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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANADEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

UTILIZAÇÃO DO MÉTODO PLÁSTICO NO DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS METÁLICAS

ANTONIO SERGIO SANTIAGO ARRUDA

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANADEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

UTILIZAÇÃO DO MÉTODO PLÁSTICO NO DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS METÁLICAS

ANTONIO SERGIO SANTIAGO ARRUDA

FEIRA DE SANTANA SETEMBRO DE 2008

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

UTILIZAÇÃO DO MÉTODO PLÁSTICO NO DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS METÁLICAS

ANTONIO SERGIO SANTIAGO ARRUDA

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Antonio Sergio Santiago Arruda

UTILIZAÇÃO DO MÉTODO PLÁSTICO NO DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS METÁLICAS

Trabalho de Conclusão de Curso da Universidade Estadual de Feira de Santana, apresentado à disciplina TEC 174 - Projeto Final II, como requisito para obtenção do grau de bacharel em engenharia civil.

Orientador: Prof. Dr. Koji de Jesus Nagahama

FEIRA DE SANTANA SETEMBRO DE 2008

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Antonio Sergio Santiago Arruda

UTILIZAÇÃO DO MÉTODO PLÁSTICO NO DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS

METÁLICAS

Trabalho de Conclusão de Curso para obtenção de Título de

Bacharel em Engenharia Civil.

Feria de Santana, 12 de Setembro de 2008

Banca Examinadora:

________________________________________

Prof° Koji de Jesus Nagahama, D. Sc. (Orientador)

Departamento de Tecnologia - Universidade Estadual de Feira de Santana

________________________________________

Prof° Paulo Roberto Lopes Lima, D. Sc.

Departamento de Tecnologia - Universidade Estadual de Feira de Santana

________________________________________

Prof° José Mário Feitosa Lima, D. Sc.

Departamento de Tecnologia - Universidade Estadual de Feira de Santana

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DEDICATÓRIA

A Deus.

A minha mãe e avó, Rosenice e Eunice, que me deram a oportunidade e sempre me apoiaram.

A minha namorada, Léia Alves.

A todos meus familiares.

A todos os amigos e incentivadores.

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AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus por me abençoar durante toda vida, iluminando meus passos e me

guiando pelos caminhos corretos, dando-me força nos momentos de dificuldade, e

principalmente, ajudando-me a levantar e superar os obstáculos que encontrei até hoje.

Ao professor Koji de Jesus Nagahama, pela paciência, tempo e conhecimento

passados na orientação.

E a todos que, direta ou indiretamente colaboraram comigo na fase de

desenvolvimento dessa monografia.

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i

RESUMO

O desenvolvimento sustentável é um tema cada vez mais relevante para a humanidade, e é

constante a busca para criar e aperfeiçoar procedimentos que possibilitem um melhor

aproveitamento dos recursos naturais usados pela sociedade. Este trabalho compara o

dimensionamento de estruturas metálicas aporticadas utilizando o Método Plástico com o

dimensionamento feito pelo Método dos Estados Limites, que é adotado pela Norma

Brasileira NBR 8800, com o objetivo de avaliar a viabilidade da utilização da análise

inelástica em projetos de estruturas metálicas, propiciando estruturas mais leves. O método

consiste na redistribuição dos esforços em estruturas hiperestáticas pelo surgimento de zonas

de plastificação localizadas, que atuam como rótulas, em virtude do aumento do carregamento

de cálculo ou da redução da seção transversal adotada no dimensionamento convencional. As

estruturas estudadas foram calculadas pelo método de superposição linear das rótulas

plásticas, usando como ferramenta computacional o FTOOL. Os resultados apresentados são

condizentes com os previstos pela teoria da plasticidade, confirmando a viabilidade esperada

para a aplicação no dimensionamento de estruturas metálicas aporticadas.

Palavras-Chave: Método Plástico; Rótulas Plásticas; Mecanismo de Ruptura.

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ii

ABSTRACT

Sustainable development is an important concern for the humankind aiming at creating and

improving procedures that provide a better use of natural resources. This work presents the

design of steel framed structures according to the plastic method in comparison with limit

state method proposed by the Brazilian code NBR 8800. The aim of this study was evaluate

the viability of use of inelastic analysis in metallic structures design. This will provide the use

of light structures. The plastic method is featured by the redistribution of efforts in hiperstatic

structures owing to the appearance of local plastification zones. These zones behave like

hinges as result of increase of design loading or due to the reduction of cross section used in

the conventional design. The structures of this work were designed by linear overlay method

of plastic hinges, using the program FTOOL as a computational tool. The results were in

accordance with results predicted by using plastification theory. According to these results, it

could be noticed that the use of plastic method is possible for the steel framed structures.

Keywords: Plastic Method, Plastic Hinges, Rupture Mechanism.

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iii

LISTA DE FIGURAS E TABELAS

Figura 1 – Curva tensão x deformação – Laboratório de Estruturas – COPPE/UFRJ.

Figura 2 – Diagrama tensão x deformação idealizado para o aço estrutural.

Figura 3 – Comparação entre distribuição de tensões ideal x real.

Figura 4 – Estágios de plastificação de uma seção transversal.

Figura 5 – Gráfico momento fletor/momento plástico x curvatura.

Figura 6 – Viga dimensionada pela NBR 8800 (caso 1).

Figura 7 – Viga dimensionada pelo Método Plástico – Parte I.

Figura 8 – Viga dimensionada pelo Método Plástico – Parte II.

Figura 9 – Diagrama de momento fletor e deformada.

Figura 10 – Viga dimensionada pelo Método Plástico – Parte III.

Figura 11 – Viga dimensionada pela NBR 8800 (caso 2).

Figura 12 – Viga dimensionada pelo Método Plástico – Parte I.

Figura 13 – Viga dimensionada pelo Método Plástico – Parte II.

Figura 14 – Viga dimensionada pela NBR 8800 (caso 3).

Figura 15 – Viga dimensionada pelo Método Plástico – Parte I.

Figura 16 – Viga dimensionada pelo Método Plástico – Parte II.

Figura 17 – Viga dimensionada pelo Método Plástico – Parte III.

Figura 18 – Viga dimensionada pelo Método Plástico – Parte IV.

Figura 19 – Pórtico dimensionado pela NBR 8800 (caso 4).

Figura 20 – Pórtico dimensionado pelo Método Plástico – Parte I.

Figura 21 – Pórtico dimensionado pelo Método Plástico – Parte II.

Figura 22 – Pórtico dimensionado pelo Método Plástico – Parte III.

Figura 23 – Pórtico dimensionado pelo Método Plástico – Parte IV.

Figura 24 – Pórtico dimensionado pela NBR 8800 (caso 5).

Figura 25 – Pórtico dimensionado pelo Método Plástico – Parte I.

Figura 26 – Pórtico dimensionado pelo Método Plástico – Parte II.

Figura 27 – Pórtico dimensionado pelo Método Plástico – Parte III.

Figura 28 – Pórtico dimensionado pelo Método Plástico – Parte IV.

Figura 29 – Pórtico dimensionado pela NBR 8800 (caso 6).

Figura 30 – Pórtico dimensionado pelo Método Plástico – Parte I.

Figura 31 – Pórtico dimensionado pelo Método Plástico – Parte II.

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iv

Figura 32 – Pórtico dimensionado pelo Método Plástico – Parte III.

Figura 33 – Pórtico dimensionado pelo Método Plástico – Parte IV.

Tabela 1 – Formulação do módulo resistente elástico, módulo resistente plástico e fator de

forma para alguns tipos de seções transversais de perfis metálicos.

Tabela 2 – Valores da norma para o caso 1 e propriedades do perfil U305x30,8.

Tabela 3 – Valores da norma para o caso 2 e propriedades do perfil U305x30,8.

Tabela 4 – Valores da norma para o caso 3 e propriedades do perfil U305x30,8.

Tabela 5 – Valores da norma para o caso 4 e propriedades do perfil W305x60,7.

Tabela 6 – Valores da norma para o caso 5 e propriedades do perfil W305x60,7.

Tabela 7 – Valores da norma para o caso 6 e propriedades do perfil W305x60,7.

Tabela 8 – Percentual de aumento de carga para os 3 primeiros casos.

Tabela 9 – Percentual de aumento de carga para os casos 4, 5 e 6.

Tabela 10 – Redistribuição dos esforços para os casos 4, 5 e 6.

Tabela 11 – Diferença de resistência entre os perfis U tabelados.

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v

LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS

Símbolo Descrição

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

A = Área da seção transversal;

E = Módulo de elasticidade;

Est = Módulo de elasticidade correspondente ao endurecimento do aço;

Et = Módulo de elasticidade tangente;

fu = Limite de resistência à tração do aço;

fy = Limite de escoamento do aço;

M = Momento fletor;

Mpl = Momento de plastificação;

My = Momento correspondente ao início do escoamento;

P = Carga externa nodal genérica concentrada;

W = Módulo de resistência elástico;

Z = Módulo de resistência plástico;

εy = Deformação correspondente ao início do escoamento;

εst = Deformação correspondente ao início do patamar de endurecimento do

aço;

φ = Rotação, ou coeficiente de resistência.

Siglas Descrição

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

ABNT = Associação Brasileira de Normas Técnicas;

NBR = Norma Brasileira Registrada;

LRFD = Load and Resistance Factor Design;

ASCE = American Society of Civil Engineers.

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SUMÁRIO

RESUMO i

ABSTRACT ii

LISTA DE FIGURAS E TABELAS iii

LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS v

1 INTRODUÇÃO 01

1.1 JUSTIFICATIVA 03

1.2 OBJETIVO GERAL 04

1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO 04

2 MÉTODO DE ANÁLISE PLÁSTICA ESTRUTURAL 05

2.1 ANÁLISE PLÁSTICA 05

2.2 CONCEITOS BÁSICOS 07

2.2.1 Tensão de Escoamento 07

2.2.2 Endurecimento do Aço 07

2.2.3 Módulo Resistente Plástico 07

2.2.4 Momento Plástico 10

2.2.5 Redistribuição de Momentos Fletores 11

2.2.6 Falha Local dos Elementos da Seção 13

2.2.7 Classes das Seções Transversais 13

2.3 MÉTODOS DE ANÁLISE PLÁSTICA 15

2.3.1 Método do Mecanismo 15

2.3.2 Método das Rótulas Plásticas 16

3 ESTUDOS DE CASO 17

3.1 VIGA SIMPLES 17

3.1.1 Carregamento Distribuído (Caso 1) 18

3.1.2 Carregamento Concentrado Centrado (Caso 2) 21

3.1.3 Carregamento Concentrado Descentrado (Caso 3) 23

3.2 PÓRTICO RETANGULAR 26

3.2.1 Carregamento Distribuído (Caso 4) 26

3.2.2 Carregamento Concentrado Centrado (Caso 5) 32

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3.2.3 Carregamento Concentrado Descentrado (Caso 6) 38

3.3 REDUÇÃO DE SEÇÃO (CASO 7) 44

4 ANÁLISE DOS RESULTADOS 46

4.1 TIPOLOGIA DE CARGA 46

4.2 EFEITO DO ESFORÇO NORMAL 47

4.3 REDUÇÃO DE SEÇÃO 48

5 CONCLUSÕES E SUGESTÕES 50

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 51

APÊNDICES 52

APÊNDICE A 53

ANEXOS 54

ANEXO A – PERFIL U LAMINADO 55

ANEXO B – PERFIL W LAMINADO 56

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1

1 – INTRODUÇÃO

A importância da utilização de materiais metálicos, em especial do aço, com função

estrutural na indústria da construção civil é notória, e ao longo dos tempos vários foram os

métodos aplicados para o seu dimensionamento, visando proporcionar maior segurança e

economia.

Segundo Pinheiro (2005), as principais aplicações das estruturas metálicas são

telhados, edifícios industriais e comerciais, residências, hangares, pontes e viadutos, pontes

rolantes e equipamentos de transporte, reservatórios, torres, guindastes, postes, passarelas,

indústria naval, escadas e mezaninos.

O aço é usado tanto em estruturas prediais quanto industriais, mas são nas obras

industriais que seu emprego se destaca devido a sua rapidez de execução e facilidade para

vencer grandes vãos, qualidades necessárias nesses tipos de obras.

Em comparação com os demais materiais estruturais existentes, as estruturas de aço

apresentam como principais vantagens para sua utilização: (i) elevada resistência do material

independente do esforço ser de tração, compressão, flexão ou torção, permitindo, com

pequenas seções, suportar grandes esforços; (ii) alta precisão na fabricação e montagens das

estruturas; (iii) por ser um material único e considerado homogêneo, com relação tensão

versus deformação bem definida, apresenta amplo grau de confiabilidade; (iv) velocidade na

execução da montagem da estrutura; (v) possibilidade de desmontagem e remontagem, o que

facilita reforçar ou substituir diversos elementos da estrutura; e (vii) possibilidade de

reaproveitamento de sobras (PINHEIRO, 2005; BELLEI, 1998).

A normatização em estruturas metálicas, dos projetos e obras, define as propriedades

dos materiais, o método de dimensionamento e os parâmetros em nível de projeto executivo.

O Método dos Estados Limites é adotado pela NBR 8800 (ABNT, 1986) como procedimento

para o cálculo estrutural. Para a realização do dimensionamento por este método, a estrutura é

calculada para um estado a partir do qual esta não mais tem condição de satisfazer a

finalidade para a qual foi projetada, caracterizando um estado limite (SOUZA, 1999).

Segundo a NBR 8681 (ABNT, 2003), os Estados Limites de uma estrutura são separados a

partir do comportamento desta, em:

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• Estados Limites Últimos: sua ocorrência corresponde à paralisação do uso da

edificação em todo ou em parte, considerando ruptura, deformações plásticas

excessivas ou instabilidade.

• Estados Limites de Utilização: sua ocorrência, repetição ou duração provocam efeitos

incompatíveis com o uso da estrutura, tais como deslocamentos excessivos, vibrações

e deformações permanentes, podendo representar indícios de comprometimento da

durabilidade da estrutura.

O cálculo é efetuado considerando-se as ações atuantes na estrutura, ponderadas por

fatores que levam em conta as incertezas e a probabilidade de atuação simultânea na estrutura,

através de fatores de combinação. São geradas diversas combinações de cargas, que acarretam

esforços atuantes que não devem exceder os valores da resistência de cálculo. A resistência de

cálculo é obtida a partir do valor nominal da resistência do elemento, multiplicado por um

fator de resistência, o qual leva em conta as incertezas da própria resistência estrutural

(SOUZA, 1999). Segundo Assaid (2001), o comportamento não-linear e inelástico das

estruturas metálicas antes de alcançarem seus limites de resistência, após estarem sujeitas a

carregamentos estáticos ou dinâmicos, representa um bom indício para a aplicação do método

plástico de dimensionamento.

As aplicações de conceitos plásticos a projetos estruturais começaram em 1914, com a

primeira publicação do húngaro Gabor Kazinczy. Desde então, estudos vêm sendo

desenvolvidos em todas as partes do mundo com o propósito de tornar utilizável a reserva

plástica existente nas seções, como critério de projeto (CARNEIRO, 2000). Nos Estados

Unidos e Inglaterra, é prática da engenharia estrutural a verificação de galpões industriais,

pórticos, edifícios de múltiplos andares, dentre outros, utilizando a Teoria da Plasticidade para

as verificações estruturais (LANDESMANN, 1999).

A teoria plástica básica está relacionada com a redistribuição das tensões em uma

estrutura, depois que em certos pontos desta se atinge a tensão de escoamento. Segundo a

teoria plástica, aquelas partes da estrutura que alcançam a tensão de escoamento não podem

resistir a tensões adicionais, mas essas partes deformarão o suficiente para permitir que as

tensões adicionais sejam transmitidas às outras partes da estrutura onde as tensões são

menores que a tensão de escoamento e são capazes de absorver tensões adicionais.

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1.1 – JUSTIFICATIVA

Segundo Landesmann (1999) “A engenharia é a ciência que combina a economia com

a técnica. Em outras palavras, não basta apenas dimensionar uma estrutura segura, ela precisa

ser economicamente viável para que possa ser efetivamente realizada”.

É essa busca por um equilíbrio entre técnica e economia que os engenheiros devem

estar sempre estudando. A crescente competitividade do mercado mundial tem exigido

bastante das empresas de construção civil, o que demanda a estas, constante busca por

inovações de procedimentos e otimização dos recursos materiais e humanos que tenham à sua

disposição. Portanto, novos estudos que permitam um melhor aproveitamento dos recursos

aplicados na construção civil se mostram necessários para o crescimento deste setor

econômico.

A utilização do método plástico no dimensionamento de estruturas de aço, material

elástico-plástico, é conveniente, pois para Timoshenko (1984): “... por meio da análise

inelástica de uma estrutura é possível calcular a capacidade-limite de carregamento que, em

geral, é muito maior do que o carregamento correspondente ao limite de proporcionalidade do

conceito elástico”.

Segundo Assaid (2001), “Atualmente, métodos de cálculo para estruturas metálicas

utilizando análise plástica têm sido vastamente pesquisados, e... tende a se tornar um método

de cálculo a ser incorporado na rotina dos projetos”.

Desta forma, o emprego do dimensionamento inelástico tem como principal vantagem

a redução do consumo de matéria-prima usada na produção do aço em virtude da diminuição

do peso total da estrutura, devido à minoração das seções transversais necessárias para

suportar os esforços quando comparados às seções transversais obtidas pelo Método dos

Estados Limites. Assim, menores seções transversais representam menores impactos

ambientais pela extração de matéria-prima.

O aço é um material de larga utilização na construção civil, mas que possui um custo

elevado se comparado a outros materiais como concreto armado. Portanto, a redução do peso

total da estrutura pela aplicação do Método Plástico, no dimensionamento das estruturas

metálicas, pode melhorar a viabilidade da utilização de estruturas de aço.

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1.2 – OBJETIVO GERAL

Analisar a viabilidade do dimensionamento de estruturas aporticadas de aço pelo

método plástico em alternativa ao método dos estados limites adotado pela NBR 8800.

1.3 – ESTRUTURA DO TRABALHO

O conteúdo deste trabalho foi distribuído em 05 (cinco) capítulos, cuja abordagem está

descrita a seguir.

No Capítulo 1 é apresentada a introdução da monografia, parte em que são

contextualizados o tema e o problema, juntamente com a justificativa, fixação dos objetivos, e

os procedimentos metodológicos utilizados para o desenvolvimento do trabalho.

No Capítulo 2 são expostos os conceitos de análise plástica. Posteriormente são

apresentados conceitos básicos necessários ao entendimento dos métodos de análise plástica.

Alguns modelos de estruturas são calculados pelo Método Plástico e pelo Método dos

Estados Limites, de maneira não automatizada, e são apresentados no Capítulo 3.

As comparações entre os resultados das estruturas calculadas levantando-se em conta a

teoria da plasticidade e as calculada através do processo usual adotado pela NRB 8800

(ABNT, 1986), que admite plastificação em alguns casos, estão expostas no Capítulo 4.

As conclusões do presente trabalho e sugestões para trabalhos futuros são apresentadas

no capítulo 5.

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2 – MÉTODO DE ANÁLISE PLÁSTICA ESTRUTURAL

Diversas são as maneiras que podem levar uma estrutura ao colapso ao se atingir o

limite de resistência do material, por instabilidade, por fadiga ou por formação de um

mecanismo. Em uma análise elástica, a estrutura se mantém isenta de efeitos de plasticidade

até o colapso, enquanto na análise plástica, o Estado Limite Último de formação de

mecanismo ocorre devido à plastificação de uma ou várias seções da estrutura, até que a carga

última seja atingida (CARNEIRO, 2000; ASSAID, 2001).

2.1 – ANÁLISE PLÁSTICA

Segundo Assaid (2001), o projeto pelo método de análise plástica pode ser vantajoso

em substituição ao projeto baseado no conceito dos Estados Limites para estruturas metálicas

estaticamente indeterminadas. Ao usar da análise plástica para projetar estruturas, aproveita-

se da propriedade do aço de absorver grandes deformações antes de romper. Esta propriedade

evidencia-se quando se observa a curva tensão x deformação obtida no ensaio de tração

simples (fig. 1). A figura 2 representa um modelo elasto-plástico de três retas, correspondente

a uma simplificação do comportamento do material (CARNEIRO, 2000).

Até atingir a tensão de escoamento o material é dito elástico linear, após o limite

elástico ser atingido, correspondente ao início do escoamento, as deformações crescem sem

nenhum acréscimo significativo na tensão correspondente. Com o aumento das tensões após o

escoamento, ainda na fase plástica, a estrutura interna do aço se rearranja, e o material passa

pelo encruamento, correspondente a um endurecimento do aço, quando se verifica novamente

a variação da tensão com a deformação, porém não linearmente (CARNEIRO, 2000;

LANDESMANN, 1999).

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Figura 1 – Curva tensão x deformação – Laboratório de Estruturas – COPPE/UFRJ.

Figura 2 – Diagrama tensão x deformação idealizado para o aço estrutural.

O Método Plástico não é uma técnica para anular as outras formas de análise

estrutural. Alguns fatores como as flambagens local, global e lateral, fadiga e limitações de

deformações podem ser decisivos nos critérios de projeto (LANDESMANN, 1999).

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2.2 – CONCEITOS BÁSICOS

2.2.1 – Tensão de Escoamento

A tensão limite que separa o comportamento elástico do plástico, correspondente ao

patamar visto na figura 1, é denominada tensão de escoamento (fy). Seu valor é determinado

em função da deformação residual plástica, que normalmente equivale a 0,2% da deformação

(LANDESMANN, 1999).

2.2.2 – Endurecimento do Aço

A Teoria da Plasticidade assume que o material torna-se perfeitamente plástico quando

a tensão atinge o limite de escoamento. Esta hipótese de plasticidade perfeita após o

escoamento implica em desprezar o efeito de endurecimento do aço que a deformação

acarreta.

Para reduzir as deformações plásticas e aumentar a capacidade de resistência das

estruturas o efeito de endurecimento do aço é desprezado. Segundo Landesmann (1999),

certos tipos de aço apresentam problemas de deformações excessivas, normalmente

verificadas na região de endurecimento, ao desprezar este efeito obtém-se um resultado mais

conservativo.

2.2.3 – Módulo Resistente Plástico

O módulo resistente plástico, Z, é uma função geométrica análoga ao módulo de

resistência elástico, W. O módulo de resistência à flexão de uma seção completamente

plastificada é calculado segundo a equação (1). Este módulo pode ser interpretado como o

momento estático tomado em torno do eixo neutro, ou do eixo centroidal para seções com

simetria segundo seu plano de flexão.

� � �� �⁄ (1)

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onde, y é a distância entre a extremidade da sacão transversal e a superfície neutra;

Ix é o momento inércia da seção transversal.

� � � |�| · �� (2)

onde, y é a distância entre a extremidade da sacão transversal e a superfície neutra;

dA é a área de um elemento da seção transversal.

Para Landesmann (1999), a razão entre o momento plástico e o momento fletor

correspondente ao início de escoamento (Mpl/My) ou a razão entre o módulo resistente

plástico sobre o módulo resistente elástico (Z/W) representa o fator de forma de uma seção

transversal, pois:

��� � �� · � (3)

�� � �� · � (4)

� ����

��� �

� (5)

onde, Mpl é o momento de plastificação da seção;

My é o momento correspondente ao início do escoamento;

f é fator de forma.

Valores de Z e W, para ambos os eixos de flexão, são apresentados em tabelas para os

diversos tipos de perfis comerciais padronizados em uso no Brasil. Segundo Landesmann

(1999), estas tabelas são adotadas por diversos engenheiros projetistas devido à facilidade de

verificação das propriedades geométricas das seções transversais e, por conseguinte, para

determinação dos momentos fletores de início de escoamento e plástico.

Na tabela 1 estão apresentadas formulações para determinação do módulo resistente

elástico e plástico (W e Z) e fator de forma para alguns tipos de seções.

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9

Tabela 1 – Formulação do módulo resistente elástico, módulo resistente plástico e fator de forma para alguns

tipos de seções transversais de perfis metálicos.

(continua na próxima página)

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10

Tabela 1 – Formulação do módulo resistente elástico, módulo resistente plástico e fator de forma para alguns

tipos de seções transversais de perfis metálicos (continuação).

2.2.4 – Momento Plástico

É denominado o momento fletor máximo suportado pela seção transversal de um

elemento estrutural de viga o momento plástico ou momento limite, Mpl. A determinação do

momento plástico pela Teoria da Plasticidade simplificada foi citada na equação (2).

Pode ser observado na figura (3), apresentada abaixo, que existe uma diferença na

distribuição entre o modelo ideal e o real porque não é possível a completa plastificação da

seção transversal, restando um núcleo elástico. Para os estudos da Teoria da Plasticidade

simplificada assume-se o comportamento de distribuição de tensões ideal, no cálculo do

momento plástico total, Mpl (LANDESMANN, 1999).

Figura 3 – Comparação entre distribuição de tensões ideal x real.

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11

Segundo Landesmann (1999), do ponto da prática da engenharia estrutural, a diferença

entre as distribuições ideais e reais é desprezível.

Quando o momento plástico é atingido em uma seção transversal de um elemento

estrutural, há a formação de uma zona em escoamento, que é denominada rótula plástica

(LANDESMANN 1999).

2.2.5 – Redistribuição de Momentos Fletores

Em vigas e pórticos hiperestáticos, o surgimento de uma rótula plástica provoca a

redistribuição de momentos fletores. A redistribuição de esforços entre barras vizinhas

prossegue, até que um número suficiente de rótulas plásticas seja formado e a estrutura

adquira o comportamento de um mecanismo. Com isso, enquanto as cargas externas

existentes permanecem constantes os deslocamentos aumentam rapidamente.

Conforme esquema da figura (2), para o exemplo de uma viga de material elasto-

plástico, quando os momentos fletores são pequenos, a tensão normal máxima na viga é

menor que fy, a viga permanece nas condições ordinárias de flexão elástica, com distribuição

linear de tensões.

Figura 4 – Estágios de plastificação de uma seção transversal - ASCE.

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12

Os sucessivos estágios de plastificação de uma viga bi-apoiada com carregamento

concentrado no meio do vão estão apresentados na figura (4). Estes estágios de regiões

plásticas são associados ao gráfico momento fletor x curvatura da figura (5).

Figura 5 – Gráfico momento fletor/momento plástico x curvatura.

No início da plastificação da seção transversal da viga as deformações nas fibras da

seção crescem e ultrapassam a deformação do início do escoamento, figura (4) (b). Entretanto,

como conseqüência do escoamento, as tensões atuantes na seção permanecem praticamente

constantes, conforme figura (4) (c). Enquanto as fibras externas são sucessivamente

plastificadas, devido ao aumento do carregamento externo, a região central da seção

transversal da viga continua em regime elástico. Na figura (4) (e) o núcleo elástico na seção

transversal quase desaparece, podendo-se imaginar a distribuição de tensões limite em duas

partes retangulares. Segundo Landesmann (1999), nas regiões em escoamento, o estágio das

deformações das fibras externas pode chegar a 10 a 15 vezes a deformação correspondente ao

escoamento.

O momento fletor correspondente ao momento máximo que uma viga de material

elasto-plástico pode suportar é denominado momento plástico, Mpl.

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13

2.2.6 – Falha Local dos Elementos da Seção

A capacidade de uma estrutura aporticada na análise plástica estende-se até o nível do

momento plástico total (Mpl), antes de formar um mecanismo pelo surgimento de rótulas

plásticas. No entanto, para garantir a funcionalidade da estrutura é necessário que não ocorra

nenhum tipo de instabilidade: flambagem local, flambagem à flexão de barras comprimidas

ou flambagem lateral de barras fletidas.

Para que a estrutura atinja a carga máxima calculada deve-se determinar as

propriedades geométricas que permitem aos elementos estruturais desenvolver suas funções

(LANDESMANN, 1999).

2.2.7 – Classes das Seções Transversais

Segundo Pinheiro (2005), a ABNT NBR 8800 permite que os elementos componentes

da estrutura de aço submetidos à flexão tenham as tensões variando do regime elástico ao

plástico. Assim, as seções transversais são classificadas segundo a flambagem local em:

• Classe I - Seções Supercompactas

São as seções que podem obter plastificação total, e ainda, permitem redistribuição dos

momentos fletores.

�� � ��� � � · ���� � ��� (6)

onde, λ – parâmetro de esbeltez.

λp – valor limite para que a seção possa atingir Mpl.

Sendo Mr o momento fletor correspondente ao início do escoamento.

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14

• Classe II - Seções Compactas

São as seções que podem obter plastificação total, mas não permitem redistribuição

dos momentos fletores.

�� � ��� � � · �� � �� � ��� (6)

• Classe III - Seções Semi-compactas

São as seções em que no regime elástico não ocorre flambagem local, mas no regime

plástico há possibilidade de sua ocorrência.

�� � ��� � ��� ��!" · �#$#�

#%$#�� � ��� & � � �!� (7)

onde, λr – valor de λ para o qual Mcr = Mr.

Sendo: Mcr – momento fletor de flambagem elástica.

Mr – momento fletor correspondente ao início do escoamento.

• Classe IV - Seções Esbeltas

São as seções em que a flambagem local pode ocorrer ainda no regime elástico.

�� � �'! � � · �'! � �� ( �!� (8)

onde, fr – valor da tensão crítica.

Mcr – momento fletor de flambagem elástica.

W – módulo resistente elástico da seção.

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15

2.3 – MÉTODOS DE ANÁLISE PLÁSTICA

O dimensionamento com base na carga limite plástica é possível através de

procedimentos simplificados abordados em manuais e normas como AISC/LRFD e

AISC/ASD (LANDESMANN, 1999). A seguir estão apresentados dois métodos de análise

plástica, o primeiro baseado na teoria da plasticidade simplificada, e o segundo direcionado

para aplicações numéricas.

2.3.1 – Método do Mecanismo

Este método busca dentre todas as possibilidades de ruptura da estrutura, aquela com

carga limite mais baixa, segundo Landesmann (1999), garantindo-se em que nenhuma seção

da estrutura o momento fletor exceda o momento plástico. Os passos para a utilização deste

método são:

• Encontrar a posição das possíveis rótulas;

• Investigar os vários mecanismos de ruptura;

• Determinação do diagrama de momento fletor de colapso;

• Determinação da carga plástica limite.

O mecanismo de colapso verdadeiro é aquele que resultar no menor carregamento,

onde o diagrama de momentos fletores é uma maneira eficiente para verificar a condição

M≤Mpl, garantindo que nenhum mecanismo foi omitido e a carga plástica limite é a correta.

Segundo Carneiro (2000), existem três teoremas que quando satisfeitos determinam a

carga plástica limite correta para o Método Plástico. Os teoremas são:

Teorema 1 (Teorema Cinemático ou Princípio do Mínimo)

Na análise de uma estrutura, uma escolha arbitrária de um mecanismo de colapso

levará a uma estimativa da carga de colapso que é maior ou igual à correta.

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16

Teorema 2 (Teorema Estático ou Princípio do Máximo)

Uma condição arbitrária de equilíbrio que também satisfaça à condição de momento

plástico levará a uma estimativa da carga de colapso que é menor ou igual à correta.

Teorema 3 (Teorema da Unicidade)

O valor da carga plástica que satisfaz as três condições, de equilíbrio, de mecanismo e

de escoamento é única.

2.3.2 – Método das Rótulas Plásticas

É admitido para este método, que a estrutura tem regiões elásticas e rótulas plásticas

localizadas. O mecanismo de colapso da estrutura é determinado por superposição de

resultados parciais obtidos durante o processo de formação seqüencial da rótulas (ASSAID,

2001).

Segundo Landesmann (1999), é o mais indicado para engenharia estrutural devido à

simplicidade do modelo, exigindo muito menos capacidade computacional do que os demais

métodos existentes.

O método consiste em aplicar incrementos de carga e controlar as tensões em toda a

estrutura, de maneira que na primeira seção que atingir a tensão de escoamento é considerado

que esta se tornou uma articulação e não mais pode resistir a esforços adicionais. Entretanto,

esta passa a retransmitir os esforços adicionais para as seções vizinhas que ainda encontram-

se abaixo do seu limite de resistência, até as outras seções, uma a uma, atinjam o limite de

plastificação e a estrutura entre em colapso. Assim, a carga limite da estrutura é adotada a

anterior à formação do mecanismo.

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17

3 – ESTUDOS DE CASO

A aplicação da análise plástica no dimensionamento de estruturas metálicas composta

por barras, estaticamente indeterminadas, para a maioria dos métodos existentes torna o

cálculo pelos métodos tradicionais da Teoria das Estruturas inviável, pois a formação das

rótulas se dá de forma gradual, resultando em um comportamento não linear. Entretanto, para

o Método Rótulas Plásticas que considera a superposição linear das estruturas com o

surgimento de cada rótula é possível aplicar os métodos tradicionais da Teoria das Estruturas,

e ainda assim, atingir resultados bastante próximos dos modelos teóricos.

Neste trabalho foi utilizado o Método Rótulas Plásticas e para tal foram escolhidos

dois tipos de estruturas para análise da capacidade do método plástico, em relação ao método

dos estados limites adotado pela NBR 8800, em permitir o aumento do carregamento

mantendo inalterado o tipo de perfil. As estruturas escolhidas foram (i) uma viga e (ii) um

pórtico retangular, ambos bi-engastados. Para a viga foi variado o carregamento entre:

distribuído, concentrado centrado e descentrado, para avaliar a sua influência no método. Já

para o pórtico, a variação do carregamento também aconteceu, tal como para a viga, porém no

intuito de ponderar o efeito do esforço normal sobre o método. Por fim, foi escolhida a viga

com carregamento distribuído para avaliar a possibilidade de redução do perfil, empregado no

dimensionamento pela NBR 8800, visando avaliar o potencial econômico do método.

Serão apresentados a seguir sete casos formados a partir da combinação dos fatores

escolhidos para análise do Método Plástico, acima citados. Para a realização dos cálculos foi

empregando o software desenvolvido pela Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro

(PUC – Rio) FTOOL versão educacional 2.12, distribuído na rede mundial de computadores

com licença para uso livre.

3.1 – VIGA SIMPLES

A avaliação da viga bi-engastada foi realizada como forma de simular o

dimensionamento de uma terça contínua de cobertura ou de tapamento lateral de uma

estrutura real. No entanto, o dimensionamento pela NBR 8800 foi feito não aplicando uma

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18

carga para determinar o perfil empregado, mas sim, adotando um perfil tabelado, garantindo

que as condições de contorno aplicadas permitam que este seja classificado como de Classe I

pela norma, e então, sendo determinada à carga máxima que o perfil suporta, tanto distribuída

quanto concentrada. Tal procedimento foi aplicado para garantir a existência de perfis

tabelados para análise da redução de seção da estrutura, uma vez que para análise do aumento

do carregamento não existe limitação.

3.1.1 – Carregamento Distribuído (Caso 1)

O perfil adotado foi o U 305x30,8 que tem suas propriedades geométricas e esforços

máximos calculados pela NBR 8800 apresentadas na tabela 2 abaixo. Os valores da NBR

8800 são provenientes das verificações de flambagem local da alma (FLA), flambagem local

da mesa (FLM), flambagem lateral por torção (FLT) e quanto ao cisalhamento.

Tabela 2 – Valores da norma para o caso 1 e propriedades geométricas do perfil U 305x30,8.

Valores da NBR Propriedades Geométricas

L 6,00 m A 39,3 cm²

Qmax 31,28 KN/m Ix 5370 cm4

MR 93,93 KN.m Wx 352 cm³

Mpl 104,30 KN.m rx 11,7 cm

Vres 294,80 KN Zx 417 cm³

NR — Iy 161 cm4

lb Contida lateralmente Wy 28,3 cm³

i 10% ry 2,03 cm

δv_max L/180 → 33,33 mm Zy 73,6 cm³

Cw 19680 cm6

Na figura 6 estão apresentados o modelo estrutural, os diagramas de esforço cortante e

momento fletor, e o esquema da deformada (δv = 9,6mm) para o dimensionamento pela NBR

8800.

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19

Modelo

Esforço Cortante

Momento Fletor

Deformada

Figura 6 – Viga dimensionada pela NBR 8800.

O Método Plástico aplicado gradualmente apresenta 3 etapas. Estão apresentados na

figura 7 o modelo estrutural, os diagramas de esforço cortante e momento fletor, e o esquema

da deformada (δv = 10,68mm) para a formação da 1ª e 2ª rótulas que surgem nos engastes

pelo incremento de carga, alcançando o momento de plastificação de forma simultânea devido

à simetria do modelo e simplificação do método da rótula.

Modelo

Esforço Cortante

Momento Fletor

Deformada

Figura 7 – Viga dimensionada pelo Método Plástico – Parte I.

A figura 8 apresenta o modelo estrutural e o diagrama de esforço cortante, e a figura 9

mostra o diagrama de momento fletor, e o esquema da deformada (δv = 3,66 , 10/0mm) na

formação da 3ª rótula.

Modelo

Esforço Cortante

Figura 8 – Viga dimensionada pelo Método Plástico – Parte II. (continua da próxima página)

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20

Momento Fletor

Deformada

Figura 9 – Diagrama de momento fletor e deformada.

O modelo estrutural, os diagramas de esforço cortante e momento fletor, e o esquema

da deformada (δv = 2,3, 10/1mm) estão apresentados na figura 10. Para o Método Plástico o

mecanismo de ruptura se forma com o aparecimento da 4ª rótula, ou seja, após 4 trechos da

viga atingirem o momento de plastificação.

Modelo

Esforço Cortante

Momento Fletor

Deformada

Figura 10 – Viga dimensionada pelo Método Plástico – Parte III.

A 4ª rótula apareceu ao lado da 3ª com um pequeno incremento do carregamento no

modelo. Nota-se com isso à inversão do diagrama da deformada, que se justifica pelo fato do

mecanismo de ruptura formado tornar válido qualquer solução do problema.

Assim, a carga máxima deveria ser tomada como a imediatamente inferior a carga de

colapso Qlim=46,355KN/m, entretanto, como o propósito é comparar o método com o

dimensionamento da NBR 8800, a carga limite será tomada Qlim=46,354KN/m, antes da

formação da 3ª rótula pois apresenta uma flecha (δv) igual a 28,48mm, atendendo tanto ao

estado limite último quanto ao de utilização. Portanto, o acréscimo de carga para o este caso é

de 48,19%, utilizando-se a mesma seção transversal.

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21

3.1.2 – Carregamento Concentrado Centrado (Caso 2)

O perfil U 305x30,8 usado no caso 1, foi mantido no caso 2 sendo apresentadas na

tabela 3 as propriedades geométricas e os esforços máximos calculados pela NBR 8800. Os

valores da NBR 8800 são provenientes das verificações de flambagem local da alma (FLA),

flambagem local da mesa (FLM), flambagem lateral por torção (FLT) e quanto ao

cisalhamento.

Tabela 3 – Valores da norma para o caso 2 e propriedades geométricas do perfil U 305x30,8.

Valores da NBR Propriedades Geométricas

L 6,00 m A 39,3 cm²

Pmax 125,10 KN Ix 5370 cm4

MR 93,93 KN.m Wx 352 cm³

Mpl 104,30 KN.m rx 11,7 cm

Vres 294,80 KN Zx 417 cm³

NR — Iy 161 cm4

lb 1 m Wy 28,3 cm³

i 10% ry 2,03 cm

δv_max L/180 → 33,33 mm Zy 73,6 cm³

Cw 19680 cm6

São apresentados na figura 11 o modelo estrutural, os diagramas de esforço cortante e

momento fletor, e o esquema da deformada (δv = 12,80mm) para o dimensionamento pela

NBR 8800.

Modelo

Esforço Cortante

Momento Fletor

Deformada

Figura 11 – Viga dimensionada pela NBR 8800.

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Aplicado gradualmente, o Método Plástico apresentou 2 etapas. Na figura 12 expõe-se

o modelo estrutural, os diagramas de esforço cortante e momento fletor, e o esquema da

deformada (δv = 14,61 , 10/0mm) para a formação da 1ª, 2ª e 3ª rótulas, que se dão de forma

simultânea devido à simetria do modelo e simplificação do método da rótula.

Modelo

Esforço Cortante

Momento Fletor

Deformada

Figura 12 – Viga dimensionada pelo Método Plástico – Parte I.

Na figura 13 são mostrados o modelo estrutural, os diagramas de esforço cortante e

momento fletor, e o esquema da deformada (δv = 14,66, 10/1mm). Para o Método Plástico o

mecanismo de ruptura se forma com o aparecimento da 4ª rótula, ou seja, após 4 trechos da

viga atingirem o momento de plastificação.

Modelo

Esforço Cortante

Momento Fletor

Deformada

Figura 13 – Viga dimensionada pelo Método Plástico – Parte II.

A 4ª rótula apareceu ao lado da 3ª com um pequeno incremento do carregamento no

modelo. Nota-se com isso à inversão do diagrama da deformada, que se justifica pelo fato do

mecanismo de ruptura formado tornar válido qualquer solução do problema.

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Assim, a carga máxima deveria ser tomada como a imediatamente inferior a carga de

colapso Plim=139,065KN, entretanto, como o propósito é comparar o método com o

dimensionamento da NBR 8800, a carga limite será tomada Plim=139,059KN, antes da

formação da 3ª rótula pois apresenta uma flecha (δv) igual a 14,24mm, atendendo tanto ao

estado limite último quanto ao de utilização. Portanto, o acréscimo de carga para o este caso é

de 11,2%, utilizando-se a mesma seção transversal.

3.1.3 – Carregamento Concentrado Descentrado (Caso 3)

O perfil U 305x30,8 usado no caso 1 e 2, foi mantido no caso 3 sendo as propriedades

geométricas e os esforços máximos calculados pela NBR 8800 apresentadas na tabela 4 a

seguir. Os valores da NBR 8800 são provenientes das verificações de flambagem local da

alma (FLA), flambagem local da mesa (FLM), flambagem lateral por torção (FLT) e quanto

ao cisalhamento.

Tabela 4 – Valores da norma para o caso 3 e propriedades geométricas do perfil U 305x30,8.

Valores da NBR Propriedades Geométricas

L 6,00 m A 39,3 cm²

Pmax 124,90 KN Ix 5370 cm4

MR 93,93 KN.m Wx 352 cm³

Mpl 104,30 KN.m rx 11,7 cm

Vres 294,80 KN Zx 417 cm³

NR — Iy 161 cm4

lb 1 m Wy 28,3 cm³

i 10% ry 2,03 cm

δv_max L/180 → 33,33 mm Zy 73,6 cm³

Cw 19680 cm6

Na figura 14 estão apresentados o modelo estrutural, os diagramas de esforço cortante

e momento fletor, e o esquema da deformada (δv = 12,79mm) para o dimensionamento pela

NBR 8800.

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Modelo

Esforço Cortante

Momento Fletor

Deformada

Figura 14 – Viga dimensionada pela NBR 8800.

São 4 as etapas que compõem a aplicação gradual do Método Plástico. Na figura 15

estão exibidos o modelo estrutural, os diagramas de esforço cortante e momento fletor, e o

esquema da deformada (δv = 14,22mm) para a formação da 1ª rótula, não havendo formação

de rótulas simultâneas, pois à simetria do modelo foi removida.

Modelo

Esforço Cortante

Momento Fletor

Deformada

Figura 15 – Viga dimensionada pelo Método Plástico – Parte I.

A figura 16 apresenta o modelo estrutural, os diagramas de esforço cortante e

momento fletor, e o esquema da deformada (δv = 14,25mm) na formação da 2ª rótula.

Modelo

Esforço Cortante

Momento Fletor

Deformada

Figura 16 – Viga dimensionada pelo Método Plástico – Parte II.

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O modelo estrutural, os diagramas de esforço cortante e momento fletor, e o esquema

da deformada (δv = 2,91 , 10/5mm) da formação da 3ª rótula são mostrados na figura 17.

Modelo

Esforço Cortante

Momento Fletor

Deformada

Figura 17 – Viga dimensionada pelo Método Plástico – Parte III.

Na figura 18 estão expostos o modelo estrutural, os diagramas de esforço cortante e

momento fletor, e o esquema da deformada (δv = 6,00, 10/0mm). Para o Método Plástico o

mecanismo de ruptura se forma com o aparecimento da 4ª rótula, ou seja, após 4 trechos da

viga atingirem o momento de plastificação.

Modelo

Esforço Cortante

Momento Fletor

Deformada

Figura 18 – Viga dimensionada pelo Método Plástico – Parte IV.

A 4ª rótula apareceu ao lado da 1ª com um pequeno incremento do carregamento no

modelo. Nota-se com isso à inversão do diagrama da deformada, que se justifica pelo fato do

mecanismo de ruptura formado tornar válido qualquer solução do problema.

Assim, a carga máxima deveria ser tomada como a imediatamente inferior a carga de

colapso Plim=139,07KN, entretanto, como o propósito é comparar o método com o

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dimensionamento da NBR 8800, a carga limite será tomada Plim=139,065KN, antes da

formação da 3ª rótula pois apresenta uma flecha (δv) igual a 14,29mm, atendendo tanto ao

estado limite último quanto ao de utilização. Portanto, o acréscimo de carga para o este caso é

de 11,3%, utilizando-se a mesma seção transversal.

3.2 – PÓRTICO RETANGULAR

A avaliação do pórtico bi-engastado foi feita seguindo os mesmos princípios dos

adotados para a viga. A carga horizontal foi utilizada para representar o efeito do vento e a

carga vertical devido ao peso próprio e de utilização, assim, somente a carga vertical será

aumentada no modelo, adotando um perfil tabelado e garantindo que seja classificado como

Classe I pela NBR 8800. A tensão gerada pelo esforço normal foi menor que 15% da tensão

devido ao momento fletor, sendo desconsiderada no controle do surgimento das rótulas

plásticas para simplificação do modelo. O comparativo percentual das tensões é apresentado

no Apêndice A.

3.2.1 – Carregamento Distribuído (Caso 4)

O perfil adotado foi o W 305x60,7 que tem sua propriedades geométricas e esforços

máximos calculados pela NBR 8800 apresentadas na tabela 5 abaixo.

Tabela 5 – Valores da norma para o caso 4 e propriedades geométricas do perfil W 305x60,7.

Valores da NBR Propriedades Geométricas

FH 35 KN A 77,4 cm²

Qmax 75,57 KN/m Ix 11320 cm4

MR 195,80 KN.m Wx 744 cm³

Mpl 217,50 KN.m rx 12,1 cm

Vres 481,70 KN Zx 870 cm³

NR 1320 KN Iy 566 cm4

lb_viga Contida lateralmente Wy 84,6 cm³

Lb_Pilar 3,00 m ry 2,69 cm

δv_max L/180 → 33,33 mm Zy 145 cm³

δh_max H/300 → 16,67 mm Cw 117400 cm6

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27

Na figura 19 estão apresentados o modelo estrutural, os diagramas de esforço cortante

e momento fletor, e o esquema da deformada para o dimensionamento pela NBR 8800.

Modelo

Esforço Normal

Esforço Cortante

Momento Fletor

Deformada

Figura 19 – Pórtico dimensionado pela NBR 8800.

O Método Plástico aplicado gradualmente apresenta 4 etapas. Estão expostos na figura

20 o modelo estrutural, os diagramas de esforço cortante e momento fletor, e o esquema da

deformada para a formação da 1ª rótula.

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Modelo

Esforço Normal

Esforço Cortante

Momento Fletor

Deformada

Figura 20 – Pórtico dimensionado pelo Método Plástico – Parte I.

A figura 21 apresenta o modelo estrutural, os diagramas de esforço cortante e

momento fletor, e o esquema da deformada na formação da 2ª rótula.

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29

Modelo

Esforço Normal

Esforço Cortante

Momento Fletor

Deformada

Figura 21 – Pórtico dimensionado pelo Método Plástico – Parte II.

São apresentados na figura 22 o modelo estrutural, os diagramas de esforço cortante e

momento fletor, e o esquema da deformada na formação da 3ª rótula.

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30

Modelo

Esforço Normal

Esforço Cortante

Momento Fletor

Deformada

Figura 22 – Pórtico dimensionado pelo Método Plástico – Parte III.

O modelo estrutural, os diagramas de esforço cortante e momento fletor, e o esquema

da deformada estão apresentados na figura 23. Para o Método Plástico o mecanismo de

ruptura se forma com o aparecimento da 4ª rótula, ou seja, após 4 trechos da viga atingirem o

momento de plastificação.

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31

Modelo

Esforço Normal

Esforço Cortante

Momento Fletor

Deformada

Figura 23 – Pórtico dimensionado pelo Método Plástico – Parte IV.

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32

A 4ª rótula apareceu ao lado da 2ª com um pequeno incremento do carregamento no

modelo. Nota-se com isso à inversão do diagrama da deformada, que se justifica pelo fato do

mecanismo de ruptura formado tornar válido qualquer solução do problema.

Assim, a carga máxima deveria ser tomada como a imediatamente inferior a carga de

colapso Qlim=96,669KN/m, entretanto, como o propósito é comparar o método com o

dimensionamento da NBR 8800, a carga limite será tomada Qlim=96,666KN/m, antes da

formação da 3ª rótula pois apresenta um deslocamento vertical (δv) igual a 12,26mm e um

deslocamento horizontal (δh) igual a 5,82mm, atendendo tanto ao estado limite último quanto

ao de utilização. Portanto, o acréscimo de carga para o este caso é de 27,92%, utilizando-se a

mesma seção transversal.

3.2.2 – Carregamento Concentrado Centrado (Caso 5)

O perfil W 305x60,7 usado no caso 4, foi mantido no caso 5 sendo apresentadas na

tabela 6 as propriedades geométricas e os esforços máximos calculados pela NBR 8800.

Tabela 6 – Valores da norma para o caso 5 e propriedades geométricas do perfil W 305x60,7.

Valores da NBR Propriedades Geométricas

FH 35 KN A 77,4 cm²

Pmax 201,30 KN/m Ix 11320 cm4

MR 195,80 KN.m Wx 744 cm³

Mpl 217,50 KN.m rx 12,1 cm

Vres 481,70 KN Zx 870 cm³

NR 1320 KN Iy 566 cm4

lb_viga 1,20 m Wy 84,6 cm³

Lb_Pilar 3,00 m ry 2,69 cm

δv_max L/180 → 33,33 mm Zy 145 cm³

δh_max H/300 → 16,67 mm Cw 117400 cm6

São mostrados na figura 24 o modelo estrutural, os diagramas de esforço cortante e

momento fletor, e o esquema da deformada para o dimensionamento pela NBR.

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33

Modelo

Esforço Normal

Esforço Cortante

Momento Fletor

Deformada

Figura 24 – Pórtico dimensionado pela NBR 8800.

Aplicado gradualmente, o Método Plástico apresentou 4 etapas. Na figura 25 expõe-se

o modelo estrutural, os diagramas de esforço cortante e momento fletor, e o esquema da

deformada para a formação da 1ª rótula.

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34

Modelo

Esforço Normal

Esforço Cortante

Momento Fletor

Deformada

Figura 25 – Pórtico dimensionado pelo Método Plástico – Parte I.

Na figura 26 estão apresentados o modelo estrutural, os diagramas de esforço cortante

e momento fletor, e o esquema da deformada para o Método Plástico na formação da 2ª

rótula.

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35

Modelo

Esforço Normal

Esforço Cortante

Momento Fletor

Deformada

Figura 26 – Pórtico dimensionado pelo Método Plástico – Parte II.

Na figura 27 estão apresentados o modelo estrutural, os diagramas de esforço cortante

e momento fletor, e o esquema da deformada para o Método Plástico na formação da 3ª

rótula.

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36

Modelo

Esforço Normal

Esforço Cortante

Momento Fletor

Deformada

Figura 27 – Pórtico dimensionado pelo Método Plástico – Parte III.

A figura 28 mostra o modelo estrutural, os diagramas de esforço cortante e momento

fletor, e o esquema da deformada. Para o Método Plástico o mecanismo de ruptura se forma

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37

com o aparecimento da 4ª rótula, ou seja, após 4 trechos da viga atingirem o momento de

plastificação.

Modelo

Esforço Normal

Esforço Cortante

Momento Fletor

Deformada

Figura 28 – Pórtico dimensionado pelo Método Plástico – Parte IV.

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38

A 4ª rótula apareceu ao lado da 1ª com um pequeno incremento do carregamento no

modelo. Nota-se com isso à inversão do diagrama da deformada, que se justifica pelo fato do

mecanismo de ruptura formado tornar válido qualquer solução do problema.

Assim, a carga máxima deveria ser tomada como a imediatamente inferior a carga de

colapso Plim=290,01KN, entretanto, é observado uma mudança abrupta no comportamento da

deformada da estrutura já podendo, pelos casos vistos anteriormente, atribuir este fato a

desestabilização da estrutura por formação da 3ª rótula. Assim, a carga limite será tomada

Plim=289,998KN, antes da formação da 3ª rótula pois apresenta um deslocamento vertical (δv)

igual a 14,63mm e um deslocamento horizontal (δh) igual a 5,81mm, atendendo tanto ao

estado limite último quanto ao de utilização. Portanto, o acréscimo de carga para o este caso é

de 44,1%, utilizando-se a mesma seção transversal.

3.2.3 – Carregamento Concentrado Descentrado (Caso 6)

O perfil W 305x60,7 usado no caso 4 e 5, foi mantido no caso 3 sendo as

propriedades geométricas e os esforços máximos calculados pela NBR 8800 apresentadas na

tabela 7 a seguir.

Tabela 7 – Valores da norma para o caso 6 e propriedades geométricas do perfil W 305x60,7.

Valores da NBR Propriedades Geométricas

FH 35 KN A 77,4 cm²

Pmax 201,37 KN/m Ix 11320 cm4

MR 195,80 KN.m Wx 744 cm³

Mpl 217,50 KN.m rx 12,1 cm

Vres 481,70 KN Zx 870 cm³

NR 1320 KN Iy 566 cm4

lb_viga 1,20 m Wy 84,6 cm³

Lb_Pilar 3,00 m ry 2,69 cm

δv_max L/180 → 33,33 mm Zy 145 cm³

δh_max H/300 → 16,67 mm Cw 117400 cm6

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39

Na figura 29 estão apresentados o modelo estrutural, os diagramas de esforço cortante

e momento fletor, e o esquema da deformada para o dimensionamento pela NBR 8800.

Modelo

Esforço Normal

Esforço Cortante

Momento Fletor

Deformada

Figura 29 – Pórtico dimensionado pela NBR 8800.

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40

São 4 as etapas que compõem a aplicação gradual do Método Plástico. Na figura 30

estão exibidos o modelo estrutural, os diagramas de esforço cortante e momento fletor, e o

esquema da deformada para a formação da 1ª rótula.

Modelo

Esforço Normal

Esforço Cortante

Momento Fletor

Deformada

Figura 30 – Pórtico dimensionado pelo Método Plástico – Parte I.

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41

A figura 31 apresenta o modelo estrutural, os diagramas de esforço cortante e

momento fletor, e o esquema da deformada na formação da 2ª rótula.

Modelo

Esforço Normal

Esforço Cortante

Momento Fletor

Deformada

Figura 31 – Pórtico dimensionado pelo Método Plástico – Parte II.

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42

O modelo estrutural, os diagramas de esforço cortante e momento fletor, e o esquema

da deformada da formação da 3ª rótula são mostrados na figura 32.

Modelo

Esforço Normal

Esforço Cortante

Momento Fletor

Deformada

Figura 32 – Pórtico dimensionado pelo Método Plástico – Parte III.

Na figura 33 estão expostos o modelo estrutural, os diagramas de esforço cortante e

momento fletor, e o esquema da deformada. Para o Método Plástico o mecanismo de ruptura

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43

se forma com o aparecimento da 4ª rótula, ou seja, após 4 trechos da viga atingirem o

momento de plastificação.

Modelo

Esforço Normal

Esforço Cortante

Momento Fletor

Deformada

Figura 33 – Pórtico dimensionado pelo Método Plástico – Parte IV.

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44

A 4ª rótula apareceu ao lado da 1ª com um pequeno incremento do carregamento no

modelo. Nota-se com isso à inversão do diagrama da deformada, que se justifica pelo fato do

mecanismo de ruptura formado tornar válido qualquer solução do problema.

Assim, a carga máxima deveria ser tomada como a imediatamente inferior a carga de

colapso Plim=290,00KN, entretanto, é observado uma mudança abrupta no comportamento da

deformada da estrutura já podendo, pelos casos vistos anteriormente, atribuir este fato a

desestabilização da estrutura por formação da 3ª rótula. Assim, a carga limite será tomada

Plim=289,999KN/m, antes da formação da 3ª rótula pois apresenta um deslocamento vertical

(δv) igual a 14,66mm e um deslocamento horizontal (δh) igual a 5,89mm, atendendo tanto ao

estado limite último quanto ao de utilização. Portanto, o acréscimo de carga para o este caso é

de 44%, utilizando-se a mesma seção transversal.

3.2 – REDUÇÃO DE SEÇÃO (CASO 7)

A avaliação de uma estrutura visando à redução da seção transversal foi feita tomando

como base o Caso 1, viga bi-engastada com carregamento distribuído. Adotando a seção

transversal o perfil U 305x30,8 para início da análise, considerando um vão de 6 m contido

lateralmente e inclinação de 10%, tem-se a carga limite pela NBR 8800 igual a 31,28 KN/m.

Os perfis utilizados na análise deste caso estão apresentados no Anexo A.

Apesar do bom desempenho do Método Plástico o intervalo existente entre a

capacidade resistente dos perfis tabelados é muito grande, sendo necessário um aumento de

carga superior a 60%, o que não permitiu a substituição com sucesso da seção transversal da

estrutura por uma seção mais leve e econômica. Existe a possibilidade de mudança para perfis

menores e mais robustos, não apresentados na série do Anexo A. Entretanto, se o objetivo é

reduzir o peso das estruturas essa troca não foi demonstrada.

Diante disso, foi criado um perfil para mostrar a eficiência do método também na

redução da seção transversal e consequentemente do peso da estrutura. Assim, com a

aplicação do método das rótulas plásticas fazendo superposições para o surgimento de cada

rótula, obteve-se que para a carga distribuída aplicada na viga estudada o momento de

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plastificação (Mpl) igual a 70,38KN.m, correspondente a iminência de formação da 3ª rótula e

deslocamento vertical igual a 12,45mm. Então, a partir do momento plástico calcula-se o

módulo resistente plástico Zx=281,5cm³ que a seção transversal necessita ter para resistir ao

carregamento aplicado. Conforme tabela 1 o módulo resistente plástico para perfis tipo U

pode ser descrito pela equação 9.

�� � 67 · 87 · � � 87" 9:;· <$0·:="

>

? (9)

Assim, partindo do módulo plástico (Zx=281,5cm³) são 4 as variáveis a serem

encontradas no problema. Considerando os valores de espessuras da alma e das mesas iguais a

valores tabelados, foram fixados em tw = 6,1mm e tf = 10,8mm. Portanto, os valores de d e bf

são as variáveis restantes do problema, devendo seus valores estar entre os dos perfis

U305x30,8 e U254x22,8, obtendo-se d = 265mm e bf = 69,64mm (a seção transversal criada é

de Classe I).

Desta forma, o perfil criado apresenta uma área igual a 29,89cm² e massa 23,46kg/m o

que representa um percentual de redução de 23,94% para a área e 40,31% para a massa da

estrutura.

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46

4 – ANÁLISE DOS RESULTADOS

A análise do desempenho do Método Plástico foi realizada em três etapas. Primeiro, o

cálculo foi executado variando-se a tipologia do carregamento, como visto na seção 3.1. Em

seguida, foi utilizada uma mudança no tipo da estrutura analisada nos passos anteriores para

verificação da influência do esforço normal sobre o método, apresentado na seção 3.2. E

finalmente, é exposta na seção 3.3 a tentativa de redução de peso de uma estrutura

dimensionada pela NBR 8800 pela aplicação do Método Plástico.

4.1 – TIPOLOGIA DE CARGA

Os três primeiros casos estudados tiveram como propósito avaliar a influência do tipo

de carregamento sobre o desempenho do Método Plástico. Na tabela 8 são apresentados os

ganhos percentuais de carga para cada tipo de carregamento aplicado na viga bi-engastada.

Tabela 8 – Percentual de aumento de carga para os 3 primeiros casos.

Caso λ (%)

1 48,2

2 11,6

3 11,8

Como pode ser visto na Tabela 8 houve uma diferença considerável entre o ganho

percentual de carga do Caso 1 em relação aos outros dois. Este evento ocorre devido à

influência da disposição de momentos no método plástico e sua redistribuição. Assim, uma

carga concentrada (P) no meio do vão da viga, equivalente a uma carga distribuída (q) por

todo comprimento (L) da viga, provoca um momento máximo 50% maior em uma viga bi-

engastada.

@A C � D · E � �<F G � 1,5 · �<F I

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47

Outro ponto importante é que devido à aplicação de superposição linear do surgimento

de rótulas, nos casos 1 e 2 em função da simetria do problema foram formadas rótulas

simultâneas, duas rótulas para o caso 1 e três rótulas para o caso 2. Para contornar essa

situação é que foi desenvolvido o caso 3 com carga concentrada descentralizada para desfazer

a simetria do modelo onde pode ser notado grande proximidade com os resultados do caso 2

mostrando que o surgimento simultâneo das rótulas foi inerente ao modelo e não interferiu na

aplicação da análise inelástica.

4.2 – EFEITO DO ESFORÇO NORMAL

A contribuição do esforço normal para o método plástico foi estudado nos casos 4, 5 e

6 mantendo a variação do carregamento vertical semelhante aos casos 1, 2 e 3.

Tabela 9 – Percentual de aumento de carga para os casos 4, 5 e 6.

Caso λ (%) J<KLM (KN) J<

�G(KN)

4 27,9 238,82 290

5 44,1 112,76 145

6 44,0 112,76 145

A Tabela 9 apresenta o ganho de carga da estrutura com a aplicação da análise

inelástica, o valor do esforço normal para o carregamento calculado pela NBR 8800 e o valor

do esforço normal atuante devido ao carregamento máximo aplicado pelo método plástico.

Comparando os valores de esforços normais atuantes com o valor resistente da seção

calculado pela NBR 8800, NR = 1320KN, pode-se afirmar que não há interferência

significativa da presença ou não de esforço normal para o Método Plástico.

A observação dos casos 4, 5 e 6 passo a passo, a cada surgimento de rótula plástica é

possível perceber a redistribuição de esforços pela estrutura. Na tabela 10 são mostrados os

valores de esforço normal nos pilares, esquerdo e direito, para cada rótula plástica formada

nos 3 casos.

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Tabela 10 – Redistribuição de esforços para os casos 4, 5 e 6.

Caso Pilar Nd (KN)

1ª Rótula 2ª Rótula 3ª Rótula 4ª Rótula

4 Esquerdo 245,41 256,03 290,00 290,01

Direito 269,63 278,37 290,00 290,01

5 Esquerdo 99,71 120,79 145,00 145,00

Direito 123,92 145,00 145,00 145,00

6 Esquerdo 99,71 120,79 145,00 145,00

Direito 123,92 145,00 145,00 145,00

Quanto ao aumento de carga, a combinação do carregamento horizontal

(representando o vento), com o carregamento vertical (peso próprio e sobrecarga) torna a

comparação entre ganho de carga, pelo tipo de carregamento aplicado, impróprio.

4.3 – REDUÇÃO DE SEÇÃO

A avaliação da viga bi-engastada com o propósito de reduzir a seção transversal do

elemento de viga ficou restrita pela limitação de possibilidades de perfis tabelados, pois para o

dimensionamento “ao limite” dos perfis pela NBR 8800 o ganho do Método Plástico para

carregamento distribuído, com todas as condições consideradas no caso 1, deveria ser superior

a 60%, como exposto na tabela 11.

Tabela 11 – Diferença de resistência entre os perfis U tabelados.

Perfil U qmax (KN/m) Valor de λ (%) para troca do perfil maior para o imediatamente inferior

76x6,10 1,61 74,2

102x8,04 2,80 126,3

152x12,2 6,35 86,3

203x17,1 11,83 65,7

254x22,8 19,60 60,4

305x30,8 31,43 —

Diante disso, é notório que o intervalo de resistência entre os perfis tabelados, levados

ao limite, é muito grande. Entretanto, nos casos em que o perfil adotado não esteja com sua

capacidade máxima esgotada, mas ainda sim, não possa ser empregado um perfil menor pelo

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dimensionamento da NBR 8800 (ABNT, 1986) a aplicação da análise inelástica no

dimensionamento da estrutura pode representar uma ferramenta potencial para reduzir o peso

final da estrutura.

Por exemplo, pela NBR 8800 para um carregamento de 29 KN/m, para as condições

supracitadas no caso 1, o perfil adotado deve ser o U 305X30,8, porém, pelo

dimensionamento pelo Método Plástico é possível utilizar o perfil U 254x22,8. Nesse caso

hipotético poderia ser alcançado um ganho de peso percentual de 26%.

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5 – CONCLUSÕES E SUGESTÕES

Diante dos resultados obtidos é possível afirmar que o Método Plástico representa uma

ferramenta viável para substituir o Método dos Estados Limites para estruturas hiperestáticas

com seções supercompactas, seja para aumentar o carregamento aplicado a estrutura ou para

redução do peso da estrutura conservado o carregamento.

Apesar da dificuldade do ajuste entre a capacidade de carga dos perfis tabelados com o

acréscimo de carga da análise inelástica para tornar a redução de seção factível, é evidente

que o método promove grande perspectiva de redução das seções transversais dos elementos

da estrutura, e consequentemente, com a redução do peso da estrutura apresenta significativa

vantagem econômica para sua aplicação no dimensionamento de estruturas metálicas

aporticadas.

Os resultados obtidos e as dificuldades encontradas neste trabalho mostram que são

muitas as possibilidades para estudos. Assim, muitas foram às simplificações e aproximações

adotadas para este primeiro estudo, sendo amplo o campo para estudos mais detalhados. Por

exemplo, a aplicação de um modelo matemático que consiga avaliar o comportamento da

estrutura, a cada rótula plástica formada, considerando os efeitos de momentos fletores e

esforços normais simultaneamente.

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51

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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aporticadas. Rio de Janeiro, 1999, 161 fls. Tese (Mestrado em Engenharia Civil) – Programa

de Pós-graduação de Engenharia da Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, 1999.

CARNEIRO, D. S. – Análise plástica aplicada a estruturas aporticadas de aço. Rio de Janeiro,

2000, 102 fls. Tese (Mestrado em Engenharia Civil) – Programa de Pós-graduação de

Engenharia da Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, 2000.

ASSAID, L. M. B. – Método plástico aplicado às estruturas aporticadas de aço. Rio de

Janeiro, 2001, 116 fls. Tese (Doutorado em Engenharia Civil) – Programa de Pós-graduação

de Engenharia da Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, 2001.

PINHEIRO, A. C. F. B. – Estruturas Metálicas: cálculos, detalhes, exercícios e projetos.

Editora Blücher. São Paulo, 2005.

BELLEI, I. H. – Edifícios Industriais em Aço. Editora PINI – 2ª Edição. São Paulo, 1998.

SOUZA, L. F. U. – Aplicação do Método Plástico na Verificação e Dimensionamento de

Estruturas Metálicas Aporticadas. Rio de Janeiro, 1999, 91 fls. Tese (Mestrado em

Engenharia Civil) – Programa de Pós-graduação de Engenharia da Universidade Federal do

Rio de Janeiro, UFRJ, 1999.

TIMOSHENKO, S. P., GERE, J. E. – Mecânica dos Sólidos: Volume 2. LTC – Livros

Técnicos e Científicos Editora. Rio de Janeiro, 1984.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8800 – Projeto e Execução

de Estruturas de Aço de Edifícios (Método dos Estados Limites). Rio de Janeiro, 1986.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8681 – Ações e Segurança

nas Estruturas. Rio de Janeiro, 2003.

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APÊNDICES

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APÊNDICE A – RELAÇÃO ENTRE AS TENSÕES ADVINDAS DOS ESFORÇOS

NORMAIS E DEVIDAS AO MOMENTO FLETOR.

Caso Modelo Carga

Aplicada

Momento

Máximo

Tensão do

momento

Normal

Máximo

Tensão do

Normal

Percentual

das tensões

4

NBR 8800 75,57 195,80 236,85 238,82 30,86 15,23

1ª rótula 85,84 217,50 292,34 269,63 34,84 13,93

2ª rótula 89,07 217,50 292,34 278,37 35,97 14,99

3ª rótula 96,667 217,50 292,34 290,00 37,47 14,99

4ª rótula 96,67 217,51 292,35 290,01 37,47 14,99

Adotado 96,666 217,50 292,34 290,00 37,47 14,99

5

NBR 8800 201,3 195,80 236,85 112,76 14,57 7,19

1ª rótula 223,63 217,50 292,34 123,92 16,01 6,40

2ª rótula 265,79 217,50 292,34 145,00 18,73 7,49

3ª rótula 290 217,50 292,34 145,00 18,73 7,49

4ª rótula 290,02 217,51 292,35 145,00 18,73 7,49

Adotado 289,998 217,50 292,34 145,00 18,73 7,49

6

NBR 8800 201,3 195,80 236,85 112,76 14,57 7,19

1ª rótula 223,63 217,50 292,34 123,92 16,01 6,40

2ª rótula 265,79 217,50 292,34 145,00 18,73 7,49

3ª rótula 290 217,50 292,34 145,00 18,73 7,49

4ª rótula 290,02 217,51 292,35 145,00 18,73 7,49

Adotado 289,999 217,50 292,34 145,00 18,73 7,49

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ANEXOS

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55

ANEXO A – PERFIL U LAMINADO

Altura x Massa

[mm x kg/m]

d

[mm]

bf

[mm]

tf

[mm]

tw

[mm]

xg

[mm]

xc

[mm]

76 x 6,10 76,2 35,8 6,93 4,32 1,11 1,17

102 x 8,04 102 40,2 7,52 4,67 1,16 1,28

152 x 12,2 152 48,8 8,71 5,08 1,30 1,52

203 x 17,1 203 57,4 9,91 5,59 1,45 1,77

254 x 22,8 254 66,0 11,1 6,10 1,61 2,02

305 x 30,8 305 74,7 12,7 7,16 1,77 2,21

Altura x Massa

[mm x kg/m]

A

[cm²]

Ix

[cm4]

Wx

[cm³]

rx

[cm]

Zx

[cm³]

Iy

[cm4]

Wy

[cm³]

ry

[cm]

Zy

[cm³]

It

[cm4]

Cw

[cm6]

76 x 6,10 7,81 69,1 18,0 2,97 21,4 8,20 3,31 1,03 7,49 0,96 57,6

102 x 8,04 10,3 160 31,6 3,96 37,2 13,3 4,64 1,14 10,9 1,43 166

152 x 12,2 15,5 545 71,8 5,94 84,2 28,8 8,06 1,36 19,8 2,74 8,62

203 x 17,1 21,8 1360 133 7,90 157 54,9 12,8 1,59 32,3 4,79 2990

254 x 22,8 29,0 2810 221 9,83 260 94,9 19,0 1,81 48,9 7,73 8200

305 x 30,8 39,3 5370 352 11,7 417 161 28,3 2,03 73,6 13,7 19680

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56

ANEXO B – PERFIL W LAMINADO

Altura x Massa

[mm x kg/m]

d

[mm]

bf

[mm]

tf

[mm]

tw

[mm]

102 x 11,5 102 67,6 7,44 4,9

152 x 18,6 152 84,6 9,12 5,89

203 x 27,4 203 102 10,8 6,88

254 x 37,8 254 118 12,5 7,90

305 x 60,7 305 133 16,7 11,7

457 x 81,4 457 152 17,6 11,7

Altura x Massa

[mm x kg/m]

A

[cm²]

Ix

[cm4]

Wx

[cm³]

rx

[cm]

Zx

[cm³]

Iy

[cm4]

Wy

[cm³]

ry

[cm]

Zy

[cm³]

It

[cm4]

Cw

[cm6]

102 x 8,04 14,6 253 49,8 4,17 57,5 31,8 9,41 1,48 15,8 2,91 705

152 x 12,2 23,7 92 121 6,22 139 7,8 17,9 1,79 30,3 7,08 3890

203 x 17,1 34,9 2400 236 8,28 270 155 30,5 2,11 51,8 14,2 14360

254 x 22,8 48,1 5160 405 10,3 465 283 47,7 2,42 81,3 25,0 41220

305 x 30,8 77,4 11320 744 12,1 870 566 84,6 2,69 145 73,5 117400

457 x 81,4 104 33470 1470 18,0 1720 866 114 2,90 198 98,6 418400