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Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung

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arcus Hudec

Normalverteilung

Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec

Statistik 2 für SoziologInnen


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arcus Hudec

Inhalte

Themen dieses Kapitels sind:• Das Konzept stetiger Zufallsvariablen

• Die Standard-Normalverteilung

• Die allgemeine Normalverteilung

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arcus Hudec

Stetige Zufalls-Variable

Erweitert man den Begriff der diskreten Zufallsvariable für stetige Merkmale gibt es einige technische Probleme

Die Wahrscheinlichkeit einen bestimmten konkreten Wert zu beobachten ist null, da es ja unendlich viele unterschiedliche Wert gibt.

Eine stetige Zufallsvariable liefert daher Wahrscheinlichkeitswerte immer nur für Intervalle.

Man erhält Wahrscheinlichkeiten indem man eine Fläche evaluiert. Konkret betrachtet man das Integral unter der Dichtefunktion, die das stetige Analogon zur Wahrscheinlichkeitsfunktion bildet.


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arcus Hudec

Dichtefunktion

f(x) … Dichtefunktion

1) f(x) > 0 für alle x2) Gesamte Fläche unter der Kurve ist 1

Einzelne Werte von f(x) können größer als 1 sein!

f(x) ist eine Dichte aber keine Wahrscheinlichkeit Vergleiche dazu das Histogramm, wo auch die Fläche

als Maß für die Häufigkeit fungiert

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arcus Hudec

Stetige Verteilungsfunktion

Die theoretische Verteilungsfunktion einer steigen Zufallsvariablen X mit Dichtefunktion f(x) bezeichnen wir mit F(x)

Die theoretische Verteilungsfunktion wird durch das Integral (stetiges Analogon zur Summe) definiert

( ) ( ) ( )x

F x P X x f u du


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arcus Hudec

Beziehung zwischen Dichte- und Verteilungsfunktion

Dichtefunktion f(x) Verteilungsfunktion F(x)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-3,5 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

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arcus Hudec

Wahrscheinlichkeiten als Integral

P(a X b) = P(X b) - P(X a) = F(b) - F(a)b

a

P(a X b) f (x)dx


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arcus Hudec

Erwartungswert und Varianz einer stetigen ZV

Var(X) = E(X2) – [E(X)]2

E(X) x f (x)dx

V(X) ² [x E(X)]² f (x)dx

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arcus Hudec

Standardnormalverteilung

1720 erstmals von Abraham de Moivre beschrieben

1809 und 1816 grundlegende Arbeiten von Carl Friedrich Gauß

1870 von Adolphe Quetelet als "ideales" Histogramm verwendet

alternative Bezeichnungen: Gaußsche Glockenkurve;Fehlerkurve

Natürliche Prozesse Körpergröße, Gewicht von Lebewesen

Messung von physikalischen Größen Messfehlermodell

Variable, die sich aus derSumme von vielen zufälligenEinzelwerten ergeben zentraler Grenzwertsatz


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arcus Hudec

Dichtefunktion

In der einfachsten Form:

– Standardnormalverteilung

– X~N(0; 1)

– E(X)=0 Erwartungswert = 0

– V(X)=1 Varianz bzw. Standard-Abweichung =1

f x e x( ) / 1

2

2 2

6


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arcus HudecDie Standard-Normalverteilung

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Wendepunkte


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arcus HudecDie Standard-Normalverteilung

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Flaeche = 0,6827

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert im Bereich -1 bis +1 annimmt ist 68,27%

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arcus Hudec

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Flaeche = 0,9545

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert im Bereich -2 bis +2 annimmt, ist rund 95%

Allgemein:

Bei einem normalverteilten Merkmal liegen rund 95% der Beobachtungen liegen im Bereich Erwartungswert plus/minus 2*Standardabweichung


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arcus Hudec

Varianten der Normalverteilung

Im allgemeinen:

– Normalverteilung mit Erwartungswert und Varianz ²

– X~N(; ²)

– E(X) = – V(X) = ²

f x ex

( )( )

1

2

1

22

8


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arcus HudecVerschiedene Normalverteilungen

-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

N(0; 0,25)

N(0; 1)

N(0; 4)

Standardnormalverteilung

Größere Varianz

Kleinere Varianz


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arcus HudecVerschiedene Normalverteilungen

-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

N(-3; 0,25)

N(0; 1) N(2; 1)

Unterschiedlicher Erwartungswert bei konstanter Varianz

Verschiebung und Stauchung

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arcus Hudec

Lineartransformation

Wenn X eine normalverteilte Zufallsvariable ist, dann ist auch Y=a+bX normalverteilt.

E(Y)=E(a+bX)=a+bE(X)

V(Y)=V(a+bX)=b²V(X)

Knapp formuliert:

Sei X~N(²)

und Y=a+bX dann gilt Y~N(a+b; b²²)

Änderung des Erwartungswertes: Verschiebung (Translation)

Änderung der Varianz: Dehnung oder Stauchung der Verteilungsform

Prinzipielle Gestalt der Glockenkurve bleibt erhalten


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arcus Hudec

Standardisierung

Aus dem vorigen folgt:

Sei X~N(²)

dann gilt für

Z=(X- … standardisierte Variable

Z~N(0;1)

Durch Anwendung der Standardisierung lässt sich jede Normalverteilung in die Standardnormalverteilung überführen.

Daher reichen Tabellen für Wahrscheinlichkeiten der Standardnormalverteilung für alle Fragestellungen

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arcus Hudec

Standardisierung

Anwendungsbeispiel:

X sei die Körpergröße in cm von einer bestimmten Population

Es sei X~N(175; 64)

dann ist Z=(X-175)/8

Frage: P(167<X<183)= ?

P(167<X<183)=

=P((167-175)/8<Z<(183-175)/8)= =P(-1<Z<1)=0,6826

Bei Kenntnis des Mittelwertes und der Varianz lassen sich unter der Modellannahme, dass das Merkmal normalverteilt ist, die Wahrscheinlichkeit für alle denkmöglichen Fragestellungen mit der Standard-normalverteilungermitteln.


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arcus Hudec

Unterschiedlicher Maßstab!

Koerpergroesse in cm

150 160 170 180 190 200

0.0

0.0

20

.04

N(175; 64)

167 183

Standardeinheiten

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

N(0; 1)

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arcus Hudec

Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten

Die Verteilungsfunktion der Standardnormal-verteilung ergibt sich durch Integration der Dichtefunktion

Unterschiedliche Notation: Bleymüller: FN(z)

Schlittgen: (z)

F z e duN

uz

( )

1

2

1

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arcus Hudec

Von der Dichte zur Verteilungsfunktion

Dichtefunktion

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

P(X<1)=0,8413

Verteilungsfunktion

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

P(X<1)=0,8413

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arcus Hudec

Grenzwert: -1 Prob(Z<-1)= 0,15866

Dichtefunktion

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-3,5 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

Verteilungsfunktion

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Grenzwert: 0 Prob(Z<0)= 0,5

Dichtefunktion

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-3,5 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

Verteilungsfunktion

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Grenzwert: 1 Prob(Z<1)= 0,84134

Dichtefunktion

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

-3,5 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

Verteilungsfunktion

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4


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arcus Hudec

Ausnützung der Symmetrie um Null

P(Z < a) = 1 - P(Z < -a) oder P(Z < -a) = 1 - P(Z < a)

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

a a

P(Z>a) = P(Z<-a)

-a a

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arcus Hudec

Arbeit mit Tabellen:

P(Z<1)=?

(1) liegt zwischen 0,841 und 0,842

Grob: P(Z<1) = (1) = 0,8415

Lineare Interpolation: P(Z<1) = (1) = 0,8413

P(Z<-1)=?

(a)=1- (-a) bzw. (-a)=1- (a)

P(Z<-1)=1 - (1) = 1 - 0,8413 = 0,1587

(-1) liegt zwischen 0,158 und 0,159


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arcus Hudec

Beispiel

Wir wollen für eine Normalverteilung mit Erwartungswert 170 und Standardabweichung 16 die Wahrscheinlichkeit einen Wert kleiner als 180 zu erhalten ermitteln.

P(X<180) = =P(Z<(180-170)/16)=P(Z<0,625)=FN(0,625)==0,734

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arcus Hudec

Normalverteilung in Excel: NORMVERT

Für eine Normalverteilung mit Erwartungswert 170 und Standardabweichung 16 gilt, dass die Wahrscheinlichkeit einen Wert kleiner als 180 zu erhalten 73,4% beträgt.


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arcus Hudec

Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung

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arcus Hudec

Erwartungswert: 170

Varianz: 256

Standardabweichung: 16,0000

Grenzwert: 180

Prob(X < 180) = 0,7340

Prob(X > 180) = 0,2660

© Marcus Hudec

Hinweis:

Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und dem gewünschten Grenzwert sind hellgrün markiert.

0,0000

0,0050

0,0100

0,0150

0,0200

0,0250

0,0300

106,

000

0

112,

272

0

118,

544

0

124,

816

0

131,

088

0

137,

360

0

143,

632

0

149,

904

0

156,

176

0

162,

448

0

168,

720

0

174,

992

0

181,

264

0

187,

536

0

193,

808

0

200,

080

0

206,

352

0

212,

624

0

218,

896

0

225,

168

0

231,

440

0

0,7340 0,2660


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arcus Hudec

X~N(175; 64)

P(X<175)=? P(Z<(175-175)/8) = (0)= 0,5


150 160 170 180 190 200

0.0

0.02

0.04 P(X<175)

Standardeinheiten

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

P(Z<0)

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arcus Hudec

X~N(175; 64)

• P(X<175)=?

P(Z<(175-175)/8) = (0)= 0,5

• P(X<181)=?

P(Z<(181-175)/8) = (0,75)= 0,7734

• P(X>177)=?

P(Z>(177-175)/8)==1-P(Z<0,25)==1- (0,25)=

=1-0,5987=0,4013

Beispiel zur KörpergrößeE(X)= 175V(X)= 64(X)= 8

Grenzwert: 181

P(X<181)= 77,33726476%

P(X>181)= 22,66273524%

Dieser Wert kann variiert werden


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arcus Hudec


150 160 170 180 190 200

0.0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

P(X<181)=0.7734

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© M

arcus Hudec


150 160 170 180 190 200

0.0

0.0

10

.02

0.0

30

.04

0.0

5

P(X>177)=0.4013


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arcus Hudec

Erwartungswert: 175

Varianz: 64


Grenzwert: 181

Prob(X < 181) = 0,7734

Prob(X > 181) = 0,2266

© Marcus Hudec

Hinweis:

Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und dem gewünschten Grenzwert sind hellgrün markiert.

0,0000

0,0100

0,0200

0,0300

0,0400

0,0500

0,0600

143

,000

0

146

,136

0

149

,272

0

152

,408

0

155

,544

0

158

,680

0

161

,816

0

164

,952

0

168

,088

0

171

,224

0

174

,360

0

177

,496

0

180

,632

0

183

,768

0

186

,904

0

190

,040

0

193

,176

0

196

,312

0

199

,448

0

202

,584

0

205

,720

0

0,7734 0,2266

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arcus Hudec

Beispiel

IQ-TestE(X)= 100V(X)= 225(X)= 15

4-Sigma Gesellschaft Personen mit einem IQ über 160

P(X>100+4*)=?

100+4*s= 160P(X>160)= 0,00317%

Bei 100.000 3,171 von 31.574

In Österreich leben: 8.032.926 MenschenÖsterreicher in 4-Sigma 254


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arcus Hudec

Wahrscheinlichkeiten für Intervalle

P(a<X<b) = P(X<b) – P(X<a) X~N(175; 64)

P(177<X<181) = ?

P(X<181) - P(X<177) =

=P(Z<(181-175)/8) - P(Z<(177-175)/8) == (0,75) - (0,25) =

= 0,7734 - 0,5987 = 0,1747

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arcus Hudec


150 160 170 180 190 200

0.0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

P(177<X<181)=0.1747


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arcus Hudec

Erwartungswert: 175

Varianz: 64


Untergrenze: 177

Obergrenze: 181

Prob(177< X < 181) = 0,1747

Prob( X < 177) = 0,5987

Prob( X > 181) = 0,2266

© Marcus Hudec

Hinweis:

Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und die Grenzwerte sind hellgrün markiert.

0,0000

0,0100

0,0200

0,0300

0,0400

0,0500

0,0600

143

,000

0

146

,136

0

149

,272

0

152

,408

0

155

,544

0

158

,680

0

161

,816

0

164

,952

0

168

,088

0

171

,224

0

174

,360

0

177

,496

0

180

,632

0

183

,768

0

186

,904

0

190

,040

0

193

,176

0

196

,312

0

199

,448

0

202

,584

0

205

,720

0

0,17470,5987 0,2266

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arcus Hudec

Symmetrische Intervalle

P(-1<Z<1)=?

P(-1<Z<1)= (1) - (-1)= 0,8413-0,1587 = 0,6826

P(-a<Z<a)=P(Z<a)-P(Z<-a)=(a)-(1-(a))=2(a)-1

P(-a<Z<a)=2(a)-1

P(-1<Z<1)= 2*(1) -1=2*0,8413-1=0,6826


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arcus Hudec

X~N(175; 64)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person maximal 8 cm vom Erwartungswert abweicht?

P(167<X<183) = ((183-175)/8) - ((167-175)/8)

(1) - (-1) = 0,8413-0,1587 = 0,6827

P(167<X<183) = 2* ((183-175)/8) -1== 2* (1)-1 = 2*0,8413-1 = 0,6827

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arcus Hudec

Erwartungswert: 175

Varianz: 64


maximale Abweichung: 8

Prob(167< X < 183) = 0,6827

Prob(X < 167) = 0,1587

Prob(X > 183) = 0,1587

© Marcus Hudec

Hinweis:

Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und die maximale Abweichung sind hellgrün markiert.

0,0000

0,0100

0,0200

0,0300

0,0400

0,0500

0,0600

143

,000

0

146

,136

0

149

,272

0

152

,408

0

155

,544

0

158

,680

0

161

,816

0

164

,952

0

168

,088

0

171

,224

0

174

,360

0

177

,496

0

180

,632

0

183

,768

0

186

,904

0

190

,040

0

193

,176

0

196

,312

0

199

,448

0

202

,584

0

205

,720

0

0,68270,1587 0,1587


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arcus Hudec

Inverse Fragestellung

Gesucht sind Quantilwerte z für die bestimmte Wahrscheinlichkeitsaussagen gelten:

P(Z< z) = (z) = P(Z<z) = z Nachschlagen in der Tabelle: ==> z Gesucht ist jene Körpergröße x für die gilt, daß

die Wahrscheinlichkeit P(X<x)=0,9

Lösung:

x = + z x = 175 + 1,2816*8

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arcus Hudec

Erwartungswert: 175

Varianz: 64


Wahrscheinlichkeit: 0,9

Quantil von Z~N(0;1): 1,2816

Grenzwert = 185,2524

Prob(185,25 < 0,9) = 0,9000

Prob(185,25 > 0,9) = 0,1000

© Marcus Hudec

Hinweis:

Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und der gewünschten Wahrscheinlichkeit sind hellgrün markiert.

0,0000

0,0100

0,0200

0,0300

0,0400

0,0500

0,0600

143

,00

00

146

,13

60

149

,27

20

152

,40

80

155

,54

40

158

,68

00

161

,81

60

164

,95

20

168

,08

80

171

,22

40

174

,36

00

177

,49

60

180

,63

20

183

,76

80

186

,90

40

190

,04

00

193

,17

60

196

,31

20

199

,44

80

202

,58

40

205

,72

00

185,25240,9000 0,1000


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arcus Hudec

Normalverteilung in Excel: NORMINV

Für eine Standardnormalverteilung gilt, dass die Wahrscheinlichkeit einen Wert kleiner als 1,644485 zu erhalten 95% beträgt.

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arcus Hudec

Zentrale Schwankungsintervalle (Streubereiche)

symmetrische Intervalle um den Erwartungswert[-c;+c]

Von Interesse sind Aussagen der Forma) P(-c < X < +c) = ?b) P(-? < X < +?) = 1-

Beispiel für a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person maximal 8 cm vom Erwartungswert abweicht?

Beispiel für b) Wie groß ist das symmetrische Intervall in welchem Personen mit einer Wahrscheinlichkeit 1- liegen?

Wir ordnen dem zentralen Schwankungsbereich die Wahrscheinlichkeit 1- zu. Dadurch kommt außerhalb des Bereichs an jedem Ende eine Randwahrscheinlichkeit von /2 zustande.


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arcus Hudec

Konzept zentraler Schwankungsintervalle

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

alpha/2alpha/2

1-alpha

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arcus Hudec

Zentrale Schwankungsintervalle

Sei X~N(,²) so ergibt sich das zentrale Schwankungsintervall,welches eine Wahrscheinlichkeit von 1- abdeckt durch:

[-z1-/2;+ z1-/2]

bzw.

P(- z1-/2 < X < + z1-/2) = 1- Für =0,1 (=0,05; =0,01) ergibt sich aus der

Tabelle für z1-/2 d.h. P(- 1,6449 < Z < + ) = 0,9

P(- 1,96 < Z < + ) = 0,95P(- 2,5758 < Z < + 2,5758) = 0,99


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arcus Hudec

X~N(175; 64)

Gesucht ist ein zentrales Schwankungsintervall, das eine Wahrscheinlichkeit von 0,95 aufweist

P(- z1-/2 < X < + z1-/2) = 1- = 0,05 1-/2 = 0,975

P(175-1,96*8 < X < 175 + 1,96*8) = 0,95

P(159,32 < X < 190,68) = 0,95

Falls man eine höhere Wahrscheinlichkeit anstrebt wird das Intervall größer:

P(175- 2,5758 *8 < X < 175 + 2,5758 *8) = 0,99

P(154,39 < X < 195,61) = 0,99

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Erwartungswert: 175

Varianz: 64


0,95

1-/2 Quantil von Z~N(0;1): 1,9600

Prob(159,32< X < 190,68) = 0,9500

Untergrenze: 159,32

Obergrenze: 190,68

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Hinweis:

Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und die Wahrscheinlichkeit für das zentrale Intervall sind hellgrün markiert.

Wahrscheinlichkeit des zentralen Intervalls 1-:

0,0000

0,0100

0,0200

0,0300

0,0400

0,0500

0,0600

143,

000

0

146,

136

0

149,

272

0

152,

408

0

155,

544

0

158,

680

0

161,

816

0

164,

952

0

168,

088

0

171,

224

0

174,

360

0

177,

496

0

180,

632

0

183,

768

0

186,

904

0

190,

040

0

193,

176

0

196,

312

0

199,

448

0

202,

584

0

205,

720

0

159,32 190,680,95


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arcus Hudec

Erwartungswert: 175

Varianz: 64


0,99

1-/2 Quantil von Z~N(0;1): 2,5758

Prob(154,39< X < 195,61) = 0,9900

Untergrenze: 154,39

Obergrenze: 195,61

© Marcus Hudec

Hinweis:

Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und die Wahrscheinlichkeit für das zentrale Intervall sind hellgrün markiert.

Wahrscheinlichkeit des zentralen Intervalls 1-:

0,0000

0,0100

0,0200

0,0300

0,0400

0,0500

0,0600

143,

000

0

146,

136

0

149,

272

0

152,

408

0

155,

544

0

158,

680

0

161,

816

0

164,

952

0

168,

088

0

171,

224

0

174,

360

0

177,

496

0

180,

632

0

183,

768

0

186,

904

0

190,

040

0

193,

176

0

196,

312

0

199,

448

0

202,

584

0

205,

720

0

154,39 195,610,99

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arcus Hudec

Zentraler Grenzwertsatz

• Die Normalverteilung verdankt ihre universelle theoretische und praktische Bedeutung dem zentralen Grenzwertsatz. Unabhängig von der konkreten Ausgangsverteilung konvergiert nämlich die Verteilungsfunktion einer Summe gegen die Normalverteilung. (sehr grob formuliert)

• Ist die Anzahl der Summanden (n) hinreichend groß, so kann in der Praxis die Verteilung einer Summe durch die Normalverteilung approximiert werden.

• Die Frage, ab wann n hinreichend groß ist, hängt von der gewünschten Genauigkeit und der Form der Ausgangsverteilung ab.


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arcus Hudec

Was wir uns merken sollten …

• Wie eine stetige Zufallsvariable mittels Dichtefunktion und Verteilungsfunktion beschrieben wird

• Einige wichtige Eigenschaften der Normalverteilung (Symmetrie, zentrale Schwankungsintervalle [z.B. 95% plus/minus 2xStandardabweichung], Lineartransformationen)

• Wie man mittels Tabellen oder Excel konkrete Wahrscheinlichkeiten bestimmen kann

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