VẤN ĐỀ 1: Ổ Ề Ố -...

LÝ THUYẾT, CÔNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH

TRẮC NGHIỆM TOÁN 2017

20/03/2017

1

Ngô Quang Chiến



1

VẤN ĐỀ 1: TỔNG QUAN VỀ HÀM SỐ

1. Tính đơn điệu

a) Cho hàm số ( ); '( ) y f x f x trên D : '( ) 0( '( ) 0); ( ) f x f x x D f x đồng biến

(hoặc nghịch biến) trên D .

b) Cho hàm số ( ); '( ) y f x f x trên khoảng ( ; )a b : '( ) 0( '( 0); ( ; ) ( ) f x f x x a b f x

đồng biến (hoặc nghịch biến)trên ( ; )a b , với '( ) 0f x tại hữu hạn điểm của D. Đây

là định lý mở rộng cho định lý trên và áp dụng mạnh hơn trong các trường hợp

biện luận tính đơn điệu của hàm số , điều kiện khi đó đối với hàm đa thức thì sẽ

lấy được dấu bằng, còn hàm phân thức thì không lấy được dấu bằng .

2. Cực trị

a) (ĐỊNH LÝ LA-GRĂNG) Hàm số ( )y f x liên tục trên ;a b và '( )f x trên

khoảng ( ; ) ( ; ) a b c a b sao cho: ( ) ( ) '( )( ) f b f a f c b a hay( ) ( )

'( )( )

f b f af c

b a b) Hàm số ( )y f x đạt cực trị tại

0x 0 x là điểm cực trị của hàm số, hay

0x là

điểm thuộc tập xác định D ; 0( )f x là giá trị cực trị của hàm số; điểm

0 0( ; ( ))M x f x

là điểm cực trị của đồ thị hàm số.

c) Hàm số ( )y f x có đạo hàm tại 0x và đạt cực trị tại

0x 0'( ) 0f x (đ/lí FERMAT)

Chú ý :

+) Đạo hàm có thể triệt tiêu tại điểm 0x nhưng hàm số không đạt cực trị tại đó,

nên điều ngược lại định lý trên không đúng , ví dụ hàm số 5y có đạo hàm

bằng 0 tại mọi điểm 0x nào đó, nhưng rõ ràng hàm này luôn không đổi nên

không tồn tại cực trị.

+) Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó không có đạo hàm, ví dụ hàm

số 2

2'

xy x x y

x nên đạo hàm không tồn tại 0, nhưng 0,y x x , hàm

số có giá trị cực tiểu là 0 tại 0x .

+) Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng

0 hoặc không tồn tại đạo hàm của hàm số .

d) Giả sử hàm số ( )y f x liên tục trên khoảng ( ; )o oD x h x h và '( )f x D

hoặc trên 0\ , 0D x h thì '( ) 0( '( ) 0);f x f x 0 0( ; )x x h x và '( ) 0( '( ) 0);f x f x

0 0 0( ; )x x x h x là CĐ (hoặc CT)



20/03/2017

2

Ngô Quang Chiến



2

e) Giả sử hàm số ( )y f x ,0 0''( ) ( ; ), 0f x D x h x h h ,khi đó:

+)0 0 0'( ) 0; ''( ) 0 f x f x x là CT, đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó

+)0 0 0'( ) 0; ''( ) 0f x f x x là CĐ, đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó

+)0 0; ''( )x D f x đổi dấu qua

0x 0 0( ; ( ))M x f x là điểm uốn của đồ thị

VẤN ĐỀ 2: CÁC LOẠI HÀM SỐ

LOẠI 1: Hàm số bậc 3 : 3 2 , ( 0)y ax bx cx d a

LÝ THUYẾT VÀ TÍNH CHẤT

+) Hàm số có cực đại, cực tiểu : 2' 3 0b ac

+) Hàm số luôn đồng biến trên R :2

0

' 3 0

a

b ac

+) Hàm số luôn nghịch biến trên R :2

0

' 3 0

a

b ac

+) Phương trình đường thẳng đi qua hai cực trị của đồ thị : 22 2

3 9 9

c b bcy x d

a a

26 2 9

9

ac b x ad bc

a

Cách khác : Viết phương trình đường thẳng

Gọi là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị :

Ta có : 1 ''

9 . '9 2

yay y

, thật vậy :

* 2' 3 2 ; '' 6 2y ax bx c y ax b

* 23(3 2 )

9

ax by ax bx c

a

''9 . '

2

yay y Ax B , ta không cần quan tâm A, B có dạng

gì , ta tìm A, B :

*Nhập vào CASIO ''

( ) 9 . '2

yT x ay y ,CALC 0 ta thu được B : (0)T B

*Lưu (0)T B , CALC 1 rồi trừ đi B thu được A : (1) (0)T T A

+) Hàm số luôn cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm, và đồ thị hàm số nhận điểm uốn

0 0; ( )x y x làm tâm đối xứng, với 0''( ) 0y x



20/03/2017

3

Ngô Quang Chiến



3

+) M thuộc (C), nếu M là điểm uốn thì có đúng một tiếp tuyến của (C) qua M và

tiếp tuyến này có hệ số góc nhỏ nhất ( 0a ), lớn nhất ( 0a ), M khác điểm uốn

thì có hai tiếp tuyến qua M

+)Đồ thị (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành một CSC khi :

D

03

. 0CT C

by

a

y y

BẢNG BIẾN THIÊN

+) 0a , 2' 3 0b ac , hàm số có 2 cực trị:

x 1x

2x

y’ 0 - 0 +

y

CĐ

CT

ĐỒ THỊ

+) 0a , 2' 3 0 ' 0b ac y , hàm số

luôn tăng trên R :

x y’ +

y

+) 0a , 2' 3 0b ac , hàm số có 2 cực trị :

x 1x

2x

y’ - 0 + 0 -

y

CĐ

CT



20/03/2017

4

Ngô Quang Chiến



4

+) 0a ,2' 3 0 ' 0b ac y , hàm số luôn

giảm trên R :

x y’ -

y

LOẠI 2: Hàm số bậc 4 trùng phương : 4 2 , ( 0)y ax bx c a


+) Hàm số có 1 cực trị : 0ab (đồ thị không có điểm uốn).

* 0a : 1 cực tiểu

* 0a : 1 cực đại

+) Hàm số có 3 cực trị : 0ab (đồ thị có 2 điểm uốn).

* 0a : 1 cực đại, 2 cực tiểu

* 0a : 1 cực tiểu, 2 cực đại

*Xét : 2 4b ac , hàm số có 3 cực trị A, B, C với

(0; ), ; , ;2 4 2 4

b bA c B C

a a a a

4

2, 2

16 2 2

b b bAB AC BC

a a a

* Gọi

3

3

8cos

8

b aBAC

b a

* Diện tích tam giác ABC :21

. .4 2

b bS

a a

* Phương trình đuờng cong đi qua 3 cực trị A, B, C của đồ thị :

2 2 ( ) 0x y c n x cn với 2

4n

b a

Cách khác : viết phương trình đường cong

Ta có 3 3' 4 2 ; ' 02

by ax bx y x x

a ,mà 4 2 3 2( ) : .y ax bx c C y ax x bx c

2 2.( ) ( ) : ( )2 2

b bx x bx c C y b x c

a a .



20/03/2017

5

Ngô Quang Chiến



5

+) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt lập thành một CSC khi

phương trình 2 0aX bX c có hai nghiệm dương phân biệt thoả mãn 1 29X X .

+) Nếu đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị thì đường thẳng d’ đối xứng với d

qua trục Ox cũng là tiếp tuyến của đồ thị .

+) Bài toán tham số với hàm số có 3 cực trị .(Nguồn : Thầy Nguyễn Phú Khánh) DỮ KIỆN CÔNG THỨC VÍ DỤ

Tam giác

vuông cân

38 0a b ?m hàm số 4 2( 2015) 5y x m x có 3 cực trị tạo

thành một tam giác vuông cân, với 1, 2015a b m . 3 38 0 8 ( 2015) 0 2017a b m m

Tam giác

đều

324 0a b ?m hàm số 4 29

3( 2017)8

y x m x có 3 cực trị tạo

thành một tam giác đều, với 9

, 3( 2017)8

a b m

3 324 0 27 27( 2017) 0 2016a b m m

BAC 3 28 .tan 02

a b

?m hàm số 4 23 ( 7)y x m x có 3 cực trị tạo thành

một tam giác có một góc 0120 , với 3, 7a b m .

3 2 38 .tan 0 24 ( 7) .3 0 52

a b m m

0ABCS S 3 2 5

032 ( ) 0a S b ?m hàm số 4 22 2y mx x m có 3 cực trị tạo thành

một tam giác có diện tích bằng 1 , với , 2a m b . 3 2 5 3

032 ( ) 0 32 32 0 1a S b m m

Max( )ABCS

5

332ABC

bS

a

sau đó biện luận

?m hàm số 4 2 22(1 ) 1y x m x m có 3 cực trị tạo

thành tam giác có diện tích max , với 21, 2(1 )a b m

52 5

3(1 ) 1 ( ) 0

32ABC ABC

bS m Max S m

a

0ABCR R 3

0

8

8

b aR

a b

?m hàm số 4 2 2 1y mx x m có 3 cực trị tạo thành

một tam giác nội tiếp đường tròn bán kính 9

8R ,

với , 1a m b . 0

1 8 91

8 8

mR m

m

do 0m

0ABCr r 2

03

1 1

br

ba

a

?m hàm số 4 2 3

2y x mx có 3 cực trị tạo thành một

tam giác ngoại tiếp đường tròn bán kính 1r ,

với 1,a b m .



20/03/2017

6

Ngô Quang Chiến



6

2 2

033

1 21 1

1 1

b mr m

mba

a

0BC m 2

0 2 0am b ?m hàm số 2 4 2 1y m x mx m có 3 cực trị trong đó

2BC , với 2 ,a m b m . 2 2

0 2 0 2 2 0 1am b m m m vì 0m

0

AB AC

n

2 2 4

016 8 0a n b b

?m hàm số 4 2y mx x m có 3 cực trị trong đó

1

4AC , với , 1a m b .

2 2 4

016 8 0 3a n b b m do 0m

,B C Ox 2 4 0b ac ?m hàm số 4 2 1y x mx có 3 cực trị tạo thành một

tam giác có ,B C Ox , với 1,a b m 2 4 0 2b ac m do 0m

Tam giác

ABC cân

Phương trình qua

điểm cực trị : :4

BC ya

và

3

, :2

bAB AC y x c

a

Tam giác

ABC nhọn

38 0a b ?m hàm số 4 2 2( 6) 2y x m x m có 3 cực trị tạo

thành một tam giác nhọn , với 21, ( 6)a b m . 38 0 2 2 2a b b m

O là trọng

tâm tam

giác ABC

2 6 0b ac ?m hàm số 4 2y x mx m có 3 cực trị tạo thành một

tam giác nhận O làm trọng tâm , với 1, ,a b m c m . 2 6 0 6b ac m do 0m

O là trực

tâm tam

giác ABC

38 4 0a b ac ?m hàm số 4 2 2y x mx m có 3 cực trị tạo thành

một tam giác trực tâm O , với 1, , 2a b m c m . 38 4 0 2a b ac m do 0m

O là tâm

đường tròn

ngoại tiếp

tam giác

ABC

3 8 8 0b a abc ?m hàm số 4 2 2 1y mx x m có 3 cực trị tạo thành

một tam giác nội tiếp đường tròn tâm O , với

, 1, 2 1a m b c m 3 18 8 0

4b a abc m

do 0m

Góc ở đỉnh

của tam

giác cân :

3

3

8cos

8

b a

b a

Công thức mở rộng cho trường hợp điều kiện tam giác tạo

từ 3 điểm cực trị là : đều, vuông, hay có một góc bất kì



20/03/2017

7

Ngô Quang Chiến



7

O là tâm

đường tròn

nội tiếp

tam giác

ABC

3 8 4 0b a abc ?m hàm số 4 22 2y mx x có 3 cực trị tạo thành một

tam giác ngoại tiếp đường tròn tâm O ,

với , 2, 2a m b c 3 8 4 0 1b a abc m

do 0m

4 điểm A,

B, C, O tạo

thành 1

hình thoi

2 2 0b ac ?m hàm số 4 22 4y x mx có 3 cực trị cùng với O

tạo thành hình thoi, với 2, , 4a b m c . 2 2 0 4b ac m do 0m


+) 0, 0a b hàm số có 3 cực trị:

x 1x 0

2x

y’ - 0 + 0 - 0 +

y

CĐ

CT CT


x 1x 0

2x

y’ + 0 - 0 + 0 -

y

CĐ CĐ

CT


x 0

y’ - 0 +

y

CT

ĐỒ THỊ



20/03/2017

8

Ngô Quang Chiến



8


x 0

y’ + 0 -

y

CĐ

LOẠI 3: Hàm số nhất biến (bậc 1/bậc 1) : , ( 0)ax b

y accx d


+)Tập xác định : \d

D Rc

+) Đạo hàm : 2

' ,( )

ad bcy

cx d

đặt m ad bc

* 0m hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định .

* 0m hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định .

+) Tiệm cận đứng d

xc

, tiệm cận ngang a

yc

+)Tổng khoảng cách từ điểm M trên đồ thị đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất

2

( )ad bc

Min dc

+)Tương giao : giả sử :d y kx m cắt đồ thị ax b

ycx d

tại hai điểm M, N, với

ax bkx m

cx d

cho ta phương trình có dạng : 2 0,( 0)Ax Bx C cx d có

2 4B AC :

*2

2

1.

kMN

A

, MN ngắn nhất khi tồn tại min ,k const

* OMN cân tại O : 2

1 2( )(1 ) 2 0x x k km



20/03/2017

9

Ngô Quang Chiến



9

* OMN vuông tại O : 2 2 2

1 2 1 2( . )(1 ) ( )(1 ) 0x x k x x k km m

+)M thuộc đồ thị (C), tiếp tuyến của đồ thị tại M cắt 2 tiệm cận luôn tạo ra một

tam giác có diện tích không đổi .

+)Đồ thi hàm số nhất biến gọi là một hypebol vuông góc có tâm đối xứng

( ; )d a

Ic c

là giao điểm của hai đường tiệm cận .

+)Hàm số nhất biến không có cực trị


+) 0m

x d

c

y’ + +

y

a

c

a

c

ĐỒ THỊ

+) 0m

x d

c

y’ + +

y a

c

a

c



20/03/2017

10

Ngô Quang Chiến



10

CHÚ Ý(áp dụng cho nhưng bài vận dụng nâng cao) :

1) Từ đồ thị (C): ( )y f x ta suy ra các dạng đồ thị sau :

+) ( )y f x bằng cách lấy đối xứng qua trục hoành .

+) ( )y f x bằng cách lấy đối xứng qua trục tung .

+) ( )y f x bằng cách lấy đối xứng qua gốc toạ độ .

+) ( )y f x bằng cách lấy phần đồ thị phía trên trục hoành, còn phần phía dưới

trục hoành thì lấy đối xứng qua trục hoành .

+) ( )y f x là hàm số chẵn, bằng cách lấy phần đồ thị phía bên phải trục tung, rồi

lấy phần đối xứng phần đó qua trục tung .

2) Bài toán biện luận số nghiệm của phương trình dạng ( , ) 0g x m , đưa phương

trình về dạng ( ) ( )f x h m trong đó vế trái là hàm số đang xét đã vẽ đồ thị (C):

( )y f x . Số nghiệm là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng ( )y h m . Chú

ý , do ta đang xét ở đây với m là tham số nên cho dù hàm ( )y h m là hàm số bậc

bao nhiêu với m thì cũng chỉ là 1 tham số, và đường thẳng ( )y h m là đường song

song hoặc trùng với trục Ox .

3) Điểm đặc biết của họ đồ thị ( ) : ( , )mC y f x m , với m là tham số

+) Điểm cố định của họ đồ thị là điểm mà mọi đồ thị đều đi qua :

0 0 0 0 0( ; ) ( ), ( , ),mM x y C m y f x m m

+) Điểm mà họ đồ thị không đi qua là điểm mà không có đồ thị nào của họ đi qua

với mọi tham số : 0 0 0 0 0( ; ) ( ), ( , ),mM x y C m y f x m m

Nhóm theo tham số và áp dụng các mệnh đề sau :

* 0, 0, 0Am B m A B

* 2 0, 0, 0, 0Am Bm C m A B C

* 0, 0, 0Am B m A B

* 2 0, 0, 0, 0Am Bm C m A B C hoặc 20, 4 0A B ac

+)Hai đồ thị của hai hàm số ( )y f x và ( )y g x tiếp xúc nhau khi hệ pt:

( ) ( )

'( ) '( )

f x g x

f x g x

có nghiệm và nghiệm của hệ là toạ độ tiếp điểm .



20/03/2017

11

Ngô Quang Chiến



11

VẤN ĐỀ 3: HÀM SỐ MŨ, LOGARIT

LOẠI 1: HÀM SỐ MŨ

1. Hàm luỹ thừa

+)Các đẳng thức cơ bản : (với , 0, ,a b R )

a a a a

aa

a a

ab a b

a a

b b

+)Với , R

* 1;a a a * 0 1;a a a * 0;a a a

+) Cho 0 ,a b m R

* 0m ma b m * 0m ma b m

+) Cho , 0;a b a b

* 0a b * , ; , ,n n n na b a b a b a b a b n lẻ

+)Chú ý :

*Cho số thực 0; , , 0a m n Z n thì m

n mna a

Với , 0; , 0; ,a b m n m n Z và hai số p, q tuỳ ý :

. .n n na b a b ( 0)n

nn

a ab

b b

pn p na a

.n m m na a Nếu ( 0)n mp qp pa a a

n m

*Luỹ thừa với số mũ nguyên âm và mũ không thì cơ số khác không

*Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và số thực thì cơ số dương

+) Bảng biến thiên và đồ thị :



20/03/2017

12

Ngô Quang Chiến



12

2 . Hàm số mũ

+) Có dạng (0 1)xy a a

+) Tập xác định : R và tập gía trị 0; , liên tục trên R

+) Tính đơn điệu : 1a hàm đồng biến, 0 1a hàm nghịch biến

+) Giới hạn :0

1lim(1 )x

xe

x và

0

1lim 1

x

x

e

x

+) Đạo hàm : ' lnx xa a a nên ta có ' ln . 'u ua a a u


LOẠI 2: HÀM SỐ LOGARIT

1. Công thức Logarit

+) Logarit : Cho 0 1, 0a b thì logaa b a b



20/03/2017

13

Ngô Quang Chiến



13

* lg 10b b ln b b e

+) Tính chất :

* loglog 1 0;log 1; ; loga

a a aa a a log ( . ) log log ,( , 0)a a abc b c b c

* log ( ) log log ,( , 0)a a a

bb c b c

c

1log log ;log loga a aa

b b b b

*log

loglog

ca

c

bb

a

log logb bc aa c

2. Hàm số Logarit :

+) Có dạng log (0 1)ay x a

+) Tập xác định : 0; và tập gía trị R .

+) Tính đơn điệu : 1a hàm đồng biến, 0 1a hàm nghịch biến

+) Giới hạn :0

ln(1 )lim 1x

x

x

+) Đạo hàm : 1 '

log ' log 'ln ln

a a

ux u

x a u a mở rộng

'log '

lna

uu

u a

Đặc biệt :1 '

(ln ) ' (ln ) 'u

x ux u

mở rộng '

(ln ) 'u

uu

( , 0)x u




20/03/2017

14

Ngô Quang Chiến



14

VẤN ĐỀ 4: TOÁN LÃI XUẤT

LÃI ĐƠN

Gửi a đồng, lãi r%/tháng (lãi đơn). Số tiền A có được sau n tháng .(1 . )A a r n

LÃI KÉP

+)Gửi một lần : gửi a đồng, lãi r%/tháng (lãi kép). Số tiền A có được sau n tháng

: .(1 )nA a r

Ta suy ra được các đại lượng khác như sau: ln

; 1;ln(1 ) (1 )

nn

A

A Aan r ar a r

+) Gửi, trả theo định kỳ :

*Gửi vào đầu tháng: Tháng đầu gửi a đồng, mỗi tháng sau cũng gửi thêm a

đồng vào đầu mỗi tháng, lãi r%/tháng.

Số tiền A thu được sau n tháng : (1 ) (1 ) 1naA r r

r

Ta suy ra được các đại lượng khác :

.ln( 1)

. (1 );

ln(1 )(1 ) (1 ) 1n

A r

A r a ra n

rr r

*Gửi vào cuối tháng: Tháng đầu gửi a đồng, mỗi tháng sau cũng gửi thêm a

đồng vào cuối mỗi tháng, lãi r%/tháng.

Số tiền A thu được sau n tháng : (1 ) 1naA r

r

Ta suy ra được các đại lượng khác :

.ln( 1)

.;

ln(1 )(1 ) 1n

A r

A r aa nrr

*Trả dần vào cuối tháng (Trả góp): Vay A đồng, trả a đồng vào cuối mỗi tháng,

lãi r%/tháng. Số tiền còn nợ sau n tháng : (1 ) (1 ) 1n naA r r

r

Để hết nợ sau n tháng thì số tiền a phải trả hàng tháng là:



20/03/2017

15

Ngô Quang Chiến



15

. .(1 )(1 ) (1 ) 1

(1 ) 1

nn n

n

a A r rA r r a

r r

Chú ý : các bài toán về vay tiền, gửi tiền, phức tạp hay đơn giản sẽ dựa vào

những bài toán gốc trên để phát triển, vì vây cần hiểu rõ bản chất các bài toán

mẫu cho đến cách xây dựng công thức cho từng trường hợp để có thể vận dụng

công thức, xử lý bài toán một cách nhanh nhất và hiệu quả .

VẤN ĐỀ 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Khối đa diện : loại {n;p} (mỗi mặt có n cạnh, mỗi đỉnh là đỉnh chung của p mặt)

có D đỉnh, C cạnh, M mặt thì ta có : n.M = p.D = 2C hay theo Euler D + M = 2 + C

Khối đa diện

đều

Số đỉnh Số cạnh Số mặt Ký hiệu Thể tích

Tứ diện đều 4 6 4 {3;3} 3 2

12

a

Khối lập

phương

8 12 6 {4;3} 3a

Khối bát diện

đều

6 12 8 {3;4} 3 2

3

a

Khối mười

hai mặt đều

20 30 12 {5;3} 3(15 7 5)

4

a

Khối hai

mươi mặt

đều

12 30 20 {3;5} 3(15 5 5)

12

a

CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH

Hình chóp S.ABC có :, .

, ,

SA a SB b SC c

BSC CSA ASB

Thể tích 2 2 21 (cos cos cos ) 2cos cos cos6

abcV



20/03/2017

16

Ngô Quang Chiến



16

Tứ diện S.ABC có các cạnh đáy BC = a, CA = b, AB = c và góc giữa các mặt bên

(SBC), (SCA), (SAB) với mặt đáy (ABC) lần lượt là , , .

Thể tích khối tứ diện S.ABC :

24( cot cot cot )

a b c a b c b c a c a bV

a b c

Tứ diện ABCD có các cạnh đáy AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c, được

gọi là tứ diện gần đều có thể tích : 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

6 2

a b c a b c a b cV

Bán kính mặt cầu nội tiếp (nếu có) của khối đa diện :3.

tp

Vr

S

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp

Loại 1: Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dưới một

gốc vuông, gọi d là độ dài đoạn thẳng đó thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp 2

dR

Loại 2 : Hình chóp đều, gọi h là độ dài chiều cao của hình chóp, k là chiều dài

cạnh bên thì ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp :2

2

kR

h

Loại 3 : Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, gọi h là chiều cao hình

chóp, và dR là bán kính của đáy thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp :

2

2

2d

hR R

Loại 4 : Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy, gọi h là chiều cao hình

chóp, và ,b dR R là bán kính của mặt bên và đáy, a là độ dài giao tuyến của mặt

bên và đáy thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp :2

2 2

2b d

aR R R

VẤN ĐỀ 1: Ổ Ề Ố -...

Documents

Transcript of VẤN ĐỀ 1: Ổ Ề Ố -...