)}
118
![Page 119: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/119.jpg)
Gultigkeit und Erfullbarkeit
Definition: F gilt in A (oder A ist Modell von F ) gdw. A(F ) = 1.
Notation: A |= F
Definition: F ist (allgemein-) gultig (oder eine Tautologie) gdw.: A |=
F , fur alle A : Π → {0, 1}
Notation: |= F
Definition: F heißt erfullbar gdw. es A : Π → {0, 1} gibt, so dass A |= F .
Sonst heißt F unerfullbar (oder eine Kontradiktion).
119
![Page 120: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/120.jpg)
Beispiel
F = (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C)
A B C (A ∨ C) ¬C (B ∨ ¬C) (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C)
0 0 0 0 1 1 0
0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 0 1 1 0
0 1 1 1 0 1 1
1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 0
1 1 0 1 1 1 1
1 1 1 1 0 1 1
F ist nicht allgemeingultig:
A1(F ) = 0 fur A1 : {P,Q,R} → {0, 1} mit A(P) = A(Q) = A(R) = 0.
F ist erfullbar (also ist F nicht unerfullbar):
A2(F ) = 1 fur A : {P,Q,R} → {0, 1} mit A(P) = 0,A(Q) = 1,A(R) = 1.
120
![Page 121: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/121.jpg)
Tautologien und Kontradiktionen
Tautologien: Formel, die stets wahr sind.
Beispiele: p ∨ (¬p) (Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten)
(Tertium non datur)
p ↔ ¬¬p (Prinzip der doppelten Negation)
Kontradiktionen: Formel, die stets falsch sind.
Beispiel: p ∧ ¬p
• Die Negation einer Tautologie ist eine Kontradiktion
• Die Negation einer Kontradiktion ist eine Tautologie
121
![Page 122: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/122.jpg)
Beispiele
Die folgenden Formeln sind Tautologien:
(1) (p → ¬p) → (¬p)
(2) (p ∧ (p → q)) → q
(3) (p ∧ q) → p
(p ∧ q) → q
(4) p → (p ∨ q)
q → (p ∨ q)
(5) (p → q) → [(q → r) → (p → r)]
(6) (((p → q) ∧ (q → r)) ∧ p) → r
122
![Page 123: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/123.jpg)
Folgerung und Aquivalenz
Definition: F impliziert G (oder G folgt aus F ),
gdw.: fur alle A : Π → {0, 1} gilt: Wenn A |= F , dann A |= G .
Notation: F |= G
Definition: F und G sind aquivalent
gdw.: fur alle A : Π → {0, 1} gilt: A |= F gdw. A |= G .
Notation: F ≡ G .
Erweiterung auf Formelmengen N in naturlicher Weise, z.B.:
N |= G gdw.: fur alle A : Π → {0, 1} gilt:
falls A |= F , fur alle F ∈ N,
so A |= G .
123
![Page 124: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/124.jpg)
Beispiel
F = (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C) G = (A ∨ B)
Uberprufe, ob F |= G : Ja, F |= G
A B C (A ∨ C) (B ∨ ¬C) (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C) (A ∨ B)
0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 1 0 1
1 0 1 1 0 0 1
1 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 1
124
![Page 125: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/125.jpg)
Beispiel
F = (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C) G = (A ∨ B)
Uberprufe, ob F |= G : Ja, F |= G
.... aber es ist nicht wahr dass G |= F (Notation: G 6|= F )
A B C (A ∨ C) (B ∨ ¬C) (A ∨ C) ∧ (B ∨ ¬C) (A ∨ B)
0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 1 0 1
1 0 1 1 0 0 1
1 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 1
125
![Page 126: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/126.jpg)
Zusammenfassung
• Syntax (Formeln)
• Semantik
Wertebelegungen (Valuationen, Modelle)
Wahrheitstafel fur die logischen Operatoren
Auswertung von Formeln / Wahrheitstabellen
Modell einer Formel(menge)
Gultigkeit und Erfullbarkeit
Tautologien und Kontradiktionen
Folgerung und Aquivalenz
126
![Page 127: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/127.jpg)
2. Aussagenlogik
Teil 2
30.04.2012
127
![Page 128: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/128.jpg)
Tautologien und Kontradiktionen
Tautologien, allgemeingultige Formeln:
Formeln, die stets wahr sind.
Kontradiktionen, unerfullbare Formeln:
Formel, die stets falsch sind.
• Die Negation einer Tautologie ist eine Kontradiktion
• Die Negation einer Kontradiktion ist eine Tautologie
Theorem. F ist allgemeingultig gdw. ¬F ist unerfullbar.
Beweis 1: Aus der Wahrheitstafel.
Beweis 2: F allgemeingultig gdw. A(F )=1 fur alle A:Π→{0, 1}
gdw. A(¬F )=0 fur alle A:Π→{0, 1} gdw. ¬F unerfullbar
128
![Page 129: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/129.jpg)
Erster Kalkul: Wahrheitstafelmethode
Erfullbarkeitstest:
Jede Formel F enthalt endlich viele Aussagenvariablen.
A(F ) ist nur von den Werten dieser Aussagenvariablen abhangig.
F enthalt n Aussagenvariablen:
⇒ 2n Wertbelegungen notwendig um zu uberprufen,
ob F erfullbar ist oder nicht.
⇒ Wahrheitstafel
⇒ Das Erfullbarkeitsproblem ist entscheidbar
(Cook’s Theorem: NP-vollstandig)
Es existieren viel bessere Methoden als Wahrheitstafeltests um die
Erfullbarkeit einer Formel zu uberprufen.
129
![Page 130: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/130.jpg)
Folgerung
Definition: F impliziert G (oder G folgt aus F ),
gdw.: fur alle A : Π → {0, 1} gilt: Wenn A |= F , dann A |= G .
Notation: F |= G
Erweiterung auf Formelmengen N in naturlicher Weise, z.B.:
N |= G gdw.: fur alle A : Π → {0, 1} gilt:
falls A |= F , fur alle F ∈ N,
so A |= G .
130
![Page 131: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/131.jpg)
Aquivalenz
Definition: F und G sind aquivalent
gdw.: fur alle A : Π → {0, 1} gilt: A |= F gdw. A |= G .
Notation: F ≡ G .
Zwei Formeln sind logisch aquivalent, wenn sie in den gleichen Modellen
wahr sind
Beispiel:
(P → Q) ≡ (¬Q → ¬P) (Kontraposition)
131
![Page 132: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/132.jpg)
Wichtige Aquivalenzen
Die folgenden Aquivalenzen sind fur alle Formeln F ,G ,H gultig:
(F ∧ F ) ≡ F
(F ∨ F ) ≡ F (Idempotenz)
(F ∧ G) ≡ (G ∧ F )
(F ∨ G) ≡ (G ∨ F ) (Kommutativitat)
(F ∧ (G ∧ H)) ≡ ((F ∧ G) ∧ H)
(F ∨ (G ∨ H)) ≡ ((F ∨ G) ∨ H) (Assoziativitat)
(F ∧ (F ∨ G)) ≡ F
(F ∨ (F ∧ G)) ≡ F (Absorption)
(F ∧ (G ∨ H)) ≡ ((F ∧ G) ∨ (F ∧ H))
(F ∨ (G ∧ H)) ≡ ((F ∨ G) ∧ (F ∨ H)) (Distributivitat)
132
![Page 133: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/133.jpg)
Wichtige Aquivalenzen
Die folgenden Aquivalenzen sind fur alle Formeln F ,G ,H gultig:
(¬¬F ) ≡ F (Doppelte Negation)
¬(F ∧ G) ≡ (¬F ∨ ¬G)
¬(F ∨ G) ≡ (¬F ∧ ¬G) (De Morgan’s Regeln)
(F → G) ≡ (¬G → ¬F ) (Kontraposition)
(F → G) ≡ (¬F ∨ G) (Elimination Implikation)
F ↔ G ≡ (F → G) ∧ (G → F ) (Elimination Aquivalenz)
133
![Page 134: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/134.jpg)
Wichtige Aquivalenzen
Die folgenden Aquivalenzen sind fur alle Formeln F ,G ,H gultig:
(F ∧ G) ≡ F , falls G Tautologie
(F ∨ G) ≡ ⊤, falls G Tautologie (Tautologieregeln)
(F ∧ G) ≡ ⊥, falls G unerfullbar
(F ∨ G) ≡ F , falls G unerfullbar (Tautologieregeln)
134
![Page 135: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/135.jpg)
Wichtige Aquivalenzen mit ⊤/⊥
(A ∧ ¬A) ≡ ⊥
(A ∨ ¬A) ≡ ⊤ (Tertium non datur)
(A ∧ ⊤) ≡ A
(A ∧ ⊥) ≡ ⊥
135
![Page 136: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/136.jpg)
Wichtige Aquivalenzen (Zusammengefasst)
(F ∧ F ) ≡ F (F ∨ F ) ≡ F (Idempotenz)
(F ∧ G) ≡ (G ∧ F ) (F ∨ G) ≡ (G ∨ F ) (Kommutativitat)
(F ∧ (G ∧ H)) ≡ ((F ∧ G) ∧ H)
(F ∨ (G ∨ H)) ≡ ((F ∨ G) ∨ H) (Assoziativitat)
(F ∧ (F ∨ G)) ≡ F
(F ∨ (F ∧ G)) ≡ F (Absorption)
(F ∧ (G ∨ H)) ≡ ((F ∧ G) ∨ (F ∧ H))
(F ∨ (G ∧ H)) ≡ ((F ∨ G) ∧ (F ∨ H)) (Distributivitat)
(¬¬F ) ≡ F (Doppelte Negation)
¬(F ∧ G) ≡ (¬F ∨ ¬G)
¬(F ∨ G) ≡ (¬F ∧ ¬G) (De Morgan’s Regeln)
(F → G) ≡ (¬G → ¬F ) (Kontraposition)
(F → G) ≡ (¬F ∨ G) (Elimination Implikation)
F ↔ G ≡ (F → G) ∧ (G → F ) (Elimination Aquivalenz)
136
![Page 137: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/137.jpg)
Terminologie
Eine Formel F , die als Teil einer Formel G auftritt,
heißt Teilformel von G .
• F ist eine Teilformel von F
• F = ¬G und
H Teilformel von G
→ H Teilformel von F
• F = F1 ρ F2
(wo ρ ∈ {∨,∧,⇒,⇔})
H Teilformel von F1 oder F2
→ H Teilformel von F
137
![Page 138: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/138.jpg)
Substitutionstheorem
Theorem.
Seien F und G aquivalente Formeln. Sei H eine Formel mit (mindestens)
einem Vorkommen der Teilformel F .
Dann ist H aquivalent zu H′, wobei H′ aus H hervorgeht, indem (irgend)
ein Vorkommen von F in H durch G ersetzt wird.
Beispiel:
A ∨ B ≡ B ∨ A
impliziert
(C ∧ (A ∨ B)) ≡ (C ∧ (B ∨ A))
138
![Page 139: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/139.jpg)
Substitutionstheorem
Theorem.
Seien F und G aquivalente Formeln. Sei H eine Formel mit (mindestens)
einem Vorkommen der Teilformel F .
Dann ist H aquivalent zu H′, wobei H′ aus H hervorgeht, indem (irgend)
ein Vorkommen von F in H durch G ersetzt wird. p(H)
Beweis: Strukturelle Induktion.
Induktionsbasis: Beweisen, dass p(H) fur alle Formeln H in {⊥,⊤} ∪ Π gilt.
Beweis: Falls H∈{⊥,⊤}∪Π und F Teilformel von H, so muss F = H sein.
Dann ist die Formel H′, die aus H hervorgeht, indem F (= die ganze
Formel H) durch G ersetzt wird, gleich G .
Aber dann: H = F ≡ G = H′.
139
![Page 140: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/140.jpg)
Substitutionstheorem
Beweis: (Fortsetzung)
Sei H eine Formel, H 6∈ {⊥,⊤} ∪ Π. Sei F eine Teilformel von H.
Fall 1: F = H. Dann H′ = G (wie vorher), so H = F ≡ G = H′.
Fall 2: F 6= H.
Induktionsvoraussetzung: Annahme: p(H′) gilt fur alle dir. Teilformeln H′ von H.
Induktionsschritt: Beweis, dass p(H) gilt (durch Fallunterscheidung):
Fall 2.1: H = ¬H1. Da F 6= H, ist F eine Teilformel von H1.
Induktionvoraussetzung: p(H1) gilt, d.h. H1 ≡ H′
1 , wobei H′
1 aus H1 hervorgeht,
indem (irgend) ein Vorkommen von F in H1 durch G ersetzt wird.
Da H = ¬H1, ist H′ = ¬H′
1 .
Dann fur alleA : Π → {0, 1}:A(H)=A(¬H1)=¬A(H1)I .V .= ¬A(H′
1 )=A(¬H′
1)=A(H′).
Somit ist bewiesen, dass H ≡ H′.
140
![Page 141: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/141.jpg)
Substitutionstheorem
Beweis: (Fortsetzung)
Induktionsschritt: Beweis, dass p(H) gilt (durch Fallunterscheidung):
Fall 2.2: H = H1 op H2. Da F 6= H, ist F Teilformel von H1 oder von H2.
Fall 2.2.1 F ist eine Teilformel von H1.
Induktionvoraussetzung: p(H1) gilt, d.h. H1 ≡ H′
1 , wobei H′
1 aus H1 hervorgeht,
indem (irgend) ein Vorkommen von F in H1 durch G ersetzt wird.
Da H = H1 op H2, und F in H1 vorkommt, so H′ = H′
1 op H2.
Dann fur alle A : Π → {0, 1}: A(H)=A(H1 op H2)=A(H1) op A(H2)I .V .=
A(H′
1) op A(H2)=A(H′
1 op H2) = A(H′).
Somit ist bewiesen, dass H ≡ H′.
Fall 2.2.2 F ist eine Teilformel von H2. Analog.
141
![Page 142: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/142.jpg)
Ein zweiter Kalkul: Logische Umformung
Definition: Aquivalenzumformung
• (Wiederholte) Ersetzung einer (Unter-)Formel durch aquivalente
Formel
• Anwendung des Substitutionstheorems
Theorem
Aquivalenzumformung bildet mit den aufgelisteten wichtigen Aquivalen-
zen einen vollstandigen Kalkul:
Wenn F und G logisch aquivalent sind, kann F in G umgeformt werden.
142
![Page 143: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/143.jpg)
Beispiel
(P → Q) ∧ ¬((Q → R) → (P → R))
≡ (¬P ∨ Q) ∧ ¬((¬Q ∨ R) → (¬P ∨ R)) (Elimination Implikation)
≡ (¬P ∨ Q) ∧ ¬(¬(¬Q ∨ R) ∨ (¬P ∨ R)) (Elimination Implikation)
≡ (¬P ∨ Q) ∧ (¬¬(¬Q ∨ R) ∧ ¬(¬P ∨ R)) (De Morgan’s Regel,∨)
≡ (¬P ∨ Q) ∧ ((¬Q ∨ R) ∧ (¬¬P ∧ ¬R)) (Doppelte Negation, De Morgan, ∨)
≡ (¬P ∨ Q) ∧ ((¬Q ∨ R) ∧ (P ∧ ¬R)) (Doppelte Negation)
≡ (¬P ∨ Q) ∧ ((¬Q ∧ P ∧ ¬R) ∨ (R ∧ P ∧ ¬R)) (Distributivitat)
≡ (¬P ∨ Q) ∧ ((¬Q ∧ P ∧ ¬R) ∨ (R ∧ ¬R ∧ P)) (Kommutativitat)
≡ (¬P ∨ Q) ∧ ((¬Q ∧ P ∧ ¬R) ∨ ⊥) (Aquivalenzen mit ⊥)
≡ (¬P ∨ Q) ∧ (¬Q ∧ P ∧ ¬R) (Aquivalenzen mit ⊥)
≡ (¬P ∧ ¬Q ∧ P ∧ ¬R) ∨ (Q ∧ ¬Q ∧ P ∧ ¬R) (Distributivitat)
≡ (¬P ∧ P ∧ ¬Q ∧ ¬R) ∨ (Q ∧ ¬Q ∧ P ∧ ¬R) (Kommutativitat)
≡ ((¬P ∧ P) ∧ ¬Q ∧ ¬R) ∨ ((Q ∧ ¬Q) ∧ P ∧ ¬R) (Assoziativitat)
≡ ⊥ ∨ ⊥≡⊥ (Aquivalenzen mit ⊥)
143
![Page 144: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/144.jpg)
Allgemeingultigkeit/Folgerung
F ,G Formeln
Theorem. F |= G gdw. |= F → G .
Beweis:
F |= G g.d.w. fur alle A : Π → {0, 1}, falls A(F ) = 1 so A(G) = 1
g.d.w. fur alle A : Π → {0, 1}, (A(F ) → A(G)) = 1
g.d.w. fur alle A : Π → {0, 1}, A(F → G) = 1
g.d.w. |= F → G
144
![Page 145: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/145.jpg)
Allgemeingultigkeit/Folgerung
F ,G Formeln; N Formelmenge.
Theorem. N ∪ {F} |= G gdw. N |= F → G .
Beweis: “⇒”
Annahme: N ∪ {F} |= G d.h. fur alle A:Π→{0, 1},
falls [A(H)=1 fur alle Formeln H∈N∪{F}] so A(G)=1.
Wir beweisen, dass N |= F → G , d.h. fur alle A : Π → {0, 1}
falls [A(H) = 1 fur alle Formeln H ∈ N] so A(F → G) = 1.
Sei A : Π → {0, 1} mit A(H) = 1 fur alle Formeln H ∈ N.
Fall 1: A(F ) = 0. Dann A(F → G) = 1.
Fall 2: A(F ) = 1, d.h. [A(H) = 1 fur alle Formeln H ∈ N ∪ {F}]. Dann
A(G) = 1 und somit A(F → G) = 1.
145
![Page 146: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/146.jpg)
Allgemeingultigkeit/Folgerung
F ,G Formeln; N Formelmenge.
Theorem. N ∪ {F} |= G gdw. N |= F → G .
Beweis: “⇐”
Annahme: N |= F → G d.h. fur alle A:Π→{0, 1},
falls [A(H)=1 fur alle Formeln H∈N] so A(F → G)=1.
Wir beweisen, dass N ∪ {F} |= G , d.h. fur alle A : Π → {0, 1}
falls [A(H) = 1 fur alle Formeln H ∈ N ∪ {F}] so A(G) = 1.
Sei A : Π → {0, 1} mit A(H) = 1 fur alle Formeln H ∈ N ∪ {F}.
Dann (i) A(F ) = 1 und
(ii) [A(H) = 1 fur alle Formeln H ∈ N], also A(F → G) = 1.
Es folgt, dass 1 = A(F → G) = (A(F ) → A(G)) = (1 → A(G)) = A(G),
so A(G) = 1.
146
![Page 147: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/147.jpg)
Allgemeingultigkeit/Folgerung
F ,G Formeln.
Theorem. F ≡ G gdw. |= F ↔ G .
Beweis:
F ≡ F g.d.w. fur alle A : Π → {0, 1}, A(F ) = A(G)
g.d.w. fur alle A : Π → {0, 1}, (A(F ) ↔ A(G)) = 1
g.d.w. fur alle A : Π → {0, 1}, A(F ↔ G) = 1
g.d.w. |= F ↔ G
147
![Page 148: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/148.jpg)
Allgemeingultigkeit/Folgerung:
Zusammenfassung
F ,G Formeln; N Formelmenge.
Theorem. F |= G gdw. |= F → G .
Theorem. N ∪ {F} |= G gdw. N |= F → G .
Theorem. F ≡ G gdw. |= F ↔ G .
148
![Page 149: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/149.jpg)
Unerfullbarkeit/Allgemeingultigkeit/Folgerung
F ,G Formeln.
Theorem. F ist allgemeingultig gdw. ¬F ist unerfullbar.
Beweis auf Seite 128.
Theorem. F |= G gdw. F ∧ ¬G ist unerfullbar.
Beweis:
F |= G gdw. |= F → G d.h. F → G allgemeingultig
gdw. ¬(F → G) unerfullbar.
gdw. F ∧ ¬G unerfullbar.
... da ¬(F → G) ≡ ¬(¬F ∨ G) ≡ ¬¬F ∧ ¬G ≡ F ∧ ¬G .
149
![Page 150: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/150.jpg)
Unerfullbarkeit/Allgemeingultigkeit/Folgerung
F ,G Formeln; N Formelmenge.
Theorem. N |= G gdw. N ∪ ¬G ist unerfullbar.
Beweis: “⇒”
Annahme: N |= G d.h. fur alle A:Π→{0, 1},
falls [A(H)=1 fur alle Formeln H∈N] so A(G)=1.
Zu zeigen: N ∪ ¬G unerfullbar.
Beweis durch Widerspruch: Wir nehmen an, N ∪ ¬G erfullbar,
d.h. es gibt A:Π→{0, 1}, mit
[A(H)=1 fur alle Formeln H∈N ∪ {¬G}].
Dann [A(H)=1 fur alle Formeln H∈N] und A(¬G) = 1 (d.h.
A(G) = 0). Widerspruch.
150
![Page 151: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/151.jpg)
Unerfullbarkeit/Allgemeingultigkeit/Folgerung
F ,G Formeln; N Formelmenge.
Theorem. N |= G gdw. N ∪ ¬G ist unerfullbar.
Beweis: “⇐”
Annahme: N ∪ ¬G unerfullbar.
Zu zeigen: N |= G d.h. fur alle A:Π→{0, 1},
falls [A(H)=1 fur alle Formeln H∈N] so A(G)=1.
Beweis: Sei A:Π→{0, 1}, mit [A(H)=1 fur alle Formeln H∈N].
Falls A(G) = 0, ware A ein Modell fur N ∪ {¬G}. Das ist
aber unmoglich, da wir angenommen haben, dass N ∪ {¬G}
unerfullbar ist.
Es folgt, dass A(G) = 1.
151
![Page 152: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/152.jpg)
Unerfullbarkeit/Allgemeingultigkeit/Folgerung:
Zusammenfassung
F ,G Formeln; N Formelmenge.
Theorem. F ist allgemeingultig gdw. ¬F ist unerfullbar.
Theorem. F |= G gdw. F ∧ ¬G ist unerfullbar.
Theorem. N |= G gdw. N ∪ ¬G ist unerfullbar.
Nota bene: falls N unerfullbar, so N |= G fur jede Formel G
... auch fur ⊥.
Notation: N |= ⊥ fur N unerfullbar.
152
![Page 153: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/153.jpg)
Zusammenfassung
• Erfullbarkeit, Allgemeingultigkeit
• Erster Kalkul: Wahrheitstafelmethode
• Folgerung, Aquivalenz
• Wichtige Aquivalenzen
• Ein zweiter Kalkul: Logische Umformung
• Unerfullbarkeit/Allgemeingultigkeit/Folgerung
153
![Page 154: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/154.jpg)
2. Aussagenlogik
Teil 3
06.05.2013
154
![Page 155: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/155.jpg)
Unser Ziel
Kalkul(e) zur systematischen Uberprufung von Erfullbarkeit
(fur Formeln und/oder Formelmengen)
Dazu brauchen wir “Normalformen”
155
![Page 156: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/156.jpg)
Normalformen
Definition:
• Atom: aussagenlogische Variable
• Literal: Atom, oder
Negation eines Atoms
Beispiel. Sei Π = {P,Q,R}.
Atome: P, Q, R
Literale: P, ¬P, Q, ¬Q, R, ¬R
156
![Page 157: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/157.jpg)
Normalformen
Definition:
• Atom: aussagenlogische Variable
• Literal: Atom, oder
Negation eines Atoms
Definition:
Klausel: Eine Disjunktion von Literalen
• mehrstellige Disjunktionen (P ∨ ¬Q ∨ R), (P ∨ P ∨ ¬Q)
• einstellige Disjunktionen P
• die nullstellige Disjunktion (leere Klausel) ⊥
157
![Page 158: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/158.jpg)
Normalformen
Definition:
Konjunktive Normalform (KNF): Eine Konjunktion von Disjunktionen von
Literalen, d.h., eine Konjunktion von Klauseln
mehrstellig, einstellig oder nullstellig
Beispiele:
(P ∨ ¬Q) ∧ (Q ∨ ¬R ∨ ¬S)
P ∨ Q
P ∧ (Q ∨ R)
P ∧ Q
P ∧ P
⊤
158
![Page 159: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/159.jpg)
Normalformen
Definition:
Disjunktive Normalform (DNF): Eine Disjunktion von Konjunktionen von
Literalen.
mehrstellig, einstellig oder nullstellig
Beispiele:
(P ∧ ¬Q) ∨ (Q ∧ ¬R ∧ ¬S)
P ∧ Q
P ∨ (Q ∧ R)
P ∨ Q
P ∨ P
⊥
159
![Page 160: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/160.jpg)
Normalformen
Eigenschaften:
• Zu jeder aussagenlogischen Formel gibt es:
- eine aquivalente Formel in KNF
- eine aquivalente Formel in DNF
• Diese aquivalenten Formeln in DNF bzw. KNF sind nicht eindeutig
• Solche Formeln konnen aus einer Wahrheitstafel abgelesen werden
• Solche Formeln konnen durch Umformungen hergestellt werden
160
![Page 161: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/161.jpg)
Beispiel: DNF
F : (P ∨ Q) ∧ ((¬P ∧ Q) ∨ R)
P Q R (P ∨ Q) ¬P (¬P ∧ Q) ((¬P ∧ Q) ∨ R) F
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0 0 0
1 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 1 1
DNF: (¬P ∧ Q ∧ ¬R) ∨ (¬P ∧ Q ∧ R) ∨ (P ∧ ¬Q ∧ R) ∨ (P ∧ Q ∧ R)
161
![Page 162: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/162.jpg)
Beispiel: KNF
F : (P ∨ Q) ∧ ((¬P ∧ Q) ∨ R)
P Q R (P ∨ Q) ¬P (¬P ∧ Q) ((¬P ∧ Q) ∨ R) F ¬F
0 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 0 1 1 1 1 1 0
0 1 1 1 1 1 1 1 0
1 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 1 1 0 0 1 1 0
1 1 0 1 0 0 0 0 1
1 1 1 1 0 0 1 1 0
DNF fur ¬F : (¬P ∧¬Q ∧¬R)∨ (¬P ∧¬Q ∧ R)∨ (P ∧¬Q ∧¬R)∨ (P ∧Q ∧¬R)
KNF fur F : (P ∨ Q ∨ R) ∧ (P ∨ Q ∨ ¬R) ∧ (¬P ∨ Q ∨ R) ∧ (¬P ∨ ¬Q ∨ R)
162
![Page 163: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/163.jpg)
Normalformen
DNF fur F :∨
A:{P1,...,Pn}→{0,1}
A(F )=1
(PA(P1)1 ∧ · · · ∧ P
A(Pn)n )
wobei:
P0 = ¬P
P1 = P
Theorem
Fur alle Interpretationen A′ : {P1, . . . ,Pn} → {0, 1}:
A′(F ) = 1 gdw. A′(∨
A:{P1,...,Pn}→{0,1}
A(F )=1
(PA(P1)1 ∧ · · · ∧ P
A(Pn)n )) = 1.
163
![Page 164: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/164.jpg)
Normalformen
DNF fur F :∨
A:{P1,...,Pn}→{0,1}
A(F )=1
(PA(P1)1 ∧ · · · ∧ P
A(Pn)n )
wobei:
P0 = ¬P
P1 = P
KNF fur F: ¬F ′,
wobei F ′ die DNF von ¬F ist.
KNF fur F :∧
A:{P1,...,Pn}→{0,1}
A(F )=0
(P1−A(P1)1 ∨ · · · ∨ P
1−A(Pn)n )
164
![Page 165: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/165.jpg)
Normalformen
Eigenschaften:
• Zu jeder aussagenlogischen Formel gibt es:
- eine aquivalente Formel in KNF
- eine aquivalente Formel in DNF
• Diese aquivalenten Formeln in DNF bzw. KNF sind nicht eindeutig
• Solche Formeln konnen aus einer Wahrheitstafel abgelesen werden
• Solche Formeln konnen durch Umformungen hergestellt werden
165
![Page 166: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/166.jpg)
Umformung in KNF
Vier Schritte:
1. Elimination von ↔
Verwende A ↔ B ≡ (A → B) ∧ (B → A)
2. Elimination von →
Verwende A → B ≡ (¬A ∨ B)
3. “Nach innen schieben” von ¬
Verwende de Morgans Regeln und ¬¬A ≡ A
7→ Negationsnormalform (NNF)
Eine logische Formel ist in Negationsnormalform (NNF),
falls die Negationsoperatoren in ihr nur direkt uber
atomaren Aussagen vorkommen.
166
![Page 167: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/167.jpg)
Umformung in KNF
Vier Schritte:
1. Elimination von ↔
Verwende A ↔ B ≡ (A → B) ∧ (B → A)
2. Elimination von →
Verwende A → B ≡ (¬A ∨ B)
3. “Nach innen schieben” von ¬
Verwende de Morgans Regeln und ¬¬A ≡ A (NNF)
4. “Nach innen schieben” von ∨
Verwende Distributivitat von ∨ uber ∧
167
![Page 168: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/168.jpg)
Umformung in KNF: Beispiel
Gegeben:
P ↔ (Q ∨ R)
1. Elimination von ↔
(P → (Q ∨ R)) ∧ ((Q ∨ R) → P)
2. Elimination von →
(¬P ∨ Q ∨ R) ∧ (¬(Q ∨ R) ∨ P)
3. “Nach innen schieben” von ¬ (NNF)
(¬P ∨ Q ∨ R) ∧ ((¬Q ∧ ¬R)) ∨ P)
4. “Nach innen schieben” von ∨
(¬P ∨ Q ∨ R) ∧ (¬Q ∨ P) ∧ (¬R ∨ P))
168
![Page 169: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/169.jpg)
Umformung in DNF
Vier Schritte:
1. Elimination von ↔
Verwende A ↔ B ≡ (A → B) ∧ (B → A)
2. Elimination von →
Verwende A → B ≡ (¬A ∨ B)
3. “Nach innen schieben” von ¬
Verwende de Morgans Regeln und ¬¬A ≡ A (NNF)
4. “Nach innen schieben” von ∧
Verwende Distributivitat von ∧ uber ∨
169
![Page 170: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/170.jpg)
Umformung in DNF: Beispiel
Gegeben:
P ↔ (Q ∨ R)
1. Negationsnormalform (NNF) (s. Seite 168):
(¬P ∨ Q ∨ R) ∧ ((¬Q ∧ ¬R) ∨ P)
2. “Nach innen schieben” von ∧
(¬P ∧ ((¬Q ∧ ¬R) ∨ P)) ∨ (Q ∧ ((¬Q ∧ ¬R) ∨ P)) ∨ (R ∧ ((¬Q ∧ ¬R) ∨ P))
≡ (¬P ∧ ¬Q ∧ ¬R) ∨ (¬P ∧ P) ∨ (Q ∧ ¬Q ∧ ¬R) ∨ (Q ∧ P) ∨(R ∧ ¬Q ∧ ¬R) ∨ (R ∧ P)
≡ (¬P ∧ ¬Q ∧ ¬R) ∨ (¬P ∧ P)︸ ︷︷ ︸
≡⊥
∨ ((Q ∧ ¬Q)︸ ︷︷ ︸
≡⊥
∧¬R) ∨ (Q ∧ P) ∨
((R ∧ ¬R)︸ ︷︷ ︸
≡⊥
∧¬Q) ∨ (R ∧ P)
≡ (¬P ∧ ¬Q ∧ ¬R) ∨ (Q ∧ P) ∨ (R ∧ P)
170
![Page 171: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/171.jpg)
Beispiel zur exponentiellen Lange der KNF
Gegeben:
An = (P11 ∧ P12) ∨ · · · ∨ (Pn1 ∧ Pn2)
Zu An aquivalente KNF∧
f :{1,...,n}→{1,2}
(P1,f (1) ∨ · · · ∨ Pn,f (n))
171
![Page 172: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/172.jpg)
Beispiel zur exponentiellen Lange der KNF
Gegeben:
An = (P11 ∧ P12) ∨ · · · ∨ (Pn1 ∧ Pn2)
n = 1 : A1 = P11∧P12 Lange: 21
n = 2 : A2 = (P11∧P12)∨(P21∧P22)
≡ ((P11∧P12)∨P21)∧((P11∧P12)∨P22)
≡ (P11∨P21)∧(P12∨P21)∧(P11∨P22)∧(P12∨P22) Lange: 22
n = 3 : A3 = (P11∧P12)∨(P21∧P22)︸ ︷︷ ︸
A2
∨(P31∧P32)
≡ ((P11∨P21)∧(P12∨P21)∧(P11∨P22)∧(P12∨P22))︸ ︷︷ ︸
KNF (A2)
∨(P31∧P32)
≡ (((P11∨P21)∧(P12∨P21)∧(P11∨P22)∧(P12∨P22))∨P31)∧(((P11∨P21)∧(P12∨P21)∧(P11∨P22)∧(P12∨P22))∨P32)
≡ (((P11∨P21∨P31)∧(P12∨P21∨P31)∧(P11∨P22∨P31)∧(P12∨P22∨P31)∧(((P11∨P21∨P32)∧(P12∨P21∨P32)∧(P11∨P22∨P32)∧(P12∨P22∨P32) Lange: 23
172
![Page 173: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/173.jpg)
Beispiel zur exponentiellen Lange der KNF
Gegeben: An = (P11 ∧ P12) ∨ · · · ∨ (Pn1 ∧ Pn2)
• Klausel in KNF von An: 2n
Beweis durch Induktion
Induktionsbasis: n = 1 : A1 in KNF, 21 Klausel.
173
![Page 174: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/174.jpg)
Beispiel zur exponentiellen Lange der KNF
Gegeben: An = (P11 ∧ P12) ∨ · · · ∨ (Pn1 ∧ Pn2)
• Klausel in KNF von An: 2n
Beweis durch Induktion
Induktionsvoraussetzung: KNF von An hat 2n Klausel
KNF (An) = C1 ∧ · · · ∧ C2n , Ci = (Li1 ∨ · · · ∨ Lini ) Klausel
Induktionsschritt: Zu zeigen: KNF von An+1 hat 2n+1 Klausel
An+1 = (P11 ∧ P12) ∨ · · · ∨ (Pn1 ∧ Pn2) ∨ (P(n+1),1 ∧ P(n+1),2)≡ ((P11 ∧ P12) ∨ · · · ∨ (Pn1 ∧ Pn2)
︸ ︷︷ ︸
An
) ∨ (P(n+1),1 ∧ P(n+1),2)
≡ (C1 ∧ · · · ∧ C2n )︸ ︷︷ ︸
KNF (An)
∨ (P(n+1),1 ∧ P(n+1),2)
≡ ((C1 ∧ · · · ∧ C2n ) ∨ P(n+1),1) ∧ ((C1 ∧ · · · ∧ C2n ) ∨ P(n+1),2)≡ (C1 ∨ P(n+1),1) ∧ · · · ∧ (C2n ∨ P(n+1),1)
︸ ︷︷ ︸
2n
∧ (C1 ∨ P(n+1),2) ∧ · · · ∧ (C2n ∨ P(n+1),2)︸ ︷︷ ︸
2n
174
![Page 175: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/175.jpg)
KNF: Mengenschreibweise
Notation:
Klausel als Menge von Literalen
Formel in KNF als Menge von Klauseln
Beispiel:
(P ∨ Q ∨ R) ∧ (P ∨ Q ∨ ¬R) ∧ (¬P ∨ Q ∨ R) ∧ (¬P ∨ ¬Q ∨ R)
{ {P,Q,R}, {P,Q,¬R}, {¬P,Q,R}, {¬P,¬Q,R} }
175
![Page 176: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/176.jpg)
KNF: Mengenschreibweise
Bedeutung der leeren Menge
• Leere Klausel
= leere Menge von Literalen
= leere Disjunktion
= ⊥
• Leere Menge von Klausels
= leere Konjunktion
= ⊤
176
![Page 177: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/177.jpg)
Vereinfachung der KNF: Subsumption
Theorem (Subsumption Regel)
Enthalt eine KNF-Formel (= Klauselmenge) Klauseln K ,K ′ mit
K ⊂ K ′
dann entsteht eine aquivalente Formel, wenn K ′ weggelassen wird.
Beweis:
K = {L1, . . . , Lp} ⊆ {L1, . . . , Lp , Lp+1, . . . , Lm} = K ′
F enthalt K ∧ K ′
K ∧ K ′ = (L1 ∨ · · · ∨ Lp) ∧ ((L1 ∨ · · · ∨ Lp) ∨ Lp+1 ∨ . . . Lm)
≡ (L1 ∨ · · · ∨ Lp) = K (Absorption)
177
![Page 178: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/178.jpg)
Das SAT-Problem (Erfullbarkeitsproblem)
Definition: SAT-Problem
Gegeben: Eine aussagenlogische Formel F
Frage: Ist F erfullbar?
NB: F allgemeingultig gdw. ¬F nicht erfullbar
178
![Page 179: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/179.jpg)
Das SAT-Problem (Erfullbarkeitsproblem)
Erfullbarkeitsproblem fur DNF Formeln
Sei F =∨n
i=1(∧m
j=1 Lij ) in DNF
F unerfullbar gdw. (∧m
j=1 Lij ) unerfullbar fur alle i = 1, . . . , n
gdw. (∧m
j=1 Lij ) enthalt zwei komplementare Literale fur alle i
179
![Page 180: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/180.jpg)
Zusammenfassung
• Normalformen
Atome, Literale, Klauseln
Konjunktive und Disjunktive Normalform
Ablesen von DNF und KNF aus Wahrheitstafeln
Umformen in KNF/DNF
Mengenschreibweise
Subsumption
• SAT-Problem (Erfullbarkeitsproblem)
Definition
Erfullbarkeitsproblem fur DNF Formeln
180
![Page 181: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/181.jpg)
2. Aussagenlogik
Teil 4
07.05.2012
181
![Page 182: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/182.jpg)
Das SAT-Problem (Erfullbarkeitsproblem)
Erfullbarkeitsproblem fur DNF Formeln
Sei F =∨n
i=1(∧m
j=1 Lij ) in DNF
F unerfullbar gdw. (∧m
j=1 Lij ) unerfullbar fur alle i = 1, . . . , n
gdw. (∧m
j=1 Lij ) enthalt zwei komplementare Literale fur alle i
Beispiele:
(P ∧ ¬Q)︸ ︷︷ ︸
erfullbar
∨ (P ∧ Q ∧ ¬R ∧ ¬Q)︸ ︷︷ ︸
unerfullbar
erfullbar
(P ∧ ¬Q ∧ ¬P)︸ ︷︷ ︸
unerfullbar
∨ (P ∧ Q ∧ ¬R ∧ ¬Q)︸ ︷︷ ︸
unerfullbar
unerfullbar
182
![Page 183: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/183.jpg)
Das SAT-Problem (Erfullbarkeitsproblem)
Erfullbarkeitsproblem fur DNF Formeln
Sei F =∨n
i=1(∧m
j=1 Lij ) in DNF
F unerfullbar gdw. (∧m
j=1 Lij ) unerfullbar fur alle i = 1, . . . , n
gdw. (∧m
j=1 Lij ) enthalt zwei komplementare Literale fur alle i
Allgemeingultigkeit fur KNF Formeln
F =∧n
i=1(∨m
j=1 Lij ) in KNF ist allgemeingultig gdw. jede Disjunktion∨m
j=1 Lij zwei
komplementare Literale enthalt.
Beispiele:
(P ∨ ¬Q)︸ ︷︷ ︸
erfullbar (keine Tautologie)
∧ (P ∨ Q ∨ ¬R ∨ ¬Q)︸ ︷︷ ︸
Tautologie
keine Tautologie (nicht allgemeingultig)
(P ∨ ¬Q ∨ ¬P)︸ ︷︷ ︸
Tautologie
∧ (P ∨ Q ∨ ¬R ∨ ¬Q)︸ ︷︷ ︸
Tautologie
Tautologie (allgemeingultig)
183
![Page 184: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/184.jpg)
Das SAT-Problem (Erfullbarkeitsproblem)
Definition: SAT-Problem
Gegeben: Eine aussagenlogische Formel F
Frage: Ist F erfullbar?
Theorem (ohne Beweis)
SAT ist ein NP-vollstandiges Problem
184
![Page 185: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/185.jpg)
NP
Zur Erinnerung:
• P ist die Klasse aller Probleme, die in polynomieller Zeit entscheidbar
sind.
• NP ist die Klasse aller Probleme, die nichtdeterministisch in
polynomieller Zeit entscheidbar sind.
Ein Entscheidungsproblem ist genau dann in NP, wenn eine gegebene
Losung fur das entsprechende Suchproblem in Polynomialzeit uberpruft
werden kann.
SAT ist in NP:
• Rate eine “Losung” (Interpretation A mit A(F ) = 1)
• Uberprufe, ob A wirklich eine “Losung” ist (i.e. ob A(F ) = 1)
kann in Polynomialzeit uberpruft werden
185
![Page 186: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/186.jpg)
NP-Vollstandigkeit
Zur Erinnerung:
“SAT ist NP-vollstandig” heißt:
• SAT ist nichtdeterministisch in polynomieller Zeit entscheidbar
• Jedes nichtdeterministisch in polynomieller Zeit entscheidbare Problem
kann in polynomieller Zeit auf SAT reduziert werden
• Wenn es stimmt, dass NP 6= P, dann ist SAT nicht in polynomieller
Zeit entscheidbar
186
![Page 187: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/187.jpg)
Teilklassen des Erfullbarkeitsproblems
Definition:
k-KNF Formel: KNF-Formeln, deren Klauseln hochstens k Literale haben
Beispiele:
P ∧ ¬Q 1-KNF
P ∧ (¬P ∨ Q) ∧ (R ∨ ¬Q) 2-KNF
(P ∨ Q) ∧ (P ∨ ¬Q ∨ R) 3-KNF
Alternative Definition (nicht allgemeiner):
k-KNF Formel: KNF-Formeln, deren Klauseln genau k Literale haben
Beispiele:
P ∧ ¬Q 1-KNF
(P ∨ P) ∧ (¬P ∨ Q) ∧ (R ∨ ¬Q) 2-KNF
(P ∨ P ∨ Q) ∧ (P ∨ ¬Q ∨ R) 3-KNF
187
![Page 188: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/188.jpg)
Teilklassen des Erfullbarkeitsproblems
Definition:
k-KNF Formel: KNF-Formeln, deren Klauseln hochstens k Literale haben
Theorem
• Erfullbarkeit fur Formeln in KNF: NP-vollstandig (ohne Beweis)
• Erfullbarkeit fur Formeln in 3-KNF: NP-vollstandig (Beweisidee)
188
![Page 189: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/189.jpg)
3-SAT
Theorem
Erfullbarkeit fur Formeln in 3-KNF (3-SAT) ist NP-vollstandig
Beweis
• 3-SAT ist ein Spezialfall von SAT und deshalb wie SAT in NP.
• Um zu zeigen, dass 3-SAT ebenfalls NP-vollstandig ist, mussen wir
zeigen, dass jedes SAT Problem in polynomieller Zeit auf das 3-SAT
Problem reduzierbar ist.
189
![Page 190: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/190.jpg)
3-SAT
Theorem
Erfullbarkeit fur Formeln in 3-KNF (3-SAT) ist NP-vollstandig
Beweis (Teil 2)
Wir zeigen, dass jedes SAT Problem in polynomieller Zeit auf das 3-SAT
Problem reduzierbar ist.
Gegeben sei eine Formel F in KNF. Wir transformieren F in eine Formel F ′
in 3-KNF, so dass:
F ist erfullbar gdw. F ′ ist erfullbar.
Eine k-Klausel sei eine Klausel mit k Literalen.
Aus einer 1- bzw 2-Klausel konnen wir leicht eine aquivalente 3-Klausel
machen, indem wir ein Literal wiederholen.
Was machen wir mit k-Klauseln fur k > 3?
190
![Page 191: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/191.jpg)
3-SAT
Theorem
Erfullbarkeit fur Formeln in 3-KNF (3-SAT) ist NP-vollstandig
Beweis (Teil 3)
Sei C beispielsweise eine 4-Klausel der Form
C = L1 ∨ L2 ∨ L3 ∨ L4.
In einer Klauseltransformation ersetzen wir C durch die Teilformel
C0 = (L1 ∨ L2 ∨ H) ∧ (¬H ∨ L3 ∨ L4),
wobei H eine zusatzlich eingefuhrte Hilfsvariable bezeichnet.
191
![Page 192: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/192.jpg)
Beispiel
C = P ∨ ¬Q ∨ ¬R ∨ S 7→ (P ∨ ¬Q ∨ H) ∧ (¬H ∨ ¬R ∨ S).
192
![Page 193: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/193.jpg)
3-SAT
Theorem
Erfullbarkeit fur Formeln in 3-KNF (3-SAT) ist NP-vollstandig
Beweis (Teil 3)
Sei C beispielsweise eine 4-Klausel der Form
C = L1 ∨ L2 ∨ L3 ∨ L4.
In einer Klauseltransformation ersetzen wir C durch die Teilformel
C0 = (L1 ∨ L2 ∨ H) ∧ (¬H ∨ L3 ∨ L4),
wobei H eine zusatzlich eingefuhrte Hilfsvariable bezeichnet.
F ′ sei aus F entstanden durch Ersetzung von C durch C0.
zu zeigen: F ′ erfullbar gdw. F erfullbar
193
![Page 194: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/194.jpg)
3-SAT
Theorem
Erfullbarkeit fur Formeln in 3-KNF (3-SAT) ist NP-vollstandig
Beweis (Teil 4)
C = L1 ∨ L2 ∨ L3 ∨ L4; C0 = (L1 ∨ L2 ∨ H) ∧ (¬H ∨ L3 ∨ L4),
F ′ sei aus F entstanden durch Ersetzung von C durch C0.
zu zeigen: F ′ erfullbar gdw. F erfullbar
“⇐”
Sei A eine erfullende Belegung fur F . A weist mindestens einem Literal aus C den
Wert 1 zu. Wir unterscheiden zwei Falle:
1) Falls L1 oder L2 den Wert 1 haben, so ist F ′ fur A(H) = 0 erfullt.
2) Falls L3 oder L4 den Wert 1 haben, so ist F ′ fur A(H) = 1 erfullt.
Also ist F ′ in beiden Fallen erfullbar.
194
![Page 195: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/195.jpg)
3-SAT
Theorem
Erfullbarkeit fur Formeln in 3-KNF (3-SAT) ist NP-vollstandig
Beweis (Teil 5)
C = L1 ∨ L2 ∨ L3 ∨ L4; C0 = (L1 ∨ L2 ∨ H) ∧ (¬H ∨ L3 ∨ L4),
F ′ sei aus F entstanden durch Ersetzung von C durch C0.
zu zeigen: F ′ erfullbar gdw. F erfullbar
“⇒”
Sei A eine erfullende Belegung fur F ′. Wir unterscheiden zwei Falle:
1) Falls A(H) = 0, so muss A(L1) = 1 oder A(L2) = 1.
2) Falls A(H) = 1, so muss A(L3) = 1 oder A(L4) = 1
In beiden Fallen erfullt A somit auch C , i.e. auch F .
195
![Page 196: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/196.jpg)
3-SAT
Theorem
Erfullbarkeit fur Formeln in 3-KNF (3-SAT) ist NP-vollstandig
Beweis (Teil 6)
Wir verallgemeinern die Klauseltransformation fur k ≥ 4:
Jede Klausel der Form
L1 ∨ L2 ∨ · · · ∨ Lk−1 ∨ Lk
wird durch eine Formel der Form
(L1 ∨ L2 ∨ ... ∨ Lk−2 ∨ H) ∧ (¬H ∨ Lk−1 ∨ Lk)
ersetzt.
Die Erfullbarkeitsaquivalenz folgt analog zum Fall k = 4.
196
![Page 197: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/197.jpg)
Beispiele
Beispiel 1:
(P ∨ ¬Q ∨ R ∨ S ∨ U ∨ ¬V )
7→ (P ∨ ¬Q ∨ R ∨ S ∨ H1) ∧ (¬H1 ∨ U ∨ ¬V )
7→ (P ∨ ¬Q ∨ R ∨ H2) ∧ (¬H2 ∨ S ∨ H1) ∧ (¬H1 ∨ U ∨ ¬V )
7→ (P ∨ ¬Q ∨ H3) ∧ (¬H3 ∨ R ∨ H2)∧(¬H2 ∨ S ∨ H1) ∧ (¬H1 ∨ U ∨ ¬V )
Beispiel 2:
(P ∨ ¬Q ∨ ¬R ∨ S) ∧ (¬P ∨ Q ∨ R ∨ ¬S)
7→ (P ∨ ¬Q ∨ H1) ∧ (¬H1 ∨ ¬R ∨ S) ∧ (¬P ∨ Q ∨ R ∨ ¬S)
7→ (P ∨ ¬Q ∨ H1) ∧ (¬H1 ∨ ¬R ∨ S) ∧ (¬P ∨ Q ∨ H2) ∧ (¬H2 ∨ R ∨ ¬S)
197
![Page 198: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/198.jpg)
Bis jetzt
• Das SAT-Problem (Erfullbarkeitsproblem)
• Teilklassen des Erfullbarkeitsproblems
k-KNF Formel: KNF-Formeln, deren Klauseln hochstens k Literale haben
Theorem
• Erfullbarkeit fur Formeln in KNF: NP-vollstandig (ohne Beweis)
• Erfullbarkeit fur Formeln in 3-KNF (3-SAT): NP-vollstandig
• Erfullbarkeit fur Formeln in 2-KNF: polynomiell entscheidbar
(nachste Vorlesung)
• Erfullbarkeit fur Formeln in DNF: polynomiell entscheidbar
F =∨n
i=1(∧m
j=1 Lij ) Formel in DNF unerfullbar gdw. fur alle
i , (∧m
j=1 Lij ) enthalt zwei komplementare Literale.
198
![Page 199: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/199.jpg)
Teilklassen des Erfullbarkeitsproblems
Definition:
k-KNF Formel: KNF-Formeln, deren Klauseln hochstens k Literale haben
Theorem
• Erfullbarkeit fur Formeln in KNF: NP-vollstandig (ohne Beweis)
• Erfullbarkeit fur Formeln in 3-KNF: NP-vollstandig (Beweisidee)
• Erfullbarkeit fur Formeln in 2-KNF: polynomiell entscheidbar
• Erfullbarkeit fur Formeln in DNF: polynomiell entscheidbar
199
![Page 200: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/200.jpg)
Horn-Formeln
Defintion:
Horn-Formel: Formel in KNF, in der jede Klausel hochstens ein positives
Literal enthalt
Notation: als Implikation
¬P1 ∨ · · · ∨ ¬Pn ∨ P P1 ∧ · · · ∧ Pn → P
¬P1 ∨ · · · ∨ ¬Pn PA ∧ · · · ∧ Pn →
P → P
P1 ∧ · · · ∧ Pn : Rumpf
P: Kopf → P: Fakt
200
![Page 201: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/201.jpg)
Horn Formel: Beispiele
Klausel Literalmengen Implikationen
¬P {¬P} P →
Q ∨ ¬R ∨ ¬S {Q,¬R,¬S} R, S → Q
¬Q ∨ ¬S {¬Q,¬S} Q,S →
R {R} → R
¬Q ∨ P {¬Q,P} Q → P
201
![Page 202: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/202.jpg)
Erfullbarkeitsproblem fur Horn-Formeln
Theorem
Die Erfullbarkeit von Horn-Formeln ist in quadratischer Zeit entscheidbar.
Lemma. Sei F Hornformel die keine Fakten enthalt. Dann ist F erfullbar.
Beweis: Sei A : Π → {0, 1} mit A(P) = 0 fur alle P ∈ Π. Dann A(F ) = 1.
202
![Page 203: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/203.jpg)
Erfullbarkeitsproblem fur Horn-Formeln
Theorem
Die Erfullbarkeit von Horn-Formeln ist in quadratischer Zeit entscheidbar.
Beweis: (Idee)
Ziel: A : Π → {0, 1} mit A(F ) = 1.
Falls keine Fakten in F : F erfullbar.
Sonst: Fur alle Fakten → P in F : A(P) := 1;
Wiederhole das Verfahren fur F ′, entstanden aus F durch Ersetzung von P
mit ⊤.
203
![Page 204: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/204.jpg)
Erfullbarkeitstest fur Horn-Formeln
Eingabe: F = D1 ∧ · · · ∧ Dn eine Hornformel
(die Klausel Di enthalt hochstens ein positives Literal)
Ein Atom in F zu markieren, bedeutet, es an allen Stellen seines Auftretens
in F zu markieren
204
![Page 205: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/205.jpg)
Erfullbarkeitstest fur Horn-Formeln
0: IF keine Fakten (Klausel “→ A”) vorhanden
THEN Ausgabe: erfullbar
ELSE markiere alle Fakten in F (Atome A mit → A in F )
1: IF keine Klausel A1 ∧ · · · ∧ An → B in F , so dass
alle Atome in A1, . . . ,An markiert aber B nicht
THEN Ausgabe: erfullbar
ELSE wahle die erste solche Klausel
IF B leer
THEN Ausgabe: unerfullbar
ELSE markiere uberall B in F
GOTO 1
205
![Page 206: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/206.jpg)
Beispiel 1
(¬P) ∧ (Q) ∧ (¬P ∨ R) ∧ (¬Q ∨ S) ∧ (T ∨ ¬W ) ∧ (¬S ∨ U)∧
(¬U ∨ ¬T ∨ P ∨ ¬Z) ∧ (¬Q ∨ ¬S ∨ ¬U ∨W )
Konjunktion von Implikationen:
(P → ⊥) ∧(⊤ → Q) ∧(P → R) ∧(Q → S) ∧(W → T ) ∧(S → U) ∧
((U ∧ T ∧ Z) → P) ∧((Q ∧ S ∧ U) → W )
P →→ Q
P → R
Q → S
W → T
S → U
U,T , Z → P
Q, S,U → W
206
![Page 207: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/207.jpg)
Beispiel 1
(¬P) ∧ (Q) ∧ (¬P ∨ R) ∧ (¬Q ∨ S) ∧ (T ∨ ¬W ) ∧ (¬S ∨ U)∧
(¬U ∨ ¬T ∨ P ∨ ¬Z) ∧ (¬Q ∨ ¬S ∨ ¬U ∨W ) Erfullbar
P →→ Q
P → R
Q → S
W → T
S → U
U,T , Z → P
Q, S,U → W
Markierte Atome und Erklarung:
{Q} initialer Fakt wegen ⊤ → Q
{Q, S} wegen Q → S
{Q, S,U} wegen S → U
{Q, S,U,W} wegen Q, S,U → W
{Q, S,U,W ,T} wegen W → T
Keine weiteren Schritte moglich, da es
keine Implikation gibt,deren linke Seite
vollstandig markiert ist und die rechte Seite nicht
Modell: A(Q) = A(S) = A(U) = A(W ) = A(T ) = 1, A(P) = A(R) = A(Z) = 0
Markierte Atome: wahr; nicht markierte Atome: falsch.
207
![Page 208: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/208.jpg)
Beispiel 2
(¬P) ∧ (¬P ∨ R) ∧ (¬Q ∨ S) ∧ (T ∨ ¬W ) ∧ (¬S ∨ U)∧
(¬U ∨ ¬T ∨ P ∨ ¬Z) ∧ (¬Q ∨ ¬S ∨ ¬U ∨W ) Erfullbar
P →P → R
Q → S
W → T
S → U
U,T , Z → P
Q, S,U → W
Markierte Atome und Erklarung:
Keine Schritte moglich, da es
keine Implikation gibt,deren linke Seite
vollstandig markiert ist und die rechte Seite nicht
Modell: A(P) = A(Q) = A(R) = A(S) = A(T ) = A(U) = A(W ) = A(Z) = 0
208
![Page 209: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/209.jpg)
Beispiel 3
(¬P) ∧ (Q) ∧ (¬P ∨ R) ∧ (¬Q ∨ S) ∧ (T ∨ ¬W ) ∧ (¬S ∨ U)∧
(¬U ∨ ¬T ∨ P ∨ ¬Z) ∧ (¬Q ∨ ¬S ∨ ¬U)
P →→ Q
P → R
Q → S
W → T
S → U
U,T , Z → P
Q, S,U →
Markierte Atome und Erklarung:
{Q} initialer Fakt wegen ⊤ → Q
{Q, S} wegen Q → S
{Q, S,U} wegen S → U
Unerfullbar
Q, S,U markiert, aber Kopf von
Q, S,U → leer
209
![Page 210: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/210.jpg)
Zusammenfassung
• SAT-Problem (SAT, 3-SAT, 2-SAT, DNF-SAT)
• Horn-Formeln
• Erfullbarkeitstest fur Hornformeln
210
![Page 211: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/211.jpg)
2. Aussagenlogik
Teil 5
14.05.2012
211
![Page 212: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/212.jpg)
Erfullbarkeitsproblem fur Horn-Formeln
Theorem
Die Erfullbarkeit von Horn-Formeln ist in quadratischer Zeit entscheidbar.
Beweis: (Idee)
Ziel: A : Π → {0, 1} mit A(F ) = 1.
Falls keine Fakten in F : F erfullbar.
Sonst: Fur alle Fakten → P in F : A(P) := 1;
Wiederhole das Verfahren fur F ′, entstanden aus F durch Ersetzung von P
mit ⊤.
Komplexitat: |F | × |F |
212
![Page 213: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/213.jpg)
Unser Ziel
Kalkul(e) zur systematischen Uberprufung von Erfullbarkeit
(fur Formeln und/oder Formelmengen)
1. Formeln in KNF (Mengen von Klauseln)
Resolution
2. Formelmengen
Semantische Tableaux
213
![Page 214: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/214.jpg)
1. Resolution
214
![Page 215: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/215.jpg)
Motivation
(¬P) ∧ (Q) ∧ (¬P ∨ R) ∧ (¬Q ∨ S) ∧ (T ∨ ¬W ) ∧ (¬S ∨ U)∧
(¬U ∨ ¬T ∨ P ∨ ¬Z) ∧ (¬Q ∨ ¬S ∨ ¬U ∨W )
Implikationen
P →→ Q
P → R
Q → S
W → T
S → U
U,T , Z → P
Q, S,U → W
Klauseln
¬P
Q
¬P ∨ R
S
T
U
¬Z ∨ P
W
Markierte Atome und Erklarung:
{Q} initialer Fakt wegen ⊤ → Q Q 7→ ⊤{Q, S} wegen Q → S S 7→ ⊤{Q, S,U} wegen S → U U 7→ ⊤{Q, S,U,W} wegen Q, S,U → W W 7→ ⊤{Q, S,U,W ,T} wegen W → T T 7→ ⊤
Modell:
A(Q) = A(S) = A(U) = A(W ) = A(T ) = 1
A(P) = A(R) = A(Z) = 0
Markierte Atome: wahr; nicht markierte Atome: falsch.
215
![Page 216: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/216.jpg)
Bemerkung
Horn Klauseln:
P P,P1 . . .Pn → Q
P1 . . .Pn → Q
Klauselschreibweise:
P ¬P ∨ ¬P1 . . .¬Pn ∨ Q
¬P1 ∨ · · · ∨ ¬Pn ∨ Q
Mengenschreibweise:
{P} {¬P,¬P1,¬Pn,Q}
{¬P1, . . . ,¬Pn,Q}
216
![Page 217: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/217.jpg)
Verallgemeinerung?
Syllogismus (in der ersten Vorlesung erwahnt):
P P → C
C
Mengenschreibweise: 1-Resolution (unit resolution)
{P} {¬P} ∪ C
C
{¬P} {P} ∪ C
C
217
![Page 218: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/218.jpg)
Verallgemeinerung?
Nicht geeignet fur Erfullbarkeitsuberprufung beliebiger Klauselmengen:
Die Klauselmenge
M = {{P1,P2}, {P1,¬P2}, {¬P1,P2}, {¬P1,¬P2}}
ist nicht erfullbar, aber mit 1-Resolution ist aus M nichts ableitbar, also
auch nicht ⊥.
Ziel: Kalkul mit der Eigenschaft dass:
(1) falls M unerfullbar ⊥ ist aus M ableitbar
(2) falls ⊥ aus M ableitbar, M unerfullbar.
7→ Das Resolutionkalkul
218
![Page 219: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/219.jpg)
Der aussagenlogische Resolutionkalkul
Wesentliche Eigenschaften
• Widerlegungskalkul: Testet auf Unerfullbarkeit
• Voraussetzung: Alle Formeln in konjunktiver Normalform
• Eine einzige Regel
• Operiert auf Klauseln (in Mengenschreibweise)
219
![Page 220: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/220.jpg)
Resolutionskalkul
Definition: Resolutionsregel (einzige Regel des Kalkuls)
C1 ∪ {P} {¬P} ∪ C2
C1 ∪ C2
wobei
• P eine aussagenlogische Variable
• C1,C2 Klauseln (konnen leer sein)
Definition:
C1 ∪ C2 heißt Resolvente von C1 ∪ {P},C2 ∪ {¬P}
220
![Page 221: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/221.jpg)
Resolution: Beispiel
Gegeben die Klauselmenge:
M = {{P1,P2}, {P1,¬P2}, {¬P1,P2}, {¬P1,¬P2}}
Resolution:{P1,P2} {P1,¬P2}
{P1}
{¬P1,P2} {¬P1,¬P2}
{¬P1}
{P1} {¬P1}
⊥
Insgesamt: M ⊢Res⊥
also: M unerfullbar
221
![Page 222: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/222.jpg)
Resolution: Weiteres Beispiel
Zu zeigen:
(P → Q) → ((Q → R) → (P → R))
ist allgemeingultig
Dazu zeigen wir, dass
¬[(P → Q) → ((Q → R) → (P → R))]
unerfullbar ist.
Klauselnormalform:
{{¬P,Q}, {¬Q,R}, {P}, {¬R}}
222
![Page 223: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/223.jpg)
Resolution: Weiteres Beispiel
Klauselnormalform:
M = {{¬P,Q}, {¬Q,R}, {P}, {¬R}}
Ableitung der leeren Klausel aus M:
(1) {¬P,Q} gegeben
(2) {¬Q,R} gegeben
(3) {P} gegeben
(4) {¬R} gegeben
(5) {Q} aus (1) und (3)
(6) {R} aus (2) und (5)
(7) ⊥ aus (4) und (6)
223
![Page 224: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/224.jpg)
Resolution: Bemerkungen
Vorsicht bei Klauseln mit mehreren Resolutionsmoglichkeiten
• Zwei Klauseln konnen mehr als eine Resolvente haben
z.B.: {A,B} und {¬A,¬B}
• {A,B,C} und {¬A,¬B,D} haben NICHT {C ,D} als Resolvente
Heuristik: Immer moglichst kleine Klauseln ableiten
224
![Page 225: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/225.jpg)
Notwendigkeit der Mengenschreibweise
Die Menge
E = {P1 ∨ ¬P2,¬P1 ∨ P2,¬P1 ∨ ¬P2,P1 ∨ P2}
ist unerfullbar.
Es gibt folgende Resolutionsmoglichkeiten (ohne Mengenschreibweise)
P1 ∨ ¬P2 ¬P1 ∨ P2
¬P2 ∨ P2
P1 ∨ ¬P2 ¬P1 ∨ P2
¬P1 ∨ P1
P1 ∨ ¬P2 ¬P1 ∨ ¬P2
¬P2 ∨ ¬P2
P1 ∨ ¬P2 P1 ∨ P2
P1 ∨ P1
¬P1 ∨ P2 ¬P1 ∨ ¬P2
¬P1 ∨ ¬P1
¬P1 ∨ P2 P1 ∨ P2
P2 ∨ P2
¬P1 ∨ ¬P2 P1 ∨ P2
¬P1 ∨ P1
¬P1 ∨ ¬P2 P1 ∨ P2
¬P2 ∨ P2
Auf diese Weise ist ⊥ nicht herleitbar
225
![Page 226: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/226.jpg)
Ohne Mengenschreibweise
Resolutionsregel:
C1 ∨ P ¬P ∨ C2
C1 ∨ C2
Faktorisieren:C ∨ L ∨ L
C ∨ L
226
![Page 227: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/227.jpg)
Resolution mit Faktorisierung
Die Menge
E = {P1 ∨ ¬P2,¬P1 ∨ P2,¬P1 ∨ ¬P2,P1 ∨ P2}
ist unerfullbar.
Es gibt folgende Resolutionsmoglichkeiten (mit Faktorisieren)
P1 ∨ ¬P2 ¬P1 ∨ P2
¬P2 ∨ P2
P1 ∨ ¬P2 ¬P1 ∨ P2
¬P1 ∨ P1
P1 ∨ ¬P2 ¬P1 ∨ ¬P2
¬P2 ∨ ¬P2
P1 ∨ ¬P2 P1 ∨ P2
P1 ∨ P1
¬P1 ∨ P2 ¬P1 ∨ ¬P2
¬P1 ∨ ¬P1
¬P1 ∨ P2 P1 ∨ P2
P2 ∨ P2
¬P1 ∨ ¬P2 P1 ∨ P2
¬P1 ∨ P1
¬P1 ∨ ¬P2 P1 ∨ P2
¬P2 ∨ P2
P1 ∨ P1
P1
¬P1 ∨ ¬P1
¬P1
P2 ∨ P2
P2
¬P2 ∨ ¬P2
¬P2
P1 ¬P1
⊥
227
![Page 228: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/228.jpg)
Resolution: Beispiel
Gegeben die Klauselmenge:
M = {{P1,P2}, {P1,¬P2}, {¬P1,P2}, {¬P1,¬P2}}
Resolution:{P1,P2} {P1,¬P2}
{P1}
{¬P1,P2} {¬P1,¬P2}
{¬P1}
{P1} {¬P1}
⊥
Insgesamt: M ⊢Res⊥
also: M unerfullbar
228
![Page 229: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/229.jpg)
Resolution
Ziele:
• Formalisieren, was M ⊢Res⊥ bedeutet
• Zeigen, dass M ⊢Res⊥ gdw. M unerfullbar.
229
![Page 230: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/230.jpg)
Resolution
Sei F eine Klauselmenge und
Res(F ) = F ∪ {R | R ist eine Resolvente zweier Klauseln aus F}
Res0(F ) = F
Resn+1(F ) = Res(Resn(F ))
Res⋆(F ) =⋃
n∈N Resn(F )
(bezeichnet die Vereinigung der Resolventen aus aller moglichen Resolutionsschritte
auf F )
Notation: Falls C ∈ Res⋆(F ), so schreiben wir F ⊢Res C .
Definition: Beweis fur C (aus F ): C1, . . .Cn, wobei:
Cn = C und fur alle 1 ≤ i ≤ n: (Ci ∈ F oder Ci Resolvente furCj1
Cj2Ci
mit
j1, j2<i).
230
![Page 231: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/231.jpg)
Resolution: Weiteres Beispiel
Klauselnormalform:
M = {{¬P,Q}, {¬Q,R}, {P}, {¬R}}
(1) {¬P,Q} gegeben
(2) {¬Q,R} gegeben
(3) {P} gegeben
(4) {¬R} gegeben
(5) {Q} aus (1) und (3)
(6) {R} aus (2) und (5)
Beweis fur {R} aus M
231
![Page 232: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/232.jpg)
Resolution: Weiteres Beispiel
Klauselnormalform:
M = {{¬P,Q}, {¬Q,R}, {P}, {¬R}}
(1) {¬P,Q} gegeben
(2) {¬Q,R} gegeben
(3) {P} gegeben
(4) {¬R} gegeben
(5) {Q} aus (1) und (3)
(6) {R} aus (2) und (5)
(7) ⊥ aus (4) und (6)
Beweis fur ⊥ aus M (Widerspruch)
232
![Page 233: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/233.jpg)
Resolution: Korrektheit und Vollstandigkeit
Theorem (Korrektheit)
Fur eine Menge M von Klauseln gilt: Falls M ⊢Res⊥, so M unerfullbar.
Theorem (Vollstandigkeit)
Fur eine Menge M von Klauseln gilt: Falls M unerfullbar, so M ⊢Res⊥.
233
![Page 234: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/234.jpg)
Resolution: Korrektheit
Theorem (Korrektheit)
Fur eine Menge M von Klauseln gilt: Falls M ⊢Res⊥, so M unerfullbar.
Beweis: Wir werden zeigen, dass falls C ∈ Res∗(M), so M ≡ M ∪ {C}.
(Theorem auf Seite 236). (NB: M ∪ {C} Notation fur M ∧ C .)
Dann, falls M ⊢Res⊥, so ⊥∈ Res∗(M), d.h. M ≡ M ∪ {⊥}.
Aber M ∪ {⊥} ist unerfullbar, deshalb ist auch M unerfullbar.
Erklarung 1: Falls M = {C1, . . . ,Cn} so M ∪ {⊥} ist eine Notation fur
C1 ∧ · · · ∧ Cn ∧ ⊥. Aber C1 ∧ · · · ∧ Cn ∧ ⊥ ≡ ⊥, so ist C1 ∧ · · · ∧ Cn ∧ ⊥unerfullbar (also auch M ∪ {⊥}). Da M ≡ M ∪ {⊥}, ist auch M unerfullbar.
Erklarung 2: Es gibt keine Wertebelegung A die alle Klauseln in M ∪ {⊥} wahr macht
(d.h. so dass: A(D) = 1 fur alle Klauseln D in M und A(⊥) = 1).
234
![Page 235: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/235.jpg)
Resolution: Korrektheit
Lemma: C1 ∨ P,C2 ∨ ¬P |= C1 ∨ C2
Beweis:
Sei A Interpretation mit A(C1 ∨ P) = 1 und A(C2 ∨ ¬P) = 1.
Zu zeigen: A(C1 ∨ C2) = 1.
Fall 1: A(C1) = 1. Dann A(C1 ∨ C2) = 1.
Fall 2: A(C1) = 0. Dann A(P) = 1.
Da A(C2 ∨ ¬P) = 1, so A(C2) = 1, d.h. A(C1 ∨ C2) = 1.
235
![Page 236: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/236.jpg)
Resolution: Korrektheit
Theorem: Falls C ∈ Res⋆(F ), so F ≡ F ∪ {C}.
Beweis: Annahme: C ∈ Resn(F ).
Zu zeigen: F ≡ F ∧ C , i.e.:
Fur alle A : Π → {0, 1} gilt: A(F ) = 1 gdw. (A(F ) = 1 und A(C) = 1).
• Sei A : Π → {0, 1} mit A(F ) = 1.
Induktion: Fur alle m ∈ N gilt: Falls D ∈ Resm(F ), so A(D) = 1.
(folgt aus: C1 ∨ P,C2 ∨ ¬P |= C1 ∨ C2)
Dann A(C) = 1, so (A(F ) = 1 und A(C) = 1), d.h. A(F ∧ C) = 1.
• Sei A : Π → {0, 1} mit A(F ∧ C) = 1.
Dann A(F ) = 1 und A(C) = 1, so A(F ) = 1.
236
![Page 237: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/237.jpg)
Resolution: Vollstandigkeit
Theorem.
Fur jede endliche Menge M von Klauseln gilt:
falls M unerfullbar, so M ⊢Res⊥.
Beweis: Induktion:
p(n): Sei M Menge von Klauseln mit n Aussagenvariablen.
Falls M unerfullbar, so M ⊢Res⊥
237
![Page 238: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/238.jpg)
2. Aussagenlogik
Teil 6
28.05.2012
238
![Page 239: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/239.jpg)
Resolution
Ziele:
• Formalisieren, was M ⊢Res C bedeutet
• Zeigen, dass M ⊢Res⊥ gdw. M unerfullbar.
Korrektheit: Falls M ⊢Res⊥, so M unerfullbar.
Vollstandigkeit: Falls M unerfullbar, so M ⊢Res⊥
• Zeigen, dass das Verfahren terminiert.
239
![Page 240: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/240.jpg)
Resolution: Korrektheit und Vollstandigkeit
Theorem (Korrektheit)
Fur eine Menge M von Klauseln gilt: Falls M ⊢Res⊥, so M unerfullbar.
letzte Vorlesung
Theorem (Vollstandigkeit)
Fur eine Menge M von Klauseln gilt: Falls M unerfullbar, so M ⊢Res⊥.
heute
240
![Page 241: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/241.jpg)
Resolution: Vollstandigkeit
Theorem.
Fur jede endliche Menge M von Klauseln gilt:
falls M unerfullbar, so M ⊢Res⊥.
Beweis: Induktion:
p(n): Sei M Menge von Klauseln mit n Aussagenvariablen.
Falls M unerfullbar, so M ⊢Res⊥
Induktionsbasis: n = 0.
Dann M = {⊥}, d.h. M ⊢Res⊥
241
![Page 242: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/242.jpg)
Resolution: Vollstandigkeit
M0 sei aus M entstanden durch Ersetzung von Pn+1 durch ⊥:
- Pn+1 wird aus allen Klauseln geloscht,
- Klauseln, die ¬Pn+1 enthalten werden ebenfalls geloscht
M1 sei aus M entstanden durch Ersetzung von Pn+1 durch ⊤:
- ¬Pn+1 wird aus allen Klauseln geloscht,
- Klauseln, die Pn+1 enthalten werden ebenfalls geloscht
Fakten:
• M0,M1 enthalten nur Aussagenvariablen {P1, . . . ,Pn}• M0,M1 unerfullbar
Induktionsvoraussetzung:
M0 ⊢Res⊥, i.e. es gibt C1,C2, . . . ,Cm Beweis (aus M0) fur ⊥Pn+1 zuruck: C ′
1 ,C′
2 , . . . ,C′
m Beweis (aus M) fur ⊥ oder Pn+1
M1 ⊢Res⊥, i.e. es gibt D1,D2, . . . ,Dk Beweis (aus M1) fur ⊥¬Pn+1 zuruck: D′
1 ,D′
2 , . . . ,D′
k Beweis (aus M) fur ⊥ oder ¬Pn+1
⇒ M ⊢Res⊥
242
![Page 243: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/243.jpg)
Resolution: Vollstandigkeit
Theorem.
Fur jede endliche Menge M von Klauseln gilt:
falls M unerfullbar, so M ⊢Res⊥.
Es gilt auch:
Theorem.
Fur jede Menge M von Klauseln gilt:
falls M unerfullbar, so M ⊢Res⊥.
243
![Page 244: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/244.jpg)
Terminierung
Theorem.
Aussagenlogische Resolution (fur Klauselmengen in Mengennotation)
terminiert, fur jede endliche Menge von Klauseln.
Beweis: Es gibt nicht mehr als 22n Klauseln (in Mengennotation) mit n
Aussagenvariablen.
7→ nicht mehr als (22n)2 mogliche Anwendungen der Resolutionsregel.
244
![Page 245: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/245.jpg)
2-SAT
Theorem
Erfullbarkeit fur Formeln in 2-KNF (2SAT) ist polynomiell entscheidbar
Beweis (Krom, 1967)
Fall 1: Fur jede Aussagenvariable P, entweder enthalten alle Klauseln P oder ¬P:
erfullbar.
Fall 2: Es gibt Klauseln C1 = L1 ∨ P, C2 = L2 ∨ ¬P
Resolutionschritt; Resolvente L1 ∨ L2 (Mengennotation)
Fakt: Resolventen sind immer auch in 2-KNF.
Wenn F n Aussagenvariablen enthalt, gibt es 2n mogliche Literale, und ≤ 4n2
nicht-leere verschiedene 2-KNF Klauseln.
F ist erfullbar gdw. ⊥6∈ Res∗(F )
Wenn wir Res∗(F ) berechnen: nicht mehr als (4n2)2 Resolutionsschritte
notwendig.
7→ Erfullbarkeit von F ist polynomiell entscheidbar.
245
![Page 246: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/246.jpg)
1-Resolution
Die 1-Resolution (unit resolution) benutzt dieselbe Notation wie im
Resolutionskalkul. Die 1-Resolutionsregel ist ein Spezialfall der allgemeinen
Resolutionsregel:
{P} {¬P} ∪ C
C
{¬P} {P} ∪ C
C
Der 1-Resolutionskalkul ist nicht vollstandig.
Die Klauselmenge
M = {{P1,P2}, {P1,¬P2}, {¬P1,P2}, {¬P1,¬P2}}
ist nicht erfullbar, aber mit 1-Resolution ist aus M nichts ableitbar, also
auch nicht ⊥.
246
![Page 247: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/247.jpg)
Unser Ziel
Kalkul(e) zur systematischen Uberprufung von Erfullbarkeit
(fur Formeln und/oder Formelmengen)
1. Formeln in KNF (Mengen von Klauseln)
Resolution bis jetzt
2. Formelmengen
Semantische Tableaux
247
![Page 248: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/248.jpg)
Unser Ziel
Kalkul(e) zur systematischen Uberprufung von Erfullbarkeit
(fur Formeln und/oder Formelmengen)
1. Formeln in KNF (Mengen von Klauseln)
Resolution
2. Formelmengen
Semantische Tableaux
248
![Page 249: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/249.jpg)
Der aussagenlogische Tableaukalkul
Wesentliche Eigenschaften
• Widerlegungskalkul: Testet auf Unerfullbarkeit
• Beweis durch Fallunterscheidung
• Top-down-Analyse der gegebenen Formeln
249
![Page 250: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/250.jpg)
Der aussagenlogische Tableaukalkul
Vorteile
• Intuitiver als Resolution
• Formeln mussen nicht in Normalform sein
• Falls Formelmenge erfullbar ist (Test schlagt fehl), wird ein
Gegenbeispiel (eine erfullende Interpretation) konstruiert
Nachteile
• Mehr als eine Regel
250
![Page 251: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/251.jpg)
Formeltypen
Konjunktive Formeln: Typ α
• ¬¬F
• F ∧ G
• ¬(F ∨ G)
• ¬(F → G)
Disjunktive Formeln: Typ β
• ¬(F ∧ G)
• F ∨ G
• F → G
251
![Page 252: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/252.jpg)
Formeltypen
Konjunktive Formeln: Typ α
• ¬¬F
• F ∧ G
• ¬(F ∨ G)
• ¬(F → G)
Zuordnungsregeln Formeln / Unterformeln
α α1 α2
F ∧ G F G
¬(F ∨ G) ¬F ¬G
¬(F → G) F ¬G
¬¬F F
252
![Page 253: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/253.jpg)
Formeltypen
Disjunktive Formeln: Typ β
• ¬(F ∧ G)
• F ∨ G
• F → G
Zuordnungsregeln Formeln / Unterformeln
β β1 β2
¬(F ∧ G) ¬F ¬G
F ∨ G F G
F → G ¬F G
253
![Page 254: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/254.jpg)
Regeln des (aussagenlogischen) Tableaukalkuls
α
α1
α2
Konjunktiv
p ∧ q
|p
|q
β
β1 | β2
Disjunktiv
p ∨ q
/ \
p q
φ
¬φ
⊥
Widerspruch
φ
¬φ
|⊥
254
![Page 255: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/255.jpg)
Instanzen der α und β-Regel
Instanzen der α-Regel
P ∧ Q
P
Q
¬(P ∨ Q)
¬P
¬Q
¬(P → Q)
P
¬Q
¬¬P
P
Instanzen der β-Regel
P ∨ Q
P | Q
¬(P ∧ Q)
¬P | ¬Q
P → Q
¬P | Q
255
![Page 256: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/256.jpg)
Ein Tableau fur {P ∧ ¬(Q ∨ ¬R), ¬Q ∨ ¬R}
(3) ¬Q
(5) P
(6) ¬(Q ∨ ¬R)
(7) ¬Q
(8) ¬¬R
(9) R
(4) ¬R
(10) P
(11) ¬(Q ∨ ¬R)
�����
XXXXX
1.(1) P ∧ ¬(Q ∨ ¬R)
(2) ¬Q ∨ ¬R Dieses Tableau ist nicht
“maximal”, aber der erste
“Ast” ist.
Dieser Ast ist nicht
“geschlossen” (enthalt
keinen Widerspruch),
also ist die Menge {1, 2}
erfullbar.
(Diese Begriffe werden auf
den nachsten Seiten
erklart.)
256
![Page 257: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/257.jpg)
Determinismus von Kalkul und Regeln
Determinismus
• Die Regeln sind alle deterministisch
• Der Kalkul aber nicht:
Auswahl der nachsten Formel, auf die eine Regel angewendet wird
Heuristik
• Nicht-verzweigende Regeln zuerst: α vor β
Nota bene:
Dieselbe Formel kann mehrfach (auf verschiedenen Asten) verwendet
werden
257
![Page 258: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/258.jpg)
Formale Definition des Kalkuls
Definition
Tableau: Binarer Baum, dessen Knoten mit Formeln markiert sind
Definition
Tableauast: Maximaler Pfad in einem Tableau (von Wurzel zu Blatt)
258
![Page 259: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/259.jpg)
Formale Definition des Kalkuls
Sei M eine Formelmenge
Initialisierung
Das Tableau, das nur aus dem Knoten 1 besteht, ist ein Tableau fur M
Erweiterung
• T ein Tableau fur M
• B ein Ast von T
• F eine Formel auf B oder in M, die kein Literal ist
T ′ entstehe durch Erweiterung von B gemaß der auf F anwendbaren Regel
(α oder β)
Dann ist T ′ ein Tableau fur M.
259
![Page 260: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/260.jpg)
Formale Definition des Kalkuls
Nota bene:
Alle Aste in einem Tableau fur M enthalten implizit alle Formeln in M
Definition.
Ast B eines Tableaus fur M ist geschlossen, wenn es eine Formel F existiert,
so dass B die Formeln F und ¬F enthalt.
Definition.
Ein Tableau ist geschlossen, wenn jeder seiner Aste geschlossen ist.
Definition.
Ein Tableau fur M, das geschlossen ist, ist ein Tableaubeweis fur (die
Unerfullbarkeit von) M
260
![Page 261: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/261.jpg)
Beispiel
Zu zeigen:
(P → (Q → R)) → ((P ∨ S) → ((Q → R) ∨ S)) allgemeingultig
Wir zeigen, dass
¬[(P → (Q → R)) → ((P ∨ S) → ((Q → R) ∨ S))]
unerfullbar ist.
261
![Page 262: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/262.jpg)
Beispiel
(10) P β [41] (11) S β [42]
�����
XXXXX
(8) ¬P β [21] (9) Q → R β [22]
hhhhhhhhh
(1) ¬[(P → (Q → R)) → ((P ∨ S) → ((Q → R) ∨ S))]
(2) (P → (Q → R)) α [11]
(3) ¬((P ∨ S) → ((Q → R) ∨ S)) α [12]
(4) P ∨ S α [31]
(5) ¬((Q → R) ∨ S)) α [32]
(6) ¬(Q → R) α [51]
(7) ¬S α [52]
geschlossenes Tableau.
262
![Page 263: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/263.jpg)
2. Aussagenlogik
Teil 7
3.06.2013
263
![Page 264: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/264.jpg)
Klauseltableau
M Menge von Klauseln
Anderungen
• Keine α-Regel
• Erweiterungsregel kann Verzweigungsgrad > 2 haben
• Alle Knoten im Tableau enthalten Literale
264
![Page 265: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/265.jpg)
Klauseltableau: Beispiel
M = { {P,Q,R}, {¬R}, {¬P,Q}, {P,¬Q}, {¬P,¬Q} }
1.
gggggg
gggggg
VVVVVV
VVVVV
¬P
uuuu KK
KKQ
uuuu LL
LL
P ¬Q
ssss PP
PPP
pppp II
I ¬Q
⊥ P Q R ¬P ¬Q ⊥
⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
265
![Page 266: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/266.jpg)
Korrektheit und Vollstandigkeit des
Tableaukalkuls
Theorem.
Eine Formelmenge M ist unerfullbar
genau dann, wenn
es einen Tableaubeweis fur (die Unerfullbarkeit von) M gibt
Korrektheit: “⇐”
Falls es einen Tableaubeweis fur (die Unerfullbarkeit von) M gibt
(d.h. ein Tableau fur M, das geschlossen ist)
so ist M unerfullbar.
... alternativ:
Falls M erfullbar ist, hat M kein geschlossenes Tableau.
266
![Page 267: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/267.jpg)
Korrektheit und Vollstandigkeit des
Tableaukalkuls
Theorem.
Eine Formelmenge M ist unerfullbar
genau dann, wenn
es einen Tableaubeweis fur (die Unerfullbarkeit von) M gibt
Vollstandigkeit: “⇒”
Falls M unerfullbar ist,
gibt es einen Tableaubeweis fur (die Unerfullbarkeit von) M
(d.h. ein Tableau fur M, das geschlossen ist).
267
![Page 268: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/268.jpg)
Kern des Korrektheitsbeweises
Theorem (Korrektheit)
Falls es einen Tableaubeweis fur (die Unerfullbarkeit von) M gibt
(d.h. ein Tableau fur M, das geschlossen ist) so ist M unerfullbar.
... alternativ: Falls M erfullbar ist, hat M kein geschlossenes Tableau.
Definition.
Ein Tableauast ist erfullbar, wenn die Menge seiner Formeln erfullbar ist
Ein Tableau ist erfullbar, wenn es (mindestens) einen erfullbaren Ast hat
Lemma 1. Jedes Tableau fur eine erfullbare Formelmenge M ist erfullbar
Lemma 2. Ein geschlossenes Tableau ist nicht erfullbar
... Also: Kein geschlossenes Tableau fur erfullbare Formelmenge
268
![Page 269: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/269.jpg)
Lemma 1: Beweis
Definition.
Tableauast ist erfullbar, wenn die Menge seiner Formeln erfullbar ist.
Tableau ist erfullbar, wenn es (mindestens) einen erfullbaren Ast hat
Lemma 1. Jedes Tableau fur eine erfullbare Formelmenge M ist erfullbar
Beweis: Induktion p(n): Falls M erfullbar und das Tableau T in n Schritten
aus M gebildet wurde, ist T erfullbar
Induktionsbasis: T wurde in einem Schritt gebildet.
Initialisierung
Das Tableau, das nur aus dem Knoten 1 besteht, ist ein Tableau fur M
da M erfullbar ist, ist ein solches Tableau erfullbar
269
![Page 270: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/270.jpg)
Lemma 1: Beweis
Definition.Tableauast ist erfullbar, wenn die Menge seiner Formeln erfullbar ist.Tableau ist erfullbar, wenn es (mindestens) einen erfullbaren Ast hat
Lemma 1. Jedes Tableau fur eine erfullbare Formelmenge M ist erfullbar
Beweis: Induktion p(n): Falls M erfullbar und das Tableau T in n Schritten
aus M gebildet wurde, ist T erfullbar
Induktionsschritt: Annahme p(n) gilt. Zu zeigen: p(n + 1).
Sei T ein in n + 1 Schritten gebildetes Tableau fur M.
Dann gibt es ein Tableau T ′ fur M (in n Schritten gebildet), ein Ast B von T ′ und
eine Formel F auf B, die kein Literal ist, so dass T durch die Erweiterung von B
gemaß der auf F anwendbaren Regel (α oder β) entstanden ist.
Induktionsvoraussetzung: T ′ erfullbar, d.h. hat (mindestens) einen erfullbaren Ast B′.
Fall 1: B′ 6= B. Dann ist B′ auch Ast in T , d.h. T erfullbar.
270
![Page 271: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/271.jpg)
Lemma 1: Beweis
Definition.Tableauast ist erfullbar, wenn die Menge seiner Formeln erfullbar ist.Tableau ist erfullbar, wenn es (mindestens) einen erfullbaren Ast hat
Lemma 1. Jedes Tableau fur eine erfullbare Formelmenge M ist erfullbar
Beweis: Induktion p(n): Falls M erfullbar und das Tableau T in n Schritten
aus M gebildet wurde, ist T erfullbar
Induktionsschritt: Annahme p(n) gilt. Zu zeigen: p(n + 1).
Sei T ein in n + 1 Schritten gebildetes Tableau fur M.
Dann gibt es ein Tableau T ′ fur M (in n Schritten gebildet), ein Ast B von T ′ und
eine Formel F auf B oder in M, die kein Literal ist, so dass T durch die Erweiterung
von B gemaß der auf F anwendbaren Regel (α oder β) entstanden ist.
Induktionsvoraussetzung: T ′ erfullbar, d.h. hat (mindestens) einen erfullbaren Ast B′.
Fall 2: B′ = B d.h. B erfullbar. Sei A Modell fur die Formeln NB auf B.
Fall 2a: α-Regel angewandt F ≡ F1 ∧ F2. Dann ist A Modell fur
NB ∪ {F1, F2}, d.h.: die Erweiterung von B mit dieser α-Regel ist erfullbar,
so T erfullbar.
271
![Page 272: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/272.jpg)
Lemma 1: Beweis
Definition.Tableauast ist erfullbar, wenn die Menge seiner Formeln erfullbar ist.Tableau ist erfullbar, wenn es (mindestens) einen erfullbaren Ast hat
Lemma 1. Jedes Tableau fur eine erfullbare Formelmenge M ist erfullbar
Beweis: Induktion p(n): Falls M erfullbar und das Tableau T in n Schritten
aus M gebildet wurde, ist T erfullbar
Induktionsschritt: Annahme p(n) gilt. Zu zeigen: p(n + 1).
Sei T ein in n + 1 Schritten gebildetes Tableau fur M.
Dann gibt es ein Tableau T ′ fur M (in n Schritten gebildet), ein Ast B von T ′ und
eine Formel F auf B oder in M, die kein Literal ist, so dass T durch die Erweiterung
von B gemaß der auf F anwendbaren Regel (α oder β) entstanden ist.
Induktionsvoraussetzung: T ′ erfullbar, d.h. hat (mindestens) einen erfullbaren Ast B′.
Fall 2: B′ = B d.h. B erfullbar. Sei A Modell fur die Formeln NB auf B.
Fall 2b: β-Regel angewandt F≡F1∨F2. Dann 1=A(F )=A(F1)∨A(F2), so
A(F1)=1 oder A(F2)=1. Dann A|=NB∪{Fi}, i=1 oder 2, d.h. A Modell
fur alle Formeln auf der Erweiterung von B mit F1 oder F2, so T erfullbar.
272
![Page 273: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/273.jpg)
Lemma 2: Beweis
Definition.
Tableauast ist erfullbar, wenn die Menge seiner Formeln erfullbar ist
Tableau ist erfullbar, wenn es (mindestens) einen erfullbaren Ast hat
Lemma 1. Jedes Tableau fur eine erfullbare Formelmenge M ist erfullbar
Lemma 2. Ein geschlossenes Tableau ist nicht erfullbar
Beweis: Kontraposition
Annahme: T erfullbar. Dann hat T einen erfullbaren Ast B.
Falls die Menge der Formeln auf B (und M) erfullbar ist, kann B nicht Formeln F und
¬F enthalten, d.h. B kann nicht geschlossen sein.
273
![Page 274: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/274.jpg)
Korrektheit und Vollstandigkeit
Theorem (Korrektheit)
Falls es einen Tableaubeweis fur (die Unerfullbarkeit von) M gibt
(d.h. ein Tableau fur M, das geschlossen ist) so ist M unerfullbar.
Theorem (Vollstandigkeit)
Falls M unerfullbar, so gibt es einen Tableaubeweis fur die Unerfullbarkeit
von M (d.h. einen Tableau fur M, das geschlossen ist).
... alternativ:
“falls es keinen Tableaubeweis fur die Unerfullbarkeit von M gibt (d.h.
“maximales Tableau’” fur M nicht geschlossen) so ist M erfullbar”
274
![Page 275: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/275.jpg)
Kern des Vollstandigkeitsbeweises
Definition.
Ein Tableau heißt voll expandiert, wenn
• jede Regel
• auf jede passende Formel
• auf jedem offenen Ast
angewendet worden ist.
Lemma 3.
Sei B offener Ast in voll expandiertem Tableau.
Dann ist die Menge der Formeln in B erfullbar.
... Also: Voll expandiertes Tableau fur unerfullbares M ist geschlossen
275
![Page 276: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/276.jpg)
Lemma 3: Beweis
Lemma 3.
Sei B offener Ast in voll expandiertem Tableau.
Dann ist die Menge der Formeln in B erfullbar.
Beweis: (fur klausale Tableaux)
Sei N die Menge der Formeln auf B. Da B offen ist, ist ⊥ nicht in N.
Seien C ∨ A, D ∨ ¬A zwei Klauseln in N die komplementare Literale enthalten. Einer
von C ,D ist nicht leer (sonst ware B geschlossen).
Annahme: C nicht leer. Da B voll expandiert ist, wurde die β-Regel fur C ∨ A
angewandt (auch fur D ∨ ¬A falls D nicht leer).
Fall 1: A,¬A ∈ B: unmoglich, da B offen ist.
Fall 2: A, L ∈ B mit L Literal in D. N erfullbar gdw. N\{D ∨ ¬A} erfullbar.
Fall 3: L,¬A ∈ B, mit L Literal in C . N erfullbar gdw. N\{C ∨ A} erfullbar.
Fall 4: L1, L2 ∈ B, mit L1 Literal in C , L2 Literal in D.
N erfullbar gdw. N\{C ∨ A,D ∨ ¬A} erfullbar.
N 7→ N′, N′ Klauselmenge ohne komplementare Literale und ohne ⊥Die Erfullbarkeit von N′ folgt aus der Vollstandigkeit der Resolution.
276
![Page 277: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/277.jpg)
Klauseltableau: Einschrankungen des Suchraums
Regularitat:
Kein Literal darf auf einem Ast mehr als einmal vorkommen
Schwache Konnektionsbedingung (Connection calculus)
Bei Erweiterung von Ast B muss mindestens eines der neuen Literale
komplementar zu Literal in B sein.
Starke Konnektionsbedingung (Modellelimination)
Bei Erweiterung von Ast B muss mindestens eines der neuen Literale
komplementar zum Blatt von B sein – außer beim ersten Schritt.
277
![Page 278: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/278.jpg)
Klauseltableau: Einschrankungen des Suchraums
Theorem (hier ohne Beweis)
Regularitat, starke und schwache Konnektionsbedingung
erhalten Vollstandigkeit.
Jedoch
Bei starker Konnektionsbedingung kann ungunstige Erweiterung in
Sackgasse fuhren.
(bei schwacher Konnektionsbedinung nicht)
Beispiel: M = {{P}, {¬Q}, {¬P,Q}, {¬P,R}}
Zuerst {¬P,Q}: OK
Zuerst {¬P,R}: Sackgasse
278
![Page 279: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/279.jpg)
Klauseltableau: Weiteres Beispiel
Signatur: F : Flugreise V : Vollpension M: Meer P: Pool
Falls sie nicht mit dem Flugzeug fliegen, besteht der Vater auf Vollpension am Meer.
¬F → (V ∧ M)
Die Mutter mochte mindestens einen ihrer drei Wunsche erfullt sehen: ans Meer
fliegen, oder am Meer ohne Pool, oder Vollpension und Pool.
(M ∧ F ) ∨ (M ∧ ¬P) ∨ (V ∧ P)
Gibt es keinen Pool, so besteht Tochter Lisa auf einer Flugreise und Urlaub am Meer
und darauf, dass keine Vollpension gebucht wird.
¬P → (F ∧ M ∧ ¬V )
Auch dem Baby soll einer seiner Wunsche erfullt werden: erstens einen Pool und nicht
fliegen oder zweitens Vollpension, dann aber ohne Pool.
(P ∧ ¬F ) ∨ (V ∧ ¬P)
279
![Page 280: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/280.jpg)
Klauseltableau: Weiteres Beispiel
Behauptung
Dann mussen sie ans Meer mit Vollpension, mit Pool und ohne Flug.
M ∧ V ∧ P ∧ ¬F
Zu zeigen:
{¬F → (V ∧M), (M ∧ F ) ∨ (M ∧ ¬P) ∨ (V ∧ P),
¬P → (F ∧M ∧ ¬V ), (P ∧ ¬F ) ∨ (V ∧ ¬P)} |= M ∧ V ∧ P ∧ ¬F
Wir zeigen, dass die folgende Konjunktion unerfullbar ist:
(¬F → (V ∧M), (M ∧ F ))∧
((M ∧ F ) ∨ (M ∧ ¬P) ∨ (V ∧ P))∧
(¬P → (F ∧M ∧ ¬V ))∧
((P ∧ ¬F ) ∨ (V ∧ ¬P))∧
¬M ∨ ¬V ∨ ¬P ∨ F (Negation der Behauptung)
280
![Page 281: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/281.jpg)
Klauseltableau: Weiteres Beispiel
¬F → (V ∧ M) (1) F ∨ V
(2) F ∨ M
(M ∧ F ) ∨ (M ∧ ¬P) ∨ (V ∧ P) (3) M ∨ V
(4) M ∨ P
(5) M ∨ ¬P ∨ V
(6) F ∨ M ∨ V
(7) F ∨ M ∨ P
(8) F ∨ ¬P ∨ V
¬P → (F ∧ M ∧ ¬V ) (9) P ∨ F
(10) P ∨ M
(11) P ∨ ¬V
(P ∧ ¬F ) ∨ (V ∧ ¬P) (12) P ∨ V
(13) ¬F ∨ V
(14) ¬F ∨ ¬P
Negation der Behauptung (15) ¬M ∨ ¬V ∨ ¬P ∨ F
281
![Page 282: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/282.jpg)
Klauseltableau: Weiteres Beispiel
Beobachtung
Konstruktion des Konnektionstableaus
• bei Beginn mit Klausel (1)
• mit Regularitat
• mit starker Konnektionsbedingung
Dann:
Nahezu deterministische Beweiskonstruktion
282
![Page 283: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/283.jpg)
Klauseltableau: Weiteres Beispiel
(1) F ∨ V
(2) F ∨ M
(3) M ∨ V
(4) M ∨ P
(5) M ∨ ¬P ∨ V
(6) F ∨ M ∨ V
(7) F ∨ M ∨ P
(8) F ∨ ¬P ∨ V
(9) P ∨ F
(10) P ∨ M
(11) P ∨ ¬V
(12) P ∨ V
(13) ¬F ∨ V
(14) ¬F ∨ ¬P
(15) ¬M ∨ ¬V ∨ ¬P ∨ F
F
FP
V P F
1
F V
P VV
P
M V P F
F M
283
![Page 284: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/284.jpg)
2. Aussagenlogik
Teil 8
4.06.2013
284
![Page 285: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/285.jpg)
Terminierung
Definition. Ein Tableau ist strikt, falls fur jede Formel F die entsprechende
Erweiterungsregel hochstens einmal auf jeden Ast, der die Formel enthalt,
angewandt wurde.
Theorem.
Sei T ein striktes aussagenlogisches Tableau. Dann ist T endlich.
Beweis: Neue Formeln mit denen ein Tableau erweitert wird sind ⊥, (⊤) oder
Teilformeln der Formel, auf der die Erweiterungsregel angewandt wird. Da T strikt
ist, wird fur jede Formel F die entsprechende Erweiterungsregel hochstens einmal auf
jeden Ast, der die Formel enthalt, angewandt.
Dann sind alle Aste in T endlich, und so ist auch T endlich (Konig’s Lemma).
285
![Page 286: VioricaSofronie-Stokkermans e-mail:sofronie@uni-koblenzsofronie/logik-ss-2013/slides-all-part1.pdf · Formale Logik Ziel • Formalisierung und Automatisierung rationalen Denkens](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040712/5e1520d3b3f95d2f4855283d/html5/thumbnails/286.jpg)
Zusammenfassung: Tableaukalkul
Beweis durch Widerspruch und Fallunterscheidung
• Tableauregeln (mit uniformer Notation)
• Formale Definition des Kalkuls
• Korrektheit und Vollstandigkeit
• Klauseltableau
• Regularitat
• Schwache und starke Konnektionsbedingung
• Strikte Tableaux
• Terminierung
286