Teorijski uvod o tokovima snagaProrauni tokova snaga i naponskih prilika predstavljaju osnovne i polazne proraune za analizu stacionarnih stanja na koji se nastavljaju ostali prorauni u elektroenergetici. Iskustvo pokazuje da se ovi prorauni najvie koriste, sa oko 70 % uea u okviru svih prorauna u elektroenergetici. Problem prorauna tokova snaga predstavlja zadatak nalaenja stanja sistema, odnosno nalaenja napona i snaga injektiranja u svim vorovima i nalaenje tokova snaga po svim vodovima. Ovim proraunom dobija se slika stanja elektroenergetske mree u jednom izdvojenom trenutku. Prorauni tokova snaga se prvenstveno primenjuju za potrebe upravljanja (eksploatacije) i planiranja elektroenergetskog sistema. U okviru upravljanja na osnovu proraunatih tokova snaga prati se stanje sistema i donosi odluka o eventualnim preventivnim i korektivnim upravljakim akcijama. Takoe, odreivanje ekonomski optimalnih generisanja u sistemu predstavlja vanu primenu tokova snaga zbog velikih trokova rada sistema. Upravljanje sistemom se oslanja na analizu sigurnosti, gde se za neki determinisani ispad elementa mree ili promenu njene konfiguracije proverava da li novonastalo stanje ostaje u granicama normalnog rada. U sutini analize sigurnosti nalazi se provera stanja mree preko prorauna tokova snaga. U okviru planiranja sistema razmatraju se izgradnja novih proizvodnih, prenosnih i distributivnih kapaciteta kroz izbor varijante koja e obezbediti minimalne godinje trokove sistema, uz zadovoljenje kriterijuma za sigurnim i pouzdanim snabdevanjem elektrinom energijom. Takoe, pomou prorauna tokova snaga vre se planiranja prenosnih kapaciteta uz uvaavanje potreba rezerviranja u sistemu, kao i planiranje razmene energije izmeu povezanih sistema. Proraun tokova snaga se ovde vri za prognozirana maksimalna optereenja, mada se ponekad rade i za minimalna optereenja u kojima se mogu javiti naponsko-reaktivni problemi. Proraunima tokova snaga se, pored navedenog, prate i promene stanja sistema usled promena u konfiguraciji mree, promene snage generisanja u elektranama, promene otcepa na regulacionim transformatorima itd.Prilikom prorauna tokova snaga podrazumeva se da je celokupan elektroenergetski sistem (EES) uravnoteen, odnosno pretpostavlja se pogonska i geometrijska simetrija svih elemenata EES-a. Zahvaljujui tome, deo EES-a od interesa za proraun se moe predstaviti preko jednopolne eme u kojoj su svi elementi predstavljeni preko svojih ekvivalenata. Na Sl.1.1 prikazan je primer jednopolne eme dela prenosnog sistema koji se modeluje preko vorova (sabirnica) meusobno povezanih sa prenosnim vodovima.

Sl. 1.1 Primer jednopolne eme prenosnog sistemaGeneratori i potroai su vezani na ove vorove i oni injektiraju (daju, odnosno uzimaju) snagu u deo sistema od interesa.Kako su snage injektiranja (snage potronje, odnosno aktivno generisanje u elektranama) veliine koje su dostupne ili se zadaju, sistem je neophodno predstaviti preko sistema nelinearnih algebarskih jednaina, za koje ne postoji opte reenje. Mogue je jedino tragati za numerikim reenjem problema, to se svodi na razne iterativne postupke za reavanje sistema nelinearnih algebarskih jednaina, gde reenje mora da zadovolji niz ogranienja, kao to su granine mogunosti izvora reaktivnih snaga, granine vrednosti regulacionih opsega transformatora sa promenom odnosa transformacije, termike granice vodova itd. Pored toga, savremeni sistemi se sastoje od velikog broja vorova, to je posledica sve veeg povezivanja susednih sistema. Ovo jasno ukazuje da je proraun tokova snaga neophodno vriti uz pomo raunara.Pojam snage injektiranja i snage debalansaSnaga injektiranja u i-tom voru se definie kao kompleksna trofazna prividna snaga koja je jednaka razlici prividne snage generisanja i prividne snage potronje u tom voru:

Po konvenciji snaga injektiranja je pozitivna za smer injektiranja u mreu.Sa druge strane moe se napisati jednaina preko snaga koje odlaze sa posmatranog i-tog vora kao:

gde je snaga koja vodom odlazi od vora i do vora k (n je broj vorova mree a za k=0 posmatra se nulti vor, odnosno zemlja), a ukupna snaga koja odlazi sa i-tog vora. Izraz za ovu snagu iskazan preko napona vorova i admitansi elemenata mree glasi:

gde su:

- admitansa grane izmeu vorova i i k;

- zbirna otona admitansa vezana za i-ti vor (admitanse otonih grana u ekvivalentnim emama vodova, otoni kondenzatori itd.).Grupiui admitanse u izrazu uz napone vorova dobija se izraz u kome figuriu admitanse iz dobro poznate matrice admitansi vorova mree (koja je data u odnosu na nulti vor, zemlju):

gde su:

Izraz se moe prikazati u hibridnoj formi (napon u polarnoj a admitansa u rektangularnoj formi) sa posebno datim izrazom za aktivnu i reaktivnu snagu zbog toga to je taj nain pogodan za dalje razmatranje prorauna tokova snaga:

Prema teoremi o konzervaciji snaga snaga injektiranja u i-ti vor i ukupna snaga koja odlazi sa i-tog su jednake. Meutim, zbog neophodnih numerikih iterativnih postupaka za proraunavanje tokova snaga pogodno je uvesti pojam snage debalansa, koja je jednaka razlici dve prikazane snage, a koja se nastoji svesti na nulu:

Klasifikacija vorova i specifikacija promenljivihZa mreu koja se sastoji od n vorova potrebno je odrediti 4n nepoznatih. U svakom voru potrebno je odrediti aktivno i reaktivno injektiranje (P i Q), kao i modul i fazni stav napona vora (U i ). Poznato je da je za odreivanje ovog broja nepoznatih potreban sistem jednaina istog reda. Meutim, za svaki vor je mogue napisati samo po dve jednaine za injektiranje snaga oblika , odnosno . Reenje se nalazi u tome to je zbog prirode problema mogue specificirati 2n nepoznatih, tako da se sa 2n jednaina odreuje preostalih 2n nepoznatih.U zavisnosti od nepoznatih koje se specificiraju vorovi se svrstavaju u sledee kategorije:Potroaki (PQ) vorovi u ovim vorovima zadaju se aktivna i reaktivna snaga injektiranja, to je prirodno s obzirom na to da su ove snage poznate bilo da se radi o proraunu tokova snaga za planerske potrebe (prognozirana potronja), upravljake potrebe (SCADA sistem) ili za analize ostvarenog pogona i obraunske potrebe (poznata ostvarenja u prolosti). Nepoznete veliine kod ovog tipa vorova su moduli i fazni stavovi napona tih vorova. Broj ovih vorova je nPQ.Naponski kontrolisani (PV) vorovi u ovim vorovima se u principu zadaju aktivna snaga injektiranja i moduo fazora napona, pri emu su nepoznate reaktivna snaga injektiranja i fazni stav napona vora. Njihov ukupan broj je nPV. U zavisnosti od naina na koji se odrava zadati moduo napona, ovi vorovi se dele na:2a. Generatorske (PVG) vorove gde se aktivna snaga injektiranja i moduo fazora napona odravaju na zadatoj vrednosti uz pomo turbinskog regulatora, odnosno automatske regulacije pobude. Reaktivna snaga injektiranja i fazni stav napona zavisi od stanja mree pa su stoga nepoznate.2b. Transformatorske (PGT ili PQV) vorove gde se moduli fazora napona odravaju na zadatoj vrednosti promenom odnosa transformacije regulacionog transformatora koji se nalazi u grani izmeu posmatranog i nekog susednog vora. Kod ovih vorova se zadaju aktivna i reaktivna snaga injektiranja i modul fazora napona. Nepoznate su fazni stav napona posmatranog vora i nenominalni odnos transformacije regulacionog transformatora.U nastavku e se zbog jednostavnije predstave posmatrati samo generatorski vorovi, tj. smatrae se da u mrei ne postoje regulacioni transformatori.Balansni (slack) vor postoji samo jedan balansni vor u mrei. Kod prethodna dva tipa vorova specificirane su aktivne snage injektiranja, to znai da se u balansnom voru ne moe slobodno odabrati aktivna snaga injektiranja jer bi se time predodredili gubici aktivne snage u mrei, a oni se bez poznavanja napona vorova i tokova snaga po granama mree ne mogu unapred odrediti. Iako se kod generatorskih vorova nisu specificirale reaktivne snage injektiranja, to ostavlja slobodu za njeno specificiranje u balansnom voru, to se ipak ne radi. U balansnom voru se specificira moduo fazora napona vora i njegov fazni stav. Obino se uzima da je taj fazni stav jednak nuli tako da kao referentni vor slui za raunanje faznih stavova ostalih vorova u mrei. Aktivna i reaktivna snaga injektiranja u ovom voru se izraunavaju naknadno. Za ovaj vor se obino uzima generatorski vor. najee sa najveom moguom proizvodnjom aktivne snage.Metodologija prorauna tokova snagaKlasifikacijom vorova i specifikacijom odreenih veliina dobijen je sistem od 2n nelinearnih algebarskih jednaina oblika , odnosno , sa 2n nepoznatih. Kako se parametri grana mree smatraju poznatim, a za sve vorove osim balansnog su poznate (zadate) aktivne snage injektiranja (n-1), kao i reaktivne snage injektiranja za potroake vorove (nPQ), prirodno se namee da se moduli fazora napona vorova i njihovi fazni stavovi odreuju simultano iz tih jednaina u kojima samo ove veliine figuriu kao nepoznate (n-1+nPQ). Ve je reeno da je za reavanje ovakvog sistema jednaina neophodno koristiti numerike iterativne postupke izraunavanja, od kojih e najznaajniji i najee korieni za proraun tokova snaga biti prikazani neto kasnije. Nakon to se odrede svi moduli fazora napona i njihovi fazni stavovi mogue je direktnom zamenom u preostale jednaine, koje nisu uestvovale u iterativnom postupku (nPV+2), dobiti vrednosti preostalih nepoznatih reaktivnih injektiranja po generatorskim vorovima i reaktivno i aktivno injektiranje u balansnom voru. Nakon to se odrede sve nepoznate, moe se prei na proraunavanje tokova snaga po granama mree i na osnovu toga proraunu gubitaka po granama mree.Koraci prorauna tokova snagaIterativno numeriko reenje sistema nelinearnih algebarskih jednaina se sastoji od sledeih koraka:Specifikacija ulaznih podataka, koja obuhvata numeraciju vorova, topologiju mree (definisanu ekvivalentnom emom ili nekom od topolokih matrica nakon numeracije vorova) i elektrine parametre grana mree, ukljuujui i otone elemente u vorovima, date preko rednih i otonih admitansi.Klasifikacija vorova, shodno zadatim numerikim podacima iz prvog koraka i fizike prirode problema na Slack, PQ i PV vorove.Formiranje matrice admitansi nezavisnih vorova i vektora aktivnih i reaktivnih injektiranja, shodno definisanoj numeraciji vorova i specificiranim admitansama u prvom koraku.Zadavanje poznatih promenljivih u zavisnosti od tipa vora. Zadaju se aktivno i reaktivno injektiranje u PQ vorovima, aktivno injektiranje i moduo fazora napona u PV vorovima i fazor napona u balansnom voru.Zadavanje poetnih pogaanja modula fazora napona u PQ vorovima i faznog stava napona u PQ i PV vorovima.

Iterativno reavanje sistema nelinearnih algebarskih jednaina n-1+nPQ reda, sastavljenog od n-1 jednaina aktivnih snaga i nPQ jednaina reaktivnih snaga. Kao test konvergencije reenja koriste se osnovni kriterijumi konvergencije, za fazne stavove, odnosno za module fazora napona. Dozvoljene greke u proraunu su obino, a predstavlja indeks iteracije. Pored osnovnih kriterijuma konvergencije, kao dodatni, koriste se i kriterijumi i , gde su Pri izraunavanju u svakoj iteraciji proveravaju se povrede reaktivnih ogranienja u PV vorovima. Ukoliko su naruena, takvi vorovi se preimenuju u PQ vorove sa specificiranim graninim reaktivnim snagama, a moduo napona se ostavi da slobodno varira.Proraun nepoznatih reaktivnih injektiranja u PV vorovima i nepoznatog aktivnog i reaktivnog injektiranja u balansnom voru.Proraun tokova snaga po granama mree. Za tok snage od vora i do vora k rauna se prema sledeem izrazu:

odnosno,

Takoe, proverava se povreda strujnih ogranienja po granama mree prema:

Ako ima povreda strujnih ogranienja, treba pokuati da se ona otklone preraspodelom optereenja izmeu proizvodnih agregata, ukoliko je to fiziki mogue.Proraun aktivnih i reaktivnih gubitaka u svim granama mree. Korienjem sledee formule raunaju se gubici u grani izmeu vorova i i k:

Takoe se vri proraun proizvodnje reaktivne snage u svim vorovima mree, usled otonih kapacitivnosti vodova kao:

gde je polovina otone kapacitivne susceptanse voda izmeu i-tog i k-tog vora. Provera izraunatih vrednosti gibitaka vri se pomou sledeih izraza:

Analiza dobijenih rezultata, shodno problemu u okviru kojeg se proraunavaju tokovi snaga.Numeriki postupci za reavanje tokova snagaSvi numeriki postupci reavanje tokova snaga su u sutini iterativne prirode. Istorijski za ovu svrhu prvo je korien Gauss-ov postupak, koji je kasnije unapreen u Gauss-Seidel-ov postupak, zatim Newton-Raphson-ov postupak i u novije vreme postupci koji su proizali iz Newton-Raphson-ovog postupka, kao to su Raspregnuti Newton-Raphson-ov postupak i Brzi raspregnuti postupak. Ovi postupci e detaljnije biti prikazani u nastavku.Gauss-ov i Gauss-Seidel-ov postupakPodsetimo se da je zadatak nalaenje nepoznatih fazora napona iz jednaina injektiranja snaga. Kako je napon balansnog vora unapred zadat, jednaina injektirane snage za ovaj vor ne uestvuje u iterativnom postupku, ve se izraunava na kraju kada se dobiju reenja za sve napone vorova. Princip Gauss-ovog postupka je da sistem jednaina svede na oblik u kom se nova vrednost napona izraunava preko stare vrednosti (iz prethodne iteracije):

Postupak se realizuje tako to se jednaine izraunavaju redom od prve pa nanie, pri emu se kao mora imati neko poetno pogaanje napona za =0. Pri tome je uoeno da se novoizraunata vrednost napona nekog vora moe koristiti odmah u sledeoj jednaini, ime se iterativni postupak ubrzava. Ovo predstavlja princip Gauss-Seidel-ovog iterativnog postupka:

Konkretna jednaina injektirane snage napisana za i-ti vor glasi:

Ako se sada jednaina preuredi po uzoru na jednaine u , odnosno dobija se:

Kod jednaine rauna se nova vrednost fazora napona i-tog vora, pri emu je i-ti vor PQ vor. Radi kraeg zapisa, vrednosti fazora napona vorova u okviru sume su prikazani kao vrednosti u -toj iteraciji, dok se u stvari prema Gauss-Seidel-ovom postupku u okviru te sume ve koriste novoizraunate vrednosti vorova (i-1, i-2,).Kod jednaine proraunava se nova vrednost fazora napona i-tog vora, pri emu je i-ti vor PV vor. Kako je kod PV vorova moduo fazora napona unapred zadat, postupa se tako da se zadata vrednost modula napona zadrava i njoj pridruuje nova verdnost faznog stava i-tog vora. Takoe, poto reaktivna snaga injektiranja nije zadata, ona se mora proraunati u svakoj iteraciji:

Potrebno je voditi rauna o reaktivnim ogranienjima i u sluaju prekoraenja proglasiti posmatrani vor PQ vorom. Ukoliko se u toku iterativnog postupka reaktivno injektiranje vrati u normalne granice, ponovo posmatrani vor proglasiti PV vorom.

Iterativni postupak se nastavlja sve dok se ne zadovolji uslov za konvergenciju iterativnog postupka dat izrazima i .

Broj iteracija u Gauss-Seidel-ovom postupku je veliki i tipino iznosi izmeu 50 i 100 iteracija. Razlog za ovakvu sporu konvergenciju je slaba matematika sprega izmeu veine vorova. esto se u cilju prevazilaenja ovog nedostatka koristi faktor za ubrzanje konvergencije iterativnog postupka , koji se uvodi na sledei nain:

Gauss-Seidel-ov postupak se preporuuje za primenu u sluajevima kada su poetna pogaanja nepoznatih napona slaba, odnosno kada je potrebno poeti iterativni postupak od tzv. flat-start-a. Takoe, preporuuje se i onda kada se zna da mrea ima problem sa reaktivnim generisanjima, kao i u sluaju sumnjivih podataka o mrei.Poeljno je izbegavati Gauss-Seidel-ov postupak kada mrea sadri redne kapacitivne elemente, kao i grane sa vrlo malom vrednou impedanse.Newton-Raphson-ov postupak

Nalaenje reenja nelinearne funkcije jedne promenljive primenom Newton-Raphson-ovog postupka se vri tako to se ta funkcija predstavi u obliku , zatim se funkcija razvije u Taylor-ov red u okolini take poetnog pogaanja i lanovi vieg rada od linearnog zanemare:

tako da se preliminarno reenje dobija kao:

U narednom koraku se dobijena vrednost koristi kao taka pogaanja, i tako za postupak generalizuje za naredne iteracije:

sve dok se ne zadovolji uslov za konvergenciju iterativnog postupka .Iz prikazanog se vidi da se ovde vri aproksimacija nelinearnog problema linearnim i postepeno pribliavanje reenju iz iteracije u iteraciju.

Na slian nain se moe izvriti generalizacija Newton-Raphson-ovog postupka za ndimenzioni sluaj vektorske jednaine vektorskog argumenta , tako da se vektor reenja x u narednoj +1 iteraciji dobija kao:

gde je Jakobijan izraunat za vektor .Newton-Raphson-ov postupak se primenjuje na proraun tokova snaga tako to se vektorskom jednainom vektorskog argumenta ovde smatra vektor jednaina debalansa injektiranih aktivnih i reaktivnih snaga napisanih za vorove kod kojih se ima specificirana vrednost aktivne snage (svi vorovi osim balansnog) i reaktivne snage (PQ vorovi):

gde je vektor nepoznatih:

Jakobijan se moe predstaviti kao:

gde submatrice predstavljaju:

Sledi detaljniji prikaz elemenata Jakobijana uz voenje rauna da li se diferenciranje vri po veliini u posmatranom i-tom voru ili u nekom drugom k-tom voru.

Kod submatrice diferenciranja su:

Kod submatrice diferenciranja su:

Kod submatrice diferenciranja su:

Kod submatrice diferenciranja su:

Sada se po ugledu na jednainu moe napisati matrina jednaina koja predstavlja odreivanje nove vrednosti vektora nepoznatih u +1 iteraciji:

Potrebno je voditi rauna o reaktivnim ogranienjima i u sluaju prekoraenja proglasiti posmatrani vor PQ vorom. Ukoliko se u toku iterativnog postupka reaktivno injektiranje vrati u normalne granice, ponovo posmatrani vor proglasiti PV vorom.

Iterativni postupak se nastavlja sve dok se ne zadovolji uslov za konvergenciju iterativnog postupka dat izrazima i .Newton-Raphson-ov postupak konvergira veoma brzo, tipino u dve do pet iteracija i to nezavisno od veliine sistema. Zbog zahtevnosti sraunavanja Jakobijana i njegove inverzije jedna iteracija traje oko sedam puta due nego kod Gauss-Seidel-ovog postupka.Newton-Raphson-ov postupak esto divergira kada je loe poetno pogaanje vektora nepoznatih. Tada je poeljno startovati sa Gauss-Seidel-ovim postupkom i nakon par iteracija prei na Newton-Raphson-ov postupak koji je nadalje superioran u pogledu brzine konvergencije.Raspregnuti Newton-Raphson-ov postupak

Iskustveno je potvreno da su u realnim EES-ima elementi submatrica J12 i J21 kvantitativno znatno manji od elemenata submatrica J11 i J22 Jakobijana datog sa . Razlozi za to su to u prenosnim mreama reaktanse dominiraju nad rezistansama, odnosno , kao i to to razlike u faznim stavovima napona susednih vorova ne prelaze 10 stepeni, to rezultira sa i . Prema tome, kada se vidi da elementi submatrica J12 i J21 sadre kombinacije proizvoda i , a elementi submatrica J12 i J21 dominantni proizvod , postaje jasno da su submatrice J11 i J22 kvantitativno dominantne.Sutina Raspregnutog Newton-Raphson-ovog postupka je da se submatrice J12 i J21 zanemare, to se svodi na:

odnosno na:

Jednaine i su sada raspregnute, gde se vidi da na izraunavanje faznih stavova dominantno utiu aktivne snage, dok na izraunavanje modula napona dominantno utiu reaktivne snage. Ove jednaine ipak nisu potpuno raspregnute, budui da na izraunavanje J11 utiu moduli napona a na J22 fazni stavovi. Submatrice J11 i J22 je i dalje potrebno izraunavati i traiti njihovu inverziju u svakoj iteraciji. Meutim, poboljanje je u tome to su ove submatrice dvostruko manjeg reda od polaznog Jakobijana pa je njihovo raunanje bre, dok pritom uinjene aproksimacije ne utiu na tanost konanog reenja ve samo na broj iteracija (jedna do dve vie). Kako se jedna iteracija kod ovog postupka obavlja znatno bre, to sledi da je ovaj postupak znatno bri od polaznog Newton-Raphson-ovog postupka.Ne preporuuje se primena Raspregnutog Newton-Raphson-ovog postupak kada je odnos X/R u mrei mali.Ovaj postupak se u literaturi naziva i po autoru kao Stott-ov raspregnuti postupak.Brzi raspregnuti postupakOvaj postupak je nadogradnja prethodnog postupka opisanog u 2.2.4 time to se proiruje spisak pretpostavki i aproksimacija.Kao prvo, zanemaruju se aktivne otpornosti i otoni elementi u mrei. Kao drugo pri izraunavanju Jakobijana J11 i J22 smatra se da su vrednosti svih napona u mrei jednake jedininoj vrednosti u relativnim jedinicama. Prema tome se elementi Jakobijana J11 i J22 dobijaju kao:

za J11, odnosno:

U prethosnim izrazima koriena je injenica da zbog zanemarenih otonih elemenata vai:

Nakon uvedenih aproksimacija izrazi i imaju sledei oblik:

Matrice B i B predstavljaju delove matrice susceptansi, koja se dobija od matrice admitansi brisanjem njenih realnih delova. Matrica B predstavlja sve vorove izuzev balansnog, dok matrice B predstavlja PQ vorove. Ove matrice su nepromenljive u toku iterativnog postupka, te je njihovu inverziju potrebno izraunati samo na poetku iterativnog postupka. Vrednosti faznih stavova i modula napona se menjaju iz iteracije u iteraciju zbog toga to se nove vrednosti za i sraunavaju u svakoj iteraciji.Ovaj postupak se u literaturi naziva i po autorima kao Stott-Alsac-ov brzi raspregnuti postupak.DC postupak prorauna tokova snagaKada je kod velikih prenosnih mrea potrebno okvirno utvrditi raspodelu tokova aktivnih snaga moe se koristiti proraun tokova snaga baziran na jednosmernim strujama, odnosno DC postupak. Ovaj postupak se dobija tako to se u jednainama i zadaju konstantni vektori aktivnih i reaktivnih snaga, pri emu nepoznate ostaju fazni stavovi i moduli napona:

Ovo predstavlja neiterativni proraun tokova snaga, budui da se nepoznate direktno dobijaju reavanjem prethodnih jednaina. Prema tome, DC proraun tokova snaga se izvrava veoma brzo. Potrebno je naglasiti da jednaina podrazumeva linearizaciju Q-U ragulacione konture, koja je izrazito nelinearna, tako da se ova jednaina najee ne koristi, ve se samo pomou proraunaju fazni stavovi napona vorova i potom tokovi aktivnih snaga.

1