XXIV Olimpiada Thales

SoluciónSolución

¿Verdadero o falso?:

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A mi profesora de mates Eulerina, ¡se le ocurre cada cosa en clase! Hoy ha dicho que encontremos el menor número de 4 cifras distintas que cumpla que:

Es múltiplo de 6. Su 1ª y 3ª cifra son números consecutivos en orden creciente, así como su 2ª y 4ª cifra. El número formado por la 2ª y 4ª cifra es múltiplo de 3.

Yo no hago más que pensar, pero… ¡algo se me escapa que no encuentro el dichoso número!, ¿será que no existe?. Razona la respuesta.

Solución: • Es múltiplo de 6.• Su 1ª y 3ª cifra son números consecutivos en orden creciente, así como su 2ª y 4ª cifra.• El número formado por la 2ª y 4ª cifra es múltiplo de 3.

• Es múltiplo de 6.• Su 1ª y 3ª cifra son números consecutivos en orden creciente, así como su 2ª y 4ª cifra.• El número formado por la 2ª y 4ª cifra es múltiplo de 3.

Sabemos que nuestro número tiene 4 cifras, a las que podemos llamar:

a b c dLa segunda condición dice que la 1ª y 3ª cifra son números consecutivos en orden creciente, es decir, que c es el consecutivo de a, luego… c= a+1

Del mismo modo, que la 2ª y 4ª cifra sean números consecutivos, significa que:

d= b+1Resumiendo, nuestro número es:

a b (a+1) (b+1)

a b c d

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Solución:

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• Es múltiplo de 6.• Su 1ª y 3ª cifra son números consecutivos en orden creciente, así como su 2ª y 4ª cifra.• El número formado por la 2ª y 4ª cifra es múltiplo de 3.

• Es múltiplo de 6.• Su 1ª y 3ª cifra son números consecutivos en orden creciente, así como su 2ª y 4ª cifra.• El número formado por la 2ª y 4ª cifra es múltiplo de 3.

La primera condición dice que nuestro número es múltiplo de 6. Pues para empezar, que nuestro número es múltiplo

de 2, o sea que cumple que:

¿Sabes qué significa eso?

a b (a+1) (b+1)

múltiplo de 2

(b+1) es par

Solución:

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• Es múltiplo de 6.• Su 1ª y 3ª cifra son números consecutivos en orden creciente, así como su 2ª y 4ª cifra.• El número formado por la 2ª y 4ª cifra es múltiplo de 3.

• Es múltiplo de 6.• Su 1ª y 3ª cifra son números consecutivos en orden creciente, así como su 2ª y 4ª cifra.• El número formado por la 2ª y 4ª cifra es múltiplo de 3.

La primera condición dice que nuestro número es múltiplo de 6. Pues para empezar, que nuestro número es múltiplo

de 2, o sea que cumple que:

¿Sabes qué significa eso?

a b (a+1) (b+1)

múltiplo de 2

(b+1) es par

b+1 b

0 -1

2 1

4 3

6 5

8 7

Solución: • Es múltiplo de 6.• Su 1ª y 3ª cifra son números consecutivos en orden creciente, así como su 2ª y 4ª cifra.• El número formado por la 2ª y 4ª cifra es múltiplo de 3.

• Es múltiplo de 6.• Su 1ª y 3ª cifra son números consecutivos en orden creciente, así como su 2ª y 4ª cifra.• El número formado por la 2ª y 4ª cifra es múltiplo de 3.

La primera condición dice que nuestro número es múltiplo de 6. Pues para empezar, que nuestro número es múltiplo

de 2, o sea que cumple que:

¿Sabes qué significa eso?

a b (a+1) (b+1)

múltiplo de 2

(b+1) es par

b+1 b

0 -1

2 1

4 3

6 5

8 7

Está claro que b= -1 no es una posibilidad…

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Solución: • Es múltiplo de 6.• Su 1ª y 3ª cifra son números consecutivos en orden creciente, así como su 2ª y 4ª cifra.• El número formado por la 2ª y 4ª cifra es múltiplo de 3.

• Es múltiplo de 6.• Su 1ª y 3ª cifra son números consecutivos en orden creciente, así como su 2ª y 4ª cifra.• El número formado por la 2ª y 4ª cifra es múltiplo de 3.

Ya sabemos algunas cosas de nuestro número.

a b a+1 b+1

a 1 a+1 2

a 3 a+1 4

a 5 a+1 6

a 7 a+1 8

La última condición dice que el número formado por la 2ª y 4ª cifra es múltiplo de 3:

12

34

56

78

¡Esto se va simplificando!

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Solución: • Es múltiplo de 6.• Su 1ª y 3ª cifra son números consecutivos en orden creciente, así como su 2ª y 4ª cifra.• El número formado por la 2ª y 4ª cifra es múltiplo de 3.

• Es múltiplo de 6.• Su 1ª y 3ª cifra son números consecutivos en orden creciente, así como su 2ª y 4ª cifra.• El número formado por la 2ª y 4ª cifra es múltiplo de 3.

a b a+1 b+1

a 1 a+1 2

a 7 a+1 8

Se nos olvidaba que como nuestro número es múltiplo de 6, también cumple que es múltiplo de 3, por lo que sus cifras suman 3 o múltiplo de 3, es decir:

2a+4

2a+16

2a+4=6 a=1

2a+4=9 2a=5

2a+4=12 a=4

2a+4=15 2a=11

2a+4=18 a=7

2a+16=18 a=1

2a+16=21 2a=5

2a+16=24 a=4

2a+16=27 2a=9

2a+16=30 a=7

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Solución: • Es múltiplo de 6.• Su 1ª y 3ª cifra son números consecutivos en orden creciente, así como su 2ª y 4ª cifra.• El número formado por la 2ª y 4ª cifra es múltiplo de 3.

• Es múltiplo de 6.• Su 1ª y 3ª cifra son números consecutivos en orden creciente, así como su 2ª y 4ª cifra.• El número formado por la 2ª y 4ª cifra es múltiplo de 3.

a b c d

1 1 2 2

4 1 5 2

7 1 8 2

1 7 2 8

4 7 5 8

7 7 8 8

Poniendo todas las posibilidades, tenemos que:

No sirven porque repite cifras¡Sólo hay que elegir al menor de todos y habremos terminado!

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Solución: • Es múltiplo de 6.• Su 1ª y 3ª cifra son números consecutivos en orden creciente, así como su 2ª y 4ª cifra.• El número formado por la 2ª y 4ª cifra es múltiplo de 3.

• Es múltiplo de 6.• Su 1ª y 3ª cifra son números consecutivos en orden creciente, así como su 2ª y 4ª cifra.• El número formado por la 2ª y 4ª cifra es múltiplo de 3.

a b c d

1 1 2 2

4 1 5 2

7 1 8 2

1 7 2 8

4 7 5 8

7 7 8 8

Poniendo todas las posibilidades, tenemos que:

¡Bien hecho!

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