Vielteilchenbeschreibung von Plasmen Plasmen sind Vielteilchen-Systeme (GO 10 20 Teilchen,...
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Vielteilchenbeschreibung von Plasmen
Plasmen sind Vielteilchen-Systeme (GO 1020 Teilchen, langreichweitige Coulomb-Wechselwirkung)
Einzelteilchenbeschreibung nicht praktikabel
Führt auf Hierarchie von Bewegungsgleichungen für Verteilungsfunktionen(BBGKY-Hierarchie)
Problem der statistischen Mechanik: Verteilungsfunktionen
Bsp.: ,,, 111 tvrf tvrvrf ,,,, 22112
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Vielteilchenbeschreibung von Plasmen
...)3,2,1()2,1()3()3,1()2(
)3,2()1()3()2()1(,,,,,,)2,1()2()1(,,,,
)1(,,
11
11113322113
1122112
1111
hgfgfgfffftvrvrvrf
gfftvrvrfftvrf
Vereinfachung: Cluster-Entwicklung
Abbruch der Hierarchie an geeigneter Stelle, z.B. nach Zweier-Korrelation
Aber Vorsicht: in Plasmen langreichweitige Wechselwirkung!
Lösung: Aufspaltung in “mittleres Feld” und “Stöße
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1-Teilchen-Verteilungsfunktion
Dichte der Teilchen einer Sorte aus Verteilungsfunktion:
),,(ˆ),(),,( 1 tvrftrntvrf
Zahl der Teilchen im Phasenraum d3r d3v: vdrdtvrf 33),,(
Teilchenzahl-Erhaltung im System: 0),,( 33 vdrdtvrfdtd
Ohne Teilchenquellen und –senken im System folgt:
0),,( tvrfdtd
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Einschub: Euler- und Lagrange-Bild
Euler: ortsfestes Koord.system
Lagrange:mitbewegtes System
fvtfv
zfv
yfv
xf
tf
dttrdf
zyx )())((
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0
dtvdf
dtrdf
tf
dtdf
vr
1-Teilchen-Verteilungsfunktion
0),,( tvrfdtd
Aufspaltung der Wechselwirkung zwischen Teilchen in mittleres Feld und “Stoßterme”:
Stovr t
ffFfvtf
dtdf
BvEmqF
Kraft durch mittleres Feld (durch Plasmateilchen erzeugt bzw. extern):
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Die Vlasov-Gleichung
0
fBvE
mqfv
tf
dtdf
vr
Keine Teilchenstöße:
v3
0
dfqEdiv
vdfqtE
cBrot 3
02 v1
0 ErottB
0Bdiv
Mittlere Felder aus:
Poisson-Gleichung:
Maxwell-Gleichungen: Stromdichte
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Landau-Dämpfung
Elektrostatische Plasmaschwingungen in x-Richtung, Ionen unbeweglich
+
+
+
+
+
+
+
+
x
--
-
-
---
-
+
+
+
+
---
-
---
-
kleine Auslenkungen: f = f0 + f1
nur gestörtes E-Feld: E = E1
Störungsansatz:
001
11
xx v
fEme
xfv
tf
Ebene Wellen für Störgrößen: )(1
)(1
~,~ tkxitkxi effeEE
10
11 E
vf
kvmief
xxe
liefert:
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Landau-Dämpfung
v3
0
dfqEdiv
E-Feld aus Poisson-Gleichung:
xdvfeikEdxdE
10
11
10
11 E
vf
kvmief
xxe
Mit und
folgt Dispersionsrelation xx
xp dvvkvf
kn
/
/1 02
0
2
e
epe m
ne
0
2
Für Maxwell-Verteilung:
31
21
322 22
831 Dk
D
pDp e
kik
Dämpfung ohne Stöße!
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Prozess selbst ist stoßfrei, aber man braucht Stöße, um Verteilungsfunktion “wiederherzustellen”, Dämpfungsrate bleibt stoßfrei
Dämpfungsrate kann negativ werden -> Instabilitäten
Landau-Dämpfung
Anschauliches Beispiel für nichtlineare Landau-Dämpfung
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Landau-Dämpfung
Experimentelle Verifikation
Malmberg, Wharton, PRL 1966
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Betrachte Stöße zwischen 2 Stoßpartnern:
Die Boltzmann-Gleichung
Stotwf
)(
wwg
Gültigkeit beschränkt auf niedrige Dichte und kurzreichweitige Wewi (Neutralgas)
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Kinetische Gleichung für Plasmen
Debye-Abschirmung:
)/(|)(|22111122112
21),(),(),;,( TkxxqU Bevxfvxfvxvxf
D
r
er
erU
1
4)(
0
Bewegungsgleichung für f2:
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Fokker-Planck-Gleichung• In idealen (nicht schwach ionisieren) Plasmen Kleinwinkelstöße relevant, nicht „starke“ Söße• Wirkung der Stöße betrachtet als Abbremsung und langsame Diffusion im Geschwindigkeitsraum
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Abbremsung durch Coulomb-Stöße
Abbremsen (statt Ablenken)
+
t
t
vv
22sin
2sin2 tt vv
t
t
vv
,
2cos
2
cos2
sin22
cos, ttt vvv
t
zt
vv ,
2sin
2sin2 2
, tzt vv
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Abbremsung durch Coulomb-Stöße
Abbremsen (statt Ablenken)
20
22
,,1ln
4 gmneev
dtdmR
tb
tbt
tzttzt
i
+
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Coulomb-Stöße: Energieaustausch
Rutherford-Streuformel:
2
222
2/sin21
ttvmdd
04
sin2
bteedd
Zahl der einströmenden Teilchen: dtdvndN ttt
d
vtdt2
0
22
,,1ln
4 gmneev
dtdmR
tb
tbt
tzttzt
i
0
,
ddtddNvm t
ztt
zttt
tttzt vdvm
vnmR ,
2
222
2/
, 2/sin21
min
tttt
dNvndtdi
...
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Coulomb-Stöße: Energieaustausch
zttt
tttzt vdvm
vnmR ,
2
222
2/
, 2/sin21
min
)2/sin2(sin22/sin2
1 22
222
2/
,
min
t
tttttzt vd
vmvnmR
2/2/
2
2
22
2
,min
min
2/sinln42/sin
sin
tt
t
tt
tzt vm
ndvm
nR
lnln2/sinln90
2/
min bD
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Coulomb-Stöße: Energieaustausch
2/2/
2
2
22
2
,min
min
2/sinln42/sin
sin
tt
t
tt
tzt vm
ndvm
nR
lnln2/sinln90
2/
min bD
220
22
, ln4 tt
tbtzt vm
neeR
Für endliche Masse der Hintergrundteilchen:
bt
btt mm
mmm
vt: Relativgeschwindigkeit
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Abbremsung eines (thermischen) Teststrahls an Plasma
2,
2,
2,
2,
2,
11~11~,12~
11~,12~
thiitheeie
thiiii
theeei
theeee
vmvmR
vmR
vmR
vmR
• thermische Elektronen bremsen gleichermaßen an Ionen und Elektronen ab (Bedingung: vth,e >> vth,i)• thermische Ionen bremsen gleichermaßen an Ionen und Elektronen ab (Bedingung: Ti~Te)
• kein Unterschied für Teststrahl überthermischer Elektronen• überthermische Ionen bremsen verstärkt an Elektronen ab, weil
2,
2,
1112
thiifastii vmvm
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Abbremsung eines Teststrahls im thermischen Plasma
btb
bbv
tb
tbt
tzttzt vd
vvvf
mneev
dtdmR
t
i
)(ln4 2
0
22
,,
Abbremsung eines Teststrahls an Plasma
2,
2,
2,
2,
2,
11~11~,12~
11~,12~
thiitheeie
thiiii
theeei
theeee
vmvmR
vmR
vmR
vmR
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Elektronenstrahl (mi/me=25) Ionenstrahl
Abbremsung eines Teststrahls im thermischen Plasma
Abbremsung an Ionen,Relativgeschwindigkeit
i
eethieiiith m
mvmTmTv ,, ~/~/~
Abbremsung an Elektronen
Abbremsung an Ionen
Abbremsung an Elektronen
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Neben Abbremsung auch Ablenkung der Testteilchen
Abbremsung an Coulomb-Potential in Stoßterm der Fokker-Planck-Gleichung:
ibungvibungStoßt
fRe
Re,
fvfvtf ,
nDIm Ortsraum war früher:
Analog zur Diffusion im Ortsraum nun anisotrope Diffusion im Geschwindigkeitsraum:
t
vvDfD ji
ijtvD
21,
�
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Diffusion im GeschwindigkeitsraumAnalog zur Diffusion im Ortsraum nun anisotrope Diffusion im Geschwindigkeitsraum:
t
vvDfD ji
ijtvD
21,
�
FPvr CfBvEmqfv
tf
fDC vRvFP
�Fokker-Planck-Stoßterm:
Fokker-Planck-Gleichung:
Für Teststrahl, abgebremst am Hintergrundplasma:
222zyx vvv
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Änderung von Parallel- und Senkrechtenergie bei Abbremsung
Leichte Test-Teilchen:
• Impulsübertrag stark an schweren Hintergrundteilchen
• Abbremsung verbunden mit starkem Aufbau von Senkrechtenergie
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Änderung von Parallel- und Senkrechtenergie bei Abbremsung
tb
b
mmm
WW
||Für große Geschwindigkeit des Test-Strahls:
• Kleine Masse der Testteilchen: Energie-und Impulsaustausch an Hintergrundteilchen• Große Masse der Testteilchen: Energie- aber kaum Impulsaustausch an Hintergrundteilchen
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Diffusion im Geschwindigkeitsraum
q (Wärme ) (Teilchen)
ext. Heizung
Strahlung
f(u)
u
log f(u)
u ( eV )
1
0,1
0,01
Heizung
u
Winel.
inelastischeStöße
Bsp.: räumlich homogenes GG: f/ r=0 Inelatische Stöße, keine e-e-Stöße(geringer Ionisationsgrad!)
iiiiiiu uufuuuuufuu
urufruD
u)()()()()(),(,(
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elastische Stöße
Ionisation
Strahlung
inelastische Stöße
Änderung der Verteilungsfunktion durch inelastische Stöße
Verteilungsfunktion für Ar-Plasma
Abweichung von Maxwell-Verteilung durch inelastische Stöße
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Zusammenfassung
• Statistische Beschreibung von Plasmen mit Hilfe von Verteilungsfunktionen führt auf Hierarchie von Bewegungsgleichungen für Verteilungsfunktionen(BBGKY-Hierarchie)
• Vereinfachung: Cluster-Entwicklung Abbruch der Hierarchie an geeigneter Stelle, z.B. nach Zweier-Korrelation
Problem in Plasmen: langreichweitige Wechselwirkung!
Lösung: Aufspaltung in “mittleres Feld” und “Stöße
Stovr t
ffFfvtf
dtdf
Kinetische Gleichung:
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stoßfrei 0
fBvE
mqfv
tf
dtdf
vr
Die Vlasov-Gleichung
trotzdem Dämpfung (Landau-Dämpfung)
![Page 30: Vielteilchenbeschreibung von Plasmen Plasmen sind Vielteilchen-Systeme (GO 10 20 Teilchen, langreichweitige Coulomb-Wechselwirkung) Einzelteilchenbeschreibung.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062818/570491be1a28ab14218d8056/html5/thumbnails/30.jpg)
Berücksichtigung von Stößen
Boltzmann-Gleichung: Zweier-Stöße berücksichtigt
v.a. geeignet für Neutralgase geringer Dichten
in Plasmen: - langreichweitige Wechselwirkung (Coulomb-Potential) - v.a. Kleinwinkelstöße relevant
Fokker-Planck-Gleichung:
Abbremsung und Diffusion im Geschwindigkeitsraum
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Diffusion im GeschwindigkeitsraumZunächst: Diffusion im Ortsraum (schon früher behandelt)
Teilchenfluß durch Diffusionsansatz:
xxnD
xtn
)(, falls für t=0 - Funktion in x erhält man
Gauß-Verteilung:
Dtx
eDt
Ntxn 4
2
4),(
t
xD
2
21
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Einschub: Euler- und Lagrange-Bild in Hydrodynamik
vvtv
vzvv
yvv
xv
tv
dttrdv
zi
yi
xiii
)())((
Mit Kraftdichte zerlegt in externen Anteil und Kraftdichte durch benachbarte Massenelemente, folgt Euler-Gleichung:
extkpvvtv
Änderung des Bewegungszustandes ohne Kraft möglich, aber auch Stationarität trotz Kraft
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Beispiele