KT 1

VEKTÖRLER

YRD.DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU

KT 2

Mekanik olayları ölçmekte ya da değerlendirmekte

kullanılan matematiksel büyüklükler:

• Skaler büyüklük: sadece bir sayısal değeri tanımlamakta kullanılır, pozitif veya negatif olabilir. Kütle, hacim ve uzunluk statikte sıkça kullanılan skalerlerdir.

• Vektörel büyüklük: Şiddet, doğrultu ve yön ile belirtilen fiziksel bir büyüklüktür. Kuvvet, moment, konum vektörel birer büyüklüktür. Vektör, yönlenmiş bir doğru parçasıyla temsil edilir.

KT 3

• Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok,

şiddetini de okun boyu belirler.

• Vektörler harfin üzerine kısa bir ok çizilerek gösterilir.

• Bu şekilde gösterilen vektörün şiddeti “A” ile ifade edilir.

A

KT 4

Vektörel İşlemler

• Vektörün bir skalerle çarpımı veya bölümü

• bir vektörün bir skalerle çarpımı veya bölümü, yine aynı vektör doğrultusunda yeni bir vektör verir. Bu vektörün şiddeti, skaler ile mevcut vektörün şiddetinin çarpımına eşittir

KT 5

Vektörlerin Toplamı

• Vektörler paralelkenar ilkesi kullanılarak birbiriyle toplanır. A ve B vektörleri başlangıç noktalarında birleştirilir. Her bir vektörün ucundan diğer vektöre çizilen paralel doğrular paralelkenarı oluşturur. R bileşkesi A ve B’nin başlangıcından doğruların kesiştiği noktaya çizilen doğrudur. R bileşkesi paralelkenarın köşegenidir.

BAR

KT 6

Vektörlerin Toplamı

• A ve B vektörlerini paralelkenar ilkesinin özel bir uygulaması olan “üçgen ilkesi”ne göre de toplayabiliriz.

• A vektörünün ucuna B vektörü eklenir, A’nın başlangıcı ile B’nin ucu birleştirilir ve R bileşke vektör elde edilir.

ABBAR

Vektör toplamı komutatif’tir,

vektörler herhangi bir

sırada toplanabilir.

KT 7

• A ve B vektörü aynı etki çizgisine sahipse

paralelkenar kuralı cebirsel (skaler)

toplama indirgenir.

Vektörlerin Toplamı

• R= A+B (şiddetlerin toplamı)

KT 8

Vektör Çıkarması • A ve B vektörlerinin çıkarılması için paralelkenar veya üçgen kuralı

kullanılabilir. A ve B vektörleri arasındaki fark bileşke vektörü:

)( BABAR

• Vektör toplamı için uygulanan kurallar vektör çıkarması için de

kullanılmaktadır.

KT 9

Kuvvetlerin Vektörel Toplamı

• Kuvvetler, belli bir büyüklük, doğrultu ve yöne sahiptir ve vektörel bir büyüklük olduğu için paralelkenar kuralına göre toplanır.

• Statikteki iki genel problem: – Bileşenlerden bileşke kuvvet bulmak

– Bilinen bir kuvveti bileşenlerine ayırmak

KT 10

Bir kuvvetin bileşenlerine ayrılması

• Bir noktaya etkiyen bir tek vektör yerine aynı etkiyi yapacak iki veya daha fazla vektör koymak mümkündür.Bunlara vektörün bileşenleri denir. Bu bileşenleri bulabilmek için: – İki bileşenden düzlemde biri, uzayda ise üç bileşenden ikisi

bilinmelidir.

– Bileşenlerin tesir çizgileri bilinmelidir.

KT 11

İkiden fazla kuvvetin toplanması

• İkiden fazla kuvvet toplanacaksa, bileşke kuvveti bulmak

için paralelkenar kuralı birden fazla uygulanabilir.

321 )( FFFFR

KT 12

• Paralelkenar kuralı

• Trigonometri

Analizde izlenecek yol

KT 13

Örnek 1 • F1 ve F2 kuvvetlerinin

bileşkesini ve yönünü bulunuz.

• Çözüm:

KT 14

• Kosinüs teoremi’nden:

• Sinüs teoreminden:

Örnek 1

KT 15

Örnek 2

• Bu iki kuvvetin bileşkesinin y ekseni üzerinde olması için F kuvvetinin şiddetini bulunuz.

200 N

200 N 200 N

NF

Sin

N

Sin

F

NF

Sin

N

Sin

F

R

R

273

45

200

75

245

45

200

60

KT 16

600 N

• 600N’luk kuvveti u ve v

eksenlerinde

bileşenlerine ayırınız.

600 N

Örnek 3

600 N

NFNF

NFNF

vv

uu

60030sin

600

30sin

103930sin

600

120sin

F2 kuvvetinin şiddetini, yönünü

ve bileşke kuvveti bulunuz.

(bileşke kuvvet x ekseni

üzerinde, F2 kuvveti ise

minimum şiddette olsun)

Örnek 4

KT 19

Düzlemsel kuvvetlerin toplanması

(Kartezyen Koordinatlar)

• Eğer bir kuvvet x ve y eksenlerindeki bileşenlerine ayrılırsa, bu bileşenlere “kartezyen bileşenler” denir.

• x ve y eksenleri pozitif ve negatif yönler belirttiklerinden, bir kuvvetin dik bileşenlerinin büyüklüğü ve yönü cebirsel skalerlerle ifade edilebilir.

sin.

cos.

FF

FF

y

x

Skaler gösterim:

KT 20

• F vektörünün yönü, açısı yerine küçük eğim üçgeni ile de

gösterilebilir.

c

b

F

Fveya

c

bFF

c

a

F

Fveya

c

aFF

y

y

xx

)(

)(

• Fy vektörünün yönü negatif y ekseninde olduğundan y

bileşeni negatiftir, bu nedenle hesaplamalarda (-) işareti

kullanılmalıdır.

KT 21

Kartezyen vektör gösterimi

• Bir kuvvetin bileşenleri, kartezyen birim vektörler cinsinden ifade edilebilir. x ve y eksenlerinin doğrultularını belirtmek için sırasıyla i ve j kartezyen birim vektörleri kullanılır. Bu vektörler, boyutsuz birim uzunluktadır ve yönleri (ok ucu), pozitif veya negatif x ve y eksenini işaret etmesine bağlı olarak, artı veya eksi işareti ile gösterilir.

jFiFF yxˆˆ

KT 22

Aynı düzlemdeki kuvvetlerin bileşkeleri

• Bir kuvvetin bileşenlerini göstermede kullanılan iki yöntem de çok sayıda düzlemsel kuvvetin bileşkesini belirlemek için de kullanılabilir. Bunun için, her bir kuvvet önce x ve y bileşenlerine ayrılır ve sonra karşılıklı bileşenler aynı doğru üzerinde bulunduklarından skaler cebir kullanılarak toplanır.

jFiFF

jFiFF

jFiFF

yx

yx

yx

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

333

222

111

KT 23

Aynı düzlemdeki kuvvetlerin bileşkeleri

321 FFFFR

VEKTÖREL TOPLAM

SKALER TOPLAM

jFiF

jFFFiFFF

jFiFjFiFjFiFF

RyRx

yyyxxx

yxyxyxR

ˆˆ

ˆ)(ˆ)(

ˆˆˆˆˆˆ

321321

332211

yyyRy

xxxRx

FFFF

FFFF

321

321

KT 24

İkiden fazla kuvvetin toplanması

• Herhangi bir sayıda düzlemsel kuvvetin bileşkesinin x ve y bileşenleri, bütün kuvvetlerin x ve y bileşenlerinin cebirsel toplamıyla bulunabilir.

yRy

xRx

FF

FF

KT 25

• Bileşkenin bileşenleri belirlendikten sonra, şekildeki gibi, x ve y eksenleri boyunca çizilebilir. Bileşke kuvvet vektör toplamından belirlenebilir. Bileşkenin büyüklüğü ve yönü ise şu şekilde bulunabilir.

yRy

xRx

FF

FF

Rx

Ry

RyRxR

F

F

FFF

1

22

tan

KT 26

Örnek 5:

• Şekilde gösterilen kuvvetlerin bileşkesini birim vektörleri kullanarak bulunuz

KT 27

Nji

FFF

NjiF

NjiF

NFN

F

NFN

F

NF

NF

R

y

y

xx

y

x

ˆ73ˆ140

ˆ100ˆ240

ˆ173ˆ100

10013

5

260

24013

12

260

17330cos.200

10030sin.200

21

2

1

2

2

22

1

1

KT 28

Örnek 6

• Etkiyen kuvvetlerin bileşkesinin y ekseni boyunca olması ve şiddetinin de 800 N olması için F1 kuvvetinin şiddetini, açısının ne olması gerektiğini bulunuz

• Etkiyen kuvvetlerin bileşkesinin y ekseni boyunca olması ve şiddetinin de 800 N olması için F1 kuvvetinin şiddetini, açısının ne olması gerektiğini bulunuz

• Şekilde gösterilen kuvvetlerin bileşkesini bulunuz

Örnek 7

ÇÖZÜM 1:

ÇÖZÜM 2:

KT 34

Kartezyen Vektörler

• Vektör işlemleri, üç boyutlu problemlerin

çözümüne uygulanırken vektörler kartezyen

vektör formunda ifade edilirse işlem basitleşir.

• Sağ El Koordinat Sistemi:

– Vektör cebri işlemlerinde

sağ el koordinat sistemi

kullanılacaktır.

KT 35

Bir vektörün kartezyen bileşenleri

• Bir A vektörünün x, y, z koordinat eksenlerinde bileşenleri olabilir. Paralelkenar kuralını iki kez ard arda uygulayarak;

zyx

yx

z

AAAA

AAA

AAA

KT 36

Kartezyen birim vektörler

• Üç boyutlu uzayda, i, j, k kartezyen birim vektörleri sırasıyla x, y, z eksenlerinin doğrultusunu göstermek için kullanılır. Şekilde verilen vektörler, pozitif birim vektörlerdir.

KT 37

Kartezyen vektör gösterimi

• Vektörleri kartezyen bileşenler cinsinden yazmak önemli bir avantaj sağlar. Her bir bileşen vektörün şiddeti ve yönünü belirtir.

kAjAiAA zyxˆˆˆ

KT 38

Kartezyen vektörün büyüklüğü

• Kartezyen vektör formunda ifade edilen bir A vektörünün şiddetini bulmak için:

2

2

2

2

'

'

z

yx

AAA

AAA

222

zyx AAAA

KT 39

Kartezyen vektörün yönleri

• A vektörünün doğrultusu, A’nın başlangıç noktası ve bu noktada yer alan pozitif x, y, z eksenleri arasında ölçülen (alfa), (beta), (gama) doğrultu açıları ile tanımlanır. Bu açılar 0 ile 180 arasındadır.

• , ve ’yı belirlemek için A’nın x, y, z eksenleri üzerindeki izdüşümleri kullanılır.

KT 40

Yön kosinüsleri

A

A

A

A

A

A zyx coscoscos

KT 41

• A vektörünün doğrultu kosinüslerini elde etmenin kolay bir yolu, A doğrultusunda bir birim vektör oluşturmaktır.

** Eğer bir vektörün

şiddeti ve yön

kosinüsleri biliniyorsa,

A vektörü kartezyen

koordinatlarda ifade

edilebilir.

uA’nın büyüklüğü 1 olduğundan;

kA

Aj

A

Ai

A

A

A

Au zyx

Aˆˆˆ

A

A

A

A

A

A zyx coscoscos222

zyx AAAA

kjiuAˆcosˆcosˆcos

1coscoscos 222

kAjAiA

kAjAiA

uAA

zyx

A

ˆˆˆ

ˆcosˆcosˆcos

KT 42

Kartezyen vektörlerin toplanması

KT 43

Örnek 8

F kuvvetini kartezyen vektör

olarak ifade ediniz.

Fx (+x) yönünde

olduğu için 60°

olmalı

1coscoscos 222

KT 44

• F kuvvetini kartezyen vektör olarak ifade ediniz ve F kuvvetinin yön kosinüslerini bulunuz

• F kuvvetini kartezyen vektör olarak ifade ediniz ve F kuvvetinin yön kosinüslerini bulunuz

Örnek 9

yx

z

FFF

FFF

'

'

KT 47

Pozisyon (Konum) Vektörleri

• Pozisyon vektörü uzaydaki herhangi iki nokta arasında yönelen bir kartezyen kuvvet vektörünü formüle etmek açısından önemlidir.

• r pozisyon vektörü, bir noktanın uzaydaki konumunu diğer bir noktaya göre belirleyen sabit bir vektördür.

kzjyixr ˆˆˆ

KT 48

• Daha genel bir halde, pozisyon vektörü uzaydaki

A noktasından B noktasına da yönelebilir.

Vektör toplamı

KT 49

• r konum vektörü, i, j, k bileşenleri, vektörün başlangıcının koordinatları A (xA, yA, zA), ucuna karşı gelen koordinatlardan B (xB, yB, zB) çıkartılarak bulunabilir.

• Ayrıca, bu üç bileşenin uç uca eklenmesi r’yi verir. A’dan başlıyarak B’ye ulaşılıyor.

KT 50

• A ve B noktalarının, oluşturulan koordinat sistemine göre koordinatları biliniyorsa, A’dan B’ye giden pozisyon vektörü bulunabilir ve bu yöndeki birim vektör kolaylıkla elde edilir:

vektörbirimr

ru

yeBdanAr

;

'':

Bu birim vektörün bileşenleri ,

ve yönlerini vermektedir.

kjiuAˆcosˆcosˆcos

KT 51

Bir doğru boyunca yönelen kuvvet vektörü

• Üç boyutlu statik problemlerinde, bir kuvvetin doğrultusu genellikle etki çizgisinin geçtiği iki nokta ile belirlenir. Şekildeki F kuvveti buna bir örnektir. Doğrultusu A’dan B’ye olan F kuvveti kartezyen vektör şeklinde ifade edilebilir.

KT 52

Bir doğru boyunca yönelen veya iki nokta arasında uzanan

kuvvet vektörü

ANALİZDE İZLENECEK YOL

F, A noktasından B noktasına uzanan bir

doğru boyunca etkiyorsa aşağıdaki şekilde

kartezyen vektör formunda ifade edilebilir:

Konum Vektörü: A’dan B’ye yönelen

konum r vektörü belirlenir ve r büyüklüğü

hesaplanır.

Birim Vektör: Hem r hem de F’nin

doğrultusu ve yönünü tanımlayan u=r/r

birim vektörü belirlenir.

Kuvvet Vektörü: F büyüklüğü ve u

doğrultusu birleştirilerek yani F=Fu ile F

belirlenir.

KT 53

Örnek 10

• Şekilde gösterilen çatı, AB ve AC zincirleriyle taşınmaktadır. A noktasına etki eden bileşke kuvveti kartezyen vektör olarak ifade edin.

KT 54

A (0,0,4)

B (4,0,0)

C (4,2,0)

KT 55

• A noktasına etki eden kuvveti kartezyen vektör olarak ifade edin.

Örnek 11

57

Nokta (Skaler) Çarpım • Statikte bazen iki doğru arasındaki açının, veya bir

kuvvetin bir doğruya paralel ve dik bileşenlerinin bulunması gerekir. İki boyutlu problemlerde trigonometri ile çözülebilir, ancak 3 boyutluda çözüm için vektör yöntemleri uygulanmalıdır.

• Skaler çarpım, iki vektörün çarpımı için özel bir yöntemdir.

• A ve B vektörlerinin skaler çarpımı, AB şeklinde yazılır ve A skaler çarpım B diye okunur. A ve B’nin büyüklükleri ile iki vektör arasındaki açının kosinüsünün çarpımı olarak tanımlanır.

oo

BABA

1800

cos

58

• Bu çarpıma skaler çarpım veya nokta çarpım da

denir. Bu işlemin kuralları :

– Değişme özelliği (komütatiflik )

– Skaler ile çarpım

– Dağılma kuralı (distributiflik)

)()()(

)()()(

DABADBA

BaABAaBAa

ABBA

59

Kartezyen vektör formülasyonu

cosBABA Formülünü kullanarak kartezyen

birim vektörlerin çarpımını bulmak

için kullanılabilir.

Örneğin:

0ˆˆ0ˆˆ1ˆˆ1ˆˆ

090cos)1)(1(ˆˆ10cos)1)(1(ˆˆ

jkkikkjj

jiii oo

60

Uygulamalar1 • Skaler çarpımın mekanikte iki önemli uygulama

alanı vardır:

– 1) İki vektör veya kesişen doğrular arasındaki açı

cosBABA

61

Uygulamalar 2 • 2) Bir vektörün bir doğruya paralel ve dik bileşenlerinin

bulunması:

Aa: a-a doğrultusundaki A vektörünün bileşeni. A’nın izdüşümü de denir.

a-a’nın doğrultusu ua birim vektörüyle belirlenmişse, Aa vektörünün şiddeti

skaler çarpımla bulunabilir.

.

coscos

)1(

bulunurşeklindeuAA

AAu

uuAA

aa

a

aaa

62

• A vektörünün dik bileşeni:

.'

sincos

)cos(

22

1

bulunurdenAAA

veyaAAA

uA

uAAAAAAAA

a

a

aaa

63

ÖRNEK 12

Şekilde verilen

F kuvvetinin

AB çubuğuna

paralel ve dik

bileşenlerini

bulunuz.

A (0; 0; 0) B (2; 6; 3) kjirBˆ3ˆ6ˆ2

64 0ˆˆ0ˆˆ1ˆˆ1ˆˆ

090cos)1)(1(ˆˆ10cos)1)(1(ˆˆ

jkkikkjj

jiii oo