Unidad 2kst

K (st + x)st

mxx

Posicin de no esfuerzom

Posicin de equilibrio esttico

w

w

La segunda ley de Newton es la primera base para examinar el movimiento del sistema como se muestra en la figura de la deformacin del resorte en la posicin de equilibrio esttico en Sst y la fuerza de resorte K Sst que es igual a w=mg.

Midiendo el desplazamiento x a partir de la posicin de equilibrio esttico las fuerzas que actan en m son K (st + x) y W Si x se toma positivo hacia abajo todas las cantidades fuerza, velocidad y aceleracin son tambin positivas en la direccin vertical hacia abajo.

Aplicando la Segunda ley de Newton a la masa tenemos lo siguiente:F= maF = m

F= mW - K(st + x)= mW - kst kx = mW W Kx =m

m+ kx=0Ecuacin diferencial del movimiento+ x = 0 + w2mx = 0

Ejemplo 1

L

stm

EJEMPLO 2.1Una masa de 0.453 kg atada a un resorte ligero liviano tiene una elongacion de 7.87 mm. determine la frecuencia del sistema.

= 7.87mmF =maWn= Wn=

m = 0.453 KgWn = ? rad/segfn =?c.p.sT =?

Wn= Wn = 35.3 rad/segWn = 2fnFn = = = 5.61 ciclos/seg (hertz)T = = = 0.17 seg

Ejemplo 4La figura A muestra un block de peso w suspendido por 2 resortes teniendo como constantes de resorte K1 y K2 conectados en serie. En la figura B se encuentra soportado por 2 resortes con constantes K1 y K2 el cual se encuentra en paralelo para ambos casos. Encuentre la constante equivalente para el sistema.

ww

w

X = + = + F = + = = En la figura (B)X = F = = + F = + x = +

= ...(1) = ...(2)X = ...(3)De (3) = ...(4)

Sustituyendo en (2) = ...(5) = X - = X - X = + (6)

Ejemplo 5

= (1) = W = 2 = = = = = = ( * = * ) = + = (+ ) = + =4 + = = 4 - + = =

Ejemplo 6

Mtodo de energaSolucinWn = = T = =T = 2 seg = Wn = = = 2 Wn = 39.767 = 2K= =2K = + = 2K+2k = 4KT = 2T = 0.158 segSistema 2T = ?m = 2.26 kg = = = = 0.28 segSistema 1 T = 0.4 secM = 4.53 KgWn = = = () = = = = 1117.13 Kg/

El trabajo efectuado aumenta el desplazamiento en una diferencia de x y es ..a)La energa potencial o elstica del resorte cuando se comprime una longitud x es:p = b) = b)La energa cintica en cualquier instante es:c = = c)Sumando las energas cintica y potencial y observando que su suma debe ser igual a una constante de acuerdo con la ley de la conservacin de la energa tenemos: p + c = Constanted)La causa de que la expresin d) sea igual a una constante es razn de cambio y es igual 0(p + c) = 0

(= + ) = 0 e)2(1/2)m + 2(1/2) = 0 tenemos Ecuacin diferencial de Movimiento

m + = 0

Ejemplo 7Un manmetro utilizado en un laboratorio de mecnica de fluidos tiene una seccin transversal A uniforme, si la columna del lquido de longitud L y densidad Ro se pone en movimiento como se muestra en la figura encuentre la frecuencia del movimiento resultante en radianes, rad/seg aplicando la 2da ley de Newton y el movimiento de energa.Solucin Aplicando la 2da ley de Newton F= mPresin = F = P * A = egPresin = h = peso especfico * altura = = = = eg

Seccin Transversal ALongitud LDensidad eWn = ? (rad/seg)xxhF = eghAF =eg2xA(-)2egxA = mm =evm =eAL(-)2egxA = eALeAL + 2egxA = 0 eAL + 2gx = 0Ecuacin diferencial de movimiento Wn = rad/segAplicando el mtodo de energaEnerga CinticaEe = (EAL) K= 2egAEe = (2egA)Ep = egASumando Ee y Ep = 0 (eAL) + egA = 0(1/2egAL + 2egA = 0 eAEcuacin diferencial de MovimientoWn = rad/seg

Ejemplo 8Una viga simplemente apoyada con una carga concentrada actan en su punto medio se muestra en la figura. Si la masa de la Viga es despreciable comparada con la masa que acta. Encuentre la frecuencia natural g/rad/seg.mWn = ? Rad/segWn = K = Wn = = (rad/seg)

L

Ejemplo 9 Una viga de acero puesta en coladero tiene una longitud de 10 plg y una seccin transversal cuadrada de pulg. Un peso de 10 libras a extremo libre de la viga como se muestra en la figura. Determine la frecuencia natural rad/seg si el peso se desplaza ligeramente, desprciese la masa de la viga el mdulo de elasticidad acero=E= 30*psi

Wn = K = Wn = I = = = 3.25* Wn = = 33.64 rad/seg

Ejempl 10Un tambor para petrleo parcialmente lleno flota en mar. Determnese la frecuencia del movimiento vertical cuando el tambor flota oscilando hacia arriba y hacia abajo la densidad del agua en el mar es de 1.025 kg/mg F cpm o Hz400 mm

P = 1.025 Kg/ = Pg = (1.025 Kg/)(9.81 m/)E = v = (10.05525 N/)(/4)(400*(750*m = wg K = m = (10.9476 N)(9.81 m/) K = m = 9.2967 Kg K= 1.2634 N/mfn = fn = 0.5790 cps o Hz

150 mm

900 mm

Ejemplo 11Una mesa pesada soportada por patas de acero planas. Su periodo natural en el movimiento horizontal es de 0.4 seg. Cuando se sujeta sobre la superficie de la mesa una placa de 30 Kg el periodo natural en el movimiento horizontal aumenta a 0.5 seg. Cules son las constantes efectivas de resorte y la masa de la mesa.

T = 0.5 segT = 0.45 seg

K = m = wg w =2fWn = 2f = = ( = Wn = = = 246.74m = 157.91(m + 30)K = 246.74m = 157.91m + 4737.3 =246.74 m 88.84m = 4737.3K = 246.74(53.32) m = 53.32 Kg K = 13156.17 N/m

Tn = 0.4 seg M = 30 KgTn = 0.4 seg

Ejemplo 12Se suspende una masa de 25 Kg, de un resorte de mdulo 2 N/mm el que a su vez esta suspendido en su extremo superior de una viga de acero delgada en voladizo de espesor de 3 mm y anchura de 20 mm con longitud de 250 m. Determnese la frecuencia natural en Hz por cpm del movimiento del peso.Datos:m= 25 Kg fn = ? c/s o HzK = 2 K/mm

I = = I = I = 4.5 *

m

m

w

VigaK = = = 1728 N/m = Kx x= = = =0.1479mResorte = Kx Kx x= = = =0.1226m Wn = 2fS = 0.2645 f = = = 0.96 HzWn = = 6.09

s

m

Ejemplo 13Determnese la frecuencia natural en cps para pequeas oscilaciones, del sistema de masa nica mostrado. La masa de la polea es despreciable. Aplquese la 2da ley de Newton

Fn = cps = 2 = Kx + = 2 = 2(Kx + ) mg - 2 = m mg - 2(Kx +) = m mg 4Kx + mg = mm + 4Kx = 0 fn = cpsWn = fn = fn =

m

x

= mg

Tarea Un cilindro circular de masa m y radio r esta unido por medio de un resorte de modulo K. Si el cilindro puede rodar sobre la superficie horizontal rugoza sin deslizar, encuentre su frecuencia natural en rad/seg utilizando el metodo de Newton y el metodo de energia. Mtodo de Newton F = ma = m x = r+ Fx = m = rQ-Kx + Fr =m = r- M = = = -r = = Momento de inercia cilindro macizo = Fr = - = -r = m = -Kx + (-m/2) = -Kx = = = - - Kx = 0 + Kx = 0 = Wn = Wn =

Mtodo de Energa Energa Potencial F = Kx ; K = K = K = 2pqAEc = Ec = = (PAL) Ep = = Ep = = Ep = pqA Sumando Ec y Ep = 0( PAL + pqA ) = 0( PAL + pqA ) = 0(2)(1/2) PAL + pqAx = 0 PAL + 2gx =0 Ecuacin diferencial del movimientoWn =

Unidad 3 Vibracin Libre Con Amortiguamiento

La solucin de la ecuacin nmero (1) no puede obtenerse tan fcil como la ecuacin para vibracin simple sin amortiguamiento pero podemos hacer una consideracin de la siguiente funcin:

En donde s es igual a una constante y t igual a tiempo. Derivando esta funcin con respecto al tiempo, y sustituyendo su valor en la ecuacin (1) tenemos lo siguiente:

Si la ecuacin nmero 2 se satisface la consideracin que se ha hecho de la funcin es una solucin correcta y por lo tanto

En donde son las soluciones. La solucin ms general la obtenemos con la siguiente expresin

En donde son constantes arbitrarias.Al aclarar el significado fsico de esta ecuacin debemos distinguir dos casos depende de las expresiones de S en la ecuacin 3 ya sean reales o complejas.Cuando sea mayor que

La expresin dentro del radical es positiva siendo por lo tanto reales los valores de s ms sin embargo ambos son negativos puesto que la raz cuadrada es menor que el trmino. As la ecuacin nmero 4 describe una solucin que consiste en la suma de dos curvas exponenciales decrecientes como se muestra en la figura.

Movimiento de un sistema con un solo grado de libertad con amortiguamiento mayor que el amortiguamiento crtico Amortiguamiento crtico

Tomando como ejemplo representativo

Se ha dibujado la lnea punteada en la figura que nos muestra que el movimiento no es una vibracin sino ms bien un lento regreso a la posicin de equilibrio. Esto se debe a que cuando

El amortiguamiento C es sumamente grande.Para valores menores de C que concurren a los casos prcticos la ecuacin nmero 3 de valores complejos para al amortiguamiento C en el que ocurre esta transicin se le llama amortiguamiento crtico.

En el caso en que el amortiguamiento sea menor, la ecuacin nmero 3 se puede escribir como sigue:

de donde

Aunque el radical resulta ahora un nmero real, los dos valores de S contienen a i y como consecuencia la ecuacin 4 contiene trminos de la forma:

Con la ayuda de la siguiente ecuacion y la solucin de la ecuacin numero 4 tenemos lo siguiente:

Como son constantes arbitrarias:

Tambin sern arbitrarias.

Frecuencia natural amortiguadaFactos de amortiguamiento

Esta es la solucin para un amortiguamiento menor que el amortiguamiento crtico y consta de dos factores:

1.- Una exponencial decreciente. 2.- Una onda senoidal.

El resultado combinado es una onda senoidal amortiguada descansando en el espacio entre la curva exponencial y su imagen reflejada.

Vibracin libre de un sistema amortiguado menor que el amortiguamiento critico

Cuando ms pequea sea la constante de amortiguamiento "C" ms aplastada resultara la curva exponencial, y por lo tanto ms ciclos se requerirn para que se desvanezcan las vibraciones. La relacin de este desvanecimiento puede calcularse considerando dos mximos consecutivos cualesquiera de la curva: ya sea de "A" a "B", "B" a "C", etc. Durante el intervalo de tiempo entre los dos mximos es decir, entre:

La amplitud de vibracin disminuye de:

Esta ltima expresin es igual a la primera multiplicada por un factor constante.

La relacin entre dos mximos consecutivos es constante las amplitudes decrecen en forma geomtrica. Vamos que si es la ensima amplitud mxima de vibracin, ser la siguiente mxima y entonces tenemos:

O tambin Decremento logartmicoPara pequeos amortiguamientos tenemos: si

tambien Razn de declinacin

Ejemplo 1Para calibrar un amortiguador, la velocidad del pistn fue medida cuando se le aplica una fuerza dada. Si un peso de media libra produce una velocidad de 1.20 pulg/seg. Determine el factor de amortiguacin cuando se tiene un amortiguamiento crtico igual a 50.39 N s/mPeso= lb 0.5 lb 1.20 pulg/segCc= 50.39 Ns/m

Ejemplo 2Muchos dispositivos estn provistos de un aparato de amortiguacin viscosa y ajustable. En uno de tales dispositivos la relacin entre amplitudes sucesivas es 10 a 1. Si se duplica la cantidad de amortiguacin se pregunta cul ser entonces la relacin de amplitudes sucesivas.

Ejemplo 3Un oscilador armnico amortiguado tiene una masa m igual a 1.2 kg constante amortiguamiento C= 12 Ns/m y constante rigidez K=0.5 kN*m. Encuentre:a) Frecuencia natural amortiguamientob) El factor de amortiguamientoc) La razn de amplitudes consecutivas cualesquiera

Datosmk

x

m=1.2 kgc= 12 N/mk= 0.5 kN*m

Ejemplo 4Un oscilador armonico amortiguado tiene una masa de 30 kg, una constante de rigidez k=100000 N*m, encuentre:a) La constante de amortiguamiento para un factor de amortiguamiento de 0.01b) Decremento logartmico y la frecuencia natural amortiguada.m= 30 kgk=100,000 N/m

C=?

q=?

U es la velocidad promedio del flujo de aceite a travs de los dos agujeros. Debido a la continuidad,U= si V es la velocidad del pistn. Por lo tanto,p=Si asumimos que los agujeros son pequeos en comparacin con el dimetro del pistn y que no hay flujo en la holgura entre el pistn y el cilindro, la fuerza sobre el pistn, debido a p, esF=la constante de amortiguamiento tal como se define por la relacin F = cV, por lo tanto, esc=c=2.9 VIBRACION NATURAL AMORTIGUADAComo se ha sealado ya, una mocin que ha sido iniciado por una perturbacin inicial no contina para siempre. Muchos factores contribuyen a esta desaceleracin. El amortiguador viscoso, discutido en la Seccin 2.8, es la ms comn. Un solo grado de libertad con un sistema de amortiguador viscoso se muestra en la Figura 2.16. Si la masa est en movimiento x = x (t) en el tiempo t,

Figura 2.16 Oscilador armnico amortiguadoLa velocidad ser v=. Por lo tanto, habr una fuerza en la direccin opuesta F =-c, donde c es la constante de amortiguacin. Este parmetro depende de las propiedades fsicas de la compuerta, pero es Independiente del desplazamiento y el tiempo.Si x se mide desde la posicin de equilibrio, la aplicacin de la ley de Newton en los rendimientos de direccin verticales m= -c (2.37) Usando la frecuencia natural wn= y la introduccin de la fraccin de amortiguamiento crtico coeficiente de amortiguamiento factor de amortiguamiento modal, =c/2wn, el significado de lo ltimo se explica ms adelante, n(2.38)Esta es la ecuacin diferencial del movimiento del sistema. que se complementa con las condiciones iniciales x=x0,=v0,en t=0(2.39)

Para encontrar la solucin de la ecuacin (2.38), se utilizar la solucin encontrada para el oscilador armnico x(t)=, donde p es una constante compleja indeterminada. Insertando esta funcin en la ecuacin (2.38) se obtiene(n)=0(2.40)Esto produce la ecuacin caracterstican =0(2.41)Por lo tanto, vemos que x(t)= es una solucin de la ecuacin (2.38) a condicin de que p es una raz de la ecuacin (2.41):P1,2=(2.42)Estas races se llaman valores caractersticos o valores propios de la ecuacin (2.38). Con ellos se obtienen dos soluciones de esta ecuacin:x1(t) =,x2(t) =(2.43)dondeP1=P2=A partir de la teora de las ecuaciones diferenciales, se sabe que la solucin general de la ecuacin (2.38) ser entonces (vase tambin el Captulo 1)x(t)=c1+c2(2.44)con c1 y c2 como constantes arbitrarias. La aplicacin de las condiciones iniciales (2.39) a la ecuacin (2.44) se obtienex(0)= c1+ c2= x0, t=p1c1+p2c2= v0(2.45)Ecuaciones (2.45) dan los valores para las constantes arbitrarias c1 y c2:c1=c2=(2.46)Con estos valores de las constantes C1 y C2, la solucin de (2.44) es la nica solucin de la ecuacin (2.38) para cualquier intervalo de tiempo Para investigar el comportamiento de las soluciones de (2.43), los siguientes cuatro casos se consideran.c2=0, . El problema se puede iniciar como+nx=0(2.47)x(0)= x0, (0)= v0La solucin es la ecuacin (2.44) conp1=i,p2=- idonde i=. Si m>0 y k>0, obtenemos x(t)= c1+ c2(2.48)Usando la relacin bien conocida = cos+ i sen , tenemosX(t)= (c1+c2) cos + (c1-c2) I sen (2.49)porque , con ecuaciones (2.45) obtenemosX(t)=+(2.50)Esto representa una oscilacin armnica con velocidad angular = ya se ha discutido en la Seccin 2.6.0< < 4mk o < 1. Entonces -1 < 0 y , (2.51)

Entonces las dos soluciones pueden ser

(2.52)

Donde La solucin general es

(2.53)Usando (2.44) y (2.46), obtenemos(2.54)Por el trmino = , si m > 0 y c > 0, la solucin es una oscilacin armnica (debido a la expresin en parntesis) pero con una amplitud decreciente exponencialmente con el tiempo. La velocidad angular de la oscilacin es > 4mk o > 1. A continuacin, la solucin se da por la ecuacin (2.44) con(2.55)Donde + - La solucin dada por la ecuacin (2.53) es una funcin decreciente montonamente con el tiempo., = 1 (amortiguamiento crtico). A continuacin, la ecuacin (2.41) tiene dos races iguales,(2.56)Se observa que tambin es una solucin y la solucin general se conviertex(t)= (2.57)Donde,Este movimiento tambin no es peridico, disminuyendo con el tiempo.Estos cuatro casos se comparan en la Figura 2.17.Para la mayora de sistemas de ingeniera no deliberadamente amortiguadas, la amortiguacin constante c es muy pequea y 1. Para aquellos sistemas, por lo tanto, la frecuencia de la vibracin no difiere mucho de la frecuencia del sistema no amortiguado. Para los sistemas con alta amortiguacin, sin embargo, la frecuencia puede disminuir considerablemente. En el lmite para el valor de amortiguacin o , un llamado amortiguamiento crtico condicional, la frecuencia se convierte en cero. Esto significa que el perodo se hace infinito. En otras palabras, la amplitud nunca cruzar el eje T, pero slo se acercar a ella asintticamente. Para valores mayores de la amortiguacin constante, el resultado es simplemente que la amplitud tiende a cero ms lentamente. Esta situacin se muestra en la Figura 2.17. El significado de es equivalente ahora: es la relacin de la constante c de amortiguacin a la crtica .Las races de las ecuaciones caractersticas, que en general son nmeros complejos, se muestran en la Figura 2.18 en el plano complejo como funciones de la relacin de amortiguamiento. Trazan una curva en el plano complejo que llamamos el lugar de races.

Figura 2.17 Respuesta dinmica de un solo grado de libertad del sistema.En cuenta que a partir de m > 0, c > 0, k > 0 (en el captulo 4 discutiremos los casos en que esto no es cierto) para las ecuaciones (2.51, 2.55, 2.56) se observa que la parte real de la raz de la ecuacin caracterstica es siempre negativa, por lo que el lugar de races est a la izquierda del eje imaginario. Si , el lugar de races es un crculo y si , las races estn en el eje real negativo, que a continuacin en el lugar de races. El punto en que la rama circular del lugar de las races (movimiento oscilatorio) cruza la rama recta (un movimiento peridico) tenemos amortiguamiento crtico, = 1.Otra forma de ver la respuesta del oscilador amortiguado es el retrato de fase o diagrama de fase. Es la diagrama de la respuesta en el (x, = v) plano.

Figura 2.18 lugar de las races para el oscilador amortiguadoPara el oscilador armnico, x= v= - describe una elipse, o un crculo con una seleccin apropiada de la escala (Figura 2.19). El retrato de fase de un oscilador amortiguado es una curva espiral asintticamente se aproxima al origen. el oscilador sobreamortiguado tiene movimiento hacia el origen, que tambin se acerca asintticamente.De la ecuacin (2.54) se observa que la amplitud de la oscilacin amortiguada serX = (2.58)Las vibraciones estudiadas aqu son iniciadas por una alteracin del sistema a partir de su posicin de equilibrio. Esta perturbacin, por supuesto, ha sido posible gracias a la aplicacin de una fuerza. Despus de que el sistema se libera en el tiempo t=0, sin embargo, ninguna fuerza externa estaba actuando en l, esperar su peso y la reaccin del soporte de muelle. La vibracin es debido a que solo la perturbacin inicial y se llama vibracin natural, no amortiguada o amortiguado. Se ha visto que el sistema vibrar con una cierta frecuencia que es una funcin de las propiedades del sistema m, c, y k. Ms exactamente, depende de dos parmetros y y es Independiente de la magnitud de la perturbacin.

La amplitud de la vibracin de un oscilador amortiguado debido a un desplazamiento inicial es, de la ecuacin (2.58), para t > 0X= (2.59)

Figura 2.19 respuesta de un oscilador en el plano de fase.

Figura 2.20 Decremento logartmico.

el logaritmo de la relacin de las amplitudes de dos oscilaciones sucesivas, que difieren en el tiempo por un perodo T= 2, es(2.60) es constante y en relacin con el coeficiente de amortiguamiento, como en la ecuacin (2.60). Se llama el decremento logartmico y es una cantidad medida fcilmente. La mxima vibracin durante un perodo se mide, y a continuacin, para ms exactitud, otra amplitud de despus de n ciclos (Figura 2.20). Entonces(2.61)ya que normalmente 1.La amortiguacin constante c es una propiedad de un dispositivo especfico. El coeficiente de amortiguamiento y el decremento logartmico son propiedades del sistema.Para fines de diseo, que no siempre queremos un sistema que se va amortiguado crticamente, porque cuanto mayor es la amortiguacin, ms tiempo que el sistema necesita para volver al equilibrio. El concepto de rebasamiento, igual a se utiliza a menudo. El sistema est diseado con amortiguacin menor que el crtico, de manera que la amplitud mxima durante la oscilacin ser un cierto porcentaje del desplazamiento inicial. Valores de diseo tpicos son 5% a 10% de exceso, lo que significa que y 0.10, respectivamente.

Unidad 4Vibracin forzada sin amortiguamiento

mkxFosinwt

Suponiendo que la funcin pueda satisfacer la ecuacin 1, en efecto sustituyendo tenemos:

Sustituyendo en la ecuacin 1

Sustituyendo el valor de x0 en la funcin tenemos:

La ecuacin nmero 2 es una solucin particular de la ecuacin 1. La expresin es la deformacin esttica del resorte bajo la carga constante F0 por lo tanto se puede escribir lo siguiente.

Solucin particular de vibracin forzada sin amortiguamiento

Esta solucin no puede ser la solucin general de vibracin forzada ya que deben contener 2 constantes de integracin y esta puede verificarse fcilmente por sustitucin.

Ecuacin general de vibracin forzada sin amortiguamiento.

Problema 1Un oscilador armnico no amortiguado tiene una masa m=15 kg y rigidez 600000 N/m. Encuentre la amplitud de la respuesta o una excitacin armnica de amplitud F0= 30 N y frecuencia:a) W= 50 rad/segb) W= 190 rad/segc) W= 500 rad/seg

W= 50 rad/seg

W= 190 rad/seg

W= 500 rad/seg

Problema 2Un calentador de 55 N esta suspendido desde el techo con un resorte con rigidez de 1100 N/m es forzado a vibrar por una fuerza armnica F0=5 N.No considerando amortiguamiento encuentre:a) La frecuencia natural del sistema de vibracin forzada.b) Amplitud de vibracin cuando se tiene W=55 NK=1100 N/mFo= 5 NW/wn= 0.1, 0.3, 5, 10

Problema 3Un oscilador armnico no amortiguado tiene una masa m=0.3 kg y rigidez 1000 N/m. Encuentre la excitacin armnica base que resulta de una amplitud de 0.5 mm y una frecuencia de excitacin w=377 rad/seg.m= 0.3 kgk= 1000 N/mx= 0.5 mmw=377 rad/seg.

Problema 4Un oscilador armnico no amortiguado excitado F0= 30 N, a una frecuencia de excitacin w= 350 rad/seg, la amplitud de vibracin ser de 0.2 mm y a una frecuencia w=500 rad/seg. La amplitud ser de 1.2 mm. Encuentre la masa y rigidez del oscilador.F0= 30 NW1= 350 rad/segw= 500 rad/segx1= 0.2 mmx2= 1.2 mm

Problema 5Un oscilador armnico no amortiguado tiene una masa m= 15 kg y rigidez 600000 N/m, tiene una fuerza de excitacin desconocida de amplitud constante y frecuencia w= 30 rad/seg. La amplitud de vibracin deber ser medida 0.6 mm. Encuentre la amplitud de la fuerza de excitacin:m= 15 kgk= 600000 N/mw= 30 rad/seg

Problema 6Una maquina montada en 4 resortes vibra como el sistema de la figura, debido a una masa m que gira alrededor al eje de la mquina.Determinar la amplitud de vibracin forzada usando los siguientes datos:Peso de la masa giratoria m= 4.45 N, peso de la maquina incluyendo la masa giratoria M=222 N, r= 5.08 cm, la constante de resorte combinada de los 4 resortes iguales k=1750 N/cm y velocidad giratoria=300 rpm

m= 4.45 NM=222 Nr= 5.08 cmk=1750 N/cm

Unidad 5Vibracin forzada de un sistema amortiguado: excitacin armnicaUn sistema de un solo grado de libertad con una amortiguacin viscosa y una fuerza externa actuando sobre una masa m es mostrado en la figura 3.3. Esta fuerza F puede ser constante o variar con el tiempo =(t). Del diagrama de cuerpo libre de la figura 3.3, aplicando la segunda ley de Newton en la direccin del desplazamiento X:m = - c - k x + (t) (3.1)om + c + k x = (t) (3.12)Esta ecuacin, en general, tiene que ser complementada con las condiciones inicialesx (0) = x0 , (0) = v0Se espera que la solucin a este problema sea una funcin x(t) la cual satisface la ecuacin diferencial y las condiciones iniciales.Suponiendo que podemos encontrar una funcin xs(t) la cual satisface la ecuacin diferencial (3.12) pero no satisface, en general, las condiciones iniciales (3.13). Esta es una solucin particular para la ecuacin diferencial (3.2). Por lo tanto,m s + c s + k xs = (t) (3.14)Podemos tratar de encontrar la solucin x(t) de la formax(t) = xs(t) + xh(t) (3.15)donde xh(t) es una funcin que se puede determinar.Sustituyendo en la ecuacin (3.12), obtenemosm h + c h + k xh = 0 (3.16)Por lo tanto, xh(t) es la solucin de la ecuacin diferencial homognea, eso es, para el problema de vibracin natural. Las condiciones iniciales, ecuacin (3.13), se transforman:Xh0 = Xh(0) = X0 Xs(0), (3.17a)Vh0 = Vh(0) = ht=0 = V0 - st=0 (3.17b)La ecuacin (3.16) y (3.17) definen el problema de vibracin natural, tal como el resuelto en el Captulo 2. Para resolver el problema No Homogneo, por lo tanto, se debe proceder de la siguiente manera:

1. Encuentre una solucin particular Xs(t) de la ecuacin (3.12)1. Usando el valor de la funcin Xs y su derivada cuando el tiempo t=0, formule las condiciones iniciales (3.17)1. Resuelva el problema homogneo (3.16), (3.17)1. Sume las dos soluciones Xs(t) + Xh(t) Fuerza Armnica de una Amplitud Constante f(t) = F0 cos tA partir de cost = Re(eit), podemos asumir que la fuerza es f(t) = F0 eit y la parte real de la respuesta compleja ser la solucin.Una fuerza compleja no tiene significado fsico; no obstante, es un concepto muy usado al extraer una respuesta para la excitacin armnica. Aqu F0, son dos constantes dadas, la fuerza armnica y la velocidad angular, respectivamente. Nuevamente la solucin se encuentra tratando la funcin Xs(t) = X eit. ObtenemosX = F0/[(-2m + k) + ic] (3.18)Multiplicando el lado derecho de la ecuacin (3.18) por (-2m + k) + ic y separando las partes imaginarias de las reales, obtenemos:X = F0{(-2m + k) /[(-2m + k)2 + 2c2] - ic/[(-2m + k)2 + 2c2]} (3.19)Del algebra de nmeros complejos, sabemos que todo numero complejo x + iy puede escribirse como X + i y = Rei (3.20)Donde R = (x2 + y2) y tan = y/x. Por lo tanto, (3.19) puede ser escrita como:X = F0/[(-2m + k) + (c)2] e-i, tan = c/(-2m + k) (3.21)La solucin Xs(t), por lo tanto, es la parte real de la ecuacin (3.21):Xs(t) = [F0/[(-2m + k)2 + (c)2] cos(t - ),Tan = c/(-2m + k) (3.22)En trminos de los parmetros adimensionales, dividiendo el numerador y el denominador entre k obtenemosXs(t) = (F0/k)/[(1 (/n)2)2 + (2/n)2] cos(t - ),Tan = 2(/n)/[1 (/n)2]. (3.22b)En adicin al termino Xs(t) para una fuerza externa f(t), la solucin al problema de vibracin tuvo otro termino, Xh(t), cuando refleja las condiciones iniciales. No importando cuales sean las condiciones iniciales, sin embargo, esta funcin se aproxima a cero despus de haber transcurrido el tiempo suficiente, si C y K son positivos. Esta solucin depende de las condiciones iniciales y aparece por cortos periodos de tiempo antes de que el amortiguamiento cause su ralentizacin. Esta es una forma de vibracin transitoria. La solucin Xs(t) depende de la funcin de la fuerza f(t) y no solo de las condiciones iniciales. Mientras que, la solucin Xh(t) disminuye. La vibracin restante, por lo tanto, puede ser Xs(t) y X(t) Xs(t) cuando t. En muchos problemas prcticos, Xs(t) es una funcin armnica con amplitud constante ya que la fuerza de excitacin es parecida. La solucin Xs(t) y la vibracin representadas, en este caso, son llamadas solucin en estado estable y vibracin en estado estable. En la mayora de los problemas de vibracin esta solucin solo es importante bajo una fuerza de excitacin.Para la excitacin armnica, f(t) = F0 cos t, la solucin fue encontrada en la ecuacin (3.22). Se pudo encontrar en el Captulo 2 que la solucin al sistema homogneo descrito por la ecuacin diferencial (3.16) y las condiciones iniciales (3.17) es (3.23a) (3.23b)Donde

Y la solucin completa

+ (F0/k)/[(1 (/n)2)2 + (2/n)2] cos(t - ), (3.24) Tan = 2(/n)/[1 (/n)2].Donde, de la ecuacin (3.17),

La ecuacin (3.24) nos da la solucin completa para el problema de una fuerza armnica f(t) = F0 cos t. se puede observar que las condiciones iniciales en la solucin transitoria (3.23) no son exactamente X0 y V0 , pero incluyen los valores iniciales de la solucin de estado estable Xs(t) como en la ecuacin (3.17). Esto es fsicamente comprobable si consideramos que una aplicacin repentina de la fuerza es una perturbacin en s y da lugar a un fenmeno transitorio.La vibracin representada por la ecuacin (3.24) es graficada en la figura 3.4. Las siguientes observaciones se pueden hacer en este punto:1. Los dos movimientos se superponen; es decir, se aaden algebraicamente.1. Despus de haber pasado tiempo suficiente, prcticamente solo queda la solucin del estado estable. La solucin transitoria, por lo tanto, es importante solo por un periodo de tiempo limitado.1. El efecto de las condiciones iniciales va disminuyendo con el tiempo.En el caso de C = 0, se seal en la seccin previa que ambas la vibracin transitoria y en estado estable coexisten por siempre, mientras que la solucin transitoria tenga una amplitud constante. En sistemas de ingeniera, sin embargo, algunas veces la amortiguacin es muy pequea en muchos casos lo suficiente como para ser descartada, lo cual es suficiente para disminuir la vibracin transitoria por suficientemente largo tiempo.El resultado de la fuerza dado por la ecuacin (3.22) esta graficado en la figura 3.5 y 3.6. En el caso donde = 1, la vibracin en estado estable tiene una grande amplitud. Por lo tanto, una maquina operada con una velocidad de rotacin igual o aproximada a su frecuencia natural estar sometida a una vibracin elevada ya que siempre hay alguna, aunque muy pequea, excitacin.

Esta situacin fue llamada resonancia en la Seccin 3.2.2 Evadir la resonancia es uno de las metas de la asignatura. En las situaciones prcticas, siempre hay algo de amortiguamiento C as que el denominador en la ecuacin (3.23) nunca ser cero. En este caso, se puede probar que la amplitud mnima en la ecuacin (3.21) ocurre para = n (1 - 22)1/2. Para mquinas y estructuras, la mayora del tiempo < 0.1; sin embargo, la resonancia ocurre cuando 1 > /n > 0.98. Usualmente /n = 1 es tomado como resonancia ya que incluso en los sistemas con alto amortiguamiento la curva de resonancia es llana y el error de clculo de la amplitud mxima cuando /n = 1 es descartable. Este error es menor a 1% para < 0.1, y arriba de 10% para 0.1 < < 0.5, y mayor para > 0.5.A la velocidad de resonancia, la amplitud no es infinita pero para un bajo amortiguamiento C puede tener valores muy grandes. Esto ser ejemplificado ms adelante en este captulo. 2Fuerza de vibracin y resonancia fueron estudiadas experimentalmente por Galileo Galilei, 1638. Discorsi e demonstrationi matematiche intorno a due nuove scienze atteneti alla mechanica e ai movimenti locali. Traducido por Crew, H. y de Salvio, A. 1914. New York: Macmillan.

Una observacin adicional es que el termino (F0/k)/[(1 (/n)2)2 + (2/n)2] en la ecuacin (3.22b) es la amplitud de vibracin para la vibracin del estado estable. Esta consiste en dos factores:

1. F0/k es la deflexin esttica, si la fuerza F0 est actuando en el sistema.1. H() = 1/[(1 (/n)2)2 + (2/n)2] es un factor que no depende de la excitacin pero solo de las propiedades del sistema (Teorema de Pitgoras) y puede amplificar la deflexin esttica F0/k:X(t) = (F0/k) H() cos (t - ) (3.25)

Por esta razn es llamado factor de amplificacin. En resonancia, /n = 1, el factor de amplificacin se convierte en = 1/2. Estas cantidades llamada factor de cualidad. Este factor puede ser un poco grande para maquinaria donde en muchas ocasiones es ms pequeo que 0.01. Por esta razn, si se espera una operacin con resonancia, la maquina deber ser diseada con suficiente amortiguamiento para limitar la amplitud de resonancia. Adems, se debe observar que para valores pequeos de amortiguacin, esto ltimo es importante solo cerca de resonancia. Para una respuesta dinmica para frecuencias alejadas de resonancia, un sistema sin amortiguacin puede ser suficiente. Esto se puede ver en la figura 3.5 donde /n < 0.3 o /n > 2 la amortiguacin solo tiene pequeos efectos y los resultados de amortiguamiento o no amortiguado son muy cercanos.

Para /n = 0 la frecuencia de excitacin es cero, la fuerza es esttica, y el resultado es el desplazamiento esttico, F0/k = 1. As, para pequeas frecuencias de excitacin, /n > 1, la inercia es un factor dominante y la rigidez tiene un efecto despreciable. La lnea punteada b en la figura 3.5 indica la solucin para el caso de una vibracin por rigidez pura controlada (/n >> 1). Podemos ver que para una larga /n las dos soluciones coinciden. Por ejemplo, cuando /n < 0.5, la masa puede ser despreciable y podremos considerar la fuerza de excitacin como esttica, mientras que si /n > 10 la rigidez tiene un efecto pequeo y podemos hacer frente a la dinmica de la masa como un cuerpo libre.

Ejemplo 1. Unidad 5Una parte de una mquina, m= 1.95 Kg vibra en un medio viscoso, determine el coeficiente de amortiguamiento si un fuerza excitatriz de 24.46 N genera una amplitud de resonancia de 1.25 cm con periodo de 0.20 seg.Datosm=1.95 KgFo= 24.46 NX= 1.85 cmT= 0.20 seg

T = 2 K = m K =

Ejemplo 2. Unidad 5Un preso unido a un resorte de 525 tiene un amortiguador viscoso. Cuando el peso es desplazado y dejado libre, el periodo de vibracin resultante es de 1.80 seg, y la razn de dos amplitudes consecutivas es 4.2 a 1. Halle la amplitud y fase cuando una fuerza F0 =2 cos 3t acta en el sistema.

Ejemplo 3. Unidad 5Una maquina tiene una frecuencia resonante a 400 rpm se soporta sobre 4 resortes de acero para los cuales puede despreciarse el factor de amortiguamiento. A 1200 rpm, la amplitud de movimiento no amortiguado es 0.5 mm. Cul sera la amplitud si los resortes de acero se remplazan por 4 aisladores de hule con = 0.25? La frecuencia resonante permanece sin cambio.Datos1= 400 rpm = 02= 1200 rpmX= 0.5 mm2= 0.251 = 2

=

Ejemplo 4. Unidad 5.Un oscilador armnico amortiguado tiene una masa m= 6 Kg, C= 35 Ns/m y K= ? La fuerza de excitacin armnica es F0= 10 N, la frecuencia de excitacin = 250 rad/seg , y la amplitud de vibracin medida ser de X= 2.5 mm. Encuentre la rigidez del resorte.

K supuestaCalculo

10000.010692321

5000.01067805317

100.01066410758

-10.01066379494

-100000.01095582071

Conclusin : no se puede llegar a solucin

TRANSMISIBILIDAD (UNIDAD 6)Con el fin de reducir tanto como sea posible la cantidad de fuerza transmitida a los cimientos debida a la vibracin de una maquinaria, las maquinas estn generalmente aisladas de los cimientos, montndolos sobre resortes y amortiguadores. Como resultado, la fuerza transmitida a los cimientos es la suma de la fuerza del resorte y del amortiguador es decir:FT=Kx+C La transmisibilidad sedefine como la relacin de la fuerza transmitida entre la fuerza aplicada. En el caso, en que una maquina se encuentre montada sobre resortes, la fuerza transmitida a la subestructura por la maquina es la fuerza de resortes, que tiene una amplitud Kxo (sin considerar amortiguamiento).

Diagrama de resonancia para el movimiento absoluto de un sistema cuya masa est sujeta a una fuerza de amplitud constante y frecuencia variable.De la figura anterior la ordenada representa la razn de desplazamiento mximo de la masa con respecto al desplazamiento esttico.

Una sustentacin mediante resortes sumamente sensible evita la transmisin de vibracin a la cimentacin.

Si:

(Cuando utilices resortes)En el caso que se tenga amortiguador la fuerza transmitida ser: Se puede describir la ecuacin de movimiento del diagrama de cuerpo libre de la figura representada en la forma siguiente:PoSent-Kx-Cx=mxLa solucin de la ecuacin es:X=XO Sen(t-p)En la amplitud es:

Y el angulo es:

X=XO Sen(t-)El desplazamiento en cualquier tiempo t esta dado por X=Xo Sen(t-)Por lo tanto la fuerza transmitida sera: FT=Kx+C FT= KXO Sen(t-) + cXO Cos(t-)Para determinar el mximo valor de la fuerza transmitida en un ciclo de vibracin se puede maximizar la ecuacin anterior en la forma siguiente:FT= KXO Sen(t-) + cXO Cos(t-)

La transmisibilidad es la relacin de la fuerza transmitida mxima a la funcin de excitacin Po sustituyendo el valor Xo dentro de la ecuacin anterior.

M= Esta relacin entre la amplitud del desplazamiento en estado estacionario y el desplazamiento que producira una fuerza esttica igual a PoSustituyendo 5 en la ecuacin nos queda:

FT=Kx+C FT=Kx

Cuando:

Cuando: TR= debe estar en %Cuando la maquina este sustentada por resortes y amortiguadores

Ejemplo 1 Unidad 6Un delicado instrumento aeronutico, que est montado sobre 4 aisladores de hule que tiene una deformacin nominal de 5 mm. Lo anterior significa que la deflexin esttica del aislador en el equilibrio es de 5 mm. Cul es la relacin de transmisin de la de la vibracin transmitida al instrumento a 1800 rev/min?Sst=5mmn= 1800 rpmTR=?

=188.5 rad/seg

r=4.26r2=18 TR=5.8%

Ejemplo 2 Unidad 6Para compactar dinmicamente arena y grava se usa un compactador vibratorio elctrico. Este se halla mantenido en el bastidor de una aplanadora de rodillo y est suspendido en ese bastidor, por 6 aisladores de hule que trabajan en corte. El motor elctrico, suministra 4200 golpes/min. El compactador y motor pesan 200 kg. El mdulo de resorte del hule es 25 Nmm y se usan 6 para cada compactador cunta fuerza se transmite al bastidor de la aplanadora?n=4200rpmk=25Nmmm=200kg6 aisladoresFT=?

=429.82 rad/seg2=1934416 1/s2

TR=3.89x10-3FT= TR-FOFT= 3.89x10-3x200x9.81FT= 7.63 N

Ejemplo 3 Unidad 6Se tiene una mquina de 200 lb bajo los efectos de una fuerza de amortiguamiento Fo=mru2 en la que m es una masa de 4 lb a un radio de manivela R=2in. Se desea operar la manivela a 6000 rpm. Determina la amplitud de vibracin y la fuerza transmitida al cimiento de 6000 rpm y a una velocidad critica cuando:a) No hay amortiguadorb) Cuando hay amortiguador y =0.25

FO=mr2FO=8181.5

FT= TR-FOFT= (8181.5)(0.041823)FT= 335.44 lb

Ejemplo 4 Unidad 6Una fuerza de sacudimiento igual Fo=mrw2 en la que m=5 lb, r=1.5 pulgadas y la velocidad de rotacin es igual 2800 rev/min determina la fuerza vibratoria transmitida a los cimientos de la mquina, si esta fija rgidamente.Determinar la fuerza vibratoria transmitida, la maquina est montada sobre resortes como se muestra en la figura. Y la frecuencia natural del sistema es de 1000 ciclos/min.Determinar la amplitud de vibracin si se cambi el peso de la mquina de 200 a 100 libs Cul es el efecto sobre la fuerza transmitida y su amplitud? FT=?X=?n=2800 rpm

k=(104.7197)2(200/38.6)k=5681.98