vectores problemas y teoria 2011 ENERO PRE 3,4 Y 5

PRE-U PROF. FISICA Mario Alexis Quispe Gutiérrez [email protected] PAG 1


1.- VECTOR Es un ente matemático que sirve para representar a las magnitudes de carácter vectorial como por ejemplo: la velocidad, la aceleración, la fuerza, etc.

Los vectores pueden presentarse de dos maneras:

(I) GRAFICAMENTE: se le representa mediante un segmento de recta orientado, asi por ejemplo:

Elementos:

a) Módulo: Es la medida o longitud del vector.

b) Dirección: Es el ángulo " " que se forma.

c) Sentido: Representa la flecha del vector.

d) Línea de Acción (L1): Es la línea recta donde se encuentra contenido el vector.

e) Línea Horizontal (L2): Es la línea recta que sirve para dar la dirección ( ) al vector.

(II) MATEMATICAMENTE: se le puede representar a través de ecuaciones cartesianas (en el plano o en el espacio) y/o ecuaciones matriciales en general.

Definimos los puntos P y Q en función de sus coordenadas:

1 1( ; )P x y 2 2( ; )Q x y

PQ Q P

2 2 1 1 ( ; ) ( ; )PQ x y x y

Restando: 2 1 2 1( ; )PQ x x y y

A partir de la ecuación cartesiana podemos hallar las características del vector:

Modulo: 2 22 1 2 1( ) + ( )PQ x x y y

Dirección( ) : 2 1

2 1

y yarctg

x x

PROBLEMAS 1

1.- Determinar el modulo, la dirección y el

sentido del vector: (12 ; 5)A

2.- Determinar el modulo, la dirección y sentido del vector: 2 3A B

, sabiendo que:

( 2 ;5)A

; ( 3 ;4)B

3.- Determinar el modulo, dirección y sentido del vector: 3A B

sabiendo que el modulo del

vector: A B

es 25 unidades y además:

( ;1)A p

; (3 ;8)B

4.- sabiendo que el modulo y la dirección del vector A B

son 25 unidades y 53º

respectivamente. Hallar el modulo, la dirección y

el sentido del vector 4A B

, siendo: ( ;6)A p

y (4 ; )B q

.

5.- sabiendo que: (4;8)A

; (5 ;7)B

y

(2 ; 3)C

. Determinar el valor de “K”, a partir de la siguiente expresión:

2 3A B C K C A B

ANALISIS VECTORIAL I


2.- CLASIFICACION DE VECTORES a) VECTORES PARALELOS: Son los que poseen la misma dirección. a a b

b

PARALELOS ANTI-PARALELOS b) VECTORES OPUESTOS: Son dos vectores opuestos de igual magnitud, de igual dirección y sentido opuesto. a

b

c) VECTORES COLINEALES: Son vectores que están sobre una misma línea de acción b

L

a d) VECTORES EQUIVALENTES: Dos vectores son equivalentes si tienen igual dirección sentido y modulo a b

e) VECTORES IGUALES: Dos vectores que tienen la misma dirección, sentido, magnitud o modulo y punto de aplicación a b

f) VECTOR NULO: Es aquel vector donde todos sus componentes son cero (0) ó valen cero (0)

g) VECTORES UNITARIOS : Es todo vector cuya magnitud es uno, i

; j

; k

son un conjunto de vectores unitarios asociados con los ejes coordenados X, Y, Z respectivamente y orientados hacia los semiejes positivos Z k

a

aU

X i

Y j

h) VECTORES COPLANARIOS: Son vectores que se encuentran en un mismo plano a

b

c

P

i) VECTORES CONCURRENTES: Son aquellos cuyas líneas de acción se cortan (concurren) en un punto común

a

b

j)

2.- OPERACIONES CON VECTORES: Método del Polígono: El método consiste en graficar a los vectores dados uno a continuación del otro y el vector resultante se obtiene partiendo del origen y se dirige al extremo del último.

El orden de dibujar a los vectores A

, B

y C

no interesa, pues la resultante siempre será la misma. Polígono cerrado: Es cuando los vectores graficados cierran la figura, los vectores deben orientarse en forma horaria o antihoraria; por lo tanto su resultante es nula.

Métodos Analíticos: Son aquellos en los cuales para determinar la resultante es necesario hacer uso de ecuaciones matemáticas, las cuales contienen funciones trigonométricas.

A) Método del Triángulo: Se tienen los vectores A

, B

y C

Sus módulos: A, B y C Sus ángulos: α, β, γ


2R X

R X

2 cosR X

Para determinar un módulo o un ángulo se puede aplicar;

La Ley de Senos:

A B Csen sen sen

B) Método del Paralelogramo: Cuando dos vectores A

y B

de módulos A y B a forman un ángulo " α".

Es decir: Datos: A

, B

, α

Incógnita: R R A B A B

El módulo de la resultante:

2 2 2 cos R A B AB

cos

B senarctg

A B

CASOS PARTICULARES: · Cuando a es igual a 0°, los vectores son paralelos y del mismo sentido. Entonces se obtiene la resultante máxima.

MAXR A B

· Cuando α es igual a 180°, los vectores son paralelos y de sentido contrario. Entonces se obtiene la resultante mínima. El sentido del vector resultante, es el mismo que el del vector del mayor módulo.

MINR A B

· Cuando el ángulo es igual a 90° los vectores son perpendiculares

· Cuando dos vectores tienen igual módulo. la resultante es bisectriz.

· Cuando dos vectores tienen módulos con un divisor común “n”

· Cuando se requiere calcular el módulo del vector diferencia D. entonces:

2 2 2 cos

D A B A B AB

2 2 R A B

3R X

2 2 2 cos R n A B AB


MÉTODO DE LA DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR:

Se emplea cuando se requiere determinar el módulo y la dirección de la resultante de un conjunto de vectores concurrentes y coplanares. Este método consiste en: • Trasladar todos los vectores a un plano cartesiano, haciéndolos concurrir en el origen de coordenadas. • Descomponer todos los vectores que van a sumarse, en sus componentes rectangulares. Para ello hay que auxiliarse de las funciones trigonométricas.

• Sumar algebraicamente los componentes en cada eje separadamente, considerando positivos los componentes que señalan hacia arriba o derecha, y negativos los que señalan hacia abajo o izquierda. • Conociendo Vx y Vy se determinará el módulo de la resultante y su dirección.

PRACTICA EN CLASE

1.- Hallar el módulo del vector resultante del siguiente conjunto de vectores:

2.- Hallar la magnitud del vector resultante del siguiente conjunto de vectores:

3.- hallar la intensidad del vector resultante del siguiente grupo de vectores: 4.- hallar la intensidad del vector resultante del siguiente grupo de vectores:

5.- hallar la intensidad del vector resultante del siguiente grupo de vectores:

6.- hallar la intensidad del vector resultante del siguiente grupo de vectores: 7.- Hallar el módulo del vector resultante del siguiente grupo de vectores:

8.- hallar el módulo del vector resultante del siguiente grupo de vectores:

9.- hallar el módulo del vector resultante del siguiente grupo de vectores:

10.- hallar el modulo del vector resultante del siguiente grupo de vectores:


PRACTICA DOMICILIARIA 1.- Calcular la magnitud del vector resultante del siguiente sistema de vectores:

2.- determinar la resultante para los vectores dados:

20; 12; 5; 7a b c d

3.- Dos vectores de la misma magnitud (4u) están formando un ángulo de 60º. Determinar el modulo de la suma de ambos vectores.

4.- determinar la resultante para los vectores dados, siendo:

10; 2; 4; 3a b c d

5.- hallar la resultante de:

6.- En la figura D=12 y C=5 determinar su resultante:

7.- Calcular el modulo de la resultante de los vectores mostrados:

8.- un bote a motor se dirige hacia el este con una velocidad de 10m/s. Si la corriente marina tiene una velocidad de 4m/s. en la dirección N60ºE. ¿Cuál será el valor de la velocidad resultante del bote? 9.- Si:

20; 30A B , encontrar la resultante.

10.- determinar el modulo de la resultante, si:

8; 4A B C

11.- Calcular el modulo de la resultante, si

3; 4a b .

12.- en la figura D=20 y C=40. Determinar su resultante.

13.- Si:

3; 5A B , encontrar la resultante.

14.- determinar el modulo de la resultante, si:

4; 8A B C


PRACTICA EN CLASE

En los siguientes ejercicios colocar verdadero o falso (F), según corresponda: 1.- Dados los vectores:

> Los vectores A, b y D son paralelos ( ) > Los vectores A y D son paralelos ( ) > Los vectores b y D son paralelos ( ) > Los vectores A y D son opuestos ( ) > Los vectores b y D son iguales ( ) 2.- del siguiente conjunto de vectores:

> Los vectores A, b y D son paralelos ( ) > Los vectores A y D son paralelos ( ) > Los vectores b y D son paralelos ( ) > Los vectores A y D son opuestos ( ) > Los vectores b y D son iguales ( ) 3.- sabiendo que los módulos de los vectores A, b, D y E son iguales a 2cm. Y que el modulo del vector c es 1cm.

>Los vectores A y D son iguales ( ) >Los vectores b y D son opuestos ( ) >Los vectores A y c son iguales ( ) >Los vectores A y E son opuestos ( ) >Los vectores b y D son opuestos ( ) 4.- Se muestran dos planos con vectores.

>Los vectores A, E, b y c son coplanares. ( ) >Los vectores A, E y b son coplanares… ( ) >Los vectores A, E, b y x son coplanares ( )

>Los vectores x, M y D son coplanares. ( ) >Los vectores x y D no son coplanares.. ( )

>Los vectores M y D son coplanares........ ( ) >Los vectores A, E, , x, y D son coplanares ( ) >Los vectores A, E y c son concurrentes... ( ) >Los vectores x, M, D son concurrentes.... ( ) >Los vectores x y D son paralelos............. ( ) >Los vectores A y c son iguales.................. ( ) >Los vectores A y D son opuestos............ ( ) 5.- Los vectores mostrados son: > Paralelos ( ) > Coplanares ( ) > Iguales ( ) > Opuestos ( )

PROBLEMAS

1.- Si el módulo de la resultante máxima de dos vectores es 24u y al mínima es de 8u, hallar el modulo de la resultante cuando los vectores formen 120°.

a) 8 2 b) 8 3 c) 8 5 d) 4 3 e) 4 5 2.- Hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados en la figura A = 4; B =5.

a) 65

b) 3 5

c) 3 7 d) 3 e) N.A. 3.- Hallar el ángulo " " de manera que la resultante de los vectores mostrados sea cero. a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60°

4.- si

3 2 30A B u y

2 3 25A B u , hallar el

modulo de

7 4A B .

a) 70u b) 50u c) 30u d) 15u e) N.A.

PROBLEMAS DE VECTORES


5.- determinar el vector X en función de los

vectores A y

B .

a)

( ) / 5A B

b)

(2 3 ) / 5A B

c)

(3 2 ) / 5A B

d) A B

e)

(3 2 ) / 5A B 6.- Determinar la medida del ángulo sabiendo que e! modulo de la resultante de los vectores

mostrados es 103 .(AB=BD=3 y BC=1). a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60° 7.- Halle el ángulo " " para que la resultante cié los vectores mostrados sea igual a 7, si además AB=6 y BC=10 (M y N son puntos medios). a) 60° b) 57° c) 45° d) 37° e) 30° 8.- Hallar la resultante y su módulo de los vectores mostrados en la figura. (B=H=4; D=G=6). a) 2 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16 9.- En la figura determinar el vector suma

C y

D ,

en la función de y A B .

a)

(2 ) / 3A B

b)

2(2 ) / 3A B

c)

2(2 ) / 3A B

d)

(2 ) / 2A B

e)

(2 ) / 3A B

10.- Hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados en el hexágono regular de lado 2u. a) 8u b) 12u c) 12u d) 20u e) 4u

PROBLEMAS UNI 1.- exprese el vector

A en términos de

B y

C (la

figura es un hexágono regular)

a)

2B CA b)

2B CA

c)

3B CA d)

4B CA

PROBLEMA N-1 Sem. CEPRE-UNI En el sistema de vectores sobre el hexágono de 4 m de lado mostrado en la figura, determine el módulo de la resultante. A) 20 m B) 16 m C) 24 m D) 8 m E) 32 m PROBLEMA N*2 Sem. CEPRE-UNI Dado el conjunto de vectores que se muestra determinar el vector

R en términos del vector

E .

Si R A B C D E

a) E b) -

E

c) 2E d) -2

E e)

0

PROBLEMA Na3 Sem. CEPRE-UNI La figura muestra un tetraedro regular de 2 m de lado, halle el módulo de la resultante de todos los vectores mostrados. A) 2 m B) 4 m C) cero D) 1 m E) 8 m PROBLEMA Ns4 Sem. CEPRE-UNI En el sistema de vectores mostrados, de termine la magnitud de:

R A B C D E F G

si se sabe que :

10B E G y A G u

A) 10 u B) 20 u C) 80 u D) 40 u E) cero

PROBLEMA Ns6 Sem. CEPRE-UNI 98-1 Hallar el módulo del vector resultante del sistema de vectores que se muestra en la figura. Si: a = 3u y e = 2u. A) 5u B) 7u

C) 10u D) 13u E) 15u

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