地球惑星科学基礎V演習

第8回瀬⼾雄介

http://pmsl.planet.sci.kobe-u.ac.jp/~seto

結晶⾯、晶帯軸、ステレオ投影、ブラッグ条件

さまざまな結晶の形状

このような形態は、結晶の単位格⼦形状を反映したものである

Pyrite Corundum Quartz

Calcite Tourmaline Beryl

単位格⼦と結晶外形単位格⼦

結晶の「形状」を表現するためには単位格⼦を基準とした表現が必要

結晶の表⾯は単位格⼦が階段状に並んで、平滑な⾯を形作っている

結晶における⽅向の表し⽅• 結晶軸

• 結晶⾯

[u v w] : 単位格⼦ベクトル a, b, c をそれぞれu, v, w 倍したベクトルの⽅向と⻑さで定義される周期性

a

b

a/h

c/l

b/k

c

a

b c

(h k l) : 単位格⼦ベクトル a, b, c をそれぞれh, k, l 等分している⾯集合の⾯間隔と⾯の法線⽅向で定義される周期性

結晶⾯とは• 結晶は、格⼦点を通る平⾏な⾯の集合と考えることができる

• この集合を 結晶網⾯ (crystal net plane) という

• 結晶の外形に現れる平滑な結晶⾯(crystal face)は、この網⾯の終端が露出したものだと考えることができる

結晶⾯ (Miller指数 h k l )単位格⼦軸a, b, c に対してそれぞれa/h, b/k, c/lの点で交わる平⾯(P)と、原点との距離をdとしたとき、周期dで無限に並んでいてP⾯と平⾏な⾯の集合

P a

b, c

d

回折における⾯とは結晶に内在する周期性 (⽅向と間隔)を意味していて、ある⼀枚の⾯を指すものではない

a

b

a/h

c/l

b/k

c

⾯の集合 = 結晶⾯

結晶⾯の⾯指数の表わし⽅ その1

( h k l )単位格⼦軸a, b, c を、それぞれh, k, l 等分している⾯の集合

b

a

c軸は紙⾯垂直⽅向

この⾯はa を 2等分b を 1等分c を 0等分(c軸と交わらない)

している

この⾯の指数は (2 1 0)この⾯の⾯間隔は d

d

結晶⾯の⾯指数の表わし⽅ その2h, k , l などの表記は、それぞれ-h, -k, -l をあらわす

b

a

(2 1 0) ba

(2 1 0)

c

a

a/2

b

c

a

-a/2

b

• 原点に最も近い⾯はa, b, c 軸とそれぞれa/h, b/k, c/lで交わる• ⾯の(法線)⽅向: 原点から、⾯へ垂直におろしたベクトルの⽅向• ⾯の間隔: 原点と、原点に最も近い⾯との間隔

a

b c

(001) (100)

(010) (011) (111)

さまざまな結晶⾯

Corundum(Al2O3) : 六⽅晶系

c

ab120°

( 0 0 1)

( 1 1 0)

( 0 1 1)

( 2 -1 0)(-1 2 0)

( 1 0 1)

Pyrite (FeS2) : ⽴⽅晶系

a

cb

( 2 1 0)

( 2 -1 0)

( 1 0 -2)

( 0 2 1)

( 1 0 2)

( 2 1 0)

⾯と軸の関係

• 結晶軸 [u v w]と結晶⾯ (h k l)が u∙h + v∙k + w∙l = 0 の関係にあるとき、この軸と⾯の法線は直交する

c = [001]

a b(001)

c

a b(001)

[110]

c = [001]

a b

(010)

• 結晶軸[p q r]の⽅向と結晶⾯(p q r)の法線⽅向は⼀般に⼀致しない

晶帯、晶帯軸とは• 指数の異なる2つの結晶(網)⾯の交線の⽅向を、それら

の結晶⾯が属する晶帯軸という

(001) (100)

• 共通の晶帯軸に属する結晶⾯の集合を晶帯という

<010>

• ある晶帯軸[u v w]と、それに属する結晶⾯(h k l)は必ずu∙h + v∙k + w∙l = 0 という関係を持つ (ワイスの晶帯則)

球⾯上の真円は、ステレオネット上でも真円になる (⾯積は保存されない)

ステレオ 投影(等⾓投影)

⼤円/⼩円と極⼤円 (晶帯): 円の半径が球の半径と⼀致する円

極 (晶帯軸): ⼤円あるいは⼩円に垂直な⽅向

⼩円: 円の半径が球の半径より⼩さい円

ステレオネットによる⽴⽅晶系の投影

○

○○

○

○○

●

●●

●

●●

⽴⽅体体対⾓線の⽅向(3回軸)

辺の⽅向(2回軸)

点群 2 3

ステレオネットの性質–⾓度が保存される (⾯積は保存されない)

– 球⾯上の円はステレオネット上でも円である• ⼤円: 球の原点を通る平⾯と球⾯との交線

(経線に相当)• ⼩円:球の原点を通らない平⾯と球⾯との交線

(緯線に相当)

– ⼤円や⼩円を作る平⾯は、原点を通りその平⾯に垂直な唯⼀の直線をもつ。これをその⼤円の「極」という。

結晶形状 (晶相)のステレオネット投影例

( 0 0 1)

(110)

( 101)

( 2 -1 0)(-1 2 0)

( 01 1)

( 2 -1 0)

(-1 2 0)

( 0 0 1)

( 0 1 1) ( 1 0 1)

( 1 -1 1)

( 0 -1 1)

( -1 0 1)( 1 -2 0)

(-2 1 0)

(-1 1 1)

(110)

( -1 -1 0)

[-1 -1 0]

Corundum(Al2O3) : 六⽅晶系

c

ab120°

解析例

晶帯[u2 v2 w2]

晶帯[u1 v1 w1]

u1∙h + v1∙k + w1∙l = 0 を満たす⾯の集合

u2∙h + v2∙k + w2∙l = 0 を満たす⾯の集合

u1∙h + v1∙k + w1∙l = 0 u2∙h + v2∙k + w2∙l = 0を同時に満たす⾯

(v1 w2 – v2 w1 , w1 u2 – w2 u1 , u1 v2 – u2 v1 )

u∙h1 + v∙k1 + w∙l1 = 0 u∙h2 + v∙k2 + w∙l2 = 0を同時に満たす晶帯

<k1 l2 – k2 l1 , l1 h2 – l2 h1 , h1 k2 – h2 k1 >

結晶⾯(h1 k1 l1)

結晶⾯(h2 k2 l2)

⼆つの晶帯に属する結晶⾯を決めたい場合 ⼆つの結晶⾯が属する晶帯を決めたい場合

等価な⾯・軸 その1

• 結晶の対称性によって結びつけられる・等価な結晶軸の集合を<u v w>・等価な結晶⾯の集合を{h k l}と表す

例: ⽴⽅晶系ではa, b, c軸が等価なので<100> は [100] と[010]と[001]の集まり

例: 正⽅晶系ではc軸⽅向に4回回転軸があるので{120} は (120) と(210)と(120)と(210)の集まり

a =[100]

b =[010]c=[001]

ab

c

等価な⾯・軸 その2

• 結晶における結晶軸や結晶⾯は「周期性」である⇒ 原点の位置に左右されない (平⾏移動しても性質が変

わらない)⇒⾯や軸の等価性は、(空間群そのものではなく、そこから並進要

素を取り除いた)点群によって決まる

(001)

(100)

(010)

(110)

(110)

点群 4/m, {100}, {110}, {001}に囲まれた結晶

点群 m3m, {123}に囲まれた結晶

(321)

(312)(3-12)

(32-1)(31-2)(3-1-2)

(3-2-1)

(3-21)

(213)(2-13) (123)

(231)

(23-1)

(132)

(21-3) (12-3)

(13-2)

(-132)

(-123)

⽴⽅晶系 m3m の晶癖変化 ①

{100} {111} {110}

{012} {112} {122} {123}

⽴⽅晶系 m3m の晶癖変化 ②{100}

{111}{110}

結晶における回折現象

結晶は規則正しく並んだ原⼦でできている– 原⼦の⼤きさは~0.1nm

「回折」という現象を利⽤する

結晶中の原⼦ひとつを直接⾒ることのできる実験装置は存在しない

⼲渉縞

光源からの光路差によって⼲渉縞があらわれる

光源

スリット スリット

•広義の回折光や⾳が障害物などをかすめたとき幾何学的に直進しないで，影の部分にまわりこむ現象

•結晶における回折原⼦によって散乱された波(X線，電⼦線，中性⼦線)が、ある特定の条件(ブラッグ条件)を満たす⽅向に強めあう現象

原⼦核

軌道電⼦

X線

X線は軌道電⼦によって散乱される

直進⽅向に強く散乱する

X線

特定の⽅向に強く散乱する

2d sin(θ) = λ

λ

d

θ

θ

d sin(θ)

単位格⼦

光路差 波⻑⼊射波 反射波

2d sin(θ) = λ

単位格⼦

λ

d2

θ2

結晶⾯

結晶はさまざまな”結晶⾯”によって回折する

λ

d1

θ1

結晶⾯

2d sin(θ) = λ

θ

θ

dhkl sin(θ)

2d sin(θ) = n λ光路差

波⻑ 次数(任意の整数)光路差

もし、2 dh k l sin(θ) = 2 λ だったら…

d2h 2k 2ldh k l

2 d2h 2k 2l sin(θ) = λ と考えても同じこと

(h k l) ⾯によって2次の回折 ＝ (2h 2k 2l)⾯によって1次の回折