VIII. Da Leonardo Pisano agli algebristi del...

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VIII.Da Leonardo Pisano agli

algebristi del Cinquecento

L. Giacardi 2006-2007

Il primo matematico di rilievo in Occidente è

Leonardo FibonacciPisano

(ca. 1180-ca.1240)che in giovane età imparò la matematica dagli arabi nella città di Bugia, dove il padre notaio curava nella dogana gli interessi dei mercanti, e

nei viaggi successivi in Egitto, Siria, Grecia, ...


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Il frutto di questi viaggi e di questi studi è il Liber Abaci (1202) che è una summa del sapere aritmetico e algebrico del mondo arabo, seguito da altre opere minori per mole, ma altrettanto importanti.

Liber Abaci, I numeri di man dritta

Si compone di 15 capitoli - i primi 7 capitoli sono dedicati all’introduzione

delle cifre indoarabiche, alla numerazione decimale posizionale, agli algoritmi delle operazioni.

- 4 capitoli sono dedicati all’aritmetica mercantile- vi è poi un capitolo di problemi miscellanei,

fra cui problemi di “matematica ricreativa”- il cap. 13 è dedicato al metodo della falsa

posizione- i capitoli 14 e 15 sono dedicati alla teoria

delle proporzioni e all’algebra.


Evoluzione delle cifre indoarabiche

XII sec.

XIII sec.

XIV sec.

XV sec.

Inizi XVIsec.


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“Sette vecchie vanno a Roma; ognuna ha sette muli, ogni mulo ha sette sacchi, in ogni sacco ci sono sette pani, ogni pane ha sette coltelli, ogni coltello sette guaine. Si chiede la

somma di tutti”

Si tratta di sommare una progressione geometrica. L. P. considera untermine in più rispetto al problema 79 di “case e gatti” del Papiro Rhind.

Il problema della scacchieraIl problema della scacchiera

La leggenda racconta che l’inventore del gioco degli scacchi chiese al principe per cui lo inventò unaricompensa inusuale: 1 chicco di grano per la prima casella, 2 per la seconda, 4 per la terza, 8 per la quarta, raddoppiando sempre fino a raggiungere la sessantaquattresima casella.Il principe accolse la richiesta e mal gliene incolse.L. P. non cita la leggenda, ma calcola il numero totale di chicchi.


∑=

−=7

0

8 122k

k

122 1615

0

−=∑=k

k

122 3231

0−=∑

=k

k

122 6463

0−=∑

=k

k

- L.P. comincia a calcolare la somma dei primi 8 numeri che formano la prima riga: 1+2+4+8+16+32+64+128 = 255 = 256 -1 = 28 -1- moltiplica 256 per se stesso ottiene 216 = 65.536 che supera di 1 la somma dei numeri delle prime 2 righe- moltiplica 65.536 per se stesso ottiene 232 = 4.294.967.296 che supera di 1 la somma dei numeri delle prime 4 righe. - infine moltiplicando l'ultimo numero per se stesso si trova 18.446.744.073.709.551.616 = 264

che supera di 1 la somma di tutti i numeri della scacchiera, cioè di tutti i chicchi di grano.


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“Un tale mise una coppia di conigli in un luogo completamente circondato da pareti, per scoprire quante coppie di conigli discendano da questa in un anno. Per natura ogni coppia di conigli genera in un mese un’altra coppia, e cominciano a procreare a partire dal secondo mese di vita”.

Poiché la prima coppia genera nel I mese, i conigli raddoppieranno, e alla fine del mese avremo 2 coppie. Di queste solo una, cioè la prima genererà anche nel II, e quindi alla fine di questo avremo 3 coppie, due delle quali nel III mese genereranno altre due coppie, e così avremo 5 coppie, …” (p. 283)

Il problema dei conigli


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2

8

5

3

13


5

L.P. ottiene al termine dell’anno 377 coppie di conigli e osserva che non ha fatto altro che sommare “il primo numero con il secondo, cioè 1 con 2; poi il secondo con il terzo, il terzo con il quarto,…per trovare la quantità finale di 377 coppie di conigli; è così si può continuare ordinatamente per infiniti mesi successivi”.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, 233, 377,...F1, F2 , F3 ,...Numeri di Fibonacci Fn+1= Fn+ Fn-1

Una pigna con 8 e 13 spirali


Girasole con 55 spirali antiorariee 89 orarie


I numeri di Fibonacci sulla Mole di Torino

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Numeri di Fibonacci Fn+1= Fn+ Fn-1Dividiamo per Fn e poniamo an = Fn/ Fn-1, si ha:

251 è positiva

soluzione cui la ,01 ,11

relazione la verificache valore stesso uno adpiù di sempre avvicinano si

e di valorii , crescere facciamo se

,11

2

1

1

+=

=−−+=

+=

+

+

γ

γγγ

γ

γ

nn

nn

aana

a

Si tratta del rapporto aureo che nasce dal problema geometrico di tagliare un segmento AB in due parti AC e CB tali che AB : AC = AC : CB

A C B

n

n

n

n

FF

FF 11 1 −+ +=


Abacisticontro Algoristi

Leonardo Pisano diede un notevole impulso alla

diffusione in Italia delle cifre indoarabiche (sistema decimale posizionale) e del calcolo con carta e penna, ma nel resto dell’Europa

l’uso dell’abaco resistette a lungo, anche perché i

sistemi monetari e di misura non erano decimali.

Locuzioni come “prenderne uno, riportarne due, …” traggono origine dalla pratica dell’abaco.


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Lo studio della variabilità e del moto [ sec XIV]

Fu uno dei temi preferiti nelle università, in particolare a Oxford e a Parigi. I filosofi scolastici del Merton College di Oxford formularono la cosiddetta regola mertoniana: se un corpo si muove di moto uniformemente accelerato, la distanza percorsa è uguale a quella che percorrerebbe nello stesso intervallo di tempo un altro corpo con moto uniforme e velocità pari a quellaraggiunta dal primo corpo nell’istante di mezzodell’intervallo temporale.La velocità non era definita in modo rigoroso, ma era intesa come una “qualità del moto”

Nicole Oresme (1323?-1382), professore a Parigi e vescovo di Lisieux, ebbe l’idea di rappresentare geometricamente i vari moti: lungo una linea orizzontale segna dei punti che rappresentano gli istanti di tempo (longitudini) e da ogni punto innalza un segmento perpendicolare la cui lunghezza rappresenta la velocità in quell’istante (latitudini)

Moto uniforme v = costanteL. Giacardi 2006-2007

L’area del trapezio rettangolo, che rappresenta lo spazio percorso con moto uniformemente accelerato, è uguale all’area del rettangolo che rappresenta lo spazio percorso con velocità costante pari a

Con i suoi diagrammi Oresme poteva “dimostrare” la regola mertoniana

v0=0v0>0

Moto uniformementeaccelerato [uniformemente difforme]

Moto vario [difformementedifforme]

v1 v2221 vv +

221 vv +Tractatus de latitudinibus formarum

t1 t2


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Le Scuole d’AbacoLe Scuole d’AbacoIstituite fin dal XIII secolo per la formazione matematica della nuova borghesia commerciale,- costituivano un livello di studi medio preceduto da un ciclo di studi elementari,- duravano 2 anni e vi si accedeva verso i 10-11 anni, - preparavano all’esercizio di attività mercantili, commerciali ed artistiche.- erano prevalentemente pubbliche, tranne che a Venezia e Firenze (botteghe d’abaco).

Introduzione alle cifre indo arabicheAlgoritmi per eseguire le quattro operazioniLe frazioni e le operazioni con esseProblemi del tre sempliceRaccolte di problemi sulle attività mercantiliSistema monetario e di misuraAlgebra e Matematica Ricreativa


Luca Pacioli,Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioniet proportionalità, 1494


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Gli algoritmi delle operazioni

Moltiplicazione “per crocetta”37×59 = 2183

37 a) 7 × 9 = 63 scrivo 3 riporto 659 b) 6+3 × 9 + 7 × 5 = 68 scrivo 8 e riporto 6

2183 c) 6+3 × 5 = 21 scrivo 1 e riporto 2

3 7 37 = 3 ×10 +759 = 5 ×10 +9

5 9 3×5+6 7×5+3×9+6 7×9

21 68 632 1 8 3


Divisione per galera

N. Tartaglia, General Trattato, 1556L. Giacardi 2006-2007

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18456 : 17 = 1085

- il risultato è scritto cifra per cifra a destra in una casella apposita

- ad ogni passo si riscrive il divisore

- ad ogni passo si cancellano con una barra le cifre usate

Alla fine del II libro del General Trattato di Tartaglia c’è uno schema semplificato di divisione che segna il passaggio alla danda che è il nostrodanda occorre dare una nuova cifra quando si è sottratto un

prodotto parziale L. Giacardi 2006-2007

Estrazione della radice quadrataP. Cataneo, Pratica delle due prime matematiche(1546) primo testo a stampa che riporta un algoritmo per l’estrazione della radice quadrata molto simile al nostro

R. Bombelli, Algebra, 1572 (1966, p. 35)


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Le scoperte geografichesi amplia il mondo conosciuto


L’invenzione della stampacon caratteri mobili e la sua rapida diffusione grazie anche all’introduzione dell’uso della carta, favorì la riproduzione dei testi e la maggiore circolazione della cultura e il sorgere di grandi biblioteche

Johann Gensfleish, dettoGutenberg

Il maggiore stampatore dell’Umanesimo è Aldo Manuzioche nella sua tipografia a Venezia pubblica soprattutto testi classici, in particolare greci. Stampa per gli studenti i primi formati tascabili a un costo più ridotto. La precisione filologica e la lavorazione accurata rendono le sue edizioni insuperate.L. Giacardi 2006-2007

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La riscoperta dei classici greciLa matematica classica era considerata difficile ed era vista come una disciplina per pochi eletti, quindi in un primo tempo furono stampate o tradotte opere elementari.Nel ‘500 si ha però una riscoperta dei classici greci, Euclide, Archimede e Apollonio. Tra i traduttori e i commentatori si distinguono Francesco Maurolico (1494-1575) e Federico

Commandino (1509-1575).Questi studi fornirono la base

per i futuri sviluppidella matematica.

F. Commandino

F. Maurolico


La nascita della prospettiva

Mentre nel Medioevo la glorificazione di Dio era lo scopo principale della pittura, nel Rinascimento la rappresentazione del mondo reale divenne l’obiettivo primario. Questo favorì la creazione di una teoria geometrica da cui gli artisti potessero trarre regole precise per la rappresentazione piana di oggetti disposti nello spazio tridimensionale.

La prima esposizione teorica (sommaria) delle regole di prospettiva centrale si trova nel trattato Della pittura di Leon Battista Alberti (1404-1472).

Piero Della Francesca (1410?- 1492) nel De Prospectiva Pingendi perfezionò i risultati di L.B. Alberti


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La flagellazione di Cristo


La Madonna tra Santi e Angeli


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L’intreccio di interessi matematici e artistici si trova anche in AlbrechtDürer (1471-1528) che nella sua opera principale Ricerche sulla misurazione mediante cerchi e linee rette si propone di comunicare agli artisti tedeschi le conoscenze geometriche acquisite in Italia e in particolare la prospettiva.


Melanconia


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Bibliografia essenziale

Catastini L. Ghione F., Le geometrie della visione. Scienza, Arte, didattica, Springer 2004

Franci R., Alcuino di York. Giochi matematici alla corte di Carlomagno, Edizioni ETS 2005

Galuzzi P., Gli ingegneri del Rinascimento da Brunelleschi a Leonardo da Vinci, Giunti,1996

Giusti E. (a cura di) Un ponte sul mediterraneo. Leonardo Pisano, la scienza araba e la rinascita della matematica in Occidente, Il Giardino di Archimede. Un Museo per la

matematica, Firenze, 2002, pp. 7-43Giusti E., Maccagni C., Luca Pacioli e la matematica del

Rinascimento, Giunti, 1994


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