Valorización de Bonos Estructurados
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Valorización de Bonos Estructurados
Omar Pinedo
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Qué es un bono estructurado?
Es un bono que, debido a sus cláusulas, tieneuna opción financiera implícita.
Se valoriza descomponiendo en:
V(Estructurado)= V(Bono) + V(Opción)
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Cashflow Estructurado
$ X
$ 2 $ 2 $ 2
$ 102
t1 t2 t3 t4
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Cashflow Bono y Opción
$ 2 $ 2 $ 2
$ 102
t1 t2 t3 t4
$ X
t4
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Objetivo
Calcular un valor razonable para el bonoestructurado.
Actualmente la metodología generalmenteempleada consiste en:
Construcción de CCC: Nelson & Siegel, 1997
Svensson, 1994
Integración numérica: Monte Carlo
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¿Por qué?
Porque se puede mejorar de forma plausible laprecisión de la metodología generalmenteempleada.
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Valorización del Bono
Metodología generalmente usada: (Nelson &Siegel, 1987) o (Svensson, 1994).
Destaca su tratabilidad matemática → DSGEM.
Metodologias no parametricas aproximan mejorlos precios de los instrumentos.
Emplearemos P-Splines.
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B-Splines
Son funciones polinomiales básicas calculadas numéricamente en forma recursiva.
Algoritmo de generación robusto, simple y eficiente.
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B-Splines
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
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Propiedades teóricas
Suavidad: derivadas continuas hasta el orden d.
Representatividad: con una cantidad suficiente de B-Splinesd se puede reproducir cualquier polinomiod.
Independencia lineal de cada B-Spline.
Suman uno a lo largo del dominio.
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P-Splines
Regresión de mínimos cuadrados ponderados que penaliza la rugosidad de la curva.
Rugosidad ̴ diferencia al cuadrado de los coeficientes.
Elección del parámetro del trade-off entre rugosidad y fidelidad de la curva (λ).
Validación cruzada generalizada.
Criterio de información de Akaike.
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P-Splines
Indicador de liquidez como peso para cadaobservación.
Spread como diferencia entre precios bid y ask.Lo normalizo a [0,1] con el spread máximo.
Tangente hiperbólica no varía mucho mientras elspread sea cercano a cero y cae rápidamente parapapeles ilíquidos.
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P-Splines en la práctica (curva par)
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Curvas Par, CCC y yields
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8
t (años)
Tasa
(%)
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Valorización de la Opción
Metodología generalmente usada: Monte Carlo.
Demora en alcanzar un nivel de variabilidad delerror aceptable para carteras de derivados.
Emplearemos Cuasi Monte Carlo.
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Monte Carlo
Es un método de integración numéricaprobabilística.
Se usa para resolver integrales multivariadas.
Suposición clave: la secuencia de números usadatiende a la distribución uniforme.
Más “simulaciones” → menos error porcentual
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Monte Carlo en la práctica
1. Obtenemos números pseudo-aleatorios nocorrelacionados obtenidos de una distribuciónuniforme.
2. Aplicamos la función inversa de la distribuciónnormal estándar acumulada, obteniendonúmeros pseudo-aleatorios que siguen unadistribución normal estándar.
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Monte Carlo en la práctica
3. Aplicamos la descomposición de Cholesky a lamatriz de covarianzas objetivo.
4. Multiplicamos la matriz de Cholesky por lamatriz de números pseudo-aleatorios nocorrelacionados y luego sumamos la mediaobjetivo de cada serie.
5. Obtenemos “simulaciones” de retornos de losactivos correlacionados.
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Pseudo vs. Cuasi
Pseudo-aleatorios: simulan aleatoriedad,tienden a una distribución uniforme ( ̴106)
Cuasi-aleatorios: no simulan aleatoriedad,tienden a una distribución uniforme ( ̴104).
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Discrepancia
Es una medida de cuán bien un conjunto depuntos llena un espacio [0,1]n.
Las secuencias de números cuasi-aleatorios sonde baja discrepancia.
Su distribución empírica tiende a una uniformerápidamente.
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Números pseudo-aleatorios
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Pseudo Random Uniform
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Números cuasi-aleatorios
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Halton 1 & Halton 2
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Cota superior del error
Directamente proporcional a la discrepancia delconjunto de números empleados.
Directamente proporcional a la variabilidad en elsentido de Hardy-Krauze.
Medida especial de la suavidad de una función
Función del Cashflow de un derivado es muyvariable
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Cuasi Monte Carlo
Mismos pasos empleados por el Monte Carlocon la excepción del uso de números cuasi-aleatorios.
Principales secuencias de números cuasi-aleatorios:Faure, Sobol, Niederreiter, Halton.
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Secuencia de Halton
Tiene un problema acusado de elevadacorrelación en altas dimensiones y sudiscrepancia se eleva.
Empleamos una secuencia generalizada deHalton que emplea los multiplicadorespropuestos en (Faure & Lemieux, 2008).
Esto permite que siga siendo una secuencia debaja discrepancia aún en altas dimensiones.
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Halton (49-50)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
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Halton Generalizado (49-50)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
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Velocidad de convergencia
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Simulaciones (10i)
Des
viac
ión
Está
nd
ar d
el e
rro
r (%
)
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Velocidad de convergencia
3 3.5 4 4.5 5 5.5 60
0.5
1
1.5
2
2.5
Simulaciones (10i)
Des
viac
ión
Está
nd
ar d
el e
rro
r (%
)
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Velocidad de convergencia
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Simulaciones (10i)
Des
viac
ión
Está
nd
ar d
el e
rro
r (%
)
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Velocidad de convergencia
3 3.5 4 4.5 5 5.5 60
1
2
3
4
5
6
7
Simulaciones (10i)
Des
viac
ión
Está
nd
ar d
el e
rro
r (%
)