Valore attuale e flussi di cassa - lumsa.ittoken_custom_uid... · Corporate finance 2e Capitolo 4...
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Panoramica del capitolo
Valutazione: il caso uniperiodale
Valutazione: il caso multiperiodale
Periodi di capitalizzazione
Semplificazioni
Quanto vale un’impresa?
Valutazione uniperiodale: un esempio
Pedro sta cercando di vendere un appezzamento di terreno in
Andalusia. Ieri gli hanno offerto €10 000.
Stava per accettare la proposta quando un’altra persona gli
ha offerto €11 424, che gli verrebbero pagate tra un anno.
Pedro ha accertato che entrambi i potenziali clienti sono
onesti e solvibili, perciò non teme che le lo possano
raggirare.
Quale offerta dovrebbe scegliere?
Soluzione
Investite €10 000 al tasso di interesse del 12% e dopo un anno
avrete €11 200
Rispetto a € 11 424, la seconda opzione è preferibile
In alternativa, attualizzate €11 424 al valore di oggi (Valore
attuale) e avrete € 10 200
Rispetto a € 10 000 oggi, la seconda opzione è preferibile
Entrambi gli approcci portano alla stessa decisione
VA = € 11 424/1.12 = €10 200
Formula per la valutazione uniperiodale
dove C1 è il cash flow alla data 1 e r è il tasso di
rendimento che richiede Pedro dalla vendita del suo
terreno. Si chiama anche tasso di attualizzazione
VA = C1/(1 + r)
Valutazione: il caso multiperiodale
Valore futuro e capitalizzazione
Il potere della capitalizzazione
Valore futuro e capitalizzazione
La formula algebrica
Valore futuro e capitalizzazione
Supponete di depositare in banca €1 per un anno la tasso d’interesse
del 9%. Quanto varrà tra un anno?
€1 x (1 + r) = €1 x 1.09 = €1.09
Che cosa accade se lasciate quella somma sul conto per un altro anno?
€1 x (1 + r) x (1 + r) = €1 x (1 + r)2 = 1 + 2r + r2
€1 x (1.09) x (1.09) =€1 x (1.09)2 = €1 + €0.18 + €0.0081 = €1.1881
Il potere della capitalizzazione
Interesse semplice
R = 8.47 %
Investite £1 per 208 anni
Interesse = £0.0847
Valore dell’investimento dopo
208 anni:
£1 + (208 x £0.0847)
= £1 + £17.62
= £18.62
Interesse composto
R = 8.47 %
Investite £1 per 208 anni
Valore dell’investimento dopo
208 anni
FV = £1(1.0847)208
= £22,100,655
C’è una bella differenza!
Esempio 4.5: Attualizzazione multiperiodale
Il Sig. Bianchi riceverà €10 000 tra tre anni.
Il Sig. Bianchi può ottenere un interesse dell’8% sul proprio
investimento, perciò il tasso di attualizzazione appropriato è
l’8%. Qual è il valore attuale del suo cash flow ?
31
PV €10,0001.08
€10,000 .7938
€7,938
Esempio 4.6: Trovare il tasso
Un cliente di Chaffkin GmbH vuole acquistare un
rimorchiatore oggi stesso. Anziché pagare subito, pagherà
€50 000 tra tre anni. A Chaffkin GmbH costruire
immediatamente il rimorchiatore costerà €38 610. I cash
flow di Chaffkin sono visualizzati nella Figura 4.9. A che
tasso di interesse Chaffkin GmbH non guadagna né perde
dalla vendita?
Esempio 4.6: Trovare il tasso
Il rapporto tra costo di costruzione (valore attuale) e prezzo di
vendita (valore futuro) è:
Il tasso di interesse che consente a €1 da ricevere tra tre anni
di avere un valore attuale di €0.7722 è il 9%. Perché?
€38,6100.7722
€50,000
Esempio 4.7: Valutazione del Cash Flow
Paul Draper ha vinto un concorso di parole incrociate e riceverà i
seguenti cash flow nei prossimi due anni:
Draper può ottenere attualmente un tasso di interesse del 6% dal
suo conto corrente. Qual è il valore attuale dei cash flow?
Anno Cash Flow
1 €2,000
2 €5,000
Il valore attuale netto: la formula algebrica
1 20 2
0
1
NPV1 (1+ ) (1+ )
(1+ )
T
T
Ti
ii=
C C CC
r r r
CC
r
LVAN
Periodi di capitalizzazione
A volte l’interesse viene applicato più di una volta nel corso dell’anno
Semestral-
mente
(2 volte
all’anno)
Trimestral-
mente
(4 volte
all’anno)
Mensilmente
(12 volte
all’anno)
Settimanal-
mente
(52 volte
All’anno)
Quotidianamente (365 volte all’anno)
Continuativamente
Formula per capitalizzare gli
interessi più di una volta all’anno
Capitalizzando una somma m volte all’anno si ottiene a fine
anno un capitale di:
(4.6)
dove C0 è l’investimento iniziale e r è il tasso di interesse
annuo nominale.
Il tasso di interesse annuo nominale è il tasso di interesse
annuo al netto della capitalizzazione
0 1
mr
Cm
Esempio 4.9: Tasso d’interesse
effettivo annuo
Quale sarà il capitale di Cristina a fine anno, se riceve un
interesse nominale annuo del 24% composto mensilmente
su un investimento di €1?
Il rendimento effettivo annuo è il 26.82%. Questo tasso di
rendimento annuo prende il nome di tasso annuo effettivo
(TAE) o rendimento annuo effettivo (RAE).
Grazie alla capitalizzazione, il tasso di interesse effettivo
annuo è superiore al tasso di interesse nominale del 24%.
1212.24
€1 1 €1 (1.02)12
€1.2682
Il tasso di interesse percentuale annuo
Molti finanziamenti comportano esborsi aggiuntivi iniziali o finali per spese di gestione, amministrative, ecc.
Nell’UE, tutti i mutui devono specificare il tasso di interesse effettivo, che include tutti i costi e non solo gli interessi
Questo tasso prende il nome di Tasso percentuale annuo o APR (Annual Percentual Rate)
Esempio 4.12: TAEG o APR
Il prezzo di vendita dell’auto è di € 30 000.
Il tasso nominale dichiarato è “un tasso di interesse semplice
del 12% sul capitale finanziato in origine per tre anni,
pagabile in 36 rate mensili”.
La finanziaria addebita anche spese amministrative per € 250.
Che cosa significa?
Il finanziatore applicherà un interesse del 12% annuo sul
prestito originario di € 30 000 per tre anni.
Ogni anno, la quota interessi sarà € 3600 (12% di 30 000), per
un totale di €10 800 in tre anni.
Esempio 4.12: TAEG
Importo originario
• L’automobile costa € 30,000
Interessi e spese
• Il totale degli interessi è €10,800
• Le spese amministrative ammontano a € 250
Pagamento mensile
• (30,000 + 10,800)/36 = €1,133.33
Esempio 4.12: TAEG
Qual è il TAEG di questo finanziamento?
Si ottiene così un tasso percentuale annuo del 24.13%!
Il finanziatore deve anche dichiarare la somma totale annua
versata alla fine del contratto: in questo caso è
€ 41 049.88, mentre il costo totale del finanziamento è € 11
049.88 (41 049.88 – 30 000).
Capitalizzazione in continuo
L’interesse viene capitalizzato ad ogni infinitesimo istante
FV = C0 erT
Esempio 4.14: Valore attuale con
la capitalizzazione continua
Avete vinto un concorso di parole incrociate, ma il premio di
€1000 vi sarà pagato tra quattro anni. Se il tasso di
interesse annuo composto in continuo è l’8%, qual è il
valore attuale di questa somma?
.08 4
1 1€1,000 €1,000 €726.16
1.3771e
Rendite perpetue e rendite annue
Rendita perpetua
• Un flusso costante di cash flow che non finisce mai
Rendita annua
• Un flusso costante di cash flow che dura un numero prefissato di periodi
Esempio 4.15: Rendite perpetue
Considerate una rendita perpetua che paga €100 all’anno. Se
il tasso di interesse di riferimento è l’8%, qual è il valore del
consol?
Supponete ora che il tasso di interesse scenda al 6%. Quale
sarebbe il valore del consol?
Esempio: Rendite perpetue crescenti
Immaginate un condominio di appartamenti in affitto che
l’anno prossimo procurerà al proprietario dei cash flow al
netto delle spese di €100 000. Questi cash flow dovrebbero
aumentare del 5% all’anno. Il tasso di interese di
riferimento è l’11%. Qual è il valore attuale dei cash flow?
€100, 000€1, 666, 667
.11 .05
Alcune osservazioni importanti
sulle formule della rendita perpetua
Importante !
Il numeratore
Il tasso di attualizzazione
e il tasso di crescita
L’ipotesi sulla disponibilità
temporale dei flussi di cassa
Esempio 4.16: Valutazione del premio di una lotteria
Il Sig. Verdi ha appena vinto una lotteria che paga € 50 000
all’anno per vent’anni. Riceverà il primo pagamento tra un
anno. Gli organizzatori della lotteria l’hanno intitolata Il
Milionario perché €1000 000 = €50 000 x 20 anni. Se il
tasso di interesse è l’8%, qual è il valore effettivo del
premio?
Esempio 4.17: Investimento per la pensione
Supponete di versare ogni anno € 3000 in un conto di
risparmio, che vi dà un interesse annuo del 6% al netto
delle imposte. Quanto avrete tra 30 anni, quando andrete in
pensione?
Formule per il calcolo della rendita annua
Aspetti problematici
Renditadifferita
Renditaanticipata
Renditaperiodale
Equalizzareil VA di due
rendite
Esempio: Rendita differita
Danielle Caravello riceverà una rendita annua di €500
all’anno, a partire dalla data 6. Se il tassi di interesse è il
10%, qual è il valore attuale della sua rendita? Come lo
calcolate?
1.Attualizzate la rendita riportandola all’anno 5
2. Attualizzate il valore della rendita dell’anno 5 riportandola
all’anno 0
Esempio 4.18: Rendite annue differite
Fase 1: Attualizzare la rendita all’anno 5
Fase 2: Attualizzare la rendita dell’anno 5 all’anno 0
4410
11
(1.04)€500 €500
.10
€500 3.1699
€1,584.95
.A
5
€1,584.95€984.13
(1.10)
Esempio 4.21: Lavorare sulle
rendite annue
Antonio e Elena Rossi stanno risparmiando per pagare gli
studi universitari della foglia neonata Susanna. I coniugi
stimano che tra 18 anni, quando Susanna andrà
all’università, le spese universitarie ammonteranno a €30
000 all’anno. Nei prossimi decenni il tasso di interesse sarà
del 14%. Quanto devono depositare in banca ogni anno in
modo che le spese universitarie della figlia siano totalmente
coperte per tutti i quattro anni di università?
ESEMPIO 4.21: Equalizzare il
valore attuale di due rendite annue
Tre fasi:
1.Calcolare il valore delle spese universitarie all’anno 17
2.Calcolare il valore delle spese universitarie all’anno 0
3.Calcolare il cash flow che equalizza i versamenti effettuati
dall’anno 1 all’anno 17 al valore delle spese universitarie
all’anno 0
1.
2.
3.
44
.14
11
(1.14)€30,000 €30.000
.14
€30,000 2,9137 €87,411
A
17
€87,411€9,422.91
(1.14)
17.14 €9,422.91C A
€9,422.91€1,478.59
6.3729C
ESEMPIO 4.21: Equalizzare il
valore attuale di due rendite annue
Esempio 4.22: Rendite annue crescenti
Gabriele, che frequenta il secondo anno dell’MBA, è stato
appena offerto un posto di lavoro da € 80 000 all’anno.
Prevede che il suo stipendio crescerà del 9% all’anno fino a
quando andrà in pensione, tra 40 anni. Se il tasso di
interesse è il 20%, qual è il valore attuale dei suoi introiti
complessivi da lavoro?