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UPJV, Département EEA

Master 2 EEAII Parcours ViRob

Fabio MORBIDI

Laboratoire MIS !Équipe Perception et Robotique!

E-mail: [email protected]!

Semestre 9, 2015/2016

(en dehors des heures de cours)

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Plan du cours

1ère partie: Perception avancée

2ème partie: Robotique mobile

Ch. 1: Introduction

Ch. 2: Locomotion

Ch. 3: Décision et contrôle

Ch. 1: Perception pour la robotique

Ch. 2: Modélisation d’incertitudes

Ch. 3: Traitement des mesures

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Commandabilité d’un robot

• Architectures de contrôle

• Contrôle de mouvement

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• Dans le chapitre 2, on a dit qu’il y a une « relation inverse » entre la manœuvrabilité et la commandabilité d’un robot

• Plus la manœuvrabilité d’un robot est elevée, moins le robot est commandable aisément


• Soit le système non linéaire suivant (affine en l’entrées ):

Objectif: définir plus précisément la notion de commandabilité

x = f(x) +m�

j=1

gj(x)uj

où est l’état du système et le vecteur des entrées de commande

uj

x ∈ Rn

U : classe des fonctions constantes par morceaux

Σ :

• Pour qu’un robot mobile soit utile (ou utilisable) il faut en premier lieu s’assurer de sa commandabilité

u ∈ U ⊂ Rm

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Cette solution existe si (c’est-à-dire, les champs vectoriels sont fonctions continûment dérivables)

Soit la solution du système au temps qui correspond à l’entrée et à la condition initiale

Définition

x(t, 0,x0,u)u : [0, t] −→ U x(0) = x0

f , g1, . . . ,gm ∈ C∞

Le système est commandable, si pour tout choix de , il y a un instant de temps et une entrée tels que: T u : [0, T ] −→ U

Σ

Si est le modèle (cinématique) d’un robot, commandabilité signifie qu’il existe toujours une loi de commande amenant le robot d’une configuration initiale et finale quelconque

u(t)Σ

Σ

x0, xf ∈ Rn

x(T, 0, x0, u) = xf

x0 xf

t = 0 t = Tu(t)

t ≥ 0

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(rappel, par ex., le modèle cinématique du robot de type unicycle et de type tricycle qui, par ailleurs font partie d’une classe de systèmes non linéaires particulaires dits systèmes chaînés), nous avons le théorème suivant

Si le système est sans terme de dérive ou « driftless » ( ):

Théorème [Chow]

Un système

Σ f(x) = 0

x =m�

j=1

gj(x)uj = G(x)u

x = G(x)u

est commandable si et seulement si les colonnes de et leur crochets de Lie successifs forment un ensemble de n vecteurs indépendants

G(x)

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Exemple [Robot de type tricycle motorisé à l’avant]

θ

ψ

x

y

: commande du robot

D

�x

�y

O’

(u1, u2)

Modèle cinématique en posture (Ch. 2.3):

q =

xy

θψ

=

cos θ cosψ 0

sin θ cosψ 0

sinψ

D0

0 1

�u1

u2

�

Nous avons:

g1 =

cos θ cosψ

sin θ cosψ

sinψ

D

0

, g2 =

0

0

0

1

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En outre:

[g1, g2] �∂ g2

∂ qg1 −

∂ g1

∂ qg2 =

cos θ sinψ

sin θ sinψ

−cosψ

D

0

[g1, [g1, g2]] =

− sin θ

Dcos θ

D

0

0

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et

[g2, [g1, g2]] = −[g1, g2] =

− cos θ sinψ

− sin θ sinψ

cosψ

D

0

On a obtenu 4 vecteurs indépendants,

g1, g2, [g1, g2], [g1, [g1, g2]]

pour un système de dimension n = 4. Le modèle cinématique du robot de type tricycle est donc commandable.

On peut montrer de même que celui du robot unicycle est aussi commandable.

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Remarque

Pour systèmes avec terme de dérive ( ), la condition du Théorème de Chow est seulement nécessaire pour la commandabilité

1. Si le système

est commandable, le système avec terme de dérive obtenu par extension dynamique (à savoir, on ajute un intégrateur à chaque canal d’entrée)

est aussi commandable

f(x) �= 0

x =m�

j=1

gj(x)uj

x =m�

j=1

gj(x) vj

vj = uj , j ∈ {1, . . . ,m}

Toutefois, il y a deux exceptions importantes:

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Remarque

2. Pour un système linéaire invariant en temps:

la condition du Théorème de Chow devient:

c’est-à-dire, la condition nécessaire et suffisante pour la commandabilité de Kalman (rappel le Cours d’Automatique), où la matrice :

x = Ax+m�

j=1

bj uj = Ax + Bu

C = [B AB A2B · · · An−1B]

est communément appelée matrice de commandabilité

n× nm

rank([B AB A2B · · · An−1B]) = n

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Architectures de contrôle

Approche cognitive

1. Approche cognitive: capacité de planification et de prédiction mais nécessité d’un modèle, peu robust aux changements du monde, complexité calculatoire (pas de temps réel)

Approche réactive

symbole réflexe vitesse de réponse

capacités prédictives

dépendance d’un modèle précis

2. Approche réactive ou comportamentale: comportements simples et modulaires, temps réel mais peu de capacités de prédiction

3. Approche hybride: modulation des comportements réactifs et du raisonnement de haut niveau [la plus utilisée]

Approche constructiviste: basée comportements avec construction progressive de connaissances sur le monde d’évolution du robot

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Architectures de contrôle

• Le choix d’une approche dépend de l’application (mission du robot) et de son environnement d’évolution

Perception Planification Action Hiérarchique

Réactive Perception Planification Action

Basée comportement

Perception Planification Action

Perception Planification Action

Hybride

Perception

Planification

Action

Acquisition des données sensorielles

Modélisation et planification du monde

Action des moteurs et effecteurs

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Contrôle de mouvement

Pour plus de simplicité, on consider le modèle cinématique d’un

robot unicycle:

xy

θ

=

cos θ 0

sin θ 0

0 1

�

vw

�

Pour le robot unicycle, on va étudier deux problèmes fondamentaux:

1. Suivi de trajectoire : Le robot doit suivre asymptotiquement une trajectoire cartésienne desirée , à partir d’une configuration initiale qui peut appartenir ou non à la trajectoire

(xd(t), yd(t))q0 = [x0, y0, θ0]

T

2. Régulation de la pose (ou posture) : Le robot doit atteindre asymptotiquement une pose donnée, c’est-à-dire une configuration désirée à partir d’une configuration initiale q0qd

D'un point de vue pratique le premier problème est le plus important (un robot se déplace normalement dans un environnement non structuré contenant des obstacles)

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Contrôle de mouvement

Suivi de trajectoire Régulation de la pose

(xd(t), yd(t))

Initiale

Désirée

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Suivi de trajectoire

Pour pouvoir résoudre le problème,

il faut que la trajectoire cartésienne

désirée soit admissible

pour le modèle cinématique du

robot, c’est-à-dire elle doit satisfaire:

(xd(t), yd(t))

xd = vd cos θd

yd = vd sin θd

θd = ωd

pour quelque choix des entrées vd, ωd

(xd(t), yd(t))

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L’orientation du robot le long de la trajectoire désirée peut être calculée comme:

(xd(t), yd(t))

et les entrées de référence peuvent être calculées comme:

θd(t) = atan2(yd(t), xd(t)) + kπ, k ∈ {0, 1}

vd(t) = ±�

x2d(t) + y2d(t)

ωd(t) =yd(t)xd(t)− xd(t)yd(t)

x2d(t) + y2d(t)

Assumption: La valeur de k (et par consequence le signe de ) a été choisie

vd

Il convient de définir l’erreur de suivi comme:

e =

e1e2e3

=

cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0

0 0 1

xd − xyd − y

θd − θ

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Ainsi, la partie relative à l’erreur de position, , est exprimée dans un repère aligné avec l’orientation courante θ du robot

Si on calcule la dérivée par rapport au temps de l’erreur et on utilise les équations précédentes, nous trouvons:

Si on utilise la transformation (invertible):

e1 = vd cos e3 − v + e2 ω

e2 = vd sin e3 − e1 ω

e3 = ωd − ω

v = vd cos e3 − u1

ω = ωd − u2

on obtient la dynamique de l’erreur suivante:

e =

0 ωd 0

−ωd 0 00 0 0

e +

0

sin e30

vd +

1 −e20 e10 1

�u1

u2

�

ep = [xd − x, yd − y]T

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e =

0 ωd 0

−ωd 0 00 0 0

e +

0

sin e30

vd +

1 −e20 e10 1

�u1

u2

�

Remarque: Le premier terme est linéaire et le deuxième et troisième terme sont non linéaires. Le premier et deuxième terme sont variables dans le temps puisque ils dépendent des entrées vd, ωd

Trois options pour déterminer le contrôleur pour le suivi de trajectoire:

1. Linéarisation du système: on met et on évalue la matrice d’entrée (la matrice dans le troisième terme) sur la trajectoire. On peut ainsi définir le contrôleur:

sin e3 = e3

u1 = −k1 e1

u2 = −k2 e2 − k3 e3

où sont des gains appropriés k1, k2, k3

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où sont fonctions bornées avec dérivées bornées et est constante

2. Contrôle non linéaire: on travaille directement sur le système non linéaire originale et on peut définir le contrôleur:

u1 = −k1(vd, ωd) e1

u2 = −k2 vdsin e3e3

e2 − k3(vd,ωd) e3

k1(·, ·) > 0, k3(·, ·) > 0k2 > 0

3. « Input/output linearization » via rétroaction: on définit une transformation de l’entrée du système pour transformer ce dernier en un système linéaire. Par exemple, on peut choisir:

�v

ω

�=

�cos θ sin θ

−(sin θ)/b (cos θ)/b

��u1

u2

�, b �= 0

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Suivi de trajectoire: simulations

Trajectoire désirée circulaire: contrôleur basé sur

la linéarisation du système

�ep(t)�

temps

Norme de l’erreur de position

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Trajectoire désirée en forme de « huit »: contrôleur non linéaire

�ep(t)�

temps

Norme de l’erreur de position

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Trajectoire désirée carrée: contrôleur basé sur l’input/output linearization (b = 0.75, en haut; b = 0.2, en bas)

temps

temps

v(t)

ω(t)

v(t)

ω(t)

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Regulation de la pose

Pour la regulation de la pose on ne peut pas utiliser directement les contrôleurs développés pour le suivi de trajectoire

Les premiers deux contrôleurs fonctionnent seulement avec des trajectoires persistantes, à savoir |vd(t)| ≥ v > 0, ∀ t ≥ 0

Il faut trouver des solutions “ad hoc”

Assumption: pour simplifier, et sans perte de généralité, on peut choisir comme configuration désirée, l’origine, à savoir qd = [0, 0, 0]T

[0, 0, 0]T

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Régulation de la pose

1 – Régulation cartésienne: seulement la position cartésienne finale du robot est spécifiée. L’orientation finale du robot est laissée libre

Puisque , l’erreur cartésien , devient

qd = [0, 0]T ep = [xd − x, yd − y]T

ep = [−x, −y]T

On peut définir le contrôleur:

v = −k1(x cos θ + y sin θ)

ω = k2(atan2(y, x)− θ + π)

où k1 > 0, k2 > 0.

Projection de l’erreur cartésien sur l’axe sagittal du robot

Différence entre l’orientation du robot et l’orientation du vecteur

ep

ep

Avec ce contrôleur, l’erreur cartésien converge à zero pour toute condition initiale (Démonstration: Théorème de stabilité de Lyapunov)

ep

qd = [0, 0]T

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2 – Régulation de la pose: la position et l’orientation finale du robot sont spécifiées

Il convient de définir le problème en coordonnées polaires

ρ =�x2 + y2

γ = atan2(y, x)− θ + π

δ = γ + θ

Pose désirée

Soyent:

Pose désirée

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En cordonnées polaires, le modèle cinématique du robot dévient:

ρ = −v cos γ

γ =sin γ

ρv − ω

δ =sin γ

ρv

Ce modèle présente une singularité pour

(lorsque le robot est dans l’origine) ρ = 0

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On peut ainsi définir la loi de commande suivante:

avec

v = k1 ρ cos γ

ω = k2γ + k1sin γ cos γ

γ(γ + k3 δ)

Le modèle cinématique du robot en coordonnées polaires avec cette loi de commande converge asymptotiquement à [ρ, γ, δ]T = [0, 0, 0]T .

Démonstration: Théorème de stabilité de Lyapunov

Remarque:

• Si la loi de commande est réécrite en utilisant les coordonnées originales, elle est discontinue à l’origine

• En effet, toute loi de contrôle en rétroaction qui régule la pose de l’unicycle doit être nécessairement discontinue par rapport à l’état et/ou variable dans le temps. Ceci est une consequence d’un théorème plus général valable pour tous les systèmes non holonômes (Théorème de Brockett)

k1 > 0, k2 > 0, k3 > 0.

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Simulations (« manœuvre de parking »)

Régulation cartésienne


Condition initiale 1 Condition initiale 2

k1 = 1, k2 = 3

k1 = 1, k2 = 2.5, k3 = 3

Une inversion de mouvement au maximum

Une inversion de mouvement au maximum

q0

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