5. VEROVATNOSNI PRORAČUNELEMENATA MAŠINSKIH SISTEMA

zadatakZakoni raspodele napona i čvrstoće u nekom mašinskom elementu mogu se aproksimirati normalnom raspodelom sa sledećim parametrima:

ms = 24 MPa - matematičko očekivanje napona,ss = 2 MPa - standardno odstupanje napona,mc = 32 MPa - matematičko očekivanje čvrstoće isc = 4 MPa - standardno odstupanje čvrstoće. Odrediti pouzdanost elementa.

; ;

; ; .

; Þ

za Þ ; za Þ ;

;

; .

zadatakMašinski deo može da izdrži rasipanje snage po normalnom zakonu raspodele sa mPi = 100 W i sPi = 4 W. Stvarna snaga koja se razvija u

toku eksploatacije takođe se ponaša po normalnom zakonu raspodele sa mP = 90 W i sP = 3 W. Kolika je verovatnoća da u toku eksploatacije neće nastupiti otkaz mašinskog dela.

Na osnovu vrednosti parametara normalne raspodele:W i W; pouzdanost se određuje

iz izraza:

.

zadatakZakonitost raspodele čvrstoće C i napona S u nekom elementu je lognormalna sa sledećim parametrima: M(C)=100 MPa, sc=10 MPa,

M(S)=60 MPa i ss=20 MPa.Kolika je verovatnoća ispravnog rada ovog elementa.

; .

Parametri , , i predstavljaju matematička očekivanja odnosno standardna odstupanja slučajnih veličina lnS odnosno lnC, raspoređenih po normalnom zakonu pa je: , , ,

.Simbol M označava matematičko očekivanje a simbol V varijancu.

Korišćenjem teorije verovatnoće može se pokazati da je:

; ; ;

;

;

;

;

.

Verovatnoća ispravnog rada je:

.

zadatakČvrstoća C i napon S pokoravaju se lognormalnoj raspodeli sa sledećim parametrima: M(C)=150 MPa, M(S)=100 MPa i ss= 15 MPa.

Treba odrediti maksimalno dopušteno standardno odstupanje čvrstoće sc, za koje je verovatnoća R > 0,979.

;

;

;

;

Þ ;

;

;

; ;

;

MPa.

zadatakČvrstoća elementa ima normalnu raspodelu sa parametrima MPa i MPa. Naponi koji se javljaju u njemu usled

spoljašnjeg opterećenja imaju eksponencijalnu raspodelu sa matematičkim očekivanjem MPa. Izračunati verovatnoću ispravnog rada ovog elementa.

Gustina raspodele čvrstoće je:

a napona:

.

Zamenom ovih izraza u opštu jednačinu pouzdanosti dobija se izraz za pouzdanost:

.

· Metoda parcijalnih izvodaNeka je slučajna promenljiva Z funkcionalno vezana sa slučajnim

promenljivim X i Y koje pripadaju normalnoj raspodeli:.

Za nalaženje srednje vrednosti slučajne veličine Z koja je funkcionalno vezana sa međusobno nezavisnim veličinama X i Y primenjuje se razvijanje date funkcije u Tejlorov red.

Ako se funkcija Z razvije u Tejlorov red u okolini tačke i i ako se zanemare članovi višeg reda, sledi da je srednja vrednost slučajne veličine Z približno jednaka:

. Na sličan način se dobija i približan izraz za standardno odstupanje:

, pri čemu se parcijalni izvodi uzimaju za

i .U opštem slučaju ako je Z funkcija n slučajnih promenljivih veličina :

, tada je srednja vrednost približno jednaka:

,a standardno odstupanje:

pri čemu se parcijalni izvodi uzimaju .¨ Ako je Z = X ±Y, pri čemu su X i Y statistički nezavisne, onda je srednja

vrednost: . Pošto je i , primenom metode

parcijalnih izvoda dobija se izraz za standardno odstupanje: .¨ Ako je Z=X×Y, pri čemu su X i Y statistički nezavisne, dobija se da je

srednja vrednost . Kako je i dobija se izraz za stan-

dardno odstupanje: .¨ Ako je Z = X/Y, pri čemu su X i Y statistički nezavisne, srednja vrednost

je: . Parcijalni izvodi z po x i y su: i pa se

primenom razmatrane metode dobija da je:

.

· Pri razmatranju pouzdanosti u procesu konstruisanja mašinskih elemenata polazi se od sledećih pretpostavki:

- Napon usled spoljašnjeg opterećenja je nezavisan u odnosu na čvrstoću materijala;

- Naponi, odgovarajuće karakteristike materijala i geometrijske mere su normalno raspodeljene slučajne promenljive veličine ili se mogu na odgovarajući način aproksimirati normalnom raspodelom;

- Promene u geometriji poprečnog preseka su simetrične u odnosu na neutralnu osu;

- Nivo pouzdanosti je specificiran.

zadatakIzračunati pouzdanost već konstruisanog mehaničkog elementa, konkretno šipke koja je opterećena na istezanje. Date su sledeće

veličine: sila koju šipka treba da izdrži kN, prečnik šipke D = 6,0 ± 0,3 mm i materijal čelik Č4130 čija je zatezna čvrstoća

Mpa.

Prečnik šipke D dat u obliku nominalne mere i tolerancije. Za potrebe rešavanja zadatka to treba izraziti preko srednje vrednosti i standardnog odstupanja. Za srednju vrednost se uzima nominalna mera, pa je:

= 6,0 mm, dok se obično uzima da je visina tolerancijskog polja jednaka šest standardnih odstupanja, tj:

[mm] Þ mm.Srednja vrednost poprečnog preseka šipke se izračunava iz izraza:

[mm2],

a standardno odstupanje:

[mm2].

Srednja vrednost napona biće:

[MPa],

a standardno odstupanje:

[MPa].

Prema tome, napon je slučajno promenljiva veličina koja se može napisati u obliku:

Mpa.Čvrstoća materijala je zadata i ako se dalje zamene vrednosti za čvrstoću i

napon u izraz za donju granicu standardizovane normalne raspodele dobija se sledeće:

.

Koristeći tabelu za standardizovanu normalnu raspodelu dobija se pouzdanost elementa:

.

zadatakPotrebno je da se proračuna prečnik šipke opterećene na istezanje tako da njena pouzdanost bude jednaka R = 0,999. Materijal je čelik 4130 sa

čvrstoćom MPa, a sila koju šipka treba da izdrži kN.

Srednja vrednost poprečnog preseka je: , a standardno

odstupanje:

.

Srednja vrednost napona za u mm je:

[MPa].Odnos između standardnog odstupanja i srednje vrednosti naziva se

koeficijent varijacije, i što je on manji vrednost slučajne promenljive manje varira oko svoje srednje vrednosti. Ako se za prečnik šipke uzme da je koeficijent varijacije jednak 0,02 dobija se da je standardno odstupanje: . Sada je standardno odstupanje napona jednako:

[M

Pa];

Þ

.

Slede dva rešenja za : mm i mm.

Prvo rešenje daje pouzdanost od svega 0,001 ili 0,1%. (Iako prvo rešenje zadovoljava kvadratnu jednačinu ono ne zadovoljava polaznu jednačinu jer se dobija da je -3,09 = 3,09. Na osnovu ovoga može se zaključiti da to nije pravo rešenje.) Prema tome, prečnik šipke treba da iznosi = 6,379 mm da bi se ostvarila tražena pouzdanost od 0,999 ili 99,9% .

Kako je standardno odstupanje: mm, tolerancija za prečnik šipke biće (uzimajući u obzir da se ona uzima kao šest standardnih odstupanja):

[mm].Znači treba izraditi šipku sa prečnikom:

mm.Na visinu tolerantnog polja može se uticati menjanjem koeficijenta

varijacije. Tako, ako se u ovom primeru želi uže tolerantno polje, odabraće se koeficijent varijacije manji od 0,02.

zadatakKako bi se odredio prečnik šipke iz prethodnog primera ako bi se koristio klasičan proračun, tj. ako bi se šipka dimenzionisala na bazi

stepena sigurnosti. Recimo da je konstruktor odredio da je traženi stepen sigurnosti u odnosu na zateznu čvrstoću jednak dva.

Þ

[mm].

Izračunatoj vrednosti prečnika šipke D = 6,379, za verovatnoću od 99,9%, odgovara stepen sigurnosti .

zadatakDati su sledeći podaci: kN;

mm; mm2 i

MPa pri čemu je standardno odstupanje sE procenjena kao 1,5% od srednje vrednosti E. Izračunati promenu dužine elementa ako je on opterećen na istezanje.

Srednja vrednost izduženja je:

[mm].

Standardno odstupanje izduženja dobija se primenom metode parcijalnih izvoda:

Þ mm.Znači, izduženje je slučajno promenljiva veličina sa srednjom vrednošću i

standardnim odstupanjem mm. Tolerancija je jednaka šest standardnih odstupanja:

[mm],pa je izduženje dato u obliku nominalne mere i odstupanja:

mm.

zadatakNa slici je prikazana prosta greda sa nepokretnim osloncem A i pokretnim osloncem B. Poznate su sledeće vrednosti:

kN, mm, mm.Odrediti reakcije oslonaca A i B ako je greda zanemarljive mase.

[kN]

[k

N]

[kN]

[kN]

kN kN

zadatakDimenzionisati gredu opterećenu na savijanje, prikazanu u okviru prethodnog zadatka, ako je ona I - profila. Date su sledeće vrednosti

slučajnih promenljivih: kN, mm i mm. Izmerena karakteristika kritičnog napona za profil prikazan na

slici je: MPa, pri čemu su odnosi dimenzija profila: ; ; .

Otporni moment za osu x računati prema obrascu:

.

Od grede se zahteva verovatnoća bezotkaznog rada od 0,99. Pri prora-čunu zanemariti sopstvenu težinu grede.

[kNm]

[Nm]

[mm] [mm]

;

Ako se usvoji da je izraženo u metrima dobija se:

[kPa]

[kPa]

Þ mNa osnovu dobijene dimenzije, usvaja se standardni profil I-12.

zadatakNa konzolu prikazanu na slici deluje sila kN. Dužina konzole je mm, dok se masa grede

zanemaruje. Konzola je od aluminijumske legure čija je čvrstoća (400; 30) MPa. Izračunati dimenzije poprečnog preseka konzole ako je on oblika pravougaonika sa širinom b i visinom h=3×b, tako da bude zadovoljena pouzdanost R=0,999.

Za širinu i visinu poprečnog preseka usvojen je koeficijent varijacije od 0,02, pa su standardna odstupanja: i .

; [Nm]

[Nm]

Ako se usvoji da je izraženo u milimetrima dobija se:

[MPa]

[MPa]

mm Ù mmRešenje koje zadovoljava polaznu jednačinu je: mm. Na osnovu

usvojenog koeficijenta varijacije sledi: [mm], pa se tražena veličina može napisati u obliku: [mm].

Na osnovu zadatog odnosa širine i visine pravougaonika sledi:[mm]

[mm][mm]

zadatakDimenzionisati vratilo kružnog poprečnog preseka tako da ima pouzdanost od 0,999. Poznat je moment uvijanja

Nm i čvrstoća materijala na smicanje MPa.

Standardno odstupanje za prečnik vratila za usvojeni koeficijent varijacije jednako je . Srednja vrednost napona na smicanje, za izraženo u milimetrima, jednaka je:

[MPa].

Primenom metode parcijalnih izvoda za standardno odstupanje dobija se:

[MPa]

Za zadatu pouzdanost, na osnovu tabele za standardizovanu normalnu raspodelu, može se odrediti apsolutna vrednost donje granice integrala kod normalne raspodele. Na osnovu toga sledi:

.

Sređivanjem ove jednačine dobija se kvadratna jednačina po :

,

čija su rešenja mm i mm. Drugo rešenje zadovoljava polaznu jednačinu. Na osnovu usvojenog koeficijenta varijacije sledi:

[mm].Ako se uzme da se slučajna promenljiva sa verovatnoćom od 99,7% nalazi

unutar tolerantnog polja, izračunata vrednost prečnika vratila može se napisati u obliku:

[MPa].