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de profit

Lorsqu’une entreprise lance un nouveau produit sur le marché, comment peut-elle faire en sorte que son prix de vente soit assez bas pour attirer les clients, mais assez élevé pour réaliser un profit intéressant par unité? Dans la présente leçon, les élèves verront comment les mathématiques peuvent être utilisées dans le monde des affaires pour fixer des prix appropriés.

Connaissances préalables : Les élèves devraient déjà connaître les composantes d’une équation quadratique comme le vertex, les zéros, etc. Ils devraient également savoir comment « compléter le carré ». De plus, l’outil technologique utilisé par l’enseignant devrait leur être familier.

Cours Principes de mathématiques (MPM2D)

Durée 70 minutes (Afin de disposer d’assez de temps pour donner des explications sur l’outil technologique utilisé ou pour tenir des discussions plus approfondies à l’étape de la consolidation, prévoir plutôt deux périodes de 70 minutes.)

Résultats d’apprentissage de la littératie financière

À la fin de cette leçon, les élèves pourront :• comprendre comment une entreprise fixe le prix

d’un produit;• décrire des facteurs ayant une incidence sur le prix

d’un produit.

Attentes et contenus d’apprentissage

Évaluation

Mathématiques, 9e et 10e année (2005 révisé) Principes de mathématiques, 10e année, cours théorique (MPM2D)

Attente – Fonctions du second degré• Démontrer une habileté à utiliser les propriétés des fonctions et des équations du

second degré dans diverses situations.

Contenu d’apprentissage – Problèmes portant sur les fonctions du second degré• Analyser, en situation, des fonctions du second degré définies par une table de

valeurs, un graphique et une équation, à l’aide ou non d’outils technologiques.

Recueillir les feuilles de calcul des élèves.

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Matériel

Mise en situation

• Exemplaires pour les élèves de la feuille de calcul « Les CyberFutés inc. » (annexe A)• Outils technologiques appropriés (annexe B)• Calculatrices graphiques TI

Poser la question suivante aux élèves : « Quand une entreprise lance un nouveau produit sur le marché, pourquoi son prix de vente est-il important? » La discussion a pour but d’aider les élèves à comprendre que le prix d’un produit a un effet sur la décision du consommateur de l’acheter ainsi que sur le profit net de l’entreprise.

Expliquer aux élèves que lorsqu’un commerçant sait comment utiliser les mathématiques pour fixer les prix des produits qu’il vend, cela l’aide à s’assurer qu’ils ne sont ni trop élevés ni trop bas.

Réfléchir, comparer, partager• Former des équipes de deux élèves. Leur demander d’examiner deux techniques

d’établissement des prix, qui sont utilisées par les commerçants. La première consiste à fixer des prix supérieurs à ceux du marché (élevés) et la deuxième à fixer des prix inférieurs à ceux du marché (bas). Quels sont les avantages et les inconvénients de chaque technique? Demander aux élèves d’en discuter avec leur partenaire.

• Aider les élèves à comprendre le principe suivant : un produit dont le prix est inférieur à ceux du marché attire plus de consommateurs (part de marché plus importante), mais génère un profit par unité moins élevé, tandis qu’un produit dont le prix est supérieur à ceux du marché génère un profit par unité plus élevé, mais attire moins de consommateurs (part de marché moins importante).

• Expliquer que les mathématiques peuvent être utilisées pour fixer un prix de vente permettant à une entreprise de couvrir ses frais et de faire un profit, tout en étant juste pour les consommateurs.

ScénarioMarc a une idée pour un nouveau produit : des autocollants décoratifs pour les bottes de caoutchouc. Il trouve quelqu’un pour fabriquer les autocollants, mais il ne sait pas combien il devrait les vendre. Quel est le prix optimal qu’il pourrait demander pour maximiser son profit?

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Action Directives Remarque : Au besoin, donner des explications concernant l’utilisation de l’outil technologique choisi (voir l’annexe B).• Distribuer la feuille de calcul (annexe A) aux élèves.• Dessiner ou montrer une parabole tournée vers le bas sur laquelle le prix est

représenté sur l’axe des x et le profit, sur l’axe des y. ° Demander à un volontaire d’écrire au tableau l’équation générale d’une parabole

sous forme de vertex, soit y = a(x–h)2 + k. ° Demander à un autre élève de repérer le point sur la parabole qui maximise

le profit et de noter les coordonnées variables de ce point en fonction de l’équation générale (h, k).

° Demander aux élèves de discuter avec leur partenaire, dans le cadre d’une activité « Réfléchir, comparer, partager », de ce que représente chaque variable (a, h, k, x, y) de la formule en ce qui concerne la courbe d’une entreprise.

• Demander à un volontaire de lire à voix haute l’introduction sur l’entreprise Les CyberFutés inc. (voir l’annexe A).

• Demander aux élèves de remplir la feuille de calcul en utilisant l’outil technologique choisi.

Consolidation Poser certaines des questions suivantes aux élèves :1. Quelles sont les difficultés qu’un propriétaire d’entreprise peut rencontrer lorsqu’il

calcule le prix de vente d’un produit au moyen de relations quadratiques?2. Quelles sont les variables qui peuvent avoir un effet sur le « vertex » d’un graphique

montrant le prix d’un produit par rapport au profit qu’il génère au fil du temps?3. Évaluez le processus servant à déterminer le profit en fonction de la vente d’un

produit. Quelles questions pourrait-on se poser si un graphique ne passait pas par l’origine?

4. S’il veut savoir quel prix demander pour un produit afin de réaliser un profit, un propriétaire d’entreprise doit faire des calculs. Quels sont les facteurs dont un consommateur pourrait tenir compte pour décider si le prix d’un produit est « raisonnable »?

5. Y a-t-il des renseignements supplémentaires ou « manquants » qui vous aideraient à faire votre analyse, et surtout à répondre aux deux prochaines questions?

6. Si votre prix et votre profit sont à leur niveau idéal, comment saurez-vous combien d’unités vous avez vendues?

7. Si vous aviez fixé le prix à 25 $ l’unité, quel profit auriez-vous réalisé et combien d’unités auriez-vous vendues?

Demander aux élèves de résumer la discussion dans leur journal ou comme devoir.

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Évaluation des marges de profit

Feuille de calcul « Les CyberFutés inc. »

A N N E X E A

IntroductionVous êtes président-directeur général de l’entreprise Les CyberFutés inc. Vous venez de mettre au point le premier produit de l’entreprise. Il s’agit d’un dispositif ingénieux appelé L’éliminex. Lorsqu’on le branche dans un diffuseur de médias portatif, L’éliminex supprime tous les fichiers inutiles et les logiciels malveillants, et redistribue les données de façon à libérer de l’espace pour accueillir de nouveaux fichiers!

Afin de commercialiser L’éliminex à grande échelle, vous devez participer à des salons professionnels pour convaincre des détaillants à succursales multiples d’accepter de le vendre. La réussite de votre entreprise dépend non seulement du nombre d’unités vendues, mais également du prix demandé pour le produit. Utilisez l’information fournie et vos connaissances en algèbre quadratique afin de déterminer :

• le prix auquel vous devriez vendre L’éliminex pour réaliser le profit le plus élevé possible; • si le prix de vente fixé serait acceptable pour les consommateurs (et perçu comme étant juste).

Remarque : N’oubliez pas que si le prix est trop haut, vous ferez un profit plus élevé par unité, mais vendrez moins d’unités, tandis que si le prix est trop bas, vous vendrez plus d’unités, mais ferez peut-être un profit global moins élevé.

Marche à suivre1. Dessinez un graphique du prix par unité (x) par rapport au profit (y), et identifiez vos axes.

2. Écrivez l’équation générale pour une fonction quadratique sous forme de vertex, soit y = a (x–h)2 + k.

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Évaluation des marges de profit

3. Vous retenez les services d’un expert-conseil spécialisé dans les études de marché. Il analyse les données pertinentes et détermine que l’équation de votre courbe est y = -2x2 + 60x.

Transformez l’équation sous forme de vertex (si vous avez oublié comment le faire, reportez-vous à vos notes de cours portant sur ce sujet).

4. Que représentent les variables suivantes sur la courbe de votre entreprise?

a : h : k : x : y :

5. Vous pouvez maintenant déterminer le prix idéal par unité ainsi que le profit que vous réaliserez. Quelles sont ces valeurs et comment l’équation vous a-t-elle aidé à les trouver?

6. À l’aide d’un outil technologique approprié, faites le graphique de l’équation donnée à la question 3.

A N N E X E A

Feuille de calcul « Les CyberFutés inc. » (suite)

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Évaluation des marges de profit

7. Le vertex du graphique correspond-il à ce que vous avez déterminé avec votre équation?

8. Pouvez -vous répondre à la question : « Quel prix serait inacceptable pour les consommateurs? »

9. Pourquoi une entreprise choisirait- elle de fixer un prix de vente différent de celui qui maximise son profit?

A N N E X E A

Feuille de calcul « Les CyberFutés inc. » (suite)

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Évaluation des marges de profit

Conseils sur l’utilisation des outils technologiques suggérés : Calculatrices graphiques (TI -83, TI- 84 et TI-Nspire), Gizmo, WolframAlpha, Geometer’s Sketchpad et outil de calcul graphique CLIPS.

Partie 1 : Utilisation des calculatrices graphiques TI- 83, TI -84 et TI -Nspire

Étape 1 – Cliquez sur et entrez l’équation y = -2x2 + 60x.

Votre écran devrait ressembler à ce qui se trouve à droite.

Remarque : Assurez-vous d’effacer toute autre option de graphique (par exemple, StatPlot).

Étape 2 – Utilisez le bouton pour répondre aux questions.

Pour afficher le graphique de façon optimale, cliquez sur le bouton et entrez les paramètres indiqués ci-dessous.

Étape 3 – Le fait d’entrer l’équation et d’afficher le graphique sur la calculatrice TI -Nspire est un processus simplifié. L’affichage sera semblable, mais contiendra plus de données numériques.

A N N E X E B

y=

Outils technologiques appropriés

TRACE

WINDOW

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Évaluation des marges de profit

Partie 2 : Utilisation du Gizmo « Équations quadratiques sous forme polynomiale – Activité A »

www.explorelearning.com/ontario

Le Gizmo présenté ici est très bien adapté à cette activité sur le plan conceptuel, parce qu’il permet aux élèves de changer facilement les valeurs des coefficients de la parabole et d’observer leur effet sur les caractéristiques de la courbe ainsi que leur interprétation dans l’application.

Remarque : Les curseurs ne permettent pas d’agrandir les coefficients autant qu’il le faudrait, mais les chiffres peuvent être entrés directement dans les champs à côté des curseurs et la taille du graphique peut être réduite en conséquence au moyen d’un zoom arrière. Des détails supplémentaires peuvent être enregistrés au moyen d’un zoom sur des parties du graphique. L’axe de symétrie peut aussi être ajouté, ce qui permet de mieux déterminer le vertex.

A N N E X E B

Outils technologiques appropriés (suite)

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Évaluation des marges de profit

Partie 3 : Utilisation de WolframAlpha

Dans les écoles où les enseignants et les élèves le connaissent, le site Web WolframAlpha peut aussi être utilisé pour faire cet exercice.

Partie 4 : Utilisation de Geometer’s Sketchpad

Remarque : L’utilisation de coordonnées cartésiennes rectangulaires plutôt que d’une grille carrée facilite la mise à l’échelle indépendante des deux axes.

A N N E X E B

Outils technologiques appropriés (suite)

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Évaluation des marges de profit

Partie 5 : Utilisation de l’outil de calcul graphique CLIPS (MathGAINS)

www.mathclips.ca

Tout comme le Gizmo, cet outil permet de changer facilement les coefficients et d’observer immédiatement l’effet correspondant sur des facteurs relatifs au modèle. Il peut être utile de charger l’exemple de fonction quadratique, puis de modifier les paramètres et les réglages de la fenêtre, comme il est illustré ci-contre.

A N N E X E B

Outils technologiques appropriés (suite)