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UUNNIIDDAADD 66:: GGEEOOMMEETTRRIIAA AANNAALLÍÍTTIICCAA
6.1 SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
Un sistema de coordenadas rectangulares divide al plano en cuatro cuadrantes por medio de dos rectas
perpendiculares que se cortan en el punto O. La recta horizontal se denomina eje X y la recta vertical se
denomina eje Y . El punto O se denomina origen. La distancia desde un punto cualquiera ba , al eje Y se
denomina abscisa y la distancia desde el mismo punto hasta el eje X se denomina ordenada. Ambas distancias
constituyen las coordenadas del punto en cuestión.
6.2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Consideremos la siguiente figura:
Según el teorema de Pitágoras se tiene que: 212
2
12
2 yyxxd
Por lo tanto la distancia d entre los puntos 11, yxP y 22 , yxQ es: 212
2
12 yyxxd
Halle la distancia entre los puntos 1,4 y 3 ,7
Solución:
Ejemplo No. 82
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525169134722
d 5d
6.3 LA LINEA RECTA
Una línea recta L está completamente determinada si se conocen:
Dos de sus puntos.
Un punto y su pendiente.
6.3.1 Inclinación de una línea recta
La inclinación de una línea recta L es el menor de los ángulos que dicha recta forma con el eje X .
6.3.2 Pendiente de una línea recta
La pendiente m de una línea recta L es la tangente del ángulo de inclinación. Es decir: Tanm
Siendo el ángulo de inclinación de la línea recta. Si se considera la siguiente figura:
Y según la razón trigonométrica tangente tenemos que 12
12
xx
yyTan
Por lo tanto: 12
12
xx
yyTanm
Es decir, la pendiente de la línea recta L que pasa por los puntos 11, yxP y 22 , yxQ es:
12
12
xx
yym
Halle la pendiente m y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos 3 ,2
y 1 ,2
Ejemplo No. 83
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Solución:
Tenemos que
1
4
4
22
13
12
12
xx
yym
1m
Además Tanm
Por lo tanto º451 1 1TanTan
º45
6.3.3 Ecuación de la línea recta
Conocido un punto de la recta y la pendiente: La ecuación de la línea recta L que pasa por el punto 11, yxP y cuya pendiente sea m es:
11 xxmyy
La ecuación anterior se llama ecuación punto-pendiente
Conocido la pendiente y el punto de intersección con el eje Y : La ecuación de la línea recta L cuya pendiente sea m y corta al eje Y en el punto b ,0 es:
bmxy
La ecuación anterior se llama ecuación punto-intercepto.
Conocido dos puntos de la recta: Para hallar la ecuación de la línea recta L que pasa por los puntos 11, yxP y 22 , yxQ , se calcula la pendiente m con la fórmula:
12
12
xx
yym
y, posteriormente, se aplica la ecuación punto-pendiente.
Halle la pendiente m y el punto de intersección con el Y de la recta 732 xy
Solución:
Ejemplo No. 84
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Despejando y de la ecuación de la línea recta se tiene que:
27
23
732
732
xy
xy
xy
Por lo tanto 23m y 2
7b
El punto de intersección con el eje Y es 27,0
Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto 3 ,4 y cuya pendiente es 2m
Solución:
Aplicando la ecuación punto-pendiente se tiene que:
423 11 xyxxmyy
52 xy
Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos 8 ,2 y 7 ,3
Solución:
La pendiente m es 35
15
23
87
12
12
xx
yym
Aplicando la ecuación punto-pendiente y tomando el punto 8 ,2 se tiene que:
238 11 xyxxmyy
23 xy
6.3.4 Rectas paralelas
Dos rectas 1L y 2L
son paralelas, lo cual se simboliza como 1L ││ 2L si y solamente si sus pendientes 1m
y 2m
son iguales. Es decir:
1L ││ 212 mmL
5.3.5. Rectas perpendiculares
Dos rectas 1L y 2L
son perpendiculares, lo cual se simboliza como 21 LL
si y solamente si el producto de sus
pendientes 1m y 2m es igual a 1 . Es decir:
1 2121 mmLL
Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto 4,5 y es paralela a la recta que pasa por los puntos 2 ,3 y
6 ,1
Ejemplo No. 87
Ejemplo No. 86
Ejemplo No. 85
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Solución:
La recta que pasa por los puntos 2 ,3 y 6 ,1 tiene pendiente:
24
8
31
26
12
121
xx
yym
La recta pedida debe tener pendiente 212 mm . Por lo tanto, aplicando la ecuación punto-pendiente se tiene
que:
524 121 xyxxmyy
142 xy
Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto 4,2 y es perpendicular a la recta 0632 yx
Solución:
Despejando y de la ecuación 0632 yx , se tiene que: 232 xy
Por lo tanto, la pendiente de esta recta es 32
1 m
Como la recta pedida con pendiente 2m debe ser perpendicular a la recta 0632 yx con pendiente
32
1 m entonces se debe cumplir que:
121 mm
Por lo tanto 23
2232 1 mm
Aplicando la ecuación punto-pendiente se tiene que: 24
23
121 xyxxmyy
123 xy
1. Halle la ecuación de la recta que pase por el punto 3 ,2 y cuya abscisa en el origen sea el doble que la
ordenada en el origen. 2. Halle la ecuación de la recta que sea perpendicular a la recta 0372 yx en su punto de intersección con
la recta 0823 yx
3. Halle el valor del parámetro k de tal forma que:
a. 0253 kykx pase por el punto 4 ,1
b. 074 kyx tenga pendiente 3m
4. Halle la ecuación de la recta con pendiente 43 y que formen con los ejes coordenados (eje X y eje Y ) un
triángulo de área 24 unidades de superficie. 5. Halle la ecuación de la recta que pase por el punto 4 ,2 y cuyas coordenadas en el origen (abscisa y
ordenada en el origen) sumen 3
ACTIVIDAD No. 27
Ejemplo No. 88
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6.4 LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es el lugar geométrico que se caracteriza por qué la distancia desde cualquier punto ),( yxP
de la circunferencia hasta su centro ),( khC es siempre la misma. Dicha distancia se denomina radio y se
simboliza con la letra r
Según la figura anterior, la distancia r desde el punto ),( yxP hasta el centro ),( khC es:
22222 kyhxrkyhxr
Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia con centro en ),( kh y radio r es: 222rkyhx
La ecuación anterior se llama ecuación canónica de la circunferencia.
Si la circunferencia tiene su centro en el origen, es decir, en )0,0( , entonces 0h y 0k , por lo tanto:
222222 00 ryxryx
Esto significa que la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio r es: 222 ryx
Toda circunferencia se puede expresar por medio de una ecuación del tipo: 022 EDyCxyx
Al completar cuadrado en la ecuación anterior se tiene:
Eyx
Eyx
EDyyCxx
DCDC
DDCC
44
2
2
2
2
4
2
24
2
2
22
22
22
Por lo tanto 2Ch
, 2
Dk y Er DC
44
2 22
Esto significa que una circunferencia con ecuación 022 EDyCxyx
Tiene su centro en: 22
, DCC
Y su radio es: EDCr 422
21
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Halle la ecuación de la circunferencia con centro en 3 ,2 y radio 2
Solución:
2
3
2
r
k
h
222232 yx
43222 yx
Halle el centro y el radio de la circunferencia 096422 yxyx
Solución:
Opción 1: Identificando C, D y E.
9
6
4
E
D
C
El centro es:
2
6
24
22,, DC
3,2
El radio es: 9464422
2122
21 EDCr
2r
Opción 2: Completando cuadrados.
432
99432
99342
964
22
22
22
22
yx
yx
yx
yyxx
4
3
2
2
r
k
h
El centro es 3,2 y el radio es 2r
Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos 3 ,2 , 1 ,1 y cuyo centro está situado en la
recta 0113 yx
Solución:
Considere la siguiente figura:
Ejemplo No. 91
Ejemplo No. 90
Ejemplo No. 89
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El centro C de la circunferencia debe equidistar de los puntos A y B . Es decir, la distancia desde C hasta A
debe ser la misma distancia desde C hasta B . Por lo tanto 21 rr . Pero:
22
1 11 khr
22
2 32 khr
Igualando los radios se obtiene:
22223211 khkh
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad, desarrollando cuadrados y sumando términos semejantes:
22223211 khkh
96441212 2222 kkhhkkhh
1146 kh (1)
Como el centro ),( khC está sobre la recta con ecuación 0113 yx , entonces satisface dicha ecuación:
113 kh (2)
Despejando h en la ecuación (2):
113 kh
Reemplazando el valor de h en la ecuación (1) y despejando k :
(1) 1141136 kk 2
5k
Si 25k
entonces: 11325h
27h
Para hallar el radio r de la circunferencia se reemplazan los valores de h y k en la ecuación:
2211 khr
2
252
27 11r
2
130r
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La ecuación pedida es: 2652
252
27 yx
1. Halle el valor del parámetro k para que la ecuación 010822 kyxyx represente una
circunferencia de radio 7
2. Halle la ecuación de la circunferencia que pase por el punto 0 ,0 , tenga radio 13r y la abscisa de su
centro sea 12 3. Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro esté en el eje X y que pase por los puntos 3 ,2 y 5 ,4
4. Halle la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos lados son las rectas:
223
142
8
yx
yx
yx
5. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos 2 ,8 , 2 ,6 y 7 ,3
6. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos 4 ,1 y 2 ,5 y cuyo centro está situado en la
recta 092 yx
6.5 LA PARÁBOLA
La parábola es el lugar geométrico que se caracteriza por que la distancia desde cualquier punto ),( yxP de la
parábola hasta una recta fija L llamada directriz es la misma distancia que hay desde el mismo punto hasta otro
punto F llamado foco.
ACTIVIDAD No. 28
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La recta fija L se llama directriz y según la figura tiene ecuación ax
El punto fijo F se llama foco y según la figura tiene coordenadas 0 ,a
P es un punto cualquiera de la parábola y tiene coordenadas yx,
El eje en donde se encuentra ubicado el foco se denomina eje de simetría de la parábola. Según la figura el eje de simetría es X .
El punto V en el que la parábola corta al eje de simetría se llama vértice y según la figura tiene coordenadas 0 ,0
La distancia entre el vértice y la directriz es la misma distancia que hay entre el vértice y el foco, dicha distancia según la figura es a
El segmento de recta AB que pasa por el foco y es perpendicular al eje de simetría se denomina latus
rectum.
La distancia entre P y F es 1d y la distancia entre P y la directriz L es 2d . Por definición de parábola
tenemos que 21 dd . Pero:
2222
1 0 yaxyaxd
axd 2
Por lo tanto, igualando las dos distancias anteriores se tiene: axyax 22
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad, desarrollando cuadrados y sumando términos semejantes:
222axyax
22222 22 aaxxyaaxx axy 42
Por lo tanto, la ecuación de la parábola con vértice en 0 ,0 , eje de simetría X y abierta hacia la derecha es:
axy 42
El eje asociado a la variable con exponente 1 es el eje de simetría. La longitud del latus rectum es: a4
La siguiente tabla muestra todos los casos posibles de la ecuación de la parábola, junto con las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz:
Vértice Eje de
simetría
Sentido en que se
abre Ecuación
Coordenadas
del foco
Ecuación de la
directriz
En el origen:
0,0
X Hacia la derecha axy 42 )0,(a ax
X Hacia la izquierda axy 42 )0,( a ax
Y Hacia arriba ayx 42 ),0( a ay
Y Hacia abajo ayx 42 ),0( a ay
En un punto distinto al origen:
kh,
Paralelo a X Hacia la derecha hxaky 42 ),( kah ahx
Paralelo a X Hacia la izquierda hxaky 42 ),( kah ahx
Paralelo a Y Hacia arriba kyahx 42 ),( akh aky
Paralelo a Y Hacia abajo kyahx 42 ),( akh aky
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Halle las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del latus rectum de la parábola xy 83 2
Solución:
Al despejar 2y en la ecuación de la parábola se tiene que xy382
Por lo tanto 32
384 aa
Como la parábola tiene vértice en 0,0 , eje de simetría X y es abierta hacia la derecha, entonces:
Las coordenadas del foco son 0,a
0,32
La ecuación de la directriz es ax 32x
La longitud del latus rectum es 38
Halle las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del latus rectum de la parábola
3222
yx
Solución:
Se tiene que:
3
2
2421
k
h
aa
Como la parábola tiene vértice en un punto distinto a 0,0 , eje de simetría paralelo a Y, y además es abierta hacia
arriba, entonces:
Las coordenadas del foco son 213,2, akh
27,2
La ecuación de la directriz es 213yaky
25y
La longitud del latus rectum es 2
Halle la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto 34,0 y
tiene como directriz la recta 34y
Solución:
Considere la siguiente figura. Por definicion de parábola 21 dd
Pero:
23422
342
1 0 yxyxd
Ejemplo No. 94
Ejemplo No. 93
Ejemplo No. 92
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Página 110
342
342
2 yyxxd
Por lo tanto igualando las dos distancias se tiene:
342
342 yyx
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad, desarrollando cuadrados y sumando términos semejantes:
2342
342 yyx
9
16382
916
3822 yyyyx
yx3
162
Halle la altura de un punto de un arco parabólico de 18 m de altura y 24 m de base, situado a una distancia de 8 m
del centro del arco.
Solución:
Consideremos la siguiente figura:
La parábola de la figura debe tener ecuación: kyahx 42
Como 0h y 18k , entonces:
18402
yax
1842 yax
Como 12x y 0y , entonces: aa 721441804122
2a
Como 2a se tiene que la ecuación de la parábola de la figura es 1882 yx
Para hallar la altura y se reemplaza el valor de 8x en la ecuación de la parábola y se despeja y :
80864144814486418882
yyyy my 10
Ejemplo No. 95
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Dada la parábola con ecuación 04682 xyy , halle las coordenadas del vértice, las coordenadas del
foco y la ecuación de su directriz. Grafique la parábola:
Solución:
Completando cuadrado:
264
264
1264
046164
0468
2
2
2
2
2
xy
xy
xy
xy
xyy
Como 2h , 4k y 2364 aa . Por lo tanto:
Las coordenadas del vértice son: kh,
4,2
Las coordenadas del foco son: 4,2,23kah
4,
21
La ecuación de la directriz es: 232xahx
27x
La parábola se muestra en la siguiente figura:
1. Halle la ecuación de la parábola con vértice en el punto 2 ,3 y foco 2 ,5
2. Halle la ecuación de la parábola con vértice en el origen, con eje de simetría Y , y que pase por 3- ,6
ACTIVIDAD No. 29
Ejemplo No. 96
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3. Halle la ecuación de la parábola con vértice en 3 ,2 , con eje de simetría paralelo a Y y que pase por 5 ,4
4. Halle la ecuación de la parábola cuyo eje sea paralelo al eje X y que pase por 3 ,3 , 5 ,6 y 3 ,6
5. El cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parábola. Los pilares que lo
soportan tienen una altura de 60 m y están separados una distancia de 500 m, quedando el punto más bajo del
cable a una altura de 10 m sobre la calzada del puente. Tomando como eje X la horizontal que define el puente,
y como eje Y el de simetría de la parábola, halle la ecuación de tal parábola. Calcule la altura de un punto
situado a 80 m del centro del puente. 6. Halle la ecuación de la parábola cuyo latus rectum es el segmento que une los puntos 5 ,3 y 3 ,3
7. Halle la ecuación de la parábola con vértice en la recta 0437 yx , con eje de simetría paralelo al eje X
y que pase por los puntos 5- ,3 y 1 ,23
8. Demuestre que la distancia desde el punto 262 ,6 de la parábola 028842 xyy hasta su foco
es igual a la distancia que hay desde el mismo punto hasta su directriz.
6.6 LA ELIPSE
La elipse es el lugar geométrico que se caracteriza por que la suma de las distancias desde cualquier punto yxP , de la elipse a dos puntos fijos 1F y 2F llamados focos es constante, es decir es siempre la misma.
Las rectas 1L y 2L se llaman directrices.
Los puntos 1F y 2F se llaman focos y según la figura tienen coordenadas 0 ,c y 0 ,c
P es un punto cualquiera de la elipse y tiene coordenadas yx,
El eje en donde se encuentran ubicados los focos se denomina eje de simetría mayor o eje mayor de la elipse.
Según la figura el eje mayor es X . El otro eje se denomina eje de simetría menor o eje menor de la elipse y
según la figura el eje menor es Y .
Los puntos en donde la elipse corta los ejes de simetría se llaman vértices y, según la figura, tienen coordenadas 0 ,a , 0 ,a , b- ,0 y b ,0 .
a siempre será la distancia más grande desde el centro de la elipse hasta los vértices en el eje mayor y b
siempre será la distancia más pequeña desde el centro de la elipse hasta los vértices en el eje menor.
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El segmento de recta AB que pasa por cualquiera de los dos focos y es perpendicular al eje mayor se
denomina latus rectum.
La ecuación de la elipse con centro en 0 ,0 y eje mayor X es 12
2
2
2
b
y
a
x
La longitud del latus rectum es a
b22
Además 222 bac
La siguiente tabla muestra todos los casos posibles de la ecuación de la elipse:
Centro Eje mayor Ecuación Coordenadas de los focos Ecuaciones de las directrices
En el origen:
0,0
X 12
2
2
2
b
y
a
x )0 ,( c 22
2
ba
ax
Y 12
2
2
2
a
y
b
x ) ,0( c 22
2
ba
ay
En un punto distinto al
origen:
kh,
Paralelo a X
12
2
2
2
b
ky
a
hx ),( kch
hba
ax
22
2
Paralelo a Y
12
2
2
2
a
ky
b
hx ),( ckh
kba
ay
22
2
Dada la elipse 576169 22 yx , halle:
Las coordenadas de los focos. Las ecuaciones de las directrices. La longitud del latus rectum.
Solución:
576169 22 yx
576
576
576
16
576
9 22
yx
1
3664
22
yx
. Por lo tanto:
8642 aa y 6362 bb
Además 7228366468 22222 cbac
El eje mayor es X y el eje menor es Y
Las coordenadas de los focos son: 0 ,c
)0 ,72(
Las ecuaciones de las directrices son:
3664
64
22
2
xba
ax
7
32x
La longitud del latus rectum es:
8
3622 2
a
b
9
Ejemplo No. 97
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Halle la ecuación de la elipse con centro en el origen, eje mayor X y que pase por los puntos 3 ,4 y 2 ,6
Solución:
La elipse pedida debe tener ecuación: 12
2
2
2
b
y
a
x
Como los puntos 3 ,4 y 2 ,6 están en la elipse satisfacen la ecuación anterior, por lo tanto:
Para el punto 3 ,4 : 134
2
2
2
2
ba 1
91622
ba (1)
Para el punto 2 ,6 : 126
2
2
2
2
ba 1
43622
ba (2)
Igualando las ecuaciones (1) y (2) se tiene que:
2222
22
22
22
22
2222436916
436916436916abab
ba
ab
ba
ab
baba
2222 163649 bbaa
22 205 ba
22 4ba
Ahora reemplazando 2a en la ecuación (1):
(1) 113
194
19
4
1622222 bbbbb
132 b
Si 132 b entonces 1342a
522 a
Como 522 a y 132b
1
1352
22
yx
Dada la elipse 0144724894 22 yxyx halle:
El eje mayor y menor.
Las coordenadas del centro , de los focos y los vértices.
Solución:
Completemos cuadrados:
1444964
1441444914464
14489124
144729484
22
22
22
22
yx
yx
yyxx
yyxx
Ejemplo No. 99
Ejemplo No. 98
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1
16
4
36
6
144
144
144
49
144
64
22
22
yx
yx
Por lo tanto: 6362 aa
4162 bb
20163646 22222 bac 52c
Además 6h y 4k
El eje mayor es paralelo a X y el eje menor es paralelo a Y .
Las coordenadas del centro son: kh,
)4 ,6(
Las coordenadas de los focos son: ),( kch )4,526(
Según la siguiente figura las coordenadas de los vértices son 4 ,0 , 0 ,6 , 4 ,12 y 8 ,6
1. Halle la ecuación de la elipse con centro en el origen, con un foco en el punto 3 ,0 y eje mayor igual a 5
2. Halle la ecuación de la elipse con centro en 2 ,1 , uno de los focos en 2 ,6 y que pase por el punto 6 ,4
3. Dada la elipse con ecuación 0369636169 22 yxyx , halle:
a. Las coordenadas del centro. b. El semieje mayor y menor. c. Las coordenadas de los vértices y los focos.
d. Las ecuaciones de las directrices y la longitud del latus rectum.
ACTIVIDAD No. 30
W I L S O N V E L Á S Q U E Z y L É I D E R S A L C E D O G e o m e t r í a A n a l í t i c a
Página 116
4. Halle la ecuación de la elipse con centro en 1 ,4 , uno de los focos en 1 ,1 y que pase por el punto 0 ,8
5. Demuestre que la suma de distancias del punto 8- ,6 de la elipse: 0144724894 22 yxyx a sus
focos es igual a 12 6. Halle la ecuación del lugar geométrico de los puntos yxP , cuya suma de distancias a los puntos fijos 2 ,4
y 2 ,2 es igual a 8
6.7 LA HIPÉRBOLA
La hipérbola es el lugar geométrico que se caracteriza por que la diferencia de las distancias desde cualquier punto ),( yxP de la hipérbola a dos puntos fijos 1F y 2F llamados focos es constante, es decir, es siempre la
misma.
Las rectas 1L y 2L se llaman directrices y las rectas 1A y 2A se llaman asíntotas.
Los puntos 1F y 2F se llaman focos y según la figura tienen coordenadas 0 ,c y 0 ,c
P es un punto cualquiera de la hipérbola y tiene coordenadas yx,
El eje en donde se encuentran ubicados los focos se denomina eje de simetría real o eje real de la hipérbola.
Según la figura, el eje real es X .
El otro eje se denomina eje imaginario de la hipérbola. Según la figura, el eje imaginario es Y .
Los puntos en donde la hipérbola corta el eje real se llaman vértices y, según la figura, tiene coordenadas 0 ,a y 0 ,a .
a siempre será la distancia desde el centro de la hipérbola hasta los vértices.
El segmento de recta AB que pasa por cualquiera de los dos focos y es perpendicular al eje real, se denomina
latus rectum.
La ecuación de la hipérbola con centro en 0 ,0 y eje real X es 12
2
2
2
b
y
a
x
La longitud del latus rectum es a
b22
Además 222 bac
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Página 117
La siguiente tabla muestra todos los casos posibles de la ecuación de la hipérbola:
Centro Eje real Ecuación Coordenadas
de los focos
Ecuaciones de las
directrices
Ecuaciones de las
asíntotas
En el origen:
0,0
X 12
2
2
2
b
y
a
x )0 ,( c 22
2
ba
ax
x
a
by
Y 12
2
2
2
b
x
a
y ) ,0( c 22
2
ba
ay
x
b
ay
En un punto distinto al
origen:
kh,
Paralelo a
X
1
2
2
2
2
b
ky
a
hx ),( kch
hba
ax
22
2
khx
a
by
Paralelo a
Y
1
2
2
2
2
b
hx
a
ky ),( ckh
kba
ay
22
2
khx
b
ay
Dada la hipérbola 1916
22
yx
halle:
El eje real y el eje imaginario: Las coordenadas de los vértices y de los focos. Las ecuaciones de las directrices y las asíntotas.
La longitud del latus rectum.
Solución:
Se tiene que:
4162 aa
392 bb
52591634 22222 cbac
El eje real es X y el eje imaginario es Y .
Las coordenadas de los vértices son: )0 ,( a )0 ,4(
Las coordenadas de los focos son: )0 ,( c )0 ,5(
Las ecuaciones de las directrices son:
916
16
22
2
xba
ax
25
16x
Las ecuaciones de las asíntotas son: xa
by
xy4
3
La longitud del latus rectum es:
4
922 2
a
b
2
9
Ejemplo No. 100
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Página 118
Halle la ecuación de la hipérbola con eje real X y centro en el origen, sabiendo que el latus rectum vale 18 y que
la distancia entre los focos es 12
Solución:
Se tiene que:
182 2
a
b ab 92
122c
6c
Como: 222222 6 babac 3622 ba
Reemplazando el valor de 2b en la ecuación anterior se tiene que:
03120369369 22 aaaaaa
Con lo que: 12a y 3a
Como: 3a 92 a y 392b 272 b
Por lo tanto, la ecuación pedida es: 1279
22
yx
1. Dada la hipérbola 01996418169 22 yxyx halle:
a. El eje real y el eje imaginario. b. Las coordenadas del centro, los focos y de los vértices. c. Las ecuaciones de las directrices y de las asíntotas.
2. Halle la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, con eje real Y , y que pase por 6 ,4 y 3 ,1
3. Demuestre que la diferencia de distancias del punto 41 ,6 de la hipérbola 01996418169 22 yxyx
a sus focos es igual a 8
Preguntas de selección múltiple con única respuesta: Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de
cuatro posibilidades de respuesta, entre las cuales se debe escoger la correcta.
1. La pendiente de la línea recta que pasa por los puntos 1,1
y 2,2 es:
A. 3
B. 1 C. 1 D. 3
AUTOEVALUACIÓN No. 5
ACTIVIDAD No. 31
Ejemplo No. 101
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Página 119
2. La ecuación de la línea recta que pasa por el punto 2,0
y cuya pendiente es igual a 3
es:
A. 23 xy
B. 23 xy
C. 32 xy
D. 32 xy
3. De las siguientes ecuaciones no corresponde a una paralela a la recta cuya ecuación es 22 xy :
A. xy 2
B. 2 xy
C.
12y
D. 22 xy
4. De las siguientes ecuaciones, corresponde a una recta que no pasa por el punto 5,0 :
A. 52 xy
B. 55 xy
C. 25 xy
D. 5 xy
5. Una recta perpendicular a la recta 453 yx es:
A. 75
3 xy
B. 23
5 xy
C. 25
3 xy
D. 33
5 xy
6. La ecuación de la circunferencia que se muestra en la siguiente figura es:
A. 32322 yx
B. 93222 yx
C. 92322 yx
D. 33222 yx
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Página 120
7. La ecuación de la circunferencia con centro 3,2
y radio 4 es:
A. 36422 yxyx
B. 34622 yxyx
C. 34622 yxyx
D. 36422 yxyx
8. Las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia 0145322 yxyx es:
A.
2
1,
2
3 y
2
10r
B.
2
5,
2
1 y
3
102r
C.
2
5,
2
3 y
2
103r
D.
2
1,
2
1 y
2
103r
9. El valor que debe tener k de tal manera que la ecuación 010822 kyxyx
represente una
circunferencia de radio 7 es:
A. 8
B.
4 C. 4
D.
2
10. La ecuación de la parábola con vértice en el punto 2,3 y foco 2,5 es:
A. 028842 xyy
B. 028842 yxx
C. 028842 xyy
D. 028842 yxx
11. La altura de un punto de un arco parabólico de 18
metros de altura y 24
metros de base, situado a
una distancia de 4
metros del centro es:
A. 20
metros.
B. 10
metros.
C. 5
metros.
D. 16
metros.
12. La trayectoria descrita por un proyectil lanzado horizontalmente, desde un punto situado y
metros
(m) sobre el suelo, con velocidad v
metros por segundo (m/s), es una parábola con ecuación:
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Página 121
yg
vx
22 2
Siendo x
la distancia horizontal desde el lugar de lanzamiento y 81.9g
metros por segundo en cada
segundo (m/s2), aproximadamente. Si el origen se toma en el punto de salida del proyectil del arma y
bajo estas condiciones se lanza horizontalmente una piedra desde un punto situado a 3 metros (m) de
altura sobre el suelo con una velocidad inicial de 50 metros por segundo (m/s), entonces la distancia
horizontal al punto de caída es:
A. 30
metros.
B. 39
metros.
C. 20
metros.
D. 93
metros.
13. La ecuación de la elipse con centro en el origen, foco en el punto 3,0 y semieje mayor igual a 5 es:
A. 11625
22
yx
B. 02516
22
yx
C. 01625
22
yx
D. 12516
22
yx
14. La ecuación del lugar geométrico conformado por los puntos cuya distancia al punto 0,4 es igual a la
mitad de la correspondiente a la recta 16x es:
A. 134 22 yx
B. 19243 22 yx
C. 19234 22 yx
D. 143 22 yx