Uvod u racunarstvo

Uvod u racunarstvo*
*
Martin Jovanovi
U v o d u r a u n a r s t v o
*
Elektronski fakultet u Nišu - Katedra za raunarsku tehniku i informatiku
Martin Jovanovi
*
O tome kako radi raunar i zašto uiti brojne sisteme
Brojni sistemi generalno sa akcentom na binarni BS
Osnovne operacije nad (neoznaenim) binarnim brojevima
Konverzija u binarni ↔ dekadni BS
Heksadekadni BS
Raunarska aritmetika
*
Razlog za ovakav redosled iznošenja gradiva (prvo primer iz zivota, ili uopste konkretan, pa onda izvodnjenje pravilnosti, odnosno ne sasvim linearno iznosenje cinjenica):
Ljudski mozak nije mašina, pa da prima podatke sekvencijalno ili u proizvoljnom redosledu sa podjednakom sposobnošu akvizicije tih podataka. Naprotiv, intenzitet akvizicije podataka od strane ljudskog uma je u direktnoj proporciji za subjektivnim oseanjem da su podaci koji trenutno ulaze zanimljivi. S druge strane osnovni nain za pobuivanje neurona je promena nadraaja (što se moe objasniti teorijom o pragu relativne drai), te se iz toga moe zakljuiti da subjektivni oseaj zanimljivosti stoji u direktnoj proporciji sa promenljivošu nadraaja. Samim tim monotono, sekvencijalno izlaganje gradiva proizvodi sasvim suprotan efekat (subjektivno oseanje dosade), što umanjuje kognitivne sposobnosti.
Iz tog razloga smatram efikasnijim nelinearno izlaganje gradiva. Umesto linearnosti predlaem lateralnost, odnosno bonu asocijativnost, kao metod povezivanja iznesenog gradiva sa realnim ivotom.
U tom smislu smatram da je priu najefikasnije zapoeti injenicama o tome kako raunar radi, što u startu donosi opravdanje (a opravdanje je itekako potrebno, pogotovu ovom fakultetu) zašto student uopšte sluša ovo gradivo. Opravdanje treba shvatiti u smislu: povezivanje iznesenog gradiva sa realnošu i ukazivanje na njegovu upotrebnu vrednost.
Martin Jovanovi, dipl. ing. as. prip.
28.09.2004. Niš
Martin Jovanovi
*
Naini zadavanja prekidakih funkcija
Specijalna logika kola
Zadavanje automata
Realizacija automata
*
Mislim da na vebama nije potrebno priati o tome kako radi kompjuter (kako pušta adresu podatka na adresnu magistralu, kako se RAM kola odazivaju i na magistralu podataka spuštaju svoju vrednost, kako tu vrednost apsorbuje registar procesora, kako ALU uzima iz registra... pa prie o cashe-u, pa politike osveavanja cashe-a...
Ako se to radi ve na predavanjima, onda bi na vebama trebalo raditi neki praktian primer iz funkcionisanja raunara, a to je preambiciozno za ovaj predmet. Neka dobiju ilustraciju, da steknu opštu sliku, a NE ZAMARATI IH DETALJIMA iz te oblasti (a detalje je neophodno savladati da bi se rešio konkretan zadatak - tu se mora dati i neki mini skup instrukcija, pa naini adresiranja, ma komplikacija do 101 i nazad).
Bottom line: ako se tako dogovorimo, mogu da napravim par slajdova koji bi ilustrovali kako radi kompjuter unutra (uprošeno, odnosno na visokom nivou apstrakcije detalja), koji bi bio elemenat predavanja (ne nuno pušten na projektoru, ali objavljen na odgovarajuem sajtu).
Martin Jovanovi - Uvod u raunarstvo
Brojni sistemi
Martin Jovanovi
*
Svi podaci u raunaru su predstavljeni u binarnom brojnom sistemu.
To je pozicioni brojni sistem sa osnovom dva, odnosno pozicioni brojni sistem koji poznaje samo dve razliite cifre: 0 (nulu) i 1 (jedinicu).
Iz tog razloga, u okviru ovog kursa akcenat e biti stavljen na binarni brojni sistem.
Pored njega bie pomenuti i sledei brojni sistemi:
heksadecimalni i
oktalni.
Takoe e biti rei i opštoj teoriji brojnih sistema, u onoj meri u kojoj je to neophodno za ovaj kurs.
Martin Jovanovi
*
Uvod u brojne sisteme
Da bi teorija brojnih sistema bila na pravi nain shvaena, ovo izlaganje bie zapoeto uvodnom opštom priom o funkcionisanju raunara.
Raunar je mašina za obradu podataka.
Njegovo funkcionisanje se svodi na 4 elementa:
ulaz podataka u raunar,
uvanje (skladištenje) podataka.
Ulaz podataka moe biti raznolik:
od strane oveka (programera, korisnika...),
od strane senzora (prenos neke fizike veliine iz spoljnog sveta), itd.
Martin Jovanovi
*
Obrada podataka je uvek ista!
Obratite panju na ovu reenicu. Evo kako to treba shvatiti: obrada podataka unutar raunara uvek se odvija nad istim tipom podataka: nad binarnim brojevima. I svodi se na nekoliko elementarnih operacija. Sve, dakle bukvalno sve se radi po istom principu:
uzeti podatak iz memorije, odakle ve treba,
izvršiti nad njim neku transformaciju (matemat. operaciju), i
vratiti podatak negde gde treba u memoriju.
Ovo se ponavlja na isti nain (samo nad drugim podacima) i kada kucamo tekst, i kada crtamo sliku, ili obraujemo zvuk itd.
Sva raznolikost raunara postie se konvertovanjem tih uvek istih podataka u neki od "spoljnih" oblika: grafiki, zvuni itd.
Izlaz podataka takoe moe biti raznolik:
informacije razumljive oveku (slika, tekst, zvuk...)
komande drugim ureajima i slini signali, itd.
Martin Jovanovi
*
U tom smislu, raunar se moe najgrublje podeliti na 2 celine:
ulazno-izlazni sistem, i
tastatura,
miš,
ostali ulazni ureaji (neka fizika veliina daje ulaz):
temperaturno osetljive sonde,
*
Komentar uz slajd (uz "sistem za obradu (podataka)"):
Ovaj sistem se sastoji, opet po gruboj podeli, od procesora i memorije, koji se takoe dalje dele po odgovarajuoj hijerarhiji. Sve ove podele namerno su izostavljene kako detalji ne bi ometali generalnu ideju izlaganja.
Martin Jovanovi
*
monitor + video kartica,
zvunici + audio kartica,
interfejs prema nekoj industrijskoj mašini (CAM),
interfejs prema sistemu za klimatizaciju itd.
Jasno je da su ulazni i izlazni podaci raznorodni.
Uloga ulazno-izlaznog sistema je da raznorodne podatke prilagoene spoljnoj sredini (slike, zvuke, ili bilo koje fizike veliine) konvertuje u format prilagoen raunaru – u binarne brojeve.
Martin Jovanovi
*
Iz istorijsko-ekonomskih razloga.
Raunar uopšte ne mora da radi sa binarnim brojnim sistemom.
Misli se na nain na koji su podaci predstavljeni unutar raunara, tj. na "interni kôd" podataka.
Postoje i raunari koji rade sa drugim brojnim sistemima. Na razvoju takvih raunara se i danas radi. Oni imaju potpuno razliite karakteristike od klasinih binarnih raunara, te imaju specifinu primenu.
Za takve raunare se kae da rade u "višeznanoj logici".
Meutim binarni raunari su prvi doiveli komercijalnu ekspanziju i – zavladali trištem.
Martin Jovanovi
*
Da bi ovo bilo još jasnije, treba imati u vidu da:
masovna proizvodnja binarnih komponenata znai njihovu nisku cenu, te je razvoj binarnih raunara najjeftiniji u startu
trište je "naviknuto" na binarne raunare, te je njihova proizvodnja ekonomski najsigurnija
softver koji je razvijen za binarne raunare morao bi da se "portuje" na višeznane mašine, što u startu postavlja niz teškoa (da bi se u potpunosti iskoristili potencijali višeznanih mašina potrebno je i razvoju softvera pristupiti na specifian nain).
U skladu sa svim do sada iznesenim, jasno je da je binarni brojni sistem od fundamentalnog znaaja za sve što je vezano za raunar, osim u smislu pukog elementarnog korišenja istog.
Martin Jovanovi
*
Nešto najosnovnije o binarnom sis.
U svakodnevnom ivotu koristimo dekadni brojni sistem. On ima 10 razliitih simbola za brojeve (cifara): 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Dekadni sistem spada u tzv. "pozicione" brojne sisteme, pošto brojna vrednost koju odreena cifra predstavlja ne zavisi samo od cifre, nego i od pozicije koju ta cifra zauzima u zapisu broja (cifra 2 ne nosi istu vrednost u brojevima 12, 21, 3278, 4126438 itd).
Binarni sistem se razlikuje od dekadnog jedino u tome što poznaje samo dve razliite cifre: 0 i 1.
Binarni sistem takoe spada u pozicione sisteme.
Martin Jovanovi
*
Zapis brojeva u binarnom sistemu
Zapis broja u binarnom brojnom sistemu najjednostavnije je pokazati na primeru. U tabeli su dati zapisi odreenih brojeva u dekadnom i binarnom brojnom sistemu.
Logika je jasna. Kada se istroše sve cifre, najmanja cifra se izbacuje ispred (kao u dekadnom: ...8,9,10,11).
Dekadni sistem
Binarni sistem
Martin Jovanovi
*
Brojni sistemi - definicija
Pošto je ukazano na vanost poznavanja binarnog brojnog sistema i osnovnih operacija u njemu, a radi potpunije slike o brojnim sistemima uopšte, u nastavku izlaganja bie iznet minimum teorije o brojnim sistemima.
Definicija brojnog sistema: to je skup pravila formulisanih u cilju izraavanja kvantitativnih svojstava kôda brojnih podataka.
Definicija pojma kôd: u komunikacijama, kôd je skup pravila po kojima se jedna informacija (slovo, re...) konvertuje u neki objekat ili akciju, koji ne moraju biti iste prirode.
Primer kôda je telegrafski kôd, po ijim pravilima se svako slovo engleske abecede reprezentuje kombinacijom kratkih i dugih zvunih signala iste frekvencije, što je pogodno za transfer putem razliitih nosaa (ica, radio odašilja, izvor svetlosti itd).
Martin Jovanovi
*
Nepozicioni brojni sistemi
Simbol koji oznaava broj (cifra) ima istu vrednost nezavisno od toga gde se nalazi u zapisu broja.
Primer za nepozicioni brojni sistem su rimski brojevi.
Vrednost zapisa broja rauna se tako što se cifre saberu.
Jedini izuzetak je kada je manja cifra levo od vee, onda se ona od te vee oduzima, namesto njih dve u zbir ulazi rezultat tog oduzimanja. Primer na sledeem slajdu.
Pozicioni brojni sistemi
Simbol koji oznaava broj (cifra) ima razliitu vrednost u zavisnosti na kojoj se poziciji nalazi u zapisu broja.
Primer za pozicioni brojni sistem je dekadni (naš) brojni sistem, binarni, heksadekadni itd.
Primer i dalje razmatranje pozicionih sistema u nastavku.
Martin Jovanovi
*
Primer za nepozicioni brojni sistem
Uzmimo zapis broja MCMXXXV. Prilikom sraunavanja brojne vrednosti ovog zapisa, slovo M uvek nosi vrednost 1000, slovo C uvek oznaava vrednost 100, slovo X uvek vrednost 10 a slovo V uvek i svuda vrednost 5. Prilikom sraunavanja brojne vrednosti zapisa koristi se pravilo da, ukoliko je manja cifra levo od vee, ona se od vee oduzima. Sve vrednosti cifara se potom saberu. Sraunavanjem zapisa dobijamo vrednost 1935. Moda se nebitnost pozicije cifre najjasnije vidi kod cifre X. Ona se nalazi na tri razliite pozicije i u zbir uvek ulazi kao 10, dakle nezavisno od pozicije na kojoj se nalazi.
Martin Jovanovi
*
Za ovaj kurs su od interesa iskljuivo pozicioni brojni sistemi.
Uoimo dva osnovna parametra jednog pozicionog brojnog sistema:
skup svih razliitih cifara tog sistema (u oznaci S)
osnovu brojnog sistema (u oznaci N).
Neka brojna vrednost X se u pozicionom BS sa osnovom N piše u obliku niza cifara iz skupa S:
→
,
Martin Jovanovi
*
Brojna vrednost zapisa broja
Brojna vrednost zapisa broja dobija se kao zbir brojnih vrednosti pojedinanih cifara:
Pri tom, kao što je reeno,brojna vrednost cifre zavisi od:
same cifre, i
Zavisnost izmeu pozicije cifre i njene vrednosti odreuje osnova brojnog sistema.
vrednost cifre (x oznaava bilo koju) na i-toj poziciji
Martin Jovanovi
*
Da bi se pokazalo (ilustracije radi) da se aritmetike operacije u binarnom sistemu obavljaju na nain potpuno identian onome na koji smo navikli u dekadnom, u nastavku e biti izvršene 4 osnovne aritmetike operacije nad dva binarna broja.
U pitanju su neoznaeni binarni brojevi, što znai da se radi samo sa pozitivnim vrednostima. Naini za oznaavanje negativnih binarnih brojeva, onako kako se oznaavanje vrši unutar raunara, bie dati u nastavku kursa.
Uzmimo za primer brojeve: 55 i 11.
Primeri binarnih aritmetikih operacija
Martin Jovanovi
*
Istom logikom sabiranje se vrši do kraja. Uraditi na papiru.
"Tablica sabiranja" bi izgledala ovako:
1+1+1 (iz prenosa) daju sledei vei broj (a to je 11). Znai rezultat je 1, i postoji prenos 1.
+
Martin Jovanovi
*
------------
Uraditi nekoliko primera na papiru.
Ovakvi primeri se lako proveravaju.
Za sada oduzimati manji broj od veeg, da rezultat ne bi bio negativan.
Negativni binarni brojevi bie obraeni u nastavku.
1-1=0
I ovo je jasno.
0-1=? Kao kod dekadnog oduzimanja, "pozajmljuje" se 1 od broja sa sledee vee pozicije. Taj broj biva umanjen za 1, a na aktuelnoj poziciji se dobija 10. Kod binarnih brojeva je princip isti. Broj na veoj poziciji se umanjuje za 1 (i postaje 0), a broj na aktuelnoj poziciji dobija "zajam" u vrednosti od 10 binarno. Onda od toga oduzimamo 1: 10BIN-1BIN=1BIN.S
10
0
1
*
Martin Jovanovi
*
Guess what? Princip je potpuno isti kao kod dekadnog mnoenja.
Samo što se sabiranje radi na binarni nain, kao na odgovarajuem pokazanom slajdu.
110111·1011
1
1
0
1
Martin Jovanovi
*
Radi podseanja, prvo e biti pokazan primer dekadnog deljenja.
Pretpostavlja se da je prošlo puno vremena otkad je italac nešto delio "runo".
Ko se dobro sea postupka "runog" deljenja, neka produi na sledei slajd.
Primer je izabran skroz sluajno.
3742 : 27 =
Pogleda se prva cifra (cifra najvee teine) deljenika. Da li je vea od delioca? U našem sluaju nije (3 nije vee od 27). Ili kako se to drugaije kae: 27 se ne sadri u 3 ni jednom, odnosno 0 puta. U skladu sa ovim mogli bismo u rezultatu da pišemo nulu, što ne menja tanost, ali se to preskae jer nema mnogo smisla.
Onda se uzima sledea cifra deljenika (7) zajedno sa prvom, i posmatra se kombinacija (37). Da li je ta kombinacija vea od delioca (da li se delioc bar jednom sadri u njoj)? Ako ne, uzeemo i treu cifru. Ali kod nas se sadri. Od prilike treba uoiti (bar ja to radim metodom probe i greške) koliko se puta sadri, i taj broj se napiše u rezultatu.
Kod nas je oigledno da se 27 (delioc) u 37 ne sadri više od jednom, pa pišemo 1 kao prvu cifru rezultata...
Onda cifrom rezultata koju smo dobili mnoimo delioc. 1x27=27. Rezultat mnoenja potpisujemo ispod grupe (37).
Od grupe (37) oduzmemo potpisani broj (27), zapišemo rezultat. Pridodamo mu sledeu cifru deljenika (4).
Nadalje isto: koliko se (max.) puta 27 sadri u 104? Zapišemo u rezultat. Pomnoimo to sa deliocem. Potpišemo. Itd.
Kada "ispucamo" sve cifre iz deljenika (što se ovde desi kada dopišemo dvojku), na rezultat stavljamo zarez, a dole dalje dopisujemo nule (jer deljenik moe da se posmatra kao 3742,0000...), i raunamo razlomljeni deo.
3
37
1
27
10
4
3
81
2
23
8
216
0
*
Da li je u redu ili nije u redu što objašnjavam postupak "runog" deljenja u dekadnom sistemu koji bi svi trebali da znaju? Ja mislim da je u redu, evo zašto.
Ko zna neka preskoi. Slajd se preskae vrlo jednostavno. Memorijski utrošak za taj jedan slajd je minoran. Dakle slajd "hleba ne trai".
S druge strane ako nekom u sekundi "stane mozak" ("kako se beše deli"), jer to je najree korišena operacija i veina srednjoškolaca to radi digitronom u onim retkim situacijama kada im treba (jer se matematika posle osnovne šlole mahom radi u opštim brojevima), da bi se podsetio algoritma deljenja na papiru student mora da preturi brdo literature (pošto je to, iako najbanalnija, u literaturi vrlo retko prisutrna stvar), ili da zove nekog za pomo i da ga pritom moda bude i sramota. Ne vidim zašto bi takav student (a mislim da pojava nije retka) morao da gubi vreme na sve to, kada se podseanje moe izvršiti za par minuta uz pomo jednog jedinog slajda.
Ovim slajdom ispoštovao sam svoja dva osnovna principa poduavanja: autonomnost materije (sve spoljašnje reference kod kojih je to mogue treba ukratko izneti u okviru kursa, kako bi italac imao kompletno gradivo i ne bi gubio vreme na bonu literaturu ve išao pravo kroz kurs), i kontrolisanu redundantnost materije (koju je lako preskoiti, koja nije obavezna, koja je tesno vezana sa materijom, a koja dopunjuje kurs i uliva sigurnost u sopstveno znanje polazniku).
Martin Jovanovi
*
Na osnovu prethodnog slajda algoritam binarnog deljenja je jasan.
110111:1011=
1
1011
1
1011
1011
1x1011=1011
Martin Jovanovi
*
Binarno deljenje – primer 2 od 2 (nedeljivi br.)
Ovaj primer ilustruje deljenje nedeljivh br. u binarnom BS. Primer nije raen detaljno.
Na osnovu prethodnih slajdova algoritam deljenja mora biti u potpunosti jasan.
(1001110)2=(78)10 (11101)2=(29)10
00000000000000110000 itd...
Naglašene nule (0) oznaavaju raunanje razlomljenog dela, odnosno dodavanje "imaginarnih nula" da bi se proces mogao nastaviti. Ve je reeno da se deljenik moe napisati (kao i svaki broj) sa beskonano nula iza zareza, pa se te (u deljeniku nenapisane ali podrazumevane) nule "spuštaju".
Martin Jovanovi
*
Prevoenje br. izmeu razliitih BS
S obzirom na to da je za poznavanje funkcija raunara najbitnije poznavanje binarnog BS, a da se u svakodnevnom ivotu koristi dekadni BS, akcenat e biti stavljen upravo na prevoenje brojeva izmeu ova dva brojna sistema. Pokazae se da je ovaj postupak u oba smera izuzetno jednostavan, i da se moe vrlo lako raditi i "napamet" (bez papira ili pomagala).
Osim binarnog, bie obraena još dva BS, takoe bliska unutrašnjosti raunara: heksadekadni BS (osnova: 16) i oktalni BS (osnova: 8). Pokazae se da su ova dva BS srodna binarnom, te da su postupci prevoenja izmeu ova tri BS gotovo trivijalni.
Na kraju ovog dela izlaganja bie dat osvrt na opšte postupke (algoritme) za prevoenje brojeva iz jednog udrugi sistem (pri emu oba sistema imaju proizvoljnu celobrojnu osnovu).
Martin Jovanovi
*
Prevoenje: binarni ↔ dekadni BS
U dosadašnjem izlaganju bilo je rei samo o binarnom BS, pa e lekcija o prevoenju zapoeti upravo sa njim.
Postoji dva mogua smera prevoenja:
dekadni → binarni, i
Smer binarni → dekadni je jednostavniji.
Iz tog razloga poeemo sa njim.
Martin Jovanovi
*
Binarni → dekadni
Setimo se kako se rauna brojna vrednost broja zapisanog u bilo kom pozicionom brojnom sistemu: tako što se izvrši sumiranje vrednosti pojedinanih cifara, svaka pomnoena sa stepenom osnove BS (a taj stepen zavisi od pozicije cifre u zapisu broja).
Zapis broja:
Raunanje vrednosti broja:
,
Martin Jovanovi
*
Dekadna vrednost binarnog broja dobija se po formuli:
(ovo je konkretizovana varijanta formule s prošlog slajda)
Da bi izlaganje bilo jednostavnije, za poetak se neemo baviti razlomljenim delom binarnog broja, ve samo celobrojnim binarnim brojevima. Dekadna brojna vrednost celobrojnog binarnog broja nalazi se po sledeoj formuli:
U ovome je razlika! Sumiraju se pozicije poev od nulte, a ne ide se od (-m)-te pozicije kao u gornjoj, opštijoj, formuli.
Martin Jovanovi
*
Primer: jedan sedmocifren binarni broj: 1101001
Zakljuak: zna se koja binarna cifra nosi koliku vrednost (ako je njena teina p, onda ona nosi vrednost 2p). Uzmu se u obzir samo jedinice, i saberu im se pripadajue vrednosti. Prevoenje je, dakle, jednostavno.
Pozicija binarne cifre:
6
5
4
3
2
1
0
*
24.11.2004. Uoena sledea greska: pozicije su stavljene da idu od 1 do 7, a u pasusu ispod tabele je reeno da se na osnovu pozicije binarne cifre rauna vrednost broja. Time je došlo do mešanja pojmova pozicije i teine (oni mogu ali NE MORAJU da budu sinonimi, recimo u tabeli NISU). Dodao sam novu vrstu tabele sa TEINAMA, i ispravio sam donji pasus, tako da su sada u koherenciji. Hvala Milici Veljkovi na izveštaju o grešci.
Martin Jovanovi
*
Dekadni → binarni (celi brojevi)
Ova transformacija bie pokazana na konkretnom primeru (na nain na koji e se u praksi naješe izvodi).
Nakon pokazana oba smera prevoenja, bie data opšta pravila za prevoenje iz jedne proizvoljne osnove u drugu.
Konverzija iz binarnog u dekadni zasnivala se na mnoenju (binarna cifra se mnoila stepenom osnove, i onda dodavala na sumu).
Logino je da se suprotna transformacija zasniva na – deljenju.
Martin Jovanovi
*
44:2 = 22 ostatak: 0
1
0
0
Zašto delimo dekadni broj baš sa 2? Zato što je 2 osnova ciljnog brojnog sistema (binarnog). To je najloginiji odgovor, a u dublje razmatranje se nee ii.
22:2 = 11 ostatak: 0
Rezultat deljenja (22) se dalje deli sa 2. Ostatak deljenja bie cifra vee teine binarnog broja. Ovom logikom ide se do kraja postupka.
11:2 = 5 ostatak: 1
deljenju doe do nule (1:2=0, ost. 1)
Ostatak (0) prvog deljenja bie cifra najmanje teine binarnog broja. Upisujemo je na poziciju najmanje teine.
*
31.10.2004. Na ovom slajdu su ispravljene uoene greške:
U zadnjem redu deljenja pisalo je 2:1 a treba 1:2. Rešeno.
"Strip baloni" su se preklapali, tako da slajd ne bi bio itljiv kada se odštampa. Rešeno.
22.11.2004.
Zahvaljujuci pomoci studenata, ispravljena je i greska pri dnu slajda, koju jednostavno nisam uspeo da vidim. Za to i postoje recenzenti, jer kada autor sam ita svoj rad, vrlo mu je teško da uoi greške jer sve vreme zna šta je hteo da kae, i to uvek lii na to.
MOLBA SVIMA KOJI ITAJU OVO: IM UOITE NEKU GREŠKU ODMAH MI ŠALJITE MEJL NA [email protected], NE EKAJTE ZADNJI TRENUTAK DA MI PRIJAVITE GREŠKE!!!!!
Martin Jovanovi
*
Pravilan zapis navedenog postupka izgledao bi na sledei nain (tabela):
xi predstavlja cifru na poziciji i-te teine u polaznom broju, dok yi predstavlja cifru na poziciji i-te teine u ciljnom (binarnom) broju.
Donji red tabele (dobijeni binarni broj) se "ita" s desna na levo, i iznosi: 101100.
i
0
1
2
3
4
5
6
xi
44
22
11
5
2
1
0
yi
0
0
1
1
0
1
0
*
Martin Jovanovi
*
Dekadni → binarni (razlomljeni brojevi)
Ukoliko dekadni broj ima i ceo i razlomljeni deo, posebno se prevodi ceo, a posebno razlomljeni, te se ova dva po prevoenju spajaju.
Postupak prevoenja razlomljenog dela je slian prevoenju celog broja, osim što se sada:
umesto deljenja, vrši mnoenje ciljnom osnovom (dakle mnoenje sa 2), i
umesto da se gleda ostatak pri deljenju, ovde se gleda da li se, pri mnoenju dvojkom, pojavila jedinica ispred zareza (u celom delu broja), i ako se pojavila – ona se upisuje u dobijeni binarni broj.
Ovo e biti objašnjeno na primeru koji sledi.
*
Martin Jovanovi
*
(0,84375)10 = (?)2
prilikom mnoenja dvojkom, pojavila se jedinica u celbrojnom delu
im se tu pojavila jedinica, u tabeli ispod pišemo 1 (onde gde je bin.),
a na mestu gde je dekadni broj, pišemo samo razlomljeni deo
a to je 0,6875
u binarnoj vrsti pišemo 1, a u dekadnoj pišemo 0,357
0,375·2=0,75
u binarnom delu pišemo 0, a u dekadnom pišemo 0,75
Dokle tako mnoimo i pišemo?
,
*
24.11.2004. Dodata naznaka gde stoji zarez (tirkizna strelica pri dnu).
02.11.2004. Slajd dodat.
Martin Jovanovi
*
itanje rezultata iz tabele ide normalnim smerom, s leva na desno, pri emu je prva kolona tabele zapravo celobrojni deo, a od druge kolone poinje razlomljeni, kako je to na tabeli na ovom slajdu oznaeno:
Jedinica koja nastaje u prvom mnoenju (0,84375·2=1,6875) ne upisuje se odmah ispod, nego za 1 eliju desno (u prvu poz. iza zareza). Ovako redom. To vai i za dobijene nule pri mnoenjima, isto tako.
Rezultat je: 0,11011.
i
0
1
2
3
4
5
x-i
0,84375
0,6875
0,375
0,75
0,5
0
y-i
0
1
1
0
1
1
*
02.11.2004. Slajd dodat.
24.11.2004. Dodata zelena strelica da indicira da tu mora uvek da bude nula. Dodata i stavka o upisivanju jedinica prilikom mnoenja, prva stavka ispod tablice. Zahvaljujem Milici Veljkovi na korisnim sugestijama.
Martin Jovanovi
*
Poseban sluaj koji se moe javiti prilikom konverzije razlomljenog dekadnog broja u binarni, jeste sluaj periodinog broja.
Pri ovome se misli na rezultujui, binarni broj.
Ukoliko doe do periodinosti, prevoenje se prekida i zadrava se jedna periodina grupa koja se moe ponoviti proizvoljan broj puta (zavisno od potrebne tanosti) – potrebe za daljim prevoenjem više nema.
Ovo e biti pokazano na narednom primeru.
*
Martin Jovanovi
*
periodina grupa
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*
Martin Jovanovi
*
Dobijeni rezultati se na kraju spoje (saberu).
Primer: (67,875)10 = (1000011,111)2.
Proveriti na papiru.
Prevoenje mešovitog binarnog broja u dekadni brojni sistem najlakše se obavlja ukoliko se operacije obavljaju u dekadnom BS.
Tada se prevoenje svodi na mnoenje svake cifre stepenom ciljne osnove (10), pri emu su ti stepeni, u razlomljenom delu, negativni.
Zapravo se koristi formula koja je ve pokazana:
*
24.11.2004. Ispravka: u binarnom broju falila jedna nula (i tada je umesto 67, celi deo vredeo 35). Hvala Milici Veljkovic na saradnji.
02.11.2004. Ovaj slajd dodat u prezentaciju
Martin Jovanovi
*
Opšte napomene o prevoenju
Pokazani su postupci prevoenja u oba smera izmeu binarnog i dekadnog BS.
Generalno, mogue je prevoditi brojeve iz bilo kog u bilo koji BS, direktno, na potpuno analogne naine.
Razlika izmeu dva navedena naina lei u sledeem: da li se same operacije prevoenja vrše u polaznom ili ciljnom brojnom sistemu!
U navedenim primerima sve operacije su vršene u dekadnom brojnom sistemu.
Pri prevoenju dek->bin, operacije su vršene u polaznom brojnom sistemu (dekadni je polazni), dok su
pri prevoenju bin->dek operacije vršene u ciljnom BS (jer za takvo prevoenje dekadni BS je ciljni).
*
Martin Jovanovi
*
Prosto reeno:
Ukoliko se operacije pri prevoenju vrše u polaznom BS, onda se koriste one tabele, odnosno vrši se deljenje ciljnom osnovom za celi deo, odnosno mnoenje ciljnom osnovom za razlomljeni deo.
Ukoliko se operacije pri prevoenju vrše u ciljnom BS, onda se primenjuje mnoenje cifara stepenima ciljne osnove, zavisno od pozicije cifre, odnosno koristi se ona formula sa sumom.
Za pamenje:
*
Martin Jovanovi
*
To je heksadekadni BS, sistem sa osnovom 16.
On ima, naravno, 16 razliitih cifara.
U nedostatku arapskih brojeva (kojih ima kao što znamo 10), za preostale cifre koriste se slova engleske abecede.
Komplet cifara ovog BS dakle izgleda ovako:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.
Prevedeno na dekadni BS, cifra A imala bi vrednost 10, i tako redom, do (F)16 → (15)10.
*
Martin Jovanovi
*
Jedna od najosnovnijih primena heksadekadnog sistema je obeleavanje memorijskih lokacija raunara.
Radna memorija raunara (RAM – Random Access Memory) podeljena je na "elije" fiksne duine. Duina jedne "elije" varira od raunara do raunara. Kod prvih kunih raunara (Commodore 64 i sl) ona je iznosila jedan bajt, odnosno 8 bitova. Kod kasnijih raunara iznosila je 16 bitova, da bi danas iznosila 32 odnosno 64 bita.
Jedna takva "elija" naziva se memorijska lokacija. Kada centralni procesor pristupa RAM-u radi itanja ili upisa, on pristupa jednoj eliji u toku jednog mašinskog ciklusa. To je osnovna gradivna jedinica memorije.
Martin Jovanovi
*
Da bi bio omoguen jedinstven pristup svakoj memorijskoj lokaciji, svaka je obeleena brojem. Taj broj se naziva "adresa". Kae se da procesor ita podatak sa te-i-te adrese.
Interno, u samom raunaru, te adrese su, kao i sve ostalo, u binarnom BS. Meutim da bi oveku bilo olakšano snalaenje po "beskrajnom" nizu memorijskih lokacija (u doba dominacije asemblerskog programiranja), heksadekadni sistem predstavlja kompromis izmeu nepreglednog binarnog, i raunaru "neprirodnog" dekadnog BS.
On je, s jedne strane, po zapisu daleko blii dekadnom nego binarnom BS. U njemu se ak mogu izvoditi i aritmetike operacije sa gotovo identinim subjektivnim oseajem kao i u dekadnom BS.
S druge strane, njegova osnova predstavlja stepen dvojke (24), što maksimalno olakšava prevoenje brojeva izmeu ova dva BS – što e biti pokazano u nastavku.
Martin Jovanovi
*
Prevoenje izmeu BS sa osn. 2 i 2k
Odmah na poetku treba rei sledee: ova pria vai za prevoenje izmeu brojnih sistema sa osnovama N i Nk, dakle u najopštijem sluaju.
Izlaganje emo ipak zapoeti konkretnom situacijom (2 i 2k), koja je za raunarsku praksu i najpotrebnija.
Uzmimo za primer malopre pomenuti heksadekadni BS (osnova: 24 tj. 16).
Dva broja: (101001101101)2 i (A6D)16.
Iz navedenog primera vidi se da grupa od 4 binarne cifre odgovara jednoj heksadekadnoj.
Grupa ima 4 cifre. Binarni BS ima osnovu 2, a heksadekadni BS ima osnovu 24.
Pravilnost je lako uoiti.
Martin Jovanovi
*
011001011110 = 65E
(ispred binarnog broja po potrebi dodamo nule da bismo na poetku dobili grupu od 4 binarne cifre, isto da bi to lepše izgledalo).
Jasno je da postoji direktno preslikavanje izmeu svake heksadekadne cifre i odgovarajue grupe od 4 binarne cifre.
Ovo moemo posmatrati na sledei nain: svaka heksadekadna cifra je u binarnom BS kodirana jednom grupom od 4 binarne cifre!
Martin Jovanovi
*
Ovde nije u pitanju pravo kodiranje, naravno, ve klasino prevoenje iz jednog BS u drugi. Ali u ovom sluaju (kada su osnove tih BS u odnosu N i Nk) – to prevoenje se vrši po istim pravilima kao neko kodiranje, i to kodiranje prema sledeoj kodnoj tablici (za naše brojne sisteme, odnosno za osnove 2(BIN) i 24(HEX)):
Kako je ranije ve reeno, odnos u kome stoje osnove (onaj parametar k, na koji se die osnova prvog sistema da bi se dobila osnova drugog) odreuje koliko cifara u sistemu sa manjom osnovom ini jednu grupu cifara u ovakvoj "kodnoj tablici".
U našem sluaju (osnove 2 i 24) taj parametar je 4, pa su u pitanju grupe od po 4 cifre sa binarne strane.
BIN
HEX
BIN
HEX
0000
0
1000
8
0001
1
1001
9
0010
2
1010
A
0011
3
1011
B
0100
4
1100
C
0101
5
1101
D
0110
6
1110
E
0111
7
1111
F
Martin Jovanovi
*
Nakon svega navedenog, ovde sledi teorema koju neemo dokazivati. Ona se odnosi na prevoenje brojeva u situaciji kada je osnova sistema N1=N2k, gde kÎN, i k>1:
Brojna vrednost X zapisana u brojnom sistemu sa osnovom N2, ima isti zapis i u sistemu N1 koji je kodiran sistemom sa osnovom N2.
Teorema je data standardnom, naunom formulacijom, koja nije laka za shvatanje. Meutim princip koji je njome iznesen ve je objašnjen na nain lak za razumevanje na prethodnim slajdovima.
Gornja teorema ima univerzalno vaenje za proizvoljen osnove brojnih sistema koji stoje u navedenom odnosu.
Martin Jovanovi
*
Kao primer za navedenu teoremu, a ostajui bliski domenu binarnih brojeva, moemo navesti oktalni brojni sistem, tj. sistem sa osnovom 8 (23). Ovaj BS takoe ima primenu u raunarskoj nauci i industriji.
Oktalni BS ima sledee cifre: 0,1,2,3,4,5,6,7.
Prevoenje: binarni → oktalni:
Prevoenje: oktalni → binarni:
473 → 010111011 → 10111011
Pošto osnove stoje u osnosu N i N3, cifre iz BS sa manjom osnovom grupišu se u grupe od 3.
Raunarska aritmetika
oblast:
2/6
Martin Jovanovi
*
Oznaeni brojevi
Termin "oznaeni broj" odnosi se na brojeve kod kojih postoji informacija o (pred)znaku, odnosno eventualnoj negativnoj vrednosti.
U svakodnevnom ivotu, u dekadnom BS, brojevi se pišu u formatu znakApsolutnaVrednostBroja.
Primer: -17,3.
Znak + se ne piše ve podrazumeva, osim izuzetno.
Na isti nain mogu se zapisivati i brojevi u drugim brojnim sistemima.
Primer: -1010011,101 (binarni).
Primer: -FFD2,3AA (heksadekadni).
Ovakav nain zapisivanja znaka svojstven je oveku, ali nepraktian za raunarsku primenu.
Martin Jovanovi
*
Osnovni problem kod predstavljanja znaka broja u raunaru jeste uvoenje znaka "-".
S obzirom na to da se svi podaci u raunaru predstavljaju u vidu brojeva, i to binarnih, logino je da i znak treba predstaviti nekom cifrom.
U tom smislu mogu se razlikovati 3 naina za predstavljanje znaka broja:
Klasini: predznak pa apsolutna vrednost broja,
Pri emu je ovde znak predstavljen nekom od cifara iz BS.
"Nepotpuni komplement" broja, i
Drugaiji naziv: "(N-1) komplement".
Martin Jovanovi
*
U nastavku e biti opisana sva tri naina za predstavljanje oznaenih brojeva. Videe se da se specijalan nain predstavljanja zapravo primenjuje samo na negativne brojeve, a da pozitivni ostaju u nepromenjenom obliku.
Bitno je shvatiti da se ovi naini predstavljanja oznaenih brojeva podjednako mogu primeniti u bilo kom brojnom sistemu. Poenta je u tome da se negativni predznak predstavi cifrom.
Na taj nain se oznaeni brojevi predstavljaju samo i jedino onim elementima koje nam stavlja na raspolaganje brojni sistem: ciframa!
Da, unutar raunara to jesu naješe binarne cifre (mada je na poetku izlaganja reeno da postoje raunari koji rade u drugim brojnim sistemima), ali ovo izlaganje vai uopšte, u svakom brojnom sistemu.
Martin Jovanovi
*
+ se kodira sa cifrom 0 (najmanja cifra tog BS)
– se kod. sa cifrom (N-1) (najvea cifra tog BS)
(N je osnova BS)
Broj X, zapisan na ovaj nain, izgledae ovako:
Valja zapaziti da ovakav zapis oznaenih brojeva dozvoljava 2 naina da se zapiše nula, praktino je mogue napisati i +0 i -0.
Osnovni nedostatak ovakvog zapisa broja je u tome što je u raunaru, prilikom matematikih operacija, potrebno dodatno vreme da se isprocesira kod znaka.
Martin Jovanovi
*
Ovakav zapis brojeva (ZnakApVred ili skraeno ZA) se zbog toga ne koristi u unutrašnjosti raunara, prilikom matematikih operacija i skladištenja podataka.
On se koristi jedino prilikom komunikacije raunara sa spoljašnjim svetom.
Iz navedenih razloga za ovu predstavu brojeva nee biti raeni primeri.
Da bi se izbegli dodatni koraci u procesiranju podataka, koji su potrebni za analizu kôda znaka broja, koriste se druge dve predstave oznaenih brojeva:
nepotpuni, i
potpuni komplement broja.
Njihova prednost lei u tome što se matematike operacije nad njima vrše bez ikakve analize znaka broja.
Martin Jovanovi
*
komplement najvee cifre, i
jedinini komplement.
Ovo zato što je osnova binarnog sistema N=2, pa je N-1=1, ili drugaije reeno: najvea cifra koju taj BS poznaje je: 1.
Definicija nepotpunog komplementa broja:
svaka cifra tog broja
Primeri na sledeem slajdu.
Martin Jovanovi
*
(N-1)=9, što je najvea cifra koju poznaje dekadni BS
Uzmimo bilo koji broj za primer: X=-312,84
Podseanje:
najvea cifra dekadnog BS je 9
svaka cifra se zamenjuje njenom dopunom do najvee cifre:
prva cifra 3 se zamenjuje sa 9-3=6 (jer 6 dopunjuje 3 do 9)
druga cifra 1 se zamenjuje sa 9-1=8 itd.
[X]NK=9687,15.
Binarni BS:
sve je isto, samo što je kod bin. BS najvea cifra 1:
X=-1001101,1001
Martin Jovanovi
*
(Pred)znak broja se kodira cifrom, i to:
pozitivan predznak se kodira najmanjom cifrom BS (nulom), a
negativan predznak se kodira najveom cifrom brojnog sistema.
Obratiti panju na sledee: na jednom od prethodnih slajdova dat je zapis broja X zavisno od toga da li je pozitivan ili negativan. Tu se radilo o broju X (veliko slovo). Ovde se sada radi o pridodatoj cifri ispred broja (xn+1). Cifra je obeleena malim slovom x.
Malo slovo n oznaava teinu krajnje leve cifre broja u originalu (pre komplementiranja), dakle teinu cifre koja ima maksimalnu teinu. To nije isto što i veliko N (koje oznaava osnovu brojnog sistema).
Kao i u prethodnom sluaju (zapis tipa ZnakAbsVred), i ovde postoje 2 prestave za nulu – nije jednoznano!
xn+1 je cifra ispred broja (na poziciji znaka)
*
Martin Jovanovi
*
Broj X (veliko slovo), zapisan u nepotpunom komplementu, izgleda ovako:
broj X u nepotp. komplementu
Osnova brojnog sistema podignuta na stepen za 2 vei od pozicije cifre najvee teine broja X. Npr. broj 32DEC je dvocifren; najveu teinu ima cifra 3, a njena teina je 1 (3x101), jer se u celobrojnom delu teine broje od nule. Dakle, n+2 e biti 3, broj e biti 103, odnosno 1000 (etvorocirfen, tj. za dve cifre vei od 32).
Apsolutna vrednost broja X
m je broj cifara u razlomljenom delu broja, odnosno pozicija cifre najmanje teine (npr. za broj 32,435DEC m je 3, jer najmanja pozicija je 10-3)
N-m zapravo predstavlja jedinicu na poziciji najmanje teine u broju (jedinicu na poslednjoj decimali).
Ovo na prvi pogled moda deluje nejasno. Primer na sledeem slajdu e ga uiniti jasnijim.
*
Martin Jovanovi
*
Uzmimo za primer broj iz dekadnog sistema, npr. -32,41.
Cifra maksimalne teine (3) nalazi se na poziciji 1 (u smislu da se mnoi sa N1 odn. 101). Samim tim u gornjem izrazu n=1.
U tom smislu, inae, prva cela cifra (2) je na poziciji 0 (jer se mnoi sa N0 tj 100 tj 1). Pozicije se u celobrojnom delu broje poev od nul(t)e.
Cifra minimalne teine nalazi se na poziciji 2 (u razlomljenom delu), pa je samim tim u gornjem izrazu m=2.
U razlomljenom delu, za razliku od celobrojnog, pozicije poinju da se broje od 1, a ne od 0, zato što se vrednost prve razlomljene cifre mnoi sa N-1, tj kod nas u dekadnom primeru sa 10-1 tj 0,1.
Nepotpuni komplement broja -32,41 u skladu sa gornjim izrazom dobijamo ovako:
Radi preglednosti izraz sa prethodnog slajda stoji i ovde:
Martin Jovanovi
*
Na prethodnom slajdu je dat formalni matematiki nain za dobijanje NK broja u proizvoljnom BS.
U praksi, NK je najjednostavnije dobiti "runo" tako što e se:
minus zameniti najveom cifrom tog BS
svaka cifra oduzeti od najvee cifre BS, i to što se dobije kao razlika upisati na mesto te cifre.
Prethodni primer (-32,41), uraen "runo", izgledao bi:
minus postaje 9, jer to je najvea cifra dekadnog BS
umesto 3 pišemo (9-3), a to je 6
umesto 1 pišemo (9-1), a to je 8.
Time smo dobili nepotpuni komplement broja -32,41.
On iznosi: 967,58.
Martin Jovanovi
*
Formalni NK – binarni primer
Sve prethodno navedeno je isto i u binarnom (kao i u bilo kom) BS. U binarnom sluaju vai:
osnova BS N=2;
teine i ovde idu kao i kod svih BS:
u celobrojnom delu poinju od 0 (i idu do n),
a u razlomljenom od 1 (i idu do m).
Posmatrajmo primer: X=-10110001,1011.
[X]NK=1000000000-(10110001,1011)-0,0001
*
kako mi se spava
24.11.2004. Izgleda da mi se stvarno mnogo spavalo dok sam radio ovaj slajd, im mi se potkrala tako banalna greškica: pisalo je m=7, a n=4, a treba obrnuto. Zahvaljujem Milici Veljkovi što mi je ukazala na ovu grešku.
Martin Jovanovi
*
I kod binarne varijante je, naravno, najlakše uraditi komplementaciju "runo":
umesto minusa staviti 1 (najvea cifra)
svaku cifru oduzeti od 1 (zapravo zameniti 0 i 1 svuda)
-10110001,1011 -> 101001110,0100
(iza znaka samo su nule i jedinice promenile mesta)
Da bi ovo izlaganje bilo upotpunjeno, bie dat primer sa heksadekadnim BS: X=-3E,A6
Formalno: [X]NK = 1000-(3E,A6)-0,01 = FC1,59
Sve operacije se odigravaju u heskadekadnom sistemu!
"Runo": [X]NK = FC1,59
F-3=C
F-E=1
F-A=5
F-6=9
Martin Jovanovi
*
komplement osnove, i
dvojini komplement.
Definicija potpunog komplementa broja:
odredi nepotpuni komplement tog broja,
a zatim se doda jedinica u poziciju najmanje teine.
Primeri na sledeem slajdu.
Martin Jovanovi
*
Formalni izraz za PK i primer
Na slian nain na koji je to uraeno za NK, bie dat formalni matematiki izraz za raunanje PK:
U sluaju potpunog komplementa predstava nule je (konano) jednosmislena, odnosno jedinstvena!
Primer za PK:
[X]NK=10100,10 (nepotpuni komplement)
+ 1 (dodata jedinica u poziciju najmanje teine)
--------------
*
problem je što kad jednom sednem da radim nešto više ne umem da ustanem
Martin Jovanovi
*
Osnovi aritmetike oznaenih brojeva
U okviru ovog kursa bie obraeno samo sabiranje oznaenih brojeva, u proizvoljnom BS.
Primeri e biti uraeni u:
dekadnom BS, radi ilustracije, i
u binarnom BS, jer je to, sa aspekta raunara, realan sluaj.
Akcenat e biti stavljen na sabiranje u kome uestvuje jedan negativan broj, ali predstavljen na nain koji odgovara unutrašnjoj predstavi raunara (komplement).
Sabiranje pozitivnih brojeva ne donosi ništa novo.
Sabiranje u kome uestvuje negativan broj zapravo predstavlja oduzimanje, tako da je ovim pokrivena i ta raunska radnja
Mnoenje i deljenje oznaenih brojeva (na nain kako se to odvija u raunaru) je izvan opsega ovog kursa.
Martin Jovanovi
*
X=111,11 Y=(-100,10)
XNK+YNK= 111,11
1 odsee i doda u poziciju
-------- najmanje teine, i dobije se
11,01 rezultat!
saberu se brojevi u NK, ukljuujui i mesto za znak,
prenos na mestu znaka broja se odbaci...
...i doda se na poziciju najmanje teine.
Sabiranje u PK (teorema):
saberu se brojevi u PK, ukljuujui i mesto za znak, i
prenos na mestu znaka se odbaci (i ništa više).
1
X=111,11 Y=(-100,10)
XPK+YPK= 111,11
10011,01 ovde jednostavno ignoriše...
*
Ne mrdaj text boxove, zapravo ne diraj ništa!!!
ISPRAVKA (18.12.2008.) – u desnom boxu je pisalo Xnk+Ynk, a treba pk. Prijavljeno od strane studenta. Hvala!
Predstavljanje podataka u raunaru
Martin Jovanovi
*
O podacima
Sve što postoji od podataka u raunaru, tamo stoji u vidu brojeva.
Svako slovo teksta koji je otkucan.
Svaki ton pesme koja je snimljena.
Svaka takica (pixel) slike koja je na ekranu.
Panja. Ovde nije akcenat na tome da li su to binarni ili neki drugi brojevi. Vano je shvatiti da su brojevi. Sve unutar mašine su brojevi.
Do sada smo ve nauili da su u našim raunarima to brojevi iz binarnog brojnog sistema, mada ne mora da bude tako, postoje raunari koji rade u drugim BS.
Za poetak ovog dela izlaganja zaboraviemo na to da li su binarni ili nisu. Bitno je da su brojevi.
Panja.
Martin Jovanovi
*
(Jedna od) podela podataka u ra.
Dakle, svaki podatak koji raunar ima u sebi predstavljen je brojem.
Sa druge strane, podatke (uopšte uzevši) je mogue podeliti na dve grupe:
numerike (brojane) podatke, i
nenumerike (ostale) podatke.
Inae, ovde se neemo baviti time kako i u kom obliku podaci ulaze u raunar. Zanima nas samo ono što je ve unura.
Martin Jovanovi
*
Primeri za oba tipa podataka:
Numeriki (brojani podaci) su podaci u raunaru koji simbolišu neke veliine ili odnose, odnosno predstavljaju neke brojne vrednosti "iz ivota".
Primer: brojevi indeksa studenata.
Nenumeriki podaci su podaci u raunaru koji sadre neku informaciju koja se u spoljnom svetu (van raunara) ne moe predstaviti brojevima. Primera ima mnogo više nego primera za numerike podatke:
obian tekst,
slika,
Martin Jovanovi
*
Pošto se u raunaru sve predstavlja nekim brojevima, to vai sledee:
Numeriki podaci (brojevi iz realnog ivota) se u raunaru predstavljaju brojevima.
Ovo je logino, ali
nije tako jednostavno, zato što je neophodno brojeve u raunaru predstaviti na nain koji je njemu (raunaru) "razumljiv", odnosno
po formatu prilagoen nainu na koji su projektovani njegovi delovi (procesor, magistrala, memorija itd).
Primer: recimo da raunar ima 32-bitne memorijske lokacije; u tom sluaju svaki broj mora biti na neki nain uklopljen u 32 binarnih cifara i tu nema odstupanja!
Martin Jovanovi
*
Problem koji ovde nastaje jeste velika raznolikost nenumerikih podataka:
najrazliitiji tekstovi sa mnogo propratnih informacija o formatu,
web dokumenti sa takoe mnogo razliitih formata,
baze podataka sa formatima koje diktiraju kompanije,
slike (bitmapirane, vektorske, kompresovane ili ne...),
zvuci (u razliitim kvalitetima, sa ili bez kompresije...),
programi (prevedeni ili ne, sa dodatnim informacijama),
biblioteke funkcija, resursi za izvršenje programa... itd.
Na sreu još uvek nije pronaena konverzija mirisa u brojeve.
Svaki podatak nenumerikog tipa prevodi se u niz brojeva, predstavljenih na nain blizak raunaru.
Sve transformacije se dalje vrše nad tim brojevima, a podaci se takoe u tom formatu skladiraju na masovnim memorijskim medijima (magnetnim, optikim itd).
Martin Jovanovi
Predstavljanje numerikih podataka
Pre daljeg izlaganja pogledati dodatni dokument pod nazivom: "Digresija 1: Pojednostavljena pria o funkcionisanju raunara i problemima predstavljanja numerikih podataka".
Ovaj dokument predstavlja uvod za nastavak ovog izlaganja. Izdvojen je kao poseban da bi ova prezentacija bila preglednija.
Martin Jovanovi
*
Numeriki podaci mogu biti neoznaeni i oznaeni.
Osnovna razlika, u smislu predstavljanja u raunaru, lei u tome što se, kod oznaenih brojeva, jedan bit odvaja za znak.
Samim tim, za predstavljanje samog broja (njegove apsolutne vrednosti), na raspolaganju stoji jedan bit manje. A posledica toga je smanjenje opsega brojeva koji se mogu na taj nain predstaviti.
Primer (sa celim brojevima): ako je raunar 32-bitan, neoznaen ceo broj se predstavlja sa 32 bita, što znai da je mogue predstaviti cele brojeve od 0 do 232-1=4294967295. Ako pak jedan bit odvojimo za znak, ostaje nam 31 bit za predstavljanje apsolutne vrednosti, tako da opseg prema negativnim brojevima ide od -1 do -231=2147483648, a prema pozitivnim brojevima od 0 (smatra se pozitivnim) do 231-1=2147483647.
Martin Jovanovi
*
U programerskoj praksi se podrazumeva da su brojevi oznaeni. Neoznaeni brojevi se koriste u retkim sluajevima, i tada se u programu posebno naznai (recimo, u nekim jezicima, dodavanjem prefiksa unsigned) da e dati broj biti smatran neoznaenim. Ovo se uglavnom radi sa celim brojevima.
Osim na oznaene i neoznaene (pri emu emo od sad raditi samo sa oznaenim), numeriki podaci se dele na celobrojne (integer) i razlomljene.
Martin Jovanovi
*
brojeve sa pokretnim zarezom (float).
Re "float" znai plutati. U engleskom jeziku ona se koristi za ovaj tip podataka, tako da u srpskom postoji i izraz "brojevi u plivajuem zarezu", gde je "plivajui" sinonim za "pokretni".
Brojevi u fiksnom zarezu su oni brojevi kod kojih se unapred zna broj pozicija za razlomljeni deo. U pitanju su (u raunaru), naravno, pozicije za binarne brojeve.
Brojevi u pokretnom zarezu se tako predstavljaju da je mogue imati više ili manje pozicija za razlomljeni deo, zavisno od potrebe. Dele se na:
one sa jednostrukom tanošu (float), i
one sa dvostrukom tašnošu (double).
Kod ovih je ostavljeno više bitova za razlomljeni deo.
Martin Jovanovi
*
Brojevi (numeriki podaci
predstavljeni u raunaru)
Martin Jovanovi
*
Opseg: od -231 do 231-1.
Kôd znaka
Martin Jovanovi
*
1 pozicija za znak.
m+n+1=32.
Broj pozicija za razlomljeni deo zavisi od konkretne izvedbe raunara, ili konkretnog rešenja u jeziku u kome se programira.
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Martin Jovanovi
*
Under construction
Martin Jovanovi
*
R=m·be
R – vrednost broja
Martin Jovanovi
*
m=0,1bbbbbbb
bÎ{0,1}
(ovo znai da se podrazumeva nula, i jedinica, a ono što piše u samom zapisu broja, u memorijskoj lokaciji, to su ostale cifre, obeleene sa bbbbb).
Novi (normalizovani) oblik mantise:
m=1,bbbbbb
bÎ{0,1}
Kod ovog oblika mantise, podrazumeva se jedinica, a ono što je iza zareza – to je ono što zapravo stoji u memorijskoj lokaciji.
Martin Jovanovi
*
Predstavljanje bilo kog broja u pokretnom zarezu ide na sledei nain:
Mantisa je uvek razlomljena!
Primer: broj 10 (binarno).
mantisa e biti (normalizovani oblik): 1,0
pošto se kod normalizovanog oblika mantise podrazumeva jedinica ispred decimalnog zareza, to e zapravo u zapisu broja, u delu za mantisu, biti samo nule
sve ove cifre su binarne
eksponent e biti: 1 (binarno, mada je to isto i dek.)
samim tim, konana vrednost broja je: 1,0·101=10.
sve cifre su binarne!
Martin Jovanovi
*
Under construction
Martin Jovanovi
*
Pokretni zarez – dvostruka tanost
Razlika je jedino u tome što se ovde odvaja više binarnih pozicija za manticu, te se samim tim neka vrednost moe predstaviti sa veom preciznošu, odnosno tanošu.
Umesto jedne lokacije, koriste se dve (ukupno 64 bita). Recimo to bi moglo izgledati ovako (zamišljen primer):
Znak
Exponent
Martin Jovanovi
*
Under construction.
Martin Jovanovi
*
Predstavljanje nenumerikih podataka
Kako je reeno ranije u tekstu, svi podaci, pa i nenumeriki, predstavljaju se brojevima.
U okviru ovog kursa bie pokazano kako se predstavljaju:
slike,
slova (tekst).
Martin Jovanovi
*
Predstavljanje slike – uvodni primer
U okviru ovog kursa neemo se detaljno baviti ovom problematikom, pa e ovaj uvodni deo samo sluiti kao priprema za nastavak izlaganja.
Slika na ekranu sastoji se od taaka (mozaik). Ona zapravo predstavlja matricu taaka (npr. 1024x768 taaka) koje svetle u odreenim bojama i formiraju sliku.
Jedna taka naziva se pixel (izraz je usvojen u srpskom jeziku, i iskljuivo se koristi: "piksel").
Martin Jovanovi
*
Svaki od ta tri dela daje pikselu jednu boju:
crvenu (red),
plavu (blue).
Dokazano je da se kombinacijom ove tri osnovne boje moe dobiti bilo koja boja.
Ovakav pristup formiranju boja kod piksela naziva se RGB pristup (RedGreenBlue).
Jedan piksel dobija odreenu boju tako što svaki od njegova tri dela uestvuje sa svojom bojom u odreenom intenzitetu (osvetljaju).
Intenzitet boje svake od 3 komponente jednog piksela se oznaava brojem!
Martin Jovanovi
*
To je ukupno 786432 piksela.
Svaki od piksela ima po 3 komponente.
Intenzitet osvetljaja boje svake komponente je predstavljen nekim brojem.
To je ukupno 786432·3=2359296 brojeva.
Niz tih brojeva je zapravo nain na koji se slika predstavlja u memoriji raunara!
Postoje mnogi drugi naini za predstavljanje slike, ali ovaj je najprostiji i najosnovniji.
Na analogni nain se predstavljaju i zvuci, animacije itd (sve na svoj nain, ali brojevima!).
Martin Jovanovi
*
Bilo kakva transformacija nad slikom (promena kolorita slike, ili jasnoe, ili osvetljenja itd) koju radimo u nekom programu za manipulaciju slikama, se u raunaru izvodi zapravo kao niz nekih matematikih operacija nad brojevima koji ine unutrašnju predstavu te slike u raunaru.
Primer: ako damo komandu za zatamnjenje slike, na primer, za 10%:
Program uzima brojeve koji ine sliku, jedan po jedan.
Slika je, naravno, smeštena negde u memoriji, poev od neke memorijske lokacije, u nizu uzastopnih lokacija. Procesor zna gde je smeštena.
Svaki broj koji uzme, procesor e umanjiti za 10% (mnoi ga sa 0,9) i vratiti ga na lokaciju sa koje ga je uzeo.
Martin Jovanovi
*
O diskretnom predstavljanju podatka
Nakon što smo stekli sliku kako se nenumeriki podaci predstavljaju u raunaru, vreme je da usvojimo neke injenice iz opšte teorije diskretnog predstavljanja podataka.
Azbuka je konaan neprazan skup simbola koji se koriste za predstavljanje podataka.
Simbol (ili znak) je nedeljiva jedinica:
velika i mala slova azbuke,
dekadne cifre i
specijalni znaci.
Dopisivanjem simbola jednog za drugim dobija se niz simbola jedne azbuke koji se zove re.
Podsup skupa svih rei koje se mogu sastaviti od slova neke azbuke je jezik nad tom azbukom.
Martin Jovanovi
*
Neka je zadat skup B od n objekata: B={b1,…,bn}.
Neka je azbuka A sast. od m simbola: A={a1,…,am}.
Ako se svakom objektu bi iz B pridrui po jedna re azbuke A, onda se dobijeni skup rei K zove kôd informacija B u azbuci A.
Proces pridruivanja rei azbuke A elementima skupa B zove se kodiranje, a suprotan proces – dekodiranje.
Martin Jovanovi
*
Ako su sve rei supa K razliite, kôd je jednoznaan.
U suprotnom je višeznaan.
Ako sve rei koje ine kôd imaju istu duinu, kae se da je kod ravnomeran.
Ako izabrani ravnomerni kôd obuhvata sve mogue rei duine q nad azbukom A, kae se da je kôd potpun.
U suprotnom je nepotpun.
Martin Jovanovi
*
Binarno kodiranje
Sve informacije kod današnjih raunara kodiraju se reima binarne azbuke A={0,1}.
O razlozima za ovo bilo je rei na poetku.
Kodiranje reima binarne azbuke naziva se binarno kodiranje.
Ovo ima univerzalno znaenje. Na primer kod predstavljanja slike, svaka boja je predstavljena brojem (kombinacijom 3 broja za R,G i B komponentu). Naravno, u pitanju je binarni broj. Dakle izvršeno je binarno kodiranje boja. S obzirom da je jezik kojim je izvršeno kodiranje konaan, to je i broj boja koje se mogu predstaviti u raunaru – konaan.
Martin Jovanovi
*
U nastavku emo se pozabaviti kodiranjem znakova.
Svaki raunar ima svoju slovnu azbuku, koja se sastoji iz znakova.
Kao što je napred navedeno, oni se dele na:
brojeve,
specijalne (upravljake, kontrolne itd) znake.
Jedan pojedinani znak ima uobiajen naziv "character" (ta re je kao takva, fonetski prevedena, usvojena i kod nas – "karakter").
Martin Jovanovi
*
ASCII, i
ASCII (ita se "aski") je skraeno od: American Standard Code for Information Interchange.
Ovaj kôd je 7-bitan (slova su duine 7 binarnih cifara).
EBCDIC.
EBCDIC (ita se "ebsidik") je skraeno od: Extended Binary Coded Decimal Interchange Code).
Ovaj kôd je 8-bitan.
Kodne tablice skinuti sa istog sajta kao i ovo.
Kao što se moe videti, puno znakova ima upravljako znaenje (npr: LF – Line Feed, znak štampau da preskoi jednu liniju).
Ovi kôdovi slue kao jezik za komunikaciju izmeu razliitih delova raunarskog sistema (na primer za komunikaciju sa štampaem).
Martin Jovanovi
*
BCD znai Binary Coded Decimal.
Ovo su posebni kôdovi za predstavljanje cifara iz dekadnog brojnog sistema.
Postoji nekoliko varijanti BCD kôda
8421 (tzv. "prirodni" BCD kôd),
2421 (tzv. "Ajken" BCD kôd),
5421,
BCD kôd "višak 3" itd.
Kod kôdova koji su imaju brojeve u nazivu, radi se o teinama koje se pripisuju binarnim ciframa. Kod kôda 8421 teine su iste kao kod binarnog BS, pa se zato on naziva "prirodnim".
Martin Jovanovi
*
Nekoliko najpoznatihih BCD kôdova dato je u priloenoj BCD kodnoj tablici.
Za BCD kôd se kae da je komplementaran (ili da ispunjava uslov komplementarnosti) ukoliko vai sledee:
Drugaije reeno: ako je kôd broja 0 recimo 0000, onda je kôd broja 9 – 1111. Zbir 0+9 je 9, a svaka cifra u kôdu prvog broja je komplement odgovarajue cifre u kôdu drugog broja. Tipian takav kôd je Ajken.
Isto vai i za brojeve 1 i 8. Njihov zbir je 9, i za njih su Ajken kôdovi: 0001 i 1110, respektivno. Ovde se još bolje vidi da su sve cifre u kôdovima komplementarne.
2 i 7: 0010 i 1101... itd.
Martin Jovanovi
*
Kodne tablice odgovarajuih kodova nalaze se u priloenim dokumentima.
Martin Jovanovi
*
Martin Jovanovi
*
å

Uvod u racunarstvo

Documents

Transcript of Uvod u racunarstvo