v ® x · · H é ± Ó Ë à ï ± 9 ô · Ùmotizuki/Takoushiki no kai no...m n j m n Z n o ¢ u...
Transcript of v ® x · · H é ± Ó Ë à ï ± 9 ô · Ùmotizuki/Takoushiki no kai no...m n j m n Z n o ¢ u...
I�
A�
B�
II�
A�
B�
III�
A�
B�
IV�
A�
B� Hodge
V�
A�
B� Tate
�
I�
�A��
�� �� �� �� �� � � �
� � �
� ��������� � � �
Z � f� � � ������� �� �� �� �� �� � � � g
Q �
nmn
j m�n � Z� n �� �
o
X��� � �
Q � fx j xn � c� � xn��
� � � �� cn � �� c�� � � � � cn � Qg
�
n
n
xn � y
n � � �n � � �
�B��
�
� �
� �
2 3
57 ...
p ...
Spec�Z�
�
Z
Spec�Z�
Q Q Spec�Q�Spec�Q�
Spec�Z�Spec�Z� xn�yn �
�
V �xn � yn � ��
V �x� � y� � ��
V �xn � yn � ��
� ��� �� � � � �Spec�Z�
Spec�Z�Spec�Z�
V �x� � y� � ��
Spec�Z��
Spec�Z�
� � �� �� ��� �� � � � � p� � � � ��
�
II�
�A��
x� y
x y
x�y
�
Spec�Z�
�� ��
X
f(X)
Spec�Z�Z
� �Spec�Z�
�
x
�
jxj�def� x
x j��j� �j�j� � �
p p
p x � pe � y e� y
y p
jxjpdef� p
�e
p����
p
jx � y��jv � jxjv � jyj��v
v p �x y �� �
x
Spec�Z� p j � jp
x y
p jx � yjp � �j � jpx�y p x y p
x � y mod p
mod modulox Spec�Z� p p
p �� �� �� � � � � p � � p
p
p
f� mod p� � mod p� � mod p� � � � � p� � mod pg
�
�B��
Spec�Z�
x
Y
v�p��
jxjv � �
v Spec�Z�
x
x � �pe��� pe�
�� � � � � perr
r p�� p�� � � � � pr e�� e�� � � � � erv p�� p�� � � � � pr pi
jxjv � p�eii
v p�� p�� � � � � pr
jxjv � �
v ��
jxj� � pe��� pe�
�� � � � � perr
�
jaj� � � a
X� � a � �
�
n
���� jnj� � ����� jn� � aj� � ����� jn� � aj� � �
n � �
X� � a Ndef n� � a
N jN j� � �� jN j� � � p
jN j� � ���� jN j� � ��� v
jN jv � � jN j � �� � jaj � �� � ��N �
� � ��� � ��� � ��
X��a n
� n�� a � �
j � jvj � jv
j � jvj � jv
III�
�A��
��
I�� �A���Q R C � fa �bp�� j a� b � Rg
K
j � jK K � R��
def� fx � R j x � g
K K
k � K jkjK
Cauchy
Cauchy K fkngn���������� � � N
� n�m � N� jkn � kmjK � �
K � R�C
R C
N N
kn N
K
K
K j � jK bK
K CauchyCauchy fkngn��������� fk�ngn��������
��
limn��
�kn � k�n� � �
� � � �n � N � jkn�k�njK � �
N Cauchy
bK kn
Q Q
Q
�j � j� �j � j�j � j�
R
� �� �� �� ��� � � �p�
p� � �� � � �
Cauchyp� Q j � j�
�j � j�p j � jp p
Qp
p � �
p� � � � � � � � �� � ��� � Q�
�� � X��
� �� � X��
� ��� �
�X� �
��X��� � � X � �� �Q� p Qp
p Qp p
p
�
R R
i �p�� R
C
Xn � cn�� �Xn�� � � � �� c� �X � c� � �
c�� � � � � cn�� � CQ
Rp Qp
Qp Xn�cn�� �Xn���� � ��c� �X�c� � �
c�� � � � � cn�� � Qp Qp
c�� � � � � cn�� j � jp Qp
n Qp
Newton
Hensel p
Qp
�B��
Q
Q
��
Q
xn�yn � � �n �
��
R* * * * * * * * * * ** * * * *-7 -3.2 -1 0 1 5.4 31/3
* *
*
*
x + y = 14 4
C d
X
i�j�d
ci�j � Xi� Y j � �
ci�j�X�Y �
��
genusci�j
d
��
��d� ���d� ��
d � � �
��
Ga
def� V �Y � ��
Gm
def� V �XY � � � ��
Ga K K
Gm K
K�
K
�
*
Ga Gm
A�B�C
A�B � C
�
IV�
�A��
��
AB
C
Gm
def� V �XY � � � ��
exp Gm C
exp � C� Gm
z �� �X�Y � � �exp�z�� exp��z��
Gm
C C
z X � exp�z�� Y � exp��z� Gm
��
Weierstrass ��
� � � � a � iba� b � R� b
z ��
��z�def�
�
z��
X
n�m�Z� �n�m� ���
� �
�z � n�m����
�
�n�m� ��
�
g�� g� � C
g�def� �
X�n�m� ���
�
�n�m� �� g�
def� ��
X�n�m����
�
�n�m� �
Pn�m �� �
��z� ���z�def� d��z��dz
���z�� � ���z�� � g���z�� g�
�X�Y � � ���z�� ���z��
Y � � �X�� g�X � g�
z ���z�� ���z��� V �Y � � �X�
� g�X � g��Weierstrass ��
���z�� ���z��
������ ������ � C� Edef� V �Y � � �X�
� g�X � g��
z �� ���z�� ���z��
�
III�� �B��C
Hdef� fz � C j �z� � �g
K�obe
p Gm
p
Gm
exp�z� � � z z�
�
z�
�� � � �
zn
n� � � �
�
p jzjp � � p z � Qp
j � jp
�B�� Hodge
�A��
��
Hodge
�Hodge
p HodgeQ
HodgeHodge
Q
I���A���
V�
�A��
Q� QIII�� �B���
�
MordellFaltings
Faltings Q
Hodge
TateTate
Parshin
TateTate
N �� � �� N �
N �� � � N � � � � �
N
Mordell�Weil Q
Faltings
�B�� Tate
Q E
IV�� �A��� ��
�� �� �� �� �
C ������ ������
a� b� � C
a� b � Q� � � a� b � �
* * *
* * *
* * *
0 1
τ 1 + τ
a� b� � C a� b � Q
X
i�j��
ci�j � Xi
� Yj� �
��
X Y
X Y
C
Q�E����
N
N C
Q�E�N ��
Tate
Faltings Q E�E� E E�
N Q�E�N �� Q�E ��N �� C
E E�
E E� Q�E�N �� Q�E ��N ��Faltings
N
E E�
X� Y
II�� �B���j � jp j � j�
N Q�E�N ��Q�E��N �� p Hodge
p E E�
��
****** *
* ****
******
****
* **
*
* ***
**
** ***
*
*** *
****
*
**
****** * *
*****
*******
** *
**
* ***
**
** ***
*
*** *
****
*
***
5
3−ζ
i1+ω
� � �
��� �
p���� � � �p
��� �
p���
�� ��
� � ���
�� ��
�