VẬT LÝ CHẤT RẮN - iop.vast.ac.vnnvthanh/cours/vatlychatran/CH4 Dao dong... · •Phương...

VẬT LÝ CHẤT RẮN

TS. Ngô Văn Thanh

Viện Vật Lý

Hà Nội - 2016

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 2

Tài liệu tham khảo

[1] Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8th Eds. (John Wiley & Sons, 2005)

[2] Đào Trần Cao, Cơ sở vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG Hà Nội, 2007).

[3] Charles Kittel, Mở đầu vật lý chất rắn, (Đặng Mộng Lân và Trần Hữu Phát dịch), (NXB KHKT Hà Nội, 1984).

[4] Nguyễn Ngọc Long, Vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG Hà Nội, 2007).

[5] Lê Khắc Bình, Nguyễn Nhật Khanh, Vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG TP. HCM, 2002)

Website : http://iop.vast.ac.vn/~nvthanh/cours/vatlychatran/

Email : [email protected]


CHƯƠNG 4. DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ

1. Dao động của tinh thể đơn nguyên tử

2. Cơ sở tối giản có hai nguyên tử

3. Lượng tử hoá sóng đàn hồi

4. Xung lượng của phonon

5. Tán xạ không đàn hồi bởi phonon



Ký hiệu các loại kích thích



Sóng dọc (longitudinal wave)



Sóng ngang (transverse wave)



Xét tinh thể có 1 nguyên tử trong một ô tối giản

Giả thiết:

• Phản ứng đàn hồi của tinh thể là hàm tuyến tính của lực

• Năng lượng đàn hồi là hàm bậc 2 của độ dịch chuyển tương đối giữa 2 nút mạng

trong tinh thể. Năng lượng bằng zero khi hệ ở trạng thái cân bằng

• Sự dịch chuyển của mặt phẳng thứ (s + p) gây ra một lực tác dụng lên mặt phẳng s

lực này tỷ lệ với hiệu của 2 dịch chuyển :

Xét trường hợp lực tác dụng giữa các mặt phẳng lân cận gần nhất :

• Ta có dạng định luật Hooke :

• C : hằng số lực. Để cho đơn giản, ta có thể xem như C là hằng số lực của một nguyên tử

• Phương trình chuyển động của nguyên tử trong mặt phẳng

• Nghiệm của phương trình này có dạng



Nghiệm của phương trình vi phân có dạng sóng chạy

• a : khoảng cách giữa các mặt phẳng; là vector sóng

• Viết lại biểu thức :

• Rút gọn biểu thức trên, ta thu được

• Sử dụng đồng nhất thức:

• Ta thu được hệ thức tán sắc

• Vùng Brillouin thứ nhất có biên tại :

• Độ dốc của tần số bằng zero tại biên :



Tiếp tục biến đổi biểu thức



Vùng Brillouin thứ nhất Xét tỷ số của độ dịch chuyển của hai mặt phẳng kế tiếp nhau

Vùng Brillouin thứ nhất

• Khoảng các giá trị riêng biệt của K

• Hàm e mũ có giá trị riêng biệt trong khoảng này của hệ số pha

• Giá trị cực đại của vector sóng trong vùng Brillouin thứ nhất :

Giả thiết rằng vector sóng K nằm ngoài vùng Brillouin thứ nhất

Định nghĩa một vector K’ nằm trong vùng

Biến đổi tỷ số :



Chú ý : là vector mạng đảo nên cũng là vector mạng đảo

• Hiệu của vector sóng K và vector mạng đảo cho ta một vector sóng tương đương trong vùng Brillouin thứ nhất K’.

Xét tại biên vùng :

• Nghiệm của độ dịch chuyển :

• Độ dịch chuyển này thể hiện “sóng dừng” mà không phải là sóng lan truyền

Tại các biên vùng khác thoả mãn điều kiện :

• Độ dịch chuyển :

• Dấu (+) và (-) thể hiện phương truyền sóng sang phải hoặc sang trái

Hiện tượng này tương đương với sự phản xạ Bragg của tia X.

• Khi điều kiện phản xạ Bragg được thoả mãn, sóng không thể truyền qua mạng tinh thể mà nó bị phản xạ toàn phần và đi ra dưới dạng sóng đứng.

• Giá trị tới hạn thoả mãn điều kiện phản xạ Bragg :



Vận tốc nhóm Vận tốc truyền sóng :

• Đây chính là vận tốc truyền năng lượng trong môi trường

Thay biểu thức của tần số vào ta có:

Tại biên vùng:

Giới hạn bước sóng dài Điều kiện sóng dài :

• Khai triển

Ta có hệ thức tán sắc :

=> tần số tỷ lệ thuận với vector sóng



Hằng số lực

Tổng quát hoá hệ thức tán sắc

Xét p mặt phẳng lân cận gần nhất

Nhân hai vế cho , lấy tích phân trên tất cả các giá trị riêng biệt của K

Tích phân này chỉ xác định khi và chỉ khi

• Suy ra:



Xét trường hợp ô tối giản có 2 nguyên tử

Ví dụ : NaCl hoặc các tinh thể có cấu trúc kim cương

Mỗi mode phân cực, hệ thức tán sắc tách thành hai nhánh

Nhánh phonon âm (acoustic) : tách ra tại K = 0

• mode dao động âm dọc LA (longitudinal); mode dao động âm ngang TA (transverse)

Nhánh phonon quang (optic) : tách ra tại K = (2/a)(1/2,1/2,1/2)

• mode dao động quang dọc LO; mode dao động quang ngang TO



Xét các phương trình chuyển động

Nghiệm của các phương trình này có dạng sóng chạy (traveling wave)

• a : khoảng cách ngắn nhất giữa hai mặt cùng loại

Thay vào phương trình chuyển động, ta có



Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm khi định thức bằng 0

Suy ra

• Phương trình bậc 4 nên có 4 nghiệm

Xét trường hợp giới hạn

Khai triển :

Cuối cùng ta có các hệ thức tán sắc

• Nhánh quang

• Nhánh âm

Tại biên vùng Brillouin thứ nhất, a là khoảng cách lặp lại của mạng



Nhánh quang tại K = 0

Thay hệ thức tán sắc vào hệ phương trình chuyển động

• Giống như điện trường của sóng ánh sáng

Nhánh âm tại K = 0

• Các nguyên tử cùng chuyển động với nhau (chuyển động khối tâm) : sóng đàn hồi



Phonon Phonon là lượng tử năng lượng của dao động mạng, tương tự như photon của

sóng điện từ. Năng lượng của mode đàn hồi với tần số góc

Đây là năng lượng ở mode kích thích có số lượng tử n, nghĩa là mode gồm có n

phonon.

là năng lượng mode 0.

Dao động mạng tương đương với dao động tử điều hòa với tần số và năng

lượng riêng của nó là

Xét mode sóng đứng có biên độ

• u0 : độ dịch chuyển của một yếu tố thể tích quanh vị trí cân bằng tại x

Tương tự như dao động tử điều hòa, năng lượng bao gồm :

½ năng lượng là động năng và ½ năng lượng là thế năng



Mật độ động năng : ; là mật độ khối lượng

Động năng của thể tích V của tinh thể

Động năng trung bình theo thời gian

chú ý :

Bình phương biên độ

Năng lượng của phonon phải là một số dương. Ta quy ước tần số > 0

Nếu cấu trúc của tinh thể không bền vững : 2 < 0 là số ảo


4. Xung lượng của phonon

Phonon momentum Phonon của vector sóng K sẽ tương tác với các hạt (photon, electron, neutron)

nếu như nó có xung lượng

• Chú ý : phonon không mang theo xung lượng vật lý thông thường.

Phonon của mạng tinh thể chỉ mang xung lượng khi K = 0

• Do K là tọa độ của phonon mà nó bao gồm tọa độ tương đối của các nguyên tử

Quy tắc chọn vector sóng đối với tán xạ đàn hồi của photon tia X bởi tinh thể

Trong quá trình phản xạ, tinh thể dường như bị giật lùi với xung lượng

tuy nhiên, đây là xung lượng của mode tầm thường.

Xét quá trình tán xạ không đàn hồi

Sinh ra phonon có vector sóng

Nếu như photon được hấp thụ trong quá trình tán xạ

<=> định luật bảo toàn xung lượng


5. Tán xạ không đàn hồi bởi phonon

Quá trình tán xạ của chùm neutron bởi tinh thể

Viết lại biểu thức quy tắc chọn vector sóng dưới dạng tổng quát

• Dấu (+) và (-) : sinh ra hoặc hấp thụ phonon

Ta hoàn toàn có thể chọn vector sao cho vector nằm trong vùng Brillouin thứ nhất

Động năng của chùm neutron tới :

Xung lượng :

Viết lại động năng của chùm neutron tới :

Năng lượng của chùm tia neutron tán xạ :

Theo định luật bảo toàn năng lượng, ta có:

• Dấu (+) và (-) : sinh ra hoặc hấp thụ phonon

VẬT LÝ CHẤT RẮN - iop.vast.ac.vnnvthanh/cours/vatlychatran/CH4 Dao dong... · •Phương...

Documents

Transcript of VẬT LÝ CHẤT RẮN - iop.vast.ac.vnnvthanh/cours/vatlychatran/CH4 Dao dong... · •Phương...