Curso de Fsica Bsica - H. Moyss Nussenzveig Resoluo do Volume II Captulo 1 Esttica dos Fluidos

1 No sistema da figura, a poro AC contm mercrio, BC contm leo e o tanque aberto contm gua. As alturas indicadas so: h0 = 10 cm, h1 = 5 cm, h2 = 20 cm e as densidades relativas da gua so: 13,6 (mercrio) e 0,8 (leo). Determine a presso p A no ponto A (em atm).

Resoluo: Use g =10 m/s PB=Patm+d.g.h0 PB=100000+1000.10.0,1 PB=101000Pa PC=PB+d.g.h1 PC=101000+800.10.0,05 PC=101400Pa PC=PA+d.g.h2 101400=PA +13600.10.0,2 PA=74716Pa PA=0,747 atm

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2 - No manmetro de reservatrio (Fig.), calcule a diferena de presso p1 p2 entre os dois ramos em funo da densidade do fluido, dos dimetros d e D, e da altura h de elevao do fluido no tubo, relativamente ao nvel de equilbrio N 0 que o fluido ocupa quando p1 = p2. (Resoluo)

Resoluo: Do equilibrio da figura, sabemos que

P 1 =P 2 g. H (I) . h preciso encontrar o H em funco dos parmetros pedidos. Se P1=P2, o nivel dos liquido deve ser igual nos dois ramos. Entao, o liquido q ocupa a altura h, preencher perfeitamente aquela altura H. Ou seja, os dois volumes sao iguais: Se P1= P2 , o nvel do lquido deve ser igual nos dois ramos. Ento, o lquido que ocupa a altura h, preencher perfeitamente aquele volume de altura H. Ou seja, os dois volumes so iguais:V 1 = .

V 1 =.

D 2 d 22 2

2

. H (II)

.h

(III)

Como V1 = V2 :H.D = h.d2

H =h.

d D

2

(IV)

Substituindo (IV) em (I):P 1=P 2 . g. Hh =P 2 . g. h.

d h D2

P 1= P 2. g.h.

d 1 D2

Assim:P 1 P 2= . g.h.

d 1 D2

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3 O manmetro de tubo inclinado (Fig.), utilizado para medir pequenas diferenas de presso, p 1 p2, difere do descrito no problema 2 pela inclinao do tubo de dimetro d. Se o fluido empregado leo de densidade = 0,8 g/cm, com d = 0,5 cm, D = 2,5 cm, escolha para que o deslocamento l seja de 5 cm quando p1 p2 = 0,001 atm.

Resoluo:

molo=0,8 g/cm = 800 kg/m d=0,5cm = 0,005m D=2,5cm=0,025m P1-p2=0,001atm=101,325Pa V1=p(D/2)H V2= p(d/2)h h=lsinq V1=V2 DH=lsinqd H= lsinqd D

p1=p2+mg(H+h) p1-p2= mg [lsinq (d/D) + lsinq ] p1-p2=mglsinq[(d/D) +1] 101,325=800*9,8*0,05*sin[(0,005/0,025) + 1] sin = 0,25q = 14,4

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4 Calcule a magnitude F da fora exercida por um fluido sobre uma rea A de parede plana (inclinada de um ngulo qualquer em relao vertical), do recipiente que o contm. Para isto, divida a rea A em faixas infinitsimas dA horizontais (uma delas mostrada hachurada na Fig.); seja z a profundidade de dA, e a densidade do fluido. a) Mostre que F = gzA , onde z a profundidade do centride de A, definido como o centro de massa de A, considerada como uma placa plana homognea. b) O torque resultante sobre A, em relao a um eixo horizontal OO, o mesmo que se a fora F estivesse aplicada num ponto C0 da rea A (veja Fig.), que se chama centro das presses. Mostre que a profundidade z0 do centro das presses dada por z 0 = I 0 ( zA) , onde I 0 =

z dA anlogo a um momento de inrcia de A em relao a OO.2

5 Uma comporta vertical de forma retangular tem largura l; a altura da gua represada h. a) Aplicando os resultados do Problema 4, calcule a fora total F exercida pela gua sobre a comporta e localize o centro das presses. b) Se l = 3 m e o torque mximo suportado pela base da comporta de 150 kNm, qual o valor mximo de h admissvel?

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6 Um reservatrio tem a forma de um prisma, cujas faces A B C D e A B C C so trapzios issceles com as dimenses indicadas na Fig.; as demais faces so retangulares. O reservatrio est cheio at o topo de um lquido com densidade . a) Calcule a fora total F exercida pelo lquido sobre a base do reservatrio. b) Calcule a resultante R das foras exercidas pelo lquido sobre todas as paredes do reservatrio e compare-a com o peso total do lquido. Analise o resultado como ilustrao do paradoxo hidrosttico (Se. 1.6).

a) F=P.AF= r.g.h.a.b

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7 Um pisto constitudo por um disco ao qual se ajusta um tubo oco cilndrico de dimetro d, e est adaptado a um recipiente cilndrico de dimetro D. A massa do pisto com o tubo M e ele est inicialmente no fundo do recipiente. Despeja-se ento pelo tubo uma massa m de lquido de densidade ; em conseqncia, o pisto se eleva de uma altura H. Calcule H.

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8 Na experincia dos hemisfrios de Magdeburgo (Se. 1.5) seja p a diferena entre a presso atmosfrica externa e a presso interna, e seja d o dimetro dos hemisfrios. a) Calcule a fora que teria de ser exercida por cada parelha de cavalos para separar os hemisfrios. b) Na experincia realizada em 1654, tinha-se d = 37 cm e pode-se estimar a presso interna residual em 0,1 atm. Qual era a fora necessria neste caso? Se um cavalo forte consegue exercer uma trao de 80 kgf, qual teria sido o nmero mnimo de cavalos em cada parelha necessrio para a separao?

a) A presso atua na rea circular dos hemisfrios. F1=P1.A F2=P2.A Fres=p.(d/2).P Fres=F2-F1 Fres= P2.A - P1.A Fres= A(P2-P1) Fres= A. P b) 1kgf = 9,8N 1 cavalo = 80kgf Fres= p.d.P 4 Fres= p.(0,37).(101325-10132,5) 4 Fres= 9805N . 1kgf =1000kgf . 1 cavalo ~ 12 cavalos 9,8N 80kgf6 cavalos por parelha.

Fres= p.d.P 4

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9 comum dizer que alguma coisa representa apenas a poro visvel de um iceberg. Sabendo-se que a densidade do gelo 0,92 g/cm e a da gua do mar a 1 atm e 0C 1,025 g/cm, que frao de um iceberg fica submersa?

rgua = 1,025g/cm = 1025 kg/m rgelo = 0,92g/cm = 920 kg/m E=P rgua.g.Vsub=rgelo.g.V Vsub = rgelo V rgua

Vsub = 920 = 0,89 ~~ 90% V 1025

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10 a) Um cubo de gelo flutua sobre gua gelada num copo, com a temperatura da gua prxima de 0C. Quando o gelo derrete, sem que haja mudana aprecivel da temperatura, o nvel da gua no copo sobe, desce ou no se altera? b) Um barquinho flutua numa piscina; dentro dele esto uma pessoa e uma pedra. A pessoa joga a pedra dentro da piscina. O nvel da gua na piscina sobe, desce ou no se altera? (Trs fsicos famosos a quem este problema foi proposto erraram a resposta. Veja se voc acerta!).

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11 Um densmetro tem a forma indicada na Fig., com uma haste cilndrica graduada, cuja seco transversal tem rea A, ligada a um corpo que geralmente contm algum lastro. O densmetro calibrado mergulhando-o na gua, marcando com a graduao 1 a altura na haste at a qual a gua sobe e determinando o volume V0 do densmetro situado abaixo da marca 1 (ou seja, o volume total que fica mergulhado na gua). Seja h a altura da haste entre a graduao 1 e o nvel at onde o densmetro mergulha quando colocado num lquido de densidade desconhecida (Fig.). Calcule a densidade relativa desse liquido em relao gua, em funo de V0.

Resoluo: Na ocasio da calibrao, o empuxo equilibra-se com o peso do densmetro:E= P rho. g.V 0 = P agua deslocada =m agua . g

O mesmo ocorre na situao mostrada na figura, mas como o empuxo igual ao peso do fluido deslocado, tem-se:E= P liq . g. V 0 A. h =m agua . g

Onde V0 A.h o volume submerso. Resolvendo a equao acima:liq . g. V 0 A. h =agua . g. V 0

liq agua

=

V0 V 0 A.h

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12 Suponha que Arquimedes tivesse verificado que : (i) Colocando a coroa do rei Hero dentro de uma banheira cheia de gua at a borda, 0,31 l de gua transbordavam; (ii) Era preciso aplicar uma fora de 2,85 kgf para suspender a coroa mergulhada, retirando-a da gua. Sabendo que a densidade do ouro 18,9 g/cm e a da prata 10,5 g/cm, que concluso Arquimedes poderia ter tirado?Resoluo: Segundo consta com relao ao fato histrico acerca de Arquimedes, medindo os volumes de gua deslocados por ouro e prata e pela coroa, ele teria comprovado a falsificao pela venda da coroa. Basta realizarmos os clculos dos volumes de lquido deslocado supondo-se a coroa feita de ouro e feita de prata. Dos dados do problema, temos: F = 2,85 kgf = 2,85 x 9,8 N = 28 N Au=18,9 g/ cm =18900k g /m Ag =10,5 g / cm =10500k g / m3

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3

3

(volume da coroa = volume do lquido deslocado) Vamos tambm considerar a densidade da gua como:agua =1000 k g / m3

V c=0,3 l =3.10

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m

3

Supondo que a coroa seja de ouro:F E= P 28agua . g.V liq =m c . g= A u . V c . g

onde

V liq =V c=V

(volume do lquido deslocado = volume da coroa)

281000.10.V=18900.V.10

V = 56,7 m = 0,567 l Esse valor diferente de 0,3 l. A coroa no pode ser de ouro. Supondo que acoroa seja de prata:F E= P 28 agua . g. V liq =m c . g= Ag . V c . g

281000.10.V=10500.V.10

V = 0,295 l 0,3 l

Logo, a coroa de prata.

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13 Um bloco cbico de ao, de 5 cm de aresta e densidade 7,8 g/cm, est mergulhando num recipiente com gua, suspenso de uma balana de molas graduada em kgf. A massa total do recipiente e da gua de 1 kg, e ele est sobre um prato de uma balana, equilibrado por um peso de massa m no outro prato (Fig.). a) Qual a leitura da balana de molas? b) Qual o valor de m?

Resoluo: l = 5 cm = 5.10-2 m b= 7,8 g / cm 3=7800 kg / m 3 liq=1000 k g / m 3 (densidade da gua/lquido) M = 1 kg

a)

F E =P F =PE F =m b .g liq . g.V = b . g.V liq . g.V =g.V.b liq =g.l 3 .b liq F =10.5.102 3 .78001000 =12510 5 .6800 8,5 F =8,5 N = k gf =0,87 k gf 9,8

b) m . g= M.g P bloco F 2 3 m.10=1.107800.5.10 .108,5 m =1,125 k g

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14 Um tubo em U contendo um lquido gira em torno do eixo Oz (Fig.), com velocidade angular de 10 rad/s. A distncia d entre os dois ramos do tubo de 30 cm, e ambos so abertos na parte superior. Calcule a diferena de altura h entre os nveis atingidos pelo lquido nos dois ramos do tubo.

Resoluo:

v=w.r h = v = w.r 2g 2g h = 10. (0,3) 2 . 9,8h = 0,46m

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15 - Numa corrida de garons, cada um deles tem de levar uma bandeja com um copo de chope de 10 cm de dimetro, cheio at uma distncia de 1 cm do topo, sem permitir que ele se derrame. Supondo que, ao dar a partida, um garom acelere o passo uniformemente com acelerao a at atingir a velocidade final, mantendo a bandeja sempre horizontal, qual o valor mximo de a admissvel? Resoluo:

Z = w. r 2g 0,01= w.(0,05) 2 . 9,8 W = 78,4rad aC = w.r = 78,4 . 0,05 2 2 aC = 1,96 m/s

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16 Duas bolas de mesmo raio, igual a 10 cm, esto presas uma outra por um fio curto de massa desprezvel. A de cima, de cortia, flutua sobre uma camada de leo, de densidade 0,92 g/cm, com a metade do volume submersa. A de baixo, 6 vezes mais densa que a cortia, est imersa metade no leo e metade na gua. a) Ache a densidade da cortia. b) Ache a tenso T no fio.

Resoluo: r = 10 cm = 1.10-2 m 3 3 ol =0,92 g / c m =920k g /c m (densidade do leo) 3 a g=1000 k g/m (densidade da gua) B =6. A (onde o ndice A refere-se bola de cima (cortia) e o ndice B bola de baixo) a) Foras atuando sobre a bola A: 4 1 4 3 3 E =P T ol . g. . .r . = A . .. r . g T (I) 3 2 3

Foras atuando sobre a bola B: 1 4 1 4 4 3 3 3 E a g E ol T = P B a g . g. . . .r ol . g. . . . r T = B . g. .. r (II) 2 3 2 3 3

Somando (I) mais (II): 4 1 1 4 1 4 4 4 3 3 3 3 3 ol . g. .. r . a g . g. . . . r ol . g. . . .r = A . . .r . g 6. A . g. . .r 3 2 2 3 2 3 3 3

1 1 1 ol . a g . ol . = A 6. A 2 2 2 3 A=0,203 g /c m b)

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17 Uma campnula cilndrica de ao, se fundo, de 3 m de altura, baixada na gua, a partir da superfcie, at que seu teto fique a 5 m de profundidade. Que frao do volume da campnula ser invadida pela gua?

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18- Um balo esfrico de 5 m de raio est cheio de hidrognio. Nas condies normais, a densidade do hidrognio 0,0899 kg/m e a do ar 1,29 kg/m. Desprezando o peso das paredes, qual a fora ascencional do balo, em kgf?Resoluo: F = E P F = a r . g.V H . g.V 4 3 F = a r H . g. . . r 3 Substituindo com os dados do problema: 4 3 F =1,290,0899 .10. . . 5 =6283,72 N 3 Considerando que 1 kgf = 10N: F = 628 kgf

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19 Devido variao de temperatura, presso e salinidade, a densidade da gua do mar aumenta com a profundidade h segundo a lei = 0 + c h, onde 0 a densidade na superfcie e c uma constante positiva. Calcule a presso a uma profundidade h.

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20 Quando pesados no vcuo, um bloco cbico de alumnio (densidade 2,7 g/cm) e um de chumbo (densidade 11,4 g/cm), tm peso equivalente a 10 kg cada um. No ar (densidade 1,29 kg/m), qual pesa menos, e qual a diferena de massa correspondente? Resoluo:

No vcuo E=0 m=10kg Aluminio 0,0037037 2700 E - P=Pap -P=Pap - rgVal=10.g Val = - 10 = - 0,0037037m

No ar Pap = E - P malg = rar.g.Val - ral.g.Val mal= (rar- ral).Val mal = (1,29 2700) . mal = 9,995222kg

Chumbo

E P = Pap - rgVPb = mg VPb = - 10 = - 0,00087719m 11400

Pap = E - P mPb.g = rar.g.VPb rpb.g.VPb mPb = (rar rPb) . VPb mPb = (1,29 11400) . 0,00087719 mPb = 9,998868kg

m = mPb mal m = 9,998868 9,995222m = 3,65g

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21 Verifique o resultado da experincia do Puy de Dome, realizada por Prier em 1648 (Seo 1.5(c)].

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