Van aantrekken en afstoten tot chaos: limietgedrag bij discrete, dynamische systemen
description
Transcript of Van aantrekken en afstoten tot chaos: limietgedrag bij discrete, dynamische systemen
Van aantrekken en afstoten tot chaos: limietgedrag bij discrete, dynamische
systemen
Johan Deprez12de T3-symposium, Oostende, augustus 2009tekst: zie T3-cahier 19 (www.t3vlaanderen.be)
slides: www.t3vlaanderen.be en www.ua.ac.be/johan.deprez
Overzicht
1. Voorbereiding: lineaire recursievergelijkingen♦ Lineaire recursievergelijkingen♦ Tabel♦ Webgrafiek♦ Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt♦ Limietgedrag bij lineaire recursievergelijkingen
2. Limietgedrag bij niet-lineaire recursievergelijkingen: voorbeeld
Voorbereiding:lineaire recursievergelijkingen
Lineaire recursievergelijkingen
• ? rij zn zo dat zn=azn-1+b (a en b getallen, a niet 0)
• voorbeeld: zn=2zn-1+5
• rij is slechts éénduidig vastgelegd als een beginwaarde z0 gegeven is
• voorbeeld (bis): z0=10, zn=2zn-1+5
10, 25, 55, 115, 235, ...• voluit: lineaire recursievergelijking van de eerste
orde met constante coëfficiënten en constant rechterlid (met beginvoorwaarde)
• voorbeelden...
Lineaire recursievergelijkingen
• ? rij zn zo dat zn=azn-1+b (a en b getallen, a niet 0)• ...• voorbeelden
♦ aantal deelnemers aan het T3-symposium: An=0.8An-1+20, A1=60(An = aantal deelnemers op n-de symposium, 80% komt het jaar nadien terug, elk jaar 20 nieuwe deelnemers)
♦ medicijnspiegel: Hn=0.75Hn-1+1500, H0=1500(Hn = hoeveelheid medicijn in bloed na n dagen, elke dag inname van 1500 mg, per dag verdwijnt 25%)
♦ sparen via annuïteit: Bn=1.04Bn-1+1000, B0=0(Bn = bedrag op rekening na n jaar, elk jaar 1000 EUR storten, elk jaar 4% intrest)
♦ b=0: zn=azn-1, meetkundige rijen met reden a♦ a=1: zn=zn-1+b, rekenkundige rijen met verschil b
• ...
Lineaire recursievergelijkingen
• ? rij zn zo dat zn=azn-1+b (a en b getallen, a niet 0)
• ...• van een rij die beschreven wordt door een
dergelijke recursievergelijking (van dit type!) met beginvoorwaarde kan de expliciete vergelijking gemakkelijk bepaald worden (zie cahier)
Tabel
368.0 1 nn zz 250 zvoorbeeld:
Grafische voorstellingen:TIME- en WEB-grafiek
368.0 1 nn zz 250 zvoorbeeld:
TIME-grafiek = ‘gewone grafiek’n op de horizontale as, zn op de verticale as
grafiek bestaat uit punten, die hier verbonden zijn door lijnstukjesverloop: gedempt schommelend met limiet 20
z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ...
WEB-grafiek = type grafiek specifiek voor (sommige) rijen die bepaald worden door een recursievergelijking
Grafische voorstellingen: WEB-grafiek
1ste bissectrice(komt in elk webdiagram terug)
368.0 xy
gebaseerd op de recursievergelijking
368.0 1 nn zz 250 zvoorbeeld:
z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ...
Grafische voorstellingen: WEB-grafiek
x-coördinaat van de cursor is z0
368.0 xy
368.0 1 nn zz 250 zvoorbeeld:
z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ...
y-coördinaat van de cursor is z1
1ste bissectrice
Grafische voorstellingen: WEB-grafiek
x- en y-coördinaat van de cursor zijn z1
368.0 xy
368.0 1 nn zz 250 zvoorbeeld:
z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ...
1ste bissectrice
Grafische voorstellingen: WEB-grafiek
368.0 xy
368.0 1 nn zz 250 zvoorbeeld:
z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ...
1ste bissectrice
x-coördinaat van de cursor is z1
y-coördinaat van de cursor is z2
Grafische voorstellingen: WEB-grafiekLimiet, evenwicht, snijpunt en vast punt
368.0 1 nn zz 250 zvoorbeeld:
z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ...
verloop: gedempt schommelend met limiet 20
naar binnen gaande spiraal rond snijpunt (20,20) van de twee rechten y=0.8x+36 en y=x
opeenvolgende waarden van z:-zie x-waarden van opeenvolgende verticale lijntjesOF- zie y-waarden van opeenvolgende horizontale lijntjes (op beginterm na)
Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt
368.0 1 nn zz 150 zvoorbeeld:
andere beginwaarde, zelfde verloop!
Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt
368.0 1 nn zz 200 zvoorbeeld:
rij is constantsysteem is in evenwicht20 is evenwichtswaarde
het evenwicht is stabiel: als het systeem uit evenwicht gebracht wordt, keert het terug naar het evenwicht
op de vorige slides was 20 de limietwaarde
Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt
22.1 1 nn zz 150 zvoorbeeld:
verloop: versneld stijgend met limiet plus oneindig
‘trap’ met groeiende treden die weggaat van snijpunt (10,10) van de twee rechten y=1.2x-2 en y=x
beginwaarde 5 i.p.v. 15: versneld dalend met limiet min oneindig
Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt
22.1 1 nn zz 100 zvoorbeeld:
rij is constant10 is evenwichtswaarde
het evenwicht is labiel: als het systeem uit evenwicht gebracht wordt, keert het niet terug naar het evenwicht
Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt
overzicht (versie 1)• een getal E is een evenwichtswaarde van
een recursievergelijking asa de rij met z0=E constant is
• stabiel versus labiel evenwicht• evenwicht wordt bepaald door het snijpunt
van de twee rechten uit het WEB-diagram• ALS er een eindige limietwaarde is, is deze
gelijk aan de evenwichtswaarde
Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt
368.0 1 nn zzrecursievergelijking
de recursievergelijking bepaalt• één rechte uit WEB• functie f: y=-0.8x+36
)( 1 nn zfz
)(xfy
snijpunt van de twee rechten uit het WEB-diagram bepalen:
xy
xfyyx
)(dat zo ),?(
)(dat zo ? xfxx
we zoeken een vast punt (dekpunt) van f,20 is een vast punt (dekpunt) van f
Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt
2516 23.217.44 20
20 is een aantrekkend vast punt
368.0 1 nn zzrecursievergelijking 250 z
baan van 25:
Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt
10 15 18.6416 17.2
10 is een afstotend vast punt
recursievergelijking 22.1 1 nn zz 150 z
baan van 15:
Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt
overzicht (versie 2)• getal E is een evenwichtswaarde van een
recursievergelijking asa de rij met z0=E constant is• stabiel versus labiel evenwicht• evenwicht wordt bepaald door het snijpunt van de
twee rechten uit het WEB-diagram• ALS er een eindige limietwaarde is, is deze gelijk
aan de evenwichtswaarde• een recursievergelijking bepaalt een functie f• de ene rechte uit het WEB-diagram is de grafiek van
deze functie• evenwichtswaarde is een vast punt van de functie f• stabiel evenwicht geeft een aantrekkend vast punt• labiel evenwicht geeft een afstotend vast punt
|a|>1|a|=1
Lineaire recursievergelijkingen: limietgedrag
zn = azn-1 + b (a en b getallen, a niet 0)
a<0
a>0
|a|<1
stabiel evenwichtaantrekkend vast punt
limietwaarde
labiel evenwichtafstotend vast puntgeen limietwaarde
Lineaire recursievergelijkingen: limietgedrag
zn = azn-1 + b (a en b getallen, a niet 0)
verloop van de rij wordt bepaald door de helling van de tweede rechte uit de webgrafiek:
♦ positief/negatief♦ absolute waarde groter/kleiner dan 1
Leerplan
• geen verplichte leerstof!• past wel binnen
♦ het onderwerp discrete wiskunde (verplicht in aso 6u vrij onderwijs)
♦ keuzeonderwerp iteratie uit aso 6u, aso 4u, tso 6u, ...
♦ vrije ruimte
Limietgedrag bij niet-lineaire recursievergelijkingen: voorbeeld
De recursievergelijking
211)1( nnn zbzbz
(b een positief getal)
niet lineair omwille van het kwadraat!
oorsprong:discrete versie van logistische groei
(cfr. cahier),maar we zullen de
recursievergelijking buiten dat domein ook gebruiken
expliciet voorschrift is niet gekend!
Voorbeeld: b=0.75
211 75.075.1 nnn zzz 05.00 z
eerste bissectrice en parabool y=1.75x-0.75x2
limietwaarde 1,in de omgeving
van 1: ‘trap’ met kleiner en kleiner wordende treden
limietgedrag wordt bepaald door de helling van de raaklijn
aan de parabool in 1
Voorbeeld: b=0.75
211 75.075.1 nnn zzz
vaste punten?snijpunten van parabool en rechte?
275.075.1)( xxxf
0 en 1(0,0) en (1,1)
helling raaklijn is 1.75: 0 is afstotend
vast punt
helling raaklijn is 0.25: 1 is aantrekkend vast
punt
Opdracht 1: b=1.75
211 75.175.2 nnn zzz
Onderzoek het limietgedrag van de rij a.d.h.v. een♦ tabel♦ TIME-grafiek♦ WEB-grafiek
en geef een verklaring voor het limietgedrag m.b.v. de vaste punten.Hulp bij de rekenmachinetechnische aspecten: zie bladHet maken van een tabel, TIME- en WEB-grafiek gebeurt in SEQ-modus. Onderzoek naar de vaste punten gebeurt in de FUNC-modus (of met het blote hoofd).
05.00 z
Opdracht 1: b=1.75
voor n groot: gedempt schommelend met limiet 1
Opdracht 1: b=1.75
voor n groot: gedempt schommelend met limiet 1
in 0: helling raaklijn is 2.75, afstotend vast puntin 1: helling raaklijn is -0.75, aantrekkend vast punt met schommelende convergentie
Opdracht 2: b=2.25
211 25.225.3 nnn zzz
Onderzoek het limietgedrag van de rij a.d.h.v. een♦ tabel♦ TIME-grafiek♦ WEB-grafiek
en geef een verklaring voor het limietgedrag m.b.v. de vaste punten.
05.00 z
Opdracht 2: b=2.25
1 is geen limietwaarde meerook 1 is nu een afstotend vast punt
Opdracht 2: b=2.25
een nieuw fenomeen: 2 limietwaarden!aantrekkende 2-cykel
ophopingspunten!
n
n
nzc
oneven
1 lim...17.1
n
n
nzc
even
2 lim...71.0
f(c1)=c2 en f(c2)=c1
f(f(c1))=c1 en f(f(c2))=c2
c1 en c2 zijn vaste punten van f2 met f2(x)=f(f(x))
Opdracht 2: b=2.25
f2 heeft 4 vaste punten: 0 (!), c2, 1(!) en c1
Opdracht 2: b=2.25
f2 heeft 4 vaste punten: 0 (!), c2, 1(!) en c1
c1 en c2 zijn aantrekkende vaste punten van f2
0 en 1 zijn afstotende vaste punten
)(
)()(
)())(()(
22
12
1112
cf
cfcf
cfcffcf
22
22
)1()1(
)0()0(
ff
ff
Opdracht 3: b=2.5
211 5.25.3 nnn zzz
Onderzoek het limietgedrag van de rij a.d.h.v. een♦ tabel♦ TIME-grafiek♦ WEB-grafiek
en geef een verklaring voor het limietgedrag m.b.v. vaste punten.
05.00 z
Opdracht 3: b=2.5
aantrekkende 4-cykel!bepaald door de aantrekkende vaste punten van f4, met
f4(x)=f(f(f(f(x))))
(veelterm van de 16-de graad!)
Opdracht 3: b=2.5
0 en 1: afstotende vaste punten van f en f2 en f4 en ...
c1=0.6 en c2=1.2: afstotende vaste punten van f2 en f4 en ...
d1=0.53..., d2=1.15..., d3=0.70... en d4=1.22...: aantrekkende vaste punten van f4 en ...
En verder?
b (tussen 1.625 en 2.85)
ophopingspunten (=
‘limietwaarden’ van de rij)
b = 1.75
limiet 1
b = 2.25
twee ophopingspunten
vier ...
b = 2.5
b > 2.692... : chaos
En verder?
b (tussen 1.625 en 2.85)
TI84-programma: voor ‘elke’ waarde van b worden de punten (b,zn) met 50<n100 uitgezet (cfr. cahier)
b = 1.75 b = 2.25 b = 2.5
Niet in het cahier!
paragraaf 10 a lijkt niet toevallig heel erg op paragraaf 10 b!recursievergelijking uit paragraaf 10 a gaat over in die uit paragraaf 10 b via de volgende substituties:
♦ tn=(a-1)/a zn
♦ b=a-1
Bedankt voor uw aandacht!
slides (binnenkort) op www.ua.ac.be/johan.deprez en
www.t3vlaanderen.be