Vector Tangente, Normal y Binormal
-
Upload
007skyline001 -
Category
Documents
-
view
375 -
download
20
Transcript of Vector Tangente, Normal y Binormal
![Page 1: Vector Tangente, Normal y Binormal](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022071623/55cf9af2550346d033a423ce/html5/thumbnails/1.jpg)
Definiciones: Z
BT
N
C
X
0 Y
Sea C una curva en el espacio definida por la función r (t); según hemos visto, dr/dt es un vector en la dirección de la tangente a C. Considerando al escalar t como la longitud de arco s medida a partir de un punto fijo de C de la curva dr/dt es un vector tangente a C y que llamaremos T como se observa en la figura de la derecha.La variación de T respecto de s es una medida de la curvatura de C y viene dada por: .La dirección de en un punto cualquiera de C es la correspondiente a la normal a la curva en dicho punto. El vector unitario N en dirección de la normal se llama normal principal a la curva.
dsdT
dsdT
El vector unitario B definido por el producto vectorial: , perpendicular al plano formado por T y N, se llama binormal a la curva C. Este sistema de coordenadas recibe el nombre de triedro intrínseco en el punto. Como a medida que varía s el sistema se desplaza, se le conoce con la denomonación de triedro móvil.
NTB
![Page 2: Vector Tangente, Normal y Binormal](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022071623/55cf9af2550346d033a423ce/html5/thumbnails/2.jpg)
DEFINICIÓN DE VECTOR TANGENTE UNITARIO
Recordemos que una curva se dice que es suave en un intervalo si r´ es continua y no nula en dicho intervalo. Así pues, la suavidad es suficiente para garantizar que una curva posee vector tangente unitario en todos sus puntos.
Cálculo del vector tangente unitario
EJEMPLO 1: Hallar el vector tangente unitario a la curva dada por:
tjitr 2)(
1)( 2 tcuandojttitrSe calcula la primera derivada de
por tanto el vector tangente unitario es: 2412
)()(
)(t
tjitrtr
tT
Cuando t =1, el vector tangente unitario es:52
)1(ji
T
Ver figura de la siguiente diapositiva
![Page 3: Vector Tangente, Normal y Binormal](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022071623/55cf9af2550346d033a423ce/html5/thumbnails/3.jpg)
La dirección del vector tangente unitario depende de la orientación de la curva. Si la parábola estuviera dada por:
jtittr 2)2()2()(
T(1) sería todavía el vector tangente unitario en el punto (1, 1), pero apuntaría en la dirección opuesta.
DEFINICIÓN DE VECTOR NORMAL PRINCIPAL (UNITARIO)
![Page 4: Vector Tangente, Normal y Binormal](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022071623/55cf9af2550346d033a423ce/html5/thumbnails/4.jpg)
Cálculo del vector normal principal (unitario)
EJEMPLO 2: Hallar N (t) y N (1) para la curva representada por: jttitr 223)( 2169)(43)( ttrytjitr
)43(169
1)()(
)(2
tjittr
trtT
Derivando la función dada vemos que:
De donde se deduce que el vector tangente unitario es:
Ahora derivando T (t) respecto de t, tenemos:
Vector tangente unitario
)34()169(
12)43(
)169(
16)4(
1691
)(2
32
3222
jtit
tjit
tj
ttT
232
2
16912
)169(169
12)(tt
ttT
Por lo tanto el vector normal principal es:
)34(169
1)()(
)(2
jtittT
tTtN
![Page 5: Vector Tangente, Normal y Binormal](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022071623/55cf9af2550346d033a423ce/html5/thumbnails/5.jpg)
Cálculo del vector normal principal (unitario) …continuación
Cuando t = 1, el vector normal principal es:
)34(51
)1( jiN
Tal como se muestra en la figura de la derecha:
DEFINICIÓN DE VECTOR BINORMAL
El vector unitario B definido por el producto vectorial: , perpendicular al plano formado por T y N, se llama binormal a la curva C.
NTB
Cálculo del vector binormal
Para calcularlo solo basta aplicar el producto cruz de los vectores T y N