Uvod u planiranje i analizu pokusa - unizg.hr · Osnove teoriUvod u planiranje i analizu pokusaje...
Transcript of Uvod u planiranje i analizu pokusa - unizg.hr · Osnove teoriUvod u planiranje i analizu pokusaje...
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Uvod u planiranje i analizu pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Statistika - znanost koja daje potporu pri donošenju odluka i zaključaka u slučaju kada je prisutna varijabilnost
bull Inženjerski i znanstveni pristup jest skup metoda kojima se formulira i rješava zadani problem
bull Područje statistike se bavi prikupljanjem prezentacijom analizom i upotrebom dobivenih rezultata u procesu donošenja odluka rješavanja problema te oblikovanja proizvoda i procesa
bull Statističke metode - opisivanje i razumijevanje varijabilnosti
1 Uvod u statističku analizu
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Potrebno je uključiti činjenicu varijabilnosti u proces donošenja odluka ndashstatistički princip
bull Statistika ndash daje okvir za istraživanje varijabilnosti te identifikaciju potencijalnih izvora (faktora)
bull Uobičajen način razmišljanja - primjena općenitih (fizikalnih) zakona u oblikovanju proizvoda ili procesa
bull Istraživački pristup upotrebom statističkog zaključivanja (eng Statistical inference) ndash jest da na temelju specifičnih podataka dobivenih iz uzorka se zaključuje o populaciji
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
2 Osnove teorije uzoraka
UZORAK slučajni reprezentativni dio osnovnog skupa ndash populacije
21 1
22 2
2
1uzorak
2uzorak
uzorak i i
n x
n x
i n x
Uzorci
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Razdioba aritmetičke sredine uzorka
osnovni skup
aritm sredina uzorka
20( ) N E x
2( ) N xE x
Raspon osnovnog skupa
2x3x
4x
5x6x
x x
( )( )
f x f x
razdioba aritmetičke
sredine uzorka
osnovni skup
x1
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralni granični teorem- Razdiobe aritmetičkih sredina uzoraka vrlo brzo se približavaju
normalnoj raspodjeli neovisno o vrsti raspodjele u osnovnom skupu ako veličina uzorka teži u beskonačnost
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Nepristrane procjene parametara osnovnog skupaPojam nepristrane procjeneneka varijabla nepristrano procjenjuje parametar osnovnog skupa Θako vrijedi
( )E
( ) ( )E x E x
2 20( )E
2 20( )E s
dakle uzorka nepristrano procjenjuje očekivanja osn skupa
dakle varijanca uzorka nije nepristrana procjena varijance osnovnog skupa
dakle varijabla nepristrano procjenjuje
varijancu osnovnog skupa
2 2
1ns
n
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Standardna pogreška aritmetičke sredine uzorka
Pomoću varijable s2 određuje se
bull VAŽNO
k = (n ndash 1) broj stupnjeva slobode uzorka od n podataka
2x
22 0 0
22
x x
x x
n ns ss sn n
2
2 1
( )
1
n
ii
x xs
n
standardna pogreškaar sredine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena očekivanja osnovnog skupa
2
2 (1 2)
121( )
2
x x
x
z
x z x z
xz
f z e
xz
interval povjerenja(vjerodostojnosti)
varijabla standardizirane normalne razdiobe
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2 30ndash1ndash2ndash3 z
f(z)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Važnobull Veliki uzorci n gt 30 elemenata podataka
ndash vrijednost varijable z rarr iz standardizirane normalne razdiobebull Mali uzorci n le 30 elemenata podataka
ndash koristiti Studentovu t-razdiobu
Studentova t-razdioba bull simetričnabull za velike uzorke se ne
razlikuje od normalne razdiobe
t
f(t) N 01
Studentova t-razdioba sak = n ndash 1 stupanj slobode
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
bull Za velike uzorkeKoristiti standardiziranu (jediničnu) normalnu razdiobu
bull Za male uzorkeKoristiti Studentovu t-razdiobu s parametrom k = n ndash 1
( 2) (1 2)s sx z x zn n ( 2) ( 1 2)k k
s sx t x tn n
01varijabla Nz varijabla Studentove t-razdiobe
t
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjerbull Podaci utvrđeni u nekom procesu
521 490 514 500 503 496 506 508 510 517Intervalno procijeniti očekivanje osnovnog skupa iz kojeg potječe uzorak uz interval vjerodostojnosti 1 ndash = 095 (95)
bull Rezultati dobiveni računanjem iz uzorkan = 10 = 5065 s = 096x
( 2) (1 2)
096 0965065 2262 5065 226210 10
4996 5134 uz P 095 (95)
s sx t x tn n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Opaskabull U slučaju kada je poznata standardna devijacija osnovnog skupa nije nužno
korištenje Studentove t-razdiobe kao ni nepristrane procjene standardne pogreške
bull U tom je slučaju
bull Za prethodni primjerako prihvatimo da je standardna devijacija osnovnog skupa slijedi
( 2) (1 2)x z x zn n
1 15065 196 5065 19610 10
5003 5127 uz P 095 (95)
1
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena proporcijaUzorkovanje nekog dvoslojnog osnovnog skupa (populacije) u kojem neki događaj ima proporciju P rezultiralo bi slučajnom varijablom p tj proporcijom istog događaja ali u uzorku
Vrijedi
( 2) (1 2)p pp z s P p z s
uz povjerenje (vjerodostojnost) procjene (1 ndash )
1 2
2
( )f p
pP1p 2p
( ) pN E p P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Važne pretpostavkendash proporcija uzorka
ndash sp nepristrana procjena standardne pogreške proporcije
uzorka
ndash n veličina uzorka
ndash VRIJEDI SAMO ZA VELIKE UZORKE (n rarr 100)
( )( ) pp N E p P
1pp qs q pn
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena varijance
bull Varijance (osobito malih) uzoraka ne rasipaju se normalno oko varijance osnovnog skupa
bull Vrijedi (K Pearson 1857ndash1936)
ndash varijabla rasipa se prema 2 razdiobi s
k = n ndash 1 stupanj slobode 2
2 2( 2) (1 2)2
0
n
uz vjerojatnost (1 ndash )2( )E k
k = n ndash 1
1
2( 2) 2
(1 2)
2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15
220
2 22
2 21 10 0
( )n ni
i i
x x n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
2 2202 2
(1 2) ( 2)
n n
uz razinu povjerenja (1 ndash )
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
3 Testiranje statističkih hipoteza
bull TSH predstavlja postupak donošenja odluke na bazi uzorkabull uzorak n podataka x1 x2 xn
bull rezultati se uzorka mogu shvatiti kao točka u n - dimenzionalnom prostoru
bull prostor se može podijeliti na dva međusobno disjunktna dijela (koji se isključuju) dio A i dio B
U praksi umjesto n - dimenzionalnog modelaslužimo se jednodimenzionalnim varijablama(uglavnom)
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Postavimo dvije hipoteze
H0 nulta hipotezaH1 alternativna hipoteza
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu A smatramo hipotezu H0 ispravnom i prihvaćamo je
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu B smatramo hipotezu H0 neispravnom i odbacujemo je
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pogreške pri testiranju hipoteza
bull Očito pri uporabi opisanog modela moguće su pogreškebull Uzrok pogrešaka slučajnost odabira elemenata uzorkabull Vrste pogrešaka
ndash Pogreška 1 vrste nastaje odbacivanjem nulte hipoteze H0 (i prihvaćanjem alternativne hipoteze H1) iako je hipoteza H0 ispravna
bull Vjerojatnost pogreške 1 vrste
ndash Pogreška 2 vrste nastaje prihvaćanjem hipoteze H0 u uvjetima ispravnosti alternativne hipoteze H1
bull Vjerojatnost pogreške 2 vrste
0 POGREŠNO ODBACIVANJE HIPOTEZE HoP T B H
1 POGREŠNO PRIHVAĆANJE HIPOTEZE HoP T A H
bull Jakost (moć) testa predstavlja vjerojatnost odbacivanja nulte hipoteze kada je uistinu neispravna
+ p = 1 p = 1 ndash ISPRAVNO ODBACIVANJE Ho
1p B H P T
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Hipoteza HoStanje
ISTINITA NEISTINITA
ODLUKA
OdbacitiPogreška 1 vrste
ISPRAVNO
Prihvatiti ISPRAVNOPogreška 2 vrste
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za očekivanjebull Uzorak ndash osnovni skup hipotezebull Razdioba aritmetičke sredine uzorka
ndash Studentova razdioba s k = n ndash 1 st slob
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2
2
0t
( )f t
t00t
k = n ndash 1 ss
0
1
ndash dvostrani test
H xH x
1
1
ndash jednostrani testovi
H xH x
Pogodna jednodimenzionalna varijabla
Ako je odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
x
xt
s
varijabla Studentove t-razdiobe k = n ndash 1stup slobode
0račt t
Hipoteze
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Podaci iz primjera za intervalnu procjenu očekivanja n = 10 = 5065 s = 096bull Provjeriti hipotezu da je riječ o podacima skupa čije je očekivanje 515 jedinica
naprama alternativnoj hipotezibull Vjerojatnost pogreške 1 vrste neka iznosi 005 ( = 005)
0 1 515 515 ( 515)H x H x
5065 5150 085 27997096 0303610
račt
005
( )f t
t00 1833t
27997račt
Zaključak
0 0ODBACITIračt t H
515
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Provjera hipoteza uzorak ndash uzorak (test očekivanja)
bull 1 skup očekivanje 1 varijanca 201
1 uzorak n1 podataka bull 2 skup očekivanje 2 varijanca 2
02 2 uzorak n2 podataka
Hipoteze
1
2 21 1 xx s s
2
2 22 2 xx s s
0 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
HHHH
1 1 2x x
1( )f x
2( )f x
2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja skupa iz kojeg uzorak potječe
bull njihova razlika rasipat će se oko veličinebull pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita
varijabla d će se rasipati oko 0
1 2d x x 1 2D 1 2
2
2
( )f d
d0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull pri tome je standardna pogreška varijable d
bull varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze
2 21 2
1 2
2 21 1 2 2 1 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)2
d
d
s ssn n
n s n s n nsn n n n
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 gt 30
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 lt 30i ako se n1 i n2 znatno razlikuju
1 2rač
d
x xt
s
varijabla Studentove t-razdiobes k = n1 + n2 ndash 2 s s
Ako odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
0račt t
2
2
0t
( )f t
t00t
k = n1 + n2 ndash 2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)
bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s
proporcijom P elementa sa svojstvom A
ndash uzorak n elemenata s proporcijom p
ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko
proporcije P ima standardnu pogrešku
bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi
ndash uzorci
ndash nulta hipotezandash alternativna hip
pp qsn
1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2
n1 pod proporcija p1
n2 pod proporcija p2
0 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1 2
H P PH P PH P PH P P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Statistika - znanost koja daje potporu pri donošenju odluka i zaključaka u slučaju kada je prisutna varijabilnost
bull Inženjerski i znanstveni pristup jest skup metoda kojima se formulira i rješava zadani problem
bull Područje statistike se bavi prikupljanjem prezentacijom analizom i upotrebom dobivenih rezultata u procesu donošenja odluka rješavanja problema te oblikovanja proizvoda i procesa
bull Statističke metode - opisivanje i razumijevanje varijabilnosti
1 Uvod u statističku analizu
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Potrebno je uključiti činjenicu varijabilnosti u proces donošenja odluka ndashstatistički princip
bull Statistika ndash daje okvir za istraživanje varijabilnosti te identifikaciju potencijalnih izvora (faktora)
bull Uobičajen način razmišljanja - primjena općenitih (fizikalnih) zakona u oblikovanju proizvoda ili procesa
bull Istraživački pristup upotrebom statističkog zaključivanja (eng Statistical inference) ndash jest da na temelju specifičnih podataka dobivenih iz uzorka se zaključuje o populaciji
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
2 Osnove teorije uzoraka
UZORAK slučajni reprezentativni dio osnovnog skupa ndash populacije
21 1
22 2
2
1uzorak
2uzorak
uzorak i i
n x
n x
i n x
Uzorci
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Razdioba aritmetičke sredine uzorka
osnovni skup
aritm sredina uzorka
20( ) N E x
2( ) N xE x
Raspon osnovnog skupa
2x3x
4x
5x6x
x x
( )( )
f x f x
razdioba aritmetičke
sredine uzorka
osnovni skup
x1
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralni granični teorem- Razdiobe aritmetičkih sredina uzoraka vrlo brzo se približavaju
normalnoj raspodjeli neovisno o vrsti raspodjele u osnovnom skupu ako veličina uzorka teži u beskonačnost
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Nepristrane procjene parametara osnovnog skupaPojam nepristrane procjeneneka varijabla nepristrano procjenjuje parametar osnovnog skupa Θako vrijedi
( )E
( ) ( )E x E x
2 20( )E
2 20( )E s
dakle uzorka nepristrano procjenjuje očekivanja osn skupa
dakle varijanca uzorka nije nepristrana procjena varijance osnovnog skupa
dakle varijabla nepristrano procjenjuje
varijancu osnovnog skupa
2 2
1ns
n
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Standardna pogreška aritmetičke sredine uzorka
Pomoću varijable s2 određuje se
bull VAŽNO
k = (n ndash 1) broj stupnjeva slobode uzorka od n podataka
2x
22 0 0
22
x x
x x
n ns ss sn n
2
2 1
( )
1
n
ii
x xs
n
standardna pogreškaar sredine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena očekivanja osnovnog skupa
2
2 (1 2)
121( )
2
x x
x
z
x z x z
xz
f z e
xz
interval povjerenja(vjerodostojnosti)
varijabla standardizirane normalne razdiobe
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2 30ndash1ndash2ndash3 z
f(z)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Važnobull Veliki uzorci n gt 30 elemenata podataka
ndash vrijednost varijable z rarr iz standardizirane normalne razdiobebull Mali uzorci n le 30 elemenata podataka
ndash koristiti Studentovu t-razdiobu
Studentova t-razdioba bull simetričnabull za velike uzorke se ne
razlikuje od normalne razdiobe
t
f(t) N 01
Studentova t-razdioba sak = n ndash 1 stupanj slobode
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
bull Za velike uzorkeKoristiti standardiziranu (jediničnu) normalnu razdiobu
bull Za male uzorkeKoristiti Studentovu t-razdiobu s parametrom k = n ndash 1
( 2) (1 2)s sx z x zn n ( 2) ( 1 2)k k
s sx t x tn n
01varijabla Nz varijabla Studentove t-razdiobe
t
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjerbull Podaci utvrđeni u nekom procesu
521 490 514 500 503 496 506 508 510 517Intervalno procijeniti očekivanje osnovnog skupa iz kojeg potječe uzorak uz interval vjerodostojnosti 1 ndash = 095 (95)
bull Rezultati dobiveni računanjem iz uzorkan = 10 = 5065 s = 096x
( 2) (1 2)
096 0965065 2262 5065 226210 10
4996 5134 uz P 095 (95)
s sx t x tn n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Opaskabull U slučaju kada je poznata standardna devijacija osnovnog skupa nije nužno
korištenje Studentove t-razdiobe kao ni nepristrane procjene standardne pogreške
bull U tom je slučaju
bull Za prethodni primjerako prihvatimo da je standardna devijacija osnovnog skupa slijedi
( 2) (1 2)x z x zn n
1 15065 196 5065 19610 10
5003 5127 uz P 095 (95)
1
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena proporcijaUzorkovanje nekog dvoslojnog osnovnog skupa (populacije) u kojem neki događaj ima proporciju P rezultiralo bi slučajnom varijablom p tj proporcijom istog događaja ali u uzorku
Vrijedi
( 2) (1 2)p pp z s P p z s
uz povjerenje (vjerodostojnost) procjene (1 ndash )
1 2
2
( )f p
pP1p 2p
( ) pN E p P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Važne pretpostavkendash proporcija uzorka
ndash sp nepristrana procjena standardne pogreške proporcije
uzorka
ndash n veličina uzorka
ndash VRIJEDI SAMO ZA VELIKE UZORKE (n rarr 100)
( )( ) pp N E p P
1pp qs q pn
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena varijance
bull Varijance (osobito malih) uzoraka ne rasipaju se normalno oko varijance osnovnog skupa
bull Vrijedi (K Pearson 1857ndash1936)
ndash varijabla rasipa se prema 2 razdiobi s
k = n ndash 1 stupanj slobode 2
2 2( 2) (1 2)2
0
n
uz vjerojatnost (1 ndash )2( )E k
k = n ndash 1
1
2( 2) 2
(1 2)
2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15
220
2 22
2 21 10 0
( )n ni
i i
x x n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
2 2202 2
(1 2) ( 2)
n n
uz razinu povjerenja (1 ndash )
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
3 Testiranje statističkih hipoteza
bull TSH predstavlja postupak donošenja odluke na bazi uzorkabull uzorak n podataka x1 x2 xn
bull rezultati se uzorka mogu shvatiti kao točka u n - dimenzionalnom prostoru
bull prostor se može podijeliti na dva međusobno disjunktna dijela (koji se isključuju) dio A i dio B
U praksi umjesto n - dimenzionalnog modelaslužimo se jednodimenzionalnim varijablama(uglavnom)
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Postavimo dvije hipoteze
H0 nulta hipotezaH1 alternativna hipoteza
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu A smatramo hipotezu H0 ispravnom i prihvaćamo je
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu B smatramo hipotezu H0 neispravnom i odbacujemo je
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pogreške pri testiranju hipoteza
bull Očito pri uporabi opisanog modela moguće su pogreškebull Uzrok pogrešaka slučajnost odabira elemenata uzorkabull Vrste pogrešaka
ndash Pogreška 1 vrste nastaje odbacivanjem nulte hipoteze H0 (i prihvaćanjem alternativne hipoteze H1) iako je hipoteza H0 ispravna
bull Vjerojatnost pogreške 1 vrste
ndash Pogreška 2 vrste nastaje prihvaćanjem hipoteze H0 u uvjetima ispravnosti alternativne hipoteze H1
bull Vjerojatnost pogreške 2 vrste
0 POGREŠNO ODBACIVANJE HIPOTEZE HoP T B H
1 POGREŠNO PRIHVAĆANJE HIPOTEZE HoP T A H
bull Jakost (moć) testa predstavlja vjerojatnost odbacivanja nulte hipoteze kada je uistinu neispravna
+ p = 1 p = 1 ndash ISPRAVNO ODBACIVANJE Ho
1p B H P T
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Hipoteza HoStanje
ISTINITA NEISTINITA
ODLUKA
OdbacitiPogreška 1 vrste
ISPRAVNO
Prihvatiti ISPRAVNOPogreška 2 vrste
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za očekivanjebull Uzorak ndash osnovni skup hipotezebull Razdioba aritmetičke sredine uzorka
ndash Studentova razdioba s k = n ndash 1 st slob
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2
2
0t
( )f t
t00t
k = n ndash 1 ss
0
1
ndash dvostrani test
H xH x
1
1
ndash jednostrani testovi
H xH x
Pogodna jednodimenzionalna varijabla
Ako je odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
x
xt
s
varijabla Studentove t-razdiobe k = n ndash 1stup slobode
0račt t
Hipoteze
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Podaci iz primjera za intervalnu procjenu očekivanja n = 10 = 5065 s = 096bull Provjeriti hipotezu da je riječ o podacima skupa čije je očekivanje 515 jedinica
naprama alternativnoj hipotezibull Vjerojatnost pogreške 1 vrste neka iznosi 005 ( = 005)
0 1 515 515 ( 515)H x H x
5065 5150 085 27997096 0303610
račt
005
( )f t
t00 1833t
27997račt
Zaključak
0 0ODBACITIračt t H
515
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Provjera hipoteza uzorak ndash uzorak (test očekivanja)
bull 1 skup očekivanje 1 varijanca 201
1 uzorak n1 podataka bull 2 skup očekivanje 2 varijanca 2
02 2 uzorak n2 podataka
Hipoteze
1
2 21 1 xx s s
2
2 22 2 xx s s
0 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
HHHH
1 1 2x x
1( )f x
2( )f x
2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja skupa iz kojeg uzorak potječe
bull njihova razlika rasipat će se oko veličinebull pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita
varijabla d će se rasipati oko 0
1 2d x x 1 2D 1 2
2
2
( )f d
d0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull pri tome je standardna pogreška varijable d
bull varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze
2 21 2
1 2
2 21 1 2 2 1 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)2
d
d
s ssn n
n s n s n nsn n n n
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 gt 30
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 lt 30i ako se n1 i n2 znatno razlikuju
1 2rač
d
x xt
s
varijabla Studentove t-razdiobes k = n1 + n2 ndash 2 s s
Ako odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
0račt t
2
2
0t
( )f t
t00t
k = n1 + n2 ndash 2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)
bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s
proporcijom P elementa sa svojstvom A
ndash uzorak n elemenata s proporcijom p
ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko
proporcije P ima standardnu pogrešku
bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi
ndash uzorci
ndash nulta hipotezandash alternativna hip
pp qsn
1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2
n1 pod proporcija p1
n2 pod proporcija p2
0 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1 2
H P PH P PH P PH P P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Potrebno je uključiti činjenicu varijabilnosti u proces donošenja odluka ndashstatistički princip
bull Statistika ndash daje okvir za istraživanje varijabilnosti te identifikaciju potencijalnih izvora (faktora)
bull Uobičajen način razmišljanja - primjena općenitih (fizikalnih) zakona u oblikovanju proizvoda ili procesa
bull Istraživački pristup upotrebom statističkog zaključivanja (eng Statistical inference) ndash jest da na temelju specifičnih podataka dobivenih iz uzorka se zaključuje o populaciji
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
2 Osnove teorije uzoraka
UZORAK slučajni reprezentativni dio osnovnog skupa ndash populacije
21 1
22 2
2
1uzorak
2uzorak
uzorak i i
n x
n x
i n x
Uzorci
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Razdioba aritmetičke sredine uzorka
osnovni skup
aritm sredina uzorka
20( ) N E x
2( ) N xE x
Raspon osnovnog skupa
2x3x
4x
5x6x
x x
( )( )
f x f x
razdioba aritmetičke
sredine uzorka
osnovni skup
x1
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralni granični teorem- Razdiobe aritmetičkih sredina uzoraka vrlo brzo se približavaju
normalnoj raspodjeli neovisno o vrsti raspodjele u osnovnom skupu ako veličina uzorka teži u beskonačnost
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Nepristrane procjene parametara osnovnog skupaPojam nepristrane procjeneneka varijabla nepristrano procjenjuje parametar osnovnog skupa Θako vrijedi
( )E
( ) ( )E x E x
2 20( )E
2 20( )E s
dakle uzorka nepristrano procjenjuje očekivanja osn skupa
dakle varijanca uzorka nije nepristrana procjena varijance osnovnog skupa
dakle varijabla nepristrano procjenjuje
varijancu osnovnog skupa
2 2
1ns
n
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Standardna pogreška aritmetičke sredine uzorka
Pomoću varijable s2 određuje se
bull VAŽNO
k = (n ndash 1) broj stupnjeva slobode uzorka od n podataka
2x
22 0 0
22
x x
x x
n ns ss sn n
2
2 1
( )
1
n
ii
x xs
n
standardna pogreškaar sredine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena očekivanja osnovnog skupa
2
2 (1 2)
121( )
2
x x
x
z
x z x z
xz
f z e
xz
interval povjerenja(vjerodostojnosti)
varijabla standardizirane normalne razdiobe
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2 30ndash1ndash2ndash3 z
f(z)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Važnobull Veliki uzorci n gt 30 elemenata podataka
ndash vrijednost varijable z rarr iz standardizirane normalne razdiobebull Mali uzorci n le 30 elemenata podataka
ndash koristiti Studentovu t-razdiobu
Studentova t-razdioba bull simetričnabull za velike uzorke se ne
razlikuje od normalne razdiobe
t
f(t) N 01
Studentova t-razdioba sak = n ndash 1 stupanj slobode
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
bull Za velike uzorkeKoristiti standardiziranu (jediničnu) normalnu razdiobu
bull Za male uzorkeKoristiti Studentovu t-razdiobu s parametrom k = n ndash 1
( 2) (1 2)s sx z x zn n ( 2) ( 1 2)k k
s sx t x tn n
01varijabla Nz varijabla Studentove t-razdiobe
t
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjerbull Podaci utvrđeni u nekom procesu
521 490 514 500 503 496 506 508 510 517Intervalno procijeniti očekivanje osnovnog skupa iz kojeg potječe uzorak uz interval vjerodostojnosti 1 ndash = 095 (95)
bull Rezultati dobiveni računanjem iz uzorkan = 10 = 5065 s = 096x
( 2) (1 2)
096 0965065 2262 5065 226210 10
4996 5134 uz P 095 (95)
s sx t x tn n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Opaskabull U slučaju kada je poznata standardna devijacija osnovnog skupa nije nužno
korištenje Studentove t-razdiobe kao ni nepristrane procjene standardne pogreške
bull U tom je slučaju
bull Za prethodni primjerako prihvatimo da je standardna devijacija osnovnog skupa slijedi
( 2) (1 2)x z x zn n
1 15065 196 5065 19610 10
5003 5127 uz P 095 (95)
1
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena proporcijaUzorkovanje nekog dvoslojnog osnovnog skupa (populacije) u kojem neki događaj ima proporciju P rezultiralo bi slučajnom varijablom p tj proporcijom istog događaja ali u uzorku
Vrijedi
( 2) (1 2)p pp z s P p z s
uz povjerenje (vjerodostojnost) procjene (1 ndash )
1 2
2
( )f p
pP1p 2p
( ) pN E p P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Važne pretpostavkendash proporcija uzorka
ndash sp nepristrana procjena standardne pogreške proporcije
uzorka
ndash n veličina uzorka
ndash VRIJEDI SAMO ZA VELIKE UZORKE (n rarr 100)
( )( ) pp N E p P
1pp qs q pn
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena varijance
bull Varijance (osobito malih) uzoraka ne rasipaju se normalno oko varijance osnovnog skupa
bull Vrijedi (K Pearson 1857ndash1936)
ndash varijabla rasipa se prema 2 razdiobi s
k = n ndash 1 stupanj slobode 2
2 2( 2) (1 2)2
0
n
uz vjerojatnost (1 ndash )2( )E k
k = n ndash 1
1
2( 2) 2
(1 2)
2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15
220
2 22
2 21 10 0
( )n ni
i i
x x n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
2 2202 2
(1 2) ( 2)
n n
uz razinu povjerenja (1 ndash )
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
3 Testiranje statističkih hipoteza
bull TSH predstavlja postupak donošenja odluke na bazi uzorkabull uzorak n podataka x1 x2 xn
bull rezultati se uzorka mogu shvatiti kao točka u n - dimenzionalnom prostoru
bull prostor se može podijeliti na dva međusobno disjunktna dijela (koji se isključuju) dio A i dio B
U praksi umjesto n - dimenzionalnog modelaslužimo se jednodimenzionalnim varijablama(uglavnom)
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Postavimo dvije hipoteze
H0 nulta hipotezaH1 alternativna hipoteza
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu A smatramo hipotezu H0 ispravnom i prihvaćamo je
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu B smatramo hipotezu H0 neispravnom i odbacujemo je
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pogreške pri testiranju hipoteza
bull Očito pri uporabi opisanog modela moguće su pogreškebull Uzrok pogrešaka slučajnost odabira elemenata uzorkabull Vrste pogrešaka
ndash Pogreška 1 vrste nastaje odbacivanjem nulte hipoteze H0 (i prihvaćanjem alternativne hipoteze H1) iako je hipoteza H0 ispravna
bull Vjerojatnost pogreške 1 vrste
ndash Pogreška 2 vrste nastaje prihvaćanjem hipoteze H0 u uvjetima ispravnosti alternativne hipoteze H1
bull Vjerojatnost pogreške 2 vrste
0 POGREŠNO ODBACIVANJE HIPOTEZE HoP T B H
1 POGREŠNO PRIHVAĆANJE HIPOTEZE HoP T A H
bull Jakost (moć) testa predstavlja vjerojatnost odbacivanja nulte hipoteze kada je uistinu neispravna
+ p = 1 p = 1 ndash ISPRAVNO ODBACIVANJE Ho
1p B H P T
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Hipoteza HoStanje
ISTINITA NEISTINITA
ODLUKA
OdbacitiPogreška 1 vrste
ISPRAVNO
Prihvatiti ISPRAVNOPogreška 2 vrste
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za očekivanjebull Uzorak ndash osnovni skup hipotezebull Razdioba aritmetičke sredine uzorka
ndash Studentova razdioba s k = n ndash 1 st slob
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2
2
0t
( )f t
t00t
k = n ndash 1 ss
0
1
ndash dvostrani test
H xH x
1
1
ndash jednostrani testovi
H xH x
Pogodna jednodimenzionalna varijabla
Ako je odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
x
xt
s
varijabla Studentove t-razdiobe k = n ndash 1stup slobode
0račt t
Hipoteze
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Podaci iz primjera za intervalnu procjenu očekivanja n = 10 = 5065 s = 096bull Provjeriti hipotezu da je riječ o podacima skupa čije je očekivanje 515 jedinica
naprama alternativnoj hipotezibull Vjerojatnost pogreške 1 vrste neka iznosi 005 ( = 005)
0 1 515 515 ( 515)H x H x
5065 5150 085 27997096 0303610
račt
005
( )f t
t00 1833t
27997račt
Zaključak
0 0ODBACITIračt t H
515
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Provjera hipoteza uzorak ndash uzorak (test očekivanja)
bull 1 skup očekivanje 1 varijanca 201
1 uzorak n1 podataka bull 2 skup očekivanje 2 varijanca 2
02 2 uzorak n2 podataka
Hipoteze
1
2 21 1 xx s s
2
2 22 2 xx s s
0 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
HHHH
1 1 2x x
1( )f x
2( )f x
2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja skupa iz kojeg uzorak potječe
bull njihova razlika rasipat će se oko veličinebull pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita
varijabla d će se rasipati oko 0
1 2d x x 1 2D 1 2
2
2
( )f d
d0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull pri tome je standardna pogreška varijable d
bull varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze
2 21 2
1 2
2 21 1 2 2 1 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)2
d
d
s ssn n
n s n s n nsn n n n
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 gt 30
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 lt 30i ako se n1 i n2 znatno razlikuju
1 2rač
d
x xt
s
varijabla Studentove t-razdiobes k = n1 + n2 ndash 2 s s
Ako odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
0račt t
2
2
0t
( )f t
t00t
k = n1 + n2 ndash 2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)
bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s
proporcijom P elementa sa svojstvom A
ndash uzorak n elemenata s proporcijom p
ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko
proporcije P ima standardnu pogrešku
bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi
ndash uzorci
ndash nulta hipotezandash alternativna hip
pp qsn
1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2
n1 pod proporcija p1
n2 pod proporcija p2
0 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1 2
H P PH P PH P PH P P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
2 Osnove teorije uzoraka
UZORAK slučajni reprezentativni dio osnovnog skupa ndash populacije
21 1
22 2
2
1uzorak
2uzorak
uzorak i i
n x
n x
i n x
Uzorci
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Razdioba aritmetičke sredine uzorka
osnovni skup
aritm sredina uzorka
20( ) N E x
2( ) N xE x
Raspon osnovnog skupa
2x3x
4x
5x6x
x x
( )( )
f x f x
razdioba aritmetičke
sredine uzorka
osnovni skup
x1
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralni granični teorem- Razdiobe aritmetičkih sredina uzoraka vrlo brzo se približavaju
normalnoj raspodjeli neovisno o vrsti raspodjele u osnovnom skupu ako veličina uzorka teži u beskonačnost
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Nepristrane procjene parametara osnovnog skupaPojam nepristrane procjeneneka varijabla nepristrano procjenjuje parametar osnovnog skupa Θako vrijedi
( )E
( ) ( )E x E x
2 20( )E
2 20( )E s
dakle uzorka nepristrano procjenjuje očekivanja osn skupa
dakle varijanca uzorka nije nepristrana procjena varijance osnovnog skupa
dakle varijabla nepristrano procjenjuje
varijancu osnovnog skupa
2 2
1ns
n
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Standardna pogreška aritmetičke sredine uzorka
Pomoću varijable s2 određuje se
bull VAŽNO
k = (n ndash 1) broj stupnjeva slobode uzorka od n podataka
2x
22 0 0
22
x x
x x
n ns ss sn n
2
2 1
( )
1
n
ii
x xs
n
standardna pogreškaar sredine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena očekivanja osnovnog skupa
2
2 (1 2)
121( )
2
x x
x
z
x z x z
xz
f z e
xz
interval povjerenja(vjerodostojnosti)
varijabla standardizirane normalne razdiobe
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2 30ndash1ndash2ndash3 z
f(z)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Važnobull Veliki uzorci n gt 30 elemenata podataka
ndash vrijednost varijable z rarr iz standardizirane normalne razdiobebull Mali uzorci n le 30 elemenata podataka
ndash koristiti Studentovu t-razdiobu
Studentova t-razdioba bull simetričnabull za velike uzorke se ne
razlikuje od normalne razdiobe
t
f(t) N 01
Studentova t-razdioba sak = n ndash 1 stupanj slobode
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
bull Za velike uzorkeKoristiti standardiziranu (jediničnu) normalnu razdiobu
bull Za male uzorkeKoristiti Studentovu t-razdiobu s parametrom k = n ndash 1
( 2) (1 2)s sx z x zn n ( 2) ( 1 2)k k
s sx t x tn n
01varijabla Nz varijabla Studentove t-razdiobe
t
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjerbull Podaci utvrđeni u nekom procesu
521 490 514 500 503 496 506 508 510 517Intervalno procijeniti očekivanje osnovnog skupa iz kojeg potječe uzorak uz interval vjerodostojnosti 1 ndash = 095 (95)
bull Rezultati dobiveni računanjem iz uzorkan = 10 = 5065 s = 096x
( 2) (1 2)
096 0965065 2262 5065 226210 10
4996 5134 uz P 095 (95)
s sx t x tn n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Opaskabull U slučaju kada je poznata standardna devijacija osnovnog skupa nije nužno
korištenje Studentove t-razdiobe kao ni nepristrane procjene standardne pogreške
bull U tom je slučaju
bull Za prethodni primjerako prihvatimo da je standardna devijacija osnovnog skupa slijedi
( 2) (1 2)x z x zn n
1 15065 196 5065 19610 10
5003 5127 uz P 095 (95)
1
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena proporcijaUzorkovanje nekog dvoslojnog osnovnog skupa (populacije) u kojem neki događaj ima proporciju P rezultiralo bi slučajnom varijablom p tj proporcijom istog događaja ali u uzorku
Vrijedi
( 2) (1 2)p pp z s P p z s
uz povjerenje (vjerodostojnost) procjene (1 ndash )
1 2
2
( )f p
pP1p 2p
( ) pN E p P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Važne pretpostavkendash proporcija uzorka
ndash sp nepristrana procjena standardne pogreške proporcije
uzorka
ndash n veličina uzorka
ndash VRIJEDI SAMO ZA VELIKE UZORKE (n rarr 100)
( )( ) pp N E p P
1pp qs q pn
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena varijance
bull Varijance (osobito malih) uzoraka ne rasipaju se normalno oko varijance osnovnog skupa
bull Vrijedi (K Pearson 1857ndash1936)
ndash varijabla rasipa se prema 2 razdiobi s
k = n ndash 1 stupanj slobode 2
2 2( 2) (1 2)2
0
n
uz vjerojatnost (1 ndash )2( )E k
k = n ndash 1
1
2( 2) 2
(1 2)
2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15
220
2 22
2 21 10 0
( )n ni
i i
x x n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
2 2202 2
(1 2) ( 2)
n n
uz razinu povjerenja (1 ndash )
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
3 Testiranje statističkih hipoteza
bull TSH predstavlja postupak donošenja odluke na bazi uzorkabull uzorak n podataka x1 x2 xn
bull rezultati se uzorka mogu shvatiti kao točka u n - dimenzionalnom prostoru
bull prostor se može podijeliti na dva međusobno disjunktna dijela (koji se isključuju) dio A i dio B
U praksi umjesto n - dimenzionalnog modelaslužimo se jednodimenzionalnim varijablama(uglavnom)
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Postavimo dvije hipoteze
H0 nulta hipotezaH1 alternativna hipoteza
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu A smatramo hipotezu H0 ispravnom i prihvaćamo je
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu B smatramo hipotezu H0 neispravnom i odbacujemo je
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pogreške pri testiranju hipoteza
bull Očito pri uporabi opisanog modela moguće su pogreškebull Uzrok pogrešaka slučajnost odabira elemenata uzorkabull Vrste pogrešaka
ndash Pogreška 1 vrste nastaje odbacivanjem nulte hipoteze H0 (i prihvaćanjem alternativne hipoteze H1) iako je hipoteza H0 ispravna
bull Vjerojatnost pogreške 1 vrste
ndash Pogreška 2 vrste nastaje prihvaćanjem hipoteze H0 u uvjetima ispravnosti alternativne hipoteze H1
bull Vjerojatnost pogreške 2 vrste
0 POGREŠNO ODBACIVANJE HIPOTEZE HoP T B H
1 POGREŠNO PRIHVAĆANJE HIPOTEZE HoP T A H
bull Jakost (moć) testa predstavlja vjerojatnost odbacivanja nulte hipoteze kada je uistinu neispravna
+ p = 1 p = 1 ndash ISPRAVNO ODBACIVANJE Ho
1p B H P T
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Hipoteza HoStanje
ISTINITA NEISTINITA
ODLUKA
OdbacitiPogreška 1 vrste
ISPRAVNO
Prihvatiti ISPRAVNOPogreška 2 vrste
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za očekivanjebull Uzorak ndash osnovni skup hipotezebull Razdioba aritmetičke sredine uzorka
ndash Studentova razdioba s k = n ndash 1 st slob
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2
2
0t
( )f t
t00t
k = n ndash 1 ss
0
1
ndash dvostrani test
H xH x
1
1
ndash jednostrani testovi
H xH x
Pogodna jednodimenzionalna varijabla
Ako je odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
x
xt
s
varijabla Studentove t-razdiobe k = n ndash 1stup slobode
0račt t
Hipoteze
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Podaci iz primjera za intervalnu procjenu očekivanja n = 10 = 5065 s = 096bull Provjeriti hipotezu da je riječ o podacima skupa čije je očekivanje 515 jedinica
naprama alternativnoj hipotezibull Vjerojatnost pogreške 1 vrste neka iznosi 005 ( = 005)
0 1 515 515 ( 515)H x H x
5065 5150 085 27997096 0303610
račt
005
( )f t
t00 1833t
27997račt
Zaključak
0 0ODBACITIračt t H
515
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Provjera hipoteza uzorak ndash uzorak (test očekivanja)
bull 1 skup očekivanje 1 varijanca 201
1 uzorak n1 podataka bull 2 skup očekivanje 2 varijanca 2
02 2 uzorak n2 podataka
Hipoteze
1
2 21 1 xx s s
2
2 22 2 xx s s
0 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
HHHH
1 1 2x x
1( )f x
2( )f x
2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja skupa iz kojeg uzorak potječe
bull njihova razlika rasipat će se oko veličinebull pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita
varijabla d će se rasipati oko 0
1 2d x x 1 2D 1 2
2
2
( )f d
d0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull pri tome je standardna pogreška varijable d
bull varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze
2 21 2
1 2
2 21 1 2 2 1 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)2
d
d
s ssn n
n s n s n nsn n n n
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 gt 30
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 lt 30i ako se n1 i n2 znatno razlikuju
1 2rač
d
x xt
s
varijabla Studentove t-razdiobes k = n1 + n2 ndash 2 s s
Ako odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
0račt t
2
2
0t
( )f t
t00t
k = n1 + n2 ndash 2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)
bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s
proporcijom P elementa sa svojstvom A
ndash uzorak n elemenata s proporcijom p
ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko
proporcije P ima standardnu pogrešku
bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi
ndash uzorci
ndash nulta hipotezandash alternativna hip
pp qsn
1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2
n1 pod proporcija p1
n2 pod proporcija p2
0 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1 2
H P PH P PH P PH P P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Razdioba aritmetičke sredine uzorka
osnovni skup
aritm sredina uzorka
20( ) N E x
2( ) N xE x
Raspon osnovnog skupa
2x3x
4x
5x6x
x x
( )( )
f x f x
razdioba aritmetičke
sredine uzorka
osnovni skup
x1
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralni granični teorem- Razdiobe aritmetičkih sredina uzoraka vrlo brzo se približavaju
normalnoj raspodjeli neovisno o vrsti raspodjele u osnovnom skupu ako veličina uzorka teži u beskonačnost
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Nepristrane procjene parametara osnovnog skupaPojam nepristrane procjeneneka varijabla nepristrano procjenjuje parametar osnovnog skupa Θako vrijedi
( )E
( ) ( )E x E x
2 20( )E
2 20( )E s
dakle uzorka nepristrano procjenjuje očekivanja osn skupa
dakle varijanca uzorka nije nepristrana procjena varijance osnovnog skupa
dakle varijabla nepristrano procjenjuje
varijancu osnovnog skupa
2 2
1ns
n
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Standardna pogreška aritmetičke sredine uzorka
Pomoću varijable s2 određuje se
bull VAŽNO
k = (n ndash 1) broj stupnjeva slobode uzorka od n podataka
2x
22 0 0
22
x x
x x
n ns ss sn n
2
2 1
( )
1
n
ii
x xs
n
standardna pogreškaar sredine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena očekivanja osnovnog skupa
2
2 (1 2)
121( )
2
x x
x
z
x z x z
xz
f z e
xz
interval povjerenja(vjerodostojnosti)
varijabla standardizirane normalne razdiobe
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2 30ndash1ndash2ndash3 z
f(z)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Važnobull Veliki uzorci n gt 30 elemenata podataka
ndash vrijednost varijable z rarr iz standardizirane normalne razdiobebull Mali uzorci n le 30 elemenata podataka
ndash koristiti Studentovu t-razdiobu
Studentova t-razdioba bull simetričnabull za velike uzorke se ne
razlikuje od normalne razdiobe
t
f(t) N 01
Studentova t-razdioba sak = n ndash 1 stupanj slobode
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
bull Za velike uzorkeKoristiti standardiziranu (jediničnu) normalnu razdiobu
bull Za male uzorkeKoristiti Studentovu t-razdiobu s parametrom k = n ndash 1
( 2) (1 2)s sx z x zn n ( 2) ( 1 2)k k
s sx t x tn n
01varijabla Nz varijabla Studentove t-razdiobe
t
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjerbull Podaci utvrđeni u nekom procesu
521 490 514 500 503 496 506 508 510 517Intervalno procijeniti očekivanje osnovnog skupa iz kojeg potječe uzorak uz interval vjerodostojnosti 1 ndash = 095 (95)
bull Rezultati dobiveni računanjem iz uzorkan = 10 = 5065 s = 096x
( 2) (1 2)
096 0965065 2262 5065 226210 10
4996 5134 uz P 095 (95)
s sx t x tn n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Opaskabull U slučaju kada je poznata standardna devijacija osnovnog skupa nije nužno
korištenje Studentove t-razdiobe kao ni nepristrane procjene standardne pogreške
bull U tom je slučaju
bull Za prethodni primjerako prihvatimo da je standardna devijacija osnovnog skupa slijedi
( 2) (1 2)x z x zn n
1 15065 196 5065 19610 10
5003 5127 uz P 095 (95)
1
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena proporcijaUzorkovanje nekog dvoslojnog osnovnog skupa (populacije) u kojem neki događaj ima proporciju P rezultiralo bi slučajnom varijablom p tj proporcijom istog događaja ali u uzorku
Vrijedi
( 2) (1 2)p pp z s P p z s
uz povjerenje (vjerodostojnost) procjene (1 ndash )
1 2
2
( )f p
pP1p 2p
( ) pN E p P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Važne pretpostavkendash proporcija uzorka
ndash sp nepristrana procjena standardne pogreške proporcije
uzorka
ndash n veličina uzorka
ndash VRIJEDI SAMO ZA VELIKE UZORKE (n rarr 100)
( )( ) pp N E p P
1pp qs q pn
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena varijance
bull Varijance (osobito malih) uzoraka ne rasipaju se normalno oko varijance osnovnog skupa
bull Vrijedi (K Pearson 1857ndash1936)
ndash varijabla rasipa se prema 2 razdiobi s
k = n ndash 1 stupanj slobode 2
2 2( 2) (1 2)2
0
n
uz vjerojatnost (1 ndash )2( )E k
k = n ndash 1
1
2( 2) 2
(1 2)
2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15
220
2 22
2 21 10 0
( )n ni
i i
x x n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
2 2202 2
(1 2) ( 2)
n n
uz razinu povjerenja (1 ndash )
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
3 Testiranje statističkih hipoteza
bull TSH predstavlja postupak donošenja odluke na bazi uzorkabull uzorak n podataka x1 x2 xn
bull rezultati se uzorka mogu shvatiti kao točka u n - dimenzionalnom prostoru
bull prostor se može podijeliti na dva međusobno disjunktna dijela (koji se isključuju) dio A i dio B
U praksi umjesto n - dimenzionalnog modelaslužimo se jednodimenzionalnim varijablama(uglavnom)
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Postavimo dvije hipoteze
H0 nulta hipotezaH1 alternativna hipoteza
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu A smatramo hipotezu H0 ispravnom i prihvaćamo je
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu B smatramo hipotezu H0 neispravnom i odbacujemo je
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pogreške pri testiranju hipoteza
bull Očito pri uporabi opisanog modela moguće su pogreškebull Uzrok pogrešaka slučajnost odabira elemenata uzorkabull Vrste pogrešaka
ndash Pogreška 1 vrste nastaje odbacivanjem nulte hipoteze H0 (i prihvaćanjem alternativne hipoteze H1) iako je hipoteza H0 ispravna
bull Vjerojatnost pogreške 1 vrste
ndash Pogreška 2 vrste nastaje prihvaćanjem hipoteze H0 u uvjetima ispravnosti alternativne hipoteze H1
bull Vjerojatnost pogreške 2 vrste
0 POGREŠNO ODBACIVANJE HIPOTEZE HoP T B H
1 POGREŠNO PRIHVAĆANJE HIPOTEZE HoP T A H
bull Jakost (moć) testa predstavlja vjerojatnost odbacivanja nulte hipoteze kada je uistinu neispravna
+ p = 1 p = 1 ndash ISPRAVNO ODBACIVANJE Ho
1p B H P T
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Hipoteza HoStanje
ISTINITA NEISTINITA
ODLUKA
OdbacitiPogreška 1 vrste
ISPRAVNO
Prihvatiti ISPRAVNOPogreška 2 vrste
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za očekivanjebull Uzorak ndash osnovni skup hipotezebull Razdioba aritmetičke sredine uzorka
ndash Studentova razdioba s k = n ndash 1 st slob
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2
2
0t
( )f t
t00t
k = n ndash 1 ss
0
1
ndash dvostrani test
H xH x
1
1
ndash jednostrani testovi
H xH x
Pogodna jednodimenzionalna varijabla
Ako je odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
x
xt
s
varijabla Studentove t-razdiobe k = n ndash 1stup slobode
0račt t
Hipoteze
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Podaci iz primjera za intervalnu procjenu očekivanja n = 10 = 5065 s = 096bull Provjeriti hipotezu da je riječ o podacima skupa čije je očekivanje 515 jedinica
naprama alternativnoj hipotezibull Vjerojatnost pogreške 1 vrste neka iznosi 005 ( = 005)
0 1 515 515 ( 515)H x H x
5065 5150 085 27997096 0303610
račt
005
( )f t
t00 1833t
27997račt
Zaključak
0 0ODBACITIračt t H
515
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Provjera hipoteza uzorak ndash uzorak (test očekivanja)
bull 1 skup očekivanje 1 varijanca 201
1 uzorak n1 podataka bull 2 skup očekivanje 2 varijanca 2
02 2 uzorak n2 podataka
Hipoteze
1
2 21 1 xx s s
2
2 22 2 xx s s
0 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
HHHH
1 1 2x x
1( )f x
2( )f x
2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja skupa iz kojeg uzorak potječe
bull njihova razlika rasipat će se oko veličinebull pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita
varijabla d će se rasipati oko 0
1 2d x x 1 2D 1 2
2
2
( )f d
d0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull pri tome je standardna pogreška varijable d
bull varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze
2 21 2
1 2
2 21 1 2 2 1 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)2
d
d
s ssn n
n s n s n nsn n n n
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 gt 30
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 lt 30i ako se n1 i n2 znatno razlikuju
1 2rač
d
x xt
s
varijabla Studentove t-razdiobes k = n1 + n2 ndash 2 s s
Ako odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
0račt t
2
2
0t
( )f t
t00t
k = n1 + n2 ndash 2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)
bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s
proporcijom P elementa sa svojstvom A
ndash uzorak n elemenata s proporcijom p
ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko
proporcije P ima standardnu pogrešku
bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi
ndash uzorci
ndash nulta hipotezandash alternativna hip
pp qsn
1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2
n1 pod proporcija p1
n2 pod proporcija p2
0 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1 2
H P PH P PH P PH P P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralni granični teorem- Razdiobe aritmetičkih sredina uzoraka vrlo brzo se približavaju
normalnoj raspodjeli neovisno o vrsti raspodjele u osnovnom skupu ako veličina uzorka teži u beskonačnost
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Nepristrane procjene parametara osnovnog skupaPojam nepristrane procjeneneka varijabla nepristrano procjenjuje parametar osnovnog skupa Θako vrijedi
( )E
( ) ( )E x E x
2 20( )E
2 20( )E s
dakle uzorka nepristrano procjenjuje očekivanja osn skupa
dakle varijanca uzorka nije nepristrana procjena varijance osnovnog skupa
dakle varijabla nepristrano procjenjuje
varijancu osnovnog skupa
2 2
1ns
n
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Standardna pogreška aritmetičke sredine uzorka
Pomoću varijable s2 određuje se
bull VAŽNO
k = (n ndash 1) broj stupnjeva slobode uzorka od n podataka
2x
22 0 0
22
x x
x x
n ns ss sn n
2
2 1
( )
1
n
ii
x xs
n
standardna pogreškaar sredine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena očekivanja osnovnog skupa
2
2 (1 2)
121( )
2
x x
x
z
x z x z
xz
f z e
xz
interval povjerenja(vjerodostojnosti)
varijabla standardizirane normalne razdiobe
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2 30ndash1ndash2ndash3 z
f(z)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Važnobull Veliki uzorci n gt 30 elemenata podataka
ndash vrijednost varijable z rarr iz standardizirane normalne razdiobebull Mali uzorci n le 30 elemenata podataka
ndash koristiti Studentovu t-razdiobu
Studentova t-razdioba bull simetričnabull za velike uzorke se ne
razlikuje od normalne razdiobe
t
f(t) N 01
Studentova t-razdioba sak = n ndash 1 stupanj slobode
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
bull Za velike uzorkeKoristiti standardiziranu (jediničnu) normalnu razdiobu
bull Za male uzorkeKoristiti Studentovu t-razdiobu s parametrom k = n ndash 1
( 2) (1 2)s sx z x zn n ( 2) ( 1 2)k k
s sx t x tn n
01varijabla Nz varijabla Studentove t-razdiobe
t
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjerbull Podaci utvrđeni u nekom procesu
521 490 514 500 503 496 506 508 510 517Intervalno procijeniti očekivanje osnovnog skupa iz kojeg potječe uzorak uz interval vjerodostojnosti 1 ndash = 095 (95)
bull Rezultati dobiveni računanjem iz uzorkan = 10 = 5065 s = 096x
( 2) (1 2)
096 0965065 2262 5065 226210 10
4996 5134 uz P 095 (95)
s sx t x tn n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Opaskabull U slučaju kada je poznata standardna devijacija osnovnog skupa nije nužno
korištenje Studentove t-razdiobe kao ni nepristrane procjene standardne pogreške
bull U tom je slučaju
bull Za prethodni primjerako prihvatimo da je standardna devijacija osnovnog skupa slijedi
( 2) (1 2)x z x zn n
1 15065 196 5065 19610 10
5003 5127 uz P 095 (95)
1
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena proporcijaUzorkovanje nekog dvoslojnog osnovnog skupa (populacije) u kojem neki događaj ima proporciju P rezultiralo bi slučajnom varijablom p tj proporcijom istog događaja ali u uzorku
Vrijedi
( 2) (1 2)p pp z s P p z s
uz povjerenje (vjerodostojnost) procjene (1 ndash )
1 2
2
( )f p
pP1p 2p
( ) pN E p P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Važne pretpostavkendash proporcija uzorka
ndash sp nepristrana procjena standardne pogreške proporcije
uzorka
ndash n veličina uzorka
ndash VRIJEDI SAMO ZA VELIKE UZORKE (n rarr 100)
( )( ) pp N E p P
1pp qs q pn
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena varijance
bull Varijance (osobito malih) uzoraka ne rasipaju se normalno oko varijance osnovnog skupa
bull Vrijedi (K Pearson 1857ndash1936)
ndash varijabla rasipa se prema 2 razdiobi s
k = n ndash 1 stupanj slobode 2
2 2( 2) (1 2)2
0
n
uz vjerojatnost (1 ndash )2( )E k
k = n ndash 1
1
2( 2) 2
(1 2)
2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15
220
2 22
2 21 10 0
( )n ni
i i
x x n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
2 2202 2
(1 2) ( 2)
n n
uz razinu povjerenja (1 ndash )
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
3 Testiranje statističkih hipoteza
bull TSH predstavlja postupak donošenja odluke na bazi uzorkabull uzorak n podataka x1 x2 xn
bull rezultati se uzorka mogu shvatiti kao točka u n - dimenzionalnom prostoru
bull prostor se može podijeliti na dva međusobno disjunktna dijela (koji se isključuju) dio A i dio B
U praksi umjesto n - dimenzionalnog modelaslužimo se jednodimenzionalnim varijablama(uglavnom)
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Postavimo dvije hipoteze
H0 nulta hipotezaH1 alternativna hipoteza
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu A smatramo hipotezu H0 ispravnom i prihvaćamo je
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu B smatramo hipotezu H0 neispravnom i odbacujemo je
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pogreške pri testiranju hipoteza
bull Očito pri uporabi opisanog modela moguće su pogreškebull Uzrok pogrešaka slučajnost odabira elemenata uzorkabull Vrste pogrešaka
ndash Pogreška 1 vrste nastaje odbacivanjem nulte hipoteze H0 (i prihvaćanjem alternativne hipoteze H1) iako je hipoteza H0 ispravna
bull Vjerojatnost pogreške 1 vrste
ndash Pogreška 2 vrste nastaje prihvaćanjem hipoteze H0 u uvjetima ispravnosti alternativne hipoteze H1
bull Vjerojatnost pogreške 2 vrste
0 POGREŠNO ODBACIVANJE HIPOTEZE HoP T B H
1 POGREŠNO PRIHVAĆANJE HIPOTEZE HoP T A H
bull Jakost (moć) testa predstavlja vjerojatnost odbacivanja nulte hipoteze kada je uistinu neispravna
+ p = 1 p = 1 ndash ISPRAVNO ODBACIVANJE Ho
1p B H P T
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Hipoteza HoStanje
ISTINITA NEISTINITA
ODLUKA
OdbacitiPogreška 1 vrste
ISPRAVNO
Prihvatiti ISPRAVNOPogreška 2 vrste
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za očekivanjebull Uzorak ndash osnovni skup hipotezebull Razdioba aritmetičke sredine uzorka
ndash Studentova razdioba s k = n ndash 1 st slob
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2
2
0t
( )f t
t00t
k = n ndash 1 ss
0
1
ndash dvostrani test
H xH x
1
1
ndash jednostrani testovi
H xH x
Pogodna jednodimenzionalna varijabla
Ako je odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
x
xt
s
varijabla Studentove t-razdiobe k = n ndash 1stup slobode
0račt t
Hipoteze
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Podaci iz primjera za intervalnu procjenu očekivanja n = 10 = 5065 s = 096bull Provjeriti hipotezu da je riječ o podacima skupa čije je očekivanje 515 jedinica
naprama alternativnoj hipotezibull Vjerojatnost pogreške 1 vrste neka iznosi 005 ( = 005)
0 1 515 515 ( 515)H x H x
5065 5150 085 27997096 0303610
račt
005
( )f t
t00 1833t
27997račt
Zaključak
0 0ODBACITIračt t H
515
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Provjera hipoteza uzorak ndash uzorak (test očekivanja)
bull 1 skup očekivanje 1 varijanca 201
1 uzorak n1 podataka bull 2 skup očekivanje 2 varijanca 2
02 2 uzorak n2 podataka
Hipoteze
1
2 21 1 xx s s
2
2 22 2 xx s s
0 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
HHHH
1 1 2x x
1( )f x
2( )f x
2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja skupa iz kojeg uzorak potječe
bull njihova razlika rasipat će se oko veličinebull pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita
varijabla d će se rasipati oko 0
1 2d x x 1 2D 1 2
2
2
( )f d
d0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull pri tome je standardna pogreška varijable d
bull varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze
2 21 2
1 2
2 21 1 2 2 1 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)2
d
d
s ssn n
n s n s n nsn n n n
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 gt 30
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 lt 30i ako se n1 i n2 znatno razlikuju
1 2rač
d
x xt
s
varijabla Studentove t-razdiobes k = n1 + n2 ndash 2 s s
Ako odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
0račt t
2
2
0t
( )f t
t00t
k = n1 + n2 ndash 2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)
bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s
proporcijom P elementa sa svojstvom A
ndash uzorak n elemenata s proporcijom p
ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko
proporcije P ima standardnu pogrešku
bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi
ndash uzorci
ndash nulta hipotezandash alternativna hip
pp qsn
1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2
n1 pod proporcija p1
n2 pod proporcija p2
0 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1 2
H P PH P PH P PH P P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Nepristrane procjene parametara osnovnog skupaPojam nepristrane procjeneneka varijabla nepristrano procjenjuje parametar osnovnog skupa Θako vrijedi
( )E
( ) ( )E x E x
2 20( )E
2 20( )E s
dakle uzorka nepristrano procjenjuje očekivanja osn skupa
dakle varijanca uzorka nije nepristrana procjena varijance osnovnog skupa
dakle varijabla nepristrano procjenjuje
varijancu osnovnog skupa
2 2
1ns
n
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Standardna pogreška aritmetičke sredine uzorka
Pomoću varijable s2 određuje se
bull VAŽNO
k = (n ndash 1) broj stupnjeva slobode uzorka od n podataka
2x
22 0 0
22
x x
x x
n ns ss sn n
2
2 1
( )
1
n
ii
x xs
n
standardna pogreškaar sredine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena očekivanja osnovnog skupa
2
2 (1 2)
121( )
2
x x
x
z
x z x z
xz
f z e
xz
interval povjerenja(vjerodostojnosti)
varijabla standardizirane normalne razdiobe
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2 30ndash1ndash2ndash3 z
f(z)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Važnobull Veliki uzorci n gt 30 elemenata podataka
ndash vrijednost varijable z rarr iz standardizirane normalne razdiobebull Mali uzorci n le 30 elemenata podataka
ndash koristiti Studentovu t-razdiobu
Studentova t-razdioba bull simetričnabull za velike uzorke se ne
razlikuje od normalne razdiobe
t
f(t) N 01
Studentova t-razdioba sak = n ndash 1 stupanj slobode
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
bull Za velike uzorkeKoristiti standardiziranu (jediničnu) normalnu razdiobu
bull Za male uzorkeKoristiti Studentovu t-razdiobu s parametrom k = n ndash 1
( 2) (1 2)s sx z x zn n ( 2) ( 1 2)k k
s sx t x tn n
01varijabla Nz varijabla Studentove t-razdiobe
t
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjerbull Podaci utvrđeni u nekom procesu
521 490 514 500 503 496 506 508 510 517Intervalno procijeniti očekivanje osnovnog skupa iz kojeg potječe uzorak uz interval vjerodostojnosti 1 ndash = 095 (95)
bull Rezultati dobiveni računanjem iz uzorkan = 10 = 5065 s = 096x
( 2) (1 2)
096 0965065 2262 5065 226210 10
4996 5134 uz P 095 (95)
s sx t x tn n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Opaskabull U slučaju kada je poznata standardna devijacija osnovnog skupa nije nužno
korištenje Studentove t-razdiobe kao ni nepristrane procjene standardne pogreške
bull U tom je slučaju
bull Za prethodni primjerako prihvatimo da je standardna devijacija osnovnog skupa slijedi
( 2) (1 2)x z x zn n
1 15065 196 5065 19610 10
5003 5127 uz P 095 (95)
1
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena proporcijaUzorkovanje nekog dvoslojnog osnovnog skupa (populacije) u kojem neki događaj ima proporciju P rezultiralo bi slučajnom varijablom p tj proporcijom istog događaja ali u uzorku
Vrijedi
( 2) (1 2)p pp z s P p z s
uz povjerenje (vjerodostojnost) procjene (1 ndash )
1 2
2
( )f p
pP1p 2p
( ) pN E p P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Važne pretpostavkendash proporcija uzorka
ndash sp nepristrana procjena standardne pogreške proporcije
uzorka
ndash n veličina uzorka
ndash VRIJEDI SAMO ZA VELIKE UZORKE (n rarr 100)
( )( ) pp N E p P
1pp qs q pn
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena varijance
bull Varijance (osobito malih) uzoraka ne rasipaju se normalno oko varijance osnovnog skupa
bull Vrijedi (K Pearson 1857ndash1936)
ndash varijabla rasipa se prema 2 razdiobi s
k = n ndash 1 stupanj slobode 2
2 2( 2) (1 2)2
0
n
uz vjerojatnost (1 ndash )2( )E k
k = n ndash 1
1
2( 2) 2
(1 2)
2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15
220
2 22
2 21 10 0
( )n ni
i i
x x n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
2 2202 2
(1 2) ( 2)
n n
uz razinu povjerenja (1 ndash )
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
3 Testiranje statističkih hipoteza
bull TSH predstavlja postupak donošenja odluke na bazi uzorkabull uzorak n podataka x1 x2 xn
bull rezultati se uzorka mogu shvatiti kao točka u n - dimenzionalnom prostoru
bull prostor se može podijeliti na dva međusobno disjunktna dijela (koji se isključuju) dio A i dio B
U praksi umjesto n - dimenzionalnog modelaslužimo se jednodimenzionalnim varijablama(uglavnom)
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Postavimo dvije hipoteze
H0 nulta hipotezaH1 alternativna hipoteza
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu A smatramo hipotezu H0 ispravnom i prihvaćamo je
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu B smatramo hipotezu H0 neispravnom i odbacujemo je
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pogreške pri testiranju hipoteza
bull Očito pri uporabi opisanog modela moguće su pogreškebull Uzrok pogrešaka slučajnost odabira elemenata uzorkabull Vrste pogrešaka
ndash Pogreška 1 vrste nastaje odbacivanjem nulte hipoteze H0 (i prihvaćanjem alternativne hipoteze H1) iako je hipoteza H0 ispravna
bull Vjerojatnost pogreške 1 vrste
ndash Pogreška 2 vrste nastaje prihvaćanjem hipoteze H0 u uvjetima ispravnosti alternativne hipoteze H1
bull Vjerojatnost pogreške 2 vrste
0 POGREŠNO ODBACIVANJE HIPOTEZE HoP T B H
1 POGREŠNO PRIHVAĆANJE HIPOTEZE HoP T A H
bull Jakost (moć) testa predstavlja vjerojatnost odbacivanja nulte hipoteze kada je uistinu neispravna
+ p = 1 p = 1 ndash ISPRAVNO ODBACIVANJE Ho
1p B H P T
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Hipoteza HoStanje
ISTINITA NEISTINITA
ODLUKA
OdbacitiPogreška 1 vrste
ISPRAVNO
Prihvatiti ISPRAVNOPogreška 2 vrste
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za očekivanjebull Uzorak ndash osnovni skup hipotezebull Razdioba aritmetičke sredine uzorka
ndash Studentova razdioba s k = n ndash 1 st slob
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2
2
0t
( )f t
t00t
k = n ndash 1 ss
0
1
ndash dvostrani test
H xH x
1
1
ndash jednostrani testovi
H xH x
Pogodna jednodimenzionalna varijabla
Ako je odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
x
xt
s
varijabla Studentove t-razdiobe k = n ndash 1stup slobode
0račt t
Hipoteze
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Podaci iz primjera za intervalnu procjenu očekivanja n = 10 = 5065 s = 096bull Provjeriti hipotezu da je riječ o podacima skupa čije je očekivanje 515 jedinica
naprama alternativnoj hipotezibull Vjerojatnost pogreške 1 vrste neka iznosi 005 ( = 005)
0 1 515 515 ( 515)H x H x
5065 5150 085 27997096 0303610
račt
005
( )f t
t00 1833t
27997račt
Zaključak
0 0ODBACITIračt t H
515
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Provjera hipoteza uzorak ndash uzorak (test očekivanja)
bull 1 skup očekivanje 1 varijanca 201
1 uzorak n1 podataka bull 2 skup očekivanje 2 varijanca 2
02 2 uzorak n2 podataka
Hipoteze
1
2 21 1 xx s s
2
2 22 2 xx s s
0 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
HHHH
1 1 2x x
1( )f x
2( )f x
2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja skupa iz kojeg uzorak potječe
bull njihova razlika rasipat će se oko veličinebull pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita
varijabla d će se rasipati oko 0
1 2d x x 1 2D 1 2
2
2
( )f d
d0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull pri tome je standardna pogreška varijable d
bull varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze
2 21 2
1 2
2 21 1 2 2 1 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)2
d
d
s ssn n
n s n s n nsn n n n
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 gt 30
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 lt 30i ako se n1 i n2 znatno razlikuju
1 2rač
d
x xt
s
varijabla Studentove t-razdiobes k = n1 + n2 ndash 2 s s
Ako odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
0račt t
2
2
0t
( )f t
t00t
k = n1 + n2 ndash 2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)
bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s
proporcijom P elementa sa svojstvom A
ndash uzorak n elemenata s proporcijom p
ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko
proporcije P ima standardnu pogrešku
bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi
ndash uzorci
ndash nulta hipotezandash alternativna hip
pp qsn
1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2
n1 pod proporcija p1
n2 pod proporcija p2
0 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1 2
H P PH P PH P PH P P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Standardna pogreška aritmetičke sredine uzorka
Pomoću varijable s2 određuje se
bull VAŽNO
k = (n ndash 1) broj stupnjeva slobode uzorka od n podataka
2x
22 0 0
22
x x
x x
n ns ss sn n
2
2 1
( )
1
n
ii
x xs
n
standardna pogreškaar sredine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena očekivanja osnovnog skupa
2
2 (1 2)
121( )
2
x x
x
z
x z x z
xz
f z e
xz
interval povjerenja(vjerodostojnosti)
varijabla standardizirane normalne razdiobe
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2 30ndash1ndash2ndash3 z
f(z)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Važnobull Veliki uzorci n gt 30 elemenata podataka
ndash vrijednost varijable z rarr iz standardizirane normalne razdiobebull Mali uzorci n le 30 elemenata podataka
ndash koristiti Studentovu t-razdiobu
Studentova t-razdioba bull simetričnabull za velike uzorke se ne
razlikuje od normalne razdiobe
t
f(t) N 01
Studentova t-razdioba sak = n ndash 1 stupanj slobode
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
bull Za velike uzorkeKoristiti standardiziranu (jediničnu) normalnu razdiobu
bull Za male uzorkeKoristiti Studentovu t-razdiobu s parametrom k = n ndash 1
( 2) (1 2)s sx z x zn n ( 2) ( 1 2)k k
s sx t x tn n
01varijabla Nz varijabla Studentove t-razdiobe
t
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjerbull Podaci utvrđeni u nekom procesu
521 490 514 500 503 496 506 508 510 517Intervalno procijeniti očekivanje osnovnog skupa iz kojeg potječe uzorak uz interval vjerodostojnosti 1 ndash = 095 (95)
bull Rezultati dobiveni računanjem iz uzorkan = 10 = 5065 s = 096x
( 2) (1 2)
096 0965065 2262 5065 226210 10
4996 5134 uz P 095 (95)
s sx t x tn n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Opaskabull U slučaju kada je poznata standardna devijacija osnovnog skupa nije nužno
korištenje Studentove t-razdiobe kao ni nepristrane procjene standardne pogreške
bull U tom je slučaju
bull Za prethodni primjerako prihvatimo da je standardna devijacija osnovnog skupa slijedi
( 2) (1 2)x z x zn n
1 15065 196 5065 19610 10
5003 5127 uz P 095 (95)
1
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena proporcijaUzorkovanje nekog dvoslojnog osnovnog skupa (populacije) u kojem neki događaj ima proporciju P rezultiralo bi slučajnom varijablom p tj proporcijom istog događaja ali u uzorku
Vrijedi
( 2) (1 2)p pp z s P p z s
uz povjerenje (vjerodostojnost) procjene (1 ndash )
1 2
2
( )f p
pP1p 2p
( ) pN E p P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Važne pretpostavkendash proporcija uzorka
ndash sp nepristrana procjena standardne pogreške proporcije
uzorka
ndash n veličina uzorka
ndash VRIJEDI SAMO ZA VELIKE UZORKE (n rarr 100)
( )( ) pp N E p P
1pp qs q pn
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena varijance
bull Varijance (osobito malih) uzoraka ne rasipaju se normalno oko varijance osnovnog skupa
bull Vrijedi (K Pearson 1857ndash1936)
ndash varijabla rasipa se prema 2 razdiobi s
k = n ndash 1 stupanj slobode 2
2 2( 2) (1 2)2
0
n
uz vjerojatnost (1 ndash )2( )E k
k = n ndash 1
1
2( 2) 2
(1 2)
2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15
220
2 22
2 21 10 0
( )n ni
i i
x x n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
2 2202 2
(1 2) ( 2)
n n
uz razinu povjerenja (1 ndash )
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
3 Testiranje statističkih hipoteza
bull TSH predstavlja postupak donošenja odluke na bazi uzorkabull uzorak n podataka x1 x2 xn
bull rezultati se uzorka mogu shvatiti kao točka u n - dimenzionalnom prostoru
bull prostor se može podijeliti na dva međusobno disjunktna dijela (koji se isključuju) dio A i dio B
U praksi umjesto n - dimenzionalnog modelaslužimo se jednodimenzionalnim varijablama(uglavnom)
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Postavimo dvije hipoteze
H0 nulta hipotezaH1 alternativna hipoteza
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu A smatramo hipotezu H0 ispravnom i prihvaćamo je
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu B smatramo hipotezu H0 neispravnom i odbacujemo je
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pogreške pri testiranju hipoteza
bull Očito pri uporabi opisanog modela moguće su pogreškebull Uzrok pogrešaka slučajnost odabira elemenata uzorkabull Vrste pogrešaka
ndash Pogreška 1 vrste nastaje odbacivanjem nulte hipoteze H0 (i prihvaćanjem alternativne hipoteze H1) iako je hipoteza H0 ispravna
bull Vjerojatnost pogreške 1 vrste
ndash Pogreška 2 vrste nastaje prihvaćanjem hipoteze H0 u uvjetima ispravnosti alternativne hipoteze H1
bull Vjerojatnost pogreške 2 vrste
0 POGREŠNO ODBACIVANJE HIPOTEZE HoP T B H
1 POGREŠNO PRIHVAĆANJE HIPOTEZE HoP T A H
bull Jakost (moć) testa predstavlja vjerojatnost odbacivanja nulte hipoteze kada je uistinu neispravna
+ p = 1 p = 1 ndash ISPRAVNO ODBACIVANJE Ho
1p B H P T
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Hipoteza HoStanje
ISTINITA NEISTINITA
ODLUKA
OdbacitiPogreška 1 vrste
ISPRAVNO
Prihvatiti ISPRAVNOPogreška 2 vrste
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za očekivanjebull Uzorak ndash osnovni skup hipotezebull Razdioba aritmetičke sredine uzorka
ndash Studentova razdioba s k = n ndash 1 st slob
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2
2
0t
( )f t
t00t
k = n ndash 1 ss
0
1
ndash dvostrani test
H xH x
1
1
ndash jednostrani testovi
H xH x
Pogodna jednodimenzionalna varijabla
Ako je odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
x
xt
s
varijabla Studentove t-razdiobe k = n ndash 1stup slobode
0račt t
Hipoteze
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Podaci iz primjera za intervalnu procjenu očekivanja n = 10 = 5065 s = 096bull Provjeriti hipotezu da je riječ o podacima skupa čije je očekivanje 515 jedinica
naprama alternativnoj hipotezibull Vjerojatnost pogreške 1 vrste neka iznosi 005 ( = 005)
0 1 515 515 ( 515)H x H x
5065 5150 085 27997096 0303610
račt
005
( )f t
t00 1833t
27997račt
Zaključak
0 0ODBACITIračt t H
515
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Provjera hipoteza uzorak ndash uzorak (test očekivanja)
bull 1 skup očekivanje 1 varijanca 201
1 uzorak n1 podataka bull 2 skup očekivanje 2 varijanca 2
02 2 uzorak n2 podataka
Hipoteze
1
2 21 1 xx s s
2
2 22 2 xx s s
0 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
HHHH
1 1 2x x
1( )f x
2( )f x
2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja skupa iz kojeg uzorak potječe
bull njihova razlika rasipat će se oko veličinebull pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita
varijabla d će se rasipati oko 0
1 2d x x 1 2D 1 2
2
2
( )f d
d0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull pri tome je standardna pogreška varijable d
bull varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze
2 21 2
1 2
2 21 1 2 2 1 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)2
d
d
s ssn n
n s n s n nsn n n n
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 gt 30
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 lt 30i ako se n1 i n2 znatno razlikuju
1 2rač
d
x xt
s
varijabla Studentove t-razdiobes k = n1 + n2 ndash 2 s s
Ako odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
0račt t
2
2
0t
( )f t
t00t
k = n1 + n2 ndash 2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)
bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s
proporcijom P elementa sa svojstvom A
ndash uzorak n elemenata s proporcijom p
ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko
proporcije P ima standardnu pogrešku
bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi
ndash uzorci
ndash nulta hipotezandash alternativna hip
pp qsn
1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2
n1 pod proporcija p1
n2 pod proporcija p2
0 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1 2
H P PH P PH P PH P P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena očekivanja osnovnog skupa
2
2 (1 2)
121( )
2
x x
x
z
x z x z
xz
f z e
xz
interval povjerenja(vjerodostojnosti)
varijabla standardizirane normalne razdiobe
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2 30ndash1ndash2ndash3 z
f(z)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Važnobull Veliki uzorci n gt 30 elemenata podataka
ndash vrijednost varijable z rarr iz standardizirane normalne razdiobebull Mali uzorci n le 30 elemenata podataka
ndash koristiti Studentovu t-razdiobu
Studentova t-razdioba bull simetričnabull za velike uzorke se ne
razlikuje od normalne razdiobe
t
f(t) N 01
Studentova t-razdioba sak = n ndash 1 stupanj slobode
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
bull Za velike uzorkeKoristiti standardiziranu (jediničnu) normalnu razdiobu
bull Za male uzorkeKoristiti Studentovu t-razdiobu s parametrom k = n ndash 1
( 2) (1 2)s sx z x zn n ( 2) ( 1 2)k k
s sx t x tn n
01varijabla Nz varijabla Studentove t-razdiobe
t
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjerbull Podaci utvrđeni u nekom procesu
521 490 514 500 503 496 506 508 510 517Intervalno procijeniti očekivanje osnovnog skupa iz kojeg potječe uzorak uz interval vjerodostojnosti 1 ndash = 095 (95)
bull Rezultati dobiveni računanjem iz uzorkan = 10 = 5065 s = 096x
( 2) (1 2)
096 0965065 2262 5065 226210 10
4996 5134 uz P 095 (95)
s sx t x tn n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Opaskabull U slučaju kada je poznata standardna devijacija osnovnog skupa nije nužno
korištenje Studentove t-razdiobe kao ni nepristrane procjene standardne pogreške
bull U tom je slučaju
bull Za prethodni primjerako prihvatimo da je standardna devijacija osnovnog skupa slijedi
( 2) (1 2)x z x zn n
1 15065 196 5065 19610 10
5003 5127 uz P 095 (95)
1
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena proporcijaUzorkovanje nekog dvoslojnog osnovnog skupa (populacije) u kojem neki događaj ima proporciju P rezultiralo bi slučajnom varijablom p tj proporcijom istog događaja ali u uzorku
Vrijedi
( 2) (1 2)p pp z s P p z s
uz povjerenje (vjerodostojnost) procjene (1 ndash )
1 2
2
( )f p
pP1p 2p
( ) pN E p P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Važne pretpostavkendash proporcija uzorka
ndash sp nepristrana procjena standardne pogreške proporcije
uzorka
ndash n veličina uzorka
ndash VRIJEDI SAMO ZA VELIKE UZORKE (n rarr 100)
( )( ) pp N E p P
1pp qs q pn
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena varijance
bull Varijance (osobito malih) uzoraka ne rasipaju se normalno oko varijance osnovnog skupa
bull Vrijedi (K Pearson 1857ndash1936)
ndash varijabla rasipa se prema 2 razdiobi s
k = n ndash 1 stupanj slobode 2
2 2( 2) (1 2)2
0
n
uz vjerojatnost (1 ndash )2( )E k
k = n ndash 1
1
2( 2) 2
(1 2)
2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15
220
2 22
2 21 10 0
( )n ni
i i
x x n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
2 2202 2
(1 2) ( 2)
n n
uz razinu povjerenja (1 ndash )
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
3 Testiranje statističkih hipoteza
bull TSH predstavlja postupak donošenja odluke na bazi uzorkabull uzorak n podataka x1 x2 xn
bull rezultati se uzorka mogu shvatiti kao točka u n - dimenzionalnom prostoru
bull prostor se može podijeliti na dva međusobno disjunktna dijela (koji se isključuju) dio A i dio B
U praksi umjesto n - dimenzionalnog modelaslužimo se jednodimenzionalnim varijablama(uglavnom)
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Postavimo dvije hipoteze
H0 nulta hipotezaH1 alternativna hipoteza
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu A smatramo hipotezu H0 ispravnom i prihvaćamo je
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu B smatramo hipotezu H0 neispravnom i odbacujemo je
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pogreške pri testiranju hipoteza
bull Očito pri uporabi opisanog modela moguće su pogreškebull Uzrok pogrešaka slučajnost odabira elemenata uzorkabull Vrste pogrešaka
ndash Pogreška 1 vrste nastaje odbacivanjem nulte hipoteze H0 (i prihvaćanjem alternativne hipoteze H1) iako je hipoteza H0 ispravna
bull Vjerojatnost pogreške 1 vrste
ndash Pogreška 2 vrste nastaje prihvaćanjem hipoteze H0 u uvjetima ispravnosti alternativne hipoteze H1
bull Vjerojatnost pogreške 2 vrste
0 POGREŠNO ODBACIVANJE HIPOTEZE HoP T B H
1 POGREŠNO PRIHVAĆANJE HIPOTEZE HoP T A H
bull Jakost (moć) testa predstavlja vjerojatnost odbacivanja nulte hipoteze kada je uistinu neispravna
+ p = 1 p = 1 ndash ISPRAVNO ODBACIVANJE Ho
1p B H P T
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Hipoteza HoStanje
ISTINITA NEISTINITA
ODLUKA
OdbacitiPogreška 1 vrste
ISPRAVNO
Prihvatiti ISPRAVNOPogreška 2 vrste
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za očekivanjebull Uzorak ndash osnovni skup hipotezebull Razdioba aritmetičke sredine uzorka
ndash Studentova razdioba s k = n ndash 1 st slob
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2
2
0t
( )f t
t00t
k = n ndash 1 ss
0
1
ndash dvostrani test
H xH x
1
1
ndash jednostrani testovi
H xH x
Pogodna jednodimenzionalna varijabla
Ako je odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
x
xt
s
varijabla Studentove t-razdiobe k = n ndash 1stup slobode
0račt t
Hipoteze
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Podaci iz primjera za intervalnu procjenu očekivanja n = 10 = 5065 s = 096bull Provjeriti hipotezu da je riječ o podacima skupa čije je očekivanje 515 jedinica
naprama alternativnoj hipotezibull Vjerojatnost pogreške 1 vrste neka iznosi 005 ( = 005)
0 1 515 515 ( 515)H x H x
5065 5150 085 27997096 0303610
račt
005
( )f t
t00 1833t
27997račt
Zaključak
0 0ODBACITIračt t H
515
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Provjera hipoteza uzorak ndash uzorak (test očekivanja)
bull 1 skup očekivanje 1 varijanca 201
1 uzorak n1 podataka bull 2 skup očekivanje 2 varijanca 2
02 2 uzorak n2 podataka
Hipoteze
1
2 21 1 xx s s
2
2 22 2 xx s s
0 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
HHHH
1 1 2x x
1( )f x
2( )f x
2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja skupa iz kojeg uzorak potječe
bull njihova razlika rasipat će se oko veličinebull pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita
varijabla d će se rasipati oko 0
1 2d x x 1 2D 1 2
2
2
( )f d
d0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull pri tome je standardna pogreška varijable d
bull varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze
2 21 2
1 2
2 21 1 2 2 1 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)2
d
d
s ssn n
n s n s n nsn n n n
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 gt 30
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 lt 30i ako se n1 i n2 znatno razlikuju
1 2rač
d
x xt
s
varijabla Studentove t-razdiobes k = n1 + n2 ndash 2 s s
Ako odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
0račt t
2
2
0t
( )f t
t00t
k = n1 + n2 ndash 2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)
bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s
proporcijom P elementa sa svojstvom A
ndash uzorak n elemenata s proporcijom p
ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko
proporcije P ima standardnu pogrešku
bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi
ndash uzorci
ndash nulta hipotezandash alternativna hip
pp qsn
1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2
n1 pod proporcija p1
n2 pod proporcija p2
0 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1 2
H P PH P PH P PH P P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Važnobull Veliki uzorci n gt 30 elemenata podataka
ndash vrijednost varijable z rarr iz standardizirane normalne razdiobebull Mali uzorci n le 30 elemenata podataka
ndash koristiti Studentovu t-razdiobu
Studentova t-razdioba bull simetričnabull za velike uzorke se ne
razlikuje od normalne razdiobe
t
f(t) N 01
Studentova t-razdioba sak = n ndash 1 stupanj slobode
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
bull Za velike uzorkeKoristiti standardiziranu (jediničnu) normalnu razdiobu
bull Za male uzorkeKoristiti Studentovu t-razdiobu s parametrom k = n ndash 1
( 2) (1 2)s sx z x zn n ( 2) ( 1 2)k k
s sx t x tn n
01varijabla Nz varijabla Studentove t-razdiobe
t
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjerbull Podaci utvrđeni u nekom procesu
521 490 514 500 503 496 506 508 510 517Intervalno procijeniti očekivanje osnovnog skupa iz kojeg potječe uzorak uz interval vjerodostojnosti 1 ndash = 095 (95)
bull Rezultati dobiveni računanjem iz uzorkan = 10 = 5065 s = 096x
( 2) (1 2)
096 0965065 2262 5065 226210 10
4996 5134 uz P 095 (95)
s sx t x tn n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Opaskabull U slučaju kada je poznata standardna devijacija osnovnog skupa nije nužno
korištenje Studentove t-razdiobe kao ni nepristrane procjene standardne pogreške
bull U tom je slučaju
bull Za prethodni primjerako prihvatimo da je standardna devijacija osnovnog skupa slijedi
( 2) (1 2)x z x zn n
1 15065 196 5065 19610 10
5003 5127 uz P 095 (95)
1
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena proporcijaUzorkovanje nekog dvoslojnog osnovnog skupa (populacije) u kojem neki događaj ima proporciju P rezultiralo bi slučajnom varijablom p tj proporcijom istog događaja ali u uzorku
Vrijedi
( 2) (1 2)p pp z s P p z s
uz povjerenje (vjerodostojnost) procjene (1 ndash )
1 2
2
( )f p
pP1p 2p
( ) pN E p P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Važne pretpostavkendash proporcija uzorka
ndash sp nepristrana procjena standardne pogreške proporcije
uzorka
ndash n veličina uzorka
ndash VRIJEDI SAMO ZA VELIKE UZORKE (n rarr 100)
( )( ) pp N E p P
1pp qs q pn
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena varijance
bull Varijance (osobito malih) uzoraka ne rasipaju se normalno oko varijance osnovnog skupa
bull Vrijedi (K Pearson 1857ndash1936)
ndash varijabla rasipa se prema 2 razdiobi s
k = n ndash 1 stupanj slobode 2
2 2( 2) (1 2)2
0
n
uz vjerojatnost (1 ndash )2( )E k
k = n ndash 1
1
2( 2) 2
(1 2)
2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15
220
2 22
2 21 10 0
( )n ni
i i
x x n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
2 2202 2
(1 2) ( 2)
n n
uz razinu povjerenja (1 ndash )
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
3 Testiranje statističkih hipoteza
bull TSH predstavlja postupak donošenja odluke na bazi uzorkabull uzorak n podataka x1 x2 xn
bull rezultati se uzorka mogu shvatiti kao točka u n - dimenzionalnom prostoru
bull prostor se može podijeliti na dva međusobno disjunktna dijela (koji se isključuju) dio A i dio B
U praksi umjesto n - dimenzionalnog modelaslužimo se jednodimenzionalnim varijablama(uglavnom)
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Postavimo dvije hipoteze
H0 nulta hipotezaH1 alternativna hipoteza
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu A smatramo hipotezu H0 ispravnom i prihvaćamo je
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu B smatramo hipotezu H0 neispravnom i odbacujemo je
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pogreške pri testiranju hipoteza
bull Očito pri uporabi opisanog modela moguće su pogreškebull Uzrok pogrešaka slučajnost odabira elemenata uzorkabull Vrste pogrešaka
ndash Pogreška 1 vrste nastaje odbacivanjem nulte hipoteze H0 (i prihvaćanjem alternativne hipoteze H1) iako je hipoteza H0 ispravna
bull Vjerojatnost pogreške 1 vrste
ndash Pogreška 2 vrste nastaje prihvaćanjem hipoteze H0 u uvjetima ispravnosti alternativne hipoteze H1
bull Vjerojatnost pogreške 2 vrste
0 POGREŠNO ODBACIVANJE HIPOTEZE HoP T B H
1 POGREŠNO PRIHVAĆANJE HIPOTEZE HoP T A H
bull Jakost (moć) testa predstavlja vjerojatnost odbacivanja nulte hipoteze kada je uistinu neispravna
+ p = 1 p = 1 ndash ISPRAVNO ODBACIVANJE Ho
1p B H P T
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Hipoteza HoStanje
ISTINITA NEISTINITA
ODLUKA
OdbacitiPogreška 1 vrste
ISPRAVNO
Prihvatiti ISPRAVNOPogreška 2 vrste
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za očekivanjebull Uzorak ndash osnovni skup hipotezebull Razdioba aritmetičke sredine uzorka
ndash Studentova razdioba s k = n ndash 1 st slob
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2
2
0t
( )f t
t00t
k = n ndash 1 ss
0
1
ndash dvostrani test
H xH x
1
1
ndash jednostrani testovi
H xH x
Pogodna jednodimenzionalna varijabla
Ako je odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
x
xt
s
varijabla Studentove t-razdiobe k = n ndash 1stup slobode
0račt t
Hipoteze
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Podaci iz primjera za intervalnu procjenu očekivanja n = 10 = 5065 s = 096bull Provjeriti hipotezu da je riječ o podacima skupa čije je očekivanje 515 jedinica
naprama alternativnoj hipotezibull Vjerojatnost pogreške 1 vrste neka iznosi 005 ( = 005)
0 1 515 515 ( 515)H x H x
5065 5150 085 27997096 0303610
račt
005
( )f t
t00 1833t
27997račt
Zaključak
0 0ODBACITIračt t H
515
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Provjera hipoteza uzorak ndash uzorak (test očekivanja)
bull 1 skup očekivanje 1 varijanca 201
1 uzorak n1 podataka bull 2 skup očekivanje 2 varijanca 2
02 2 uzorak n2 podataka
Hipoteze
1
2 21 1 xx s s
2
2 22 2 xx s s
0 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
HHHH
1 1 2x x
1( )f x
2( )f x
2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja skupa iz kojeg uzorak potječe
bull njihova razlika rasipat će se oko veličinebull pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita
varijabla d će se rasipati oko 0
1 2d x x 1 2D 1 2
2
2
( )f d
d0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull pri tome je standardna pogreška varijable d
bull varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze
2 21 2
1 2
2 21 1 2 2 1 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)2
d
d
s ssn n
n s n s n nsn n n n
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 gt 30
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 lt 30i ako se n1 i n2 znatno razlikuju
1 2rač
d
x xt
s
varijabla Studentove t-razdiobes k = n1 + n2 ndash 2 s s
Ako odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
0račt t
2
2
0t
( )f t
t00t
k = n1 + n2 ndash 2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)
bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s
proporcijom P elementa sa svojstvom A
ndash uzorak n elemenata s proporcijom p
ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko
proporcije P ima standardnu pogrešku
bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi
ndash uzorci
ndash nulta hipotezandash alternativna hip
pp qsn
1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2
n1 pod proporcija p1
n2 pod proporcija p2
0 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1 2
H P PH P PH P PH P P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
bull Za velike uzorkeKoristiti standardiziranu (jediničnu) normalnu razdiobu
bull Za male uzorkeKoristiti Studentovu t-razdiobu s parametrom k = n ndash 1
( 2) (1 2)s sx z x zn n ( 2) ( 1 2)k k
s sx t x tn n
01varijabla Nz varijabla Studentove t-razdiobe
t
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjerbull Podaci utvrđeni u nekom procesu
521 490 514 500 503 496 506 508 510 517Intervalno procijeniti očekivanje osnovnog skupa iz kojeg potječe uzorak uz interval vjerodostojnosti 1 ndash = 095 (95)
bull Rezultati dobiveni računanjem iz uzorkan = 10 = 5065 s = 096x
( 2) (1 2)
096 0965065 2262 5065 226210 10
4996 5134 uz P 095 (95)
s sx t x tn n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Opaskabull U slučaju kada je poznata standardna devijacija osnovnog skupa nije nužno
korištenje Studentove t-razdiobe kao ni nepristrane procjene standardne pogreške
bull U tom je slučaju
bull Za prethodni primjerako prihvatimo da je standardna devijacija osnovnog skupa slijedi
( 2) (1 2)x z x zn n
1 15065 196 5065 19610 10
5003 5127 uz P 095 (95)
1
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena proporcijaUzorkovanje nekog dvoslojnog osnovnog skupa (populacije) u kojem neki događaj ima proporciju P rezultiralo bi slučajnom varijablom p tj proporcijom istog događaja ali u uzorku
Vrijedi
( 2) (1 2)p pp z s P p z s
uz povjerenje (vjerodostojnost) procjene (1 ndash )
1 2
2
( )f p
pP1p 2p
( ) pN E p P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Važne pretpostavkendash proporcija uzorka
ndash sp nepristrana procjena standardne pogreške proporcije
uzorka
ndash n veličina uzorka
ndash VRIJEDI SAMO ZA VELIKE UZORKE (n rarr 100)
( )( ) pp N E p P
1pp qs q pn
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena varijance
bull Varijance (osobito malih) uzoraka ne rasipaju se normalno oko varijance osnovnog skupa
bull Vrijedi (K Pearson 1857ndash1936)
ndash varijabla rasipa se prema 2 razdiobi s
k = n ndash 1 stupanj slobode 2
2 2( 2) (1 2)2
0
n
uz vjerojatnost (1 ndash )2( )E k
k = n ndash 1
1
2( 2) 2
(1 2)
2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15
220
2 22
2 21 10 0
( )n ni
i i
x x n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
2 2202 2
(1 2) ( 2)
n n
uz razinu povjerenja (1 ndash )
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
3 Testiranje statističkih hipoteza
bull TSH predstavlja postupak donošenja odluke na bazi uzorkabull uzorak n podataka x1 x2 xn
bull rezultati se uzorka mogu shvatiti kao točka u n - dimenzionalnom prostoru
bull prostor se može podijeliti na dva međusobno disjunktna dijela (koji se isključuju) dio A i dio B
U praksi umjesto n - dimenzionalnog modelaslužimo se jednodimenzionalnim varijablama(uglavnom)
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Postavimo dvije hipoteze
H0 nulta hipotezaH1 alternativna hipoteza
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu A smatramo hipotezu H0 ispravnom i prihvaćamo je
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu B smatramo hipotezu H0 neispravnom i odbacujemo je
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pogreške pri testiranju hipoteza
bull Očito pri uporabi opisanog modela moguće su pogreškebull Uzrok pogrešaka slučajnost odabira elemenata uzorkabull Vrste pogrešaka
ndash Pogreška 1 vrste nastaje odbacivanjem nulte hipoteze H0 (i prihvaćanjem alternativne hipoteze H1) iako je hipoteza H0 ispravna
bull Vjerojatnost pogreške 1 vrste
ndash Pogreška 2 vrste nastaje prihvaćanjem hipoteze H0 u uvjetima ispravnosti alternativne hipoteze H1
bull Vjerojatnost pogreške 2 vrste
0 POGREŠNO ODBACIVANJE HIPOTEZE HoP T B H
1 POGREŠNO PRIHVAĆANJE HIPOTEZE HoP T A H
bull Jakost (moć) testa predstavlja vjerojatnost odbacivanja nulte hipoteze kada je uistinu neispravna
+ p = 1 p = 1 ndash ISPRAVNO ODBACIVANJE Ho
1p B H P T
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Hipoteza HoStanje
ISTINITA NEISTINITA
ODLUKA
OdbacitiPogreška 1 vrste
ISPRAVNO
Prihvatiti ISPRAVNOPogreška 2 vrste
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za očekivanjebull Uzorak ndash osnovni skup hipotezebull Razdioba aritmetičke sredine uzorka
ndash Studentova razdioba s k = n ndash 1 st slob
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2
2
0t
( )f t
t00t
k = n ndash 1 ss
0
1
ndash dvostrani test
H xH x
1
1
ndash jednostrani testovi
H xH x
Pogodna jednodimenzionalna varijabla
Ako je odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
x
xt
s
varijabla Studentove t-razdiobe k = n ndash 1stup slobode
0račt t
Hipoteze
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Podaci iz primjera za intervalnu procjenu očekivanja n = 10 = 5065 s = 096bull Provjeriti hipotezu da je riječ o podacima skupa čije je očekivanje 515 jedinica
naprama alternativnoj hipotezibull Vjerojatnost pogreške 1 vrste neka iznosi 005 ( = 005)
0 1 515 515 ( 515)H x H x
5065 5150 085 27997096 0303610
račt
005
( )f t
t00 1833t
27997račt
Zaključak
0 0ODBACITIračt t H
515
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Provjera hipoteza uzorak ndash uzorak (test očekivanja)
bull 1 skup očekivanje 1 varijanca 201
1 uzorak n1 podataka bull 2 skup očekivanje 2 varijanca 2
02 2 uzorak n2 podataka
Hipoteze
1
2 21 1 xx s s
2
2 22 2 xx s s
0 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
HHHH
1 1 2x x
1( )f x
2( )f x
2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja skupa iz kojeg uzorak potječe
bull njihova razlika rasipat će se oko veličinebull pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita
varijabla d će se rasipati oko 0
1 2d x x 1 2D 1 2
2
2
( )f d
d0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull pri tome je standardna pogreška varijable d
bull varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze
2 21 2
1 2
2 21 1 2 2 1 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)2
d
d
s ssn n
n s n s n nsn n n n
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 gt 30
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 lt 30i ako se n1 i n2 znatno razlikuju
1 2rač
d
x xt
s
varijabla Studentove t-razdiobes k = n1 + n2 ndash 2 s s
Ako odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
0račt t
2
2
0t
( )f t
t00t
k = n1 + n2 ndash 2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)
bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s
proporcijom P elementa sa svojstvom A
ndash uzorak n elemenata s proporcijom p
ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko
proporcije P ima standardnu pogrešku
bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi
ndash uzorci
ndash nulta hipotezandash alternativna hip
pp qsn
1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2
n1 pod proporcija p1
n2 pod proporcija p2
0 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1 2
H P PH P PH P PH P P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjerbull Podaci utvrđeni u nekom procesu
521 490 514 500 503 496 506 508 510 517Intervalno procijeniti očekivanje osnovnog skupa iz kojeg potječe uzorak uz interval vjerodostojnosti 1 ndash = 095 (95)
bull Rezultati dobiveni računanjem iz uzorkan = 10 = 5065 s = 096x
( 2) (1 2)
096 0965065 2262 5065 226210 10
4996 5134 uz P 095 (95)
s sx t x tn n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Opaskabull U slučaju kada je poznata standardna devijacija osnovnog skupa nije nužno
korištenje Studentove t-razdiobe kao ni nepristrane procjene standardne pogreške
bull U tom je slučaju
bull Za prethodni primjerako prihvatimo da je standardna devijacija osnovnog skupa slijedi
( 2) (1 2)x z x zn n
1 15065 196 5065 19610 10
5003 5127 uz P 095 (95)
1
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena proporcijaUzorkovanje nekog dvoslojnog osnovnog skupa (populacije) u kojem neki događaj ima proporciju P rezultiralo bi slučajnom varijablom p tj proporcijom istog događaja ali u uzorku
Vrijedi
( 2) (1 2)p pp z s P p z s
uz povjerenje (vjerodostojnost) procjene (1 ndash )
1 2
2
( )f p
pP1p 2p
( ) pN E p P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Važne pretpostavkendash proporcija uzorka
ndash sp nepristrana procjena standardne pogreške proporcije
uzorka
ndash n veličina uzorka
ndash VRIJEDI SAMO ZA VELIKE UZORKE (n rarr 100)
( )( ) pp N E p P
1pp qs q pn
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena varijance
bull Varijance (osobito malih) uzoraka ne rasipaju se normalno oko varijance osnovnog skupa
bull Vrijedi (K Pearson 1857ndash1936)
ndash varijabla rasipa se prema 2 razdiobi s
k = n ndash 1 stupanj slobode 2
2 2( 2) (1 2)2
0
n
uz vjerojatnost (1 ndash )2( )E k
k = n ndash 1
1
2( 2) 2
(1 2)
2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15
220
2 22
2 21 10 0
( )n ni
i i
x x n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
2 2202 2
(1 2) ( 2)
n n
uz razinu povjerenja (1 ndash )
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
3 Testiranje statističkih hipoteza
bull TSH predstavlja postupak donošenja odluke na bazi uzorkabull uzorak n podataka x1 x2 xn
bull rezultati se uzorka mogu shvatiti kao točka u n - dimenzionalnom prostoru
bull prostor se može podijeliti na dva međusobno disjunktna dijela (koji se isključuju) dio A i dio B
U praksi umjesto n - dimenzionalnog modelaslužimo se jednodimenzionalnim varijablama(uglavnom)
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Postavimo dvije hipoteze
H0 nulta hipotezaH1 alternativna hipoteza
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu A smatramo hipotezu H0 ispravnom i prihvaćamo je
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu B smatramo hipotezu H0 neispravnom i odbacujemo je
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pogreške pri testiranju hipoteza
bull Očito pri uporabi opisanog modela moguće su pogreškebull Uzrok pogrešaka slučajnost odabira elemenata uzorkabull Vrste pogrešaka
ndash Pogreška 1 vrste nastaje odbacivanjem nulte hipoteze H0 (i prihvaćanjem alternativne hipoteze H1) iako je hipoteza H0 ispravna
bull Vjerojatnost pogreške 1 vrste
ndash Pogreška 2 vrste nastaje prihvaćanjem hipoteze H0 u uvjetima ispravnosti alternativne hipoteze H1
bull Vjerojatnost pogreške 2 vrste
0 POGREŠNO ODBACIVANJE HIPOTEZE HoP T B H
1 POGREŠNO PRIHVAĆANJE HIPOTEZE HoP T A H
bull Jakost (moć) testa predstavlja vjerojatnost odbacivanja nulte hipoteze kada je uistinu neispravna
+ p = 1 p = 1 ndash ISPRAVNO ODBACIVANJE Ho
1p B H P T
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Hipoteza HoStanje
ISTINITA NEISTINITA
ODLUKA
OdbacitiPogreška 1 vrste
ISPRAVNO
Prihvatiti ISPRAVNOPogreška 2 vrste
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za očekivanjebull Uzorak ndash osnovni skup hipotezebull Razdioba aritmetičke sredine uzorka
ndash Studentova razdioba s k = n ndash 1 st slob
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2
2
0t
( )f t
t00t
k = n ndash 1 ss
0
1
ndash dvostrani test
H xH x
1
1
ndash jednostrani testovi
H xH x
Pogodna jednodimenzionalna varijabla
Ako je odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
x
xt
s
varijabla Studentove t-razdiobe k = n ndash 1stup slobode
0račt t
Hipoteze
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Podaci iz primjera za intervalnu procjenu očekivanja n = 10 = 5065 s = 096bull Provjeriti hipotezu da je riječ o podacima skupa čije je očekivanje 515 jedinica
naprama alternativnoj hipotezibull Vjerojatnost pogreške 1 vrste neka iznosi 005 ( = 005)
0 1 515 515 ( 515)H x H x
5065 5150 085 27997096 0303610
račt
005
( )f t
t00 1833t
27997račt
Zaključak
0 0ODBACITIračt t H
515
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Provjera hipoteza uzorak ndash uzorak (test očekivanja)
bull 1 skup očekivanje 1 varijanca 201
1 uzorak n1 podataka bull 2 skup očekivanje 2 varijanca 2
02 2 uzorak n2 podataka
Hipoteze
1
2 21 1 xx s s
2
2 22 2 xx s s
0 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
HHHH
1 1 2x x
1( )f x
2( )f x
2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja skupa iz kojeg uzorak potječe
bull njihova razlika rasipat će se oko veličinebull pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita
varijabla d će se rasipati oko 0
1 2d x x 1 2D 1 2
2
2
( )f d
d0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull pri tome je standardna pogreška varijable d
bull varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze
2 21 2
1 2
2 21 1 2 2 1 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)2
d
d
s ssn n
n s n s n nsn n n n
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 gt 30
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 lt 30i ako se n1 i n2 znatno razlikuju
1 2rač
d
x xt
s
varijabla Studentove t-razdiobes k = n1 + n2 ndash 2 s s
Ako odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
0račt t
2
2
0t
( )f t
t00t
k = n1 + n2 ndash 2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)
bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s
proporcijom P elementa sa svojstvom A
ndash uzorak n elemenata s proporcijom p
ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko
proporcije P ima standardnu pogrešku
bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi
ndash uzorci
ndash nulta hipotezandash alternativna hip
pp qsn
1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2
n1 pod proporcija p1
n2 pod proporcija p2
0 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1 2
H P PH P PH P PH P P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Opaskabull U slučaju kada je poznata standardna devijacija osnovnog skupa nije nužno
korištenje Studentove t-razdiobe kao ni nepristrane procjene standardne pogreške
bull U tom je slučaju
bull Za prethodni primjerako prihvatimo da je standardna devijacija osnovnog skupa slijedi
( 2) (1 2)x z x zn n
1 15065 196 5065 19610 10
5003 5127 uz P 095 (95)
1
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena proporcijaUzorkovanje nekog dvoslojnog osnovnog skupa (populacije) u kojem neki događaj ima proporciju P rezultiralo bi slučajnom varijablom p tj proporcijom istog događaja ali u uzorku
Vrijedi
( 2) (1 2)p pp z s P p z s
uz povjerenje (vjerodostojnost) procjene (1 ndash )
1 2
2
( )f p
pP1p 2p
( ) pN E p P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Važne pretpostavkendash proporcija uzorka
ndash sp nepristrana procjena standardne pogreške proporcije
uzorka
ndash n veličina uzorka
ndash VRIJEDI SAMO ZA VELIKE UZORKE (n rarr 100)
( )( ) pp N E p P
1pp qs q pn
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena varijance
bull Varijance (osobito malih) uzoraka ne rasipaju se normalno oko varijance osnovnog skupa
bull Vrijedi (K Pearson 1857ndash1936)
ndash varijabla rasipa se prema 2 razdiobi s
k = n ndash 1 stupanj slobode 2
2 2( 2) (1 2)2
0
n
uz vjerojatnost (1 ndash )2( )E k
k = n ndash 1
1
2( 2) 2
(1 2)
2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15
220
2 22
2 21 10 0
( )n ni
i i
x x n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
2 2202 2
(1 2) ( 2)
n n
uz razinu povjerenja (1 ndash )
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
3 Testiranje statističkih hipoteza
bull TSH predstavlja postupak donošenja odluke na bazi uzorkabull uzorak n podataka x1 x2 xn
bull rezultati se uzorka mogu shvatiti kao točka u n - dimenzionalnom prostoru
bull prostor se može podijeliti na dva međusobno disjunktna dijela (koji se isključuju) dio A i dio B
U praksi umjesto n - dimenzionalnog modelaslužimo se jednodimenzionalnim varijablama(uglavnom)
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Postavimo dvije hipoteze
H0 nulta hipotezaH1 alternativna hipoteza
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu A smatramo hipotezu H0 ispravnom i prihvaćamo je
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu B smatramo hipotezu H0 neispravnom i odbacujemo je
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pogreške pri testiranju hipoteza
bull Očito pri uporabi opisanog modela moguće su pogreškebull Uzrok pogrešaka slučajnost odabira elemenata uzorkabull Vrste pogrešaka
ndash Pogreška 1 vrste nastaje odbacivanjem nulte hipoteze H0 (i prihvaćanjem alternativne hipoteze H1) iako je hipoteza H0 ispravna
bull Vjerojatnost pogreške 1 vrste
ndash Pogreška 2 vrste nastaje prihvaćanjem hipoteze H0 u uvjetima ispravnosti alternativne hipoteze H1
bull Vjerojatnost pogreške 2 vrste
0 POGREŠNO ODBACIVANJE HIPOTEZE HoP T B H
1 POGREŠNO PRIHVAĆANJE HIPOTEZE HoP T A H
bull Jakost (moć) testa predstavlja vjerojatnost odbacivanja nulte hipoteze kada je uistinu neispravna
+ p = 1 p = 1 ndash ISPRAVNO ODBACIVANJE Ho
1p B H P T
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Hipoteza HoStanje
ISTINITA NEISTINITA
ODLUKA
OdbacitiPogreška 1 vrste
ISPRAVNO
Prihvatiti ISPRAVNOPogreška 2 vrste
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za očekivanjebull Uzorak ndash osnovni skup hipotezebull Razdioba aritmetičke sredine uzorka
ndash Studentova razdioba s k = n ndash 1 st slob
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2
2
0t
( )f t
t00t
k = n ndash 1 ss
0
1
ndash dvostrani test
H xH x
1
1
ndash jednostrani testovi
H xH x
Pogodna jednodimenzionalna varijabla
Ako je odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
x
xt
s
varijabla Studentove t-razdiobe k = n ndash 1stup slobode
0račt t
Hipoteze
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Podaci iz primjera za intervalnu procjenu očekivanja n = 10 = 5065 s = 096bull Provjeriti hipotezu da je riječ o podacima skupa čije je očekivanje 515 jedinica
naprama alternativnoj hipotezibull Vjerojatnost pogreške 1 vrste neka iznosi 005 ( = 005)
0 1 515 515 ( 515)H x H x
5065 5150 085 27997096 0303610
račt
005
( )f t
t00 1833t
27997račt
Zaključak
0 0ODBACITIračt t H
515
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Provjera hipoteza uzorak ndash uzorak (test očekivanja)
bull 1 skup očekivanje 1 varijanca 201
1 uzorak n1 podataka bull 2 skup očekivanje 2 varijanca 2
02 2 uzorak n2 podataka
Hipoteze
1
2 21 1 xx s s
2
2 22 2 xx s s
0 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
HHHH
1 1 2x x
1( )f x
2( )f x
2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja skupa iz kojeg uzorak potječe
bull njihova razlika rasipat će se oko veličinebull pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita
varijabla d će se rasipati oko 0
1 2d x x 1 2D 1 2
2
2
( )f d
d0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull pri tome je standardna pogreška varijable d
bull varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze
2 21 2
1 2
2 21 1 2 2 1 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)2
d
d
s ssn n
n s n s n nsn n n n
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 gt 30
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 lt 30i ako se n1 i n2 znatno razlikuju
1 2rač
d
x xt
s
varijabla Studentove t-razdiobes k = n1 + n2 ndash 2 s s
Ako odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
0račt t
2
2
0t
( )f t
t00t
k = n1 + n2 ndash 2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)
bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s
proporcijom P elementa sa svojstvom A
ndash uzorak n elemenata s proporcijom p
ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko
proporcije P ima standardnu pogrešku
bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi
ndash uzorci
ndash nulta hipotezandash alternativna hip
pp qsn
1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2
n1 pod proporcija p1
n2 pod proporcija p2
0 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1 2
H P PH P PH P PH P P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena proporcijaUzorkovanje nekog dvoslojnog osnovnog skupa (populacije) u kojem neki događaj ima proporciju P rezultiralo bi slučajnom varijablom p tj proporcijom istog događaja ali u uzorku
Vrijedi
( 2) (1 2)p pp z s P p z s
uz povjerenje (vjerodostojnost) procjene (1 ndash )
1 2
2
( )f p
pP1p 2p
( ) pN E p P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Važne pretpostavkendash proporcija uzorka
ndash sp nepristrana procjena standardne pogreške proporcije
uzorka
ndash n veličina uzorka
ndash VRIJEDI SAMO ZA VELIKE UZORKE (n rarr 100)
( )( ) pp N E p P
1pp qs q pn
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena varijance
bull Varijance (osobito malih) uzoraka ne rasipaju se normalno oko varijance osnovnog skupa
bull Vrijedi (K Pearson 1857ndash1936)
ndash varijabla rasipa se prema 2 razdiobi s
k = n ndash 1 stupanj slobode 2
2 2( 2) (1 2)2
0
n
uz vjerojatnost (1 ndash )2( )E k
k = n ndash 1
1
2( 2) 2
(1 2)
2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15
220
2 22
2 21 10 0
( )n ni
i i
x x n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
2 2202 2
(1 2) ( 2)
n n
uz razinu povjerenja (1 ndash )
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
3 Testiranje statističkih hipoteza
bull TSH predstavlja postupak donošenja odluke na bazi uzorkabull uzorak n podataka x1 x2 xn
bull rezultati se uzorka mogu shvatiti kao točka u n - dimenzionalnom prostoru
bull prostor se može podijeliti na dva međusobno disjunktna dijela (koji se isključuju) dio A i dio B
U praksi umjesto n - dimenzionalnog modelaslužimo se jednodimenzionalnim varijablama(uglavnom)
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Postavimo dvije hipoteze
H0 nulta hipotezaH1 alternativna hipoteza
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu A smatramo hipotezu H0 ispravnom i prihvaćamo je
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu B smatramo hipotezu H0 neispravnom i odbacujemo je
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pogreške pri testiranju hipoteza
bull Očito pri uporabi opisanog modela moguće su pogreškebull Uzrok pogrešaka slučajnost odabira elemenata uzorkabull Vrste pogrešaka
ndash Pogreška 1 vrste nastaje odbacivanjem nulte hipoteze H0 (i prihvaćanjem alternativne hipoteze H1) iako je hipoteza H0 ispravna
bull Vjerojatnost pogreške 1 vrste
ndash Pogreška 2 vrste nastaje prihvaćanjem hipoteze H0 u uvjetima ispravnosti alternativne hipoteze H1
bull Vjerojatnost pogreške 2 vrste
0 POGREŠNO ODBACIVANJE HIPOTEZE HoP T B H
1 POGREŠNO PRIHVAĆANJE HIPOTEZE HoP T A H
bull Jakost (moć) testa predstavlja vjerojatnost odbacivanja nulte hipoteze kada je uistinu neispravna
+ p = 1 p = 1 ndash ISPRAVNO ODBACIVANJE Ho
1p B H P T
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Hipoteza HoStanje
ISTINITA NEISTINITA
ODLUKA
OdbacitiPogreška 1 vrste
ISPRAVNO
Prihvatiti ISPRAVNOPogreška 2 vrste
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za očekivanjebull Uzorak ndash osnovni skup hipotezebull Razdioba aritmetičke sredine uzorka
ndash Studentova razdioba s k = n ndash 1 st slob
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2
2
0t
( )f t
t00t
k = n ndash 1 ss
0
1
ndash dvostrani test
H xH x
1
1
ndash jednostrani testovi
H xH x
Pogodna jednodimenzionalna varijabla
Ako je odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
x
xt
s
varijabla Studentove t-razdiobe k = n ndash 1stup slobode
0račt t
Hipoteze
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Podaci iz primjera za intervalnu procjenu očekivanja n = 10 = 5065 s = 096bull Provjeriti hipotezu da je riječ o podacima skupa čije je očekivanje 515 jedinica
naprama alternativnoj hipotezibull Vjerojatnost pogreške 1 vrste neka iznosi 005 ( = 005)
0 1 515 515 ( 515)H x H x
5065 5150 085 27997096 0303610
račt
005
( )f t
t00 1833t
27997račt
Zaključak
0 0ODBACITIračt t H
515
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Provjera hipoteza uzorak ndash uzorak (test očekivanja)
bull 1 skup očekivanje 1 varijanca 201
1 uzorak n1 podataka bull 2 skup očekivanje 2 varijanca 2
02 2 uzorak n2 podataka
Hipoteze
1
2 21 1 xx s s
2
2 22 2 xx s s
0 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
HHHH
1 1 2x x
1( )f x
2( )f x
2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja skupa iz kojeg uzorak potječe
bull njihova razlika rasipat će se oko veličinebull pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita
varijabla d će se rasipati oko 0
1 2d x x 1 2D 1 2
2
2
( )f d
d0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull pri tome je standardna pogreška varijable d
bull varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze
2 21 2
1 2
2 21 1 2 2 1 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)2
d
d
s ssn n
n s n s n nsn n n n
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 gt 30
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 lt 30i ako se n1 i n2 znatno razlikuju
1 2rač
d
x xt
s
varijabla Studentove t-razdiobes k = n1 + n2 ndash 2 s s
Ako odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
0račt t
2
2
0t
( )f t
t00t
k = n1 + n2 ndash 2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)
bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s
proporcijom P elementa sa svojstvom A
ndash uzorak n elemenata s proporcijom p
ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko
proporcije P ima standardnu pogrešku
bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi
ndash uzorci
ndash nulta hipotezandash alternativna hip
pp qsn
1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2
n1 pod proporcija p1
n2 pod proporcija p2
0 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1 2
H P PH P PH P PH P P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Važne pretpostavkendash proporcija uzorka
ndash sp nepristrana procjena standardne pogreške proporcije
uzorka
ndash n veličina uzorka
ndash VRIJEDI SAMO ZA VELIKE UZORKE (n rarr 100)
( )( ) pp N E p P
1pp qs q pn
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena varijance
bull Varijance (osobito malih) uzoraka ne rasipaju se normalno oko varijance osnovnog skupa
bull Vrijedi (K Pearson 1857ndash1936)
ndash varijabla rasipa se prema 2 razdiobi s
k = n ndash 1 stupanj slobode 2
2 2( 2) (1 2)2
0
n
uz vjerojatnost (1 ndash )2( )E k
k = n ndash 1
1
2( 2) 2
(1 2)
2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15
220
2 22
2 21 10 0
( )n ni
i i
x x n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
2 2202 2
(1 2) ( 2)
n n
uz razinu povjerenja (1 ndash )
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
3 Testiranje statističkih hipoteza
bull TSH predstavlja postupak donošenja odluke na bazi uzorkabull uzorak n podataka x1 x2 xn
bull rezultati se uzorka mogu shvatiti kao točka u n - dimenzionalnom prostoru
bull prostor se može podijeliti na dva međusobno disjunktna dijela (koji se isključuju) dio A i dio B
U praksi umjesto n - dimenzionalnog modelaslužimo se jednodimenzionalnim varijablama(uglavnom)
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Postavimo dvije hipoteze
H0 nulta hipotezaH1 alternativna hipoteza
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu A smatramo hipotezu H0 ispravnom i prihvaćamo je
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu B smatramo hipotezu H0 neispravnom i odbacujemo je
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pogreške pri testiranju hipoteza
bull Očito pri uporabi opisanog modela moguće su pogreškebull Uzrok pogrešaka slučajnost odabira elemenata uzorkabull Vrste pogrešaka
ndash Pogreška 1 vrste nastaje odbacivanjem nulte hipoteze H0 (i prihvaćanjem alternativne hipoteze H1) iako je hipoteza H0 ispravna
bull Vjerojatnost pogreške 1 vrste
ndash Pogreška 2 vrste nastaje prihvaćanjem hipoteze H0 u uvjetima ispravnosti alternativne hipoteze H1
bull Vjerojatnost pogreške 2 vrste
0 POGREŠNO ODBACIVANJE HIPOTEZE HoP T B H
1 POGREŠNO PRIHVAĆANJE HIPOTEZE HoP T A H
bull Jakost (moć) testa predstavlja vjerojatnost odbacivanja nulte hipoteze kada je uistinu neispravna
+ p = 1 p = 1 ndash ISPRAVNO ODBACIVANJE Ho
1p B H P T
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Hipoteza HoStanje
ISTINITA NEISTINITA
ODLUKA
OdbacitiPogreška 1 vrste
ISPRAVNO
Prihvatiti ISPRAVNOPogreška 2 vrste
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za očekivanjebull Uzorak ndash osnovni skup hipotezebull Razdioba aritmetičke sredine uzorka
ndash Studentova razdioba s k = n ndash 1 st slob
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2
2
0t
( )f t
t00t
k = n ndash 1 ss
0
1
ndash dvostrani test
H xH x
1
1
ndash jednostrani testovi
H xH x
Pogodna jednodimenzionalna varijabla
Ako je odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
x
xt
s
varijabla Studentove t-razdiobe k = n ndash 1stup slobode
0račt t
Hipoteze
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Podaci iz primjera za intervalnu procjenu očekivanja n = 10 = 5065 s = 096bull Provjeriti hipotezu da je riječ o podacima skupa čije je očekivanje 515 jedinica
naprama alternativnoj hipotezibull Vjerojatnost pogreške 1 vrste neka iznosi 005 ( = 005)
0 1 515 515 ( 515)H x H x
5065 5150 085 27997096 0303610
račt
005
( )f t
t00 1833t
27997račt
Zaključak
0 0ODBACITIračt t H
515
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Provjera hipoteza uzorak ndash uzorak (test očekivanja)
bull 1 skup očekivanje 1 varijanca 201
1 uzorak n1 podataka bull 2 skup očekivanje 2 varijanca 2
02 2 uzorak n2 podataka
Hipoteze
1
2 21 1 xx s s
2
2 22 2 xx s s
0 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
HHHH
1 1 2x x
1( )f x
2( )f x
2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja skupa iz kojeg uzorak potječe
bull njihova razlika rasipat će se oko veličinebull pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita
varijabla d će se rasipati oko 0
1 2d x x 1 2D 1 2
2
2
( )f d
d0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull pri tome je standardna pogreška varijable d
bull varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze
2 21 2
1 2
2 21 1 2 2 1 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)2
d
d
s ssn n
n s n s n nsn n n n
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 gt 30
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 lt 30i ako se n1 i n2 znatno razlikuju
1 2rač
d
x xt
s
varijabla Studentove t-razdiobes k = n1 + n2 ndash 2 s s
Ako odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
0račt t
2
2
0t
( )f t
t00t
k = n1 + n2 ndash 2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)
bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s
proporcijom P elementa sa svojstvom A
ndash uzorak n elemenata s proporcijom p
ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko
proporcije P ima standardnu pogrešku
bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi
ndash uzorci
ndash nulta hipotezandash alternativna hip
pp qsn
1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2
n1 pod proporcija p1
n2 pod proporcija p2
0 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1 2
H P PH P PH P PH P P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Intervalna procjena varijance
bull Varijance (osobito malih) uzoraka ne rasipaju se normalno oko varijance osnovnog skupa
bull Vrijedi (K Pearson 1857ndash1936)
ndash varijabla rasipa se prema 2 razdiobi s
k = n ndash 1 stupanj slobode 2
2 2( 2) (1 2)2
0
n
uz vjerojatnost (1 ndash )2( )E k
k = n ndash 1
1
2( 2) 2
(1 2)
2( )f k = 1 k = 5 k = 10k = 15
220
2 22
2 21 10 0
( )n ni
i i
x x n
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
2 2202 2
(1 2) ( 2)
n n
uz razinu povjerenja (1 ndash )
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
3 Testiranje statističkih hipoteza
bull TSH predstavlja postupak donošenja odluke na bazi uzorkabull uzorak n podataka x1 x2 xn
bull rezultati se uzorka mogu shvatiti kao točka u n - dimenzionalnom prostoru
bull prostor se može podijeliti na dva međusobno disjunktna dijela (koji se isključuju) dio A i dio B
U praksi umjesto n - dimenzionalnog modelaslužimo se jednodimenzionalnim varijablama(uglavnom)
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Postavimo dvije hipoteze
H0 nulta hipotezaH1 alternativna hipoteza
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu A smatramo hipotezu H0 ispravnom i prihvaćamo je
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu B smatramo hipotezu H0 neispravnom i odbacujemo je
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pogreške pri testiranju hipoteza
bull Očito pri uporabi opisanog modela moguće su pogreškebull Uzrok pogrešaka slučajnost odabira elemenata uzorkabull Vrste pogrešaka
ndash Pogreška 1 vrste nastaje odbacivanjem nulte hipoteze H0 (i prihvaćanjem alternativne hipoteze H1) iako je hipoteza H0 ispravna
bull Vjerojatnost pogreške 1 vrste
ndash Pogreška 2 vrste nastaje prihvaćanjem hipoteze H0 u uvjetima ispravnosti alternativne hipoteze H1
bull Vjerojatnost pogreške 2 vrste
0 POGREŠNO ODBACIVANJE HIPOTEZE HoP T B H
1 POGREŠNO PRIHVAĆANJE HIPOTEZE HoP T A H
bull Jakost (moć) testa predstavlja vjerojatnost odbacivanja nulte hipoteze kada je uistinu neispravna
+ p = 1 p = 1 ndash ISPRAVNO ODBACIVANJE Ho
1p B H P T
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Hipoteza HoStanje
ISTINITA NEISTINITA
ODLUKA
OdbacitiPogreška 1 vrste
ISPRAVNO
Prihvatiti ISPRAVNOPogreška 2 vrste
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za očekivanjebull Uzorak ndash osnovni skup hipotezebull Razdioba aritmetičke sredine uzorka
ndash Studentova razdioba s k = n ndash 1 st slob
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2
2
0t
( )f t
t00t
k = n ndash 1 ss
0
1
ndash dvostrani test
H xH x
1
1
ndash jednostrani testovi
H xH x
Pogodna jednodimenzionalna varijabla
Ako je odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
x
xt
s
varijabla Studentove t-razdiobe k = n ndash 1stup slobode
0račt t
Hipoteze
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Podaci iz primjera za intervalnu procjenu očekivanja n = 10 = 5065 s = 096bull Provjeriti hipotezu da je riječ o podacima skupa čije je očekivanje 515 jedinica
naprama alternativnoj hipotezibull Vjerojatnost pogreške 1 vrste neka iznosi 005 ( = 005)
0 1 515 515 ( 515)H x H x
5065 5150 085 27997096 0303610
račt
005
( )f t
t00 1833t
27997račt
Zaključak
0 0ODBACITIračt t H
515
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Provjera hipoteza uzorak ndash uzorak (test očekivanja)
bull 1 skup očekivanje 1 varijanca 201
1 uzorak n1 podataka bull 2 skup očekivanje 2 varijanca 2
02 2 uzorak n2 podataka
Hipoteze
1
2 21 1 xx s s
2
2 22 2 xx s s
0 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
HHHH
1 1 2x x
1( )f x
2( )f x
2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja skupa iz kojeg uzorak potječe
bull njihova razlika rasipat će se oko veličinebull pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita
varijabla d će se rasipati oko 0
1 2d x x 1 2D 1 2
2
2
( )f d
d0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull pri tome je standardna pogreška varijable d
bull varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze
2 21 2
1 2
2 21 1 2 2 1 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)2
d
d
s ssn n
n s n s n nsn n n n
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 gt 30
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 lt 30i ako se n1 i n2 znatno razlikuju
1 2rač
d
x xt
s
varijabla Studentove t-razdiobes k = n1 + n2 ndash 2 s s
Ako odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
0račt t
2
2
0t
( )f t
t00t
k = n1 + n2 ndash 2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)
bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s
proporcijom P elementa sa svojstvom A
ndash uzorak n elemenata s proporcijom p
ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko
proporcije P ima standardnu pogrešku
bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi
ndash uzorci
ndash nulta hipotezandash alternativna hip
pp qsn
1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2
n1 pod proporcija p1
n2 pod proporcija p2
0 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1 2
H P PH P PH P PH P P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno
2 2202 2
(1 2) ( 2)
n n
uz razinu povjerenja (1 ndash )
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
3 Testiranje statističkih hipoteza
bull TSH predstavlja postupak donošenja odluke na bazi uzorkabull uzorak n podataka x1 x2 xn
bull rezultati se uzorka mogu shvatiti kao točka u n - dimenzionalnom prostoru
bull prostor se može podijeliti na dva međusobno disjunktna dijela (koji se isključuju) dio A i dio B
U praksi umjesto n - dimenzionalnog modelaslužimo se jednodimenzionalnim varijablama(uglavnom)
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Postavimo dvije hipoteze
H0 nulta hipotezaH1 alternativna hipoteza
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu A smatramo hipotezu H0 ispravnom i prihvaćamo je
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu B smatramo hipotezu H0 neispravnom i odbacujemo je
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pogreške pri testiranju hipoteza
bull Očito pri uporabi opisanog modela moguće su pogreškebull Uzrok pogrešaka slučajnost odabira elemenata uzorkabull Vrste pogrešaka
ndash Pogreška 1 vrste nastaje odbacivanjem nulte hipoteze H0 (i prihvaćanjem alternativne hipoteze H1) iako je hipoteza H0 ispravna
bull Vjerojatnost pogreške 1 vrste
ndash Pogreška 2 vrste nastaje prihvaćanjem hipoteze H0 u uvjetima ispravnosti alternativne hipoteze H1
bull Vjerojatnost pogreške 2 vrste
0 POGREŠNO ODBACIVANJE HIPOTEZE HoP T B H
1 POGREŠNO PRIHVAĆANJE HIPOTEZE HoP T A H
bull Jakost (moć) testa predstavlja vjerojatnost odbacivanja nulte hipoteze kada je uistinu neispravna
+ p = 1 p = 1 ndash ISPRAVNO ODBACIVANJE Ho
1p B H P T
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Hipoteza HoStanje
ISTINITA NEISTINITA
ODLUKA
OdbacitiPogreška 1 vrste
ISPRAVNO
Prihvatiti ISPRAVNOPogreška 2 vrste
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za očekivanjebull Uzorak ndash osnovni skup hipotezebull Razdioba aritmetičke sredine uzorka
ndash Studentova razdioba s k = n ndash 1 st slob
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2
2
0t
( )f t
t00t
k = n ndash 1 ss
0
1
ndash dvostrani test
H xH x
1
1
ndash jednostrani testovi
H xH x
Pogodna jednodimenzionalna varijabla
Ako je odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
x
xt
s
varijabla Studentove t-razdiobe k = n ndash 1stup slobode
0račt t
Hipoteze
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Podaci iz primjera za intervalnu procjenu očekivanja n = 10 = 5065 s = 096bull Provjeriti hipotezu da je riječ o podacima skupa čije je očekivanje 515 jedinica
naprama alternativnoj hipotezibull Vjerojatnost pogreške 1 vrste neka iznosi 005 ( = 005)
0 1 515 515 ( 515)H x H x
5065 5150 085 27997096 0303610
račt
005
( )f t
t00 1833t
27997račt
Zaključak
0 0ODBACITIračt t H
515
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Provjera hipoteza uzorak ndash uzorak (test očekivanja)
bull 1 skup očekivanje 1 varijanca 201
1 uzorak n1 podataka bull 2 skup očekivanje 2 varijanca 2
02 2 uzorak n2 podataka
Hipoteze
1
2 21 1 xx s s
2
2 22 2 xx s s
0 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
HHHH
1 1 2x x
1( )f x
2( )f x
2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja skupa iz kojeg uzorak potječe
bull njihova razlika rasipat će se oko veličinebull pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita
varijabla d će se rasipati oko 0
1 2d x x 1 2D 1 2
2
2
( )f d
d0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull pri tome je standardna pogreška varijable d
bull varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze
2 21 2
1 2
2 21 1 2 2 1 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)2
d
d
s ssn n
n s n s n nsn n n n
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 gt 30
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 lt 30i ako se n1 i n2 znatno razlikuju
1 2rač
d
x xt
s
varijabla Studentove t-razdiobes k = n1 + n2 ndash 2 s s
Ako odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
0račt t
2
2
0t
( )f t
t00t
k = n1 + n2 ndash 2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)
bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s
proporcijom P elementa sa svojstvom A
ndash uzorak n elemenata s proporcijom p
ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko
proporcije P ima standardnu pogrešku
bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi
ndash uzorci
ndash nulta hipotezandash alternativna hip
pp qsn
1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2
n1 pod proporcija p1
n2 pod proporcija p2
0 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1 2
H P PH P PH P PH P P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
3 Testiranje statističkih hipoteza
bull TSH predstavlja postupak donošenja odluke na bazi uzorkabull uzorak n podataka x1 x2 xn
bull rezultati se uzorka mogu shvatiti kao točka u n - dimenzionalnom prostoru
bull prostor se može podijeliti na dva međusobno disjunktna dijela (koji se isključuju) dio A i dio B
U praksi umjesto n - dimenzionalnog modelaslužimo se jednodimenzionalnim varijablama(uglavnom)
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Postavimo dvije hipoteze
H0 nulta hipotezaH1 alternativna hipoteza
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu A smatramo hipotezu H0 ispravnom i prihvaćamo je
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu B smatramo hipotezu H0 neispravnom i odbacujemo je
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pogreške pri testiranju hipoteza
bull Očito pri uporabi opisanog modela moguće su pogreškebull Uzrok pogrešaka slučajnost odabira elemenata uzorkabull Vrste pogrešaka
ndash Pogreška 1 vrste nastaje odbacivanjem nulte hipoteze H0 (i prihvaćanjem alternativne hipoteze H1) iako je hipoteza H0 ispravna
bull Vjerojatnost pogreške 1 vrste
ndash Pogreška 2 vrste nastaje prihvaćanjem hipoteze H0 u uvjetima ispravnosti alternativne hipoteze H1
bull Vjerojatnost pogreške 2 vrste
0 POGREŠNO ODBACIVANJE HIPOTEZE HoP T B H
1 POGREŠNO PRIHVAĆANJE HIPOTEZE HoP T A H
bull Jakost (moć) testa predstavlja vjerojatnost odbacivanja nulte hipoteze kada je uistinu neispravna
+ p = 1 p = 1 ndash ISPRAVNO ODBACIVANJE Ho
1p B H P T
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Hipoteza HoStanje
ISTINITA NEISTINITA
ODLUKA
OdbacitiPogreška 1 vrste
ISPRAVNO
Prihvatiti ISPRAVNOPogreška 2 vrste
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za očekivanjebull Uzorak ndash osnovni skup hipotezebull Razdioba aritmetičke sredine uzorka
ndash Studentova razdioba s k = n ndash 1 st slob
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2
2
0t
( )f t
t00t
k = n ndash 1 ss
0
1
ndash dvostrani test
H xH x
1
1
ndash jednostrani testovi
H xH x
Pogodna jednodimenzionalna varijabla
Ako je odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
x
xt
s
varijabla Studentove t-razdiobe k = n ndash 1stup slobode
0račt t
Hipoteze
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Podaci iz primjera za intervalnu procjenu očekivanja n = 10 = 5065 s = 096bull Provjeriti hipotezu da je riječ o podacima skupa čije je očekivanje 515 jedinica
naprama alternativnoj hipotezibull Vjerojatnost pogreške 1 vrste neka iznosi 005 ( = 005)
0 1 515 515 ( 515)H x H x
5065 5150 085 27997096 0303610
račt
005
( )f t
t00 1833t
27997račt
Zaključak
0 0ODBACITIračt t H
515
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Provjera hipoteza uzorak ndash uzorak (test očekivanja)
bull 1 skup očekivanje 1 varijanca 201
1 uzorak n1 podataka bull 2 skup očekivanje 2 varijanca 2
02 2 uzorak n2 podataka
Hipoteze
1
2 21 1 xx s s
2
2 22 2 xx s s
0 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
HHHH
1 1 2x x
1( )f x
2( )f x
2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja skupa iz kojeg uzorak potječe
bull njihova razlika rasipat će se oko veličinebull pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita
varijabla d će se rasipati oko 0
1 2d x x 1 2D 1 2
2
2
( )f d
d0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull pri tome je standardna pogreška varijable d
bull varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze
2 21 2
1 2
2 21 1 2 2 1 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)2
d
d
s ssn n
n s n s n nsn n n n
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 gt 30
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 lt 30i ako se n1 i n2 znatno razlikuju
1 2rač
d
x xt
s
varijabla Studentove t-razdiobes k = n1 + n2 ndash 2 s s
Ako odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
0račt t
2
2
0t
( )f t
t00t
k = n1 + n2 ndash 2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)
bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s
proporcijom P elementa sa svojstvom A
ndash uzorak n elemenata s proporcijom p
ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko
proporcije P ima standardnu pogrešku
bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi
ndash uzorci
ndash nulta hipotezandash alternativna hip
pp qsn
1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2
n1 pod proporcija p1
n2 pod proporcija p2
0 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1 2
H P PH P PH P PH P P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Postavimo dvije hipoteze
H0 nulta hipotezaH1 alternativna hipoteza
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu A smatramo hipotezu H0 ispravnom i prihvaćamo je
ndash Ako se točka T kao realizacija uzorka nađe u dijelu B smatramo hipotezu H0 neispravnom i odbacujemo je
dio B(odbacivanje H0)
dio A(prihvaćanje H0)
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pogreške pri testiranju hipoteza
bull Očito pri uporabi opisanog modela moguće su pogreškebull Uzrok pogrešaka slučajnost odabira elemenata uzorkabull Vrste pogrešaka
ndash Pogreška 1 vrste nastaje odbacivanjem nulte hipoteze H0 (i prihvaćanjem alternativne hipoteze H1) iako je hipoteza H0 ispravna
bull Vjerojatnost pogreške 1 vrste
ndash Pogreška 2 vrste nastaje prihvaćanjem hipoteze H0 u uvjetima ispravnosti alternativne hipoteze H1
bull Vjerojatnost pogreške 2 vrste
0 POGREŠNO ODBACIVANJE HIPOTEZE HoP T B H
1 POGREŠNO PRIHVAĆANJE HIPOTEZE HoP T A H
bull Jakost (moć) testa predstavlja vjerojatnost odbacivanja nulte hipoteze kada je uistinu neispravna
+ p = 1 p = 1 ndash ISPRAVNO ODBACIVANJE Ho
1p B H P T
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Hipoteza HoStanje
ISTINITA NEISTINITA
ODLUKA
OdbacitiPogreška 1 vrste
ISPRAVNO
Prihvatiti ISPRAVNOPogreška 2 vrste
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za očekivanjebull Uzorak ndash osnovni skup hipotezebull Razdioba aritmetičke sredine uzorka
ndash Studentova razdioba s k = n ndash 1 st slob
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2
2
0t
( )f t
t00t
k = n ndash 1 ss
0
1
ndash dvostrani test
H xH x
1
1
ndash jednostrani testovi
H xH x
Pogodna jednodimenzionalna varijabla
Ako je odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
x
xt
s
varijabla Studentove t-razdiobe k = n ndash 1stup slobode
0račt t
Hipoteze
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Podaci iz primjera za intervalnu procjenu očekivanja n = 10 = 5065 s = 096bull Provjeriti hipotezu da je riječ o podacima skupa čije je očekivanje 515 jedinica
naprama alternativnoj hipotezibull Vjerojatnost pogreške 1 vrste neka iznosi 005 ( = 005)
0 1 515 515 ( 515)H x H x
5065 5150 085 27997096 0303610
račt
005
( )f t
t00 1833t
27997račt
Zaključak
0 0ODBACITIračt t H
515
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Provjera hipoteza uzorak ndash uzorak (test očekivanja)
bull 1 skup očekivanje 1 varijanca 201
1 uzorak n1 podataka bull 2 skup očekivanje 2 varijanca 2
02 2 uzorak n2 podataka
Hipoteze
1
2 21 1 xx s s
2
2 22 2 xx s s
0 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
HHHH
1 1 2x x
1( )f x
2( )f x
2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja skupa iz kojeg uzorak potječe
bull njihova razlika rasipat će se oko veličinebull pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita
varijabla d će se rasipati oko 0
1 2d x x 1 2D 1 2
2
2
( )f d
d0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull pri tome je standardna pogreška varijable d
bull varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze
2 21 2
1 2
2 21 1 2 2 1 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)2
d
d
s ssn n
n s n s n nsn n n n
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 gt 30
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 lt 30i ako se n1 i n2 znatno razlikuju
1 2rač
d
x xt
s
varijabla Studentove t-razdiobes k = n1 + n2 ndash 2 s s
Ako odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
0račt t
2
2
0t
( )f t
t00t
k = n1 + n2 ndash 2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)
bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s
proporcijom P elementa sa svojstvom A
ndash uzorak n elemenata s proporcijom p
ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko
proporcije P ima standardnu pogrešku
bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi
ndash uzorci
ndash nulta hipotezandash alternativna hip
pp qsn
1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2
n1 pod proporcija p1
n2 pod proporcija p2
0 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1 2
H P PH P PH P PH P P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pogreške pri testiranju hipoteza
bull Očito pri uporabi opisanog modela moguće su pogreškebull Uzrok pogrešaka slučajnost odabira elemenata uzorkabull Vrste pogrešaka
ndash Pogreška 1 vrste nastaje odbacivanjem nulte hipoteze H0 (i prihvaćanjem alternativne hipoteze H1) iako je hipoteza H0 ispravna
bull Vjerojatnost pogreške 1 vrste
ndash Pogreška 2 vrste nastaje prihvaćanjem hipoteze H0 u uvjetima ispravnosti alternativne hipoteze H1
bull Vjerojatnost pogreške 2 vrste
0 POGREŠNO ODBACIVANJE HIPOTEZE HoP T B H
1 POGREŠNO PRIHVAĆANJE HIPOTEZE HoP T A H
bull Jakost (moć) testa predstavlja vjerojatnost odbacivanja nulte hipoteze kada je uistinu neispravna
+ p = 1 p = 1 ndash ISPRAVNO ODBACIVANJE Ho
1p B H P T
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Hipoteza HoStanje
ISTINITA NEISTINITA
ODLUKA
OdbacitiPogreška 1 vrste
ISPRAVNO
Prihvatiti ISPRAVNOPogreška 2 vrste
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za očekivanjebull Uzorak ndash osnovni skup hipotezebull Razdioba aritmetičke sredine uzorka
ndash Studentova razdioba s k = n ndash 1 st slob
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2
2
0t
( )f t
t00t
k = n ndash 1 ss
0
1
ndash dvostrani test
H xH x
1
1
ndash jednostrani testovi
H xH x
Pogodna jednodimenzionalna varijabla
Ako je odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
x
xt
s
varijabla Studentove t-razdiobe k = n ndash 1stup slobode
0račt t
Hipoteze
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Podaci iz primjera za intervalnu procjenu očekivanja n = 10 = 5065 s = 096bull Provjeriti hipotezu da je riječ o podacima skupa čije je očekivanje 515 jedinica
naprama alternativnoj hipotezibull Vjerojatnost pogreške 1 vrste neka iznosi 005 ( = 005)
0 1 515 515 ( 515)H x H x
5065 5150 085 27997096 0303610
račt
005
( )f t
t00 1833t
27997račt
Zaključak
0 0ODBACITIračt t H
515
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Provjera hipoteza uzorak ndash uzorak (test očekivanja)
bull 1 skup očekivanje 1 varijanca 201
1 uzorak n1 podataka bull 2 skup očekivanje 2 varijanca 2
02 2 uzorak n2 podataka
Hipoteze
1
2 21 1 xx s s
2
2 22 2 xx s s
0 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
HHHH
1 1 2x x
1( )f x
2( )f x
2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja skupa iz kojeg uzorak potječe
bull njihova razlika rasipat će se oko veličinebull pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita
varijabla d će se rasipati oko 0
1 2d x x 1 2D 1 2
2
2
( )f d
d0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull pri tome je standardna pogreška varijable d
bull varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze
2 21 2
1 2
2 21 1 2 2 1 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)2
d
d
s ssn n
n s n s n nsn n n n
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 gt 30
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 lt 30i ako se n1 i n2 znatno razlikuju
1 2rač
d
x xt
s
varijabla Studentove t-razdiobes k = n1 + n2 ndash 2 s s
Ako odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
0račt t
2
2
0t
( )f t
t00t
k = n1 + n2 ndash 2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)
bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s
proporcijom P elementa sa svojstvom A
ndash uzorak n elemenata s proporcijom p
ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko
proporcije P ima standardnu pogrešku
bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi
ndash uzorci
ndash nulta hipotezandash alternativna hip
pp qsn
1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2
n1 pod proporcija p1
n2 pod proporcija p2
0 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1 2
H P PH P PH P PH P P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Hipoteza HoStanje
ISTINITA NEISTINITA
ODLUKA
OdbacitiPogreška 1 vrste
ISPRAVNO
Prihvatiti ISPRAVNOPogreška 2 vrste
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za očekivanjebull Uzorak ndash osnovni skup hipotezebull Razdioba aritmetičke sredine uzorka
ndash Studentova razdioba s k = n ndash 1 st slob
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2
2
0t
( )f t
t00t
k = n ndash 1 ss
0
1
ndash dvostrani test
H xH x
1
1
ndash jednostrani testovi
H xH x
Pogodna jednodimenzionalna varijabla
Ako je odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
x
xt
s
varijabla Studentove t-razdiobe k = n ndash 1stup slobode
0račt t
Hipoteze
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Podaci iz primjera za intervalnu procjenu očekivanja n = 10 = 5065 s = 096bull Provjeriti hipotezu da je riječ o podacima skupa čije je očekivanje 515 jedinica
naprama alternativnoj hipotezibull Vjerojatnost pogreške 1 vrste neka iznosi 005 ( = 005)
0 1 515 515 ( 515)H x H x
5065 5150 085 27997096 0303610
račt
005
( )f t
t00 1833t
27997račt
Zaključak
0 0ODBACITIračt t H
515
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Provjera hipoteza uzorak ndash uzorak (test očekivanja)
bull 1 skup očekivanje 1 varijanca 201
1 uzorak n1 podataka bull 2 skup očekivanje 2 varijanca 2
02 2 uzorak n2 podataka
Hipoteze
1
2 21 1 xx s s
2
2 22 2 xx s s
0 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
HHHH
1 1 2x x
1( )f x
2( )f x
2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja skupa iz kojeg uzorak potječe
bull njihova razlika rasipat će se oko veličinebull pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita
varijabla d će se rasipati oko 0
1 2d x x 1 2D 1 2
2
2
( )f d
d0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull pri tome je standardna pogreška varijable d
bull varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze
2 21 2
1 2
2 21 1 2 2 1 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)2
d
d
s ssn n
n s n s n nsn n n n
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 gt 30
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 lt 30i ako se n1 i n2 znatno razlikuju
1 2rač
d
x xt
s
varijabla Studentove t-razdiobes k = n1 + n2 ndash 2 s s
Ako odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
0račt t
2
2
0t
( )f t
t00t
k = n1 + n2 ndash 2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)
bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s
proporcijom P elementa sa svojstvom A
ndash uzorak n elemenata s proporcijom p
ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko
proporcije P ima standardnu pogrešku
bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi
ndash uzorci
ndash nulta hipotezandash alternativna hip
pp qsn
1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2
n1 pod proporcija p1
n2 pod proporcija p2
0 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1 2
H P PH P PH P PH P P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za očekivanjebull Uzorak ndash osnovni skup hipotezebull Razdioba aritmetičke sredine uzorka
ndash Studentova razdioba s k = n ndash 1 st slob
1 2
2
2x 1 2x
x
( )f x
1 2
2
0t
( )f t
t00t
k = n ndash 1 ss
0
1
ndash dvostrani test
H xH x
1
1
ndash jednostrani testovi
H xH x
Pogodna jednodimenzionalna varijabla
Ako je odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
x
xt
s
varijabla Studentove t-razdiobe k = n ndash 1stup slobode
0račt t
Hipoteze
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Podaci iz primjera za intervalnu procjenu očekivanja n = 10 = 5065 s = 096bull Provjeriti hipotezu da je riječ o podacima skupa čije je očekivanje 515 jedinica
naprama alternativnoj hipotezibull Vjerojatnost pogreške 1 vrste neka iznosi 005 ( = 005)
0 1 515 515 ( 515)H x H x
5065 5150 085 27997096 0303610
račt
005
( )f t
t00 1833t
27997račt
Zaključak
0 0ODBACITIračt t H
515
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Provjera hipoteza uzorak ndash uzorak (test očekivanja)
bull 1 skup očekivanje 1 varijanca 201
1 uzorak n1 podataka bull 2 skup očekivanje 2 varijanca 2
02 2 uzorak n2 podataka
Hipoteze
1
2 21 1 xx s s
2
2 22 2 xx s s
0 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
HHHH
1 1 2x x
1( )f x
2( )f x
2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja skupa iz kojeg uzorak potječe
bull njihova razlika rasipat će se oko veličinebull pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita
varijabla d će se rasipati oko 0
1 2d x x 1 2D 1 2
2
2
( )f d
d0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull pri tome je standardna pogreška varijable d
bull varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze
2 21 2
1 2
2 21 1 2 2 1 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)2
d
d
s ssn n
n s n s n nsn n n n
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 gt 30
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 lt 30i ako se n1 i n2 znatno razlikuju
1 2rač
d
x xt
s
varijabla Studentove t-razdiobes k = n1 + n2 ndash 2 s s
Ako odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
0račt t
2
2
0t
( )f t
t00t
k = n1 + n2 ndash 2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)
bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s
proporcijom P elementa sa svojstvom A
ndash uzorak n elemenata s proporcijom p
ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko
proporcije P ima standardnu pogrešku
bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi
ndash uzorci
ndash nulta hipotezandash alternativna hip
pp qsn
1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2
n1 pod proporcija p1
n2 pod proporcija p2
0 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1 2
H P PH P PH P PH P P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Podaci iz primjera za intervalnu procjenu očekivanja n = 10 = 5065 s = 096bull Provjeriti hipotezu da je riječ o podacima skupa čije je očekivanje 515 jedinica
naprama alternativnoj hipotezibull Vjerojatnost pogreške 1 vrste neka iznosi 005 ( = 005)
0 1 515 515 ( 515)H x H x
5065 5150 085 27997096 0303610
račt
005
( )f t
t00 1833t
27997račt
Zaključak
0 0ODBACITIračt t H
515
x
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Provjera hipoteza uzorak ndash uzorak (test očekivanja)
bull 1 skup očekivanje 1 varijanca 201
1 uzorak n1 podataka bull 2 skup očekivanje 2 varijanca 2
02 2 uzorak n2 podataka
Hipoteze
1
2 21 1 xx s s
2
2 22 2 xx s s
0 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
HHHH
1 1 2x x
1( )f x
2( )f x
2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja skupa iz kojeg uzorak potječe
bull njihova razlika rasipat će se oko veličinebull pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita
varijabla d će se rasipati oko 0
1 2d x x 1 2D 1 2
2
2
( )f d
d0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull pri tome je standardna pogreška varijable d
bull varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze
2 21 2
1 2
2 21 1 2 2 1 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)2
d
d
s ssn n
n s n s n nsn n n n
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 gt 30
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 lt 30i ako se n1 i n2 znatno razlikuju
1 2rač
d
x xt
s
varijabla Studentove t-razdiobes k = n1 + n2 ndash 2 s s
Ako odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
0račt t
2
2
0t
( )f t
t00t
k = n1 + n2 ndash 2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)
bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s
proporcijom P elementa sa svojstvom A
ndash uzorak n elemenata s proporcijom p
ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko
proporcije P ima standardnu pogrešku
bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi
ndash uzorci
ndash nulta hipotezandash alternativna hip
pp qsn
1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2
n1 pod proporcija p1
n2 pod proporcija p2
0 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1 2
H P PH P PH P PH P P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Provjera hipoteza uzorak ndash uzorak (test očekivanja)
bull 1 skup očekivanje 1 varijanca 201
1 uzorak n1 podataka bull 2 skup očekivanje 2 varijanca 2
02 2 uzorak n2 podataka
Hipoteze
1
2 21 1 xx s s
2
2 22 2 xx s s
0 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
HHHH
1 1 2x x
1( )f x
2( )f x
2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja skupa iz kojeg uzorak potječe
bull njihova razlika rasipat će se oko veličinebull pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita
varijabla d će se rasipati oko 0
1 2d x x 1 2D 1 2
2
2
( )f d
d0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull pri tome je standardna pogreška varijable d
bull varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze
2 21 2
1 2
2 21 1 2 2 1 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)2
d
d
s ssn n
n s n s n nsn n n n
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 gt 30
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 lt 30i ako se n1 i n2 znatno razlikuju
1 2rač
d
x xt
s
varijabla Studentove t-razdiobes k = n1 + n2 ndash 2 s s
Ako odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
0račt t
2
2
0t
( )f t
t00t
k = n1 + n2 ndash 2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)
bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s
proporcijom P elementa sa svojstvom A
ndash uzorak n elemenata s proporcijom p
ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko
proporcije P ima standardnu pogrešku
bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi
ndash uzorci
ndash nulta hipotezandash alternativna hip
pp qsn
1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2
n1 pod proporcija p1
n2 pod proporcija p2
0 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1 2
H P PH P PH P PH P P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull aritmetička sredina svakog od uzoraka rasipat će se oko očekivanja skupa iz kojeg uzorak potječe
bull njihova razlika rasipat će se oko veličinebull pretpostavimo li da je hipoteza Ho istinita
varijabla d će se rasipati oko 0
1 2d x x 1 2D 1 2
2
2
( )f d
d0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull pri tome je standardna pogreška varijable d
bull varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze
2 21 2
1 2
2 21 1 2 2 1 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)2
d
d
s ssn n
n s n s n nsn n n n
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 gt 30
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 lt 30i ako se n1 i n2 znatno razlikuju
1 2rač
d
x xt
s
varijabla Studentove t-razdiobes k = n1 + n2 ndash 2 s s
Ako odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
0račt t
2
2
0t
( )f t
t00t
k = n1 + n2 ndash 2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)
bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s
proporcijom P elementa sa svojstvom A
ndash uzorak n elemenata s proporcijom p
ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko
proporcije P ima standardnu pogrešku
bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi
ndash uzorci
ndash nulta hipotezandash alternativna hip
pp qsn
1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2
n1 pod proporcija p1
n2 pod proporcija p2
0 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1 2
H P PH P PH P PH P P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull pri tome je standardna pogreška varijable d
bull varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze
2 21 2
1 2
2 21 1 2 2 1 2
1 2 1 2
( 1) ( 1)2
d
d
s ssn n
n s n s n nsn n n n
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 gt 30
za uzorke s n1 + n2 ndash 2 lt 30i ako se n1 i n2 znatno razlikuju
1 2rač
d
x xt
s
varijabla Studentove t-razdiobes k = n1 + n2 ndash 2 s s
Ako odbaciti Ho uz vjerojatnost pogreške 1 vrste
0račt t
2
2
0t
( )f t
t00t
k = n1 + n2 ndash 2
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)
bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s
proporcijom P elementa sa svojstvom A
ndash uzorak n elemenata s proporcijom p
ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko
proporcije P ima standardnu pogrešku
bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi
ndash uzorci
ndash nulta hipotezandash alternativna hip
pp qsn
1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2
n1 pod proporcija p1
n2 pod proporcija p2
0 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1 2
H P PH P PH P PH P P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Testiranje hipoteza za proporcije (atributivne podatke)
bull slučaj uzorak ndash osn skupndash osnovni dvoslojni skup s
proporcijom P elementa sa svojstvom A
ndash uzorak n elemenata s proporcijom p
ndash važno E(p) = Pndash rasipanje proporcije p oko
proporcije P ima standardnu pogrešku
bull slučaj uzorak ndash uzorakndash osnovni skupovi
ndash uzorci
ndash nulta hipotezandash alternativna hip
pp qsn
1 skup proporcije P1 2 skup proporcije P2
n1 pod proporcija p1
n2 pod proporcija p2
0 1 2
1 1 2
1 1 2
2 1 2
H P PH P PH P PH P P
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash varijabla za testiranje hipoteze Ho P
ndash razlika d = p1 ndash p2 rasipa se oko E(d)=0 ako pretpostavimo istinitost nulte hipoteze
ndash varijabla pogodna za testiranje nulte hipoteze 01var razdiobe N
p
p Pz
s
Vrijedi samo za VELIKE uzorketj n 100
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2
(1 )
d
d
p pz
s
n ns p pn n
n p n ppn n
ZaključakAko ( )račz z oODBACITI H
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba (testiranje) varijanci
bull 1 Osnovni skup očekivanje 1 varijanca 201
nepristrana procjena varijancebull 2 Osnovni skup očekivanje 2 varijanca 2
02 nepristrana procjena varijance
bull Nulta hipoteza naprama alternativnoj
bull Varijabla
hellipvarijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
21s
22s
2 20 01 02
2 21 01 02
H
H
2122
sFs
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ako Frač gt F0 odbaciti Ho
Konvencija
Tipično = 005 001
2 21 2s s
VAŽNO Svakom testu aritmetičkih sredina mora prethoditi provjera značajnostirazlika među varijancama
bull F-razdioba utemeljio G Snedecor (1881ndash1934)bull Naziv F-razdioba u čast R Fishera (1890ndash1962)
( )f F
kb kn
1
FF0
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Osnove teorije uzorakaUvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Usporedba frekvencija (c2 ndashtest)bull neparametarski testbull test usporedbe frekvencija ndash značajnost razlika među frekvencijama
f(x) ndash ft(x)bull Odnos stvarnih i teorijskih frekvencija preko varijable
bull varijabla sa k=n-1 stupnjeva slobode kod prilagodbe razdioba k=n-1-r gdje je r broj parametara prilagođene razdiober(Binomna)=r(Poissonova)=1 r(Normalna)=2
bull postavljanje hipoteza H0helliprazlike f(x)-ft(x) slučajneH1helliprazlike f(x)-ft(x) značajne
bull ako je tada treba odbaciti hipotezu H0
bull NAPOMENA upotreba samo za frekvencije ftgt5 ndash u slučaju prilagodbe razdioba kombinirati sa susjednom frekvencijom (razredom)
22
1
( ) ( )( )
ni i
i i
f x ft xft x
2 20r
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
4 Analiza varijance
bull Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju)
bull U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost ndash rezultat
bull Postupak analizi značajnosti utjecaja faktora u nekom procesu ndashnepoznati proces (znanstveni pristup)
bull Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance u slučaju jednog utjecajnog faktora
uzorci Redni broj
mjerenja 1 2 3 j k
1 11x 21x 1kx
2 11x
3
i ijx
jn
1
jn
ji
x 1
1
jn
i
x 2
1
jn
i
x
1
jn
ji
x
1
jn
ki
x
jx 1x 2x jx
kx
Model
ij j ijx x
ij
j
ij
x
x
vrijednost i-tog mjerenja uj-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-toguzorka
slučajno odstupanje unutaruzorka
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model se može shvatiti i kao
bull Hipoteza
bull Za provjeru gornje hipoteze H0 nužno je odrediti dvije nezavisne varijance kako bi se formirao F test
( )f F
kb kn
1
FF0
varijabla F-razdiobe s kb = n1 ndash 1 ss i kn = n2 ndash 1 ss
2122
sFs
2 21 2( )s s
12 12
jij j ij
i nx x
j k
0 1 2
1
0 0
k
j
H x x xH x
bar jedan
Odlukaako Frač gt F0 odbaciti H0 uz pogrešku prve vrste čija je vjerojatnost
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Postupak
1 2 ukupni broj podatakaj kN n n n n 2
1 12 20
( )
1
jnk
ijj i
xs
N
2 2 2
2 2
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
ij ij j ji j i j
ij j j ij j ji j i j i j
N s x x x x
x x x x x x
1 1
jk n
j i i j
= 0
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Konačno 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )ij ij j ji j i j i j
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
UKUPNO unutar izmeđuuzoraka uzoraka
x x x x
SKO SKO SKO
s s s
2
2
izmeđuuzoraka
unutaruzoraka
sF
s varijabla F-razdiobe s kb = k ndash 1 ss i kn = N ndash k ss
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer
bull Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi u
bull Tablica analize varijance
udio tvrdog drva mjerenja
5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20
Suma po uzorcima 60 94 102 127
Ar sredina uzorka 10 1567 1700 217
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač F0(=001)
faktor udio tvrdog drva
38279 3 12760 1961 494
slučajno odst u uzorcima (ostatak)
13017 20 651 ndash ndash
UKUPNO 51296 23 ndash ndash ndash
ukupna suma 383ukupna ar sredina 1596
( )f F
kb = 3 kn = 20
1
FF0 = 494
001
Frač gt F0 odbaciti H0uz vj pogreške 1 vrste
= 001
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (1 prom faktor)Četiri poduzeća proizvode istovrsni proizvod Prilikom kontrole mjerena je karakterističnadimenzija za serije proizvoda koje se izrađuju na jednom tipu automata Potrebno jeprovjeriti da li se kvaliteta proizvoda (u pogledu karakteristične dimenzije) značajnorazlikuje od serije do serije (među poduzećima)
Redbr UZORCI (poduzeće)1 2 3 4
1 160 158 146 151
2 161 164 155 152
3 165 164 160 153
4 168 170 162 167
5 170 175 164 160
6 172 166 168
7 180 174
8 182
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted parameterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Var2SS
Var2MS
Var2F
Var2p
PoduzeceErrorTotal
3 3185 1062 1460 025285522 16002 72725 19187
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Var2Mean
Var2StdDev
Var2StdErr
Var2-9500
Var2+9500
TotalPoduzecePoduzecePoduzecePoduzece
26 1641154 876049 1718073 1605769 16765381 7 1680000 690411 2609506 1616148 17438522 5 1662000 649615 2905168 1581340 17426603 8 1636250 110316 3900263 1544023 17284774 6 1585000 766159 3127832 1504597 1665403
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Model analize varijance s dva promjenjiva faktora
bull Model ij j i ijx x x
ij
j
i
ij
x
x
x
Vrijednost u i-tom retku ij-tom stupcu
aritmetička sredina svihpodataka
doprinos ar sredine j-togstupca
doprinos ar sredine i-togretka
slučajno odstupanje (ostatak)
Pretpostavka
2( )( ) 0N
ijij ijE
0 1
1
0
0j k
j
H x x x
H x
bar jedan
bull Formiraju se dva F-testa
F-test (po redovima)
F-test (po stupcima)
0 1
1
0 0
i l
i
H x x xH x
bar jedan
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull dekompozicija sume kvadrata odstupanja
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )ij j i ostatkai j i j i j
UKUPNO stu
stupc
pci redovi ostatka
UKUPNO ostatkai redovi
x x x SKO
SKO SKO SKO SKO
ss ss
bull budući da su poznata dva izvora varijacije (grupirano u redove i stupce) potrebno je provesti dva odvojena F-testa preko formirane ANOVA tablice
bull svaki izvor varijacije izražen preko procijenjene varijance (srednji kvadrat odstupanja) se stavlja u odnos s procijenjenom varijancom ostatka (preduvjet da je ostatak normalno distribuiran ndash slučajna varijacija)
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
izvor varijacije
suma kvadrata odstupanja
stupnjevi slobode
srednji kvadrat
odstupanja Frač
Faktor1 (redovi) SKOredovi l‐1 s2redovi s2redovi s2ostatak
Faktor2 (stupci) SKOstupci k‐1 s2stupci s2stupci s2ostatak
Ostatak SKOostatak (k‐1)(l‐1) s2ostatak ndash
UKUPNO SKOukupno N‐1 ndash ndash
ANOVA tablica
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
PRIMJER (2 prom faktora)Četiri radnika zavarila su svaki po jedan uzorak lima na svakom od tri postojeća uređajaza točkasto zavarivanje Rezultati ispitivanja prijelomne sile tih zavarenih spojevazapisani su u tablici Da li je svejedno u pogledu zavarenog spoja koji radnik zavaruje i nakojem uređaju
[N] Radnik
Uređaj R1 R2 R3 R4
S1 973 976 967 969
S2 965 966 972 960
S3 971 972 969 964
Univariate Results for Each DV (Spreadsheet1)Sigma-restricted param eterizationEffective hypothesis decomposition
EffectDegr ofFreedom
Prijelomna si laSS
Prijelomna silaMS
Prijelomna silaF
Prijelomna silap
RadnikUređajErrorTotal
3 82 27 21 01995352 61 31 24 01745786 78 13
11 221
Descriptive Statistics (Spreadsheet1)
EffectLevel ofFactor
N Prijelomna si laMean
Prijelomna silaStdDev
Pri jelomna silaStdErr
Pri jelomna sila-9500
Prijelomna si la+9500
TotalRadnikRadnikRadnikRadnikUređajUređajUređaj
12 9686667 4478907 1292949 9658209 9715124R1 3 9696667 4163332 240370 9593244 9800090R2 3 9713333 5033223 2905933 958830 9838366R3 3 9693333 251661 1452966 9630817 9755849R4 3 9643333 4509250 2603417 9531317 9755349S1 4 9712500 4031129 2015564 9648356 9776644S2 4 9657500 4924429 2462214 957914 9735859S3 4 9690000 3559026 1779513 9633368 9746632
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb rujan 2009Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Pojednostavljeni izrazi za računanje analize varijancebull 1 promjenjivi faktor
2
2
2
_
_
2
ijij
ukupno
ijijiji
između uzorakaj j
ostatak ukupno između uzorak
j
a
ii i
SKOx
N
xxSKO
n N
SKO SKO
x
SKO
bull 2 promjenjiva faktora2
2
2
_
2
2
_
_
2
1
1
ijij
ukupno
ijij
između stupaca ijj ij
ijij
između redova iji ji
ostatak ukupno između u
iji
zoraka
i
x
N
xSKO x
n N
xSKO x
n N
SKO S
S
K
K
S O O
O x
K
bull indeksi u tablici podataka
i
j
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
5 Korelacija i regresija
- korelacija ndash mjera povezanosti dvije ili više varijabliKarl Pearson
- regresija ndash definira oblik povezanosti dvaju ili više varijabli Francis Galton
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Osnovni pristupi istraživanju pojava u procesu
1 2 3( )y f x x x
bull Dva osnovna pristupa1 Regresijski pristup ndash upotreba empirijskih (historijskih) podataka gdje ne
postoji mogućnost kontrole faktora u procesubull jedna ili više regresorskih varijabli (faktora) koja utječe na odzivnu
varijablu
2 Planiranje pokusa ndash mogućnost kontrole faktora u procesu te oblikovanje modela po stohastičkom principu radi eliminacije utjecaja nekontroliranih faktora
Opći model procesa
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Korelacijabull Mjera povezanosti dvije ili više varijabli ndash metoda kojom se utvrđuje da li među
varijablama postoji funkcionalna ovisnost bull Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -100 do +100
bull rlt0 definira negativnu korelacijubull rgt0 definira pozitivnu korelaciju
SMJER POVEZANOSTIbull Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli
te mjeri odnose među varijacijama ndash jakost vezebull Metoda najmanjih kvadrata odstupanja ndash koristi se za određivanje koeficijenta
korelacije odnosno koeficijenta determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda najmanjih kvadrata odstupanja u određivanju koeficijenta korelacije
ii
ii
iii
ynyxnx
yxnyxr
2222
- r ndash Pearsonov koef korelacije- xi yi ndashoriginalne vrijednosti- n ndashbroj parova podataka
1
2
2
( )( )
( )
( )
xy
xx yy
n
xy i iin
yy ii i
n
xx ii i
SSr
SS SS
SS x x y y
SS y y
SS x x
1 1
1 1 n n
i ii i
x x y yn n
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Primjeri kretanja koeficijenta korelacije za različite grupe podataka
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Izvod koeficijenta determinacije
ukupno
oprotumačro
ostatkaoprotumačroukupno
i
n
ii
n
i
n
i
n
ii
ii
ii
SKOSKO
r
SKOSKOSKO
yyyyyyyyyy
yyyyyy
yyyyyy
2
2
111
2
1
2
2
)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ()(
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
- koeficijent korelacije se računa kao drugi korijen koeficijenta determinacije- r2 koeficijent determinacije ndash utvrđuje koliko je promjene zavisne varijable
objašnjeno promjenom nezavisne varijable
Primjer Ako je koeficijent korelacije 09 tada je koeficijent determinacije 081- Što znači da je 81 promjene zavisne varijable objašnjeno promjenomnezavisne varijable
- kada se govori o jačini veze ne smije se govoriti na nivou r već treba uzeti uobzir i koeficijent determinacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje koeficijenta korelacije (T-test)
bull Upotreba metode uzoraka u teoriji korelacijebull Koeficijent korelacije podliježe testiranju t-testom samo ako su promatrane
varijable normalno distribuiranebull Testira se hipoteza o koeficijentu korelacije osnovnog skupa iz kojeg je uzet
uzorak sa n parova podataka
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0 skupa osnovnog korelacijet koeficijen
0052-nk
t1
2
1
0
tab2
H
Hr
nrt
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull Regresijska analiza
bull Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatkebull Oblik povezanosti varijabli
bull Linearna povezanost y=ax+bbull Krivolinijska
raquo y=aebx
raquo y=a+blnxraquo y=abx hellip
bull Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna nezavisna varijabla)
bull Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresijebull Regresijska analiza jednostavna linearna regresija nelinearna regresija
(linearizacija) višestruka regresija
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Jednostavna linearna regresija
bull Bit metode je odrediti koeficijente regresijskog pravca β0 i β1
bull Oblik regresijskog pravcaŷ= β0 + β1x
bull Pravac koji najbolje aproksimira originalne vrijednosti mora biti tako položen da SUMA KVADRATA ODSTUPANJA (SKO) procijenjenih i originalnih vrijednosti bude minimalna
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
xbybxnx
yxnyxb n
ii
n
iii
10
1
22
11
bull Izvod koeficijenata regresijskog pravca
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iiii
n
iii
n
iii
n
ii
yxxbxb
yxbnb
yxbbxbS
yxbbbS
yxbbbbS
yybbS
11
21
10
1110
110
1
110
0
1
21010
1
210
0)(2
0)(2
min)()(
min)ˆ()(
bull Konačni izrazi za koeficijente regresijskog pravca oblika ŷ=β0+β1x
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Ispitivanje adekvatnosti modela (F-test)
R
P
ssF 2
2
2
2
2
2
ˆ( )
1
ˆ( )
2
ii
P
i ii
R
y ys
y ys
n
odabran) dobro (nijen neadekvata je model 0 FF
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Testiranje ostataka preko papira vjerojatnosti
bull još jedna od grafičkih metoda analize podataka (iz uzorka) kontinuiranog obilježja
bull utvrđuje se da li se podaci ponašaju po jednoj od promatranih raspodjela i koliko koji elementi odstupaju
bull za svaku raspodjelu posebno konstruira se papir vjerojatnostindash papir vjerojatnosti normalne raspodjele (najčešće)ndash papir vjerojatnosti Weibull-ove raspodjelendash papir vjerojatnosti lognormalne raspodjelendash
bull uzima se funkcija distribucije određene raspodjele i promjenom mjerila dobiva se funkcija distribucije u obliku pravca (Henry-jev pravac)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull konstruiranje papira vjerojatnosti normalne raspodjele
20151050
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
x
Normal Papir vjerojatnosti
20151050
100
80
60
40
20
0
x
Normal Funkcija distribucije
~84
bull Henry-jev pravac se ucrtava tako da se odrede dvije čvrste točkendash 1 točka (x= y=50)ndash 2 točka (x=y=84)
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
bull primjena papira vjerojatnostiPrimjer Provjeriti da li se podaci iz uzorka rasipaju po normalnoj raspodjeli
- promatranjem podataka može se utvrditi da li se podaci rasipaju po normalnoj raspodjeli
- uzeta je raspodjela sa parametrima )(2
0xx i
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Metoda linearizacije
b
Y lnlnln xay 1Xba
xbay
bxabxay
bx
Y lnln eay 2
10
101
0
by
1b bby 3
Xbx
byx
1010 b by 4 Xbyxb
bx
bxy
bxybxy
bxy
1
-bx
Y
)1
1ln(
)1ln( )1ln(- )1ln( e1y 5
- transformacija u linearni sustav- tipične transformacije
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Volumni udio faze x [] 12 14 18 21 29 36 42 51tvrdoća y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57
PRIMJERU nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći prema tablici Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika
Regression Analysis Tvrdoca versus Udio faze_
The regression equation isTvrdoca = 682 - 209 Udio faze_
Predictor Coef SE Coef T PConstant 681995 03618 18852 0000Udio faze_ -20895 01173 -1781 0000
S = 0437523 R-Sq = 981 R-Sq(adj) = 978
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb rujan 2009Dr sc Hrvoje CajnerUvod u planiranje i analizu pokusa
Analysis of Variance
Source DF SS MS F PRegression 1 60726 60726 31723 0000Residual Error 6 1149 0191Total 7 61875
UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 120 66000 65692 0242 0308 0842 140 65000 65274 0225 -0274 -0733 180 64000 64438 0193 -0438 -1124 210 64000 63812 0174 0188 0475 290 62000 62140 0155 -0140 -0346 360 61000 60677 0182 0323 0817 420 60000 59424 0227 0576 1548 510 57000 57543 0312 -0543 -177
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metodakontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i unjihovu projektiranju (pr 6sigma)
bull uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom sve se višekoristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments)koja se pokazala vrlo učinkovitom posebice žele li se postići optimalnarješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogleduparametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa
bull također u znanstveno istraživačke svrhe spomenuta metodologija vrločesto nema alternativu
6 Planiranje i analiza pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ndash Francis Bacon (1561ndash1626) filozof znanstvenik povjesničar koristio jednofaktorske pokuse
ZNANJE JE MOĆndash Sir Ronald Aylmer Fisher (1890ndash1962) utemeljitelj pojma DOE ndash Design of
Experimentsbull istraživač na Rothamsted Laboratory (London)bull istraživao utjecaj različitih faktora na rast i prinose u poljoprivrednoj
proizvodnjibull uveo u istraživački rad ldquofaktorske pokuserdquo tj istraživanje istovremenom
promjenom više utjecajnih faktora interakcijebull definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse
Povijest i osnovni pojmovi
ndash ponavljanje (repetiton replicates) slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization) blokovi aliasi
objavio knjigendash Statistical methods for research workers (1925)ndash Design of experiments (1935) - od tada je izraz Design of Experiments
u službenoj upotrebibull početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj
industriji industriji guma te industriji sapuna
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Vrste pokusa
bull Faktorski planovi pokusabull Koristi se za ispitivanje veza između više faktora na više razina
odjednombull Metode odzivnih površina
bull Koristi se za istraživanje veza između više zavisnih i nezavisnihvarijabli
bull Glavna ideja metode je korištenje sekvenci u planiranju pokusakako bi se postigao optimalni odziv
bull Ovaj model je samo aproksimacija ali se često koristi jer je takavmodel lako procijeniti i upotrijebiti čak i kada je malo toga poznato oprocesu
bull Pokusi sa smjesama (mješavinama)
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Princip uporabe planova pokusa
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Uvod u planiranje i analizu pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Model pokusa
Faze pri izvođenju pokusa1 Definirati problem i cilj istraživanja2 Odabrati utjecajne faktore i
njihove razine3 Odabrati mjerene vrijednosti
(izlazne varijable)4 Odabrati model pokusa5 Izvesti pokus (predpokus glavni
pokus)6 Analizirati rezultate7 Formulirati zaključke i prijedloge
Proces problem
kontrolirani faktoriw1 w2 wp
z1 z2 zp
nekontrolirani faktori(poremećaji)
y1
y2
ym
izlazi(mjerne
vrijednostirezultati)
x1
x2
xm
ulazi(faktori
varijable)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
7 Faktorski planovi pokusabull pogodni za istraživanje utjecaja 2 3 4 faktorabull odabrane faktore moguće je ispitivati na 2 ili više razina istovremenobull ovisno o broju razina faktora regresijski model će biti sastavljen od članova
prvoga odnosno višeg reda te interakcija (prvog drugog i višeg reda)bull pokusa po faktor po faktor
bull Prosječni efektFaktora A ndash razlika u rezultatu A1B1 i A2B1
Faktora B ndash razlika A1B1 i A1B2
bull U slučaju dodavanja točke A2B2 prosječan efekt
Faktora A ndash prosjek razlika u rezultatu A1B1-A2B1 i A1B2 - A2B2
Faktora B ndash prosjek razlika A1B1-A1B2 i A2B1-A2B2
bull Problem neuključivanja interakcija
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull najjednostavniji slučaj k = 2 faktora svaki na 2 razine
yijk = + i + j + ij + eijk
- očekivanje (opća aritm sredina)i - efekt faktora 1j - efekt faktora 2ij - efekt interakcijeeijk ndash ostala varijacija
linearni model
broj razinabroj faktorabroj izvođenja pokusa za
svaku kombinaciju razina faktora
bull označavanje 2k r
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 40
(1) b
aba
A1 A2 B1 B2 razine faktora(1) a b ab stanja pokusa
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Prikaz promjene rezultata
Primjer
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati djelovanja promjene faktora
bull glavni efekti
bull interakcija
VAŽNO ISTOVREMENA PROMJENA FAKTORA A i B NE UTJEČE NA REZULTAT NEMA INTERAKCIJE
(1) 40 30 20 10 202 2
(1) 40 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 40 30 20 10 02 2
ab a bAB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull glavni efekti
bull interakcija
(1) 0 30 20 10 02 2
(1) 0 30 20 10 102 2
ab a bA
ab a bB
(1) 0 30 20 10 202 2
ab a bAB
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0
(1) b
aba
INTERAKCIJA AB = ndash 20
Primjer
A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
0 A1 A2
10
20
30
Rezultati
faktor A
B2
B1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Analiza značajnosti utjecaja faktora i interakcija
Izvor varijacija
Suma kvadrata odstupanja
Stupnjevi slobode
Srednji kvadrat odstupanja Frač F0
Faktor A SSA a ndash 1 1A
ASSMSa
( )
Arač A
OST
MSFMS
Faktor B SSB b ndash 1 1B
BSSMSb
( )
Brač B
OST
MSFMS
interakcija AB SSAB (a ndash 1) (b ndash 1) ( 1)( 1)AB
ABSSMS
a b
( )
ABrač AB
OST
MSFMS
ostatak SSOST ab(r ndash 1) ( 1)OST
OSTSSMS
a b r
Ukupno SSUKUPNO abr ndash 1
a broj razina faktora Ab broj razina faktora Br broj ponavljanja pokusa
opaska p ndash greška odbacivanja ispravne hipoteze Ho
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Kontrasti bull Linearna kombinacija (funkcija) nad podacima pokusa ali uz uvjet sume
koeficijenata jednake 0y1 y2hellipyn - podaci nekog pokusa (rezultati)l1 l2 ln - koeficijenti
1 1 2 21
1
je kontrast ako vrijedi 0
n
n n i ii
n
ii
M y y y y
M
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
a) Kontrast koji može odgovoriti na pitanje postoji li linearni trend (porast) rezultata između točke (stanja) pokusa 1 i 3
b) Kontrast koji odgovara postoji li nelinearnost pojave u srednjoj razini
yi y1 y2 y3
i -1 0 +1
bull Primjeri kontrasta
i iM y
i iL y
yi y1 y2 y3
i -12 1 -12
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Ortogonalni kontrasti bull Dva su kontrasta međusobno ortogonalna ako je suma umnožaka
odgovarajućih parova koeficijenata jednaka 0
10
n
i ii
bull Primjeri ortogonalnosti kontrasta Kontrast yi y1 y2 y3
M i -1 0 +1L i -12 +1 -12K i -2 +1 +1P i 0 -1 +1
M i L ndash ortogonalni kontrasti M i K ndash nisu ortogonalni kontrastiK i P ndash ortogonalni kontrasti
bull Ortogonalni kontrasti odgovaraju na nezavisna pitanjabull Ako ortogonalnost nije prisutna tada su neki efekti faktora združeni
(lsquoconfoundingrsquo)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
8 Djelomični (frakcionirani) faktorski planovi pokusabull upotreba djelomičnih pokusa kod problema sa velikim brojem faktorabull fokus istraživanja je na faktorima s velikim efektima ndash značajnim faktorimabull pretpostavlja se da glavni efekti dominiraju nad interakcijama bull označavanje 2k-p r
bull primjer 3 faktora s jednim ponavljanjem na 2 razine ndash 12 lsquofrakcijersquo = 23-1
Primjer 23-1
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull za glavnu lsquofrakcijursquo I=+ABC kontrast za procjenu efekta je isti kao i za procjenu interakcije BC
bull tu pojavu lsquonerazlučenihrsquo efekata zovemo aliasibull aliasi za konkretni problem
A = BC B = AC C = ABmogu se definirati kao
AI = A(ABC) = A2BC = BC
BI =B(ABC) = AC
CI = C(ABC) = AB
notacija aliasa
A B CA BC B AC C AB
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer (djelomični 24-1)
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull rezultat
bull značajni efekti= A C D AC i AD
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa pripada u skupinu planova pokusavišeg reda tzv metoda odzivne površine (e response surfacemethodology)
bull Metoda odzivne površine obuhvaća skup statističkih i matematičkihmetoda koje se primjenjuju za razvoj poboljšanje i optimiranjeprocesa
bull Mjerljiva veličina kvalitete proizvoda ili procesa naziva se odzivbull Svrha plana pokusa je generiranje matematičkog modela odnosno
jednadžbe (polinoma II stupnja) koja opisuje procesbull Ako su proučavani faktori u pokusu doista oni koji utječu na proces
a podaci dobiveni pokusom prihvatljive točnosti i preciznosti tada jemoguće razviti model koji vjerodostojno opisuje proces
8 Metodologija odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni plan pokusa je model I reda (2k) proširendodatnim točkama (stanjima pokusa) u centru i točkama u osima dabi se omogućila procjena parametara modela II Reda
bull Centralno kompozitni plan pokusa sastoji se od 2k stanja u vrhovima(faktorska stanja) 2k stanja u osima i stanja u središtu (k ndash brojfaktora)
bull Centralno kompozitni plan pokusa je alternativa 3k modelu prisastavljanju modela pokusa II reda jer je broj izvođenja smanjen uusporedbi s potpunim faktorskim modelom pokusa
bull Za k = 3 (faktori su x1 x2 i x3) na slici 1 prikazan je model centralnokompozitnog pokusa za koji je potrebno 15 stanja pokusa(23+2middot3+1)
bull U slučaju potpunoga faktorskog pokusa bilo bi potrebno 27 stanjapokusa
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Pronalaženje optimalnog prostora eksperimenta
bull kreiranje preliminarnih pokusa u svrhu pronalaženja optimalnog područja istraživanja s obzirom na oblik istraživanja (pronalaženje optimuma pronalaženje odzivne karakteristike u ograničenom području)
bull standardna metoda pronalaženja ekstrema lsquoMetoda strmog usponarsquo
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Poželjna karakteristika svakoga pokusa je međusobna nezavisnostprocjena glavnih efekata i njihovih interakcija što se postižeortogonalnošću i rotatabilnošću pokusa
bull Pokus je ortogonalan ako je zbroj produkata kodiranih stanja bilokojih dviju kolona u matrici pokusa jednak nuli
bull Rotatabilnost centralno kompozitnog plana pokusa postiže sedodavanjem stanja pokusa tako da su sva stanja jednako udaljenaod središta pokusa odnosno rotatabilnost ovisi o tzv osnojudaljenosti α (udaljenosti stanja u osima od centra)
bull Pokus je rotatabilan ako je
gdje je F broj faktorskih stanja (F = 2k u slučaju potpunoga faktorskogpokusa)
4 F
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Prema (1) u slučaju dva faktora α = 224 = 1414 a u slučaju trifaktora α = 234 = 1682
bull Dodatna stanja u središtu pokusa služe da bi se mogle usporeditivrijednosti mjerenja zavisne varijable u središtu pokusa saritmetičkom sredinom za ostatak pokusa
bull Ako je aritmetička sredina središta pokusa signifikantno različita odukupne aritmetičke sredine svih ostalih stanja pokusa tada se možezaključiti da veza između faktora pokusa i zavisne varijable nijelinearna
bull Ako se pokus barem djelomično ponavlja tada se može procijenitipogreška pokusa iz varijabilnosti ponovljenih stanja
bull Budući da se ta stanja izvode pod identičnim uvjetima odnosnoidentičnim razinama faktora procjena pogreške pokusa iz tihpodataka neovisna je o tome je li model pokusa linearan ilinelinearan te sadržava li interakcije višeg reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Tako je procijenjena pogreška pokusa čista pogreška (e pure error)odnosno ona je posljedica samo prirodne varijacije zavisne varijable
bull Jednadžba (polinom II stupnja) kojom se opisuje proces (odzivnafunkcija) za općeniti slučaj glasi (k faktora pokusa)
bull pri čemu se koeficijenti b0 bk određuju primjenom metodeminimalne sume kvadratnih odstupanja računskih od stvarnihvrijednosti
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Metoda strmog uspona (primjer)
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Oblikovanje plana pokusa za prilagodbu modela drugog redabull Kodiranje faktora radi računanja efekata (ortogonalnost)bull Stvarni faktori se prebacuju u kodirane vrijednosti
et varijabl vrijednosminimalna - )min(et varijabl vrijednosmaksimalna - )max(
1 et varijabl vrijednosstvarna - 1 et varijabl vrijednoskodirana -
2)]min()[max(2)]min()[max(
1
1
1
1
11
1111
i
i
i
i
ii
iiii
x
x
bull U slučaju modela drugoga reda dodatne (ekstrapolirane) točke pokusa se računaju uzimajući u obzir koeficijent
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni planovi pokusa za prilagođavanje odzivne površine (funkcije drugog reda) za 2 i 3 faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Primjer forme unosa podataka ndash centralno kompozitni model s 2 faktora i 5 ponavljanja u centru
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Rezultat je moguće iskazati kroz konturni dijagram i graf odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Proizvodnja kemikalija (kemikalijedx7)Dva najvažnija odziva koja se prate subull Y1 ndash Pretvaranje ( reaktanata koji su se pretvorili u produkt)bull Y2 ndash AktivnostIspitivač je odabrao 3 faktora procesa za proučavanje Njihovi nazivi
i nivoi su prikazani u tablici
Pretpostavimo da će se ispitivanja provoditi u toku 2 dana1 12 izvođenja 8 točaka u vrhovima i 4 točke u središtu2 8 izvođenja 6 točaka u osima i 2 točke u središtu
Faktor Mjernajedinica
Low level(-1)
High level(+1)
A ndash Vrijeme Minute 40 50B ndash Temperatura ˚C 80 90C - Katalizator 2 4
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Odabrani model Centralno kompozitni plan pokusa za 3 faktora
91
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Na slici je prikazan faktorski plan pokusa 22 Rezultati pokusa su dani utablici Potrebno je analizirati značajnost faktora te glavne efekte i interakcije
rezultatyij
B1 B2
A1 10 20
A2 30 0A1 A2
B1
B2
(1) a
abb
faktor A
faktor B
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 1000 1000 5000 2-Way Interactions 1 4000 4000 40000 Residual Error 0 Total 3 5000
Estimated Coefficients for Y using data in uncoded units
Term CoefConstant 150000faktor A 0faktor B -500000faktor Afaktor B -100000
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Potrebno je analizirati pokus 23 x 3 Rezultati su dani u tablici
Analysis of Variance for Tvrdoca (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 519017 519017 173006 11132 00002-Way Interactions 3 70483 70483 23494 1512 00003-Way Interactions 1 6017 6017 6017 387 0067Residual Error 16 24867 24867 1554Pure Error 16 24867 24867 1554Total 23 620383
Estimated Effects and Coefficients for Tvrdoca (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 586417 08047 72872 0000A 25500 12750 08047 1584 0000B -14000 -7000 08047 -870 0000C -4333 -2167 08047 -269 0016AB 8667 4333 08047 538 0000AC 0333 0167 08047 021 0839BC 6500 3250 08047 404 0001ABC 3167 1583 08047 197 0067
S = 394229 PRESS = 5595R-Sq = 9599 R-Sq(pred) = 9098 R-Sq(adj) = 9424
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Primjer Opis problemabull Cilj je izrezati trake tako da lagano padaju na pod
ndash Ako su optimalno dimenzionirani konfeti se rotiraju i kreću pod nasumičnim kutovima što odaje vrlo efektan dojam
bull U tablici su prikazano faktori i nivoi koje je potrebno testiratibull Napomena
ndash Dodane su središnje točke (kodirane s 0) kako bi se smanjio razmak između nižeg i višeg nivoa
Faktor Naziv Mjerne jedinic
e
Niži nivo (-)
Centar (0)
Viši nivo (+)
A Širina cm 1 2 3B Visina cm 3 4 5
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
bull Model pokusa i izmjereni podaci
ndash Središnja točka je replicirana 4 puta kako bi se determinirala čista pogreška pokusa
No Širina (cm) Visina (cm) Vrijeme (sec)
1 1 3 252 3 3 193 1 5 284 3 5 25 2 4 286 2 4 277 2 4 268 2 4 27
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Efekti
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
ANOVA tablicaSource Sum of Squares df Mean Square F Value p-value
Prob gt FModel 049 1 049 35 00020
A-Širina 049 1 049 35 00020
Curvature 032 1 032 2286 00050
Residual 007 5 0014
Lack of Fit 005 2 0025 375 01527
Pure Error 002 3 000667
Cor Total 088 7
Std Dev 012 R-Squared 08750
Mean 250 Adj R-Squared 08500
CV 473 Pred R-Squared 05794
PRESS 024 Adeq Precision 103510
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Metoda odzivne površine
Planiranje pokusa
Rezultati
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Proširenje na centralno kompozitni model (CCD)
Centralno kompozitni model za dva faktora
Centralno kompozitni model za tri faktora
bull NapomenaKako bi se postigla maksimalnaučinkovitost ovog modela točkestanja na osima moraju bitiudaljene od dometa faktora zaspecifičnu udaljenost koja iznosiDrugi korijen iz broja faktora
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull U tablici je prikazan novi prošireni modelndash Nove točke su označene kao Block 2ndash Primijetite dodatne središnje točke one omogućuju vezu i daju veću
snagu za procjenu efekata drugog redandash CCD model sadrži 5 nivoa za svaki faktor
bull Niži osnibull Niži faktorskibull Središnjibull Viši faktorski bull Viši osni
ndash Toliko nivoa omogućuje generiranje dovoljno informacija da se odredi jednadžba polinoma drugog reda
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
bull Centralno kompozitni model Konfeti
No Blok Tip Širina (cm)
Duljina (cm)
Vrijeme (sec)
1 Block 1 Fact 1 3 250
2 Block 1 Fact 3 3 190
3 Block 1 Fact 1 5 280
4 Block 1 Fact 3 5 200
5 Block 1 Center 2 4 280
6 Block 1 Center 2 4 270
7 Block 1 Center 2 4 260
8 Block 1 Center 2 4 270
9 Block 2 Axial 059 4 250
10 Block 2 Axial 341 4 180
11 Block 2 Axial 2 259 260
12 Block 2 Axial 2 541 300
13 Block 2 Center 2 4 250
14 Block 2 Center 2 4 260
15 Block 2 Center 2 4 260
16 Block 2 Center 2 4 290
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
ANOVA tablica
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine
Zagreb 18 i 19 svibnja 2010Planiranje i analiza pokusa
Metode znanstveno-istraživačkog rada
Planiranje i analiza pokusa Dr sc Hrvoje Cajner
Rezultati ndash odzivna površina
Konturni prikaz odziva
3D prikaz odzivne površine