Utilização da solução de navegação do GPS para...
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sid.inpe.br/mtc-m19/2010/11.10.12.50-TDI
UTILIZACAO DA SOLUCAO DE NAVEGACAO DO GPS
PARA DETERMINACAO DE ORBITA DE SATELITES
Jorge Martins do Nascimento
Dissertacao de Mestrado do Curso de Pos-Graduacao em Engenharia e Tecnologia
Espaciais/Mecanica Espacial e Controle, orientada pelos Drs. Helio Koiti Kuga, e
Antonio Fernando Bertachini de Almeida Prado, aprovada em 06 de junho de 1997.
URL do documento original:
<http://urlib.net/ 8JMKD3MGP7W/38J96M5 >
INPE
Sao Jose dos Campos
2010
PUBLICADO POR:
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sid.inpe.br/mtc-m19/2010/11.10.12.50-TDI
UTILIZACAO DA SOLUCAO DE NAVEGACAO DO GPS
PARA DETERMINACAO DE ORBITA DE SATELITES
Jorge Martins do Nascimento
Dissertacao de Mestrado do Curso de Pos-Graduacao em Engenharia e Tecnologia
Espaciais/Mecanica Espacial e Controle, orientada pelos Drs. Helio Koiti Kuga, e
Antonio Fernando Bertachini de Almeida Prado, aprovada em 06 de junho de 1997.
URL do documento original:
<http://urlib.net/ 8JMKD3MGP7W/38J96M5 >
INPE
Sao Jose dos Campos
2010
Dados Internacionais de Catalogacao na Publicacao (CIP)
Nascimento, Jorge Martins do.N17u Utilizacao da solucao de navegacao do GPS para determinacao
de orbita de satelites / Jorge Martins do Nascimento. – Sao Josedos Campos : INPE, 2010.
xxiv + 70 p. ; (sid.inpe.br/mtc-m19/2010/11.10.12.50-TDI)
Dissertacao (Mestrado em Engenharia e Tecnologia Espaci-ais/Mecanica Espacial e Controle) – Instituto Nacional de Pes-quisas Espaciais, Sao Jose dos Campos, 1997.
Orientadores : Drs. Helio Koiti Kuga, e Antonio Fernando Ber-tachini de Almeida Prado.
1. Determinacao de orbita. 2. Sistema de Navegacao por Sa-telites (GPS). 3. Metodo dos mınimos quadrados. 4. Navegacao.5. Satelites . I.Tıtulo.
CDU 629.783
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Longe é um lugar que não existe
Richard Bach
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À memória de meu pai Arthur Chrisóstomo do Nascimento que sempre me
incentivou aos estudos.
À minha mãe Elizabeth Martins Costa que com seu apoio e sua fé muito me
subsidiou em mais esta jornada.
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AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus por permitir minha existência, nesta
pequena partícula do Universo, denominada Planeta Terra.
À Empresa Brasileira de Telecomunicações (EMBRATEL), que
na pessoa do seu então presidente Renato Archer, com seu programa de
valorização técnico-profissional, me permitiu a participação nestes estudos.
À CAPES que também financiou este trabalho.
Ao Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE), que me
acolheu em suas dependências, particularmente na Divisão de Mecânica
Espacial e Controle (DMC), onde adquiri os conhecimentos necessários à
elaboração deste trabalho.
Ao engenheiro Rodolpho Knorr (EMBRATEL), que recomendou,
incentivou, e apoiou o ingresso neste Instituto, com vistas à realização deste
estudo.
Ao Dr. Antonio Fernando Bertachini de Almeida Prado, meu
orientador, que me despertou para o tema deste trabalho e me deu as
diretrizes de como conduzi-lo, sempre com seu bom humor, atenção e
motivação.
Ao Dr. Hélio Koiti Kuga, meu orientador, que com sua vasta
experiência, didática, calma, tranquilidade e boa vontade, me instruiu e apoiou
nos momentos mais difíceis da elaboração deste trabalho.
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Ao doutorando Ernesto Vieira Neto, meu particular grande amigo,
sem o qual, com sua vivência em programação computacional além dos
conhecimentos profissionais aliados a um grande senso de presteza, não teria
sido possível a execução deste trabalho. Muito obrigado, Ernesto.
Aos membros da banca examinadora, pelas relevantes
contribuições ao enriquecimento deste trabalho.
Aos meus amigos e colegas não somente da EMBRATEL como
também aos conquistados no INPE, pelo apoio, carinho e prazer da
convivência.
Aos meus companheiros, colegas e amigos.
Enfim, a todos aqueles que se fizeram presente.
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RESUMO
Neste trabalho, é analisado o problema da determinação de órbita de
um satélite artificial terrestre, posicionado a baixa altitude. Esse tipo de tarefa pode ser efetuado de várias maneiras, dependendo do hardware disponível no satélite e em terra. Neste trabalho, essa tarefa será feita com o uso de medidas obtidas a partir dos satélites da constelação do GPS (Sistema de Posicionamento Global). Esse sistema é constituído por satélites em órbita da Terra, cuja função é enviar sinais capazes de serem captados por receptores, no espaço ou em terra. Essas informações permitem o cálculo da posição desse receptor. Assim sendo, é assumido que o satélite alvo, cuja órbita se deseja determinar, estará portando um receptor deste tipo, especialmente projetado para funcionar no espaço. Para a realização dessa tarefa, são necessários os seguintes passos: i) Simulação do movimento dos satélites GPS e do satélite usuário; ii) Cálculo de todas as distâncias entre os satélites GPS e o satélite usuário; iii) Estudo de quais satélites GPS são visíveis a partir do satélite usuário; iv) Corrompimento, através da adição de uma variável aleatória, de todas essas medidas; v) Desenvolvimento de um procedimento computacional capaz de, com o uso da teoria dos mínimos quadrados, obter a solução de navegação (x,y,z) em cada ponto da órbita; vi) Elaboração de um outro procedimento também baseado na teoria dos mínimos quadrados, que obtém o vetor de estado (posição e velocidade) do satélite usuário a cada instante, a partir da solução de navegação. Esse trabalho foi motivado pelo planejamento do INPE de executar uma missão desse tipo num futuro próximo, dado que é um sistema barato e preciso de determinação de órbita. Deve-se também salientar que o objetivo aqui proposto não é o de obter a máxima precisão que o sistema pode oferecer, mas sim obter uma precisão suficiente para se manter o acompanhamento e permitir o controle do satélite.
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USING THE GPS NAVIGATION SOLUTION FOR SATELLITE ORB IT DETERMINATION
ABASTRACT
In this work the orbit determination problem of a low orbit earth artificial satellite is analyzed. This kind of problem can be solved by several ways, and the choice depends on the hardware available in the spacecraft and in the ground station. In this work this problem is solved using the GPS (Global Positioning System) constellation satellites data. This system is composed of an Earth orbiting satellites group with the purpose of sending signals to be received by receivers that can be located in the space or in the ground. These information allow the receiver to calculate its own position. It's assumed that the target satellite (which orbit has to be determined) will carry a receptor of this kind, specially designed to work in the space environment. To perform this work, one needs the following steps: i) To simulate the motion of the GPS and the target satellite; ii) To calculate ali the distances between the GPS satellites and the target satellite; iii) To determine which GPS satellites are visible by the target satellite; iv) To corrupt those data by adding a random variable; v) To develop a software, that is able to get a navigation solution on each point of the orbit, using least squares theory; vi) To develop a new software to get the target satellite state vector (position and velocity) from the navigation solution, also using least squares theory. This work was motivated by the INPE's plans of performing this kind of mission in a near future, since this is a cheap and accurate orbit determination system. It must be emphasized that the goal of this work is not to provide the system maximum accuracy, but a sufficient accuracy to track and control the satellite
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LISTA DE FIGURAS Pág
2.1 - Constelação do GPS ................................................................................. 8 2.2 - Satélite TOPEX/POSEIDON....................................................................... 12 2.3 - Sistema de rastreio do TOPEXlPOSEIDON ........................................... 12 2.4 - Região visível e utilizável em órbita baixa ................................................. 14 2.5 - Satélites visíveis em órbita baixa ............................................................... 14 2.6 - Satélites utilizáveis em órbita aixa.............................................................. 15 3.1 - Órbita observada e órbita modelada .......................................................... 21 3.2 - Determinação de posição utilizando GPS .............................................. 25 3.3 - Comparação qualitativa entre os métodos dinâmico, reduzido e geométrico..............................................................................................
27
3.4 - Comparação quantitativa entre os métodos dinâmico, reduzido e geométrico.................................................................................................
27
4.1 - Erro édio..................................................................................................... 45 5.1 - Geometria do critério de visibilidade .......................................................... 52 5.2 - Diferença em posição entre a órbita determinada e a órbita real .............. 55 5.3 - Diferença em velocidade entre a órbita determinada e a órbita real.......... 55 5.4 . Resíduos entre a órbita determinada e a órbita estimada.......................... 56 5.5 - Diferença em posição entre a órbita determinada e a órbita real .............. 57 5.6 - Diferença em velocidade entre a órbita determinada e a órbita real ......... 58 5.7 - Resíduos entre a órbita determinada e a órbita estimada.......................... 58 5.8 - Diferença em posição entre a órbita determinada e a órbita real............... 60 5.9 - Diferença em velocidade entre a órbita determinada e a órbita real.......... 60 5.10 - Resíduos entre a órbita determinada e a órbita estimada................... 61
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LISTA DE TABELAS
‘Pág
2.1 - Sinais transmitidos pela constelação GPS ........................................... 10
4.1 - Elementos Keplerianos a serem propagados ....................................... 40
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LISTA DE SÍMBOLOS
a semieixo maior
ã vetor aceleração
AA aceleração do arrasto aerodinâmico
AG aceleração do campo gravitacional terrestre
AL aceleração de atração da Lua
Ao aceleração devido a outras perturbações
As aceleração de atração do Sol
AML aceleração devido às marés da Lua
AMS aceleração devido às marés do Sol
ApR aceleração de pressão de radiação solar
Co coeficiente de arrasto atmosférico
J2 coeficiente de achatamento terrestre
Ja coeficiente da expansão do polinômio do potencial gravitacional
terrestre
R, raio equatorial terrestre (6380 km)
VR vetor velocidade do satélite em relação à atmosfera terrestre
5 área efetiva de contato
O força de arrasto
Q quantidade escalar
W matriz peso
H matriz ou vetor de derivadas parciais
L função custo a ser minimizada
P matriz de covarianças de erros
e excentricidade
xx
M anomalia média I inclinação k número de amostras de um evento
X vetor nx1 de estado
U potencial gravitacional terrestre
I matriz identidade
O vetor nulo
t tempo
x,y,z componentes cartesianas de posição
X, y, z componentes cartesianas de velocidade
r vetor posição (em x,y,z)
r distância do centro da Terra ao satélite
i vetor velocidade (em x,y,z)
X derivada no tempo do vetor de estado
SÍMBOLOS GREGOS
∆ variação de uma variável
ρ alcance (range)
ρ densidade local do ar
Ω ascensão reta do nodo ascendente
σ desvio padrão
ω argumento do perigeu
φ matriz de transição
ρ latitude geocêntrica do satélite
µ constante gravitacional terrestre (3980,64 Km3 /s2)
ν ruído no estado
xxi
ÍNDICES SUPERIORES Τ transição de uma matriz ou vetor ^ vetor estimado __ vetor propagado ÍNDICES INFERIORES GPSi i-ésimo satélite GPS
k instante de tempo o instante inicial
xxii
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SUMÁRIO
Pág
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO ...........................................................................1 1.1 Motivação ...................................................... Erro! Indicador não definido.1 1.2 Metodologia ................................................................................................2 1.3 Organização do trabalho .............................. Erro! Indicador não definido.4 CAPÍTULO 2 – SISTEMA GPS............................................................................7 2.1 Introdução ................................................................................................ 7 2.2 O que é o GPS? .............................................................................................8 2.3 Antecedentes do GPS ....................................................................................11 CAPÍTULO 3 - CONCEITOS BÁSICOS ............. Erro! Indicador não definido.17 3.1 Introdução ................................................................................................17 3.2 Métodos para determinação de órbita utilizando o GPS ...............................17 3.2.1 Método Dinâmico ..................................................................................18 3.2.2 Método da dinâmica reduzida ...............................................................22 3.2.3 Método geométrico ou cinemático .........................................................24 3.3 Teorias de estimação .....................................................................................28 3.4 Teoria básica de Mínimos Quadrados ............................................................30
3.5 Mínimos Quadrados com informação a priori, incluindo o Modelo Dinâmico ..............................................................................................................
35
CAPÍTULO 4 - MÉTODO UTILIZADO ................ Erro! Indicador não definido.39 4.1 Introdução ................................................................................................39 4.2 Desenvolvimentos do Programa ................................................................39
CAPÍTULO 5 - TESTES E RESULTADOS ......... Erro! Indicador não definido.51 5.1 Introdução ................................................................................................51 5.2 Testes realizados ...........................................................................................53 5.3 Análise dos resultados ...................................................................................62
xxiv
CAPÍTULO 6 - COMENTÁRIOS FINAIS ............ Erro! Indicador não definido.65 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................... Erro! Indicador não definido.67
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CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
O objetivo principal deste trabalho é apresentar e propor uma
solução para o problema da determinação de órbita de um satélite artificial,
situado a uma altitude de aproximadamente 1000 km, que possui a bordo um
receptor capaz de receber sinais transmitidos por uma constelação de satélites
posicionados a uma altitude de aproximadamente 20000 km. Essa constelação
é constituida pelos satélites que compõem o Sistema de Posicionamento
Global (GPS). Esse trabalho também discorre sobre alguns métodos utilizados
na determinação de órbita através do GPS, faz um apanhado geral sobre a
teoria de estimação e, a partir daí, descreve o método utilizado.
1.1 Motivação
Com o avanço e a evolução dos requisitos de uma missão
espacial, torna-se necessário, com uma precisão cada vez maior, a
observação efetiva dos satélites em órbita terrestre. Atualmente os satélites
são observados através de rastreio, efetuado por estações localizadas ao
longo da superfície da Terra. Existe, porém, um limite na precisão que pode ser
obtida na determinação de órbita com o uso dessa técnica. Essa maior
demanda por precisão é a razão principal de se utilizar o sistema GPS, pois
esse recurso permite proceder à determinação da órbita de satélites a baixa
altitude com alto grau de precisão, podendo-se chegar muitas vezes a algo em
torno de centímetros. Essa precisão depende fundamentalmente do método
adotado para a determinação da órbita, envolvendo modelos dinâmicos,
processamento das medidas, e procedimentos numéricos.
2
O Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) tem como
objetivo para suas missões futuras a utilização de receptores GPS embarcados
em seus próximos satélites. O principal objetivo é analisar a viabilidade de
determinar a órbita do satélite com precisão, aliado a um baixo custo financeiro
e facilidade de projeto. Neste contexto, um dos projetos em andamento na
divisão de mecânica espacial e controle é o desenvolvimento de um software
para determinação de órbita utilizando sinais da constelação GPS. O potencial
de utilização de tal sistema para navegação, geodesia, monitoramento de
entidades móveis na superfície terrestre (pessoas, carros, ônibus, etc...) entre
outras, está sendo firmemente difundido conforme atestam vários trabalhos
sobre o assunto (BERTIE et all, 1994)
A utilização do GPS a bordo de um satélite traz diversas
vantagens tais como, baixo custo de investimento em equipamentos tanto a
bordo do satélite como em terra, uma vez que as informações recebidas pelo
satélite podem ser enviadas a um centro de controle em terra através de
telemetria, não necessitando assim de equipamentos especiais para
comunicação de dados, como por exemplo um canal de rádio. Como o GPS
fornece uma série de informações em sua mensagem de navegação, essas
não precisam ser tratadas a bordo, podendo ser diretamente enviadas ao
centro de controle, também por telemetria. Embarcado no satélite basta
apenas uma placa do receptor GPS. Enfim, tudo isso torna a missão mais leve
e de mais baixo custo.
1.2 Metodologia
De posse dos elementos orbitais conhecidos dos 24 satélites da
constelação GPS e do satélite denominado “usuário” propaga-se suas órbitas
por um período de tempo pré-fixado, que neste trabalho é de duas horas e
meia. Para efetuar essa tarefa, na maioria dos casos utiliza-se um software
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propagador de órbita. O passo seguinte é criar uma rotina computacional em
linguagem “FORTRAN”, onde se determina os “pseudo-ranges” ou pseudo-
distâncias, também conhecida como distância teórica, que é calculada pelo
tempo que a informação gasta para "viajar" entre o satélite GPS e o satélite
alvo. Essa medida é corrompida por um erro aleatório de distribuição
Gaussiana e média nula e tem por objetivo a simulação da órbita do satélite
usuário, fornecendo um vetor posição (x, y, z), ou vetor posição atual.
Com esses dados em mãos e utilizando como ferramenta
matemática a teoria de mínimos quadrados, desenvolve-se outra rotina em
linguagem “FORTRAN” com o objetivo de obter-se a solução de navegação
( )$, $, $x y z , ou seja, a posição estimada. Com isso pode-se compará-la com a
solução simulada para verificar o desvio em posição. Em seguida, procede-se
a uma análise estatística da média e do desvio padrão desse resultado.
O passo seguinte é a determinação da órbita do satélite usuário,
ou seja, a determinação da sua trajetória inicial. Para tal é necessário a
obtenção da matriz de covariança do passo anterior e o vetor posição
estimado. Resolve-se então a equação diferencial do movimento orbital em
posição e velocidade, utilizando-se novamente a teoria de mínimos quadrados
para modelar um estimador de época, onde, a informação de entrada é a
solução de navegação. A esse estimador é acrescentado um modelo dinâmico
incluindo o coeficiente J2, no sentido de se verificar a órbita não só kepleriana
como também a órbita perturbada pela dinâmica. No intuito de tornar este
estimador robusto se utiliza dentro da solução computacional matemática a
ortogonalização de Householder.
Finalmente, procede-se aos testes de validade do método, onde
se verifica a convergência do filtro adotado com a teoria de mínimos
quadrados. Verifica-se também a precisão do determinador de órbita para o
caso de dinâmica Kepleriana pura, e da órbita com dinâmica Kepleriana mais o
4
efeito de J2, e também o caso de curtos arcos de observação dentro do período
de estimação. Também são analisados os resíduos em posição entre a órbita
determinada e a órbita real e procede-se a uma exposição gráfica e uma
análise dos resultados apresentados pelos testes acima descritos.
1.3 Organização do trabalho
Este trabalho está dividido em seis capítulos.
No Capítulo 1 realiza-se uma introdução sobre os objetivos do
trabalho. Este capítulo é subdividido em três unidades que tratam
respectivamente da motivação para o trabalho, da metodologia utilizada e,
finalmente, da divisão do trabalho.
No Capítulo 2, tem-se um histórico do GPS, objeto deste
trabalho, e são apresentadas experiências já realizadas com o GPS.
O Capítulo 3 contém os conceitos teóricos básicos de mecânica
celeste, no que se refere à determinação de órbita, um apanhado geral sobre a
teoria de estimação, uma conceituação sobre a teoria de mínimos quadrados
e, uma teoria sobre mínimos quadrados com informação a priori, considerando
ainda o modelo dinâmico adotado.
O Capítulo 4 trata espeficamente do método utilizado e
desenvolvido em nível de software para a determinação de órbita.
O Capítulo 5 apresenta os testes realizados e os resultados
obtidos com a utilização do método apresentado no capítulo 4. Ao final se faz
uma análise acerca dos resultados.
5
No Capítulo 6, descrevem-se as conclusões extraídas deste
trabalho e os comentários finais para extensões futuras do mesmo.
O trabalho é finalizado então com a bibliografia consultada e
necessária à sua realização.
6
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CAPÍTULO 2
SISTEMA GPS
2.1 Introdução
A idéia da utilização de corpos celestes para navegação remonta
aos primórdios da humanidade. Embora hoje o homem consiga ter um vasto
conhecimento da disposição destes corpos celeste, a navegação astronômica
apresenta sérios inconvenientes, pois os astros têm que ser observados em
qualquer ponto e a qualquer hora para prover ao usuário informações de
posição em tempo real.
A partir da década de 60, a utilização de satélites artificiais
permitiu à introdução de novos sistemas de navegação, e particularmente nas
décadas de 70 e 80, a evolução se deu mais intensamente, com os estudos
desenvolvidos pela Força Aérea dos Estados Unidos da América, o que
culminou com a adoção de um sistema de navegação por satélites
denominado GPS.
O GPS tem como objetivo o auxílio à navegação em três
dimensões com elevada precisão nos cálculos de posição mesmo que o
usuário esteja sujeito às mais variadas intensidades de dinâmica, permitindo
inclusive informações em tempo real. Apresenta ainda alta imunidade às
interferências eletromagnéticas, uma vez que as variações de relevo não têm
influência sobre suas transmissões e por operar em altas frequências, estas
são mais precisas se comparadas com as transmissões de rádio em baixas
frequências. O GPS permite ainda uma cobertura global 24 horas por dia, além
de permitir uma rápida obtenção das informações transmitidas por sua
constelação.
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A seguir, apresentamos o que é o GPS.
2.2 O que é o GPS?
O sistema GPS foi idealizado pelo Departamento de Defesa dos
Estados Unidos da América na década de 60, inicialmente com o objetivo de
aplicações militares, para disseminação do tempo, determinação de posição, e
navegação. Posteriormente foi colocado à disposição para atividades com
propósitos civis (LEICK, 1994).
O primeiro conjunto de satélites, chamado de BLOCO I, foi
colocado em órbita a partir de fevereiro de 1978, a uma altitude de 20200 km e
com uma inclinação de 63 graus. Recentemente, em fevereiro de 1994, o
BLOCO II-A ficou também disponível para uso. O último “sobrevivente” do
BLOCO I foi desativado, sendo que nove do BLOCO II e quinze do BLOCO II-
A, num total de 24 satélites, operam regularmente em órbita circular,
distribuídos em 6 planos orbitais, inclinados de 55 graus, e com separação
nodal de 60 graus (DOW et al, 1994).
A Figura 2.1 ilustra a distribuição das órbitas dos satélites GPS.
Figura. 2.1 Constelação do GPS.
FONTE: Bertiger et al (1994)
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Os satélites que compõem a constelação do GPS apresentam
uma estrutura de transmissão de sinais conforme se segue:
As informações transmitidas pelos satélites GPS são baseadas
no conceito de ondas eletromagnéticas. Todas as transmissões dos satélites
são coerentemente derivadas de uma frequência fundamental de 10.23 MHz, e
esta é provida a partir de um conjunto de referências de relógio, com referência
atômica, embarcados no próprio satélite. Multiplicando a frequência
fundamental por 154 e por 120, tem-se respectivamente as chamadas
frequências portadoras L1 = 1575.42 MHz e L2 = 1227.60 MHz. O objetivo
destas duas frequências é essencialmente eliminar a maior fonte de erro nas
medidas, que é a refração ionosférica (WELLENHOF et all, 1992).
Os pseudo-ranges ou pseudo-distâncias são medidos pelos
receptores de GPS, a partir do tempo de transmissão dos sinais de cada
satélite. A esses sinais são introduzidas as sequências pseudo-aleatórias em
ambas as frequências, L1 e L2, ou seja, as portadoras são moduladas com um
código.
O primeiro código, chamado de “C/A-code” do inglês
“Coarse/Acquisition-code”, que é um código de precisão inferior, é designado
pelo “Standard Positioning Service (SPS)”, ou, Serviço de Posicionamento
Padrão, para utilização em aplicações civis. Este código com um comprimento
de onda de 300 m modula a portadora L1 exclusivamente, sendo omitido na
portadora L2 (WELLENHOF et al, 1992).
O segundo código, chamado de “P-code” do inglês “Precision-
code”, ou, código preciso, é também designado pelo Serviço de
Posicionamento Padrão e é reservado ao uso exclusivo das Forças Armadas
dos Estados Unidos e instituições autorizadas. Este código modula tanto a
portadora L1 como a L2 e apresenta um comprimento de onda de 30 m. O
acesso a esse código foi permitido até que o sistema foi declarado
10
completamente operacional.
Em adição aos códigos introduzidos, as portadoras também são
moduladas com informações das efemérides, dos coeficientes do modelo
ionosférico, com informações de estado, com o sistema de tempo e com as
referências dos relógios dos satélites GPS. A essas informações dá-se o nome
de mensagem de navegação, que também é chamada de telemetria, e esta
modula ambas as portadoras a uma taxa de transmissão de 50 bits por
segundo. A tabela 2.1 resume as informações sobre os sinais transmitidos pela
constelação GPS.
Tabela 2.1 sinais transmitidos pela constelação GPS.
BANDAS DE
TRANSMISSÃO
TAXA DE MODULAÇÃO
Frequência
MHz
Código P
Código C/A
Dados
L1
1575,42
10,23 Mbs
1,023 Mbs
50 bps
L2
1227,60
10,23 Mbs
-------------
50 bps
Existem dois tipos de observações das informações do GPS: a
pseudo-distância e a fase da portadora. Para o caso de se desejar uma alta
precisão, se adota a medida a partir da fase da portadora. No entanto a
combinação dos dois tipos é comumente utilizada, uma vez que o receptor
GPS pode medir o tempo de transmissão e calcular a pseudo-distância ou
medir a fase da portadora e calcular a razão da pseudo-distância.
No sistema de navegação GPS, informações de tempo preciso e
das efemérides são oriundas dos sinais recebidos de qualquer um dos satélites
11
da constelação GPS. Esses sinais são demodulados em tempo e fase, de
forma correlacionada (WELLS, 1987), e processada de modo a fornecer
medidas de pseudo-distância e de razão de pseudo-distância. Estas medidas
estão corrompidas pelo desvio do relógio do usuário, daí a denominação de
“pseudo”. De posse da mensagem de navegação, o usuário extrai as
efemérides do satélite GPS e os termos de correção de tempo, podendo então
determinar sua posição e velocidade (NEGREIROS DE PAIVA, 1990). Caso
em determinado instante haja um número suficiente, de satélites GPS visíveis,
pode-se geometricamente determinar a posição e a deriva do relógio do
receptor com certa precisão, chamada de solução de navegação.
2.3 Antecedentes do GPS
Em 10 de agosto de 1992, foi lançado o satélite
TOPEX/POSEIDON, fruto de um projeto conjunto entre o “National Aeronautics
and Space Adminitration” (NASA) e o “Centre National d’Etudes Spatiales”
(CNES). O objetivo foi o estudo da circulação dos oceanos e de suas marés,
através das medidas da topografia de suas superfícies. Vários sistemas
sofisticados de medidas foram utilizados pelo TOPEX/POSEIDON, incluindo
um receptor GPS de duas frequências.
O projeto TOPEX/POSEIDON possui a bordo um receptor GPS,
como experimento, que é assistido por uma rede de telemetria e um sistema
de processamento de dados em terra. Os elementos que compõem o sistema
de rastreio do GPS são: a constelação de GPS, o receptor GPS a bordo do
TOPEX/POSEIDON, uma rede global de receptores do GPS para prover uma
referência terrestre e um centro de monitoramento, controle e processamento.
As Figuras 2.2 e 2.3 mostram respectivamente o satélite TOPEX/POSEIDON e
o seu sistema de rastreio.
12
Figura. 2.2 Satélite TOPEX/POSEIDON.
FONTE: Bertiger et al (1994)
Figura. 2.3. Sistema de rastreio do TOPEX/POSEIDON.
FONTE: Bertiger et al (1994)
A experiência de determinação de órbita utilizando o receptor
GPS, embarcado no TOPEX/POSEIDON, denominada de “PRECISION ORBIT
DETERMINATION” (POD), ou seja, determinação precisa de órbita requer um
rastreio contínuo da constelação GPS, que por sua vez é simultaneamente
observável pelos receptores de terra e de bordo.
13
Existe uma grande quantidade de artigos que discorrem sobre a
determinação de órbita através do GPS e seus vários métodos. De um modo
geral, estudos demonstraram que sua utilização permite uma precisão que
pode chegar ao nível de poucos centímetros para a determinação da posição
radial (altitude) da órbita de satélites a baixa altitude (aproximadamente 1000
km). Porém o maior problema é a escolha de um sistema de rastreio que
permita a maior cobertura possível da órbita e isso depende do compromisso
entre o objetivo da missão e as ferramentas disponíveis (CRETAUX, 1993).
A utilização do GPS permite, sob todas as condições ambientais
e durante as 24 horas do dia, obter uma alta precisão de posicionamento a
partir de um conjunto mínimo de 4 satélites.
Para o caso de Satélites de Baixa Altitude (SBA), existem
algumas considerações a fazer. A primeira diz respeito ao atraso de tempo, o
que confere ao receptor do GPS um erro de alguns quilômetros, uma vez que o
SBA se desloca com uma velocidade em torno de 7 km/s. A segunda se refere
à cobertura proporcionada pela constelação do GPS, pois na superfície
terrestre essa cobertura é conferida por um número de satélites maior do que
no espaço, conforme mostra a Figura 2.4. As Figuras 2.5 e 2.6 mostram,
respectivamente, o número de satélites visíveis e utilizáveis ao longo de um
determinado período de tempo. Cabe salientar, que essas considerações são
previstas e devem ser corrigidas pelo algorítmo utilizado no problema da
determinação de órbita (ZHANG; YANG, 1993).
14
Figura. 2.4. Região visível e utilizável em órbita terrestre baixa.
FONTE: Zhang e Yang (1993)
Figura. 2.5. Satélites visíveis em órbita baixa.
FONTE: Zhang e Yang (1993)
15
Figura. 2.6 Satélites utilizáveis em órbita baixa.
FONTE: Zhang e Yang (1993)
16
17
CAPÍTULO 3
CONCEITOS BÁSICOS
3.1 Introdução
Neste capítulo, faz-se uma revisão dos conceitos básicos e
teóricos, utilizados neste trabalho. Esta revisão desde os processos de
determinação de órbita, passando pelos conceitos de estimação e chega ao
método matemático que é utilizado na elaboração de um software, cuja
aplicação fim é a determinação de órbita utilizando as informações
provenientes do sistema GPS.
Os modelos matemáticos utilizados para a determinação de
órbita, devido a problemas de implementação computacional, tempo de
processamento, dentre outros, não consegue abranger todas as perturbações
que possam afetar a órbita de um satélite. Assim sendo, é necessário que se
faça a correção de certos parâmetros periodicamente. Por isso, faz-se
necessário conhecer as medidas ou se proceder às observações do satélite, e
utilizar alguma técnica de estimação para que se possa fazer as devidas
correções, a partir dos dados medidos (VIEIRA NETO, 1994).
3.2 Métodos para determinação de órbita utilizando o GPS
A determinação de órbita, de um modo geral, envolve vários
aspectos de natureza distinta. Envolvem modelagem da dinâmica e dos dados
mensurados, estabilidade numérica dos algoritmos de processamento, e o
esquema de estimação de estado, todos contribuindo em maior ou menor grau
para a precisão final.
O problema da determinação de órbita consiste basicamente no
18
processo de obtenção dos valores dos parâmetros que especificam
completamente o movimento (a trajetória) de um corpo espacial (no caso um
satélite artificial), através do espaço baseado num conjunto de observações do
corpo (RAOL; SINHA, 1985). Estas observações podem ser coletadas através
de uma rede de rastreio terrestre ou através de sensores, que no caso deste
trabalho são os receptores GPS, embarcadas no próprio satélite.
Os métodos ou processos utilizados na determinação de órbita
através dos receptores GPS são basicamente os seguintes:
MÉTODO DINÂMICO
MÉTODO DA DINÂMICA REDUZIDA
MÉTODO GEOMÉTRICO ou CINEMÁTICO
3.2.1 Método Dinâmico
Os satélites artificiais terrestres são influenciados constantemente
por forças perturbadoras (KONDAPALLI, 1986), tais como:
* atração gravitacional devido a imperfeições do corpo central
(não esfericidade, densidade variável, etc.);
* atração gravitacional devido ao Sol e a Lua;
* força de arrasto aerodinâmico;
* força de marés devido ao Sol e a Lua;
* força de pressão de radiação solar.
19
Na prática uma órbita verdadeira nunca segue uma órbita
Kepleriana. Não obstante, os elementos orbitais da órbita Kepleriana são
determinados a partir de uma análise convenientemente aproximada da órbita
real (CHOBOTOV, 1991).
Devido à forma complexa da dinâmica de órbita, uma solução
analítica não é disponível para uma órbita real, onde atuam múltiplas forças
como as mencionadas. Um corpo tem sempre sua órbita determinada a partir
de um modelo matemático e dos dados observados.
A equação geral das forças que atuam em um satélite e definem
o seu movimento é dada por:
&&r A A A A A A A AG A L S PR ML MS O= + + + + + + + (3.1)
onde:
AG: aceleração do campo gravitacional terrestre
AA: aceleração de arrasto aerodinâmico
AL: aceleração de atração da Lua
AS: aceleração de atração do Sol
APR: aceleração de pressão de radiação solar
AML: aceleração devido às marés da Lua
AMS: aceleração devido às marés do Sol
AO: aceleração devido a outras perturbações não
mencionadas acima
O conceito do método dinâmico para a determinação de órbita
leva em conta todas as parcelas da equação de movimento. Obviamente que
parcelas como, por exemplo, a atração do campo gravitacional terrestre são
20
expandidas em série até o harmônico onde se deseja truncar a série, de
acordo com a precisão necessária em função do modelo para geopotencial
adotado.
As forças perturbadoras são incluídas no modelo conforme a
situação física apresentada e com a precisão que se pretende para a
determinação da órbita. Por exemplo, para satélites de baixa altitude é
fundamental a inclusão do arrasto aerodinâmico, além obviamente do
geopotencial (BROWN, 1992), enquanto que para satélites de grande altitude,
torna-se necessário levar em conta a pressão de radiação solar, e a
perturbação lunissolar, ficando o truncamento do geopotencial a critério do
grau de refinamento que se deseja do modelo.
Um exemplo de expressão para o potencial gravitacional terrestre
(WERTZ, 1978) até o terceiro harmônico, considerando apenas os harmônicos
zonais, é dado por:
Ur
JR
rsen J
R
rsen sene e= +
−
−
−
µφ φ φ1
1
2
3
2
5
2
3
22
22
3
33 (3.2)
No caso da força de arrasto, ela é devido ao atrito causado pelo
movimento do satélite na atmosfera terrestre. Esta força tende a “freiar” o
satélite, atuando no sentido contrário ao seu movimento.
A expressão para a força de arrasto é dada por:
D = -1
2ρ CDSvR (3.3)
:
onde:
21
ρ : densidade local do ar
CD : coeficiente de arrasto atmosférico
S : área efetiva de contato
VR : vetor velocidade do satélite em relação à atmosfera
terrestre
Convém lembrar que, na modelagem do método dinâmico, todos
os parâmetros necessários ao cálculo do arrasto são modelados para a
situação em que se deseja determinar a órbita.
Conforme a Figura 3.1, pode-se notar que a idéia é tentar “tornar”
a órbita observada o mais próximo possível da órbita modelada. Isto é
conseguido reduzindo-se o erro residual entre a órbita observada e a órbita
dada pelo modelo dinâmico utilizado.
Figura. 3.1 Órbita observada e órbita modelada.
FONTE: Adaptada de Bertiger et al (1994).
Fliegel et al (1992), para o caso particular do satélite
TOPEX/POSEIDON, utilizou o modelo dinâmico “JOINT GRAVITY MODEL-2”
(JGM-2), enquanto que o modelo usado pelos satélites GPS, neste
experimento, continha somente duas componentes: o modelo do campo
22
gravitacional JGM-2 de ordem 12 e o modelo da força de radiação solar
conhecido como T10 e T20.
Quando se utiliza um modelo dinâmico com um grande número
de parâmetros, o movimento orbital do satélite é restringido pelo modelo
dinâmico. As deficiências daquele modelo podem resultar em grandes erros na
determinação da órbita, uma vez que as componentes do vetor de estado são
fracamente observadas porque o processo dos mínimos quadrados conduz os
erros do modelo àquelas componentes (MELBOURNE et al, 1994).
O modelo completo necessita de um maior número de satélites
observáveis da constelação GPS e, para um satélite posicionado a baixa
altitude, este número é reduzido sobremaneira, tornando difícil a modelagem
da força de atração gravitacional terrestre e o arrasto aerodinâmico. Tudo isso
diminui a precisão da determinação da órbita. Esses dados foram observados
por Willian G. Melbourne e outros, do “Jet Propulsion Laboratory” (JPL), na
Califórnia, em suas experiências com o TOPEX/POSEIDON.
Uma alternativa que vem sendo bastante utilizada, no sentido de
minimizar os erros na determinação de órbita com o receptor GPS, é a adoção
de um método denominado de DINÂMICA REDUZIDA, cuja descrição será
mostrada a seguir.
3.2.2 Método da dinâmica reduzida
Esta técnica permite combinar o método de determinação
dinâmico com o não dinâmico (geométrico), onde se utiliza apenas as
informações de posição obtidas através do receptor GPS.
No caso da dinâmica reduzida, pode-se ou não subtrair alguns
elementos perturbadores do modelo dinâmico, dependendo da experiência a
23
ser realizada e do que se pretende depreender dela. Esta redução se deve
também ao fato de que os coeficientes das expansões em série, passam a ter
certa ponderação ou peso em relação aos demais.
O principal atrativo da dinâmica reduzida está na combinação
entre o método dinâmico e o não dinâmico, uma vez que este descarta as
informações associadas ao modelo dinâmico, o que torna possível a redução
dos erros na determinação de órbita e também reduz a complexidade do
processo da solução. Embora ambos os métodos tenham o seu valor
independentemente, uma combinação entre eles pode ser bastante proveitosa.
Existem situações onde o método geométrico é bom e o dinâmico
não. Então um acréscimo de informações dinâmicas não justifica a pequena
melhoria de precisão, devido à sua complexidade. Por outro lado, em situações
onde o geométrico é ruim e o dinâmico bom, um acréscimo de informações
dinâmicas pode conduzir a uma substancial melhora de precisão (WU et all,
1991).
Portanto, a técnica da dinâmica reduzida contempla a utilização
dos dois métodos, dinâmico e não dinâmico, onde cada um tem o seu peso
apropriado.
A ponderação sobre as informações dinâmicas é controlada
através do ajuste dos parâmetros de ruído representados por uma força fictícia
em 3 dimensões, ou seja: a = aG + aD +aO + aF , onde a aceleração total (a) é
dada pelo somatório do geopotencial (aG), arrasto aerodinâmico (aD), outras
perturbações (aO) e uma força em três dimensões (aF).
A solução dinâmica baseia-se no ajuste de um conjunto mínimo
de parâmetros, preservando-se ao máximo o peso dos dados e produzindo o
mínimo de erros formais gerados pelos ruídos. Porém, esse método pode
24
sofrer grandes erros provenientes da má modelagem de alguns parâmetros
dinâmicos. Já o modelo geométrico ou cinemático, elimina completamente o
erro de modelagem, uma vez que é baseado apenas nos dados de observação
da órbita. Portanto, seus erros podem crescer imensamente (WU et all,1991).
O que se faz para conseguir uma modelagem de dinâmica
reduzida é utilizar um filtro sequencial de Kalman aliado a uma análise de
covariança. Desta forma, permite-se a combinação das duas técnicas,
dinâmica e geométrica, tendo como produto final a redução do erro global,
aumentando assim a precisão na determinação da órbita para algo em torno
de alguns centímetros em esquemas mais sofisticados (WU et all, 1991).
3.2.3 Método geométrico ou cinemático
Este é o método mais simplificado para a determinação da órbita
de um satélite. É uma técnica que não requer nenhuma modelagem dinâmica,
ou seja, não leva em conta informações sobre o geopotencial, arrasto
aerodinâmico ou qualquer outro tipo de perturbação. Baseia-se apenas nas
informações instantâneas de posição e, por conseguinte não necessita de
implementações computacionais complexas.
O método geométrico pode ser usado onde não se demande
precisão da ordem de centímetros. Em geral, ele permite um posicionamento
com uma precisão que vai de dezenas a centenas de metros.
O erro introduzido por este método deve-se basicamente a erros
advindos do sistema GPS e erros do receptor do satélite usuário. O sistema
GPS produz duas fontes básicas de erros oriundos do SA (“Selective
Availability”), qual sejam: erros de corrupção do relógio GPS e erros nas suas
efemérides transmitidas. O receptor do usuário, por outro lado, apresenta
25
erros devido à deriva do seu oscilador.
A Figura 3.2 fornece a idéia básica de como se determina a
posição de um satélite, utilizando o método geométrico.
GPS1
GPS2
GPS3
USU
r2
r3r1(X1,Y1,Z1) (X3,Y3,Z3)
(X2,Y2,Z2)
(x,y,z)
Terra
Figura. 3.2 Determinação de posição utilizando GPS.
Numa situação ideal, sem deriva do receptor, obtém-se um
sistema de três equações a três incógnitas. Daí pode-se determinar a posição
do receptor do satélite a cada instante desejado. Essas equações são as
seguintes:
( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]
r X x Y y Z z
r X x Y y Z z
r X x Y y Z z
1 1
2
1
2
1
21
2
2 2
2
2
2
2
21
2
3 3
2
3
2
3
21
2
= − + − + −
= − + − + −
= − + − + −
(3.4)
onde ri , i = 1,2,3 é a distância entre o satélite usuário, de coordenadas x,y,z; e
o i-ésimo satélite GPS, de coordenadas Xi ,Yi , Zi.
26
A partir das informações dos valores de Xi, Yi, Zi, fornecidas ou
pela mensagem transmitida, ou através das efemérides precisas do
“International GPS Geodynamics Service” - IGS (Serviço Internacional de GPS
para Geodinâmica) pode-se determinar as coordenadas de posição (x, y, z) do
satélite. Porém, para a obtenção de resultados mais precisos, são utilizados no
mínimo 4 satélites da constelação GPS para se determinar a constante de
tempo too que representa o erro de sincronização do relógio do satélite usuário.
Desta forma, usa-se o sistema formado pelas quatro equações e quatro
incógnitas mostrado abaixo:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]C t t D X x Y y Z z− = = − + − + −0 1 12
12
12
1 2 (3.5)
( ) ( ) ( ) ( )[ ]C t t D X x Y y Z z− = = − + − + −0 2 22
22
22
1 2 (3.6)
( ) ( ) ( ) ( )[ ]C t t D X x Y y Z z− = = − + − + −0 3 32
32
32
1 2 (3.7)
( ) ( ) ( ) ( )[ ]C t t D X x Y y Z z− = = − + − + −0 4 42
42
42
1 2 (3.8)
Como se está considerando um satélite em órbita baixa, a partir
de quatro satélites GPS pode-se ter uma boa precisão na determinação de sua
posição. Como se pode notar, a álgebra envolvida é bastante simples, bem
como computacionalmente não existe qualquer complexidade. Os problemas
que surgem neste método estão relacionados à escolha dos 4 satélites GPS
melhor posicionados geometricamente que produzem a maior precisão.
As Figuras 3.3 e 3.4 fazem, respectivamente, uma ilustração
qualitativa e quantitativa entre os métodos dinâmico, reduzido e geométrico, e
os resultados alcançados por cada um deles.
27
Figura. 3.3 Comparação qualitativa entre os métodos dinâmico, reduzido e
geométrico.
FONTE: Wu et al (1991)
Figura. 3.4 Comparação quantitativa entre os métodos dinâmico, reduzido e
geométrico.
FONTE: Wu et all (1991)
Conforme se pode notar pela Figura 3.3, o método dinâmico
tende a “suavizar” a órbita verdadeira, aproximando-a da órbita estimada. Já a
Figura 3.4 mostra que os erros introduzidos pelo modelo geométrico resultam
num erro maior na determinação de órbita do que quando se utiliza o modelo
de dinâmica reduzida.
28
Em outras palavras, observando-se a amplitude do erro residual,
este é bastante reduzido pelo método dinâmico, se comparado com o método
geométrico; contudo o método da dinâmica reduzida aproxima sobremaneira a
órbita verdadeira da órbita estimada.
Deve-se ter em mente que o tipo de método a ser escolhido
depende do tipo de missão que se tem em estudo, das “ferramentas”
disponíveis, dos objetivos pretendidos, da precisão que se deseja nas
medidas, no nível de erros admissíveis. Enfim, depende de uma série de
considerações que devem ser levadas em conta quando se pretende
determinar a órbita de um satélite.
3.3 Teorias de estimação
A teoria de estimação, como a própria palavra já define, trata da
estimação de um fato a partir de dados observados ao longo de um
determinado período de tempo.
A teoria de estimação (LIEBELT, 1967) se aplica em várias áreas,
tais como: economia, física, química, engenharia em suas diversas
especialidades, biologia, enfim, em todos os campos onde se deseja ou se
pretende conhecer melhor o fenômeno.
No caso da área aeroespacial, pode-se, por exemplo, lançar uma
sonda espacial, acompanhar sua trajetória orbital, gravar ou armazenar esses
dados, estimar sua posição atual no espaço e então predizer sua posição
futura.
O problema geral de estimação pode ser formulado da maneira
descrita nos parágrafos abaixo.
29
Considera-se X como sendo o vetor cujas componentes são as
variáveis a serem estimadas. Ele é assumido como sendo uma função de um
θθθθ, que corresponde às observações realizadas. No caso de θθθθ ser uma função
contínua do tempo, suas componentes constituem vários tipos de dados
contínuos e temos o problema de estimação contínua. No caso das
observações serem realizadas em tempos discretos, temos o problema de
estimação discreta e, as m componentes de θθθθ representam diferentes tipos de
dados em um mesmo ou em diferentes instantes de tempo. Em qualquer caso,
é assumido que existe uma função conhecida que relaciona θθθθ com o vetor X,
ou seja:
θθθθ = θθθθ(X) (3.9)
Por outro lado pode-se analisar o problema da estimação
não linear, que consiste na estimação do vetor X baseado em um conjunto de
observações de θθθθ.
Um bom exemplo deste problema é a aplicação espacial,
conforme já citado anteriormente, onde o vetor X representa o estado (posição
e velocidade) de uma sonda espacial em um determinado tempo t0, podendo
incluir também mais uma constante física. O vetor de observação consiste em
um conjunto de medidas de distância, taxa de variação de distância e de
ângulos relativos a um dado radar de rastreio. Podemos então estimar o
estado (posição e velocidade) X(t0) inicial da sonda e as constantes físicas e
então prever a sua órbita futura.
Em geral, problemas de estimação como o mostrado acima são
de difícil solução, seja analítica ou numericamente. Isso ocorre porque não
existe uma única solução, uma vez que existem várias estimativas para o
problema. Qual a solução escolhida irá depender do critério de estimação
adotado.
30
Desde que a estimação geralmente implica em um erro entre o
valor verdadeiro ou nominal e os valores decorrentes do processo de
estimação, é natural tentarmos minimizá-lo (LIEBELT, 1967).
Pode-se ter um estimador que se utiliza da teoria do filtro de
Kalman ou da teoria dos mínimos quadrados. Para o caso da solução do nosso
problema de determinação de órbita utilizando a solução de navegação do
GPS, adotamos a teoria dos mínimos quadrados como método de
determinação de órbita.
Para verificar a viabilidade do procedimento, utiliza-se a teoria de
mínimos quadrados por ser um processo mais robusto. Dependendo do uso
pode-se optar pelo melhor procedimento para cada caso. Assim, no caso de
navegação autônoma, usar-se-á naturalmente, o filtro de Kalman por ser um
estimador de tempo real. Se a determinação de órbita for realizada “off-line”
em computadores em terra, pode ser preferível o método dos mínimos
quadrados, que produz um resultado estatístico mais suave.
3.4 Teoria básica de Mínimos Quadrados
Estimação de órbita é um problema de grande importância no
que tange à órbita de satélites artificiais. Ela envolve a comparação entre as
observações realizadas por estações de rastreio e a órbita predita ou
propagada, obtida a partir de um modelo matemático (KONDAPALLI, 1987).
Neste caso o método dos mínimos quadrados pode ser visto
como um procedimento numérico que trata dos dados observados da trajetória
do satélite para obter uma estimação dos parâmetros do mesmo.
Discorrem-se agora alguns conceitos sobre a teoria dos Mínimos
31
Quadrados.
Fa-se x e y dois vetores reais de forma que representem um
estado físico e um estado observável de um sistema dinâmico. Desta forma
podemos assumir que y é relacionado a x através de uma Função Vetorial do
tipo:
y f x= ( ) (3.10)
Considerando que qualquer processo de observação envolve
imperfeições que não podem ser modeladas de uma maneira determinística,
assume-se que as imperfeições observadas em y são modeladas de maneira
randômica e representadas por um vetor n . Assim sendo, a equação anterior
fica na forma:
y f x n= +( ) , (3.11)
que é denominada de equação não linear regressiva.
O objetivo é tentar estimar um valor de x que minimize a soma
ponderada do quadrado dos resíduos da observação, entre a observação atual
e a observação computada a partir da utilização de um modelo matemático.
Obviamente que está implícito se assumir que o modelo matemático apresenta
uma precisão suficiente.
Matematicamente, existe uma quantidade escalar dada por:
[ ] [ ]Q x y f x W y f xT( ) ( ) ( )= − − (3.12)
onde W é a matriz peso e Q é a função custo a ser minimizada.
32
No processo de minimização, uma informação a priori de
estimação do estado x zero é assumido ser conhecido. O desvio de x 0 a partir
do valor nominal do estado é considerado como sendo de média zero e sua
matriz de covariança é assumido também ser conhecida (NASA, 1976).
A condição necessária para minimizar Q x( ) com relação à x é a
derivada parcial em relação à x que dever ser zero, ou seja:
∂∂ Q
x= 0 (3.13)
Desta maneira, o valor de x que minimiza Q é a raiz da equação:
[ ) ]∂∂
∂∂
Q
xy f x W
f
xT= − − =2 0( (3.14)
Uma maneira de solucionar a Equação 3.14 é fazendo sua
linearização, isto é, expandindo f ( )x numa Série de Taylor em torno de x 0 e
extraindo os termos de primeira ordem. Assim procedendo, temos:
( ) ( )f x f x H x = +0 ∆ (3.15)
onde:
∆ x = −x x0 (3.16)
e
33
Hf
x x x
=
=
∂∂
0
(3.17)
onde H é uma matriz m x p das derivadas parciais de ( )f x com relação a x ,
avaliado em x x= 0.
Substituindo o valor de ( )f x da equação 3.15 na Equação 3.11,
tem-se:
( )y f x H x n= + + 0 ∆ (3.18)
ou
( )∆ ∆y y f x H x n= − = + 0 (3.19)
Consequentemente, usando a Equação 3.15 e 3.19, a forma
linearizada da equação 3.14 fica:
( )[ ] ( )( )− − − +
=2 00 0 W
y f x H x
xf x H x∆ ∆∂
∂ (3.20)
ou seja:
( )− − =2 0 ∆ ∆y H x W T
(3.21)
ou
( )− − =2 0 ∆ ∆y H x W HT
(3.22)
34
Resolvendo a Equação 3.22 para ∆x , obtém-se a melhor
estimação ∆x de ∆x , como pode ser visto a seguir:
( )∆ ∆x H H W yT T=−
W H1
(3.23)
Esta é a correção diferencial feita em x0 , no sentido de melhorar
a estimação, isto é:
x x0= + ∆x (3.24)
Convém notar que tanto x como x0 são valores de um mesmo
instante de tempo.
Agora, para a linearização ser válida, ∆x deve ser bem pequeno
em qualquer sentido. Em outras palavras, a estimação feita a priori ( )x0 , deve
ser suficientemente próxima para um valor nominal de x . Consequentemente,
se ∆x é consideravelmente “largo”, o processo é repetido iterativamente
através de um método numérico do tipo Newton Raphson para cada tempo,
para a última estimação de x , tomando como referência a estimativa a priori de
x0 . O processo de iteração tem continuidade até que a magnitude da correção
diferencial ∆x seja menor que um valor previamente especificado.
Por definição, para a matriz W, é usualmente feita a hipótese de
que as observações feitas por uma estação de rastreio num dado tempo, não
são espacialmente correlacionadas, e que as medidas de diferentes tempos
também não são correlacionadas ao tempo. Desta forma, supondo que a
covariança do vetor ruído das observações é conhecido, o peso da matriz é
equacionado para o inverso da matriz de covariança da medida dos erros, ou
seja, a matriz assume uma forma diagonal do tipo:
35
W =
1
1
1
2
2
2
σ
σ
σ
(3.25)
onde 12σ
é a variança da componente n da medida dos erros, correspondente
a medida de y (KONDAPALLI, 1987).
Em problemas de estimação de órbita, W é considerado diagonal,
uma vez que a covariança dos elementos (fora da diagonal) da medida dos
erros é raramente disponível (NASA, 1976). O inverso da matriz H WHT na
equação 3.23 é a matriz de covariança dos erros em x .
3.5 Mínimos Quadrados com informação a priori, incluindo o Modelo
Dinâmico.
Pretende-se utilizar o método dos “Mínimos Quadrados” como
ferramenta matemática, para se obter os elementos Keplerianos a, e, I, ω, Ω e
M, ou um conjunto equivalente, a partir das informações de posição (x,y,z),
chamada solução de navegação do satélite usuário.
A idéia dessa formulação é supor que uma sequência da solução
de navegação está disponível, bem como suas covarianças.
Para tanto, parte-se do modelo dado pela Equação 3.26, a seguir:
y H X Vk k k k = + (3.26)
36
onde:
yk é o vetor de medidas contendo a solução de navegação, no
instante tk .
Xk é o vetor de estado da órbita com as componentes de posição
e velocidade, que se desejar encontrar.
Vk é o vetor de erros, ou seja, a informação dada pela covariança
da solução de navegação.
Logo, Hk = [ ]I 3 x3 3 X3 O M , e as estatísticas de vk são:
[ ][ ]
E v 0
E v v R
k
k kT
k
=
= (3.27)
A dinâmica aplicada ao problema é do tipo:
( )&X f X= (3.28)
onde, f é a função não linear vetorial que descreve o modelo da propagação da
órbita.
Deseja-se estimar a órbita $X0 no instante “t0”, de forma a ajustar
a solução de navegação y0, yk, yf com o menor erro possível. Uma das
soluções mais usuais pode ser obtida utilizando-se o método dos mínimos
quadrados, através da minimização da função custo “L”, expressa pelo
quadrado dos resíduos e levando-se em conta a qualidade da informação a
priori (estimativa inicial).
Essa condição é dada por (Kuga, 1992):
37
( ) ( )( ) ( )L y Hx W y H x x x P x xT= − − − −− −$ $01
01
0 (3.29)
cuja solução é dada por:
( ) ( ) ( )( )$ $ $x H W H P H W y Hx P x xT T= + − + −− − −0
1 1
01
0 (3.30)
que pode ser convenientemente adaptada para o problema não linear.
A matriz H é dada por:
H
H
H
H
h
K K
F F
=
0
1 1 0
0
0
Φ
Φ
Φ
,
,
,
M
M
(3.31)
onde:
H0 = H1 = Hk = Hf = [ ]I x x3 3 3 30 M (3.32)
e φK,0 é a matriz de transição entre os instantes t0 e tK, correspondente ao
modelo dinâmico adotado na Equação 3.28.
W = R-1
P0 = Covariança inicial
x0 = Estimativa inicial
x = Estado estimado
38
Esse método possui várias vantagens tais como, simplicidade,
facilidade de implementação, etc. Porém uma das maiores vantagens é que
ele permite uma determinação de órbita a bordo do satélite, utilizando-se da
seguinte estratégia:
1) Implementa-se o modelo adotado no computador de bordo, até um
grau que seja compatível com a precisão desejada para a determinação
da órbita e com a capacidade do hardware disponível;
2) Obtêm-se os dados recebidos pelo receptor GPS que está embarcado
no satélite e passa-se esses valores para a estação terrestre;
3) Com esses dados, é realizada a carga de computação mais pesada do
experimento, que é a determinação dos coeficientes do modelo adotado;
4) A seguir, esses coeficientes são enviados ao satélite, que pode então
conhecer a sua própria órbita. Esses coeficientes devem ser atualizados
periodicamente ou em tempo real, para se manter um nível de precisão
satisfatório na determinação de órbita.
39
CAPÍTULO 4
MÉTODO UTILIZADO
4.1 Introdução
Conforme já descrito anteriormente, o método desenvolvido neste
trabalho é simplificado e de baixa precisão, porém adequado às necessidades
do INPE. Dentre os vários métodos existentes para a determinação de órbita,
escolheu-se o mais simples, ou seja, utilizar o método geométrico ou
cinemático para gerar uma sequência de soluções de navegação, e então usar
estas soluções para determinar completamente a órbita.
Para o desenvolvimento deste método, utiliza-se como base a
teoria dos mínimos quadrados, apresentada no Capítulo 3, Seções 3.4 e 3.5.
4.2 Desenvolvimentos do Programa
A primeira parte deste problema consiste na propagação das
órbitas dos satélites GPS e do satélite denominado “usuário”, para a qual
utiliza-se um software propagador de órbita existente no INPE. Os dados de
entrada do propagador são mostrados na Tabela 4.1. Esses dados são os
elementos Keplerianos conhecidos dos 24 satélites que compõem a
constelação do GPS e do satélite usuário. Esses dados não são
necessariamente os exatos, porém respeitam as especificações da
constelação GPS e para o caso do satélite usuário, estes dados correspondem
à órbita nominal e o valor correto é obtido a partir da solução do problema
proposto.
40
Tabela 4.1 elementos keplerianos a serrem propagados.
SAT a
(Km)
e
(graus)
I
(graus)
ΩΩΩΩ
(graus)
ωωωω
(graus)
ΜΜΜΜ
(graus)
GPS1 26000 0 55 0 0 0
GPS2 26000 0 55 60 0 0
GPS3 26000 0 55 120 0 0
GPS4 26000 0 55 180 0 0
GPS5 26000 0 55 240 0 0
GPS6 26000 0 55 300 0 0
GPS7 26000 0 55 0 0 90
GPS8 26000 0 55 60 0 90
GPS9 26000 0 55 120 0 90
GPS10 26000 0 55 180 0 90
GPS11 26000 0 55 240 0 90
GPS12 26000 0 55 300 0 90
GPS13 26000 0 55 0 0 180
GPS14 26000 0 55 60 0 180
GPS15 26000 0 55 120 0 180
GPS16 26000 0 55 180 0 180
GPS17 26000 0 55 240 0 180
GPS18 26000 0 55 300 0 180
GPS19 26000 0 55 0 0 270
GPS20 26000 0 55 60 0 270
GPS21 26000 0 55 120 0 270
GPS22 26000 0 55 180 0 270
GPS23 26000 0 55 240 0 270
GPS24 26000 0 55 300 0 270
USU 7378 0 65 0 0 0
41
Este método é baseado na obtenção da distância (pseudo-
range) entre o satélite usuário e os satélites GPS, através de um algorítmo
computacional. Esses dados são “corrompidos” por uma sequência numérica
aleatória, criando uma medida de distância com um erro aleatório de
distribuição Gaussiana com desvio-padrão 100 m e média nula. A partir de
então elabora-se um algorítmo baseado na teoria de estimação, que nos dará
os parâmetros que definem o modelo da órbita do satélite, dando origem a um
software capaz de permitir uma série de simulações, provendo resultados
numéricos que, comparados com os dados iniciais de órbita, possam validar o
método e determinar a acuidade da solução do problema.
A Figura 3.2 do Capítulo 3.1.3, bem como as três equações a três
incógnitas que a seguem, mostram a idéia básica de como se determina a
posição ou solução de navegação de um satélite, a cada instante, pelo método
geométrico.
A partir dos dados fornecidos pelo software propagador, foi criada
uma rotina em linguagem “FORTRAN”, denominada “PROGRAMA SIMULA”
que, com a introdução de um erro aleatório com distribuição Gaussiana, torna
possível conhecer a distância entre o satélite usuário e cada satélite GPS em
cada instante de tempo fornecido pelo propagador, em relação ao sistema
inercial. Essas distâncias são dadas pela equação:
ρρρ
ρ
υυυ
υ
1
2
3
1
2
3
1
2
3
M M M
n n n
h x y z
h x y zh x y z
h x y z
=
+
( , , )
( , , )( , , )
( , , )
(4.1)
42
ou, em notação vetorial:
y = h + νννν (4.2)
onde:
y = [ρ1, ρ2, ρ3,..., ρn] é o vetor de observação, h é o vetor relativo
às observações da solução de navegação e νννν é o vetor das medidas dos
erros Gaussiano.
De posse desses dados, elabora-se outra rotina em linguagem
“FORTRAN”, denominada “PROGRAMA ESTIMA”, onde a ferramenta
matemática utilizada foi a teoria dos mínimos quadrados, cujo objetivo é
encontrar a solução de navegação (x, y, z) do satélite usuário para cada
instante de tempo “t” da propagação, também referenciado ao sistema inercial.
Este passo simula a obtenção da solução de navegação do receptor GPS. A
solução computacional matemática é encontrada através da expansão da série
de Taylor de primeira ordem, ou seja:
y hx x x
x= +
+
−0
0
∂∂
υ h
∆ (4.3)
ou
∆ ∆y xH = + υ (4.4)
cuja solução é dada por:
43
( )∆ ∆xT T
yH H=−
W H W 1
(4.5)
onde “W” é o inverso da matriz de covariança das medidas dos erros, que é
dada por:
W =
1
1
1
2
2
2
σ
σ
σ
(4.6)
Uma vez obtida a solução de navegação, dada pelo programa
estima, esta é comparada com a solução dada pelo programa simula, ou seja,
compara-se a solução estimada com a solução simulada (que é assumida
como sendo a solução verdadeira). Essa comparação é feita através do erro
de posição, a saber:
( ) ( ) ( )[ ]∆r x x y y z z= − + − + −$ $ $2 2 2
1
2 (4.7)
onde:
(x, y, z) são as componentes da posição atual ou posição
simulada e ( )ˆ,ˆ,ˆ zyx são as componentes da solução de navegação.
Procede-se ainda a uma análise estatística da raiz média
quadrática, ou seja, “Root Mean Square” (RMS), do tipo:
média =1
k∆ r
i
k
=∑
1, (4.8)
44
onde:
“k” é o número de instantes amostrados na propagação e
σ( )
=−∑
−
= ∆r media
k
ii
k
1
21
2
1 (4.9)
é o desvio padrão em função da média das medidas.
Em função da análise estatística acima, pode-se verificar na
Figura 4.1 que, para o caso do método adotado para o problema, o erro médio
está em torno de 89 m, para uma distribuição Gaussiana com desvio-padrão
de 100 m para as medidas de pseudo-range. Portanto a solução de navegação
apresenta erros compatíveis com os do receptor GPS. Porém, nota-se ser a
média um valor um tanto alto, caracterizando certa tendência (média não nula).
Esta tendência deverá ser retirada com a introdução de um modelo dinâmico
que possibilitará melhorar a estatística da solução de navegação (Capítulo 5).
45
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50t(hours)
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
r(K
m)
Figura. 4.1 - Erro médio
A partir do vetor posição ( )$r fornecido pelo estimador e usando a
matriz de covariânça dada por ( )H W HT −1, estabelece-se a “cov ( )r ”, ou seja:
cov ( )rx
y
z
=
σσ
σ
2
2
2
(4.10)
que será da maior importância para o próximo passo do problema.
A parte final desse problema é a determinação de órbita do
satélite usuário, a partir da solução de navegação. Esta fase é implementada
primeiramente modelando-se o movimento orbital através das equações
diferenciais (Goldstein, 1980) para posição e velocidade, conforme mostrado a
seguir:
46
&r v = (4.11)
&vr
rP= − + µ
3 , (4.12)
onde “P” é a perturbação dinâmica a ser introduzida. Essa perturbação inclui o
termo de achatamento terrestre referente à “J2” e vale:
e a aceleração segundo os três eixos é dada por (Bates, 1971):
&& &&y =
y
yx
x δ φδ
=
Usando agora uma matriz de transição do tipo:
47
&φ φ= F (4.13)
onde:
F = ∂∂ f
x (4.14)
e, “f “ sendo o segundo membro das equações diferenciais de movimento,
pode-se computar “φ” através de rotina “FORTRAN” existente no INPE (Kuga,
1986).
Finalmente, como a ferramenta matemática usada na estimação
foi a teoria dos mínimos quadrados, esta é novamente utilizada, no sentido de
completar a determinação da órbita.
No passo anterior, usaram-se os pseudo-ranges como dado de
entrada para o estimador, para encontrar a solução de navegação ( )$ , $ . $x y z .
Agora, a partir de uma nova rotina em linguagem “FORTRAN” denominada
“PROGRAMA GPSORDET” e, utilizando a solução de navegação, alimenta-se
o estimador, conforme algorítmo matemático abaixo:
y H x= + υ (4.15)
y
x
y
z
=
$
$
$
, e (4.16)
xr
v=
(4.17)
então:
48
yI O r
vx x=
3 3 3 3 . + υ (4.18)
A solução matemática computacional do “GPSORDET” é similar
à forma:
( )∆ ∆x H W H H W yT T=−1
, · (4.19)
onde “W” é o inverso da covariança da solução de navegação, ou cov ( )r e “H”
é computado por:
H H t t t= ( ) ( , ) φ 0 (4.20)
Para realizar a carga computacional do programa “GPSORDET”
nessa fase final, foram necessários alguns recursos extras conforme descritos
abaixo:
1. Como esse estimador é um estimador de época, uma vez que
ele leva em conta as informações de posição a cada instante de tempo
fornecidas pelo propagador, para a solução da equação diferencial do
movimento orbital era necessária a informação da velocidade. Dividiu-se pelo
“∆t” entre o instante inicial e o instante seguinte a diferença entre os dois
vetores de posição correspondentes para se obter a estimativa inicial de
velocidade.
2. Para que se tenha uma referência da convergência do filtro
que utilizamos, usamos como “estimativa inicial”, os valores de posição exatos,
fornecidos pela solução de navegação.
49
3. Como se trata de um filtro que utiliza a teoria dos mínimos
quadrados e, no nosso problema partiu-se de um informação inicial para
verificar a convergência do mesmo e validar o método como aplicativo para
determinação de órbita, utiliza-se a solução com informação a priori conforme
mostrado a seguir:
( )∆ ∆ ∆X O XTP P H y
O= +−1 (4.21)
sendo “P” dado pela covariança, ou seja:
( )P P HOT= +− −1 1 W H (4.22)
Com esses dados em mãos, comparam-se os mesmos com a
órbita simulada e encontra-se uma precisão satisfatória, ou seja, um resíduo
pequeno, ou uma sugestão de correção pequena na órbita do satélite usuário.
Uma outra solução para o problema da determinação de órbita,
que é um problema não linear, seria a adoção de um filtro estendido de
Kalman, uma vez que o filtro de Kalman propriamente dito só é utilizado para
problemas lineares. Porém esse trabalho se propõe à utilização de um filtro
que utiliza a teoria dos mínimos quadrados para a determinação de órbita de
um satélite.
Os testes e resultados obtidos com a utilização do método aqui
apresentado, são mostrados no Capítulo 5, a seguir.
50
51
CAPÍTULO 5
TESTES E RESULTADOS
5.1 Introdução
Neste capítulo faz-se uma breve abordagem sobre a sequência
do modelo desenvolvido, sobre os testes realizados, e a motivação para os
mesmos. No final apresentam-se os resultados obtidos.
Considerando-se que a constelação dos satélites GPS é
constituida por 24 satélites, e que também se tem o satélite denominado
usuário (USU), tem-se então um conjunto de 25 grupos de elementos orbitais,
que são mostrados na Tabela 5.1. Utilizando então um software propagador de
órbita, que nada mais é que um integrador numérico, existente no INPE,
procede-se à propagação de todas essas órbitas para obter-se a chamada
órbita de “referência” ou, órbita “real”. Através dessa mesma pode-se obter a
posição de todos os satélites, e com isso calcular a pseudo-distância entre o
satélite USU e os satélites GPS visíveis em cada instante de tempo. Foi
utilizado um período de propagação de duas horas e meia, tendo como
referência o sistema inercial.
Para que as observações acima possam ser geradas, procede-se
inicialmente a um teste de visibilidade. Este teste é feito da seguinte maneira:
considera-se o raio da Terra (6378 km), mais 1000 km altitude, ou seja, como o
satélite USU está a aproximadamente 1000 km de altitude, ele orbita em uma
52
circunferência de raio igual a 7378 km. Utilizando-se a Lei dos cossenos, na
Figura 6.1, que mostra a geometria do critério de visibilidade, temos:
c2 = a2 + b2 - 2abcosC, (5.1)
o que implica em:
r2USU = r2
GPS + r2GPS - USU - 2rGPSrUSUcosα (5.2)
Portanto se “cos α“ for maior ou igual a 0, o satélite é visível. A
Figura 5.1 ilustra a geometria utilizada para o critério de visibilidade adotado.
Este critério de visibilidade adotado, não é um caso genérico, sendo válido
apenas para o objeto deste trabalho.
a
αGPS
USU
c
b
Figura. 5.1 - Geometria do critério de visibilidade.
Esta órbita real, ou simulada é a que se deseja estimar.
Inicialmente, ela é corrompida com uma distribuição de erro aleatório de forma
Gaussiana, de média zero e desvio-padrão 100 m. Portanto, uma vez
estimada, através da utilização da teoria dos mínimos quadrados, conforme
53
mostra o Capítulo 4, tem-se a solução de navegação (x, y, z) do satélite USU,
fornecida pelos satélites GPS.
5.2 Testes realizados
Para verificar a validade do método adotado, considera-se três
diferentes casos como situações de teste. Os critérios de avaliação, ou seja,
magnitude de convergência menor ou igual a 10-3 e comparação estatística
entre a órbita determinada e a órbita real em posição e velocidade são os
mesmos para todos os casos, e são dados pelas expressões:
∆ r = rr r− $ (5.3)
∆ v = rv v− $ (5.4)
A órbita nominal para fins de comparação e válida para todos os
testes realizados é dada por:
x = 8380909.596747757000000 m
y = 0 m
z = 0 m
&x = 0 m/s
&y = 2914.044234420885000 m/s
&z = 6252.130578948022000 m/s
Para todos os testes realizados, foi considerado o seguinte chute
inicial (initial guess) para o estimador de época:
54
x = 8380996.232700340 m
y = -19.8629494000000 m
z = 42.5419369000000 m
&x = -170.904721981660 m/s
&y = 2913.27694700833 m/s
&z = 6250.11272529667 m/s
Faz-se também uma avaliação dos resíduos entre a órbita
determinada e a órbita estimada.
CASO 1:
Para a verificação deste caso, considera-se o modelo completo
que abrange a dinâmica kepleriana e a influência da perturbação dada pelo
acréscimo do coeficiente J2.
Os valores das condições iniciais (x) para os quais o filtro
converge são:
x = 8380917.31014205 +/- 3.086977041199168 m
y = -2.58044569073820 +/- 5.167577768713008 m
z = 25.5608669353269 +/- 6.804185119768414 m
&x = -0.0150251147556692 +/- 5.250553338134865e-03 m/s
&y = 2914.04055433012 +/- 4.41497490745541534e-03 m/s
&z = 6252.12454662966 +/- 2.899491633038913e-03 m/s
De posse das condições iniciais acima e, utilizando o propagador
usado inicialmente, propaga- se a órbita do satélite USU pelo mesmo período
inicial (duas horas e meia). As Figuras 5.2 e 5.3 mostram graficamente uma
estatística comparativa entre a órbita determinada, e a órbita real, em posiição
e velocidade, respectivamente.··.
55
A Figura 5.4 representa os resíduos nas três componentes, em
posição.
0 2000 4000 6000 8000 10000tempo (s)
5
10
15
20
25
30
r (m
)
Dinâmica com J2
Média 13.25857 mDesvio Padrão 4.587671 mMínimo 5.497247 mMáximo 27.04231 m
∆
Figura. 5.2 - Diferença em posição entre a órbita determinada e a órbita real.
56
0 2000 4000 6000 8000 10000tempo (s)
0.000
0.004
0.008
0.012
0.016
0.020
v (m
/s)
Dinâmica com J2
Média 9.959522E-3 m/sDesvia Padrão 3.718844E-3 m/sMínimo 1.968384E-3 m/sMáximo 1.750275E-2 m/s
∆
Figura. 5.3 - Diferença em velocidade entre a órbita determinada e a órbita
real.
0 2000 4000 6000 8000 10000tempo (s)
-200
-100
0
100
200
300
resí
duos
(m
)
eixo x
eixo y
eixo z
Média em x:-5.78715 m Desvio em x: 57.15906 m
Média em y: -0.1605117 m Desvio em y: 47.75606 m
Média em z: -3.129506 m Desvio em z: 62.78432 m
Figura. 5.4 - Resíduos entre a órbita determinada e a solução de navegação.
57
CASO 2:
Para a verificação deste caso, considera-se apenas o modelo
com dinâmica Kepleriana, sem a influência da perturbação dada pelo
acréscimo do coeficiente J2.
Os valores das condições iniciais (x) para os quais o filtro
converge são
x = 8380449.73085706 +/- 3.084339526579548 m
y = -8117.62119312084 +/- 5.168785361962915 m
z = 3927.77913607858 +/- 6.803153472125756 m
&x = -0.104143520215715 +/- 5.250255899927160e-03 m/s
&y = 2915.57661429720 +/- 4.419144021742756e-03 m/s
&z = 6250.00177260593 +/- 2.900603806359740e-03 m/s
De posse das condições iniciais acima e, utilizando o propagador
usado inicialmente, propaga-se a órbita do satélite USU pelo mesmo período
inicial (duas horas e meia). As Figuras 5.5 e 5.6 mostram graficamente uma
estatística comparativa entre a órbita determinada, e a órbita real.
A Figura 5.7 representa os resíduos nas três componentes, em
posição.
58
0 2000 4000 6000 8000 10000tempo (s)
0
4000
8000
12000
r (m
)
Dinâmica Kepleriana
Média 4289.138 mDesvio Padrão 3280.034 mMínimo 467.5336 mMáximo 10337.25 m
∆
Figura. 5.5 - Diferença em posição entre a órbita determinada e a órbita real.
0 2000 4000 6000 8000 10000
tempo (s)
0
2
4
6
8
10
v (m
/s)
Dinâmica Kepleriana
Média 4.060729 m/sDesvio Padrão 1.658836 m/sMínimo 1.489677 m/sMáximo 8.802444 m/s∆
Figura. 5.6 - Diferença em velocidade entre a órbita determinada e a órbita
real.
59
0 2000 4000 6000 8000 10000tempo (s)
-200
-100
0
100
200
300
resí
duos
(m
)
eixo x
eixo y
eixo z
Média em x: -5.695573 m Desvio em x: 57.19154 m
Média em y: -0.1141727 m Desvio em y: 47.76615 m
Média em z: -3.031744 m Desvio em z: 62.78172 m
Figura. 5.7 - Resíduos entre a órbita determinada e a solução de navegação.
CASO 3:
Para a verificação deste caso, considera-se o modelo completo
que abrange a dinâmica Kepleriana e a influência da perturbação dada pelo
coeficiente J2. Porém, como este caso tem uma aplicação prática e,
considerando que o satélite USU órbita a Terra a uma altitude de
aproximadamente 1000 km, tem-se então um período orbital de
aproximadamente 90 minutos. Para esta condição, ele é observável por uma
estação durante aproximadamente 15 minutos em cada órbita. Como propaga-
se as órbitas por duas horas e meia, tem-se ai compreendido dois períodos de
observação ou, pequenos arcos de observação ou arcos truncados. No
problema, considera-se como período de observação o instante inicial mais 15
minutos e o instante 90 minutos mais 15 minutos.
60
Os valores das condições iniciais (x) para os quais o filtro
converge são:
x = 8380952.61700537 +/- 8.093735598830849 m
y = -11.1163865832691 +/- 7.918399800549943 m
z = 35.5822997122667 +/- 8.044964078278619 m
&x = -0.0290088581042734 +/- 1.293691148613574e-02 m/s
&y = 2914.03492808872 +/- 1.002703039715079e-02 m/s
&z = 6252.09997353338 +/- 7.029105542643909e-03 m/s
De posse das condições iniciais acima e, utilizando o propagador
usado inicialmente, propaga-se a órbita do satélite USU pelo mesmo período
inicial (duas horas e meia). As Figuras 5.8 e 5.9 mostram graficamente uma
estatística comparativa entre a órbita determinada e a órbita real, em posição e
velocidade, respectivamente.
A Figura 5.10 representa os resíduos nas três componentes, em
posição.
0 2000 4000 6000 8000tempo (s)
20
30
40
50
60
r (m
)
Dinâmica com J2 e arcos truncados
Média 36.4002 mDesvio Padrão 9.736613 m Mínimo 21.59861 mMáximo 56.53251 m
∆
61
Figura. 5.8 - Diferença em posição entre a órbita determinada e a órbita real.
0 2000 4000 6000 8000
tempo (s)
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
v (m
/s)
Dinâmica com J2 e arcos truncados
Médias 2.546085E-2 m/sDesvio Padrão 5.776629E-3 m/sMínimo 1.786903E-2 m/sMáximo 4.292712E-2 m/s
∆
Figura. 5.9 - Diferença em velocidade entre a órbita determinada e a órbita
real.
62
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000tempo (s)
-200
-100
0
100
200
300re
sídu
os (
m)
eixo x
eixo y
eixo z
Média em x: -11.85917 mDesvio em x: 48.79135 m
Média em y: 8.162998 m Desvio em y: 48.73573 m
Média em z: -5.507017 m Desvio em z: 83.77907 m
Figura. 5.10 - Resíduos entre a órbita determinada e a solução de navegação.
5.3 Análise dos resultados
Conforme o critério de convergência adotado na Seção 5.2, os
três tipos de testes realizados convergem no terceiro passo de iteração do
integrador. Isso demonstra a robustez do filtro utilizado, ou seja, a teoria de
mínimos quadrados aplicada à solução de um problema não linear, como é o
caso da determinação de órbita, se mostra altamente eficiente e estável se
comparado, por exemplo, ao filtro de Kalman que, embora também eficiente, é
bastante sensível em estabilidade.
Para o teste do caso 1 (Figura 5.2), observa-se que a média do
erro em posição da diferença entre a órbita determinada e a órbita real é da
ordem de 13 m, ficando o desvio padrão em torno de 4,5 m. Já com relação à
velocidade (Figura 5.3), comparando-se as duas órbitas, a média do erro é da
ordem de 10 mm/s, enquanto o desvio padrão está em aproximadamente 4
mm/s.
63
A curva dos resíduos em posição, entre a órbita determinada e a
solução de navegação, nos três eixos (X, Y, Z) está praticamente dentro de
mais ou menos 50 m, apresentando pouquíssimos pontos fora, o que pode ser
perfeitamente desconsiderado.
Para o teste realizado no caso 2, onde se retirou do modelo a
influência da perturbação causada pelo coeficiente de J2 , a média do erro da
diferença entre a duas órbitas, pula para a casa dos 4000 m (Figura 5.5), em
posição, enquanto o desvio padrão é da ordem de 3300 m. Em velocidade
(Figura 5.6), a média do erro é de aproximadamente 4 m/s e o desvio é de 1.6
m/s. São valores bastante ruins, se comparados com os do caso 1. Isto mostra
o quanto é significativa a introdução no modelo da perturbação devido a J2,
tornando a órbita determinada mais próxima da órbita real. O comportamento
dos resíduos (Figura 5.7), em posição está dentro da faixa de mais ou menos
50 m, significando que mesmo com o modelo Kepleriano puro o estimador
consegue resíduos compatíveis.
Os testes realizados no caso 3 simulam uma situação prática,
uma vez que os arcos de observação correspondem aos períodos em que o
satélite usuário é visível por uma estação em terra. Pode-se notar que, para o
caso do erro em posição (Figura 5.8), este é da ordem de 36 m, ao passo que
em velocidade (Figura 5.9), sua média está em torno de 2.5 cm/s. São valores
excelentes, se for considerado que existem apenas dois períodos de
observação dentro do período de propagação, que é de duas horas e meia.
Convém lembrar que este caso adota o modelo completo, ou seja, existe a
influência de J2 no modelo. Obviamente que com um número maior de arcos
de observação, esses valores são reduzidos, pois o estimador passa a ter um
maior número de informações. A curva de resíduos (Figura 5.10), nos
intervalos de observação, apresenta valores semelhantes aos casos
anteriores, indicando consistência estatística.
64
Pode-se concluir que os testes realizados são suficientes para
verificar a funcionalidade do método, não obstante que outras situações podem
ser verificadas, uma vez que seu comportamento supera as expectativas
quanto a minimização dos erros entre a órbita determinada e a órbita real.
65
CAPÍTULO 6
COMENTÁRIOS FINAIS
Em face dos resultados apresentados, conclui-se que a adoção
do software desenvolvido neste trabalho é bastante eficiente, atinge os
objetivos pretendidos e confirma a aplicação da teoria dos mínimos quadrados,
como ferramenta matemática, na solução de problemas não lineares como o
aqui apresentado. Certamente que, o uso de um modelo mais preciso, vai
depender dos objetivos da missão e de quanto se deseja em termos de
acuidade na precisão das medidas relativas ao acompanhamento da órbita do
satélite. Uma vez que ponderações dinâmicas adicionais (perturbações) podem
ser introduzidas no modelo objeto deste trabalho, podendo-se refinar mais as
medidas obtidas e minimizar as diferenças entre a órbita determinada e a
órbita real.
Como esse trabalho é uma linha de pesquisa, fruto de um dos
projetos do INPE, acredita-se ser possível sua implementação a bordo de
futuras missões, conforme anunciado na introdução. Obviamente que deve-se
levar em conta o que foi exposto no parágrafo anterior. De qualquer forma, o
objetivo de se propor uma solução para o problema da determinação de órbita
foi alcançado e, de maneira bastante satisfatória, uma vez que o propósito era
lançar mão de um método simples, de baixa precisão, baixo custo e de fácil
implementação, que seja no que diz respeito a hardware ou a software.
Uma proposta para futuras explorações deste trabalho, seria a
sua implementação utilizando-se, por exemplo, o filtro estendido de Kalman, a
teoria hodográfica, o oscilador harmônico regularizado ou uma modelagem que
incluísse outras perturbações. Também deve ser considerada a possibilidade
66
de se fazer um controle de altitude, ou ainda, a partir do método aqui
desenvolvido, provê-lo de recursos computacionais a fim de torná-lo capaz de,
uma vez embarcado em um satélite, proceder a uma auto correção da órbita
desse satélite.
Todas as rotinas computacionais aplicadas a esse trabalho foram
desenvolvidas em linguagem FORTRAN 77 (Ellis, 1990), utilizando-se para tal
o FORTRAN Power Station, versão 1.00, da Microsoft. Essas rotinas foram
implementadas em computadores pessoais (tipo PC 486/1OO MHz e Pentium
100 Mhz) e encontram-se disponíveis no Departamento de Mecânica Espacial
e Controle - DMC/INPE.
67
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