Verifiche Slu e Sle Travi Precompresse

Progetto di un elemento in C.A.P.:Verifiche secondo il Verifiche secondo il

Metodo Semiprobabilistico Metodo Semiprobabilistico agli Stati Limiteagli Stati Limite

Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08

a cura di Enzo MartinelliBozza del 25/05/2008

SOMMARIOCorso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08


Stati Limite Ultimi:- Verifica a Flessione;Verifica a Flessione;- Verifica a Taglio.Verifica a Taglio.

Stati Limite di Esercizio:- Limitazione delle tensioni in esercizio;Limitazione delle tensioni in esercizio;- Fessurazione (Formazione delle Fessure);Fessurazione (Formazione delle Fessure);- Deformazione.Deformazione.

Verifiche allo S.L.U.: Combinazioni di Carico



g (gk+g’k)

q qk

Verifica allo S.L.U. per FlessioneCorso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08


Mentre nelle strutture in c.a. la verifica alle tensioni ammissibili avviene su sezione parzializzata così come la verifica a rottura e, quindi, il superamento delle sollecitazioni di servizio non comporta una modifica del meccanismo resistente, nelle sezioni precompresse, al crescere dei carichi esterni, la sezione passa dalla situazione integra a quella fessurata con una significativa variazione di inerzia e di modulo resistente.Ipotesi su cui si fonda la verifica allo S.L.U. per tensioni normali di un elemento in C.A.P.:- si assumono per il calcestruzzo e per l’armatura lenta gli stessi legami costitutivi e gli stessi valori di deformazione ultima considerati per le sezioni in c.a. ordinario (cu=0.0035, su=0.010);- per l’armatura presollecitata può ancora adottarsi un legame tra tensione e deformazione di tipo elastico-perfettamente plastico con limite elastico pari alla tensione limite elastica convenzionale di progetto fpd ;- la tensione di progetto si ottiene come per l’armatura lenta dividendo quella di snervamento caratteristica (fpyk, fp(0.2)k, fp(1)k a seconda dei materiali) per il m pari ad 1.15;- la deformazione ultima deve tener conto dello stato di deformazione relativa tra l’armatura presollecitata ed il calcestruzzo.

Verifica allo S.L.U. per FlessioneCorso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08


PRE- TENSIONE

s

sp

s

rvrilspi

s,decdec EEE0

La deformazione relativa iniziale dec,0 tra acciaio presollecitato e calcestruzzo è pari alla deformazione iniziale dovuta alla pre-tensione. A questo valore va sottratto quello relativo alle deformazione relativa acciaio-calcestruzzo che determina le cadute di tensione per effetti differiti:

POST- TENSIONELa deformazione relativa iniziale dec,0 tra acciaio presollecitato e calcestruzzo è pari alla deformazione iniziale è pari alla somma della deformazione di trazione nell’armatura e della deformazione di compressione del calcestruzzo sulla stessa fibra.

c

c

s

sp

s

rvril

c

cspi

s,decdec EEEEE

000

Anche in questo caso bisogna sottrarre la variazione relativa di deformazione che si traduce nella caduta di tensioni per effetti differiti:

ESEMPIO NUMERICO: TRAVE POST-TESA



Valutazione della deformazione di decompressione dec I valori delle tensioni nei cavi calcolati nella sezione di mezzeria al netto delle

cadute di tensione sono riportate nel seguito.

cavo ei p c0 dec[cm] [MPa] [MPa]

1 89.0 942.61 12.452 0.0050742 99.0 936.80 13.041 0.0050623 99.0 946.49 13.041 0.005110

ei

Diagramm

a tensioni al TIROco,i=13.63 MPa

co,s=0.69 MPa

c

c

p

sp

p

rvril

c

cspi

p,decdec

EE

EEE0

00

MPa 345268f9500E 3/1ckc

MPa 200000Ep MPa 4.113015.11300fpd

Verifica allo S.L.U. per Flessione: ESEMPIO


dec,i

Fase 1: Ricerca dell’asse neutroFase 1: Ricerca dell’asse neutro0)y(N)y(N)y(N cpcscc

1a iterazione: cm 39.5410220259.0d259.0yc

N 7.459724922208520'f)y(A)y(N cdccc

N 121650A)y(Ni

i,si,scs

p,1= -1130.435 MPa NP,1= -1260246.38 N p,2= -1130.435 MPa NP,2= -1680297.1 N p,3= -1130.435 MPa NP,3= -1680297.1 N

N 4620840A)y(Ni

i,pi,pcp

N 145241)y(N)y(N)y(N)y(N 1,cp1,cs1,cc1,c

mm 86.740.221108.0145241

'fb8.0Ny

cdw

11,c

Livello As yi i i Narmatura [mm2] [mm] [MPa] [N]

1 678 35 0.003275 330.43 2240352 226 80.8 0.002980 330.43 746783 226 124.8 0.002697 330.43 746784 226 230.8 0.002015 330.43 746785 226 490.8 0.000342 71.76 162176 226 750.8 -0.001331 -279.59 -631887 226 1020.8 -0.003069 -330.43 -746788 226 1290.8 -0.004806 -330.43 -746789 226 1550.8 -0.006479 -330.43 -7467810 226 1810.8 -0.008153 -330.43 -7467811 226 2039.1 -0.009622 -330.43 -7467812 452 2165 -0.010432 -330.43 -149357

p,i’

deformazione di congruenza

dec,1= 0.00511

p,1'= 0.0094 p,1= 0.01448

dec,2= 0.00515

p,2'= 0.0100 p,2= 0.01516

dec,3= 0.00519

p,3'= 0.0100 p,3= 0.01521



dec

Fase 1: Ricerca dell’asse neutroFase 1: Ricerca dell’asse neutro0)y(N)y(N)y(N cpcscc

2a iterazione:cm 88.61d259.0yyy 1,c1,c2,c

N 48349160.22219300'f)y(A)y(N cd2,c2,cc

N 75773A)y(Ni

i,si,s2,cs

N 4620840A)y(Ni

i,pi,pcp



mc 22.58NNNyyyy 1

12

1,c2,c1,c3,c


1 678 35 0.003302 330.43 2240352 226 80.8 0.003043 330.43 746783 226 124.8 0.002794 330.43 746784 226 230.8 0.002194 330.43 746785 226 490.8 0.000724 152.00 343526 226 750.8 -0.000747 -156.84 -354467 226 1020.8 -0.002274 -330.43 -746788 226 1290.8 -0.003801 -330.43 -746789 226 1550.8 -0.005272 -330.43 -7467810 226 1810.8 -0.006743 -330.43 -7467811 226 2039.1 -0.008034 -330.43 -7467812 452 2165 -0.008746 -330.43 -149357

p,i’

dec,1= 0.00511

p,1'= 0.0078 p,1= 0.01292

dec,2= 0.00515

p,2'= 0.0084 p,2= 0.01353

dec,3= 0.00519

p,3'= 0.0084 p,3= 0.01357



dec

3a iterazione:

N 7189940.22214040'f)y(A)y(N cd3,c3,cc

N 96676A)y(Ni

i,si,s3,cs

N 4620840A)y(Ni

i,pi,p3,cp


1000Hmm 75.00.221108.0

1473'fb8.0

Nycdw

33,c

mc 22.58NNNyyyy 1

12

1,c2,c1,c3,c



1 678 35 0.003290 330.43 2240352 226 80.8 0.003014 330.43 746783 226 124.8 0.002750 330.43 746784 226 230.8 0.002113 330.43 746785 226 490.8 0.000550 115.44 260896 226 750.8 -0.001013 -212.77 -480877 226 1020.8 -0.002636 -330.43 -746788 226 1290.8 -0.004259 -330.43 -746789 226 1550.8 -0.005822 -330.43 -7467810 226 1810.8 -0.007385 -330.43 -7467811 226 2039.1 -0.008757 -330.43 -7467812 452 2165 -0.009514 -330.43 -149357

p,i’

dec,1= 0.00511 p,1'= 0.0085

p,1= 0.01363

dec,2= 0.00515 p,2'= 0.0091

p,2= 0.01427

dec,3= 0.00519 p,3'= 0.0091

p,3= 0.01432



Livello As yi i i Ni ei MR,sd,i

armatura [mm2] [mm] [MPa] [N] [mm] [Nmm]1 678 35 0.003290 330.43 224035 1075.0 2408373912 226 80.8 0.003014 330.43 74678 1029.2 768588663 226 124.8 0.002750 330.43 74678 985.2 735730234 226 230.8 0.002113 330.43 74678 879.2 656571275 226 490.8 0.000550 115.44 26089 619.2 161542696 226 750.8 -0.001013 -212.77 -48087 359.2 -172727977 226 1020.8 -0.002636 -330.43 -74678 89.2 -66613018 226 1290.8 -0.004259 -330.43 -74678 -180.8 135018309 226 1550.8 -0.005822 -330.43 -74678 -440.8 3291817710 226 1810.8 -0.007385 -330.43 -74678 -700.8 5233452511 226 2039.1 -0.008757 -330.43 -74678 -929.1 6938357212 452 2165 -0.009514 -330.43 -149357 -1055.0 157571130

Nmk 85.774eA)y(Mi

ii,si,scsd,R

cavo ei p c0 dec p Np,i MRp,i[cm] [MPa] [MPa] [MPa] [N] [Nmm]

1 89.0 942.61 12.45 0.005074 -1130.435 -1260246.4 11216192752 99.0 936.80 13.04 0.005062 -1130.435 -1680297.1 16634941303 99.0 946.49 13.04 0.005110 -1130.435 -1680297.1 1663494130

Nmk 61.4448eA)y(Mi

ii,pi,pcpd,R

Nmk 65.4192'fyA)y(M cdc,Gcccd,R

Nmk 11.9416)y(M)y(M)y(M)y(M cd,Rpcd,Rscd,RccRd

yG,c

S.L.U. per Flessione - COMMENTICorso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08

Nel calcolo che è stato mostrato la ricerca dell’asse neutro e la valutazione del momento MRd della sezione precompressa è stato valutato considerando anche il contributo dell’armatura non pre-sollecitata. Questo fatto si giustifica con l’opportunità in questa sede di mostrare il gioco dei vari contributi ed, in particolare, di far vedere come diversa sia la determinazione della deformazione delle armature presollecitate (per le quali bisogna sommare la deformazione di decompressione al valore che deriva dalla linearità del diagramma delle sollecitazioni) e di quella dolce che va considerata in maniera simile a quanto visto per il c.a. ordinario. In realtà si vede che il contributo dell’armatura “dolce” è molto limitato rispetto agli altri due (nel caso in oggetto è minore del 10% rispetto al totale).In via semplificata esso potrebbe essere trascurato; nei casi in cui sia noto il centro di degli sforzi di trazione allo S.L.U. (come quando le armature presollecitate sono concentrate in una zona limitata) e quello delle tensioni di compressione (il baricentro dell’ala superiore) il valore del momento ultimo può essere facilmente stimato come segue: Nmk 64.90102/200205084.46202/sdfA)y(M pdpcd,R Nel caso in esame, la stima del momento flettente tramite la formula semplificata comporta un errore minore del 5% rispetto al valore ottenuto tramite il procedimento rigoroso.N.B.: nell’esempio numerico il valore di fpd è soltanto indicativo. Valori più realistici si ottengono da fptk/s ( 1800/1.15).

VERIFICHE A TAGLIO – SISTEMA POST-TESOVERIFICHE A TAGLIO – SISTEMA POST-TESOCorso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08


Effetti benefici della precompressione sulla resistenza a taglio della trave:

Riduzione della caratteristica tagliante (per

effetto del tracciato curvilineo del cavo)

Tensioni principali di trazione ridotte per la presenza dello

stato di sollecitazione di compressione

Minore inclinazione delle bielle

compresse di calcestruzzo per

effetto dell’azione di compressione

C.A.O.C.A.P.

22 421

2

VERIFICHE A TAGLIO – SISTEMA POST-TESOVERIFICHE A TAGLIO – SISTEMA POST-TESOCorso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08


0, 0.02 ckjR

1, 0.02 ckR

0, 0.08 ckjR

1, 0.06 ckR

Limiti in termini di tensione principale di trazione

bIST

x

xyy

yIMyI

eNAN

tg

zbS

StgSNst

zbtgzbnnN sbststst

La tensione principale di trazione deve essere calcolata sulle fibre dove è massima la o è minima la :-la fibra baricentrica;-la fibra di attacco tra anima ed ala superiore (tiro) o inferiore (esercizio).

VERIFICHE A TAGLIO – SISTEMA POST-TESOVERIFICHE A TAGLIO – SISTEMA POST-TESO- esempio numerico-- esempio numerico-



Rck= 500 kg/cm2

Ec= 345253 kg/cm2

EP= 2000000 kg/cm2

c0= 240 kg/cm2

c0t= 40 kg/cm2

c1= 190 kg/cm2

c1t= 30 kg/cm2

Corda 1

Corda 2

Corda 3

0,02Rck= 10 kg/cm2

0,24Rck= 120 kg/cm2

Limitazione su Limitazione su ::

Limitazione su Limitazione su ::

VERIFICHE A TAGLIO – SISTEMA PRE-TESOVERIFICHE A TAGLIO – SISTEMA PRE-TESOCorso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08


Effetti benefici della precompressione sulla resistenza a taglio della trave:

Riduzione della caratteristica tagliante (per

effetto del tracciato curvilineo del cavo)

Tensioni principali di trazione ridotte per la presenza dello

stato di sollecitazione di compressione

Minore inclinazione delle bielle

compresse di calcestruzzo per

effetto dell’azione di compressione

I cavi hanno generalmente

tracciato rettilineo

“[…] Nella verifica a taglio delle travi la cui armatura sia ancorata per aderenza non si dovrà tenere contodella precompressione nel tratto terminale compreso fra la testata ed una sezione posta a distanza dellatestata stessa pari a settanta volte il maggior

diametro (effettivo od equivalente) sia per i fili ad aderenza

migliorata sia per trecce o trefoli.In questo tratto, nei riguardi delle sollecitazioni

tangenziali e del calcolo delle staffe e delle eventualiarmature longitudinali aggiunte, valgono i criteri adottati per le opere in conglomerato cementizio

armatonormale di cui al punto 3.1. […]”

Verifica allo S.L.U. per TAGLIOCorso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08

Resistenza in assenza di armature


Esempio numerico

200k 1 1.3092100

3/ 2 1/ 2 3/ 2 1/ 2min ck0.035 k f 0.035 1.30 40 0.329

3P

cp ck2N 0.9 4045 10 6.20 MPa 0.2 f 0.2 40 8.0 MPa

A 6528 10

1/ 3l ck

Rd cp100 f

V 0.18 1.302 0.15 80 2100 553.23 kN1.5

k k kEd

1.3 g g' 1.5 qV L 0.9 N sin

21.3 16.32 5.40 1.5 14

32 0.9 480 356.09 kN2

Nel caso preteso il contributo dello sforzo di precompressione deve essere trascurato in prossimità degli appoggi e per una distanza di 70 diametri.


Esempio numerico


Progetto dell’armatura trasversale

2

cdcwRcd

ctg1ctgctg

2f

bd9.0V

sinctgctgfs

Ad9.0V sd

swRsd

Resistenza di calcolo con armatura trasversale

cp

cp cd cp cdc

cd cp cd

cd cp cdcp cd

1 per 01 f per 0 0.25f

1.25 per 0.25f 0.5fper 0.5f f2.5 1 f

Rcd EdV V 1.0 ctg 2.5

swst,max sd

Ed

Ap s 0.9 d f ctg

V

Verifiche allo S.L.E.: Combinazioni di Carico



Verifica allo S.L.E. di FORMAZIONE delle FESSURE: ESEMPIO


cfmi

fess

ifW

MW

eNAN

icfmifess W

eNANfWM 2.1

WeN

AN

WeN

ANf

MM

itc

icfm

max

fess

1

MPa 44.04030.02.1f30.02.1f 3/23/2ckcfm

N= 3850 kN A= 6528 cm2

e= 96.29 cm Wi= 381559 cm2

2.127.1MM

max

fess

La normativa impone che risulti:

dove:

Assumendo i seguenti valori numerici:

si ottiene:

Verifica allo S.L.E. di Limitazione delle Tensioni in Esercizio nel conglomerato


Le tensioni normali di esercizio non devono superare a compressione i seguenti valori limite:a) in ambienti poco aggressivo e moderatamente aggressivoper combinazione di carico rara: 0,60 fck;combinazione di carico quasi permanente: 0,45 fck.b) in ambiente molto aggressivo:per combinazione di carico rara: 0,50 fck;combinazione di carico quasi permanente: 0,40 fck.

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