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Laboratorio de Teoría de Estructuras Grado en Ingeniería en Tecnologías Aeroespaciales
UPC – Dept. Resistencia de Materiales
ETSEIAT
TP 3
■ Extensometría de ¼ y ½ puente
■ Medición del coeficiente Poisson
■ Medición con roseta de 3 direcciones
■ Medición dinámica
GRUPO NOMBRE Y APELLIDOS FECHA
REALIZACIÓ
N
1.1 Irene Jiménez Fortunato 22/11/2012
1.1 Olga Martos Julibert 22/11/2012
1.1 Xavier Paneque Linares 22/11/2012
1.1 Valentin Valhondo Pascual 22/11/2012
Laboratorio de Teoría de Estructuras Grado en Ingeniería en Tecnologías Aeroespaciales
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Introducción
Dado el carácter didáctico de las experiencias resulta oportuno realizar una breve
revisión de las herramientas que se necesitan y el procedimiento a seguir para la
realización de los ensayos.
En esta práctica se pretendía presentar la técnica de la extensometría eléctrica
para la medición de tensiones. Para ello, se han realizado mediciones a ¼ y ½
puente y mediciones con roseta a 3 direcciones para tener una idea de los
fundamentos de esta técnica.
Equipos de medición
Para las mediciones se utilizó un equipo que integraba el puente de Weathstone y el
circuito de calibración y amplificación de la señal. En la imagen siguiente se
muestra un esquema de las conexiones que tiene el instrumento y de qué
terminales para la conexión dispone.
Metodología
Dependiendo del tipo de ensayo que se quiera realizar, se debe de hacer las
conexiones de diferente manera. En nuestro laboratorio solo se realizaron medidas
de ¼ de puente con 2 hilos y de ½ de puente.
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Las conexiones de ¼ de puente se realizaron según el esquema siguiente:
Para el montaje de ½ de puente, se desconectó la resistencia R3 y se substituyó
por otra galga. El esquema es como sigue:
Para las mediciones con roseta de 3 direcciones, lo que se realiza es repetir 3 veces
el ensayo de ¼ de puente.
Datos Experimentales
Se recopilan aquí todas las medidas experimentales realizadas para cada situación.
Para un mismo montaje se realizaron 2 ensayos y así se evitan algunos errores
experimentales.
Tracción longitudinal ¼ puente
Valor de calibración 0,5 kg 1 kg 2 kg 3 kg
1780 -131 -266 -548 -826
1765 -135 -268 -521 -835
Voltajes en mV
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Tracción transversal ¼ puente
Valor de calibración 0.5 kg 1 kg 2 kg 3 kg
1760 -38 -80 -165 -250
1760 -42 -84 -168 -255
Voltajes en mV
Roseta de 3 direcciones
Galga 1
Valor de calibración 0.5 kg 1 kg 2 kg 3 kg
1760 10 20 40 60
Galga 2
Valor de calibración 0.5 kg 1 kg 2 kg 3 kg
1757 -130 -267 -512 -760
Galga 3
Valor de calibración 0.5 kg 1 kg 2 kg 3 kg
1755 -108 -216 -434 -650
Voltajes en mV
Tracción longitudinal ½ puente
Valor de calibración 0.5 kg 1 kg 2 kg 3 kg
1758 -195 -546 -1031 -1680
1760 -260 -530 -1070 -1625
Voltajes en mV
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Las piezas a ensayar tienen la geometría mostrada en la figura
Donde los parámetros geométricos son los siguientes:
Ensayos de ½ y ¼ de puente
Longitud ( )
Ancho ( )
Grosor ( )
Roseta de 3 direcciones
Longitud ( )
Ancho ( )
Grosor ( )
𝑥
𝑧 𝑦
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Informe de prácticas
Todos los ensayos se realizaron con probetas de aleación de aluminio 6063,
cuyas características elásticas orientativas son las siguientes:
Módulo de Young ( )
Coeficiente de Poisson ( )
Tensión en el límite elástico ( )
Coeficiente de seguridad ( )
Dada la probeta de estudio pertinente, hallándose ya instaladas las bandas
extensométricas correspondientes al ensayo, se pide:
1. Determinar la Carga máxima (Pmax)
Se toma la tensión admisible como el límite elástico y con un coeficiente de
seguridad de valor
Según la teoría se puede predecir una tensión en la posición de la galga dada por
Dado que se trata de un caso de flexión simple, la tensión máxima viene dada por
Sustituyendo los valores
(
)
De signo positivo si se mide en la parte superior de la viga y negativo si se mide en
la parte inferior.
La carga máxima se encontrará cuando la tensión sea la máxima admisible, así
despejando tenemos:
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Sustituyendo los valores numéricos se tiene, para el ½ y ¼ puente y la roseta
respectivamente
½ y ¼ puente
Roseta
En nuestros ensayos se llega a cargar hasta 3 kg + el peso, que es de 0,362 kg, así
que la carga máxima que se aplicó fue de:
En ambos casos no se supera la carga máxima y por tanto se trabaja dentro del
rango elástico del aluminio.
2. Determinar para un montaje de ¼ de puente y ½ puente y para
distintos estados de carga (0.5, 1.0, 2.0, 3.0 Kg) los siguientes
parámetros:
▪ ε : Deformación longitudinal
▪ σ : Tensión
▪ Gráfica tensión vs. Deformación (ε – σ)
▪ E: módulo de elasticidad y compararlo con el del material.
¼ de puente
A partir de las resistencias de calibración y de las galgas podemos utilizar la
relación lineal entre voltajes y deformaciones para calcular .
Con estos valores se calcula la deformación de calibración:
A continuación se puede representar un gráfico con los voltajes y las
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deformaciones. El resultado es una recta que pasa por el punto ( ) y por el
origen ya que si no hay deformación no se mide ninguna tensión.
A partir del gráfico podemos obtener las deformaciones para cada voltaje
deduciendo la siguiente expresión:
Usando los datos de los voltajes experimentales se calculan las deformaciones de la
probeta. Finalmente se calcula mediante la expresión
, donde son
datos y .
A continuación se muestran los resultados para el primer ensayo y se representa el
gráfico tensión deformación:
Carga (Kg) (V) ( )
0,5 -0,131 0,00014018 11,2101227
1 -0,266 0,00028464 22,4202454
2 -0,548 0,00058641 44,8404909
3 -0,826 0,0008839 67,2607363
Del gráfico se obtiene el módulo de elasticidad ya que estamos sobre la región
y = 75180x + 0,814 R² = 0,9993
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001
σ (
MP
a)
ε
Tensión-deformación
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elástica y se corresponde con el pendiente de esta gráfica. Para el primer ensayo se
ha obtenido que:
Si se repiten los cálculos para el segundo ensayo, los resultados son los siguientes:
Carga (Kg) (V) ( )
0,5 -0,135 0,00014569 11,2101227
1 -0,268 0,00028922 22,4202454
2 -0,521 0,00056226 44,8404909
3 -0,835 0,00090112 67,2607363
En este caso se obtiene un módulo de Young de:
Aprovechando que se han realizado dos ensayos, el módulo de Young calculado se
determinará como la media entre las dos medidas, consecuentemente se ganará en
un poco de precisión y se atenuará el error experimental de cada medida.
Finalmente se obtiene que:
Este valor da dentro del rango que proporciona el informe para el aluminio todo y
que es elevado. Se estima que hay errores tanto experimentales como estadísticos.
½ puente
Se sigue el mismo procedimiento que para ¼ de puente. El valor de εc será el
mismo, lo único que cambia es , ya que hay que tener en cuenta que los valores
corresponden a dos veces la deformación, porque ésta es igual tanto en la
superficie superior como en la inferior, por lo tanto:
Se ha decidido aprovechar ambos ensayos para realizar el cálculo de E, de manera
que se hará la media a partir de los cálculos que se presentan a continuación:
La tabla con los cálculos y el gráfico del primer ensayo es la siguiente:
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Carga (Kg) (V) ( )
0,5 -0,195 0,00010564
11,2101227
1 -0,546 0,00029579 22,4202454
2 -1,031 0,00055845
44,8404909
3 -1,68 0,00091013
67,2607363
Del segundo ensayo se obtiene:
Carga (Kg) (V) ( )
0,5 -0,26 0,00014069
11,2101227
1 -0,53 0,0002868
22,4202454
2 -1,07 0,000579
44,8404909
3 -1,625 0,00087933
67,2607363
y = 71151x + 3,1683 R² = 0,9959
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001
σ (
MP
a)
ε
Tensión - deformación
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El valor del módulo elástico para medio puente haciendo la media de los dos
ensayos por lo tanto es:
Sabiendo que el material es una aleación de aluminio 6063, se ha buscado
en la norma las propiedades del material para cualquier tratamiento de
temperatura el módulo elástico es de 68,9 GPa. Se puede ver que el obtenido
difiere un poco de dicho valor. Puede ser que del tiempo que tienen las probetas, se
hayan endurecido por trabajo en frío por las otras prácticas y por eso de
ligeramente superior.
Comparando valores con el del E dado en el enunciado está dentro del rango
[67,75].
3. Comparar los resultados obtenidos en los dos montajes y en el caso
de presentarse diferencias importantes justificarlas.
El ½ puente es más preciso que el de ¼ ya que hace un promedio entre un ensayo
de tracción (cara superior) y otro de compresión (cara inferior). Ambos valores
están dentro del rango enunciado.
y = 75937x + 0,6321 R² = 1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001
σ (
MP
a)
ε
Tensión - deformación
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4. Determinar para las cargas (1.0, 2.0 y 3.0 Kg) y en montaje de ¼ de
puente el coeficiente de Poisson.
Con los datos experimentales de tracción transversal, junto con los datos de
tracción longitudinal se obtiene el coeficiente de Poisson.
El coeficiente de Poisson se define como:
Las deformaciones se calculan mediante el procedimiento explicado en el apartado
2, es decir, con la fórmula:
Carga ( ) Coeficiente de
Poisson
La media de los coeficientes de Poisson obtenidos es , que es un valor
cercano al teórico 0,32-0,33.
5. Con la probeta que tiene instalada la roseta rectangular y para una
carga de 2Kg determinar
5.1. Deformación en la dirección longitudinal de la probeta
Se asigna el ángulo a la galga central y los ángulos y a las galgas situadas
a y respecto la central respectivamente. Los datos medidos en el
laboratorio corresponden a la siguiente imagen
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Tomando el valor de indicado en la imagen, los ángulos son
Ángulos
Según el esquema siguiente
Se procede ahora a calcular las deformaciones para una carga de . Aplicando la
ecuación deducida anteriormente tenemos
𝛽𝐵
𝛽𝐶
𝛽𝐴
𝑥
𝑦
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Los datos registrados para una masa de son
Masa Voltaje de
calibración Voltaje Deformación
Deformación
media
Galga
Galga
Galga
Conocidos los valores de , y , podemos proyectar las deformaciones del
tensor de pequeñas deformaciones para obtener las ecuaciones que permitirán
obtener las componentes de la matriz. Dado que se trata de un estado de tensiones
plano tenemos
( )(
)(
) ( )(
)(
)
( )(
)(
)
De donde se obtiene
{
Sustituyendo los valores numéricos
{
Se obtiene la siguiente matriz de deformación
(
)
Y por tanto la deformación en la dirección longitudinal será
( ) (
)( )
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5.2. Deformaciones principales
Por la ley de Hooke inversa tenemos
( )( )( )
Igualando la tensión en a cero, dado que se trata de un caso de tensión plana,
resulta
( )
( )
Sustituyendo los valores numéricos
( )
Donde se ha utilizado el coeficiente Poisson calculado en el siguiente apartado.
Las deformaciones principales se obtienen mediante la diagonalización de la matriz
| | |
|
Resolviendo la ecuación se obtienen las deformaciones principales y son
Los resultados son los mismos porque son despreciables frente las
deformaciones de la diagonal
5.3. Coeficiente de Poisson
El coeficiente de Poisson es la relación entre la deformación transversal y la
longitudinal.
5.4. Tensiones principales
Para calcular las tensiones principales se utilizará la Ley de Hooke, ya que se
conocen las deformaciones principales obtenidas en el apartado 5.2.
( )( )[( ) ( )]
( )( )[( ) ( )]
( )( )[( ) ( )]
Sustituyendo los valores numéricos se obtiene
Es decir, el tensor de tensiones queda
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(
)
5.5. Direcciones principales
Dado que las deformaciones principales coinciden con las de la matriz considerada
inicialmente, las direcciones principales coinciden con el sistema de ejes iniciales,
es decir
( ) ( ) ( )
5.6 Tensión equivalente y coeficiente de seguridad
Si se usa el criterio de Von Mises:
√
[( )
] √
[( ) ( ) ]
De esta forma el coeficiente de seguridad será:
5.7. Contrastar las tensiones y deformaciones principales
obtenidas con las teóricas
La tensión principal se calcula mediante la siguiente expresión:
( )
6. Conclusiones de cada tipo ensayo.
En el ensayo de ¼ de puente medimos la tracción longitudinal y mediante la
calibración se obtienen las deformaciones y las tensiones a las cuales se somete la
probeta. También se ha obtenido el módulo de Young que se encuentra dentro del
rango que da el informe para el aluminio.
En el ensayo de ½ puente medimos también la tracción longitudinal y siguiendo el
mismo procedimiento de calibración pero teniendo en cuenta que medimos tanto la
deformación en la cara superior como la deformación de la cara inferior. Se obtiene
en este caso un módulo de Young parecido al anterior pero un poco más pequeño.
El ½ puente es más preciso que el de ¼ ya que hace un promedio entre un ensayo
de tracción (cara superior) y otro de compresión (cara inferior).
Del ensayo de tracción transversal de ¼ de puente se obtienen las deformaciones
transversales, que divididas entre las longitudinales y cambiadas de signo nos dan
el coeficiente de poisson, que da un valor muy parecido al teórico.
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En el caso de la roseta de 3 direcciones, al suponer un estado de tensión plana
sobre la probeta se haya tanto las deformaciones como tensiones principales de ese
punto.
El cálculo teórico solo predice la existencia de esfuerzos en el eje X para este caso
de flexión simple pero en la realidad se ha encontrado que también hay tensión en
las otras dos direcciones, todo y que totalmente despreciables frente a la
longitudinal.
Como se ha comprobado, esta técnica es muy precisa y sirve para encontrar
valores de tensiones que la teoría no es capaz de predecir debido a las
simplificaciones que se toman. Al fin y al cabo sirve para comprobar los cálculos
teóricos y las simulaciones FEM que se realizan sobre los modelos.