Uso de la Carta de Smith - Líneas con Pérdidas

Sistemas de Transmisión

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Escuela Politécnica Nacional - FIEE Sistemas de Transmisión

𝑧 =1 + ρ𝑣(𝑧)

1 − ρ𝑣(𝑧)

ρ𝑣 𝑧 = ρ𝐿 𝑒𝑗θ𝑒𝑗2β𝑧


𝑧 =1 + ρ𝐿 𝑒𝑗θ𝑒𝑗2β𝑧(𝑒2α𝑧)

1 − ρ𝐿 𝑒𝑗θ𝑒𝑗2β𝑧 𝑒2α𝑧

ρ𝑣 𝑧 = ρ𝐿 𝑒2α𝑧𝑒𝑗 θ+β𝑧

𝑧 =1 + ρ𝐿 𝑒2α𝑧 𝑒𝑗 θ+β𝑧

1 − ρ𝐿 𝑒2α𝑧 𝑒𝑗 θ+β𝑧


𝑧 𝑧 = 𝑟 + 𝑗𝑥

ρ𝑣 𝑧 = 𝑢 + 𝑗𝑣


La impedancia de entrada de una línea terminada en

corto circuito es de 𝟑𝟎 + 𝒋𝟐𝟓𝟎 Ω. La línea mide 5

metros y su impedancia característica es de 𝟕𝟓 Ω.

Calcule utilizando la Carta de Smith: a) las constantes

de atenuación y de fase α 𝒚 β , b) la impedancia de

entrada que tendría la misma línea si estuviese terminada

con una carga de 𝑍𝐿 = 112.5 − 𝑗15 Ω.


𝑧𝐿 = 0

Normalizando las impedancias tenemos:

a) Cálculo de α y β

𝑧𝑖 =30 + 𝑗250

75= 0.4 + 𝑗3.33

Ubicamos estos puntos en la carta y los llamaremos A y B


Observamos que para llegar al punto B, que representa la

impedancia de entrada, tuvimos que movernos un total de

0.204 λ.

Con este dato y la longitud de la línea, es posible

calcular la longitud de onda:

λ =𝑙

0.204=

5 𝑚

0.204= 24.51 m.


β =2π

λ= 0.081π [rad/m]

Para encontrar α utilizamos una regla sencilla de tres:

ρL e−2αl

OB=

ρL

OB´

𝑒−2α𝑙 =𝑂𝐵

𝑂𝐵′= 0.93


Como 𝑙 = 5 m, se tiene que:

−2α𝑙 = ln 0.93

α =ln 0.93

−10= 0.00726 [Np/m]


Podemos verificar los resultados, reemplazándolos en

la ecuación:

𝑍𝑖 = 𝑍𝑜

1 + ρ𝐿𝑒−2γ𝑙

1 − ρ𝐿𝑒−2γ𝑙= 75

1 + 𝑒𝑗π 𝑒−2𝑙 α + 𝑗β

1 − 𝑒𝑗π 𝑒−2𝑙 α + 𝑗β

𝑍𝑖 = 31 + 𝑗240 Ω


Los resultados obtenidos tienen un margen de error

debido a que la apreciación visual no es exacta; sin

embargo son bastante aproximados y se pueden

considerar como aceptables.


b) Si se sustituye al corto circuito por

𝑍𝐿 = 112.5 − 𝑗15 Ω:

𝑧𝐿 =112.5 − 𝑗250

75= 1.5 − 𝑗0.2

Ubicamos el punto en la carta al que llamaremos C


Trazamos la circunferencia de radio ρ𝐿 y a partir del

punto C avanzamos hacia el generador la distancia

0.204λ obtenida en el literal anterior; el punto nuevo

obtenido lo llamaremos D.

Al considerar las pérdidas de la línea, su efecto será

reducir la magnitud del coeficiente de reflexión, por lo

que la verdadera impedancia de entrada estará en

algún punto entre la recta 𝑂𝐷, llamaremos a este

punto desconocido E.


Como la magnitud máxima del coeficiente de

reflexión es igual a 𝑂𝐷, aplicamos nuevamente la

regla de tres usada en el literal anterior:

𝑒−2α𝑙 = 0.93 =𝑂𝐸

𝑂𝐷

𝑂𝐸 = 0.93 𝑂𝐷 = 0.93 0.22 = 0.2046


Con la distancia obtenida es fácil encontrar la

impedancia característica en el punto E:

𝑧𝑖 = 0.66 − 𝑗0.07

Luego: 𝑍𝑖 = 75(0.66 − 𝑗0.07)

𝑍𝑖 = 49.5 − 𝑗5.25 Ω


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