Vec to Day Them Chuan

CHƯƠNG 1: VÉC TƠ.

CHUYÊN ĐỀ 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ VÉC TƠ.

I. LÝ THUYẾT: HỌC SINH CẦN NẮM VỮNG:

1. Định nghĩa véc tơ, hai véc tơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng, hai véc tơ bằng nhau, véc

tơ -không.

2.Cách chứng minh hai điểm trùng nhau, ba điểm thẳng hàng.

II. BÀI TẬP:

1. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB =2CD. Từ C vẽ = . CMR :

a/ I là trung điểm AB và =

b/ = =

2. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Dựng = và =

a/ CMR : =

b/ Hình tính tứ giác AKBN

c/ CMR : =

L

B

C

A

K

P

N

M

3. Cho hình thang ABCD (AB // CD).Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BD.Hãy cho biết

quan hệ của các cặp véc tơ ; .

4. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi D là điểm đối xứng với B qua O và H là

trực tâm tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng

b) Gọi I là trung điểm của AH, M là trung điểm cạnh BC.Chứng minh rằng .

KhuÊt Quang C¬ng – THPT Tïng ThiÖn – S¬n T©y – Hµ Néi

CD

ABI

1

5. Cho tứ giác ABCD.Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA.

a) Chứng minh rằng .

b) Gọi O là giao điểm của các đường chéo của tứ giác MNPQ, trung điểm các đoạn thẳng AC,

BD tương ứng là I, J.Chứng minh rằng .

CHUYÊN ĐỀ 2: CÁC PHÉP TOÁN VỀ VÉC TƠ.

DẠNG 1: TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VÉC TƠI. LÝ THUYẾT:

Định nghĩa: Cho ; . Khi đó

Tính chất: * Giao hoán: =

* Kết hợp ( ) + = + )

* Tính chất vectơ –không + = Quy tắc 3 điểm: Cho A, B , C tùy ý. Ta có : + = Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì + =

Quy tắc về hiệu vectơ: Cho , với điểm O tùy ý ta có : .

Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì . Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì . Nếu AM là một trung tuyến của tam giác ABC thì .

II. BÀI TẬP

1. Cho các điểm phân biệt A, B, C, D. Dựng các tổng sau đây:

a)

b) .

2. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC . Chứng minh

rằng: =

3. Cho hình vuông ABCD có AB = 1. Dựng các véc tơ .Và tính độ dài

các véc tơ vừa dựng.

4. Cho hình vuông ABCD có AB = 1 và giao điểm của các đường chéo là H. Dựng điểm M

thoả mãn điều kiện và tính độ dài HM.

( . Đs: M H )

5. Cho tứ giác ABCD.Gọi A’ , B’ , C’ , D’ lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA.

a) Chứng minh rằng

b) Gọi O là giao điểm của A’C’ và B’D’.Chứng minh rằng

KhuÊt Quang C¬ng – THPT Tïng ThiÖn – S¬n T©y – Hµ Néi 2

6. Cho tứ giác ABCD.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.Điểm K đối xứng với M

qua N.Chứng minh rằng:

a)

b)

HD: AD BC AM MD BM MC AM BM MD MC MK $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

7. Cho lục giác đều ABCDEF.Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác.Chứng minh rằng

.

8. Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B,

C’ là điểm đối xứng với A qua C. Chứng minh rằng với điểm O bất kỳ tacó

Hướng Dẫn:

KhuÊt Quang C¬ng – THPT Tïng ThiÖn – S¬n T©y – Hµ Néi

A

D

B

C

A’

B'

C'

D’

A

B

D

C

K

M

N

A

CB

A'

B'

C'

3

9. Cho ngũ giác ABCD dựng điểm M thoả mãn .

10. Cho bốn điểm A, B, C, D. Dựng điểm M sao cho

11. Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Chứng minh rằng nếu thì tam giác ABC

đều.

12. Cho tam giác ABC cân (AB = AC).Chứng minh rằng vuông góc với .

13. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : + = + .

14. Cho 5 điểm A, B, C, D, E. CMR : + + = + .

HD: + + = + + + + =( + + ) + + = + .

15. Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H. CMR : + + + = + + +

16. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR:

a/ + =

b/ + =

c/ + + + =

d/ + = + (với M là 1 điểm tùy ý)

17. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB.CMR : + = +

18. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.

a/ CMR : + + =

b/ CMR : + + = + +

19. Cho bốn điểm A, B, C, D.chứng minh

20. Cho 5 điểm A, B, C, D, E. CMR:

Giải: Cách 1:

Ta có:

21. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR:a) b) Giải:a) Ta có: b)


22. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.

a/ Tính

b/ Dựng u

= AB . Tính u

23. Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.

a/ Tính

b/ Tính

24. Cho ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a.

Tính

DẠNG 3: PHÉP NHÂN VÉC TƠ VỚI MỘT SỐ. I. LÝ THUYẾT: 1. Định nghĩa: Cho kR , k là 1 vectơ được xác định:

* Nếu k 0 thì k cùng hướng với ; k < 0 thì k ngược hướng với

* Độ dài vectơ k bằng .

2. Tính chất: a) k(m ) = (km)

b) (k + m) = k + m c) k( + ) = k + k

d) k = k = 0 hoặc =

cùng phương ( ) khi và chỉ khi có số k thỏa =k . Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là có số k sao cho = k .

Cho không cùngphương , luôn được biểu diễn = m + n ( m, n duy nhất).

II. BÀI TẬP

1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn AB, CD . Chứng minh rằng:

2. Cho tam giác ABC xác định các điểm M, N, P sao cho:a)b) c)

3. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi M BC sao cho = 2

a/ CMR : + 2 = 3

b/ CMR : + + = 3

4. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.

a/ CMR : + = 2

b/ CMR : OA +

OB +

OC +

OD = 0


c/ CMR : MA +

MB + MC + = 4 (với M tùy ý)

d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho + + + nhỏ nhất

5. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.

a/ CMR : + + + = 0

b/ CMR : MA +

MB +MC +

MD = + + +

c/ CMR :

ACAB + = 4 (với G là trung điểm FH)

6. Cho tam giác ABC.a) Tìm điểm I sao cho: (1)b) Tìm điểm K sao cho: (2)

7. Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H. CMR : + + = 3 .

Từ đó suy ra điều kiện để hai tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm.

8. Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR:

a/ OA +

OB +

OC +

OD = 0

b/ + + 2 = 3

c/ + 2 EA + 4 =

EC

9. Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR:

a/ OA +

OB +

OC +

OD = 0

b/ + + 2 = 3 AB

c/ + 2 EA + 4 =

10. Cho ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho

= .Gọi K là trung điểm của MN.

a/ CMR : = AB +

b/ CMR : = 4

1 AB +

11. Cho ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho = 2 , = 3 . Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR:

a/ = 3

1 AB +

b/ = AB +

12. Cho tam giác ABCa. Gọi P,Q là hai điểm lần lượt thỏa (1) và (2)Chứng minh rằng :P, Q, A thẳng hàng.b. Gọi I là điểm đối xừng với B qua C, J là trung điểm của A, C, K là điểm trên AB sao cho AB = 3AK . Chứng minh rằng :I, J, K thẳng hàng.Giải:KhuÊt Quang C¬ng – THPT Tïng ThiÖn – S¬n T©y – Hµ Néi 6

a. Ta có: Mà (2)

=>

Vậy P,Q,A thẳng hàng.. b.

Ta có:

Vậy 3 điểm I, J, K thẳng hàng.13. Cho tam giác ABC, lấy điểm I, J thỏa:

CMR: IJ đi qua trọng tâm cua tam giác ABC. Giải:

(2)-(1)

Vậy I, J,G thẳng hàng.14. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy điểm I, J sao cho:

a) CMR: M, N, J thẳng hàng, với M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC.b) CMR: J là trung điểm của BIGIẢI a) Ta có JM, JN lần lượt là trung tuyến của tam giác AJB, BJC Nên

Mà:


C

A

IB

JK

Vậy M, N, J thẳng hàngb)

Vậy J là trung điểm BI.15. Cho hình bình hành ABCD tâm O. lấy các điểm I, J sao cho :

CMR: I, J, O thẳng hàng.GIẢI:

Vậy I, J, O thẳng hàng.

16. Cho ABC, lấy M, N, P sao cho = 3 ; +3 = 0

và + = 0

a/ Tính , theo AB và

AC

b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.

CHUYÊN ĐỀ 3: TRỤC – TOẠ ĐỘ TRÊN TRỤCI. LÝ THUYẾT:1. Trục tọa độ là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một véc tơ đơn vị ,

kí hiệu ( O; ).

2. Tọa độ của véc tơ trên trục :

3. Tọa độ của điểm trên trục: M(k)

4. Độ dài đại số của véc tơ trên trục:

Chú ý: + Nếu cùng hướng với thì

+ Nếu ngược hướng với thì

+ Hệ thức Sa lơ: A, B, C là ba điểm trên trục thì ta có + Nếu điểm A(a) và B(b) thì


A

M

J I

N

BC

II. BÀI TẬP

1. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 2 và 5.

a/ Tìm tọa độ của AB .

b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2 + 5 = 0

d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 + 3 = 1

2. Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c.

a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB

b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho

MA + MB

MC = 0

c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 3 =

3. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 3 và 1.

a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3 2 = 1

c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho + 3 =

4. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A (2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)

a/ CMR : + =

b/ Gọi I là trung điểm AB. CMR:

c/ Gọi J là trung điểm CD. CMR:

CHUYÊN ĐỀ 4: HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ I. LÝ THUYẾT:

• Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là

, . O là gốc toạ độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung.

• Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ: u = ( x; y)

• Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ: M( x; y)

• Tính chất: Cho = ( x; y), = ( x’; y’ ), k R , A( xA ; yA ), B( xB ; yB ), C( xC ; yC ) :

+ ; k = ( k x ; k y ) ; =

+ b cùng phương với a ≠ 0 ( N ế u x ’ , y ’ 0 )

+ = ( xB - xA ; yB - yA ) .

+ M là trung điểm của AB


+ G là trọng tâm tam giác ABC

+ M chia đoạn AB theo tỉ số k 1

II. BÀI TẬP

1. Viết tọa độ của các vectơ sau: = 3 , = + ; = i

+ j

; = 3 i

;

= 4 j

.

2. Viết dưới dạng = x i

+ y j

, biết rằng:

u

= (1; 3) ; u

= (4; 1) ; u

= (0; 1) ; u

= (1, 0) ; u

= (0, 0)

3. Trong mp Oxy cho a

= (1; 3) , b

= (2, 0). Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ:

a/ u

= 3 a

2 b

b/ = 2 a

+ b

c/ = 4 a

2

1b

4. Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2)

a/ Tìm tọa độ của các vectơ AB , ,

b/ Tìm tọa độ trung điểm I của ABc/ Tìm tọa độ điểm M sao cho: = 2 3d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho: + 2 4 = 0

5. Trong mp Oxy cho ba điểm A (4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2).

a/ CMR : A, B, C là ba đỉnh của tam giác.

b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.

6. Trong mp Oxy cho ABC có A (0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1).

a/ CMR : A, B, C là ba đỉnh của tam giác.

b/ Gọi D (3; 1). CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng.

c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

7. Trong mp Oxy cho ABC có A (3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4).

a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng.

b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.

8. Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)

a/ Hãy tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho A, B, C thẳng hàng.

b/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.


9. Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0)

a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng.

b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC. 10. Cho hai điểm A(3; -5), B(1; 0) .

a) Tìm toạ độ điểm C sao cho: b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C.c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.

11. Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0). a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.

b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB. 12. Cho ba điểm A(1; -2), B(0; 4), C(3; 2).

Tìm tọa độ điểm M sao cho:


Vec to Day Them Chuan

Documents

Transcript of Vec to Day Them Chuan