Verallgemeinerte stationäre stochastische Prozesse auf Gruppen der Form R × G−

Verallgerneinerte stationare stochastische Prozesse auf Gruppen der Form R x G -

Von FRANZ SCHMIDT in Dresden

(Eingegangen am 9.1.1974)

Einleitung

I n der Theorie der stationaren stochastischen Prozesse, insbesondere in der Spektral- und in der Extrapolationstheorie, spielt die Darstellung durch gleitende Mittel eine bedeutende Rolle. So ist z. B. das nichtzufiillige SpektralmaB eines stetigen stationaren stochastisehen Prozesses {x(t)},,R genau dann bezuglich des LEBESGUE-MaBeS absolutstetig, wenn {x(t)}teR eine Darstellung durch gleitende Mittel gestattet ([8], Satz 15); der ProzeB {z(t)}tER ist genau dann regulur, wenn er eine Darstellung durch einseitige gleitende Mittel gestattet ([S], Theorem 2 ; [Q], Satz 5).

Einige dieser Resultate wurden in [2] auf stetige homogene zufiillige Felder und in [ 5 ] , [14] bzw. 1121 auf mehrdimensionale bzw. hilbertraumwertige statio- niire stochastische Prozesse ubertragen.

I n der vorliegenden Arbeit ubertragen wir einen Teil der hier referierten Er- gebnisse auf verallgemeinerte stationare stochastische Prozesse (im Sinne von [16], Abschnitt 1.2 . ) auf dem Produkt G = R x G- der Gruppe R und einer heliebigen abelschen Gruppe G- mit Werten in einem BANAcH-Raum. Da man jedem solchen ProzeB in naturlicher Weise (s. Satz 3.1.) einen verallgemejnerten stationaren stochastischen ProxeB auf dem Produkt 2 x G- zuordnen kaiin, lassen sich die meisten der in dieser Arbeit formulierten Aussagen durcli Zuruck- fuhrung auf entsprechende Aussagen aus [ 191 beweisen.

Die Arbeit besteht aus vier Kapiteln. I n Kapitel 1 fuhren wir einige Funk- tionenraume ein, die in den weiteren Untersuchungen benotigt werden. InKapitel2 stellen wir einige Tatsachen aus der Theorie der liiiearen Operatoren im HILBERT- Raum bereit. In Kapitel 3 spezialisieren wir Resultate aus [18] auf den Fall G+ = R und erhalten auf diese Weise Satze uber die Darstellung von Pmxessen der hier betrachteten Klasse durch gleitende Mittel. In Kapitel 4 gelangen wir zunachst auf die gleiche Weise zu Satzen iiber Darstellungen durth einseitige gleitende Mittel ; im AnschluB daran beweisen wir, dalj die erhaltenen Aussagen umkehrbar sind.

Die in [l6], [17] und [lS] eingefiihrten Bezeichnungen werden in der vorliegenden Arbeit - meist ohne Kommentar - verwendet. Insbesnndere schreiben

30 Schmidt, Verallgemeinerte stationare stochastische Prozesse

wir 1) U(G, 7e) bzw. E(G, 3) (G : abelsclie Gruppe) fur die Klasse aller unitaren Dar- stellungen voii G fiber 7e bzw. fur die Klasse aller verallgemeiiierten slutionuren stochastischeii Prozesse auE G uber 3 und ’X(GJt ,A?) (G+ : geordnete abelsche Gruppe, G;, = {ti E G’ 1 5- 2 0)) fur die Klasse aller isomeirischen Darstellungen von G,= uber 2. Ferner bezeichiiete U o ( R x G- , ,X ) bzw. Go(R x G - , 3) die Klasse aller l‘ E U( R A G - , X) bzw. X € G(X x G-, 3) mit der Eigenschaft, daB U-(E U(R, X)) bzw. X -(€ E ( B , 3)) stetig ist, und &(Ro+, Je) die Klasse aller stetigen T E 2(R,+, .X).

1. Definitionen und Eigenschaften einiger Funktionenraume

1.1. Es bezeichne R die additive Gruppe der reellen Zahlen,

. - Xi: = {t E R 1 t O } , R,, - . - (0) U R, . Der B~rjscH-Raurn Lp : = Lp( R) ( 1 5 p < 00) besteht aus allen (dyuivalenz-

klassen von) auf R definierten komplexwertigen (LEBESGUE-)meBbaren Funk- tionen x mit der Eigenschaft

A D O

(1.1.1) J Iz(s)iPds< 03 , -- der BANACH-Raum L p ( 3 ) : = L p ( 3 , R) aus allen (Aquivalenzklassen von) auf K definiertenFunktionenz mit Wertenin 3 m i t denEigenschaften ([l], 4.3.4., 4.5.6.):

1. Fur jedes f* E 3* ist die skalarwertige Funktion .r + (z(s),f*) (s E R) (LEBEsGlJE-)mefibar.

2. Es esistiert eine 3fenge N ( z ) R vom LEBESGUE-Ma0 Null sowie ein separabler Teilrauin 3(2) von 3 mit der Eigenschaft z ( R \ N ( z ) ) & 3(z).

3. Es gilt + -

(1.1.2) Ilz(s)llPds< 00 . - m

Die Normen in den Raumen Lp bzm. P(3) sind durch 1

bzw. 1

gegeben. ~~

l)x, x bzw. 3 bezeichne in vorliegender Srbeit stets einen (komplexen) HILBERT- bzw BaNAcH-Raum.

Schmidt, Verallgemeinerte stationiiire stochastische Prozrsse 31

Offensiclitlich lafit sich die Norm in dem BANACH-Raum L2 bzw. c'(x) mit Hilfe des Skalarprodukten

--Do

bzw.

(1.1.6) (v, w ) Z = J (v(s), w(s)) ds (v, W E L(X2))

erzeugen; L2 undL'(X) sind also HJLBERT-Riiume (vgl. [17], 1.1.).

dzarch

+oo

- m

Hilfssatz 1.1. ([7], Korollar (20.14)) Es seien x E L', v E L2. Dann gehort die

+ m

(1 .1 .7) (Z M V ) (- s ) : = [ x(- t ) ~ ( t - S ) dt (sE R) - -M

definierte Funkt ion x * v - die ,,Fallung" von x und v - xu L', und es gilt (1.1.8) /x * v12 5 jvI2.

1.2. Die LAGUERREsChen Polynome2)

besitzen die Eigenschaft ([20], 5.1.1 .)

(1.2.1)

Daraus folgt, daI3 die Funktionen {u-" I n E Z} ,

00

J e-tL,(t)L,(t) dt = d,, (m, n E z0+) . 0

U - , ( S ) = {;- 2 e -",a( 2s)

ein Orthonormalsystem in L2 bilden.

Funktionen v E L' mit der Eigenschaft Wir bezeichnen mit L: bzw. LT den abgeschlosseneii linearen Teilraum sller

(1.2.2) V ( S ) = 0 (S E R- [f. U.])

bzw. (1.2.3) V ( S ) = 0 (S E R+ [f. U.])

und mit L i ( X ) die entsprechend definierten abgeschlossenen linearen Teilraume von L*(X).

Bemerkung 1.2.1. Das Orthonormalsystem {u-" 1 n E 8-} bzw. {u-" j n E Zo+} ist in Ly bzw. Ll vollstandig.

yz:= {. . . , - 1,0, + 1,. . . } , Z * : = (m E Z I n 5 0 } , Z o * : = (0) uz*.


Bemerkung 1.2.2. Das Orthonormalsystem ( 7 1 - n I n E Z } ist in L' vollstiindig.

1.3. Die Charaktergruppe R von R laat sich in der in [l6], Abschnitt 2.2. beschriebenen Weise isomorph und homoomorph auf die Gruppe R abbilden. Dabei iibertriigt sich ([i], 3.2.2. , Bemerkung) das Haarsche Ma13 d von R auf das Ma6 dii

(dj. : LEBESGL-E->IRB), und die HILBERT-Raume yp?(R, 5 ) bzw.Y2 (x, 8 , 5 ) 2n urid Yl (R, "")= : Y'(R) = : Y J bzw. Y? ( X , R, '!) = : Yz(X, R) = : Y2((x) sind

in natiirlicher Weise einander isomorph ([l], 5.6.1. , Bemerkung 2 ; 5.6.2. , Theo- rem 1 ) .

Die (inverse) FOURIER-PLasCHEREL-Transformat ion 21 + 8 ist eine isometrische Abbildung von L' auf Y'. Sie 1aBt sich fur jedes 2' E L? in der Form

- auf

2n 2,2

LIP

(1.3.1) .L'(l,) = lim eis%(s) ds ( I b E I?) T - m - T

schreiben ; insbesondere gilt

( 1 + i k )% ( 1 - i;l.)nrl

(A - i)" (1 +- i ) n + l

(1.3.2) &.(A) = (- 1 2 = i 1/2 (1. E R, n E 2)

Hilfssatz 1.3. Fiir k E Z gi l t 03

(1.3.3) 2 I e-r u-,(t - s ) dt = H - ~ ( - s ) - Z L , - , ( - s) (s E R [f. ii.]) . 0

Wir bezeichnen mit 3'; den abgeschlossenen linearen Teilrauni aller Funk- tionen aus y', die (inverse) FOURIER-PLAKCHEREL-Trnnsformierte von Funktionen aus L t sind.'), und mit U i ( X ) - den voii dem Funktionensystem

aufgespannten nbgeschlossenen linearen Teilraum von P'(X). ( 2 0 y j C E f ' , , y E - X ) -

Bemerkung 1.3.1. Das Orthonormalsystem {?7.-?t 11, € Z ] ist in 2" vollstandig.

Bemerkiing 1.3.2. Das Ortlionoriiialsvstern ( G - n 1 ? E € 2-1 bzw. cG-n 1 n E Z,+> ist in Y? bzw. Yl, vollstandig.

2. Einige Tatsachen ails der Thcorie der linearen Operatoren im HmBERT-Raum

2.1. Es sei T = {T( t ) ) lCHO_ eine stark stetige Hdbgruppe von Operatoren aus [XI ([3], 8.1.1.). Wir bezeichnen mit B[T3 den infinitesimalen Operator ([3], 8.1.6.) von T. Auf Gruiid eines Resultats von COOPER (s. [4], 12.9.8.) sind die Operatoren T(t ) ( t E RO+) genau dann partiell isometrisch mit Tnitialbereich 'F (d. h . T E Z o ( B o + , X ) ) , wenn

(2.1.1) B [ T ] = iA[T] __ -

3) Y$ wird haufig als HARDY-Klasse bezeichnet.

Schmidt, Verallgemeinerte stationare stochastische Prozesse 33

gilt, wobei A [ T ] maximalsymmetrisch mit den Defektindizes (0, x ) ist. Mit Hilfe von [4], 12.4.13. und [a], 12.9.7. schlieBt man nun leicht darauf, daB die Opera- toren T(t) ( t € Ro+) genau dann unitur sind (d. h. T(t) = U(t) (t € Ro+) mit U E Uo(R, ,Je)), wenn B[T] dieForm (2.1.1) besitzt, wobeiA[T] selbstudjungiert ist.

Es sei nun stets T E &(Ro+, X). Mit C[T] bezeichnen wir die durch

C[T]: = ( A [ T ] - il) (A[T] + il)-1 definierte CALEY-Transformierte von A[T], den ,,cogenerator" von T ([21], Kap. 3 See. 8). T wird durch C[T] eindeutig bestimmt. Ferner bestehen die Beziehungen

(2.1.2)

([lo], 2.3b) und

(2.1.3) V C[TIkH = V T(8) H ( H &X)

M

C [ T ] = I , - 2 s e- t T(t) dt 0

kEZO I- *ERo +

([101, (2.7)). Aus der Tatsache, daB sich ein symmetrischer linearer Operator mit dichtem

Definitionsbereich genau dann als selbstadjungiert erweist, wenn seine CALEY- Transformierte unitar ist ([13], Nr. 121 und 123) und dem oben Gesagten folgt, da13 C [ T ] genau dann unitar ist, wenn die Operatoren T(t) ( t E Ro+) samtlich unitar sind (d. h. T(t) = U ( t ) ( t € Ro+), U E Uo(R, X)). 1st das der Fall, so ergibt sich die CALEY-Transformierte C[T*] von A[T*] = - A[!#?] offensichtlich zu

(2.1.4) C[T*] = C [ T ] - l ,

und analog zu (2.1.3) beweist man die Gultigkeit von

(2.1.5) V C[UIk H = V U ( S ) H EEZ s E R

( E l & X) .

Ferner erhalt man aus der Spektraldarstellung von U + m

(2.1.6) U ( t ) = s e-"'Eo(dA) ( t E R)

(s. [16], (2.10b)) fur A [ U ] bzw. C[UIn(n E 2) die Spektraldarstelluiigeu

-00

n

bzw. + - t n

(2.1.8) CIUln = I (!-* a- - f : p v ( d A ) = 1 e-in"E',lol(d,u) (n E 2) , -cc -IT

3 Math. Nachr. Bd. 68


dabei besteht zwischen den selbstadjungierten Spektralmafien E,, ul und E’, die Beziehung

(2.1.9) EcLF,(A’) = Ec(A) ( A = @-‘A‘, A’ E %(S)) (s. [13], Nr. 127 und [15]); 0 bezeichnet dabei die durch

I I n + 2 arc t a n 1 (A E Ro-) 1 - 2n - 2 arc cot A (A E Bo-) - I - 2 arc cot il (1 E R,) ( - n + 2 arc tan il I @(A): = (1 E R,)

definierte Funktion.

Hilfssatz 2.1. Fur jede uniture Darstellung U E U,( R x G-, X) wird durch

(2.1.10)

eine unitare Durstellung U’ E U(Z x G - , X ) definiert; die Abbildung U ---* u’ ist e ineindeutig .

2.2. Es sei Y ein bezuglich des LEBESGUE-MafieS u quasi-isometrisches Ma13 ([lo], [ii]) auf dem &Ring s ( R ) aller o-integrierbaren ([I], 4.4.5.) Teilmengen von R, d. h. eine Abbildung von s ( R ) in den Raum [X, X ] mit der Eigenschaft

U‘(n, E - ) : = C[ULIn U-(E-) (n E 2, E - E G-)

(2.2.1) (Y(D’) Y , Y(D”) x ) ~ = n D”) ( Y , X )

(p, D”C g ( B ) ; y , x E X ) .

Wir fuhren in der in [ i t ] , Abschnitte 8 und 10, beschriebenen Weise (s. a. [18], 2.1 .) Integrale von Funktionen aus D ( X ) bezuglich des quasi-isometrischen MaSes Y ein. Diese Integrale sind durch die folgenden beiden Eigenschaften cha- rakterisiert 5 )

i m

iC.2

(2.2.3) ( j = Y ( d s ) zc(- s), Y(d.9) v(- s ) ) ~ = ( w , ~ ) ~ (v, w E D ( X ) ) . - _ - m

Hilfssatz 2.2.1. Es seien Y ei iz o-quusi-iso,netrisches Mu& a?.f S (R) , v E Lx und y E X . D a n n ist durch

t + ] - Y ( d s ) v(t - s ) y m

eine stark stetige Abbildung von R in X w i t der Eigensrhuft i-

f Y(ds ) V(t - s) y = l q 2 llyll x (2.2.4) - m

gegeben.

4) I - D : Indikatorfunktion der Menge - D & R,


Hilfssatz 2.2.2. 8 s seien Y ein a-quasi-isometrisches Map auf S(R) , v E L2, x E Li und y E X . Dann gi l t>)

I + W + W

(2.2.5) i w Y ( d s ) (x o u) (- s ) y = x(- t ) Y (ds ) u(t - s) y dt . --Do - m

3. Darstellung von verallgemeinerten stationLen stochastischen Prozessen auf Gruppen der Form R x G- durch gleitende Mittel

In den Abschnitten 3.1., 3.2. und 3.3. beweisen wir einige Tatsachen, unter deren Verwendung wir die in [19] erhaltenen Aussagen uber Prozesse der Klasse G(2 x G-, 3) auf Prozesse der Klasse Go(B x G-, 3) iibertragen werden.

3.1. Zunachst stellen wir eine Beziehung zwischen den ProzeBklassen Go(R x G-, 3) und G(2 x G-, 3) her.

Hilfssatz 3.1. Fur jeden ProzeJ X E GO(R x G-, 3) giltU, E Uo(R x G a 1 X x ) .

Beweis. AusXE G o ( R x G - , 3), also X+E Go(& 3), folgt U,+E U O ( E , X x + ) (s. [l6], Satz 1.5.1.) und daraus (6. [is], (1.9), (1.10)) U; € Uo(R,Xx), also U,E Uo(R x G-,X,).

Satz 3.1. Fur jeden ProzeJ X E Go(R x G-, 3) wird durch

(3.1.1) X’(n, 5- ) : = U&(n, E - ) X ( 0 ) ein Prozej X’E G(2 x G-, 3) definiert, und es gilt

(3.1.2) X,, = Xx (3.1.3) X7e,,(0) = Xx(0)

(n E 2,l- E G-)

(3.1.4) U,,(n, 5 - ) = U>(n, 5 - ) (n E 2,5- E G-) . Beweis. Auf Grund von Hilfssatz 3.1. ist U i (s. (2.1.10)) wohldefiniert.

GemaB [lS], Satz 1.3.2. ist also durch (3.1.1) ein ProzeB X’E e(2 x G-, 3) gegeben, und es gilt

(3.1.5) (n E 2, 5- E G ) . Aus (2.1.10) uiid (3.1.1) folgt

(3.1.6) ( X ’ ) - ( t - ) = X-(t-) (5- E G-) , also

(3.1.7) x,,,,- = Xx- .

U,.(n, 5 - ) = U>(n, 6-) I X,,

5) Die Existenz des Integrals auf der linken Seite von (2.2.5) ist durch Hilfssatz 1.1., die des

(BOCHNER-)htegralS auf der rechten Seite von (2.2.5) auf Grund von Z E L 1 ( x )

= z(- t ) J Y(ds) v(t - s) (s. Hilfssatz 2.2.1.) gesichert. t m

-ca

3.


Aus [ lG] , (1.10) erhalt man

(3.1.8) v [J4:(s) W,- = 3,

(3.1.9) v U g , ( l z ) -7e(x,)- = xx, . Aus (2.1.10), (3.1.5) und (3.1.7) schliel3t man auf

81 H

t i2

U ~ . ( ) 2 ) ~ , , , , - = c[u:]"xx- (72 E z) und daraus mit Hilfe von (2.1.5), (3.1.8) uiid (3.1.9) auf die Riclitigkeit von (3.1.2). A m (3.1.2) und (3.1.5) ergibt sirh nun sofort (3.1.4). - I n Uberein- stimmung mit den Bezeichnungen in [16] definjeren wir die isometrischen Dar- stellungen T, E Zo(Ro+, X,(O)) und T,. E X(Zo,, 7e , . (O)) durch

T,(t): = Vf;(- t ) I Ex(()) (t E B O A )

T,.(n): = U2,( - n) I r e , . ( O ) ( n E Zo+) , Auf Grund von (2.1.4) gilt

(3.1.10) C[Txy = c[ui]-" 1 R,(O) (n E zo-) . Aus (2.1.10) und (3.1.4) folgt (3.1.11) T,,(?t) = C [ U i ] - " 1 X,.(O) ( n E 20,) . Aus [16], (3.4) erhalt man

(3.1.12) V T,(s) X,- = Ex(0)

(3.1.13) V T,.(k) Je,,.,- = Je,,(O) . 8 E R o +

kEZO+

Aus (3.1.7), (3.1.10) und (3.1.11) schliel3t man auf

Tx.(n) qr)- = C[T,I" 3,- ( n E Z " + ) und daraus mrt Hilfe von (2.1.3), (3.1.12) und (3.1.13) auf die Richtigkeit von (3.1.3).

Folgerung 3.1. Es sei X ein ProzeJ aus Go(R x G-, 3), u n d es bezeichne X den durch (3.1.1) definierten ProzeJ aus S(Z x G-, 3). Dann gilt

(3.1.14) T i , = ,Edi (3.1.15) T9. = X i ,

der ProzeJ3 X' ist also genau dann regular bzw. singular, wenn der ProzpJ3 X regular bzw. singular i s t .

Beweis. Auf Grund von [lo], Theorem 3.2. hat man

(3.1.16) n C [ T , I ~ ~ A O ) = n ~ . ~ ( m , ( o ) . k€Zg c =RO +

Aus (3.1.3), (3.1.10) und (3.1.11) folgt

(3.1.17) TZ(n)Xr(O) = G[T,InXX(O) (TZ E ZoT) .

Schmidt, Verallgemeinerte stetionare stochastische Prozesse 37

Aus [lS], (3.22) erhalt man

8ERO+

( 3 . 1 3 ) n T , ( ~ ) x,(o) =;re,

Aus (3.1.16), (3 .1 .17) , (3.1.18) und (3.1.19) schliel3t man auf die Richtigkeit von (3.1.14). (3.1.15) ist nun eine unmittelbare Konsequenz &us (3.1.2), (3.1.14) und

3.2. Mit G*(R x G - , X ) bezeichnen wir die Klasse aller verallgemeinerten zufalligen MaBe ([18], 2.1.) auf der Gruppe R X G- uber dem HILBERT-RaumX, d. h. die Klasse aller Farnilien

[161, (3.6).

B = {P(D, $-) I D E S(R) , 5- E G-} von Operatoren P(D, 5 - ) E [ X , D(Q, 8, P)] mit der Eigenschaft

(3.2.1) P(D’, 11-)* B(D”, 5 - ) =.o(D’ n D”) rp(t- - q-)

(q- , 5- E G-; D’, D” E S(R) ) ,

wobei I‘p eine auf G- definierte Funktion mit Werten in [XI ist, die der Be- ziehung

(3.2.2) I‘p(0) = I x geniig t .

die uni tke Darstellung Up E &(R x G- ,Xp) wie in [18], 2.1., 3.1. definiert. Fiir Y E G*(R x G- ,X) seien die Teilraume 3ep ,%p(O) & D(Q, B,P) und

Offensichtlich wird fur Y € G*(R x G - , X ) und 5- E G- durch

Y,- (D): = F(D. 5 - ) (DE %(R)) ein quasi-isometrisches Ma13 auf S(R) (s. Abschnitt 2.2.) definiert. Fur v E D ( X ) und - 00 -5 a < b 5: + 00 sei

h + W

F u r I € R; & - , q - E G-;v, W E U ( X ) und - 00 5 a < b 5 + 00 gilt dann _ _ _ _

u (3.2.3) E ( ] B ( d s , q - ) w(- s ) ) ( j y ( d s , E - ) v(- s)

- a = s (w(s), Tp([- - 7-) v(s)) ds

- b b b f t

(3.2.4) Up(t, E - ) P(ds, 0) v(- S) = Y(d.9, 5 - ) u(t - S) . a a + t

38 Schmidt, Verallgemeinerte stationgre stochastische Prozesse

3.3. Mit G'(2 x G- , X ) bezeichnen wir die Klasse aller Prozesse YE G(2 x G - , X ) , deren Kovarianzfunktion TI,. die Form

(3.3.1) (n E 2, 5 - E G-)

besitzt, wobei TCu.,- eine auf G- definierte Funktion mit Werten in [XI ist, die der Beziehung

F,-.(a, 5 - ) = a,, F(y.)-(5-)

(3.3.2) F(yf)-(0) = Ix genugt.

Satz 3.3. Durch die Zuordnung P -+ Y' , + -

(3.3.3)

wird die Klasse G*(B x G - , X ) eineindeutig azLf die Klasse G'(2 x G - , X ) ub- gebildet. Die inverse Abbildung ist durchs)

Y'(n, E - ) p: = J Y(ds, E - ) (un(- s ) y ) (n E 2, 5- E G - , y EX) -00

k = - 0 0

gegeben; ferner gilt

(3.3.5) T(l-,)-([-) = I'r([-) (5- E G - ) . Folgerung 3.3. Es sei Y ein M u , aus G*(R x G - , X ) , und es bezeichne Y' den

durch (3.3.3) definierten Prozq3 uus G'(Z x G-,X) . Dann gilt

(3.3.6) Xy, == , X p

(3.3.7) XY'(0) = X,(O)

(3.3.8)

Reweis. Die Richtigkeit der Beziehungen (3.3.6) bzw. (3.3.7) ergibt sich unmittelbar aus (3.3.3), (3.3.4) sowie [IS], Hilfssatz 2.1. bzw. [18], Hilfssatz 3.1.1. - Auf Grund von (3.3.6), Hilfssatz 2.1. und [18], Folgerung 2.2.3. ist UZE U(Z x G - , X y , ) . Aus (2.1.10), (3.2.4) und (3.3.3) folgt

(3.3.9)

U,.(n, 5 - ) = U>(n, 5 - ) (n E 2, 5- E G - ) .

+ - U&n, E - ) Y(0)p = c[u;]" J P(d8, 5 - ) (u(J(- 8) y )

- m

( n E 2, 6- E G - , y € X) . Mit Hilfe von (2.1.2), (3.2.4), Hilfssatz 1.3. und Hilfssatz 2.2.2. erhalt man

+m +oo

(3.3.10) C[U$]" J Y(&, 5 - ) (ug(- S ) y ) = J P(ds, E - ) (u%(- S) v) -00 -00

(n E Z , 5 - E G - , y E X ) . ~

+ m

h= - m 6) Die Reihe auf der rechten Seite von (3.3.4) konvergiert wegen "1-0, ~ k ] 2 1 ~ =

Ilyllz im Sinne der starken Operatorentopo- = II-oli < 00 und E( Y'(k, t-) y ) (Y'(l, t-) ?p) = logie.

Schmidt, Verallgerneinerte stationare stochastische Prozesse 39

Aus (3.3.3), (3.3.9) und (3.3.10) ergibt sich

U ; ( n , [-) Y'(0) = Y'(n, E - ) (n E 8, t- F G - ) .

Daraus folgt auf Grund von (3.3.6) sowie der Eindeutigkeitsaussage aus [is], Satz 1.3.1. die Richtigkeit von (3.3.8).

3.4. Die in diesem und im folgenden Abschnitt formulierten Aussagen (mit Ausnahme von Satz 3.4.2.) ergeben sich durch Spezialisierung der Ergebnisse des Abschnitts 2.3. aus [18] auf den Spezialfall G+ = R.

Satz 3.4.1. ([18], Satz 2.3.1., Hilfssatz 2.3.). Es seien P ein MaJ aus G*(R x G - , X ) wad A ein Operator aus [3, L*(X)]. Dann wird durch

+ m

(3.4.1) X ( t , t-)f: = J Y ( d s , t-) ( A f ) ( t - S) (t E R, E - E G - , f E 3) -00

e i n ProzeJ X E GO(R x G - , 3) definiert. Es bestehen die Bexiehungen

(3.4.2) X , Z X e , (3.4.3) Ux( t , E - ) = U p ( t , l - ) I Xx ( t E R, 6- E G - ) .

Eine Darstellung des Prozesses X E Go(R x G - , 3) in der Form (3.4.1) bezeichnet man als Darstellung durch gZeitende Mittel (vgl. dazu [ 181, Bemerkung 2.3.) .

Man uberzeugt sich leicht davon, daD im Falle eines q-dimensionalen BANACH- Raumes 3 (Basis: {el, . . . , e,}) die Klasse G(R x G - , 3) vermoge

(3.4.4) i = 1 , . . . , q)

in eineindeutiger Weise auf die Klasse aller q-dimensionalen stationaren stochastischen Prozesse ([14], Kapitel 1, 3 1) auf R x G- abgebildet wird. Offensichtlich gilt dabei

(3.4.5)

xi(t, E - ) : = X ( t , E - ) ei ( t E R, 6- E G - ;

#( t , 6-1 = Exj(t, 5-1 x k ( o , o ) = (ej, rx(- t , - 6-) ek) ( t E R , ( - E G - ; j , k = 1 , . . . , q ) .

Aus (3.4.5) und [16], (2.34b) folgt, dafi die Funktionen $)(j, k = 1, . . . , 4) im Palle ihrer Stetigkeit in t Spektraldarstellungen der Form

(3.4.6) @(t, [-) = 1 e-ity$,E-)(dA) ( t E R, [- E G - )

mit

(3.4.7)

besitzen.

+co

-00

f$,e-)(d+) = (ej, F&-e-)(A+) ek) (E- E G - , A + E B(R); j, k = 1, . . . , q)

Ferner iiberzeugt man sich leicht davon, daD im Falle eines p-dimensionalen HILBERT- Raumes x (vollstiindiges Orthonormalsystem: {ql, . . . , qP}) die Klasse G*(R x G-,x) vermoge

(3.4.8) vj(D, E - ) : = Y ( 0 , E d ) qj ( E - E B-, D E 8(R), j = 1, * - 9 P)

40 Schmidt., Verallgemeinerte stationare stochastische Prozesse

in eineindeutiger Weise auf die Klasse aller p-dimensionalen zufllligen MaDe ([lS], 2.1.) abgebildet aird. Offensichtlich gilt dabei

o ( ~ ‘ P D“) +qV- - @-) = E ~ , ( D ’ , y k ( ~ ’ , p-) = O(D’ n D”) nqe- - q-) Vk) Ik

(3.4.9)

(vj-,p- E G - ; j , 12 = 1 , . . . , p ) . Die Darstellbarkeit des Prozesses X E Eo(R x G - , 3) ( d i m 3 = q) in der Form (3.4.1) mit einem Ma6 P E 6*(R x G-,X) (&nix = p ) ist dann aquivalent mit der Darstellbarkeit des durch (3.4.4) definierten q-dimensionalen stationiiren stochastischen Prozesses z in der Forms)

P + - (3.4.10) ri(t, 6-) = 2 f aij(t - s) yj(ds, E - ) (t E R, 6- E G-, i = 1 , . . . , q)

j = l - m

mit den1 durch (3.4.8) definierten p-diniensionalen zuf&lligen BIaD y und den durch (3.4.11) ~ ~ ~ ( 4 : = ((4) (4, y T ) (8 E R ) gegebenen Funktionen a,? EL’ ( i = 1 , . . . . Q; j = 1 , . . . . p ) (vgl. [18], (2.32)).

Unter Benutzuiig von Hilfbsatz 2.1 ., Satz 3.1. , Satz 3.3. , Folgerung 3.3. ,

Satz 3.4.2. Der ProzeJ S € &(B x G - . 3) ist genau d a n n in der Form (3.4.1) dnrstellhar, wenw d o gewiJ3 (3.1.1) dtfiniertc ProzeJ3 X‘ € G(Z x G-, 3) eine Uarstellun y der Fornt

Satz 3.4.1. uiicl [ 191 Satz 2.1.1. Imveist man leiclit den folgendeii

?nit I” E s ’ ( Z 7 G-.JG) qtnd A, = (. . . , A - , , A”, A , , . . .) E P ( 3 , X ) gestattet. - Ist dies der Pull, s o liiinnen 1.’ und A , hzw. I’ iotd A .so gewultl t werden, da$ (3.3.3), (3.3.4) 2(?/d

g i l t . (3.4.13) ,4 - k = ,4 [ukl (k E 2)

Satz 3.4.3. Es seien f e in NaJ aus G*(R x G - , X ) und A ein Operator aus [3, D ( X ) ] , zind es bexeicline X den durclt (3.4.1) definierten ProxeJ atis

G0(R x G: , -P). Dam1 gilt

(3.4.14) A M

/ f , r . Y ( t , E - ) g) = J’ ((Af) (Y), rf(5) ( A g ) ( S + f ) ) ds

( t E R , E - E G - : f , q E 3) - c c

(3.4.15) ( f , F$-’(A’) g } = - I . ( 2 3 A +

(6- E G-, d+ E B(R);j’, Reweis. [18], Folgerung 2.3.1.

am Anfang vori Abschnitt 1.3.) .

(Mf) (4, Tp(E-1 ( 4 7 ) (4) d l

g E 3). und Identifizierung von R init R (s. den Text

>lit Hilfe von (3.4.5), (3.4.9) bzm. (3.4.7), (3.4.9) und unter Verwendung von (3.4.11) bzw.

(3.4.16) i i i j ( A ) = ((Aei) (i), pl) ( A E R; i = 1 , . . . , y ; j = 1 , . . . , p )

7) Speziell erhiilt man aus (3.4.10) fur G- = {0} die Darstellung (9.17) aus [14], Kapitel 1 und fur G- = R, p = p = 1 eine in1 Falle der Stetigkeit von z zu [2] (93) lquivalente Darstellung (vgl. hierzu [lS], Text am Ende von Abschnitt 2.3.).

Schmidt, Verallgenieinerte stationare stochastische Prosesse 41

zeigt man leiclit, da5 im Fall dim 3 = p, dim% = p die Beziehungen (3.4.14) bzw. (3.4.15) die Fornl

(6- E G-, A + E B(B); j , k = 1, . . . , q j annehmen; fur jeden in der Form (3.4.10) darstellbaren stationaren stochastisclien ProzeS 5

bestehen aIso die Beziehungen (3.4.17) und (3.4.18).

Die Aussage des Satzes 3.4.3. ist auf folgende Weise umkehi.bsr:

Satz 3.4.4. Jedcr Prozej X € G0(R x G-, S), dessen Kocurianzfuizktion I‘, bzw. dessen purtielles ~~irlatxufullig~s i3pektralmaJ F!: )([- € G-) die Form

(3.4.19) +oo

(1, r x v , 6- 1 9 ) == J ( (W) (4, r Y E - ) ( 4 7 ) (.$ + t ) ) d.9 -00

( t E B , t - E G - ; f , g € 3) bXW.

A +

(d+ E ’H(R); f, g € 3) besitzt (r: auf G- definierte Punktion ?nit Werten in [XI, die f i i r jede endlicite Indexmenge I der Beziehung

(3.4.21)

geizugt ; B E [3, D ( X ) ] hzw. B E [3,2”3(X)]), gestattet eine Darstellzcng dureh gleiteTzde Mittel (3.4.1) ?nit P E G*(R xG-,Xl) und A E [S, L’(x’)] (X’ = T(0)X) .

Reweis. [IS], Sstz 2.3.2. und Identifizierung vori a mit R (s. den Text am Anfang von Abschnitt 1.3.)

2 (vwhj r(E, - 5,) 2 0 (5; E G-, yn EX [n E 13) m,nEI

-____

Folgerung 3.4. Es sei x e i n q-dimensionaler stationarer stochastischer ProzeJli auf R x a-. Besitzt y(”)( j , k = 1, . . . , q) bzu?. f!”,‘-)(E- E G - ; j , k = 1, . . . , p) die Form

(3.4.22)

bzw.

7k ik P P + m

y&)(t , E - ) = 2 2 yrs(E-) J b,,(t - V ) b k s ( I i ) dv ( t E K, E - E G - ) r=1 s = l - -oo

(yrs(r, s = 1, . . . , p ) : auf G - definierte komplexwertiqe Punkt ionen mi t

(3.4.24) 2 a,n,Yi,i,(E, - E ; ) 2 0 m,n € I

42

fur beliebige so laJt sich x in der Form

Schmidt, Verallgemeinerte stationare stochastische Prozesse

E G - , in E { 1, . . . , p } , ct, E C[n E I ] ; bj. E L? bzw. 6, EY'*[j = 1, . . . , p; r = 1, . . . , p ] ) ,

P' + 00

(3.4.25) ~ i ( t , E - ) = J ~ i i ( t - S ) yi(ds, t-) (t E R, t- EG-; i = 1, . . . , n)

(21' = Rg (~d'j))~, 8 = I , . . . , p ) darstellen

3.5. Es sei nun G- eine topoloyisclre (abelsche) Gruppe

Hilfssatz 3.5. ([ls], Folgerung 2.3.2.) Mit den2 M a , f E G*(R x G - , X ) ist

Es sei nun G- eine lokalbikoinpakte hazcsdorf&sche (abelsche) Gruppe. auch der durch (3.4.1) dejinierte ProzeJ X E Go(R x G-, 3) stetig.

Aus (3.4.5) und [16] (2.14) bzw. (3.4.7) und [lti], (2.38) folgt, da13 die Funktionen y W ( j , k = 1 , . . . , 9 ) bzn. f!",.)(d+) (A' E B(R); j, k = 1, . . . , p) im Falle ihrer Stetigkeit Spektraldarstellungen der Form Ik

(z)(t , t-) = ~ f { E - , ~ - } f ! ~ , ~ ) ( d E - j ( t E R, [- E G - ) l k c- (3.5.1) Yjk

bzw. (3 A.2)

mit

(3.8.3)

bzw.

(3.5.4) ( A + E %(I?), A - E %(G-) ; j, k = 1, . . . , q )

besitzen. Ferner erhiilt nian aus (3.5.3), (3.6.4) nnd [l6], (2.3613) furf!zJ)(t E R ; j , k = 1 , . . . , q) die Spektraldarstellung

(3.5.5) j i ( ;J) (d-) = J e - ' l ; . j ! x ) ( d i , x A - ) ( A - E B(Q-1).

Auf Grund yon (3.4.9) und [18], (2.22) gestatten die Funkt.ionen y@(j , k = 1 , . . . , p ) eine Spektral- darstellung der Porni

j !" l : - ) (A-) = f {5-,5;-)f:,Z)(LP x de-) ( A + E %(I?)) ik 6-

fj;.')(O-) = (e i , F $ l ) ( A - ) e k ) ( t E R, A - E %(c-); j, k = 1, . . . , p)

$)(A+ x A - ) = (e j , F, ( A + x A - ) en.)

7k

+ 7 3

?k -30

1k

* (Y)((-j = f {l-,~$']fji)(di-) (5- E G - ) c- (3.5.6) J f k

(3.5.7) @ ) ( A - ) = (yy, FF(A-) lpk) ( A - E B(G-)) . mit

Satz 3.5.1. Es s e i m 1' e i n stetiyes Ma& aus E * ( R x G - , X ) u n d A e in Operator aus [3, L?(X)] und es bexeichne S den durch (3.4.1) definierten (stetigen) ProzeJ aus Go(R x G - , 3). Dann gilt

(3.5.8) (J F$)(A-) S ) = A X

( (A f ) (s ) , J',(A-) (Ag) (8 + t ) ) d s - _

( t E R, A - E B(Q , ) ; f, g E -3)

1

27c (3.5.9) (f, $',(Ar x A - - ) g ) = - [((Af) ( I . ) : F,(A ) (Ag) ( I ) ) d?,

A+

( A - € % ( R ) , A - E %(G ) ; j , y E 3) .

Schmidt, Verallgemeinerte stationlire stochastische Prozesse 43

Beweis. [IS], Folgerung 2.3.3. und Identifizierung von a mit R (5. den Text am Anfang von Abschnitt 1.3.).

Mit Hilfe von (3.5.3), (3.5.7) bzw. (3.5.4), (3.6.7) und unter Verwendung von (3.4.11) bzw. (3.4.16) zeigt man leicht, da13 im Fall d i m 3 = 4, d i m X = p die Beziehungen (3.5.8) bzw. (3.5.9) die Form

( t E R, d- E %(G-); j, k = 1 , . . . , q ) bzw.

( A + E B(R),d- E % ( G - ) ; j, k = 1 , . . . , q )

annehmen; fur jeden in der Form (3.4.10) darstellbaren stetigen stationiiren stochastischen ProzeB z bestehen also die Beziehungen (3.5.10) und (3.5.11).

Die Aussage des Satzes 3.5.1. ist auf folgende Weise umkehrbar:

Satz 3.5.2. Jeder Prozefi X E Go(R x G - , 3), dessen partielles nichtzuftilliges Spektralmafi F$)(t E R) bzw. dessen nich,tzufalliges Spektralmafi Fg die Form

+ - (3.5.12) (f, @(d-) 9 ) = .I- ( (W) (4, W - ) (Bg) ( s + t ) ) d.3

--m

( t E R , A - € B(&); f , g € 3) ,bzw.

(3.5.13) (f, Fx(A+ X a-) 9) = ((&) ( I ) , F(d-) (&) ( I ) ) A +

(A+ E B(R), d- E B(G-); f, g E 3) besitzt ( F : auf B(G-) definiertes Mqfi mit Werten in [XI und der Eigenschaft

(3.5.14) ( A - E B(e-), y EX) , B € [S, LZ(X)] bzw. B E [3, P ( X ) ] ) , gestattet eine Darstellung durch gleitende Mittel (3.4.1) mi t Y E G*(R X G - , x l ) und A E [S, LZ(X')] (X' = T(0)X) .

( y , F ( k ) y ) 2 0

Beweis. [IS], Satz 2.3.3. und Identifizierung von a mit R (s. den Text am Anfang von Abschnitt 1.3.).

Folgerung 3.5. Es sei x ein p-dimensionaler stationarer stochastischer ProzeJ auf R x G-.

Besitzt f @ J ) ( t E R ; j, k = 1, . . . , q ) bzw. f!z)(j, k = 1, . . . , q ) die Form

(3.5.15) fiTt)(d-) = 2 fdd-) .f b jd t - v) h s ( - v) dv (A- E e(a-)) bzzu.

7k ?k P P +a0

7=1 s=1 --oo

44

(fi ,(r , s = 1, . . . , p ) : auf B(G-1 definierte EonipZexwertige Mnpe mit

(3.5.17) 2 a m W ’ i m i , L ( A - ) 2 0

f i i r b e l i e b i g e 3 - € b ( G ) , i , € : l , ..., p } , x , , E C [ n E I ] , b i , € L ’ b : i u . b , , € ~ ’ [ j = l ,..., q ; r = 1 ,..., p ] ) , so lujt sick x i ? ~ der Borni (3.4.30) (p‘ = Rq( frs(6-))r,8 = 1 , . . . , p ) darsfellen.

Schmidt, Verallgemeinerte stationare stochastische Prozesse

?Il.?lC I

4. Darstellung VOII verallgeineinertexi statioiiaren stochastischen Prozessen auf Gruppeii der Form R x G- durch eiiiseitige gleitende Mittel

Die in den Abschnitten 4.1. und 4.1. forinulierteii Aussagen mit Ausnahme von Satz 4.1.2. ergeben sich durch Spezialisierung der Ergebiiisse der Abschnitte 3.2. und 3.3. RUB [17] sowie 3.1. aus [l8] auf deli Spezialfall G+ = 12.

4.1. Es sei G- wieder eine beliebige (abelsche) Gruppe.

Satz 4.1.1. (1181, Hilfssatz 3.1.2.) . I?.; se i en f eiri X u , a z ~ s G * ( R x G - , X ) uiid A eiii Operator mi.$ [ P, L ) ( X ) ] , zind es beZeic?ine X dew dicrch

I

(4.1.1) /- f(d.9, E - ) (Af) (t - S )

definierfe,i ProzeJ CCUR S0(R x G , F). DUI~?L gi l t

X ( t , 6.) f: = ( t E R, 6- E G-, f E 3) - m

(4.1.2) IG,(0) S X r ( 0 ) . Eine Darstellung des Prozesses S E &(I2 >, G , Y) in der Form (4.1.1)

bezeichnet man als Dnr.stellioig durch einseitigc gZeite)zde M i t / d (vgl. dazu [It%], Bemerkung 3.1.1 .).

Satz 4.1.2. Der Proz~f i S E g,,(R x G - , 3) i r t yozuu drrun i i ~ der Form (4.1.1) rlnrstellbur, icenn der genr i i j (3.1.1) definierte ProzeJ X’ E E(2 x G- , 3) eine Darstellziiay der Form

(4.1.3)

iriit Y’ E E‘(2 x G - , X ) ziizd A , = (. . . 0 , -4,,, d,, . . .) E 1?, (3 ,X) yestattet. - Ist dies der Fall, so konnen I” iirzdA, bzw. f z i i d A so g w i i h l t werden, daJ (3.3.3), (3.3.4) i r i id (3.4.13) yilf.

71

S’(?Z, 6 ) = 2 Y’(k, 6 ) A E - k 0 1 E Z , 6- E Q - ) k = - _

Beweis. Die A4ussage des Satzes ergibt sicah unmittelbar aus Satz 3.4.2. und

Satz 4.1.3. ([18], Satz 3.1.1.) Jeder iia dcr Form (4.1.1) darstellbare Prozefl Heinerkung 1.2.1. (beachte [ l T ] , (1.45) und (1.47)).

,Y E E(,(R x G-, 3) ist reguhr .

Folgerung 4.1.1. Jeder in der Form 11 t

/ = l - _ (4.1.4) T l ( t , t-) = 2 J a,,(t - S ) y , ( d ~ . E - ) ( t E R, 5 - E G - ; i = 1, . . . , 9 )

(vgl. (3.4.10)) darstellbare q-dimensionate stationare stochafitische Pro:eJ x auf R x G- ist regular.

Schmidt, Verallgemeinerte stationlre stochastische Prozesse 45

Satz 4.1.4. ([ls], Satz 3.1.2.) Die Kouurianzfunktion I’, des Prozesses XE 60(R x G-j 3)

gestutte eine Darstellung der Form

(4.1.5) if, E - ) 9 ) = 7 ((Bf) ( s ) , r(E-1 (Bg) (8 + t ) ) ds max(o,-t)

( t E R , t - E B - ; f i g € 3); clubei sei r eine auf G- definierte Funkt ion mit Werten in [X] und der Eigenschuft (3.4.21), B sei ein Operator uus [3, L:(X)]. D u n n ist X regular.

Besitzt y(x)(j , k = 1, . . . , q) die Form (3.4.22) mit bjr€ L‘+ ( r = 1, . . . , p ) , so ist x regular. Folgerung 4.1.2. Es sei x ein q-dimensionaler stationarer stochastischer ProzeJ auf R x G-.

Ik

Satz 4.1.5. ([17], Satz 3.2.3. und 1181, Bemerkung 3.1.2.) Das yartielle nichtzufullige SpelctralmuJ F$-)( l - E G-) des Prozesses X E GO(R x G-, 3) gestatte eine Darstellung der Form

A+

( A + E % ( W ; f , g E 3); dabei sei I’ eine auf G- definierte Funkt ion mit Werten in [XI u n d der Eigenschuft (3.4.21), B sei ein Operator aus [3, U;(X)]. Dann ist X regular.

Folgerung 4.1.3. Es sei x ein q-dimensionaler stationarer stochastischer ProzeJl auf R x G - . Besitzt f ( x , e - ) ( t - E G - ; j , k = 1,. . . , q) die Form (3.4.23) mit i7,EYz+(r = 1,. . . , p ) , so ist x regular.

?k

4.2. Es sei nun G- eine lokulbi~ompak€~ huusdorffsche (abelsche) Gruppe. Satz 4.2.1. ([17], Satz 3.3.1. und [18], Bemerkung 3.1.2.) Bas partielle nirht-

zirftillige Spektralmufl F$?(t E R) des Prozesses X E Go( R x a-, 3) gestutte e ine Darstellung der Form

(4.2.1) (f, @(Av) g) = 7 ( ( B f ) (4, P(A-1 (Bg) ( s 4- t ) ) maxio, - I)

(A - %(Q-); f , g E 3); dabei sei F ein uuf B(I!-) definiertes M a , mit Werten in [XI und der Eigenschuft (3.5.14), B sei ein Operator uus [3, L:(X)]. Dann ist X regular.

Besitzt f ( ” J ) ( t E R ; j , k == 1 , . . . , q) die Form (3.6.15) mit 6,,€ L:(r = 1, . . . , p ) , so ist x regular. Folgerung 4.2.1. Es sei x ein q-dimensionaler stationarer stochastischer Prozph auf R X G - .

Satz 4.2.2. ([17], Satz 3.3.2. und [18], Bemerkung 3.1.2.) Das nichtzufiillige Spektralmu, F, des Prozesses X E Go(R x G - , 3) gestatte eine Durstellung der Form

?k

A +

(A+ E %(R), A - E B(W; f, g E 3);


dabei sei F ein auf B(&) definiertes H a . mit Werten in [XI u n d der Eigenschuft (3.5.14), B sei ein Operator aus [3, P+(X)] . Dann ist X regular.

Besitztf!x)(j , k = 1, . . . , q ) die Form (3.5.16) mit birEy:(r = 1, . . . , p ) , so ist x regular. Folgerung 4.2.2. Es sei x ein q-dimensionaler stationarer stochastischer ProzeJ auf R x G-.

4.3. Wir zeigen nun, dal3 die Aussagen der Satze 4.1.3., 4.1.4., 4.1.5., 4.2.1.

Satz 4.3.1. Jeder regulare ProzeJ X E Go(R x G-, 3) 1aJt sich durch einseitige gleitende Mittel ( d . h. in der Form (4.1.1)) darstellen.8) Dabei k a n n das HUB Y E G*(R x G - , X ) so gewahlt werden, daJ3 die Beziehungen

und 4.2.2. uinkehrbar sind.

(4.3.1) X p =Zx (4.3.2) Xep(0) = X’7e,(O)

(4.3.3) U p ( t , [-) = U,(t, [-) ( t E R, [- E G-) bestehen ; dann ergeben sich die beste lineare Extrapolation von X u n d der zugehorige Irrtumsoperator aus den Beziehungen

(4.3.4)

( 4 . 3 4

0

Px(0) X ( t , t-) f = J P(ds , &-) (-4f) ( t - 8 ) ( t E R,, 5- E G-, f E 3) - _

t

(f, fi*(t) 9 ) = J ((a) (SL ( A d (4) ds ( t E R,; f, g E 31, 0

und ina Falle einer topologischen Gruppe G- ist f geizau dann stetig, wenn X stetig ist.

Beweis. Aus der Regularitat von X folgt die von X’ (Folgerung 3.1.). X’ ist also ([19], Satz 3.3.1.) in der Forin (4.1.3) darstellbar. Auf Grund von Satz 4.1.2. ist X in der Forin (4.1.1) darstellbar. Aus Satz 3.1., Folgerung 3.3. sowie [19], (3.18), (3.19) und (3.20) folgt die Richtigkeit voii (4.3.1), (4.3.2) und (4.3.3). - Mit Hilfe von [16], Satz 1.5.1. und [18], Hilfssatz 2 . 2 . 2 . schlieDt man aus (4.3.3), da13 Y ini Falle einer topologischen Gruppe G- genau dann stetig ist, wenn X stetig ist. - (4.3.4) und (4.3.5) ergeben sich nun leicht aus (3.2.3) und (4.3.2).

Folgerung 4.3. Jeder regulare q-dimensionale stationare slochastische ProzeJ x auf R x G - la,& sich i n der Form (4.1.4) daratellen.9)

Satz 4.3.2. Die Kovarianzfunktion r, des reguluren Proxesses X E G0(R xG-, 3) gestattet eine Darstellung der Form (4.1.5); dabei kann die Funk t ion T so gewahlt werden, daJ

(4.3.6) T(0) = 1 x gilt.

*) I m Spezialfall G - = {0}, 3: HILBERT-hum nurde dieses Ergebnis unter der zusatzlichen

9) I m Spezialfall G- = { O } erhalt man hieraus [14], Kapitel 3, Theorem 3.1.; im Spezialfall Voraussetzung der Xuklearitkt von X*(O) X(0) in [ l Z ] erhalten.

G - = R, p = q = 1 erhalt man eine Verschiirfung von [el, Theorem 3.4.


Beweis. Auf Grund von Gatz 4.3.1. laat sich X in der Form (4.1.1) darstellen. Folglich erhalt man fur I', eine Darstellung der Form (4.1.5) niit B = A und T = T, (Satz 3.4.3.).

Analog beweist man die folgenden drei Satze.

Satz 4.3.3. Das partielle n i c ~ ~ t x u f a ~ ~ i g e ~ p e k t r a l m a ~ F$-) des regularen Proxesses X E Go(R x G-, 3) gestattet eine Darstellung der Form (4.1.6), dabei kann die Funktion I' so gewahlt werden, daJ (4.3.6) gilt.

Es sei nun G- eine lokalbikompakte hausdorffsche (abelsche) Gruppe.

Satz 4.3.4. Das partielle nichtxufallige SpektralmaJ F$) des regularen Prozesses X € GQ(R x G-, 3) gestattet eine Darstellung der Form (4.2.1); dabei kann das Map F so gewuhlt werden, daJ

(4.3.7) F(G-) = Ix gilt.

Satz 4.3.6. Das nichtzufullige S p e k ~ r a l m u ~ Px des regularen Prozesses X E t&(R x G-, 3) gestattet eine Darstellung der Form (4.2.2.); dabei kann das MaJ F so gewuhlt werden, daJ (4.3.7) gilt.

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Teckniscke Cniiwsittit Dresdeti Sektion Mafheinatik Bereich A-ahrscheinliehkeilstheorie u n d illathemntische Stntistik DUB - 8027 Dresden ,Vo~tiinsenstraJ?e 13

Verallgemeinerte stationäre stochastische Prozesse auf Gruppen der Form R × G−

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