Vilniaus universiteto Fizikos fakulteto Studentų mokslinė...

Vilniaus universitetoFizikos fakultetoStudentų mokslinė draugija

Matematinės fizikos lygtysKonspektas antro kurso studentams

2014 Vilnius

© Vilniaus universiteto Fizikos fakulteto Studentų mokslinė draugija

Simona Barkauskaitė, Jonas Berzinš, Vytautas Butkus, Jevgenij Chmeliov,Martynas Grybauskas, Eglė Krištopavičiūtė, Birutė Leiputė, Svetlana Malickaja,

Vytenis Pranculis, Petras Purlys, Maria Razgute, Romanas Samuilovas, Laura Šerkšnytė

Įžanga

Šis konspektas (2014 m. rugpjūčio 17 d. versija) yra rengiamas pagal Vilniaus universitete, Fizikos fakultete antrokurso studentams dėstomą kursą ”Matematinės fizikos lygtys“. Konspektą sukūrimą inicijavo bei nuolat pildo VU FFStudentų mokslinės draugijos nariai studentai, tačiau prisijungti prie jo tobulinimo yra kviečiamas kiekvienas norintis.Jeigu turite pastabų, galite pasiūlyti gerų literatūros šaltinių, konspekte nesančių uždavinių su sprendimais, teorijąiliustruojančių pavyzdžių ar kitokios informacijos, aktualios ir naudingos šio kurso klausytojui, rašykite elektroniniopašto adresu [email protected]. Taipogi, norime įspėti, jog konspekte gali būti klaidų! Pranešę apie jas, taipogi labaiprisidėtumėte prie konspekto tobulinimo.

Pagarbiai,Konspekto rengėjai

mailto:[email protected]

Turinys

1 Įvadas į vektorinę algebrą 71.1 Vektoriai ir vektorinės funkcijos apibendrintojoje koordinačių sistemoje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Descartes’o koordinačių sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Cilindrinė koordinačių sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Sferinė koordinačių sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Paprastosios diferencialinės lygtys 192.1 Pirmos eilės diferencialinės lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Kintamųjų atskyrimo metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.2 Kintamųjų pakeitimo metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.3 Konstantų varijavimo metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Antrosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.1 Homogeninės lygtys su pastoviais koeficientais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.2 Nehomogeninės lygtys su kintančiais koeficientais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.3 Nehomogeninės lygtys su pastoviais koeficientais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Kraštinis uždavinys. Greeno funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4 Paprastųjų diferencialinių lygčių sistemos ir pagrindiniai jų sprendimo metodai . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.1 Eliminavimo metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4.2 Integruojamojo darinio metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4.3 Konstantų varijavimo metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4.4 Eulerio metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Kompleksinio kintamojo funkcijų teorija 333.1 Cauchy–Riemanno analiziškumo sąlygos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 Funkcijų analizinis tęsinys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.1 Γ(z) funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3 Integravimas kompleksinėje plokštumoje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3.1 Cauchy integralas ir integralinė formulė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4 Laurento eilutė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5 Funkcijos reziduumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.5.1 Reziduumų teoremos taikymas integralams skaičiuoti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5.2 Integralo

´ 2π

0f (cos θ, sin θ) dθ skaičiavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.5.3 Integralo´ +∞−∞ f(z)dz skaičiavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.5.4 Integralo´∞

0xµ−1f(x)dx skaičiavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.6 Begalinių sumų skaičiavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.7 Integralinis funkcijų vaizdavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.7.1 Heaviside’o funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.7.2 Diraco δ funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.7.3 Dvimatė δ (x, y) funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.7.4 Trimatė δ (x, y, z) funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.8 Integralo asimptotinė vertė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.8.1 Stirlingo formulė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Integralinės transformacijos 534.1 Fourier transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1.1 Pavyzdys: kondensatoriaus išsikrovimas per varžą . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.1.2 Fourier integralas kompleksinėje plokštumoje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.1.3 Dviejų funkcijų sąsūka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2 Laplace’o transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2.1 Riemanno–Mellino formulė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2.2 Kai kurių funkcijų Laplace’o vaizdai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2.3 Vėlavimo teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2.4 Periodinės funkcijos Laplace’o vaizdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2.5 Dviejų funkcijų sąsūka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2.6 Laplace’o vaizdo integravimas ir diferenciavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5 Fizikinių vyksmų lygtys 655.1 Stygos svyravimo lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.1 Baigtinės stygos svyravimo lygties sprendimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.1.2 Stygos energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.2 Difuzijos lygtis ir jos sprendimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6 Dalinių išvestinių diferencialinės lygtys 736.1 Charakteristikų metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.2 d’Alembert formulė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.3 Kintamųjų atskyrimo (Fourier) metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.3.1 Dirichlet uždavinys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.3.2 Neumann uždavinys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.3.3 Laplace’o lygtis sferinėje koordinačių sistemoje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.4 Sturmo–Liouville’io lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.4.1 Tikrinių funkcijų ortogonalumas ir normuotumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.4.2 Išsigimusios funkcijos ir jų ortogonalizavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.4.3 Membranos svyravimo lygties tikrinės funkcijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7 Variacinis skaičiavimas 897.1 Funkcionalo sąvoka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.2 Variacija ir jos savybės . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.3 Variaciniai uždaviniai su neslankiaisiais rėžiais. Eulerio lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.3.1 Dvilypio integralo funkcionalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.3.2 Paprasčiausios Eulerio lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.4 Variacinių sąlyginių ekstremumų uždavinys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.5 Stygos svyravimų lygtis ir variacinis principas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.6 Variaciniai uždaviniai su judamaisiais rėžiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.6.1 Formos variacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.7 Ekstremalės su lūžio taškais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.7.1 Funkcionalas su kraštiniais taškais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Rodyklė 106

Literatūra 109

7

1 | Įvadas į vektorinę algebrą

1.1 Vektoriai ir vektorinės funkcijos apibendrintojoje koordinačiųsistemoje

Vektorių mes įsivaizduojame kaip tam tikrą atkarpą trimatėje erdvėje su nurodyta krypti-mi. Grafiškai vektorinis dydis ~A tada atvaizduojamas kaip linija su rodykle. Algebriškaivektorius ~A yra užrašomas per jo projekcijas į koordinačių ašis

~A = A1~q10 +A2~q20 +A3~q30 =

3∑

i=1

Ai~qi0 (1.1)

kur ~q10, ~q20 ir ~q30 yra vienetiniai vektoriai (ortai), atitinkantys koordinačių sistemos (q1, q2, q3)ašis. Vienintelės dvi prielaidos, kurias mes teigiame apie koordinačių sistemą šioje vietoje yratai, kad jos ortai yra ortonormuoti ir koordinačių sistema yra dešininė. Ortonormuotumasreiškia, kad ortų vektorių ilgiai lygūs vienetui (jie yra normuoti), o erdvėje jie tarpusavyjesudaro stačius kampus (yra orgotonalūs), kas per skaliarinę sandaugą užsirašo kaip

~qi0 · ~qj0 = δij . (1.2)

Čia δij yra Kroneckerio delta, Leopold Kronecker(1823–1891) Vokiečiųmatematikas.δij =

{1, kai i = j

0, kai i 6= j. (1.3)

Reikalavimas, jog koordinačių sistema yra dešininė užrašomas per vektorinę sandaugą

~qi0 × ~qj0 ={±~qk0, kai i 6= j~0, kai i = j.

(1.4)

Taigi, dviejų vienodų (i 6= j) ortų vektorinė sandauga lygi nuliui, o nevienodų – trečiamortui ~qk0 su ženklu, nustatomu pagal taisyklę, kurią galima iliustruoti taip:

−−−−−−−−−−−−−−→~q10~q20~q30~q10~q20~q30←−−−−−−−−−−−−−

+ (1.5)

Tai yra, jei dauginami du gretimi ortai viršutinės rodyklės kryptimi, gaunamas trečiasisortas su ”+“ ženklu (pvz.~q20 × ~q30 = ~q10), o jei ortai dauginami apatinės rodyklės kryptimi,gaunamas ortas su ”-“ ženklu (pvz. ~q10 × ~q30 = −~q20).Bendru atveju, koordinačių sistemos ortai priklauso nuo koordinatės (Pav. 1a). Des- René Descartes (lot.

Renatus Cartesius)(1596-1650) Prancūzųfilosofas, matematikas,rašytojas.

cartes’o koordinačių sistemos ortai ~x0, ~y0 ir ~z0 nuo koordinačių nepriklauso (Pav. 1b).

A

~q30(qA1 , q

A2 , q

A3 )

~q10(qA1 , q

A2 , q

A3 ) ~q20(q

A1 , q

A2 , q

A3 )

~q10(qB1 , q

B2 , q

B3 )

~q20(qB1 , q

B2 , q

B3 )

~q30(qB1 , q

B2 , q

B3 )

B

(a) Apibendrintoje kreivinėje koordinačių sistemoje ortųkryptys priklauso nuo koordinačių. Skirtinguose taškuoseA(qA1 , q

A2 , q

A3

)ir A

(qB1 , q

B2 , q

B3

)ortų ~q10, ~q20 ir ~q30 kryptys

skiriasi, tačiau jie išlieka statmeni vienas kitam.

A~x0

~y0 B

~z0

~x0~y0

~z0

(b) Descartes’o koordinačių sistemoje ortai nepri-klauso nuo koordinačių. Skirtinguose taškuose Air B ortų ~x0, ~y0 ir ~z0 kryptys yra tokios pat.

1 pav. Ortų konfigūracijos apibendrintoje (a) ir Descartes’o (b) koordinačių sistemoje, taškuoseA ir B.

Vektorinė funkcija yra nuo vieno ar daugiau parametrų priklausanti funkcija, kuriosreikšmė yra n-dimensinis vektorius. Vektorinės funkcijos pavyzdys yra trimatis radius vek-torius

8 1 ĮVADAS Į VEKTORINĘ ALGEBRĄ

C

~f(u)

~f(u+∆u)

d~f(u)

O

u

2 pav. Vektorinės funkcijos ~f(u) atvaizdas. Parametras u nusako padėtį ant kreivės C.

~r = ~r (q1, q2, q3) . (1.6)

Jo parametrai yra koordinatės q1, q2 ir q3, o reikšmė – vektorius, kurio pradžia yra koordi-načių pradžia, o pabaiga – erdvės taškas (q1, q2, q3).

Svarbu išmokti skaičiuoti vektorinės funkcijos išvestinę ir diferencialą. Tarkime, jog ~f(u)irgi yra radius vektorius, kurio pradžia yra koordinačių pradžios taškas O ir pabaiga –taškas P (u) ant kreivės C, o parametras u aprašo taško P padėtį kreivėje. (Pav. 2). Tokiosvektorinės funkcijos ~f , priklausančios tik nuo vieno parametro u, išvestinės apibrėžimas yra

d

du~f (u) = lim

∆u→0

~f (u+ ∆u)− ~f (u)∆u

. (1.7)

o diferencialas

d~f(u) =d~f(u)

dudu. (1.8)

Matome, jog vektorius d~f(u) bus nukreiptas lygiagrečiai kreivei C kiekviename taške P (u),tačiau d~f(u) ilgis nebus lygus vienetui. Vektorinės funkcijos ~h(u, v), priklausančios nuodviejų parametrų u ir v, diferencialas bus

d~h(u, v) =∂~h(u, v)

∂udu+

∂~h(u, v)

∂vdv. (1.9)

Atitinkamai, diferencialas funkcijos, priklausančios nuo trijų parametrų bus trimačio vekto-riaus tam tikroje koordinačių sistemoje diferencialas.

1.2 Descartes’o koordinačių sistemaDescartes’o koordinačių sistemos sąryšį su apibendrintosiomis koordinatėmis užrašome kaipfunkcijas

x = x(q1, q2, q3)y = y(q1, q2, q3)z = z(q1, q2, q3)

(1.10)

ir reikalaujame, jog kiekvienas taškas (x, y, z) Descartes’o koordinačių sistemoje atitiktųtik vieną tašką kitoje koordinačių sistemoje (q1, q2, q3). Atbulinis koordinačių sąryšis busfunkcijos

q1 = q1 (x, y, z)q2 = q2 (x, y, z)q3 = q3 (x, y, z) .

(1.11)

Tarkime, jog užfiksuojame vieną koordinatę (q1 = const.), likusios dvi q2 ir q3 kinta. Tuometvisi taškai {q1 = const., q2, q3} sudarys rinkinį, kuris vadinamas koordinatiniu paviršiumi.Toks paviršius Descartes’o koordinačių sistemoje bus plokštuma (Pav. 3a). Užfiksavę dvikoordinates (pavyzdžiui q1 ir q2), gausime koordinatinę kreivę. Akivaizdu, jog Descartes’okoordinatėse gausime tieses (Pav. 3b).

Užrašysime radius vektoriaus, apibrėžto formule (1.6), diferencialą pagal analogiją suišraiška (1.9):

d~r (q1, q2, q3) =∂~r (q1, q2, q3)

∂q1dq1 +

∂~r (q1, q2, q3)

∂q2dq2 +

∂~r (q1, q2, q3)

∂q3dq3. (1.12)

1.2 Descartes’o koordinačių sistema 9

y

x

z

y

x

z

z0

x0

y

x

z

y0

x0

y = y0

z = z0

x = x0

(a) Koordinatiniai paviršiai

y

x

z

y = y0z = z0

z0

y0

y

x

z

x = x0z = z0

z0

x0

y

x

z

x = x0y = y0

y0x0

(b) Koordinatinės kreivės (mėlyna spalva)

3 pav. Koordinatinės kreivės ir koordinatiniai paviršiai Descartes’o koordinačių sistemoje.

Vektoriai ∂~r (q1, q2, q3) /∂q1, ∂~r (q1, q2, q3) /∂q2 ir ∂~r (q1, q2, q3) /∂q3 bus nukreipti lygiagre-čiai koordinatinėms kreivėms, tačiau jie nėra lygūs vienetinio ilgio ortams ~q10, ~q20 ir ~q30.Kad gautumėme ortus, šias išvestines reikia padalinti iš jų ilgio:

~qi0 =∂~r (q1, q2, q3) /∂qi|∂~r (q1, q2, q3) /∂qi|

. (1.13)

Čia i = 1, 2, 3. Pažymėję

hi ≡∣∣∣∣∂~r (q1, q2, q3)

∂qi

∣∣∣∣ , (1.14)

sąryšį (1.12) galime perrašyti kaip

d~r (q1, q2, q3) = h1~q10dq1 + h2~q20dq2 + h3~q30dq3. (1.15)

Kadangi radius vektorius Descartes’o koordinačių sistemoje yra

~r (q1, q2, q3) = ~r (x, y, z) = x~x0 + y~y0 + z~z0, (1.16)

jo ilgis r ≡ |~r| =√x2 + y2 + z2. Koeficientus hi perrašome kaip

hi =

∣∣∣∣∂x(q1, q2, q3)

∂qi~x0 +

∂y(q1, q2, q3)

∂qi~y0 +

∂z(q1, q2, q3)

∂qi~z0

∣∣∣∣ (1.17)

=

√(∂x

∂qi

)2+

(∂y

∂qi

)2+

(∂z

∂qi

)2.

Koeficientai hi yra vadinami mastelio keitimo koeficientais (scaling factors) arba Lamé ko-efientais. Gabriel Lamé (1795–1870)

Prancūzų matematikas,kreivinių koordinačių teorijoskūrėjas.

Radius vektoriaus diferencialų skaliarinė sandauga duoda elementarų ploto elementą

ds2 = d~r · d~r =∑

i

h2i dq2i . (1.18)

Kadangi mūsų nagrinėjamos koordinačių sistemos yra ortogonalios (~qi0 · ~qj0 = δij). Išilgaikreivės q1, kai q2 ir q3 yra užfiksuoti, radius vektoriaus diferencialas yra d~r = h1dq1~q10.Tokios elementarios atkarpos ilgis yra ds1 ≡ h1dq1. Analogiškai, ilgiai kreivių q2 ir q3, ilgiaiyra ds2 = h2dq2 ir ds3 = h3dq3. Tūrio elementas, apribotas šiomis atkarpomis yra

dV = |(h1dq1~q10) · [(h2dq2~q20)× (h3dq3~q30)]| (1.19)= h1h2h3dq1dq2dq3.


Šioje vietoje galime išvesti gradiento operatoriaus, žymimo simboliu ”∇“ (kuris vadina-mas nabla arba del), išraišką apibendrintoje koordinačių sistemoje. Descartes’o koordinačiųsistemoje operatoriaus ∇ poveikis funkcijai φ – funkcijos φ gradientas – apibrėžiamas kaip

∇φ ≡ ~x0∂φ

∂x+ ~y0

∂φ

∂y+ ~z0

∂φ

∂z. (1.20)

Panaudojant išraišką (1.16), galime užrašyti funkcijos φ diferencialą kaip dviejų vektorių∇φ ir d~r skaliarinę sandaugą:

dφ = d~r · (∇φ) . (1.21)Kaip atrodo d~r apibendrintosiose koordinatėse, mes žinome iš sąryšio (1.15), tačiau apie ∇φkol kas nieko negalime pasakyti. Šį vektorių užrašome kaip

∇φ ≡ f1~q10 + f2~q20 + f3~q30, (1.22)

kur f1, f2 ir f3 yra mums nežinomos (kolkas) funkcijos. Įstatę šį pažymėjimą ir (1.15)formulę atgal į (1.21) išraišką, gauname

dφ = h1f1dq1 + h2f2dq2 + h3f3dq3. (1.23)

Kita vertus, kelių kintamųjų funkcijos pilnas diferencialas yra apibrėžiamas kaip

dφ =∂φ

∂q1dq1 +

∂φ

∂q2dq2 +

∂φ

∂q3dq3. (1.24)

Sulygine abi šias išraiškas gauname, jog

fi =1

hi

∂φ

∂qi. (1.25)

Daigi, ∇ operatoriaus išraiška apibendrintose koordinatėse yra

∇ = ~q10h1

∂

∂q1+~q20h2

∂

∂q2+~q30h3

∂

∂q3. (1.26)

Vektorinės funkcijos~a = ax~x0 + ay~y0 + az~z0 (1.27)

divergencija Descartes’o koordinačių sistemoje bus

div~a = ∇ · ~a =(~x0

∂

∂x+ ~y0

∂

∂y+ ~z0

∂

∂z

)· (ax~x0 + ay~y0 + az~z0) (1.28)

=∂ax∂x

+∂ay∂y

+∂az∂z

,

rotorius

rot~a =∇× ~a =(~x0

∂

∂x+ ~y0

∂

∂y+ ~z0

∂

∂z

)× (ax~x0 + ay~y0 + az~z0) (1.29)

=~x0

(∂az∂y− ∂ay

z

)+ ~y0

(∂ax∂z− ∂az

∂x

)+ ~z0

(∂ay∂x− ∂ax

∂y

).

Iš kitų diferencialinių operatorių verta paminėti Laplace’o operatorių 4φ ≡ ∇ · ∇φ =divgradφ. Jo poveikis funkcijai yra funkcijos gradiento divergencija. Tad, turint jų išraiškasPierre–Simon Laplace

(1749–1827) Prancūzųmatematikas ir astronomas.

(1.20) ir (1.28), tereikia įsistatyti atitinkamas gradiento projekcijas į divergenciją:

4 = ∇ · ∇φ = divgradφ = ∂2φ

∂x2+∂2φ

∂y2+∂2φ

∂z2. (1.30)

1.3 Cilindrinė koordinačių sistemaCilindrinė koordinačių sistema yra kreivinė koordinačių sistema, aprašoma koordinatėmis ρ,ϕ ir z. Atitinkami ortai ~ρ0, ~ϕ0 ir ~z0 priklausys nuo koordinačių. Descartes’o koordinačiųsąryšis su cilindrine koordinačių sistema yra

1.3 Cilindrinė koordinačių sistema 11

y

x

z

~r

ϕ

z

ρ0

ρ

z0

ϕ0

r cosϕr sinϕ

4 pav. Cilindrinė koordinačių sistema.

y

x

z

y

x

z

y

x

z

ρ0

ϕ0

ϕ = ϕ0 z = z0ρ = ρ0

(a) Koordinatiniai paviršiai.

y

x

z

y

x

z

y

x

z

ρ0

ρ = ρ0ϕ = ϕ0ϕ = ϕ0

ϕ0

z = z0

ρ = ρ0

z0 ρ0

z = z0

z0

ϕ0

(b) Koordinatinės kreivės (mėlyna spalva).

5 pav. Koordinatinės kreivės ir koordinatiniai paviršiai cilindrinėje koordinačių sistemoje.

x = x(ρ, ϕ) = ρ cosϕy = y(ρ, ϕ) = ρ sinϕz = z(z) = z,

(1.31)

kur 0 < ρ


y

x

z

ρ∆ρ

∂~ρ0∂ρ

(a) ∂~ρ0∂ρ = 0

y

x

z

ρ

∆ρ

∂~ϕ0∂ρ

(b) ∂~ϕ0∂ρ = 0

y

x

z

ρ

∆ρ

∂~z0∂ρ

(c) ∂~z0∂ρ = 0

y

x

z∂~ρ0∂ϕ

ϕ

∆ϕ

∆~ρ0

~ρ0(ϕ + ∆ϕ)

~ρ0(ϕ)

∆~ρ0 = ~ϕ0

√2 − 2 cos∆ϕ

= ~ϕ02 sin∆ϕ2

y

x∆ϕ

(d) ∂~ρ0∂ϕ = lim∆ϕ→∞~ϕ0 sin ∆ϕ/2

∆ϕ/2 = ~ϕ0

y

x

z∂~ϕ0∂ϕ

ϕ

∆ϕ

∆~ϕ0 = −~ρ0√

2 − 2 cos∆ϕ

= −~ρ02 sin∆ϕ2

y

x

∆ϕ ∆ϕ

(e) ∂~ϕ0∂ϕ = lim∆ϕ→∞−~ρ0 sin ∆ϕ/2

∆ϕ/2 = −~ρ0

y

x

z∂~z0∂ϕ

ϕ

∆ϕ

(f) ∂~z0∂ϕ = 0

y

x

z∂~ρ0∂z

∆z

(g) ∂~ρ0∂z = 0

y

x

z∂~ϕ0∂z

∆z

(h) ∂~ϕ0∂z = 0

y

x

z∂~z0∂z

∆z

(i) ∂~z0∂z = 0

6 pav. Ortų išvestinės ∂~qi0∂qj = lim∆qj→0~qi0(qj+∆qj)−~qi0(qj)

∆qj, kai (q1, q2, q3) = (ρ, ϕ, z) pagal koordinates cilindrinėje

koordinačių sistemoje. Mėlyni vektoriai žymi ortus ~qi0(qj + ∆qj), raudoni – ~qi0 (qj).

Tada elementarusis tūris cilindrinėje koordinačių sistemoje yra

dV = ρdρdϕdz, (1.36)

o diferencialinis ∇ operatorius (pagal formulę (1.26))

∇ = ~ρ0∂

∂ρ+~ϕ0ρ

∂

∂ϕ+ ~z0

∂

∂z. (1.37)

Skaičiuodami vektoriaus divergenciją cilindrinėje koordinačių sistemoje turime turėti ome-nyje, jog ortai priklauso nuo koordinačių:

div~a =

(~ρ0

∂

∂ρ+~ϕ0ρ

∂

∂ϕ+ ~z0

)· (aρ~ρ0 + aϕ~ϕ0 + az~z0) (1.38)

=∂aρ∂ρ

+1

ρ

∂aϕ∂φ

+∂az∂z

+ aρ~ρ0 ·∂~ρ0∂ρ

+ aϕ~ρ0 ·∂~ϕ0∂ρ

+ az~ρ0 ·∂~z0∂ρ

+aρρ~ϕ0 ·

∂~ρ0∂ϕ

+aϕρ~ϕ0 ·

∂~ϕ0∂ϕ

+azρ~ϕ0 ·

∂~z0∂ϕ

+ aρ~z0 ·∂~ρ0∂z

+ aϕ~z0 ·∂~ϕ0∂z

+ az~z0 ·∂~z0∂z

.

Tokia daugybė narių atsirado dėl to, kad projekcijų ir ortų sandaugas dešinėje pusėje di-ferencijavome kaip sudėtines funkcijas. Devynių narių – ortų dalinių išvestinių pagal visaskoordinates – skaičiavimas iliustruotas Pav 6. Matome, jog išvestinės septintame ir aštun-tame divergencijos skleidinio nariuose nėra lygios nuliui (atitinkamai, Pav. 6d ir Pav. 6e).Šie nariai lygūs

aρρ~ϕ0 ·

∂~ρ0∂ϕ

=aρρ~ϕ0 · ~ϕ0 =

aρρ

(1.39)

1.4 Sferinė koordinačių sistema 13

r sin θ

y

x

z

~r

ϕ

~ϕ0

θ

~r0

~θ0

r sin θ sinϕ

r sin θ cosϕ

r cos θ

7 pav. Sferinė koordinačių sistema

ir

aϕρ~ϕ0 ·

∂~ϕ0∂ϕ

= −aϕρ~ϕ0 · ~ρ0 = 0. (1.40)

Taigi, iš ortų diferencijavimo gavome tik vieną papildomą narį ir galutinė divergencijosišraiška yra

div~a =∂aρ∂ρ

+aρρ

+1

ρ

∂aϕ∂φ

+∂az∂z

(1.41)

=1

ρ

∂

∂ρ(ρaρ) +

1

ρ

∂aϕ∂φ

+∂az∂z

.

Suskaičiuokime vektorinės funkcijos ~a rotorių. Jis yra lygus gradiento operatoriaus (išraiš-ka (1.37)) ir vektorinės funkcijos ~a (išraiška (1.34)) vektorinei sandaugai. Šįkart mes esamejau gudresni, nes žinome, jog tik dviem atvejais ortų išvestinės duoda nenulinius narius:

rot~a =

(~ρ0

∂

∂ρ+~ϕ0ρ

∂

∂ϕ+ ~z0

∂

∂z

)× (aρ~ρ0 + aϕ~ϕ0 + az~z0) (1.42)

= ~z0∂aϕ∂ρ− ~ϕ0

∂az∂ρ− ~z0

1

ρ

∂aρ∂ϕ

+ ~ρ01

ρ

∂az∂ϕ

+ ~ϕ0∂aρ∂z− ~ρ0

∂aϕ∂z

+aρρ~ϕ0 ×

∂~ρ0∂ϕ

+aϕρ~ϕ0 ×

∂~ϕ0∂ϕ

.

Įsistatę žinomas ortų išvestines septintame ir aštuntame skleidinio nariuose gausime nariusatitinkamai aρρ ~ϕ0 × ~ϕ0 = 0 ir

aϕρ ~ϕ0 × (−~ρ0) = ~z0

aϕρ . Taigi, galutinė rotoriaus išraiška yra

rot~a = ~z0∂aϕ∂ρ− ~ϕ0

∂az∂ρ− ~z0

1

ρ

∂aρ∂ϕ

+ ~ρ01

ρ

∂az∂ϕ

+ ~ϕ0∂aρ∂z− ~ρ0

∂aϕ∂z

+ ~z0aϕρ

(1.43)

= ~ρ0

(1

ρ

∂az∂ϕ− ∂aϕ

∂z

)+ ~ϕ0

(∂aρ∂z− ∂az

∂ρ

)+ ~z0

(∂aϕ∂ρ

+aϕρ− 1ρ

∂aρ∂ϕ

).

Laplace’o operatorius gaunamas įstačius gradiento išraišką (1.37) į divergencijos formu-lę (1.41):

4φ = 1ρ

∂

∂ρ

(ρ∂φ

∂ρ

)+

1

ρ

∂

∂φ

(1

ρ

∂φ

∂ϕ

)+∂2φ

∂z2. (1.44)

1.4 Sferinė koordinačių sistemaSferinė koordinačių sistema yra kreivinė koordinačių sistema, aprašoma koordinatėmis r,ϕ ir θ. Atitinkami ortai ~r0, ~ϕ0 ir ~θ0 vėlgi priklausys nuo koordinačių kaip ir cilindrineikoordinačių sistemai. Descartes’o koordinačių sąryšis su sferine koordinačių sistema yra

x = x(r, ϕ, θ) = r sin θ cosϕy = y(r, ϕ, θ) = r sin θ sinϕz = z(r, θ) = r cos θ,

(1.45)


y

x

z

r0y

x

zr = r0

ϕ0

y

x

z

θ0

ϕ = ϕ0 θ = θ0

(a) Koordinatiniai paviršiai

y

x

z

r0

r = r0θ = θ0

r0y

x

z

r0

r = r0ϕ = ϕ0

ϕ0

r0θ0 y

x

z

r0

ϕ = ϕ0θ = θ0

θ0

ϕ0

(b) Koordinatinės kreivės (mėlyna spalva)

8 pav. Koordinatinės kreivės ir koordinatiniai paviršiai sferinėje koordinačių sistemoje.

kur 0 < r


ρ

y

x

z

~r

∂~r0∂r

∆~r0 = 0

∆r

ρ

z

r

~r0

(a) ∂~r0∂r = 0

∂~θ0∂r

∆~θ0 = 0

∆r

ρ

z

r

~θ0

(b) ∂~θ0∂r = 0

∂~ϕ0∂r

∆~ϕ0 = 0

∆r sin θ

y

x

r sin θ

~ϕ0

(c) ∂~ϕ0∂r = 0

y

x

z

ρ

θ

∆θ

∆r

∂~r0∂θ

ρ

z

r

θ

∆θ

~r0

∆~r0 =~θ0

√2 − 2 cos∆ϕ

= 2~θ0 sin∆ϕ2

(d) ∂~r0∂θ = ~θ0

∂θ0∂θ

ρ

z

r

θ

∆θ

~θ0

∆~r0 = −~r0√

2 − 2 cos∆ϕ

= −2~r0 sin∆ϕ2

(e) ∂~θ0∂θ = −~r0

∂~ϕ0∂θ

∆~ϕ0 = 0

x

yr sin θ

~ϕ0

(f) ∂~ϕ0∂θ = 0

y

x

z

∆ϕ

ϕ

r

∂~r0∂ϕ

x

yr sin θ

∆ϕ ~r0 sin θ

∆~r0 = ~ϕ0

√2 sin2 θ(1 − cos∆ϕ)

= 2~ϕ0 sin θ sin∆ϕ2

(g) ∂~r0∂ϕ = ~ϕ0 sin θ

∂~θ0∂ϕ

x

yr sin θ

∆ϕ ~θ0 cos θ

∆~θ0 = ~ϕ0

√2 cos2 θ(1 − cos∆ϕ)

= 2~ϕ0 cos θ sin∆ϕ2

(h) ∂~θ0∂ϕ = ~ϕ0 cos θ

r

∂~ϕ0∂ϕ

x

yr sin θ

∆ϕ~ϕ0

~ϕ0

ρ

z

θ

~r0

~θ0

−~ρ0

∆~ϕ0 = −~ρ0√

2(1 − cos∆ϕ) = −2~ρ0 sin∆ϕ2

(i) ∂~ϕ0∂ϕ = −~ρ0 = −~r0 sin θ − ~θ0 cos θ

9 pav. Ortų išvestinės ∂~qi0∂qj = lim∆qj→0∆qi0∆qj

, kai (q1, q2, q3) = (r, θ, ϕ) pagal koordinates cilindrinėje koordinačių sistemoje.Mėlyni vektoriai žymi ortus ~qi0(qj + ∆qj), raudoni – ~qi0 (qj).


div~a =

(~r0∂

∂r+~θ0r

∂

∂θ+

~ϕ0r sin θ

∂

∂ϕ

)·(ar~r0 + aθ~θ0 + aϕ~ϕ0

)(1.52)

=∂ar∂r

+1

r

∂aθ∂θ

+1

r sin θ

∂aϕ∂ϕ

+ ar~r0 ·∂~r0∂r

+ aθ~r0 ·∂~θ0∂r

+ aϕ~r0 ·∂~ϕ0∂r

+arr~θ0 ·

∂~r0∂θ

+aθr~θ0 ·

∂~θ0∂θ

+aϕr~θ0 ·

∂~ϕ0∂θ

.

+ar

r sin θ~ϕ0 ·

∂~r0∂ϕ

+aθ

r sin θ~ϕ0 ·

∂~θ0∂ϕ

+aϕ

r sin θ~ϕ0 ·

∂~ϕ0∂ϕ

.

Vėlgi, kaip ir cilindrinei koordinačių sistemai, reikia suskaičiuoti devynias ortų išvestines(Pav. 9). Šįkart lygūs nuliui tėra 4 nariai, o išvestinė ∂~ϕ0∂ϕ yra visai egzotiška. Ji yra lygivienetiniam vektoriui, lygiagrečiam xOy plokštumai, bei nukreiptam į z ašį, taigi, lygi vek-toriui −~ρ0, ”pasiskolintam“ iš cilindrinės koordinačių sistemos. Visgi, jį reikia užrašyti persferinės koordinačių sistemos ortus. Pažaidę su stereometrija (kas yra pasistengta parodytiPav. 9i), gausime

− ~ρ0 = −~r0 sin θ − ~θ0 cos θ. (1.53)Sustatę visas išvestines į divergencijos išraišką (1.52)

div~a =∂ar∂r

+1

r

∂aθ∂θ

+1

r sin θ

∂aϕ∂ϕ

(1.54)

+ar

r sin θ~ϕ0 · ~ϕ0 sin θ +

aθr sin θ

~ϕ0 · ~ϕ0 cos θ +aϕ

r sin θ~ϕ0 ·

(−~r0 sin θ − ~θ0 cos θ

)

+arr~θ0 · ~θ0 −

aθr~θ0 · ~r,

gauname galutinę divergencijos formulę

div~a =1

r2∂

∂r

(r2ar

)+

1

r sin θ

∂

∂θ(sin θaθ) +

1

r sin θ

∂aϕ∂ϕ

. (1.55)

Skaičiuojame rotorių sferinėje koordinačių sistemoje.

rot~a =

(~r0∂

∂r+~θ0r

∂

∂θ+

~ϕ0r sin θ

∂

∂ϕ

)×(ar~r0 + aθ~θ0 + aϕ~ϕ0

)(1.56)

= ~ϕ0∂aθ∂r− ~θ0

∂aϕ∂r− ~ϕ0

1

r

∂ar∂θ

+ ~r01

r

∂aϕ∂θ

+ ~θ01

r sin θ

∂ar∂ϕ− ~r0

1

r sin θ

∂aθ∂ϕ

+ ar~r0 ×∂~r0∂r

+ aθ~r0 ×∂~θ0∂r

+ +aϕ~r0 ×∂~ϕ0∂r

+arr~θ0 ×

∂~r0∂θ

+aθr~θ0 ×

∂~θ0∂θ

+aϕr~θ0 ×

∂~ϕ0∂θ

+ar

r sin θ~ϕ0 ×

∂~r0∂ϕ

+aθ

r sin θ~ϕ0 ×

∂~θ0∂ϕ

+aϕ

r sin θ~ϕ0 ×

∂~ϕ0∂ϕ

.

Vėlgi, pasinaudojame gautomis ortų išvestinių išraiškomis:

rot~a = ~ϕ0∂aθ∂r− ~θ0

∂aϕ∂r− ~ϕ0

1

r

∂ar∂θ

+ ~r01

r

∂aϕ∂θ

+ ~θ01

r sin θ

∂ar∂ϕ− ~r0

1

r sin θ

∂aθ∂ϕ

(1.57)

+ ar~r0 ×~0 + aθ~r0 ×~0 + aϕ~r0 ×~0+

arr sin θ

~ϕ0 × ~ϕ0 sin θ +aθ

r sin θ~ϕ0 × ~ϕ0 cos θ +

aϕr sin θ

~ϕ0 ×(−~r0 sin θ − ~θ0 cos θ

)

+arr~θ0 × ~θ0 +

aθr~θ0 × (−~r0) +

aϕr~θ0 ×~0

= ~r0

(− 1r sin θ

∂aθ∂ϕ

+1

r

∂aϕ∂θ

+aϕ cos θ

r sin θ

)+ ~θ0

(−∂aϕ∂r

+1

r sin θ

∂ar∂ϕ− aϕ

r

)

+ ~ϕ0

(∂aθ∂r− 1r

∂ar∂θ− aθ

r

).

Taigi, galutinė rotoriaus išraiška yra


1 lentelė Sąryšiai skirtingose koordinačių sistemose

Descartes’o Cilindrinė Sferinė(x, y, z) (ρ, ϕ, z) (r, ϕ, θ)

~r x~x0 + y~y0 + z~z0 ρ~ρ0 + z~z0 r~r0dV dxdydz ρdρdϕdz r2 sin θdrdϕdθ

∇ ~x0 ∂∂x + ~y0 ∂∂y + ~z0 ∂∂z ~ρ0 ∂∂ρ +~ϕ0ρ

∂∂ϕ + ~z0

∂∂z ~r0

∂∂r +

~θ0r∂∂θ +

~ϕ0r sin θ

∂∂ϕ

div~a ∂ax∂x +∂ay∂y +

∂az∂z

1ρ∂∂ρ (ρaρ) +

1ρ∂aϕ∂φ +

∂az∂z

1r2

∂∂r

(r2ar

)+ 1r sin θ

∂∂θ (sin θaθ) +

1r sin θ

∂aϕ∂ϕ

rot~a ~x0

(∂az∂y −

∂ayz

)

+~y0(∂ax∂z − ∂az∂x

)

+~z0

(∂ay∂x − ∂ax∂y

)

~ρ0

(1ρ∂az∂ϕ −

∂aϕ∂z

)

+~ϕ0

(∂aρ∂z − ∂az∂ρ

)

+~z0

(∂aϕ∂ρ +

aϕρ − 1ρ

∂aρ∂ϕ

)

~r01

r sin θ

(∂∂θ (aϕ sin θ)− ∂aθ∂ϕ

)

+~θ01r

(1

sin θ∂ar∂ϕ − ∂∂r (raϕ)

)

+~ϕ01r

(∂∂r (raθ)− ∂ar∂θ

)

rot~a =~r01

r sin θ

(∂

∂θ(aϕ sin θ)−

∂aθ∂ϕ

)+ ~θ0

1

r

(1

sin θ

∂ar∂ϕ− ∂∂r

(raϕ)

)+ ~ϕ0

1

r

(∂

∂r(raθ)−

∂ar∂θ

).

Laplace’o operatorių sverinėje koordinačių sistemoje gausime sukombinavę išraiškas (1.55)ir 1.51:

4φ =divgradφ = 1r2

∂

∂r

(r2∂φ

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂φ

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2φ

∂ϕ2. (1.58)

Šaltiniai1. B. R. Kusse, E. A. Westwig. Mathematical Physics. Applied Mathematics for Scientists

and Engineers. 2nd Ed. (Wiley-VCH Verlag, Weinheim, 2006), p. 1-66.

2. M. L. Boas. Mathematical Method in the Physical Sciences. 2nd Ed. (John Wiley &Sons, USA, 1983), p. 235–296., 426–435.

19

2 | Paprastosios diferencialinės lygtys

ApibrėžimasDiferencialine lygtimi vadinama lygtis, siejanti nepriklausomą kintamąjį x, ieškomą funkciją y(x)ir jos išvestines y′, y′′,. . .,y(n),

F(x, y, y′, . . . , y(n)

)= 0, y(n) = f

(x, y, y′, . . . , y(n)

). (2.1)

Kadangi ieškomoji funkcija y(x) yra tik vieno kintamojo x funkcija, tokia diferencialinė lygtisvadinama paprastąja.

ApibrėžimasAukščiausios eilės išvestinė esanti diferencialinėje lygtyje yra tos diferencialinės lygties eilė. Pa-

vyzdžiui ax′′ + bx′ + c = 0 ir ax′′ + b = 0 lygtys yra antrosios eilės diferencialinės lygtys, oax′ + b = 0 yra pirmosios eilės diferencialinė lygtis.

ApibrėžimasDiferencialinės lygties sprendiniu (arba integralu) vadinama y = ϕ (x), kuri tenkina tą lygtį.

2.1 Pirmos eilės diferencialinės lygtys

Vienatinio Cauchy uždavinio sprendinio egzistavimo teoremaPirmosios eilės diferencilinė lygtis yra visada išsprendžiama. Tarkime, kad funkcija f (x, y)yra Augustin-Louis Cauchy

(1789–1857) Prancūzųmatematikas, pagrindiniskompleksinių skaičių teorijoskūrėjas.

apibrėžta, tolygi ir turi tolydžią dalinę išvestinę ∂f∂y

tam tikroje prokštumos x0y srityje D, kuriaipriklauso ir taškas f (x0, y0). Tuomet egzistuoja tokia taško x0 aplinka Vδ (x0), kurioje egzistuojavienintelis diferencialinės lygties y′ = f (x, y) sprendinys y = ϕ (x) ir y|x=x0 = y0.

Pirmosios eilės diferencialinės lygtys yra sprendžiamos kintamųjų atskyrimo metodu,kintamųjų pakeitimo metodu ir konstantų variajavimo metodu.

2.1.1 Kintamųjų atskyrimo metodas

Lygtis, kuri gali būti užrašoma kaip

f(y)dy

dx= g(x), (2.2)

sprendžiama iš pradžių ją perrašant tokia forma:

f(x)dx = g(y)dy, (2.3)

o tada suintegruojant:ˆ

f(x)dx =

ˆ

g(y)dy. (2.4)

Suintegravus funkciją, gaunama išraiška, kurioje yra integravimo konstanta. Tačiau ji galibūti suskaičiuojama turint pradinę salygą: y(x0) = a, kur a ir x0 reikšmės yra duotos.

Uždavinys 2. Išspręsti pirmos eilės diferencialinę lygtį

dy

dx= 6xy2, (2.5)

jei pradinė salygą yra y(1) = 125

.

20 2 PAPRASTOSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Lygtis perrašoma minėtaja forma:y−2dy = 6xdx. (2.6)

Suintegruojame abi puses ir gauname

− 1y

= 3x2 + C. (2.7)

Čia C – integravimo konstanta. Ją randame iš pradinės sąlygos:

− 1125

= 3 + C =⇒ C = −28. (2.8)

Taigi, išreiškus iš (2.7) lygties y, gauname sprendinį

y(x) =1

28− 3x2 . (2.9)

N

2.1.2 Kintamųjų pakeitimo metodas

Jei funkcijos negalime tiesiogiai išspręsti kintamųjų atskyrimo metodu, ją galime spręstikintamųjų keitimo metodu. Apsibrėžkime savo lygtį kaip:

y′ + P (x)y = Q(x). (2.10)

Įsivedame kintamąjį:y = uv, (2.11)

kuriame u = u(x) ir v = v(x) yra tolydžiai diferencijuojamos funkcijos. Išdiferencijavus y,gauname

y′ = u′v + uv′. (2.12)Įrašę į pradinę diferencialinę lygtį keitinį ir jo diferencialo keitinį gauname tokios formoslygtį:

u′v + v′u+ P (x)uv = u′v + u(v′ + P (x)v) = Q(x) (2.13)Funkciją v(x) parenkame tokią, kad

v′ + P (x)v = 0 (2.14)

Ši lygtis gali būti lengvai išsprendžiama kintamųjų atskyrimo metodu:

v(x) = C1e−´

P (x)dx (2.15)

Mūsų pradinė diferencialinė lygtis (2.13) tampa

u′C1e−´

P (x)dx = Q(x). (2.16)

Gavome dar vieną lygtį, kuri išsprendžiama kintamųjų atskyrimo metodu. Jos sprendinys:

u(x) =1

C1

ˆ

Q(x)e´

P (x)dxdx+ C2. (2.17)

Belieka kintamuosius gražinti į (2.11) išraišką:

y(x) = C1e−´

P (x)dx

(1

C1

ˆ

Q(x)e´

P (x)dxdx+ C2

)(2.18)

= e−´

P (x)dx(

ˆ

Q(x)e´

P (x)dxdx+ C).

Kadangi integravimo konstantos yra bet kokie skaičiai, tai jų sandaugą C1C2 pakeitėmekonstanta C.

Uždavinys 3. Išspręsti diferencialinę lygtį

y′ =2y

x+ x3ex − 1. (2.19)

2.1 Pirmos eilės diferencialinės lygtys 21

Persirašius lygtį kaipy′ − 2

xy = x3ex − 1 (2.20)

matyti, kad tai – pirmosios eilės tiesinė diferencialinė lygtis. Ją spręsime kintamųjų pakeitimometodu. Įvedame teorijoje minėtą keitinį y(x) = u(x)v(x) ir mūsų lygtis tampa:

u′v + v′u+2

xuv = u′v + u

(v′ +

2

xv

)= x3ex − 1. (2.21)

Skiaustuose esančius narius prilyginame 0:

v′ +2

xv = 0. (2.22)

Atskyrę kintamuosius integruojame:ˆ

dv

v=

ˆ

2

xdx =⇒ v(x) = x2. (2.23)

Integravimo konstantos šiame sprendinyje neįrašėme, nes jau žinome, kad sprendžiant diferen-cialinę lygtį kintamajam u(x), gausime kitą integravimo konstantą, o rezultate – integravimokonstantų sandaugą. Todėl integravimo konstantą paliekame tik u(x) sprendinyje. Pagrindinėlygtis tampa tokia:

x2u′ = x3ex − 1. (2.24)Iš jos kintamųjų atskyrimo metodu randame

v(x) = xex − ex + 1x

+ C. (2.25)

Taigi bendrasis duotosios lygties sprendinys yra:

y(x) = Cx2 + x2ex(x− 1) + x. (2.26)

. N

2.1.3 Konstantų varijavimo metodas

Pirmos eilės diferencialinę lygtį (2.10) spręsime konstantų varijavimo metodu. Iš pradžiųpanagrinėkime lygtį, jei Q(x) = 0:

y′ + P (x)y = 0. (2.27)

Tokia lygtis vadinama pirmosios eilės tiesine homogenine lygtimi. Tai – lygtis su atskiriamaiskintamaisiais ir ją išsprendę gauname:

y(x) = Ce−´

P (x)dx. (2.28)

Čia C – bet kokia konstanta. Palyginę šį sprendinį su kintamųjų pakeitimo metodo spren-diniu (2.18), matome, kad variacinio metodo sprendinyje pakeitus konstantą C tam tikrafunkcija C(x), galime gauti ir pakeitimo metodo sprendinį. Todėl tariame, jog bendrojipirmos eilės diferecialinės lygtis sprendinio forma yra

y(x) = C(x)e−´

P (x)dx (2.29)

Įrašę ją į (2.10) diferencialinę lygtį y′ + P (x)y = Q(x), gauname

C ′(x)e−´

P (x)dx + (−P (x))C(x)e−´

P (x)dx + P (x)C(x)e−´

P (x)dx = Q(x), (2.30)

tai yra,C ′(x)e−

´

P (x)dx = Q(x). (2.31)

Iš čiaC ′(x) = Q(x)e

´

P (x)dx (2.32)

irC(x) =

ˆ

Q(x)e´

P (x)dxdx+ C. (2.33)


Įrašę C(x) į bendrąją pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendinio formulę, gaunamesprendinį

y(x) = e−´

P (x)dx(

ˆ

Q(x)e´

P (x)dxdx+ C). (2.34)

Uždavinys 4. Išspręsti lygtį

y′ − 2xy1 + x2

= 1 + x2 (2.35)

konstantos varijavimo metodu

Atskyrę kintamuosius ir suintegravę homogeninę lygtį

y′ − 2xy1 + x2

= 0 (2.36)

gaunamame lygties sprendinį:y = C(1 + x2) (2.37)

Šią y(x) išraišką įrašome į duotąją lygtį laikydami konstantą C = C(x):

C′(x)(1 + x2) + 2xC(x)− 2xC(x)(1 + x2)

(1 + x2)= (1 + x2). (2.38)

Suprastinę matome, kadC′(x) = 1 =⇒ C(x) = x+ C. (2.39)

Taigi, bendrasis duotosios lygties sprendinys yra:

y = (x+ C)(1 + x2). (2.40)

N

2.2 Antrosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys

ApibrėžimasAntros eilės tiesine diferencialine lygtimi vadinama tokia lygtis:

y′′ + a (x) y′ + b (x) y = f (x) (2.41)Čia a (x), b (x), f (x) yra žinomos ir tam tikrame intervale (a,b) tolydžios funkcijos. Jeigua (x) = a ir b (x) = b, tuomet turime diferencialinę lygtį su pastoviais koeficientais. Taip pat,jeigu f (x) = 0, tuomet mūsų diferencialinė lygtis yra homogeninė, o jeigu f (x) 6= 0, tuomet jiyra nehomogeninė.

ApibrėžimasTurime lygtį y′′ + a1 (x) y′ + a2 (x) y = f (x). Pažymime y′′ + a1 (x) y′ + a2 (x) y = L [y]. ČiaL [y] pavadiname diferencialinės lygties operatoriumi ir turime L [y] = f (x). Šiam operatoriuibūdinga tokia tiesiškumo sąvybė: L [c1y1 + c2y2] = c1L [y1] + c2L [y2].

Sprendinių tiesinė kombinacijaJei funkcijos y1 ir y2 yra lygties L [y] = 0 sprendiniai, tuomet funkcija y = c1y1 + c2y2 irgi yra

lygties L [y] = 0 sprendinys.

Įrodymas Kadangi tarėme, jog L [y1] = 0 ir L [y2] = 0, įstatome šias reikšmes į lygtį ir turimeL [c1y1 + c2y2] = c1L [y1]+c2L [y2] = 0. Šalia koeficientų c1 ir c2 atsiranda nuliai, todėl išeina,jog L [c1y1 + c2y2] = 0. N

Sakykime, kad y1 ir y2 yra antros eilės diferencialinės lygties L [y] = 0 sprendiniai.Tuomet y = c1y1 + c2y2 irgi yra tos lygties sprendinys ir tikėtina, kad y yra bendrasislygties L [y] = 0 sprendinys. Tačiau taip yra ne visada. Pavyzdžiui, turime sąryšį y2 = 3y1.

2.2 Antrosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys 23

Įstatome jį į lygtį ir gauname y = c1y1 + 3c2y1 = (c1 + 3c2) y1 = Cy1. Viską apibendrinametik viena konstanta, todėl tai negali būti antrosios eilės diferencialinės lygties sprendinys.

Reiškinys c1y1 + c2y2 bus bendraiss lygties L [y] = 0 sprendinys tuomet, kai iš jo busgalima gauti atskirąjį sprendinį tenkinantį pradines sąlygas:

y|x=x0 = y0 y′|x=x0 = y′0Kad taip ir būtų, turime atsakingai pasirinkti c1 ir c2 konstantas. Tą padarome spręsdamitokią tiesinę lygčių sistemą:

{y0 = c1y10 + c2y20

y′0 = c1y′10 + c2y

′20

(2.42)

Čia y10 = y1|x=x0 , y20 = y2|x=x0 , y′10 = y′1|x=x0 , y′20 = y′2|x=x0 . Šios sistemos sprendinys busvienatinis, kai determinantas bus lygus nuliui. Pareikalaujame, kad jis būtų nelygus nuliui- tada galėsime rasti tokias c1 ir c2, kad būtų tenkinamos pradinės sąlygos. Kitaip tariant,jeigu

∣∣∣∣y10 y20y′10 y

′20

∣∣∣∣ = y10y′20 − y′10y20 6= 0 (2.43)

tuomet antros eilės diferencialinės lygties sprendiniai y1 ir y2 yra tiesiškai nepriklausomi.

ApibrėžimasŠis determinantas yra vadinamas Wronskio determinantu ir gali būti žymimas Józef Maria

Hoene–Wroński(1776–1853) Lenkų filosofas(matematikas, fizikas,išradėjas, teisininkas irekonomistas)

W (y1, y2) =

∣∣∣∣y10 y20y′10 y′20∣∣∣∣ .

.

Galime padaryti kelias išvadas:

1. Jeigu atskirieji sprendiniai y1 ir y2 yra tokie, kad W (y1, y2) 6= 0, tuomet tinkamaiparinkę x0 visada galime gauti c1 ir c2 (nesvarbu, kokie yra y10, y20, y′10 ir y′20).

2. Reiškinys y = c1y1 + c2y2 yra lygties L [y] = 0 bendrasis sprendinys kai W (y1, y2) 6= 0.Sakoma, kad y1 ir y2 sudaro fundamentaliuosius sprendinius (fundamentaliąją siste-mą).

2.2.1 Homogeninės lygtys su pastoviais koeficientais

Ši lygtis matematiškai užrašoma taip:

y′′ + py′ + qy = 0 (2.44)

Čia p ir q yra realieji skaičiai. Ieškome dviejų tiesiškai nepriklausomų sprendinių y1 ir y2.Tariame (atspėjame), kad tai bus eksponentiniai sprendiniai: y = ekx. Diferencijuojame šiąišraišką 2 kartus: y′ = kekx, y′′ = k2ekx. Gautas išraiškas statome į (2.44) ir gauname:

k2ekx + pkekx + qekx = 0 | : ekx

k2 + pk + q = 0 (2.45)

Ši lygtis vadinama charakteringąja lygtimi su šaknimis k1 ir k2. Jos sprendimas gali būtiišskirtas į tris atvejus:

1. k1 ir k2 yra skirtingos realios konstantos (k1 6= k2, k1,2 ∈ R). Tuomet atskirieji (2.44)sprendiniai yra y1 = ek1x ir y2 = ek2x. Kadangi y1y2 = e

(k1−k2)x 6= const., sprendiniaiyra tiesiškai nepriklausomi ir tuomet bendrasis sprendinys yra:

y = c1ek1x + c2e

k2x (2.46)


2. k1 ir k2 yra vienodos realios konstantos (k1 = k2 = k, k ∈ R). Veinas iš sprendiniųyra y1 = ekx. Kitas sprendinys yra gaunamas taikant Liouville’o formulę:

y2 = y1

ˆ

e−´

pdx

y21dx = ekx

ˆ

e−kx

e2kxdx = ekx

ˆ

dx = xekx (2.47)

Čia taip pat pritaikėme Viète teoremą: p = − (k1 + k2) = −2k. Sudėję atskiruosiussprendinius gauname bendrąjį sprendinį:

y = c1ekx + c2xe

kx (2.48)

3. k1 ir k2 konstantos yra kompleksinės (k1,2 ∈ C). Pasižymime, kad k1,2 = α ± βi.Tuomet y1 = e(α+βi)x ir y2 = e(α−βi)x. Pritaikome Eulerio formulę y1 bei y2 irLeonhard Euler

(1707–1783) Šveicarųmatematikas ir fizikas.

gauname kitokį jų pavidalą:

y1 = eαx · eβix = eαx (cosβx+ i sinβx) (2.49)

y2 = eαx · e−βix = eαx (cosβx− i sinβx) (2.50)

Jei kompleksinė realiojo argumento funkcija y = u (x)+iv (x) yra diferencialinės lygties(2.44) sprendinys, tai u (x) ir v (x) irgi yra tos lygties sprediniai. Pasižymime

ỹ1 = eαx cosβx (2.51)

ỹ2 = eαx sinβx (2.52)

Kadangi ỹ1ỹ2 6= const., abu šie sprendiniai yra tiesiškai nepriklausomi ir turime bendrąjįsprendinį:

y = c1ỹ1 + c2ỹ2 = eαx (c1 cosβx+ c2 sinβx) (2.53)

2.2.2 Nehomogeninės lygtys su kintančiais koeficientais. Konstantų varijavimo(Lagrange’o) metodas


y′′ + a1 (x) y′ + a2 (x) y = f (x) (2.54)

TeoremaJeigu ȳ yra bendrasis lygties L [y] = 0 sprendinys, o ỹ yra koksnors atskirasis L [y] = f (x) lygtiessprendinys, tuomet (2.54) lygties bendrasis sprendinys bus y = ȳ + ỹ.

Bendruoju atveju (2.54) lygtį ispręsime konstantų variacijos metodu (Lagrange’o me-todu). Pradžiai tariame, kad y1 ir y2 yra lygties L [y] = 0 fundamentalieji sprendiniaiJoseph–Louis Lagrange

(1736–1813) Italųmatematikas ir astronomas.

(fundamentalioji sistema). Tuomet bendrasis sprendinys bus

ȳ = c1y1 + c2y2 (2.55)

Tariame, kad (2.55) lygties konstantas galima pakeisti į funkcijas ir tą padarius gaunameatskirąjį L [y] = f (x) lygties sprendinį:

ỹ = c1 (x) y1 + c2 (x) y2 (2.56)

Išdiferencijuojame šią išraišką:

ỹ′ = c′1 (x) y1 + c1 (x) y′1 + c

′2 (x) y2 + c2 (x) y

′2 (2.57)

Pareikalaujame, kadc′1 (x) y1 + c

′2 (x) y2 = 0 (2.58)

ir diferencijuojame antrą kartą. Gauname tokias išraiškas:

ỹ′ = c1 (x) y′1 + c2 (x) y

′2 (2.59)

ỹ′′ = c′1 (x) y′1 + c1 (x) y

′′1 + c

′2 (x) y

′2 + c2 (x) y

′′2 (2.60)

2.2 Antrosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys 25

Surašome (2.56), (2.59) ir (2.60) į (2.55):

c′1 (x) y′1 + c1 (x) y

′′1 + c

′2 (x) y

′2 + c2 (x) y

′′2 + a1 (x) (c1 (x) y

′1 + c2 (x) y

′2)

+ a2 (x) (c1 (x) y1 + c2 (x) y2) = f (x) (2.61)

Pertvarkome:

c1 (x) (y′′1 + a1 (x) y

′1 + a2 (x) y1) + c2 (x) (y

′′2 + a1 (x) y

′2 + a2 (x) y2)

+ c′1 (x) y′1 + c

′2 (x) y

′2 = f (x) (2.62)

Kadangi y1 ir y2 yra bendri sprendiniai, skliausteliuose esantys reiškiniai yra lygūs 0. Priešios išraiškos pridėję (2.58) gauname lygčių sistemą

{c′1 (x) y1 + c

′2 (x) y2 = 0

c′1 (x) y′1 + c

′2 (x) y

′2 = f (x)

(2.63)

Šios sistemos sprendiniai y1 ir y2 yra tiesiškai nepriklausomi, kadangi determinantas (vrons-kianas) yra nelygus nuliui. Toliau randame c′1 ir c′2. Pažymėję c′1 (x) = ϕ1 (x) ir c′2 = ϕ2 (x)integruojame:

c1 (x) =

ˆ

ϕ1 (x) dx+ c∗1

c2 (x) =

ˆ

ϕ2 (x) dx+ c∗2

Tuomet, atskirasis (2.54) lygties sprendinys yra

ỹ = y1

ˆ

ϕ1 (x) dx+ y2

ˆ

ϕ2 (x) dx (2.64)

o bendrasis sprendinys yra

y = ȳ + ỹ = c1y1 + c2y2 + y1

ˆ

ϕ1 (x) dx+ y2

ˆ

ϕ2 (x) dx (2.65)

2.2.3 Nehomogeninės lygtys su pastoviais koeficientais. Neapibrėžtųjų koefici-entų metodas


y′′ + py′ + qy = f (x) (2.66)

Jos sprendimas vadinamas neapibrėžtųjų koeficientų metodu. Nagrinėsime du atvejus:

1. Tarkime, kad šios funkcijos nehomogeninė dalis yra daugianario Pn (x) ir eksponen-tės sandauga f (x) = Pn (x) eαx. Čia α ∈ R. Tuomet atskirojo sprendinio ieškometardami, kad jis bus tokio paties pavidalo ỹ = Qn (x) eαx. Diferencijuojame sprendinį

ỹ′ = Q′n (x) eαx + αQn (x) e

αx (2.67)ỹ′′ = Q′′n (x) e

αx + αQ′n (x) eαx + αQ′n (x) e

αx + α2Qn (x) eαx (2.68)

Rezultatus įstatome į (2.66):

Q′′n (x) eαx + 2αQ′n (x) e

αx + α2Qn (x) eαx + pQ′n (x) e

αx

+ pαQn (x) eαx + qQn (x) e

αx = Pn (x) eαx. (2.69)

Padalinę abi puses iš eαx gauname

Q′′n (x) + (2α+ p)Q′n (x) +

(α2 + pα+ q

)Qn (x) = Pn (x) (2.70)

Toliau atsakymas priklauso nuo to, koks yra α:

(a) Jeigu α nesutampa su kokiu nors charakteringosios lygties k2 + pk+ q = 0 spren-diniu k1,2, tuomet α2+pα+q 6= 0 ir kairėje pusėje yra n-tojo laipsnio daugianaris:

ỹ = Qn (x) eαx (2.71)


(b) Jeigu α sutampa su viena nekartotine charakteringosios lygties k2 + pk + q = 0šaknimi, tuomet α2 + pα + q = 0 ir kairėje pusėje yra n-1 laipsnio daugianaris.Dėl šios priežasties parinkdami atskirąjį sprendinį ỹ turime imti n+1 laipsniodaugianarį be laisvojo nario (be konstantos):

ỹ = xQn (x) eαx (2.72)

(c) Jeigu α sutampa su kartotine charakteringosios lygties k2 + pk + q = 0 šaknimi,tuomet α2 +pα+q = 0 ir pagal Vieto teoremą p = − (k1 + k2) = −2α⇒ 2α+p =0 tad kairėje pusėje turime n-2 eilės daugianarį ir parinkdami atskirąjį sprendinįturime imti n+2 laipsnio daugianarį be laisvojo nario (be konstantos):

ỹ = x2Qn (x) eαx (2.73)

2. Tarkime, kad šios funkcijos nehomogeninė dalis yra daugianarių, eksponentės bei si-nuso ir kosinuso kombinacija f (x) = Pn (x) eαx cosβx+Qm (x) eαx sinβx. TaikydamiEulerio formulę perrašome trigonometrines išraiškas kitu pavidalu:

eiβx = cosβx+ i sinβx

e−iβx = cosβx− i sinβx(2.74)

cosβx =1

2

(eiβx + e−iβx

)

sinβx =1

2

(eiβx − e−iβx

) (2.75)

Perrašome f (x) naudodami eksponentes trigonometrinėms funkcijoms išreikšti:

f (x) = eαx(Pn (x)

1

2

(eiβx + e−iβx

))+ eαx

(Qm (x)

1

2

(eiβx − e−iβx

))(2.76)

= e(α+βi)x(

1

2Pn (x) +

1

2iQm (x)

)+ e(α−βi)x

(1

2Pn (x)−

1

2iQm (x)

)

Nustatome aukščiausios eilės daugianario eilę (pažymime l = max {m,n}) ir perrašomef (x) sutraukdami Pn (x) ir Qm (x) sumą ir skirtumą į naujus daugianarius Rl (x) irSl (x):

f (x) = Rl (x) e(α+βi)x + Sl (x) e

(α−βi)x (2.77)

Toliau atsakymas priklauso nuo to, koks yra α+ βi :

(a) Jeigu α + βi nesutampa su charakteringosios lygties k2 + pk + q = 0 šaknimi,tuomet:

ỹ = eαx (Ul (x) cosβx+ Vl (x) sinβx) (2.78)

(b) Jeigu α+βi sutampa su charakteringosios lygties k2 +pk+q = 0 šaknimi, tuomet:

ỹ = xeαx (Ul (x) cosβx+ Vl (x) sinβx) (2.79)

2.3 Kraštinis uždavinys. Greeno funkcijaTurime antros eilės tiesinę nehomogeninę diferencialinę lygtį

y′′+py ′ + qy = f (x ). (2.80)

Cauchy uždavinys: rasti y = ϕ (x), kai y|x=x0 = y0 ir y′|x=x0 = y′0. Kraštinis uždavinys:rasti y = ϕ (x), kai y (a) = A, y (b) = B, a ≤ b. Funkcijos integralė eis per 2 taškusM1 (a,A) irM2 (b, B) (Pav. 10). Raskime intervale [a, b] paprasčiausios nehomogeninės lyg-ties

y′′ = f (x) , (2.81)

2.3 Kraštinis uždavinys. Greeno funkcija 27

x

y

M1

M2

a b

A

B

y = ϕ(x)

••

10 pav. Kraštinis uždavinys.

x2

x1

a

x1 = x2

x

x1 = a

x2 = x

f(x1)

11 pav. Integralo´ x

a

´ x2af(x1)dx1dx2 =

´ x

af (x1) (x− x1) dx1 skaičiavimas.

kurios funkcija f (x) tame intervale tolydi, sprendinį y = y (x), tenkinantį šias sąlygas:

y (a) = α, y (b) = β. (2.82)

Integruodami gauname:

y′ =

x̂

a

f (x1) dx1 + C1, (2.83)

y =

x̂

a

x2ˆ

a

f (x1) dx1

dx2 + C1 (x− a) + C2. (2.84)

Pažymime y kaip

y = ỹ + y, (2.85)

kur ỹ =´ x

a

´ x2af(x1)dx1dx2 yra atskirasis sprendinys , o y = C1 (x− a)+C2.

´ x

a

´ x2af(x1)dx1dx2

galima išreikšti vienu integralu (Pav. 11)

xˆ

a

x2ˆ

a

f(x1)dx1dx2 =

xˆ

a

dx2

x1=x2ˆ

x1=a

(x1) dx1 =

ˆ x

a

f (x1) dx1

x2=xˆ

x2=x1

dx2 =

xˆ

a

f (x1) (x− t) dt,

(2.86)

xˆ

a

x2ˆ

a

f(x1)dx1dx2 =

xˆ

a

f (x1) (x− x1) dx1. (2.87)

Bendrasis sprendinys tampa lygus:

y (x) = C1 + C2 (x− a) +xˆ

a

f (x1) (x− x1) dx1. (2.88)

Pasinaudojame kraštinėmis sąlygomis:


y (a) = C1 = α, (2.89)

y (b) = α+ C2 (b− a) +bˆ

a

f (x1) (x− x1) dx1 = β, (2.90)

C2 =1

b− a

β − α−

bˆ

a

f (x1) (x− x1) dx1

. (2.91)

.

Įstatome konstantų reikšmes į bendrojo sprendinio išraišką:

y = α+x− ab− a

{β − α−

ˆ b

a

f (x1) (x− x1) dx1}

+

ˆ x

a

f (x1) (x− x1) dx1. (2.92)

Paimame narį

− x− ab− a

ˆ b

a

f (x1) (x− x1) dx1 +ˆ x

a

f (x1) (x− x1) dx1 (2.93)

=

xˆ

a

[−x− ab− a (b− x1) + (x− x1)

]f (x1) dx1 +

bˆ

x

x− ab− a (x1 − x) f (x1) dx1. (2.94)

Perrašome bendrąjį sprendinį:

y = α+x− ab− a (β − α) +

bˆ

a

G (x, s) f (s) ds; (2.95)

čia definavome Greeno funkciją G (x, s)

G (x, s) =

(x− b) (s− a)b− a , kai a 6 s 6 x;

(x− a) (s− b)b− a , kai x 6 s 6 b.

(2.96)

Greeno funkcijos savybės:George Green (1793–1841)Anglų matematikas ir fizikas. 1. G (x, s) yra tolydi intervaluose a 6 x 6 b ir a < s < b.

2. G′x (x, s) turi trūkį, kai x = s :

G′x (s+ 0, s)−G′x (s− 0, s) =s− ab− a −

s− bb− a = 1. (2.97)

3. Kai x = a ir x = b, G (x, s) tenkina atitinkamas lygties y′′ + a1 (x ) y ′ + a2 (x ) y = 0sąlygas, tai

α0y′ (a) + α1y (a) = 0 ir β0y

′ (b) + β1y (b) = 0 (2.98).čia α0, α1, β0, β1 ∈ R− konstantos, tenkinančios sąlygas:

α20 + α21 > 0,

β20 + β21 > 0;

ir

{α0G

′x (a, s) + α1G (a, s) = 0,

β0G′x (b, s) + β1G (b, s) = 0.

(2.99)

4. Kai x 6= s, G (x, s) yra tiesinės homogeninės lygties y′′ + a1 (x ) y ′ + a2 (x ) y = 0 spren-dinys:

G′′xx (x, s) + a1 (x)G′x (x, s) + a2 (x)G (x, s) ≡ 0 (x 6= s) . (2.100)

2.4 Paprastųjų diferencialinių lygčių sistemos ir pagrindiniai jų sprendimo metodai 29

2.4 Paprastųjų diferencialinių lygčių sistemos ir pagrindiniai jų spren-dimo metodai

Tarkime, y1 = y1(x), y2 = y2(x), . . ., yn = yn(x) – kintamojo x funkcijos

ApibrėžimasSistema, kurią sudaro diferencialinės lygtys, siejančios kintamąjį x, funkcijas y1, . . .,yn ir jų

išvestines, vadinama diferencialinių lygčių sistema.

Normalioji pirmos eilės diferencialinių lygčių sistema:

dy1dx = f1(x, y1, y2, . . . , yn)dy2dx = f2(x, y1, y2, . . . , yn)

. . .dyndx = fn(x, y1, y2, . . . , yn).

(2.101)

Jos sprendiniu vadinsime tame intervale apibrėžtų ir tolygiai diferencijuojamų funkcijų y1 =ϕ1(x), y2 = ϕ2(x), . . ., yn = ϕn(x) visumą.

2.4.1 Eliminavimo metodas

Cauchy uždavinysReikia rasti y1, . . .,yn, kai žinomos pradinės sąlygos

y1 |x=x0 = y10 ; . . . yn |x=x0 = yn0 (2.102)

Normalioji diferencialinių lygčių sistema sprendžiama eliminavimo metodu. Išdiferenci-juojame pirmąją sistemos lygtį pagal x:

d2y1dx2

=∂f1∂x

+∂f1∂y1· dy1

dx+∂f1∂y2· dy2

dx+ . . .+

∂f1∂yn· dyn

dx(2.103)

ir į ją įrašome dy1dx , . . . ,dyndx reikšmes iš lygčių sistemos (2.101). Gauname priklausomybę:

d2y1dx2

= ϕ2(x, y1, y2, . . . , yn). (2.104)

Ją vėl diferencijuojame pagal x ir įrašome yn išvestinių reikšmes:

d3y1dx3

= ϕ3(x, y1, y2, . . . , yn). (2.105)

Taip sudarome sistemą:

dy1dx = ϕ1(x, y1, y2, . . . , yn),d2y1dx = ϕ2(x, y1, y2, . . . , yn),

. . .dny1dxn = ϕn(x, y1, y2, . . . , yn).

(2.106)

Iš sios sistemos galime eliminuoti y2,. . .,yn. Gauname priklausomybę siejančią x,y1,dy1dx ,d2y1dx2 ,. . .,

dny1dxn ,

taigi gauname n-tosios eilės diferencialinę lygtį. Išsprendę ją, randame y1 = Φ(x,C1, C2, . . . , Cn).Žinodami y1, funkcijas y2,. . .,yn randame iš 2.101 sistemos.

2.4.2 Integruojamojo darinio metodas

Integruojamojo darinio metodas tinka tik tuomet, jeigu sistemoje yra vienas ar keli nepri-klausomi pirmieji integralai,

Φ1(t, x, y) = C1, (2.107)Φ2(t, x, y) = C2. (2.108)

Apibrėžimas


Normaliųjų diferencialinių lygčių sistemos integruojamuoju dariniu vadiname kiekvieną suinte-gruojamą diferencialinę lygtį, kurią gauname iš diferencialinių lygčių sistemos sudėties, atimties,daugybos, dalybos veiksmais.

Uždavinys 5. Išspręsti diferencialinių lygčių sistemą{

dxdt = ydydy = x.

(2.109)

Sudedame lygčių sistemos lygtis:d(x+ y)

dt= x+ y. (2.110)

Tai – paprastoji diferencialinė lygtis kintamajam x+ y. Jos sprendinys

ln(x+ y) = t+ lnC1 =⇒ x+ y = C1et. (2.111)

Atimame lygtis:d(x− y)

dt= y − x. (2.112)

Analogiškai, gaunamex− y = C2e−t. (2.113)

Belieka atstatyti x ir y sprendinius{x+ y = C1e

t

x− y = C2e−t=⇒

{x = 1

2(C1e

t + C2e−t)

y = 12(C1e

t − C2e−t).(2.114)

N

2.4.3 Konstantų varijavimo metodas nehomogeninei paprastųjų diferencialiniųlygčių sistemai

Tai pirmos eilės tokio pavidalo lygtys:

dy1dx = a11(x)y1 + a12(x)y2 + . . .+ a1n(x)yn + f1(x)dy2dx = a21(x)y1 + a22(x)y2 + . . .+ a2n(x)yn + f2(x)

. . .dyndx = an1(x)y1 + an2(x)yn + . . .+ ann(x)yn + fn(x),

(2.115)

čia aij(x) – žinomi koeficientai, o f i(x) – žinomos funkcijos

ApibrėžimasJei ∀i : fi = 0, tai (2.115) sistema yra homogeninė pirmos eilės paprastųjų tiesinių diferencialiniųlygčių sistema yra homogeninė.

ApibrėžimasJei ∀i, j : ai,j ∈ R, tai (2.115) sistema yra vadinama tiesine pirmos eilės diferencialinių lygčių

sistema su pastoviais koeficientais.

Bet kurį i-ąjį (2.115) sistemos narį galime užrašyti kaip

dyidx

=

n∑

j=1

aij(x)yj + fi(x) (2.116)

ir sukonstruoti vektorinę lygtį

d~y

dx= Â(x)~y + ~f(x), (2.117)

kurioje Â(x) yra koeficientų matrica

2.4 Paprastųjų diferencialinių lygčių sistemos ir pagrindiniai jų sprendimo metodai 31

Â(x) =

a11(x) a12(x) . . . a1n(x)a21(x) a22(x) . . . a2n(x)...

.... . .

...an1(x) an2(x) . . . ann(x)

, (2.118)

o ~y ir ~f(x) yra vektoriai

~y =

y1(x)y2(x)...

yn(x)

= colon(y1(x), y2(x), . . . , yn(x)) (2.119)

ir

~f(x) =

f1(x)f2(x)...

fn(x)

= colon(f1(x), f2(x), fn(x)). (2.120)

Čia colon(. . .) yra tiesiog kintamųjų eilutės padarymo stulpeliu funkcija. Tada d~ydx yra vek-torius, kurio elementai – išvestinės

d~y

dx=

ddxy1d

dxy2...

ddxyn

= colon

(dy1dx

,dy2dx

, . . .dyndx

). (2.121)

Spręsime lygčių sistemą konstantų varijavimo būdu. Užrašome sprendinį kaip

~y(x) = C1(x)~Y1(x) + C2(x)~Y2(x) + . . .+ Cn(x)~Yn(x), (2.122)

kuriame

Y1(x) = colon(y11(x), y12(x), . . . , y1n(x))

Y2(x) = colon(y21(x), y22(x), . . . , y2n(x))...

Yn(x) = colon(yn1(x), yn2(x), . . . , ynn(x)),

(2.123)

o yij yra homogeninės lygties ddx~y(x) + Â(x)~y(x) = 0 sprendiniai. Įstatę pažymėjimą į lygtį,gauname

C ′1(x)y11(x) + C′2(x)y12(x) + . . .+ C

′n(x)y1n(x) = f1(x)

C ′1(x)y21(x) + C′2(x)y22(x) + . . .+ C

′n(x)y2n(x) = f2(x)

...

C ′1(x)yn1(x) + C′2(x)yn2(x) + . . .+ C

′n(x)ynn(x) = fn(x)

(2.124)

Išsprendžiame:

C ′i(x) = ϕi(x) =⇒ Ci(x) =ˆ

ϕi(x)dx+ C∗1 (2.125)

bei atstatome sprendinį pagal (2.122) formulę.

2.4.4 Eulerio metodas tiesinėms diferencialinių lygčių sistemoms su pastoviaiskoeficientais

Nagrinėjame sistemą kaip 2.115 lygtyje su ∀i, j : aij ∈ R ir fi(x) = 0, ir n = 2:{

dy1dx = a11y1 + a12y2dy2dx = a21y1 + a22y2.

(2.126)


Sprendinių ieškome tarę, kad y1 = α1ekx; y2 = α2ekx. Gauname{α1ke

kx = a11α1ekx + a12α2e

kx

α2kekx = a21α1e

kx + a22α2ekx

=⇒{α1(a11 − k) + α2a12 = 0α1a21 + α2(a22 − k) = 0.

(2.127)

Pažymime iš koeficientų sudarytą determinantą

∆ =

∣∣∣∣a11 − k a12a21 a22 − k

∣∣∣∣ . (2.128)

Jei ∆ 6= 0, tai bus gautas trivialusis sprendinys

α1 = α2 = 0. (2.129)

Pareikalavę, jog ∣∣∣∣a11 − k a12a21 a22 − k

∣∣∣∣ = 0, (2.130)

gauname netrivialųjį sprendinį bei randame kvadratinės lygties

k2 − k(a11 + a22)− a12a21 = 0 (2.131)

šaknis k1 ir k2. Turėsime skirtingus sprendinius, jei šaknys yra realios arba kompleksinės:

1. Jei k1, k2 ∈ R ir k1 6= k2, tai įrašome į (2.127) sistemą sprendinius bei randamekonstantas α(1)1 ir α

(1)2 (įrašę k1) ir α

(2)1 , α

(2)2 (kai įrašome k2). Gauname kelis galimus

sprendiniusy

(1)1 = α

(1)1 e

k1x, y(2)1 = α

(2)1 e

k2x, (2.132)

y(1)2 = α

(1)2 e

k1x, y(2)2 = α

(2)2 e

k2x. (2.133)

Taigi, bendrasis sprendinys bus{y1 = c1y

(1)1 + c2y

(2)1

y2 = c1y(1)2 + c2y

(2)2 ,

(2.134)

kur c1 ir c2 – konstantos

2. Jei sprendiniai kompleksiniai,

k1 = α+ βi, k2 = α− βi, (2.135)

tai bendrąjį sprendinį sudarys

y(1)1 = α

(1)1 e

(α+βi)x = α(1)1 e

αx(cosβx+ i sinβx), (2.136)

y(2)1 = α

(2)1 e

(α−βi)x = α(2)1 eαx(cosβx− i sinβx), (2.137)

y(1)2 = α

(1)2 e

(α+βi)x = α(1)2 e

αx(cosβx+ i sinβx), (2.138)

y(2)2 = α

(2)2 e

(α−βi)x = α(2)2 eαx(cosβx− i sinβx). (2.139)

Jei funkcija y(x) = u(x) + iv(x) yra realios diferencialinės lygties sprendinys, tai u(x)ir v(x) irgi bus sprendiniai. Atskyrę šių lygčių realias ir menamas dalis, bendrąjįsprendinį galime užrašyti kaip (2.134).

33

3 | Kompleksinio kintamojo funkcijų teo-rija

Definuojame menamą vienetą, pasižymintį savybe i2 = −1.

z = x+ iy (3.1)

– kompleksinis skaičius z ∈ Z, kurio reali dalis x = Re z, o menama y = Im z, x, y ∈ R, galibūti atvaizduotas kaip vektorius kompleksinėje plokštumoje (Pav. 12).

Re

Imz(x, y)

x

y

ϕ

12 pav. Kompleksinio skaičius z = x+ iy atvaizdavimas kompleksinėje plokštumoje.

Kompleksinį skaičių taip pat galima užrašyti trigonometrine forma panaudojant Eulerformulę

z = reiϕ = r (cosϕ+ i sinϕ) , (3.2)

kur r yra kompleksinio skaičiaus amplitudė r = |z| =√x2 + y2, o ϕ = arg z – kampas.

Du kompleksiniai skaičiai z1 ir z2 yra lygūs tada ir tik tada, kai jų realios ir menamosdalys yra lygios:

z1 = z2 ⇐⇒ Re z1 = Re z2, Im z1 = Im z2. (3.3)Kompleksinio skaičiaus z kompleksiškai jungtinis skaičius apibrėžiamas kaip

z∗ = x− iy. (3.4)

Iš čia galima parodyti, jog

r2 = x2 + y2 = (x+ iy) (x− iy) = z · z∗. (3.5)

ApibrėžimasKompleksinės funkcijos apibrėžimas. Jei kiekvieną kintamąjį z iš Z kompleksinių skaičių aibės

atitinka viena ar daugiau reikšmių w iš W aibės, tai w yra kompleksinio skaičiaus funkcija w =f(z), apibrėžta aibėje Z.

Kompleksinio skaičiaus z = x+ iy funkcija f (z) bus skaičius kompleksinėje plokštumojew = u + iv, todėl jo reali ir menama dalys bus x ir y funkcijos, u = u(x, y) ir v = v(x, y),atitinkamai (Pav. 13).

ApibrėžimasIšvestinės apibrėžimas. Kintamojo z pokytį ∆z = ∆x + i∆y atitinka funkcijos pokytis ∆w =f(z0 + ∆z)− f(z0) (z0 6=∞).

Jei egzistuoja riba lim ∆z→0 f(z0+∆z)−f(z0)∆z = f′(z0), tai f ′(z) = w′ yra kompleksinės funk-

cijos f(z) išvestinė taške z0. Jei f ′(z0) yra baigtinis skaičius, tai funkcija f(z) vadinama dife-rencijuojama taške z0.

ApibrėžimasVienareikšmė funkcija, diferencijuojama kiekviename srities g taške, vadinama analizine toje

srityje. Analizinės funcijos išvestinė nepriklauso nuo artėjimo prie taško krypties.

34 3 KOMPLEKSINIO KINTAMOJO FUNKCIJŲ TEORIJA

x

yz(x, y)

u

v

w(u, v)

• •

•

•

z w

13 pav. Sąryšis tarp kompleksinio skaičiaus z (x, y) ir jo funkcijos w (u, v), atvaizduotų z ir wplokštumose. Jei taškas juda z plokštumoje, tai z tašką atitinka ≥ 1 taškas w plokštumoje

3.1 Cauchy–Riemanno analiziškumo sąlygos

Cauchy–Riemanno analiziškumo sąlygaFunkcija f(z) = u(x, y) + iv(x, y) yra diferencijuojama tam tikroje srityje tada ir tada, kaiBernhard Riemann

(1826–1866) Vokiečiųmatematikas. ∂

∂xu =

∂

∂yv (3.6)

ir∂

∂yu = − ∂

∂xv. (3.7)

Įrodymas Formaliai užrašome funkcijos f (z) išvestinę taške z0:

f ′ (z) = lim ∆z→0f(z0 + ∆z)− f(z0)

∆z= lim ∆z→0

∆f(z)

∆z. (3.8)

Kompleksinės funkcijos analiziškumo sąlyga reikalauja, jog f ′ (z) nepriklausytų nuo artėjimo įz0 krypties. Suskaičiuokime išvestinę, kai artėjama išilgai realios ir menamos ašies:

1) Kai judama lygiagrečiai x ašiai, ∆z = ∆x+ i · 0 = ∆x→ 0:

lim ∆z→0∆f(z)

∆z= lim ∆x→0

∆u+ i∆v

∆x= lim ∆z→0

∆u

∆x+ i lim ∆z→0

∆v

∆x(3.9)

=∂

∂xu+ i

∂

∂xv,

f ′ (z) =∂u

∂x+ i

∂v

∂x. (3.10)

2) Kai judama lygiagrečiai y ašiai, ∆z = 0 + i ·∆y = i∆y → 0

lim ∆z→0∆f(z)

∆z= lim ∆z→0

∆u+ ∆v − i∆z

= lim ∆iy→0∆u+ i∆v

i∆y=

1

ilim ∆z→0

∆u

∆y+ lim ∆z→0

∆v

∆y(3.11)

= −i ∂∂yu+

∂

∂yv,

f ′ (z) = −i∂u∂y

+∂v

∂y. (3.12)

Pareikalavę analiziškumo (išvestinių lygumo)

∂u

∂x+ i

∂v

∂x=∂v

∂y− i∂u

∂y, (3.13)

gauname Cauchy-Riemann analiziškumo sąlygas

∂u

∂x=∂v

∂y,

∂v

∂x= −∂u

∂y. (3.14)

Cauchy-Riemann analiziškumosąlygos polinėje koordinačių sistemoje (z = reiϕ).

∂u

∂r=

1

r,

∂u

∂ϕ= −r ∂v

∂r. (3.15)

N

3.2 Funkcijų analizinis tęsinys 35

x

yz

S1S2

14 pav. Analizinės funkcijos w1 ∈ S1 ir w2 ∈ S2 vienareikšmiškumo sritys.

3.2 Funkcijų analizinis tęsinysSakykime, kad yra duota vienareikšmė, srityje S1 analizinė, funkcija w1(z) ir w2(z) – srityjeS2analizinė funkcija (Pav. 14). Galima sudaryti naują funkciją:

w(z) =

{w1(z), z ∈ S1w2(z), z ∈ S2

(3.16)

3.2.1 Γ(z) funkcija

ApibrėžimasΓ(z) yra kompleksinio skaičiaus, kurio realioji dalis yra teigiama (Re z > 0), funkcija

Γ(z) ≡∞̂

0

e−ttz−1dt. (3.17)

Ištiriame elgesį apatiniame rėžyje. Kai t→ 0, e−t → 1 ir

Γ(z)|z→0 =∞̂

0

tz−1dt =1

ztz∣∣∣∣∞

0

. (3.18)

Panagrinėkime narį tz = tx+iy = txtiy :

1. tiy = eiy ln t, bet eiϕ = cosϕ+ i sinϕ ir |eiϕ| = 1. Todėl|tiy| = 1 =⇒, kai t, y ∈ R. (3.19)

2. tx|t→0 → 0, kai x→ 0.TodėlΓ(z) bus analizinė funkcija, kur x > 0. Suskaičiuokime dydį zΓ(z):

zΓ(z) =

∞̂

0

e−tztz−1dt =

∞̂

0

e−td (tz) = tze−t∣∣∞0︸︷︷︸

=0

+

∞̂

0

e−ttzdt =

∞̂

0

e−tt(z+1)−1dt = Γ(z + 1).

(3.20)

Funkcijos Γ(z+1) = 1zΓ(z) analiziškumo sritis bus Rez = x > −1, tačiau z 6= 0. AtitinkamaiΓ(z+ 2) = z(z+ 1)Γ(z) bus analizinė, kai x > −2, x 6= −1, 0. Gauname analiziškumo tęsinįį kairę (Pav.

Gama funkcija yra jos argumento – sveiko skaičiaus – faktorialas:

Γ(1) =

∞̂

0

e−tdt = −e−t∣∣∞0

= 1

Γ(2) = 1 · Γ(1) = 1Γ(3) = 2 · Γ(2) = 2

. . .

Γ(n+ 1) = n!


x

y z

-1

Γ(z)Γ(z + 1)

15 pav. Funkcijos Γ(z) analiziškumo pratęsimas į kairę.

3.3 Integravimas kompleksinėje plokštumoje

ApibrėžimasJei plokštumos kreivę galime parametrizuoti,{

x = x(t)y = y(t),

(3.21)

kur t ∈ (a, b), tai kreivė – tolydi.

ApibrėžimasJei x(t) ir y(t) yra diferencijuojamos, tai kreivė yra glodi.

ApibrėžimasJei kreivę l galima suskaidyti į baigtinį skaičių glodžių kreivių, tai tą kreivę vadiname globaliai

glodžia kreive.

ApibrėžimasJei kreivės l galai sutampa, tai ją vadiname uždara kreive.

Parametrizuota kreivė l kompleksinėje plokštumoje

z = z(t) = x(t) + iy(t). (3.22)

Daliname ją į gabaliukus z0, z1, z2, . . . , zn (Pav. 16). Pažymime ∆zk ≡ zk − zk−1, ξk ∈

x

y

l

••

z

z1

z2zn−1

znz0

zn−2

16 pav. Glodi kreivė l kompleksinėje plokštumoje bei jos dalinimas į integralinės sumos elemen-tus.

(zk−1, zk). Galime definuoti kompleksinės, vienareikšmės ir apibrėžtos kiekviename kreivėsl taške funkcijos f(z), integralinę sumą

Sn =

n∑

i=1

f (ξi) ∆zi. (3.23)

3.3 Integravimas kompleksinėje plokštumoje 37

x

y

1

••

z

BA

2

S

17 pav. Kompleksinės funkcijos f(z) integravimo kontūras S.

Formaliai pažymėję, jog λ = max (∆zk), įvedame integralinių sumų ribos sąvoką.ˆ

l

f(z)dz ≡ limλ→0

[n∑

i=1

f(ξi)∆zi

]. (3.24)

Uždavinys 6. Suskaičiuoti funkcijos f(z) = 1 kompleksinį integralą, kai integravimokreivė C yra uždaras apskritimas.

Kadangi kontūras uždaras, jos galutiniai taškai sutampa, zn = z0, ir integralas lygus nuliui:˛

C

dz = limλ→0

[n∑i=1

∆zi

]= limλ→0

[(z1 − z0) + (z2 − z1) + . . .+ (zn − zn−1)] = zn − z0 = 0.

(3.25)N

Uždavinys 7. Suskaičiuoti funkcijos f(z) = z kompleksinį integralą, kai integravimokreivė C yra uždaras apskritimas.

Integralinėje sumoje funkcija f(ξi) = ξi, o taškas ξi yra atkarpos tarp zi−1 ir zi viduryje.Vėlgi, kadangi kreivė yra uždara, tai zn = z0 ir

˛

C

zdz = limλ→0

n∑i=1

ξi︸︷︷︸= 1

2(zi+zi−1)

∆zi

= limλ→01

2

n∑i=1

(zi + zi−1) ∆zi︸︷︷︸=zi−zi−1

(3.26)=

1

2limλ→0

[n∑i=1

(zi + zi−1)(zi − zi−1)]

=1

2limλ→0

[n∑i=1

(z2i − z2i−1)]

=1

2limλ→0

[(z21 − z20) + (z22 − z21) + . . .+ (z2n − z2n−1)

]=

1

2

(z2n − z20

)= 0.

N

Šiuos rezultatus galima apibendrinti kaip teoremą.

Cauchy teoremaJei funkcija f(z) yra analizinė ir vienareikšmė srityje S, tai jos integralas bet kuria uždara kreiveC ⊂ S, lygus nuliui,

˛

C

f(z)dz = 0. (3.27)

Integralo nepriklausomumas nuo integravimo kelio. Tarkime, turime kompleksinėsfunkcijos f(z) integralą uždaru kontūru S (A → 1 → B → 2 → A), pavaizduotą Pav. 17.Pagal Cauchy teoremą, jis lygus nuliui. Daliname integralą į dvi dalis

˛

C

f(z)dz =

ˆ

A→1→B

f(z)dz +

ˆ

B→2→A

f(z)dz = 0, (3.28)


x

y z

×aC

S

(a) a /∈ S

x

y z

C2S1

×arCr

S2C1

(b) a ∈ S, a /∈ C

x

y zC

×a

S

(c) a ∈ C

18 pav. Cauchy integralo atvejai.

gaunameˆ

A→1→B

f(z)dz =

ˆ

A→2→B

f(z)dz. (3.29)

Vadinasi, jei kompleksinė funkcija yra analizinė, jos integralas kreive tarp fiksuotų taškų Air B nepriklauso nuo integravimo kelio.

3.3.1 Cauchy integralas ir integralinė formulė

Nagrinėjame Cauchy integraląI(a) =

˛

C

f(z)

z − adz (3.30)

uždara kreive C, kurios ribojamame plote S pointegralinė funkcija yra analizinė, išskyrustašką a (funkcija f(z) yra analizinė visoje erdvėje). Išnagrinėsime kelis atvejus (Pav. 18):

1. taškas a nepriklauso sričiai S (a /∈ S);2. taškas a yra kontūro viduje (a ∈ S, a /∈ C);3. taškas a yra ant paties kontūro (a ∈ C).

a /∈ S. Integruojama funkcija f(z)z−a yra analizinė srityje S. Pagal Cauchy teoremą,˛

C

f(z)

z − adz = 0. (3.31)

a ∈ S, a /∈ C. Funkcija f(z)z−a nėra analizinė visoje integravimo srityje. Kadangi jau žinome,kad integralas uždaru kontūru, kurio viduje funkcija yra analizinė, lygus nuliui, sritį S išskai-dome į 3 sritis, iš kurių dviejose (S1 ir S2) funkcija yra analizinė. Trečia sritis Cr – radiusor apskritimu apgaubtas taškas a, kuriame funkcija nėra analizinė. Kaip matome Pav. 18b,integralai kreivėmis ties ”siūlėmis“ tarp sričių yra priešingų krypčių, tad kompensuojasi irtoks padalijimas yra visiškai teisingas. Iš trijų integralų tik trečiasis nėra lygus nuliui:

˛

C

f(z)

z − adz =

˛

C1

+

˛

C2

+

˛

Cr

f(z)

z − adz =˛

Cr

f(z)

z − adz. (3.32)

Išskaidome integralą į dvi dalis

I(a) =

˛

Cr

f(a)

z − adz +˛

Cr

f(z)− f(a)z − a dz. (3.33)

Įvertiname antrąjį narį. Jo skaitiklio modulio riba yramax |f(z)− f(a)|, o ant kontūro|z − a| = r.

∣∣∣∣∣∣

˛

Cr

f(z)− f(a)z − a dz

∣∣∣∣∣∣≤ max |f(z)− f(a)| · 2πr

r= 2π ·max |f(z)− f(a)| . (3.34)

3.4 Laurento eilutė 39

Riboje r → 0, galimos z vertės artėja prie a (z → a), taigi, max |f(z)− f(a)| → 0. Antrasis(3.33) išraiškos narys lygus nuliui. Lieka

I(a) = f(a)

˛

Cr

dz

z − a. (3.35)

Pažymime z − a = reiϕ=⇒ z = reiϕ + a, dz = ireiϕdϕ (kadangi r = const.).

f(a)

˛

Cr

dz

z − a = f(a)2πˆ

0

ireiϕdϕ

reiϕ= f(a) · 2πi. (3.36)

Cauchy integralas, kai funkcijos neanaliziškumo taškas yra kontūro viduje, yra lygus funk-cijos, iš kurios yra atmesta neanaliziškumą duodanti dalis (vardiklis z − a), reikšmei taškea, padaugintai iš 2πi:

I(a) = 2πi · f(a). (3.37)

a ∈ C. Papildome kontūrą apėjimu aplink tašką a (Pav. 18c). Integralo uždaru kontūrureikšmė lygi principiniam Cauchy integralui

˛

C

f(z)

z − adz =

C

f(z)

z − adz, (3.38)

kurffl

žymi principinę integralo reikšmę ir riboje yra lygi integralui,

c

a

g(x)dx = limε→+0

b−εˆ

a

g(x)dx+

cˆ

b+ε

g(x)dx

. (3.39)

Papildome integralą apėjimu aplink tašką a pagal laikrodžio rodyklę (pažymime integralu´

a). Kadangi mes kažką pridėjome, tą patį reikia ir atimti, kad išliktų tapatybė. Kitavertus, integralas uždaru kontūru, kurio viduje funkcija yra analizinė, lygus nuliui:

I(a) =

+

ˆ

a︸︷︷︸=0

−ˆ

a

f(z)

z − adz. (3.40)

Panaudodami tuos pačius keitinius kaip anksčiau, suskaičiuojame

−ˆ

a

f(z)dz

z − a = −f(a)ϕ0ˆ

ϕ0+π

ireiϕdϕ

reiϕ= f(a) · πi, (3.41)

kur ϕ0 yra kampas atžvilgiu taško a, Oy ašies ir taško, kur puslankis kerta kontūrą C.Suformuluojame Cauchy integralinę formulę:

˛

C

f(z)

z − adz = f(a) ·

0, a /∈ S2πi, a ∈ S, a /∈ Cπi, a ∈ C.

(3.42)

3.4 Laurento eilutėLaurent eilutė yra dar vienas galimas funkcijų skleidimas begaline eilute. Tačiau, priešingainei Tayloro skleidime, yra nariai su neigiamais laipsniais. Taipogi, Laurento eilute galimaskleisti kompleksines funkcijas taško z0 aplinkoje Pierre Alphonse Laurent

(1813–1854) Prancūzųmatematikas.

f (z) =

∞∑

n=−∞cn (z − z0)n , (3.43)


kur cn yra skleidimo koeficientai.

ApibrėžimasLaurento eilutė

∞∑n=−∞

cn (z − z0)n = . . .+c−2 (z − z0)−2+c−1 (z − z0)−1+c0+c1 (z − z0)+c2 (z − z0)2+. . . (3.44)

yra sudaryta iš reguliariosios Laurento eilutės

c0 + c1 (z − z0) + c2 (z − z0)2 + . . . (3.45)

ir pagrindinės Laurento eilutės

c−1 (z − z0)−1 + c−2 (z − z0)−2 + . . . (3.46)

Iš pradžių suskaičiuokime kompleksinės funkcijos (z − a)n, kur a – kompleksinė kons-tanta, o n – bet koks sveikas skaičius, integralą uždaru apskritimo formos kontūru C:|z − a| = R (Pav. 19).

z

•

z′′

z′

Ra

C

19 pav. Funkcijos integravimo kontūras |z − a| = R.

Tokia funkcija – vienas Laurento eilutės narys be skleidimo koeficiento cn. Atliekame kin-tamųjų pakeitimą z − a ≡ Reiϕ=⇒dz = Rieiϕdϕ,

�

|z−a|=R . . . dz =´ 2π

0. . . dϕ:

‰

C

(z − a)n dz =2πˆ

0

RneinϕRieiϕdϕ = iR(n+1)2πˆ

0

ei(n+1)ϕdϕ. (3.47)

Kai n 6= −1, galime suintegruoti:

iR(n+1)2πˆ

0

ei(n+1)ϕdϕ

∣∣∣∣∣∣n 6=−1

=Rn+1

n+ 1

[ei(n+1)2π − 1

]= 0. (3.48)

Kai n = −1,

iR(n+1)2πˆ

0

ei(n+1)ϕdϕ

∣∣∣∣∣∣n=−1

= i

2πˆ

0

dϕ = 2πi. (3.49)

Taigi,‰

C

(z − a)n dz = δn,−12πi. (3.50)

Kadangi išmokome suintegruoti vieną Laurento eilutės narį be skleidimo koeficiento cn,galime suintegruoti bet kokią kompleksinę funkciją f (z), išskleistą Laurento eilute (apibrė-žimas (3.43)) įstatydami vieno eilutės nario išraišką (3.50),

‰

C

f (z) dz =

∞∑

n=−∞cn

‰

C

(z − z0)n dz = 2πi∞∑

n=−∞cnδn,−1 = 2πic−1. (3.51)

Taigi, kompleksinės funkcijos f (z) integralas uždaru kontūru yra lygus jos skleidimo Lau-rento eilute koeficientui c−1.

Apibrėžimas

3.5 Funkcijos reziduumas 41

Laurent eilutės koeficientas c−1 yra vadinamas funkcijos f (z) reziduumu taške z0 bei žymimas

Resz=z0f (z) arba Resf (z)|z=z0 (3.52)

ir funkcijos f (z) integralas uždaru kontūru apie tašką z = z0 lygus‰

C

f (z) dz = 2πi · Resz=z0f (z) . (3.53)

3.5 Funkcijos reziduumasJei turime nevienareikšmės funkcijos f(z) izoliuotą ypatingą tašką z0, tai to taško aplinkojefunkciją galima išreikšti Laurent’o eilute:

f(z) =

+∞∑

n=−∞Cu(z − z0)u 0 < |z − z0| < r

Koeficientas C−1 prie (z − z0)−1vadinamas funkcijos f(z) reziduumu taške z0 ir žymimas

Resz=z0

f(z) = C−1 =1

2ai

˛

C

f(z)dz,

kur kontūro C apėjimo kryptis teigiama (prieš laikrodžio rodyklę).Funkcijos reziduumas be galo nutolusiame taške

Resza=∞

f(z) = −C−1 = −1

2ai

˛

C

f(z)dz

ApibrėžimasJei f(z) yra analizinė visoje išplėstinėje kompleksinių skaičių plokštumoje, išskyrus, galbūt,

baigtinį skaičių izoliuotų taškų, reziduumų suma juose bei be galo nutolusiame taškeu∑i=1

Resz=zi

f(z) + Resz=∞

f(z) = 0

Pagrindinė reziduumų teoremaJeigu funkcijoje f(z) yra analizinė ir vienareikšmė tam tikroje srityje Γ, išskyrus, galbūt, baigtinįskaičių izoliuotų taškų (z1, z2, ..., zn) ∈ Γ, tai

˛

Γ

f(z)dz =

u∑i=1

Resz=zi

f(z) · 2πi

3.5.1 Reziduumų teoremos taikymas integralams skaičiuoti

1 ATVEJIS Taškas a yra funkcijos f(z) 1 eilės polius:

f(z)f1(z)

z − a, f1(a) 6= 0

Resz=a

f(z) = limz→a

(z − a)f(z) = f1(a)

2 ATVEJIS Funkcija yra dviejų taške z0analizinių funkcijų dalmuo

g(z0) 6= 0; k(z0) = 0; k′(z0) 6= 0

f(z) =g(z)

k(z)=f1(z)

f2(z)

k(z) = f2(z) = ϕ(z) · (z − z0) (ϕ(z0) 6= 0)f ′2(z) = ϕ

′(z) · (z − z0) + ϕ(z); f ′2(z0) = ϕ(z0)

Resz=z0

f(z) = limz→z0

(z − z0) f1(z)f2(z)

= limz→z0

z − z0f2(z)− f2(z0)

− f1(z) =f1(z)

f ′2(z)


y

x1

z

r = 1

20 pav. Integravimo kontūras

3 ATVEJIS Taškas z0yra n-tos eilės polius

f(z) =f1(z)

(z − z0)nf1(z0) 6= 0

f1(z) = f1(z0) + f′1(z0)(z − z0) +

1

2f ′′1 (z0)(z − z0)2 + ...+

1

k!f

(k)1 (z − z0)k + ...

f(z)(z − z0)n = f1(z0) + f ′1(z0)(z − z0) + ...+1

(n+ 1)!f

(n−1)1 (z − z0)n−1 + ...

f(z) =f1(z0)

(z − z0)n+

f ′1(z0)(z − z0)n−1

+ ...+1

(n− 1)!f(n−1)1 (z0)

1

z − z0︸︷︷︸C−1

+ ...

Resz=z0

f(z) =1

(n− 1)!f(n−1)1 (z0)

Kitais atvejais pavyzdžiai gali netikti. Tenka skeisti funkcijas Lorano eilute z0 aplinkoježinant kitus skleidimus

Pavyzdys:

f(z) = e 1z ; ex = 1 + x+ x2

2+ ...

e1z = 1 +

1

z+

1

2· 1z2↑−1narys

+ ...+1

(n+ 1)!

1

zn−1+ ...

C−1 = 1

Resz=0

e 1z = 1, o Resz=−∞

e 1z = −1

3.5.2 Integralo´ 2π

0f (cos θ, sin θ) dθ skaičiavimas

I =´ 2π

0f (cos θ, sin θ) dθ f - racionalioji trupmeninė funkcija. Naudojami keitiniai:

1)z = eiθ

eiθ = cos θ + i sin θ

e-iθ = cos θ − i sin θ2)

cos θ =1

2

(eiθ + e−iθ

)=

1

2

(z + z−1

)

3.5 Funkcijos reziduumas 43

R−Rx

y

CRz

21 pav. Integravimo kontūras integralo´ +∞−∞ f(z)dz skaičiavimui

3)sin θ =

1

2i(eiθ − e−iθ

)=

1

2i(z − z−1

)

4)dz = ieiθdθ = izdθ

dθ = dziz˛

Cr=1

f(z)dz = 2ai∑

Resf(z)

3.5.3 Integralo´ +∞−∞ f(z)dz skaičiavimas

I =´∞−∞ f(x)dx Integralą pakeičiame į kompleksinių sk

Vilniaus universiteto Fizikos fakulteto Studentų mokslinė...

Documents

Transcript of Vilniaus universiteto Fizikos fakulteto Studentų mokslinė...