Usando Indexação - Modelos Literais

Fazendo uso de indexação e somatórios é possível escrever modelos matemáticos compactos usando a forma literal. Considere o Problema de Transporte:

A companhia de eletricidade CPFLL supre 4 cidades com energia. As potências (103 kWA) de suas 3 subestações são 35, 50 e 40. As demandas de pico das 4 cidades são: 45, 20, 30 e 30. Os custos de perda para enviar energia para as cidades são:

Como distribuir energia de modo a minimizar o custo de perda e suprir a demanda de pico?

Cidade 1 Cidade 2 Cidade 3 Cidade 4

Sub1 8 6 10 9

Sub2 9 12 13 7

Sub3 14 9 16 5

3-16

Usando Indexação - Modelos Literais

3-17

Usando Indexação - Modelos Literais

3-18

Variáveis de decisão:

xij = quantidade de energia enviada da subestação i à cidade j

Modelo Matemático:

=

=

=

=

=

=

=

Usando Indexação - Modelos Literais

Modelo de Transporte em forma literal:

Fica possível a representação compacta de modelos com muitas variáveis e restrições

3-19

Exercício de Modelagem - Reservatórios d’água

Problema dos Reservatórios

Dois reservatórios d’água capazes de fornecer cada um 50 milhões de litros/dia abastecem três cidades, cada qual com uma demanda diária de 30 milhões de litros. Os custos de energia para bombear 1 milhão de litros d’água de cada reservatório para cada cidade são:

Cid. 1 Cid. 2 Cid. 3

Res. 1 7 8 10

Res. 2 9 7 8

Escreva o modelo matemático capaz de suprir as demandas a um custo mínimo de energia.

3-20

Exercício de Modelagem - Reservatórios d’água

Min 7x11 + 8x12 + 10x13 + 9x21 + 7x22 + 8x23

sujeito a

x11 + x12 + x13 <= 50

x21 + x22 + x23 <= 50

x11 + x21 >= 30

x12 +x22 >= 30

x13 + x23 >= 30

xij>= 0 (i=1, 2; j=1,2,3)

Este é um modelo de Transporte desbalanceado (soma das ofertas maior que a soma das demandas)

3-21

Exercício de Modelagem - Reservatórios d’água

Para se transformar um modelo de Transporte desbalanceado num balanceado, emprega-se um artifício:

Cria-se um nó de demanda fictício (dummy) com demanda igual à diferença entre a soma das ofertas e a soma das demandas, e com custos nulos.

reservatórios cidades

d1 = 30

s1=50 d2 = 30

s2=50 d3 = 30

d4 = 100-90=10

3-22

0

0

Exercício de Modelagem - Reservatórios d’água

3-23

Suponha agora que a demanda de cada cidade seja aumentada para 40 milhões de litros/dia e que o déficit d’água cause às cidades 1, 2 e 3 um prejuízo por milhão de litro não fornecido de $20, $22 e $23, respectivamente. Escreva o modelo matemático balanceado que minimiza o custo total (energia + déficit).

s1=50

s2=50

s3=120-100=20

d1=40

d2=40

d3=40

2022

23

reserv. cidade

Deve-se criar igualmente um nó de oferta fictício com oferta igual a diferença entre a soma das demandas e a soma das ofertas.

Exercício de Modelagem - Reservatórios d’água

Modelo matemático balanceado

Min 7x11 + 8x12 + 10x13 + 9x21 + 7x22 + 8x23+ 20x31 + 22x32 + 23x33

sujeito a x11 + x12 + x13 = 50 x21 + x22 + x23 = 50

+ x31 +x32 + x33 = 20 x11 + x21 + x31 = 40 x12 +x22 + x32 = 40

x13 + x23 + x33 = 40

xij>= 0 (i=1, 2; j=1,2,3)

3-24

Programas Lineares, Não-Lineares e Inteiros

Um Modelo Matemático pode ser:

• Linear (Programa Linear): A Função objetiva e todas as restrições são lineares. Ex: Problema da Recap, Problema de Transporte

• Não-Linear (Programa Não-Linear): Se a função objetiva ou qualquer restrição for não-linear. Ex: Modelo EOQ, Problema da área máxima.

• Inteiro (Programa Inteiro ou Discreto; Problema de Otimização Combinatória): Todas as variáveis de decisão são discretas.

• Inteiro-Misto: (Programa Inteiro-Misto): Há variáveis de decisão contínuas e discretas.

3-25

Programas Não-Lineares

Exemplo de Programa Não-Linear:

As Lojas Nappin querem lançar uma ampla campanha de propaganda no valor de $100 mil visando aumentar as vendas em suas lojas. A Nappin tem 12 seções diferentes, como roupas masc., fem. e infantis, eletro, móveis, etc. (i=1,...,12), cujos artigos podem ser anunciados através de 15 diferentes formatos de propaganda, que combinam a seção certa com o veículo certo como TV, rádio, catálogo, etc. (j=1,...,15). Ela sabe que o investimento feito num formato j aumenta as vendas de forma logarítmica com o investimento feito. Como distribuir o investimento por formato de maneira a maximizar o retorno total?

cij = expectativa de aumento de vendas da seção i por dolar investido

no formato j.

li = taxa de lucro da seção j.

xj = investimento no formato j.

função retorno em vendas = log(xj + 1)

3-26

Programas Não-Lineares

Modelo Não-linear:

Max

sujeito a

xj >= 0 , j=1, ..., 15

3-27

)1log(12

1

15

1

ii

ijj

j xcl

000.10015

1

j

jx