ANALISIS CHAOTIC SISTEM DINAMIKSIRKUIT OSILATOR COLPITT

VERA SRI WAHYUNIFisika

Fakultas Sains dan TeknologiUIN Sunan Gunung Djati Bandung

Jalan A.H. Nasution Nomor 105 BandungINDONESIA

Verasriwahyuni123@gmail.com

Abstrak:- osilator sering digunakan dalam rangkaian alat elektronika, yang dapat mengbah dari DC ke AC yang bertujuan untuk menghasilkan sebuah frekuensi tinggi. Pada makalah ini, dengan menggunakan sirkuit osilator colpitt dapat menghasilkan suatu bentuk gelombang sinus yang hampir sempurna (mempunyai amplitudo konstan dan frekuensi stabil) yang efektif dapat membangkitkan ferekuensi tinggi. Sirkuit osilator colpitt sendiri terdiri dari rangkain dasar RLC (Resistor, lilitan, Capasitor) dengan didukung oleh komponen nonlinear yaitu transistor. Transistor yang digunakan adalah transistor bipolar[1]. Pada kondisi tertentu kita akan menlihat pola chaos yang gejalanya dapat kita amati pada sirkuit.

Kata kunci:-osilator, sirkuit osilator colpitt, frekuensi, chaos, transistor,dan rangkaian dasar RLC.

1 Pendahuluan 1.1 Latar Belakang

Pada permulaan abad ke-20, yaitu pada masa hidup E. Lorentz, para ilmuwan masih berkeyakinan bahwa walaupun sebuah sistem dapat “berperilaku” sangat liar, namun suatu saat akhirnya sistem akan kembali pada kondisi kesetimbangan. Ini sesungguhnya sangat bertentangan dengan prinsip chaos. Selain Lorentz, sebenarnya masih ada nama-nama lain yang ikut berperan dalam perumusan teori chaos –œ diantaranya adalah B van der Pol, Duffing, dan M He”„¢non. Tidak tertutup pula kemungkinan ada sederet nama ilmuwan lain yang telah melihat fenomena chaos di sistem yang mereka miliki, namun mereka tidak berani mempublikasikannya. Edward Lorenz sendiri pernah mendapat reaksi negatif dari rekannya ketika ia dengan penuh semangat menjelaskan fenomena itu, “Ed, alam di mana kita hidup tidak berperilaku seperti yang kau deskripsikan!” Kata seorang profesor Fisika kepada E Lorenz.

Teori Chaos adalah teori yang berkenaan dengan sistem yang tidak teratur seperti awan, pohon, garis pantai, ombak. Dengan kata lain teori chaos merupakan teori yang acak, tidak teratur dan dinamis. Dalam suatu sistem dengan kondisi tersebut (chaotic), secara umum dapat dicirikan memiliki sekumpulan titik-titik yang rapat dengan orbit-orbit yang periodik, sensitif terhadap keadaan awal sistem (sehingga awalnya titik-titik yang berekatan dapat berevolusi secara cepat ke keadaan-keadaan yang sangat berbeda), suatu sifat yang kadang-kadang dikenal dengan efek kupu-kupu, dan berkesinambungan secara topologi (tidak berubah oleh adanya deformasi elastik). Namun bila dilakukan pembagian (fraksi) atas bagian-bagian yang kecil, maka sistem yang besar yang tidak teratur ini didapati sebagai pengulangan dari bagian-bagian yang teratur. Secara statistik, Chaos adalah kelakuan stokastik dari sistem yang deterministik. Sistem yang deterministik atau sederhana yang hanya memerlukan satu solusi bila ditumpuk-tumpuk akan menjadi sistem yang stokastik atau rumit dan memerlukan solusi yang banyak.

Dalam makalah ini, akan dicari solusi analitik dan nilai eigen untuk mengetahui kesetabilan sebuah sistem.

1.2 Teori Singkat1.2.1 DifernsialPersamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat satu atau lebih turunan fungsi. Persamaan duferensial diklasifikasikan sebagai:Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak kita pelajari di buku ini, karena kita hanya meninjau fungsi dengan satu peubah bebas.Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggiturunan fungsi yang ada dalam

persamaan d3 ydx3 adalah orde tiga

d2 ydx2 adalah orde

dua dydx

adalah orde satu. Menurut derajat: derajat

suatu persamaan diferensial adalahpangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

1.2.2 Matrik

Matriks tridiagonal adalah matriks yang mempunyai entri yang bernilai nol pada selain diagonal utama, di bawah diagonal utama (subdiagonal) dan di atas diagonal utama (superdiagonal). Dalam analisis Jacobi, matriks Jacobi adalah semua matriks orde turunan parsial dari sebuah fungsi nilai Jacobi atau Jacobi yang berhubungan dengan Jacobi lainnya. Determinan Jacobi (yang sering disebut Jacobian) adalah determinan dari matriks Jacobi. Konsep ini diberi nama oleh seorang matematikawan bernama Carl Gustav Jacob Jacobi. Dalam karya ilmiah ini akan dicari nilai invers dari matriks tridiagonal Jacobi yang berukuran n x n, dimana invers dari matriks tridiagonal akan ditransformasi dalam bentuk determinan Jacobi (Jacobian). Adapun entri pada matriks tridiagonal ini adalah bilangan real.

1.2.3 Persamaan Karakteristik

Metode Iterasi Jacobi merupakan salah satu bidang analisis numerik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan persamaan linear dan sering dijumpai dalam berbagai disiplin ilmu. Metode Iterasi Jacobi merupakan salah satu metode tak langsung, yaitu bermula dari suatu hampiran penyelesaian awal dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran dalam tak berhingga namun langkah konvergen. Metode Iterasi Jacobi ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar.

1.2.4 Titik kritisAnalisis sistem persamaan di ferensial sering digunakan untuk menentukan titik kritis. Titik Kritis merupakan gambaran kestabilan gerak aliran konveksi dari sistem dinamika. Titik kritis dari sebuah sistem dapat dicari dari persamaan diferensialnya dengan cara membuat persamaan diferensial dari sistem tersebut bernilai nol. Sistem Lorenz memiliki tiga titik kritis. Titik kritis pertama terletak pada daerah atau titik asal yaitu (0,0,0) dan titik kritis yang lainnya terletak pada titik E+ dan E-, titik kritis tersebut terjadi pada saat yang sama. Titik kritis pertama bukanlah gerak konveksi sedangkan pada saat titik kritis E+ dan E-

menandakan gerak aliran konveksi.[2]1.2.6 Nilai EigenJika A adalah matrik n x n, maka vektor tak nol x di dalam Rn dinamakan vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaituAx = xuntuk suatu skalar . Skalar disebut nilai eigen dari A dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan .Untuk mencari nilai eigen matrik A yang berukuran n x n maka kita menuliskannya kembali Ax = x sebagai Ax = Ix ; (I – A)x = 0Dan persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian jika det(I – A)=0 ..........................(1)Persamaan (1) disebut persamaan karakteristik A.

Metode Iterasi Jacobi merupakan salah satu bidang analisis numerik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan persamaan linear dan sering dijumpai dalam berbagai disiplin ilmu. Metode Iterasi Jacobi merupakan salah satu metode tak langsung, yaitu bermula dari suatu hampiran penyelesaian awal dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran dalam tak berhingga namun langkah konvergen. Metode Iterasi Jacobi ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar.

1.2.7 ChaosTeori Chaos adalah teori yang berkenaan dengan

sistem yang tidak teratur seperti awan, pohon, garis pantai, ombak. Dengan kata lain teori chaos merupakan teori yang acak, tidak teratur dan dinamis. Dalam suatu sistem dengan kondisi tersebut (chaotic), secara umum dapat dicirikan memiliki sekumpulan titik-titik yang rapat dengan orbit-orbit yang periodik, sensitif terhadap keadaan

awal sistem (sehingga awalnya titik-titik yang berekatan dapat berevolusi secara cepat ke keadaan-keadaan yang sangat berbeda), suatu sifat yang kadang-kadang dikenal dengan efek kupu-kupu, dan berkesinambungan secara topologi (tidak berubah oleh adanya deformasi elastik). Namun bila dilakukan pembagian (fraksi) atas bagian-bagian yang kecil, maka sistem yang besar yang tidak teratur ini didapati sebagai pengulangan dari bagian-bagian yang teratur. Secara statistik, Chaos adalah kelakuan stokastik dari sistem yang deterministik. Sistem yang deterministik atau sederhana yang hanya memerlukan satu solusi bila ditumpuk-tumpuk akan menjadi sistem yang stokastik atau rumit dan memerlukan solusi yang banyak.

2 Model MatematikaDengan menggunakan hukum Khirchoff dan hukum Ohm kita dapat menentukan persamaan sirkuit osilator colpitt sebagai berikut:

C1

d V C1

dt=−f (−V C 1 )+ I L (1.1)

C2

d V C2

dt=I L−

V C 1+V ee

ℜ

(1.2)

Ld I L

dt=−V C 1−V C 2−I L R+V Cc (1.3)

Dengan persamaan model transistornya:I E=f (V BE )=I

s(exp(V BE

V T

−1)) (1.4)

3 Metode analitikdxdt

= y−aF (z )

dydt

=c−x−z−by

dzdt

=e ( y−d )

Dengan menggunakan persamaan det= [ J−λ I ] maka didapatkan

[dFdx

dFdy

dFdz

dgdx

dgdy

dgdz

dhdx

dhdy

dhdz

]=¿

[ 0 1 aF−1 – b−1

0 e0 ]−[ λ 0 00 λ 00 0 λ]

¿ [ − λ1 aF−1 – b−λ−1

0 e−λ ]| −λ 1−1 – b−λ

0e |=(−λ)(– b− λ)(−λ)+ 0 + (aF)(−1)(e)– 0

−(e ) (−1 ) ( aF ) — λ (−1 )(1)0=−b λ2−λ3+0+ (−aFe )−0 — λe+λ

Pada kasusu ini karena dzdt

tidak memenuhi≤−1

sehingga F=0. Jadi, persamaan karakteristiknya adalah

−λ3−b λ2+2 λ=0

4 Pemecahan Secara metode analitik (maple)

Denganmenggunakan softwere maple didapatkan titik kritis sebagai berikut

(4.1)Dan nilai eigennya sebagai berikut

(4.2)Dapat kita lihat bahawa nilai eigen (λ) didapatkan hasil imajiner dan kompleks sehingga hasilnya spiral, karena hasil yang didapkan berupa nilai positif dan negatif didapatkan unstabil. Sehingga nilai yang didapatkan spiral unstable.Hal ini terbukti dengan didapatkan pola yang sama jika digambarka menuju seperti diagram fasa pada matlab dan multisim.

5 Pemecahan Secara simulasi (multisim)Berikut merupakan sirkuit osilator colpitt yang digunakan pada multisim

Gambar 5.1 sirkuit osilator colpitt

Gambar 5.2 diadram fasa sirkuit osilator colpittGambar 5.2 merupakan gambar diagram fase acak yang mempunyai pola tertentu menuju ke pusat (spiral).

Gambar 5.3 time series sirkuit osilator colpittGambar 5.3 merupakan time series yang membentuk denyut naik turun sampai pada suatu keadaan tertentu menuju titik stabil.

3 Metode Simulasi NumerikPada analisis secara numerik, medel matematika yang telah didapat pada persamaan sebelumnya, parameter sirkit trsebut diubah menjadi:

x=V C 1

V, y=

V C 1

V, z=

V C 2

V=

V C 2

V, t=C1

tτ

, ρ=√ LC1

e=C2

C1

, τ=√ LC1 , a= ρℜ , b= R

ρ, c=

V 0

V,d=

ρI0

VMaka akan dihasilkan persamaan sirkuit:

dxdt

= y−aF ( z )

dydt

=c−x−z−by

dzdt

=e ( y−d )

Dengan fungsi nonlinear F(z):F ( z )=− (1+z ) → (z←1 )

¿0 → (z>−1 )

Gambar 3.1diagram fasa sirkuit osilator colpitt Dengan metode simulasi nimerikmenggunakan multisim didapatkan suatu bentuk acak yang mempunyai pola tertentu dengan menuju satu titik.

Gambar 3.2time series sirkuit osilator colpitt Gambar 3.2 merupakan time series dari sirkuit osilator colpitt yang membentuk sebuah denyut yang akin lama denyutnya semakin lemah sehingga menuju stabil pada suatu keadaan tertentu.

4 Kesimpulan Dengan mensimulasikan sirkuit osilator colpitt dapat kita lihat pada diagram fasa terbentuk sebuah pola chaos yang merupakan sebuah sistem yang tidak teratur tetapi membentuk sebuah pola tertentu. yang pemanfaatannya sering digunakan untuk melipatgandakan frekuesi pada tv, radio dan lain-lain.

Pustaka:[1] M.Sanjaya, komputasi sistem fisika berbasis

MATLAB.2011

[2] Halimatussadiyah, Analisis Chaotik Sistemdinamik Sirkuit Osilator Colptt Serta Aplikasinya Dalam Menggambarkan Transfer Enrgi SistemWireless.2011