Bevezets a valsznsgszmtsba salkalmazsaiba: pldkkal, szimulcikkal

Arat Mikls, Prokaj Vilmos s Zemplni Andrs

2013.05.07

Tartalomjegyzk

1. Bevezets, vletlen ksrletek 41.1. Bevezets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. A vletlen fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Vletlen jelensgek a mindennapokban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Leszmllsok, modelljeik: vges alaphalmazok 72.1. Szorzsi elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Kombinatorikai alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1. Permutcik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.2. Kombincik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3. Klasszikus valsznsg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4. Szita formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5. Gyakorl feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3. A ksrletek fggetlensge, feltteles eloszlsok 223.1. Teljes valsznsg ttele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2. A fggetlensg szemlletes bevezetse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3. Bayes ttel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4. Valsznsgi vltozk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.5. Vgtelen ksrletsorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.6. Gyakorl feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4. A ksrletek jellemzi: kzprtkek, ingadozs, vrhat rtk, szrs 524.1. Kzprtkek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2. Az ingadozs mrtke s lehetsges mrszmai . . . . . . . . . . . . . . 584.3. Gyakorl feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5. Folytonos modellek s tulajdonsgaik 635.1. Valsznsgi vltozk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2. Valsznsgi vltozk vrhat rtke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.3. Szrsngyzet, momentumok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

1

5.4. Egyenltlensgek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.5. Gyakorl feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6. Egyttes viselkeds 916.1. Valsznsgi vltozk fggetlensge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.2. Konvolci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.3. Fggetlen valsznsgi vltozk sszegnek szrsngyzete . . . . . . . . 1016.4. Kovariancia s korrelci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.5. Feltteles vrhat rtk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.6. Gyakorl feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7. A ksrletek szmnak nvelse: aszimptotikus tulajdonsgok 1167.1. Gyenge trvnyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.2. Valsznsgi vltozk konvergencii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.3. Ers trvny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.4. Centrlis hatreloszlsttel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.5. Gyakorl feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

8. Nem fggetlen ksrletek: Markov lncok elemei 1308.1. Markov lncok, alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8.1.1. Gyakorl feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.2. Tbblpses tmenetvalsznsgek, invarins eloszls . . . . . . . . . . . 133

8.2.1. Gyakorl feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1408.3. Elnyeldsi valsznsgek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

8.3.1. Gyakorl feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

9. Vletlen bolyongs: a klasszikus eset s a grfok 1459.1. Bolyongs tlagos hossza, a lpsszm szrsngyzete . . . . . . . . . . . 145

9.1.1. Gyakorl feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519.2. Elgaz folyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

9.2.1. Gyakorl feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1589.3. Martinglok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

9.3.1. Feltteles vrhat rtk: ltalnos eset . . . . . . . . . . . . . . . 1599.3.2. Martinglok, sszefoglal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1639.3.3. Gyakorl feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

10.zelt a folytonos idej esetbl: a Poisson folyamat 17110.1. Gyakorl feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

2

11.Fggelk 17811.1. Vlogats az brk ellltshoz hasznlt R programokbl . . . . . . . . 178

11.1.1. Egyszer, nem animlt brk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17811.1.2. Interaktv animcik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19511.1.3. Nem interaktv animcik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

11.2. Tovbbi brk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

3

1. fejezet

Bevezets, vletlen ksrletek

1.1. BevezetsEz a jegyzet cme alapjn akr egy egyszer bevezet is lehetne a valsznsgszmtssokak szmra csodlatos, msok elssorban a tmval mg csak ismerked dikok szmra ijeszt vilgba. Remnyeink szerint azonban mgis kicsit mst ad, mint a sokhasonl tmj jegyzet. Ami miatt rszntuk magunkat a megrsra az egyrszt a sokves oktatsi tapasztalatunk, msrszt a mra mindenki szmra knnyen hozzfrhetszmtgpes httr. Nem titkolt clunk a sok brval, szimulcival s klnskppena fggelkben mellkelt szmtgpes kdokkal az, hogy kedvet csinljunk az olvasnakaz nll programrshoz is. Az brk nemcsak az olvashatsgot javtjk, hanem a sokesetben bonyolult kpletben vgzd eredmnyt szempillants alatt rthetv, a nemmatematikus olvas szmra is felfoghatv teszik. Egy-egy bra tipikusan nemcsak azadott plda megoldst mutatja be, hanem egyszerre rengeteg hasonl feladatt is. gylthatv vlik az eredmnyek fggse a klnbz paramterektl - s gy remnyeinkszerint minden sokkal rthetbb lesz.

Arra is btortjuk a szmtstechnikban legalbb alapfok jrtassggal br olvast,hogy maga is prblja ki a mellkelt kdokat, futtassa le tetszse szerinti paramterezsrea megadott webcmeken tallhat programokat. Ezzel kt legyet is thet egy csapsra: avalsznsgszmtshoz is kzelebb kerlhet, hiszen a mdostshoz nyilvnvalan szk-sges a kpletek rtelmezse, msrszt begyakorolja a gyakorlatban kivlan hasznlhatR programnyelvet.

Sok esetben az brk nem kpleteken, hanem szimulcikon alapulnak. Ez ugyancsaknagyon lnyeges technika: ha nem tudunk egy feladatot explicit mdon kpletekkel meg-oldani, algoritmust akkor is gyakran fel tudunk r rni. Ekkor mr csak egy kis trelemrevan szksg, amg a kell szm ismtls lefut s mris keznkben van a krdsre egy jkzelts. Ez ismt nagyon sok, nehznek tn gyakorlati problmnl jrhat t.

Remljk, hogy az elektronikus jegyzet elnyeit ilymdon kihasznlva mindenkinek

4

hasznos jegyzetet sikerlt ksztennk, amelynl gyeltnk arra, hogy az els fejezetekakr kzpiskolsok szmra is rthetek, kedvcsinlk legyenek a valsznsgszmtsmlyebb eredmnyeit mr az egyetemen megszokott mdon trgyal tovbbi fejezetekhez.

A bevezets utn elszr a vletlen fogalmt ismertetjk, majd sok pldn keresztlmegismerkednk a leszmllson alapul (kombinatorikus) valsznsgszmts fogal-maival, mdszereivel.

A fggetlensg a valsznsgszmts s a rpl tudomnygak, gy pldul a ma-tematikai statisztika kzponti fogalma, ezrt nll fejezetet szenteltnk neki s a hozzkapcsold tmakrknek. Mivel a ksrletek jellemz rtkei a vlaszott termszetes,a lehet legkevesebb formalizmussal terhelt megkzelts esetn mskppen szmolha-tk a diszkrt (legfeljebb megszmllhatan vgtelen sok rtket felvev) s a folytonosmodellek esetn, ezrt a diszkrt esetre kln is bevezetjk ezeket a fogalmakat. Itta gyakorlati (statisztikai) alkalmazsokba is bepillantunk, amikor a mintra szmolunkjellemz rtkeket.

A kvetkez nagy rszt a folytonos modelleknek szenteljk. Itt mr a clkznsgetis kicsit szktjk, az egyetemi hallgatk szmra mr lnyeges lehet a ttelek formlisbizonytsa is, ezrt ezekbl is adunk zeltt. Termszetesen nem lehetett clunk egyterjedelmes tanknyv rszletessgvel bemutatni minden bizonytst, sokkal inkbb azalkalmazsokra, a pldkra helyeztk itt is a hangslyt.

A fggetlensg ltalnos defincijt s az sszefggsggel kapcsolatos fogalmakatmutatja be a kvetkez fejezet. Ezutn mr csak egy lps a modern valsznsgszm-ts kzponti krdsnek, az aszimptotikus tulajdonsgoknak a bemutatsa. ltalbanez az a pont, ameddig egy egy flves BSc szint valsznsgszmts ra sorn el lehetjutni. Mivel azonban az ELTE-n szmos magasabb szint kurzus is szerepel a tansz-knk knlatban, ezrt clunk volt, hogy egy kicsi zeltt adjunk ezekbl is. Elszris a Markov lncok elemei kerlnek sorra, ami fontos tovbblps a bonyolultabb szto-chasztikus folyamatok irnyba, s szmos rdekes feladat rvn remnyeink szerint azolvas jrtassgra tehet szert az alkalmazsaikban. A tmt specilis Markov lncokkal,a bolyongsokkal folytatjuk.

A martinglok pedig ezek ltalnostsai, szmtalan izgalmas modern terleten al-kalmazhatak pldul a pnzgyi matematikban ez a fejezet mr mrtkelmletialapokra is pt. Az eddig trgyalt sztochasztikus folyamatok mind diszkrt idejek vol-tak, a tma lezrsaknt rvid zeltt adunk egy olyan egyszer esetbl, ahol nemcsakdiszkrt idpontokban vannak megfigyelseink, ez pedig a Poisson folyamat.

Minden fejezet vgn szmos gyakorl feladatot ismertetnk, amelyek megoldsa atanultak elmlytst nagyban elsegti. A fggelk nagyobb rsze az brkat, szimulci-kat elllt programok kzl ad vlogatst. Ezeknl a programoknl nem trekedtnka programozsi szempontbl optimlis megoldsra, inkbb az egyszer, kzismertnektekinthet utastsokat hasznltuk, bzva abban, hogy gy tbben fogjk tudni ezeketrtelmezni s akr sajt tleteikkel tovbb alaktani.

Vgl az interaktv szimulcikra hvjuk fel az olvask figyelmt. Ezek a szvegben

5

megadott honlapokrl rhetk el, s mindenkinek nagyon ajnljuk a tanulmnyozsukat!Segtsgkkel az ppen ismertetett fogalmak gyakorlati tulajdonsgai, a bemutatott pl-dk klnbz paramterezs melletti eredmnyei figyelhetk meg. Nhny esetben atovbbi paramterbelltsok melletti eredmnyeket a Fggelk 2. rszben is bemutat-juk.

A feladatok nagy rszt folyamatosan hasznljuk az oktatsban, eredetk gy legtbb-szr homlyba vsz. Nhny specilis feladatnl megjelltk a forrst is. Az irodalom-jegyzk nhny angol nyelv szakknyvet, pldatrat tartalmaz, amelyek a jegyzetnkkiegsztseknt haszonnal lehet forgatni. Magyar nyelv szakirodalmat szndkosannem vlogattunk ki, mert rengeteg klnbz szint s megkzeltsmd anyag tall-hat akr elektronikusan akr hagyomnyos knyv formban s nem szerettnk volnasenkit sem megbntani azzal, hogy vletlenl pont az munkjt kihagyjuk a listbl.

A tananyagunk elksztsben segtsgnkre voltak tanszknk PhD dikjai, gy k-lnsen Martinek Lszl s Varga Lszl jegyzetei, munkjukat ksznjk!

1.2. A vletlen fogalmaMatematikai defincival nem rdemes ksrletezni, hiszen a vletlen nem az absztraktmatematikai fogalmak kz tartozik, hanem mindannyiunk ltal tapasztalt jelensg.Mennyi id alatt rnk be a munkba? Fog-e esni a kirnduls alatt? Ezek mindtekinthetek a vletlen megvalsulsnak, nemcsak a klasszikus kockadobssal, illetvelotthzssal kapcsolatos krdsek.

Kicsit formlisabban, tekinthetjk vletlennek azokat a ksrleteket, jelensgeket,amelyek kimenetelt a rendelkezsnkre ll ismeretek alapjn nem tudjuk elre meg-hatrozni. Ebbe a krbe illeszkednek a klasszikus vletlen ksrletek: a lotthzs, akockadobs.

Ehhez a vletlenhez knnyen trsthatunk valsznsget is, de ez a szubjektv, "r-zs" alapjn hozzrendelt szm mr nem biztos, hogy meg fog felelni azoknak a kri-triumoknak, amiket a kvetkez pontban a valsznsg matematikai defincijakntfogunk bevezetni. Ennek ellenre hasznos ez a megkzelts, mert gy a legtbb olvasszmra mr ismers fogalmakrl kell beszlnnk s ez minden bizonnyal megknnyti amegrtst.

1.3. Vletlen jelensgek a mindennapokbanA fenti pldk mellett szmtalan esetben tallkozhatunk a vletlennel, mgha ez nem istudatosul bennnk. Mikor szlal meg a telefonunk? Hny emailt kapunk egy napon?Meddig tart a fnykpezgpnk akkumultora? Mind mind olyan krdsek, amik a v-letlennel kapcsolatosak, s a ksbbiekben vizsgland modellek segtsgvel akr vlaszt

6

is kaphatunk rjuk - no nem felttlenl elrejelzst, de legalbbis becslst a kapcsoldesemnyek valsznsgre.

7

2. fejezet

Leszmllsok, modelljeik: vgesalaphalmazok

Az els rszben az elzekben emltett pldkhoz (kockadobs) hasonl egyszer, vgessok kimenetellel lerhat ksrleteket vizsgljuk. Ez a tmakr is nagyon sok rdekesproblmt vet fel s a kevesebb technikai nehzsg miatt clszer a valsznsgszmtstanulmnyozst itt kezdeni.

2.1. Szorzsi elvA legtbb feladatban a lehetsgek szmt lpsrl lpsre haladva tudjuk meghatroz-ni. Ennek a lnyege, hogy sorra vesszk a ksrleteket s megnzzk, hogy az egyeslpsekben hny lehetsgnk van. Ha az egyes lpsek utn mindig ugyanannyi a lehe-tsgek szma, akkor a teljes ksrletnl ezt az egyes lpsek esetszmainak szorzatakntkaphatjuk meg.

A legegyszerbb esetet egy pldn keresztl is bevezethetjk:

2.1 Feladat Tegyk fel, hogy egy csoportban 6 fi s 8 lny van s hogy a keresztneveikmind klnbzek. A szalagavat nyittncra egy prt kell kivlasztani. Hnyflekp-pen tudjuk ezt megtenni?

Megolds. Az sszes esetek szma 6 8, mert 6 fibl s 8 lnybl vlaszthatunk.Hasonlkppen tbb csoport esetre is:

2.2 Feladat Tegyk fel, hogy egy ngy osztlyos kzpiskolban a 4 vfolyam a kvetke-z megoszlsban deleglt tagokat a diknkormnyzat vezetsbe: 2 elss, 3 msodikos,5 harmadikos s 3 negyedikes van a vezetsgben. Tegyk fel, hogy egy bizottsgot kellkzlk kivlasztani, amely minden vfolyamrl pontosan egy tagot tartalmaz. Hnyf-lekppen tehet ez meg?

8

Megolds. Az sszes esetek szma 2 3 5 3, mert az egyes osztlyokbl a megadottszm dikbl vlaszthatunk s brki brkivel egytt bekerlhet a bizottsgba.

2.3 Feladat Hnyfle rendszmtbla kpzelhet el a mai rendszerben, ahol az els h-rom helyen betk, a msodik hrom helyen pedig szmok llnak? (A felhasznlhatabc 26 bett tartalmaz s az egyszersg kedvrt tegyk fel, hogy 000 is megengedettszmsorozat.)

Megolds. Az sszes esetek szma 263 103 azaz tbb, mint 17, 5 milli, mert az egyeshelyekre a megadott lehetsgek kzl brmelyiket vlaszthatjuk.

2.2. Kombinatorikai alapfogalmakAhhoz, hogy az egyes feladattpusokra minl hatkonyabban talljuk meg a megoldst,rdemes a leszmllsi (kombinatorikai) fogalmakat ttekinteni. Ha ezeket rtjk, akkorknnyen fogjuk tudni a mdszereket alkalmazni a konkrt feladatokra is.

2.2.1. Permutcik

Hnyfle sorrendben rhet clba hrom versenyz? Az eredmny termszetesen 6, ahogyarrl brki akr egyszer felsorolssal meggyzdhet. De termszetesen alkalmazhat aszorzsi szably is, hiszen a gyztes 3 fle, a msodik 2 fle s vgl a harmadik mr csak1 fle lehet. Az eredmny teht valban 3 2 1 = 6. Ugyangy megkaphat az ltalnoseredmny is, miszerint n dolog sorbarendezseinek a szma n (n 1) 1 = n!.

2.2.2. Kombincik

Gyakori az olyan krds, amire a vlaszt bizonyos csoportok elemszmnak sszeszmo-lsval kaphatjuk meg. Erre a kvetkez egy tipikus krds: hnyflekppen tudok egyprt kivlasztani 5 emberbl? A vlasz az elzek alapjn mr nagyon egyszer: a prels tagjt 5-flekppen, a msodikat pedig a megmaradk kzl 4 flekppen vlaszt-hatjuk ki. Viszont ez a 20 lehetsg klnbznek szmtja az AB prt a BA-tl, aminem felel meg a feladat szvegnek. Mivel minden egyes prra ugyanez a ktszeres szorzvonatkozik, ezrt a vgeredmny a 20/2 = 10. Ugyanez a gondolatmenet ltalnosan isvgigvihet: n dologbl k elemet

n (n 1) (n k + 1)k (k 1) 1 =

(n

k

)(2.1)

flekppen vlaszthatunk ki.

9

2.3. Klasszikus valsznsgA fenti leszmllsok alapjn mr valsznsget is definilhatunk: ehhez csupn arra vanszksg, hogy minden egyes kimenetelhez ugyanakkora esly tartozzon. Ekkor tetszlegesA esemny valsznsge megadhat gy, mint P (A) = |A|/|| ahol az sszes lehetsgeskimenetel sszessge, egy A halmazra pedig |A| a halmaz elemszmt jelli.

Termszetesen a ksbbiekben ennl bonyolultabb esetekkel is fogunk tallkozni, deaz alapfogalmak megrtshez ez a vges sok lehetsget tartalmaz egyszer modell iselegend.

2.4 Feladat Tegyk fel, hogy egy szablyos kockval dobunk hromszor. Szmoljuk kiannak a valsznsgt, hogy hrom klnbz eredmnyt kaptunk!

Megolds. Az sszes esetek szma 63, mert mindhrom esetben 6 lehetsgnk van, sezek brmelyike kombinlhat a tbbi dobs bermelyikvel. (Megjegyzend, hogy ezzelmegklnbztetjk pldul az 123 eredmnyt a 321-tl, mert gy lesznek egyenl val-sznsgek az esetek.) A kedvez esetek leszmllshoz azt kell szrevennnk, hogy azels dobsnl mg brmelyik eredmny elfordulhat, azaz 6 lehetsgnk van, a mso-diknl viszont mr csak 5 - hiszen nem dobhattuk ugyanazt, mint amit elsre kaptunk - aharmadiknl pedig mr csak 4, hiszen sem az sem a msodik dobs eredmnye sem jhetki jra. A keresett esetszm teht 6 5 4 = 120. Ebbl a valsznsg 120/216 = 5/9.A megolds mdszert knnyen ltalnosthatjuk tetszleges oldal "kockra" s dobs-szmra. Az eredmnyeket mutatja nhny esetre a 2.1 bra.

2.5 Feladat Tegyk fel, hogy 10 emberbl vlasztunk ki vletlenszeren kettt. Ha a10 kzl 5 n, akkor mi a valsznsge, hogy 1 n s 1 frfi kerl a kivlasztottak kz?

Megolds. Az sszes lehetsgek szma az elzek rtelmben(

102

)= 45 ezek kzl

frfit s nt is tartalmaz 5 5 = 25 pr. A keresett valsznsg teht 25/45 = 5/9.Msik megoldsi lehetsg, ha a rossz eseteket szmoljuk ssze. Egynem prbl 2

(52

)=

20 van (a valsznsgszmtsban ezt a komplementer esemnynek nevezzk). A jesetek szma teht 45-25, vagy a valsznsgszmtsban gyakran hasznlt mdon akomplementer esemny valsznsge 1 az eredeti esemny valsznsge.

2.6 Feladat Mi a valsznsge, hogy 25 emberbl van kett, akinek az v azonos nap-jra esik a szletsnapja?

Megolds. Az sszes lehetsgek szma: 36525, ebbl a kedveztlenek szma (azaz,amikor nincs egyezs) 365 364 (365 24). A keresett valsznsg ez alapjn-feltve, hogy brmely napon ugyanakkora a szlets valsznsge s hogy a csoporttagjai kztt nincs kapcsolat - 1 365 364 (365 24)/36525 = 0, 569.

10

2.1. bra. Csupa klnbz dobs valsznsge (2.4 feladat, 11.1 kd)

Az eredmny els rnzsre igencsak meglep, hiszen akr mg 50 fs csoportbanis ritknak gondolhatnnk az egybeesst, pedig ahogy ezt a 2.2 brrl leolvashatjuk,az eredmny ebben az esetben mr meglehetsen kzel van az egyhez. A ltszlagosparadoxon magyarzata az, hogy valjban nem a csoport ltszmt kell a 365 naphozviszonytani, hanem a prok szmt.

A 2.2 brbl lthat, hogy a valdi szletsi gyakorisgok (melyek kiss nagyobbaka nyri hnapokban, mint az v tbbi napjn, s a szknap is megjelenik) alapjnszimullt relatv gyakorisgok szinte teljesen pontosan visszadjk az elmleti rtkeket(a szimulci-szm minden n-re 10000 volt). Animlt szimulcis bra a www.cs.elte.

hu/~zempleni/anim/szulnap cmen tallhatEbbl egy screenshot a 2.3 bra. Ez a 2.2 brhoz hasonl, de szimulcival addik.

2.7 Feladat Egy zskban 10 pr cip van. 4 db-ot kivlasztva mi a valsznsge, hogyvan kzttk pr, ha

1. egyformk

2. klnbzek a prok?

Megolds.

1. P(van pr)=1-P(nincs pr)=1 (100 )(

104 )+(

104 )(

100 )

(204 )= 28

323, hiszen csak akkor nem ka-

punk prt, ha vagy 4 ballbas vagy 4 jobblbas cipt hzunk.

11

2.2. bra. Egyez szletsnap valsznsge a csoport ltszmnak (n) fggvnyben(2.6 feladat, 11.2 kd)

2.3. bra. Egyez szletsnap relatv gyakorisga a csoport ltszmnak (n) fggvny-ben (2.6 feladat), szimullt adatokra

12

2. 1 2018161420191817 =

99323

a szorzsi szably rtelmben: az els cip mg akrmi lehet, deinnen kezdve mindig ki kell hagyjuk a mr kihzott cip prjt a "rossz" eseteknl.

Ltszlag mshogy okoskodtunk a kt rsznl, mert az els esetben a sorrendre nemvoltunk tekintettel, mg a msodik esetben igen, de mivel mind az sszes esetszm, minda kedvez esetszm szmolsnl kvetkezetesen ugyangy szmoltunk, ezrt mindkteredmny helyes.

2.8 Feladat gy helyeznk el n urnba n golyt. hogy brmelyik a tbbitl fggetlenlbrmelyik urnba ugyanakkora esllyel kerlhet. Mi a valsznsge, hogy

1. nem lesz res urna

2. pontosan egy res urna lesz?

Megolds. Az sszes esetszm a feladat szvegnek rtelmben nn.

1. Akkor nem lesz res urna, ha minden urnba pontosan egy goly kerl. Ennekvalsznsge n!

nn.

2. A kvnt helyzet nyilvn csak gy llhat el, hogy egy urna res, egy urnban 2goly van s a tbbi urnban pedig 1-1 goly. A kedvez esetszmoknl figyelembekell vennnk, hogy n urna maradhat resen, n1 urnba kerlhet 2 goly s ezeket(n2

)flekppen vlaszthatjuk ki. A maradk n 2 goly az n 2 urnba az elz

rsz rtelmben (n 2)! flekppen kerlhet. A vgeredmny tehtn(n 1)(n

2

)(n 2)!

nn=n(n 1)n!

2nn.

A 2.4 bra mutatja az res urnk szmnak eloszlst a 2.8 pldban, 106 szimulcialapjn. Jl ltszik, hogy a feladat viszonylag knnyen szmolhat esetei igen ritknfordulnak el.

2.9 Feladat Mennyi a valsznsge, hogy 2 (ltalnosan n) kockadobs maximuma 5?

Megolds. A maximumra vonatkoz krdseknl tipikusan azt knny megvlaszolni,hogy mennyi annak a valsznsge, hogy a maximum kisebb egy adott szmnl. Bra 2 kocka esetre mg enlkl is knnyen clt rhetnk, mi mr itt is ezt a knnyenltalnosthat mdszert alkalmazzuk. Legyen X s Y a kt kockadobs eredmnye.P (max(X, Y ) < 6) = 25/36, hiszen mindkt dobs legfeljebb 5 lehet. Ugyangy P (max(X, Y ) 163, 47, azaz legalbb 164-szer kell feldobni a kt kockt. Az ered-mnyt klnbz p rtkekhez a 3.5 bra mutatja.

3.3. Bayes ttelGyakran nem elg a teljes valsznsg ttele szerinti felbonts, mert a krds ilyenkor islehet feltteles valsznsg. Ekkor kombinlni kell a feltteles valsznsg defincijt

31

3.5. bra. Kockadobsok szma dupla hatoshoz, p fggvnyben, 3.11 pldhoz, 11.11kd

s a teljes valsznsg ttelt. Az eredmny a nevezetes Bayes ttel:

3.2 Ttel Legyen A1, ..., An teljes esemnyrendszer, pozitv valsznsg esemnyekbls B egy pozitv valsznsg esemny. Ekkor

P (A1|B) = P (B|A1)P (A1)P (B|A1)P (A1) + ...+ P (B|An)P (An)) .

Bizonyts. A jobboldal szmllja definci szerint P (A1 B), a nevez pedig a teljesvalsznsg ttele rtelmben P (B). Ez pedig ppen a bizonytand lltst adja.

3.12 Feladat Egy betegsg a fiataloknl 1%-os, a kzpkoraknl 2%-os, mg az id-seknl 10%-os valsznsggel lp fel. A lakossg 30%-a fiatal, 50%-a kzpkor s 20%-aids. Mi a valsznsge, hogy egy vletlenszeren kivlasztott beteg fiatal?

Megolds. A Bayes ttel rtelmben (a 3.4 feladat jellseivel)

P (A1|B) = P (B|A1)P (A1)P (B|A1)P (A1) + ...+ P (B|A3)P (A3)) .

Teht

P (A1|B) =1

100 3

101

100 3

10+ 2

100 1

2+ 1

10 1

5

=3/1000

33/1000= 1/11.

32

3.6. bra. A (3.12) feladat valsznsgnek fggse az idsek megbetegedsi valszn-sgtl, az bra baloldaln lthat paramterbellts mellett, 11.22 kd

A feladathoz kszlt interaktv animci a http://hpz400.cs.elte.hu:3838/ZA_beteg/ cmen tallhat. Itt a felhasznl bellthatja a betegsg valsznsgt a fiata-loknl s a kzpkoraknl, valamint a fiatalok s kzpkorak rszarnyt (ebbl rte-lemszeren kvetkezik az idsek rszarnya: ri = 1 rf rk. Az idsek megbetegedsivalsznsgnek fggvnyben megkapjuk a feladatban szerepl valsznsg rtkt. A3.6 egy screenshot az eredmnyrl. Tovbbi brk tallhatak a Fggelkben: 11.1 s11.2.

A 3.12 feladathoz hasonlan oldhat meg a kvetkez feladat is:

3.13 Feladat Tegyk fel, hogy n = 100 rme kzl 1 hamis, ennek mindkt oldaln fejvan. Egy rmt vletlenszeren kivlasztottunk s ezt 10-szer feldobtuk. Az eredmnymind a 10 alkalommal fej lett. Mi a valsznsge, hogy a kivlasztott rme hamis?

Megolds. A Bayes ttel rtelmben (legyen F a 10 fej dobs, A a j, B pedig ahamis rme vlasztsa, ez ktelem teljes esemnyrendszer)

P (B|F ) = P (F |B)P (B)P (F |B)P (B) + P (F |A)P (A)) .

Teht a keresett valsznsg

P (B|F ) = 1 1

100

1 1100

+ 1210 99

100

= 1024/1123.

33

3.7. bra. A hamis rme vlasztsnak valsznsge az rmk s a dobott fejekszmnak fggvnyben, a 3.13 pldhoz, 11.12 kd

A 3.7 bra a hamis rme vlasztsnak valsznsgt mutatja klnbz rme- sdobsszmok esetn.

3.14 Feladat Egy dik a vizsgn p valsznsggel tudja a helyes vlaszt. Amennyibennem tudja, akkor tippel, s 1/3 a j vlasz eslye. Feltesszk, hogy a dik tudsa biztos(azaz ha tudja a vlaszt, akkor az j is). Hatrozzuk meg p rtkt, ha 3/5 annak avalsznsge, hogy amennyiben helyesen vlaszolt, tudta is a helyes vlaszt!

Megolds. Legyen A: helyesen vlaszolt; B1: tudta a vlaszt; B2: nem tudta a vlaszt.P(B1)=p P(A|B1)=1P(B2)=1 p P(A|B2)=13

Alkalmazzuk a Bayes-ttelt:

3

5= P (B1|A) = P (A|B1)P (B1)

P (A|B1)P (B1) + P (A|B2)P (B2) =1 p

1 p+ 13 (1 p) =

3p

2p+ 1.

Ezt trendezve, p = 13. A 3.8 bra mutatja a keresett valsznsget a p s a tipp

tallati valsznsge fggvnyben.

34

3.8. bra. A vlasz tudsnak valsznsge a tuds s a helyes tipp valsznsgefggvnyben, a 3.14 pldhoz, 11.13 kd

3.15 Feladat Vndorlsai kzben Odsszeusz egy hrmas telgazshoz r. Az egyikt Athnbe, a msik Sprtba, a harmadik Mknbe vezet. Az athniek kereskednpsg, szeretik mtani a ltogatkat, csak minden 3. alkalommal mondanak igazat.A mkniek egy fokkal jobbak: k csak minden msodik alkalommal hazudnak. Aszigor sprtai neveltetsnek ksznheten a sprtaiak becsletesek, k mindig igazatmondanak. Odsszeusznak fogalma sincs, melyik t merre vezet, gy feldob egy kockt,egyenl eslyt adva mindegyik tnak. Megrkezve a vrosba, megkrdez egy embert,mennyi 22, mire kzlik vele, hogy 4. Mi a valsznsge, hogy Odsszeusz Athnbajutott?

Megolds. Legyen A: igazat mondanak; B1: Athnba jutott; B2: Sprtba jutott; B3:Mknbe jutott.P(B1)=13 P(A|B1)=13P(B2)=13 P(A|B2)=1P(B3)=13 P(A|B3)=12

Alkalmazzuk a Bayes-ttelt:

P (B1|A) = P (A|B1)P (B1)P (A|B1)P (B1) + P (A|B2)P (B2) + P (A|B3)P (B3) =

13 1

313 1

3+ 1 1

3+ 1

2 1

3

=2

11.

35

3.4. Valsznsgi vltozkSok esetben nem maga az esemnytr, hanem valamilyen szmszer eredmny s azezekhez kapcsold valsznsgek az igazn rdekes krdsek. Ez a megkzelts abbla szempontbl is elnys, hogy gy az absztrakt esemnytr helyett a vals szmok hal-mazn tudunk szmolni. Formlisan az X : R fggvnyt nevezzk valsznsgivltoznak. Vges vagy megszmllhatan vgtelen alaphalmazaink vannak, ezrt nemis kell semmilyen felttel a fggvny tulajdonsgairl.

A legegyszerbb plda lehet egy kockadobs, ahol a kapott eredmny maga definiljaa valsznsgi vltozt. Eddig is krdeztnk olyat, hogy mi a valsznsge pl. a hatosdobsnak, ezt most formlisan gy rhatjuk fel, hogy P (X = 6) =? Ha az elz kpletbena 6 helyett egy tetszleges i rtket runk s i vgigfutja az sszes lehetsges rtket 1-tl 6-ig, akkor megkapjuk az X eloszlst (mivel P (X = i) teljes esemnyrendszertalkot, ezrt a valsznsgeik sszege 1). Ez most az {1, 2, . . . , 6} szmokon rtelmezettegyenletes eloszls: P (X = i) = 1/6.

Az elzekben mr ltott mintavteli pldk is termszetszeren lerhatk valsz-nsgi vltozkkal. Itt X a hzsok sorn kapott selejtesek szmt jelli. Legyen adobozban M selejtes s N M j termk. A hzsok szma pedig legyen n.

Ha visszatevses a mintavtel, akkor

P (X = i) =

(n

i

)M i(N M)ni

Nn

(i = 0, ..., n). Ezt nevezzk (n, p) paramter binomilis eloszlsnak. p = M/N aselejtarny, s gy a kplet a

P (X = i) =

(n

i

)pi(1 p)ni

alakra hozhat. A binomilis ttel alapjn azonnal addik, hogy ez valban valszn-sgeloszls:

1 = (p+ (1 p)n) =ni=0

(n

i

)pi(1 p)ni.

A 3.9 bra annak a valsznsgt mutatja meg p s n fggvnyben, hogy pontosan 5sikeres ksrletnk legyen.

A visszatevs nlkli mintavtelnl pedig

P (X = i) =

(Mi

)(NMni)(

Nn

)(i = 0, ..., n). Megjegyzend, hogy a minta- s a sokasg elemszmtl fggen elkp-zelhet, hogy nem minden i rtk jhet ki pozitv valsznsggel, de ezt a kplet jl

36

3.9. bra. Pontosan 5 selejtes hzsnak valsznsge a ksrletek szmnak s a p-neka fggvnyben, a visszatevses mintavtelnl 11.14 kd

tkrzi, pldul i > M esetn 0 az eredmny. A kapott eloszls a hipergeometrikus,(M,N, n) paramterekkel. Ez is valsznsgeloszls, hiszen ha i vgigfutja az sszes le-hetsget, akkor a szmllk sszege pont kiadja az

(Nn

)sszes lehetsget, amit aszerint

bontottunk fel rszekre, hogy hny selejtest vlasztottunk az n elem mintba.A 3.11 bra egyttesen mutatja a 3.9 s a 3.10 brkat. Jl ltszik, hogy a visszatevs

nlkli mintavtelnl (azaz a hipergoeometriai eloszlsnl) valamivel nagyobb a maxim-lis valsznsgek rtke, mert ezek koncentrltabb eloszlsok - az azonos mintaelemekismtld kzbevtele itt nem fordulhat el s gy az egyb paramterek azonossgaesetn a vrt (tipikus) rtkek nagyobb valsznsggel fordulnak el.

3.16 Feladat Ha egy magyarkrtya-csomagbl visszatevs nlkl hzunk 3 lapot, akkormi annak a valsznsge, hogy

1. pontosan

2. legalbb egy piros szn lapot hzunk?

s mi a helyzet visszatevses esetben?

Megolds. Oldjuk meg a mintavteles modell segtsgvel: N = 32 (sszes lap), M = 8(pirosak), n = 3.Visszatevs nlkl:

37

3.10. bra. Pontosan 5 selejtes termk hzsnak valsznsge a minta elemszmnaks a sokasgban lev selejtesek szmnak a fggvnyben, N=201, 11.15 kd

3.11. bra. A visszatevses s a visszatevs nlkli mintavtel sszehasonltsa, 11.16kd

38

1. (81

)(242

)(323

) = 8 24 23 332 31 30 =

69

155= 0, 44.

2.

P (legalbb 1 piros) = 1 P (0 piros) = 1(

80

)(243

)(323

)= 1 242322

323130 = 1 253620= 0, 59.

Visszatevssel:

1. A "selejtarny"=8/32=1/4, gy a keresett valsznsg:(

31

) (14

)1 (34

)2= 27

64= 0, 42.

2. 1 (34

)3= 0, 58.

Lthat, hogy a ktfle mintavteli mdszerrel kapott eredmny kztt nincs nagy eltrs,mert a minta nagysga kicsi a teljes sokasg elemszmhoz kpest.

3.17 Feladat Jellje pk annak a valsznsgt, hogy egy lotthzsnl (90/5) a legna-gyobb kihzott szm k. Szmtsuk ki a pk rtkeket, s mutassuk meg, hogy ez valbanvalsznsgeloszls!

Megolds.

pk =

(k5

) (k15

)(905

) = (k14 )(905

) , k = 5, 6, . . . , 90ugyanis ki kell vlasztanunk 5 szmot az els k-bl, viszont nem k lesz a legnagyobb,amennyiben az els k 1- bl vlasztottuk ki ket, gy ezeket a rossz eseteket le kellvonni. (A vgeredmny kzvetlenl is indokolhat: a k bent van a kihzott szmokkztt, a tbbi 4 szm pedig az {1, 2, . . . , k 1} halmazbl kell, hogy kikerljn.) Ezvalsznsgeloszls, ugyanis

90k=5

pk =

(55

)+ ((

65

) (55

)) + (

(75

) (65

)) + + ((90

5

) (895

))(

905

) = (905 )(905

) = 1.A 3.12 brn azt lthatjuk, hogy klnbz szm lotthzs esetn mi lesz az addig

kihzott legnagyobb szm eloszlsa. A k = 5-hz tartoz eset ppen a 3.17 feladateredmnyt mutatja.

3.18 Feladat Egy urnbanK fehr sM fekete goly van. Visszatevs nlkl kihztunkn golyt, s ebbl k lett fehr s n k fekete. Mi a valsznsge, hogy az els hzseredmnye fehr goly volt?

39

3.12. bra. A kihzott szmok legnagyobbiknak eloszlsa 1, 2, 3, 4, 5 lotthzs alapjna 3.17 pldban

Megolds. Legyenek A: az els hzs eredmnye fehr; B: n kihzott golybl k fehr.Kiszmoland a P (A|B) valsznsg.

P (B) =

(n

k

)

K!(Kk)! M !(M(nk))!

(M+K)!(M+Kn)!

,

P (A B) = K (n 1k 1

)

(K1)!(Kk)! M !(M(nk))!

(M+K)!(M+Kn)!

,

ugyanis az els hely fehr, oda K darab golyt vlaszhatunk, s a maradk minta (n1)elem, ebbe kell vlasztani (k 1) fehret s (n k) fekett, teht

P (A|B) =K (n1)!

(k1)!(nk)! (K1)!(Kk)!n!

k!(nk)! K!(Kk)!=k

n.

3.19 Feladat Egy llsra n plyz kzl szeretnnk a legjobbat kivlasztani. A p-lyzk sorban bemutatkoznak, s a felttel az, hogy rgtn kell dntennk. Ha az astratgink, hogy az els k plyzt biztosan nem alkalmazzuk, majd ezutn az elsolyat kivlasztjuk, aki mindegyik elznl jobb, akkor mi a valsznsge, hogy a legjobb

40

3.13. bra. A legjobb jellt kivlasztsnak valsznsge klnbz k rtkekre a 3.19pldban, 11.17 kd

plyzt vesszk fel? Tegyk fel, hogy egyrtelm sorrend van a plyzk kztt, shogy brmely sorrend egyformn valszn.

Megolds. Tegyk fel, hogy a legjobb plyz az m-edik helyen rkezik. Ha m k,akkor nincs eslynk a legjobbat kivlasztani. Egybknt pedig azon mlik a dolog, hogya legjobb eltt rkezk legjobbika hnyadik helyen jn. Ha az els k-ban, akkor nyertgynk van, viszont ha utna, akkor t fogjuk vlasztani, nem pedig a legjobbat. Ezalapjn a keresett valsznsg

1

n

nm=k+1

k

m 1 .

Ha a fenti eredmnyt k-ban maximalizlni szeretnnk, akkor an

m=k+1k

m1 log(nk)kzeltst alkalmazva, n-re a k = n/e aszimptotikt kapjuk.

3.5. Vgtelen ksrletsorozatokAz eddigiekben vges sok lehetsgbl kellett a kedvezeket kivlasztani, illetve vgessokszor ismteltnk ksrleteket (esetleg klnbz krlmnyek kztt). Ugyanakkora gyakorlatban szmos olyan krds is felmerl, amit a legclszerbben vgtelen ese-mnytrrel rhatunk le. A matematikai axiomatizls az gynevezett Kolmogorov-fle

41

3.14. bra. Az els sikeres ksrlet sorszmnak eloszlsa klnbz p-re, 11.18 kd

valsznsgi mezvel adhat meg. Ennek lnyege, hogy az additivits helyett az l-talnosabb, -additivitst kveteljk meg: ha A1, ..., An, . . . pronknt egymst kizresemnyek, akkor

P (i=1Ai) = P (A1) + ...+ P (An) + . . . .Ennek segtsgvel tbbek kztt a teljes valsznsg ttelt vgtelen sok esemnyblll teljes esemnyrendszerre is trhatjuk. Elbb azonban nzznk egy pldt. Tegykfel, hogy egy rmvel addig dobunk, mg elszr fejet nem kapunk. Knnyen lthat,hogy annak a valsznsge, hogy ez pont az i-edik ksrletnl kvetkezik be, 1

2i. Itt va-

ljban vgtelen ksrletsorozatot kell elkpzelnnk, mert i rtke fellrl nem korltos.A gyakorlatban azonban ez nem jelent problmt, mert a kapott valsznsgi vltozrtke 1 valsznsggel vges. Ez ltalban is teljesl, akkor is, ha nem szablyos rm-vel dobunk. Jellje p a fej dobsnak valsznsgt, X pedig az els fej bekvetkezsigszksges dobsok szmt. X eloszlsa: P (X = k) = p(1p)k1 (k = 1, 2, ...). Itt lnye-ges annak ellenrzse, hogy ezen valsznsgek sszege 1, mert az {X = } esemnysem zrhat ki. Mivel

k=1(1 p)k1 = 1/(1 (1 p)), ezrt a vges k rtkekhez

tartoz valsznsgek sszege 1 s gy P (X =) = 0.A 3.14 bra mutatja, hogy klnbz p rtkek esetn mekkora rtkek elfordulsra

szmthatunk. Jl ltszik, hogy minden esetben a legkisebb rtk (az 1) a legvalsznbb.Ha nem az els, hanem az r-edik sikeres esemny idpontjt keressk, akkor a k-

vetkez eloszlshoz jutunk: P (X = k) =(k1r1)pr(1 p)kr (k = r, r + 1, r + 2, ...). Ezt

nevezzk r-ed rend negatv binomilis eloszlsnak.

42

Vgl tekintsk azt az esetet , amikor a "ksrletek" szma nem is hatrozhat megegyrtelmen. Hogyan modellezzk azt az X valsznsgi vltozt, ami azt adja meg,hogy...

1. ...hny hurrikn tr ki egy adott idszakban?

2. ...hny hiba van egy aut fnyezsn?

3. ...hny baleset trtnik egy adott terleten egy napon?

Ezek mind olyan krdsek, amelyeknl klnbzkppen felbontva a keresett tartomnyt(pldul az idszakot az 1. esetben) relis lehet a binomilis eloszls alkalmazsa. Ittaz n az aktulis felbonts elemszma, p pedig annak a valsznsge, hogy az adottidszakban van hurrikn (ha elg sok rszre bontjuk fel az alaphalmazt, akkor relisannak a felttelezse, hogy egy rszen bell nem kvetkezhet be kt esemny). A felbontsfinomtsval n s p 0. Belthat, hogy np > 0 esetn

P (X = k) ke

k!(k = 0, 1, . . . ).

A kapott eloszls a paramter Poisson eloszls. Az, hogy ez valban eloszls, ak=0

k

k!= e sszefggsbl addik. A 3.15 bra klnbz paramterrtkek mellett

mutatja a Poisson eloszlst. Lthat, hogy mindig kzelben van a legvalsznbbrtk. A modell ltalnostsval a 10. rszben mg tallkozhatunk.

Ha mr bevezettnk olyan eseteket, ahol vgtelen sok ksrlettel is szmolnunk kellett,akkor rdemes megemlteni, hogy a teljes valsznsg ttele is kiterjeszthet vgtelen sokelem teljes esemnyrendszerre. Legyen A1, ..., An, . . . teljes esemnyrendszer, pozitvvalsznsg esemnyekbl. Ekkor P (B) = P (B|A1)P (A1) + ...+P (B|An)P (An) + . . .

Szmos esetben tudjuk hasznlni ezt az ltalnosabb felrst.

3.20 Feladat Annak a valsznsge, hogy egy gymlcsfn n virg van p(1 p)n1(n 1) ez az elzekben bevezetett, gynevezett geometriai eloszls). Minden egyesvirgbl a tbbitl fggetlenl r valsznsggel lesz gymlcs. Mi a valsznsge, hogy

1. pontosan k gymlcs lett?

2. Ha pontosan k gymlcs lett, akkor mi a valsznsge, hogy m virg volt?

Megolds. Legyen Ak a keresett esemny (hogy pontosan k gymlcs lett), Bm pedigaz az esemny, hogy m virg volt a fn.

1. A teljes valsznsg ttele rtelmben

P (Ak) =m=1

P (Ak|Bm)P (Bm).

43

3.15. bra. A Poisson eloszls klnbz -ra, 11.19 kd

P (Ak|Bm) nyilvn 0, ha m < k, egybknt pedig a binomilis eloszls alkalmazhata P (Ak|Bm) kiszmtsra (legyen elszr k > 0):

P (Ak) =m=k

(m

k

)rk(1 r)mkp(1 p)m1.

Itt alkalmazhatjuk, hogy a k + 1-ed rend s (1 p)(1 r) paramter negatvbinomilis eloszls tagjainak sszege 1, teht az eredmny

p(1 p)k1rk(1 (1 r)(1 p))k+1 .

A k = 0 esetet kln kell kezelni, mert a virgok szma legalbb 1.

P (A0) =m=1

rk(1 r)mp(1 p)m1 = p(1 r)(1 (1 r)(1 p)) .

2. A Bayes ttel rtelmben (m k-ra)

P (Bm|Ak) = P (Ak|Bm)P (Bm)m=1 P (Ak|Bm)P (Bm)

.

44

3.16. bra. A virgok szmnak szimullt eloszlsa a (3.20) feladatnl, az bra baloldalnlthat paramter s szimulciszm esetn,11.23 kd

Teht a keresett valsznsg

P (Bm|Ak) =(1 (1 r)(1 p))k+1 (m

k

)rk(1 r)mkp(1 p)m1

p(1 p)k1rk

=

(m

k

)(1 (1 r)(1 p))k+1 [(1 p)(1 r)]mk .

A feladat els rszhez kszlt interaktv animcik a http://hpz400.cs.elte.hu:3838/ZA_jovirag_a/ s a http://hpz400.cs.elte.hu:3838/ZA_jovirag_b/ cmen ta-llhat. Az elsben a felhasznl bellthatja a virgok szmt meghatroz geometriaieloszls paramtert (p), a msodikban pedig annak r valsznsgt is, hogy egy virg-bl gymlcs lesz, valamint a szimulcik szmt. Eredmnyknt egy-egy hisztogramotkapunk: a virgok szmrl s a gymlcsk szmrl. A http://hpz400.cs.elte.hu:3838/ZA_jovirag/ anmciban pedig egyttesen is megnzhetjk az brkat. A 3.16 s3.17 bra egy-egy screenshot az eredmnyrl. Tovbbi (sszevont) brk tallhatak aFggelkben: 11.3, 11.4 s 11.5.

A feladat msodik rszhez kszlt interaktv animci pedig a http://hpz400.cs.elte.hu:3838/ZA_jovirag2/ cmen tallhat. Itt az elzeken kvl mg azt is meg kelladni, hogy hny gymlcs is lett. Eredmnyknt kt hisztogramot kapunk: a gymlcskszmrl s a kivlasztott gymlcsszmhoz tartoz virgszm-eloszlsrl. A 3.18 braegy screenshot az eredmnyrl.

3.21 Feladat Legyenek A,B,C,D egy szablyos tetrader cscsai. Egy lgy az A cscs-bl indulva stl a tetrader lein, mgpedig minden cscsbl vletlenszeren vlasztva alehetsges hrom irny kzl. Jellje X azt a valsznsgi vltozt, hogy A-bl indulva,hnyadikra r vissza elszr A-ba.Szmtsuk ki a P (X = n) valsznsget! Mutassukmeg, hogy ez valban valsznsgeloszls!

45

3.17. bra. A gymlcsk szmnak szimullt eloszlsa a (3.20) feladatnl, az brabaloldaln lthat paramterek s szimulciszm esetn,11.23 kd

3.18. bra. A gymlcsszm s a kivlasztott gymlcsszmhoz tartoz virgszm-eloszls szimulcija a (3.20) feladatnl, az bra baloldaln lthat paramterek s szi-mulciszm esetn 11.24 kd

46

Megolds. rjuk fel a megoldst a valsznsg klasszikus kplete alapjn:

P (X = k) =3 2k2 1

3k=

1

3

(2

3

)k2(k = 2, 3, ...),

ugyanis

legalbb 2 lpsre van szksg, hogy visszarjnk A-ba minden lpsben sszesen 3 irnyba haladhatunk, gy az sszes eset 3k

j lpsek: elsknt 3 helyre mehetnk, utna (k 2) alkalommal 2 helyre, vglvissza kell lpni A-ba

Ez valsznsgeloszls, mivel

k=2

P (X = k) =1

3

k=2

(2

3

)k2=

1

3

n=0

(2

3

)n=

1

3 1

1 23

= 1.

3.22 Feladat Aladr s Bla pingpongoznak. Minden labdamenetet egymstl fgget-lenl, 1/3 valsznsggel Aladr, 2/3 valsznsggel Bla nyer meg. A jelenlegi lls10 : 9 Bla javra. Mennyi annak a valsznsge, hogy a jtszmt mgis Aladr nye-ri meg? (Az nyer, akinek sikerl legalbb kt pontos elny mellett legalbb 11 pontotszerezni.)

Megolds. Az bra mutatja a jtk lehetsges kimeneteleit, Aladr:Bla sorrendben. Apiros kimenetek azt mutatjk, amikor Aladr nyert, a zld azt, amikor Bla.

9 : 10

13yy

23

%%10 : 10

19yy

49

49

%%

9 : 1

12 : 10 11 : 11

19yy

49

49

%%

10 : 12

13 : 11 12 : 12

19yy

49

49

%%

11 : 13

14 : 12 ... 12 : 14

47

Az egyes labdamenetek egymstl fggetlenek, gy

P (Aladr nyer) =1

3 19

+1

3 49 19

+1

3(

4

9

)2 19

+ ... =1

27k=0

(4

9

)k=

1

27 11 4

9

=1

15.

Matematikailag az egyik legfontosabb krds a vletlen jelensgek aszimptotikj-nak vizsglata, amihez vgtelen sok ksrletet is tudnunk kell vizsglni. A leggyakoribbmodell, amit hasznlunk, a fggetlen ksrletsorozat. Itt minden n-re alkalmazhat aszorzat-szably.

3.23 Feladat Legyenek az A1, A2 s A3 egymst kizr esemnyek, melyek a P(A1)=p1,P(A2)=p2 s P(A3)=p3 valsznsgekkel kvetkeznek be. Mennyi a valsznsge, hogyn fggetlen ksrletet vgezve, a ksrletek sorn az A2 elbb kvetkezik be, mint azA1 vagy az A3? Szmtsuk ki e valsznsg hatrrtkkt, ha a ksrletek szma avgtelenhez tart!

Megolds. Legyen Bi: az i. ksrletnl A2 bekvetkezik; Ci: az i. ksrletnl egyik sekvetkezik be. Ekkor P(Bi)=p2 s P(Ci)=1 p1 p2 p3 =: q. Fel fogjuk hasznlni,hogy a Ci s a Bi+1 esemnyek fggetlenek egymstl. rjuk fel a keresett esemnyt A2els bekvetkezse szerint:

P (A2 elbb kvetkezik be, mint A1 vagy A3) ==P (B1 (C1 B2) (C1 C2 B3) ... (C1 ... Cn1 Bn) ...) ==P (B1) + P (C1)P (B2) + P (C1)P (C2)P (B3) + ...+ P (C1) ... P (Cn1)P (Bn) + ... =p2 + qp2 + q

2p2 + ...+ qn1p2 + ... =

p21 q =

p2p1 + p2 + p3

.

A 3.19 brn azt ltjuk, hogy a 3.23 feladatnl milyen gyorsan konvergl a valsz-nsg a hatrrtkhez. Mr 6 ksrlet esetn is igen j a kzelts.

Vgl kvetkezzk egy rdekes s nem is knny feladat az aszimptotika tmakrbl.1

3.24 Feladat Tegyk fel, hogy egy dobozba 12 ra eltt 1/2n perccel beletesszk a10(n 1) + 1, 10(n 1) + 2, . . . , 10n sorszm golykat (n = 1, 2, . . . ) s

1. ugyanekkor ki is vesszk a 10n sorszm golyt

2. ugyanekkor kivesszk az n sorszm golyt

3. ugyanekkor kivesznk egy vletlenszeren vlasztott golyt.1Forrs: Ross, [6]

48

3.19. bra. Az els sikeres ksrlet sorszmnak eloszlsa klnbz p-re

Mennyi goly lesz a dobozban pontban 12 rakor?

Megolds.

1. Ez mg knny, hiszen csak a 10-zel oszthat sorszm golykat vesszk ki, a tbbibent marad - teht dlben nyilvn vgtelen sok goly lesz a dobozban.

2. Ez pedig meglep: tekintsnk a k sorszm golyt. Mivel t kivesszk 1/2k percceldl eltt, ezrt dlben mr nem lesz a dobozban. s mivel ez az rvels tetszlegessorszmra elmondhat, ezzel belttuk, hogy a doboz res lesz dlben.

3. Itt pedig zeltt kapunk a valsznsgszmtsban gyakori becslses mdszerbls egyttal bemutatjuk, hogy mikppen lehet vgtelen sok esemnnyel szmolni.Tekintsnk egy golyt, amit a k. csoportban tettnk be a dobozba. Annak avalsznsge, hogy ez 1/2n perccel dl eltt bent van a dobozban (n > k):(

1 19k + 1

)(1 1

9(k + 1) + 1

). . .

(1 1

9(n k + 1) + 1).

Azt lltjuk, hogy ez 0-hoz tart, ha n . Ezzel ekvivalens llts, hogy a fenti

49

szorzat reciproka vgtelenhez tart.

9k + 1

9k 9(k + 1) + 1

9(k + 1) 9(n k + 1) + 1

9(n k + 1) (1 +

1

9k

)(1 +

1

9(k + 1)

). . .

(1 +

1

9(n k + 1))>

1

9k+

1

9(k + 1)+ + 1

9(n k + 1) .

Ez utbbi pedig a szmok reciprokainak rszletsszegnek kilenced rsze. Mivel eza sor divergens, a mi sszegnk is vgtelenhez tart, ha n . Teht brmelyszm 0-hoz tart valsznsggel marad bent a dobozban. Mivel a valsznsgfolytonos, ezrt ebbl kvetkezik, hogy brmely szm 0 valsznsggel lesz dlbena dobozban. Ebbl viszont

P (

az i. goly bent van dlben)

P (az i.goly bent van dlben) = 0.

3.6. Gyakorl feladatok1. Egy kockval (amelyik nem felttlenl szablyos) ktszer dobunk. A hatos dobs

eslyt jellje p (0 < p < 1). Legyen A az az esemny, hogy a msodik dobs hatos,B pedig az az esemny, hogy pontosan egy hatos van a kt dobs kztt. Milyenp-re lesz az A s a B esemny fggetlen?

2. Egy vrosban ugyanannyi frfi l mint n. Minden 100 frfi kzl 5 s minden10000 n kzl 25 sznvak. Mennyi a valsznsge, hogy a sznvakokrl vezetettnyilvntartsbl egy tallomra kivlasztott karton frfi adatait tartalmazza?

3. Egy dobkockval addig dobunk, amg valamelyik korbban dobott szm jra el-fordul. Mekkora az eslye annak, hogy hrmat dobtunk?

4. Egy szablytalan rmvel (fej valsznsge 2/3) addig dobunk, amg elszr fordulaz el, hogy a dobott fejek szma pontosan kettvel haladja meg a dobott rsokszmt. Mennyi az eslye, hogy 6-ot kellett dobnunk?

5. Egy jtkos annyiszor lhet egy lggmbre, ahny hatost dob egyms utn egydobkockval. Mennyi a valsznsge, hogy sztlvi a lggmbt, ha egy lvsnlerre 1/1000 az esly?

50

6. Szz kocka kzl 99 szablyos, egy pedig szablytalan, ennek mindegyik oldaln6-os van. Tallomra vlasztunk egy kockt a szzbl, majd a kivlasztott kockvalhromszor dobunk. Mindhrom dobs eredmnye hatos. Mekkora az eslye, hogya szablytalan kockval dobtunk?

7. Kt kockadobsbl az els eredmnyt jelljk X-szel, a msodikt Y -nal. A k-vetkez esemnyeket vizsgljuk:

(a) 2 osztja X-nek, 3 osztja Y -nak.

(b) 2 osztja Y -nak, 3 osztja X-nek.

(c) Y osztja X-nek.

(d) X osztja Y -nak,

(e) 2 osztja X + Y -nak,

(f) 3 osztja X + Y -nak.

Melyek lesznek kzlk fggetlenek?

8. 3 kockval dobunk, Y jelli a dobott szmok kzl a legnagyobbat. P (Y = 4) =?

9. Mi a valsznsge, hogy egy hatgyermekes csaldban 3 fi s 3 lny van? (Tegykfel, hogy mindig 1/2 1/2 a fik, ill. a lnyok szletsi valsznsge).

10. Mi az eslye annak, hogy a 90/5-s lottnl a lottszmokat sorbarendezve a k.szm ppen l-lel egyenl?

11. Ha visszatevssel hzunk n-szer abbl a sokasgbl, ahol a selejtarny p, akkormely selejtszm lesz a legvalsznbb?

12. 2 rmvel dobunk, majd mg annyi rmvel, ahny fejet az els kt rmvel kap-tunk. Jellje X az sszesen kapott fejek szmt. P (X = k) =?

13. Kt doboz kzl az elsben k db fehr s m db piros, a msodikban m db fehrs k db piros goly van. Visszatevssel hzunk az albbi szably szerint: ha akihzott goly fehr, akkor a kvetkez hzsnl az els dobozt, ha piros, akkorpedig a msodik dobozt hasznljuk. (Az els golyt az els dobozbl hzzuk.) Mia valsznsge, hogy az n-edik hzsnl fehr golyt hzunk? Mihez tart ez avalsznsg, ha n?

14. Egy jtkos annyiszor lhet egy lggmbre, ahny 6-ost dobott egyms utn egydobkockval (pldul, ha elsre 6-ost, msodikra 2-est dob, akkor egyszer lhet).Mennyi a valsznsge, hogy sztlvi a lggmbt, ha egy lvsnl 1/1000 valsz-nsggel tall?

51

15. Jellje X, hogy egy szablytalan rmvel dobva (p a fej valsznsge), hnyadikdobsnl lesz elszr kt egyms utni dobs azonos. Adjuk meg X eloszlst.

16. Addig dobunk kt kockval, amg ktszer el nem fordul az, hogy a kt kockn lvszmjegyek sszege 10.

(a) Mennyi a valsznsge, hogy sszesen nyolcszor dobunk?

(b) Mennyi annak a valsznsge, hogy pontosan nyolcszor dobunk 10-nl kisebbsszeget, mieltt a keresett esemny bekvetkezik?

17. Egy clba lvnk addig, mg el nem talljuk, de legfeljebb hromszor. Az elslvsnk 60% esllyel tall, de utna gyesednk s, gy a msodszorra mr 70%,harmadszorra pedig 80% a tallati valsznsgnk. Mi a valsznsge, hogy

(a) 3 lvsbl sem talljuk el a clt?

(b) a 3. lvssel talljuk el?

(c) nem talljuk el, feltve, hogy az els lvst elhibztuk?

18. Egy szablytalan rmvel dobunk (p a fej valsznsge). Jellje X az els, azono-sakbl ll sorozat hosszt,Y pedig a msodik, azonosakbl ll sorozat hosszt.Teht pldul, ha a dobssorozat FFIIIF, akkor X = 2 s Y = 3 (1 hossz "soro-zat" is lehetsges.) Adjuk meg X, illetve Y eloszlst.

19. Hrom egyformn ers teniszjtkos: A, B s C jtszik mrkzseket. A s Bkezd, majd a gyztes jtszik C-vel, s gy tovbb, mindaddig, amg valaki ktszeregyms utn nyer s gy megnyeri az egsz meccset. Tegyk fel, hogy brmelymrkzst brmely jtkos a tbbi mrkzstl fggetlenl 1/2 valsznsggel nyermeg. Mennyi a valsznsge, hogy A, B ill. C nyeri meg a meccset?

52

4. fejezet

A ksrletek jellemzi: kzprtkek,ingadozs, vrhat rtk, szrs

Ksrletsorozatok eredmnyeinek sszefoglalsa gyakori feladat. Gondoljunk csak ar-ra, hogy mennyi adat keletkezik a legklnbzbb ksrletek sorn nap-mint nap s hogyezek lnyegnek rgztse nlkl teljesen ttekinthetetlenek lennnek az eredmnyek. Te-kintsk pldul a nap mint nap ltott, hallott idjrs-jelentst! Ez az adott idszakravrt (gyakran ppen vletlen szimulcival vizsglt) kimenetelek sszefoglalsa. Szerepelbenne a legalacsonyabb, illetve legmagasabb hmrsklet-rtk, gyakran az tlagos csapa-dkmennyisg s szlsebessg is. Teht egyszerre az ingadozs egy lehetsges mrszmas a kzprtkek is szerepelnek benne. Kezdjk a vizsglatainkat a kzprtkekkel.

4.1. KzprtkekA mrt adatok legfontosabb kzprtkei az tlag (szmtani kzp) s a medin (a nagy-sg szerint sorbarendezett rtkek kzl a kzps. Pros sok megfigyels esetn ez nemegyrtelm, ilyenkor a kt kzps rtk tlagval szoktk definilni.)

rdemes megjegyezni, hogy br az tlag sok eloszls esetn optimlis statisztikai tu-lajdonsg, ha kiugr rtkek is vannak az adataink kztt, megbzhatatlan mrszmmis vlhat. Ezt gy mondjuk, hogy az tlag rzkeny a kiugr rtkekre. A medint vi-szont nem befolysoljk ezek az rtkek, ezrt ajnlhat az alkalmazsa, ha szmtanilehet (esetleg kevsb megbzhat) kiugr rtkekre.

Mind a kt kzprtk rendelkezik optimum-tulajdonsggal: az tlag a minimumhelyea mina{

ni=1(xi a)2} szlsrtk-feladatnak, a medin pedig a mina{

ni=1 |xi a|}

szlsrtk-feladatnak.Ennek illusztrlst interaktv animci formjban a http://hpz400.cs.elte.hu:

3838/ZA_median_a/ s a http://hpz400.cs.elte.hu:3838/ZA_median_b/ weblapontallhatjuk. Egy-egy screenshot a 4.1 s 4.2 bra. Tovbbi brk pedig a fggelkben

53

tallhatak: 11.6, 11.7 s 11.8. Jl lthat, hogy mennyire eltr az optimumok rtkeaz egyes eloszlsokra. A http://hpz400.cs.elte.hu:3838/ZA_median/ animci pedigegy brban mutatja a ktfajta vesztesgfggvnyt s a kt optimumot.

4.1. bra. A medin optimumtulajdonsga az bra baloldaln lthat eloszlsra smintanagysgra

4.2. bra. Az tlag optimumtulajdonsga az bra baloldaln lthat eloszlsra s min-tanagysgra

Ha nem adatok, hanem az eloszls alapjn szeretnnk mondani valamit a jvbenirtkek kzprtkrl, akkor clszer bevezetni az tlag elmleti megfeleljt, az gy-nevezett vrhat rtket E(X). Ez a most vizsglt esetekben egyszeren a lehetsgesrtkeknek a hozzjuk tartoz valsznsggel vett slyozott sszegeknt kaphat meg:

E(X) =i=1

xiP (X = xi),

azaz az tlag gy is felfoghat, mint a tapasztalati eloszls ez minden megfigyelshez1/n valsznsget rendel vrhat rtke. A medin elmleti rtke pedig definilhat

54

4.3. bra. Az tlag s a medin sszehasonltsa az bra baloldaln lthat eloszlsras szimulciszmra, 11.25 kd

gy, mintinf{x R : P (X < x) 1/2}.

A nevezetes eloszlsok vrhat rtkt gyakorlatilag minden tanknyv levezeti, ezrt ittcsak hivatkozunk ezekre az eredmnyekre:

Az (n, p) paramter binomilis eloszls vrhat rtke np.A paramter Poisson eloszls vrhat rtke .A p paramter geometriai eloszls vrhat rtke 1/p.Nhny folytonos eloszlsbl szrmaz minta tlagt s medinjt hasonlthatjuk

ssze a http://hpz400.cs.elte.hu:3838/ZA_mean/ lapon tallhat interaktv szimu-lci segtsgvel. Itt kivlaszthatjuk az eloszlst (normlis, exponencilis vagy 2 pa-ramter Pareto) s megadhatjuk a szimulci-szmot. (Az eloszlsok defincijt a 5.rszben adjuk meg.) A 4.3 bra egy screenshot a szimulcibl. A folytonos eloszlsokvrhat rtkt a 5.2 fejezetben fogjuk definilni.

Gyakran hasznlhat a vrhat rtk azon fontos tulajdonsga, hogyX = X1+...+Xnesetn (ha lteznek a valsznsgi vltozk vrhat rtkei) E(X) = E(X1)+...+E(Xn).

4.1 Feladat Egy betegsg a fiataloknl 1%-os, a kzpkoraknl 2%-os, mg az idsek-nl 10%-os valsznsggel lp fel. A lakossg 30%-a fiatal s 50%-a kzpkor. Ezervletlenszeren kivlasztott szemly kzl mennyi lesz a betegek szmnak vrhat r-tke?

55

Megolds.A 3.4 feladatban lttuk, hogy egy vletlenszeren kivlasztott szemly 33/1000valsznsggel beteg. A betegek szma X = X1 + ...+X1000, ahol Xi annak az esemny-nek az indiktora, hogy az i-edik szemly beteg (azaz Xi ekkor 1, egybknt pedig 0).Az elzekben ltott additivits miatt E(X) = 1000E(Xi) s mivel E(Xi) = P (Xi =1) = 33/1000, gy a vgeredmny E(X) = 33.

4.2 Feladat Egy sorsjtkon 1 darab 1 000 000Ft-os, 10 db 100 000Ft-os, s 100 db1 000Ft-os nyeremny van. A jtkhoz 10 000 db sorsjegyet adtak ki. Mennyi a sorsjegy ra, haegy sorsjegyre a nyeremny vrhat rtke megegyezik a sorsjegy rval?

Megolds. Most is az additivitst hasznlhatjuk. Az sszes sorsjegyen kiosztott ssz-nyeremny 2, 1 milli Ft. Felttelezhetjk, hogy minden sorsjegy ugyanakkora esllyelnyer, teht az egy szelvnyre es vrhat nyeremny 210 Ft.

4.3 Feladat Tegyk fel, hogy egy dobozban van 2N krtyalap, melyek kzl kettn 1-es,kettn 2-es szm van s gy tovbb. Vlasszunk ki vletlenszeren m lapot. Vrhatanhny pr marad a dobozban?

Ez a feladat mg Bernoullitl szrmazik, eredetileg N prbl m halleset utn meg-marad hzassgok szmt modellezte ezen a mdon. Megolds.Most is az additivitsthasznlhatjuk. Legyen Xi annak az esemnynek az indiktora, hogy az i-edik pr bentmaradt a dobozban (azaz Xi ekkor 1, egybknt pedig 0).

E(Xi) = P (Xi = 1) =

(2N2m

)(2N2m

) ==

(2N2)!m!(2N2m)!

(2N)!m!(2Nm)!

=(2N m)(2N m 1)

2N(2N 1) .

Teht a keresett vrhat rtk

E(X) = E(X1 +X2 + +Xn) = N (2N m)(2N m 1)2N(2N 1)

=(2N m)(2N m 1)

2(2N 1) .

4.4 Feladat Vrhatan hnyszor kell dobni egy szablyos kockval, hogy minden szmotlegalbb egyszer megkapjunk?

56

4.4. bra. A megmarad prok szmnak vrhat rtke klnbz N s m-re (a 4.3feladathoz, 11.20 kd)

Megolds. Most is hasznlhatjuk az sszegrebontst, de egy kevsb trivilis mdon.Most azt clszer szrevennnk, hogy az j szmok dobsa egyre nehezebb vlik, ahogymr egyre tbb szmot dobtunk. Teht X (a szksges dobsok szma) klnbzeloszls tagokra bonthat:

X = X1 +X2 + . . . ...+X6,

ahol Xi az a dobsszm ami ahhoz kell, hogy i 1 szm utn az i-edik is kijjjn.X1 = 1, hiszen elsre brmit dobhatunk. Ezutn X2 annak felel meg, hogy mennyitkell vrni egy 5/6 valsznsg esemnyre, teht X2 geometriai eloszls, E(X2) = 6/5.Ugyangy E(Xi) = 6/(7 i), mert ekkor mr i1 rossz szm van. A vgeredmny tehtE(X) = 1 + 6/5 + 3/2 + 2 + 3 + 6 = 14, 7.

4.5 Feladat Tegyk fel, hogy egy dobozban van n fehr s m piros goly. Visszatevsnlkl hzunk addig, mg az els fehr golyt meg nem kapjuk. Vrhatan hny hzsravan ehhez szksg?

Megolds. Jellje X a krdses mennyisget. Ezt gy kaphatjuk meg, hogy az elsfehr eltt kihzott piros golyk szmhoz hozzadunk 1-et. Feltehetjk, hogy ezek megvannak sorszmozva 1-tl m-ig. Tekintsk ezeknek az indiktorait: Xi = 1 pontosan

57

4.5. bra. Ahhoz szksges ksrletek szmnak vrhat rtke, hogy egyformn valsz-n kimenetelek mindegyike legalbb egyszer kijjjn, a lehetsges kimenetelek szmnakfggvnyben (a 4.4 feladathoz, 11.21 kd)

akkor, ha az i sorszm pirosat az els fehr eltt hztuk ki (klnben pedig 0). Ezekkela jellsekkel

E(X) = 1 + E(X1) + E(X2) + + E(Xm),hiszen X = 1 + X1 + X2 + + Xm. E(Xi) = P (Xi = 1) = 1n+1 , hiszen az n fehrets az adott pirosat brmilyen sorrendben ugyanakkora valsznsggel hzhatjuk, s asorrendek kzl pontosan 1 olyan van, amikor a piros az els. A vgeredmny teht

E(X) = 1 +m

n+ 1.

A teljes valsznsg ttelhez hasonl llts a vrhat rtkekre is megfogalmazhat.

4.1 Ttel Legyen A1, ..., An teljes esemnyrendszer, pozitv valsznsg esemnyekbl.Ekkor E(X) = E(X|A1)P (A1)+...+E(X|An)P (An), ahol E(X|A) az X A bekvetkezsemelletti, gynevezett feltteles vrhat rtke.

4.6 Feladat Dobjunk egy rmvel annyiszor, amennyit egy szablyos kockval dobtunk.Jellje X a fejek szmt. E(X) =?

Megolds. A teljes esemnyrendszer most a kockadobs lehetsges eredmnynek meg-felelen 6 elem. A teljes vrhat rtk ttel rtelmben E(X) = E(X|A1)P (A1) + ...+

58

E(X|A6)P (A6) = (1/2 + 1 + 3/2 + 2 + 5/2 + 3)/6 = 7/4, ami teljesen termszetes, hiszena kockadobs vrhat rtke 3,5 s vrhatan ezek fele lesz a fejre es rmk szma.

4.2. Az ingadozs mrtke s lehetsges mrszmaiAz ingadozsra mg tbb mrszmot vezethetnk be, mint a kzprtkekre. A leg-gyakrabban hasznlt mrszm a szrsngyzet (D2, variancia), mely a vrhat rtktlvett tlagos ngyzetes eltrs, kplettel:

D2(X) = E[(X E(X))2].

A szrsngyzetet a gyakorlatban ltalban a

D2(X) = E(X2) E2(X)

kplettel a legegyszerbb kiszmtani.

4.7 Feladat Legyen X p paramter indiktor vltoz. D2(X) =?

Megolds. E(X2) = p 1 + (1 p) 0 = p, teht D2(X) = p p2 = p(1 p).

4.8 Feladat Legyen X paramter Poisson eloszls vltoz. D2(X) =?

Megolds.

E(X2) =i=1

i2ie

i!=i=1

iie

(i 1)! ,

amit tovbbalaktva

E(X2) =i=1

(i 1 + 1) ie

(i 1)! =i=2

ie

(i 2)! +i=1

ie

(i 1)! = 2 + ,

teht D2(X) = E(X2) E2(X) = 2 + 2 = .

Klnbz becslseknl gyakran clszer a szrsngyzet ngyzetgyknek, a szrs-nak (D(X)) a hasznlata.

Ugyanakkor a szrsngyzetre mg inkbb igaz, amit a kiugr rtkek jelents hat-srl a vrhat rtkkel kapcsolatosan mondtunk.

Ha nem az elmleti eloszls, hanem adatok alapjn szeretnnk mrszmokat kapni azingadozsra, akkor erre is tbb lehetsgnk van. Kiszmolhatjuk pldul a tapasztalatieloszls kvantiliseit, vagy ezek szls rtkt: a minimumot s a maximumot.

59

4.6. bra. A 97, 5%-os kvantilis a 3 paramter Pareto eloszlsra 500 szimulci alapjn,11.33 kd

Elssorban az egyszer kiszmtsa miatt volt rgebben npszer a terjedelem: R =max(X1, ..., Xn) min(X1, ..., Xn), amely azonban mint elmleti mennyisg nem kl-nsebben rdekes. Viszont vannak vltozatai, amelyek a kiugr rtkekre rzketlenek,ezek kzl elssorban az interkvartilis terjedelmet (a fels s als kvartilisek klnbsgt azaz annak a tartomnynak a szlessgt, amelybe a megfigyelsek kzps 50%-a esik) szoktk erre a clra a gyakorlatban hasznlni.

Klnbz paramter szimullt Pareto eloszlsok kvantiliseit vizsglhatjuk a http://hpz400.cs.elte.hu:3838/ZA_quantile/ lapon tallhat interaktv szimulci segt-sgvel. Itt kivlaszthatjuk az eloszls paramtert, a kvantilist s megadhatjuk a szi-mulci elemszmt. rdemes a szimulcit akr ugyanarra a belltsra is tbbszrlefuttatni, ezzel is ellenrizve a kapott rtkek szrdst. Minl magasabb kvantilist sminl kisebb paramtert vlasztunk, annl nagyobb lesz az ingadozs. A 4.6 bra egyscreenshot a szimulcibl.

A szrsngyzet legfontosabb tulajdonsga, hogy fggetlen (st: korrellatlan lsda 6.4 szakaszt) valsznsgi vltozkra sszeaddik. Ha mg konstans szorzt is megen-gednk, akkor az albbi formult kapjuk:

D2(aX + bY ) = a2D2(X) + b2D2(Y ), (4.1)

ahol X, Y fggetlen valsznsgi vltozk, a, b R.4.9 Feladat 5-szr dobunk egy szablyos kockval. LegyenX a 6-osok szma. D2(X) =?

60

4.7. bra. A dobott hatosok szmnak szrsa a dobsok szmnak fggvnyben, ahatos dobsnak klnbz p valsznsgre (a 4.9 feladathoz)

Megolds. X = X1 + +X5, ahol Xi akkor 1, ha az i-edik dobs hatos (klnben 0).Xi indiktor vltoz 1/6 paramterrel, gy D2(Xi) = 1/6 1/36 = 5/36. A 4.1 kpletalapjn D2(X) = 25/36, ami specilis esete a binomilis eloszlsra vonatkoz ltalnosnp(1 p) formulnak.

4.10 Feladat Legyenek X s Y fggetlen, nulla vrhat rtk valsznsgi vltozk.E(X2) = 3 s E(Y 2) = 1. Mennyi D(X Y )?

Megolds. A 4.1 kplet alapjn D2(X Y ) = D2(X) + (1)2D2(Y ). s mivel a 0vrhat rtk miatt D2(X) = E(X2), az eredmny D2(X Y ) = 3 + 1 = 4, azazD(X Y ) = 2.

4.3. Gyakorl feladatok1. Egy dobozban az 1, 2, 3, 4 felirat 4 cdula van. Visszatevssel hzunk, amg 4-es

nem kerl a keznkbe. Mekkora a kihzott szmok sszegnek vrhat rtke?

2. Jellje X az tslottn kihzott lottszmoknl

(a) a prosak szmt.

61

(b) a legkisebbet. Adjuk meg X vrhat rtkt.

3. LegyenekX s Y fggetlen 0 vrhat rtk valsznsgi vltozk. MennyiD2(XY ),ha E(X2) = 2 s E(Y 2) = 3?

4. Egy urnban 3 piros, 3 fehr s 3 zld goly van. Visszatevssel hzunk, mg leg-albb egyet nem kapunk minden sznbl. Mennyi lesz a kihzott golyk szmnakvrhat rtke?

5. Egy bnysz a bnya egy termben rekedt. A terembl hrom ajt nylik: az elsajt 3 rnyi t vgn a szabadba vezet. A msodik ajt egy alagtba nylik, mely5 rnyi sta utn visszavezet ugyanebbe a terembe. A harmadik ajt szintn egyalagtba nylik, mely 7 rnyi sta utn vezet vissza ugyanebbe a terembe. Abnysz minden alkalommal, amikor ebbe a terembe r, e hrom ajt kzl vlasztegyet egyenl valsznsggel, az elz vlasztsoktl fggetlenl. Legyen X aszabadba kijutshoz szksges id. E(X) =?

6. Dobjunk egy rmvel annyiszor, amennyit egy szablyos kockval dobtunk. JelljeX a fejek szmt. E(X) =?

7. Jellje X az tslottn kihzott lottszmoknl

(a) a prosak szmt.

(b) a legkisebbet.

Adjuk meg X vrhat rtkt.

8. Kt kockval dobunk. Egy ilyen dobst sikeresnek neveznk, ha van 6-os a kapottszmok kztt. Vrhatan hny sikeres dobsunk lesz n prblkozsbl?

9. A zsebemben lev 5, 10, 20, 50, 100 s 200 forintos rmk szma fggetlen Poisson()eloszls valsznsgi vltozk. Hatrozzuk meg aprpnzem rtknek vrhatrtkt!

10. Legyen X -paramter Poisson eloszls. E(1/(X + 1)) =?

11. Hzzunk egy francia krtyacsomagbl kt lapot visszatevs nlkl. Jellje X akrk, Y pedig az szok szmt. Adjuk meg X s Y egyttes eloszlst!

12. Tegyk fel, hogy egy adott terleten s idszakban a hurriknok szma Poisson fo-lyamattal modellezhet. Vrhat rtkben hetente 1 hurriknra szmthatunk. Mia valsznsge, hogy 4 ht alatt legfeljebb 2 hurrikn lesz? Ha az egyes hurriknokereje p = 1/5 valsznsggel haladja meg a 2-es fokozatot, akkor vrhatan hnyilyen hurrikn lesz egy hnap alatt?

62

13. Egy 10 emeletes hz fldszintjn 15 ember szll be a liftbe. Mindenki a tbbitlfggetlenl 1/10 esllyel szll ki az egyes emeleteken. Vrhatan hny emeleten llmeg a lift?

14. Tegyk fel, hogy 13-szor hzunk visszatevssel egy magyarkrtya-csomagbl. Je-llje X azt, hogy hny klnbz rtk lapot hztunk. Adjuk meg az X vrhatrtkt.

15. 10 ember (5 pr) vletlenszeren lel egy kerek asztalhoz. Vrhatan hny prtagjai kerlnek egyms mell?

16. n ember bedobja a nvjegyt egy dobozba, majd mindenki vletlenszeren hz egynvjegyet. Vrhatan hny ember hzza a sajt nvjegyt? (L. a 2.9 brt.)

17. 5-szr dobunk egy szablyos kockval. X a 6-osok szma. D2(X) =?

18. Adjuk meg az {1, 2, ..., N} szmokon egyenletes eloszls szrsngyzett.

63

5. fejezet

Folytonos modellek s tulajdonsgaik

Az elz fejezetekben mind az esemnyternk, mind a vletlen mennyisgeink rtkksz-lete vges vagy megszmllhatan vgtelen volt. rezhet, hogy ezen modellek hasznl-hatsga behatrolt, hiszen gyakran igen egyszer krdsekre sem tudnnk vlaszolni,ha csak ebben a krben maradnnk. Pldul egy radioaktv rszecske bomlsnak id-pontja, egy ember lettartama s sok ms is jobban modellezhet nem megszmllhatrtkekkel. Ezen tlmenen nagyon sok esetben a folytonos modellek sokkal knnyebbenkezelhetk mint a diszkrtek.

Ugyanazokat az elnevezseket hasznljuk itt is, mint a korbbiakban.

5.1 Definci : biztos esemny, illetve esemnytr. : elemi esemny. A A :esemny (nem felttlenl sszes rszhalmaza). P : valsznsg. P (A): az A esemnyvalsznsge (0 P (A) 1).

Itt mr jeleztk, hogy elfordulhat, hogy nem minden rszhalmaza esemny. Szk-sgnk lesz a kvetkez fogalomra.

5.2 Definci Az rszhalmazainak A rendszere -algebra, ha (i) A, (ii) An A An A s (iii) A A A = \A A.

Mit kvetelnk meg az esemnytrtl, a valsznsgtl? ltalnosan elfogadott A.N. Kolmogorov aximarendszere.

5.3 Definci (,A, P ) Kolmogorov-fle valsznsgi mez, ha (i) A rszhal-mazainak -algebrja, (ii) P nemnegatv fggvny A -n, (iii) P () = 1 s (iv) An Adiszjunkt halmazokra P (

An) =

P (An).

Elszr nzznk meg egy nagyon egyszer esetet, amely nagyon hasonlt a kombina-torikus valsznsgi mezhz!

5.4 Definci (Geometriai valsznsgi mez) Legyen Rd s ()

5.1. bra. Pter s Juli rkezsi idpontjai

Megjegyezzk, hogy d = 3 esetn a szoksos trfogatrl, d = 2 esetn pedig terletrlvan sz.

5.1 Feladat Pter s Juli 10 s 11 ra kztt vletlenszer idpontban rkeznek egytallkoz sznhelyre, legfeljebb 10 percet vrva a msikra. Mekkora valsznsggeltallkoznak?

Megolds. Pter s Juli rkezsi idpontjait egy ngyzet pontjainak feleltetjk meg segyb informci hinyban geometriai valsznsgi mezt feltteleznk.Az 5.1 brn satrozssal jelltk azokat a pontokat, melyek azoknak az rkezseknekfelelnek meg, amikor Pter s Juli tallkoznak. Az brrl jl lthat, hogy a keresettvalsznsg.P (tallkoznak) = 1 (5

6)2 = 11

36.

5.2 Feladat Egysgnyi oldal ngyzetbl tallomra vlasztunk egy pontot. Mekkoraaz eslye annak, hogy a kivlasztott pont oldalaktl mrt tvolsgainak ngyzetsszegelegalbb ktszer akkora, mint a bal als saroktl mrt tvolsgnak ngyzete?

Megolds. Geometriai valsznsgrl szl a feladat, = [0, 1]2. Legyen A a szbanforg esemny. Ekkor

A ={

(x, y) : x2 + (1 x)2 + y2 + (1 y)2 2(x2 + y2)}65

Az A halmaz pontjaira vonatkoz felttelt talakthatjuk

x2 + (1 x)2 + y2 + (1 y)2 2(x2 + y2)x2 + 1 2x+ x2 + y2 + 1 2y + y2 2(x2 + y2)

2 2(x+ y) 01 x+ y

Azaz A a ngyzet bal als sarknl lv egysgnyi befogj derkszg hromszg. gyP (A) = tA = 1/2.

5.1. Valsznsgi vltozkAz ltalnos esetben a valsznsgi vltoz meghatrozsnl knytelenek vagyunk bi-zonyos megktseket tenni.

5.5 Definci : R valsznsgi vltoz, ha minden x R szmra {w : (w) t+ s | > s) = P ( > t)teljesl minden t, s > 0-ra.

5.4 Feladat (-exponencilis eloszls) Jellje egy hagyomnyos izz lettartamt.Nyilvnval, hogy csak pozitv rtkeket vehet fel s megfigyeltk azt is, hogy az izzklettartama rkifj tulajdonsg. Mi lehet az lettartamok eloszlsa?

Megolds. Legyen G(t) = P ( > t), t > 0, gy G(t+s)G(s)

= P (>t+s , >s)P (>s)

= G(t), azazG(t+s) = G(t)G(s). Ebbl kvetkezik, hogyG(t) = et alak. MivelG(t) valsznsg,ezrt > 0. Az eloszlsfggvny balrl folytonossga miatt P ( < t) lim

0P (

t ) lim0

P ( < t ) = P ( < t) s ebbl P ( < t) = lim0

P ( t ) =lim0

(1 e(t)) = 1 et. Knnyen lthat a fordtott irny is, teht, hogy egy ilyeneloszlsfggvny valsznsgi vltoz rkifj eloszls.

5.9 Definci Az F (t) =

{0 : t 01 et : 0 < t eloszlsfggvny valsznsgi vltoz-

kat -paramter exponencilis eloszlsnak nevezzk.

5.5 Feladat Az X valsznsgi vltoz eloszlsfggvnye F . Hatrozzuk meg m+ Xeloszlsfggvnyt, ahol > 0 s m rgztett konstansok!

Megolds. P (m+ X < x) = P (X < xm

) = F (xm

).

A valsznsgi vltozk egyik legfontosabb osztlya a kvetkez.

5.10 Definci A valsznsgi vltoz abszolt folytonos eloszls, ha ltezik olyannemnegatv f fggvny, hogy F(x) = P ( < x) =

x f(s) ds. Az f fggvnyt a

valsznsgi vltoz srsgfggvnynek nevezzk.

Ekkor F (x) = f(x) vges sok pontot kivve, tovbb f integrlja az egsz szmegye-nesen 1-el egyenl. Ez utbbi tulajdonsg karakterizlja a srsgfggvnyeket, azaz,ha egy nemnegatv fggvny integrlja az egsz szmegyenesen 1, akkor ltezik olyanvalsznsgi vltoz melynek pont ez a srsgfggvnye.

67

Az [a, b] intervallumon egyenletes eloszls valsznsgi vltoz srsgfggvnye

f(x) =

{0 : x / [a, b]

1ba : x [a, b]

.

Az 5.2 s 5.3 brn lthatjuk 3 klnbz intervallumon rtelmezett egyenletes eloszls

5.2. bra. Egyenletes eloszls vltozk srsgfggvnye

5.3. bra. Egyenletes eloszls vltozk eloszlsfggvnye

valsznsgi vltoz srsg- illetve eloszlsfggvnyt.Hasonlan knnyen hatrozhat meg a -paramter exponencilis eloszls valsz-

nsgi vltoz srsgfggvnye f (t) =

{0 : t 0 et : 0 < t . Az 5.4 s 5.5 brn az

exponencilis eloszls srsg-, illetve eloszlsfggvnyt brzoltuk.

68

5.4. bra. Klnbz paramter exponencilis eloszlsok srsgfggvnye

5.5. bra. Klnbz paramter exponencilis eloszlsok eloszlsfggvnye

5.6 Feladat Az X valsznsgi vltoz a [0, c] intervallumon veszi fel rtkeit s ottsrsgfggvnye x2. Hatrozzuk meg c rtkt s annak valsznsgt, hogy 1 < X < 3!

69

5.6. bra. Intervallumhossz klnbz kitevj srsgfggvnyek esetben

Megolds. Mivel X a [0, c] intervallumon veszi fel rtkeit, ezrt az intervallumon kvla srsgfggvny 0. gy mivel a srsgfggvny integrlja a szmegyenesen 1, ezrtaz c

0x2 dx = c

3

3= 1 egyenlsgnek kell teljeslnie. Ebbl rgtn megkapjuk a c = 31/3

rtket. A keresett valsznsget mint a srsgfggvny integrljt kapjuk meg:P (1 < X < 3) =

min(c,3)1

x2 dx = 1 133

= 23

Az 5.6 brn mutatjuk be, hogy amyennyiben a srsgfggvny x, akkor az intervallumhossza hogyan fgg az paramtertl.

Nzznk most egy geometriai valsznsgi mezn rtelmezett valsznsgi vltozt!

5.7 Feladat Vlasszunk egy pontot tallomra az egysgngyzetbl, azaz [0, 1] [0, 1]-bl! Jellje a vlasztott pont kt koordintjnak az sszegt. Szmtsuk ki eloszlss srsgfggvnyt!

Megolds. Az F(t) = P ( < t) rtkeket kell meghatroznunk. rtke biztosan 0 s2 kz esik, ezrt P ( < t) = 0 ha t 0 s P ( < t) = 1, ha t > 2. gy rdemi szmolstcsak a t (0, 2) eset ignyel. Jellje X, Y a vlasztott pont kt koordintjt. Hat (0, 2), akkor P ( < t) = P (X + Y < t) = P (Y < tX), azaz a szmunkra kedvezkimenetelek az egysgngyzetnek az y = tx egyenes al es rsze. Ennek a skidomnaka terlete adja a krdses valsznsget. t (0, 1] esetn ez egy t befogj egyenl szrderkszg hromszg, melynek terlete t2/2, ahogy az az 5.7 brbl rgtn ltszik. Hat (1, 2] akkor a ngyzetbl egy 2t befogj derkszg hromszget kell elhagynunk (ajobb fels saroknl, ahogy ez a 5.8 brn ltszik), gy a megmarad terlet 1 (2 t)2/2.

70

5.7. bra. 2 koordinta sszege

5.8. bra. 2 koordinta sszege

71

sszefoglalva

F(t) = P ( < t) =

0 ha t 0t2

2ha 0 < t 1

1 (2t)22

ha 1 < t 21 ha t > 2.

Ennek derivltja adja a srsgfggvnyt:

f(t) =

0 ha t / (0, 2)t ha t (0, 1)2 t ha t (1, 2)

5.8 Feladat Az X valsznsgi vltoz srsgfggvnye f . Hatrozzuk meg m+ Xsrsgfggvnyt, ahol > 0 s m rgztett konstansok!

Megolds. Lttuk korbban, hogy P (m+ X < x) = F (xm

). Mivel x

f( sm

)

ds =

F (xm

), ezrt a srsgfggvny f(sm

)

Az 5.9 brn lthatjuk exponencilis eloszls valsznsgi vltoz lineris transz-formltjnak eloszls- illetve srsgfggvnyt. A http://hpz400.cs.elte.hu:3838/ZA_transzf/ cmen ugyanezt az brt tovbbi paramterekre s eloszlsokra (normlis,egyenletes) is megkaphatjuk.

A valsznsgszmtsban s az alkalmazsokban leggyakrabban hasznlt eloszls anormlis eloszls. Azt mondjuk, hogy valsznsgi vltoz standard normlis elosz-ls, ha srsgfggvnye f(x) = 1

2pi ex22 (x R). A standard normlis eloszls

eloszlsfggvnyt -vel jelljk, (x) = 12pi x e t22 dt. A fggvny rtkeit tbl-

zatokbl vagy szmtgpes programokbl lehet meghatrozni. Az eloszls rvid jellse:N(0, 1).

5.9 Feladat Mutassuk meg, hogy a fenti fggvny valban srsgfggvny!

Megolds. A kvnt integrl ngyzetrl ltjuk be, hogy 1-gyel egyenl. A szmolssorn a polrkordints helyettestst hasznljuk.( e

t22 dt

)2= e

t22 dt e s22 ds = e t2+s22 dt ds (,r)= 2pi0 d0 e r22

r dr = 2pi [e r22

]0

= 2pi.

gy

12pi e t22 dt = 1.

72

5.9. bra. Exponencilis eloszls lineris transzformltjnak eloszls- s srsgfggv-nye

Korbbi pldinkbl mr lttuk, hogy > 0 s m konstansokra m + eloszls- s

srsgfggvnye P (m+ < x) = (xm

), fm+(x) = 12pi e (xm)2

22 . Az ilyen sr-sgfggvny valsznsgi vltozkat m s 2 paramter normlis eloszlsnak nevez-zk, jellsk: N(m,2). Rgtn addik, hogy, ha N(m,2), akkor m

N(0, 1).

Az 5.10 s 5.11 brn a normlis eloszls srsg-, illetve eloszlsfggvnyt brzoltuk.Jl lthat, hogy minl kisebb a paramter, annl "cscsosabb" a srsgfggvny. Anormlis srsgfggvny grafikonjt haranggrbnek is szoktk nevezni.

5.10 Feladat Nagyon gyakori, hogy egy rszvny rfolyamrl felttelezik, hogy loga-ritmusa normlis eloszls. Hatrozzuk meg srsgfggvnyt!

Megolds. Legyen az X valsznsgi vltoz logaritmusa (, 2) paramter normliseloszls (ekkor (, 2) paramter lognormlis eloszlsnak nevezzk) . Ekkor az elosz-lsfggvny pozitv x-ekre (a tbbi x-re az eloszlsfggvny nyilvnvalan 0):P (X < x) = P (ln(X) < ln(x)) = ( ln(x)

).

Ezt derivlva kapjuk meg X srsgfggvnyt:fX(x) =

( ln(x)

) 1 x

= 1 x

2piexp

[1

2

(lnx

)2], x > 0.

73

5.10. bra. Klnbz paramter normlis eloszlsok srsgfggvnye

5.11. bra. Klnbz paramter normlis eloszlsok eloszlsfggvnye

Az 5.12 s 5.13 brn a lognormlis eloszls srsg-, illetve eloszlsfggvnyt br-zoltuk.

74

5.12. bra. Klnbz paramter lognormlis eloszlsok srsgfggvnye

5.13. bra. Klnbz paramter lognormlis eloszlsok eloszlsfggvnye

5.11 Feladat A LOM rszvny tzsdei zrrfolyama 7800 Ft volt ma este. Korbbitapasztalatok alapjn felttelezzk, hogy holnapi zr rfolyama a mai zrrfolyammalosztva (0,001, 0,01) paramter lognormlis eloszls. Mennyi annak a valsznsge,

75

hogy a holnapi zrrfolyam kisebb lesz 7500 Ft-nl?

Megolds. Jelljk a holnapi zrrfolyamot Y -al. EkkorP (Y < 7500) = P (ln(Y/7800) < ln(7500/7800)) = ( ln(7500/7800)0,001

0,1) = (0, 18033) =

1 (0, 18033) = 42, 84%

Biztostknl gyakran felttelezik, hogy egy-egy kr nagysgnak eloszlsa n. Paretoeloszls. Azt mondjuk, hogy Az X valsznsgi vltoz (, ) paramter Pareto-eloszls ( > 0, > 0), ha eloszlsfggvnye

FX(x) =

{0 x 0,1

(

+x

)x > 0.

Az ilyen eloszls krokat "veszlyesnek" szoktk mondani, mert a nagy krok P (X >x) valsznsge csak polinomilisan cseng le. Az 5.14 s 5.15 brn Pareto-eloszlsok

5.14. bra. Klnbz paramter Pareto-eloszlsok srsgfggvnye

srsg- s eloszlsfggvnyt brzoltuk.

5.12 Feladat A Piroska Biztost felelssgi krairl tudjk, hogy milli forintban sz-molva (1, 2) paramter Pareto-eloszlsak. Amennyiben egy krrol tudjuk, hogy meg-haladta az 1 milli forintot, akkor mi annak a valsznsge, hogy nem haladja meg a 3milli forintot?

76

5.15. bra. Klnbz paramter Pareto-eloszlsok eloszlsfggvnye

Megolds. Mivel az eloszlsfggvny folytonos, ezrt a valsznsgek rtke nem vl-tozik, ha kisebb-egyenlt runk kisebb helyett. Legyen x = 3, y = 1, = 1, = 2. Akeresett valsznsgre P (X x | X > y) = P (yX

5.16. bra. Klnbz paramter Pareto-eloszlsok feltteles eloszlsfggvnye

5.14 Feladat Szmtgpnkbe csak egy vletlen fggvny van beptve. Ennek segt-sgvel a 0 s 1 kztt tudunk egy vletlen szmot generlni. Ezt felhasznlva, hogyanlehet tetszlegesen elrt F eloszlsfggvny vletlen szmot ellltani?

Megolds. Jellje F1 az F ltalnostott inverzt, azaz aF1(u) = inf (t R : F (t) > u)Vizsgljuk meg az X = F1(U) vltoz eloszlst, ahol U a (0, 1) intervallumon egyen-letes eloszls. Mivel(u : F1(u) < s) = (u : inf (t : F (t) > u) < s) =(u : t < s, F (t) > u) =(u : F (s) > u) = (, F (s)) ezrt

P (X < s) = P (F1(U) < s) = P (U < F (s)) = F (s)

Azaz X eloszlsfggvnye F.

5.15 Feladat X az (a, b) intervallumbl (a vgpontok lehetnek vgtelenek is) veszi felrtkeit s ott F eloszlsfggvnye folytonos s szigoran monoton. Mutassuk meg,hogy ekkor X-et eloszlsfggvnybe belerva a (0,1) intervallumon egyenletes eloszlsvalsznsgi vltozt kapunk!

Megolds. Legyen U = F (X) s jellje F1 az F inverzt. Ekkor U a [0, 1] interval-lumbl veszi fel rtkeit s 0 < x < 1-re P (U < x) = P (F (X) < x) = P (X < F1(x)) =

78

F (F1(x)) = x, azaz U a (0,1) intervallumon egyenletes eloszls valsznsgi vltoz.

A hidrolgiban, tvkzlsben, biolgiban s ms terleteken az egyik leggyakrabbanalkalmazott eloszls a gamma eloszls. Egy valsznsgi vltoz gamma eloszls, hasrsgfggvnye

f(x) =

{1

()x1 exp(x) ha x > 0

0 egybknt

alak ahol () =

0x1 exp(x)dx. > 0 az eloszls paramtere, > 0 pedig a

rendje. Jellse ,.

5.16 Feladat Mutassuk meg, hogy az imnt definilt fggvny valban srsgfgg-vny!

Megolds. f nem negatv, teht csak annyit kell megmutatni, hogy az integrlja 1. 0

x1exdx|y=x =

0

y1eydy = (y).

Teht f srsgfggvny.

Az 5.17 s 5.18 brn lthatjuk nhny gamma eloszls valsznsgi vltoz eloszls-illetve srsgfggvnyt. A http://hpz400.cs.elte.hu:3838/ZA_gamma/ cmen ugyan-ezt az brt tovbbi paramterekre is megkaphatjuk.

5.17. bra. eloszlsok srsgfggvnye

79

5.18. bra. eloszlsok eloszlsfggvnye

5.2. Valsznsgi vltozk vrhat rtkeKorbban mr definiltuk a diszkrt valsznsgi vltozk vrhat rtkt. A kvetkezodefinci ezt ltalnostja gy, hogy a vrhat rtk tulajdonsgai ebben az ltalnosesetben is teljeslnek.

5.11 Definci E =R x dF(x) s Eg() =

R g(x) dF(x), ahol a dF(x) szerinti

integrls a Lebesgue-Stieltjes-integrlst jelli, haR |x| dF(x) illetve

R |g(x)| dF(x)

vges.

Abszolt folytonos esetben a vrhat rtk a srsgfggvny segtsgvel hatrozhatmeg. E =

R x f(x) dx s Eg() =

R g(x) f(x) dx.

A kvetkez pldban a legnevezetesebb abszolt folytonos eloszls valsznsgivltozk vrhat rtkt hatrozzuk meg.

5.17 Feladat Hatrozzuk meg az egyenletes, exponencilis s normlis eloszls vrhatrtkt!

Megolds. (1) Az egyenletes eloszls vrhat rtke E(a, b) esetnE =

bax 1

ba dx =a+b

2.

(2) A -exponencilis eloszls vrhat rtkeE =

0x ex dx = [x ex]0 +

0ex dx =

[ex

]0

= 1.

(3) A normlis eloszls vrhat rtke N(0, 1) esetnE =

x 12pi e

x2

2 dx = 0,hiszen a srsgfggvny szimmetrikus, gy az integrlban egy pratlan fggvny szerepel

80

(tovbb az integrl konvergens, mert elg nagy x-re x ex22 fellrl becslhet az exfggvnnyel). ltalnosan pedig m+ N(m,2) esetn E(m+) = m+ E = m.

Bizonyos esetekben knyelmesebb az eloszlsfggvny felhasznlsa a vrhat rtkmeghatrozshoz.

5.2 Ttel E =

0(1 F(y)) dy

0 F(y) dy. Specilisan, ha 0, akkor E =

0(1 F(y)) dy.Az elz llts segtsgvel taln mg knnyebben hatrozhat meg az exponencilis

eloszls vrhat rtke.

5.18 Feladat Hatrozzuk meg az exponencilis eloszls vrhat rtkt az elz ttelsegtsgvel!

Megolds. Legyen -exponencilis, ekkorE =

0ey dy = 1

.

Eddigi pldinkban a vrhat rtk mindig ltezett (vges volt). Ez termszetesennem mindig teljesl.

5.19 Feladat Hatrozzuk meg a Pareto-eloszls vrhat rtkt!

Megolds. Az X valsznsgi vltoz (, ) paramter Pareto-eloszls. Ekkor vr-hat rtke:EX =

0

(1 FX(y)) dy =

0

(+y

)dy =

1 , ha > 1. 1 esetben az integrl + rtket vesz fel.

A Pareto-eloszlshoz kapcsoldnak kvetkez - taln egy kiss meglep - pldk is,melyek egy korbbi pldnk folytatsa.

5.20 Feladat A Piroska Biztost felelssgi krairl tudjk, hogy milli forintban sz-molva (1, 2) paramter Pareto-eloszlsak. Vrhatan mennyi ekkor egy kr nagysga?

Megolds. Az elz plda alapjn rgtn tudjuk a krdsre a vlaszt, hiszen az (, )paramter Pareto-eloszls vrhat rtke

1 , gy a felelssgi krok vrhat rtke +.Vajon hogyan fordulhat ez el? Mirt modellezhetjk ezeket a krokat olyan eloszlssal,melynek nem vges a vrhat rtke? Bizonyos esetekben valban jogos az ilyen mo-dellezs, mert a tapasztalt eloszls egy vgtelen vrhat rtk eloszlshoz hasonlt. Az5.19 brn lthat 100 fggetlen (1,2) paramter Pareto eloszls vltoz generlsnakeredmnye. Az brbl elsre egyltaln nem ltszik, hogy itt vgtelen vrhat rtkrlvan sz. A felelssgbiztostsoknl az is elfordulhat, hogy a krkifizetsek nincsenekkorltozva s - klnsen szemlyi srlsekkel is jr esetekben - a biztostknak nagyonsokat kell fizetnie.

81

5.19. bra. Egy vgtelen vrhat rtk Pareto eloszls valsznsgi vltoz generlsa

5.21 Feladat A Piroska Biztost tzkrai is Pareto-eloszlsak, de (2, 1) paramterek.Itt azonban a biztost csak az 1 milli forint feletti krokra fizet s ekkor is csak a krok1 milli forint feletti rszt. Mennyi a tzkrok illetve a biztost kifizetseinek vrhatrtke?

Megolds. A Pareto-eloszls vrhat rtkre vonatkoz formula szerint a tzkrokvrhat rtke 1 milli forint. Az 5.20 brn lthat 100 ilyen eloszls kr rtke.A kvetkez 5.21 brn viszont mr csak azon krok 1 milli Ft feletti rsze lthat,melyek meghaladtk az 1 milli Ft-ot. Meglep mdon azt tapasztalhatjuk, hogy ezenmeghaladsok tlaga jval nagyobb az eredeti tlagnl. A kvetkez szmols mutatja,hogy ez nem vletlen. A tzkr kifizetsek eloszlsfggvnye az x helyen a P ((X 1) 1) feltteles valsznsggel adhat meg. Ez a valsznsg nem pozitv x-ekrenyilvnvalan 0, a tbbi x-re pedig knnyen szmolhat P ((X 1) < x | X > 1) =P (1X

5.20. bra. Egy 1 vrhat rtk Pareto eloszls valsznsgi vltoz generlsa

5.21. bra. Egy 1 vrhat rtk Pareto eloszls valsznsgi vltoz generlsbl az1 feletti rszek

83

mutatja be a http://hpz400.cs.elte.hu:3838/ZA_bizt/ cmen tallhat interaktvanimci. A 5.22 bra egy screenshot az eredmnyekrl.

5.22. bra. A Piroska biztost szimullt kresemnyei a 5.21 feladathoz

Trjnk vissza megint egy korbbi pldnkhoz!

5.22 Feladat Vlasszunk egy pontot tallomra az egysgngyzetbl, azaz [0, 1] [0, 1]-bl! Jellje a vlasztott pont kt koordintjnak az sszegt. Szmtsuk ki vrhatrtkt!

Megolds. srsgfggvnyt mr korbban meghatroztuk.

f(t) =

0 ha t / (0, 2)t ha t (0, 1)2 t ha t (1, 2)

Ennek alapjn a vrhat rtkE =

tf(t)dt =

10t2dt+

21t(2 t)dt =[

t3

3

]10

+[t2 t3

3

]21

= 13

+ 3 73

= 1.

Ezt az rtket azonban egyszerbben is megkaphattuk volna, mivel kt a [0, 1] inter-vallumon egyenletes eloszls valsznsgi vltoz sszege. Mindkt vltoz 1

2vrhat

rtk, ezrt sszegk vrhat rtke 1.

Kvetkez feladatunk is egy korbbi plda folytatsa.

84

5.23 Feladat A LOM rszvny tzsdei zrrfolyama 7800 Ft volt ma este. Korbbitapasztalatok alapjn felttelezzk, hogy holnapi zr rfolyama a mai zrrfolyammalosztva (0,001, 0,01) paramter lognormlis eloszls. Mennyi a holnapi zrrfolyamvrhat rtke?

Megolds. Jelljk a holnapi zrrfolyamot Y -al. Ekkor Y = 7800X,EY = 7800EX,ahol X (0,001, 0,01) paramter lognormlis eloszls. Az (m,2) paramter lognor-mlis eloszls vrhat rtke az albbi mdon szmolhat.

EX = exp(m + x) 12pi e

x2

2 dx = exp(m + 2/2)

12pi e (x)

2

2 dx =

exp(m+ 2/2).Az utols integrl azrt 1, mert egy N(, 1) eloszls valsznsgi vltoz srsg-

fggvnyt integrltuk. Esetnkbenm = 0, 001, 2 = 0, 01, ezrt EY = 7800exp(0, 006) =7847.

A pldamegolds mutatta, hogy tetszleges f fggvnyre s valsznsgi vltozranem felttlenl teljesl az E(f()) = f(E) egyenlsg.

5.3. Szrsngyzet, momentumokA szrsngyzetet ltalnos esetben is ugyangy definiljuk, mint diszkrt valsznsgivltozkra. A korbban felsorolt tulajdonsgok itt is teljeslnek.

5.12 Definci D2 = E( E)2 a valsznsgi vltoz szrsngyzete, ha az Eltezik s vges. szrsa pedig a szrsngyzet ngyzetgyke, azaz D =

D2.

Gyakran jl jellemzik a valsznsgi vltoz eloszlst a klnbz momentumok

5.13 Definci Ek a k-adik momentuma s E||k a k-adik abszolt momen-tuma.Az E(E)k a k-adik centrlis momentuma s E|E|k a k-adik abszoltcentrlis momentuma.

A definci alapjn felrhatjuk az abszolt folytonos eloszls valsznsgi vltozkszrsngyzett s momentumait a srsgfggvnye segtsgvel.D2 =

R(x E)2 f(x) dx =

R x

2 f(x) dx(R x f(x) dx

)2Ek =

R x

k f(x) dxE||k = R |x|k f(x) dxE( E)k = R(x E)k f(x) dxE| E|k = R |x E|k f(x) dx

A kvetkez pldkban nevezetes abszolt folytonos eloszls valsznsgi vltozkszrsngyzett hatrozzuk meg.

85

5.24 Feladat Hatrozzuk meg az exponencilis eloszls szrsngyzett!

Megolds. Legyen -exponencilis valsznsgi vltoz melynek vrhat rtkekorbbi ismereteink alapjn E = 1

. Tovbb

E2 =

0x2 ex dx = [x2(ex)]

0+

02x ex dx,

ahol az sszeg els tagja 0, az integrl pedig2

0x ex dx = 2

E,

teht E2 = 22. Ezzel a szrsngyzet

D2 = E2 (E)2 = 12.

5.25 Feladat Mutassuk meg, hogy a normlis eloszls vltozk szrsngyzete meg-egyezik az eloszls msodik paramtervel!

Megolds. Legyen N(0, 1), azaz standard normlis eloszls valsznsgi vlto-z. Mivel E = 0, ezrt

D2 = E2 = x

2 12pi ex22 dx = 1

2pi[x (ex22 )

]

+

12pi ex

2

2 dx =1

= 1.

ltalnosan pedig legyen m+ N(m,2), ekkorD2(m+ ) = 2 D2 = 2.

5.26 Feladat Mivel egyenl egy egyenletes eloszls vltoz szrsngyzete?

Megolds. Legyen X egyenletes eloszls az (a, b) intervallumon. Azt mr tudjuk,hogy EX = a+b

2. EX2 =

bax2 1

ba dx =b3a33(ba) =

b2+ab+a2

3. Ebbl a szrsngyzet

D2X = EX2 (EX)2 = (ba)212

5.27 Feladat Hogyan hatrozhat meg egy Pareto eloszls valsznsgi vltoz sz-rsngyzete?

Megolds. Y (, )-Pareto eloszls. Ekkor EY = 1 , ha > 1. EY

2 =

02y(1

FY (y)) dy =

02y(

+y

)dy = 2

2

2 22

1 , ha > 2. 2 esetben az integrl +rtket vesz fel. Ebbl a szrsngyzet D2Y = EY 2 (EY )2 = 2

(1)2(2) , > 2

5.28 Feladat Szmoljuk ki a gamma eloszls szrsngyzett!

Megolds. Z , eloszls. EkkorEZ =

0x 1

()x1 exp(x)dx = (+1)

()1

0

1(+1)

+1x+11 exp(x)dx = ,

EZ2 =

0x2 1

()x1 exp(x)dx = (+2)

()12

0

1(+2)

+2x+21 exp(x)dx =

86

(+1)2

,D2Z = EZ2 (EZ)2 = (+1)

2 (

)2=

2.

A vrhat rtk s a szrsngyzet a valsznsgi vltozk alapvet jellemzi, azon-ban a valsznsgi vltoz eloszlst termszetesen nem hatrozzk meg. Ezt szemlltetia kvetkez plda.

5.29 Feladat Hatrozzuk meg azm vrhat rtk s 2 szrsngyzet normlis, gam-ma, lognormlis s Pareto eloszlsok paramtereit!

Megolds. A normlis eloszls paramterei a vrhat rtk s szrsngyzet, tehtN(m,2) eloszlsrl van sz.

A , eloszls vltoz vrhat rtke , szrsngyzete2. A kett hnyadosa pont

, gy az eloszlsunk m22, m2.

A (, s2) paramter lognormlis eloszls vrhat rtkt mr korbban meghatroztuk:exp(+ s2/2)

A szrsngyzet meghatrozshoz elszr kiszmoljuk a msodik momentumot. (exp(+ sx))

2 12pi ex22 dx = exp(2+ 2s2) 12pi e (x2s)22 dx = exp(2+

2s2).Ebbl rgtn addik a exp(2 + s2)(exp(s2) 1) szrsngyzet, amibl elemi szmt-sokkal kapjuk, hogy

= ln

(m

1+2/m2

)s s =

ln(1 + 2/m2).

Az (, )-Pareto eloszlsnl a vrhat rtk s szrsngyzet 1 illetve

2

(1)2(2) , ha > 2. Ebbl megint elemi szmtsokkal addik, hogy

= 22

2m2 , = m2+m2

2m2 , ha 2 > m2.

A kapott srsgfggvnyek klnbzsgt mutatja be az 5.23 bra, ahol m = 1, 8, =2. A http://hpz400.cs.elte.hu:3838/ZA_2mom/ cmen ugyanezt az brt klnbzvrhat rtkekre s szrsokra is megkaphatjuk.

Tbb alkalmazsnl szksgnk lehet a normlis eloszls momentumaira.

5.30 Feladat Legyen standard normlis eloszls valsznsgi vltoz. Szmoljukki a valsznsgi vltoz Ek k-ik momentumt minden k = 0, 1, 2, . . . , nem negatvegsz szmra!

Megolds. srsgfggvnye (x) = 12piex

2/2, < x

5.23. bra. 1,8 vrhat rtk s 2 szrs vltozk srsgfggvnye

= 12pi

x

2k1 ddx

(ex

2/2)dx =

= 12pi

[x2k1ex

2/2]

+ 12pi

(2k 1)x2k2ex

2/2 dx =

= 12pi

(2k 1)x2k2ex

2/2 = (2k 1)E2k2 dx.E0 = 1 miatt a fenti azonossgbl kapjuk, hogy E2 = 1 (ezt mr korbban is ki-szmoltuk), E4 = 3E2 = 3, E6 = 5E4 = 5 3, s teljes indukcival E2k =(2k 1) (2k 3) (2k 5) 3 1.

5.4. EgyenltlensgekA valsznsgi vltozk vrhat rtkt s szrsngyzett a vltozk eloszlsa hatrozzameg. Egy kiss meglep mdon az is igaz, hogy a vrhat rtk s szrsngyzet isme-retben bizonyos kvetkeztetseket tudunk levonni a valsznsgi vltozk eloszlsrla kvetkez kt egyenltlensg segtsgvel.

5.3 Ttel (Markov-egyenltlensg) Legyen nemnegatv valsznsgi vltoz, amely-nek ltezik az E vrhat rtke, tovbb legyen c pozitv szm. Ekkor P ( c) E

c.

5.4 Ttel (Csebisev-egyenltlensg) Ha szrsngyzete vges, azaz D2

5.24. bra. 1 vrhat rtk s 3 szrs valsznsgi vltozk milyen valsznsggelhaladjk meg c-t?

5.31 Feladat Hatrozzuk meg az m vrhat rtk s 2 szrsngyzet gamma, log-normlis s Pareto eloszlsok esetben a P ( cm), c > 2 valsznsgeket, illetvebecsljk meg ket a Markov- s Csebisev-egyenltlensggel!

Megolds. A Markov-egyenltlensgbl rgtn addik a P ( cm) Ecm

= 1cbecsls.

Mivel a valsznsgi vltoz pozitv s c > 2, ezrt P ( cm) = P (|m| (c1)m) 2

(c1)2m2 a Csebisev-egyenltlensg szerint.Korbbi pldnkban meghatroztuk az m vrhat rtk s 2 szrsngyzet eloszlsokparamtereit. Ebbl a gamma eloszlsra a kvetkez rtk addik.P ( cm) =

cm1

()x1 exp(x)dx, = m2

2, = m

2

A lognormlis eloszlsrl tudjuk, hogy logaritmusa normlis eloszls, ezrt

P ( cm) = P ( ln()s ln(cm)

s) = 1