Lisensiaatintyö

VÄRÄHTELYMUOTOJEN SYNTEESIMATRIISIN OSITUKSELLA

Paul Klinge

HELSINGIN TEKNILLINEN KORKEAKOULU

VÄRÄHTELYMUOTOJEN SYNTEESIMATRIISIN OSITUKSELLA

Lisensiaatintyö

Paul Klinge

Tarkastajat:Prof. Mauri Määttänen

Tutkija Raimo von Herzen

Espoossa 1998-05-25

TIIVISTELMÄ

Työssä johdetaan värähtelymuotojen synteesiä vastaavat kaavat uudellatavalla matriisin ositusta käyttäen. Kaavat viedään pidemmälle kuin perin-teisesti laskemalla myös liitosvapausasteille ominaismuodot ja muuntamallaniiden avulla liitosvapausasteet muotokoordinaatistoon. Näin kytkentäteh-tävä saadaan yksinkertaiseen muotoon, joka on perinteistä merkittävästipienempi.

Edellisen pohjalta johdetaan myös uusi menetelmä rakenteen globaalin jalokaalin käyttäytymisen kytkemiseen. Kaavoista ilmenee, että tarkkuudenkannalta optimaalinen globaali malli on sellainen koko rakenteen malli,jonka lokaalit vapausasteet on poistettu staattista eliminaatiota käyttäen.Tässä työssä on kuitenkin ajatuksena, että globaalina mallina voidaan käyt-tää muunkinlaista koko rakenteen mallia, jos rakenteen oleellinen jäykkyysja massa on huomioitu.

Kaavat johdetaan niin, että sekä lokaalien osamallien kytkeminen keskenäänettä niiden ja globaalin mallin kytkeminen voidaan tehdä samalla kertaa.Kytkennän tarkkuus osoitetaan esimerkeillä.

Koska matriisin ositus voidaan toteuttaa ilman fyysisten osakappaleidenasettamia rajoituksia, vapausasteet voidaan kerätä vapaammin"osakappaleisiin". Myös lokaalit ja globaalit vapausasteet voidaan valitavarsin vapaasti.

Käytännön toteutuksessa on kiinnitetty erityistä huomiota helppokäyttöi-syyteen. Osamallin tasolla käyttäjän tarvitsee ainoastaan muodostaa sol-muryhmä, joka sisältää osamallin liitossolmut ja kytkennän tuloksena onnormaali elementtimallin tietokanta, jota voidaan suoraan käyttää jatkoana-lyyseissä.

ABSTRACT

The formulas for component mode synthesis are derived in a new way byusing matrix decomposition. They are taken further than traditionally bycalculating natural modes for the interface degrees of freedom and usingthese to transform the interface degrees of freedom to modal co-ordinatesystem. This leads to a simple coupling eigenvalue problem, which is con-siderably smaller than the traditional one.

Also a new method for the coupling of global and local behaviour of thestructure is derived. The formulas show that the local degrees of freedomhave been removed from the optimal global model by static elimination.However, one idea in this work is that also different global model can beused, if it contains the essential stiffness and mass of the whole structure.

The formulas are derived so that local submodels can be coupled with eachother and with the global model simultaneously. The accuracy of thecoupling is shown with examples.

Because the matrices can be decomposed without the limitations of physicalsubstructures, the degrees of freedom can be gathered to “substrcutures”more freely. Also local and global degrees of freedom can be chosen fairlyfreely.

Extra care has been taken to make the computer implementation user-friendly. At the submodel level the user has only to form a group of nodes,which contains the interface nodes of the submodel. The result of thecoupling is a normal database of a finite element model, which can bedirectly used to additional calculations.

1

ALKUSANAT

VTT Valmistustekniikan Laiva- ja konetekniikan tutkimusalueella on analy-soitu laivoja elementtimenetelmällä jo 70-luvun lopulta lähtien. Analyysienyhteydessä on kehitetty SHIPFEM:iksi kutsuttu elementtimenetelmäohjel-misto. Alunperin tämä työ sai alkunsa tarpeesta nykyaikaistaa sitä osaraken-netekniikan osalta. Ohjelmointityötä suunnitellessaan tekijä sai kuitenkinidean, josta lopulta kehkeytyi tämä lisensiaatintyö ja siihen liittyvä uusiosarakenteiden kytkentäohjelma.

Tämän työn ja jatko-opintojani edistymisen kannalta vuosi yliassistentinviransijaisena TKK:lla ja VTT:n myöntämä kolmen kuukauden opintovapaaovat olleet hyvin tärkeitä. Lopullinen sysäys tämän työn valmistumiseen olikuitenkin viime lokakuu yliassistentin viransijaisena TKK:lla, josta olenerityisen kiitollinen prof. Mauri Määttäselle.

Haluan kiittää häntä lämpimästi myös työn valvonnasta ja jatkuvasta kan-nustuksesta jatko-opinnoissa. Dosentti Matti K. Hakalaa kiitän asiantunte-vista kommenteista sekä monista aiheeseen liittyvistä keskusteluista.Dipl.ins. Seppo Kivimaata ja tekn.lis. Timo Holopaista haluan kiittäämonista vuosien aikana käydyistä keskusteluista, jotka varmasti osaltaanovat vaikuttaneet tähän työhön. Lisäksi haluan kiittää koko Laiva- ja kone-tekniikan henkilökuntaan kannustavasta työilmapiiristä.

Vaimolleni Kristiinalle ja lapsilleni Petrille ja Johannalle olen kiitollinenkärsivällisyydestä isän jatkuvan joko fyysisen tai henkisen poissaolon suh-teen.

Espoossa 24. toukokuuta 1998

Paul Klinge

2

SISÄLLYSLUETTELO

TIIVISTELMÄ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4ALKUSANAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5SISÄLLYSLUETTELO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6SYMBOLILUETTELO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 JOHDANTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 OMINAISARVOTEHTÄVÄN OSITUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 SUPERELEMENTTITEKNIIKKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 VÄRÄHTELYMUOTOJEN SYNTEESIIN PERUSTUVAT MENETELMÄT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 VÄRÄHTELYMUOTOJEN SYNTEESI MATRIISINOSITUKSELLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.1 Pelkät ominaismuodot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2 Joustomuodot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.3 Pakkomuodot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.4 Liitosmuodot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6 TARKKUUDESTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7 GLOBAALI-LOKAALI KYTKENTÄ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

8 KÄYTÄNNÖN TOTEUTUKSESTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388.1 Käyttäjän kannalta . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388.2 Ohjelmoinnista . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

9 ESIMERKIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409.1 Ulokepalkki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409.2 Ohtakan laiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

9.2.1 Viisi osamallia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539.2.2 Globaali kuorimalli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589.2.3 Globaali levymalli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

10 YHTEENVETO . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

KIRJALLISUUSLUETTELO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3

SYMBOLILUETTELO

c Alaindeksi, joka viittaa liitosvapausasteisiing Alaindeksi, joka viittaa globaaliin malliini Alaindeksi i = 1, 2, ... n viittaa osamatriisiin il Alaindeksi, joka viittaa lokaaliin malliinmc Liitosmuotojen lkm

mi Osakappaleen i ominaismuotojen lkm

m Osakappaleiden ominaismuotojen lkm keskiarvon Osamallien lkm

I VoimavektoriT Yleistetty siirtymävektori&T Yleistetty nopeusvektori&&T Yleistetty kiihtyvyysvektoriX Siirtymävektori&X Nopeusvektori&&X Kiihtyvyysvektori

$ Joustomatriisi& Vaimennusmatriisi, Identiteettimatriisi. Jäykkyysmatriisi0 Massamatriisi5 Tuntemattomat reaktiovoimat sisältävä matriisi7 Muunnosmatriisi8 Siirtymämatriisi

ω Ominaiskulmanopeus

ω2 Ominaisarvo

φ Ominaismuoto

Φ Muotomatriisi, ominaismuodot sarakkeinaΩ2 Ominaisarvomatriisi, ominaisarvot lävistäjällä

~• ∼ lihavoidun kirjaimen päällä merkitsee muunnettua matriisiatai vektoria

4

1 JOHDANTO

Laivat ovat suuria jäykistettyjä ohutkuorirakenteita, joiden värähtelykäyttäy-tyminen on monitasoista. Kokonaisuutena laiva käyttäytyy palkkimaisesti.Tarkemmin tarkasteltaessa laiva voidaan jakaa suurempiin osakokonai-suuksiin kuten kansirakennus, perä ja keula, joilla ilmenee omaa palkkiamonimutkaisempaa värähtelykäyttäytymistä. Vielä tarkemmin tarkastelta-essa tulee näkyviin kansien ja laipioiden jo varsin paikallinen käyttäytymi-nen. Sitten voidaan jo tarkastella suurempien jäykisteiden käyttäytymistä.Tällaisten rakenteiden analysointi on vaikeaa jo vaadittavan mallitustark-kuuden ja siitä seuraavan mallin koon vuoksi. Laivojen tapauksessa lisähan-kaluutena on vielä se, että ne kelluvat vapaasti veden pinnalla, mistä seuraalisävaatimuksia käytettäville ratkaisumenetelmille.

VTT Valmistustekniikan Laiva- ja konetekniikan tutkimusalueella (entinenLaivatekniikan laboratorio) on analysoitu laivoja elementtimenetelmällä jo70-luvun lopulta lähtien. Analyysien yhteydessä on kehitetty SHIPFEM:iksikutsuttu elementtimenetelmäohjelmisto. Se on kehitetty erityisesti laivojenvärähtelyanalyyseihin, mutta tietenkin myös staattisia analyysejä voidaantehdä. Ohjelmisto sisältää mm. seuraavat ominaisuudet: värähtelymuotojensynteesi [11, 12], globaalin ja lokaalin värähtelykäyttäytymisen kytkentä [7]sekä rakenteen ja nesteen dynaaminen kytkentä [8,13,14].

Nämä ominaisuudet ovat olleet mukana SHIPFEM-ohjelmistossa 80-luvunpuolivälistä lähtien. Ohjelmistoa on kuitenkin jatkuvasti kehitettyanalyysien nopeuttamiseksi, käytön helpottamiseksi ja luotettavuudenparantamiseksi. Monien elementtimenetelmään liittyvien parannusten lisäksiohjelmistoon on vuosien varrella lisätty virheenkäsittely-, muistinhallinta- jatietokantaosasysteemit [15]. Tämän työ on saanut alkunsa tarpeestaohjelmoida uudelleen värähtelymuotojen synteesi ja dynaaminen globaali-lokaali kytkentä näitä osasysteemeitä käyttäen.

Matkustajalaivan värähtelyanalyysi on eräs vaativimpia dynaamisia analyy-sejä. Seuraavassa esitetään lyhyesti, miten tällainen analyysi tehdään VTT:nnykyisellä ohjelmistolla, jotta lukija saisi paremman käsityksen tässä työssäesitettyjen menetelmien tarpeellisuudesta ja käytöstä.

Jos koko laivasta ei ole tarkoitus tehdä tarkkaa elementtimallia, niin tarvi-taan ns. globaali malli. Se tarvitaan, jotta vedessä vapaana kelluvallelaivalle saadaan oikeat reunaehdot. Globaali malli voi olla jokoyksinkertainen palkkielementeistä tehty malli tai suuri kolmiulotteinen levy-

5

ja sauvaelementeistä koostuva malli. Laivan globaalilla mallilla pyritäänkuvaamaan vain koko laivan palkkimainen käyttäytyminen ilman kansien taimuiden osarakenteiden paikallista dynaamista käyttäytymistä. Mallillalasketaan laivan ns. kuivat globaalit ominaismuodot ja -taajuudet [7].

Laivan dynaamiseen käyttäytymiseen vaikuttaa myös sitä ympäröivä vesi.Myös vedestä tehdään elementtimalli. Vain pari tavallisten elementtienkerrosta laivan rungon ympärillä riittää ja loppu voidaan mallittaa äärettö-millä elementeillä [13]. Kytkemällä laivan ja veden mallit saadaan ns. märätglobaalit muodot ja taajuudet [8, 14].

Suurin osa laskentaprojektin ajasta kuluu tarkemmin mallitettavan osanelementtimallin tekemiseen. Yleensä mallitustyö jaetaan aikataulusyistä2 - 3 henkilölle. Se sopii hyvin värähtelymuotojen synteesi menetelmään,jossa koko rakenteen ominaismuodot lasketaan osamallien avulla. Mallijaetaan tavallisesti 2 - 3 kantta noin puolen laivan pituudelta käsittäviinosamalleihin. Ne tehdään kuori- ja palkkielementtejä käyttäen. Näillä ns.lokaaleilla malleilla pyritään kuvaamaan kansien paikallista dynaamistakäyttäytymistä. Jokaiselle lokaalille osamallille lasketaan ominaismuodot ja-taajuudet. Näiden avulla lasketaan värähtelymuotojen synteesillä [11, 12]koko lokaalin mallin ns. kuivat ominaismuodot ja -taajuudet.

Veden kanssa kosketuksissa olevaa lokaalia mallia varten on myös tehtäväelementtimalli ympäröivästä vedestä. Yleensä voidaan käyttää samaa vedenmallia kuin globaalin mallin yhteydessä. Kytkemällä yhdistetty lokaali mallija veden malli saadaan ns. märät lokaalit muodot ja taajuudet.

Lopuksi globaali ja lokaali malli kytketään. Tuloksena saadaan koko laivandynaamista käyttäytymistä vastaavat märät ominaismuodot ja -taajuudet [7].Jatkossa niiden avulla lasketaan laivan vaste erilaisille herätteille muotojensuperponointia käyttäen.

Edellä kuvattua matkustajalaivan dynaamista analyysiä havainnollistaakuva 1. Tällaiseen menettelyyn on päädytty, koska koko laivan elementti-mallit kasvavat liian suuriksi yhtenä mallina käsiteltäviksi. Jo mallitusvir-heiden etsiminen ja korjaaminen on näin suurilla malleilla hyvin työlästä jaaikaa vievää. Siksi mallitustyö jaetaan useamman henkilön tehtäväksi, joistajokainen tekee elementtimallin omasta osastaan laivaa ja tarkistaa sen.

Myös laskentakapasiteetti asettaa edelleen rajoituksia. Vaikka koko laivanominaisarvotehtävän voisikin ratkaista nykyisissä moniprosessorikoneissamuutamassa tunnissa, kestää ratkaisu normaalissa työasemassa silti parivuorokautta. Koko laivan mallia käytettäessä myös ratkaisun konvergenssi-nopeus on pienempi johtuen monista lähekkäisistä ominaismuodoista sekäglobaalien ja lokaalien muotojen epäsuhdasta. Suurin tietokoneajan säästö

6

osamallien käytöstä saadaan kuitenkin silloin, kun rakennetta muutetaan jaominaismuodot ja -taajuudet joudutaan laskemaan uudelleen. Jos muutoskohdistuu vain yhden osamallin alueelle, täytyy vain sen ominaismuodot ja-taajuudet laskea uudelleen. Koska muiden osamallien välitulokset on talle-tettu, kytkentäajotkin ovat nopeampia kuin ensimmäisellä kerralla.

Tässä työssä pyritään tehostamaan ja yksinkertaistamaan VTT:n värähtely-analyyseihin käytettävää ohjelmistoa osarakennetekniikan osalta. Ensinjohdetaan värähtelymuotojen synteesin kaavat tai niitä vastaavat kaavatkäyttäen matriisin ositusta. Tällöin ajatellaan, että koko rakenteesta on tehtyvain yksi kokonainen elementtimalli, jonka jäykkyys- ja massamatriisi sittenjaetaan osiin. Näin päästään eroon perinteisistä fyysisistä osakappaleista javapausasteet voidaan kerätä "osakappaleisiin" vapaasti. Myöskään kaavojajohdettaessa ei tarvitse sovittaa osakappaleita yhteen siirtymä- ja voimaeh-tojen avulla, sillä ne toteutuvat automaattisesti elementtimenetelmässä nor-maaliin tapaan. Johdettujen kaavojen toimivuus osoitetaan esimerkein.Myös vain osamallien alimpien ominaismuotojen ja -taajuuksien käyttämi-sestä tulevaa virhettä tarkastellaan.

Myös globaalin ja lokaalin käyttäytymisen kytkeminen johdetaan matriisinosituksella. Globaali elementtimalli voidaan tulkita yhdenlaiseksi osamal-liksi, jolloin sekä lokaalien osamallien yhdistäminen keskenään että niidenja globaalin mallin kytkeminen voidaan tehdä samalla kertaa. Johdettavallamenetelmällä jako globaaleihin ja lokaaleihin vapausasteisiin voidaan tehdäuseammalla tavalla. Kytkennän toimivuus osoitetaan esimerkeillä.

7

.XYD 0DWNXVWDMDODLYDQ G\QDDPLVHVVD DQDO\\VLVVl WDUYLWWDYDWHOHPHQWWLPDOOLW

8

2 OMINAISARVOTEHTÄVÄN OSITUS

Rakenteiden pakkovärähtelyanalyysiä elementtimenetelmällä tehtäessäratkaistaan liikeyhtälö

0X &X .X I && &+ + = t , (1)

missä 0 on rakenteen massamatriisi,& vaimennusmatriisi ja. jäykkyys-matriisi. &&X , &X ja X sisältävät kiihtyvyydet, nopeudet ja siirtymät rakenteensolmuissa. I t on ajasta riippuva kuormitus.

Usein pakkovärähtelytehtävän (1) ratkaisuun käytetään muotojen superpo-nointia (esim. [3]). Muotojen superponoinnissa käytetään rakenteen omi-naismuotoja yleistettynä koordinaatistona, joten ne täytyy tuntea.Ominaismuodot saadaan ratkaisemalla ominaisarvotehtävä

. 0φ φ= ω2 , (2)

missä φ on ratkaistava ominaismuoto ja ω ominaiskulmanopeus. Kunrakenteen ominaismuodot ja -kulmanopeudet on ratkaistu voidaan rakenteenalkuperäinen liikeyhtälö (1) saattaa muunnoksella

X T= Φ (3)

muotoon

&&~&

~T &T T I + + =Ω t . (4)

Siinä ~& &= Φ ΦT on yleistetty vaimennusmatriisi, Φ sisältää ominaismuo-dot, Ω2 on lävistäjämatriisi, jonka lävistäjällä ovat ominaisarvotehtävän

(2) ominaisarvot, ja ~( ) ( )I It t= ΦT on yleistetty voima. Tällöin kaikkiyhtälöt ovat riippumattomia, jos yleistetty vaimennusmatriisi onlävistäjämatriisi. Siksi vaimennusmatriisi yleensä oletetaankin massa- jajäykkyysmatriisin lineaarikombinaatioksi tai sitten käytetään suoraanmuotokohtaista vaimennusta.

Muotojen superponoinnin suosio perustuu siihen, että muotomatriisin Φ eitarvitse sisältää kaikkia ominaismuotoja. Tällöin tulos ei ole aivan tarkka,

9

mutta ottamalla mukaan riittävä määrä alimpia ominaismuotoja päästäänhaluttuun tarkkuuteen.

Erityisen edullista muotojen superponoinnin käyttö on tilanteissa, joissajoudutaan kytkemään rakenne ja neste (esim. laivojen värähtelyanalyysi).Nesteen ja rakenteen kytkeytyessä rakenteen nesteeseen liittyvät solmutkytkeytyvät nesteen kautta toisiinsa ja elementtimenetelmälle tyypillinenmatriisien nauhamaisuus katoaa. Tällöin yhtälöiden ratkaisuun kuluva aikahelposti moninkertaistuu. Mikäli kytkentä tehdään käyttäen rakenteen omi-naismuotoja yleistettynä koordinaatistona, riippuu ratkaistavan ongelmankoko vain mukaan otettavien muotojen määrästä [8,13].

Suuria ja monimutkaisia rakenteita mallitettaessa elementtimallin koko jasiten ratkaistavan ominaisarvotehtävän koko kasvaa helposti liian suureksiainakin nykyisillä työasemilla ratkaistavaksi. Keskusmuistin loppuessanykyiset virtuaalimuistia tukevat käyttöjärjestelmät käyttävät levyä keskus-muistin jatkeena, mutta silloin tarvittava reaaliaika kasvaa moninkertaiseksi.Samoin käy, kun ohjelma huolehtii itse matriisien siirtelystä muistin jalevyn välillä, vaikka ne yleensä hoitavatkin sen paljon käyttöjärjestelmäätehokkaammin.

Eräs ratkaisu näihin ongelmiin on ominaisarvotehtävän jakaminen sopivankokoisiin osiin, jolloin päästään paremmin hyödyntämään tietokoneen pro-sessoritehoa. Erityisesti moniprosessorikoneiden yhteydessä on pyrittykehittämään tehokkaita matriisin ositukseen perustuvia ratkaisijoita.Tehokkain tapa osittaa matriisi riippuu tietokoneen arkkitehtuurista [9].Nämä menetelmät eivät säästä laskentatyötä vaan ratkaisevat ongelmantarkasti, mutta nopeammin monessa prosessorissa yhtäaikaa.

Ominaisarvotehtävä (2) voidaan periaatteessa jakaa varsin mielivaltaisestiosiin. Jatkokäsittely saattaa tosin vaatia, että osajäykkyysmatriisi on positii-videfiniitti eli käännettävissä.

. . .

. . .

. . .

0 0 0

0 0 0

0 0 0

11 12 1

21 22 2

1

2 2

11 12 1

21 22 2

1

2

L

L

M M O M

L

M

L

L

M M O M

L

M

n

n

n1 n2 nn n

n

n

n1 n2 nn n

=

φφ

φ

φφ

φ

ω

(5)

10

Yhtälö (5) voidaan sopivalla muunnoksella

φ φ= 7~(6a)

eli

φφ

φ

φφ

φ

1

2

11 12 1

21 22 2

1 2

1

2

M

L

L

M M O M

L

M

n

n

n

n n nn n

=

7 7 7

7 7 7

7 7 7

~

~

~

(6b)

muuntaa eri koordinaatistoon. Tällöin se saa muodon

~ ~ ~

~ ~ ~

~ ~ ~

~

~

~

~ ~ ~

~ ~ ~

~ ~ ~

~

~

~

. . .

. . .

. . .

0 0 0

0 0 0

0 0 0

11 12 1

21 22 2

1

2 2

11 12 1

21 22 2

1

2

L

L

M M O M

L

M

L

L

M M O M

L

M

n

n

n1 n2 nn n

n

n

n1 n2 nn n

=

φφ

φ

φφ

φ

ω

(7)

missä ~. 7 . 7ij irT

srrs sj= ∑∑ on osajäykkyysmatriisi uudessa koordinaatis-

tossa ja ~0 7 0 7ij irT

srrs sj= ∑∑ vastaavasti osamassamatriisi uudessa koor-

dinaatistossa.

Jos muunnosmatriisi 7 on neliömäinen [( )m m× , m = ominaisarvotehtävän

yhtälöiden lkm], niin muunnetun ominaisarvotehtävän yhtälöiden määrä eivähene. Jos muunnos on kuitenkin sopiva, niin muunnettu ominaisarvoteh-tävä voi olla nauhamaisempi tai muuten esimerkiksi iteratiiviselle ratkaisu-menetelmälle edullisempi (preconditioning). Tällaisella muunnoksellapyritään ominaisarvotehtävän tarkkaan ratkaisuun.

Jos muunnosmatriisi 7 on suorakaiteen muotoinen [( )m k× , k < m ], niin

muunnetussa ominaisarvotehtävässä on vähemmän yhtälöitä (k) kuin alku-peräisessä. Tällöin muunnettu ominaisarvotehtävä ei enää sisällä kaikkeasitä tietoa, mitä alkuperäinen ominaisarvotehtävä sisälsi. Periaatteessa täl-lainen muunnosmatriisi voi koostua mielivaltaisista vektoreista (vrt. Ritzinmenetelmä). Näiden vektoreiden valinnasta kuitenkin riippuu saatujen omi-naisarvojen ja -vektoreiden hyvyys, sillä tuloksena saadut ominaisvektorit

11

voivat olla vain muunnosmatriisissa esiintyvien vektoreiden lineaarikombi-naatioita.

Yleensä jatkokäsittelyssä tarvitaan vain alimpia ominaisarvoja ja-vektoreita. Siksi muunnosmatriisia muodostettaessa pyritään siihen, ettämuunnetusta ominaisarvotehtävästä saataisiin alkuperäisen ominaisarvoteh-tävän alimmat ominaisarvot ja -vektorit mahdollisimman tarkasti.Perinteisiä ominaisarvotehtävän yhtälöiden määrän vähentämismenetelmiäovat staattinen eliminaatio [6], superelementtitekniikka [1] javärähtelymuotojen synteesiin perustuvat menetelmät [3].

12

3 SUPERELEMENTTITEKNIIKKA

Superelementtitekniikassa mallitettava rakenne jaetaan osiin, jotka mallite-taan erikseen. Osakappaleen elementtimallin sisäisten solmujen vapaus-asteet eliminoidaan ja jäljelle jääneitä liitospinnan vapausasteita vastaavajäykkyysmatriisi talletetaan. Nyt kukin osakappale liitosvapausasteineenmuodostaa yhden ns. "superelementin", jota voidaan käyttää tavallisen ele-mentin tapaan koko rakenteen jäykkyysmatriisia koottaessa [1].

Seuraavassa johdetaan superelementtitekniikkaa vastaavat kaavat ositetullematriisille. Staattisessa tapauksessa ratkaistavana on tasapainoyhtälö

.X I= (8)

joka siis voidaan jakaa melko mielivaltaisesti osiin välittämättä osakappale-tai edes elementtirajoista. Jos vapausasteet vielä sekä johdon selkeyttämi-seksi että tietokonesovelluksen yksinkertaistamiseksi järjestellään niin, ettäkaikki liitosvapausasteet (alaindeksi c) ovat viimeisenä, saa yhtälö (8)muodon

. .

. .

. . .

X

X

X

I

I

I

11 1

22 2

1 2

1

2

1

2

L

L

M M O M

L

M M

c

c

c c cc c c

=

. (9)

Numerot (1, 2, ...) alaindekseinä viittaavat vastaaviin osamatriiseihin. Nevastaavat osakappaleiden sisäisiä vapausasteita.

Nyt yksittäinen osayhtälö

. X . X Iii i ic c i+ = (10)

voidaan ratkaista liitosvapausasteiden siirtymien avulla.

X . I . . Xi ii i ii ic c= −− −1 1 (11)

13

Liitosvapausasteet taas voidaan ratkaista viimeisestä osayhtälöstä

. X . X Icii

i cc c c∑ + = (12)

Kun tähän sijoitetaan osamatriisien ratkaisut (11) saadaan

~ ~. X Icc c c= (13)

missä ~. . . . .cc cc icT

iii ic= − ∑ −1 on vain liitosvapausasteet sisältäväksi

tiivistetty jäykkyysmatriisi ja ~I I . . Ic c icT

iii i= − ∑ −1 on vastaavasti tiivis-

tetty voimavektori. Kaavoissa on hyödynnetty jäykkyysmatriisin symmetri-

syyttä eli tehty sijoitus . .ci icT= .

Sama tulos saadaan aikaan myös käyttämällä muunnosta

X 7X= c (14a)

eli

X

X

X

. .

. .

,

X

1

2

111

1

221

2

M M

c

c

cc

=

−−

−

−(14b)

Kun superelementtitekniikalla halutaan ratkaista dynaamisia tehtäviä, sovel-letaan tätä staattiseen eliminaatioon perustuvaa muunnosta myös massa-matriisiin. Tällöin ominaisarvotehtävä (5) saadaan muotoon

~ ~. 0cc c cc cφ ω φ= 2 (15)

missä ~. . . . .cc cc icT

iii ic= − ∑ −1 ,

~0 0 . . 0 . . . . 0 0 . .cc cc icT

iii ii ii ic ic

T

iii ic ci

iii ic= + − −∑ ∑ ∑− − − −1 1 1 1 ja

jäljellä ovat vain liitosvapausasteet.

Menetelmä siis pienentää ominaisarvotehtävää yhtä tehokkaasti dynaami-sessa kuin staattisessakin tapauksessa. Vapausasteiden vähenemisen hintanaon kuitenkin se, että osakappaleiden (superelementtien) sisäinen dynaami-

14

nen käyttäytyminen ei tule tarkasti otetuksi huomioon vaan sisäinen massasiirretään staattisen joustavuuden mukaan liitosvapausasteille. Tällöin tuloson sama kuin, jos koko rakenteen mallista liitosvapausasteita vastaavatvapausasteet olisi valittu aktiivisiksi vapausasteiksi ns. Guyanin reduktiossa[6].

Esimerkin 9.1 yhteydessä on esitetty myös tällainen tulos. Pari alinta omi-naismuotoa ja -taajuutta ovat varsin hyviä, mutta ylemmissä muodoissaosakappaleiden rajat tulevat enemmän tai vähemmän selvästi esiin ja taa-juuksien virhe kasvaa. Myös esimerkin 9.2.2 yhteydessä on laivan pohjaotettu huomioon staattisen joustavuuden mukaisesti. Ensimmäistä ominais-muotoa lukuunottamatta on ominaistaajuuksien virhe varsin merkittävä.

15

4 VÄRÄHTELYMUOTOJEN SYNTEESIINPERUSTUVAT MENETELMÄT

Värähtelymuotojen synteesissä analysoitava rakenne jaetaan osarakenteisiin,jotka mallitetaan erikseen. Jokaiselle osarakenteelle lasketaan ominais-muodot ja -arvot. Värähtelymuotojen synteesiin perustuvia menetelmiä onuseita, mutta kaikissa käytetään hyväksi osarakenteen ominaismuotoja ja-arvoja. Menetelmät eroavat toisistaan siinä, millaisia "lisämuotoja" otetaanmukaan ja siinä, miten osarakenteet liittyvät toisiinsa. Yhdessä ominaismuo-toja ja näitä lisämuotoja kutsutaan komponenttimuodoiksi. Käytännössäosarakenteiden liitospinnat ovat joko kiinnitettyjä [4,10] tai vapaita [5],mutta myös sekamenetelmiä löytyy [16]. Lähteissä [11] ja [3] esitelläänvarsin kattavasti erilaisia värähtelymuotojen synteesiin perustuvia mene-telmiä ja niiden variaatioita.

Perinteisesti värähtelymuotojen synteesin kaavojen johto perustuu osaraken-teen vapausasteiden jakamiseen sisäisiin vapausasteisiin ja liitosvapaus-asteisiin. Liitosvapausasteita ovat osakappaleen liitospintojen solmujenvapausasteet kuten superelementtitekniikassakin. Silloin vapaan värähtelynliikeyhtälöksi saadaan

0 0

0 0

X

X

. .

. .

X

X

IiiA

icA

ciA

ccA

iA

cA

iiA

icA

ciA

ccA

iA

cA

cA

+

=

&&

&&(16)

missä yläindeksi A viittaa osakappaleeseen, alaindeksi i sisäisiin vapaus-asteisiin ja c liitosvapausasteisiin. Koska kyseessä on vapaa värähtely, niinulkoisia voimia ei ole, joten voimavektorissa on nollasta poikkeavia alkioitavain liitoksen kohdalla, missä koko rakenteen kannalta sisäiset voimatvaikuttavat.

Kahden osakappaleen A ja B (Kuva 2) yhdistäminen tapahtuu siten, ettäasetetaan liitospintojen siirtymät samoiksi

X XcA

cB= (17)

Lisäksi vaaditaan, että koko rakenteen kannalta sisäiset voimat häviävät

I I cA

cB+ = (18)

16

Jos hieman yksinkertaistetaan, niin jatkossa nämä yhtälöt muunnetaan kom-ponenttimuotojen avulla yleistettyyn koordinaatistoon, jossa ne toteutetaanja yhdistetyn rakenteen jäykkyys- ja massamatriisi kootaan. Menetelmästäriippuen toteutus on aina hieman erilainen. Päätyyppien kaavojen johtami-seen kahden osakappaleen tapauksessa meni 25 sivua lähteessä [11].

A BuA = uB

fA + fB = 0

.XYD2VDNDSSDOHLGHQ\KGLVWlPLQHQ

17

5 VÄRÄHTELYMUOTOJEN SYNTEESIMATRIISIN OSITUKSELLA

Edellisessä luvussa rakenne ajateltiin jaetuksi osakappaleisiin, joiden välilleasetettiin siirtymien yhteensopivuusehto ja voimatasapainoehto. Jos kokorakenteesta kuitenkin tehtäisiin yksi iso elementtimalli nämä osakappaleidenvälille asetetut ehdot toteutuisivat automaattisesti. Matriisin osituksen käyt-tämisessä on se etu, että näitä yhteensopivuusehtoja ei tarvitse ajatella, vaanvoidaan keskittyä pelkästään ominaisarvotehtävän koon vähentämiseen.

Perinteisessä ajattelumallissa rakenne jaetaan jo fyysisenä kappaleena osa-kappaleiksi, jolloin elementtijako noudattaa liitospintoja. Seuraavassajohdetaan värähtelymuotojen synteesiä vastaavat menetelmät ositetuillamatriiseilla eli kuvitellaan, että koko rakenteen jäykkyys- ja massamatriisiton koottu. Siten ominaisarvotehtävä voidaan jakaa paljon vapaammin osiin.Edes elementtirajoista ei tarvitse välittää. Tällaisen vapausastejoukon voi-daan ajatella muodostavan eräänlaisen "loogisen osakappaleen". Joskuitenkin tietyn geometrisen osakappaleen vapausasteista muodostetaanlooginen osakappale, niin saadaan tietenkin myös geometrisesti järkeviäominaismuotoja ja -arvoja. Osamatriisien vapausasteiden vapaampaa valin-taa voidaan hyödyntää esim. kuorirakenteissa, joissa siirtymävapausasteistavoi muodostaa omia osamatriisejaan ja kiertymävapausasteista omiaan.Tällainen vastaa jossain määrin myöhemmin luvussa 7 esitettävää globaalinja lokaalin värähtelykäyttäytymisen kytkentää.

Käytännössä rakenne mallitetaan kuitenkin osissa ja yksittäistä osamatriisiavastaa osamalli. Tämä johtaa siihen, että elementit, joiden vapausasteitakuuluu kahteen tai useampaan loogiseen osakappaleeseen ovat mukanakaikissa niitä vastaavissa osamalleissa. Osamalli vastaa osamatriisia, kunkaikki loogiseen osakappaleeseen kuulumattomat vapausasteet on kiinni-tetty.

Jako loogisiin osakappaleisiin voidaan tehdä kahdella tavalla. Joko suora-viivaisesti jakamalla (Kuva 3), mikä johtaa yhtälön (5) muotoisiin matrii-seihin, tai sitten voidaan muodostaa liitosvapausasteista looginenosakappale, johon muut loogiset osakappaleet liitetään (Kuva 4). Jälkim-mäinen tapa johtaa yhtälön (9) muotoisiin matriiseihin. Se vastaa myösnormaalia tapaa jakaa rakenne osarakenteisiin.

18

I

=

+

II

1 2 3 4

1 2 3 3 4

.XYD0DOOLQMDNRRVDPDOOHLKLQVXRUDOODPDWULLVLQRVLWXNVHOOD

I

=

+

C

1 2 3 4

1 2 2 3 +

II

3 4

.XYD0DOOLQMDNRRVDPDOOHLKLQNXQNl\WHWllQOLLWRVYDSDXVDVWHLWD

19

5.1 PELKÄT OMINAISMUODOT

Ensimmäiset yritykset yhdistetyn ominaisarvotehtävän pienentämiseksitehtiin käyttäen vain osakappaleiden ominaismuotoja ja -arvoja. Kun osite-tun ominaisarvotehtävän (5) muuntamiseen yleistettyyn koordinaatistoonkäytetään osatehtävien ominaismuotoja

7 7 ii i= = ≠Φ ja kun i jij (19)

missä Φ i sisältää osatehtävän i massanormeeratut ominaismuodot tai aina-kin osan niistä, se saadaan muotoon

ΩΩ

Ω

12

12 1

21 22

2

2

1

2 2

12 1

21 2

1

2

~ ~

~ ~

~ ~

~

~

~

~ ~

~ ~

~ ~

~

~

~

. .

. .

. .

, 0 0

0 , 0

0 0 ,

L

L

M M O M

L

M

L

L

M M O M

L

M

n

n

n1 n2 n

n

n

n1 n2 nn

=

φφ

φ

φφ

φ

ω

(20)

missä ominaismuotojen ortogonaalisuudesta ja massanormeerauksesta joh-

tuen Ω i2 on lävistäjämatriisi, jonka lävistäjällä on osatehtävän i ominais-

arvot, , on identiteettimatriisi sekä ~. .ij iT

ij j= Φ Φ ja ~0 0ij = Φ ΦiT

ij j .

Jos matriisin osituksessa käytetään liitosvapausasteita eli kaavan (9) muo-toisia matriiseita, niin ositettu ominaisarvotehtävä muuntuu muotoon

ΩΩ

12

1

22

2

1 2

1

2 2

1

2

1 2

1

2

.

.

. . .

, 0

, 0

0 0 0

L

L

M M O M

L

M

L

L

M M O M

L

M

~

~

~ ~

~

~

~

~

~

~ ~

~

~

~

c

c

cc n

c

c

cc ncT

cT

cT

cT

=

φφ

φ

φφ

φ

ω

(21)

missä ~ ~. . 0 0ic iT

ic iT

ic= =Φ Φ ja ic . Liitosvapausasteille ei ole laskettu

ominaismuotoja ja -arvoja, vaan niiden kohdalle muunnosmatriisiin onsijoitettu identiteettimatriisi 7 ,FF = .

Jos muunnoksessa käytetään kaikkia osatehtävien ominaismuotoja, niinmyös muunnettu ominaisarvotehtävä sisältää kaiken tiedon koko alkuperäi-sen ominaisarvotehtävän dynamiikasta. Tällöin saatu tulos on tarkka. Josvain osa osatehtävien ominaismuodoista on mukana, niin silloin saatava

20

tulos on vain likimääräinen. Tuloksen tarkkuus riippuu mukaan otettujenosatehtävien ominaismuotojen määrästä. Käytännön analyyseissä yksi osa-tehtävä sisältää helposti 1000 - 10000 yhtälöä, kun taas kiinnostavalta taa-juuskaistalta löytyy yleensä vain 10 - 200 ominaismuotoa. Käytännönanalyyseissä haluttaisiin siis käyttää enintään paria prosenttia osatehtävänominaismuodoista. Kuitenkin vain ominaismuotoja käytettäessä muunnetunominaisarvotehtävän tuloksen tarkkuus huononee nopeasti käytettävienominaismuotojen vähetessä.

5.2 JOUSTOMUODOT

Kuten edellisessä luvussa todettiin vain osakappaleiden ominaismuotojakäytettäessä jouduttaisiin riittävän tarkkuuden takaamiseksi ottamaan liikaaominaismuotoja mukaan. Värähtelymuotojen synteesissä onkin ennen kaik-kea kyse siitä, millaisia "lisämuotoja" alimpien ominaismuotojen lisäksivalitaan muunnosmatriisiin. Erilaisia valintoja löytyy kirjallisuudesta paljonherätteen staattisena aiheuttamasta siirtymätilasta erilaisiin iteratiivisiinsysteemeihin. Perinteisesti on kuitenkin käytetty ns. jousto-, jäännösjousto-ja pakkomuotoja [3].

Joustomuodoilla tarkoitetaan osakappaleen sellaisia staattisia ratkaisuja,joissa jokaiseen liitosvapausasteeseen vuorollaan on asetettu yksikkö-kuorma.

. .

. .

8

8

,ii ic

ci cc

i

c

=

(22)

Kertomalla yhtälö (22) jäykkyysmatriisin käänteismatriisilla saadaan

8

8

$

$i

c

ic

cc

=

(23)

missä jäykkyysmatriisin käänteismatriisia eli joustomatriisia on merkitty$:lla. Siten joustomuodot ovat itse asiassa osakappaleen joustomatriisinliitosvapausasteisiin liittyvät sarakkeet.

Joustomuotoja käytetään silloin, kun osakappaleen liitosvapausasteet jäte-tään vapaiksi. Koko rakenteen matriisien kokoaminen ja yhteensopivuus-ehtojen (17) ja (18) toteuttaminen voidaan tehdä esim. Lagrangenmenettelyllä [3].

21

Joustomuotojen käytössä on sellainen ongelma, että ne ovat periaatteessalineaarisesti riippuvaisia osakappaleen ominaismuodoista. Koska vain osa-kappaleen alimpia ominaismuotoja kuitenkin käytetään, niin joustomuotojenavulla voidaan silti parantaa lopputulosta. Joustomuodot voidaanortogonalisoida mukaan otettujen ominaismuotojen suhteen poistamallaniiden osuus osakappaleen joustomatriisista ennen joustomuotojenlaskemista. Näin saatuja joustomuotoja sanotaan jäännösjoustomuodoiksi.Pakkomuotoja käsitellään seuraavassa luvussa.

Liitosvapausasteiden vapaaksi jättäminen johtaa helposti osakappaleeseen,joka on vapaa kappale. Tällöin joustomuotojen saamiseksi joudutaan ensinpoistamaan yhtälöistä jäykän kappaleen liikkeet (inertia relief) [3,16]. Selisää vaadittavaa laskentatyötä.

Ositettuja matriiseja käytettäessä muihin osamalleihin kuuluvat vapausasteeton kiinnitettävä. Siten perinteisiä joustomuotoja ei voi käyttää. Joustomuo-tojen ideaa mukaillen voidaan kuitenkin laskea koko rakenteelle jousto-muodot. Se onnistuu superelementtitekniikalla asettamalla I I ,i = = ja c

kaavassa (9). Tällöin muunnosmatriisiksi saadaan

7

$

$

$

=

ΦΦ

1 1

2 2

L

L

M M O M

L

c

c

cc

(24)

missä $ . . $ic ii ic cc= − −1 ja $ .cc cc= −~ 1 kaavasta (13). Muunnoksen

jälkeen ominaisarvotehtävä on muodossa

ΩΩ

12

22

1

2 2

1

2

1 2

1

2

$

, 0

, 0

0 0 0

L

L

M M O M

L

M

L

L

M M O M

L

M

cc cT

cT

cc

=

~

~

~

~

~

~ ~ ~

~

~

~

φφ

φ

φφ

φc

c

c

c

ω

(25)

missä ~0 0 $ 0 $ic iT

ii ic iT

ic cc= +Φ Φja ~0 $ 0 $ $ 0 $ $ 0 $ $ 0 $cc cc cc cc ic

T

iii ic ic

T

iic cc cc

iicT

ic= + + +∑ ∑ ∑ .

Perinteisiin joustomuotoihin verrattuna koko rakenteen joustomuotoja käy-tettäessä osamallit ovat kiinnitettyjä, joten niiden osalta ei tarvita vapaankappaleen ratkaisua. Jos kuitenkin mallitettu rakenne kokonaisena on vapaa

22

(kuten laiva), täytyy liitosvapausasteiden joustomatriisin laskemiseen käyt-tää vapaan kappaleen staattiseen ratkaisemiseen pystyvää ratkaisijaa.

Edellä esitettyä tulosta ((24) ja (25)) ei ole ohjelmoitu eikä muutenkaantestattu. Se on esitetty tässä yhteydessä lähinnä osoituksena siitä, ettäjoustomuotojen ideaa voidaan soveltaa myös matriisin ositusta käytettäessä.

5.3 PAKKOMUODOT

Pakkomuodoilla tarkoitetaan tässä yhteydessä osakappaleen sellaisia staatti-sia ratkaisuja, joissa jokaiseen liitosvapausasteeseen vuorollaan on asetettuyksikkösiirtymä.

. .

. .

8

,

5ii ic

ci cc

i

c

=

(26)

Ratkaisemalla tästä ylin rivi saadaan pakkomuodot osakappaleen sisäpis-teissä.

8 . .i ii ic= − −1 (27)

Pakkomuotoja käytetään silloin, kun osakappaleen liitosvapausasteet kiinni-tetään. Tällöin osakappaleella ei ole jäykän kappaleen liikkeitä eikä niitäsiten tarvitse poistaakaan pakkomuotojen saamiseksi [3].

Ositettuja matriiseja käytettäessä muihin osamalleihin kuuluvat vapausasteeton kiinnitettävä. Siten perinteiset pakkomuodot sopivat hyvin käytettäviksimyös ositettuja matriiseja käytettäessä. Tällöin muunnosmatriisiksi saadaan

7

. .

. .

,

=

−−

−

−Φ

Φ1 11

11

2 221

2

L

L

M M O M

L

c

c (28)

Muunnoksen jälkeen ominaisarvotehtävä on muodossa

23

ΩΩ

12

22

1

2 2

1

2

1 2

1

2

.

, 0

, 0

0 0 0

L

L

M M O M

L

M

L

L

M M O M

L

M~

~

~

~

~

~

~ ~ ~

~

~

~cc c

Tc

Tcc

=

φφ

φ

φφ

φc

c

c

c

ω

(29)

missä ~. . . . .cc cc icT

iii ic= − ∑ −1 ja ~0 0 0 . .ic i

Tic i

Tii ii ic= − −Φ Φ 1

sekä ~0 0 0 . . . . 0 . . 0 . .cc cc icT

iii ic ic

T

iii ic ic

Tii

iii ii ic= − − +∑ ∑ ∑− − − −1 1 1 1 .

Tämä vastaa lähteessä [4] esitettyä menetelmää, kun matriisit on järjestettyniin, että kaikki liitosvapausasteet ovat viimeisinä.

Kun tarkastelee tulosta (29), huomaa, että se on itseasiassa ominaismuotojenmukaisen yleistetyn koordinaatiston ja staattisen eliminaation yhdistelmä.Erityisen selvästi se näkyy muunnosmatriisista (28), joka on muunnosmat-riisien (14) ja (19) yhdistelmä. Siten voidaan ajatella, että osakappaleidenalimpia ominaismuotoja täydennetään pakkomuodoilla tai, että staattistaeliminaatiota (superelementtitekniikkaa) (Guyanin reduktiota) parannetaanosakappaleiden ominaismuodoilla. Esimerkkien tulosten valossa jälkimmäi-nen on paremmin kohdallaan.

5.4 LIITOSMUODOT

Ominaisarvotehtävä (29) antaa hyviä tuloksia pienillä esimerkeillä. Suu-remmilla esimerkeillä hyvään tulokseen pääseminen vaatii kuitenkinominaisarvotehtävän ratkaisuun käytetyn aliavaruusiteraation konvergenssi-parametrien huomattavaa kiristämistä, jolloin ratkaisu vaatii paljontavallista suuremman määrän iteraatiokierroksia. Tämä johtuu ilmeisestiratkaistavien matriisien termien epäsuhdasta. Kun tarkastellaan matriisienlävistäjiä, havaitaan että liitosvapausasteisiin liittyvät jäykkyysmatriisintermit ovat suuruudeltaan “normaaleja”, kun taas osamallien osuus sisältääniiden ominaisarvoja. Vastaavasti massamatriisin lävistäjänliitosvapausasteisiin liittyvät termit ovat myös “normaaleja”, kun taasosamallien osuus sisältää ykkösiä.

Tilanne voidaan korjata laskemalla ensin liitosvapausasteita vastaavan osanominaismuodot ja -arvot. Sehän vastaa superelementtitekniikalla saatavaatulosta (15). Kun nämä liitosmuodot otetaan huomioon, saadaan muunnos-matriisi

24

7

. .

. .

=

−−

−

−Φ Φ

Φ Φ

Φ

1 111

1

2 221

2

L

L

M M O M

L

c c

c c

c

. (30)

Tämän muunnoksen jälkeen ominaisarvotehtävä saa yksinkertaisen muodon

ΩΩ

Ω

12

22

2

1

2 2

1

2

1 2

1

2

, 0

, 0

0 0 ,

L

L

M M O M

L

M

L

L

M M O M

L

M

c cT

cT

=

~

~

~

~

~

~ ~

~

~

~

φφ

φ

φφ

φc

c

c

c

ω (31)

missä ~0 0 0 . .ic iT

ic c iT

ii ii ic c= − −Φ Φ Φ Φ1 . Tässä muodossa ominaisarvo-

tehtävä on pienin, sillä myös liitosvapausasteiden osuutta voidaan pienentäälaskemalla ja ottamalla mukaan vain alimmat ominaismuodot. MyösBourquin [2] käyttää liitosmuotoja, mutta niitä laskettaessa massamatriisinakäytetään identiteettimatriisia (~0 ,cc = , yhtälössä (29)). Ajatuksena on, että

liitosmuotoja laskettaessa vain liitosvapausasteilla on massaa jayksinkertaisin lävistäjämatriisi on identiteettimatriisi.

Pakkomuotoja käytettäessä ei ominaisarvotehtävää muunnettaessa missäänvaiheessa tarvita vapaan kappaleen staattista ratkaisua. Ei edes silloin, kunmallitettu rakenne kokonaisuutena on vapaa (kuten laiva). Sellaisesta tapa-uksesta selvitään siirtämällä väliaikaisesti ominaisarvotehtävän ratkaisunyhteydessä ominaisarvojen nollakohtaa (rigid body mode shift) [1].

Esimerkit 9.1 ja 9.2.1 on laskettu liitosmuotoja käyttäen. Esimerkin 9.1yhteydessä ne on myös esitetty.

Usein rakenteeseen tulee muutoksia ja mallia joudutaan muuttamaan.Yleensä kuitenkin vain yhtä tai kahta osamallia joudutaan muuttamaan.Siten vain niille täytyy laskea uudelleen ominaismuodot ja -arvot. Hyödyn-tämällä muiden osamallien osalta talletettuja välituloksia voidaan kytkentäänopeuttaa. Kytkennän aikaa vievin osa on kuitenkin liitosvapausasteidenjäykkyys- ja massamatriisin kokoaminen ja liitosmuotojen laskeminen (15).Valitettavasti yhdenkin osamallin muuttaminen vaikuttaa myös niihin, jotenperiaatteessa liitosmuodot on aina laskettava uudelleen.

Kytkentätehtävän uudelleen ratkaisun yhteydessä saavutettaisiin todellasuuria säästöjä tietokoneajassa, jos vanhat liitosmuodot voisi säilyttää. Sitense on varsin mielenkiintoinen jatkotutkimuskohde. Aihetta voisi lähestyä

25

kahdelta suunnalta. Yksi tapa olisi tutkia, kuinka suuria muutoksia osamal-liin voi tehdä niin, että lopputulos on vielä riittävän tarkka. Toisaalta uudel-leen kytkentää varten voisi kehittää oman yhtälöä (31) vastaavan kaavan.

26

6 TARKKUUDESTA

Vaikka värähtelymuotojen synteesi on jo 30 vuotta vanha menetelmä on senkonvergointi todistettu vasta vajaa kymmenen vuotta sitten. Aikaisemminon tehty vain numeerisia virhetarkasteluja ja vertailuja. Bourquin johtivuonna 1991 väitöskirjassaan [2] virhearvion muotojen synteesille lämmönjohtumisen tapauksessa lähtien ongelman analyyttisestä asettelusta.

Todistuksessa tutkittava alue jaetaan liitospintaa pitkin kahteen osaan, joi-den ominaismuodot ja -arvot ajatellaan ratkaistuiksi niin, että liitospinnallaei lämmön siirtymistä ei tapahdu. Koska lähestymistapa on analyyttinen,niin ominaismuotoja ja -arvoja on ääretön määrä. Sitten asetetaan uusi kokoalueessa määritelty ongelma siten, että differentiaaliyhtälö toteutuu kokoalueessa ja reunalla on nollaehto muualla kuin liitospinnalla. Tämän uudenongelman ratkaisuna saadaan sitten tarvittavat lisämuodot, jotta koko alku-peräinen ongelma voidaan ratkaista. Näitä lisämuotojakin on tietenkin ääre-tön määrä.

Kun värähtelymuotojen synteesissä osakappaleiden ja liitosongelman muo-doista otetaan mukaan vain osa (eli äärellinen määrä) ei enää saada samaatulosta kuin koko alueessa määritellylle alkuperäiselle tehtävälle. Virhearvio

on verrannollinen sekä ominaisarvojen poikkeamaan ~λ λk k− että omi-

naismuotojen muodonmuutosenergian poikkeamaan ~φ φk k E

−2

. Yksittäisen

ominaismuodon ja -arvon osalta virhearvio on

( ) ( ) ( )virhe ≤ +

−

−

∑C k

n

s k m

m

nk m

ms

d

i i

i

s

d

d d c c

cdi

n

( ), , , ,1

2 2

1

11

1

ε ε α(32)

missä k viittaa tarkasteltavaan ominaismuotoon, n on osakappaleiden lkm,mi osakappaleen i mukaan otettujen ominaismuotojen lkm ja mc on vastaa-vasti mukaan otettujen liitosmuotojen lkm. d on ongelman dimensio. ε i ja

εc ovat virhetermejä, joiden suuruus riippuu mm. liitospinnan muodosta

(onko esim. kulmia => singulariteetti) parametrien s < 3

2 ja 0 2< <α

kautta. Termit ε i ja εc lähenevät nollaa, kun mukaan otettujen muotojen

määrä kasvaa.

27

Kaava (32) antaa siis virhearvion siitä, mitä vain alimpien ominaismuotojenkäyttäminen värähtelymuotojen synteesissä vaikuttaa. Siten sitä voidaankäyttää myös elementtimenetelmään perustuvan diskreetin ratkaisun yhtey-dessä, vaikka se onkin johdettu analyyttisen mallin pohjalta.Elementtimenetelmästä tai diskretoinnista aiheutuvasta virheestä se ei kerromitään.

Yllä esitetty johto vastaa kiinnitetyn liitoksen menetelmää. Koska se sisäl-tää myös liitosmuodot, niin virhearviota voidaan soveltaa kappaleessa 5.4kuvattuun menetelmään. Bourquin soveltaa kaavaa (32) myös rakenteisiin,vaikka se onkin johdettu lämmön johtumiselle.

Tällaisen kaavan avulla on hyvin hankala lähteä laskemaan virheen todel-lista suuruutta. Sitä voi kuitenkin käyttää verrattaessa eri tapoja jakaarakenne osiin ja mietittäessä tarvittavien ominaismuotojen määrää. Yleisestilienee laskennan vaatiman työmäärän ja tuloksen tarkkuuden kannalta edul-lista, jos pyritään siihen, että kaikkien osaratkaisujen virheet olisivat kuta-kuinkin saman suuruiset. Tällöin ne voidaan korvata niistä suurimmallailman, että yksittäisen osakappaleen osuus huomattavasti muuttuisi.

( )virhe ≤ +

−

−

∑C

n m

Cn

mi s

di

s

d

c

d d

cdi

n1 12 2

1

1

1

1

. (33)

Kolmiulotteisille malleille d=3, joten

virhe ≤ +∑C

n m

Cn

mi s

i

s cci

n1 12

3

2

3

6

. (34)

Jos vielä parametrille s käytetään yläraja-arvoa 3

2, niin saadaan

virhe ≤ +∑Cn m

Cn

mii

cci

n1 1 6

. (35)

Jos osakappaleiden mukaan otettavien ominaismuotojen lukumäärän keski-arvoa merkitään m :lla, niin ominaistaajuuden virheeksi saadaan

virhe ≤ +Cm

Cn

mi cc

1 6

. (36)

28

Kaavan ensimmäinen termi kuvaa osakappaleiden osuutta. Jos liitoksestatuleva virhe on mitätön, niin silloin ominaistaajuuden

virhe ∼ 1

m. (37)

Jälkimmäinen termi taas kuvaa pelkän liitoksen osuutta. Jos osakappaleistatuleva virhe on mitätön, niin silloin ominaistaajuuden

virhe ∼ 1

mc

. (38)

Kaavoista (37) ja (38) näkee, että tulos on herkempi osakappaleiden mukaanotettavien ominaismuotojen määrälle kuin liitosmuotojen määrälle. Jososakappaleiden muotojen määrä kaksinkertaistetaan, niin osakappaleidenosuus virheestä pienenee 50 %. Jos taas liitosmuotojen määrä kaksin-kertaistetaan, niin liitoksen osuus virheestä pienenee vain 30 %.

Esimerkin 9.1 yhteydessä tutkittiin mukaan otettavien muotojen vaikutustavirheeseen. Liitosmuotojen määrällä oli vain vähäinen vaikutus tarkkuuteen.Toisaalta tulos huononi hyvin jyrkästi sellaisten muotojen osalta, joita eiollut mukana liitosmuodoissa. Osamallien alimpien ominaismuotojen osaltayksittäisten muotojen vaikutus näkyi selvästi. Virhe pieneni ainakin aluksihuomattavasti nopeammin kuin kaava (37) edellyttäisi.

29

7 GLOBAALI-LOKAALI KYTKENTÄ

Globaali-lokaali kytkennässä rakenteen globaali ja lokaali käyttäytyminenpyritään mallittamaan ja laskemaan erikseen. Nämä erityyppiset käyttäyty-mismuodot yhdistetään vasta myöhemmin ominaismuotojen ja -arvojenavulla [7].

Lähtökohtana on se, että rakenteessa ilmenee selkeästi kahden tasoistakäyttäytymistä. Hyviä esimerkkejä lokaalista käyttäytymisestä ovatkansinosturi ja laivan kansi. Kansinosturi on selkeästi rajattu pieniosakappale, joka reagoi laivan liikkeisiin, mutta jonka oma vaikutus kokolaivaan on vähäinen. Laivan kansi ei ole samalla tavalla erillinenosakappale. Sen lokaalia liikettä on paikallisten kansialueiden taipuma.Globaalissa liikkeessä, joka laivalla on koko laivan palkkimaistakäyttäytymistä, kansi venyy tai puristuu. Yhdessä globaali ja lokaali liikemuodostavat kannen koko liikkeen (Kuva 5). Siten laivan liike voidaanjakaa kahteen osaan

u u ul= +J (39)

missä alaindeksi g viittaa globaaliin ja l lokaaliin käyttäytymiseen. Tämäjohtaa energiatarkastelun kautta [7] yhtälöryhmään

. .

. .

0 0

0 0gg gl

ll

g

l

gg gl

ll

g

llg lg

=

φφ

φφ

ω2 (40)

Globaalin ja lokaalin liikkeen erilaisen luonteen vuoksi (Kuva 6) voidaanniiden välinen kytkentä jäykkyyden kautta olettaa pieneksi eli . gl ≈ .

Kun vielä siirrytään yleistettyyn koordinaatistoon käyttäen sekä globaalinettä lokaalin osan ominaismuotoja, saadaan ominaisarvotehtävä (40) muo-toon

ΩΩ

g

l

g

l

gl g

l

2

22

, 0

0 ,

=

~

~

~

~

~

~φφ

φφ

ωlg

, (41)

missä ~0 0gl gT

gl l= Φ Φ .

30

.XYD(VLPHUNNLJOREDDOLVWDMDORNDDOLVWDYlUlKWHO\VWl>@

.XYD6LVlLVHWYRLPDWMDYHQ\PlWNXYDQHVLPHUNLVVl>@

31

Johdettaessa globaali-lokaali kytkentää matriisin osituksella pitää ottaahuomioon, että globaali elementtimalli poikkeaa muista osamalleista. Sekuvaa koko rakenteen käyttäytymistä ja sisältää siten oleelliselta osin kokorakenteen jäykkyyden ja massan.

Jos selkeyden vuoksi ajatellaan ensin, että lokaalit mallit kytkeytyvät vainglobaaliin malliin. Silloin voidaan ajatella, että koko rakenteenominaisarvotehtävä, joka siis sisältää sekä globaalin osan että lokaalit osat,jaetaan osiin niin, että pelkkien liitosvapausasteiden lisäksi myös muutglobaaliin käyttäytymiseen kuuluvat vapausasteet luetaan"liitosvapausasteiksi". Tällöin muunnetusta ominaisarvotehtävästä (31)tulee

ΩΩ

Ω

12

22

2

1

2 2

1

2

1 2

1

2

, 0

, 0

0 0 ,

L

L

M M O M

L

M

L

L

M M O M

L

M

g g gT

gT

=

~

~

~

~

~

~ ~

~

~

~

φφ

φ

φφ

φ

ω

g

g

g

(42)

missä ~0 0 0 . .ig iT

ig g iT

ii ii ig g= − −Φ Φ Φ Φ1 . Φg sisältää globaalit

ominaismuodot, jotka on ratkaistu liitosmuotoja vastaten yhtälöstä

. 0gg g gφ φ= ω2gg , (43)

missä ~. . . . .gg gg igT

iii ig= − ∑ −1 ja

~0 0 0 . . . . 0 . . 0 . .gg gg igT

iii ig ig

T

iii ig ig

Tii

iii ii ig= − − +∑ ∑ ∑− − − −1 1 1 1 . Siten

globaalin osatehtävän ominaismuotojen ja arvojen laskeminen vastaa itseasiassa koko rakenteen ominaisarvotehtävän ratkaisemista staattista elimi-naatiota (superelementtitekniikkaa) (Guyanin reduktiota) käyttäen niin, ettävain globaalit vapausasteet valitaan aktiiveiksi vapausasteiksi (Esim. 9.2.2).

Käytännössä tilanne on kuitenkin usein sellainen, että koko rakenteen yksi-tyiskohtaista mallia ei ole olemassa, vaan rakenne on mallitettu karkeam-malla tasolla. Tässä työssä ideana on, että ominaisarvotehtävässä (42)globaalit ominaismuodot ja -arvot voidaan korvata tarkkuuden kärsimättäriittävän hyvin globaalin jäykkyyden ja koko rakenteen massan huomioonottavasta mallista saaduilla ominaismuodoilla ja -arvoilla (Esim 9.2.3).

Edellä oletettiin lokaalien mallien kytkeytyvän vain globaaliin malliin.Usein lokaalit mallit liittyvät myös toisiinsa. Jos ominaisarvotehtävässä

32

otetaan huomioon sekä globaalin mallin ja lokaalien osamallien sekä myöslokaalien osamallien väliset liitokset, niin alkuperäinen ominaisarvotehtävävoidaan osittaa seuraavasti.

. . .

. . .

. . . .

. . . .

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

11 1 1

22 2 2

1 2

1 2

1

2

11 1 1

22 2 2

1 2

1 2

L

L

M M O M M

L

L

M

L

L

M M O M M

L

L

g c

g c

g g gg gc

c c cg cc

g

c

g c

g c

g g gg gc

c c cg cc

=

φφ

φφ

ω2

φφ

φφ

1

2

M

g

c

(44)

Tällöin muunnosmatriisi on

7

. . . .

. . . .

=

− −− −

− −

− −Φ Φ Φ

Φ Φ Φ

ΦΦ

1 111

1 111

1

2 221

2 221

2

L

L

M M O M M

L

L

g g c c

g g c c

g

c

. (45)

Sen avulla saadaan muunnettu ominaisarvotehtävä

ΩΩ

ΩΩ

12

22

2

2

1

2

1 1

2 2

1 2

1 2

1

2

.

.

, 0 0

, 0 0

0 0 , 0

0 0 0 ,

L

L

M M O M M

L

L

M

L

L

M M O M M

L

L

M

g gc

cg c

g

c

g c

g c

g g gc

c c cg

g

c

~

~

~

~

~

~

~ ~

~ ~

~ ~ ~

~ ~ ~

~

~

~

~

=

φφ

φφ

φφ

φφ

ω2

(46)

missä ~. . . . . gc gT

gc c gT

igT

ii ic ci

= − ≈−∑Φ Φ Φ Φ1 ,

~0 0 0 . .ig iT

ig g iT

ii ii ig g= − −Φ Φ Φ Φ1 , ~0 0 0 . .ic iT

ic c iT

ii ii ic c= − −Φ Φ Φ Φ1 ,~

.

0 0 0 . . . . 0

. . 0 . .

gc gT

gc c gT

igT

ii ic c gT

igT

ii ic cii

gT

igT

ii ii ii ic ci

= − −

+ ≈

− −

− −

∑∑

∑

Φ Φ Φ Φ Φ Φ

Φ Φ

1 1

1 1

Yhtälöä (46) johdettaessa ei tehty mitään yksinkertaistuksia. ~.gc ja ~0gc

ovat kuitenkin merkitykseensä nähden varsin työläitä muodostaa. Nekuvaavat globaalien liitosvapausasteiden sekä osakappaleiden välisten lii-

33

tosvapausasteiden välistä kytkentää. Käytännön malleissa kytkentämatriisit.gc ja 0gc sisältävät vain harvoja nollasta poikkeavia alkiota. Se johtuu

siitä, että vain harvat elementit liittyvät sekä globaaleihin että osakappalei-den välisiin liitosvapausasteisiin (Kuva 7). Koska ~.gc ja ~0gc kuvaavat

tätä samaa kytkentää yleistetyssä koordinaatistossa, täytyy niiden alkioidenolla pieniä verrattuna esim. osamallien välisiin liitoksiin, joihin liittyyenemmän elementtejä (Kuva 7). Siten tässä työssä oletetaan, että ~. gc ≈ ja~0 gc ≈ .

Yhtälöä (46) voidaan vielä yksinkertaistaa lisää, jos voidaan olettaa, ettäglobaali malli ja lokaalit mallit kytkeytyvät vain heikosti jäykkyyden kautta(Kuva 6). Silloin myös . ig ≈ ja termi ~0ig yksinkertaistuu muotoon

~0 0ig iT

ig g= Φ Φ . (47)

Tämän muodon käyttäminen edellyttää, että malli jaetaan osiin niin, ettäoletus toteutuu. Käyttäjän kannalta on kuitenkin helpompaa, jos mallin voijakaa vapaammin osiin. Siksi tätä yksinkertaistusta ei käytetä tässä työssä.

Osakappaleiden välinen liitos Globaali liitos

Sekä globaaliin että lokaaliin liitokseen liittyvä elementti

.XYD*OREDDOLMDORNDDOLOLLWRV

34

8 KÄYTÄNNÖN TOTEUTUKSESTA

8.1 KÄYTTÄJÄN KANNALTA

Tämän työn käytännön tavoitteena oli tehostaa ja yksinkertaistaa VTT:nvärähtelyanalyyseissä käyttämää osarakennetekniikkaa. Siksi toteutus ontehty niin, että käyttäjän antaa vain todella tarpeellisen tiedon. Muut tarvit-semansa tiedot ohjelma hakee tietokannoista sekä yhdistelee ja muokkaaniitä tarpeen mukaan.

Osamallit ovat tavallisia elementtimalleja. Kytkeäkseen elementtimallinmuihin käyttäjän tarvitsee vain muodostaa solmuryhmä nimeltäconnection_nodes, joka sisältää mallin liitossolmut. Solmuryhmiä tarvitaanvain yksi vaikka osamalli liittyisi useampaankin osamalliin ja globaaliinmalliin. Liitosvapausasteet voi määritellä myös vapausasteiden tasolla reu-naehtojen yhteydessä, mikäli liitoksen tarkempaan määrittelyyn on tarvetta.Tietenkin osamalli pitää myös ajaa, jotta tietokantaan saadaan talletettuakytkennässä tarvittavat matriisit sekä ominaismuodot ja -arvot.

Myös globaali malli on aivan tavallinen elementtimalli. Ei edes liitossolmu-jen ryhmää tarvitse lisätä, sillä globaalin mallin kaikkia solmuja pidetäänpotentiaalisina liitossolmuina. Käyttäjän kannalta globaali malli on saman-lainen kuin muutkin osamallit. Sekä globaali malli että lokaalit mallit kytke-tään yhtäaikaa samassa ajossa eikä erikseen kuten aiemmin.

Kytkentäohjelman SFSUBS syötetiedoissa kerrotaan, mihin tietokantoihinkytkettävät elementtimallit on talletettu. Ohjelma ei kirjoita mitään kytket-tävien mallien tietokantoihin vaan ainoastaan ohjelman edetessä lukee tar-vitsemansa tiedot. Vain yksi tietokanta kerrallaan on auki. Siten samaatietokantaa eli osamallia voi käyttää moneen kertaan, mikä toistuvia raken-teita analysoitaessa on merkittävä etu.

Syötetiedoissa voi tällä hetkellä määrätä mallin origon paikan globaalissakoordinaatistossa. Myös peilaukset ja suorakulmaiset koordinaatiston kier-rot olisi helppo toteuttaa. Kokeiluja varten lisättiin myös mahdollisuus mää-rätä, montaako mallille lasketuista ominaismuodoista käytetään. Lisäksi ontietenkin erilaisia ohjauskäskyjä, joilla voi määrätä esimerkiksi siitä tallete-taanko välitulokset tai montako iteraatiokierrosta ominaisarvotehtävän rat-kaisussa sallitaan. Minimissään syötetiedosto sisältää vain uudentietokannan nimen sekä kytkettävien mallien tietokantojen nimet.

35

Kytkennän jälkeen ominaismuodot avataan koko rakenteeseen ja talletetaantietokantaan. Kytkennän tuloksena on siten aivan normaali elementtimallintietokanta, jota voidaan suoraan käyttää jatkoanalyyseissä.

Kytkettyä mallia voidaan sellaisenaan käyttää globaalina mallina. Kytkettyämallia voi käyttää myös osamallina, mutta ei suoraan. Tietokantaan täytyyensin lisätä liitossolmujen ryhmä ja ajaa malli tarkistusajona niin pitkälle,että myös tarvittavat matriisit on talletettu tietokantaan.

Edellä ei ole mainittu lainkaan liitosmuotoja, koska käyttäjän ei periaat-teessa tarvitse edes tietää niistä. Liitosmuotojen laskenta on täysin ohjelmansisäinen välivaihe. Tulosten tarkistusvaiheessa on kuitenkin hyvä katsoa,että liitosmuotoja on laskettu riittävän korkealle taajuudelle. Laskettujenesimerkkien perusteella näyttää siltä, että liitosmuotoja olisi hyvä laskea1.5 - 2 kertaa taajuudelle, jolla kytkentätuloksia tarkastellaan.

8.2 OHJELMOINNISTA

Tässä työssä yhtälöt on johdettu ja esitetty yksinkertaisessa ja selkeässämuodossa käyttäen täysiä matriiseita. Todellisuudessa käsiteltävänä onkuitenkin suuria ja paljon nollia sisältäviä matriiseita. Niiden käsittely täy-sinä matriiseina olisi turhaa ja erittäin tehotonta. Ohjelmointia varten ontarvittavat kaavat johdettu yksityiskohtaisemmin indeksoiduilla alkioillakäyttäen apuna todellista tilantarvetta vastaavia kaavakuvia matriiseista.Näin on vältytty sekä turhan tiedon tallettamiselta että sen käsittelyltä.

Ohjelmassa käytetään elementtimenetelmässä yleisesti käytettyäsymmetristä skyline-muotoa [1] jäykkyys- ja massamatriiseille. Myösliitosvapausasteiden matriisit (15) ovat skyline-muodossa. Osamallienmuunnos- ja kytkentämatriiseista (alaindeksit ic ja ig, i=1,2,...) talletetaan jakäytetään vain ko. osamallin todellisia liitosvapausasteita vastaavatsarakkeet.

36

9 ESIMERKIT

9.1 ULOKEPALKKI

Ensimmäisessä esimerkissä lasketaan ulokepalkin alimmat ominaismuodotja -taajuudet liitosmuotoja käyttäen. Palkki on poikkileikkaukseltaan neliönmuotoinen ja neljä kertaa niin pitkä kuin korkea.

Saman palkin on aiemmin laskenut Bourquin [2]. Hän jakoi palkin neljäänkuution malliseen osakappaleeseen. Tuloksena hän antaa kolmen alimmanominaistaajuuden virheet sekä ominaismuodot. Kuten liitosmuotojenyhteydessä aiemmin mainittiin hän käyttää liitosmuotojen laskemisessamassamatriisina identiteettimatriisia. Se sopii ilmeisen hyvin tähän esi-merkkiin mallin homogeenisuuden vuoksi.

Koko ulokepalkin malli on esitetty kuvassa 8. Se sisältää 500 lineaaristatilaelementtiä ja 756 solmua. Yhden osakappaleen malli on kuvassa 9. Sesisältää 125 elementtiä ja 216 solmua, joista 72 tai 36 on liitossolmuja osa-mallista riippuen. Osamallit ovat muuten samanlaisia, mutta viimeisen osa-mallin reunaehdot ovat erilaiset. Kolmen ensimmäisen osamallin alimmatominaismuodot on esitetty kuvassa 10 ja viimeisen osamallin muodotkuvassa 11. Osamallien ominaismuotoja laskettaessa on muihin osamallei-hin liittyvät vapausasteet kiinnitetty.

Koska osamallien kytkentä on toteutettu matriisin osituksella, olisi myösulokepalkin vapaan pään vapausasteet voitu valita liitosvapausasteiksi.Silloin viimeinenkin osamalli olisi ollut samalainen kuin muut. Tämänesimerkin tuloksia haluttiin kuitenkin verrata Bourquinin tuloksiin [2], jotenosamallit ja liitos vastaavat hänen jakoaan.

Koko mallilla lasketut ominaismuodot on esitetty kuvassa 12. Symmetriasyistä mallilla on aina kaksi muodoltaan samanlaista taipumamuotoasamalla taajuudella. Toisen liike tapahtuu pystysuunnassa ja toisenvaakasuunnassa. Taipumamuodoista on esitetty vain pystysuuntaiset.Vertaamalla ratkaisun yhteydessä laskettuja liitosmuotoja (Kuva 13), niihinvoi todeta, että alimmat liitosmuodot vastaavat varsin hyvin koko mallillalaskettuja. Ominaistaajuuksien virhe kuitenkin kasvaa nopeasti ja samallaylemmissä muodoissa liitoskohdat tulevat selvästi esiin. Hyvä esimerkki onmuoto 7.

37

.XYD8ORNHSDONLQHOHPHQWWLPDOOL

.XYD<KGHQRVDNDSSDOHHQPDOOL

38

1. muoto 1531 Hz

2. muoto 1531 Hz

3. muoto 1572 Hz

4. muoto 2565 Hz

5. muoto 2698 Hz

.XYD8ORNHSDONLQNROPHQHQVLPPlLVHQRVDPDOOLQDOLPPDWRPLQDLVPXRGRW

39

1. muoto 559.5 Hz

2. muoto 559.5 Hz

3. muoto 759.5 Hz

4. muoto 1320 Hz

5. muoto 1498 Hz

.XYD8ORNHSDONLQYLLPHLVHQRVDPDOOLQDOLPPDWRPLQDLVPXRGRW

40

1/2. muoto 50.66 Hz

3. muoto 186.4 Hz

4/5. muoto 257.7 Hz

6. muoto 323.0 Hz

7. muoto 560.8 Hz

8/9. muoto 594.9 Hz

10. muoto 939.4 Hz

.XYD.RNRXORNHSDONLQPDOOLOODODVNHWXWRPLQDLVPXRGRW

41

1/2. muoto 50.78 Hz

3. muoto 189.2 Hz

4/5. muoto 267.1 Hz

6. muoto 327.6 Hz

7. muoto 628.5 Hz

8/9. muoto 675.1 Hz

10. muoto 1071 Hz

.XYD8ORNHSDONLQOLLWRVPXRGRW

42

1/2. muoto 50.66 Hz

3. muoto 186.5 Hz

4/5. muoto 257.8 Hz

6. muoto 323.1 Hz

7. muoto 561.8 Hz

8/9. muoto 596.4 Hz

10. muoto 966.7 Hz

.XYD 8ORNHSDONLQ YlUlKWHO\PXRWRMHQ V\QWHHVLOOl ODVNHWXWRPLQDLVPXRGRW

43

Värähtelymuotojen synteesillä saadut ominaismuodot on esitettykuvassa 14. Niissä ei ole silmin havaittavia eroja koko mallilla laskettuihinmuotoihin verrattuna paitsi muoto 10. Muodoista näkyy selvästi, kuinkaosamallien ominaismuotojen ottaminen mukaan ratkaisuun korjaaliitosmuotojen virheitä. Hyvänä esimerkkinä jälleen muoto 7.

Muoto 10 on muotojen synteesillä laskettuna aivan erilainen kuin kokomallilla laskettuna. Se johtuu siitä, että kolmas vääntömuoto, joka on kokomallin 10 muoto, puuttuu lasketuista liitosmuodoista. Siten osamallienominaismuotojenkaan mukaan ottaminen ei korjaa tilannetta. Kolmasvääntömuoto saataisiin kuitenkin mukaan, jos liitosmuotoja laskettaisiinenemmän.

Liitosmuodot ovat hyvin tärkeitä tuloksen tarkkuuden kannalta. Osamallienominaismuotojen vaikutuksesta niiden ominaistaajuudet saattavat kuitenkinmuuttua varsin paljon. Siksi liitosmuotoja on syytä laskea 1.5 - 2 kertaa silletaajuudelle, jolla tuloksia tarkastellaan. Mukaan otettavien osamallienominaismuotojen määrälle ei samanlaista ohjetta voi antaa, koska niidentaajuudet saattavat olla huomattavan korkeita. Kuitenkin kaikki oleellisetominaismuodot, kuten ulokepalkin osamallien kolme ensimmäistä muotoakuvassa 10 ja kenties vielä neljäs muoto kuvassa 11, on syytä olla mukana.

Luvussa 6 käsiteltiin värähtelymuotojen synteesin tarkkuutta teoreettiseltapohjalta. Tällä mallilla kokeiltiin osamallien mukaan otettavien muotojensekä liitosmuotojen määrän vaikutusta tuloksiin. Taulukoissa 1 ja 2 onesitetty muutamia tuloksia. Johtopäätöksenä voidaan todeta, että liitosmuo-tojen määrällä on varsin vähäinen vaikutus tarkkuuteen, kun verrataanvastaaviin kytkettyihin muotoihin. Toisaalta tulos huononee hyvin jyrkästi,kun tarkastellaan korkeampia muotoja kuin, mitä liitosmuodoissa onmukana. Osamallien alimpien ominaismuotojen osalta yksittäisten muoto-jen vaikutus näkyy selvästi. Yleensä ottaen virhe pienenee ainakin aluksihuomattavasti nopeammin kuin mitä kaava (37) edellyttäisi.

44

7DXOXNNR8ORNHSDONLQRPLQDLVWDDMXXGHW>+]@

Muoto Koko Liitos Osamallit/Liitosmalli 3/10 5/10 10/10 3/5

1, 2 50.66 50.78 50.66 50.66 50.66 50.663 186.44 189.21 186.47 186.47 186.45 186.48

4, 5 257.74 267.12 257.84 257.84 257.77 257.866 323.01 327.59 327.59 323.96 323.14 -7 560.76 628.52 561.91 561.91 561.79 -

8, 9 594.92 675.09 600.49 600.49 596.35 -10 939.42 - - - - -

7DXOXNNR8ORNHSDONLQRPLQDLVWDDMXXNVLHQVXKWHHOOLVHWYLUKHHW>Å@

Muoto Koko Liitos Osamallit/Liitos Bourquin

malli 3/10 5/10 10/10 3/5 3/51, 2 50.66 2.37 0.05 0.05 0.01 0.05 3.62

3 186.44 14.86 0.18 0.18 0.06 0.19 8.024, 5 257.74 36.39 0.38 0.38 0.10 0.47 -

6 323.01 14.18 14.15 2.91 0.39 - -7 560.76 120.84 2.05 2.05 1.83 - -

8, 9 594.92 134.76 9.36 9.36 2.40 - -10 939.42 - - - - - -

45

9.2 OHTAKAN LAIVA

Loput kolme esimerkkiä on toteutettu saman elementtimallin pohjalta.Ensimmäisessä käytetään pelkkiä osamalleja. Kahdessa viimeisessä onmukana toisistaan hieman poikkeavat globaalit mallit. Malli pohjautuuOhtakan mallikokeita varten rakennettuun mallilaivaan (Kuva 15). Se onlaivaksi varsin yksinkertainen, mutta tuo hyvin esiin laivan rungon palkki-maisen käyttäytymiseen sekä laivan pohjan tai kannen paikallisen käyttäy-tymisen sekä näiden välisen kytkennän. Tätä mallilaivaa ovat aiemmintutkineet Ohtaka [17, 18] ja Hakala [7].

Rakenteen symmetrisyyden vuoksi siitä mallitettiin vain symmetrinen puoli-kas (Kuva 16). Pohja mallitettiin 9-solmuisilla paksuilla kuorielementeillä jalaita sekä laipiot vastaavilla levyelementeillä. Jäykisteet mallitettiin3-solmuisilla epäkeskeisillä paksuilla palkkielementeillä. Kuorielementtejäon mallissa 40, levyelementtejä 64, palkkielementtejä 128 ja sauvaelement-tejä 44. Mallissa on solmuja 485 ja vapausasteita n. 1500.

Tällä mallilla laskettuja ominaismuotoja ja -taajuuksia käytetään seuraavissaesimerkeissä vertailutuloksina. Vain symmetriset ominaismuodot laskettiinkuten aiemmissakin tutkimuksissa. Menetelmän kannalta on sama käyte-täänkö kaikkia vai vain symmetrisiä ominaismuotoja. Vertailu tehdään jokatapauksessa muotokohtaisesti. Kolme ensimmäistä muotoa ovat jäykänkappaleen liikkeitä nolla taajuudella. Niitä ei esitetä vaan ainostaankimmoisia muotoja tarkastellaan.

Symmetriset ominaismuodot on esitetty kuvassa 17. Ominaistaajuudet onesitetty taulukossa 3 aiemmin esitettyjen tulosten kanssa. Ohtakan laskematominaistaajuudet eivät perustu elementtimenetelmään vaan hän kuvasirungon paksuna palkkina ja pohjan ortotrooppisena laattana. Tämän työnmalli ja Hakalan [7] malli ovat elementtijaoltaan ja -tyypeiltään samanlaiset.Jäykisteitä kuvaavat epäkeskeiset palkkielementit poikkeavat kuitenkinhieman toteutukseltaan.

46

7DXOXNNR2KWDNDQODLYDQRPLQDLVWDDMXXGHW[+]]

Muoto Ohtaka Hakala KlingeMitattu Laskettu Koko malli Koko malli

1 155 158.5 168.3 168.72 368 388.9 398.9 395.53 507 534.3 499.2 480.64 523 539.9 511.4 494.85 638 705.1 670.6 652.96 - 717.2 701.5 681.37 - 854.3 815.7 808.98 - 963.7 889.6 891.99 - 1032.0 996.5 991.3

10 - - 1049.0 1043.0

.XYD2KWDNDQPDOOLODLYD>@

47

.XYD2KWDNDQPDOOLODLYDQHOHPHQWWLPDOOL

48

1. muoto 168.6 Hz

2. muoto 395.5 Hz

3. muoto 480.6 Hz

4. muoto 494.8 Hz

5. muoto 652.9 Hz

.XYDD.RNRODLYDQPDOOLOODODVNHWXWPDOOLODLYDQRPLQDLVPXRGRW

49

6. muoto 681.3 Hz

7. muoto 808.9 Hz

8. muoto 891.9 Hz

9. muoto 991.3 Hz

10. muoto 1043.0 Hz

.XYDE.RNRODLYDQPDOOLOODODVNHWXWPDOOLODLYDQRPLQDLVPXRGRW

50

9LLVLRVDPDOOLD

Ensimmäinen Ohtakan laivan esimerkeistä sisältää viisi osamallia. Laivanmalli on jaettu keskeltä kahtia ja pohja ja kylki on irrotettu toisistaan(Kuva 18). Keskilaipio muodostaa myös oman osamallinsa. Pienenä mallinase olisi voitu jättää myös osaksi liitosta, mutta kenties oma osamalli onluonnollisempi vaihtoehto. Osamallien tiedot on esitetty taulukossa 4.

7DXOXNNR2VDPDOOLHQWLHGRW

Osamalli Kuoriel. Levyel. Palkkiel. Sauvael. Solmut VAPohja 20 - 64 - 101 387Laita - 34 - 22 155 240Laipio - 4 - - 25 44

.XYD0DOOLODLYDQYLLVLRVDPDOOLD

51

Keulan osamallien ominaismuodot ja -taajuudet on esitetty kuvissa 19 ja 20.Pohjan ominaismuodot ovat järkeviä, mutta ominaistaajuudet ovat korkeita,koska osamallien liitosvapausasteet on kiinnitetty. Laidan kaksiensimmäistä ominaismuotoa ovat selvästi leikkausmuotoja. Kaikki muodotkuitenkin lisäävät kytkennässä laidan muodonmuutoskykyä. Symmetriastajohtuen perän osamallien ominaismuodot ovat keulan muotojen peilikuviaeikä niitä ole esitetty. Keskilaipion ominaismuodot ja -taajuudet on esitettykuvassa 21.

Värähtelymuotojen synteesillä lasketut ominaismuodot on esitettykuvassa 22. Eroa koko mallilla laskettuihin ei ole havaittavissa. Yhdistetytominaistaajuudet on esitetty taulukossa 5. Siinä on vertailun vuoksi esitettymyös koko mallilla lasketut ominaistaajuudet sekä suhteellinen virhe.Yhdistetyt ominaistaajuudet osoittautuvat erittäin tarkoiksi. Suhteellinenvirhe on tosiaan annettu promilleina [‰].

7DXOXNNR9LLWWlRVDPDOOLDNl\WWlHQODVNHWXWPDOOLODLYDQRPLQDLVWDDMXXGHW

Muoto Koko malli[Hz]

Viisi osam.[Hz]

Virhe[‰]

1 168.7 168.7 0.142 395.5 395.6 0.873 480.6 480.6 0.084 494.8 494.9 0.075 652.9 653.1 0.626 681.3 681.5 0.207 808.9 809.3 0.448 891.9 893.2 1.449 991.3 994.8 3.48

10 1043.0 1044.7 1.44

52

1. muoto 569.6 Hz

2. muoto 658.3 Hz

3. muoto 1071 Hz

4. muoto 1357 Hz

5. muoto 1813 Hz

.XYD 0DOOLODLYDQ HWXRVDQSRKMDQRVDPDOOLQRPLQDLVPXRGRW

1. muoto 3611 Hz

2. muoto 4447 Hz

3. muoto 5468 Hz

4. muoto 6435 Hz

5. muoto 7205 Hz

.XYD 0DOOLODLYDQ HWXRVDQODLGDQRVDPDOOLQRPLQDLVPXRGRW

1. muoto 110 kHz 2. muoto 216 kHz 3. muoto 318 kHz

.XYD0DOOLODLYDQNHVNLODLSLRQRVDPDOOLQRPLQDLVPXRGRW

53

1. muoto 168.7 Hz

2. muoto 395.6 Hz

3. muoto 480.6 Hz

4. muoto 494.9 Hz

5. muoto 653.1 Hz

.XYDD9LLWWlRVDPDOOLDNl\WWlHQODVNHWXWPDOOLODLYDQRPLQDLVPXRGRW

54

6. muoto 681.5 Hz

7. muoto 809.3 Hz

8. muoto 893.2 Hz

9. muoto 994.8 Hz

10. muoto 1044.7 Hz

.XYDE9LLWWlRVDPDOOLDNl\WWlHQODVNHWXWPDOOLODLYDQRPLQDLVPXRGRW

55

*OREDDOLNXRULPDOOL

Edellä luvussa 7 todettiin, että globaalin mallin ominaismuotojen laskemi-nen vastaa koko rakenteen mallin ratkaisemista staattista eliminaatiotakäyttäen niin, että vain globaalit vapausasteet valitaan aktiiveiksi vapausas-teiksi. Laivan globaalia käyttäytymistä on sen rungon palkkimainen käyttäy-tyminen. Lokaalia käyttäytymistä taas pohjan tai kansien paikallinentaipuminen.

Koska nyt on käytössä koko laivan malli voidaan globaalit vapausasteetvalita matriisin osituksen mukaisella tavalla. Niitä ovat kaikki ne vapaus-asteet, jotka eivät kuulu muihin osamalleihin. Osamalleina käytetään samojapohjan malleja kuin edellisessä esimerkissä (Kuva 18). Laivan etuosanosamallien ominaismuodot ja -taajuudet on esitetty kuvissa 19 ja 20.

Globaalin mallin muodostaa siten koko laivan malli (Kuva 16). Globaalitominaismuodot on kuitenkin laskettu staattista eliminaatiota käyttäen niin,että kaikki pohjan vapausasteet laidan ja laipioiden kanssa yhteisiä siirtymiälukuun ottamatta on eliminoitu. Globaalit muodot on esitetty kuvassa 23.

Globaali-lokaali kytkennässä yhdistetään siis globaali malli ja kaksi osa-mallia. Osamallit kytkeytyvät myös toisiinsa. Kytkennän tuloksena saadutominaismuodot on esitetty kuvassa 24. Muodot ovat käytännöllisestikatsoen identtiset koko mallilla laskettujen ominaismuotojen kanssa(Kuva 17). Muodossa 2 on kuitenkin havaittavissa keskilaipion lähistölläpientä eroa ja muodoissa 9 ja 10 ovat lokaalit ja globaalit osuudetkytkeytyneet ristiin.

Esimerkin ominaistaajuudet on kerätty taulukkoon 6. Siinä on esitetty myöskoko mallilla laskettujen ja kytkettyjen ominaistaajuuksien ero. Ne ovatvarsin pieniä, joten tulokset ovat käytännön kannalta aivan riittävän tark-koja.

Kuitenkin edellisen esimerkin pelkkien osamallien kytkennän tulos oliselvästi tarkempi. Ilmeisesti on kysymys kaavan (46) yhteydessä tehdystäoletuksesta, että ~. gc ≈ ja ~0 gc ≈ . Epäkeskeiset palkkielementit ovat

siitä poikkeuksellisia elementtejä, että niissä pitkittäisen siirtymän ja kier-tymän välillä on vahva kytkentä juuri epäkeskeisyydestä johtuen. Tässäesimerkissä osakappaleet liittyvät toisiinsa vain kiertymien välityksellä jaglobaaliin malliin taas siirtymien avulla. Siten pohjan jäykisteitä kuvaavienepäkeskeisten palkkielementtien siirtymän ja kiertymän kytkentä jätetään

56

keskilaipion kohdalla huomiotta. Tästä aiheutuvaa virhettä lisää vieläelementtien suhteellisesti suuri koko ja jäykisteiden korostunut merkitysmallilaivassa. Oikealla laivalla tilanne olisi huomattavasti parempi (kts.esimerkki 9.2.3).

7DXOXNNR*OREDDOLQNXRULPDOOLQRPLQDLVWDDMXXGHW

Muoto Kokomalli[Hz]

Lokaalimalli[Hz]

Globaalimalli[Hz]

Kytketytmuodot

[Hz]

Virhe

[%]1 168.7 551.8 169.4 168.7 0.02 395.5 629.7 420.9 401.4 1.53 480.6 1018.4 715.8 493.4 2.74 494.8 1275.2 952.8 495.9 0.25 652.9 1727.3 1050.6 639.7 -2.06 681.3 2192.8 1233.4 682.6 0.27 808.9 2939.1 1352.3 812.1 0.48 891.9 3577.7 1358.3 905.4 1.59 991.3 3656.3 1783.0 1008.3 1.7

10 1043.0 3729.3 2051.4 1016.2 -2.6

57

1. muoto 169.4 Hz

2. muoto 420.9 Hz

3. muoto 715.8 Hz

4. muoto 952.8 Hz

5. muoto 1051.6 Hz

.XYD D 6WDDWWLVWD HOLPLQDDWLRWD Nl\WWlHQ ODVNHWXW PDOOLODLYDQRPLQDLVPXRGRWHOLJOREDDOLQNXRULPDOOLQRPLQDLVPXRGRW

58

6. muoto 1233.4 Hz

7. muoto 1352.3 Hz

8. muoto 1538.3 Hz

9. muoto 1783.0 Hz

10. muoto 2051.4 Hz

.XYD E 6WDDWWLVWD HOLPLQDDWLRWD Nl\WWlHQ ODVNHWXW PDOOLODLYDQRPLQDLVPXRGRWHOLJOREDDOLQNXRULPDOOLQRPLQDLVPXRGRW

59

1. muoto 168.7 Hz

2. muoto 401.4 Hz

3. muoto 493.4 Hz

4. muoto 495.9 Hz

5. muoto 639.8 Hz

.XYD D *OREDDOLD NXRULPDOOLD Nl\WWlHQ ODVNHWXW PDOOLODLYDQRPLQDLVPXRGRW

60

6. muoto 682.6 Hz

7. muoto 812.1 Hz

8. muoto 905.4 Hz

9. muoto 1008.3 Hz

10. muoto 1016.2 Hz

.XYD E *OREDDOLD NXRULPDOOLD Nl\WWlHQ ODVNHWXW PDOOLODLYDQRPLQDLVPXRGRW

61

*OREDDOLOHY\PDOOL

Kuten luvussa 7 todettiin tilanne on usein sellainen, että koko rakenteenyksityiskohtaista elementtimallia ei ole olemassa, mutta silti haluttaisiintutkia jonkin yksityiskohdan toimivuutta. Silloin voidaan koko rakennemallittaa karkeammalla tasolla ja kytkeä yksityiskohdan tarkka elementti-malli siihen. Tällä esimerkillä pyritään jossain määrin kuvaamaan tällaistatilannetta.

Laivan rungon palkkimaisen käyttäytymisen kuvaamiseen riittää rungonkalvotila. Siksi globaalissa mallissa pohjan kuoret muutettiin levyiksi japalkit sauvoiksi. Lisäksi pohjan solmujen pystyliike sidottiin laidan vastaa-vaan solmuun. Tämän globaalin mallin ominaismuodot on esitettykuvassa 25. Lokaaleina malleina ovat samat pohjan osamallit kuinedellisissä esimerkeissä (Kuva 18). Kytkennän tuloksena saadut ominais-muodot on esitetty kuvassa 26. Muodot ovat käytännöllisesti katsoenidenttiset koko mallilla laskettujen ominaismuotojen kanssa (Kuva 17).Muodossa 2 on kuitenkin havaittavissa keskilaipion lähistöllä pientä eroakuten edellisessäkin esimerkissä.

Esimerkin ominaistaajuudet on kerätty taulukkoon 7. Siinä on esitetty myöskoko mallilla laskettujen ja kytkettyjen ominaistaajuuksien ero. Ne ovatselvästi suurempia kuin edellisessä esimerkissä. Kuitenkin tämän esimerkinlähtökohta huomioiden, tulokset lienevät käytännön kannalta riittäväntarkkoja.

Suurin osa virheestä aiheutuu jälleen epäkeskeisistä palkkielementeistä.Niiden kuvaaminen yksinkertaisilla sauvaelementeillä siirtää materiaaliakauemmaksi neutraaliakselilta ja siten jäykistää koko rakennetta. Mallilai-van suhteet lisäksi korostavat ilmiötä. Oikeassa laivassa sekä siirtyvänmateriaali määrä, että siirroksen suuruus ovat suhteellisesti paljonpienempiä.

Asian tarkistamiseksi laskettiin myös koko laivan mallille ominaistaajuudetniin, että palkkien epäkeskeisyys oli poistettu eli rakenne vastasi globaalinlevymallin yksinkertaistusta. Tietenkin myös jo edellisen esimerkin yhtey-dessä käsitelty siirtymien ja kiertymien kytkeytymisestä aiheutunut ongelmapoistui. Muodon 3 virhe, joka on listan suurin, pieneni 7.8 %:sta 0.8 %:iin.

62

7DXOXNNR*OREDDOLQOHY\PDOOLQRPLQDLVWDDMXXGHW

Muoto Kokomalli[Hz]

Lokaalimalli[Hz]

Globaalimalli[Hz]

Kytketytmuodot

[Hz]

Virhe

[%]1 168.7 551.8 171.8 171.0 1.42 395.5 629.7 426.5 407.9 3.13 480.6 1018.4 742.5 518.2 7.84 494.8 1275.2 1049.6 521.8 5.55 652.9 1727.3 1098.3 656.7 0.66 681.3 2192.8 1312.9 715.4 5.07 808.9 2939.1 1784.3 830.3 2.68 891.9 3577.7 2059.1 935.3 4.99 991.3 3656.3 2120.1 1021.3 3.0

10 1043.0 3729.3 2391.2 1050.7 0.7

63

1. muoto 171.8 Hz

2. muoto 426.5 Hz

3. muoto 742.5 Hz

4. muoto 1049.6 Hz

5. muoto 1098.3 Hz

.XYD 0DOOLODLYDQ SRKMDQ HOHPHQWLW OHY\LNVL MD VDXYRLNVL PXXWWDPDOODWHKG\QJOREDDOLQOHY\PDOOLQRPLQDLVPXRGRW

64

1. muoto 171.0 Hz

2. muoto 407.9 Hz

3. muoto 518.2 Hz

4. muoto 521.8 Hz

5. muoto 656.7 Hz

.XYD D *OREDDOLD OHY\PDOOLD Nl\WWlHQ ODVNHWXW PDOOLODLYDQRPLQDLVPXRGRW

65

6. muoto 715.4 Hz

7. muoto 830.3 Hz

8. muoto 935.3 Hz

9. muoto 1021.3 Hz

10. muoto 1050.7 Hz

.XYD E *OREDDOLD OHY\PDOOLD Nl\WWlHQ ODVNHWXW PDOOLODLYDQRPLQDLVPXRGRW

66

10 YHTEENVETO

Tässä työssä on johdettu värähtelymuotojen synteesiä vastaavat kaavatuudella tavalla matriisin ositusta käyttäen. Matriisin ositus voidaan toteuttaailman perinteisten fyysisten osakappaleiden asettamia rajoituksia, jotenvapausasteet voidaan kerätä vapaammin "osakappaleisiin". Kaavoja johdet-taessa ei myöskään tarvinnut sovittaa osakappaleita yhteen siirtymä- javoimaehtojen avulla kuten aiemmin on tehty. Matriisin osituksella netoteutuvat automaattisesti, koska sen lähtökohtana on koko rakenteenjäykkyys- ja massamatriisi. Käytännön toteutuksessa niitä ei kuitenkaanmuodosteta vaan käytetään pelkästään osamallien avulla muodostettujaosamatriiseja.

Perinteistä osarakennekytkentää vastaavan ominaisarvotehtävän ratkaisuosoittautui numeerisesti hankalaksi. Hyvän tuloksen saaminen myösominaismuotojen osalta vaati paljon tavallista suuremman määrän iteraa-tiokierroksia. Ilmiö johtuu ilmeisesti liitosvapausasteiden jamuotokoordinaatistoon muunnettujen vapausasteiden termien epäsuhdasta.Ongelma saatiin poistetuksi uudella muunnoksella. Koska matriisinosituksessa liitosvapausasteet muodostavat samanlaisen osamatriisin kuinmuutkin, on luonnollista laskea myös niille ominaismuodot. Muuntamallanäiden liitosmuotojen avulla myös liitosvapausasteet muotokoordinaatistoonsaatiin kytkentätehtävä huomattavasti pienempään ja yksinkertaisempaanmuotoon. Tässä muodossa kytkentäongelma ratkeaa nopeasti. Menetelmäntoimivuus osoitettiin esimerkkien avulla.

Osakappaleiden ominaismuotojen ja liitosmuotojen määrän vaikutustatutkittiin yhden esimerkin yhteydessä. Virhe pieneni muotojen määrän kas-vaessa huomattavasti nopeammin kuin teoreettisesti johdettu virhearvio.Liitosmuodot osoittautuivat hyvin tärkeiksi tuloksen tarkkuuden kannalta.Osamallien vaikutuksesta liitosmuotojen taajuudet saattavat kuitenkinmuuttua varsin paljon. Siksi liitosmuotoja on syytä laskea 1.5 - 2 kertaa silletaajuudelle, jolla tuloksia tarkastellaan. Osamallien ominaismuotojen mää-rälle ei samanlaista ohjetta voi antaa, koska oleellisten muotojen taajuudetsaattavat olla huomattavan korkeita.

Tässä työssä johdettiin myös uusi menetelmä rakenteen globaalin ja lokaalinkäyttäytymisen kytkemiseen. Johdossa hyödynnettiin matriisin osituksenmahdollistamaa vapaampaa vapausasteiden valintaa yhdistämällä globaalitvapausasteet liitosvapausasteisiin. Tuloksena saaduissa kaavoissa globaalimalli on sellainen koko rakenteen malli, jonka lokaalit vapausasteet on

67

poistettu staattista eliminaatiota (Guyanin reduktiota) käyttäen. Tällainenglobaali malli on tuloksen tarkkuuden kannalta optimaalinen. Se ottaamenetelmän kannalta oikein huomioon koko rakenteen jäykkyyden jamassan.

Useimmiten koko rakenteen tarkkaa elementtimallia ei kuitenkaan olekäytettävissä. Tässä työssä onkin ajatuksena, että globaalina mallinavoidaan käyttää myös koko rakenteen karkeampaa mallia, jossa rakenteenoleellinen jäykkyys ja massa on huomioitu. Koska optimaalisen globaalinmallin muodostamistapa tunnetaan, voidaan tätä tietoa hyödyntääkarkeampaa globaalia mallia suunniteltaessa.

Kaavat on johdettu niin, että sekä lokaalien osamallien kytkeminen keske-nään että niiden ja globaalin mallin kytkeminen voidaan tehdä samallakertaa. Globaalin mallin mukanaolo ei vaikuta mitenkään lokaaleihinosamalleihin vaan ne ovat samanlaisia kaikissa tapauksissa. Myöskäänjäykän kappaleen liikkeitä ei tarvitse poistaa matriiseista (inertia relief) taiottaa muuten huomioon. Niistä selvitään siirtämällä ominaisarvojen nolla-kohtaa (rigid body mode shift) ominaisarvotehtävän ratkaisun yhteydessä.

Globaali-lokaali kytkentää johdettaessa tehtiin vain yksi oletus, että liitos-vapausasteet ja globaalit vapausasteet eivät kytkeydy. Lisäoletuksilla olisikytkentä saatu yksinkertaisemmaksi. Niitä ei kuitenkaan tehty, koska käyttä-jän kannalta on paljon helpompaa, kun jako globaaleihin ja lokaaleihinvapausasteisiin voidaan tehdä mahdollisimman mielivaltaisesti. Myösglobaali-lokaali kytkennän toimivuus osoitettiin esimerkeillä.

Käytännön toteutuksessa on kiinnitetty erityistä huomiota helppokäyttöi-syyteen. Osamallin tasolla käyttäjän tarvitsee ainoastaan muodostaasolmuryhmä, joka sisältää osamallin liitossolmut. Kytkennässä osamallientiedot luetaan tietokannoista ja yhdistetään koko rakenteen malliksi.Kytkennän jälkeen ominaismuodot avataan koko rakenteeseen ja talletetaantietokantaan. Kytkennän tuloksena on siten aivan normaali elementtimallintietokanta, jota voidaan suoraan käyttää jatkoanalyyseissä. Kytkettyä malliavoidaan suoraan käyttää myös globaalina mallina.

Tehdyn ohjelman käyttö on yksinkertaisempaa kuin ennen, koska tavallisetosamallit ja globaali malli kytketään samassa ajossa. Käyttöä helpottaamyös se, että jako osamalleihin ja liitosvapausasteisiin sekä jakoglobaaleihin ja lokaaleihin vapausasteisiin on entistä vapaampi.

68

KIRJALLISUUSLUETTELO

1. Bathe, K.-J. Finite element procedures in engineering analysis.Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1982. 735 s.ISBN 0-13-317305-4

2. Bourquin, F. Synthese modale et analyse numerique desmultistructures elastiques. Paris: l´Universite Paris 6, 1991. 253 s.(Väitöskirja.)

3. Craig, R. R. Sructural dynamics. New York, NY: John Wiley &Sons, 1981. 527 s. ISBN 0-471-04499-7

4. Craig, R. R. & Bampton, M. C. Coupling of substructures fordynamic analyses. AIAA Journal, 1968. Vol. 6, nro 7, s. 1313 - 1319.

5. Goldman, R. L. Vibration analysis by dynamic partitioning. AIAAJournal, 1969. Vol. 7, nro 6, s. 1152 - 1154.

6. Guyan, R. J. Reduction of stiffness and mass matrices. AIAAJournal, 1965. Vol. 3, nro 3, s. 380.

7. Hakala, M. K. Numerical modelling of fluid-structure and structure-structure interaction in ship vibration. Espoo: VTT, 1985. 62 s. (VTTPublications 22.) ISBN 951-38-2305-9

8. Hakala, M. K. Application of the finite element method to fluid-structure interaction in ship vibration. Espoo: VTT, 1986. 114 s.(VTT Research Reports 433.) ISBN 951-38-2705-4

9. Hockney, R. W. & Jesshope, C. R. Parallel computers 2. 2nd ed.Bristol, England: Adam Hilger, 1988. 625 s. ISBN 0-85274-812-4

10. Hurty, W. C. Dynamic analysis of structural systems usingcomponent modes. AIAA Journal, 1965. Vol. 3, nro 4, s. 678 - 685.

69

11. Kivimaa, S. Ominaismuotojen synteesi laivojen värähtelyissä.Espoo: HTKK, 1984. 72 s. (Diplomityö.)

12. Kivimaa, S. Substructure synthesis in the dynamic analysis of shipstructures. The 4th Marine Technology Symposium, VTTSymposium 68. Espoo 1986. s. 35 - 71.

13. Klinge, P. J. Äärettömät elementit. Espoo: HTKK, 1985. 110 s.(Diplomityö.)

14. Klinge, P. J. Modelling of the surrounding water in ship vibrationcalculations. The 4th Marine Technology Symposium, VTTSymposium 68. Espoo 1986. s. 73 - 92.

15. Klinge, P. J. A finite element database system. Structural Analysis1992, VTT Symposium 128. Espoo 17-18 March 1992. Supplements. 7 - 18.

16. MacNeal, R. H. A hybrid method of component mode synhesis.Computers & Structures, 1971. Vol. 1, s. 581 - 601.

17. Ohtaka, K. Vertical vibration of ships coupled with bottomvibration. Journal of the Society of Naval Architects in Japan, 1972.Nro 131, s. 297 - 305.

18. Ohtaka, K. Vertical vibration of ships coupled with bottomvibration. Mitsubishi Technical Bulletin, 1973. Nro 83, 18 s.