Vettori

Operazioni fondamentali

GeneralitàUn vettore si può rappresentare come un segmento dotato di una freccia. Un generico vettore  V  dello spazio ha  3  componenti rispetto ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali ed è indicato come  V=(V1,V2,V3).

Un vettore possiede un modulo o intensità (o norma ) che ne rappresenta la lunghezza definibile  tramite il teorema di Pitagora. Il modulo del vettore  V  è indicato con  |V|  e vale :

Nello spazio

Nel piano

Operazioni con i vettori

Vettore NULLOVettore NULLO: vettore le cui componenti sono nulle O=(0,0,0)

Vettore INVERSOVettore INVERSO di V: Vettore ottenuto moltiplicando per -1 le componenti di V

V=(V1,V2,V3) -V=(-V1,-V2,-V3)

Vettore SOMMAVettore SOMMA di due vettori:Dati i due vettori  A  e  B , si definisce per addizione  l'operazione che fa ottenere come risultato il vettore  C  = A + B  le cui componenti sono date dalla somma delle corrispondenti componenti :Ci=Ai+Bi con i=1,2,3

L'addizione fra due vettori ha una importante interpretazione grafica che va sotto il nome di regola  del parallelogramma. Questa regola corrisponde in fisica alla legge di composizione delle forze.

Prodotto di un vettore A per uno scalare k

Dati uno scalare (numero reale)  k  ed un vettore  A , si definisce la moltiplicazione per uno scalare  come l'operazione che fa ottenere per risultato il vettore  B = k A  le cui componenti sono date dal  prodotto di   k  per le corrispondenti componenti di  A :

Con i = 1,2,3

Moltiplicando un vettore per   k  si ottiene un altro vettore di uguale direzione, intensità moltiplicata  per  |k|  e stesso verso, se  k  è positivo, o verso opposto, se  k  è negativo.

Ovviamente, moltiplicando un vettore per  -1  si ottiene il vettore inverso e moltiplicando un vettore per  0  si ottiene il vettore nullo.

Prodotto ScalareIl prodotto scalare (o prodotto interno) fra due vettori è definito come la somma dei prodotti delle  componenti corrispondenti :

Il risultato  del prodotto scalare è uno scalare (cioè un numero). Il prodotto scalare assume l'importante significato geometrico di essere uguale al prodotto del modulo  del primo vettore per la proiezione dell'altro vettore sulla direzione su cui giace il primo. Una tipica applicazione fisica del prodotto scalare è il lavoro.lavoro.

Graficamente, nel piano :Graficamente, nel piano : ==AAxxBB=|A| |B| cos(=|A| |B| cos())

Prodotto vettoriale

Si considerino due vettori uu e vv complanari e applicati nel punto O. Si definisce prodotto vettoriale tra due i vettori uv il vettore w che ha le seguenti proprietà: 

• è perpendicolare al piano individuato dai primi   due

• ha modulo uguale al prodotto dei moduli dei due vettori moltiplicato per il seno dell’angolo convesso da questi formato

• ha come verso quello secondo il quale si deve disporre un osservatore con i piedi nel punto O d’applicazione dei due vettori affinché possa veder ruotare il vettore u in senso antiorario dell’angolo perché si sovrapponga al vettore v .

Regola praticaIl prodotto vettoriale di due vettori complanari è un Il prodotto vettoriale di due vettori complanari è un vettore perpendicolare al piano determinato dai primi vettore perpendicolare al piano determinato dai primi due ed avente per modulo  il valore dell’area del due ed avente per modulo  il valore dell’area del parallelogramma determinato dagli stessi.parallelogramma determinato dagli stessi.

Precisamente, si può considerare il parallelogramma avente per lati i due vettori in esame. Indicando l’angolo convesso formato dai due vettori u,v si riconosce che l’altezza del parallelogramma relativa al lato determinato dal vettore u è data dal prodotto v*sin (confrontare la figura) per cui l’area del parallelogramma è:

Espressione cartesiana del prodotto vettoriale

Quando dei due vettori in esame si conoscono le componenti cartesiane in un riferimento nello spazio Oxyz si può determinare l’espressione cartesiana del prodotto vettoriale velocemente sviluppando un determinante del terzo ordine. 

il vettore prodotto vettoriale uv è dato dal valore del determinante delle sue componenti:

vu

Spieghiamo meglio...Calcolare il determinante significa svolgere il seguente calcolo:

kvuvujvuvuivuvu xyyxxzzxyzzy

)()()(

Osservazione Il prodotto vettoriale di due vettori è nullo nei seguenti casi:

- Se i due vettori sono paralleli (concordi o discordi) . In questo caso l’angolo formato ha ampiezza nulla oppure è radianti e quindi risulta sen = 0- Almeno uno dei due vettori è il vettore nullo.