Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini...
Transcript of Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini...
![Page 1: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/1.jpg)
Vektori
Jelena Sedlar
Fakultet gra�evinarstva, arhitekture i geodezije
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 1 / 72
![Page 2: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/2.jpg)
Osnovni pojmovi
O ravnini i prostoru:
dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznacavat cemo s E 2,
trodimenzionalni euklidski prostor (tj. bašprostor) cemo oznacavati sE 3
Nadalje:
tocke iz prostora oznacavat cemo s velikim tiskanim slovimaA,B,C ,P,Q, . . .duzinu s krajevima u tockama A i B oznacavat cemo s AB
udaljenost tocaka A i B oznacavat cemo s d(A,B) ili jošs |AB | (toje ujedno i duljina duzine AB).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 2 / 72
![Page 3: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/3.jpg)
Osnovni pojmovi
O ravnini i prostoru:
dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznacavat cemo s E 2,
trodimenzionalni euklidski prostor (tj. bašprostor) cemo oznacavati sE 3
Nadalje:
tocke iz prostora oznacavat cemo s velikim tiskanim slovimaA,B,C ,P,Q, . . .duzinu s krajevima u tockama A i B oznacavat cemo s AB
udaljenost tocaka A i B oznacavat cemo s d(A,B) ili jošs |AB | (toje ujedno i duljina duzine AB).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 2 / 72
![Page 4: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/4.jpg)
Osnovni pojmovi
O ravnini i prostoru:
dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznacavat cemo s E 2,
trodimenzionalni euklidski prostor (tj. bašprostor) cemo oznacavati sE 3
Nadalje:
tocke iz prostora oznacavat cemo s velikim tiskanim slovimaA,B,C ,P,Q, . . .duzinu s krajevima u tockama A i B oznacavat cemo s AB
udaljenost tocaka A i B oznacavat cemo s d(A,B) ili jošs |AB | (toje ujedno i duljina duzine AB).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 2 / 72
![Page 5: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/5.jpg)
Osnovni pojmovi
O ravnini i prostoru:
dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznacavat cemo s E 2,
trodimenzionalni euklidski prostor (tj. bašprostor) cemo oznacavati sE 3
Nadalje:
tocke iz prostora oznacavat cemo s velikim tiskanim slovimaA,B,C ,P,Q, . . .duzinu s krajevima u tockama A i B oznacavat cemo s AB
udaljenost tocaka A i B oznacavat cemo s d(A,B) ili jošs |AB | (toje ujedno i duljina duzine AB).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 2 / 72
![Page 6: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/6.jpg)
Osnovni pojmovi
O ravnini i prostoru:
dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznacavat cemo s E 2,
trodimenzionalni euklidski prostor (tj. bašprostor) cemo oznacavati sE 3
Nadalje:
tocke iz prostora oznacavat cemo s velikim tiskanim slovimaA,B,C ,P,Q, . . .duzinu s krajevima u tockama A i B oznacavat cemo s AB
udaljenost tocaka A i B oznacavat cemo s d(A,B) ili jošs |AB | (toje ujedno i duljina duzine AB).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 2 / 72
![Page 7: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/7.jpg)
Osnovni pojmovi
O ravnini i prostoru:
dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznacavat cemo s E 2,
trodimenzionalni euklidski prostor (tj. bašprostor) cemo oznacavati sE 3
Nadalje:
tocke iz prostora oznacavat cemo s velikim tiskanim slovimaA,B,C ,P,Q, . . .
duzinu s krajevima u tockama A i B oznacavat cemo s AB
udaljenost tocaka A i B oznacavat cemo s d(A,B) ili jošs |AB | (toje ujedno i duljina duzine AB).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 2 / 72
![Page 8: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/8.jpg)
Osnovni pojmovi
O ravnini i prostoru:
dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznacavat cemo s E 2,
trodimenzionalni euklidski prostor (tj. bašprostor) cemo oznacavati sE 3
Nadalje:
tocke iz prostora oznacavat cemo s velikim tiskanim slovimaA,B,C ,P,Q, . . .duzinu s krajevima u tockama A i B oznacavat cemo s AB
udaljenost tocaka A i B oznacavat cemo s d(A,B) ili jošs |AB | (toje ujedno i duljina duzine AB).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 2 / 72
![Page 9: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/9.jpg)
Osnovni pojmovi
O ravnini i prostoru:
dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznacavat cemo s E 2,
trodimenzionalni euklidski prostor (tj. bašprostor) cemo oznacavati sE 3
Nadalje:
tocke iz prostora oznacavat cemo s velikim tiskanim slovimaA,B,C ,P,Q, . . .duzinu s krajevima u tockama A i B oznacavat cemo s AB
udaljenost tocaka A i B oznacavat cemo s d(A,B) ili jošs |AB |
(toje ujedno i duljina duzine AB).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 2 / 72
![Page 10: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/10.jpg)
Osnovni pojmovi
O ravnini i prostoru:
dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznacavat cemo s E 2,
trodimenzionalni euklidski prostor (tj. bašprostor) cemo oznacavati sE 3
Nadalje:
tocke iz prostora oznacavat cemo s velikim tiskanim slovimaA,B,C ,P,Q, . . .duzinu s krajevima u tockama A i B oznacavat cemo s AB
udaljenost tocaka A i B oznacavat cemo s d(A,B) ili jošs |AB | (toje ujedno i duljina duzine AB).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 2 / 72
![Page 11: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/11.jpg)
Osnovni pojmovi
Motivacija.
Uocimo da neke fizikalne pojave imaju:
1 samo intenzitet - dobro se opisuju brojem,2 i intenzitet i smjer - ne mogu se opisati samo brojem.
temperatura zraka vjetar
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 3 / 72
![Page 12: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/12.jpg)
Osnovni pojmovi
Motivacija. Uocimo da neke fizikalne pojave imaju:
1 samo intenzitet - dobro se opisuju brojem,2 i intenzitet i smjer - ne mogu se opisati samo brojem.
temperatura zraka vjetar
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 3 / 72
![Page 13: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/13.jpg)
Osnovni pojmovi
Motivacija. Uocimo da neke fizikalne pojave imaju:
1 samo intenzitet
- dobro se opisuju brojem,2 i intenzitet i smjer - ne mogu se opisati samo brojem.
temperatura zraka vjetar
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 3 / 72
![Page 14: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/14.jpg)
Osnovni pojmovi
Motivacija. Uocimo da neke fizikalne pojave imaju:
1 samo intenzitet - dobro se opisuju brojem,
2 i intenzitet i smjer - ne mogu se opisati samo brojem.
temperatura zraka vjetar
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 3 / 72
![Page 15: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/15.jpg)
Osnovni pojmovi
Motivacija. Uocimo da neke fizikalne pojave imaju:
1 samo intenzitet - dobro se opisuju brojem,2 i intenzitet i smjer
- ne mogu se opisati samo brojem.
temperatura zraka vjetar
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 3 / 72
![Page 16: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/16.jpg)
Osnovni pojmovi
Motivacija. Uocimo da neke fizikalne pojave imaju:
1 samo intenzitet - dobro se opisuju brojem,2 i intenzitet i smjer - ne mogu se opisati samo brojem.
temperatura zraka vjetar
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 3 / 72
![Page 17: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/17.jpg)
Osnovni pojmovi
Motivacija. Uocimo da neke fizikalne pojave imaju:
1 samo intenzitet - dobro se opisuju brojem,2 i intenzitet i smjer - ne mogu se opisati samo brojem.
temperatura zraka
vjetar
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 3 / 72
![Page 18: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/18.jpg)
Osnovni pojmovi
Motivacija. Uocimo da neke fizikalne pojave imaju:
1 samo intenzitet - dobro se opisuju brojem,2 i intenzitet i smjer - ne mogu se opisati samo brojem.
temperatura zraka
vjetar
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 3 / 72
![Page 19: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/19.jpg)
Osnovni pojmovi
Motivacija. Uocimo da neke fizikalne pojave imaju:
1 samo intenzitet - dobro se opisuju brojem,2 i intenzitet i smjer - ne mogu se opisati samo brojem.
temperatura zraka vjetar
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 3 / 72
![Page 20: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/20.jpg)
Osnovni pojmovi
Motivacija. Uocimo da neke fizikalne pojave imaju:
1 samo intenzitet - dobro se opisuju brojem,2 i intenzitet i smjer - ne mogu se opisati samo brojem.
temperatura zraka vjetar
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 3 / 72
![Page 21: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/21.jpg)
Osnovni pojmovi
Motivacija. Uocimo da neke fizikalne pojave imaju:
1 samo intenzitet - dobro se opisuju brojem,2 i intenzitet i smjer - ne mogu se opisati samo brojem.
temperatura zraka vjetar
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 3 / 72
![Page 22: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/22.jpg)
Osnovni pojmovi
Motivacija. Uocimo da neke fizikalne pojave imaju:
1 samo intenzitet - dobro se opisuju brojem,2 i intenzitet i smjer - ne mogu se opisati samo brojem.
temperatura zraka vjetar
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 3 / 72
![Page 23: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/23.jpg)
Osnovni pojmovi
Motivacija. Uocimo da neke fizikalne pojave imaju:
1 samo intenzitet - dobro se opisuju brojem,2 i intenzitet i smjer - ne mogu se opisati samo brojem.
Neformalnije receno, do pojma "vektor" dolazimo tako da:
1 definiramo pojam usmjerene duzine,2 uvedemo relaciju slicnosti usmjerenih duzina (koja dijeli usmjereneduzine u klase),
3 definiramo vektor kao klasu slicnih usmjerenih duzina.
Ovo radimo jer ne zelimo da pojam vektor ovisi o polozaju u prostoru.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 4 / 72
![Page 24: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/24.jpg)
Osnovni pojmovi
Motivacija. Uocimo da neke fizikalne pojave imaju:
1 samo intenzitet - dobro se opisuju brojem,2 i intenzitet i smjer - ne mogu se opisati samo brojem.
Neformalnije receno, do pojma "vektor" dolazimo tako da:
1 definiramo pojam usmjerene duzine,
2 uvedemo relaciju slicnosti usmjerenih duzina (koja dijeli usmjereneduzine u klase),
3 definiramo vektor kao klasu slicnih usmjerenih duzina.
Ovo radimo jer ne zelimo da pojam vektor ovisi o polozaju u prostoru.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 4 / 72
![Page 25: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/25.jpg)
Osnovni pojmovi
Motivacija. Uocimo da neke fizikalne pojave imaju:
1 samo intenzitet - dobro se opisuju brojem,2 i intenzitet i smjer - ne mogu se opisati samo brojem.
Neformalnije receno, do pojma "vektor" dolazimo tako da:
1 definiramo pojam usmjerene duzine,2 uvedemo relaciju slicnosti usmjerenih duzina
(koja dijeli usmjereneduzine u klase),
3 definiramo vektor kao klasu slicnih usmjerenih duzina.
Ovo radimo jer ne zelimo da pojam vektor ovisi o polozaju u prostoru.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 4 / 72
![Page 26: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/26.jpg)
Osnovni pojmovi
Motivacija. Uocimo da neke fizikalne pojave imaju:
1 samo intenzitet - dobro se opisuju brojem,2 i intenzitet i smjer - ne mogu se opisati samo brojem.
Neformalnije receno, do pojma "vektor" dolazimo tako da:
1 definiramo pojam usmjerene duzine,2 uvedemo relaciju slicnosti usmjerenih duzina (koja dijeli usmjereneduzine u klase),
3 definiramo vektor kao klasu slicnih usmjerenih duzina.
Ovo radimo jer ne zelimo da pojam vektor ovisi o polozaju u prostoru.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 4 / 72
![Page 27: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/27.jpg)
Osnovni pojmovi
Motivacija. Uocimo da neke fizikalne pojave imaju:
1 samo intenzitet - dobro se opisuju brojem,2 i intenzitet i smjer - ne mogu se opisati samo brojem.
Neformalnije receno, do pojma "vektor" dolazimo tako da:
1 definiramo pojam usmjerene duzine,2 uvedemo relaciju slicnosti usmjerenih duzina (koja dijeli usmjereneduzine u klase),
3 definiramo vektor kao klasu slicnih usmjerenih duzina.
Ovo radimo jer ne zelimo da pojam vektor ovisi o polozaju u prostoru.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 4 / 72
![Page 28: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/28.jpg)
Osnovni pojmovi
Motivacija. Uocimo da neke fizikalne pojave imaju:
1 samo intenzitet - dobro se opisuju brojem,2 i intenzitet i smjer - ne mogu se opisati samo brojem.
Neformalnije receno, do pojma "vektor" dolazimo tako da:
1 definiramo pojam usmjerene duzine,2 uvedemo relaciju slicnosti usmjerenih duzina (koja dijeli usmjereneduzine u klase),
3 definiramo vektor kao klasu slicnih usmjerenih duzina.
Ovo radimo jer ne zelimo da pojam vektor ovisi o polozaju u prostoru.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 4 / 72
![Page 29: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/29.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija.
Usmjerena duzina−→AB je duzina kod koje je par krajnjih tocaka
ure�en, pa se tocka A naziva pocetkom usmjerene duzine, a tocka Bkrajem.
Definicija. Usmjerene duzine−→AB i
−→CD su slicne (pišemo
−→AB ∼ −→CD), ako
duzine AD i BC imaju isto polovište.
Definicija. Vektor je klasa slicnih usmjerenih duzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 5 / 72
![Page 30: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/30.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Usmjerena duzina−→AB je duzina kod koje je par krajnjih tocaka
ure�en,
pa se tocka A naziva pocetkom usmjerene duzine, a tocka Bkrajem.
Definicija. Usmjerene duzine−→AB i
−→CD su slicne (pišemo
−→AB ∼ −→CD), ako
duzine AD i BC imaju isto polovište.
Definicija. Vektor je klasa slicnih usmjerenih duzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 5 / 72
![Page 31: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/31.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Usmjerena duzina−→AB je duzina kod koje je par krajnjih tocaka
ure�en, pa se tocka A naziva pocetkom usmjerene duzine,
a tocka Bkrajem.
Definicija. Usmjerene duzine−→AB i
−→CD su slicne (pišemo
−→AB ∼ −→CD), ako
duzine AD i BC imaju isto polovište.
Definicija. Vektor je klasa slicnih usmjerenih duzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 5 / 72
![Page 32: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/32.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Usmjerena duzina−→AB je duzina kod koje je par krajnjih tocaka
ure�en, pa se tocka A naziva pocetkom usmjerene duzine, a tocka Bkrajem.
Definicija. Usmjerene duzine−→AB i
−→CD su slicne (pišemo
−→AB ∼ −→CD), ako
duzine AD i BC imaju isto polovište.
Definicija. Vektor je klasa slicnih usmjerenih duzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 5 / 72
![Page 33: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/33.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Usmjerena duzina−→AB je duzina kod koje je par krajnjih tocaka
ure�en, pa se tocka A naziva pocetkom usmjerene duzine, a tocka Bkrajem.
Definicija. Usmjerene duzine−→AB i
−→CD su slicne (pišemo
−→AB ∼ −→CD), ako
duzine AD i BC imaju isto polovište.
Definicija. Vektor je klasa slicnih usmjerenih duzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 5 / 72
![Page 34: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/34.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Usmjerena duzina−→AB je duzina kod koje je par krajnjih tocaka
ure�en, pa se tocka A naziva pocetkom usmjerene duzine, a tocka Bkrajem.
Definicija.
Usmjerene duzine−→AB i
−→CD su slicne (pišemo
−→AB ∼ −→CD), ako
duzine AD i BC imaju isto polovište.
Definicija. Vektor je klasa slicnih usmjerenih duzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 5 / 72
![Page 35: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/35.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Usmjerena duzina−→AB je duzina kod koje je par krajnjih tocaka
ure�en, pa se tocka A naziva pocetkom usmjerene duzine, a tocka Bkrajem.
Definicija. Usmjerene duzine−→AB i
−→CD su slicne
(pišemo−→AB ∼ −→CD), ako
duzine AD i BC imaju isto polovište.
Definicija. Vektor je klasa slicnih usmjerenih duzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 5 / 72
![Page 36: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/36.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Usmjerena duzina−→AB je duzina kod koje je par krajnjih tocaka
ure�en, pa se tocka A naziva pocetkom usmjerene duzine, a tocka Bkrajem.
Definicija. Usmjerene duzine−→AB i
−→CD su slicne (pišemo
−→AB ∼ −→CD),
akoduzine AD i BC imaju isto polovište.
Definicija. Vektor je klasa slicnih usmjerenih duzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 5 / 72
![Page 37: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/37.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Usmjerena duzina−→AB je duzina kod koje je par krajnjih tocaka
ure�en, pa se tocka A naziva pocetkom usmjerene duzine, a tocka Bkrajem.
Definicija. Usmjerene duzine−→AB i
−→CD su slicne (pišemo
−→AB ∼ −→CD), ako
duzine AD i BC imaju isto polovište.
Definicija. Vektor je klasa slicnih usmjerenih duzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 5 / 72
![Page 38: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/38.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Usmjerena duzina−→AB je duzina kod koje je par krajnjih tocaka
ure�en, pa se tocka A naziva pocetkom usmjerene duzine, a tocka Bkrajem.
Definicija. Usmjerene duzine−→AB i
−→CD su slicne (pišemo
−→AB ∼ −→CD), ako
duzine AD i BC imaju isto polovište.
Definicija. Vektor je klasa slicnih usmjerenih duzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 5 / 72
![Page 39: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/39.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Usmjerena duzina−→AB je duzina kod koje je par krajnjih tocaka
ure�en, pa se tocka A naziva pocetkom usmjerene duzine, a tocka Bkrajem.
Definicija. Usmjerene duzine−→AB i
−→CD su slicne (pišemo
−→AB ∼ −→CD), ako
duzine AD i BC imaju isto polovište.
Definicija. Vektor je klasa slicnih usmjerenih duzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 5 / 72
![Page 40: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/40.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Usmjerena duzina−→AB je duzina kod koje je par krajnjih tocaka
ure�en, pa se tocka A naziva pocetkom usmjerene duzine, a tocka Bkrajem.
Definicija. Usmjerene duzine−→AB i
−→CD su slicne (pišemo
−→AB ∼ −→CD), ako
duzine AD i BC imaju isto polovište.
Definicija. Vektor je klasa slicnih usmjerenih duzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 5 / 72
![Page 41: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/41.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Usmjerena duzina−→AB je duzina kod koje je par krajnjih tocaka
ure�en, pa se tocka A naziva pocetkom usmjerene duzine, a tocka Bkrajem.
Definicija. Usmjerene duzine−→AB i
−→CD su slicne (pišemo
−→AB ∼ −→CD), ako
duzine AD i BC imaju isto polovište.
Definicija. Vektor je klasa slicnih usmjerenih duzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 5 / 72
![Page 42: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/42.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Usmjerena duzina−→AB je duzina kod koje je par krajnjih tocaka
ure�en, pa se tocka A naziva pocetkom usmjerene duzine, a tocka Bkrajem.
Definicija. Usmjerene duzine−→AB i
−→CD su slicne (pišemo
−→AB ∼ −→CD), ako
duzine AD i BC imaju isto polovište.
Definicija. Vektor je klasa slicnih usmjerenih duzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 5 / 72
![Page 43: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/43.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Usmjerena duzina−→AB je duzina kod koje je par krajnjih tocaka
ure�en, pa se tocka A naziva pocetkom usmjerene duzine, a tocka Bkrajem.
Definicija. Usmjerene duzine−→AB i
−→CD su slicne (pišemo
−→AB ∼ −→CD), ako
duzine AD i BC imaju isto polovište.
Definicija. Vektor je klasa slicnih usmjerenih duzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 5 / 72
![Page 44: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/44.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Usmjerena duzina−→AB je duzina kod koje je par krajnjih tocaka
ure�en, pa se tocka A naziva pocetkom usmjerene duzine, a tocka Bkrajem.
Definicija. Usmjerene duzine−→AB i
−→CD su slicne (pišemo
−→AB ∼ −→CD), ako
duzine AD i BC imaju isto polovište.
Definicija. Vektor je klasa slicnih usmjerenih duzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 5 / 72
![Page 45: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/45.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Usmjerena duzina−→AB je duzina kod koje je par krajnjih tocaka
ure�en, pa se tocka A naziva pocetkom usmjerene duzine, a tocka Bkrajem.
Definicija. Usmjerene duzine−→AB i
−→CD su slicne (pišemo
−→AB ∼ −→CD), ako
duzine AD i BC imaju isto polovište.
Definicija.
Vektor je klasa slicnih usmjerenih duzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 5 / 72
![Page 46: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/46.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Usmjerena duzina−→AB je duzina kod koje je par krajnjih tocaka
ure�en, pa se tocka A naziva pocetkom usmjerene duzine, a tocka Bkrajem.
Definicija. Usmjerene duzine−→AB i
−→CD su slicne (pišemo
−→AB ∼ −→CD), ako
duzine AD i BC imaju isto polovište.
Definicija. Vektor je klasa slicnih usmjerenih duzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 5 / 72
![Page 47: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/47.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Usmjerena duzina−→AB je duzina kod koje je par krajnjih tocaka
ure�en, pa se tocka A naziva pocetkom usmjerene duzine, a tocka Bkrajem.
Definicija. Usmjerene duzine−→AB i
−→CD su slicne (pišemo
−→AB ∼ −→CD), ako
duzine AD i BC imaju isto polovište.
Definicija. Vektor je klasa slicnih usmjerenih duzina.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 5 / 72
![Page 48: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/48.jpg)
Osnovni pojmovi
Vektor je jednoznacno odre�en ako mu je zadana:
duljina,
smjer,
orijentacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 6 / 72
![Page 49: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/49.jpg)
Osnovni pojmovi
Vektor je jednoznacno odre�en ako mu je zadana:
duljina,
smjer,
orijentacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 6 / 72
![Page 50: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/50.jpg)
Osnovni pojmovi
Vektor je jednoznacno odre�en ako mu je zadana:
duljina,
smjer,
orijentacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 6 / 72
![Page 51: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/51.jpg)
Osnovni pojmovi
Vektor je jednoznacno odre�en ako mu je zadana:
duljina,
smjer,
orijentacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 6 / 72
![Page 52: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/52.jpg)
Osnovni pojmovi
Vektor je jednoznacno odre�en ako mu je zadana:
duljina,
smjer,
orijentacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 6 / 72
![Page 53: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/53.jpg)
Osnovni pojmovi
Vektor je jednoznacno odre�en ako mu je zadana:
duljina,
smjer,
orijentacija.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 6 / 72
![Page 54: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/54.jpg)
Osnovni pojmovi
Vektor je jednoznacno odre�en ako mu je zadana:
duljina,
smjer,
orijentacija.
Kazemo da su dva vektora:
kolinearni - ako imaju isti smjer (duljina i orijentacija mogu bitirazliciti).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 7 / 72
![Page 55: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/55.jpg)
Osnovni pojmovi
Vektor je jednoznacno odre�en ako mu je zadana:
duljina,
smjer,
orijentacija.
Kazemo da su dva vektora:
kolinearni
- ako imaju isti smjer (duljina i orijentacija mogu bitirazliciti).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 7 / 72
![Page 56: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/56.jpg)
Osnovni pojmovi
Vektor je jednoznacno odre�en ako mu je zadana:
duljina,
smjer,
orijentacija.
Kazemo da su dva vektora:
kolinearni - ako imaju isti smjer
(duljina i orijentacija mogu bitirazliciti).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 7 / 72
![Page 57: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/57.jpg)
Osnovni pojmovi
Vektor je jednoznacno odre�en ako mu je zadana:
duljina,
smjer,
orijentacija.
Kazemo da su dva vektora:
kolinearni - ako imaju isti smjer (duljina i orijentacija mogu bitirazliciti).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 7 / 72
![Page 58: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/58.jpg)
Osnovni pojmovi
Vektor je jednoznacno odre�en ako mu je zadana:
duljina,
smjer,
orijentacija.
Kazemo da su dva vektora:
kolinearni - ako imaju isti smjer (duljina i orijentacija mogu bitirazliciti).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 7 / 72
![Page 59: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/59.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija.
Nul-vektor je vektor koji ima pocetak i kraj u istoj tocki.
Nul-vektor oznacavamo s−→0 , predstavnici su mu sve usmjerene duzine
oblika−→PP.
Uocimo da za nul-vektor vrijedi:
duljina mu je nula,
smjer nema,
orijentaciju nema.
Definicija. Neka je −→a 6= −→0 . Jedinicni vektor −→a0 vektora −→a je vektor kojiima isti smjer i orijentaciju kao i vektor −→a , ali je duljine jedan.
Definicija. Kut izme�u vektora je kut izme�u njihovih predstavnika.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 8 / 72
![Page 60: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/60.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Nul-vektor je vektor koji ima pocetak i kraj u istoj tocki.
Nul-vektor oznacavamo s−→0 , predstavnici su mu sve usmjerene duzine
oblika−→PP.
Uocimo da za nul-vektor vrijedi:
duljina mu je nula,
smjer nema,
orijentaciju nema.
Definicija. Neka je −→a 6= −→0 . Jedinicni vektor −→a0 vektora −→a je vektor kojiima isti smjer i orijentaciju kao i vektor −→a , ali je duljine jedan.
Definicija. Kut izme�u vektora je kut izme�u njihovih predstavnika.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 8 / 72
![Page 61: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/61.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Nul-vektor je vektor koji ima pocetak i kraj u istoj tocki.
Nul-vektor oznacavamo s−→0 ,
predstavnici su mu sve usmjerene duzineoblika
−→PP.
Uocimo da za nul-vektor vrijedi:
duljina mu je nula,
smjer nema,
orijentaciju nema.
Definicija. Neka je −→a 6= −→0 . Jedinicni vektor −→a0 vektora −→a je vektor kojiima isti smjer i orijentaciju kao i vektor −→a , ali je duljine jedan.
Definicija. Kut izme�u vektora je kut izme�u njihovih predstavnika.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 8 / 72
![Page 62: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/62.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Nul-vektor je vektor koji ima pocetak i kraj u istoj tocki.
Nul-vektor oznacavamo s−→0 , predstavnici su mu sve usmjerene duzine
oblika−→PP.
Uocimo da za nul-vektor vrijedi:
duljina mu je nula,
smjer nema,
orijentaciju nema.
Definicija. Neka je −→a 6= −→0 . Jedinicni vektor −→a0 vektora −→a je vektor kojiima isti smjer i orijentaciju kao i vektor −→a , ali je duljine jedan.
Definicija. Kut izme�u vektora je kut izme�u njihovih predstavnika.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 8 / 72
![Page 63: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/63.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Nul-vektor je vektor koji ima pocetak i kraj u istoj tocki.
Nul-vektor oznacavamo s−→0 , predstavnici su mu sve usmjerene duzine
oblika−→PP.
Uocimo da za nul-vektor vrijedi:
duljina mu je nula,
smjer nema,
orijentaciju nema.
Definicija. Neka je −→a 6= −→0 . Jedinicni vektor −→a0 vektora −→a je vektor kojiima isti smjer i orijentaciju kao i vektor −→a , ali je duljine jedan.
Definicija. Kut izme�u vektora je kut izme�u njihovih predstavnika.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 8 / 72
![Page 64: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/64.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Nul-vektor je vektor koji ima pocetak i kraj u istoj tocki.
Nul-vektor oznacavamo s−→0 , predstavnici su mu sve usmjerene duzine
oblika−→PP.
Uocimo da za nul-vektor vrijedi:
duljina mu je nula,
smjer nema,
orijentaciju nema.
Definicija. Neka je −→a 6= −→0 . Jedinicni vektor −→a0 vektora −→a je vektor kojiima isti smjer i orijentaciju kao i vektor −→a , ali je duljine jedan.
Definicija. Kut izme�u vektora je kut izme�u njihovih predstavnika.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 8 / 72
![Page 65: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/65.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Nul-vektor je vektor koji ima pocetak i kraj u istoj tocki.
Nul-vektor oznacavamo s−→0 , predstavnici su mu sve usmjerene duzine
oblika−→PP.
Uocimo da za nul-vektor vrijedi:
duljina mu je nula,
smjer nema,
orijentaciju nema.
Definicija. Neka je −→a 6= −→0 . Jedinicni vektor −→a0 vektora −→a je vektor kojiima isti smjer i orijentaciju kao i vektor −→a , ali je duljine jedan.
Definicija. Kut izme�u vektora je kut izme�u njihovih predstavnika.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 8 / 72
![Page 66: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/66.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Nul-vektor je vektor koji ima pocetak i kraj u istoj tocki.
Nul-vektor oznacavamo s−→0 , predstavnici su mu sve usmjerene duzine
oblika−→PP.
Uocimo da za nul-vektor vrijedi:
duljina mu je nula,
smjer nema,
orijentaciju nema.
Definicija. Neka je −→a 6= −→0 . Jedinicni vektor −→a0 vektora −→a je vektor kojiima isti smjer i orijentaciju kao i vektor −→a , ali je duljine jedan.
Definicija. Kut izme�u vektora je kut izme�u njihovih predstavnika.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 8 / 72
![Page 67: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/67.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Nul-vektor je vektor koji ima pocetak i kraj u istoj tocki.
Nul-vektor oznacavamo s−→0 , predstavnici su mu sve usmjerene duzine
oblika−→PP.
Uocimo da za nul-vektor vrijedi:
duljina mu je nula,
smjer nema,
orijentaciju nema.
Definicija.
Neka je −→a 6= −→0 . Jedinicni vektor −→a0 vektora −→a je vektor kojiima isti smjer i orijentaciju kao i vektor −→a , ali je duljine jedan.
Definicija. Kut izme�u vektora je kut izme�u njihovih predstavnika.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 8 / 72
![Page 68: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/68.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Nul-vektor je vektor koji ima pocetak i kraj u istoj tocki.
Nul-vektor oznacavamo s−→0 , predstavnici su mu sve usmjerene duzine
oblika−→PP.
Uocimo da za nul-vektor vrijedi:
duljina mu je nula,
smjer nema,
orijentaciju nema.
Definicija. Neka je −→a 6= −→0 .
Jedinicni vektor −→a0 vektora −→a je vektor kojiima isti smjer i orijentaciju kao i vektor −→a , ali je duljine jedan.
Definicija. Kut izme�u vektora je kut izme�u njihovih predstavnika.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 8 / 72
![Page 69: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/69.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Nul-vektor je vektor koji ima pocetak i kraj u istoj tocki.
Nul-vektor oznacavamo s−→0 , predstavnici su mu sve usmjerene duzine
oblika−→PP.
Uocimo da za nul-vektor vrijedi:
duljina mu je nula,
smjer nema,
orijentaciju nema.
Definicija. Neka je −→a 6= −→0 . Jedinicni vektor −→a0 vektora −→a
je vektor kojiima isti smjer i orijentaciju kao i vektor −→a , ali je duljine jedan.
Definicija. Kut izme�u vektora je kut izme�u njihovih predstavnika.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 8 / 72
![Page 70: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/70.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Nul-vektor je vektor koji ima pocetak i kraj u istoj tocki.
Nul-vektor oznacavamo s−→0 , predstavnici su mu sve usmjerene duzine
oblika−→PP.
Uocimo da za nul-vektor vrijedi:
duljina mu je nula,
smjer nema,
orijentaciju nema.
Definicija. Neka je −→a 6= −→0 . Jedinicni vektor −→a0 vektora −→a je vektor kojiima isti smjer i orijentaciju kao i vektor −→a ,
ali je duljine jedan.
Definicija. Kut izme�u vektora je kut izme�u njihovih predstavnika.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 8 / 72
![Page 71: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/71.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Nul-vektor je vektor koji ima pocetak i kraj u istoj tocki.
Nul-vektor oznacavamo s−→0 , predstavnici su mu sve usmjerene duzine
oblika−→PP.
Uocimo da za nul-vektor vrijedi:
duljina mu je nula,
smjer nema,
orijentaciju nema.
Definicija. Neka je −→a 6= −→0 . Jedinicni vektor −→a0 vektora −→a je vektor kojiima isti smjer i orijentaciju kao i vektor −→a , ali je duljine jedan.
Definicija. Kut izme�u vektora je kut izme�u njihovih predstavnika.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 8 / 72
![Page 72: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/72.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Nul-vektor je vektor koji ima pocetak i kraj u istoj tocki.
Nul-vektor oznacavamo s−→0 , predstavnici su mu sve usmjerene duzine
oblika−→PP.
Uocimo da za nul-vektor vrijedi:
duljina mu je nula,
smjer nema,
orijentaciju nema.
Definicija. Neka je −→a 6= −→0 . Jedinicni vektor −→a0 vektora −→a je vektor kojiima isti smjer i orijentaciju kao i vektor −→a , ali je duljine jedan.
Definicija.
Kut izme�u vektora je kut izme�u njihovih predstavnika.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 8 / 72
![Page 73: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/73.jpg)
Osnovni pojmovi
Definicija. Nul-vektor je vektor koji ima pocetak i kraj u istoj tocki.
Nul-vektor oznacavamo s−→0 , predstavnici su mu sve usmjerene duzine
oblika−→PP.
Uocimo da za nul-vektor vrijedi:
duljina mu je nula,
smjer nema,
orijentaciju nema.
Definicija. Neka je −→a 6= −→0 . Jedinicni vektor −→a0 vektora −→a je vektor kojiima isti smjer i orijentaciju kao i vektor −→a , ali je duljine jedan.
Definicija. Kut izme�u vektora je kut izme�u njihovih predstavnika.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 8 / 72
![Page 74: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/74.jpg)
Osnovni pojmovi
Uvest cemo sljedece operacije s vektorima:
zbrajanje vektora
vektor + vektor = vektor ,
mnozenje vektora sa skalarom (brojem)
broj · vektor = vektor ,
skalarni produkt vektora
vektor · vektor = broj ,
vektorski produkt vektora
vektor × vektor = vektor .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 9 / 72
![Page 75: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/75.jpg)
Osnovni pojmovi
Uvest cemo sljedece operacije s vektorima:
zbrajanje vektora
vektor + vektor = vektor ,
mnozenje vektora sa skalarom (brojem)
broj · vektor = vektor ,
skalarni produkt vektora
vektor · vektor = broj ,
vektorski produkt vektora
vektor × vektor = vektor .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 9 / 72
![Page 76: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/76.jpg)
Osnovni pojmovi
Uvest cemo sljedece operacije s vektorima:
zbrajanje vektora
vektor + vektor = vektor ,
mnozenje vektora sa skalarom (brojem)
broj · vektor = vektor ,
skalarni produkt vektora
vektor · vektor = broj ,
vektorski produkt vektora
vektor × vektor = vektor .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 9 / 72
![Page 77: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/77.jpg)
Osnovni pojmovi
Uvest cemo sljedece operacije s vektorima:
zbrajanje vektora
vektor + vektor = vektor ,
mnozenje vektora sa skalarom (brojem)
broj · vektor = vektor ,
skalarni produkt vektora
vektor · vektor = broj ,
vektorski produkt vektora
vektor × vektor = vektor .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 9 / 72
![Page 78: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/78.jpg)
Osnovni pojmovi
Uvest cemo sljedece operacije s vektorima:
zbrajanje vektora
vektor + vektor = vektor ,
mnozenje vektora sa skalarom (brojem)
broj · vektor = vektor ,
skalarni produkt vektora
vektor · vektor = broj ,
vektorski produkt vektora
vektor × vektor = vektor .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 9 / 72
![Page 79: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/79.jpg)
Osnovni pojmovi
Uvest cemo sljedece operacije s vektorima:
zbrajanje vektora
vektor + vektor = vektor ,
mnozenje vektora sa skalarom (brojem)
broj · vektor = vektor ,
skalarni produkt vektora
vektor · vektor = broj ,
vektorski produkt vektora
vektor × vektor = vektor .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 9 / 72
![Page 80: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/80.jpg)
Osnovni pojmovi
Uvest cemo sljedece operacije s vektorima:
zbrajanje vektora
vektor + vektor = vektor ,
mnozenje vektora sa skalarom (brojem)
broj · vektor = vektor ,
skalarni produkt vektora
vektor · vektor = broj ,
vektorski produkt vektora
vektor × vektor = vektor .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 9 / 72
![Page 81: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/81.jpg)
Osnovni pojmovi
Uvest cemo sljedece operacije s vektorima:
zbrajanje vektora
vektor + vektor = vektor ,
mnozenje vektora sa skalarom (brojem)
broj · vektor = vektor ,
skalarni produkt vektora
vektor · vektor = broj ,
vektorski produkt vektora
vektor × vektor = vektor .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 9 / 72
![Page 82: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/82.jpg)
Osnovni pojmovi
Uvest cemo sljedece operacije s vektorima:
zbrajanje vektora
vektor + vektor = vektor ,
mnozenje vektora sa skalarom (brojem)
broj · vektor = vektor ,
skalarni produkt vektora
vektor · vektor = broj ,
vektorski produkt vektora
vektor × vektor = vektor .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 9 / 72
![Page 83: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/83.jpg)
Osnovni pojmoviZbrajanje vektora
Definicija. Neka su −→a = −→OA i −→b = −→AB vektori. Zbroj vektora −→a i−→b je
vektor −→c ozn= −→a +−→b = −→OB.
pravilo trokuta pravilo paralelograma
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 10 / 72
![Page 84: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/84.jpg)
Osnovni pojmoviZbrajanje vektora
Definicija.
Neka su −→a = −→OA i −→b = −→AB vektori. Zbroj vektora −→a i−→b je
vektor −→c ozn= −→a +−→b = −→OB.
pravilo trokuta pravilo paralelograma
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 10 / 72
![Page 85: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/85.jpg)
Osnovni pojmoviZbrajanje vektora
Definicija. Neka su −→a = −→OA i −→b = −→AB vektori.
Zbroj vektora −→a i−→b je
vektor −→c ozn= −→a +−→b = −→OB.
pravilo trokuta pravilo paralelograma
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 10 / 72
![Page 86: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/86.jpg)
Osnovni pojmoviZbrajanje vektora
Definicija. Neka su −→a = −→OA i −→b = −→AB vektori. Zbroj vektora −→a i−→b je
vektor −→c ozn= −→a +−→b = −→OB.
pravilo trokuta pravilo paralelograma
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 10 / 72
![Page 87: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/87.jpg)
Osnovni pojmoviZbrajanje vektora
Definicija. Neka su −→a = −→OA i −→b = −→AB vektori. Zbroj vektora −→a i−→b je
vektor −→c ozn= −→a +−→b = −→OB.
pravilo trokuta pravilo paralelograma
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 10 / 72
![Page 88: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/88.jpg)
Osnovni pojmoviZbrajanje vektora
Definicija. Neka su −→a = −→OA i −→b = −→AB vektori. Zbroj vektora −→a i−→b je
vektor −→c ozn= −→a +−→b = −→OB.
pravilo trokuta pravilo paralelograma
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 10 / 72
![Page 89: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/89.jpg)
Osnovni pojmoviZbrajanje vektora
Definicija. Neka su −→a = −→OA i −→b = −→AB vektori. Zbroj vektora −→a i−→b je
vektor −→c ozn= −→a +−→b = −→OB.
pravilo trokuta pravilo paralelograma
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 10 / 72
![Page 90: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/90.jpg)
Osnovni pojmoviZbrajanje vektora
Definicija. Neka su −→a = −→OA i −→b = −→AB vektori. Zbroj vektora −→a i−→b je
vektor −→c ozn= −→a +−→b = −→OB.
pravilo trokuta pravilo paralelograma
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 10 / 72
![Page 91: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/91.jpg)
Osnovni pojmoviZbrajanje vektora
Definicija. Neka su −→a = −→OA i −→b = −→AB vektori. Zbroj vektora −→a i−→b je
vektor −→c ozn= −→a +−→b = −→OB.
pravilo trokuta pravilo paralelograma
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 10 / 72
![Page 92: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/92.jpg)
Osnovni pojmoviZbrajanje vektora
Definicija. Neka su −→a = −→OA i −→b = −→AB vektori. Zbroj vektora −→a i−→b je
vektor −→c ozn= −→a +−→b = −→OB.
pravilo trokuta
pravilo paralelograma
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 10 / 72
![Page 93: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/93.jpg)
Osnovni pojmoviZbrajanje vektora
Definicija. Neka su −→a = −→OA i −→b = −→AB vektori. Zbroj vektora −→a i−→b je
vektor −→c ozn= −→a +−→b = −→OB.
pravilo trokuta
pravilo paralelograma
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 10 / 72
![Page 94: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/94.jpg)
Osnovni pojmoviZbrajanje vektora
Definicija. Neka su −→a = −→OA i −→b = −→AB vektori. Zbroj vektora −→a i−→b je
vektor −→c ozn= −→a +−→b = −→OB.
pravilo trokuta
pravilo paralelograma
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 10 / 72
![Page 95: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/95.jpg)
Osnovni pojmoviZbrajanje vektora
Definicija. Neka su −→a = −→OA i −→b = −→AB vektori. Zbroj vektora −→a i−→b je
vektor −→c ozn= −→a +−→b = −→OB.
pravilo trokuta
pravilo paralelograma
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 10 / 72
![Page 96: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/96.jpg)
Osnovni pojmoviZbrajanje vektora
Definicija. Neka su −→a = −→OA i −→b = −→AB vektori. Zbroj vektora −→a i−→b je
vektor −→c ozn= −→a +−→b = −→OB.
pravilo trokuta pravilo paralelograma
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 10 / 72
![Page 97: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/97.jpg)
Osnovni pojmovi
Zadatak.
Skiciraj neke vektore −→a i−→b razlicitog smjera i duljine. Odredi
graficki vektor −→a +−→b po: a) pravilu trokuta, b) pravilu paralelograma!
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 11 / 72
![Page 98: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/98.jpg)
Osnovni pojmovi
Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a i−→b razlicitog smjera i duljine.
Odredigraficki vektor −→a +−→b po: a) pravilu trokuta, b) pravilu paralelograma!
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 11 / 72
![Page 99: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/99.jpg)
Osnovni pojmovi
Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a i−→b razlicitog smjera i duljine. Odredi
graficki vektor −→a +−→b po:
a) pravilu trokuta, b) pravilu paralelograma!
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 11 / 72
![Page 100: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/100.jpg)
Osnovni pojmovi
Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a i−→b razlicitog smjera i duljine. Odredi
graficki vektor −→a +−→b po: a) pravilu trokuta,
b) pravilu paralelograma!
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 11 / 72
![Page 101: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/101.jpg)
Osnovni pojmovi
Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a i−→b razlicitog smjera i duljine. Odredi
graficki vektor −→a +−→b po: a) pravilu trokuta, b) pravilu paralelograma!
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 11 / 72
![Page 102: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/102.jpg)
Osnovni pojmovi
Zbrajanje vektora ima sljedeca svojstva:
Z1)(−→a +−→b )+−→c = −→a + (−→b +−→c ) (asocijativnost),
Z2) −→a +−→b = −→b +−→a (komutativnost),
Z3) za svaki vektor −→a vrijedi −→a +−→0 =−→0 +−→a =−→a (postojanjeneutralnog elementa),
Z4) za svaki vektor −→a = −→PQ postoji njemu suprotan vektor −−→a = −→QPtakav da je −→a +(−−→a ) =−→0 (postojanje suprotnog elementa).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 12 / 72
![Page 103: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/103.jpg)
Osnovni pojmovi
Zbrajanje vektora ima sljedeca svojstva:
Z1)(−→a +−→b )+−→c = −→a + (−→b +−→c )
(asocijativnost),
Z2) −→a +−→b = −→b +−→a (komutativnost),
Z3) za svaki vektor −→a vrijedi −→a +−→0 =−→0 +−→a =−→a (postojanjeneutralnog elementa),
Z4) za svaki vektor −→a = −→PQ postoji njemu suprotan vektor −−→a = −→QPtakav da je −→a +(−−→a ) =−→0 (postojanje suprotnog elementa).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 12 / 72
![Page 104: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/104.jpg)
Osnovni pojmovi
Zbrajanje vektora ima sljedeca svojstva:
Z1)(−→a +−→b )+−→c = −→a + (−→b +−→c ) (asocijativnost),
Z2) −→a +−→b = −→b +−→a (komutativnost),
Z3) za svaki vektor −→a vrijedi −→a +−→0 =−→0 +−→a =−→a (postojanjeneutralnog elementa),
Z4) za svaki vektor −→a = −→PQ postoji njemu suprotan vektor −−→a = −→QPtakav da je −→a +(−−→a ) =−→0 (postojanje suprotnog elementa).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 12 / 72
![Page 105: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/105.jpg)
Osnovni pojmovi
Zbrajanje vektora ima sljedeca svojstva:
Z1)(−→a +−→b )+−→c = −→a + (−→b +−→c ) (asocijativnost),
Z2) −→a +−→b = −→b +−→a
(komutativnost),
Z3) za svaki vektor −→a vrijedi −→a +−→0 =−→0 +−→a =−→a (postojanjeneutralnog elementa),
Z4) za svaki vektor −→a = −→PQ postoji njemu suprotan vektor −−→a = −→QPtakav da je −→a +(−−→a ) =−→0 (postojanje suprotnog elementa).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 12 / 72
![Page 106: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/106.jpg)
Osnovni pojmovi
Zbrajanje vektora ima sljedeca svojstva:
Z1)(−→a +−→b )+−→c = −→a + (−→b +−→c ) (asocijativnost),
Z2) −→a +−→b = −→b +−→a (komutativnost),
Z3) za svaki vektor −→a vrijedi −→a +−→0 =−→0 +−→a =−→a (postojanjeneutralnog elementa),
Z4) za svaki vektor −→a = −→PQ postoji njemu suprotan vektor −−→a = −→QPtakav da je −→a +(−−→a ) =−→0 (postojanje suprotnog elementa).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 12 / 72
![Page 107: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/107.jpg)
Osnovni pojmovi
Zbrajanje vektora ima sljedeca svojstva:
Z1)(−→a +−→b )+−→c = −→a + (−→b +−→c ) (asocijativnost),
Z2) −→a +−→b = −→b +−→a (komutativnost),
Z3) za svaki vektor −→a vrijedi −→a +−→0 =−→0 +−→a =−→a
(postojanjeneutralnog elementa),
Z4) za svaki vektor −→a = −→PQ postoji njemu suprotan vektor −−→a = −→QPtakav da je −→a +(−−→a ) =−→0 (postojanje suprotnog elementa).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 12 / 72
![Page 108: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/108.jpg)
Osnovni pojmovi
Zbrajanje vektora ima sljedeca svojstva:
Z1)(−→a +−→b )+−→c = −→a + (−→b +−→c ) (asocijativnost),
Z2) −→a +−→b = −→b +−→a (komutativnost),
Z3) za svaki vektor −→a vrijedi −→a +−→0 =−→0 +−→a =−→a (postojanjeneutralnog elementa),
Z4) za svaki vektor −→a = −→PQ postoji njemu suprotan vektor −−→a = −→QPtakav da je −→a +(−−→a ) =−→0 (postojanje suprotnog elementa).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 12 / 72
![Page 109: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/109.jpg)
Osnovni pojmovi
Zbrajanje vektora ima sljedeca svojstva:
Z1)(−→a +−→b )+−→c = −→a + (−→b +−→c ) (asocijativnost),
Z2) −→a +−→b = −→b +−→a (komutativnost),
Z3) za svaki vektor −→a vrijedi −→a +−→0 =−→0 +−→a =−→a (postojanjeneutralnog elementa),
Z4) za svaki vektor −→a = −→PQ postoji njemu suprotan vektor −−→a = −→QPtakav da je −→a +(−−→a ) =−→0
(postojanje suprotnog elementa).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 12 / 72
![Page 110: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/110.jpg)
Osnovni pojmovi
Zbrajanje vektora ima sljedeca svojstva:
Z1)(−→a +−→b )+−→c = −→a + (−→b +−→c ) (asocijativnost),
Z2) −→a +−→b = −→b +−→a (komutativnost),
Z3) za svaki vektor −→a vrijedi −→a +−→0 =−→0 +−→a =−→a (postojanjeneutralnog elementa),
Z4) za svaki vektor −→a = −→PQ postoji njemu suprotan vektor −−→a = −→QPtakav da je −→a +(−−→a ) =−→0 (postojanje suprotnog elementa).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 12 / 72
![Page 111: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/111.jpg)
Osnovni pojmovi
Zbrajanje vektora ima sljedeca svojstva:
Z1)(−→a +−→b )+−→c = −→a + (−→b +−→c ) (asocijativnost),
Z2) −→a +−→b = −→b +−→a (komutativnost),
Z3) za svaki vektor −→a vrijedi −→a +−→0 =−→0 +−→a =−→a (postojanjeneutralnog elementa),
Z4) za svaki vektor −→a = −→PQ postoji njemu suprotan vektor −−→a = −→QPtakav da je −→a +(−−→a ) =−→0 (postojanje suprotnog elementa).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 12 / 72
![Page 112: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/112.jpg)
Osnovni pojmovi
Zbrajanje vektora ima sljedeca svojstva:
Z1)(−→a +−→b )+−→c = −→a + (−→b +−→c ) (asocijativnost),
Z2) −→a +−→b = −→b +−→a (komutativnost),
Z3) za svaki vektor −→a vrijedi −→a +−→0 =−→0 +−→a =−→a (postojanjeneutralnog elementa),
Z4) za svaki vektor −→a = −→PQ postoji njemu suprotan vektor −−→a = −→QPtakav da je −→a +(−−→a ) =−→0 (postojanje suprotnog elementa).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 12 / 72
![Page 113: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/113.jpg)
Osnovni pojmovi
Zbrajanje vektora ima sljedeca svojstva:
Z1)(−→a +−→b )+−→c = −→a + (−→b +−→c ) (asocijativnost),
Z2) −→a +−→b = −→b +−→a (komutativnost),
Z3) za svaki vektor −→a vrijedi −→a +−→0 =−→0 +−→a =−→a (postojanjeneutralnog elementa),
Z4) za svaki vektor −→a = −→PQ postoji njemu suprotan vektor −−→a = −→QPtakav da je −→a +(−−→a ) =−→0 (postojanje suprotnog elementa).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 12 / 72
![Page 114: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/114.jpg)
Osnovni pojmovi
Zbrajanje vektora ima sljedeca svojstva:
Z1)(−→a +−→b )+−→c = −→a + (−→b +−→c ) (asocijativnost),
Z2) −→a +−→b = −→b +−→a (komutativnost),
Z3) za svaki vektor −→a vrijedi −→a +−→0 =−→0 +−→a =−→a (postojanjeneutralnog elementa),
Z4) za svaki vektor −→a = −→PQ postoji njemu suprotan vektor −−→a = −→QPtakav da je −→a +(−−→a ) =−→0 (postojanje suprotnog elementa).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 12 / 72
![Page 115: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/115.jpg)
Osnovni pojmovi
Zbrajanje vektora ima sljedeca svojstva:
Z1)(−→a +−→b )+−→c = −→a + (−→b +−→c ) (asocijativnost),
Z2) −→a +−→b = −→b +−→a (komutativnost),
Z3) za svaki vektor −→a vrijedi −→a +−→0 =−→0 +−→a =−→a (postojanjeneutralnog elementa),
Z4) za svaki vektor −→a = −→PQ postoji njemu suprotan vektor −−→a = −→QPtakav da je −→a +(−−→a ) =−→0 (postojanje suprotnog elementa).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 12 / 72
![Page 116: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/116.jpg)
Osnovni pojmovi
Zbrajanje vektora ima sljedeca svojstva:
Z1)(−→a +−→b )+−→c = −→a + (−→b +−→c ) (asocijativnost),
Z2) −→a +−→b = −→b +−→a (komutativnost),
Z3) za svaki vektor −→a vrijedi −→a +−→0 =−→0 +−→a =−→a (postojanjeneutralnog elementa),
Z4) za svaki vektor −→a = −→PQ postoji njemu suprotan vektor −−→a = −→QPtakav da je −→a +(−−→a ) =−→0 (postojanje suprotnog elementa).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 12 / 72
![Page 117: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/117.jpg)
Osnovni pojmovi
Zbrajanje vektora ima sljedeca svojstva:
Z1)(−→a +−→b )+−→c = −→a + (−→b +−→c ) (asocijativnost),
Z2) −→a +−→b = −→b +−→a (komutativnost),
Z3) za svaki vektor −→a vrijedi −→a +−→0 =−→0 +−→a =−→a (postojanjeneutralnog elementa),
Z4) za svaki vektor −→a = −→PQ postoji njemu suprotan vektor −−→a = −→QPtakav da je −→a +(−−→a ) =−→0 (postojanje suprotnog elementa).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 12 / 72
![Page 118: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/118.jpg)
Osnovni pojmovi
Zbrajanje vektora ima sljedeca svojstva:
Z1)(−→a +−→b )+−→c = −→a + (−→b +−→c ) (asocijativnost),
Z2) −→a +−→b = −→b +−→a (komutativnost),
Z3) za svaki vektor −→a vrijedi −→a +−→0 =−→0 +−→a =−→a (postojanjeneutralnog elementa),
Z4) za svaki vektor −→a = −→PQ postoji njemu suprotan vektor −−→a = −→QPtakav da je −→a +(−−→a ) =−→0 (postojanje suprotnog elementa).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 12 / 72
![Page 119: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/119.jpg)
Osnovni pojmovi
Zbrajanje vektora ima sljedeca svojstva:
Z1)(−→a +−→b )+−→c = −→a + (−→b +−→c ) (asocijativnost),
Z2) −→a +−→b = −→b +−→a (komutativnost),
Z3) za svaki vektor −→a vrijedi −→a +−→0 =−→0 +−→a =−→a (postojanjeneutralnog elementa),
Z4) za svaki vektor −→a = −→PQ postoji njemu suprotan vektor −−→a = −→QPtakav da je −→a +(−−→a ) =−→0 (postojanje suprotnog elementa).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 12 / 72
![Page 120: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/120.jpg)
Osnovni pojmovi
Zbrajanje vektora ima sljedeca svojstva:
Z1)(−→a +−→b )+−→c = −→a + (−→b +−→c ) (asocijativnost),
Z2) −→a +−→b = −→b +−→a (komutativnost),
Z3) za svaki vektor −→a vrijedi −→a +−→0 =−→0 +−→a =−→a (postojanjeneutralnog elementa),
Z4) za svaki vektor −→a = −→PQ postoji njemu suprotan vektor −−→a = −→QPtakav da je −→a +(−−→a ) =−→0 (postojanje suprotnog elementa).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 12 / 72
![Page 121: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/121.jpg)
Osnovni pojmovi
Pravilo mnogokuta.
Ako su zadani vektori
−→a 1 =−−→OA1,
−→a 2 =−−→A1A2, . . . ,−→a n =
−−−−→An−1An,
onda je−→a 1 +−→a 2 + . . .+−→a n =
−−→OAn.
Ovo pravilo slijedi iz pravila trokuta i svojstva asocijativnosti zbrajanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 13 / 72
![Page 122: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/122.jpg)
Osnovni pojmovi
Pravilo mnogokuta. Ako su zadani vektori
−→a 1 =−−→OA1,
−→a 2 =−−→A1A2, . . . ,−→a n =
−−−−→An−1An,
onda je−→a 1 +−→a 2 + . . .+−→a n =
−−→OAn.
Ovo pravilo slijedi iz pravila trokuta i svojstva asocijativnosti zbrajanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 13 / 72
![Page 123: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/123.jpg)
Osnovni pojmovi
Pravilo mnogokuta. Ako su zadani vektori
−→a 1 =−−→OA1,
−→a 2 =−−→A1A2, . . . ,−→a n =
−−−−→An−1An,
onda je−→a 1 +−→a 2 + . . .+−→a n =
−−→OAn.
Ovo pravilo slijedi iz pravila trokuta i svojstva asocijativnosti zbrajanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 13 / 72
![Page 124: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/124.jpg)
Osnovni pojmovi
Pravilo mnogokuta. Ako su zadani vektori
−→a 1 =−−→OA1,
−→a 2 =−−→A1A2, . . . ,−→a n =
−−−−→An−1An,
onda je−→a 1 +−→a 2 + . . .+−→a n =
−−→OAn.
Ovo pravilo slijedi iz pravila trokuta i svojstva asocijativnosti zbrajanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 13 / 72
![Page 125: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/125.jpg)
Osnovni pojmovi
Pravilo mnogokuta. Ako su zadani vektori
−→a 1 =−−→OA1,
−→a 2 =−−→A1A2, . . . ,−→a n =
−−−−→An−1An,
onda je−→a 1 +−→a 2 + . . .+−→a n =
−−→OAn.
Ovo pravilo slijedi iz pravila trokuta i svojstva asocijativnosti zbrajanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 13 / 72
![Page 126: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/126.jpg)
Osnovni pojmovi
Pravilo mnogokuta. Ako su zadani vektori
−→a 1 =−−→OA1,
−→a 2 =−−→A1A2, . . . ,−→a n =
−−−−→An−1An,
onda je−→a 1 +−→a 2 + . . .+−→a n =
−−→OAn.
Ovo pravilo slijedi iz pravila trokuta i svojstva asocijativnosti zbrajanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 13 / 72
![Page 127: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/127.jpg)
Osnovni pojmovi
Pravilo mnogokuta. Ako su zadani vektori
−→a 1 =−−→OA1,
−→a 2 =−−→A1A2, . . . ,−→a n =
−−−−→An−1An,
onda je−→a 1 +−→a 2 + . . .+−→a n =
−−→OAn.
Ovo pravilo slijedi iz pravila trokuta i svojstva asocijativnosti zbrajanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 13 / 72
![Page 128: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/128.jpg)
Osnovni pojmovi
Pravilo mnogokuta. Ako su zadani vektori
−→a 1 =−−→OA1,
−→a 2 =−−→A1A2, . . . ,−→a n =
−−−−→An−1An,
onda je−→a 1 +−→a 2 + . . .+−→a n =
−−→OAn.
Ovo pravilo slijedi iz pravila trokuta i svojstva asocijativnosti zbrajanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 13 / 72
![Page 129: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/129.jpg)
Osnovni pojmovi
Pravilo mnogokuta. Ako su zadani vektori
−→a 1 =−−→OA1,
−→a 2 =−−→A1A2, . . . ,−→a n =
−−−−→An−1An,
onda je−→a 1 +−→a 2 + . . .+−→a n =
−−→OAn.
Ovo pravilo slijedi iz pravila trokuta i svojstva asocijativnosti zbrajanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 13 / 72
![Page 130: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/130.jpg)
Osnovni pojmovi
Pravilo mnogokuta. Ako su zadani vektori
−→a 1 =−−→OA1,
−→a 2 =−−→A1A2, . . . ,−→a n =
−−−−→An−1An,
onda je−→a 1 +−→a 2 + . . .+−→a n =
−−→OAn.
Ovo pravilo slijedi iz pravila trokuta i svojstva asocijativnosti zbrajanja.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 13 / 72
![Page 131: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/131.jpg)
Osnovni pojmovi
Zadatak.
Skiciraj neke vektore −→a , −→b i −→c razlicitog smjera i duljine.Odredi graficki vektor −→a +−→b +−→c .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 14 / 72
![Page 132: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/132.jpg)
Osnovni pojmovi
Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a , −→b i −→c razlicitog smjera i duljine.
Odredi graficki vektor −→a +−→b +−→c .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 14 / 72
![Page 133: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/133.jpg)
Osnovni pojmovi
Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a , −→b i −→c razlicitog smjera i duljine.Odredi graficki vektor −→a +−→b +−→c .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 14 / 72
![Page 134: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/134.jpg)
Osnovni pojmoviMnozenje vektora sa skalarom
Definicija. Neka je −→a vektor, a λ ∈ R skalar. Umnozak vektora −→a iskalara λ je vektor kojeg oznacavamo λ−→a , a koji je definiran sa:
λ−→a = −→0 ako je λ = 0 ili −→a = −→0 .U suprotnom, vektor λ−→a ima:
duljinu - jednaku duljini vektora −→a pomnozenoj sa |λ| ,smjer - jednak smjeru vektora −→a ,orijentaciju - jednaku orijentaciji od −→a za λ > 0, suprotnu orijentacijiod −→a za λ < 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 15 / 72
![Page 135: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/135.jpg)
Osnovni pojmoviMnozenje vektora sa skalarom
Definicija.
Neka je −→a vektor, a λ ∈ R skalar. Umnozak vektora −→a iskalara λ je vektor kojeg oznacavamo λ−→a , a koji je definiran sa:
λ−→a = −→0 ako je λ = 0 ili −→a = −→0 .U suprotnom, vektor λ−→a ima:
duljinu - jednaku duljini vektora −→a pomnozenoj sa |λ| ,smjer - jednak smjeru vektora −→a ,orijentaciju - jednaku orijentaciji od −→a za λ > 0, suprotnu orijentacijiod −→a za λ < 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 15 / 72
![Page 136: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/136.jpg)
Osnovni pojmoviMnozenje vektora sa skalarom
Definicija. Neka je −→a vektor, a λ ∈ R skalar.
Umnozak vektora −→a iskalara λ je vektor kojeg oznacavamo λ−→a , a koji je definiran sa:
λ−→a = −→0 ako je λ = 0 ili −→a = −→0 .U suprotnom, vektor λ−→a ima:
duljinu - jednaku duljini vektora −→a pomnozenoj sa |λ| ,smjer - jednak smjeru vektora −→a ,orijentaciju - jednaku orijentaciji od −→a za λ > 0, suprotnu orijentacijiod −→a za λ < 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 15 / 72
![Page 137: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/137.jpg)
Osnovni pojmoviMnozenje vektora sa skalarom
Definicija. Neka je −→a vektor, a λ ∈ R skalar. Umnozak vektora −→a iskalara λ je vektor kojeg oznacavamo λ−→a ,
a koji je definiran sa:
λ−→a = −→0 ako je λ = 0 ili −→a = −→0 .U suprotnom, vektor λ−→a ima:
duljinu - jednaku duljini vektora −→a pomnozenoj sa |λ| ,smjer - jednak smjeru vektora −→a ,orijentaciju - jednaku orijentaciji od −→a za λ > 0, suprotnu orijentacijiod −→a za λ < 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 15 / 72
![Page 138: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/138.jpg)
Osnovni pojmoviMnozenje vektora sa skalarom
Definicija. Neka je −→a vektor, a λ ∈ R skalar. Umnozak vektora −→a iskalara λ je vektor kojeg oznacavamo λ−→a , a koji je definiran sa:
λ−→a = −→0 ako je λ = 0 ili −→a = −→0 .
U suprotnom, vektor λ−→a ima:
duljinu - jednaku duljini vektora −→a pomnozenoj sa |λ| ,smjer - jednak smjeru vektora −→a ,orijentaciju - jednaku orijentaciji od −→a za λ > 0, suprotnu orijentacijiod −→a za λ < 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 15 / 72
![Page 139: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/139.jpg)
Osnovni pojmoviMnozenje vektora sa skalarom
Definicija. Neka je −→a vektor, a λ ∈ R skalar. Umnozak vektora −→a iskalara λ je vektor kojeg oznacavamo λ−→a , a koji je definiran sa:
λ−→a = −→0 ako je λ = 0 ili −→a = −→0 .U suprotnom, vektor λ−→a ima:
duljinu - jednaku duljini vektora −→a pomnozenoj sa |λ| ,smjer - jednak smjeru vektora −→a ,orijentaciju - jednaku orijentaciji od −→a za λ > 0, suprotnu orijentacijiod −→a za λ < 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 15 / 72
![Page 140: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/140.jpg)
Osnovni pojmoviMnozenje vektora sa skalarom
Definicija. Neka je −→a vektor, a λ ∈ R skalar. Umnozak vektora −→a iskalara λ je vektor kojeg oznacavamo λ−→a , a koji je definiran sa:
λ−→a = −→0 ako je λ = 0 ili −→a = −→0 .U suprotnom, vektor λ−→a ima:
duljinu - jednaku duljini vektora −→a pomnozenoj sa |λ| ,
smjer - jednak smjeru vektora −→a ,orijentaciju - jednaku orijentaciji od −→a za λ > 0, suprotnu orijentacijiod −→a za λ < 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 15 / 72
![Page 141: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/141.jpg)
Osnovni pojmoviMnozenje vektora sa skalarom
Definicija. Neka je −→a vektor, a λ ∈ R skalar. Umnozak vektora −→a iskalara λ je vektor kojeg oznacavamo λ−→a , a koji je definiran sa:
λ−→a = −→0 ako je λ = 0 ili −→a = −→0 .U suprotnom, vektor λ−→a ima:
duljinu - jednaku duljini vektora −→a pomnozenoj sa |λ| ,smjer - jednak smjeru vektora −→a ,
orijentaciju - jednaku orijentaciji od −→a za λ > 0, suprotnu orijentacijiod −→a za λ < 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 15 / 72
![Page 142: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/142.jpg)
Osnovni pojmoviMnozenje vektora sa skalarom
Definicija. Neka je −→a vektor, a λ ∈ R skalar. Umnozak vektora −→a iskalara λ je vektor kojeg oznacavamo λ−→a , a koji je definiran sa:
λ−→a = −→0 ako je λ = 0 ili −→a = −→0 .U suprotnom, vektor λ−→a ima:
duljinu - jednaku duljini vektora −→a pomnozenoj sa |λ| ,smjer - jednak smjeru vektora −→a ,orijentaciju - jednaku orijentaciji od −→a za λ > 0, suprotnu orijentacijiod −→a za λ < 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 15 / 72
![Page 143: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/143.jpg)
Osnovni pojmoviMnozenje vektora sa skalarom
Definicija. Neka je −→a vektor, a λ ∈ R skalar. Umnozak vektora −→a iskalara λ je vektor kojeg oznacavamo λ−→a , a koji je definiran sa:
λ−→a = −→0 ako je λ = 0 ili −→a = −→0 .U suprotnom, vektor λ−→a ima:
duljinu - jednaku duljini vektora −→a pomnozenoj sa |λ| ,smjer - jednak smjeru vektora −→a ,orijentaciju - jednaku orijentaciji od −→a za λ > 0, suprotnu orijentacijiod −→a za λ < 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 15 / 72
![Page 144: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/144.jpg)
Osnovni pojmoviMnozenje vektora sa skalarom
Definicija. Neka je −→a vektor, a λ ∈ R skalar. Umnozak vektora −→a iskalara λ je vektor kojeg oznacavamo λ−→a , a koji je definiran sa:
λ−→a = −→0 ako je λ = 0 ili −→a = −→0 .U suprotnom, vektor λ−→a ima:
duljinu - jednaku duljini vektora −→a pomnozenoj sa |λ| ,smjer - jednak smjeru vektora −→a ,orijentaciju - jednaku orijentaciji od −→a za λ > 0, suprotnu orijentacijiod −→a za λ < 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 15 / 72
![Page 145: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/145.jpg)
Osnovni pojmoviMnozenje vektora sa skalarom
Definicija. Neka je −→a vektor, a λ ∈ R skalar. Umnozak vektora −→a iskalara λ je vektor kojeg oznacavamo λ−→a , a koji je definiran sa:
λ−→a = −→0 ako je λ = 0 ili −→a = −→0 .U suprotnom, vektor λ−→a ima:
duljinu - jednaku duljini vektora −→a pomnozenoj sa |λ| ,smjer - jednak smjeru vektora −→a ,orijentaciju - jednaku orijentaciji od −→a za λ > 0, suprotnu orijentacijiod −→a za λ < 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 15 / 72
![Page 146: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/146.jpg)
Osnovni pojmoviMnozenje vektora sa skalarom
Definicija. Neka je −→a vektor, a λ ∈ R skalar. Umnozak vektora −→a iskalara λ je vektor kojeg oznacavamo λ−→a , a koji je definiran sa:
λ−→a = −→0 ako je λ = 0 ili −→a = −→0 .U suprotnom, vektor λ−→a ima:
duljinu - jednaku duljini vektora −→a pomnozenoj sa |λ| ,smjer - jednak smjeru vektora −→a ,orijentaciju - jednaku orijentaciji od −→a za λ > 0, suprotnu orijentacijiod −→a za λ < 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 15 / 72
![Page 147: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/147.jpg)
Osnovni pojmoviMnozenje vektora sa skalarom
Definicija. Neka je −→a vektor, a λ ∈ R skalar. Umnozak vektora −→a iskalara λ je vektor kojeg oznacavamo λ−→a , a koji je definiran sa:
λ−→a = −→0 ako je λ = 0 ili −→a = −→0 .U suprotnom, vektor λ−→a ima:
duljinu - jednaku duljini vektora −→a pomnozenoj sa |λ| ,smjer - jednak smjeru vektora −→a ,orijentaciju - jednaku orijentaciji od −→a za λ > 0, suprotnu orijentacijiod −→a za λ < 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 15 / 72
![Page 148: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/148.jpg)
Osnovni pojmoviMnozenje vektora sa skalarom
Definicija. Neka je −→a vektor, a λ ∈ R skalar. Umnozak vektora −→a iskalara λ je vektor kojeg oznacavamo λ−→a , a koji je definiran sa:
λ−→a = −→0 ako je λ = 0 ili −→a = −→0 .U suprotnom, vektor λ−→a ima:
duljinu - jednaku duljini vektora −→a pomnozenoj sa |λ| ,smjer - jednak smjeru vektora −→a ,orijentaciju - jednaku orijentaciji od −→a za λ > 0, suprotnu orijentacijiod −→a za λ < 0.
Napomena.
Vektor−→b je kolinearan vektoru −→a ako i samo je
−→b = λ−→a
za neki λ ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 16 / 72
![Page 149: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/149.jpg)
Osnovni pojmoviMnozenje vektora sa skalarom
Definicija. Neka je −→a vektor, a λ ∈ R skalar. Umnozak vektora −→a iskalara λ je vektor kojeg oznacavamo λ−→a , a koji je definiran sa:
λ−→a = −→0 ako je λ = 0 ili −→a = −→0 .U suprotnom, vektor λ−→a ima:
duljinu - jednaku duljini vektora −→a pomnozenoj sa |λ| ,smjer - jednak smjeru vektora −→a ,orijentaciju - jednaku orijentaciji od −→a za λ > 0, suprotnu orijentacijiod −→a za λ < 0.
Napomena. Vektor−→b je kolinearan vektoru −→a
ako i samo je−→b = λ−→a
za neki λ ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 16 / 72
![Page 150: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/150.jpg)
Osnovni pojmoviMnozenje vektora sa skalarom
Definicija. Neka je −→a vektor, a λ ∈ R skalar. Umnozak vektora −→a iskalara λ je vektor kojeg oznacavamo λ−→a , a koji je definiran sa:
λ−→a = −→0 ako je λ = 0 ili −→a = −→0 .U suprotnom, vektor λ−→a ima:
duljinu - jednaku duljini vektora −→a pomnozenoj sa |λ| ,smjer - jednak smjeru vektora −→a ,orijentaciju - jednaku orijentaciji od −→a za λ > 0, suprotnu orijentacijiod −→a za λ < 0.
Napomena. Vektor−→b je kolinearan vektoru −→a ako i samo je
−→b = λ−→a
za neki λ ∈ R.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 16 / 72
![Page 151: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/151.jpg)
Osnovni pojmovi
Zadatak.
Skiciraj neki vektor −→a . Odredi graficki vektor: a) 4−→a , b)− 12−→a , c) − 32
−→a .
Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a i−→b razlicitog smjera. Odredi graficki
vektor: a) 2−→a + 12−→b , b) −→a − 3−→b .
Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a , −→b i −→c razlicitog smjera. Odredigraficki vektor −→a + 1
2−→b − 2−→c .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 17 / 72
![Page 152: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/152.jpg)
Osnovni pojmovi
Zadatak. Skiciraj neki vektor −→a .
Odredi graficki vektor: a) 4−→a , b)− 12−→a , c) − 32
−→a .
Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a i−→b razlicitog smjera. Odredi graficki
vektor: a) 2−→a + 12−→b , b) −→a − 3−→b .
Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a , −→b i −→c razlicitog smjera. Odredigraficki vektor −→a + 1
2−→b − 2−→c .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 17 / 72
![Page 153: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/153.jpg)
Osnovni pojmovi
Zadatak. Skiciraj neki vektor −→a . Odredi graficki vektor: a) 4−→a , b)− 12−→a , c) − 32
−→a .
Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a i−→b razlicitog smjera. Odredi graficki
vektor: a) 2−→a + 12−→b , b) −→a − 3−→b .
Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a , −→b i −→c razlicitog smjera. Odredigraficki vektor −→a + 1
2−→b − 2−→c .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 17 / 72
![Page 154: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/154.jpg)
Osnovni pojmovi
Zadatak. Skiciraj neki vektor −→a . Odredi graficki vektor: a) 4−→a , b)− 12−→a , c) − 32
−→a .
Zadatak.
Skiciraj neke vektore −→a i−→b razlicitog smjera. Odredi graficki
vektor: a) 2−→a + 12−→b , b) −→a − 3−→b .
Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a , −→b i −→c razlicitog smjera. Odredigraficki vektor −→a + 1
2−→b − 2−→c .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 17 / 72
![Page 155: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/155.jpg)
Osnovni pojmovi
Zadatak. Skiciraj neki vektor −→a . Odredi graficki vektor: a) 4−→a , b)− 12−→a , c) − 32
−→a .
Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a i−→b razlicitog smjera.
Odredi grafickivektor: a) 2−→a + 1
2−→b , b) −→a − 3−→b .
Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a , −→b i −→c razlicitog smjera. Odredigraficki vektor −→a + 1
2−→b − 2−→c .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 17 / 72
![Page 156: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/156.jpg)
Osnovni pojmovi
Zadatak. Skiciraj neki vektor −→a . Odredi graficki vektor: a) 4−→a , b)− 12−→a , c) − 32
−→a .
Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a i−→b razlicitog smjera. Odredi graficki
vektor: a) 2−→a + 12−→b , b) −→a − 3−→b .
Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a , −→b i −→c razlicitog smjera. Odredigraficki vektor −→a + 1
2−→b − 2−→c .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 17 / 72
![Page 157: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/157.jpg)
Osnovni pojmovi
Zadatak. Skiciraj neki vektor −→a . Odredi graficki vektor: a) 4−→a , b)− 12−→a , c) − 32
−→a .
Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a i−→b razlicitog smjera. Odredi graficki
vektor: a) 2−→a + 12−→b , b) −→a − 3−→b .
Zadatak.
Skiciraj neke vektore −→a , −→b i −→c razlicitog smjera. Odredigraficki vektor −→a + 1
2−→b − 2−→c .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 17 / 72
![Page 158: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/158.jpg)
Osnovni pojmovi
Zadatak. Skiciraj neki vektor −→a . Odredi graficki vektor: a) 4−→a , b)− 12−→a , c) − 32
−→a .
Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a i−→b razlicitog smjera. Odredi graficki
vektor: a) 2−→a + 12−→b , b) −→a − 3−→b .
Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a , −→b i −→c razlicitog smjera.
Odredigraficki vektor −→a + 1
2−→b − 2−→c .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 17 / 72
![Page 159: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/159.jpg)
Osnovni pojmovi
Zadatak. Skiciraj neki vektor −→a . Odredi graficki vektor: a) 4−→a , b)− 12−→a , c) − 32
−→a .
Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a i−→b razlicitog smjera. Odredi graficki
vektor: a) 2−→a + 12−→b , b) −→a − 3−→b .
Zadatak. Skiciraj neke vektore −→a , −→b i −→c razlicitog smjera. Odredigraficki vektor −→a + 1
2−→b − 2−→c .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 17 / 72
![Page 160: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/160.jpg)
Osnovni pojmovi
Mnozenje vektora skalarom ima sljedeca svojstva:
M1) λ(−→a +−→b ) = λ−→a + λ−→b (distributivnost prema zbrajanju u V 3),
M2) (λ+ µ)−→a = λ−→a + µ−→a (distributivnost prema zbrajanju u R),
M3) (λµ)−→a = λ(µ−→a ) (kompatibilnost mnozenja),M4) 0−→a = −→0 ,M5) 1−→a = −→a (netrivijalnost mnozenja).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 18 / 72
![Page 161: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/161.jpg)
Osnovni pojmovi
Mnozenje vektora skalarom ima sljedeca svojstva:
M1) λ(−→a +−→b ) = λ−→a + λ−→b (distributivnost prema zbrajanju u V 3),
M2) (λ+ µ)−→a = λ−→a + µ−→a (distributivnost prema zbrajanju u R),
M3) (λµ)−→a = λ(µ−→a ) (kompatibilnost mnozenja),M4) 0−→a = −→0 ,M5) 1−→a = −→a (netrivijalnost mnozenja).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 18 / 72
![Page 162: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/162.jpg)
Osnovni pojmovi
Mnozenje vektora skalarom ima sljedeca svojstva:
M1) λ(−→a +−→b ) = λ−→a + λ−→b (distributivnost prema zbrajanju u V 3),
M2) (λ+ µ)−→a = λ−→a + µ−→a (distributivnost prema zbrajanju u R),
M3) (λµ)−→a = λ(µ−→a ) (kompatibilnost mnozenja),M4) 0−→a = −→0 ,M5) 1−→a = −→a (netrivijalnost mnozenja).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 18 / 72
![Page 163: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/163.jpg)
Osnovni pojmovi
Mnozenje vektora skalarom ima sljedeca svojstva:
M1) λ(−→a +−→b ) = λ−→a + λ−→b (distributivnost prema zbrajanju u V 3),
M2) (λ+ µ)−→a = λ−→a + µ−→a (distributivnost prema zbrajanju u R),
M3) (λµ)−→a = λ(µ−→a ) (kompatibilnost mnozenja),
M4) 0−→a = −→0 ,M5) 1−→a = −→a (netrivijalnost mnozenja).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 18 / 72
![Page 164: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/164.jpg)
Osnovni pojmovi
Mnozenje vektora skalarom ima sljedeca svojstva:
M1) λ(−→a +−→b ) = λ−→a + λ−→b (distributivnost prema zbrajanju u V 3),
M2) (λ+ µ)−→a = λ−→a + µ−→a (distributivnost prema zbrajanju u R),
M3) (λµ)−→a = λ(µ−→a ) (kompatibilnost mnozenja),M4) 0−→a = −→0 ,
M5) 1−→a = −→a (netrivijalnost mnozenja).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 18 / 72
![Page 165: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/165.jpg)
Osnovni pojmovi
Mnozenje vektora skalarom ima sljedeca svojstva:
M1) λ(−→a +−→b ) = λ−→a + λ−→b (distributivnost prema zbrajanju u V 3),
M2) (λ+ µ)−→a = λ−→a + µ−→a (distributivnost prema zbrajanju u R),
M3) (λµ)−→a = λ(µ−→a ) (kompatibilnost mnozenja),M4) 0−→a = −→0 ,M5) 1−→a = −→a (netrivijalnost mnozenja).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 18 / 72
![Page 166: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/166.jpg)
Koordinatizacija ravnine
Neformalnije receno, prostor V 2 koordinatiziramo tako da:
fiksiramo ishodišnu tocku O,
fiksiramo dva vektora~i i~j koji su:
me�usobno okomiti (~i⊥~j),jedinicne duljine (
∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = 1),cine desnu dvojku vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 19 / 72
![Page 167: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/167.jpg)
Koordinatizacija ravnine
Neformalnije receno, prostor V 2 koordinatiziramo tako da:
fiksiramo ishodišnu tocku O,
fiksiramo dva vektora~i i~j koji su:
me�usobno okomiti (~i⊥~j),jedinicne duljine (
∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = 1),cine desnu dvojku vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 19 / 72
![Page 168: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/168.jpg)
Koordinatizacija ravnine
Neformalnije receno, prostor V 2 koordinatiziramo tako da:
fiksiramo ishodišnu tocku O,
fiksiramo dva vektora~i i~j koji su:
me�usobno okomiti (~i⊥~j),jedinicne duljine (
∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = 1),cine desnu dvojku vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 19 / 72
![Page 169: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/169.jpg)
Koordinatizacija ravnine
Neformalnije receno, prostor V 2 koordinatiziramo tako da:
fiksiramo ishodišnu tocku O,
fiksiramo dva vektora~i i~j koji su:
me�usobno okomiti (~i⊥~j),jedinicne duljine (
∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = 1),cine desnu dvojku vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 19 / 72
![Page 170: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/170.jpg)
Koordinatizacija ravnine
Neformalnije receno, prostor V 2 koordinatiziramo tako da:
fiksiramo ishodišnu tocku O,
fiksiramo dva vektora~i i~j koji su:
me�usobno okomiti (~i⊥~j),
jedinicne duljine (∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = 1),
cine desnu dvojku vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 19 / 72
![Page 171: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/171.jpg)
Koordinatizacija ravnine
Neformalnije receno, prostor V 2 koordinatiziramo tako da:
fiksiramo ishodišnu tocku O,
fiksiramo dva vektora~i i~j koji su:
me�usobno okomiti (~i⊥~j),jedinicne duljine (
∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = 1),
cine desnu dvojku vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 19 / 72
![Page 172: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/172.jpg)
Koordinatizacija ravnine
Neformalnije receno, prostor V 2 koordinatiziramo tako da:
fiksiramo ishodišnu tocku O,
fiksiramo dva vektora~i i~j koji su:
me�usobno okomiti (~i⊥~j),jedinicne duljine (
∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = 1),cine desnu dvojku vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 19 / 72
![Page 173: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/173.jpg)
Koordinatizacija ravnine
Neformalnije receno, prostor V 2 koordinatiziramo tako da:
fiksiramo ishodišnu tocku O,
fiksiramo dva vektora~i i~j koji su:
me�usobno okomiti (~i⊥~j),jedinicne duljine (
∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = 1),cine desnu dvojku vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 19 / 72
![Page 174: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/174.jpg)
Koordinatizacija ravnine
Neformalnije receno, prostor V 2 koordinatiziramo tako da:
fiksiramo ishodišnu tocku O,
fiksiramo dva vektora~i i~j koji su:
me�usobno okomiti (~i⊥~j),jedinicne duljine (
∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = 1),cine desnu dvojku vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 19 / 72
![Page 175: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/175.jpg)
Koordinatizacija ravnine
Neformalnije receno, prostor V 2 koordinatiziramo tako da:
fiksiramo ishodišnu tocku O,
fiksiramo dva vektora~i i~j koji su:
me�usobno okomiti (~i⊥~j),jedinicne duljine (
∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = 1),cine desnu dvojku vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 19 / 72
![Page 176: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/176.jpg)
Koordinatizacija ravnine
Neformalnije receno, prostor V 2 koordinatiziramo tako da:
fiksiramo ishodišnu tocku O,
fiksiramo dva vektora~i i~j koji su:
me�usobno okomiti (~i⊥~j),jedinicne duljine (
∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = 1),cine desnu dvojku vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 19 / 72
![Page 177: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/177.jpg)
Koordinatizacija ravnine
Neformalnije receno, prostor V 2 koordinatiziramo tako da:
fiksiramo ishodišnu tocku O,
fiksiramo dva vektora~i i~j koji su:
me�usobno okomiti (~i⊥~j),jedinicne duljine (
∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = 1),cine desnu dvojku vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 19 / 72
![Page 178: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/178.jpg)
Koordinatizacija ravnine
Svaki vektor −→a ∈ V 2 predstavljamo usmjerenom duzinom−→OA koja ima:
pocetak u ishodištu O(0, 0),
kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay ).
Dakle, vrijedi
−→a = −→OA = ax~i + ay~j , |−→a | =√a2x + a2y .
Vektor −→a = −→OA naziva se radij-vektor tocke A.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 20 / 72
![Page 179: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/179.jpg)
Koordinatizacija ravnine
Svaki vektor −→a ∈ V 2 predstavljamo usmjerenom duzinom−→OA koja ima:
pocetak u ishodištu O(0, 0),
kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay ).
Dakle, vrijedi
−→a = −→OA = ax~i + ay~j , |−→a | =√a2x + a2y .
Vektor −→a = −→OA naziva se radij-vektor tocke A.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 20 / 72
![Page 180: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/180.jpg)
Koordinatizacija ravnine
Svaki vektor −→a ∈ V 2 predstavljamo usmjerenom duzinom−→OA koja ima:
pocetak u ishodištu O(0, 0),
kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay ).
Dakle, vrijedi
−→a = −→OA = ax~i + ay~j , |−→a | =√a2x + a2y .
Vektor −→a = −→OA naziva se radij-vektor tocke A.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 20 / 72
![Page 181: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/181.jpg)
Koordinatizacija ravnine
Svaki vektor −→a ∈ V 2 predstavljamo usmjerenom duzinom−→OA koja ima:
pocetak u ishodištu O(0, 0),
kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay ).
Dakle, vrijedi
−→a = −→OA = ax~i + ay~j , |−→a | =√a2x + a2y .
Vektor −→a = −→OA naziva se radij-vektor tocke A.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 20 / 72
![Page 182: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/182.jpg)
Koordinatizacija ravnine
Svaki vektor −→a ∈ V 2 predstavljamo usmjerenom duzinom−→OA koja ima:
pocetak u ishodištu O(0, 0),
kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay ).
Dakle, vrijedi
−→a = −→OA = ax~i + ay~j , |−→a | =√a2x + a2y .
Vektor −→a = −→OA naziva se radij-vektor tocke A.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 20 / 72
![Page 183: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/183.jpg)
Koordinatizacija ravnine
Svaki vektor −→a ∈ V 2 predstavljamo usmjerenom duzinom−→OA koja ima:
pocetak u ishodištu O(0, 0),
kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay ).
Dakle, vrijedi
−→a = −→OA = ax~i + ay~j , |−→a | =√a2x + a2y .
Vektor −→a = −→OA naziva se radij-vektor tocke A.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 20 / 72
![Page 184: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/184.jpg)
Koordinatizacija ravnine
Svaki vektor −→a ∈ V 2 predstavljamo usmjerenom duzinom−→OA koja ima:
pocetak u ishodištu O(0, 0),
kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay ).
Dakle, vrijedi
−→a = −→OA = ax~i + ay~j , |−→a | =√a2x + a2y .
Vektor −→a = −→OA naziva se radij-vektor tocke A.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 20 / 72
![Page 185: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/185.jpg)
Koordinatizacija ravnine
Svaki vektor −→a ∈ V 2 predstavljamo usmjerenom duzinom−→OA koja ima:
pocetak u ishodištu O(0, 0),
kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay ).
Dakle, vrijedi
−→a = −→OA = ax~i + ay~j ,
|−→a | =√a2x + a2y .
Vektor −→a = −→OA naziva se radij-vektor tocke A.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 20 / 72
![Page 186: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/186.jpg)
Koordinatizacija ravnine
Svaki vektor −→a ∈ V 2 predstavljamo usmjerenom duzinom−→OA koja ima:
pocetak u ishodištu O(0, 0),
kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay ).
Dakle, vrijedi
−→a = −→OA = ax~i + ay~j , |−→a | =√a2x + a2y .
Vektor −→a = −→OA naziva se radij-vektor tocke A.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 20 / 72
![Page 187: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/187.jpg)
Koordinatizacija ravnine
Svaki vektor −→a ∈ V 2 predstavljamo usmjerenom duzinom−→OA koja ima:
pocetak u ishodištu O(0, 0),
kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay ).
Dakle, vrijedi
−→a = −→OA = ax~i + ay~j , |−→a | =√a2x + a2y .
Vektor −→a = −→OA naziva se radij-vektor tocke A.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 20 / 72
![Page 188: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/188.jpg)
Koordinatizacija prostora
Neformalnije receno, prostor V 3 koordinatiziramo tako da:
fiksiramo ishodišnu tocku O,
fiksiramo tri vektora~i ,~j i ~k koji su:
me�usobno okomiti (~i⊥~j ,~i⊥~k ,~j⊥~k),jedinicne duljine (
∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = ∣∣∣~k∣∣∣ = 1),cine desnu trojku vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 21 / 72
![Page 189: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/189.jpg)
Koordinatizacija prostora
Neformalnije receno, prostor V 3 koordinatiziramo tako da:
fiksiramo ishodišnu tocku O,
fiksiramo tri vektora~i ,~j i ~k koji su:
me�usobno okomiti (~i⊥~j ,~i⊥~k ,~j⊥~k),jedinicne duljine (
∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = ∣∣∣~k∣∣∣ = 1),cine desnu trojku vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 21 / 72
![Page 190: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/190.jpg)
Koordinatizacija prostora
Neformalnije receno, prostor V 3 koordinatiziramo tako da:
fiksiramo ishodišnu tocku O,
fiksiramo tri vektora~i ,~j i ~k koji su:
me�usobno okomiti (~i⊥~j ,~i⊥~k ,~j⊥~k),jedinicne duljine (
∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = ∣∣∣~k∣∣∣ = 1),cine desnu trojku vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 21 / 72
![Page 191: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/191.jpg)
Koordinatizacija prostora
Neformalnije receno, prostor V 3 koordinatiziramo tako da:
fiksiramo ishodišnu tocku O,
fiksiramo tri vektora~i ,~j i ~k koji su:
me�usobno okomiti (~i⊥~j ,~i⊥~k ,~j⊥~k),jedinicne duljine (
∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = ∣∣∣~k∣∣∣ = 1),cine desnu trojku vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 21 / 72
![Page 192: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/192.jpg)
Koordinatizacija prostora
Neformalnije receno, prostor V 3 koordinatiziramo tako da:
fiksiramo ishodišnu tocku O,
fiksiramo tri vektora~i ,~j i ~k koji su:
me�usobno okomiti (~i⊥~j ,~i⊥~k ,~j⊥~k),
jedinicne duljine (∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = ∣∣∣~k∣∣∣ = 1),
cine desnu trojku vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 21 / 72
![Page 193: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/193.jpg)
Koordinatizacija prostora
Neformalnije receno, prostor V 3 koordinatiziramo tako da:
fiksiramo ishodišnu tocku O,
fiksiramo tri vektora~i ,~j i ~k koji su:
me�usobno okomiti (~i⊥~j ,~i⊥~k ,~j⊥~k),jedinicne duljine (
∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = ∣∣∣~k∣∣∣ = 1),
cine desnu trojku vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 21 / 72
![Page 194: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/194.jpg)
Koordinatizacija prostora
Neformalnije receno, prostor V 3 koordinatiziramo tako da:
fiksiramo ishodišnu tocku O,
fiksiramo tri vektora~i ,~j i ~k koji su:
me�usobno okomiti (~i⊥~j ,~i⊥~k ,~j⊥~k),jedinicne duljine (
∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = ∣∣∣~k∣∣∣ = 1),cine desnu trojku vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 21 / 72
![Page 195: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/195.jpg)
Koordinatizacija prostora
Neformalnije receno, prostor V 3 koordinatiziramo tako da:
fiksiramo ishodišnu tocku O,
fiksiramo tri vektora~i ,~j i ~k koji su:
me�usobno okomiti (~i⊥~j ,~i⊥~k ,~j⊥~k),jedinicne duljine (
∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = ∣∣∣~k∣∣∣ = 1),cine desnu trojku vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 21 / 72
![Page 196: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/196.jpg)
Koordinatizacija prostora
Neformalnije receno, prostor V 3 koordinatiziramo tako da:
fiksiramo ishodišnu tocku O,
fiksiramo tri vektora~i ,~j i ~k koji su:
me�usobno okomiti (~i⊥~j ,~i⊥~k ,~j⊥~k),jedinicne duljine (
∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = ∣∣∣~k∣∣∣ = 1),cine desnu trojku vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 21 / 72
![Page 197: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/197.jpg)
Koordinatizacija prostora
Neformalnije receno, prostor V 3 koordinatiziramo tako da:
fiksiramo ishodišnu tocku O,
fiksiramo tri vektora~i ,~j i ~k koji su:
me�usobno okomiti (~i⊥~j ,~i⊥~k ,~j⊥~k),jedinicne duljine (
∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = ∣∣∣~k∣∣∣ = 1),cine desnu trojku vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 21 / 72
![Page 198: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/198.jpg)
Koordinatizacija prostora
Neformalnije receno, prostor V 3 koordinatiziramo tako da:
fiksiramo ishodišnu tocku O,
fiksiramo tri vektora~i ,~j i ~k koji su:
me�usobno okomiti (~i⊥~j ,~i⊥~k ,~j⊥~k),jedinicne duljine (
∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = ∣∣∣~k∣∣∣ = 1),cine desnu trojku vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 21 / 72
![Page 199: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/199.jpg)
Koordinatizacija prostora
Neformalnije receno, prostor V 3 koordinatiziramo tako da:
fiksiramo ishodišnu tocku O,
fiksiramo tri vektora~i ,~j i ~k koji su:
me�usobno okomiti (~i⊥~j ,~i⊥~k ,~j⊥~k),jedinicne duljine (
∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = ∣∣∣~k∣∣∣ = 1),cine desnu trojku vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 21 / 72
![Page 200: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/200.jpg)
Koordinatizacija prostora
Neformalnije receno, prostor V 3 koordinatiziramo tako da:
fiksiramo ishodišnu tocku O,
fiksiramo tri vektora~i ,~j i ~k koji su:
me�usobno okomiti (~i⊥~j ,~i⊥~k ,~j⊥~k),jedinicne duljine (
∣∣∣~i ∣∣∣ = ∣∣∣~j ∣∣∣ = ∣∣∣~k∣∣∣ = 1),cine desnu trojku vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 21 / 72
![Page 201: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/201.jpg)
Koordinatizacija prostora
Svaki vektor −→a ∈ V 3 predstavljamo usmjerenom duzinom−→OA koja ima:
pocetak u ishodištu O(0, 0, 0),
kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay , az ).
Dakle, vrijedi
−→a = −→OA = ax~i + ay~j + az~k, |−→a | =√a2x + a2y + a2z .
Vektor −→a = −→OA naziva se radij-vektor tocke A.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 22 / 72
![Page 202: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/202.jpg)
Koordinatizacija prostora
Svaki vektor −→a ∈ V 3 predstavljamo usmjerenom duzinom−→OA koja ima:
pocetak u ishodištu O(0, 0, 0),
kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay , az ).
Dakle, vrijedi
−→a = −→OA = ax~i + ay~j + az~k, |−→a | =√a2x + a2y + a2z .
Vektor −→a = −→OA naziva se radij-vektor tocke A.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 22 / 72
![Page 203: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/203.jpg)
Koordinatizacija prostora
Svaki vektor −→a ∈ V 3 predstavljamo usmjerenom duzinom−→OA koja ima:
pocetak u ishodištu O(0, 0, 0),
kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay , az ).
Dakle, vrijedi
−→a = −→OA = ax~i + ay~j + az~k, |−→a | =√a2x + a2y + a2z .
Vektor −→a = −→OA naziva se radij-vektor tocke A.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 22 / 72
![Page 204: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/204.jpg)
Koordinatizacija prostora
Svaki vektor −→a ∈ V 3 predstavljamo usmjerenom duzinom−→OA koja ima:
pocetak u ishodištu O(0, 0, 0),
kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay , az ).
Dakle, vrijedi
−→a = −→OA = ax~i + ay~j + az~k, |−→a | =√a2x + a2y + a2z .
Vektor −→a = −→OA naziva se radij-vektor tocke A.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 22 / 72
![Page 205: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/205.jpg)
Koordinatizacija prostora
Svaki vektor −→a ∈ V 3 predstavljamo usmjerenom duzinom−→OA koja ima:
pocetak u ishodištu O(0, 0, 0),
kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay , az ).
Dakle, vrijedi
−→a = −→OA = ax~i + ay~j + az~k, |−→a | =√a2x + a2y + a2z .
Vektor −→a = −→OA naziva se radij-vektor tocke A.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 22 / 72
![Page 206: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/206.jpg)
Koordinatizacija prostora
Svaki vektor −→a ∈ V 3 predstavljamo usmjerenom duzinom−→OA koja ima:
pocetak u ishodištu O(0, 0, 0),
kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay , az ).
Dakle, vrijedi
−→a = −→OA = ax~i + ay~j + az~k, |−→a | =√a2x + a2y + a2z .
Vektor −→a = −→OA naziva se radij-vektor tocke A.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 22 / 72
![Page 207: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/207.jpg)
Koordinatizacija prostora
Svaki vektor −→a ∈ V 3 predstavljamo usmjerenom duzinom−→OA koja ima:
pocetak u ishodištu O(0, 0, 0),
kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay , az ).
Dakle, vrijedi
−→a = −→OA = ax~i + ay~j + az~k, |−→a | =√a2x + a2y + a2z .
Vektor −→a = −→OA naziva se radij-vektor tocke A.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 22 / 72
![Page 208: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/208.jpg)
Koordinatizacija prostora
Svaki vektor −→a ∈ V 3 predstavljamo usmjerenom duzinom−→OA koja ima:
pocetak u ishodištu O(0, 0, 0),
kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay , az ).
Dakle, vrijedi
−→a = −→OA = ax~i + ay~j + az~k, |−→a | =√a2x + a2y + a2z .
Vektor −→a = −→OA naziva se radij-vektor tocke A.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 22 / 72
![Page 209: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/209.jpg)
Koordinatizacija prostora
Svaki vektor −→a ∈ V 3 predstavljamo usmjerenom duzinom−→OA koja ima:
pocetak u ishodištu O(0, 0, 0),
kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay , az ).
Dakle, vrijedi
−→a = −→OA = ax~i + ay~j + az~k, |−→a | =√a2x + a2y + a2z .
Vektor −→a = −→OA naziva se radij-vektor tocke A.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 22 / 72
![Page 210: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/210.jpg)
Koordinatizacija prostora
Svaki vektor −→a ∈ V 3 predstavljamo usmjerenom duzinom−→OA koja ima:
pocetak u ishodištu O(0, 0, 0),
kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay , az ).
Dakle, vrijedi
−→a = −→OA = ax~i + ay~j + az~k, |−→a | =√a2x + a2y + a2z .
Vektor −→a = −→OA naziva se radij-vektor tocke A.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 22 / 72
![Page 211: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/211.jpg)
Koordinatizacija prostora
Svaki vektor −→a ∈ V 3 predstavljamo usmjerenom duzinom−→OA koja ima:
pocetak u ishodištu O(0, 0, 0),
kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay , az ).
Dakle, vrijedi
−→a = −→OA = ax~i + ay~j + az~k, |−→a | =√a2x + a2y + a2z .
Vektor −→a = −→OA naziva se radij-vektor tocke A.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 22 / 72
![Page 212: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/212.jpg)
Koordinatizacija prostora
Svaki vektor −→a ∈ V 3 predstavljamo usmjerenom duzinom−→OA koja ima:
pocetak u ishodištu O(0, 0, 0),
kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay , az ).
Dakle, vrijedi
−→a = −→OA = ax~i + ay~j + az~k, |−→a | =√a2x + a2y + a2z .
Vektor −→a = −→OA naziva se radij-vektor tocke A.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 22 / 72
![Page 213: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/213.jpg)
Koordinatizacija prostora
Svaki vektor −→a ∈ V 3 predstavljamo usmjerenom duzinom−→OA koja ima:
pocetak u ishodištu O(0, 0, 0),
kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay , az ).
Dakle, vrijedi
−→a = −→OA = ax~i + ay~j + az~k,
|−→a | =√a2x + a2y + a2z .
Vektor −→a = −→OA naziva se radij-vektor tocke A.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 22 / 72
![Page 214: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/214.jpg)
Koordinatizacija prostora
Svaki vektor −→a ∈ V 3 predstavljamo usmjerenom duzinom−→OA koja ima:
pocetak u ishodištu O(0, 0, 0),
kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay , az ).
Dakle, vrijedi
−→a = −→OA = ax~i + ay~j + az~k, |−→a | =√a2x + a2y + a2z .
Vektor −→a = −→OA naziva se radij-vektor tocke A.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 22 / 72
![Page 215: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/215.jpg)
Koordinatizacija prostora
Svaki vektor −→a ∈ V 3 predstavljamo usmjerenom duzinom−→OA koja ima:
pocetak u ishodištu O(0, 0, 0),
kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay , az ).
Dakle, vrijedi
−→a = −→OA = ax~i + ay~j + az~k, |−→a | =√a2x + a2y + a2z .
Vektor −→a = −→OA naziva se radij-vektor tocke A.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 22 / 72
![Page 216: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/216.jpg)
Koordinatizacija prostora
Svaki vektor −→a ∈ V 3 predstavljamo usmjerenom duzinom−→OA koja ima:
pocetak u ishodištu O(0, 0, 0),
kraj u nekoj tocki prostora A(ax , ay , az ).
Dakle, vrijedi
−→a = −→OA = ax~i + ay~j + az~k, |−→a | =√a2x + a2y + a2z .
Vektor −→a = −→OA naziva se radij-vektor tocke A.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 22 / 72
![Page 217: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/217.jpg)
Koordinatizacija prostora
Zadatak.
Gdje u prostornom koordinatnom sustavu leze tocke:
a) T (2, 0, 0), T (−1, 0, 0), T (0, 3, 0), T (0, 0, 2);b) T (2, 1, 0), T (1,−2, 0), T (1, 0, 3), T (0, 1, 2);c) T (1, 2, 3), T (2,−1, 1).
Zadatak. Zadana je prostorna tocka A sa: a) A(1, 3,−1), b) A(0, 2, 3).Napiši radij vektor −→a tocke A.
Zadatak. Zadan je vektor −→a sa: a) −→a = 2~i +~k, b) −→a =~j −~k. Napišikoordinate tocke A ciji je to radij vektor.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 23 / 72
![Page 218: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/218.jpg)
Koordinatizacija prostora
Zadatak. Gdje u prostornom koordinatnom sustavu leze tocke:
a) T (2, 0, 0), T (−1, 0, 0), T (0, 3, 0), T (0, 0, 2);b) T (2, 1, 0), T (1,−2, 0), T (1, 0, 3), T (0, 1, 2);c) T (1, 2, 3), T (2,−1, 1).
Zadatak. Zadana je prostorna tocka A sa: a) A(1, 3,−1), b) A(0, 2, 3).Napiši radij vektor −→a tocke A.
Zadatak. Zadan je vektor −→a sa: a) −→a = 2~i +~k, b) −→a =~j −~k. Napišikoordinate tocke A ciji je to radij vektor.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 23 / 72
![Page 219: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/219.jpg)
Koordinatizacija prostora
Zadatak. Gdje u prostornom koordinatnom sustavu leze tocke:
a) T (2, 0, 0), T (−1, 0, 0), T (0, 3, 0), T (0, 0, 2);
b) T (2, 1, 0), T (1,−2, 0), T (1, 0, 3), T (0, 1, 2);c) T (1, 2, 3), T (2,−1, 1).
Zadatak. Zadana je prostorna tocka A sa: a) A(1, 3,−1), b) A(0, 2, 3).Napiši radij vektor −→a tocke A.
Zadatak. Zadan je vektor −→a sa: a) −→a = 2~i +~k, b) −→a =~j −~k. Napišikoordinate tocke A ciji je to radij vektor.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 23 / 72
![Page 220: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/220.jpg)
Koordinatizacija prostora
Zadatak. Gdje u prostornom koordinatnom sustavu leze tocke:
a) T (2, 0, 0), T (−1, 0, 0), T (0, 3, 0), T (0, 0, 2);b) T (2, 1, 0), T (1,−2, 0), T (1, 0, 3), T (0, 1, 2);
c) T (1, 2, 3), T (2,−1, 1).
Zadatak. Zadana je prostorna tocka A sa: a) A(1, 3,−1), b) A(0, 2, 3).Napiši radij vektor −→a tocke A.
Zadatak. Zadan je vektor −→a sa: a) −→a = 2~i +~k, b) −→a =~j −~k. Napišikoordinate tocke A ciji je to radij vektor.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 23 / 72
![Page 221: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/221.jpg)
Koordinatizacija prostora
Zadatak. Gdje u prostornom koordinatnom sustavu leze tocke:
a) T (2, 0, 0), T (−1, 0, 0), T (0, 3, 0), T (0, 0, 2);b) T (2, 1, 0), T (1,−2, 0), T (1, 0, 3), T (0, 1, 2);c) T (1, 2, 3), T (2,−1, 1).
Zadatak. Zadana je prostorna tocka A sa: a) A(1, 3,−1), b) A(0, 2, 3).Napiši radij vektor −→a tocke A.
Zadatak. Zadan je vektor −→a sa: a) −→a = 2~i +~k, b) −→a =~j −~k. Napišikoordinate tocke A ciji je to radij vektor.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 23 / 72
![Page 222: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/222.jpg)
Koordinatizacija prostora
Zadatak. Gdje u prostornom koordinatnom sustavu leze tocke:
a) T (2, 0, 0), T (−1, 0, 0), T (0, 3, 0), T (0, 0, 2);b) T (2, 1, 0), T (1,−2, 0), T (1, 0, 3), T (0, 1, 2);c) T (1, 2, 3), T (2,−1, 1).
Zadatak.
Zadana je prostorna tocka A sa: a) A(1, 3,−1), b) A(0, 2, 3).Napiši radij vektor −→a tocke A.
Zadatak. Zadan je vektor −→a sa: a) −→a = 2~i +~k, b) −→a =~j −~k. Napišikoordinate tocke A ciji je to radij vektor.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 23 / 72
![Page 223: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/223.jpg)
Koordinatizacija prostora
Zadatak. Gdje u prostornom koordinatnom sustavu leze tocke:
a) T (2, 0, 0), T (−1, 0, 0), T (0, 3, 0), T (0, 0, 2);b) T (2, 1, 0), T (1,−2, 0), T (1, 0, 3), T (0, 1, 2);c) T (1, 2, 3), T (2,−1, 1).
Zadatak. Zadana je prostorna tocka A sa: a) A(1, 3,−1), b) A(0, 2, 3).
Napiši radij vektor −→a tocke A.
Zadatak. Zadan je vektor −→a sa: a) −→a = 2~i +~k, b) −→a =~j −~k. Napišikoordinate tocke A ciji je to radij vektor.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 23 / 72
![Page 224: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/224.jpg)
Koordinatizacija prostora
Zadatak. Gdje u prostornom koordinatnom sustavu leze tocke:
a) T (2, 0, 0), T (−1, 0, 0), T (0, 3, 0), T (0, 0, 2);b) T (2, 1, 0), T (1,−2, 0), T (1, 0, 3), T (0, 1, 2);c) T (1, 2, 3), T (2,−1, 1).
Zadatak. Zadana je prostorna tocka A sa: a) A(1, 3,−1), b) A(0, 2, 3).Napiši radij vektor −→a tocke A.
Zadatak. Zadan je vektor −→a sa: a) −→a = 2~i +~k, b) −→a =~j −~k. Napišikoordinate tocke A ciji je to radij vektor.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 23 / 72
![Page 225: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/225.jpg)
Koordinatizacija prostora
Zadatak. Gdje u prostornom koordinatnom sustavu leze tocke:
a) T (2, 0, 0), T (−1, 0, 0), T (0, 3, 0), T (0, 0, 2);b) T (2, 1, 0), T (1,−2, 0), T (1, 0, 3), T (0, 1, 2);c) T (1, 2, 3), T (2,−1, 1).
Zadatak. Zadana je prostorna tocka A sa: a) A(1, 3,−1), b) A(0, 2, 3).Napiši radij vektor −→a tocke A.
Zadatak.
Zadan je vektor −→a sa: a) −→a = 2~i +~k, b) −→a =~j −~k. Napišikoordinate tocke A ciji je to radij vektor.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 23 / 72
![Page 226: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/226.jpg)
Koordinatizacija prostora
Zadatak. Gdje u prostornom koordinatnom sustavu leze tocke:
a) T (2, 0, 0), T (−1, 0, 0), T (0, 3, 0), T (0, 0, 2);b) T (2, 1, 0), T (1,−2, 0), T (1, 0, 3), T (0, 1, 2);c) T (1, 2, 3), T (2,−1, 1).
Zadatak. Zadana je prostorna tocka A sa: a) A(1, 3,−1), b) A(0, 2, 3).Napiši radij vektor −→a tocke A.
Zadatak. Zadan je vektor −→a sa: a) −→a = 2~i +~k, b) −→a =~j −~k.
Napišikoordinate tocke A ciji je to radij vektor.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 23 / 72
![Page 227: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/227.jpg)
Koordinatizacija prostora
Zadatak. Gdje u prostornom koordinatnom sustavu leze tocke:
a) T (2, 0, 0), T (−1, 0, 0), T (0, 3, 0), T (0, 0, 2);b) T (2, 1, 0), T (1,−2, 0), T (1, 0, 3), T (0, 1, 2);c) T (1, 2, 3), T (2,−1, 1).
Zadatak. Zadana je prostorna tocka A sa: a) A(1, 3,−1), b) A(0, 2, 3).Napiši radij vektor −→a tocke A.
Zadatak. Zadan je vektor −→a sa: a) −→a = 2~i +~k, b) −→a =~j −~k. Napišikoordinate tocke A ciji je to radij vektor.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 23 / 72
![Page 228: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/228.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruZbrajanje i mnozenje sa skalarom
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j i−→b = bx
−→i + by
−→j dva vektora
u ravnini, a λ ∈ R skalar. Tada vrijedi
−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )
−→j ,
λ−→a = (λax )−→i + (λay )
−→j .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 24 / 72
![Page 229: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/229.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruZbrajanje i mnozenje sa skalarom
Propozicija.
Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j i−→b = bx
−→i + by
−→j dva vektora
u ravnini, a λ ∈ R skalar. Tada vrijedi
−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )
−→j ,
λ−→a = (λax )−→i + (λay )
−→j .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 24 / 72
![Page 230: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/230.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruZbrajanje i mnozenje sa skalarom
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j i−→b = bx
−→i + by
−→j dva vektora
u ravnini,
a λ ∈ R skalar. Tada vrijedi
−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )
−→j ,
λ−→a = (λax )−→i + (λay )
−→j .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 24 / 72
![Page 231: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/231.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruZbrajanje i mnozenje sa skalarom
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j i−→b = bx
−→i + by
−→j dva vektora
u ravnini, a λ ∈ R skalar.
Tada vrijedi
−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )
−→j ,
λ−→a = (λax )−→i + (λay )
−→j .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 24 / 72
![Page 232: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/232.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruZbrajanje i mnozenje sa skalarom
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j i−→b = bx
−→i + by
−→j dva vektora
u ravnini, a λ ∈ R skalar. Tada vrijedi
−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )
−→j ,
λ−→a = (λax )−→i + (λay )
−→j .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 24 / 72
![Page 233: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/233.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruZbrajanje i mnozenje sa skalarom
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j i−→b = bx
−→i + by
−→j dva vektora
u ravnini, a λ ∈ R skalar. Tada vrijedi
−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )
−→j ,
λ−→a = (λax )−→i + (λay )
−→j .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 24 / 72
![Page 234: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/234.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruZbrajanje i mnozenje sa skalarom
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j i−→b = bx
−→i + by
−→j dva vektora
u ravnini, a λ ∈ R skalar. Tada vrijedi
−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )
−→j ,
λ−→a = (λax )−→i + (λay )
−→j .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 24 / 72
![Page 235: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/235.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruZbrajanje i mnozenje sa skalarom
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j i−→b = bx
−→i + by
−→j dva vektora
u ravnini, a λ ∈ R skalar. Tada vrijedi
−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )
−→j ,
λ−→a = (λax )−→i + (λay )
−→j .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 24 / 72
![Page 236: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/236.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruZbrajanje i mnozenje sa skalarom
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j i−→b = bx
−→i + by
−→j dva vektora
u ravnini, a λ ∈ R skalar. Tada vrijedi
−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )
−→j ,
λ−→a = (λax )−→i + (λay )
−→j .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 24 / 72
![Page 237: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/237.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruZbrajanje i mnozenje sa skalarom
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j i−→b = bx
−→i + by
−→j dva vektora
u ravnini, a λ ∈ R skalar. Tada vrijedi
−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )
−→j ,
λ−→a = (λax )−→i + (λay )
−→j .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 24 / 72
![Page 238: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/238.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruZbrajanje i mnozenje sa skalarom
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j i−→b = bx
−→i + by
−→j dva vektora
u ravnini, a λ ∈ R skalar. Tada vrijedi
−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )
−→j ,
λ−→a = (λax )−→i + (λay )
−→j .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 24 / 72
![Page 239: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/239.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruZbrajanje i mnozenje sa skalarom
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j i−→b = bx
−→i + by
−→j dva vektora
u ravnini, a λ ∈ R skalar. Tada vrijedi
−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )
−→j ,
λ−→a = (λax )−→i + (λay )
−→j .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 24 / 72
![Page 240: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/240.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruZbrajanje i mnozenje sa skalarom
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j i−→b = bx
−→i + by
−→j dva vektora
u ravnini, a λ ∈ R skalar. Tada vrijedi
−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )
−→j ,
λ−→a = (λax )−→i + (λay )
−→j .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 24 / 72
![Page 241: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/241.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruZbrajanje i mnozenje sa skalarom
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j i−→b = bx
−→i + by
−→j dva vektora
u ravnini, a λ ∈ R skalar. Tada vrijedi
−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )
−→j ,
λ−→a = (λax )−→i + (λay )
−→j .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 24 / 72
![Page 242: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/242.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruZbrajanje i mnozenje sa skalarom
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j i−→b = bx
−→i + by
−→j dva vektora
u ravnini, a λ ∈ R skalar. Tada vrijedi
−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )
−→j ,
λ−→a = (λax )−→i + (λay )
−→j .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 24 / 72
![Page 243: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/243.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruZbrajanje i mnozenje sa skalarom
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j i−→b = bx
−→i + by
−→j dva vektora
u ravnini, a λ ∈ R skalar. Tada vrijedi
−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )
−→j ,
λ−→a = (λax )−→i + (λay )
−→j .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 24 / 72
![Page 244: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/244.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruZbrajanje i mnozenje sa skalarom
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j i−→b = bx
−→i + by
−→j dva vektora
u ravnini, a λ ∈ R skalar. Tada vrijedi
−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )
−→j ,
λ−→a = (λax )−→i + (λay )
−→j .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 24 / 72
![Page 245: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/245.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruZbrajanje i mnozenje sa skalarom
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j i−→b = bx
−→i + by
−→j dva vektora
u ravnini, a λ ∈ R skalar. Tada vrijedi
−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )
−→j ,
λ−→a = (λax )−→i + (λay )
−→j .
Propozicija.
Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k i
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k dva vektora u prostoru, a λ ∈ R skalar. Tada
vrijedi
−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )
−→j + (az + bz )
−→k ,
λ−→a = (λax )−→i + (λay )
−→j + (λaz )
−→k .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 25 / 72
![Page 246: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/246.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruZbrajanje i mnozenje sa skalarom
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j i−→b = bx
−→i + by
−→j dva vektora
u ravnini, a λ ∈ R skalar. Tada vrijedi
−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )
−→j ,
λ−→a = (λax )−→i + (λay )
−→j .
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k i
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k dva vektora u prostoru,
a λ ∈ R skalar. Tadavrijedi
−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )
−→j + (az + bz )
−→k ,
λ−→a = (λax )−→i + (λay )
−→j + (λaz )
−→k .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 25 / 72
![Page 247: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/247.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruZbrajanje i mnozenje sa skalarom
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j i−→b = bx
−→i + by
−→j dva vektora
u ravnini, a λ ∈ R skalar. Tada vrijedi
−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )
−→j ,
λ−→a = (λax )−→i + (λay )
−→j .
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k i
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k dva vektora u prostoru, a λ ∈ R skalar.
Tadavrijedi
−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )
−→j + (az + bz )
−→k ,
λ−→a = (λax )−→i + (λay )
−→j + (λaz )
−→k .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 25 / 72
![Page 248: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/248.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruZbrajanje i mnozenje sa skalarom
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j i−→b = bx
−→i + by
−→j dva vektora
u ravnini, a λ ∈ R skalar. Tada vrijedi
−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )
−→j ,
λ−→a = (λax )−→i + (λay )
−→j .
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k i
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k dva vektora u prostoru, a λ ∈ R skalar. Tada
vrijedi
−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )
−→j + (az + bz )
−→k ,
λ−→a = (λax )−→i + (λay )
−→j + (λaz )
−→k .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 25 / 72
![Page 249: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/249.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruZbrajanje i mnozenje sa skalarom
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j i−→b = bx
−→i + by
−→j dva vektora
u ravnini, a λ ∈ R skalar. Tada vrijedi
−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )
−→j ,
λ−→a = (λax )−→i + (λay )
−→j .
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k i
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k dva vektora u prostoru, a λ ∈ R skalar. Tada
vrijedi
−→a +−→b = (ax + bx )−→i + (ay + by )
−→j + (az + bz )
−→k ,
λ−→a = (λax )−→i + (λay )
−→j + (λaz )
−→k .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 25 / 72
![Page 250: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/250.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak.
Zadani su vektori
−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.
Odredi vektore −→a +−→b , 2−→a , −−→b , −→a − 3−→b .Rješenje. Vrijedi:
−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k
2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k
−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) == −~i − 10~j + 13~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 26 / 72
![Page 251: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/251.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2~i −~j +~k ,
−→b =~i + 3~j − 4~k.
Odredi vektore −→a +−→b , 2−→a , −−→b , −→a − 3−→b .Rješenje. Vrijedi:
−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k
2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k
−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) == −~i − 10~j + 13~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 26 / 72
![Page 252: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/252.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.
Odredi vektore −→a +−→b , 2−→a , −−→b , −→a − 3−→b .Rješenje. Vrijedi:
−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k
2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k
−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) == −~i − 10~j + 13~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 26 / 72
![Page 253: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/253.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.
Odredi vektore −→a +−→b , 2−→a , −−→b , −→a − 3−→b .
Rješenje. Vrijedi:
−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k
2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k
−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) == −~i − 10~j + 13~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 26 / 72
![Page 254: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/254.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.
Odredi vektore −→a +−→b , 2−→a , −−→b , −→a − 3−→b .Rješenje.
Vrijedi:
−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k
2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k
−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) == −~i − 10~j + 13~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 26 / 72
![Page 255: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/255.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.
Odredi vektore −→a +−→b , 2−→a , −−→b , −→a − 3−→b .Rješenje. Vrijedi:
−→a +−→b =
(2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k
2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k
−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) == −~i − 10~j + 13~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 26 / 72
![Page 256: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/256.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.
Odredi vektore −→a +−→b , 2−→a , −−→b , −→a − 3−→b .Rješenje. Vrijedi:
−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k =
= 3~i + 2~j − 3~k2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k
−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) == −~i − 10~j + 13~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 26 / 72
![Page 257: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/257.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.
Odredi vektore −→a +−→b , 2−→a , −−→b , −→a − 3−→b .Rješenje. Vrijedi:
−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k
2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k
−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) == −~i − 10~j + 13~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 26 / 72
![Page 258: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/258.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.
Odredi vektore −→a +−→b , 2−→a , −−→b , −→a − 3−→b .Rješenje. Vrijedi:
−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k
2−→a =
2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k
−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) == −~i − 10~j + 13~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 26 / 72
![Page 259: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/259.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.
Odredi vektore −→a +−→b , 2−→a , −−→b , −→a − 3−→b .Rješenje. Vrijedi:
−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k
2−→a = 2(2~i −~j +~k) =
4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k
−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) == −~i − 10~j + 13~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 26 / 72
![Page 260: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/260.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.
Odredi vektore −→a +−→b , 2−→a , −−→b , −→a − 3−→b .Rješenje. Vrijedi:
−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k
2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k
−−→b = −~i − 3~j + 4~k−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) =
= −~i − 10~j + 13~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 26 / 72
![Page 261: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/261.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.
Odredi vektore −→a +−→b , 2−→a , −−→b , −→a − 3−→b .Rješenje. Vrijedi:
−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k
2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b =
−~i − 3~j + 4~k−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) =
= −~i − 10~j + 13~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 26 / 72
![Page 262: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/262.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.
Odredi vektore −→a +−→b , 2−→a , −−→b , −→a − 3−→b .Rješenje. Vrijedi:
−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k
2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k
−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) == −~i − 10~j + 13~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 26 / 72
![Page 263: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/263.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.
Odredi vektore −→a +−→b , 2−→a , −−→b , −→a − 3−→b .Rješenje. Vrijedi:
−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k
2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k
−→a − 3−→b =
(2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) == −~i − 10~j + 13~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 26 / 72
![Page 264: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/264.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.
Odredi vektore −→a +−→b , 2−→a , −−→b , −→a − 3−→b .Rješenje. Vrijedi:
−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k
2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k
−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) =
= −~i − 10~j + 13~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 26 / 72
![Page 265: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/265.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2~i −~j +~k , −→b =~i + 3~j − 4~k.
Odredi vektore −→a +−→b , 2−→a , −−→b , −→a − 3−→b .Rješenje. Vrijedi:
−→a +−→b = (2+ 1)~i + (−1+ 3)~j + (1+ (−4))~k == 3~i + 2~j − 3~k
2−→a = 2(2~i −~j +~k) = 4~i − 2~j + 2~k−−→b = −~i − 3~j + 4~k
−→a − 3−→b = (2~i −~j +~k)− 3(~i + 3~j − 4~k) == −~i − 10~j + 13~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 26 / 72
![Page 266: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/266.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruVektor AB
Propozicija. Neka su A(ax , ay ) i B(bx , by ) proizvoljne tocke ravnine.Tada je −→
AB = (bx − ax )−→i + (by − ay )
−→j .
Dokaz. Po pravilu trokuta vrijedi
−→OB =
−→OA+
−→AB,
pa je onda
−→AB =
−→OB −−→OA =
(bx−→i + by
−→j)−(ax−→i + ay
−→j)
= (bx − ax )−→i + (by − ay )
−→j . QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 27 / 72
![Page 267: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/267.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruVektor AB
Propozicija.
Neka su A(ax , ay ) i B(bx , by ) proizvoljne tocke ravnine.Tada je −→
AB = (bx − ax )−→i + (by − ay )
−→j .
Dokaz. Po pravilu trokuta vrijedi
−→OB =
−→OA+
−→AB,
pa je onda
−→AB =
−→OB −−→OA =
(bx−→i + by
−→j)−(ax−→i + ay
−→j)
= (bx − ax )−→i + (by − ay )
−→j . QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 27 / 72
![Page 268: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/268.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruVektor AB
Propozicija. Neka su A(ax , ay ) i B(bx , by ) proizvoljne tocke ravnine.
Tada je −→AB = (bx − ax )
−→i + (by − ay )
−→j .
Dokaz. Po pravilu trokuta vrijedi
−→OB =
−→OA+
−→AB,
pa je onda
−→AB =
−→OB −−→OA =
(bx−→i + by
−→j)−(ax−→i + ay
−→j)
= (bx − ax )−→i + (by − ay )
−→j . QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 27 / 72
![Page 269: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/269.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruVektor AB
Propozicija. Neka su A(ax , ay ) i B(bx , by ) proizvoljne tocke ravnine.Tada je −→
AB = (bx − ax )−→i + (by − ay )
−→j .
Dokaz. Po pravilu trokuta vrijedi
−→OB =
−→OA+
−→AB,
pa je onda
−→AB =
−→OB −−→OA =
(bx−→i + by
−→j)−(ax−→i + ay
−→j)
= (bx − ax )−→i + (by − ay )
−→j . QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 27 / 72
![Page 270: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/270.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruVektor AB
Propozicija. Neka su A(ax , ay ) i B(bx , by ) proizvoljne tocke ravnine.Tada je −→
AB = (bx − ax )−→i + (by − ay )
−→j .
Dokaz.
Po pravilu trokuta vrijedi
−→OB =
−→OA+
−→AB,
pa je onda
−→AB =
−→OB −−→OA =
(bx−→i + by
−→j)−(ax−→i + ay
−→j)
= (bx − ax )−→i + (by − ay )
−→j . QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 27 / 72
![Page 271: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/271.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruVektor AB
Propozicija. Neka su A(ax , ay ) i B(bx , by ) proizvoljne tocke ravnine.Tada je −→
AB = (bx − ax )−→i + (by − ay )
−→j .
Dokaz. Po pravilu trokuta vrijedi
−→OB =
−→OA+
−→AB,
pa je onda
−→AB =
−→OB −−→OA =
(bx−→i + by
−→j)−(ax−→i + ay
−→j)
= (bx − ax )−→i + (by − ay )
−→j . QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 27 / 72
![Page 272: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/272.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruVektor AB
Propozicija. Neka su A(ax , ay ) i B(bx , by ) proizvoljne tocke ravnine.Tada je −→
AB = (bx − ax )−→i + (by − ay )
−→j .
Dokaz. Po pravilu trokuta vrijedi
−→OB =
−→OA+
−→AB,
pa je onda
−→AB =
−→OB −−→OA =
(bx−→i + by
−→j)−(ax−→i + ay
−→j)
= (bx − ax )−→i + (by − ay )
−→j . QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 27 / 72
![Page 273: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/273.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruVektor AB
Propozicija. Neka su A(ax , ay ) i B(bx , by ) proizvoljne tocke ravnine.Tada je −→
AB = (bx − ax )−→i + (by − ay )
−→j .
Dokaz. Po pravilu trokuta vrijedi
−→OB =
−→OA+
−→AB,
pa je onda
−→AB =
−→OB −−→OA =
(bx−→i + by
−→j)−(ax−→i + ay
−→j)
= (bx − ax )−→i + (by − ay )
−→j . QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 27 / 72
![Page 274: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/274.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruVektor AB
Propozicija. Neka su A(ax , ay ) i B(bx , by ) proizvoljne tocke ravnine.Tada je −→
AB = (bx − ax )−→i + (by − ay )
−→j .
Dokaz. Po pravilu trokuta vrijedi
−→OB =
−→OA+
−→AB,
pa je onda
−→AB =
−→OB −−→OA =
(bx−→i + by
−→j)−(ax−→i + ay
−→j)
= (bx − ax )−→i + (by − ay )
−→j . QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 27 / 72
![Page 275: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/275.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruVektor AB
Propozicija. Neka su A(ax , ay ) i B(bx , by ) proizvoljne tocke ravnine.Tada je −→
AB = (bx − ax )−→i + (by − ay )
−→j .
Dokaz. Po pravilu trokuta vrijedi
−→OB =
−→OA+
−→AB,
pa je onda
−→AB =
−→OB −−→OA =
(bx−→i + by
−→j)−(ax−→i + ay
−→j)
= (bx − ax )−→i + (by − ay )
−→j .
QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 27 / 72
![Page 276: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/276.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruVektor AB
Propozicija. Neka su A(ax , ay ) i B(bx , by ) proizvoljne tocke ravnine.Tada je −→
AB = (bx − ax )−→i + (by − ay )
−→j .
Dokaz. Po pravilu trokuta vrijedi
−→OB =
−→OA+
−→AB,
pa je onda
−→AB =
−→OB −−→OA =
(bx−→i + by
−→j)−(ax−→i + ay
−→j)
= (bx − ax )−→i + (by − ay )
−→j . QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 27 / 72
![Page 277: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/277.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruVektor AB
Propozicija. Neka su A(ax , ay ) i B(bx , by ) proizvoljne tocke ravnine.Tada je −→
AB = (bx − ax )−→i + (by − ay )
−→j .
Propozicija.
Neka su A(ax , ay , az ) i B(bx , by , bz ) proizvoljne tocke uprostoru. Tada vrijedi
−→AB = (bx − ax )
−→i + (by − ay )
−→j + (bz − az )
−→k .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 28 / 72
![Page 278: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/278.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruVektor AB
Propozicija. Neka su A(ax , ay ) i B(bx , by ) proizvoljne tocke ravnine.Tada je −→
AB = (bx − ax )−→i + (by − ay )
−→j .
Propozicija. Neka su A(ax , ay , az ) i B(bx , by , bz ) proizvoljne tocke uprostoru.
Tada vrijedi
−→AB = (bx − ax )
−→i + (by − ay )
−→j + (bz − az )
−→k .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 28 / 72
![Page 279: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/279.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruVektor AB
Propozicija. Neka su A(ax , ay ) i B(bx , by ) proizvoljne tocke ravnine.Tada je −→
AB = (bx − ax )−→i + (by − ay )
−→j .
Propozicija. Neka su A(ax , ay , az ) i B(bx , by , bz ) proizvoljne tocke uprostoru. Tada vrijedi
−→AB = (bx − ax )
−→i + (by − ay )
−→j + (bz − az )
−→k .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 28 / 72
![Page 280: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/280.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak.
Zadane su tocke A i B sa: a) A(1, 2, 3) i B(2, 0, 1), b)A(2,−1, 3) i B(−1, 3, 3). Odredi vektor −→AB.Rješenje. a) Vrijedi
−→AB = (2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =~i − 2~j − 2~k
b) Vrijedi
−→AB = (−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k = − 3~i + 4~j
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 29 / 72
![Page 281: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/281.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadane su tocke A i B sa:
a) A(1, 2, 3) i B(2, 0, 1), b)A(2,−1, 3) i B(−1, 3, 3). Odredi vektor −→AB.Rješenje. a) Vrijedi
−→AB = (2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =~i − 2~j − 2~k
b) Vrijedi
−→AB = (−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k = − 3~i + 4~j
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 29 / 72
![Page 282: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/282.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadane su tocke A i B sa: a) A(1, 2, 3) i B(2, 0, 1),
b)A(2,−1, 3) i B(−1, 3, 3). Odredi vektor −→AB.Rješenje. a) Vrijedi
−→AB = (2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =~i − 2~j − 2~k
b) Vrijedi
−→AB = (−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k = − 3~i + 4~j
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 29 / 72
![Page 283: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/283.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadane su tocke A i B sa: a) A(1, 2, 3) i B(2, 0, 1), b)A(2,−1, 3) i B(−1, 3, 3).
Odredi vektor−→AB.
Rješenje. a) Vrijedi
−→AB = (2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =~i − 2~j − 2~k
b) Vrijedi
−→AB = (−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k = − 3~i + 4~j
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 29 / 72
![Page 284: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/284.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadane su tocke A i B sa: a) A(1, 2, 3) i B(2, 0, 1), b)A(2,−1, 3) i B(−1, 3, 3). Odredi vektor −→AB.
Rješenje. a) Vrijedi
−→AB = (2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =~i − 2~j − 2~k
b) Vrijedi
−→AB = (−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k = − 3~i + 4~j
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 29 / 72
![Page 285: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/285.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadane su tocke A i B sa: a) A(1, 2, 3) i B(2, 0, 1), b)A(2,−1, 3) i B(−1, 3, 3). Odredi vektor −→AB.Rješenje.
a) Vrijedi
−→AB = (2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =~i − 2~j − 2~k
b) Vrijedi
−→AB = (−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k = − 3~i + 4~j
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 29 / 72
![Page 286: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/286.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadane su tocke A i B sa: a) A(1, 2, 3) i B(2, 0, 1), b)A(2,−1, 3) i B(−1, 3, 3). Odredi vektor −→AB.Rješenje. a)
Vrijedi
−→AB = (2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =~i − 2~j − 2~k
b) Vrijedi
−→AB = (−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k = − 3~i + 4~j
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 29 / 72
![Page 287: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/287.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadane su tocke A i B sa: a) A(1, 2, 3) i B(2, 0, 1), b)A(2,−1, 3) i B(−1, 3, 3). Odredi vektor −→AB.Rješenje. a) Vrijedi
−→AB =
(2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =~i − 2~j − 2~k
b) Vrijedi
−→AB = (−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k = − 3~i + 4~j
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 29 / 72
![Page 288: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/288.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadane su tocke A i B sa: a) A(1, 2, 3) i B(2, 0, 1), b)A(2,−1, 3) i B(−1, 3, 3). Odredi vektor −→AB.Rješenje. a) Vrijedi
−→AB = (2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =
~i − 2~j − 2~k
b) Vrijedi
−→AB = (−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k = − 3~i + 4~j
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 29 / 72
![Page 289: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/289.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadane su tocke A i B sa: a) A(1, 2, 3) i B(2, 0, 1), b)A(2,−1, 3) i B(−1, 3, 3). Odredi vektor −→AB.Rješenje. a) Vrijedi
−→AB = (2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =~i − 2~j − 2~k
b) Vrijedi
−→AB = (−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k = − 3~i + 4~j
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 29 / 72
![Page 290: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/290.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadane su tocke A i B sa: a) A(1, 2, 3) i B(2, 0, 1), b)A(2,−1, 3) i B(−1, 3, 3). Odredi vektor −→AB.Rješenje. a) Vrijedi
−→AB = (2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =~i − 2~j − 2~k
b)
Vrijedi
−→AB = (−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k = − 3~i + 4~j
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 29 / 72
![Page 291: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/291.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadane su tocke A i B sa: a) A(1, 2, 3) i B(2, 0, 1), b)A(2,−1, 3) i B(−1, 3, 3). Odredi vektor −→AB.Rješenje. a) Vrijedi
−→AB = (2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =~i − 2~j − 2~k
b) Vrijedi
−→AB =
(−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k = − 3~i + 4~j
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 29 / 72
![Page 292: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/292.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadane su tocke A i B sa: a) A(1, 2, 3) i B(2, 0, 1), b)A(2,−1, 3) i B(−1, 3, 3). Odredi vektor −→AB.Rješenje. a) Vrijedi
−→AB = (2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =~i − 2~j − 2~k
b) Vrijedi
−→AB = (−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k =
− 3~i + 4~j
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 29 / 72
![Page 293: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/293.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadane su tocke A i B sa: a) A(1, 2, 3) i B(2, 0, 1), b)A(2,−1, 3) i B(−1, 3, 3). Odredi vektor −→AB.Rješenje. a) Vrijedi
−→AB = (2− 1)~i + (0− 2)~j + (1− 3)~k =~i − 2~j − 2~k
b) Vrijedi
−→AB = (−1− 2)~i + (3− (−1))~j + (3− 3)~k = − 3~i + 4~j
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 29 / 72
![Page 294: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/294.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak.
Odredi koordinate tocke B ako je A(1, 2,−1) i−→AB = 2~i −~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi
−→OB =
−→OA+
−→AB = (
−→i + 2
−→j −−→k ) + (2~i −~j + 3~k)
= 3−→i +−→j + 2
−→k ⇒ B(3, 1, 2)
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 30 / 72
![Page 295: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/295.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Odredi koordinate tocke B ako je
A(1, 2,−1) i−→AB = 2~i −~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi
−→OB =
−→OA+
−→AB = (
−→i + 2
−→j −−→k ) + (2~i −~j + 3~k)
= 3−→i +−→j + 2
−→k ⇒ B(3, 1, 2)
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 30 / 72
![Page 296: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/296.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Odredi koordinate tocke B ako je A(1, 2,−1)
i−→AB = 2~i −~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi
−→OB =
−→OA+
−→AB = (
−→i + 2
−→j −−→k ) + (2~i −~j + 3~k)
= 3−→i +−→j + 2
−→k ⇒ B(3, 1, 2)
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 30 / 72
![Page 297: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/297.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Odredi koordinate tocke B ako je A(1, 2,−1) i−→AB = 2~i −~j + 3~k.
Rješenje. Vrijedi
−→OB =
−→OA+
−→AB = (
−→i + 2
−→j −−→k ) + (2~i −~j + 3~k)
= 3−→i +−→j + 2
−→k ⇒ B(3, 1, 2)
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 30 / 72
![Page 298: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/298.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Odredi koordinate tocke B ako je A(1, 2,−1) i−→AB = 2~i −~j + 3~k.Rješenje.
Vrijedi
−→OB =
−→OA+
−→AB = (
−→i + 2
−→j −−→k ) + (2~i −~j + 3~k)
= 3−→i +−→j + 2
−→k ⇒ B(3, 1, 2)
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 30 / 72
![Page 299: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/299.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Odredi koordinate tocke B ako je A(1, 2,−1) i−→AB = 2~i −~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi
−→OB =
−→OA+
−→AB = (
−→i + 2
−→j −−→k ) + (2~i −~j + 3~k)
= 3−→i +−→j + 2
−→k ⇒ B(3, 1, 2)
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 30 / 72
![Page 300: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/300.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Odredi koordinate tocke B ako je A(1, 2,−1) i−→AB = 2~i −~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi
−→OB =
−→OA+
−→AB =
(−→i + 2
−→j −−→k ) + (2~i −~j + 3~k)
= 3−→i +−→j + 2
−→k ⇒ B(3, 1, 2)
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 30 / 72
![Page 301: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/301.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Odredi koordinate tocke B ako je A(1, 2,−1) i−→AB = 2~i −~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi
−→OB =
−→OA+
−→AB = (
−→i + 2
−→j −−→k ) + (2~i −~j + 3~k)
= 3−→i +−→j + 2
−→k ⇒ B(3, 1, 2)
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 30 / 72
![Page 302: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/302.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Odredi koordinate tocke B ako je A(1, 2,−1) i−→AB = 2~i −~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi
−→OB =
−→OA+
−→AB = (
−→i + 2
−→j −−→k ) + (2~i −~j + 3~k)
= 3−→i +−→j + 2
−→k
⇒ B(3, 1, 2)
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 30 / 72
![Page 303: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/303.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Odredi koordinate tocke B ako je A(1, 2,−1) i−→AB = 2~i −~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi
−→OB =
−→OA+
−→AB = (
−→i + 2
−→j −−→k ) + (2~i −~j + 3~k)
= 3−→i +−→j + 2
−→k ⇒ B(
3, 1, 2)
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 30 / 72
![Page 304: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/304.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Odredi koordinate tocke B ako je A(1, 2,−1) i−→AB = 2~i −~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi
−→OB =
−→OA+
−→AB = (
−→i + 2
−→j −−→k ) + (2~i −~j + 3~k)
= 3−→i +−→j + 2
−→k ⇒ B(3, 1, 2)
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 30 / 72
![Page 305: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/305.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruDuljina vektora
Propozicija. Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j vektor u ravnini. Tada je
|−→a | =√a2x + a2y .
Propozicija. Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k vektor u prostoru. Tada
je
|−→a | =√a2x + a2y + a2z .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 31 / 72
![Page 306: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/306.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruDuljina vektora
Propozicija.
Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j vektor u ravnini. Tada je
|−→a | =√a2x + a2y .
Propozicija. Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k vektor u prostoru. Tada
je
|−→a | =√a2x + a2y + a2z .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 31 / 72
![Page 307: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/307.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruDuljina vektora
Propozicija. Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j vektor u ravnini.
Tada je
|−→a | =√a2x + a2y .
Propozicija. Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k vektor u prostoru. Tada
je
|−→a | =√a2x + a2y + a2z .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 31 / 72
![Page 308: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/308.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruDuljina vektora
Propozicija. Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j vektor u ravnini. Tada je
|−→a | =√a2x + a2y .
Propozicija. Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k vektor u prostoru. Tada
je
|−→a | =√a2x + a2y + a2z .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 31 / 72
![Page 309: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/309.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruDuljina vektora
Propozicija. Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j vektor u ravnini. Tada je
|−→a | =√a2x + a2y .
Propozicija.
Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k vektor u prostoru. Tada
je
|−→a | =√a2x + a2y + a2z .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 31 / 72
![Page 310: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/310.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruDuljina vektora
Propozicija. Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j vektor u ravnini. Tada je
|−→a | =√a2x + a2y .
Propozicija. Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k vektor u prostoru.
Tadaje
|−→a | =√a2x + a2y + a2z .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 31 / 72
![Page 311: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/311.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruDuljina vektora
Propozicija. Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j vektor u ravnini. Tada je
|−→a | =√a2x + a2y .
Propozicija. Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k vektor u prostoru. Tada
je
|−→a | =√a2x + a2y + a2z .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 31 / 72
![Page 312: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/312.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruDuljina vektora
Propozicija. Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j vektor u ravnini. Tada je
|−→a | =√a2x + a2y .
Propozicija. Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k vektor u prostoru. Tada
je
|−→a | =√a2x + a2y + a2z .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 31 / 72
![Page 313: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/313.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruDuljina vektora
Propozicija. Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j vektor u ravnini. Tada je
|−→a | =√a2x + a2y .
Propozicija. Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k vektor u prostoru. Tada
je
|−→a | =√a2x + a2y + a2z .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 31 / 72
![Page 314: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/314.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruJedinicni vektor
Uocimo da vektor 1|−→a | ·
−→a ima:
smjer i orijentaciju kao vektor −→a ,duljinu 1, jer vrijedi ∣∣∣∣ 1|−→a | · −→a
∣∣∣∣ = 1|−→a | · |
−→a | = 1.
Zakljucujemo da je−→a 0 =
1|−→a | ·
−→a .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 32 / 72
![Page 315: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/315.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruJedinicni vektor
Uocimo da vektor 1|−→a | ·
−→a ima:
smjer i orijentaciju kao vektor −→a ,duljinu 1, jer vrijedi ∣∣∣∣ 1|−→a | · −→a
∣∣∣∣ = 1|−→a | · |
−→a | = 1.
Zakljucujemo da je−→a 0 =
1|−→a | ·
−→a .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 32 / 72
![Page 316: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/316.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruJedinicni vektor
Uocimo da vektor 1|−→a | ·
−→a ima:
smjer i orijentaciju kao vektor −→a ,
duljinu 1, jer vrijedi ∣∣∣∣ 1|−→a | · −→a∣∣∣∣ = 1|−→a | · |
−→a | = 1.
Zakljucujemo da je−→a 0 =
1|−→a | ·
−→a .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 32 / 72
![Page 317: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/317.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruJedinicni vektor
Uocimo da vektor 1|−→a | ·
−→a ima:
smjer i orijentaciju kao vektor −→a ,duljinu 1,
jer vrijedi ∣∣∣∣ 1|−→a | · −→a∣∣∣∣ = 1|−→a | · |
−→a | = 1.
Zakljucujemo da je−→a 0 =
1|−→a | ·
−→a .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 32 / 72
![Page 318: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/318.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruJedinicni vektor
Uocimo da vektor 1|−→a | ·
−→a ima:
smjer i orijentaciju kao vektor −→a ,duljinu 1, jer vrijedi ∣∣∣∣ 1|−→a | · −→a
∣∣∣∣ =
1|−→a | · |
−→a | = 1.
Zakljucujemo da je−→a 0 =
1|−→a | ·
−→a .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 32 / 72
![Page 319: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/319.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruJedinicni vektor
Uocimo da vektor 1|−→a | ·
−→a ima:
smjer i orijentaciju kao vektor −→a ,duljinu 1, jer vrijedi ∣∣∣∣ 1|−→a | · −→a
∣∣∣∣ = 1|−→a | · |
−→a | =
1.
Zakljucujemo da je−→a 0 =
1|−→a | ·
−→a .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 32 / 72
![Page 320: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/320.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruJedinicni vektor
Uocimo da vektor 1|−→a | ·
−→a ima:
smjer i orijentaciju kao vektor −→a ,duljinu 1, jer vrijedi ∣∣∣∣ 1|−→a | · −→a
∣∣∣∣ = 1|−→a | · |
−→a | = 1.
Zakljucujemo da je−→a 0 =
1|−→a | ·
−→a .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 32 / 72
![Page 321: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/321.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruJedinicni vektor
Uocimo da vektor 1|−→a | ·
−→a ima:
smjer i orijentaciju kao vektor −→a ,duljinu 1, jer vrijedi ∣∣∣∣ 1|−→a | · −→a
∣∣∣∣ = 1|−→a | · |
−→a | = 1.
Zakljucujemo da je−→a 0 =
1|−→a | ·
−→a .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 32 / 72
![Page 322: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/322.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Propozicija.
Ako je −→a = ax−→i + ay
−→j , onda je
−→a 0 =1√
a2x + a2y
(ax−→i + ay
−→j)=
ax√a2x + a2y
−→i +
ay√a2x + a2y
−→j .
Propozicija. Ako je −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k , onda je
−→a0 =1√
a2x + a2y + a2z
(ax−→i + ay
−→j + az
−→k)=
=ax√
a2x + a2y + a2z
−→i +
ay√a2x + a2y + a2z
−→j +
az√a2x + a2y + a2z
−→k .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 33 / 72
![Page 323: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/323.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Propozicija. Ako je −→a = ax−→i + ay
−→j ,
onda je
−→a 0 =1√
a2x + a2y
(ax−→i + ay
−→j)=
ax√a2x + a2y
−→i +
ay√a2x + a2y
−→j .
Propozicija. Ako je −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k , onda je
−→a0 =1√
a2x + a2y + a2z
(ax−→i + ay
−→j + az
−→k)=
=ax√
a2x + a2y + a2z
−→i +
ay√a2x + a2y + a2z
−→j +
az√a2x + a2y + a2z
−→k .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 33 / 72
![Page 324: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/324.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Propozicija. Ako je −→a = ax−→i + ay
−→j , onda je
−→a 0 =1√
a2x + a2y
(ax−→i + ay
−→j)=
ax√a2x + a2y
−→i +
ay√a2x + a2y
−→j .
Propozicija. Ako je −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k , onda je
−→a0 =1√
a2x + a2y + a2z
(ax−→i + ay
−→j + az
−→k)=
=ax√
a2x + a2y + a2z
−→i +
ay√a2x + a2y + a2z
−→j +
az√a2x + a2y + a2z
−→k .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 33 / 72
![Page 325: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/325.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Propozicija. Ako je −→a = ax−→i + ay
−→j , onda je
−→a 0 =1√
a2x + a2y
(ax−→i + ay
−→j)=
ax√a2x + a2y
−→i +
ay√a2x + a2y
−→j .
Propozicija. Ako je −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k , onda je
−→a0 =1√
a2x + a2y + a2z
(ax−→i + ay
−→j + az
−→k)=
=ax√
a2x + a2y + a2z
−→i +
ay√a2x + a2y + a2z
−→j +
az√a2x + a2y + a2z
−→k .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 33 / 72
![Page 326: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/326.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Propozicija. Ako je −→a = ax−→i + ay
−→j , onda je
−→a 0 =1√
a2x + a2y
(ax−→i + ay
−→j)=
ax√a2x + a2y
−→i +
ay√a2x + a2y
−→j .
Propozicija.
Ako je −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k , onda je
−→a0 =1√
a2x + a2y + a2z
(ax−→i + ay
−→j + az
−→k)=
=ax√
a2x + a2y + a2z
−→i +
ay√a2x + a2y + a2z
−→j +
az√a2x + a2y + a2z
−→k .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 33 / 72
![Page 327: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/327.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Propozicija. Ako je −→a = ax−→i + ay
−→j , onda je
−→a 0 =1√
a2x + a2y
(ax−→i + ay
−→j)=
ax√a2x + a2y
−→i +
ay√a2x + a2y
−→j .
Propozicija. Ako je −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k ,
onda je
−→a0 =1√
a2x + a2y + a2z
(ax−→i + ay
−→j + az
−→k)=
=ax√
a2x + a2y + a2z
−→i +
ay√a2x + a2y + a2z
−→j +
az√a2x + a2y + a2z
−→k .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 33 / 72
![Page 328: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/328.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Propozicija. Ako je −→a = ax−→i + ay
−→j , onda je
−→a 0 =1√
a2x + a2y
(ax−→i + ay
−→j)=
ax√a2x + a2y
−→i +
ay√a2x + a2y
−→j .
Propozicija. Ako je −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k , onda je
−→a0 =1√
a2x + a2y + a2z
(ax−→i + ay
−→j + az
−→k)=
=ax√
a2x + a2y + a2z
−→i +
ay√a2x + a2y + a2z
−→j +
az√a2x + a2y + a2z
−→k .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 33 / 72
![Page 329: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/329.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Propozicija. Ako je −→a = ax−→i + ay
−→j , onda je
−→a 0 =1√
a2x + a2y
(ax−→i + ay
−→j)=
ax√a2x + a2y
−→i +
ay√a2x + a2y
−→j .
Propozicija. Ako je −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k , onda je
−→a0 =1√
a2x + a2y + a2z
(ax−→i + ay
−→j + az
−→k)=
=ax√
a2x + a2y + a2z
−→i +
ay√a2x + a2y + a2z
−→j +
az√a2x + a2y + a2z
−→k .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 33 / 72
![Page 330: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/330.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak.
Zadan je vektor −→a = 2~i −~j + 2~k. Odredi duljinu vektora −→a , tejedinicni vektor −→a 0 u smjeru vektora −→a . Provjeri da −→a 0 ima jedinicnuduljinu.Rješenje. Vrijedi:
|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =
√9 = 3
−→a 0 =1|−→a |−→a = 1
3(2~i −~j + 2~k) = 2
3~i − 1
3~j +
23~k
Provjera:
|−→a 0| =√(23)2 + (−1
3)2 + (
23)2 =
√49+19+49=
√99= 1
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 34 / 72
![Page 331: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/331.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadan je vektor −→a = 2~i −~j + 2~k.
Odredi duljinu vektora −→a , tejedinicni vektor −→a 0 u smjeru vektora −→a . Provjeri da −→a 0 ima jedinicnuduljinu.Rješenje. Vrijedi:
|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =
√9 = 3
−→a 0 =1|−→a |−→a = 1
3(2~i −~j + 2~k) = 2
3~i − 1
3~j +
23~k
Provjera:
|−→a 0| =√(23)2 + (−1
3)2 + (
23)2 =
√49+19+49=
√99= 1
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 34 / 72
![Page 332: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/332.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadan je vektor −→a = 2~i −~j + 2~k. Odredi duljinu vektora −→a ,
tejedinicni vektor −→a 0 u smjeru vektora −→a . Provjeri da −→a 0 ima jedinicnuduljinu.Rješenje. Vrijedi:
|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =
√9 = 3
−→a 0 =1|−→a |−→a = 1
3(2~i −~j + 2~k) = 2
3~i − 1
3~j +
23~k
Provjera:
|−→a 0| =√(23)2 + (−1
3)2 + (
23)2 =
√49+19+49=
√99= 1
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 34 / 72
![Page 333: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/333.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadan je vektor −→a = 2~i −~j + 2~k. Odredi duljinu vektora −→a , tejedinicni vektor −→a 0 u smjeru vektora −→a .
Provjeri da −→a 0 ima jedinicnuduljinu.Rješenje. Vrijedi:
|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =
√9 = 3
−→a 0 =1|−→a |−→a = 1
3(2~i −~j + 2~k) = 2
3~i − 1
3~j +
23~k
Provjera:
|−→a 0| =√(23)2 + (−1
3)2 + (
23)2 =
√49+19+49=
√99= 1
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 34 / 72
![Page 334: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/334.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadan je vektor −→a = 2~i −~j + 2~k. Odredi duljinu vektora −→a , tejedinicni vektor −→a 0 u smjeru vektora −→a . Provjeri da −→a 0 ima jedinicnuduljinu.
Rješenje. Vrijedi:
|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =
√9 = 3
−→a 0 =1|−→a |−→a = 1
3(2~i −~j + 2~k) = 2
3~i − 1
3~j +
23~k
Provjera:
|−→a 0| =√(23)2 + (−1
3)2 + (
23)2 =
√49+19+49=
√99= 1
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 34 / 72
![Page 335: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/335.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadan je vektor −→a = 2~i −~j + 2~k. Odredi duljinu vektora −→a , tejedinicni vektor −→a 0 u smjeru vektora −→a . Provjeri da −→a 0 ima jedinicnuduljinu.Rješenje.
Vrijedi:
|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =
√9 = 3
−→a 0 =1|−→a |−→a = 1
3(2~i −~j + 2~k) = 2
3~i − 1
3~j +
23~k
Provjera:
|−→a 0| =√(23)2 + (−1
3)2 + (
23)2 =
√49+19+49=
√99= 1
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 34 / 72
![Page 336: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/336.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadan je vektor −→a = 2~i −~j + 2~k. Odredi duljinu vektora −→a , tejedinicni vektor −→a 0 u smjeru vektora −→a . Provjeri da −→a 0 ima jedinicnuduljinu.Rješenje. Vrijedi:
|−→a | =
√22 + (−1)2 + 22 =
√9 = 3
−→a 0 =1|−→a |−→a = 1
3(2~i −~j + 2~k) = 2
3~i − 1
3~j +
23~k
Provjera:
|−→a 0| =√(23)2 + (−1
3)2 + (
23)2 =
√49+19+49=
√99= 1
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 34 / 72
![Page 337: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/337.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadan je vektor −→a = 2~i −~j + 2~k. Odredi duljinu vektora −→a , tejedinicni vektor −→a 0 u smjeru vektora −→a . Provjeri da −→a 0 ima jedinicnuduljinu.Rješenje. Vrijedi:
|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =
√9 = 3
−→a 0 =1|−→a |−→a = 1
3(2~i −~j + 2~k) = 2
3~i − 1
3~j +
23~k
Provjera:
|−→a 0| =√(23)2 + (−1
3)2 + (
23)2 =
√49+19+49=
√99= 1
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 34 / 72
![Page 338: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/338.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadan je vektor −→a = 2~i −~j + 2~k. Odredi duljinu vektora −→a , tejedinicni vektor −→a 0 u smjeru vektora −→a . Provjeri da −→a 0 ima jedinicnuduljinu.Rješenje. Vrijedi:
|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =
√9 =
3
−→a 0 =1|−→a |−→a = 1
3(2~i −~j + 2~k) = 2
3~i − 1
3~j +
23~k
Provjera:
|−→a 0| =√(23)2 + (−1
3)2 + (
23)2 =
√49+19+49=
√99= 1
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 34 / 72
![Page 339: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/339.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadan je vektor −→a = 2~i −~j + 2~k. Odredi duljinu vektora −→a , tejedinicni vektor −→a 0 u smjeru vektora −→a . Provjeri da −→a 0 ima jedinicnuduljinu.Rješenje. Vrijedi:
|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =
√9 = 3
−→a 0 =1|−→a |−→a = 1
3(2~i −~j + 2~k) = 2
3~i − 1
3~j +
23~k
Provjera:
|−→a 0| =√(23)2 + (−1
3)2 + (
23)2 =
√49+19+49=
√99= 1
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 34 / 72
![Page 340: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/340.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadan je vektor −→a = 2~i −~j + 2~k. Odredi duljinu vektora −→a , tejedinicni vektor −→a 0 u smjeru vektora −→a . Provjeri da −→a 0 ima jedinicnuduljinu.Rješenje. Vrijedi:
|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =
√9 = 3
−→a 0 =
1|−→a |−→a = 1
3(2~i −~j + 2~k) = 2
3~i − 1
3~j +
23~k
Provjera:
|−→a 0| =√(23)2 + (−1
3)2 + (
23)2 =
√49+19+49=
√99= 1
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 34 / 72
![Page 341: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/341.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadan je vektor −→a = 2~i −~j + 2~k. Odredi duljinu vektora −→a , tejedinicni vektor −→a 0 u smjeru vektora −→a . Provjeri da −→a 0 ima jedinicnuduljinu.Rješenje. Vrijedi:
|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =
√9 = 3
−→a 0 =1|−→a |−→a =
13(2~i −~j + 2~k) = 2
3~i − 1
3~j +
23~k
Provjera:
|−→a 0| =√(23)2 + (−1
3)2 + (
23)2 =
√49+19+49=
√99= 1
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 34 / 72
![Page 342: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/342.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadan je vektor −→a = 2~i −~j + 2~k. Odredi duljinu vektora −→a , tejedinicni vektor −→a 0 u smjeru vektora −→a . Provjeri da −→a 0 ima jedinicnuduljinu.Rješenje. Vrijedi:
|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =
√9 = 3
−→a 0 =1|−→a |−→a = 1
3(2~i −~j + 2~k) =
23~i − 1
3~j +
23~k
Provjera:
|−→a 0| =√(23)2 + (−1
3)2 + (
23)2 =
√49+19+49=
√99= 1
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 34 / 72
![Page 343: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/343.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadan je vektor −→a = 2~i −~j + 2~k. Odredi duljinu vektora −→a , tejedinicni vektor −→a 0 u smjeru vektora −→a . Provjeri da −→a 0 ima jedinicnuduljinu.Rješenje. Vrijedi:
|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =
√9 = 3
−→a 0 =1|−→a |−→a = 1
3(2~i −~j + 2~k) = 2
3~i − 1
3~j +
23~k
Provjera:
|−→a 0| =√(23)2 + (−1
3)2 + (
23)2 =
√49+19+49=
√99= 1
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 34 / 72
![Page 344: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/344.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadan je vektor −→a = 2~i −~j + 2~k. Odredi duljinu vektora −→a , tejedinicni vektor −→a 0 u smjeru vektora −→a . Provjeri da −→a 0 ima jedinicnuduljinu.Rješenje. Vrijedi:
|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =
√9 = 3
−→a 0 =1|−→a |−→a = 1
3(2~i −~j + 2~k) = 2
3~i − 1
3~j +
23~k
Provjera:
|−→a 0| =
√(23)2 + (−1
3)2 + (
23)2 =
√49+19+49=
√99= 1
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 34 / 72
![Page 345: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/345.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadan je vektor −→a = 2~i −~j + 2~k. Odredi duljinu vektora −→a , tejedinicni vektor −→a 0 u smjeru vektora −→a . Provjeri da −→a 0 ima jedinicnuduljinu.Rješenje. Vrijedi:
|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =
√9 = 3
−→a 0 =1|−→a |−→a = 1
3(2~i −~j + 2~k) = 2
3~i − 1
3~j +
23~k
Provjera:
|−→a 0| =√(23)2 + (−1
3)2 + (
23)2 =
√49+19+49=
√99= 1
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 34 / 72
![Page 346: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/346.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadan je vektor −→a = 2~i −~j + 2~k. Odredi duljinu vektora −→a , tejedinicni vektor −→a 0 u smjeru vektora −→a . Provjeri da −→a 0 ima jedinicnuduljinu.Rješenje. Vrijedi:
|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =
√9 = 3
−→a 0 =1|−→a |−→a = 1
3(2~i −~j + 2~k) = 2
3~i − 1
3~j +
23~k
Provjera:
|−→a 0| =√(23)2 + (−1
3)2 + (
23)2 =
√49+19+49=
√99= 1
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 34 / 72
![Page 347: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/347.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadan je vektor −→a = 2~i −~j + 2~k. Odredi duljinu vektora −→a , tejedinicni vektor −→a 0 u smjeru vektora −→a . Provjeri da −→a 0 ima jedinicnuduljinu.Rješenje. Vrijedi:
|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =
√9 = 3
−→a 0 =1|−→a |−→a = 1
3(2~i −~j + 2~k) = 2
3~i − 1
3~j +
23~k
Provjera:
|−→a 0| =√(23)2 + (−1
3)2 + (
23)2 =
√49+19+49=
√99=
1
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 34 / 72
![Page 348: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/348.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Zadan je vektor −→a = 2~i −~j + 2~k. Odredi duljinu vektora −→a , tejedinicni vektor −→a 0 u smjeru vektora −→a . Provjeri da −→a 0 ima jedinicnuduljinu.Rješenje. Vrijedi:
|−→a | =√22 + (−1)2 + 22 =
√9 = 3
−→a 0 =1|−→a |−→a = 1
3(2~i −~j + 2~k) = 2
3~i − 1
3~j +
23~k
Provjera:
|−→a 0| =√(23)2 + (−1
3)2 + (
23)2 =
√49+19+49=
√99= 1
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 34 / 72
![Page 349: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/349.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruPrikloni kutevi
Definicija. Neka je −→a vektor u ravnini (odnosno prostoru). Prikloni kutevivektora −→a su kutevi koje taj vektor zatvara s vektorima
−→i i−→j (odnosno
vektorima−→i ,−→j i−→k ), a oznacavamo ih redom s α i β (odnosno α, β i γ).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 35 / 72
![Page 350: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/350.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruPrikloni kutevi
Definicija. Neka je −→a vektor u ravnini (odnosno prostoru). Prikloni kutevivektora −→a su kutevi koje taj vektor zatvara s vektorima
−→i i−→j (odnosno
vektorima−→i ,−→j i−→k ), a oznacavamo ih redom s α i β (odnosno α, β i γ).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 35 / 72
![Page 351: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/351.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruPrikloni kutevi
Definicija.
Neka je −→a vektor u ravnini (odnosno prostoru). Prikloni kutevivektora −→a su kutevi koje taj vektor zatvara s vektorima
−→i i−→j (odnosno
vektorima−→i ,−→j i−→k ), a oznacavamo ih redom s α i β (odnosno α, β i γ).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 35 / 72
![Page 352: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/352.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruPrikloni kutevi
Definicija. Neka je −→a vektor u ravnini (odnosno prostoru).
Prikloni kutevivektora −→a su kutevi koje taj vektor zatvara s vektorima
−→i i−→j (odnosno
vektorima−→i ,−→j i−→k ), a oznacavamo ih redom s α i β (odnosno α, β i γ).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 35 / 72
![Page 353: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/353.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruPrikloni kutevi
Definicija. Neka je −→a vektor u ravnini (odnosno prostoru). Prikloni kutevivektora −→a su kutevi koje taj vektor zatvara s vektorima
−→i i−→j (odnosno
vektorima−→i ,−→j i−→k ),
a oznacavamo ih redom s α i β (odnosno α, β i γ).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 35 / 72
![Page 354: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/354.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruPrikloni kutevi
Definicija. Neka je −→a vektor u ravnini (odnosno prostoru). Prikloni kutevivektora −→a su kutevi koje taj vektor zatvara s vektorima
−→i i−→j (odnosno
vektorima−→i ,−→j i−→k ), a oznacavamo ih redom s α i β (odnosno α, β i γ).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 35 / 72
![Page 355: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/355.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruPrikloni kutevi
Definicija. Neka je −→a vektor u ravnini (odnosno prostoru). Prikloni kutevivektora −→a su kutevi koje taj vektor zatvara s vektorima
−→i i−→j (odnosno
vektorima−→i ,−→j i−→k ), a oznacavamo ih redom s α i β (odnosno α, β i γ).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 35 / 72
![Page 356: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/356.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoruPrikloni kutevi
Definicija. Neka je −→a vektor u ravnini (odnosno prostoru). Prikloni kutevivektora −→a su kutevi koje taj vektor zatvara s vektorima
−→i i−→j (odnosno
vektorima−→i ,−→j i−→k ), a oznacavamo ih redom s α i β (odnosno α, β i γ).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 35 / 72
![Page 357: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/357.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Propozicija.
Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j ravninski vektor. Tada je
cos α =ax√a2x + a2y
, cos β =ay√a2x + a2y
.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 36 / 72
![Page 358: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/358.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Propozicija. Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j ravninski vektor.
Tada je
cos α =ax√a2x + a2y
, cos β =ay√a2x + a2y
.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 36 / 72
![Page 359: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/359.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Propozicija. Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j ravninski vektor. Tada je
cos α =ax√a2x + a2y
, cos β =ay√a2x + a2y
.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 36 / 72
![Page 360: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/360.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Propozicija. Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j ravninski vektor. Tada je
cos α =ax√a2x + a2y
, cos β =ay√a2x + a2y
.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 36 / 72
![Page 361: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/361.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Propozicija.
Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k prostorni vektor. Tada je
cos α =ax√
a2x + a2y + a2z, cos β =
ay√a2x + a2y + a2z
, cosγ =az√
a2x + a2y + a2z.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 37 / 72
![Page 362: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/362.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Propozicija. Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k prostorni vektor.
Tada je
cos α =ax√
a2x + a2y + a2z, cos β =
ay√a2x + a2y + a2z
, cosγ =az√
a2x + a2y + a2z.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 37 / 72
![Page 363: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/363.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Propozicija. Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k prostorni vektor. Tada je
cos α =ax√
a2x + a2y + a2z,
cos β =ay√
a2x + a2y + a2z, cosγ =
az√a2x + a2y + a2z
.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 37 / 72
![Page 364: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/364.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Propozicija. Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k prostorni vektor. Tada je
cos α =ax√
a2x + a2y + a2z, cos β =
ay√a2x + a2y + a2z
,
cosγ =az√
a2x + a2y + a2z.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 37 / 72
![Page 365: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/365.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Propozicija. Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k prostorni vektor. Tada je
cos α =ax√
a2x + a2y + a2z, cos β =
ay√a2x + a2y + a2z
, cosγ =az√
a2x + a2y + a2z.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 37 / 72
![Page 366: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/366.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Propozicija. Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k prostorni vektor. Tada je
cos α =ax√
a2x + a2y + a2z, cos β =
ay√a2x + a2y + a2z
, cosγ =az√
a2x + a2y + a2z.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 37 / 72
![Page 367: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/367.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Propozicija. Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k prostorni vektor. Tada je
cos α =ax√
a2x + a2y + a2z, cos β =
ay√a2x + a2y + a2z
, cosγ =az√
a2x + a2y + a2z.
Uocimo da vrijedi:
−→a0 =ax√
a2x + a2y + a2z︸ ︷︷ ︸cos α
−→i +
ay√a2x + a2y + a2z︸ ︷︷ ︸
cos β
−→j +
az√a2x + a2y + a2z︸ ︷︷ ︸
cos γ
−→k .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 38 / 72
![Page 368: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/368.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Propozicija. Neka je −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k prostorni vektor. Tada je
cos α =ax√
a2x + a2y + a2z, cos β =
ay√a2x + a2y + a2z
, cosγ =az√
a2x + a2y + a2z.
Uocimo da vrijedi:
−→a0 =ax√
a2x + a2y + a2z︸ ︷︷ ︸cos α
−→i +
ay√a2x + a2y + a2z︸ ︷︷ ︸
cos β
−→j +
az√a2x + a2y + a2z︸ ︷︷ ︸
cos γ
−→k .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 38 / 72
![Page 369: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/369.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak.
Izracunaj priklone kuteve vektora −→a =~i +√2~j −~k.
Rješenje. Mozemo iskoristiti vezu priklonih kuteva i jedinicnog vektora i:1 izracunati najprije −→a 0,2 išcitati kosinuse priklonih kuteva kao koordinate od −→a 0.
|−→a | =√1+ (
√2)2 + (−1)2 =
√4 = 2
−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1
2~i +
√22~j − 1
2~k
Sada je
cos α = 12 ⇒ α = π
3
cos β =√22 ⇒ β = π
4
cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 39 / 72
![Page 370: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/370.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Izracunaj priklone kuteve vektora −→a =~i +√2~j −~k.
Rješenje. Mozemo iskoristiti vezu priklonih kuteva i jedinicnog vektora i:1 izracunati najprije −→a 0,2 išcitati kosinuse priklonih kuteva kao koordinate od −→a 0.
|−→a | =√1+ (
√2)2 + (−1)2 =
√4 = 2
−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1
2~i +
√22~j − 1
2~k
Sada je
cos α = 12 ⇒ α = π
3
cos β =√22 ⇒ β = π
4
cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 39 / 72
![Page 371: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/371.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Izracunaj priklone kuteve vektora −→a =~i +√2~j −~k.
Rješenje.
Mozemo iskoristiti vezu priklonih kuteva i jedinicnog vektora i:
1 izracunati najprije −→a 0,2 išcitati kosinuse priklonih kuteva kao koordinate od −→a 0.
|−→a | =√1+ (
√2)2 + (−1)2 =
√4 = 2
−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1
2~i +
√22~j − 1
2~k
Sada je
cos α = 12 ⇒ α = π
3
cos β =√22 ⇒ β = π
4
cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 39 / 72
![Page 372: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/372.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Izracunaj priklone kuteve vektora −→a =~i +√2~j −~k.
Rješenje. Mozemo iskoristiti vezu priklonih kuteva i jedinicnog vektora i:
1 izracunati najprije −→a 0,2 išcitati kosinuse priklonih kuteva kao koordinate od −→a 0.
|−→a | =√1+ (
√2)2 + (−1)2 =
√4 = 2
−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1
2~i +
√22~j − 1
2~k
Sada je
cos α = 12 ⇒ α = π
3
cos β =√22 ⇒ β = π
4
cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 39 / 72
![Page 373: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/373.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Izracunaj priklone kuteve vektora −→a =~i +√2~j −~k.
Rješenje. Mozemo iskoristiti vezu priklonih kuteva i jedinicnog vektora i:1 izracunati najprije −→a 0,
2 išcitati kosinuse priklonih kuteva kao koordinate od −→a 0.
|−→a | =√1+ (
√2)2 + (−1)2 =
√4 = 2
−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1
2~i +
√22~j − 1
2~k
Sada je
cos α = 12 ⇒ α = π
3
cos β =√22 ⇒ β = π
4
cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 39 / 72
![Page 374: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/374.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Izracunaj priklone kuteve vektora −→a =~i +√2~j −~k.
Rješenje. Mozemo iskoristiti vezu priklonih kuteva i jedinicnog vektora i:1 izracunati najprije −→a 0,2 išcitati kosinuse priklonih kuteva kao koordinate od −→a 0.
|−→a | =√1+ (
√2)2 + (−1)2 =
√4 = 2
−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1
2~i +
√22~j − 1
2~k
Sada je
cos α = 12 ⇒ α = π
3
cos β =√22 ⇒ β = π
4
cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 39 / 72
![Page 375: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/375.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Izracunaj priklone kuteve vektora −→a =~i +√2~j −~k.
Rješenje. Mozemo iskoristiti vezu priklonih kuteva i jedinicnog vektora i:1 izracunati najprije −→a 0,2 išcitati kosinuse priklonih kuteva kao koordinate od −→a 0.
|−→a | =
√1+ (
√2)2 + (−1)2 =
√4 = 2
−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1
2~i +
√22~j − 1
2~k
Sada je
cos α = 12 ⇒ α = π
3
cos β =√22 ⇒ β = π
4
cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 39 / 72
![Page 376: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/376.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Izracunaj priklone kuteve vektora −→a =~i +√2~j −~k.
Rješenje. Mozemo iskoristiti vezu priklonih kuteva i jedinicnog vektora i:1 izracunati najprije −→a 0,2 išcitati kosinuse priklonih kuteva kao koordinate od −→a 0.
|−→a | =√1+ (
√2)2 + (−1)2 =
√4 = 2
−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1
2~i +
√22~j − 1
2~k
Sada je
cos α = 12 ⇒ α = π
3
cos β =√22 ⇒ β = π
4
cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 39 / 72
![Page 377: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/377.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Izracunaj priklone kuteve vektora −→a =~i +√2~j −~k.
Rješenje. Mozemo iskoristiti vezu priklonih kuteva i jedinicnog vektora i:1 izracunati najprije −→a 0,2 išcitati kosinuse priklonih kuteva kao koordinate od −→a 0.
|−→a | =√1+ (
√2)2 + (−1)2 =
√4 =
2
−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1
2~i +
√22~j − 1
2~k
Sada je
cos α = 12 ⇒ α = π
3
cos β =√22 ⇒ β = π
4
cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 39 / 72
![Page 378: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/378.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Izracunaj priklone kuteve vektora −→a =~i +√2~j −~k.
Rješenje. Mozemo iskoristiti vezu priklonih kuteva i jedinicnog vektora i:1 izracunati najprije −→a 0,2 išcitati kosinuse priklonih kuteva kao koordinate od −→a 0.
|−→a | =√1+ (
√2)2 + (−1)2 =
√4 = 2
−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1
2~i +
√22~j − 1
2~k
Sada je
cos α = 12 ⇒ α = π
3
cos β =√22 ⇒ β = π
4
cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 39 / 72
![Page 379: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/379.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Izracunaj priklone kuteve vektora −→a =~i +√2~j −~k.
Rješenje. Mozemo iskoristiti vezu priklonih kuteva i jedinicnog vektora i:1 izracunati najprije −→a 0,2 išcitati kosinuse priklonih kuteva kao koordinate od −→a 0.
|−→a | =√1+ (
√2)2 + (−1)2 =
√4 = 2
−→a 0 =
12(~i +√2~j −~k) = 1
2~i +
√22~j − 1
2~k
Sada je
cos α = 12 ⇒ α = π
3
cos β =√22 ⇒ β = π
4
cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 39 / 72
![Page 380: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/380.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Izracunaj priklone kuteve vektora −→a =~i +√2~j −~k.
Rješenje. Mozemo iskoristiti vezu priklonih kuteva i jedinicnog vektora i:1 izracunati najprije −→a 0,2 išcitati kosinuse priklonih kuteva kao koordinate od −→a 0.
|−→a | =√1+ (
√2)2 + (−1)2 =
√4 = 2
−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) =
12~i +
√22~j − 1
2~k
Sada je
cos α = 12 ⇒ α = π
3
cos β =√22 ⇒ β = π
4
cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 39 / 72
![Page 381: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/381.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Izracunaj priklone kuteve vektora −→a =~i +√2~j −~k.
Rješenje. Mozemo iskoristiti vezu priklonih kuteva i jedinicnog vektora i:1 izracunati najprije −→a 0,2 išcitati kosinuse priklonih kuteva kao koordinate od −→a 0.
|−→a | =√1+ (
√2)2 + (−1)2 =
√4 = 2
−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1
2~i +
√22~j − 1
2~k
Sada je
cos α = 12 ⇒ α = π
3
cos β =√22 ⇒ β = π
4
cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 39 / 72
![Page 382: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/382.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Izracunaj priklone kuteve vektora −→a =~i +√2~j −~k.
Rješenje. Mozemo iskoristiti vezu priklonih kuteva i jedinicnog vektora i:1 izracunati najprije −→a 0,2 išcitati kosinuse priklonih kuteva kao koordinate od −→a 0.
|−→a | =√1+ (
√2)2 + (−1)2 =
√4 = 2
−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1
2~i +
√22~j − 1
2~k
Sada je
cos α = 12
⇒ α = π3
cos β =√22 ⇒ β = π
4
cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 39 / 72
![Page 383: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/383.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Izracunaj priklone kuteve vektora −→a =~i +√2~j −~k.
Rješenje. Mozemo iskoristiti vezu priklonih kuteva i jedinicnog vektora i:1 izracunati najprije −→a 0,2 išcitati kosinuse priklonih kuteva kao koordinate od −→a 0.
|−→a | =√1+ (
√2)2 + (−1)2 =
√4 = 2
−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1
2~i +
√22~j − 1
2~k
Sada je
cos α = 12 ⇒ α =
π3
cos β =√22 ⇒ β = π
4
cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 39 / 72
![Page 384: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/384.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Izracunaj priklone kuteve vektora −→a =~i +√2~j −~k.
Rješenje. Mozemo iskoristiti vezu priklonih kuteva i jedinicnog vektora i:1 izracunati najprije −→a 0,2 išcitati kosinuse priklonih kuteva kao koordinate od −→a 0.
|−→a | =√1+ (
√2)2 + (−1)2 =
√4 = 2
−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1
2~i +
√22~j − 1
2~k
Sada je
cos α = 12 ⇒ α = π
3
cos β =√22 ⇒ β = π
4
cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 39 / 72
![Page 385: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/385.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Izracunaj priklone kuteve vektora −→a =~i +√2~j −~k.
Rješenje. Mozemo iskoristiti vezu priklonih kuteva i jedinicnog vektora i:1 izracunati najprije −→a 0,2 išcitati kosinuse priklonih kuteva kao koordinate od −→a 0.
|−→a | =√1+ (
√2)2 + (−1)2 =
√4 = 2
−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1
2~i +
√22~j − 1
2~k
Sada je
cos α = 12 ⇒ α = π
3
cos β =√22
⇒ β = π4
cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 39 / 72
![Page 386: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/386.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Izracunaj priklone kuteve vektora −→a =~i +√2~j −~k.
Rješenje. Mozemo iskoristiti vezu priklonih kuteva i jedinicnog vektora i:1 izracunati najprije −→a 0,2 išcitati kosinuse priklonih kuteva kao koordinate od −→a 0.
|−→a | =√1+ (
√2)2 + (−1)2 =
√4 = 2
−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1
2~i +
√22~j − 1
2~k
Sada je
cos α = 12 ⇒ α = π
3
cos β =√22 ⇒ β =
π4
cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 39 / 72
![Page 387: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/387.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Izracunaj priklone kuteve vektora −→a =~i +√2~j −~k.
Rješenje. Mozemo iskoristiti vezu priklonih kuteva i jedinicnog vektora i:1 izracunati najprije −→a 0,2 išcitati kosinuse priklonih kuteva kao koordinate od −→a 0.
|−→a | =√1+ (
√2)2 + (−1)2 =
√4 = 2
−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1
2~i +
√22~j − 1
2~k
Sada je
cos α = 12 ⇒ α = π
3
cos β =√22 ⇒ β = π
4
cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 39 / 72
![Page 388: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/388.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Izracunaj priklone kuteve vektora −→a =~i +√2~j −~k.
Rješenje. Mozemo iskoristiti vezu priklonih kuteva i jedinicnog vektora i:1 izracunati najprije −→a 0,2 išcitati kosinuse priklonih kuteva kao koordinate od −→a 0.
|−→a | =√1+ (
√2)2 + (−1)2 =
√4 = 2
−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1
2~i +
√22~j − 1
2~k
Sada je
cos α = 12 ⇒ α = π
3
cos β =√22 ⇒ β = π
4
cosγ = − 12
⇒ γ = 2π3
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 39 / 72
![Page 389: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/389.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Izracunaj priklone kuteve vektora −→a =~i +√2~j −~k.
Rješenje. Mozemo iskoristiti vezu priklonih kuteva i jedinicnog vektora i:1 izracunati najprije −→a 0,2 išcitati kosinuse priklonih kuteva kao koordinate od −→a 0.
|−→a | =√1+ (
√2)2 + (−1)2 =
√4 = 2
−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1
2~i +
√22~j − 1
2~k
Sada je
cos α = 12 ⇒ α = π
3
cos β =√22 ⇒ β = π
4
cosγ = − 12 ⇒ γ =
2π3
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 39 / 72
![Page 390: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/390.jpg)
Izracunavanje u koordinatiziranom prostoru
Zadatak. Izracunaj priklone kuteve vektora −→a =~i +√2~j −~k.
Rješenje. Mozemo iskoristiti vezu priklonih kuteva i jedinicnog vektora i:1 izracunati najprije −→a 0,2 išcitati kosinuse priklonih kuteva kao koordinate od −→a 0.
|−→a | =√1+ (
√2)2 + (−1)2 =
√4 = 2
−→a 0 =12(~i +√2~j −~k) = 1
2~i +
√22~j − 1
2~k
Sada je
cos α = 12 ⇒ α = π
3
cos β =√22 ⇒ β = π
4
cosγ = − 12 ⇒ γ = 2π3
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 39 / 72
![Page 391: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/391.jpg)
Mnozenje vektora
Podsjetimo se, trebamo uvesti jošdvije operacije sa vektorima:
skalarni produkt vektora
vektor · vektor = broj
vektorski produktvektor × vektor = vektor
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 40 / 72
![Page 392: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/392.jpg)
Mnozenje vektora
Podsjetimo se, trebamo uvesti jošdvije operacije sa vektorima:
skalarni produkt vektora
vektor · vektor = broj
vektorski produktvektor × vektor = vektor
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 40 / 72
![Page 393: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/393.jpg)
Mnozenje vektora
Podsjetimo se, trebamo uvesti jošdvije operacije sa vektorima:
skalarni produkt vektora
vektor · vektor = broj
vektorski produktvektor × vektor = vektor
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 40 / 72
![Page 394: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/394.jpg)
Mnozenje vektora
Podsjetimo se, trebamo uvesti jošdvije operacije sa vektorima:
skalarni produkt vektora
vektor · vektor = broj
vektorski produktvektor × vektor = vektor
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 40 / 72
![Page 395: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/395.jpg)
Mnozenje vektora
Podsjetimo se, trebamo uvesti jošdvije operacije sa vektorima:
skalarni produkt vektora
vektor · vektor = broj
vektorski produkt
vektor × vektor = vektor
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 40 / 72
![Page 396: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/396.jpg)
Mnozenje vektora
Podsjetimo se, trebamo uvesti jošdvije operacije sa vektorima:
skalarni produkt vektora
vektor · vektor = broj
vektorski produktvektor × vektor = vektor
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 40 / 72
![Page 397: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/397.jpg)
Mnozenje vektoraSkalarni produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b dva vektora, te neka je ϕ = ](−→a ,−→b ).
Skalarni produkt vektora −→a i−→b je skalar (broj) kojeg oznacavamo
−→a · −→b , a koji je definiran formulom−→a · −→b = |−→a |
∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.
Napomena. Uocimo da je skalarni produkt −→a · −→b nula ako je −→a = −→0 ili−→b =
−→0 ili je −→a ⊥−→b .
Napomena. Uocimo da predznak skalarnog produkta −→a · −→b ovisi samo okutu ϕ, te vrijedi:
ϕ je oštri kut ⇔ broj −→a · −→b je pozitivan,
ϕ je pravi kut ⇔ broj −→a · −→b je nula,
ϕ je tupi kut ⇔ broj −→a · −→b je negativan.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 41 / 72
![Page 398: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/398.jpg)
Mnozenje vektoraSkalarni produkt vektora
Definicija.
Neka su −→a i−→b dva vektora, te neka je ϕ = ](−→a ,−→b ).
Skalarni produkt vektora −→a i−→b je skalar (broj) kojeg oznacavamo
−→a · −→b , a koji je definiran formulom−→a · −→b = |−→a |
∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.
Napomena. Uocimo da je skalarni produkt −→a · −→b nula ako je −→a = −→0 ili−→b =
−→0 ili je −→a ⊥−→b .
Napomena. Uocimo da predznak skalarnog produkta −→a · −→b ovisi samo okutu ϕ, te vrijedi:
ϕ je oštri kut ⇔ broj −→a · −→b je pozitivan,
ϕ je pravi kut ⇔ broj −→a · −→b je nula,
ϕ je tupi kut ⇔ broj −→a · −→b je negativan.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 41 / 72
![Page 399: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/399.jpg)
Mnozenje vektoraSkalarni produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b dva vektora,
te neka je ϕ = ](−→a ,−→b ).Skalarni produkt vektora −→a i
−→b je skalar (broj) kojeg oznacavamo
−→a · −→b , a koji je definiran formulom−→a · −→b = |−→a |
∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.
Napomena. Uocimo da je skalarni produkt −→a · −→b nula ako je −→a = −→0 ili−→b =
−→0 ili je −→a ⊥−→b .
Napomena. Uocimo da predznak skalarnog produkta −→a · −→b ovisi samo okutu ϕ, te vrijedi:
ϕ je oštri kut ⇔ broj −→a · −→b je pozitivan,
ϕ je pravi kut ⇔ broj −→a · −→b je nula,
ϕ je tupi kut ⇔ broj −→a · −→b je negativan.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 41 / 72
![Page 400: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/400.jpg)
Mnozenje vektoraSkalarni produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b dva vektora, te neka je ϕ = ](−→a ,−→b ).
Skalarni produkt vektora −→a i−→b je skalar (broj) kojeg oznacavamo
−→a · −→b , a koji je definiran formulom−→a · −→b = |−→a |
∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.
Napomena. Uocimo da je skalarni produkt −→a · −→b nula ako je −→a = −→0 ili−→b =
−→0 ili je −→a ⊥−→b .
Napomena. Uocimo da predznak skalarnog produkta −→a · −→b ovisi samo okutu ϕ, te vrijedi:
ϕ je oštri kut ⇔ broj −→a · −→b je pozitivan,
ϕ je pravi kut ⇔ broj −→a · −→b je nula,
ϕ je tupi kut ⇔ broj −→a · −→b je negativan.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 41 / 72
![Page 401: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/401.jpg)
Mnozenje vektoraSkalarni produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b dva vektora, te neka je ϕ = ](−→a ,−→b ).
Skalarni produkt vektora −→a i−→b je skalar (broj)
kojeg oznacavamo−→a · −→b , a koji je definiran formulom
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.
Napomena. Uocimo da je skalarni produkt −→a · −→b nula ako je −→a = −→0 ili−→b =
−→0 ili je −→a ⊥−→b .
Napomena. Uocimo da predznak skalarnog produkta −→a · −→b ovisi samo okutu ϕ, te vrijedi:
ϕ je oštri kut ⇔ broj −→a · −→b je pozitivan,
ϕ je pravi kut ⇔ broj −→a · −→b je nula,
ϕ je tupi kut ⇔ broj −→a · −→b je negativan.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 41 / 72
![Page 402: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/402.jpg)
Mnozenje vektoraSkalarni produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b dva vektora, te neka je ϕ = ](−→a ,−→b ).
Skalarni produkt vektora −→a i−→b je skalar (broj) kojeg oznacavamo
−→a · −→b ,
a koji je definiran formulom
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.
Napomena. Uocimo da je skalarni produkt −→a · −→b nula ako je −→a = −→0 ili−→b =
−→0 ili je −→a ⊥−→b .
Napomena. Uocimo da predznak skalarnog produkta −→a · −→b ovisi samo okutu ϕ, te vrijedi:
ϕ je oštri kut ⇔ broj −→a · −→b je pozitivan,
ϕ je pravi kut ⇔ broj −→a · −→b je nula,
ϕ je tupi kut ⇔ broj −→a · −→b je negativan.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 41 / 72
![Page 403: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/403.jpg)
Mnozenje vektoraSkalarni produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b dva vektora, te neka je ϕ = ](−→a ,−→b ).
Skalarni produkt vektora −→a i−→b je skalar (broj) kojeg oznacavamo
−→a · −→b , a koji je definiran formulom−→a · −→b = |−→a |
∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.
Napomena. Uocimo da je skalarni produkt −→a · −→b nula ako je −→a = −→0 ili−→b =
−→0 ili je −→a ⊥−→b .
Napomena. Uocimo da predznak skalarnog produkta −→a · −→b ovisi samo okutu ϕ, te vrijedi:
ϕ je oštri kut ⇔ broj −→a · −→b je pozitivan,
ϕ je pravi kut ⇔ broj −→a · −→b je nula,
ϕ je tupi kut ⇔ broj −→a · −→b je negativan.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 41 / 72
![Page 404: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/404.jpg)
Mnozenje vektoraSkalarni produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b dva vektora, te neka je ϕ = ](−→a ,−→b ).
Skalarni produkt vektora −→a i−→b je skalar (broj) kojeg oznacavamo
−→a · −→b , a koji je definiran formulom−→a · −→b = |−→a |
∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.
Napomena.
Uocimo da je skalarni produkt −→a · −→b nula ako je −→a = −→0 ili−→b =
−→0 ili je −→a ⊥−→b .
Napomena. Uocimo da predznak skalarnog produkta −→a · −→b ovisi samo okutu ϕ, te vrijedi:
ϕ je oštri kut ⇔ broj −→a · −→b je pozitivan,
ϕ je pravi kut ⇔ broj −→a · −→b je nula,
ϕ je tupi kut ⇔ broj −→a · −→b je negativan.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 41 / 72
![Page 405: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/405.jpg)
Mnozenje vektoraSkalarni produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b dva vektora, te neka je ϕ = ](−→a ,−→b ).
Skalarni produkt vektora −→a i−→b je skalar (broj) kojeg oznacavamo
−→a · −→b , a koji je definiran formulom−→a · −→b = |−→a |
∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.
Napomena. Uocimo da je skalarni produkt −→a · −→b nula
ako je −→a = −→0 ili−→b =
−→0 ili je −→a ⊥−→b .
Napomena. Uocimo da predznak skalarnog produkta −→a · −→b ovisi samo okutu ϕ, te vrijedi:
ϕ je oštri kut ⇔ broj −→a · −→b je pozitivan,
ϕ je pravi kut ⇔ broj −→a · −→b je nula,
ϕ je tupi kut ⇔ broj −→a · −→b je negativan.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 41 / 72
![Page 406: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/406.jpg)
Mnozenje vektoraSkalarni produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b dva vektora, te neka je ϕ = ](−→a ,−→b ).
Skalarni produkt vektora −→a i−→b je skalar (broj) kojeg oznacavamo
−→a · −→b , a koji je definiran formulom−→a · −→b = |−→a |
∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.
Napomena. Uocimo da je skalarni produkt −→a · −→b nula ako je −→a = −→0 ili−→b =
−→0 ili je −→a ⊥−→b .
Napomena. Uocimo da predznak skalarnog produkta −→a · −→b ovisi samo okutu ϕ, te vrijedi:
ϕ je oštri kut ⇔ broj −→a · −→b je pozitivan,
ϕ je pravi kut ⇔ broj −→a · −→b je nula,
ϕ je tupi kut ⇔ broj −→a · −→b je negativan.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 41 / 72
![Page 407: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/407.jpg)
Mnozenje vektoraSkalarni produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b dva vektora, te neka je ϕ = ](−→a ,−→b ).
Skalarni produkt vektora −→a i−→b je skalar (broj) kojeg oznacavamo
−→a · −→b , a koji je definiran formulom−→a · −→b = |−→a |
∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.
Napomena. Uocimo da je skalarni produkt −→a · −→b nula ako je −→a = −→0 ili−→b =
−→0 ili je −→a ⊥−→b .
Napomena.
Uocimo da predznak skalarnog produkta −→a · −→b ovisi samo okutu ϕ, te vrijedi:
ϕ je oštri kut ⇔ broj −→a · −→b je pozitivan,
ϕ je pravi kut ⇔ broj −→a · −→b je nula,
ϕ je tupi kut ⇔ broj −→a · −→b je negativan.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 41 / 72
![Page 408: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/408.jpg)
Mnozenje vektoraSkalarni produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b dva vektora, te neka je ϕ = ](−→a ,−→b ).
Skalarni produkt vektora −→a i−→b je skalar (broj) kojeg oznacavamo
−→a · −→b , a koji je definiran formulom−→a · −→b = |−→a |
∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.
Napomena. Uocimo da je skalarni produkt −→a · −→b nula ako je −→a = −→0 ili−→b =
−→0 ili je −→a ⊥−→b .
Napomena. Uocimo da predznak skalarnog produkta −→a · −→b ovisi samo okutu ϕ,
te vrijedi:
ϕ je oštri kut ⇔ broj −→a · −→b je pozitivan,
ϕ je pravi kut ⇔ broj −→a · −→b je nula,
ϕ je tupi kut ⇔ broj −→a · −→b je negativan.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 41 / 72
![Page 409: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/409.jpg)
Mnozenje vektoraSkalarni produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b dva vektora, te neka je ϕ = ](−→a ,−→b ).
Skalarni produkt vektora −→a i−→b je skalar (broj) kojeg oznacavamo
−→a · −→b , a koji je definiran formulom−→a · −→b = |−→a |
∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.
Napomena. Uocimo da je skalarni produkt −→a · −→b nula ako je −→a = −→0 ili−→b =
−→0 ili je −→a ⊥−→b .
Napomena. Uocimo da predznak skalarnog produkta −→a · −→b ovisi samo okutu ϕ, te vrijedi:
ϕ je oštri kut ⇔ broj −→a · −→b je pozitivan,
ϕ je pravi kut ⇔ broj −→a · −→b je nula,
ϕ je tupi kut ⇔ broj −→a · −→b je negativan.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 41 / 72
![Page 410: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/410.jpg)
Mnozenje vektoraSkalarni produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b dva vektora, te neka je ϕ = ](−→a ,−→b ).
Skalarni produkt vektora −→a i−→b je skalar (broj) kojeg oznacavamo
−→a · −→b , a koji je definiran formulom−→a · −→b = |−→a |
∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.
Napomena. Uocimo da je skalarni produkt −→a · −→b nula ako je −→a = −→0 ili−→b =
−→0 ili je −→a ⊥−→b .
Napomena. Uocimo da predznak skalarnog produkta −→a · −→b ovisi samo okutu ϕ, te vrijedi:
ϕ je oštri kut ⇔
broj −→a · −→b je pozitivan,
ϕ je pravi kut ⇔ broj −→a · −→b je nula,
ϕ je tupi kut ⇔ broj −→a · −→b je negativan.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 41 / 72
![Page 411: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/411.jpg)
Mnozenje vektoraSkalarni produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b dva vektora, te neka je ϕ = ](−→a ,−→b ).
Skalarni produkt vektora −→a i−→b je skalar (broj) kojeg oznacavamo
−→a · −→b , a koji je definiran formulom−→a · −→b = |−→a |
∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.
Napomena. Uocimo da je skalarni produkt −→a · −→b nula ako je −→a = −→0 ili−→b =
−→0 ili je −→a ⊥−→b .
Napomena. Uocimo da predznak skalarnog produkta −→a · −→b ovisi samo okutu ϕ, te vrijedi:
ϕ je oštri kut ⇔ broj −→a · −→b je pozitivan,
ϕ je pravi kut ⇔ broj −→a · −→b je nula,
ϕ je tupi kut ⇔ broj −→a · −→b je negativan.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 41 / 72
![Page 412: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/412.jpg)
Mnozenje vektoraSkalarni produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b dva vektora, te neka je ϕ = ](−→a ,−→b ).
Skalarni produkt vektora −→a i−→b je skalar (broj) kojeg oznacavamo
−→a · −→b , a koji je definiran formulom−→a · −→b = |−→a |
∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.
Napomena. Uocimo da je skalarni produkt −→a · −→b nula ako je −→a = −→0 ili−→b =
−→0 ili je −→a ⊥−→b .
Napomena. Uocimo da predznak skalarnog produkta −→a · −→b ovisi samo okutu ϕ, te vrijedi:
ϕ je oštri kut ⇔ broj −→a · −→b je pozitivan,
ϕ je pravi kut ⇔
broj −→a · −→b je nula,
ϕ je tupi kut ⇔ broj −→a · −→b je negativan.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 41 / 72
![Page 413: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/413.jpg)
Mnozenje vektoraSkalarni produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b dva vektora, te neka je ϕ = ](−→a ,−→b ).
Skalarni produkt vektora −→a i−→b je skalar (broj) kojeg oznacavamo
−→a · −→b , a koji je definiran formulom−→a · −→b = |−→a |
∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.
Napomena. Uocimo da je skalarni produkt −→a · −→b nula ako je −→a = −→0 ili−→b =
−→0 ili je −→a ⊥−→b .
Napomena. Uocimo da predznak skalarnog produkta −→a · −→b ovisi samo okutu ϕ, te vrijedi:
ϕ je oštri kut ⇔ broj −→a · −→b je pozitivan,
ϕ je pravi kut ⇔ broj −→a · −→b je nula,
ϕ je tupi kut ⇔ broj −→a · −→b je negativan.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 41 / 72
![Page 414: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/414.jpg)
Mnozenje vektoraSkalarni produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b dva vektora, te neka je ϕ = ](−→a ,−→b ).
Skalarni produkt vektora −→a i−→b je skalar (broj) kojeg oznacavamo
−→a · −→b , a koji je definiran formulom−→a · −→b = |−→a |
∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.
Napomena. Uocimo da je skalarni produkt −→a · −→b nula ako je −→a = −→0 ili−→b =
−→0 ili je −→a ⊥−→b .
Napomena. Uocimo da predznak skalarnog produkta −→a · −→b ovisi samo okutu ϕ, te vrijedi:
ϕ je oštri kut ⇔ broj −→a · −→b je pozitivan,
ϕ je pravi kut ⇔ broj −→a · −→b je nula,
ϕ je tupi kut ⇔
broj −→a · −→b je negativan.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 41 / 72
![Page 415: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/415.jpg)
Mnozenje vektoraSkalarni produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b dva vektora, te neka je ϕ = ](−→a ,−→b ).
Skalarni produkt vektora −→a i−→b je skalar (broj) kojeg oznacavamo
−→a · −→b , a koji je definiran formulom−→a · −→b = |−→a |
∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ.
Napomena. Uocimo da je skalarni produkt −→a · −→b nula ako je −→a = −→0 ili−→b =
−→0 ili je −→a ⊥−→b .
Napomena. Uocimo da predznak skalarnog produkta −→a · −→b ovisi samo okutu ϕ, te vrijedi:
ϕ je oštri kut ⇔ broj −→a · −→b je pozitivan,
ϕ je pravi kut ⇔ broj −→a · −→b je nula,
ϕ je tupi kut ⇔ broj −→a · −→b je negativan.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 41 / 72
![Page 416: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/416.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak.
Odredi −→a · −→b ako je:a) |−→a | = 2,
∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,
b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π
4 .
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π
3= 2 · 3 · 1
2= 3,
b) Vrijedi
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π
4= 1 · 2 · (−
√22) = −
√2.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 42 / 72
![Page 417: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/417.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:
a) |−→a | = 2,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π
3 ,
b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π
4 .
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π
3= 2 · 3 · 1
2= 3,
b) Vrijedi
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π
4= 1 · 2 · (−
√22) = −
√2.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 42 / 72
![Page 418: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/418.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:a) |−→a | = 2,
∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,
b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π
4 .
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π
3= 2 · 3 · 1
2= 3,
b) Vrijedi
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π
4= 1 · 2 · (−
√22) = −
√2.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 42 / 72
![Page 419: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/419.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:a) |−→a | = 2,
∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,
b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π
4 .
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π
3= 2 · 3 · 1
2= 3,
b) Vrijedi
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π
4= 1 · 2 · (−
√22) = −
√2.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 42 / 72
![Page 420: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/420.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:a) |−→a | = 2,
∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,
b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π
4 .
Rješenje.
a) Vrijedi:
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π
3= 2 · 3 · 1
2= 3,
b) Vrijedi
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π
4= 1 · 2 · (−
√22) = −
√2.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 42 / 72
![Page 421: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/421.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:a) |−→a | = 2,
∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,
b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π
4 .
Rješenje. a)
Vrijedi:
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π
3= 2 · 3 · 1
2= 3,
b) Vrijedi
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π
4= 1 · 2 · (−
√22) = −
√2.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 42 / 72
![Page 422: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/422.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:a) |−→a | = 2,
∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,
b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π
4 .
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b =
|−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π
3= 2 · 3 · 1
2= 3,
b) Vrijedi
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π
4= 1 · 2 · (−
√22) = −
√2.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 42 / 72
![Page 423: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/423.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:a) |−→a | = 2,
∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,
b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π
4 .
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ =
2 · 3 · cos π
3= 2 · 3 · 1
2= 3,
b) Vrijedi
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π
4= 1 · 2 · (−
√22) = −
√2.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 42 / 72
![Page 424: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/424.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:a) |−→a | = 2,
∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,
b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π
4 .
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π
3=
2 · 3 · 12= 3,
b) Vrijedi
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π
4= 1 · 2 · (−
√22) = −
√2.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 42 / 72
![Page 425: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/425.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:a) |−→a | = 2,
∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,
b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π
4 .
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π
3= 2 · 3 · 1
2=
3,
b) Vrijedi
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π
4= 1 · 2 · (−
√22) = −
√2.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 42 / 72
![Page 426: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/426.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:a) |−→a | = 2,
∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,
b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π
4 .
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π
3= 2 · 3 · 1
2= 3,
b) Vrijedi
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π
4= 1 · 2 · (−
√22) = −
√2.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 42 / 72
![Page 427: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/427.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:a) |−→a | = 2,
∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,
b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π
4 .
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π
3= 2 · 3 · 1
2= 3,
b)
Vrijedi
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π
4= 1 · 2 · (−
√22) = −
√2.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 42 / 72
![Page 428: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/428.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:a) |−→a | = 2,
∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,
b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π
4 .
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π
3= 2 · 3 · 1
2= 3,
b) Vrijedi
−→a · −→b =
|−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π
4= 1 · 2 · (−
√22) = −
√2.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 42 / 72
![Page 429: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/429.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:a) |−→a | = 2,
∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,
b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π
4 .
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π
3= 2 · 3 · 1
2= 3,
b) Vrijedi
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ =
1 · 2 · cos 3π
4= 1 · 2 · (−
√22) = −
√2.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 42 / 72
![Page 430: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/430.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:a) |−→a | = 2,
∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,
b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π
4 .
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π
3= 2 · 3 · 1
2= 3,
b) Vrijedi
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π
4=
1 · 2 · (−√22) = −
√2.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 42 / 72
![Page 431: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/431.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:a) |−→a | = 2,
∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,
b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π
4 .
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π
3= 2 · 3 · 1
2= 3,
b) Vrijedi
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π
4= 1 · 2 · (−
√22) =
−√2.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 42 / 72
![Page 432: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/432.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:a) |−→a | = 2,
∣∣∣−→b ∣∣∣ = 3 i ](−→a ,−→b ) = π3 ,
b) |−→a | = 1,∣∣∣−→b ∣∣∣ = 2 i ](−→a ,−→b ) = 3π
4 .
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 2 · 3 · cos π
3= 2 · 3 · 1
2= 3,
b) Vrijedi
−→a · −→b = |−→a |∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ = 1 · 2 · cos 3π
4= 1 · 2 · (−
√22) = −
√2.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 42 / 72
![Page 433: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/433.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak.
Što vrijedi za kut ϕ = ](−→a ,−→b ) ako je:
a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .
Rješenje. Kut ϕ = ](−→a ,−→b ) je:
a) tupi b) pravi, c) oštri, d) oštri.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 43 / 72
![Page 434: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/434.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Što vrijedi za kut ϕ = ](−→a ,−→b ) ako je:
a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .
Rješenje. Kut ϕ = ](−→a ,−→b ) je:
a) tupi b) pravi, c) oštri, d) oštri.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 43 / 72
![Page 435: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/435.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Što vrijedi za kut ϕ = ](−→a ,−→b ) ako je:
a) −→a · −→b = −1,
b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .
Rješenje. Kut ϕ = ](−→a ,−→b ) je:
a) tupi b) pravi, c) oštri, d) oštri.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 43 / 72
![Page 436: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/436.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Što vrijedi za kut ϕ = ](−→a ,−→b ) ako je:
a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0,
c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .
Rješenje. Kut ϕ = ](−→a ,−→b ) je:
a) tupi b) pravi, c) oštri, d) oštri.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 43 / 72
![Page 437: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/437.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Što vrijedi za kut ϕ = ](−→a ,−→b ) ako je:
a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2,
d) −→a · −→b = 12 .
Rješenje. Kut ϕ = ](−→a ,−→b ) je:
a) tupi b) pravi, c) oštri, d) oštri.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 43 / 72
![Page 438: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/438.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Što vrijedi za kut ϕ = ](−→a ,−→b ) ako je:
a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .
Rješenje. Kut ϕ = ](−→a ,−→b ) je:
a) tupi b) pravi, c) oštri, d) oštri.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 43 / 72
![Page 439: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/439.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Što vrijedi za kut ϕ = ](−→a ,−→b ) ako je:
a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .
Rješenje.
Kut ϕ = ](−→a ,−→b ) je:
a) tupi b) pravi, c) oštri, d) oštri.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 43 / 72
![Page 440: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/440.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Što vrijedi za kut ϕ = ](−→a ,−→b ) ako je:
a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .
Rješenje. Kut ϕ = ](−→a ,−→b ) je:
a)
tupi b) pravi, c) oštri, d) oštri.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 43 / 72
![Page 441: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/441.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Što vrijedi za kut ϕ = ](−→a ,−→b ) ako je:
a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .
Rješenje. Kut ϕ = ](−→a ,−→b ) je:
a) tupi
b) pravi, c) oštri, d) oštri.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 43 / 72
![Page 442: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/442.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Što vrijedi za kut ϕ = ](−→a ,−→b ) ako je:
a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .
Rješenje. Kut ϕ = ](−→a ,−→b ) je:
a) tupi b)
pravi, c) oštri, d) oštri.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 43 / 72
![Page 443: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/443.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Što vrijedi za kut ϕ = ](−→a ,−→b ) ako je:
a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .
Rješenje. Kut ϕ = ](−→a ,−→b ) je:
a) tupi b) pravi,
c) oštri, d) oštri.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 43 / 72
![Page 444: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/444.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Što vrijedi za kut ϕ = ](−→a ,−→b ) ako je:
a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .
Rješenje. Kut ϕ = ](−→a ,−→b ) je:
a) tupi b) pravi, c)
oštri, d) oštri.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 43 / 72
![Page 445: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/445.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Što vrijedi za kut ϕ = ](−→a ,−→b ) ako je:
a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .
Rješenje. Kut ϕ = ](−→a ,−→b ) je:
a) tupi b) pravi, c) oštri,
d) oštri.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 43 / 72
![Page 446: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/446.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Što vrijedi za kut ϕ = ](−→a ,−→b ) ako je:
a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .
Rješenje. Kut ϕ = ](−→a ,−→b ) je:
a) tupi b) pravi, c) oštri, d)
oštri.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 43 / 72
![Page 447: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/447.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Što vrijedi za kut ϕ = ](−→a ,−→b ) ako je:
a) −→a · −→b = −1, b) −→a · −→b = 0, c) −→a · −→b = 2, d) −→a · −→b = 12 .
Rješenje. Kut ϕ = ](−→a ,−→b ) je:
a) tupi b) pravi, c) oštri, d) oštri.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 43 / 72
![Page 448: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/448.jpg)
Mnozenje vektora
Geometrijsko znacenje.
Skalarni produkt −→a · −→b jednak je umnošku:
duljine vektora −→a (velicina |−→a |) iskalarne projekcije vektora
−→b na vektor −→a (velicina
∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 44 / 72
![Page 449: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/449.jpg)
Mnozenje vektora
Geometrijsko znacenje. Skalarni produkt −→a · −→b jednak je umnošku:
duljine vektora −→a (velicina |−→a |) iskalarne projekcije vektora
−→b na vektor −→a (velicina
∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 44 / 72
![Page 450: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/450.jpg)
Mnozenje vektora
Geometrijsko znacenje. Skalarni produkt −→a · −→b jednak je umnošku:
duljine vektora −→a
(velicina |−→a |) iskalarne projekcije vektora
−→b na vektor −→a (velicina
∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 44 / 72
![Page 451: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/451.jpg)
Mnozenje vektora
Geometrijsko znacenje. Skalarni produkt −→a · −→b jednak je umnošku:
duljine vektora −→a (velicina |−→a |) i
skalarne projekcije vektora−→b na vektor −→a (velicina
∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 44 / 72
![Page 452: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/452.jpg)
Mnozenje vektora
Geometrijsko znacenje. Skalarni produkt −→a · −→b jednak je umnošku:
duljine vektora −→a (velicina |−→a |) iskalarne projekcije vektora
−→b na vektor −→a
(velicina∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 44 / 72
![Page 453: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/453.jpg)
Mnozenje vektora
Geometrijsko znacenje. Skalarni produkt −→a · −→b jednak je umnošku:
duljine vektora −→a (velicina |−→a |) iskalarne projekcije vektora
−→b na vektor −→a (velicina
∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 44 / 72
![Page 454: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/454.jpg)
Mnozenje vektora
Geometrijsko znacenje. Skalarni produkt −→a · −→b jednak je umnošku:
duljine vektora −→a (velicina |−→a |) iskalarne projekcije vektora
−→b na vektor −→a (velicina
∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 44 / 72
![Page 455: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/455.jpg)
Mnozenje vektora
Geometrijsko znacenje. Skalarni produkt −→a · −→b jednak je umnošku:
duljine vektora −→a (velicina |−→a |) iskalarne projekcije vektora
−→b na vektor −→a (velicina
∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 44 / 72
![Page 456: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/456.jpg)
Mnozenje vektora
Geometrijsko znacenje. Skalarni produkt −→a · −→b jednak je umnošku:
duljine vektora −→a (velicina |−→a |) iskalarne projekcije vektora
−→b na vektor −→a (velicina
∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 44 / 72
![Page 457: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/457.jpg)
Mnozenje vektora
Geometrijsko znacenje. Skalarni produkt −→a · −→b jednak je umnošku:
duljine vektora −→a (velicina |−→a |) iskalarne projekcije vektora
−→b na vektor −→a (velicina
∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 44 / 72
![Page 458: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/458.jpg)
Mnozenje vektora
Geometrijsko znacenje. Skalarni produkt −→a · −→b jednak je umnošku:
duljine vektora −→a (velicina |−→a |) iskalarne projekcije vektora
−→b na vektor −→a (velicina
∣∣∣−→b ∣∣∣ cos ϕ).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 44 / 72
![Page 459: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/459.jpg)
Mnozenje vektora
Skalarni produkt ima sljedeca svojstva:
S1) −→a · −→b = −→b · −→a (komutativnost),
S2) −→a (−→b +−→c ) = −→a −→b +−→a −→c (distributivnost),
S3) λ(−→a · −→b ) = (λ−→a ) · −→b = −→a · (λ−→b ) (homogenost),
S4) vrijedi
−→i · −→i =
−→j · −→j = −→k · −→k = 1,
−→i · −→j =
−→i · −→k = −→j · −→k = 0,
(skalarni produkt koordinatnih vektora),
S5) −→a · −→a = |−→a |2 (kvadriranje vektora).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 45 / 72
![Page 460: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/460.jpg)
Mnozenje vektora
Skalarni produkt ima sljedeca svojstva:
S1) −→a · −→b = −→b · −→a (komutativnost),
S2) −→a (−→b +−→c ) = −→a −→b +−→a −→c (distributivnost),
S3) λ(−→a · −→b ) = (λ−→a ) · −→b = −→a · (λ−→b ) (homogenost),
S4) vrijedi
−→i · −→i =
−→j · −→j = −→k · −→k = 1,
−→i · −→j =
−→i · −→k = −→j · −→k = 0,
(skalarni produkt koordinatnih vektora),
S5) −→a · −→a = |−→a |2 (kvadriranje vektora).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 45 / 72
![Page 461: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/461.jpg)
Mnozenje vektora
Skalarni produkt ima sljedeca svojstva:
S1) −→a · −→b = −→b · −→a (komutativnost),
S2) −→a (−→b +−→c ) = −→a −→b +−→a −→c (distributivnost),
S3) λ(−→a · −→b ) = (λ−→a ) · −→b = −→a · (λ−→b ) (homogenost),
S4) vrijedi
−→i · −→i =
−→j · −→j = −→k · −→k = 1,
−→i · −→j =
−→i · −→k = −→j · −→k = 0,
(skalarni produkt koordinatnih vektora),
S5) −→a · −→a = |−→a |2 (kvadriranje vektora).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 45 / 72
![Page 462: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/462.jpg)
Mnozenje vektora
Skalarni produkt ima sljedeca svojstva:
S1) −→a · −→b = −→b · −→a (komutativnost),
S2) −→a (−→b +−→c ) = −→a −→b +−→a −→c (distributivnost),
S3) λ(−→a · −→b ) = (λ−→a ) · −→b = −→a · (λ−→b ) (homogenost),
S4) vrijedi
−→i · −→i =
−→j · −→j = −→k · −→k = 1,
−→i · −→j =
−→i · −→k = −→j · −→k = 0,
(skalarni produkt koordinatnih vektora),
S5) −→a · −→a = |−→a |2 (kvadriranje vektora).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 45 / 72
![Page 463: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/463.jpg)
Mnozenje vektora
Skalarni produkt ima sljedeca svojstva:
S1) −→a · −→b = −→b · −→a (komutativnost),
S2) −→a (−→b +−→c ) = −→a −→b +−→a −→c (distributivnost),
S3) λ(−→a · −→b ) = (λ−→a ) · −→b = −→a · (λ−→b ) (homogenost),
S4) vrijedi
−→i · −→i =
−→j · −→j = −→k · −→k = 1,
−→i · −→j =
−→i · −→k = −→j · −→k = 0,
(skalarni produkt koordinatnih vektora),
S5) −→a · −→a = |−→a |2 (kvadriranje vektora).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 45 / 72
![Page 464: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/464.jpg)
Mnozenje vektora
Skalarni produkt ima sljedeca svojstva:
S1) −→a · −→b = −→b · −→a (komutativnost),
S2) −→a (−→b +−→c ) = −→a −→b +−→a −→c (distributivnost),
S3) λ(−→a · −→b ) = (λ−→a ) · −→b = −→a · (λ−→b ) (homogenost),
S4) vrijedi
−→i · −→i =
−→j · −→j = −→k · −→k = 1,
−→i · −→j =
−→i · −→k = −→j · −→k = 0,
(skalarni produkt koordinatnih vektora),
S5) −→a · −→a = |−→a |2 (kvadriranje vektora).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 45 / 72
![Page 465: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/465.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak.
Korištenjem svojstava skalarnog produkta odredi −→a · −→b ako je−→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a · −→b = (2~i − 2~j + 3~k)(2~i + 4~j + 5~k) = {distributivnost} == (2~i)(2~i) + (2~i)(4~j) + (2~i)(5~k) +
+(−2~j)(2~i) + (−2~j)(4~j) + (−2~j)(5~k) ++(3~k)(2~i) + (3~k)(4~j) + (3~k)(5~k) = {homogenost} =
= 4(~i ·~i) + 8(~i ·~j) + 10(~i ·~k)−4(~j ·~i)− 8(~j ·~j)− 10(~j ·~k) ++6(~k ·~i) + 12(~k ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} =
= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 46 / 72
![Page 466: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/466.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava skalarnog produkta odredi −→a · −→b
ako je−→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a · −→b = (2~i − 2~j + 3~k)(2~i + 4~j + 5~k) = {distributivnost} == (2~i)(2~i) + (2~i)(4~j) + (2~i)(5~k) +
+(−2~j)(2~i) + (−2~j)(4~j) + (−2~j)(5~k) ++(3~k)(2~i) + (3~k)(4~j) + (3~k)(5~k) = {homogenost} =
= 4(~i ·~i) + 8(~i ·~j) + 10(~i ·~k)−4(~j ·~i)− 8(~j ·~j)− 10(~j ·~k) ++6(~k ·~i) + 12(~k ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} =
= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 46 / 72
![Page 467: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/467.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava skalarnog produkta odredi −→a · −→b ako je−→a = 2~i − 2~j + 3~k
i−→b = 2~i + 4~j + 5~k.
Rješenje. Vrijedi
−→a · −→b = (2~i − 2~j + 3~k)(2~i + 4~j + 5~k) = {distributivnost} == (2~i)(2~i) + (2~i)(4~j) + (2~i)(5~k) +
+(−2~j)(2~i) + (−2~j)(4~j) + (−2~j)(5~k) ++(3~k)(2~i) + (3~k)(4~j) + (3~k)(5~k) = {homogenost} =
= 4(~i ·~i) + 8(~i ·~j) + 10(~i ·~k)−4(~j ·~i)− 8(~j ·~j)− 10(~j ·~k) ++6(~k ·~i) + 12(~k ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} =
= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 46 / 72
![Page 468: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/468.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava skalarnog produkta odredi −→a · −→b ako je−→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.
Rješenje. Vrijedi
−→a · −→b = (2~i − 2~j + 3~k)(2~i + 4~j + 5~k) = {distributivnost} == (2~i)(2~i) + (2~i)(4~j) + (2~i)(5~k) +
+(−2~j)(2~i) + (−2~j)(4~j) + (−2~j)(5~k) ++(3~k)(2~i) + (3~k)(4~j) + (3~k)(5~k) = {homogenost} =
= 4(~i ·~i) + 8(~i ·~j) + 10(~i ·~k)−4(~j ·~i)− 8(~j ·~j)− 10(~j ·~k) ++6(~k ·~i) + 12(~k ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} =
= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 46 / 72
![Page 469: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/469.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava skalarnog produkta odredi −→a · −→b ako je−→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje.
Vrijedi
−→a · −→b = (2~i − 2~j + 3~k)(2~i + 4~j + 5~k) = {distributivnost} == (2~i)(2~i) + (2~i)(4~j) + (2~i)(5~k) +
+(−2~j)(2~i) + (−2~j)(4~j) + (−2~j)(5~k) ++(3~k)(2~i) + (3~k)(4~j) + (3~k)(5~k) = {homogenost} =
= 4(~i ·~i) + 8(~i ·~j) + 10(~i ·~k)−4(~j ·~i)− 8(~j ·~j)− 10(~j ·~k) ++6(~k ·~i) + 12(~k ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} =
= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 46 / 72
![Page 470: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/470.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava skalarnog produkta odredi −→a · −→b ako je−→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a · −→b =
(2~i − 2~j + 3~k)(2~i + 4~j + 5~k) = {distributivnost} == (2~i)(2~i) + (2~i)(4~j) + (2~i)(5~k) +
+(−2~j)(2~i) + (−2~j)(4~j) + (−2~j)(5~k) ++(3~k)(2~i) + (3~k)(4~j) + (3~k)(5~k) = {homogenost} =
= 4(~i ·~i) + 8(~i ·~j) + 10(~i ·~k)−4(~j ·~i)− 8(~j ·~j)− 10(~j ·~k) ++6(~k ·~i) + 12(~k ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} =
= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 46 / 72
![Page 471: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/471.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava skalarnog produkta odredi −→a · −→b ako je−→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a · −→b = (2~i − 2~j + 3~k)(2~i + 4~j + 5~k) =
{distributivnost} == (2~i)(2~i) + (2~i)(4~j) + (2~i)(5~k) +
+(−2~j)(2~i) + (−2~j)(4~j) + (−2~j)(5~k) ++(3~k)(2~i) + (3~k)(4~j) + (3~k)(5~k) = {homogenost} =
= 4(~i ·~i) + 8(~i ·~j) + 10(~i ·~k)−4(~j ·~i)− 8(~j ·~j)− 10(~j ·~k) ++6(~k ·~i) + 12(~k ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} =
= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 46 / 72
![Page 472: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/472.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava skalarnog produkta odredi −→a · −→b ako je−→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a · −→b = (2~i − 2~j + 3~k)(2~i + 4~j + 5~k) = {distributivnost} =
= (2~i)(2~i) + (2~i)(4~j) + (2~i)(5~k) +
+(−2~j)(2~i) + (−2~j)(4~j) + (−2~j)(5~k) ++(3~k)(2~i) + (3~k)(4~j) + (3~k)(5~k) = {homogenost} =
= 4(~i ·~i) + 8(~i ·~j) + 10(~i ·~k)−4(~j ·~i)− 8(~j ·~j)− 10(~j ·~k) ++6(~k ·~i) + 12(~k ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} =
= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 46 / 72
![Page 473: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/473.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava skalarnog produkta odredi −→a · −→b ako je−→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a · −→b = (2~i − 2~j + 3~k)(2~i + 4~j + 5~k) = {distributivnost} == (2~i)(2~i) + (2~i)(4~j) + (2~i)(5~k) +
+(−2~j)(2~i) + (−2~j)(4~j) + (−2~j)(5~k) ++(3~k)(2~i) + (3~k)(4~j) + (3~k)(5~k) = {homogenost} =
= 4(~i ·~i) + 8(~i ·~j) + 10(~i ·~k)−4(~j ·~i)− 8(~j ·~j)− 10(~j ·~k) ++6(~k ·~i) + 12(~k ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} =
= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 46 / 72
![Page 474: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/474.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava skalarnog produkta odredi −→a · −→b ako je−→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a · −→b = (2~i − 2~j + 3~k)(2~i + 4~j + 5~k) = {distributivnost} == (2~i)(2~i) + (2~i)(4~j) + (2~i)(5~k) +
+(−2~j)(2~i) + (−2~j)(4~j) + (−2~j)(5~k) +
+(3~k)(2~i) + (3~k)(4~j) + (3~k)(5~k) = {homogenost} == 4(~i ·~i) + 8(~i ·~j) + 10(~i ·~k)−4(~j ·~i)− 8(~j ·~j)− 10(~j ·~k) ++6(~k ·~i) + 12(~k ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} =
= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 46 / 72
![Page 475: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/475.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava skalarnog produkta odredi −→a · −→b ako je−→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a · −→b = (2~i − 2~j + 3~k)(2~i + 4~j + 5~k) = {distributivnost} == (2~i)(2~i) + (2~i)(4~j) + (2~i)(5~k) +
+(−2~j)(2~i) + (−2~j)(4~j) + (−2~j)(5~k) ++(3~k)(2~i) + (3~k)(4~j) + (3~k)(5~k) =
{homogenost} == 4(~i ·~i) + 8(~i ·~j) + 10(~i ·~k)−4(~j ·~i)− 8(~j ·~j)− 10(~j ·~k) ++6(~k ·~i) + 12(~k ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} =
= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 46 / 72
![Page 476: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/476.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava skalarnog produkta odredi −→a · −→b ako je−→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a · −→b = (2~i − 2~j + 3~k)(2~i + 4~j + 5~k) = {distributivnost} == (2~i)(2~i) + (2~i)(4~j) + (2~i)(5~k) +
+(−2~j)(2~i) + (−2~j)(4~j) + (−2~j)(5~k) ++(3~k)(2~i) + (3~k)(4~j) + (3~k)(5~k) = {homogenost} =
= 4(~i ·~i) + 8(~i ·~j) + 10(~i ·~k)−4(~j ·~i)− 8(~j ·~j)− 10(~j ·~k) ++6(~k ·~i) + 12(~k ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} =
= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 46 / 72
![Page 477: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/477.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava skalarnog produkta odredi −→a · −→b ako je−→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a · −→b = (2~i − 2~j + 3~k)(2~i + 4~j + 5~k) = {distributivnost} == (2~i)(2~i) + (2~i)(4~j) + (2~i)(5~k) +
+(−2~j)(2~i) + (−2~j)(4~j) + (−2~j)(5~k) ++(3~k)(2~i) + (3~k)(4~j) + (3~k)(5~k) = {homogenost} =
= 4(~i ·~i) + 8(~i ·~j) + 10(~i ·~k)
−4(~j ·~i)− 8(~j ·~j)− 10(~j ·~k) ++6(~k ·~i) + 12(~k ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} =
= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 46 / 72
![Page 478: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/478.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava skalarnog produkta odredi −→a · −→b ako je−→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a · −→b = (2~i − 2~j + 3~k)(2~i + 4~j + 5~k) = {distributivnost} == (2~i)(2~i) + (2~i)(4~j) + (2~i)(5~k) +
+(−2~j)(2~i) + (−2~j)(4~j) + (−2~j)(5~k) ++(3~k)(2~i) + (3~k)(4~j) + (3~k)(5~k) = {homogenost} =
= 4(~i ·~i) + 8(~i ·~j) + 10(~i ·~k)−4(~j ·~i)− 8(~j ·~j)− 10(~j ·~k) +
+6(~k ·~i) + 12(~k ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 46 / 72
![Page 479: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/479.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava skalarnog produkta odredi −→a · −→b ako je−→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a · −→b = (2~i − 2~j + 3~k)(2~i + 4~j + 5~k) = {distributivnost} == (2~i)(2~i) + (2~i)(4~j) + (2~i)(5~k) +
+(−2~j)(2~i) + (−2~j)(4~j) + (−2~j)(5~k) ++(3~k)(2~i) + (3~k)(4~j) + (3~k)(5~k) = {homogenost} =
= 4(~i ·~i) + 8(~i ·~j) + 10(~i ·~k)−4(~j ·~i)− 8(~j ·~j)− 10(~j ·~k) ++6(~k ·~i) + 12(~k ·~j) + 15(~k ·~k) =
{koord. vek.} == 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 46 / 72
![Page 480: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/480.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava skalarnog produkta odredi −→a · −→b ako je−→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a · −→b = (2~i − 2~j + 3~k)(2~i + 4~j + 5~k) = {distributivnost} == (2~i)(2~i) + (2~i)(4~j) + (2~i)(5~k) +
+(−2~j)(2~i) + (−2~j)(4~j) + (−2~j)(5~k) ++(3~k)(2~i) + (3~k)(4~j) + (3~k)(5~k) = {homogenost} =
= 4(~i ·~i) + 8(~i ·~j) + 10(~i ·~k)−4(~j ·~i)− 8(~j ·~j)− 10(~j ·~k) ++6(~k ·~i) + 12(~k ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} =
= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 46 / 72
![Page 481: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/481.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava skalarnog produkta odredi −→a · −→b ako je−→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a · −→b = (2~i − 2~j + 3~k)(2~i + 4~j + 5~k) = {distributivnost} == (2~i)(2~i) + (2~i)(4~j) + (2~i)(5~k) +
+(−2~j)(2~i) + (−2~j)(4~j) + (−2~j)(5~k) ++(3~k)(2~i) + (3~k)(4~j) + (3~k)(5~k) = {homogenost} =
= 4(~i ·~i) + 8(~i ·~j) + 10(~i ·~k)−4(~j ·~i)− 8(~j ·~j)− 10(~j ·~k) ++6(~k ·~i) + 12(~k ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} =
= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) =
{koord. vek.} == 4− 8+ 15.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 46 / 72
![Page 482: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/482.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava skalarnog produkta odredi −→a · −→b ako je−→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a · −→b = (2~i − 2~j + 3~k)(2~i + 4~j + 5~k) = {distributivnost} == (2~i)(2~i) + (2~i)(4~j) + (2~i)(5~k) +
+(−2~j)(2~i) + (−2~j)(4~j) + (−2~j)(5~k) ++(3~k)(2~i) + (3~k)(4~j) + (3~k)(5~k) = {homogenost} =
= 4(~i ·~i) + 8(~i ·~j) + 10(~i ·~k)−4(~j ·~i)− 8(~j ·~j)− 10(~j ·~k) ++6(~k ·~i) + 12(~k ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} =
= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} =
= 4− 8+ 15.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 46 / 72
![Page 483: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/483.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava skalarnog produkta odredi −→a · −→b ako je−→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a · −→b = (2~i − 2~j + 3~k)(2~i + 4~j + 5~k) = {distributivnost} == (2~i)(2~i) + (2~i)(4~j) + (2~i)(5~k) +
+(−2~j)(2~i) + (−2~j)(4~j) + (−2~j)(5~k) ++(3~k)(2~i) + (3~k)(4~j) + (3~k)(5~k) = {homogenost} =
= 4(~i ·~i) + 8(~i ·~j) + 10(~i ·~k)−4(~j ·~i)− 8(~j ·~j)− 10(~j ·~k) ++6(~k ·~i) + 12(~k ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} =
= 4(~i ·~i)− 8(~j ·~j) + 15(~k ·~k) = {koord. vek.} == 4− 8+ 15.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 46 / 72
![Page 484: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/484.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija.
Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k i
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k vektori. Tada vrijedi
−→a · −→b = axbx + ayby + azbz .
Dokaz. Iz svojstava skalarnog mnozenja slijedi
−→a · −→b =(ax−→i + ay
−→j + az
−→k) (bx−→i + by
−→j + bz
−→k)=
= {distributivnost,homogenost} =
= axbx (−→i · −→i ) + axby (
−→i · −→j ) + axbz (
−→i · −→k ) +
+aybx (−→j · −→i ) + ayby (
−→j · −→j ) + aybz (
−→j · −→k ) +
+azbx (−→k · −→i ) + azby (
−→k · −→j ) + azbz (
−→k · −→k ) =
= {koord. vek.} = axbx + ayby + azbz .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 47 / 72
![Page 485: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/485.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k i
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k vektori.
Tada vrijedi
−→a · −→b = axbx + ayby + azbz .
Dokaz. Iz svojstava skalarnog mnozenja slijedi
−→a · −→b =(ax−→i + ay
−→j + az
−→k) (bx−→i + by
−→j + bz
−→k)=
= {distributivnost,homogenost} =
= axbx (−→i · −→i ) + axby (
−→i · −→j ) + axbz (
−→i · −→k ) +
+aybx (−→j · −→i ) + ayby (
−→j · −→j ) + aybz (
−→j · −→k ) +
+azbx (−→k · −→i ) + azby (
−→k · −→j ) + azbz (
−→k · −→k ) =
= {koord. vek.} = axbx + ayby + azbz .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 47 / 72
![Page 486: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/486.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k i
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k vektori. Tada vrijedi
−→a · −→b = axbx + ayby + azbz .
Dokaz. Iz svojstava skalarnog mnozenja slijedi
−→a · −→b =(ax−→i + ay
−→j + az
−→k) (bx−→i + by
−→j + bz
−→k)=
= {distributivnost,homogenost} =
= axbx (−→i · −→i ) + axby (
−→i · −→j ) + axbz (
−→i · −→k ) +
+aybx (−→j · −→i ) + ayby (
−→j · −→j ) + aybz (
−→j · −→k ) +
+azbx (−→k · −→i ) + azby (
−→k · −→j ) + azbz (
−→k · −→k ) =
= {koord. vek.} = axbx + ayby + azbz .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 47 / 72
![Page 487: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/487.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k i
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k vektori. Tada vrijedi
−→a · −→b = axbx + ayby + azbz .
Dokaz.
Iz svojstava skalarnog mnozenja slijedi
−→a · −→b =(ax−→i + ay
−→j + az
−→k) (bx−→i + by
−→j + bz
−→k)=
= {distributivnost,homogenost} =
= axbx (−→i · −→i ) + axby (
−→i · −→j ) + axbz (
−→i · −→k ) +
+aybx (−→j · −→i ) + ayby (
−→j · −→j ) + aybz (
−→j · −→k ) +
+azbx (−→k · −→i ) + azby (
−→k · −→j ) + azbz (
−→k · −→k ) =
= {koord. vek.} = axbx + ayby + azbz .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 47 / 72
![Page 488: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/488.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k i
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k vektori. Tada vrijedi
−→a · −→b = axbx + ayby + azbz .
Dokaz. Iz svojstava skalarnog mnozenja slijedi
−→a · −→b =(ax−→i + ay
−→j + az
−→k) (bx−→i + by
−→j + bz
−→k)=
= {distributivnost,homogenost} =
= axbx (−→i · −→i ) + axby (
−→i · −→j ) + axbz (
−→i · −→k ) +
+aybx (−→j · −→i ) + ayby (
−→j · −→j ) + aybz (
−→j · −→k ) +
+azbx (−→k · −→i ) + azby (
−→k · −→j ) + azbz (
−→k · −→k ) =
= {koord. vek.} = axbx + ayby + azbz .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 47 / 72
![Page 489: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/489.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k i
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k vektori. Tada vrijedi
−→a · −→b = axbx + ayby + azbz .
Dokaz. Iz svojstava skalarnog mnozenja slijedi
−→a · −→b =(ax−→i + ay
−→j + az
−→k) (bx−→i + by
−→j + bz
−→k)=
= {distributivnost,homogenost} =
= axbx (−→i · −→i ) + axby (
−→i · −→j ) + axbz (
−→i · −→k ) +
+aybx (−→j · −→i ) + ayby (
−→j · −→j ) + aybz (
−→j · −→k ) +
+azbx (−→k · −→i ) + azby (
−→k · −→j ) + azbz (
−→k · −→k ) =
= {koord. vek.} = axbx + ayby + azbz .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 47 / 72
![Page 490: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/490.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k i
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k vektori. Tada vrijedi
−→a · −→b = axbx + ayby + azbz .
Dokaz. Iz svojstava skalarnog mnozenja slijedi
−→a · −→b =(ax−→i + ay
−→j + az
−→k) (bx−→i + by
−→j + bz
−→k)=
= {distributivnost,homogenost} =
= axbx (−→i · −→i ) + axby (
−→i · −→j ) + axbz (
−→i · −→k ) +
+aybx (−→j · −→i ) + ayby (
−→j · −→j ) + aybz (
−→j · −→k ) +
+azbx (−→k · −→i ) + azby (
−→k · −→j ) + azbz (
−→k · −→k ) =
= {koord. vek.} = axbx + ayby + azbz .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 47 / 72
![Page 491: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/491.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k i
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k vektori. Tada vrijedi
−→a · −→b = axbx + ayby + azbz .
Dokaz. Iz svojstava skalarnog mnozenja slijedi
−→a · −→b =(ax−→i + ay
−→j + az
−→k) (bx−→i + by
−→j + bz
−→k)=
= {distributivnost,homogenost} =
= axbx (−→i · −→i ) + axby (
−→i · −→j ) + axbz (
−→i · −→k ) +
+aybx (−→j · −→i ) + ayby (
−→j · −→j ) + aybz (
−→j · −→k ) +
+azbx (−→k · −→i ) + azby (
−→k · −→j ) + azbz (
−→k · −→k ) =
= {koord. vek.} =
axbx + ayby + azbz .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 47 / 72
![Page 492: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/492.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k i
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k vektori. Tada vrijedi
−→a · −→b = axbx + ayby + azbz .
Dokaz. Iz svojstava skalarnog mnozenja slijedi
−→a · −→b =(ax−→i + ay
−→j + az
−→k) (bx−→i + by
−→j + bz
−→k)=
= {distributivnost,homogenost} =
= axbx (−→i · −→i ) + axby (
−→i · −→j ) + axbz (
−→i · −→k ) +
+aybx (−→j · −→i ) + ayby (
−→j · −→j ) + aybz (
−→j · −→k ) +
+azbx (−→k · −→i ) + azby (
−→k · −→j ) + azbz (
−→k · −→k ) =
= {koord. vek.} = axbx + ayby + azbz .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 47 / 72
![Page 493: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/493.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak.
Odredi −→a · −→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,
b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 48 / 72
![Page 494: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/494.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,
b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 48 / 72
![Page 495: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/495.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
,
b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,
b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 48 / 72
![Page 496: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/496.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,
b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 48 / 72
![Page 497: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/497.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje.
a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,
b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 48 / 72
![Page 498: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/498.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a)
Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,
b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 48 / 72
![Page 499: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/499.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b =
2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,
b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 48 / 72
![Page 500: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/500.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+
1 · 4+ 3 · 5 = 21,
b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 48 / 72
![Page 501: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/501.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+
3 · 5 = 21,
b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 48 / 72
![Page 502: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/502.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 =
21,
b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 48 / 72
![Page 503: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/503.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,
b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 48 / 72
![Page 504: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/504.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,
b)
Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 48 / 72
![Page 505: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/505.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,
b) Vrijedi−→a · −→b =
1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 48 / 72
![Page 506: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/506.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,
b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+
(−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 48 / 72
![Page 507: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/507.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,
b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+
4 · (−2) = − 7.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 48 / 72
![Page 508: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/508.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,
b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) =
− 7.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 48 / 72
![Page 509: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/509.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a · −→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ 1 · 4+ 3 · 5 = 21,
b) Vrijedi−→a · −→b = 1 · 3+ (−2) · 1+ 4 · (−2) = − 7.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 48 / 72
![Page 510: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/510.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak.
Ispitaj je li −→a ⊥−→b ako je:
a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k
, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,
b) Vrijedi
−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 49 / 72
![Page 511: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/511.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Ispitaj je li −→a ⊥−→b ako je:
a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k
, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,
b) Vrijedi
−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 49 / 72
![Page 512: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/512.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Ispitaj je li −→a ⊥−→b ako je:
a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k
,
b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,
b) Vrijedi
−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 49 / 72
![Page 513: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/513.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Ispitaj je li −→a ⊥−→b ako je:
a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k
, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,
b) Vrijedi
−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 49 / 72
![Page 514: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/514.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Ispitaj je li −→a ⊥−→b ako je:
a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k
, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k
.
Rješenje.
a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,
b) Vrijedi
−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 49 / 72
![Page 515: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/515.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Ispitaj je li −→a ⊥−→b ako je:
a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k
, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k
.
Rješenje. a)
Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,
b) Vrijedi
−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 49 / 72
![Page 516: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/516.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Ispitaj je li −→a ⊥−→b ako je:
a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k
, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b =
2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,
b) Vrijedi
−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 49 / 72
![Page 517: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/517.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Ispitaj je li −→a ⊥−→b ako je:
a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k
, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 =
0⇒ −→a ⊥−→b ,
b) Vrijedi
−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 49 / 72
![Page 518: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/518.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Ispitaj je li −→a ⊥−→b ako je:
a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k
, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0
⇒ −→a ⊥−→b ,
b) Vrijedi
−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 49 / 72
![Page 519: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/519.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Ispitaj je li −→a ⊥−→b ako je:
a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k
, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒
−→a ⊥−→b ,
b) Vrijedi
−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 49 / 72
![Page 520: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/520.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Ispitaj je li −→a ⊥−→b ako je:
a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k
, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,
b) Vrijedi
−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 49 / 72
![Page 521: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/521.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Ispitaj je li −→a ⊥−→b ako je:
a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k
, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,
b)
Vrijedi
−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 49 / 72
![Page 522: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/522.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Ispitaj je li −→a ⊥−→b ako je:
a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k
, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,
b) Vrijedi
−→a · −→b =
2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 49 / 72
![Page 523: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/523.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Ispitaj je li −→a ⊥−→b ako je:
a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k
, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,
b) Vrijedi
−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) =
3⇒ −→a /⊥−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 49 / 72
![Page 524: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/524.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Ispitaj je li −→a ⊥−→b ako je:
a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k
, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,
b) Vrijedi
−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3
⇒ −→a /⊥−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 49 / 72
![Page 525: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/525.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Ispitaj je li −→a ⊥−→b ako je:
a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k
, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,
b) Vrijedi
−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒
−→a /⊥−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 49 / 72
![Page 526: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/526.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Ispitaj je li −→a ⊥−→b ako je:
a)−→a = 2~i − 2~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 2~k
, b)−→a = 2~i −~j + 2~k−→b = 3~i +~j −~k
.
Rješenje. a) Vrijedi:
−→a · −→b = 2 · 1+ (−2) · 4+ 3 · 2 = 0⇒ −→a ⊥−→b ,
b) Vrijedi
−→a · −→b = 2 · 3+ (−1) · 1+ 2 · (−1) = 3⇒ −→a /⊥−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 49 / 72
![Page 527: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/527.jpg)
Mnozenje vektoraVektorski produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b vektori. Vektorski produkt vektora −→a i
−→b je
vektor kojeg oznacavamo s −→a ×−→b , a koji je definiran sa:−→a ×−→b = −→0 ako je −→a = −→0 ili
−→b =
−→0 ili −→a ‖−→b .
U suprotnom vektor −→a ×−→b ima:
duljinu - jednaku površini paralelograma razapetog sa −→a i−→b ,
smjer - okomit na smjerove vektora −→a i−→b ,
orijentaciju - definiranu pravilom desne ruke.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 50 / 72
![Page 528: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/528.jpg)
Mnozenje vektoraVektorski produkt vektora
Definicija.
Neka su −→a i−→b vektori. Vektorski produkt vektora −→a i
−→b je
vektor kojeg oznacavamo s −→a ×−→b , a koji je definiran sa:−→a ×−→b = −→0 ako je −→a = −→0 ili
−→b =
−→0 ili −→a ‖−→b .
U suprotnom vektor −→a ×−→b ima:
duljinu - jednaku površini paralelograma razapetog sa −→a i−→b ,
smjer - okomit na smjerove vektora −→a i−→b ,
orijentaciju - definiranu pravilom desne ruke.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 50 / 72
![Page 529: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/529.jpg)
Mnozenje vektoraVektorski produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b vektori.
Vektorski produkt vektora −→a i−→b je
vektor kojeg oznacavamo s −→a ×−→b , a koji je definiran sa:−→a ×−→b = −→0 ako je −→a = −→0 ili
−→b =
−→0 ili −→a ‖−→b .
U suprotnom vektor −→a ×−→b ima:
duljinu - jednaku površini paralelograma razapetog sa −→a i−→b ,
smjer - okomit na smjerove vektora −→a i−→b ,
orijentaciju - definiranu pravilom desne ruke.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 50 / 72
![Page 530: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/530.jpg)
Mnozenje vektoraVektorski produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b vektori. Vektorski produkt vektora −→a i
−→b je
vektor
kojeg oznacavamo s −→a ×−→b , a koji je definiran sa:−→a ×−→b = −→0 ako je −→a = −→0 ili
−→b =
−→0 ili −→a ‖−→b .
U suprotnom vektor −→a ×−→b ima:
duljinu - jednaku površini paralelograma razapetog sa −→a i−→b ,
smjer - okomit na smjerove vektora −→a i−→b ,
orijentaciju - definiranu pravilom desne ruke.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 50 / 72
![Page 531: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/531.jpg)
Mnozenje vektoraVektorski produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b vektori. Vektorski produkt vektora −→a i
−→b je
vektor kojeg oznacavamo s −→a ×−→b ,
a koji je definiran sa:−→a ×−→b = −→0 ako je −→a = −→0 ili
−→b =
−→0 ili −→a ‖−→b .
U suprotnom vektor −→a ×−→b ima:
duljinu - jednaku površini paralelograma razapetog sa −→a i−→b ,
smjer - okomit na smjerove vektora −→a i−→b ,
orijentaciju - definiranu pravilom desne ruke.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 50 / 72
![Page 532: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/532.jpg)
Mnozenje vektoraVektorski produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b vektori. Vektorski produkt vektora −→a i
−→b je
vektor kojeg oznacavamo s −→a ×−→b , a koji je definiran sa:
−→a ×−→b = −→0 ako je −→a = −→0 ili−→b =
−→0 ili −→a ‖−→b .
U suprotnom vektor −→a ×−→b ima:
duljinu - jednaku površini paralelograma razapetog sa −→a i−→b ,
smjer - okomit na smjerove vektora −→a i−→b ,
orijentaciju - definiranu pravilom desne ruke.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 50 / 72
![Page 533: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/533.jpg)
Mnozenje vektoraVektorski produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b vektori. Vektorski produkt vektora −→a i
−→b je
vektor kojeg oznacavamo s −→a ×−→b , a koji je definiran sa:−→a ×−→b = −→0
ako je −→a = −→0 ili−→b =
−→0 ili −→a ‖−→b .
U suprotnom vektor −→a ×−→b ima:
duljinu - jednaku površini paralelograma razapetog sa −→a i−→b ,
smjer - okomit na smjerove vektora −→a i−→b ,
orijentaciju - definiranu pravilom desne ruke.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 50 / 72
![Page 534: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/534.jpg)
Mnozenje vektoraVektorski produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b vektori. Vektorski produkt vektora −→a i
−→b je
vektor kojeg oznacavamo s −→a ×−→b , a koji je definiran sa:−→a ×−→b = −→0 ako je −→a = −→0 ili
−→b =
−→0 ili −→a ‖−→b .
U suprotnom vektor −→a ×−→b ima:
duljinu - jednaku površini paralelograma razapetog sa −→a i−→b ,
smjer - okomit na smjerove vektora −→a i−→b ,
orijentaciju - definiranu pravilom desne ruke.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 50 / 72
![Page 535: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/535.jpg)
Mnozenje vektoraVektorski produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b vektori. Vektorski produkt vektora −→a i
−→b je
vektor kojeg oznacavamo s −→a ×−→b , a koji je definiran sa:−→a ×−→b = −→0 ako je −→a = −→0 ili
−→b =
−→0 ili −→a ‖−→b .
U suprotnom vektor −→a ×−→b ima:
duljinu - jednaku površini paralelograma razapetog sa −→a i−→b ,
smjer - okomit na smjerove vektora −→a i−→b ,
orijentaciju - definiranu pravilom desne ruke.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 50 / 72
![Page 536: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/536.jpg)
Mnozenje vektoraVektorski produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b vektori. Vektorski produkt vektora −→a i
−→b je
vektor kojeg oznacavamo s −→a ×−→b , a koji je definiran sa:−→a ×−→b = −→0 ako je −→a = −→0 ili
−→b =
−→0 ili −→a ‖−→b .
U suprotnom vektor −→a ×−→b ima:
duljinu - jednaku površini paralelograma razapetog sa −→a i−→b ,
smjer - okomit na smjerove vektora −→a i−→b ,
orijentaciju - definiranu pravilom desne ruke.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 50 / 72
![Page 537: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/537.jpg)
Mnozenje vektoraVektorski produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b vektori. Vektorski produkt vektora −→a i
−→b je
vektor kojeg oznacavamo s −→a ×−→b , a koji je definiran sa:−→a ×−→b = −→0 ako je −→a = −→0 ili
−→b =
−→0 ili −→a ‖−→b .
U suprotnom vektor −→a ×−→b ima:
duljinu - jednaku površini paralelograma razapetog sa −→a i−→b ,
smjer - okomit na smjerove vektora −→a i−→b ,
orijentaciju - definiranu pravilom desne ruke.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 50 / 72
![Page 538: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/538.jpg)
Mnozenje vektoraVektorski produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b vektori. Vektorski produkt vektora −→a i
−→b je
vektor kojeg oznacavamo s −→a ×−→b , a koji je definiran sa:−→a ×−→b = −→0 ako je −→a = −→0 ili
−→b =
−→0 ili −→a ‖−→b .
U suprotnom vektor −→a ×−→b ima:
duljinu - jednaku površini paralelograma razapetog sa −→a i−→b ,
smjer - okomit na smjerove vektora −→a i−→b ,
orijentaciju - definiranu pravilom desne ruke.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 50 / 72
![Page 539: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/539.jpg)
Mnozenje vektoraVektorski produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b vektori. Vektorski produkt vektora −→a i
−→b je
vektor kojeg oznacavamo s −→a ×−→b , a koji je definiran sa:−→a ×−→b = −→0 ako je −→a = −→0 ili
−→b =
−→0 ili −→a ‖−→b .
U suprotnom vektor −→a ×−→b ima:
duljinu - jednaku površini paralelograma razapetog sa −→a i−→b ,
smjer - okomit na smjerove vektora −→a i−→b ,
orijentaciju - definiranu pravilom desne ruke.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 50 / 72
![Page 540: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/540.jpg)
Mnozenje vektoraVektorski produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b vektori. Vektorski produkt vektora −→a i
−→b je
vektor kojeg oznacavamo s −→a ×−→b , a koji je definiran sa:−→a ×−→b = −→0 ako je −→a = −→0 ili
−→b =
−→0 ili −→a ‖−→b .
U suprotnom vektor −→a ×−→b ima:
duljinu - jednaku površini paralelograma razapetog sa −→a i−→b ,
smjer - okomit na smjerove vektora −→a i−→b ,
orijentaciju - definiranu pravilom desne ruke.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 50 / 72
![Page 541: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/541.jpg)
Mnozenje vektoraVektorski produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b vektori. Vektorski produkt vektora −→a i
−→b je
vektor kojeg oznacavamo s −→a ×−→b , a koji je definiran sa:−→a ×−→b = −→0 ako je −→a = −→0 ili
−→b =
−→0 ili −→a ‖−→b .
U suprotnom vektor −→a ×−→b ima:
duljinu - jednaku površini paralelograma razapetog sa −→a i−→b ,
smjer - okomit na smjerove vektora −→a i−→b ,
orijentaciju - definiranu pravilom desne ruke.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 50 / 72
![Page 542: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/542.jpg)
Mnozenje vektoraVektorski produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b vektori. Vektorski produkt vektora −→a i
−→b je
vektor kojeg oznacavamo s −→a ×−→b , a koji je definiran sa:−→a ×−→b = −→0 ako je −→a = −→0 ili
−→b =
−→0 ili −→a ‖−→b .
U suprotnom vektor −→a ×−→b ima:
duljinu - jednaku površini paralelograma razapetog sa −→a i−→b ,
smjer - okomit na smjerove vektora −→a i−→b ,
orijentaciju - definiranu pravilom desne ruke.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 50 / 72
![Page 543: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/543.jpg)
Mnozenje vektoraVektorski produkt vektora
Definicija. Neka su −→a i−→b vektori. Vektorski produkt vektora −→a i
−→b je
vektor kojeg oznacavamo s −→a ×−→b , a koji je definiran sa:−→a ×−→b = −→0 ako je −→a = −→0 ili
−→b =
−→0 ili −→a ‖−→b .
U suprotnom vektor −→a ×−→b ima:
duljinu - jednaku površini paralelograma razapetog sa −→a i−→b ,
smjer - okomit na smjerove vektora −→a i−→b ,
orijentaciju - definiranu pravilom desne ruke.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 50 / 72
![Page 544: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/544.jpg)
Mnozenje vektora
Vektorski produkt ima sljedeca svojstva:
V1) −→a ×−→b = −(−→b ×−→a
)(anti-komutativnost),
V2) −→a × (−→b +−→c ) = −→a ×−→b +−→a ×−→c (distributivnost),
V3) λ(−→a ×−→b ) = (λ−→a )×−→b = −→a × (λ−→b ) (homogenost),
V4) vrijedi
−→i ×−→i =
−→j ×−→j = −→k ×−→k = 0,
−→i ×−→j =
−→k ,
−→j ×−→k = −→i , −→k ×−→i = −→j ,
−→j ×−→i = −−→k , −→k ×−→j = −−→i , −→i ×−→k = −−→j ,
(produkt koordinatnih vektora),
V5) vrijedi∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = |−→a | ∣∣∣−→b ∣∣∣ sin ϕ, pri cemu je ϕ = ](−→a ,−→b )
(duljina vektorskog produkta).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 51 / 72
![Page 545: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/545.jpg)
Mnozenje vektora
Vektorski produkt ima sljedeca svojstva:
V1) −→a ×−→b = −(−→b ×−→a
)(anti-komutativnost),
V2) −→a × (−→b +−→c ) = −→a ×−→b +−→a ×−→c (distributivnost),
V3) λ(−→a ×−→b ) = (λ−→a )×−→b = −→a × (λ−→b ) (homogenost),
V4) vrijedi
−→i ×−→i =
−→j ×−→j = −→k ×−→k = 0,
−→i ×−→j =
−→k ,
−→j ×−→k = −→i , −→k ×−→i = −→j ,
−→j ×−→i = −−→k , −→k ×−→j = −−→i , −→i ×−→k = −−→j ,
(produkt koordinatnih vektora),
V5) vrijedi∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = |−→a | ∣∣∣−→b ∣∣∣ sin ϕ, pri cemu je ϕ = ](−→a ,−→b )
(duljina vektorskog produkta).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 51 / 72
![Page 546: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/546.jpg)
Mnozenje vektora
Vektorski produkt ima sljedeca svojstva:
V1) −→a ×−→b = −(−→b ×−→a
)(anti-komutativnost),
V2) −→a × (−→b +−→c ) = −→a ×−→b +−→a ×−→c (distributivnost),
V3) λ(−→a ×−→b ) = (λ−→a )×−→b = −→a × (λ−→b ) (homogenost),
V4) vrijedi
−→i ×−→i =
−→j ×−→j = −→k ×−→k = 0,
−→i ×−→j =
−→k ,
−→j ×−→k = −→i , −→k ×−→i = −→j ,
−→j ×−→i = −−→k , −→k ×−→j = −−→i , −→i ×−→k = −−→j ,
(produkt koordinatnih vektora),
V5) vrijedi∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = |−→a | ∣∣∣−→b ∣∣∣ sin ϕ, pri cemu je ϕ = ](−→a ,−→b )
(duljina vektorskog produkta).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 51 / 72
![Page 547: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/547.jpg)
Mnozenje vektora
Vektorski produkt ima sljedeca svojstva:
V1) −→a ×−→b = −(−→b ×−→a
)(anti-komutativnost),
V2) −→a × (−→b +−→c ) = −→a ×−→b +−→a ×−→c (distributivnost),
V3) λ(−→a ×−→b ) = (λ−→a )×−→b = −→a × (λ−→b ) (homogenost),
V4) vrijedi
−→i ×−→i =
−→j ×−→j = −→k ×−→k = 0,
−→i ×−→j =
−→k ,
−→j ×−→k = −→i , −→k ×−→i = −→j ,
−→j ×−→i = −−→k , −→k ×−→j = −−→i , −→i ×−→k = −−→j ,
(produkt koordinatnih vektora),
V5) vrijedi∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = |−→a | ∣∣∣−→b ∣∣∣ sin ϕ, pri cemu je ϕ = ](−→a ,−→b )
(duljina vektorskog produkta).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 51 / 72
![Page 548: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/548.jpg)
Mnozenje vektora
Vektorski produkt ima sljedeca svojstva:
V1) −→a ×−→b = −(−→b ×−→a
)(anti-komutativnost),
V2) −→a × (−→b +−→c ) = −→a ×−→b +−→a ×−→c (distributivnost),
V3) λ(−→a ×−→b ) = (λ−→a )×−→b = −→a × (λ−→b ) (homogenost),
V4) vrijedi
−→i ×−→i =
−→j ×−→j = −→k ×−→k = 0,
−→i ×−→j =
−→k ,
−→j ×−→k = −→i , −→k ×−→i = −→j ,
−→j ×−→i = −−→k , −→k ×−→j = −−→i , −→i ×−→k = −−→j ,
(produkt koordinatnih vektora),
V5) vrijedi∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = |−→a | ∣∣∣−→b ∣∣∣ sin ϕ, pri cemu je ϕ = ](−→a ,−→b )
(duljina vektorskog produkta).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 51 / 72
![Page 549: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/549.jpg)
Mnozenje vektora
Vektorski produkt ima sljedeca svojstva:
V1) −→a ×−→b = −(−→b ×−→a
)(anti-komutativnost),
V2) −→a × (−→b +−→c ) = −→a ×−→b +−→a ×−→c (distributivnost),
V3) λ(−→a ×−→b ) = (λ−→a )×−→b = −→a × (λ−→b ) (homogenost),
V4) vrijedi
−→i ×−→i =
−→j ×−→j = −→k ×−→k = 0,
−→i ×−→j =
−→k ,
−→j ×−→k = −→i , −→k ×−→i = −→j ,
−→j ×−→i = −−→k , −→k ×−→j = −−→i , −→i ×−→k = −−→j ,
(produkt koordinatnih vektora),
V5) vrijedi∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = |−→a | ∣∣∣−→b ∣∣∣ sin ϕ, pri cemu je ϕ = ](−→a ,−→b )
(duljina vektorskog produkta).
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 51 / 72
![Page 550: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/550.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak.
Korištenjem svojstava vektorskog produkta odredi −→a ×−→b akoje −→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a ×−→b = (2~i − 2~j + 3~k)× (2~i + 4~j + 5~k) = {distr.,homog.} == 4(~i ×~i) + 8(~i ×~j) + 10(~i ×~k)−4(~j ×~i)− 8(~j ×~j)− 10(~j ×~k) ++6(~k ×~i) + 12(~k ×~j) + 15(~k ×~k) = {koord. vek.} =
= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)
−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =
= −22~i − 4~j + 12~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 52 / 72
![Page 551: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/551.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava vektorskog produkta odredi −→a ×−→b
akoje −→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a ×−→b = (2~i − 2~j + 3~k)× (2~i + 4~j + 5~k) = {distr.,homog.} == 4(~i ×~i) + 8(~i ×~j) + 10(~i ×~k)−4(~j ×~i)− 8(~j ×~j)− 10(~j ×~k) ++6(~k ×~i) + 12(~k ×~j) + 15(~k ×~k) = {koord. vek.} =
= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)
−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =
= −22~i − 4~j + 12~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 52 / 72
![Page 552: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/552.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava vektorskog produkta odredi −→a ×−→b akoje −→a = 2~i − 2~j + 3~k
i−→b = 2~i + 4~j + 5~k.
Rješenje. Vrijedi
−→a ×−→b = (2~i − 2~j + 3~k)× (2~i + 4~j + 5~k) = {distr.,homog.} == 4(~i ×~i) + 8(~i ×~j) + 10(~i ×~k)−4(~j ×~i)− 8(~j ×~j)− 10(~j ×~k) ++6(~k ×~i) + 12(~k ×~j) + 15(~k ×~k) = {koord. vek.} =
= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)
−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =
= −22~i − 4~j + 12~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 52 / 72
![Page 553: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/553.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava vektorskog produkta odredi −→a ×−→b akoje −→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.
Rješenje. Vrijedi
−→a ×−→b = (2~i − 2~j + 3~k)× (2~i + 4~j + 5~k) = {distr.,homog.} == 4(~i ×~i) + 8(~i ×~j) + 10(~i ×~k)−4(~j ×~i)− 8(~j ×~j)− 10(~j ×~k) ++6(~k ×~i) + 12(~k ×~j) + 15(~k ×~k) = {koord. vek.} =
= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)
−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =
= −22~i − 4~j + 12~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 52 / 72
![Page 554: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/554.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava vektorskog produkta odredi −→a ×−→b akoje −→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje.
Vrijedi
−→a ×−→b = (2~i − 2~j + 3~k)× (2~i + 4~j + 5~k) = {distr.,homog.} == 4(~i ×~i) + 8(~i ×~j) + 10(~i ×~k)−4(~j ×~i)− 8(~j ×~j)− 10(~j ×~k) ++6(~k ×~i) + 12(~k ×~j) + 15(~k ×~k) = {koord. vek.} =
= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)
−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =
= −22~i − 4~j + 12~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 52 / 72
![Page 555: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/555.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava vektorskog produkta odredi −→a ×−→b akoje −→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a ×−→b =
(2~i − 2~j + 3~k)× (2~i + 4~j + 5~k) = {distr.,homog.} == 4(~i ×~i) + 8(~i ×~j) + 10(~i ×~k)−4(~j ×~i)− 8(~j ×~j)− 10(~j ×~k) ++6(~k ×~i) + 12(~k ×~j) + 15(~k ×~k) = {koord. vek.} =
= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)
−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =
= −22~i − 4~j + 12~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 52 / 72
![Page 556: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/556.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava vektorskog produkta odredi −→a ×−→b akoje −→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a ×−→b = (2~i − 2~j + 3~k)× (2~i + 4~j + 5~k) =
{distr.,homog.} == 4(~i ×~i) + 8(~i ×~j) + 10(~i ×~k)−4(~j ×~i)− 8(~j ×~j)− 10(~j ×~k) ++6(~k ×~i) + 12(~k ×~j) + 15(~k ×~k) = {koord. vek.} =
= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)
−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =
= −22~i − 4~j + 12~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 52 / 72
![Page 557: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/557.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava vektorskog produkta odredi −→a ×−→b akoje −→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a ×−→b = (2~i − 2~j + 3~k)× (2~i + 4~j + 5~k) = {distr.,homog.} =
= 4(~i ×~i) + 8(~i ×~j) + 10(~i ×~k)−4(~j ×~i)− 8(~j ×~j)− 10(~j ×~k) ++6(~k ×~i) + 12(~k ×~j) + 15(~k ×~k) = {koord. vek.} =
= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)
−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =
= −22~i − 4~j + 12~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 52 / 72
![Page 558: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/558.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava vektorskog produkta odredi −→a ×−→b akoje −→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a ×−→b = (2~i − 2~j + 3~k)× (2~i + 4~j + 5~k) = {distr.,homog.} == 4(~i ×~i) + 8(~i ×~j) + 10(~i ×~k)
−4(~j ×~i)− 8(~j ×~j)− 10(~j ×~k) ++6(~k ×~i) + 12(~k ×~j) + 15(~k ×~k) = {koord. vek.} =
= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)
−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =
= −22~i − 4~j + 12~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 52 / 72
![Page 559: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/559.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava vektorskog produkta odredi −→a ×−→b akoje −→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a ×−→b = (2~i − 2~j + 3~k)× (2~i + 4~j + 5~k) = {distr.,homog.} == 4(~i ×~i) + 8(~i ×~j) + 10(~i ×~k)−4(~j ×~i)− 8(~j ×~j)− 10(~j ×~k) +
+6(~k ×~i) + 12(~k ×~j) + 15(~k ×~k) = {koord. vek.} == 4
−→0 + 8~k + 10(−~j)
−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =
= −22~i − 4~j + 12~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 52 / 72
![Page 560: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/560.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava vektorskog produkta odredi −→a ×−→b akoje −→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a ×−→b = (2~i − 2~j + 3~k)× (2~i + 4~j + 5~k) = {distr.,homog.} == 4(~i ×~i) + 8(~i ×~j) + 10(~i ×~k)−4(~j ×~i)− 8(~j ×~j)− 10(~j ×~k) ++6(~k ×~i) + 12(~k ×~j) + 15(~k ×~k) =
{koord. vek.} == 4
−→0 + 8~k + 10(−~j)
−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =
= −22~i − 4~j + 12~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 52 / 72
![Page 561: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/561.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava vektorskog produkta odredi −→a ×−→b akoje −→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a ×−→b = (2~i − 2~j + 3~k)× (2~i + 4~j + 5~k) = {distr.,homog.} == 4(~i ×~i) + 8(~i ×~j) + 10(~i ×~k)−4(~j ×~i)− 8(~j ×~j)− 10(~j ×~k) ++6(~k ×~i) + 12(~k ×~j) + 15(~k ×~k) = {koord. vek.} =
= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)
−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =
= −22~i − 4~j + 12~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 52 / 72
![Page 562: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/562.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava vektorskog produkta odredi −→a ×−→b akoje −→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a ×−→b = (2~i − 2~j + 3~k)× (2~i + 4~j + 5~k) = {distr.,homog.} == 4(~i ×~i) + 8(~i ×~j) + 10(~i ×~k)−4(~j ×~i)− 8(~j ×~j)− 10(~j ×~k) ++6(~k ×~i) + 12(~k ×~j) + 15(~k ×~k) = {koord. vek.} =
= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)
−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =
= −22~i − 4~j + 12~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 52 / 72
![Page 563: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/563.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava vektorskog produkta odredi −→a ×−→b akoje −→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a ×−→b = (2~i − 2~j + 3~k)× (2~i + 4~j + 5~k) = {distr.,homog.} == 4(~i ×~i) + 8(~i ×~j) + 10(~i ×~k)−4(~j ×~i)− 8(~j ×~j)− 10(~j ×~k) ++6(~k ×~i) + 12(~k ×~j) + 15(~k ×~k) = {koord. vek.} =
= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)
−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i +
+6~j + 12(−~i) + 15 −→0 == −22~i − 4~j + 12~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 52 / 72
![Page 564: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/564.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava vektorskog produkta odredi −→a ×−→b akoje −→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a ×−→b = (2~i − 2~j + 3~k)× (2~i + 4~j + 5~k) = {distr.,homog.} == 4(~i ×~i) + 8(~i ×~j) + 10(~i ×~k)−4(~j ×~i)− 8(~j ×~j)− 10(~j ×~k) ++6(~k ×~i) + 12(~k ×~j) + 15(~k ×~k) = {koord. vek.} =
= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)
−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =
= −22~i − 4~j + 12~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 52 / 72
![Page 565: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/565.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Korištenjem svojstava vektorskog produkta odredi −→a ×−→b akoje −→a = 2~i − 2~j + 3~k i −→b = 2~i + 4~j + 5~k.Rješenje. Vrijedi
−→a ×−→b = (2~i − 2~j + 3~k)× (2~i + 4~j + 5~k) = {distr.,homog.} == 4(~i ×~i) + 8(~i ×~j) + 10(~i ×~k)−4(~j ×~i)− 8(~j ×~j)− 10(~j ×~k) ++6(~k ×~i) + 12(~k ×~j) + 15(~k ×~k) = {koord. vek.} =
= 4−→0 + 8~k + 10(−~j)
−4(−~k)− 8 −→0 − 10~i ++6~j + 12(−~i) + 15 −→0 =
= −22~i − 4~j + 12~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 52 / 72
![Page 566: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/566.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija.
Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k i
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k vektori. Tada vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k
ax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ == (aybz − azby )
−→i − (axbz − azbx )
−→j + (axby − aybx )
−→k .
Dokaz. Slijedi iz svojstava V1)-V4) vektorskog produkta primijenjenih na
−→a ×−→b =(ax−→i + ay
−→j + az
−→k)×(bx−→i + by
−→j + bz
−→k). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 53 / 72
![Page 567: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/567.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k i
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k vektori.
Tada vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k
ax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ == (aybz − azby )
−→i − (axbz − azbx )
−→j + (axby − aybx )
−→k .
Dokaz. Slijedi iz svojstava V1)-V4) vektorskog produkta primijenjenih na
−→a ×−→b =(ax−→i + ay
−→j + az
−→k)×(bx−→i + by
−→j + bz
−→k). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 53 / 72
![Page 568: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/568.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k i
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k vektori. Tada vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k
ax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ =
= (aybz − azby )−→i − (axbz − azbx )
−→j + (axby − aybx )
−→k .
Dokaz. Slijedi iz svojstava V1)-V4) vektorskog produkta primijenjenih na
−→a ×−→b =(ax−→i + ay
−→j + az
−→k)×(bx−→i + by
−→j + bz
−→k). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 53 / 72
![Page 569: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/569.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k i
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k vektori. Tada vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k
ax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ == (aybz − azby )
−→i − (axbz − azbx )
−→j + (axby − aybx )
−→k .
Dokaz. Slijedi iz svojstava V1)-V4) vektorskog produkta primijenjenih na
−→a ×−→b =(ax−→i + ay
−→j + az
−→k)×(bx−→i + by
−→j + bz
−→k). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 53 / 72
![Page 570: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/570.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k i
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k vektori. Tada vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k
ax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ == (aybz − azby )
−→i − (axbz − azbx )
−→j + (axby − aybx )
−→k .
Dokaz.
Slijedi iz svojstava V1)-V4) vektorskog produkta primijenjenih na
−→a ×−→b =(ax−→i + ay
−→j + az
−→k)×(bx−→i + by
−→j + bz
−→k). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 53 / 72
![Page 571: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/571.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k i
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k vektori. Tada vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k
ax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ == (aybz − azby )
−→i − (axbz − azbx )
−→j + (axby − aybx )
−→k .
Dokaz. Slijedi iz svojstava V1)-V4) vektorskog produkta
primijenjenih na
−→a ×−→b =(ax−→i + ay
−→j + az
−→k)×(bx−→i + by
−→j + bz
−→k). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 53 / 72
![Page 572: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/572.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k i
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k vektori. Tada vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k
ax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ == (aybz − azby )
−→i − (axbz − azbx )
−→j + (axby − aybx )
−→k .
Dokaz. Slijedi iz svojstava V1)-V4) vektorskog produkta primijenjenih na
−→a ×−→b =(ax−→i + ay
−→j + az
−→k)×(bx−→i + by
−→j + bz
−→k).
QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 53 / 72
![Page 573: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/573.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k i
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k vektori. Tada vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k
ax ay azbx by bz
∣∣∣∣∣∣ == (aybz − azby )
−→i − (axbz − azbx )
−→j + (axby − aybx )
−→k .
Dokaz. Slijedi iz svojstava V1)-V4) vektorskog produkta primijenjenih na
−→a ×−→b =(ax−→i + ay
−→j + az
−→k)×(bx−→i + by
−→j + bz
−→k). QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 53 / 72
![Page 574: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/574.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak.
Odredi −→a ×−→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5
∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5
∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5
∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4
∣∣∣∣ == (5− 12)~i − (10− 3)~j + (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 54 / 72
![Page 575: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/575.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a ×−→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5
∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5
∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5
∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4
∣∣∣∣ == (5− 12)~i − (10− 3)~j + (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 54 / 72
![Page 576: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/576.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a ×−→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
,
b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5
∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5
∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5
∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4
∣∣∣∣ == (5− 12)~i − (10− 3)~j + (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 54 / 72
![Page 577: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/577.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a ×−→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5
∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5
∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5
∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4
∣∣∣∣ == (5− 12)~i − (10− 3)~j + (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 54 / 72
![Page 578: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/578.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a ×−→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje.
a) Vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5
∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5
∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5
∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4
∣∣∣∣ == (5− 12)~i − (10− 3)~j + (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 54 / 72
![Page 579: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/579.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a ×−→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a)
Vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5
∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5
∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5
∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4
∣∣∣∣ == (5− 12)~i − (10− 3)~j + (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 54 / 72
![Page 580: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/580.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a ×−→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5
∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5
∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5
∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4
∣∣∣∣ == (5− 12)~i − (10− 3)~j + (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 54 / 72
![Page 581: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/581.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a ×−→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5
∣∣∣∣∣∣ =
~i
∣∣∣∣1 34 5
∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5
∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4
∣∣∣∣ == (5− 12)~i − (10− 3)~j + (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 54 / 72
![Page 582: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/582.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a ×−→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5
∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5
∣∣∣∣
−~j∣∣∣∣2 31 5
∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4
∣∣∣∣ == (5− 12)~i − (10− 3)~j + (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 54 / 72
![Page 583: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/583.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a ×−→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5
∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5
∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5
∣∣∣∣
+~k
∣∣∣∣2 11 4
∣∣∣∣ == (5− 12)~i − (10− 3)~j + (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 54 / 72
![Page 584: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/584.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a ×−→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5
∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5
∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5
∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4
∣∣∣∣ =
= (5− 12)~i − (10− 3)~j + (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 54 / 72
![Page 585: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/585.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a ×−→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5
∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5
∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5
∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4
∣∣∣∣ == (5− 12)~i
− (10− 3)~j + (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 54 / 72
![Page 586: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/586.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a ×−→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5
∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5
∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5
∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4
∣∣∣∣ == (5− 12)~i − (10− 3)~j
+ (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 54 / 72
![Page 587: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/587.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a ×−→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5
∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5
∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5
∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4
∣∣∣∣ == (5− 12)~i − (10− 3)~j + (8− 1)~k =
− 7~i − 7~j + 7~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 54 / 72
![Page 588: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/588.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a ×−→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. a) Vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 31 4 5
∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣1 34 5
∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣2 31 5
∣∣∣∣ +~k ∣∣∣∣2 11 4
∣∣∣∣ == (5− 12)~i − (10− 3)~j + (8− 1)~k = − 7~i − 7~j + 7~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 54 / 72
![Page 589: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/589.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a ×−→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. b)
Vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −2 43 1 −2
∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣−2 41 −2
∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣1 43 −2
∣∣∣∣+~k ∣∣∣∣1 −23 1
∣∣∣∣ == (4− 4)~i − (−2− 12)~j + (1+ 6)~k = 14~j + 7~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 55 / 72
![Page 590: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/590.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a ×−→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. b) Vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −2 43 1 −2
∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣−2 41 −2
∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣1 43 −2
∣∣∣∣+~k ∣∣∣∣1 −23 1
∣∣∣∣ == (4− 4)~i − (−2− 12)~j + (1+ 6)~k = 14~j + 7~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 55 / 72
![Page 591: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/591.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a ×−→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. b) Vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −2 43 1 −2
∣∣∣∣∣∣ =
~i
∣∣∣∣−2 41 −2
∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣1 43 −2
∣∣∣∣+~k ∣∣∣∣1 −23 1
∣∣∣∣ == (4− 4)~i − (−2− 12)~j + (1+ 6)~k = 14~j + 7~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 55 / 72
![Page 592: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/592.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a ×−→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. b) Vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −2 43 1 −2
∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣−2 41 −2
∣∣∣∣
−~j∣∣∣∣1 43 −2
∣∣∣∣+~k ∣∣∣∣1 −23 1
∣∣∣∣ == (4− 4)~i − (−2− 12)~j + (1+ 6)~k = 14~j + 7~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 55 / 72
![Page 593: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/593.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a ×−→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. b) Vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −2 43 1 −2
∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣−2 41 −2
∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣1 43 −2
∣∣∣∣+
~k
∣∣∣∣1 −23 1
∣∣∣∣ == (4− 4)~i − (−2− 12)~j + (1+ 6)~k = 14~j + 7~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 55 / 72
![Page 594: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/594.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a ×−→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. b) Vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −2 43 1 −2
∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣−2 41 −2
∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣1 43 −2
∣∣∣∣+~k ∣∣∣∣1 −23 1
∣∣∣∣ =
= (4− 4)~i − (−2− 12)~j + (1+ 6)~k = 14~j + 7~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 55 / 72
![Page 595: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/595.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a ×−→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. b) Vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −2 43 1 −2
∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣−2 41 −2
∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣1 43 −2
∣∣∣∣+~k ∣∣∣∣1 −23 1
∣∣∣∣ == (4− 4)~i
− (−2− 12)~j + (1+ 6)~k = 14~j + 7~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 55 / 72
![Page 596: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/596.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a ×−→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. b) Vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −2 43 1 −2
∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣−2 41 −2
∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣1 43 −2
∣∣∣∣+~k ∣∣∣∣1 −23 1
∣∣∣∣ == (4− 4)~i − (−2− 12)~j
+ (1+ 6)~k = 14~j + 7~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 55 / 72
![Page 597: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/597.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a ×−→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. b) Vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −2 43 1 −2
∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣−2 41 −2
∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣1 43 −2
∣∣∣∣+~k ∣∣∣∣1 −23 1
∣∣∣∣ == (4− 4)~i − (−2− 12)~j + (1+ 6)~k =
14~j + 7~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 55 / 72
![Page 598: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/598.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi −→a ×−→b ako je:
a)−→a = 2~i +~j + 3~k−→b =~i + 4~j + 5~k
, b)−→a =~i − 2~j + 4~k−→b = 3~i +~j − 2~k
.
Rješenje. b) Vrijedi
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −2 43 1 −2
∣∣∣∣∣∣ =~i∣∣∣∣−2 41 −2
∣∣∣∣ −~j ∣∣∣∣1 43 −2
∣∣∣∣+~k ∣∣∣∣1 −23 1
∣∣∣∣ == (4− 4)~i − (−2− 12)~j + (1+ 6)~k = 14~j + 7~k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 55 / 72
![Page 599: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/599.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak.
Odredi neki vektor −→c okomit na vektore −→a i−→b ako je:
−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.
Rješenje. Vrijedi
−→c = −→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1
∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k
Provjera:
−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 56 / 72
![Page 600: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/600.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi neki vektor −→c okomit na vektore −→a i−→b
ako je:
−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.
Rješenje. Vrijedi
−→c = −→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1
∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k
Provjera:
−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 56 / 72
![Page 601: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/601.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi neki vektor −→c okomit na vektore −→a i−→b ako je:
−→a =~i − 4~j + 3~k
i−→b = 2~i + 5~j −~k.
Rješenje. Vrijedi
−→c = −→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1
∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k
Provjera:
−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 56 / 72
![Page 602: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/602.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi neki vektor −→c okomit na vektore −→a i−→b ako je:
−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.
Rješenje. Vrijedi
−→c = −→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1
∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k
Provjera:
−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 56 / 72
![Page 603: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/603.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi neki vektor −→c okomit na vektore −→a i−→b ako je:
−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.
Rješenje.
Vrijedi
−→c = −→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1
∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k
Provjera:
−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 56 / 72
![Page 604: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/604.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi neki vektor −→c okomit na vektore −→a i−→b ako je:
−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.
Rješenje. Vrijedi
−→c =
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1
∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k
Provjera:
−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 56 / 72
![Page 605: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/605.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi neki vektor −→c okomit na vektore −→a i−→b ako je:
−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.
Rješenje. Vrijedi
−→c = −→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1
∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k
Provjera:
−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 56 / 72
![Page 606: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/606.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi neki vektor −→c okomit na vektore −→a i−→b ako je:
−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.
Rješenje. Vrijedi
−→c = −→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1
∣∣∣∣∣∣ =
~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) =
= −11~i + 7~j + 13~k
Provjera:
−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 56 / 72
![Page 607: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/607.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi neki vektor −→c okomit na vektore −→a i−→b ako je:
−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.
Rješenje. Vrijedi
−→c = −→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1
∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)
−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) =
= −11~i + 7~j + 13~k
Provjera:
−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 56 / 72
![Page 608: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/608.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi neki vektor −→c okomit na vektore −→a i−→b ako je:
−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.
Rješenje. Vrijedi
−→c = −→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1
∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6)
+~k(5+ 8) =
= −11~i + 7~j + 13~k
Provjera:
−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 56 / 72
![Page 609: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/609.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi neki vektor −→c okomit na vektore −→a i−→b ako je:
−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.
Rješenje. Vrijedi
−→c = −→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1
∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) =
= −11~i + 7~j + 13~k
Provjera:
−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 56 / 72
![Page 610: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/610.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi neki vektor −→c okomit na vektore −→a i−→b ako je:
−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.
Rješenje. Vrijedi
−→c = −→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1
∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k
Provjera:
−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 56 / 72
![Page 611: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/611.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi neki vektor −→c okomit na vektore −→a i−→b ako je:
−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.
Rješenje. Vrijedi
−→c = −→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1
∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k
Provjera:
−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 56 / 72
![Page 612: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/612.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi neki vektor −→c okomit na vektore −→a i−→b ako je:
−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.
Rješenje. Vrijedi
−→c = −→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1
∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k
Provjera:
−→c · −→a =
− 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 56 / 72
![Page 613: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/613.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi neki vektor −→c okomit na vektore −→a i−→b ako je:
−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.
Rješenje. Vrijedi
−→c = −→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1
∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k
Provjera:
−→c · −→a = − 11− 28+ 39 =
0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 56 / 72
![Page 614: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/614.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi neki vektor −→c okomit na vektore −→a i−→b ako je:
−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.
Rješenje. Vrijedi
−→c = −→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1
∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k
Provjera:
−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0
⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 56 / 72
![Page 615: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/615.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi neki vektor −→c okomit na vektore −→a i−→b ako je:
−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.
Rješenje. Vrijedi
−→c = −→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1
∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k
Provjera:
−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒
−→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 56 / 72
![Page 616: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/616.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi neki vektor −→c okomit na vektore −→a i−→b ako je:
−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.
Rješenje. Vrijedi
−→c = −→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1
∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k
Provjera:
−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a
−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 56 / 72
![Page 617: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/617.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi neki vektor −→c okomit na vektore −→a i−→b ako je:
−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.
Rješenje. Vrijedi
−→c = −→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1
∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k
Provjera:
−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b =
− 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 56 / 72
![Page 618: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/618.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi neki vektor −→c okomit na vektore −→a i−→b ako je:
−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.
Rješenje. Vrijedi
−→c = −→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1
∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k
Provjera:
−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 =
0⇒ −→c ⊥−→b
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 56 / 72
![Page 619: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/619.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi neki vektor −→c okomit na vektore −→a i−→b ako je:
−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.
Rješenje. Vrijedi
−→c = −→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1
∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k
Provjera:
−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0
⇒ −→c ⊥−→b
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 56 / 72
![Page 620: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/620.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi neki vektor −→c okomit na vektore −→a i−→b ako je:
−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.
Rješenje. Vrijedi
−→c = −→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1
∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k
Provjera:
−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒
−→c ⊥−→b
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 56 / 72
![Page 621: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/621.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi neki vektor −→c okomit na vektore −→a i−→b ako je:
−→a =~i − 4~j + 3~k i −→b = 2~i + 5~j −~k.
Rješenje. Vrijedi
−→c = −→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 −4 32 5 −1
∣∣∣∣∣∣ =~i(4− 15)−~j(−1− 6) +~k(5+ 8) == −11~i + 7~j + 13~k
Provjera:
−→c · −→a = − 11− 28+ 39 = 0⇒ −→c ⊥−→a−→c · −→b = − 22+ 35− 13 = 0⇒ −→c ⊥−→b
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 56 / 72
![Page 622: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/622.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak.
Odredi površinu trokuta razapetog vektorima −→a i−→b ako je:
−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.
Rješenje. Vrijedi P = 12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3
∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =
√42 + (−5)2 + (−3)2 =
√50
P =12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12
√50
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 57 / 72
![Page 623: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/623.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi površinu trokuta razapetog vektorima −→a i−→b
ako je:
−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.
Rješenje. Vrijedi P = 12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3
∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =
√42 + (−5)2 + (−3)2 =
√50
P =12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12
√50
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 57 / 72
![Page 624: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/624.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi površinu trokuta razapetog vektorima −→a i−→b ako je:
−→a = 2~i +~j +~k
i−→b =~i −~j + 3~k.
Rješenje. Vrijedi P = 12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3
∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =
√42 + (−5)2 + (−3)2 =
√50
P =12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12
√50
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 57 / 72
![Page 625: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/625.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi površinu trokuta razapetog vektorima −→a i−→b ako je:
−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.
Rješenje. Vrijedi P = 12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3
∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =
√42 + (−5)2 + (−3)2 =
√50
P =12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12
√50
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 57 / 72
![Page 626: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/626.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi površinu trokuta razapetog vektorima −→a i−→b ako je:
−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.
Rješenje.
Vrijedi P = 12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3
∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =
√42 + (−5)2 + (−3)2 =
√50
P =12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12
√50
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 57 / 72
![Page 627: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/627.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi površinu trokuta razapetog vektorima −→a i−→b ako je:
−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.
Rješenje. Vrijedi P =
12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3
∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =
√42 + (−5)2 + (−3)2 =
√50
P =12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12
√50
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 57 / 72
![Page 628: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/628.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi površinu trokuta razapetog vektorima −→a i−→b ako je:
−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.
Rješenje. Vrijedi P = 12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ .
Sada je
−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3
∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =
√42 + (−5)2 + (−3)2 =
√50
P =12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12
√50
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 57 / 72
![Page 629: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/629.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi površinu trokuta razapetog vektorima −→a i−→b ako je:
−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.
Rješenje. Vrijedi P = 12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3
∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =
√42 + (−5)2 + (−3)2 =
√50
P =12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12
√50
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 57 / 72
![Page 630: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/630.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi površinu trokuta razapetog vektorima −→a i−→b ako je:
−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.
Rješenje. Vrijedi P = 12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3
∣∣∣∣∣∣ =
~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) =
= 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =√42 + (−5)2 + (−3)2 =
√50
P =12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12
√50
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 57 / 72
![Page 631: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/631.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi površinu trokuta razapetog vektorima −→a i−→b ako je:
−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.
Rješenje. Vrijedi P = 12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3
∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)
−~j(6− 1) +~k(−2− 1) =
= 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =√42 + (−5)2 + (−3)2 =
√50
P =12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12
√50
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 57 / 72
![Page 632: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/632.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi površinu trokuta razapetog vektorima −→a i−→b ako je:
−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.
Rješenje. Vrijedi P = 12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3
∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1)
+~k(−2− 1) =
= 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =√42 + (−5)2 + (−3)2 =
√50
P =12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12
√50
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 57 / 72
![Page 633: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/633.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi površinu trokuta razapetog vektorima −→a i−→b ako je:
−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.
Rješenje. Vrijedi P = 12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3
∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) =
= 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =√42 + (−5)2 + (−3)2 =
√50
P =12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12
√50
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 57 / 72
![Page 634: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/634.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi površinu trokuta razapetog vektorima −→a i−→b ako je:
−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.
Rješenje. Vrijedi P = 12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3
∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =√42 + (−5)2 + (−3)2 =
√50
P =12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12
√50
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 57 / 72
![Page 635: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/635.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi površinu trokuta razapetog vektorima −→a i−→b ako je:
−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.
Rješenje. Vrijedi P = 12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3
∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =
√42 + (−5)2 + (−3)2 =
√50
P =12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12
√50
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 57 / 72
![Page 636: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/636.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi površinu trokuta razapetog vektorima −→a i−→b ako je:
−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.
Rješenje. Vrijedi P = 12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3
∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =
√42 + (−5)2 + (−3)2 =
√50
P =12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12
√50
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 57 / 72
![Page 637: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/637.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi površinu trokuta razapetog vektorima −→a i−→b ako je:
−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.
Rješenje. Vrijedi P = 12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3
∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =
√42 + (−5)2 + (−3)2 =
√50
P =12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12
√50
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 57 / 72
![Page 638: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/638.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi površinu trokuta razapetog vektorima −→a i−→b ako je:
−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.
Rješenje. Vrijedi P = 12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3
∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =
√42 + (−5)2 + (−3)2 =
√50
P =
12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12
√50
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 57 / 72
![Page 639: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/639.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi površinu trokuta razapetog vektorima −→a i−→b ako je:
−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.
Rješenje. Vrijedi P = 12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3
∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =
√42 + (−5)2 + (−3)2 =
√50
P =12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =
12
√50
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 57 / 72
![Page 640: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/640.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi površinu trokuta razapetog vektorima −→a i−→b ako je:
−→a = 2~i +~j +~k i −→b =~i −~j + 3~k.
Rješenje. Vrijedi P = 12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ . Sada je−→a ×−→b =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 11 −1 3
∣∣∣∣∣∣ =~i(3+ 1)−~j(6− 1) +~k(−2− 1) == 4~i − 5~j − 3~k∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ =
√42 + (−5)2 + (−3)2 =
√50
P =12
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ = 12
√50
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 57 / 72
![Page 641: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/641.jpg)
Mnozenje vektoraMješoviti produkt vektora
Uvodimo i:
mješoviti produkt vektora
(vektor × vektor︸ ︷︷ ︸vektor
) · vektor = vektor · vektor =
= skalar
Definicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Mješoviti produkt vektora −→a , −→bi −→c je skalar (broj) kojeg oznacavamo sa (−→a ,−→b ,−→c ), a definiran jeformulom
(−→a ,−→b ,−→c ) = (−→a ×−→b ) · −→c
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 58 / 72
![Page 642: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/642.jpg)
Mnozenje vektoraMješoviti produkt vektora
Uvodimo i:
mješoviti produkt vektora
(vektor × vektor︸ ︷︷ ︸vektor
) · vektor = vektor · vektor =
= skalar
Definicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Mješoviti produkt vektora −→a , −→bi −→c je skalar (broj) kojeg oznacavamo sa (−→a ,−→b ,−→c ), a definiran jeformulom
(−→a ,−→b ,−→c ) = (−→a ×−→b ) · −→c
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 58 / 72
![Page 643: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/643.jpg)
Mnozenje vektoraMješoviti produkt vektora
Uvodimo i:
mješoviti produkt vektora
(vektor × vektor︸ ︷︷ ︸vektor
) · vektor = vektor · vektor =
= skalar
Definicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Mješoviti produkt vektora −→a , −→bi −→c je skalar (broj) kojeg oznacavamo sa (−→a ,−→b ,−→c ), a definiran jeformulom
(−→a ,−→b ,−→c ) = (−→a ×−→b ) · −→c
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 58 / 72
![Page 644: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/644.jpg)
Mnozenje vektoraMješoviti produkt vektora
Uvodimo i:
mješoviti produkt vektora
(vektor × vektor︸ ︷︷ ︸vektor
) · vektor =
vektor · vektor =
= skalar
Definicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Mješoviti produkt vektora −→a , −→bi −→c je skalar (broj) kojeg oznacavamo sa (−→a ,−→b ,−→c ), a definiran jeformulom
(−→a ,−→b ,−→c ) = (−→a ×−→b ) · −→c
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 58 / 72
![Page 645: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/645.jpg)
Mnozenje vektoraMješoviti produkt vektora
Uvodimo i:
mješoviti produkt vektora
(vektor × vektor︸ ︷︷ ︸vektor
) · vektor = vektor · vektor =
= skalar
Definicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Mješoviti produkt vektora −→a , −→bi −→c je skalar (broj) kojeg oznacavamo sa (−→a ,−→b ,−→c ), a definiran jeformulom
(−→a ,−→b ,−→c ) = (−→a ×−→b ) · −→c
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 58 / 72
![Page 646: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/646.jpg)
Mnozenje vektoraMješoviti produkt vektora
Uvodimo i:
mješoviti produkt vektora
(vektor × vektor︸ ︷︷ ︸vektor
) · vektor = vektor · vektor =
= skalar
Definicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Mješoviti produkt vektora −→a , −→bi −→c je skalar (broj) kojeg oznacavamo sa (−→a ,−→b ,−→c ), a definiran jeformulom
(−→a ,−→b ,−→c ) = (−→a ×−→b ) · −→c
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 58 / 72
![Page 647: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/647.jpg)
Mnozenje vektoraMješoviti produkt vektora
Uvodimo i:
mješoviti produkt vektora
(vektor × vektor︸ ︷︷ ︸vektor
) · vektor = vektor · vektor =
= skalar
Definicija.
Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Mješoviti produkt vektora −→a , −→bi −→c je skalar (broj) kojeg oznacavamo sa (−→a ,−→b ,−→c ), a definiran jeformulom
(−→a ,−→b ,−→c ) = (−→a ×−→b ) · −→c
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 58 / 72
![Page 648: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/648.jpg)
Mnozenje vektoraMješoviti produkt vektora
Uvodimo i:
mješoviti produkt vektora
(vektor × vektor︸ ︷︷ ︸vektor
) · vektor = vektor · vektor =
= skalar
Definicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori.
Mješoviti produkt vektora −→a , −→bi −→c je skalar (broj) kojeg oznacavamo sa (−→a ,−→b ,−→c ), a definiran jeformulom
(−→a ,−→b ,−→c ) = (−→a ×−→b ) · −→c
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 58 / 72
![Page 649: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/649.jpg)
Mnozenje vektoraMješoviti produkt vektora
Uvodimo i:
mješoviti produkt vektora
(vektor × vektor︸ ︷︷ ︸vektor
) · vektor = vektor · vektor =
= skalar
Definicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Mješoviti produkt vektora −→a , −→bi −→c je skalar (broj)
kojeg oznacavamo sa (−→a ,−→b ,−→c ), a definiran jeformulom
(−→a ,−→b ,−→c ) = (−→a ×−→b ) · −→c
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 58 / 72
![Page 650: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/650.jpg)
Mnozenje vektoraMješoviti produkt vektora
Uvodimo i:
mješoviti produkt vektora
(vektor × vektor︸ ︷︷ ︸vektor
) · vektor = vektor · vektor =
= skalar
Definicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Mješoviti produkt vektora −→a , −→bi −→c je skalar (broj) kojeg oznacavamo sa (−→a ,−→b ,−→c ),
a definiran jeformulom
(−→a ,−→b ,−→c ) = (−→a ×−→b ) · −→c
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 58 / 72
![Page 651: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/651.jpg)
Mnozenje vektoraMješoviti produkt vektora
Uvodimo i:
mješoviti produkt vektora
(vektor × vektor︸ ︷︷ ︸vektor
) · vektor = vektor · vektor =
= skalar
Definicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Mješoviti produkt vektora −→a , −→bi −→c je skalar (broj) kojeg oznacavamo sa (−→a ,−→b ,−→c ), a definiran jeformulom
(−→a ,−→b ,−→c ) = (−→a ×−→b ) · −→c
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 58 / 72
![Page 652: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/652.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija.
Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Za volumen V paralelepipedarazapetog vektorima −→a , −→b i −→c vrijedi
V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Dokaz.
Ako oznacimo α = ](−→a ×−→b ,−→c ) i pretpostavimo da je α oštri, ondavrijedi
V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =
∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 59 / 72
![Page 653: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/653.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori.
Za volumen V paralelepipedarazapetog vektorima −→a , −→b i −→c vrijedi
V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Dokaz.
Ako oznacimo α = ](−→a ×−→b ,−→c ) i pretpostavimo da je α oštri, ondavrijedi
V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =
∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 59 / 72
![Page 654: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/654.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Za volumen V paralelepipedarazapetog vektorima −→a , −→b i −→c
vrijedi
V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Dokaz.
Ako oznacimo α = ](−→a ×−→b ,−→c ) i pretpostavimo da je α oštri, ondavrijedi
V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =
∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 59 / 72
![Page 655: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/655.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Za volumen V paralelepipedarazapetog vektorima −→a , −→b i −→c vrijedi
V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Dokaz.
Ako oznacimo α = ](−→a ×−→b ,−→c ) i pretpostavimo da je α oštri, ondavrijedi
V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =
∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 59 / 72
![Page 656: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/656.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Za volumen V paralelepipedarazapetog vektorima −→a , −→b i −→c vrijedi
V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Dokaz.
Ako oznacimo α = ](−→a ×−→b ,−→c ) i pretpostavimo da je α oštri, ondavrijedi
V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =
∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 59 / 72
![Page 657: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/657.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Za volumen V paralelepipedarazapetog vektorima −→a , −→b i −→c vrijedi
V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Dokaz.
Ako oznacimo α = ](−→a ×−→b ,−→c ) i pretpostavimo da je α oštri, ondavrijedi
V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =
∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 59 / 72
![Page 658: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/658.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Za volumen V paralelepipedarazapetog vektorima −→a , −→b i −→c vrijedi
V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Dokaz.
Ako oznacimo α = ](−→a ×−→b ,−→c ) i pretpostavimo da je α oštri, ondavrijedi
V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =
∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 59 / 72
![Page 659: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/659.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Za volumen V paralelepipedarazapetog vektorima −→a , −→b i −→c vrijedi
V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Dokaz.
Ako oznacimo α = ](−→a ×−→b ,−→c ) i pretpostavimo da je α oštri, ondavrijedi
V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =
∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 59 / 72
![Page 660: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/660.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Za volumen V paralelepipedarazapetog vektorima −→a , −→b i −→c vrijedi
V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Dokaz.
Ako oznacimo α = ](−→a ×−→b ,−→c ) i pretpostavimo da je α oštri, ondavrijedi
V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =
∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 59 / 72
![Page 661: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/661.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Za volumen V paralelepipedarazapetog vektorima −→a , −→b i −→c vrijedi
V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Dokaz.
Ako oznacimo α = ](−→a ×−→b ,−→c ) i pretpostavimo da je α oštri, ondavrijedi
V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =
∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 59 / 72
![Page 662: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/662.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Za volumen V paralelepipedarazapetog vektorima −→a , −→b i −→c vrijedi
V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Dokaz.
Ako oznacimo α = ](−→a ×−→b ,−→c ) i pretpostavimo da je α oštri, ondavrijedi
V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =
∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 59 / 72
![Page 663: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/663.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Za volumen V paralelepipedarazapetog vektorima −→a , −→b i −→c vrijedi
V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Dokaz.
Ako oznacimo α = ](−→a ×−→b ,−→c )
i pretpostavimo da je α oštri, ondavrijedi
V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =
∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 59 / 72
![Page 664: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/664.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Za volumen V paralelepipedarazapetog vektorima −→a , −→b i −→c vrijedi
V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Dokaz.
Ako oznacimo α = ](−→a ×−→b ,−→c ) i pretpostavimo da je α oštri,
ondavrijedi
V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =
∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 59 / 72
![Page 665: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/665.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Za volumen V paralelepipedarazapetog vektorima −→a , −→b i −→c vrijedi
V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Dokaz.
Ako oznacimo α = ](−→a ×−→b ,−→c ) i pretpostavimo da je α oštri, ondavrijedi
V = PB · v =
∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 59 / 72
![Page 666: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/666.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Za volumen V paralelepipedarazapetog vektorima −→a , −→b i −→c vrijedi
V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Dokaz.
Ako oznacimo α = ](−→a ×−→b ,−→c ) i pretpostavimo da je α oštri, ondavrijedi
V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =
∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 59 / 72
![Page 667: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/667.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a , −→b i −→c vektori. Za volumen V paralelepipedarazapetog vektorima −→a , −→b i −→c vrijedi
V =∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .
Dokaz.
Ako oznacimo α = ](−→a ×−→b ,−→c ) i pretpostavimo da je α oštri, ondavrijedi
V = PB · v =∣∣∣−→a ×−→b ∣∣∣ · |−→c | cos α =
∣∣∣(−→a ×−→b ) · −→c ∣∣∣ .Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 59 / 72
![Page 668: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/668.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija.
Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k ,
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k i −→c = cx
−→i + cy
−→j + cz
−→k vektori. Tada
vrijedi
(−→a ×−→b ) · −→c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz
∣∣∣∣∣∣ == ax (by cz − bzcy )− ay (bxcz − bzcx ) + az (bxcy − by cx ).
Dokaz. Ova formula slijedi iz odgovarajucih formula za skalarni i vektorskiprodukt. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 60 / 72
![Page 669: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/669.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k ,
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k i −→c = cx
−→i + cy
−→j + cz
−→k vektori.
Tadavrijedi
(−→a ×−→b ) · −→c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz
∣∣∣∣∣∣ == ax (by cz − bzcy )− ay (bxcz − bzcx ) + az (bxcy − by cx ).
Dokaz. Ova formula slijedi iz odgovarajucih formula za skalarni i vektorskiprodukt. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 60 / 72
![Page 670: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/670.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k ,
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k i −→c = cx
−→i + cy
−→j + cz
−→k vektori. Tada
vrijedi
(−→a ×−→b ) · −→c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz
∣∣∣∣∣∣ =
= ax (by cz − bzcy )− ay (bxcz − bzcx ) + az (bxcy − by cx ).
Dokaz. Ova formula slijedi iz odgovarajucih formula za skalarni i vektorskiprodukt. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 60 / 72
![Page 671: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/671.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k ,
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k i −→c = cx
−→i + cy
−→j + cz
−→k vektori. Tada
vrijedi
(−→a ×−→b ) · −→c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz
∣∣∣∣∣∣ == ax (by cz − bzcy )− ay (bxcz − bzcx ) + az (bxcy − by cx ).
Dokaz. Ova formula slijedi iz odgovarajucih formula za skalarni i vektorskiprodukt. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 60 / 72
![Page 672: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/672.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k ,
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k i −→c = cx
−→i + cy
−→j + cz
−→k vektori. Tada
vrijedi
(−→a ×−→b ) · −→c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz
∣∣∣∣∣∣ == ax (by cz − bzcy )− ay (bxcz − bzcx ) + az (bxcy − by cx ).
Dokaz.
Ova formula slijedi iz odgovarajucih formula za skalarni i vektorskiprodukt. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 60 / 72
![Page 673: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/673.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k ,
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k i −→c = cx
−→i + cy
−→j + cz
−→k vektori. Tada
vrijedi
(−→a ×−→b ) · −→c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz
∣∣∣∣∣∣ == ax (by cz − bzcy )− ay (bxcz − bzcx ) + az (bxcy − by cx ).
Dokaz. Ova formula slijedi iz odgovarajucih formula za skalarni i vektorskiprodukt.
QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 60 / 72
![Page 674: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/674.jpg)
Mnozenje vektora
Propozicija. Neka su −→a = ax−→i + ay
−→j + az
−→k ,
−→b = bx
−→i + by
−→j + bz
−→k i −→c = cx
−→i + cy
−→j + cz
−→k vektori. Tada
vrijedi
(−→a ×−→b ) · −→c =
∣∣∣∣∣∣ax ay azbx by bzcx cy cz
∣∣∣∣∣∣ == ax (by cz − bzcy )− ay (bxcz − bzcx ) + az (bxcy − by cx ).
Dokaz. Ova formula slijedi iz odgovarajucih formula za skalarni i vektorskiprodukt. QED
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 60 / 72
![Page 675: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/675.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak.
Odredi (−→a ,−→b ,−→c ) ako je −→a =~i + 2~j − 3~k, −→b = 2~i −~j + 4~ki −→c = 3~i + 2~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi
(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3
∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3
∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2
∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) = − 20.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 61 / 72
![Page 676: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/676.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi (−→a ,−→b ,−→c )
ako je −→a =~i + 2~j − 3~k, −→b = 2~i −~j + 4~ki −→c = 3~i + 2~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi
(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3
∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3
∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2
∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) = − 20.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 61 / 72
![Page 677: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/677.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi (−→a ,−→b ,−→c ) ako je −→a =~i + 2~j − 3~k,
−→b = 2~i −~j + 4~k
i −→c = 3~i + 2~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi
(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3
∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3
∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2
∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) = − 20.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 61 / 72
![Page 678: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/678.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi (−→a ,−→b ,−→c ) ako je −→a =~i + 2~j − 3~k, −→b = 2~i −~j + 4~k
i −→c = 3~i + 2~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi
(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3
∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3
∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2
∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) = − 20.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 61 / 72
![Page 679: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/679.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi (−→a ,−→b ,−→c ) ako je −→a =~i + 2~j − 3~k, −→b = 2~i −~j + 4~ki −→c = 3~i + 2~j + 3~k.
Rješenje. Vrijedi
(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3
∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3
∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2
∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) = − 20.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 61 / 72
![Page 680: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/680.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi (−→a ,−→b ,−→c ) ako je −→a =~i + 2~j − 3~k, −→b = 2~i −~j + 4~ki −→c = 3~i + 2~j + 3~k.Rješenje.
Vrijedi
(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3
∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3
∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2
∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) = − 20.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 61 / 72
![Page 681: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/681.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi (−→a ,−→b ,−→c ) ako je −→a =~i + 2~j − 3~k, −→b = 2~i −~j + 4~ki −→c = 3~i + 2~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi
(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3
∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3
∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2
∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) = − 20.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 61 / 72
![Page 682: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/682.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi (−→a ,−→b ,−→c ) ako je −→a =~i + 2~j − 3~k, −→b = 2~i −~j + 4~ki −→c = 3~i + 2~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi
(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3
∣∣∣∣∣∣ =
1 ·∣∣∣∣−1 42 3
∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2
∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) = − 20.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 61 / 72
![Page 683: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/683.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi (−→a ,−→b ,−→c ) ako je −→a =~i + 2~j − 3~k, −→b = 2~i −~j + 4~ki −→c = 3~i + 2~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi
(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3
∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3
∣∣∣∣
− 2 ·∣∣∣∣2 43 3
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2
∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) = − 20.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 61 / 72
![Page 684: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/684.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi (−→a ,−→b ,−→c ) ako je −→a =~i + 2~j − 3~k, −→b = 2~i −~j + 4~ki −→c = 3~i + 2~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi
(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3
∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3
∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3
∣∣∣∣
− 3 ·∣∣∣∣2 −13 2
∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) = − 20.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 61 / 72
![Page 685: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/685.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi (−→a ,−→b ,−→c ) ako je −→a =~i + 2~j − 3~k, −→b = 2~i −~j + 4~ki −→c = 3~i + 2~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi
(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3
∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3
∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2
∣∣∣∣ =
= 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) = − 20.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 61 / 72
![Page 686: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/686.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi (−→a ,−→b ,−→c ) ako je −→a =~i + 2~j − 3~k, −→b = 2~i −~j + 4~ki −→c = 3~i + 2~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi
(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3
∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3
∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2
∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)
− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) = − 20.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 61 / 72
![Page 687: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/687.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi (−→a ,−→b ,−→c ) ako je −→a =~i + 2~j − 3~k, −→b = 2~i −~j + 4~ki −→c = 3~i + 2~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi
(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3
∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3
∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2
∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)
− 3 · (4+ 3) = − 20.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 61 / 72
![Page 688: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/688.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi (−→a ,−→b ,−→c ) ako je −→a =~i + 2~j − 3~k, −→b = 2~i −~j + 4~ki −→c = 3~i + 2~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi
(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3
∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3
∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2
∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) =
− 20.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 61 / 72
![Page 689: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/689.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi (−→a ,−→b ,−→c ) ako je −→a =~i + 2~j − 3~k, −→b = 2~i −~j + 4~ki −→c = 3~i + 2~j + 3~k.Rješenje. Vrijedi
(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣1 2 −32 −1 43 2 3
∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣−1 42 3
∣∣∣∣ − 2 · ∣∣∣∣2 43 3
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣2 −13 2
∣∣∣∣ == 1 · (−3− 8)− 2 · (6− 12)− 3 · (4+ 3) = − 20.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 61 / 72
![Page 690: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/690.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak.
Odredi volumen paralelepipeda razapetog vektorima −→a ,−→b i −→cako je −→a = 2~i + 4~j − 3~k, −→b =~i − 2~j + 2~k i −→c =~i +~j +~k.Rješenje. Vrijedi V =
∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1
∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1
∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1
∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,
V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 62 / 72
![Page 691: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/691.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi volumen paralelepipeda razapetog vektorima −→a ,−→b i −→c
ako je −→a = 2~i + 4~j − 3~k, −→b =~i − 2~j + 2~k i −→c =~i +~j +~k.Rješenje. Vrijedi V =
∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1
∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1
∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1
∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,
V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 62 / 72
![Page 692: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/692.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi volumen paralelepipeda razapetog vektorima −→a ,−→b i −→cako je −→a = 2~i + 4~j − 3~k,
−→b =~i − 2~j + 2~k i −→c =~i +~j +~k.
Rješenje. Vrijedi V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je
(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1
∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1
∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1
∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,
V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 62 / 72
![Page 693: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/693.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi volumen paralelepipeda razapetog vektorima −→a ,−→b i −→cako je −→a = 2~i + 4~j − 3~k, −→b =~i − 2~j + 2~k
i −→c =~i +~j +~k.Rješenje. Vrijedi V =
∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1
∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1
∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1
∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,
V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 62 / 72
![Page 694: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/694.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi volumen paralelepipeda razapetog vektorima −→a ,−→b i −→cako je −→a = 2~i + 4~j − 3~k, −→b =~i − 2~j + 2~k i −→c =~i +~j +~k.
Rješenje. Vrijedi V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je
(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1
∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1
∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1
∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,
V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 62 / 72
![Page 695: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/695.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi volumen paralelepipeda razapetog vektorima −→a ,−→b i −→cako je −→a = 2~i + 4~j − 3~k, −→b =~i − 2~j + 2~k i −→c =~i +~j +~k.Rješenje.
Vrijedi V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je
(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1
∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1
∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1
∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,
V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 62 / 72
![Page 696: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/696.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi volumen paralelepipeda razapetog vektorima −→a ,−→b i −→cako je −→a = 2~i + 4~j − 3~k, −→b =~i − 2~j + 2~k i −→c =~i +~j +~k.Rješenje. Vrijedi V =
∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1
∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1
∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1
∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,
V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 62 / 72
![Page 697: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/697.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi volumen paralelepipeda razapetog vektorima −→a ,−→b i −→cako je −→a = 2~i + 4~j − 3~k, −→b =~i − 2~j + 2~k i −→c =~i +~j +~k.Rješenje. Vrijedi V =
∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1
∣∣∣∣∣∣ =
2 ·∣∣∣∣−2 21 1
∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1
∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,
V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 62 / 72
![Page 698: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/698.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi volumen paralelepipeda razapetog vektorima −→a ,−→b i −→cako je −→a = 2~i + 4~j − 3~k, −→b =~i − 2~j + 2~k i −→c =~i +~j +~k.Rješenje. Vrijedi V =
∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1
∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1
∣∣∣∣
− 4 ·∣∣∣∣1 21 1
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1
∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,
V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 62 / 72
![Page 699: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/699.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi volumen paralelepipeda razapetog vektorima −→a ,−→b i −→cako je −→a = 2~i + 4~j − 3~k, −→b =~i − 2~j + 2~k i −→c =~i +~j +~k.Rješenje. Vrijedi V =
∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1
∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1
∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1
∣∣∣∣
− 3 ·∣∣∣∣1 −21 1
∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,
V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 62 / 72
![Page 700: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/700.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi volumen paralelepipeda razapetog vektorima −→a ,−→b i −→cako je −→a = 2~i + 4~j − 3~k, −→b =~i − 2~j + 2~k i −→c =~i +~j +~k.Rješenje. Vrijedi V =
∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1
∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1
∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1
∣∣∣∣ =
= 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,V =
∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 62 / 72
![Page 701: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/701.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi volumen paralelepipeda razapetog vektorima −→a ,−→b i −→cako je −→a = 2~i + 4~j − 3~k, −→b =~i − 2~j + 2~k i −→c =~i +~j +~k.Rješenje. Vrijedi V =
∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1
∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1
∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1
∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)
− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,V =
∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 62 / 72
![Page 702: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/702.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi volumen paralelepipeda razapetog vektorima −→a ,−→b i −→cako je −→a = 2~i + 4~j − 3~k, −→b =~i − 2~j + 2~k i −→c =~i +~j +~k.Rješenje. Vrijedi V =
∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1
∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1
∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1
∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)
− 3 · (1+ 2) = − 13,V =
∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 62 / 72
![Page 703: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/703.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi volumen paralelepipeda razapetog vektorima −→a ,−→b i −→cako je −→a = 2~i + 4~j − 3~k, −→b =~i − 2~j + 2~k i −→c =~i +~j +~k.Rješenje. Vrijedi V =
∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1
∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1
∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1
∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) =
− 13,V =
∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 62 / 72
![Page 704: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/704.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi volumen paralelepipeda razapetog vektorima −→a ,−→b i −→cako je −→a = 2~i + 4~j − 3~k, −→b =~i − 2~j + 2~k i −→c =~i +~j +~k.Rješenje. Vrijedi V =
∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1
∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1
∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1
∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,
V =
∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 62 / 72
![Page 705: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/705.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi volumen paralelepipeda razapetog vektorima −→a ,−→b i −→cako je −→a = 2~i + 4~j − 3~k, −→b =~i − 2~j + 2~k i −→c =~i +~j +~k.Rješenje. Vrijedi V =
∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1
∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1
∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1
∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,
V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ =
|−13| = 13.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 62 / 72
![Page 706: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/706.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi volumen paralelepipeda razapetog vektorima −→a ,−→b i −→cako je −→a = 2~i + 4~j − 3~k, −→b =~i − 2~j + 2~k i −→c =~i +~j +~k.Rješenje. Vrijedi V =
∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1
∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1
∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1
∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,
V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| =
13.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 62 / 72
![Page 707: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/707.jpg)
Mnozenje vektora
Zadatak. Odredi volumen paralelepipeda razapetog vektorima −→a ,−→b i −→cako je −→a = 2~i + 4~j − 3~k, −→b =~i − 2~j + 2~k i −→c =~i +~j +~k.Rješenje. Vrijedi V =
∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ . Sada je(−→a ,−→b ,−→c ) =
∣∣∣∣∣∣2 4 −31 −2 21 1 1
∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣−2 21 1
∣∣∣∣ − 4 · ∣∣∣∣1 21 1
∣∣∣∣ − 3 · ∣∣∣∣1 −21 1
∣∣∣∣ == 2 · (−2− 2)− 4 · (1− 2)− 3 · (1+ 2) = − 13,
V =∣∣∣(−→a ,−→b ,−→c )∣∣∣ = |−13| = 13.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 62 / 72
![Page 708: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/708.jpg)
Mnozenje vektora
Kazemo da su vektori:
kolinearni ako leze na istom pravcu,
komplanarni ako leze u istoj ravnini.
Napomena. Neka su −→a , −→b i −→c tri ne-nul vektora. Tada vrijedi:
1 vektori −→a i−→b su me�usobno okomiti ako i samo ako je −→a · −→b = 0,
2 vektori −→a i−→b su kolinearni ako i samo ako je −→a ×−→b = 0,
3 vektori −→a , −→b i −→c su komplanarni ako i samo ako je(−→a ×−→b ) · −→c = 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 63 / 72
![Page 709: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/709.jpg)
Mnozenje vektora
Kazemo da su vektori:
kolinearni
ako leze na istom pravcu,
komplanarni ako leze u istoj ravnini.
Napomena. Neka su −→a , −→b i −→c tri ne-nul vektora. Tada vrijedi:
1 vektori −→a i−→b su me�usobno okomiti ako i samo ako je −→a · −→b = 0,
2 vektori −→a i−→b su kolinearni ako i samo ako je −→a ×−→b = 0,
3 vektori −→a , −→b i −→c su komplanarni ako i samo ako je(−→a ×−→b ) · −→c = 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 63 / 72
![Page 710: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/710.jpg)
Mnozenje vektora
Kazemo da su vektori:
kolinearni ako leze na istom pravcu,
komplanarni ako leze u istoj ravnini.
Napomena. Neka su −→a , −→b i −→c tri ne-nul vektora. Tada vrijedi:
1 vektori −→a i−→b su me�usobno okomiti ako i samo ako je −→a · −→b = 0,
2 vektori −→a i−→b su kolinearni ako i samo ako je −→a ×−→b = 0,
3 vektori −→a , −→b i −→c su komplanarni ako i samo ako je(−→a ×−→b ) · −→c = 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 63 / 72
![Page 711: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/711.jpg)
Mnozenje vektora
Kazemo da su vektori:
kolinearni ako leze na istom pravcu,
komplanarni
ako leze u istoj ravnini.
Napomena. Neka su −→a , −→b i −→c tri ne-nul vektora. Tada vrijedi:
1 vektori −→a i−→b su me�usobno okomiti ako i samo ako je −→a · −→b = 0,
2 vektori −→a i−→b su kolinearni ako i samo ako je −→a ×−→b = 0,
3 vektori −→a , −→b i −→c su komplanarni ako i samo ako je(−→a ×−→b ) · −→c = 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 63 / 72
![Page 712: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/712.jpg)
Mnozenje vektora
Kazemo da su vektori:
kolinearni ako leze na istom pravcu,
komplanarni ako leze u istoj ravnini.
Napomena. Neka su −→a , −→b i −→c tri ne-nul vektora. Tada vrijedi:
1 vektori −→a i−→b su me�usobno okomiti ako i samo ako je −→a · −→b = 0,
2 vektori −→a i−→b su kolinearni ako i samo ako je −→a ×−→b = 0,
3 vektori −→a , −→b i −→c su komplanarni ako i samo ako je(−→a ×−→b ) · −→c = 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 63 / 72
![Page 713: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/713.jpg)
Mnozenje vektora
Kazemo da su vektori:
kolinearni ako leze na istom pravcu,
komplanarni ako leze u istoj ravnini.
Napomena.
Neka su −→a , −→b i −→c tri ne-nul vektora. Tada vrijedi:
1 vektori −→a i−→b su me�usobno okomiti ako i samo ako je −→a · −→b = 0,
2 vektori −→a i−→b su kolinearni ako i samo ako je −→a ×−→b = 0,
3 vektori −→a , −→b i −→c su komplanarni ako i samo ako je(−→a ×−→b ) · −→c = 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 63 / 72
![Page 714: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/714.jpg)
Mnozenje vektora
Kazemo da su vektori:
kolinearni ako leze na istom pravcu,
komplanarni ako leze u istoj ravnini.
Napomena. Neka su −→a , −→b i −→c tri ne-nul vektora.
Tada vrijedi:
1 vektori −→a i−→b su me�usobno okomiti ako i samo ako je −→a · −→b = 0,
2 vektori −→a i−→b su kolinearni ako i samo ako je −→a ×−→b = 0,
3 vektori −→a , −→b i −→c su komplanarni ako i samo ako je(−→a ×−→b ) · −→c = 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 63 / 72
![Page 715: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/715.jpg)
Mnozenje vektora
Kazemo da su vektori:
kolinearni ako leze na istom pravcu,
komplanarni ako leze u istoj ravnini.
Napomena. Neka su −→a , −→b i −→c tri ne-nul vektora. Tada vrijedi:
1 vektori −→a i−→b su me�usobno okomiti
ako i samo ako je −→a · −→b = 0,2 vektori −→a i
−→b su kolinearni ako i samo ako je −→a ×−→b = 0,
3 vektori −→a , −→b i −→c su komplanarni ako i samo ako je(−→a ×−→b ) · −→c = 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 63 / 72
![Page 716: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/716.jpg)
Mnozenje vektora
Kazemo da su vektori:
kolinearni ako leze na istom pravcu,
komplanarni ako leze u istoj ravnini.
Napomena. Neka su −→a , −→b i −→c tri ne-nul vektora. Tada vrijedi:
1 vektori −→a i−→b su me�usobno okomiti ako i samo ako je −→a · −→b = 0,
2 vektori −→a i−→b su kolinearni ako i samo ako je −→a ×−→b = 0,
3 vektori −→a , −→b i −→c su komplanarni ako i samo ako je(−→a ×−→b ) · −→c = 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 63 / 72
![Page 717: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/717.jpg)
Mnozenje vektora
Kazemo da su vektori:
kolinearni ako leze na istom pravcu,
komplanarni ako leze u istoj ravnini.
Napomena. Neka su −→a , −→b i −→c tri ne-nul vektora. Tada vrijedi:
1 vektori −→a i−→b su me�usobno okomiti ako i samo ako je −→a · −→b = 0,
2 vektori −→a i−→b su kolinearni
ako i samo ako je −→a ×−→b = 0,3 vektori −→a , −→b i −→c su komplanarni ako i samo ako je(−→a ×−→b ) · −→c = 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 63 / 72
![Page 718: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/718.jpg)
Mnozenje vektora
Kazemo da su vektori:
kolinearni ako leze na istom pravcu,
komplanarni ako leze u istoj ravnini.
Napomena. Neka su −→a , −→b i −→c tri ne-nul vektora. Tada vrijedi:
1 vektori −→a i−→b su me�usobno okomiti ako i samo ako je −→a · −→b = 0,
2 vektori −→a i−→b su kolinearni ako i samo ako je −→a ×−→b = 0,
3 vektori −→a , −→b i −→c su komplanarni ako i samo ako je(−→a ×−→b ) · −→c = 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 63 / 72
![Page 719: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/719.jpg)
Mnozenje vektora
Kazemo da su vektori:
kolinearni ako leze na istom pravcu,
komplanarni ako leze u istoj ravnini.
Napomena. Neka su −→a , −→b i −→c tri ne-nul vektora. Tada vrijedi:
1 vektori −→a i−→b su me�usobno okomiti ako i samo ako je −→a · −→b = 0,
2 vektori −→a i−→b su kolinearni ako i samo ako je −→a ×−→b = 0,
3 vektori −→a , −→b i −→c su komplanarni
ako i samo ako je(−→a ×−→b ) · −→c = 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 63 / 72
![Page 720: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/720.jpg)
Mnozenje vektora
Kazemo da su vektori:
kolinearni ako leze na istom pravcu,
komplanarni ako leze u istoj ravnini.
Napomena. Neka su −→a , −→b i −→c tri ne-nul vektora. Tada vrijedi:
1 vektori −→a i−→b su me�usobno okomiti ako i samo ako je −→a · −→b = 0,
2 vektori −→a i−→b su kolinearni ako i samo ako je −→a ×−→b = 0,
3 vektori −→a , −→b i −→c su komplanarni ako i samo ako je(−→a ×−→b ) · −→c = 0.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 63 / 72
![Page 721: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/721.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Definicija. Neka su −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n vektori. Linearna kombinacijavektora −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n je vektor
λ1−→a 1 + λ2
−→a 2 + . . .+ λn−→a n
pri cemu su λ1,λ2, . . . ,λn realni brojevi.
Uocimo da za zadane vektore −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n postoji beskonacno mnogorazlicitih linearnih kombinacija tih vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 64 / 72
![Page 722: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/722.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Definicija.
Neka su −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n vektori. Linearna kombinacijavektora −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n je vektor
λ1−→a 1 + λ2
−→a 2 + . . .+ λn−→a n
pri cemu su λ1,λ2, . . . ,λn realni brojevi.
Uocimo da za zadane vektore −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n postoji beskonacno mnogorazlicitih linearnih kombinacija tih vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 64 / 72
![Page 723: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/723.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Definicija. Neka su −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n vektori.
Linearna kombinacijavektora −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n je vektor
λ1−→a 1 + λ2
−→a 2 + . . .+ λn−→a n
pri cemu su λ1,λ2, . . . ,λn realni brojevi.
Uocimo da za zadane vektore −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n postoji beskonacno mnogorazlicitih linearnih kombinacija tih vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 64 / 72
![Page 724: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/724.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Definicija. Neka su −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n vektori. Linearna kombinacijavektora −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n je vektor
λ1−→a 1 + λ2
−→a 2 + . . .+ λn−→a n
pri cemu su λ1,λ2, . . . ,λn realni brojevi.
Uocimo da za zadane vektore −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n postoji beskonacno mnogorazlicitih linearnih kombinacija tih vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 64 / 72
![Page 725: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/725.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Definicija. Neka su −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n vektori. Linearna kombinacijavektora −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n je vektor
λ1−→a 1 + λ2
−→a 2 + . . .+ λn−→a n
pri cemu su λ1,λ2, . . . ,λn realni brojevi.
Uocimo da za zadane vektore −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n postoji beskonacno mnogorazlicitih linearnih kombinacija tih vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 64 / 72
![Page 726: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/726.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Definicija. Neka su −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n vektori. Linearna kombinacijavektora −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n je vektor
λ1−→a 1 + λ2
−→a 2 + . . .+ λn−→a n
pri cemu su λ1,λ2, . . . ,λn realni brojevi.
Uocimo da za zadane vektore −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n
postoji beskonacno mnogorazlicitih linearnih kombinacija tih vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 64 / 72
![Page 727: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/727.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Definicija. Neka su −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n vektori. Linearna kombinacijavektora −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n je vektor
λ1−→a 1 + λ2
−→a 2 + . . .+ λn−→a n
pri cemu su λ1,λ2, . . . ,λn realni brojevi.
Uocimo da za zadane vektore −→a 1,−→a 2, . . . ,−→a n postoji beskonacno mnogorazlicitih linearnih kombinacija tih vektora.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 64 / 72
![Page 728: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/728.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak.
Napiši (barem) dvije linearne kombinacije vektora
−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→j −−→k .
Rješenje.
2−→a + 3−→b −−→c = 2(2−→i −−→j +−→k
)+ 3
(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)−
−(2−→j −−→k
)= − 2−→i + 5−→j − 3−→k
−→a − 2−→b + 3−→c =(2−→i −−→j +−→k
)− 2
(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)+
+3(2−→j −−→k
)= 6−→i −−→j + 2−→k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 65 / 72
![Page 729: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/729.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Napiši (barem) dvije linearne kombinacije vektora
−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→j −−→k .
Rješenje.
2−→a + 3−→b −−→c = 2(2−→i −−→j +−→k
)+ 3
(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)−
−(2−→j −−→k
)= − 2−→i + 5−→j − 3−→k
−→a − 2−→b + 3−→c =(2−→i −−→j +−→k
)− 2
(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)+
+3(2−→j −−→k
)= 6−→i −−→j + 2−→k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 65 / 72
![Page 730: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/730.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Napiši (barem) dvije linearne kombinacije vektora
−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→j −−→k .
Rješenje.
2−→a + 3−→b −−→c = 2(2−→i −−→j +−→k
)+ 3
(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)−
−(2−→j −−→k
)= − 2−→i + 5−→j − 3−→k
−→a − 2−→b + 3−→c =(2−→i −−→j +−→k
)− 2
(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)+
+3(2−→j −−→k
)= 6−→i −−→j + 2−→k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 65 / 72
![Page 731: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/731.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Napiši (barem) dvije linearne kombinacije vektora
−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→j −−→k .
Rješenje.
2−→a + 3−→b −−→c =
2(2−→i −−→j +−→k
)+ 3
(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)−
−(2−→j −−→k
)= − 2−→i + 5−→j − 3−→k
−→a − 2−→b + 3−→c =(2−→i −−→j +−→k
)− 2
(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)+
+3(2−→j −−→k
)= 6−→i −−→j + 2−→k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 65 / 72
![Page 732: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/732.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Napiši (barem) dvije linearne kombinacije vektora
−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→j −−→k .
Rješenje.
2−→a + 3−→b −−→c = 2(2−→i −−→j +−→k
)+ 3
(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)−
−(2−→j −−→k
)=
− 2−→i + 5−→j − 3−→k−→a − 2−→b + 3−→c =
(2−→i −−→j +−→k
)− 2
(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)+
+3(2−→j −−→k
)= 6−→i −−→j + 2−→k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 65 / 72
![Page 733: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/733.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Napiši (barem) dvije linearne kombinacije vektora
−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→j −−→k .
Rješenje.
2−→a + 3−→b −−→c = 2(2−→i −−→j +−→k
)+ 3
(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)−
−(2−→j −−→k
)= − 2−→i + 5−→j − 3−→k
−→a − 2−→b + 3−→c =(2−→i −−→j +−→k
)− 2
(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)+
+3(2−→j −−→k
)= 6−→i −−→j + 2−→k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 65 / 72
![Page 734: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/734.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Napiši (barem) dvije linearne kombinacije vektora
−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→j −−→k .
Rješenje.
2−→a + 3−→b −−→c = 2(2−→i −−→j +−→k
)+ 3
(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)−
−(2−→j −−→k
)= − 2−→i + 5−→j − 3−→k
−→a − 2−→b + 3−→c =
(2−→i −−→j +−→k
)− 2
(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)+
+3(2−→j −−→k
)= 6−→i −−→j + 2−→k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 65 / 72
![Page 735: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/735.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Napiši (barem) dvije linearne kombinacije vektora
−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→j −−→k .
Rješenje.
2−→a + 3−→b −−→c = 2(2−→i −−→j +−→k
)+ 3
(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)−
−(2−→j −−→k
)= − 2−→i + 5−→j − 3−→k
−→a − 2−→b + 3−→c =(2−→i −−→j +−→k
)− 2
(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)+
+3(2−→j −−→k
)=
6−→i −−→j + 2−→k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 65 / 72
![Page 736: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/736.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Napiši (barem) dvije linearne kombinacije vektora
−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→j −−→k .
Rješenje.
2−→a + 3−→b −−→c = 2(2−→i −−→j +−→k
)+ 3
(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)−
−(2−→j −−→k
)= − 2−→i + 5−→j − 3−→k
−→a − 2−→b + 3−→c =(2−→i −−→j +−→k
)− 2
(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)+
+3(2−→j −−→k
)= 6−→i −−→j + 2−→k
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 65 / 72
![Page 737: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/737.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Definicija.
Neka su −→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an vektori. Kazemo da su vektori−→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an linearno nezavisni ako
λ1−→a1 + λ2
−→a2 + . . .+ λn−→an =
−→0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.
U suprotnom kazemo da su vektori −→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an linearno zavisni.
Pojašnjenje. Pitamo se za koje λ1,λ2, . . . ,λn vrijedi:
λ1−→a1 + λ2
−→a2 + . . .+ λn−→an =
−→0
Imamo:
Trivijalnu kombinaciju: λ1 = λ2 = . . . = λn = 0 - UVIJEK postoji
Netrivijalnu kombinaciju: ?
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 66 / 72
![Page 738: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/738.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Definicija. Neka su −→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an vektori.
Kazemo da su vektori−→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an linearno nezavisni ako
λ1−→a1 + λ2
−→a2 + . . .+ λn−→an =
−→0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.
U suprotnom kazemo da su vektori −→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an linearno zavisni.
Pojašnjenje. Pitamo se za koje λ1,λ2, . . . ,λn vrijedi:
λ1−→a1 + λ2
−→a2 + . . .+ λn−→an =
−→0
Imamo:
Trivijalnu kombinaciju: λ1 = λ2 = . . . = λn = 0 - UVIJEK postoji
Netrivijalnu kombinaciju: ?
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 66 / 72
![Page 739: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/739.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Definicija. Neka su −→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an vektori. Kazemo da su vektori−→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an linearno nezavisni
ako
λ1−→a1 + λ2
−→a2 + . . .+ λn−→an =
−→0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.
U suprotnom kazemo da su vektori −→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an linearno zavisni.
Pojašnjenje. Pitamo se za koje λ1,λ2, . . . ,λn vrijedi:
λ1−→a1 + λ2
−→a2 + . . .+ λn−→an =
−→0
Imamo:
Trivijalnu kombinaciju: λ1 = λ2 = . . . = λn = 0 - UVIJEK postoji
Netrivijalnu kombinaciju: ?
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 66 / 72
![Page 740: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/740.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Definicija. Neka su −→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an vektori. Kazemo da su vektori−→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an linearno nezavisni ako
λ1−→a1 + λ2
−→a2 + . . .+ λn−→an =
−→0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.
U suprotnom kazemo da su vektori −→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an linearno zavisni.
Pojašnjenje. Pitamo se za koje λ1,λ2, . . . ,λn vrijedi:
λ1−→a1 + λ2
−→a2 + . . .+ λn−→an =
−→0
Imamo:
Trivijalnu kombinaciju: λ1 = λ2 = . . . = λn = 0 - UVIJEK postoji
Netrivijalnu kombinaciju: ?
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 66 / 72
![Page 741: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/741.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Definicija. Neka su −→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an vektori. Kazemo da su vektori−→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an linearno nezavisni ako
λ1−→a1 + λ2
−→a2 + . . .+ λn−→an =
−→0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.
U suprotnom kazemo da su vektori −→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an linearno zavisni.
Pojašnjenje. Pitamo se za koje λ1,λ2, . . . ,λn vrijedi:
λ1−→a1 + λ2
−→a2 + . . .+ λn−→an =
−→0
Imamo:
Trivijalnu kombinaciju: λ1 = λ2 = . . . = λn = 0 - UVIJEK postoji
Netrivijalnu kombinaciju: ?
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 66 / 72
![Page 742: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/742.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Definicija. Neka su −→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an vektori. Kazemo da su vektori−→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an linearno nezavisni ako
λ1−→a1 + λ2
−→a2 + . . .+ λn−→an =
−→0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.
U suprotnom kazemo da su vektori −→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an linearno zavisni.
Pojašnjenje.
Pitamo se za koje λ1,λ2, . . . ,λn vrijedi:
λ1−→a1 + λ2
−→a2 + . . .+ λn−→an =
−→0
Imamo:
Trivijalnu kombinaciju: λ1 = λ2 = . . . = λn = 0 - UVIJEK postoji
Netrivijalnu kombinaciju: ?
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 66 / 72
![Page 743: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/743.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Definicija. Neka su −→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an vektori. Kazemo da su vektori−→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an linearno nezavisni ako
λ1−→a1 + λ2
−→a2 + . . .+ λn−→an =
−→0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.
U suprotnom kazemo da su vektori −→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an linearno zavisni.
Pojašnjenje. Pitamo se za koje λ1,λ2, . . . ,λn vrijedi:
λ1−→a1 + λ2
−→a2 + . . .+ λn−→an =
−→0
Imamo:
Trivijalnu kombinaciju: λ1 = λ2 = . . . = λn = 0 - UVIJEK postoji
Netrivijalnu kombinaciju: ?
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 66 / 72
![Page 744: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/744.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Definicija. Neka su −→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an vektori. Kazemo da su vektori−→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an linearno nezavisni ako
λ1−→a1 + λ2
−→a2 + . . .+ λn−→an =
−→0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.
U suprotnom kazemo da su vektori −→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an linearno zavisni.
Pojašnjenje. Pitamo se za koje λ1,λ2, . . . ,λn vrijedi:
λ1−→a1 + λ2
−→a2 + . . .+ λn−→an =
−→0
Imamo:
Trivijalnu kombinaciju: λ1 = λ2 = . . . = λn = 0 - UVIJEK postoji
Netrivijalnu kombinaciju: ?
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 66 / 72
![Page 745: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/745.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Definicija. Neka su −→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an vektori. Kazemo da su vektori−→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an linearno nezavisni ako
λ1−→a1 + λ2
−→a2 + . . .+ λn−→an =
−→0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.
U suprotnom kazemo da su vektori −→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an linearno zavisni.
Pojašnjenje. Pitamo se za koje λ1,λ2, . . . ,λn vrijedi:
λ1−→a1 + λ2
−→a2 + . . .+ λn−→an =
−→0
Imamo:
Trivijalnu kombinaciju: λ1 = λ2 = . . . = λn = 0
- UVIJEK postoji
Netrivijalnu kombinaciju: ?
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 66 / 72
![Page 746: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/746.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Definicija. Neka su −→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an vektori. Kazemo da su vektori−→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an linearno nezavisni ako
λ1−→a1 + λ2
−→a2 + . . .+ λn−→an =
−→0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.
U suprotnom kazemo da su vektori −→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an linearno zavisni.
Pojašnjenje. Pitamo se za koje λ1,λ2, . . . ,λn vrijedi:
λ1−→a1 + λ2
−→a2 + . . .+ λn−→an =
−→0
Imamo:
Trivijalnu kombinaciju: λ1 = λ2 = . . . = λn = 0 - UVIJEK postoji
Netrivijalnu kombinaciju: ?
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 66 / 72
![Page 747: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/747.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Definicija. Neka su −→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an vektori. Kazemo da su vektori−→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an linearno nezavisni ako
λ1−→a1 + λ2
−→a2 + . . .+ λn−→an =
−→0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.
U suprotnom kazemo da su vektori −→a1 ,−→a2 , . . . ,−→an linearno zavisni.
Pojašnjenje. Pitamo se za koje λ1,λ2, . . . ,λn vrijedi:
λ1−→a1 + λ2
−→a2 + . . .+ λn−→an =
−→0
Imamo:
Trivijalnu kombinaciju: λ1 = λ2 = . . . = λn = 0 - UVIJEK postoji
Netrivijalnu kombinaciju: ?
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 66 / 72
![Page 748: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/748.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak.
Zadani su vektori
−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .
Odredi linearnu kombinaciju −2−→a −−→b +−→c tih vektora. Što iz togazakljucuješo linearnoj nezavisnosti tih vektora?Rješenje. Vrijedi:
−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k
)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)+
+(2−→i +−→j)=−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b
Postoji netrivijalna kombinacija koja daje−→0 , pa su vektori −→a , −→b i −→c
linearno zavisni. Npr. vektor −→c "zavisi" od vektora −→a i−→b po formuli
−→c = 2−→a +−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 67 / 72
![Page 749: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/749.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2−→i −−→j +−→k ,
−→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .
Odredi linearnu kombinaciju −2−→a −−→b +−→c tih vektora. Što iz togazakljucuješo linearnoj nezavisnosti tih vektora?Rješenje. Vrijedi:
−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k
)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)+
+(2−→i +−→j)=−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b
Postoji netrivijalna kombinacija koja daje−→0 , pa su vektori −→a , −→b i −→c
linearno zavisni. Npr. vektor −→c "zavisi" od vektora −→a i−→b po formuli
−→c = 2−→a +−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 67 / 72
![Page 750: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/750.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k ,
−→c = 2−→i +−→j .
Odredi linearnu kombinaciju −2−→a −−→b +−→c tih vektora. Što iz togazakljucuješo linearnoj nezavisnosti tih vektora?Rješenje. Vrijedi:
−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k
)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)+
+(2−→i +−→j)=−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b
Postoji netrivijalna kombinacija koja daje−→0 , pa su vektori −→a , −→b i −→c
linearno zavisni. Npr. vektor −→c "zavisi" od vektora −→a i−→b po formuli
−→c = 2−→a +−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 67 / 72
![Page 751: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/751.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .
Odredi linearnu kombinaciju −2−→a −−→b +−→c tih vektora. Što iz togazakljucuješo linearnoj nezavisnosti tih vektora?Rješenje. Vrijedi:
−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k
)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)+
+(2−→i +−→j)=−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b
Postoji netrivijalna kombinacija koja daje−→0 , pa su vektori −→a , −→b i −→c
linearno zavisni. Npr. vektor −→c "zavisi" od vektora −→a i−→b po formuli
−→c = 2−→a +−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 67 / 72
![Page 752: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/752.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .
Odredi linearnu kombinaciju −2−→a −−→b +−→c tih vektora.
Što iz togazakljucuješo linearnoj nezavisnosti tih vektora?Rješenje. Vrijedi:
−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k
)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)+
+(2−→i +−→j)=−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b
Postoji netrivijalna kombinacija koja daje−→0 , pa su vektori −→a , −→b i −→c
linearno zavisni. Npr. vektor −→c "zavisi" od vektora −→a i−→b po formuli
−→c = 2−→a +−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 67 / 72
![Page 753: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/753.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .
Odredi linearnu kombinaciju −2−→a −−→b +−→c tih vektora. Što iz togazakljucuješo linearnoj nezavisnosti tih vektora?
Rješenje. Vrijedi:
−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k
)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)+
+(2−→i +−→j)=−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b
Postoji netrivijalna kombinacija koja daje−→0 , pa su vektori −→a , −→b i −→c
linearno zavisni. Npr. vektor −→c "zavisi" od vektora −→a i−→b po formuli
−→c = 2−→a +−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 67 / 72
![Page 754: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/754.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .
Odredi linearnu kombinaciju −2−→a −−→b +−→c tih vektora. Što iz togazakljucuješo linearnoj nezavisnosti tih vektora?Rješenje.
Vrijedi:
−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k
)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)+
+(2−→i +−→j)=−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b
Postoji netrivijalna kombinacija koja daje−→0 , pa su vektori −→a , −→b i −→c
linearno zavisni. Npr. vektor −→c "zavisi" od vektora −→a i−→b po formuli
−→c = 2−→a +−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 67 / 72
![Page 755: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/755.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .
Odredi linearnu kombinaciju −2−→a −−→b +−→c tih vektora. Što iz togazakljucuješo linearnoj nezavisnosti tih vektora?Rješenje. Vrijedi:
−2−→a −−→b +−→c =
− 2(2−→i −−→j +−→k
)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)+
+(2−→i +−→j)=−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b
Postoji netrivijalna kombinacija koja daje−→0 , pa su vektori −→a , −→b i −→c
linearno zavisni. Npr. vektor −→c "zavisi" od vektora −→a i−→b po formuli
−→c = 2−→a +−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 67 / 72
![Page 756: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/756.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .
Odredi linearnu kombinaciju −2−→a −−→b +−→c tih vektora. Što iz togazakljucuješo linearnoj nezavisnosti tih vektora?Rješenje. Vrijedi:
−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k
)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)+
+(2−→i +−→j)=
−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b
Postoji netrivijalna kombinacija koja daje−→0 , pa su vektori −→a , −→b i −→c
linearno zavisni. Npr. vektor −→c "zavisi" od vektora −→a i−→b po formuli
−→c = 2−→a +−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 67 / 72
![Page 757: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/757.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .
Odredi linearnu kombinaciju −2−→a −−→b +−→c tih vektora. Što iz togazakljucuješo linearnoj nezavisnosti tih vektora?Rješenje. Vrijedi:
−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k
)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)+
+(2−→i +−→j)=−→0
⇒ −→c = 2−→a +−→b
Postoji netrivijalna kombinacija koja daje−→0 , pa su vektori −→a , −→b i −→c
linearno zavisni. Npr. vektor −→c "zavisi" od vektora −→a i−→b po formuli
−→c = 2−→a +−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 67 / 72
![Page 758: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/758.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .
Odredi linearnu kombinaciju −2−→a −−→b +−→c tih vektora. Što iz togazakljucuješo linearnoj nezavisnosti tih vektora?Rješenje. Vrijedi:
−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k
)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)+
+(2−→i +−→j)=−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b
Postoji netrivijalna kombinacija koja daje−→0 , pa su vektori −→a , −→b i −→c
linearno zavisni. Npr. vektor −→c "zavisi" od vektora −→a i−→b po formuli
−→c = 2−→a +−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 67 / 72
![Page 759: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/759.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .
Odredi linearnu kombinaciju −2−→a −−→b +−→c tih vektora. Što iz togazakljucuješo linearnoj nezavisnosti tih vektora?Rješenje. Vrijedi:
−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k
)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)+
+(2−→i +−→j)=−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b
Postoji netrivijalna kombinacija koja daje−→0 ,
pa su vektori −→a , −→b i −→clinearno zavisni. Npr. vektor −→c "zavisi" od vektora −→a i
−→b po formuli
−→c = 2−→a +−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 67 / 72
![Page 760: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/760.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .
Odredi linearnu kombinaciju −2−→a −−→b +−→c tih vektora. Što iz togazakljucuješo linearnoj nezavisnosti tih vektora?Rješenje. Vrijedi:
−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k
)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)+
+(2−→i +−→j)=−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b
Postoji netrivijalna kombinacija koja daje−→0 , pa su vektori −→a , −→b i −→c
linearno zavisni.
Npr. vektor −→c "zavisi" od vektora −→a i−→b po formuli
−→c = 2−→a +−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 67 / 72
![Page 761: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/761.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .
Odredi linearnu kombinaciju −2−→a −−→b +−→c tih vektora. Što iz togazakljucuješo linearnoj nezavisnosti tih vektora?Rješenje. Vrijedi:
−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k
)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)+
+(2−→i +−→j)=−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b
Postoji netrivijalna kombinacija koja daje−→0 , pa su vektori −→a , −→b i −→c
linearno zavisni. Npr. vektor −→c "zavisi" od vektora −→a i−→b
po formuli−→c = 2−→a +−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 67 / 72
![Page 762: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/762.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori
−→a = 2−→i −−→j +−→k , −→b = −2−→i + 3−→j − 2−→k , −→c = 2−→i +−→j .
Odredi linearnu kombinaciju −2−→a −−→b +−→c tih vektora. Što iz togazakljucuješo linearnoj nezavisnosti tih vektora?Rješenje. Vrijedi:
−2−→a −−→b +−→c = − 2(2−→i −−→j +−→k
)−(−2−→i + 3−→j − 2−→k
)+
+(2−→i +−→j)=−→0 ⇒ −→c = 2−→a +−→b
Postoji netrivijalna kombinacija koja daje−→0 , pa su vektori −→a , −→b i −→c
linearno zavisni. Npr. vektor −→c "zavisi" od vektora −→a i−→b po formuli
−→c = 2−→a +−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 67 / 72
![Page 763: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/763.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka je −→a neki ne-nul vektor.
Vektor−→b je:
linearno zavisan od −→a (−→b = α−→a ) ako i samo ako −→b lezi na istom
pravcu kao vektor −→a ,linearno nezavistan od −→a (
−→b 6= α−→a ) ako i samo ako −→b ne lezi na
istom pravcu kao vektor −→a .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 68 / 72
![Page 764: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/764.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka je −→a neki ne-nul vektor. Vektor−→b je:
linearno zavisan od −→a (−→b = α−→a ) ako i samo ako −→b lezi na istom
pravcu kao vektor −→a ,linearno nezavistan od −→a (
−→b 6= α−→a ) ako i samo ako −→b ne lezi na
istom pravcu kao vektor −→a .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 68 / 72
![Page 765: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/765.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka je −→a neki ne-nul vektor. Vektor−→b je:
linearno zavisan od −→a (−→b = α−→a )
ako i samo ako−→b lezi na istom
pravcu kao vektor −→a ,linearno nezavistan od −→a (
−→b 6= α−→a ) ako i samo ako −→b ne lezi na
istom pravcu kao vektor −→a .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 68 / 72
![Page 766: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/766.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka je −→a neki ne-nul vektor. Vektor−→b je:
linearno zavisan od −→a (−→b = α−→a ) ako i samo ako −→b lezi na istom
pravcu kao vektor −→a ,
linearno nezavistan od −→a (−→b 6= α−→a ) ako i samo ako −→b ne lezi na
istom pravcu kao vektor −→a .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 68 / 72
![Page 767: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/767.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka je −→a neki ne-nul vektor. Vektor−→b je:
linearno zavisan od −→a (−→b = α−→a ) ako i samo ako −→b lezi na istom
pravcu kao vektor −→a ,linearno nezavistan od −→a (
−→b 6= α−→a )
ako i samo ako−→b ne lezi na
istom pravcu kao vektor −→a .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 68 / 72
![Page 768: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/768.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka je −→a neki ne-nul vektor. Vektor−→b je:
linearno zavisan od −→a (−→b = α−→a ) ako i samo ako −→b lezi na istom
pravcu kao vektor −→a ,linearno nezavistan od −→a (
−→b 6= α−→a ) ako i samo ako −→b ne lezi na
istom pravcu kao vektor −→a .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 68 / 72
![Page 769: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/769.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka je −→a neki ne-nul vektor. Vektor−→b je:
linearno zavisan od −→a (−→b = α−→a ) ako i samo ako −→b lezi na istom
pravcu kao vektor −→a ,linearno nezavistan od −→a (
−→b 6= α−→a ) ako i samo ako −→b ne lezi na
istom pravcu kao vektor −→a .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 68 / 72
![Page 770: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/770.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka je −→a neki ne-nul vektor. Vektor−→b je:
linearno zavisan od −→a (−→b = α−→a ) ako i samo ako −→b lezi na istom
pravcu kao vektor −→a ,linearno nezavistan od −→a (
−→b 6= α−→a ) ako i samo ako −→b ne lezi na
istom pravcu kao vektor −→a .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 68 / 72
![Page 771: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/771.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka je −→a neki ne-nul vektor. Vektor−→b je:
linearno zavisan od −→a (−→b = α−→a ) ako i samo ako −→b lezi na istom
pravcu kao vektor −→a ,linearno nezavistan od −→a (
−→b 6= α−→a ) ako i samo ako −→b ne lezi na
istom pravcu kao vektor −→a .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 68 / 72
![Page 772: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/772.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka je −→a neki ne-nul vektor. Vektor−→b je:
linearno zavisan od −→a (−→b = α−→a ) ako i samo ako −→b lezi na istom
pravcu kao vektor −→a ,linearno nezavistan od −→a (
−→b 6= α−→a ) ako i samo ako −→b ne lezi na
istom pravcu kao vektor −→a .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 68 / 72
![Page 773: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/773.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka su −→a i−→b linearno nezavisni vektori
(tj. ne leze na istom pravcu).Vektor −→c je:
linearno zavisan od −→a i−→b (−→c = α−→a + β
−→b ) ako i samo ako −→c lezi
u istoj ravnini kao vektori −→a i−→b .
linearno nezavistan od −→a i−→b (−→c 6= α−→a + β
−→b ) ako i samo ako −→c
ne lezi u istoj ravnini kao vektori −→a i−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 69 / 72
![Page 774: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/774.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka su −→a i−→b linearno nezavisni vektori (tj. ne leze na istom pravcu).
Vektor −→c je:
linearno zavisan od −→a i−→b (−→c = α−→a + β
−→b ) ako i samo ako −→c lezi
u istoj ravnini kao vektori −→a i−→b .
linearno nezavistan od −→a i−→b (−→c 6= α−→a + β
−→b ) ako i samo ako −→c
ne lezi u istoj ravnini kao vektori −→a i−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 69 / 72
![Page 775: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/775.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka su −→a i−→b linearno nezavisni vektori (tj. ne leze na istom pravcu).
Vektor −→c je:
linearno zavisan od −→a i−→b (−→c = α−→a + β
−→b ) ako i samo ako −→c lezi
u istoj ravnini kao vektori −→a i−→b .
linearno nezavistan od −→a i−→b (−→c 6= α−→a + β
−→b ) ako i samo ako −→c
ne lezi u istoj ravnini kao vektori −→a i−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 69 / 72
![Page 776: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/776.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka su −→a i−→b linearno nezavisni vektori (tj. ne leze na istom pravcu).
Vektor −→c je:
linearno zavisan od −→a i−→b (−→c = α−→a + β
−→b )
ako i samo ako −→c lezi
u istoj ravnini kao vektori −→a i−→b .
linearno nezavistan od −→a i−→b (−→c 6= α−→a + β
−→b ) ako i samo ako −→c
ne lezi u istoj ravnini kao vektori −→a i−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 69 / 72
![Page 777: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/777.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka su −→a i−→b linearno nezavisni vektori (tj. ne leze na istom pravcu).
Vektor −→c je:
linearno zavisan od −→a i−→b (−→c = α−→a + β
−→b ) ako i samo ako −→c lezi
u istoj ravnini kao vektori −→a i−→b .
linearno nezavistan od −→a i−→b (−→c 6= α−→a + β
−→b ) ako i samo ako −→c
ne lezi u istoj ravnini kao vektori −→a i−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 69 / 72
![Page 778: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/778.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka su −→a i−→b linearno nezavisni vektori (tj. ne leze na istom pravcu).
Vektor −→c je:
linearno zavisan od −→a i−→b (−→c = α−→a + β
−→b ) ako i samo ako −→c lezi
u istoj ravnini kao vektori −→a i−→b .
linearno nezavistan od −→a i−→b (−→c 6= α−→a + β
−→b )
ako i samo ako −→cne lezi u istoj ravnini kao vektori −→a i
−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 69 / 72
![Page 779: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/779.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka su −→a i−→b linearno nezavisni vektori (tj. ne leze na istom pravcu).
Vektor −→c je:
linearno zavisan od −→a i−→b (−→c = α−→a + β
−→b ) ako i samo ako −→c lezi
u istoj ravnini kao vektori −→a i−→b .
linearno nezavistan od −→a i−→b (−→c 6= α−→a + β
−→b ) ako i samo ako −→c
ne lezi u istoj ravnini kao vektori −→a i−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 69 / 72
![Page 780: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/780.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka su −→a i−→b linearno nezavisni vektori (tj. ne leze na istom pravcu).
Vektor −→c je:
linearno zavisan od −→a i−→b (−→c = α−→a + β
−→b ) ako i samo ako −→c lezi
u istoj ravnini kao vektori −→a i−→b .
linearno nezavistan od −→a i−→b (−→c 6= α−→a + β
−→b ) ako i samo ako −→c
ne lezi u istoj ravnini kao vektori −→a i−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 69 / 72
![Page 781: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/781.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka su −→a i−→b linearno nezavisni vektori (tj. ne leze na istom pravcu).
Vektor −→c je:
linearno zavisan od −→a i−→b (−→c = α−→a + β
−→b ) ako i samo ako −→c lezi
u istoj ravnini kao vektori −→a i−→b .
linearno nezavistan od −→a i−→b (−→c 6= α−→a + β
−→b ) ako i samo ako −→c
ne lezi u istoj ravnini kao vektori −→a i−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 69 / 72
![Page 782: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/782.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka su −→a i−→b linearno nezavisni vektori (tj. ne leze na istom pravcu).
Vektor −→c je:
linearno zavisan od −→a i−→b (−→c = α−→a + β
−→b ) ako i samo ako −→c lezi
u istoj ravnini kao vektori −→a i−→b .
linearno nezavistan od −→a i−→b (−→c 6= α−→a + β
−→b ) ako i samo ako −→c
ne lezi u istoj ravnini kao vektori −→a i−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 69 / 72
![Page 783: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/783.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka su −→a i−→b linearno nezavisni vektori (tj. ne leze na istom pravcu).
Vektor −→c je:
linearno zavisan od −→a i−→b (−→c = α−→a + β
−→b ) ako i samo ako −→c lezi
u istoj ravnini kao vektori −→a i−→b .
linearno nezavistan od −→a i−→b (−→c 6= α−→a + β
−→b ) ako i samo ako −→c
ne lezi u istoj ravnini kao vektori −→a i−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 69 / 72
![Page 784: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/784.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka su −→a i−→b linearno nezavisni vektori (tj. ne leze na istom pravcu).
Vektor −→c je:
linearno zavisan od −→a i−→b (−→c = α−→a + β
−→b ) ako i samo ako −→c lezi
u istoj ravnini kao vektori −→a i−→b .
linearno nezavistan od −→a i−→b (−→c 6= α−→a + β
−→b ) ako i samo ako −→c
ne lezi u istoj ravnini kao vektori −→a i−→b .
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 69 / 72
![Page 785: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/785.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka su −→a , −→b i −→c linearno nezavisni vektori
(tj. ne leze u istoj ravnini).Svaki vektor
−→d ∈ V 3 je zavisan od vektora −→a , −→b i −→c
(−→d = α−→a + β
−→b + γ−→c ).
Kazemo da skup od tri linearno nezavisna vektora tvori bazu prostora V 3.Broj elemenata u bazi naziva se dimenzija prostora.
Dakle, za prostor V 3 vrijedi:
postoji mnoštvo razlicitih baza prostora V 3,
sve baze prostora V 3 imaju 3 elementa,
standardno se za bazu uzima skup {~i ,~j ,~k},dimenzija prostora V 3 je 3.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 70 / 72
![Page 786: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/786.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka su −→a , −→b i −→c linearno nezavisni vektori (tj. ne leze u istoj ravnini).
Svaki vektor−→d ∈ V 3 je zavisan od vektora −→a , −→b i −→c
(−→d = α−→a + β
−→b + γ−→c ).
Kazemo da skup od tri linearno nezavisna vektora tvori bazu prostora V 3.Broj elemenata u bazi naziva se dimenzija prostora.
Dakle, za prostor V 3 vrijedi:
postoji mnoštvo razlicitih baza prostora V 3,
sve baze prostora V 3 imaju 3 elementa,
standardno se za bazu uzima skup {~i ,~j ,~k},dimenzija prostora V 3 je 3.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 70 / 72
![Page 787: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/787.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka su −→a , −→b i −→c linearno nezavisni vektori (tj. ne leze u istoj ravnini).Svaki vektor
−→d ∈ V 3 je zavisan od vektora −→a , −→b i −→c
(−→d = α−→a + β
−→b + γ−→c ).
Kazemo da skup od tri linearno nezavisna vektora tvori bazu prostora V 3.Broj elemenata u bazi naziva se dimenzija prostora.
Dakle, za prostor V 3 vrijedi:
postoji mnoštvo razlicitih baza prostora V 3,
sve baze prostora V 3 imaju 3 elementa,
standardno se za bazu uzima skup {~i ,~j ,~k},dimenzija prostora V 3 je 3.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 70 / 72
![Page 788: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/788.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka su −→a , −→b i −→c linearno nezavisni vektori (tj. ne leze u istoj ravnini).Svaki vektor
−→d ∈ V 3 je zavisan od vektora −→a , −→b i −→c
(−→d = α−→a + β
−→b + γ−→c ).
Kazemo da skup od tri linearno nezavisna vektora tvori bazu prostora V 3.Broj elemenata u bazi naziva se dimenzija prostora.
Dakle, za prostor V 3 vrijedi:
postoji mnoštvo razlicitih baza prostora V 3,
sve baze prostora V 3 imaju 3 elementa,
standardno se za bazu uzima skup {~i ,~j ,~k},dimenzija prostora V 3 je 3.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 70 / 72
![Page 789: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/789.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka su −→a , −→b i −→c linearno nezavisni vektori (tj. ne leze u istoj ravnini).Svaki vektor
−→d ∈ V 3 je zavisan od vektora −→a , −→b i −→c
(−→d = α−→a + β
−→b + γ−→c ).
Kazemo da skup od tri linearno nezavisna vektora tvori bazu prostora V 3.
Broj elemenata u bazi naziva se dimenzija prostora.
Dakle, za prostor V 3 vrijedi:
postoji mnoštvo razlicitih baza prostora V 3,
sve baze prostora V 3 imaju 3 elementa,
standardno se za bazu uzima skup {~i ,~j ,~k},dimenzija prostora V 3 je 3.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 70 / 72
![Page 790: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/790.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka su −→a , −→b i −→c linearno nezavisni vektori (tj. ne leze u istoj ravnini).Svaki vektor
−→d ∈ V 3 je zavisan od vektora −→a , −→b i −→c
(−→d = α−→a + β
−→b + γ−→c ).
Kazemo da skup od tri linearno nezavisna vektora tvori bazu prostora V 3.Broj elemenata u bazi naziva se dimenzija prostora.
Dakle, za prostor V 3 vrijedi:
postoji mnoštvo razlicitih baza prostora V 3,
sve baze prostora V 3 imaju 3 elementa,
standardno se za bazu uzima skup {~i ,~j ,~k},dimenzija prostora V 3 je 3.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 70 / 72
![Page 791: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/791.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka su −→a , −→b i −→c linearno nezavisni vektori (tj. ne leze u istoj ravnini).Svaki vektor
−→d ∈ V 3 je zavisan od vektora −→a , −→b i −→c
(−→d = α−→a + β
−→b + γ−→c ).
Kazemo da skup od tri linearno nezavisna vektora tvori bazu prostora V 3.Broj elemenata u bazi naziva se dimenzija prostora.
Dakle, za prostor V 3 vrijedi:
postoji mnoštvo razlicitih baza prostora V 3,
sve baze prostora V 3 imaju 3 elementa,
standardno se za bazu uzima skup {~i ,~j ,~k},dimenzija prostora V 3 je 3.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 70 / 72
![Page 792: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/792.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka su −→a , −→b i −→c linearno nezavisni vektori (tj. ne leze u istoj ravnini).Svaki vektor
−→d ∈ V 3 je zavisan od vektora −→a , −→b i −→c
(−→d = α−→a + β
−→b + γ−→c ).
Kazemo da skup od tri linearno nezavisna vektora tvori bazu prostora V 3.Broj elemenata u bazi naziva se dimenzija prostora.
Dakle, za prostor V 3 vrijedi:
postoji mnoštvo razlicitih baza prostora V 3,
sve baze prostora V 3 imaju 3 elementa,
standardno se za bazu uzima skup {~i ,~j ,~k},dimenzija prostora V 3 je 3.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 70 / 72
![Page 793: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/793.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka su −→a , −→b i −→c linearno nezavisni vektori (tj. ne leze u istoj ravnini).Svaki vektor
−→d ∈ V 3 je zavisan od vektora −→a , −→b i −→c
(−→d = α−→a + β
−→b + γ−→c ).
Kazemo da skup od tri linearno nezavisna vektora tvori bazu prostora V 3.Broj elemenata u bazi naziva se dimenzija prostora.
Dakle, za prostor V 3 vrijedi:
postoji mnoštvo razlicitih baza prostora V 3,
sve baze prostora V 3 imaju 3 elementa,
standardno se za bazu uzima skup {~i ,~j ,~k},dimenzija prostora V 3 je 3.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 70 / 72
![Page 794: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/794.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka su −→a , −→b i −→c linearno nezavisni vektori (tj. ne leze u istoj ravnini).Svaki vektor
−→d ∈ V 3 je zavisan od vektora −→a , −→b i −→c
(−→d = α−→a + β
−→b + γ−→c ).
Kazemo da skup od tri linearno nezavisna vektora tvori bazu prostora V 3.Broj elemenata u bazi naziva se dimenzija prostora.
Dakle, za prostor V 3 vrijedi:
postoji mnoštvo razlicitih baza prostora V 3,
sve baze prostora V 3 imaju 3 elementa,
standardno se za bazu uzima skup {~i ,~j ,~k},
dimenzija prostora V 3 je 3.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 70 / 72
![Page 795: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/795.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Neka su −→a , −→b i −→c linearno nezavisni vektori (tj. ne leze u istoj ravnini).Svaki vektor
−→d ∈ V 3 je zavisan od vektora −→a , −→b i −→c
(−→d = α−→a + β
−→b + γ−→c ).
Kazemo da skup od tri linearno nezavisna vektora tvori bazu prostora V 3.Broj elemenata u bazi naziva se dimenzija prostora.
Dakle, za prostor V 3 vrijedi:
postoji mnoštvo razlicitih baza prostora V 3,
sve baze prostora V 3 imaju 3 elementa,
standardno se za bazu uzima skup {~i ,~j ,~k},dimenzija prostora V 3 je 3.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 70 / 72
![Page 796: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/796.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak.
Zadan je vektor −→a =~i + 3~j − 2~k. Odredi vektor −→b tako da je:a)−→b linearno zavisan od vektora −→a , b) −→b linearno nezavisan od vektora
−→a .Rješenje. a) Vrijedi
−→b = 3−→a = 3~i + 9~j − 6~k.
b) Vrijedi −→b =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 71 / 72
![Page 797: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/797.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadan je vektor −→a =~i + 3~j − 2~k.
Odredi vektor−→b tako da je:
a)−→b linearno zavisan od vektora −→a , b) −→b linearno nezavisan od vektora
−→a .Rješenje. a) Vrijedi
−→b = 3−→a = 3~i + 9~j − 6~k.
b) Vrijedi −→b =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 71 / 72
![Page 798: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/798.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadan je vektor −→a =~i + 3~j − 2~k. Odredi vektor −→b tako da je:
a)−→b linearno zavisan od vektora −→a , b) −→b linearno nezavisan od vektora
−→a .Rješenje. a) Vrijedi
−→b = 3−→a = 3~i + 9~j − 6~k.
b) Vrijedi −→b =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 71 / 72
![Page 799: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/799.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadan je vektor −→a =~i + 3~j − 2~k. Odredi vektor −→b tako da je:a)−→b linearno zavisan od vektora −→a ,
b)−→b linearno nezavisan od vektora
−→a .Rješenje. a) Vrijedi
−→b = 3−→a = 3~i + 9~j − 6~k.
b) Vrijedi −→b =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 71 / 72
![Page 800: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/800.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadan je vektor −→a =~i + 3~j − 2~k. Odredi vektor −→b tako da je:a)−→b linearno zavisan od vektora −→a , b) −→b linearno nezavisan od vektora
−→a .
Rješenje. a) Vrijedi
−→b = 3−→a = 3~i + 9~j − 6~k.
b) Vrijedi −→b =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 71 / 72
![Page 801: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/801.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadan je vektor −→a =~i + 3~j − 2~k. Odredi vektor −→b tako da je:a)−→b linearno zavisan od vektora −→a , b) −→b linearno nezavisan od vektora
−→a .Rješenje.
a) Vrijedi
−→b = 3−→a = 3~i + 9~j − 6~k.
b) Vrijedi −→b =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 71 / 72
![Page 802: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/802.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadan je vektor −→a =~i + 3~j − 2~k. Odredi vektor −→b tako da je:a)−→b linearno zavisan od vektora −→a , b) −→b linearno nezavisan od vektora
−→a .Rješenje. a)
Vrijedi
−→b = 3−→a = 3~i + 9~j − 6~k.
b) Vrijedi −→b =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 71 / 72
![Page 803: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/803.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadan je vektor −→a =~i + 3~j − 2~k. Odredi vektor −→b tako da je:a)−→b linearno zavisan od vektora −→a , b) −→b linearno nezavisan od vektora
−→a .Rješenje. a) Vrijedi
−→b =
3−→a = 3~i + 9~j − 6~k.
b) Vrijedi −→b =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 71 / 72
![Page 804: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/804.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadan je vektor −→a =~i + 3~j − 2~k. Odredi vektor −→b tako da je:a)−→b linearno zavisan od vektora −→a , b) −→b linearno nezavisan od vektora
−→a .Rješenje. a) Vrijedi
−→b = 3−→a =
3~i + 9~j − 6~k.
b) Vrijedi −→b =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 71 / 72
![Page 805: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/805.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadan je vektor −→a =~i + 3~j − 2~k. Odredi vektor −→b tako da je:a)−→b linearno zavisan od vektora −→a , b) −→b linearno nezavisan od vektora
−→a .Rješenje. a) Vrijedi
−→b = 3−→a = 3~i + 9~j − 6~k.
b) Vrijedi −→b =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 71 / 72
![Page 806: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/806.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadan je vektor −→a =~i + 3~j − 2~k. Odredi vektor −→b tako da je:a)−→b linearno zavisan od vektora −→a , b) −→b linearno nezavisan od vektora
−→a .Rješenje. a) Vrijedi
−→b = 3−→a = 3~i + 9~j − 6~k.
b)
Vrijedi −→b =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 71 / 72
![Page 807: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/807.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadan je vektor −→a =~i + 3~j − 2~k. Odredi vektor −→b tako da je:a)−→b linearno zavisan od vektora −→a , b) −→b linearno nezavisan od vektora
−→a .Rješenje. a) Vrijedi
−→b = 3−→a = 3~i + 9~j − 6~k.
b) Vrijedi −→b =
~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 71 / 72
![Page 808: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/808.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadan je vektor −→a =~i + 3~j − 2~k. Odredi vektor −→b tako da je:a)−→b linearno zavisan od vektora −→a , b) −→b linearno nezavisan od vektora
−→a .Rješenje. a) Vrijedi
−→b = 3−→a = 3~i + 9~j − 6~k.
b) Vrijedi −→b =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 71 / 72
![Page 809: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/809.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak.
Zadani su vektori −→a = 2~i + 3~k i −→b = 2~i − 4~k. Jesu li vektori−→a i−→b linearno zavisni? Odredi vektor −→c tako da je: a) vektor −→c
linearno zavisan od vektora −→a i−→b , b) vektor −→c linearno nezavisan od
vektora −→a i−→b .
Rješenje. Vektori −→a i−→b nisu linearno zavisni, jer im koeficijenti nisu
proporcionalni.
a) Vrijedi
−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.
b) Uocimo da −→a i−→b leze u xz koordinatnoj ravnini. Dovoljno je uzeti
−→c =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 72 / 72
![Page 810: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/810.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori −→a = 2~i + 3~k i −→b = 2~i − 4~k.
Jesu li vektori−→a i−→b linearno zavisni? Odredi vektor −→c tako da je: a) vektor −→c
linearno zavisan od vektora −→a i−→b , b) vektor −→c linearno nezavisan od
vektora −→a i−→b .
Rješenje. Vektori −→a i−→b nisu linearno zavisni, jer im koeficijenti nisu
proporcionalni.
a) Vrijedi
−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.
b) Uocimo da −→a i−→b leze u xz koordinatnoj ravnini. Dovoljno je uzeti
−→c =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 72 / 72
![Page 811: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/811.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori −→a = 2~i + 3~k i −→b = 2~i − 4~k. Jesu li vektori−→a i−→b linearno zavisni?
Odredi vektor −→c tako da je: a) vektor −→clinearno zavisan od vektora −→a i
−→b , b) vektor −→c linearno nezavisan od
vektora −→a i−→b .
Rješenje. Vektori −→a i−→b nisu linearno zavisni, jer im koeficijenti nisu
proporcionalni.
a) Vrijedi
−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.
b) Uocimo da −→a i−→b leze u xz koordinatnoj ravnini. Dovoljno je uzeti
−→c =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 72 / 72
![Page 812: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/812.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori −→a = 2~i + 3~k i −→b = 2~i − 4~k. Jesu li vektori−→a i−→b linearno zavisni? Odredi vektor −→c tako da je:
a) vektor −→clinearno zavisan od vektora −→a i
−→b , b) vektor −→c linearno nezavisan od
vektora −→a i−→b .
Rješenje. Vektori −→a i−→b nisu linearno zavisni, jer im koeficijenti nisu
proporcionalni.
a) Vrijedi
−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.
b) Uocimo da −→a i−→b leze u xz koordinatnoj ravnini. Dovoljno je uzeti
−→c =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 72 / 72
![Page 813: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/813.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori −→a = 2~i + 3~k i −→b = 2~i − 4~k. Jesu li vektori−→a i−→b linearno zavisni? Odredi vektor −→c tako da je: a) vektor −→c
linearno zavisan od vektora −→a i−→b ,
b) vektor −→c linearno nezavisan odvektora −→a i
−→b .
Rješenje. Vektori −→a i−→b nisu linearno zavisni, jer im koeficijenti nisu
proporcionalni.
a) Vrijedi
−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.
b) Uocimo da −→a i−→b leze u xz koordinatnoj ravnini. Dovoljno je uzeti
−→c =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 72 / 72
![Page 814: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/814.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori −→a = 2~i + 3~k i −→b = 2~i − 4~k. Jesu li vektori−→a i−→b linearno zavisni? Odredi vektor −→c tako da je: a) vektor −→c
linearno zavisan od vektora −→a i−→b , b) vektor −→c linearno nezavisan od
vektora −→a i−→b .
Rješenje. Vektori −→a i−→b nisu linearno zavisni, jer im koeficijenti nisu
proporcionalni.
a) Vrijedi
−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.
b) Uocimo da −→a i−→b leze u xz koordinatnoj ravnini. Dovoljno je uzeti
−→c =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 72 / 72
![Page 815: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/815.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori −→a = 2~i + 3~k i −→b = 2~i − 4~k. Jesu li vektori−→a i−→b linearno zavisni? Odredi vektor −→c tako da je: a) vektor −→c
linearno zavisan od vektora −→a i−→b , b) vektor −→c linearno nezavisan od
vektora −→a i−→b .
Rješenje.
Vektori −→a i−→b nisu linearno zavisni, jer im koeficijenti nisu
proporcionalni.
a) Vrijedi
−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.
b) Uocimo da −→a i−→b leze u xz koordinatnoj ravnini. Dovoljno je uzeti
−→c =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 72 / 72
![Page 816: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/816.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori −→a = 2~i + 3~k i −→b = 2~i − 4~k. Jesu li vektori−→a i−→b linearno zavisni? Odredi vektor −→c tako da je: a) vektor −→c
linearno zavisan od vektora −→a i−→b , b) vektor −→c linearno nezavisan od
vektora −→a i−→b .
Rješenje. Vektori −→a i−→b nisu linearno zavisni,
jer im koeficijenti nisuproporcionalni.
a) Vrijedi
−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.
b) Uocimo da −→a i−→b leze u xz koordinatnoj ravnini. Dovoljno je uzeti
−→c =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 72 / 72
![Page 817: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/817.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori −→a = 2~i + 3~k i −→b = 2~i − 4~k. Jesu li vektori−→a i−→b linearno zavisni? Odredi vektor −→c tako da je: a) vektor −→c
linearno zavisan od vektora −→a i−→b , b) vektor −→c linearno nezavisan od
vektora −→a i−→b .
Rješenje. Vektori −→a i−→b nisu linearno zavisni, jer im koeficijenti nisu
proporcionalni.
a) Vrijedi
−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.
b) Uocimo da −→a i−→b leze u xz koordinatnoj ravnini. Dovoljno je uzeti
−→c =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 72 / 72
![Page 818: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/818.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori −→a = 2~i + 3~k i −→b = 2~i − 4~k. Jesu li vektori−→a i−→b linearno zavisni? Odredi vektor −→c tako da je: a) vektor −→c
linearno zavisan od vektora −→a i−→b , b) vektor −→c linearno nezavisan od
vektora −→a i−→b .
Rješenje. Vektori −→a i−→b nisu linearno zavisni, jer im koeficijenti nisu
proporcionalni.
a)
Vrijedi
−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.
b) Uocimo da −→a i−→b leze u xz koordinatnoj ravnini. Dovoljno je uzeti
−→c =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 72 / 72
![Page 819: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/819.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori −→a = 2~i + 3~k i −→b = 2~i − 4~k. Jesu li vektori−→a i−→b linearno zavisni? Odredi vektor −→c tako da je: a) vektor −→c
linearno zavisan od vektora −→a i−→b , b) vektor −→c linearno nezavisan od
vektora −→a i−→b .
Rješenje. Vektori −→a i−→b nisu linearno zavisni, jer im koeficijenti nisu
proporcionalni.
a) Vrijedi
−→c =
2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.
b) Uocimo da −→a i−→b leze u xz koordinatnoj ravnini. Dovoljno je uzeti
−→c =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 72 / 72
![Page 820: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/820.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori −→a = 2~i + 3~k i −→b = 2~i − 4~k. Jesu li vektori−→a i−→b linearno zavisni? Odredi vektor −→c tako da je: a) vektor −→c
linearno zavisan od vektora −→a i−→b , b) vektor −→c linearno nezavisan od
vektora −→a i−→b .
Rješenje. Vektori −→a i−→b nisu linearno zavisni, jer im koeficijenti nisu
proporcionalni.
a) Vrijedi
−→c = 2−→a −−→b =
2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.
b) Uocimo da −→a i−→b leze u xz koordinatnoj ravnini. Dovoljno je uzeti
−→c =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 72 / 72
![Page 821: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/821.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori −→a = 2~i + 3~k i −→b = 2~i − 4~k. Jesu li vektori−→a i−→b linearno zavisni? Odredi vektor −→c tako da je: a) vektor −→c
linearno zavisan od vektora −→a i−→b , b) vektor −→c linearno nezavisan od
vektora −→a i−→b .
Rješenje. Vektori −→a i−→b nisu linearno zavisni, jer im koeficijenti nisu
proporcionalni.
a) Vrijedi
−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) =
2~i + 10~k.
b) Uocimo da −→a i−→b leze u xz koordinatnoj ravnini. Dovoljno je uzeti
−→c =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 72 / 72
![Page 822: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/822.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori −→a = 2~i + 3~k i −→b = 2~i − 4~k. Jesu li vektori−→a i−→b linearno zavisni? Odredi vektor −→c tako da je: a) vektor −→c
linearno zavisan od vektora −→a i−→b , b) vektor −→c linearno nezavisan od
vektora −→a i−→b .
Rješenje. Vektori −→a i−→b nisu linearno zavisni, jer im koeficijenti nisu
proporcionalni.
a) Vrijedi
−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.
b) Uocimo da −→a i−→b leze u xz koordinatnoj ravnini. Dovoljno je uzeti
−→c =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 72 / 72
![Page 823: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/823.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori −→a = 2~i + 3~k i −→b = 2~i − 4~k. Jesu li vektori−→a i−→b linearno zavisni? Odredi vektor −→c tako da je: a) vektor −→c
linearno zavisan od vektora −→a i−→b , b) vektor −→c linearno nezavisan od
vektora −→a i−→b .
Rješenje. Vektori −→a i−→b nisu linearno zavisni, jer im koeficijenti nisu
proporcionalni.
a) Vrijedi
−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.
b)
Uocimo da −→a i−→b leze u xz koordinatnoj ravnini. Dovoljno je uzeti
−→c =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 72 / 72
![Page 824: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/824.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori −→a = 2~i + 3~k i −→b = 2~i − 4~k. Jesu li vektori−→a i−→b linearno zavisni? Odredi vektor −→c tako da je: a) vektor −→c
linearno zavisan od vektora −→a i−→b , b) vektor −→c linearno nezavisan od
vektora −→a i−→b .
Rješenje. Vektori −→a i−→b nisu linearno zavisni, jer im koeficijenti nisu
proporcionalni.
a) Vrijedi
−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.
b) Uocimo da −→a i−→b leze u
xz koordinatnoj ravnini. Dovoljno je uzeti
−→c =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 72 / 72
![Page 825: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/825.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori −→a = 2~i + 3~k i −→b = 2~i − 4~k. Jesu li vektori−→a i−→b linearno zavisni? Odredi vektor −→c tako da je: a) vektor −→c
linearno zavisan od vektora −→a i−→b , b) vektor −→c linearno nezavisan od
vektora −→a i−→b .
Rješenje. Vektori −→a i−→b nisu linearno zavisni, jer im koeficijenti nisu
proporcionalni.
a) Vrijedi
−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.
b) Uocimo da −→a i−→b leze u xz koordinatnoj ravnini.
Dovoljno je uzeti
−→c =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 72 / 72
![Page 826: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/826.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori −→a = 2~i + 3~k i −→b = 2~i − 4~k. Jesu li vektori−→a i−→b linearno zavisni? Odredi vektor −→c tako da je: a) vektor −→c
linearno zavisan od vektora −→a i−→b , b) vektor −→c linearno nezavisan od
vektora −→a i−→b .
Rješenje. Vektori −→a i−→b nisu linearno zavisni, jer im koeficijenti nisu
proporcionalni.
a) Vrijedi
−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.
b) Uocimo da −→a i−→b leze u xz koordinatnoj ravnini. Dovoljno je uzeti
−→c =
~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 72 / 72
![Page 827: Vektori - unist.hrgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG...Osnovni pojmovi O ravnini i prostoru: dvodimenzionalni euklidski prostor (tj. ravninu) oznaµcavat ·cemo](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062914/5e59ec266b0a2e03a36136f3/html5/thumbnails/827.jpg)
Linearna (ne)zavisnost vektora
Zadatak. Zadani su vektori −→a = 2~i + 3~k i −→b = 2~i − 4~k. Jesu li vektori−→a i−→b linearno zavisni? Odredi vektor −→c tako da je: a) vektor −→c
linearno zavisan od vektora −→a i−→b , b) vektor −→c linearno nezavisan od
vektora −→a i−→b .
Rješenje. Vektori −→a i−→b nisu linearno zavisni, jer im koeficijenti nisu
proporcionalni.
a) Vrijedi
−→c = 2−→a −−→b = 2(2~i + 3~k)− (2~i − 4~k) = 2~i + 10~k.
b) Uocimo da −→a i−→b leze u xz koordinatnoj ravnini. Dovoljno je uzeti
−→c =~i + 3~j + 4~k.
Jelena Sedlar (FGAG) Vektori 72 / 72