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VII. Medios VII. Medios magnéticosmagnéticos
i l i i l i1. Magnetismo en la materia1. Magnetismo en la materia
Campos ElectromagnéticosCampos Electromagnéticos® Gabriel Cano Gómez, 2010/11 ® Gabriel Cano Gómez, 2010/11
Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)
Campos ElectromagnéticosCampos ElectromagnéticosIngeniero de TelecomunicaciónIngeniero de Telecomunicación
VII. Medios magnéticosVII. Medios magnéticos1.1. Magnetismo en la materiaMagnetismo en la materia
VII. Medios magnéticosVII. Medios magnéticos
I t ió t t i étiInteracción entre sustancias magnéticasVector imanación. Magnetización
Modelado de sustancias magnéticasModelado de sustancias magnéticasTipos de magnetización
Corrientes de magnetizaciónFuentes del campo magnético de la imanación
2.2. Ecuaciones de la Ecuaciones de la MagnetostáticaMagnetostática3.3. Sustancias magnéticasSustancias magnéticas
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Interacción entre sustancias magnéticasInteracción entre sustancias magnéticasInteracción entre sustancias magnéticasInteracción entre sustancias magnéticas¿Qué son los “imanes”?¿Qué son los “imanes”?
t i t l i t i Fmsustancias naturales que interaccionan...con imanes y ferromagnéticos (Fe, Co, Ni,…)con corrientes eléctricas N
Fm Bm(r)
con corrientes eléctricasprovocan una “perturbación” magnética:
campo Bm(r) similar al de corrientes eléctricas
S
Idr ΓBmp m( )el Magnetismo es una propiedad general de la
materia (como masa, carga eléctrica,…)Fm
Bm
m M =0; U (B) < 0““Fuentes del campo” en imanesFuentes del campo” en imanes
no hay corrientes eléctricas macroscópicas≈Bdp1(r)
Fm
m2 MB=0; Um(B) < 0Bm(r) S
NB
MA=0
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no hay disipación de energía ni generadoresno sirve la ley de Biot y Savart
m1 m2m2 FmSN
ONS
C ∇Um
AUm(A) > 0
SN
Fm=−∇UmA
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o G imanes: “agregados” de dipolos magnéticos
pequeños imanes interaccionan como dipolospara pequeños imanes: B (r) ≈ B (r) F
m2 MD=0; Um(D) > 0
MC=0Um(C) < 0
NS
D
Bdp1(A)
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para pequeños imanes: Bm(r) ≈ Bdip(r) FmD
Vector imanación.Vector imanación. Magnetización Magnetización (I)(I)Vector imanación.Vector imanación. Magnetización Magnetización (I)(I)Modelado de sustancia magnéticaModelado de sustancia magnética
ΔN dipolos magnéticos en Δτ P (ΔN>>1)ΔN dipolos magnéticos en Δτ~P (ΔN>>1)¿corrientes amperianas (microscópicas)?¿dos cargas magnéticas opuestas? ¿mj? ¿m ? Δτ ∼P¿dos cargas magnéticas opuestas?
momento dipolar magnético Δτ~P:¿mj? ¿mk?ijNΔ
Δ ≈ ∑m m
SN Δτ ∼P
Vector imanaciónVector imanaciónmomento dipolar magn por unidad de volumen
1i iτΔ =Δ ≈ ∑m m
momento dipolar magn. por unidad de volumencampo vectorial: valor distinto en cada P μ0
Δ PΔmM(r)
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sustancia magnética como medio continuo:
Δτ∼P0
limP
Pτ τΔ →
ΔΔ
= mM ( )= M r
M
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gmomento dipolar en P:
momento dipolar deM:
r( )P
d dτ=m M r
( )dτ= ∫m M r
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momento dipolar de M: ( )dτ= ∫m M rM M
Vector imanación.Vector imanación. Magnetización Magnetización (II)(II)Vector imanación.Vector imanación. Magnetización Magnetización (II)(II)MagnetizaciónMagnetización
t i ti d d M( ) 0 M(r) ≠0(A)
Bdip
M
sustancia magnetizada cuando M(r) ≠ 0sólo si existe orientación dominante de dipolos Δτ ∼P
mi
( ) ≠ ⇔ Δ ≠M r 0 m 0
( ) 0
B0(r)
M
Tipos de magnetizaciónTipos de magnetización
( )P
≠ ⇔ Δ ≠M r 0 m 0P
Δ ≠m 0
Bdip
permanente (A): imanes permanentesorientación fija de cada dipolo magnético
Δτ ∼PB0
(B)M(r) ≠0
mi
Mdipolos ordenados: orientación dominante en P
no permanente (B):en ausencia de campo B (r) “externo” orienta
Δτ ∼P
0 ( )P
P∃ ⇔ Δ ≠B m 0
i
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B0(r)en ausencia de campo B0(r) “externo”, orienta-ción aleatoria (sustancia demagnetizada) B0(r) “externo” ordena los dipolos, provocan-
P
(C)M(r)=0B0
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o G do la magnetización de la sustancia
sustancias no magnéticas (C)di l i ió fij l i M
Δτ∼PM(r)=0
Δ =m 0
0
mi
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dipolos con orientación fija y aleatoria MPΔ =m 0
Corrientes de magnetización (o imanación)Corrientes de magnetización (o imanación)
μ0
Corrientes de magnetización (o imanación)Corrientes de magnetización (o imanación)Campo magnético de la imanación Campo magnético de la imanación
la sustancia magnetizada crea B (r)
M(r')
la sustancia magnetizada crea Bm(r)causado por distribución continua de dipolos
deriva de un potencial vector magnético: P A ( ) ( )
M
p gBm(r) =∇×Am(r), tal que… P´≡dτ
PdmAm(r)
0 ( ) ( )( ) d′ ′× − ′μ
∫rM r rA
r'
M
Sistema equivalente de corrientesSistema equivalente de corrientes
rBm(r)0
m 3( ) ( )( )
4dτ
π ′−′μ
= ∫ r rA r
M
de la definición y propiedades de “∇× ”…
0 0( ) ( )( ) dSdτ′′ ′∇ × × ′′μ μ
= − ∫∫rM n M rA r
Km(r')
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MCorrientes de imanación: causa “aparente” de Am(r)
m ( )4 4
dSdτπ π ∂′ ′− −
= − ∫∫ r r r rA r
MM nM(r') ∂M
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distribuciones virtuales de corriente:distribución volumétrica en M: Jm(r')=∇'×M(r')
K ( ') M( ') J (r')
P´
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distribución superficial en ∂M: Km(r')= −n × M(r') Jm(r )
Ejercicio 7.3Ejercicio 7.3Ejercicio 7.3Ejercicio 7.3Esfera de radio R uniformemente magnetizadaEsfera de radio R uniformemente magnetizada
μμ00
MM (( )) 00P
Z Am(r)
D
MMextext((rr)=)=00r
θD
MM00 O mm ==MM ττOOMM00 BB00
P'r'
mm0 0 ==MM00ττDD
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R Rm dip( )R> =rB B
R
( )R 2< = μ =r M BB
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M0= M0uz3
0 0m 4
( )R μ
π
×≥ =
m rrΑ
m dip( )
00( )R μ
< = ×r M rΑ
m 0 0 03( )R< = μ =r M BB
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4π rm 03( )R< ×r M rΑ
Ejercicio 7.3Ejercicio 7.3Ejercicio 7.3Ejercicio 7.3Esfera de radio R uniformemente magnetizadaEsfera de radio R uniformemente magnetizada
corrientes de magnetizacióncorrientes de magnetizaciónμμ00
PZ Am(r)
D
MMextext((rr)=)=00 rθD
O mm ==MM ττOOMM00 BB00
Km= M0senθ uϕ
P'r'
mm0 0 ==MM00ττDDJm=0
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R Rm dip( )R> =rB B
R
( )R 2< = μr MB
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M0= M0uz3
0 0m 4
( )R μ
π
×≥ =
m rrΑ
m dip( )
00( )R μ
< = ×r M rΑ
m 0 03( )R< = μr MB
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4π rm 03( )R< ×r M rΑ
Fuentes del campo magnético de la imanaciónFuentes del campo magnético de la imanaciónFuentes escalares. Ley de Gauss Fuentes escalares. Ley de Gauss
B (r) es solenoidal: no tiene fuentes escalares
μ0
Fuentes del campo magnético de la imanaciónFuentes del campo magnético de la imanaciónn
Bm(r) es solenoidal: no tiene fuentes escalaressus líneas salen del “polo N” de M y van al “S”
M(r')Bm(r)
m ( ) 0, ∇ =⋅B r ;0d =⋅∫ B S
continuidad de la componente normal de Bm(r): M
P´≡dτm
3
( )
P∀ ∈ 3
; 0dτ
τ∂
∀ ∂ ⊂
∫ B S
τincluso en superficie ∂M del medio magnetizado
M∂τ3ext int
m m ][ 0;P∈Σ− ∀ Σ ⊂⋅ =n B B
M
∂MFuentes vectoriales. Ley de Fuentes vectoriales. Ley de AmpèreAmpère“rot M(r)” describe las fuentes de Bm(r)
Km(r') Mext=0
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/11 M
M(r')las “corrientes de imanación” son fuentes virtuales
di i id d d i l ∂Mm ( )∇× =B r
n
m si ( ) , P0 ∈= μ ≠J r 0 M( )0μ ∇×M r
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P'discontinuidad de componentes tangenciales en ∂M:
por analogía con campo B(r) de corrientes estacionariasJm(r')ext int ][×n B B ( ) P ∈ ∂μ K r M( )μ ×n M r
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m( )m m ][ P∈∂−×n B B M m ( ), P0 ∈ ∂= μ K r M( )0= −μ ×n M r
Ejercicio Ejercicio 7.47.4
Z
Ejercicio Ejercicio 7.47.4Cilindro uniformemente magnetizadoCilindro uniformemente magnetizado
MM ((rr)) 00 μμZμ0 Z
P(0 ? )
B(P)ZMMextext((rr)=)=0 0 μμ00Z
uzSAA
J=0 P(0,ϕ?,z)
S A
Bm(A)=B(z=h/2)
M0=M0uzM
AA
uρ(ϕ)
SlatA
Bm
ρ
h >>
ar
PρP'
Prr'h
>> a
a
Jm=0 Bint
Or
O h >>
N=
nh
I
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Km= M0 uϕ
K= nIu
I
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aB SB
u a
K= nIuϕ
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−uz a