Vektor i

www.elektronetf.org Буди спреман 2015

1 -Студентска организација ЕЛЕКТРОН-

Материјал Студентске организације Електрон

ТРЕЋА ГЛАВА

Вектори и векторски простори Припремио Александар Филиповић



I Вектори у равни

1. ПОЈАМ ВЕКТОРА

Дефиниција 1. Вектори су, најједноставније речено, усмерене дужи које одликују следеће особине:

1. Правац

2. Смер

3. Интензитет

4. Почетак и крај

Правац вектора је права на којој се вектор налази. (права р на слици)

Смер вектора се задаје стрелицом.

А је почетак, В је крај вектора (на слици).Обележава се АВ��⃗ = ā.

Интензитет неког вектора ā је његова дужина. Најчешће се означава са |ā|.

Дефиниција 2. Вектори се задају у простору са: а�⃗ = а1*𝚤𝚤 +a2*𝚥𝚥 + a3*𝑘𝑘�⃗ , а у равни са а�⃗ = а1*𝚤𝚤 +a2*𝚥𝚥, што се најчешће записује као а�⃗ =(а1,а2,а3)

𝚤𝚤, 𝚥𝚥 и 𝑘𝑘�⃗ су јединични вектори x, y и z осе, чији су интензитети једнаки 1.

2. САБИРАЊЕ, ОДУЗИМАЊЕ И РАЗЛАГАЊЕ ВЕКТОРА

Дефиниција 3. Вектори се могу сабирати на 2 начина: правилом паралелограма и правилом полигона (надовезивања). Поступак одузимања вектора је сличан поступку сабирања, само се, уместо вектора �⃗�𝑎, на вектор b�⃗ надовезује вектор -�⃗�𝑎 (супротан вектор вектору �⃗�𝑎).

Пример 1. Правило паралелограма

Нека су дати вектори 𝑏𝑏�⃗ и а�⃗ . Треба одредити векторски збир ова два вектора тј. вектор с⃗ за који важи с ��⃗ = 𝑏𝑏�⃗ + а�⃗ . Векторе 𝑏𝑏�⃗ и а�⃗ доводимо на заједнички почетак паралелним померањем, а онда над њима формирамо паралелограм. Дијагонала паралелограма која полази из заједничког почетка за векторе представља вектор с⃗.

А

В

р



Пример 2. Правило полигона

Ако одређујемо збир 2 или више вектора, правилом полигона се то ради на следећи начин: почетак другог вектора доводи се паралелним померањем на крај првог, почетак трећег вектора доводи се паралелним померањем на крај другог итд. Резултанти вектор (збир свих ових вектора) је вектор који спаја почетак првог и крај последњег вектора.

𝑏𝑏�⃗ а�⃗

а�⃗

с⃗

𝑏𝑏�⃗

�⃗�𝑎 𝑏𝑏�⃗

𝑐𝑐 𝑑𝑑

�⃗�𝑎

�⃗�𝑎 + 𝑏𝑏�⃗ + 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 = 𝑒𝑒

𝑏𝑏�⃗

𝑐𝑐

𝑑𝑑 𝑒𝑒



Дефиниција 4. Сваки вектор а�⃗ се може разложити на компоненте нпр. дуж координатних оса.

Пример 3: Разлагање силе на компоненте

Нека на тело делује сила F под одређеним углом. Ако се у анализи проблема посматра шта се дешава дуж х и дуж у осе, потребно је вектор силе разложити на компоненте.

Замислимо да се координатни почетак и нападна тачка (почетак вектора 𝐹𝐹) поклапају. Вектор �⃗�𝐹 се разлаже на компоненте 𝐹𝐹𝐹𝐹��⃗ и 𝐹𝐹𝐹𝐹��⃗ тако да компонента 𝐹𝐹𝐹𝐹��⃗ има правац х осе, а компонента 𝐹𝐹𝐹𝐹��⃗ правац у осе и да је �⃗�𝐹 њихов векторски збир.

Остали проблеми у којима може бити потребно разлагати вектор на компоненте су: Коси хитац, Кретање дуж стрме равни, Математичко и физичко клатно, разни проблеми динамике итд.

Пример 4: Примена вектора (и извода) на конкретан проблем

�⃗�𝐹

х

у

𝐹𝐹𝐹𝐹��⃗

𝐹𝐹𝐹𝐹��⃗



α

Fsin α

mg

F

Fcos α

N

Ftr

N + Fsinα = mg

Ftr = µN, Ftr = Fcosα

µ(mg - Fsinα) = Fcosα

- µFsinα + µmg = Fcosα

µFsinα + Fcosα = µmg

F(µsinα + cosα) = µmg

F = µmg

µsinα+ cosα

Да бисмо одредили екстремум (нећемо проверавати природу екстремума), потребно нам је да одредимо први извод од F по α и да га изједначимо са 0.

F’ = −µmg(µcosα− sinα)

(µsinα+ cosα)2 = 0

=> µcosα − sinα = 0 => tgα = µ => α = arctg(µ)

Природа екстремума се проверава помоћу другог извода, за одређену вредност угла α. Показује се да је тај екстремум минимум.



II Вектори и векторски простори

1. ВЕКТОРИ У Rn

Дефиниција 5. Вектори у Rn се задају као уређене n-торке.

Пример 5: Задавање вектора у Rn

x = (x1,x2,x3…xn) – вектор х у Rn

Дефиниција 6. Вектори у Rn се сабирају тако што се саберу одговарајући чланови уређених n-торки.

Вектори у Rn се множе скаларом (бројем) тако што се сваки члан n-торке помножи тим бројем.

Пример 6: Сабирање вектора у R5

* x = (1, 5, -4, 3, 2), y = (2, 6, 3, 1, 5), z = x + y = (3, 11, -1, 4, 7)

* a = (4, 3, 1, 0, 2), b = (1, 5, 7, 8, 9), c = (5, 8, 8, 8, 11), d = a + b + c = (10, 16, 16, 16, 22)

- Приметимо да су сабирања вектора путем координата (рецимо у R2) и правилом паралелограма (или полигона) еквивалентна:

�⃗�𝑎

𝑏𝑏�⃗

𝑐𝑐

2

1 4

1

5

3

х

у

Ако саберемо векторе a�⃗ (a�⃗ = (1,2)) и b�⃗ (b�⃗ = (4,1)) графичким сабирањем (правилом паралелограма или полигона), добијамо вектор c⃗ (c⃗ = (5,3)).

Ако саберемо ове векторе по правилима изложеним до сада (сабирање у векторском простору), добијамо вектор 𝑑𝑑 ∶

𝑑𝑑 = 𝑎𝑎��⃗ + 𝑏𝑏��⃗ = (1,2) + (4,1) = (1+4,2+1) = (5,3) . Очигледно, вектори 𝑑𝑑 и 𝑐𝑐�⃗ су исти.



Пример 7: Множење вектора скаларом у R4

* x = (2, 3, -6. 0) => 5*x = (10, 15, -30, 0)

* y = (-1. 3, 7, -9) => (-2)*y = (2, -6, -14, 18)

Домаћи: Израчунати:

* a = (1, 2, 3, 4), b = (2,7,8,9); c= 3*a – 2*b

Дефиниција 7. Интензитет (норма, дужина) вектора х у Rn који је дат са x = (x1,x2,x3…xn) је израз дат са |x| = √𝐹𝐹12 + 𝐹𝐹22 + ⋯+ 𝐹𝐹𝑛𝑛2.

Пример 8: Рачунање интензитета вектора у R4

* x = (1, 1, 1, 1) => |x| = √12 + 12 + 12 + 12 = 2


* a = (2, 3, 5, 4), |a|=?

* b = (3, 0, 5, 6), c = (2, 4, 5, 1), |b+c|?

Дефиниција 8. Нека су х и у вектори у Rn дати са x = (x1,x2…xn) и у = (у1,у2...уn). Тада се израз <x,у> = х ° у = ∑ 𝐹𝐹𝑥𝑥 ∗ 𝐹𝐹𝑥𝑥𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 назива скаларни производ вектора х и у. Резултат скаларног производа је број.

Пример 9: Рачунање скаларног производа вектора у R4

* x = (2, 3, 4, 5), y = (1, 3, 4, 2) => x°y= 2*1 + 3*3 + 4*4 + 5*2 = 2 + 9 + 16 + 10 = 37

* a = (-1, 3, 2, 7), b = (-2, 5, 6, -10) => a°b = 2 + 15 + 12 – 70 = -41


* x = (3, 2, 4, 3), y = (1, 2, 6, 6) => x°y=?

* a = (0, 1, 6, 7), b = (9, 0, 2, 3) => |a°b|=?

* a = (2, 3, 4, 5), b = (2, 0, 7, -1), c = (3, 4, 9, -2) => (a°b)*c=? a*(b°c)=?

Дефиниција 9. Нека су х и у вектори у Rn дати са x = (x1,x2…xn) и у = (у1,у2...уn). Растојање између вектора х и у се рачуна по формули: d = �∑ (𝐹𝐹𝑥𝑥 − 𝐹𝐹𝑥𝑥)2𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 .



Пример 10: Рачунање растојања вектора у R4

* x= (1, 2, -4, 3), y = (-1, 2, -8, 7) => d = ��1 − (−1)�2 + (2 − 2)2 + (−4 − (−8))2 + (3 − 7)2 =

√4 + 0 + 16 + 16 = 6.

Домаћи: Израчунати растојање вектора:

* x = (2, 3, 8, -9), y = (2, 0, 4, -9)

Дефиниција 10. Нека су х и у вектори у Rn дати са x = (x1,x2…xn) и у = (у1,у2...уn). Угао

између вектора х и у се рачуна по формули cos(α) = <𝑥𝑥,𝑦𝑦>|𝑥𝑥|∗|𝑦𝑦|

.

Пример 11: Рачунање угла између вектора у R2

* x = (1, 1), y = (1,-1) => cos(α) = 0/2 = 0 => α=90˚

<x,y> = 1*1 – 1*1 = 0

|x| = √2, |y| = √2

Домаћи: Одреди угао између вектора:

* х = (1/2,0), y=(2,2)

Дефиниција 11. Нека су х и у вектори у Rn дати са x = (x1,x2…xn) и у = (у1,у2...уn). Њихов скаларни производ једнак је х°у = |x|*|y|*cos(α), при чему је α угао између вектора х и у.

Пример 12: Рачунање скаларног производа између вектора ако је познат угао између њих

* x= (8,0), y = (1,1), α = 45° => x°y=8 * √2 * cos(45°) = 8

Tеорема 1. Нека су х и у вектори у Rn дати са x = (x1,x2…xn) и у = (у1,у2...уn). Ако је скаларни производ вектора х и у једнак 0, вектори су ортогонални (угао између вектора је прав).

Доказ

х°у = |x|*|y|*cos(α) = 0 => cos(α) = 0 => х°у = α = 90°



Пример плус:

Нека за векторе а и b важи да је (2a-b) нормално на (a+b), као и да је (a-3b) нормално на (2a+b). Одреди косинус угла између вектора a и b.

- Пошто је (2a-b) нормално на (a+b), (2a-b) ° (a+b) = 0 => 2*|a|2 + 2a°b - b°a - |b|2 = 0 (*)

- Пошто је (a-3b) нормално на (2a+b), (a-3b) ° (2a+b) = 0 => 2*|a|2 + a°b – 6b°a – 3|b|2 = 2*|a|2 – 5b°a – 3|b|2 = 0 (**)

- Из (*) и (**) се множењем (*) са -1 и додавањем на (**) да је: –6a°b -2|b|2 = 0 => |b|2 = -3a°b па се заменом у (*) добија да је |a|2 = -2a°b. Пошто је квадрат броја увек позитиван или једнак 0, скаларни производ a°b мора бити мањи од 0, па је стога косинус угла између ова два вектора негативан.

- cos(α) = a°b|𝑎𝑎|∗|𝑏𝑏|

= a°b√6 ∗|a°b|

= - 1√6

|a| = √−2a°b, |b| = √−3a°b => |a| * |b| = √6 * |a°b| (апсолутно од a°b)

Дефиниција 12. Нека су х и у вектори у Rn дати са x = (x1,x2…xn) и у = (у1,у2...уn). Вектори х и у су паралелни (колинеарни) ако су линеарно зависни.

Пример 13: Паралелни вектори

* а = (1, 2, 4, 5), b = (3, 6, 12, 15)

Може се приметити да је 31

= 62

= 124

= 155

= 3, што значи да је b=3*a, што значи да су вектори линеарно зависни, па су стога и паралелни (колинеарни).

Домаћи: Одреди међусобни положај вектора (да ли су паралелни, нормални, а ако нису, одреди угао између вектора):

* а = (2, 6, 10, 13), b= (8, 24, 40, 52)

* a=(3,1,2,7), b = (6,2,10,35)

* a = (2, -1, 4, 5), b = (3, 0, -1, -0.4)



2.ВЕКТОРИ У R3

Све изложене дефиниције и теореме до сада важе за векторе у R3 . У изложеним формулама се n замењује са 3 и као такве се могу примењивати.

Поред скаларног производа, за векторе у R3 ћемо дефинисати и векторски и мешпвити производ, који имају широку примену.

Дефиниција 13. Нека су а и с вектори у R3 дати са а = (а1,а2,а3) и с = (с1,с2,с3). Векторски производ вектора а и с у ознаци, а х с је дефинисан са:

а х с =

Резултат векторског производа је вектор (a2*c3 – c2*a3, a3*c1 – a1*c3, a1*c2 – a2*c1).

Пример 14: Векторски производ

* а = (1, 2, 3), с = (3, 5, 7)

a x c =

a x c = i (2*7-5*3) + j(3*3-1*7) + k(1*5-2*3)

a x c = (-1, 2, -1)

Домаћи: Одреди векторски производ следећих вектора:

* a = (3, 2, 4), b=(-1, 2, -5)

* a = (1, 1, 1), b = (3,3,3)

* a =(2,-1,3), b = (4,5,7)

Дефиниција 14. Нека су a и c вектори у R3 дати са a = (a1,a2,a3) и c = (c1,c2,c3). Интензитет њиховог векторског производа је |а х с| = |а|*|с|*sin(α), при чему је α угао између вектора a и c.

Пример 15: Интензитет векторског производа вектора ако је познат угао између њих

* а = (-1, 2, -2), с = (2, 1, 2), sin(α) = √60 9

=> |a x c| = 3*3*sin(α) = √60

𝚤𝚤 �⃗ 𝚥𝚥 𝑘𝑘�⃗

a1 a2 a3

c1 c2 c3

= 𝚤𝚤 �⃗ (a2*c3 – c2*a3) + 𝚥𝚥��⃗ (a3*c1 – a1*c3) + 𝑘𝑘�⃗ (a1*c2 – a2*c1)

𝚤𝚤 �⃗ (a2*c3 – c2*a3) + 𝚥𝚥��⃗ (a3*c1 – a1*c3) + 𝑘𝑘�⃗ (a1*c2 – a2*c1)



Дефиниција 15. Нека су a и c вектори у R3 дати са a = (a1,a2,a3) и c = (c1,c2,c3). Правац вектора а х с је нормалан на раван коју одређују вектори а и с. Смер вектора а х с се одређује по правилу десне руке. Интензитет вектора а х с је једнак површини паралелограма који одређују вектори а и с.

Теорема 2. Нека су a и c вектори у R3 дати са a = (a1,a2,a3) и c = (c1,c2,c3). Вектори а и с су колинеарни (паралелни) ако је а х с = 0 (нула вектору).

Пример 16: Паралелни вектори

* a = (1,2,3), c = (2,4,6)

a x c =

Детерминанта је једнака нули ако су колоне (врсте) пропорционалне, а и рачунањем по формули добија се резултат а х с = (0,0,0) што значи да су вектори а и с паралелни (колинеарни).

Домаћи:

* Одреди параметар t тако да су вектори (1,3,4) и (2, t, 8) буду паралелни.

Напомена. Покушајте да решите проблем и помоћу векторског производа и без њега.

Теорема 3. За векторе а и с из R3 важи да је а°с = с°а, али а х с = - с х а

* Пример плус 2:

Нека су дати вектори a = 3e1 + 2e2, b = e1 – 0.5e2, при чему за векторе e1 и e2 важи следеће: | e1 | = 3, | e2 | = 2, а угао између вектора e1 и e2 је 60°. Одреди интензитет векторског производа вектора a и b.

a x b = (3e1+2e2) x (e1-0.5e2) = 3e1xe1 – 1.5e1xe2 + 2e2xe1 – e2xe2 = -1.5e1xe2 – 2e1xe2 = -3.5 e1xe2

|a x b| = 3.5*|e1 x e2|

|e1 x e2| = |e1| * |e2| * sin(60°) = 3*2*√3/2 = 3*√3 => |a x b| = 10.5*√3.

𝚤𝚤 �⃗ 𝚥𝚥 𝑘𝑘�⃗

1 2 3

2 4 6



Дефиниција 16. Нека су а, b и с вектори у R3 дати са а = (а1,а2,а3), b = (b1,b2,b3), с = (с1,с2,с3). Мешовити производ вектора а, b и с у ознаци [a,b,c] је дефинисан са:

[a,b,c] =

[a,b,c] = a°(b x c).

Резултат мешовитог производа је број.

Пример 17: Рачунање мешовитог производа

- а = (2, 3, 4), b = (3, 7, 1), c = (0, 2, 3)

- [a,b,c] =

[a,b,c] = 35 – добија се израчунавањем детерминанте (развој по врстама (колонама) или применом Саурусовог правила)

Дефиниција 17. Ако је [a,b,c] = 0, вектори a, b и c су компланарни (копланарни) тј, припадају истој равни.

Пример 18: Да ли су вектори копланарни?

- a = (1,2,3), b = (-1,-1,-1), c=(3,0,0)

- [a,b,c] = 3 => Вектори нису копланарни.

Домаћи:

* Да ли су вектори a = (2,-1,2), b = (-4,2,-4), c = (20,15,11) копланарни?

* Одреди параметар р тако да вектори a = (1,p,2), b=(p,-3,4), c=(0,2,p) припадају истој равни.

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

2 3 4

3 7 1

0 2 3



Дефиниција 18. Апсолутна вредност мешовитог производа вектора а = (а1,а2,а3), b = (b1,b2,b3) и с = (с1,с2,с3) једнака је запремини паралелопипеда одређеног овим векторима.

Пример 19: Одређивање висине паралелепипеда

Нека вектори а и b чине базу паралелепипеда, a вектори a, b и c одређују паралелепипед. Пошто је мешовити производ једнак запремини паралелепипеда, а интензитет векторског производа вектора а и b једнак површини базе, висина је једнака количнику ове две вредности.

а = (1, 2, 3), b = (4, 7, 0), c = (3, 2, 2) => |a x b| = √586, |[a,b,c]|= 41 => H =|[a,b,c]|/ |a x b| = 41/√586

Vektor i

Documents

Transcript of Vektor i