Varianza de AllanVarianza de AllanHerramienta para el diagnóstico de fallas en osciladoresHerramienta para el diagnóstico de fallas en osciladores

J. Mauricio López R.J. Mauricio López R.

Centro Nacional de Metrología Centro Nacional de Metrología CENAMCENAM

ContenidoContenido

1. Introducción

2. Algunos métodos de medición en Tiempo y Frecuencia

3. Varianza de Allan

4. Barras de Incertidumbre

5. Ejemplos de análisis de desempeño de osciladores utilizando la varianza de Allan

IntroducciónIntroducciónIntroducciónIntroducción

VARIANZA ESTÁNDARVARIANZA ESTÁNDAR vs

VARIANZA DE ALLAN

El uso de la varianza estándar en el análisis de la dispersión de

VARIANZA DE ALLAN

El uso de la varianza estándar en el análisis de la dispersión devariables dependendientes del tiempo puede conducir a problemasde divergencia cuando el número de mediciones tiende a infinito.Dicha divergencia puede ser originada por una fuerte correlaciónDicha divergencia puede ser originada por una fuerte correlaciónentre mediciones que introduce ruidos no blancos en las series demediciones. En el caso de la metrología de tiempo y frecuencia, porejemplo, la presencia de ruidos no blancos como el llamado ruido enejemplo, la presencia de ruidos no blancos como el llamado ruido enfrecuencia de paso aleatorio (Random Walk Frequency Noise)introduce una rápida divergencia en el análisis de estabilidad defrecuencia cuando se usa la varianza estándar. El uso de la llamadaVarianza de Allan se ha generalizado a nivel internacional paraexpresar la estabilidad de osciladores ya que es convergente para losprincipales ruidos no blancos presentes en señales de frecuencia yen series de tiempo. La varianza de Allan es una herramienta muyútil para el diagnóstico de fallas en osciladores.

Algunos métodos de medición enAlgunos métodos de medición en

Tiempo y FrecuenciaTiempo y Frecuencia

Mediciones de Diferencia de FaseMediciones de Diferencia de Fase

MEDICIONES DE DIFERENCIA DE FASE

1 0

200

PC InterfaseInterfasedede

ComunicaciónComunicación

Frec encia PatrónFrec encia Patrón

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

0 20 40 60 80 100 120

DATOS t=1S)

Adquisición de datos automatizado

Frecuencia Patrón Frecuencia Patrón para amarrar en para amarrar en

frecuencia al frecuencia al contadorcontador

P t ó d f iP t ó d f i

Instrumento bajo

Instrumento bajo Contador de

Intervalos de Patrón de referencia Patrón de referencia calibracióncalibraciónIntervalos de Tiempo

Frecuencia Frecuencia BajoBajoFrecuencia PatrónFrecuencia Patrón BajoBajo

CalibraciónCalibraciónFrecuencia Patrón Frecuencia Patrón para la calibraciónpara la calibración

Método de medición de diferencia de faseMétodo de medición de diferencia de fase

MEDICIONES DE DIFERENCIA DE FASE

150

180

60

90

120

0

30

60

AD

OS

-60

-30GR

A

-120

-90

-180

-150

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

DATOS(τ=1 s)

MEDICIONES DE DIFERENCIA DE FASE

150

180

60

90

120

0

30

60

AD

OS

-60

-30GR

A

-120

-90

-180

-150

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

DATOS(τ=1 s)

Inestabilidad en frecuencia (ruido)Frecuencia estable (oscilador ideal)

Φ(t)1

Time

V1-1

T1 T2 T3

Unstable Frequency (Real Oscillator)

Time

(t)

V(t) = V0 sin(2πν0t) Φ(t) = 2πν0t

Φ(t)1-1

T T T

V

TimeT1 T2 T3

V(t) =[V0 + ε(t)] sin[2πν0t + φ(t)] Φ(t) = 2πν0t + φ(t)

)t(d1)t(d1 φΦ

V(t) = salida del oscilador, V0 = Amplitud nominal pico-a-picoε(t) = amplitud de ruido ν = frecuencia nominal

t d)t(d

21= t d

)t(d21 = )t( 0

φ+ννπ

Φπ

frequency, ousInstantane

4-16

ε(t) = amplitud de ruido, ν0 = frecuencia nominalΦ(t) = fase , and φ(t) =ruido de fase

Varianza de AllanVarianza de AllanVarianza de AllanVarianza de Allan

La Varianza de Allan es la herramienta usada para el análisis de La Varianza de Allan es la herramienta usada para el análisis de mediciones de Tiempo y Frecuencia siendo un estimador de la mediciones de Tiempo y Frecuencia siendo un estimador de la di ió d l di i d t i d í l t bilid d d ldi ió d l di i d t i d í l t bilid d d ldispersión de las mediciones, determinando así, la estabilidad del dispersión de las mediciones, determinando así, la estabilidad del oscilador bajo calibración.oscilador bajo calibración.

Concepto de la Varianza de Allan

iii

xxy −= +1

1 ( )21iii yyy −=∆ +1 iiii xxxx +−=∆ ++ 12

2 2τ

( )22y 2

1σ iy∆= ( )222

2y 2

1σ ix∆=τ

Frecuencia FaseFrecuencia Fase

Varianza de Allan para Mediciones de FrecuenciaVarianza de Allan para Mediciones de Frecuencia

( ) ( )∑−1N

22 1( ) ( ) ( )∑=

+ −−

=1i

2i1i

0

2y yy

1N2σ

ττ

donde:donde: 2donde:donde:Varianza de AllanVarianza de Allan

Número de datos espaciados Número de datos espaciados ττ00

2yσ

Nτ

ii é ié i di ió d fdi ió d fyTiempo de observación = mTiempo de observación = mττ00

ii--ésimaésima medición de fasemedición de faseiy

m =2=2nn cálculos posiblescálculos posibles

Varianza de Allan para Mediciones de Diferencia de FaseVarianza de Allan para Mediciones de Diferencia de Fase

( ) ( ) ( )∑−

++ +−=mN

imimiy xxxN

22

222 2

221τσ ( ) ( ) ( )∑

=− iy mN 1

222 τ

donde:donde: 2donde:donde:Varianza de AllanVarianza de Allan

ii--ésimaésima medición de fasemedición de fase

2yσ

ixNúmero de datos espaciados Número de datos espaciados ττ00

Tiempo de observación = mTiempo de observación = mττ

Ni

τ Tiempo de observación = mTiempo de observación = mττ00

m =2=2nn cálculos posiblescálculos posibles

Barras de IncertidumbreBarras de IncertidumbreBarras de IncertidumbreBarras de Incertidumbre

Distribución Distribución χχ22

Para df < 100Para df < 1002

2

22 )( ys

dfχ = 2yσ

donde:donde:

D

2ys

donde:donde:Estimado de la Varianza de AllanEstimado de la Varianza de Allan

df Número de grados de libertadNúmero de grados de libertad

Distribucdf Número de grados de libertadNúmero de grados de libertad

Varianza de Allan verdaderaVarianza de Allan verdadera2yσ

ción X2

Barras de incertidumbreBarras de incertidumbre

22 )( ys

dfχ = 2)(y

dfσ

χ =Barra InferiorBarra Inferior Barra SuperiorBarra Superior

( ) ( )22 dfsdfs ( )( )

( )( )025,0975.0 2

22 χ

σχ

dfsdfs yy

y <<( ) ( )025,0975.0 χχ

Tablas XTablas X22

Tabla XTabla X22

Barras de incertidumbreBarras de incertidumbre

Para df > 100Para df > 100

Barras de incertidumbreBarras de incertidumbre

1

Para df > 100Para df > 100

( ) ( )22 96,121025,0 −= hχ Barra Barra

SuperiorSuperior

( ) ( )22 96119750 += hχ B I f iB I f i( ) ( )96,12

975,0 += hχ Barra InferiorBarra Inferior

12dfhdonde:donde:

12 −= dfh

Número de Grados de LibertadNúmero de Grados de Libertad

White Phase ModulationWhite Phase Modulation( )( )

( )NmNNdf −+

=2

21( )mN

f−2

Flicker Phase ModulationFlicker Phase Modulation( )( )

⎥⎤

⎢⎡ ⎞

⎜⎛ −+⎞

⎜⎛ −

=112ln1lnexp NmNdfFlicker Phase ModulationFlicker Phase Modulation ⎥

⎦⎢⎣ ⎠

⎜⎝⎠

⎜⎝

=4

ln2

lnexpn

df

White Frquency ModulationWhite Frquency Modulation ( ) ( ) 42213 2

⎥⎤

⎢⎡ −−

=mNNdfWhite Frquency ModulationWhite Frquency Modulation

542 2 +⎥⎦⎢⎣−=

mNmdf

NBS Technical note 679NBS Technical note 679

Número de Grados de LibertadNúmero de Grados de Libertad Continuación…Continuación…

( ) 122 −NdfFlicker Frequency ModulationFlicker Frequency Modulation

( )

25

19,43,2

2

≥

=−

=

Ndf

mparaN

df

( ) 234

≥+

= mparamNm

df

RandomRandom--Walk Frequency Walk Frequency ( ) ( )( )2

22 41312 +−−−−=

mNmNNdfq yq yModulationModulation ( )23−Nm

df

NBS Technical note 679NBS Technical note 679

Dependencia temporal de Dependencia temporal de σσyy((ττ))

τ-1

σy(τ) τ-1

τ0τ-1/2 τ1/2

Tipo de White Flicker White Flicker Random

Por debajo del ruido “fliker”, los cristales de cuarzo tipicamente tienen una

ruido: phase phase freq. freq. walk freq.

Por debajo del ruido fliker , los cristales de cuarzo tipicamente tienen unadependencia τ-1 (white phase noise). Los patrones atómicos de frecuenciamuestran una dependencia del tipo τ-1/2 (white frequency noise) para tiempos depromediación cercanos al tiempo de ataque del lazo de amarre, y τ-1 para tiempos

d l ti d t Ti i t l ’ l id fli k 1

4-25

menores del tiempo de ataque. Tipicamente los τ’s para el ruido flicker son: 1 spara osciladores de cuarzo, 103s para relojes de rubidio y 105s para Cesio.

Dependencia temporal de Dependencia temporal de σσyy((ττ))

τ-1

σy(τ) τ-1

τ0τ-1/2 τ1/2

Tipo de White Flicker White Flicker Random

Por debajo del ruido “fliker”, los cristales de cuarzo tipicamente tienen una

ruido: phase phase freq. freq. walk freq.

Por debajo del ruido fliker , los cristales de cuarzo tipicamente tienen unadependencia τ-1 (white phase noise). Los patrones atómicos de frecuenciamuestran una dependencia del tipo τ-1/2 (white frequency noise) para tiempos depromediación cercanos al tiempo de ataque del lazo de amarre, y τ-1 para tiempos

d l ti d t Ti i t l ’ l id fli k 1

4-25

menores del tiempo de ataque. Tipicamente los τ’s para el ruido flicker son: 1 spara osciladores de cuarzo, 103s para relojes de rubidio y 105s para Cesio.

Ejemplos de análisis de desempeño de osciladoresEjemplos de análisis de desempeño de osciladoresEjemplos de análisis de desempeño de osciladores Ejemplos de análisis de desempeño de osciladores utilizando la varianza de Allanutilizando la varianza de Allan

Con problemaCon problema

Universal Time Interval CounterUniversal Time Interval CounterSR620SR620

• 1 hora de medición.• τ de 1 s.• f=10 MHz

Con problemaCon problema

Universal CounterUniversal CounterHP53131A (Horneado)HP53131A (Horneado)

10 horas de medición.10 horas de medición.ττ de 1 s.de 1 s.f= 10 MHzf= 10 MHz

Sin problemaSin problema

Universal CounterUniversal CounterHP53131A (Horneado)HP53131A (Horneado)

10 horas de medición.10 horas de medición.ττ de 1 s.de 1 s.f= 10 MHzf= 10 MHz