Vector Aleatoriio-Funciones Margin Ales

8/8/2019 Vector Aleatoriio-Funciones Margin Ales

http://slidepdf.com/reader/full/vector-aleatoriio-funciones-margin-ales 1/49

VECTOR ALEATORIO

Estadística Aplicada CB-412

2007-2

U

nRegis

tered



Dado un experimento aleatorio y su espacio muestralasociado , las funciones X, Y que asignan a cadaelemento wi de , los valores X(wi), Y(wi),respectivamente, forman la variable aleatoriabidimensional (X, Y).

Variable aleatoria bidimensional ( X, Y ).

U

nRegis

tered



Rango de una variable aleatoria bidimensional ( X, Y )

Dado en experimento aleatorio y su espacio muestralasociado , el rango de la variable aleatoria bidimensionales el conjunto de valores posibles de la variable aleatoria(X,Y), y es denotada por:

R(X,Y)

Si R(X,Y) es un conjunto finito o infinito numerable, la variablealeatoria bidimensional es “discreta ”; pero, si es un conjunto

no numerable, la variable aleatoria es “continua ”.

U

nRegis

tered



La función de probabilidad conjunta “f ” de dos variables aleatoriasdiscretas es aquella cuyo valor se determina mediante:

Función de probabilidad conjunta de dos variablesdiscretas

i

iii )w(Y,)w(XwP

Y,XP)y,(

/ y x

y x x f

y cumple con las siguientes condiciones:

a)

b)

)Y,X()y,( 0)y,( R x x f

1)y,( x f y x U

nRegis

tered



Se tiene 8 acciones de las cuales dos son de clase A, tres sonde clase B, y tres son de clase C. Si se eligen al azar y sinreemplazo 4 acciones, determine la función de probabilidadconjunta de las variables:

X = Número de acciones elegidas que son de la clase A.Y = Número de acciones elegidas que son de la clase B.

Función de probabilidad conjunta de dos variablesdiscretas Ejemplo

U

nRegis

tered



2A | 4 MSR3B |

3C |


Solución:X = Número de acciones elegidas que son de la clase A.Y = Número de acciones elegidas que son de la clase B.

BCCC)(,AACC),(AACB),(AABC),(AABB),(

X 2 2 2 2 0

Y 2 1 1 0 1Otros 0 1 1 2 3

Rx={0,1,2}, Ry={0,1,2,3} 0 x+y 4

70

4

8)(n

U

nRegis

tered




70

370

]1,0[)1,0(33

13

02

Y X P f

70

9

70]2,0[)2,0(

23

23

02

Y X P f

70

370

]3,0[)3,0(13

33

02

Y X P f

70

270

]0,1[)0,1(33

03

12

Y X P f U

nRegis

tered




03/709/703/702

2/7018/7018/702/701

3/709/703/7000

3210YX

Tabla de distribución conjunta de probabilidades

U

nRegis

tered



La función “f ” es una densidad conjunta de probabilidad de dosvariables aleatorias continuas si cumple con las siguientescondiciones:

a)

b)

c)

Función de probabilidad conjunta de dos variablescontinuas

)Y,X()y,( 0)y,( R x x f

1)y,( dxdy x f

dydx y x f ),(Ay)(x,PAP

Ab

a

b

a

),(Y ,XP baba

y

y

x

x

dydx y x f y y x x U

nRegis

tered



El precio de dos artículos X, Y ( en decenas de nuevos soles),son variables aleatorias cuyo comportamiento conjunto estadefinido por la siguiente función :

Hallar el valor de “k” para que f(x,y) sea una función dedensidad conjunta

Función de probabilidad conjunta de dos variablescontinuas. Ejemplo

, 0

20 ,20 , )6(),(

omod otrode

y xsi y xk y x f

U

nRegis

tered



Hallar el valor de “k” para que f(x,y) sea una función dedensidad conjunta

Es evidente que se cumple k>0 para 0<x<2 y 0<y<2.Solamente falta comprobar la condición:


, 0

20 ,20 , )6(),(

omod otrode

y xsi y xk y x f

1)y,( dxdy x f

nRegis

tered



El rango de la variable (X,Y) es:

R(X,Y)={ (x,y) / 0<x<2; 0<y<2}

y el gráfico de la función es aproximadamente:


, 0

20 ,20 , )6(),(

omod otrode

y xsi y xk y x f

U

nRegis

tered




1 16 )420()10(

)210(]22)6[(

)6()6(),(

2

0

2

2

0

2

0

2

0

2

02

2

0

2

0

2

k k x xk

dx xk dx xk

dx y xk dydx y xk dxdy y x f y

,0

20 ,20 ,16 / )6(),(

omod otrode

y xsi y x y x f

Luego, k=1/16 y

U

nRegis

tered



Funciones de probabilidad marginales de dos variablesdiscretas Ejemplo

03/709/703/702

2/7018/7018/702/7013/709/703/7000

3210YX

Sean X, Y dos variables aleatorias que tienen como tabla dedistribución conjunta de probabilidades:

Halle las funciones de probabilidad marginales de X e Y.U

nRegis

tered




El rango de la variable X es: Rx={0,1,2},

y el rango de la variable Y es : Ry={0,1,2,3}

Debemos hallar :

2,1,0: ,),(XP)(

Y

X x para y x f x x f R y

3,2,1,0: ,),(YP)(

X

Y y para y x f y y f R x

y

U

nRegis

tered




03/709/703/702

2/7018/7018/702/701

3/709/703/7000

3210YX

70 / 1570 / 370 / 970 / 30

)3,0()2,0()1,0()0,0(),0()0(

Y

X f f f f y f f R y

)0(X f

U

nRegis

tered




03/709/703/702

2/7018/7018/702/701

3/709/703/7000

3210YX

70 / 4070 / 270 / 1870 / 1870 / 2

)3,1()2,1()1,1()0,1(),1()1(

YX

f f f f y f f R y

)1(X f

U

nRegis

tered




03/709/703/702

2/7018/7018/702/701

3/709/703/7000

3210YX

70 / 15070 / 370 / 970 / 3

)3,2()2,2()1,2()0,2(),2()2(

YX

f f f f y f f R y

)2(X f

U

nRegis

tered




15/70

40/70

15/70

f x(x)

03/709/703/702

2/7018/7018/702/701

3/709/703/7000

3210YX

xdevaloresotros para

xsi

xsi x f

, 0

1 ,70 / 40

2,0 ,70 / 15)(X

U

nRegis

tered




03/709/703/702

2/7018/7018/702/701

3/709/703/7000

3210YX

70 / 570 / 370 / 20

)0,2()0,1()0,0()0,()0(

X

Y f f f x f f R x

U

nRegis

tered




03/709/703/702

2/7018/7018/702/701

3/709/703/7000

3210YX

70 / 3070 / 970 / 1870 / 3

)1,2()1,1()1,0()1,()1(

X

Y f f f x f f R x

U

nRegis

tered




03/709/703/702

2/7018/7018/702/701

3/709/703/7000

3210YX

70 / 3070 / 370 / 1870 / 9

)2,2()2,1()2,0()2,()2(

X

Y f f f x f f R x

U

nRegis

tered




03/709/703/702

2/7018/7018/702/701

3/709/703/7000

3210YX

70 / 5070 / 270 / 3

)3,2()3,1()3,0()3,()3(

X

Y f f f x f f R x

U

nRegis

tered




5/7030/7030/705/70f Y(y)

03/709/703/702

2/7018/7018/702/701

3/709/703/7000

3210YX

xdevaloresotros para

xsi xsi y f

, 0

2,1 ,70 / 303,0 ,70 / 5)(Y

U

nRegis

tered



Si f (x , y ) es la función de densidad conjunta de las variablesaleatorias X, Y; luego, la función de densidad marginal de lavariable aleatoria X es:

y la función de densidad marginal de la variable aleatoria Y es:

Funciones de probabilidad marginales de dos variablescontinuas

),()(X dy y x f x f

),()(Y dx y x f y f

U

nRegis

tered



Funciones de probabilidad marginales de dos variablescontinuas. Ejemplo.

Si X, Y dos variables aleatorias que tienen como función dedensidad conjunta:

Halle las funciones de probabilidad marginales de X e Y.

,0

20 ,0 ,8 / )6(),(

omod otrode

y y xsi y x y x f

U

nRegis

tered




,020 ,0 ,8 / )6(),(

omod otrode y y xsi y x y x f

El rango de l a variable (X,Y) es:

2),( ),( ,20 ,0 / ),( y x y y x y x R Y X

U

nRegis

tered




,020 ,0 ,8 / )6(),(


Para hallar la densidad marginal de X se debe obtener:

),()(X dy y x f x f

U

nRegis

tered




1620163)

23810(

81

)2

6(8

1)2212(

8

1

)2

6(81

86

0),(0

),(),(),(),()(

22

22

222

2

2

2

X

x x x x

x x x x

y xy ydy y x

dy y x f

dy y x f dy y x f dy y x f dy y x f x f

x x

x

x

x

U

nRegis

tered




modootrode

xsi x x

x f

, 0

20 ,16

20163)(

2

X

U

nRegis

tered




,020 ,0 ,8 / )6(),(


Para hallar la densidad marginal de Y se debe obtener:

),()(Y dx y x f y f

U

nRegis

tered




16

312)312(

16

1

)2

6(8

1

)2

6(8

1

8

6

0),(0

),(),(),(),()(

22

22

0

2

0

0

0

Y

0

y y y y

y y

y

xy x

xdx y x

dx y x f

dx y x f dx y x f dx y x f dx y x f y f

y y

y

y

y

U

nRegis

tered




modootrode

ysi y y

y f

, 0

20 ,16

312)(

2

Y

U

nRegis

tered



Si f (x , y ) es la función de probabilidad conjunta de las variablesaleatorias X, Y; f X (x ) y f Y (x ) son las funciones de probabilidadmarginales de las variables aleatorias X e Y, respectivamente;entonces, la función de probabilidad condicional de X, dado queY= y , es:

y la función de probabilidad condicional de Y, dado que X= x , es:

Funciones de distribución condicionales de dosvariables discretas

0)( para , )(),(YXP Y

Y

/ ) / ( y f y f y x f y x y x f

0)( para , )(

),( XYP X

X

/ ) / ( x f x f

y x f x y x y f U

nRegis

tered



Funciones de distribución condicionales de dosvariables discretas. Ejemplo

15/7030/70

30/705/70f Y(y)

15/70

40/7015/70

f x(x)

03/709/703/702

2/7018/70

18/702/7013/709/703/7000

3210Y

X

Sean X, Y dos variables aleatorias que tienen como tabla dedistribución conjunta de probabilidades:

Halle la función de probabilidad condicional de Y, dadoque X=1.

U

nRegis

tered




El rango de la variable Y es : Ry={0,1,2,3}

Debemos hallar :

0,1,2,3 para , )1(

),1(

1XYP X / )1 / ( y f

y f

y x y f

U

nRegis

tered




15/7030/70

30/705/70f Y(y)

15/70

40/70

15/70

f x(x)

03/709/703/702

2/7018/7

0

18/702/701

3/709/703/7000

3210Y

X

f x(1)=P[X=1]

40

2

)1(

)0,1( 1X0YP

7040

702

X

/ )1 / 0( f

f x f

2/70

U

nRegis

tered




15/7030/70

30/705/70f Y(y)

15/70

40/70

15/70

f x(x)

03/709/703/702

2/7018/7

0

18/702/701

3/709/703/7000

3210Y

X

f x(1)=P[X=1]

40

18

)1(

)1,1( 1X1YP

7040

7018

X

/ )1 / 1( f

f x f

18/70

U

nRegis

tered




15/7030/70

30/705/70f Y(y)

15/70

40/70

15/70

f x(x)

03/709/703/702

2/7018/7

0

18/702/701

3/709/703/7000

3210Y

X

f x(1)=P[X=1]

40

18

)1(

)1,2( 1X2YP

7040

7018

X

/ )1 / 2( f

f x f

18/70

U

nRegis

tered




15/7030/70

30/705/70f Y(y)

15/70

40/70

15/70

f x(x)

03/709/703/702

2/7018/7

0

18/702/701

3/709/703/7000

3210Y

X

f x(1)=P[X=1]

40

2

)1(

)3,1( 1X3YP

7040

702

X

/ )1 / 3( f

f x f

2/70

U

nRegis

tered




15/7030/70

30/705/70f Y(y)

15/70

40/70

15/70

f x(x)

03/709/703/702

2/7018/7

0

18/702/701

3/709/703/7000

3210Y

X

f x(1)=P[X=1]

modo otro de

ysi

ysi x yh

, 0

2,1 , 40

18

3,0 ,

40

2)1 / (

U

nRegis

tered



Si f (x , y ) es la función de densidad conjunta de las variablesaleatorias X, Y; f X (x ) y f Y (x ) son las funciones de densidadmarginales de las variables aleatorias X e Y, respectivamente;entonces, la función de densidad condicional de X, dado que Y= y ,es:

y la función de densidad condicional de Y, dado que X= x , es :

Funciones de distribución condicionales de dosvariables continuas

0)( para , )(),( Y

Y

) / ( y f y f y x f y x f

0)( para , )(),(

X

X

) / ( x f x f y x f x y f U

nRegis

tered



Funciones de distribución condicionales de dosvariables continuas. Ejemplo.

,020 ,0 ,8 / )6(),(


Para hallar la densidad condicional de Y, dado que X=x.

20163

)6(2

16 / )20163(

8 / )6(

)(

),() / (22

X x x

y x

x x

y x

x f

y x f x yh

modootrode , 0

20 ,2 si , 20163

)6(2) / (

2x y x

x x

y x x yh

U

nRegis

tered



Ejemplo: Dos líneas de producción manufacturan cierto tipo de artículos.

Suponga que la capacidad (en cualquier día dado) es dos artículos para lalínea I y 3 para la línea II. Con base en la tabla adjunta que muestra ladistribución de probabilidades conjunta:a. Obtener las funciones marginales de X, ƒ X (x), e Y , ƒ Y (y)b. Calcular P(1 X < 2, 1, 0 Y < 2).• Halle la probabilidad de que en la línea I se produzcan más artículos queen la II.• Se produzcan en total 3 artículos.

• La probabilidad de que la línea I produzca más que la línea II dado quese producen en total 3 artículos.

1.00.280.390.240.09 ƒ (Y)

0.240.050.060.060.0720.510.140.210.140.021

0.250.090.120.0400

ƒ (X)3210X = I / Y=II

EJEMPLOS DE VECTOR ALEATORIO

U

nRegis

tered



Se observa en la tabla anterior como las sumas de los valores de lasfilas generan las probabilidades de la variable X, lo propio sucede conlos valores de las columnas para obtener la función de probabilidad dela variable aleatoria Y.

• P(1 =< X < 2; 0 =< Y < 2)=ƒ xy (1,0) + ƒ xy (1,1)=0.04 + 0.14=

0.18El 18% de la producción fluctúa en la Línea I entre uno y dos artículos yen la Línea II no más de dos artículos.• P(X>Y)= ƒ xy (1,0) + ƒ xy (2,0) + ƒ xy (2,1)=0.02 + 0.07 + 0.06=0.15En el 15% de los días se produce mas en la Línea I que en la II.• P(X+Y=3)= ƒ xy (1,2)+ ƒ xy (2,1) + ƒ xy (0,3)= 0.21 + 0.06 +0.09= 0.36La probabilidad de que se produzcan en total 3 artículos es 0.36• P(X>Y / X+Y=3)= ƒ xy (2,1) / 0.36= 0.06 / 0.36= 0.1666U

nRegis

tered



Función de P robabilidad Condicional

En el ejercicio anterior, calcular ƒ X / Y ( x / y=2) Solución:

U

nRegis

tered



EjemploSea X un variable aleatoria bidimensional de clasecontinua con función de densidad conjunta

U

nRegis

tered



Ejemplo 2. Sean X, Y las proporciones del tiempo en un día detrabajo, que los empleados A y B, respectivamente, se ocupanrealmente en hacer sus tareas asignadas. El comportamientode las frecuencias relativas conjuntas se representanpor:

El 32.8% de los días trabajados por los dos empleados se caracterizan

por que A trabajo menos de la mitad del tiempo, mientras que B lo hizodurante más de la cuarta parte del tiempo.En uno de cada tres días el tiempo trabajado por A más el trabajado porB corresponde a un día laboral completo.

U

nRegis

tered

Vector Aleatoriio-Funciones Margin Ales

Documents

Transcript of Vector Aleatoriio-Funciones Margin Ales