Prírodovedné oddelenie Stredoslovenského múzea v Banskej Bystrici
UNIVERZITA MATEJA BELA V BANSKEJ BYSTRICI€¦ · univerzita mateja bela v banskej bystrici fakulta...
Transcript of UNIVERZITA MATEJA BELA V BANSKEJ BYSTRICI€¦ · univerzita mateja bela v banskej bystrici fakulta...
UNIVERZITA MATEJA BELA V BANSKEJ BYSTRICI
FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED
Pavol Hanzel, Pavel Klenovčan
ČÍSLA A POČÍTANIE
BANSKÁ BYSTRICA
2013
Názov: Čísla a počítanie
Autori: Prof. RNDr. Pavol Hanzel, CSc.
Doc. RNDr. Pavel Klenovčan, CSc.
Vedecký redaktor: Prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc.
Recenzenti: Prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc.
Doc. RNDr. Tomáš Zdráhal, CSc.
Doc. PaedDr. Tomáš Lengyelfalusy, CSc.
© Prof. RNDr. Pavol Hanzel, CSc.
Doc. RNDr. Pavel Klenovčan, CSc.
Všetky práva vyhradené. Žiadna časť tejto publikácie nesmie byť reprodukovaná a/alebo
distribuovaná v akejkoľvek forme a akýmikoľvek prostriedkami či uchovávaná v databáze
alebo systéme vyhľadávania bez predchádzajúceho písomného súhlasu vydavateľa a autorov.
Za jazykovú úpravu a odbornú stránku textu zodpovedajú autori.
ISBN 978-80-557-0638-2
Abstrakt
V tejto monografickej štúdii sa pokúsime priblížiť východiská pri zavádzaní a rozširovaní
číselných oborov. Predstavíme matematický pohľad na cestu budovania číselných oborov.
Podrobne charakterizujeme axiomatickú štruktúru oboru prirodzených čísel, ktorá je základom
pre všetky ďalšie číselné obory. Pri každom číselnom obore poukážeme na spojitosť s
vyučovaním matematiky na základných a stredných školách. Neopomenieme ani historické
pozadie rozvoja číselných sústav. V závere práce sa venujeme zápisu prirodzeného čísla
v rôznych 𝑧 − 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑘ý𝑐ℎ číselných sústavách.
Abstract
In this monographic study will attempt to bring background in establishing and expanding
the numeric fields. We introduce a mathematical view of the road-building numeric fields.
Characterize in detail the axiomatic structure of the field of natural numbers, which is the basis
for all other numerical fields. For each numerical domain will point to a connection with the
teaching of mathematics in primary and secondary schools. Aware that there is historical
background of the development of number systems. In conclusion we pay the entry of natural
numbers in a variety of system s-adic numbers.
Obsah
Použitá symbolika a zvýraznenie textu ......................................................................... 6
Predslov ............................................................................................................................ 7
Úvod .................................................................................................................................. 9
1 Číselné obory ............................................................................................................ 10
1.1 Rozširovanie číselných oborov ............................................................................ 11
2 Obor prirodzených čísel .......................................................................................... 13
2.1 Peanova aritmetika ............................................................................................... 14
2.1.1 Prvá skupina axióm - funkcia nasledovník ................................................... 15
2.1.2 Druhá skupina axióm - súčet prirodzených čísel .......................................... 16
2.1.3 Tretia skupina - súčin prirodzených čísel ..................................................... 17
2.1.4 Štvrtá skupina - indukcia .............................................................................. 17
2.1.5 Vlastnosti operácií sčítania a násobenia ....................................................... 17
2.2 Množinový prístup zavedenia prirodzených čísel ................................................ 20
2.2.1 Kardinálne číslo množiny ............................................................................. 22
2.2.2 Prirodzené čísla ako kardinálne čísla ........................................................... 24
2.2.3 Aritmetické operácie s kardinálnymi číslami ............................................... 25
2.2.4 Konečná a nekonečná množina .................................................................... 27
2.2.5 Usporiadanie na množine prirodzených čísel ............................................... 29
Cvičenie .................................................................................................................... 31
3 Obor celých čísel ...................................................................................................... 32
3.1 Rozšírenie oboru prirodzených čísel na obor celých čísel ................................... 34
3.2 Množina celých čísel ............................................................................................ 36
3.2.1 Súčet a súčin celých čísel ............................................................................. 36
3.2.2 Absolútna hodnota celého čísla .................................................................... 38
3.2.3 Usporiadanie na množine celých čísel ......................................................... 39
3.2.4 Záporné čísla – historický pohľad a modely ................................................ 39
3.2.5 Ďalšie spôsoby zavedenia oboru celých čísel ............................................... 41
Cvičenie .................................................................................................................... 44
4 Obor racionálnych čísel ........................................................................................... 45
4.1 Množina racionálnych čísel ................................................................................. 46
4.2 Vzťahy medzi množinami ℕ, ℤ,ℚ ....................................................................... 49
Cvičenie .................................................................................................................... 51
5 Obor reálnych čísel .................................................................................................. 52
5.1 Množina reálnych čísel ........................................................................................ 52
5.2 Súčet a súčin reálnych čísel ................................................................................. 54
Cvičenie .................................................................................................................... 59
6 Obor komplexných čísel .......................................................................................... 60
6.1 Množina komplexných čísel ................................................................................ 61
6.2 Algebrický tvar komplexného čísla ..................................................................... 61
6.3 Geometrická interpretácia - komplexná rovina .................................................... 62
6.4 Goniometrický zápis komplexného čísla ............................................................. 63
6.5 Vlastnosti operácií sčítania a násobenia............................................................... 64
Cvičenie .................................................................................................................... 66
7 Spočítateľné a nespočítateľné množiny ................................................................. 67
7.1 „Veľkosť“ množín ............................................................................................... 67
7.2 Spočítateľné množiny .......................................................................................... 68
7.3 Nespočítateľné množiny ...................................................................................... 70
Cvičenie .................................................................................................................... 75
8 Číselné sústavy ......................................................................................................... 76
8.1 Vyjadrenie prirodzeného čísla v pozičnej číselnej sústave .................................. 77
8.2 Počtové výkony s prirodzenými číslami .............................................................. 82
8.3 Kritériá (znaky) deliteľnosti ................................................................................. 89
Cvičenie .................................................................................................................... 95
9 Kultúra počítania ..................................................................................................... 97
10 Zoznam použitej literatúry ..................................................................................... 98
6
Použitá symbolika a zvýraznenie textu
ℕ = {0, 1, 2, … , 𝑛, … } - množina všetkých prirodzených čísel
ℤ = {0,±1, ±2,… ,±𝑛,… } - množina všetkých celých čísel
ℚ resp. ℝ - množina všetkých racionálnych resp. reálnych čísel
ℂ - množina všetkých komplexných čísel
𝑥 ∈ 𝑁,𝑀 ⊂ 𝑁,… – symbolika používaná pre množiny v školskej matematike
∧,∨,⟹,⟺ - logické spojky: konjunkcia, disjunkcia, implikácia a ekvivalencia
Dôležitá poznámka
Tvrdenie resp. matematická veta
Matematický pojem, definícia resp. axióma
Riešený príklad
7
Predslov
Veda stále ovplyvňuje silnejšie náš život. V súčasnosti neexistuje oblasť spoločenskej
praxe a ľudského života, ktorá by nebola zasiahnutá vedecko-technickým rozvojom. Dnešná
doba je charakteristická prudkým prenikaním počítačov do všetkých sfér nášho života. Zároveň
si však uvedomujeme, že veda sa vo svojom dlhom procese vývoja len postupne vydeľovala zo
súhrnného poznania okolitého sveta na ako ho poznáme v súčasnosti výrobný prostriedok.
Prešlo mnoho tisícročí, kým sa veda vyvinula do dnešnej podoby. Dlhodobý ale i obrovský
rozmach vedy sa snáď do popísať na ceste, ktorej na začiatku stálo číslo prirodzené a pokračuje
popri míľniku cesty nazvanom „samočinný počítač“.
Začiatok cesty sme si stanovili do obdobia vzniku prirodzeného čísla. Ako a kedy to bolo,
nie je jednoduché odpovedať. Na základe archeologických nálezov môžeme usudzovať na
obdobie 30 tisíc rokov pred naším letopočtom, do ktorého je datovaný známy doklad
o číselnom zázname, tzv. věstonická vrubovka.
O prirodzenom čísle sa veľa popísalo, vznikali rôzne teórie o prirodzených číslach, až
nakoniec sa zrodila teória množín (E. Zermelo 1908). Prvá písomná zmienka o prirodzených
číslach a o základných matematických operáciách (sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie) je
v moskovskom papyruse pochádzajúceho z roku 1890 pred n. l. a v Rhindovom papyruse, ktorý
vznikol asi 1850 rokov pred n. l.
Okolo roku 263 v Číne, Liou Hui1 si svoj voľný čas krátil vymýšľaním jednoduchého
zápisu pre svoje aktíva a pasíva svojej finančnej bilancie. Zavedie číslo „fu", ako dlžobnú
hodnotu, a má po starostiach. Trochu síce ešte potrvá, pokiaľ si ľudstvo vymudruje záporné
čísla označovať pomocou znamienka − (mínus). So zápornými číslami, tak ako ich dnes
poznáme, sa stretávame roku 1489 v knihe „Regel Algebra oder Cosse“ od chebského rodáka
Johanna Widmanna2.
Medzi kladnými a zápornými číslami sa nachádza nula. V matematike zohrala veľkú
úlohu a nemálo starostí narobila aj filozofom. Prvá zmienka o nule sa objavuje ojedinelo už
v Egypte v 2. až 1. storočí pred n. l. Presný matematický význam nuly bol popísaný až v 6.
storočí indo-arabskou matematikou. Dôležitú úlohu pri rozvíjaní pojmu čísla malo zavedenie
znakov čísel (číslic). Nám známe a najčastejšie používané „arabské“ číslice pochádzajú
z Indie a do Európy sa dostali zásluhou Arabov v 10. storočí. Staré kultúrne národy mali svoje
vlastné znaky (Číňania, Egypťania, Rimania a indiánsky kmeň Mayov).
1 Čínsky matematik Liu Hui (220 - 280). Preslávil sa komentármi k Deviatim traktátom. 2 Pozri [FOLTA, 1979].
8
Prvé vedecky spracované poznatky z aritmetiky pochádzajú zo starého Grécka.
Nachádzame ich v prácach Pytagora, Euklida a Diofanta. Práve obdobie antického Grécka je
poznamenané širokým rozvojom teórie čísel.
Možno konštatovať, že od čias antických Grékov aritmetika stagnovala až do 17.
storočia, keď sa zásluhou Fermata (1601–1665) začala prudko rozvíjať. Veľa (ne)matematikov
„vymýšľalo“ a skúmalo vlastnosti rôznych čísel. Napríklad Leonardo Pisánský, zvaný
Fibonacci (1170–1250) bol obchodníkom a cestovateľom. Jeho obchodné cesty často smerovali
do Grécka, Sýrie a Egypta – a ako to už pri cestovaní býva – máme dosť voľného času na
premýšľanie. Fibonacciho pri cestách trápila takáto úloha.
Koľko potomkov môže mať v jednom roku jediný pár mladých králikov, ak:
1. každý pár má v každom mesiaci jednu dvojicu potomkov, ktorá sa od druhého
mesiaca rozmnožuje rovnakým spôsobom,
2. nevyskytujú sa žiadne prípady uhynutia.
Neskôr sa rozvinula teória, ktorá skúma kategóriu takýchto čísel tiež nazývaných ako
Fibonacciho čísla.
Podobne lekár z Milána, Hieronimo Cardano (1501–1576) v knihe „Ars Magna“ vydanej
roku 1545 dáva podnet pre zavedenie imaginárnych čísel. Precíznejšiu teóriu spracuje roku
1572 Rafael Bombelli. Ku komplexným číslam sa postupne vracajú A. de Moivre (1730),
d´Alembert (1746), ale až Hamilton v roku 1835 publikuje teóriu komplexných čísel.
V histórii boli zaujímavé zastávky napríklad pri: Ludolphovom čísle π alebo pri
iracionálnom čísle 𝑒, ktoré je základom prirodzeného logaritmu.
Náš neúplný prierez o fundamentálnosti pojmu čísla nás doviedol až do doby
vysokovýkonných počítačov. Viete aké čísla používajú tieto zariadenia pri svojej činnosti? Sú
to len dve čísla: nula a jedna! A predsa, pomocou len týchto dvoch čísel a pomocou vopred
vypracovaného predpisu, môžu riešiť zložité úlohy vo veľmi krátkom čase.
Myšlienka na záver tohto predslovu.
Vzniklo číslo, ale ľudstvo sa muselo s ním naučiť „narábať“ (sčitovať, násobiť, a pod.). Vznikol
počítač a ľudstvo sa musí naučiť s ním „narábať“!
9
Úvod
Aritmetika (z gréckeho slova ἀριθμός, arithmos "číslo") je najstarší a najzákladnejší odbor
matematiky. Význam aritmetiky je pozorovateľný v bežnom živote. Aritmetické operácie
sčítania a násobenia používa takmer každý človek každý deň. Za základné aritmetické operácie
považujeme sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie. Aritmetika zahŕňa aj zložitejšie operácie,
ako sú odmocniny, mocniny, logaritmy a pod.
Pojem prirodzeného čísla a algoritmy, ktoré popisujú sčitovanie a násobenie prirodzených
čísel, sú preto hlavným predmetom štúdia už na prvom stupni základnej školy. Neskôr sa žiaci
postupne oboznamujú s celými, racionálnymi, iracionálnymi a na strednej škole aj s
komplexnými číslami. Na túto skutočnosť musí byť dobre pripravený učiteľ matematiky. Učiteľ
matematiky musí poznať teoretické východiská zavedenia rôznych typov čísel ako aj
matematické zdôvodnenie vlastností aritmetických operácií. Vedná disciplína, ktorá skúma
vnútornú podstatu číselných štruktúr sa nazýva teoretická aritmetika.
Teoretická aritmetika je vedná disciplína matematiky, ktorá sa systematicky zaoberá
rôznymi spôsobmi zavádzania množiny prirodzených čísel a vlastnosťami aritmetických
operácií s týmito číslami. Množinu prirodzených čísel chápe ako východisko pre postupné
rozširovanie na množinu celých až komplexných čísel. Teoretická aritmetika každú číselnú
množinu definuje ako číselný obor, ktorý interpretuje ako algebrickú štruktúru s dvoma
binárnymi operáciami.
V predloženom texte sme sa snažili priblížiť východiská pri zavádzaní a rozširovaní
číselných oborov. Zdôrazníme tiež spojitosť s vyučovaním matematiky na základných a
stredných školách. Neopomenieme ani historické pozadie rozvoja číselných sústav.
V našej práci sme sa pokúsili nájsť kompromis medzi matematickou presnosťou a medzi
zrozumiteľnosťou. Našou snahou bolo, aby čitateľ získal na malom priestore prehľad o
základných číselných oboroch a číselných sústavách. Na niektorých vybraných miestach sme
ponúkli aj pohľad na určité didaktické aspekty tykajúce sa vnímania danej problematiky žiakmi
a študentmi základných a stredných škôl.
Tento text nemá typickú matematickú štruktúru "Axiómy" - "Definícia" - "Lema" -
"Dokaz lemy" - "Veta" - "Dokaz vety" - "Dôsledok" - Dokaz dôsledku" - atd. Nie je to ani "čistá
didaktika", ale nie je to ani také voľne rozprávanie. V texte je určitá (avšak dostatočná) miera
presnosti, technické detaily niektorých príslušných konštrukcií a dôkazov sa nachádzajú v
ďalšej odporučenej literatúre.
10
1 Číselné obory
Jedným z najčastejšie používaným pojmom, s ktorým sme sa doteraz pri štúdiu
matematiky stretávali je pojem čísla. Postupne sme sa oboznamovali s prirodzenými, celými,
racionálnymi a reálnymi číslami ako množinami čísel s určitou charakteristickou vlastnosťou.
Na strednej škole sme sa mohli stretnúť aj s učivom o komplexných číslach. Poznáme základné
vlastnosti sčítania, násobenia, odčítania, delenia, umocňovania, odmocňovania a usporiadania.
Základné aritmetické operácie sú úzko prepojené s konkrétnou číselnou množinou.
Číselný obor je množina čísel (číselná množina), na ktorej sú zavedené základné aritmetické
operácie, sčítanie a násobenie.
Číselné obory zavádzame postupne. Začíname oborom prirodzených čísel, ktorý rozšírime
na obor celých. Obor celých čísel rozšírime na obor racionálnych a obor racionálnych na obor
reálnych čísel. Nakoniec zavedieme komplexné čísla ako množinu všetkých usporiadaných
dvojíc reálnych čísel.
Potrebu rozširovania číselných oborov budeme demonštrovať na riešení jednoduchých
typov rovníc. Ukážeme, že niektoré rovnice nemajú žiadny koreň v určitom číselnom obore ale
v rozšírenom obore už majú korene. Budú nás zaujímať algebrické rovnice o jednej neznámej,
t.j. rovnice typu
𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 = 0,
kde sú konkrétne čísla s daného číselného oboru a je neznáma. Žiaci počas štúdia na
základnej a strednej škole sa oboznamujú s postupným riešením rovníc rôznych typov.
Uvedieme niekoľko prípadov, ktoré sa vyskytujú pri riešení rovníc.
I. Na prvom stupni základnej školy rovnicu:
𝑥 + 2 = 5 žiaci vedia riešiť, ale rovnicu
𝑥 + 5 = 2 nedokážu riešiť, keďže nepoznajú záporné čísla.
II. Na druhom stupni základnej školy:
2𝑥 − 5 = 0 žiaci vedia riešiť v obore racionálnych čísel
𝑥2 + 1 = 0 nevedia riešiť - nepoznajú komplexné čísla.
III. Na strednej škole už riešia ľubovoľné kvadratické rovnice s reálnymi koeficientmi
𝑎, 𝑏, 𝑐:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
ia x
11
Z uvedeného vyplýva, že na prvom stupni ZŠ sa žiaci naučia počítať v obore prirodzených
čísel. Musíme teda zaviesť pojem prirodzeného čísla a určiť pravidlá pre aritmetické operácie
s týmito prirodzenými číslami.
Neskôr na vyšších stupňoch vzdelávania vznikne potreba zavedenia:
záporných čísel ako opačných čísel k prirodzeným,
racionálnych čísel pomocou kmeňových zlomkov,
iracionálnych čísel zavedením operácie odmocňovania,
komplexných čísel v algebrickom a goniometrickom tvare.
Učiteľ matematiky túto skutočnosť môže vhodne využiť pri motivácii žiakov
v tematických celkoch, ktoré sa zaoberajú riešením rovníc. Na druhej strane učiteľ matematiky
musí poznať teoretické východiská zavádzania a rozširovania číselných oborov.
1.1 Rozširovanie číselných oborov
Teoretická aritmetika pri zavadzaní a rozširovaní číselných oborov kladie dôraz
predovšetkým na:
Konštrukciu („vytvorenie“) číselnej množiny („nosiča“).
Zavedenie operácií sčítania a násobenia na tejto množine.
Popísanie základných vlastností aritmetických operácií.
To znamená, že v prvom rade musíme popísať spôsob ako vytvoríme konkrétny typ čísla.
Začneme vytvorením množiny prirodzených čísel. Pri každej ďalšej konštrukcii nového
číselného oboru budeme už vychádzať zo známych číselných oborov. Uvedieme zjednodušenú
ukážku konštrukcie číselného oboru racionálnych čísel, ak už poznáme prirodzené čísla i celé
čísla a vieme sčítať a vynásobiť ľubovoľné dve prirodzené čísla i celé čísla.
Nech 𝑞 ∈ ℕ je ľubovoľné prirodzené číslo rôzne od nuly a 𝑝 ∈ ℤ je ľubovoľné celé číslo.
Potom môžeme množinu racionálnych čísel ℚ zaviesť aj pomocou relácie ekvivalencie na
množine všetkých usporiadaných dvojíc celých čísel. Takéto dvojice (𝒑, 𝒒) môžeme
interpretovať aj ako zlomky 𝒑
𝒒 .
Na množine zlomkov {𝑎
𝑏, 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ+} potom definujme rovnosť zlomkov takto:
𝑎
𝑏≝
𝑥
𝑦⟺ 𝑎. 𝑦 = 𝑏. 𝑥. Dá sa ukázať, že rovnosť zlomkov ≝ je relácia ekvivalencie, ktorá množinu
zlomkov rozdelí do disjunktných podmnožín. Napríklad podmnožina, ktorá obsahuje zlomok 1
2
bude obsahovať aj zlomky 2
4,3
6, … Všetky zlomky z tejto podmnožiny sa navzájom rovnajú.
12
Preto stačí vybrať jeden zlomok, ktorý bude reprezentovať túto podmnožinu a vyhlásiť ho za
racionálne číslo.
Za „reprezentanta“ racionálneho čísla zvolíme každý zlomok 𝑝
𝑞, ktorý je v základnom tvare
alebo tiež v primitívnom tvare. Teda, keď čísla 𝑝, 𝑞 sú nesúdeliteľné a zároveň 𝑞 > 0. Inými
slovami, ak zlomok 𝑝
𝑞 už nemôžeme krátiť.
Množina racionálnych čísel ℚ je množina všetkých zlomkov v základnom tvare .
Uveďme aj matematický zápis takejto množiny.
ℚ = {𝒑
𝒒, 𝒑 ∈ ℤ ∧ 𝒒 ∈ ℕ+ ∧ 𝑫(𝒑, 𝒒) = 𝟏}.
Operácie sčítanie a násobenie racionálnych čísel (usporiadaných dvojíc) potom môžeme
zaviesť pomocou pravidiel na súčet a súčin zlomkov. Prístup k zavedeniu racionálnych čísel
pomocou zlomkov je vhodný pre školskú matematiku, keďže žiaci sa oboznamujú najskôr so
zlomkami.
Zavedenie racionálnych čísel pomocou vhodnej relácie ekvivalencie na množine
karteziánskeho súčinu ℕ × ℕ nachádzame vo väčšine odbornej literatúry, ktorá sa venuje
teoretickej aritmetike. V tejto publikácii v kapitole „Racionálne čísla“ detailnejšie popíšeme
tento prístup.
Výklad o číselných oboroch začneme axiomatickou konštrukciou prirodzených čísel
a skončíme pri Gaussovej rovine komplexných čísel.
13
2 Obor prirodzených čísel
Prirodzené čísla si utvorili ľudia pri skúmaní vzťahov medzi súbormi reálnych objektov.
Ich vytvorenie bolo dôsledkom prirodzených potrieb pri riešení úloh bežného života ako napr.
pri určovaní počtu kusov dobytka v stáde alebo pri hľadaní spravodlivého spôsobu
rozdeľovania produktov spoločnej práce a pod.
Pri skúmaní vzťahov medzi skupinami objektov sa abstrahovalo od veľkosti, farby a
ďalších vlastností, ale podstatné bolo len to, či predmety dvoch súborov možno zoradiť do
dvojíc. Za najdôležitejšie zistenie pri „počítaní objektov“ bol objav ľudstva, pomocou ktorého
dokázali odpovedať na otázku:
V ktorej zo skúmaných skupín je menej, viac resp. rovnako objektov?
Z histórie vývoja matematiky sú známe tzv. vrubovky, ktoré slúžili na primitívne
určovanie počtu prvkov v skupine. Jedna z najstarších vruboviek bola objavená na Morave
v roku 1936. Z archeologických údajov vyplýva, že ide o prvý doklad číselného záznamu, ktorý
sa datuje do obdobia asi 30 tisíc rokov pred naším letopočtom.
Obrázok 1: Věstonická vrubovka
Ide o archeologický objav nazvaný podľa miesta nálezu - věstonická vrubovka3. Je to
stehenná kosť vlka, do ktorej je vyrytých 25 a 30 dobre hmatateľných zárezov. V prenesenom
význame môžeme vrubovku nazvať aj modelom pre "jednotkovú" číselnú sústavu (sústavu o
základe jeden), v ktorej poznáme len jeden zárez a prirodzené číslo vyjadríme počtom zárezov
na kosti.
Archeologické objavy dokázali, že ľudia už v prehistorickej dobe používali primitívne
modely pre počítanie s prirodzenými číslami. Neskôr s rozvojom civilizácie v Mezopotámii
a Egypte sa postupne zdokonaľovali počtové algoritmy. Dokonca v siedmom storočí nášho
letopočtu indo-arabská matematika zaviedla desiatkovú číselnú sústavu.
Napriek takýmto významným pokrokom sa mnoho storočí nedarilo vytvoriť axiomatickú
teóriu prirodzených čísel. Geometriu pritom axiomaticky spracoval už Euklides vo svojich
Základoch okolo roku 300 pred Kristom. Pokusy spracovať aj teóriu prirodzených čísel
3 Pozri [FOLTA, 1997]
14
axiomaticky boli neúspešné viac ako dve tisíc rokov. Dokonca Leopold Kronecker (nemecký
matematik 1823 - 1891) pri jednej prednáške roku 1886 povedal slávnu vetu:
Boh stvoril prirodzené čísla, všetko ostatné je ľudské dielo.4
Tieto problémy vyriešil až v 20. storočí G. Peano, ktorý zaviedol prirodzené čísla
axiomaticky.
Giuseppe Peano (1858 - 1932) bol taliansky matematik, filozof a logik. Bol jedným zo
zakladateľov modernej matematickej logiky a výrazne sa podieľal na vzniku teórie množín.
Jeho veľkým prínosom pre aritmetiku bol axiomatický prístup zavedenia oboru prirodzených
čísel, ktorý budeme na jeho počesť nazývať Peanova aritmetika.
Existujú aj iné spôsoby zavedenia prirodzených čísel. Jedným z nich je množinový
prístup, ktorý vychádza z axiomatickej teórie množín. Peanovej aritmetike a množinovému
prístupu zavedenia prirodzených čísel sa podrobnejšie venujeme v nasledujúcich dvoch
podkapitolách.
2.1 Peanova aritmetika
Pri axiomatickom budovaní aritmetiky musíme vybrať niekoľko "základných" tvrdení,
pomocou ktorých bude možné všetky ostatné odvodiť. Tieto základné tvrdenia budeme nazývať
axiómy a ich pravdivosť nemusíme overovať. Všetky ostatné vety musíme dokázať pomocou
zvolených axióm alebo už skôr dokázaných viet. Podobne pojmy, ktoré sa vyskytujú
v axiomatickej teórii sú buď základné alebo odvodené.
Východiskovým základným pojmom Peanovej aritmetiky je prirodzené číslo resp.
množina všetkých prirodzených čísel. Pojem „prirodzené číslo“ nedefinujeme, podobne ako v
euklidovskej geometrii nedefinujeme bod. Takéto východisko trochu pripomína Kroneckerov
výrok, že prirodzené sú dané vopred a mi im pripíšeme len nejaké vlastnosti. Axiomatická
teória však popisuje aj spôsob ich vytvárania.
V tejto súvislosti je vhodné si uvedomiť, že už deti v rannom veku nadobúdajú dosť dobrú
predstavu o prirodzenom čísle jeden napríklad tým, že chápu význam prosby Daj mi ... (cukrík
a pod.). Neskôr, ale tiež ešte v rannom veku začnú chápať význam slovného spojenia Ešte raz
alebo To je veľa a pod. Pripomeňme, že takýto vývoj zaznamenala aj naša civilizácia, dokonca
4 E. T. Bell, Men of Mathematics. New York 1986, str. 477.
15
ešte aj dnes existujú izolované kmeňové skupiny ľudí, ktorí poznajú len niektoré matematické
pojmy: jeden, dva, tri a veľa5.
Peanova aritmetika si kladie za cieľ vedecky popísať vnútornú štruktúru množiny
všetkých prirodzených čísel a zároveň popísať operácie sčítanie a násobenie na tejto množine.
Axiómy navrhnuté Peanom, ktoré platia pre prirodzené čísla, nemajú zložité matematické
vyjadrenie, preto si dovolíme ich uviesť v plnom znení. Komentár, ktorý k týmto axiómam
uvádzame, pomôže čitateľovi pochopiť filozofiu Peanovej aritmetiky. Uvedieme aj niektoré
jednoduché tvrdenia s ukážkami dôkazov. Prezentované dôkazy sa len v malej miere (možno
len matematickým jazykom) líšia od zdôvodnení vlastností sčítania a násobenia, ktoré sa
prezentujú v bežných učebniciach matematiky pre základné resp. pre stredné školy.
Axiómy rozdelíme do štyroch skupín:
Prvá skupina sa viaže na existenciu množiny prirodzených čísel.
Druhá skupina definuje binárnu operáciu sčítanie.
Tretia skupina definuje binárnu operáciu násobenie. n
V štvrtej skupine uvedieme princíp matematickej indukcie.
2.1.1 Prvá skupina axióm - funkcia nasledovník
Existuje množina prirodzených čísel ℕ s nasledujúcimi vlastnosťami:
I. Ku každému prirodzenému číslu 𝒏 ∈ ℕ existuje jediný nasledovník 𝑛 ∈ ℕ (tiež
prirodzené číslo!).
II. Existuje jedno prirodzené číslo, ktoré nie je nasledovníkom žiadneho prirodzeného
čísla.
III. Každé dve rôzne prirodzené čísla majú dvoch rôznych nasledovníkov.
Komentár.
Prirodzené číslo, o ktorom hovorí druhá axióma označujeme symbolom 𝟎 a nazývame
nula.
Nasledovník nuly 𝟎 označíme arabskou číslicou 1. Podobne budeme postupovať pri
ďalších nasledovníkoch. Teda budeme používať označenie:
𝟎 = 𝟏, 𝟏 = 𝟐, 𝟐 = 𝟑,…
Považujeme za dôležité upozorniť, že zároveň platia aj symetrické rovnosti:
1 = 0´, 2 = 1´, … Použitím arabských číslic môžeme množinu prirodzených čísel,
o ktorých hovorí prvá skupina axióm, symbolicky zapísať ako ℕ = {1,2, … , 𝑛, … }.
5 [BARROW, 2000]
16
Tretia axióma hovorí, že nasledovník je prosté zobrazenie ℕ𝑑𝑜→ ℕ.
Pripomeňme, že v prvom ročníku na základnej škole deti sa začínajú najskôr zoznamovať
s číslami 1, 2, 3, 4, 5, 6 a až potom sa stretnú s pojmom nula. Dokonca aj z historického nula6
pohľadu sa objavuje až na konci 6. storočia v indo-arabskej matematike.
2.1.2 Druhá skupina axióm - súčet prirodzených čísel
Ku každým dvom prirodzeným číslam 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ existuje prirodzené číslo 𝑚 + 𝑛 nazývané
súčet týchto čísel, pričom platí:
IV. Nula je neutrálny prvok vzhľadom na súčet prirodzených čísel. Matematický
zápis 𝑚 + 0 = 𝑚, pre každé prirodzené číslo 𝑚 ∈ ℕ.
V. Pre pripočítanie nasledovníka k prirodzenému číslu platí vzťah: 𝑚 + 𝑛 =
(𝑚 + 𝑛), pre každé dve prirodzené čísla 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ.
Komentár.
Všimnime si, že pri sčítaní dvoch prirodzených čísel Peano vychádzal z existencie čísla
nula a existencie nasledovníka. Peano musel zodpovedať dve otázky. Prvá, čo sa stane
s prirodzeným číslom, keď k nemu pripočítame číslo nula (napríklad sprava). Druhá, ako bude
vyzerať súčet, keď pripočítame nasledovníka. Peano svoje odpovede sformuloval ako axiómy,
pričom uvedená V. axióma je rekurentným matematickým vyjadrením. Táto axióma nám
umožňuje sčitovať prirodzené čísla neobmedzene.
Ak v nej položíme 𝑛 = 0, tak dostaneme: 𝑚 + 0 = (𝑚 + 0), 𝑡. 𝑗.𝒎 = 𝒎+ 𝟏. Inými
slovami, nasledovníka ľubovoľného prirodzeného čísla 𝑚 získame pripočítaním čísla 1
k pôvodnému číslu m. Táto rekurentnosť umožňuje neobmedzené sčitovanie tak, ako to
prezentuje nasledujúci príklad.
Príklad.
Vypočítajte 2 + 3.
Číslo 3 je nasledovníkom čísla 2, teda platí: 3 = 2’. Po dosadení do 2 + 3 a po opätovnej
substitúcii: 2 = 1 a 1 = 0 dostaneme, že
𝟐 + 𝟑 = (2 + 1’)’= ((2 + 1)’)
’= (((2 + 0)’)
’)’
= (((2)’)’)’
= ((3)’)’= (4)´ = 𝟓
6 Pozri [STRUIK, 1963]
17
2.1.3 Tretia skupina - súčin prirodzených čísel
Ku každým dvom prirodzeným číslam 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ existuje prirodzené číslo 𝑚. 𝑛 nazývané
súčin týchto čísel, pričom platí:
VI. Nula je agresívny7 prvok vzhľadom na súčin prirodzených čísel. Matematický
zápis 𝑚. 0 = 0, pre každé prirodzené číslo 𝑚 ∈ ℕ.
VII. Pre vynásobenie nasledovníkom platí vzťah: 𝑚 ∙ 𝑛 = 𝑚 ∙ 𝑛 + 𝑚, pre každé dve
prirodzené čísla 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ
Podobne ako pri súčte, navrhnuté axiómy definujú súčin ľubovoľného prirodzeného čísla
a nuly resp. nasledovníka. V axióme VII je skrytý súčin 𝑚 ∙ (𝑛 + 1), ktorý v súlade so
zaužívanými pravidlami v matematike chceme, aby sa rovnal súčtu 𝑚 ∙ 𝑛 +𝑚.
Príklad.
Vypočítajte 3 . 2.
Číslo 2 je nasledovníkom čísla 1, teda platí: 2 = 1 a zároveň platí: 1 = 0’. Po dosadení do 3 . 2
dostaneme, že
3 . 2 = 3.1 = (3.1 + 3) = (3.0+ 3) = (3.0 + 3) + 3 = 3 + 3 = 6
2.1.4 Štvrtá skupina - indukcia
VIII. Ak 𝑀 je množina prirodzených čísel, ktorá obsahuje nulu (0 ∈ 𝑀 ) a zároveň
pre každé prirodzené číslo 𝑛 platí:
𝒏 ∈ 𝑴⟹ 𝒏 ∈ 𝑴
potom 𝑴 = ℕ.
Túto axiómu môžeme formulovať aj pomocou jazyka výrokovej logiky.
Nech 𝜑(𝑥) je výroková formula jazyka prirodzených čísel, ktorej premenná 𝑥 má
definičný obor množinu prirodzených čísel ℕ. Potom formula
[𝜑(0) ∧ ∀𝑥(𝜑(𝑥) ⟹ 𝜑(𝑥))] ⟹ [∀𝑥 ∈ ℕ: 𝜑(𝑥)]
je axióma, ktorá predstavuje formálny zápis matematickej indukcie.
2.1.5 Vlastnosti operácií sčítania a násobenia
Predchádzajúce axiómy umožňujú vytvorenie množiny prirodzených čísel spolu
s operáciami sčítania a násobenia. Operácie odčítania a delenia je možné zaviesť ako inverzné
operácie k týmto operáciám. K operáciám odčítania a delenia sa vrátime v kapitole Obor celých
7 Termín sa používa v teórii o algebrických štruktúrach
18
čísel. V tejto kapitole sa budeme ešte venovať vlastnostiam sčítania a násobenia. Zo základnej
školy si určite pamätáme, že napríklad platí:
Sčítanie aj násobenie je komutatívne, teda môžeme napr. napísať
𝟐 + 𝟑 = 𝟑 + 𝟐 = 𝟓 𝑎 𝑧á𝑟𝑜𝑣𝑒ň 𝟐 ∙ 𝟑 = 𝟑 ∙ 𝟐 = 𝟔
Riešenie danej rovnice sa nezmení, ak k obidvom stranám tejto rovnice pripočítame
resp. odpočítame to isté číslo, teda napríklad
[𝒙 + 𝟑 = 𝟓 | (−𝟑)] ⟹ [𝒙 = 𝟐] .
Podobná ekvivalentná úprava platí aj pre vynásobenie resp. vydelenie (pozor nenulovým
číslom!) obidvoch strán rovnice vhodným číslom.
Uvedieme niekoľko vlastností, ktoré platia pre sčítanie a násobenie prirodzených čísel
zavedených pomocou Peanových axióm. Takéto vlastnosti v matematike nazývame vety.
Vety o sčítaní a násobení prirodzených čísel
Pripočítanie nuly (zľava) k ľubovoľnému prirodzenému číslu je tiež neutrálna operácia.
Matematická formulácia:
Pre ľubovoľné prirodzené číslo 𝒏 ∈ ℕ platí vzťah: 𝟎 + 𝒏 = 𝒏.
Ak ľubovoľné prirodzené číslo vynásobíme nulou (zľava) dostaneme nulu. Matematická
formulácia:
Pre ľubovoľné prirodzené číslo 𝒏 ∈ ℕ platí vzťah: 𝟎 ∙ 𝒏 = 𝟎.
Operácie sčítania a násobenia sú komutatívne a asociatívne, naviac operácia násobenia je
distributívna k operácii sčítania.
Pre ľubovoľné prirodzené čísla 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℕ platia nasledujúce vzťahy:
𝒂 + 𝒃 = 𝒂 + 𝒃 a zároveň 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒃 ∙ 𝒂 … komutatívnosť
𝒂 + (𝒃 + 𝒄) = (𝒂 + 𝒃) + 𝒄 … asociatívnosť sčítania
𝒂. (𝒃. 𝒄) = (𝒂. 𝒃). 𝒄 … asociatívnosť násobenia
𝒂 ∙ (𝒃 + 𝒄) = 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒂 ∙ 𝒄 … distributívnosť násobenia k sčítaniu
Pri riešení rovníc využívame ekvivalentné úpravy dvoch druhov.
Pre ľubovoľné čísla 𝒙, 𝒚, 𝒏 ≠ 𝟎 ∈ ℕ platia nasledujúce vzťahy:
𝒙 + 𝒏 = 𝒚 + 𝒏 ⟹ 𝒙 = 𝒚 … krátenie pri sčítaní
𝒙 ∙ 𝒏 = 𝒚 ∙ 𝒏 ⟹ 𝒙 = 𝒚 … krátenie pri násobení
V Peanovej aritmetike samozrejme platí vlastnosť jednotky:
Pre ľubovoľné prirodzené číslo platí vzťah: 𝒏 ∙ 𝟏 = 𝟏 ∙ 𝒏 = 𝒏
19
Pri dokazovaní tvrdení uvedených v predchádzajúcich vetách sa vo väčšine prípadov
využije princíp matematickej indukcie a zároveň sa aplikujú vhodné Peanove axiómy.
V tejto publikácii si nekladieme za cieľ podávať podrobné matematické dôkazy
vlastností/tvrdení. Podrobné dôkazy predchádzajúcich tvrdení môže čitateľ nájsť v rôznych
vysokoškolských učebniciach z teoretickej aritmetiky8.
Uvedieme ukážku (filozofiu) dôkazu tvrdenia, ktoré sa nenachádza vo vyššie
sformulovaných vetách. Našou úlohou bude dokázať tvrdenie:
Pre ľubovoľné prirodzené číslo 𝒙 ∈ ℕ platí vzťah: 𝒙 = 𝒙 + 𝟏 = 𝟏 + 𝒙.
Prvá časť tvrdenia (𝑥 = 𝑥 + 1) vyplýva priamo s definície súčtu, presnejšie z druhej
axiómy pre sčítanie. Stačí si uvedomiť, že platí 𝑥 = 𝑥 + 0. Potom už ľahko spočítame, že pre
𝑥 platí:
𝒙 = (𝑥 + 0) =⏞𝑎𝑥𝑖ó𝑚𝑎 𝑝𝑟𝑒 𝑝𝑟𝑖čí𝑡𝑎𝑛𝑖𝑒 𝑛𝑎𝑠𝑙𝑒𝑑𝑛í𝑘𝑎
𝑥 + 0 = 𝒙 + 𝟏
Druhá časť tvrdenia (𝑥 + 1 = 1 + 𝑥) vyplýva priamo z vety o komutatívnosti sčítania.
Toto tvrdenie môžeme dokázať aj pomocou matematickej indukcie. Ľahko sa presvedčíme, že
tvrdenie platí pre 𝑥 = 0:
𝟎 + 𝟏 =⏞(𝑣𝑒𝑡𝑎 𝑜 𝑝𝑟𝑖čí𝑡𝑎𝑛í 𝑛𝑢𝑙𝑦 𝑧ľ𝑎𝑣𝑎)
1 =⏞(𝑎𝑥𝑖ó𝑚𝑎 𝑜 𝑝𝑟𝑖čí𝑡𝑎𝑛í 𝑛𝑢𝑙𝑦)
𝟏 + 𝟎
Predpokladajme, že platí: 𝒙 + 𝟏 = 𝟏 + 𝒙.
[prvá časť implikácie (𝜑(𝑥) ⟹ 𝜑(𝑥)) o matematickej indukcii]
Ak ukážeme, že platí: 𝒙+ 𝟏 = 𝟏 + 𝒙,
[druhá časť implikácie (𝜑(𝑥) ⟹ 𝜑(𝑥))]
tak tvrdenie podľa axiómy indukcie bude platiť pre všetky prirodzené čísla. Začnime
s úpravou pravej strany poslednej rovnosti. Využitím druhej axiómy pre sčítanie postupne
dostaneme:
𝟏 + 𝒙 = (1 + 𝑥)’ =⏞
(𝑖𝑛𝑑𝑢𝑘č𝑛ý 𝑝𝑟𝑒𝑑𝑝𝑜𝑘𝑙𝑎𝑑)
(𝑥 + 1)’ =
= ((𝑥 + 1) + 0)’
=⏞(𝑎𝑥𝑖ó𝑚𝑦)
(𝑥+ 0)’ = 𝒙+ 𝟏
čo bolo treba dokázať.
8 Napríklad: [POKORNÝ, 2010]
20
Uvedených osem axióm Peanovej aritmetiky úplne popisuje štruktúru číselného oboru
prirodzených čísel.
Prvé tri axiómy charakterizujú jeho nosiča - množinu prirodzených čísel. V školskej
matematike týmto trom axiómam zodpovedá zápis prirodzených čísel pomocou číselnej osi.
Obrázok 2: Číselná os pre prirodzené čísla
Ďalšie štyri axiómy sú potrebné, aby sme vedeli sčitovať a násobiť dve prirodzené čísla.
Posledná ôsma axióma o indukcii zaručuje, že žiadna iná množina vytvorená pomocou prvých
šiestich axióm nebude nič iné, len množina všetkých prirodzených čísel.
2.2 Množinový prístup zavedenia prirodzených čísel
Množinový prístup pri zavedení pojmu prirodzeného čísla sa opiera o axiomatickú teóriu
množín. Teóriu množín ako prvý systematicky spracoval Georg Ferdinand Ludwig Philipp
Cantor (1845 - 1918). Cantor je známy ako tvorca naivnej teórie množín, ktorú neskôr Ernst
Zermelo a Abrahám Fraenkel rozpracovali do axiomatickej podoby. Axiomatická teória množín
spolu s axiómou výberu sa stala základnou teóriou v matematike 20. storočia.
Uvedieme len niektoré axiómy z teórie množín, ktoré úzko súvisia s množinovým
prístupom zavedenia pojmu prirodzeného čísla. Pri formulovaní týchto axióm použijeme
matematickú symboliku a ich voľnejší výklad popíšeme v priložených komentároch.
Podrobnejší výklad k axiomatickej teórii množín čitateľ nájde v práci [BLAŽEK, 1985]
Axióma extenzionality
Dve množiny sa rovnajú práve vtedy, keď obsahujú rovnaké prvky.
𝑨 = 𝑩⟺ (𝒙 ∈ 𝑨 ⟺ 𝒙 ∈ 𝑩)
Axióma vymedzenia
Pre každú množinu 𝑨 existuje množina 𝑩 obsahujúca práve tie prvky z 𝑨, pre ktoré je splnená
výroková forma 𝝋(𝒙). Túto množinu symbolicky zapíšeme
𝑩 = {𝒙 ∈ 𝑨:𝝋(𝒙)}
Axióma nekonečna
Existuje aspoň jedna nekonečná množina.
21
Komentár k axiómam
Axióma extenzionality
Množiny, ktoré majú rovnaké prvky, sa rovnajú. Uvedomte si, že rovnosť dvoch množín
𝐴 = 𝐵 je binárna relácia. Táto relácia je reflexívna, symetrická a tranzitívna, lebo
ekvivalencia (𝑥 ∈ 𝐴 ⟺ 𝑥 ∈ 𝐵) má tieto vlastnosti.
Axióma vymedzenia
Pre výrokovú formu 𝜑(𝑥)9 definovanú na množine A existuje práve jedna množina 𝐵 =
{𝑥 ∈ 𝐴:𝜑(𝑥)}. Je to množina všetkých prvkom z množiny A, ktoré majú vlastnosť 𝜑(𝑥).
Niektoré zaujímavé dôsledky:
prázdnu množinu charakterizuje výroková forma 𝒙 ≠ 𝒙
podmnožina 𝐵 ⊂ 𝐴 je určená výrokovou formou 𝒙 ∈ 𝑩 ⟹ 𝒙 ∈ 𝑨
prienik dvoch množín určíme pomocou výrokovej formy 𝒙 ∈ 𝑨 ∧ 𝒙 ∈ 𝑩.
Axióma nekonečna
Podrobnejší matematický výklad, ktorý čitateľ nájde v práci [BLAŽEK, 1994]
popisuje konštrukciu aspoň jednej nekonečnej množiny. Konštrukcia nekonečnej množiny
(teda aj jej existencia) vychádza z myšlienky, že ak máme nejaký prvok 𝑥 potom vieme
vytvoriť aj množinu {𝑥} a následne aj množinu {𝑥, {𝑥} }.
Túto konštrukciu môžeme opakovať nekonečne krát. Napríklad vezmime si prázdnu
množinu ∅ ako nejaký konkrétny prvok. V podstate sme si vzali „nič“. Potom podľa axiómy
vymedzenia existuje množina {𝑥: 𝑥 = ∅} = {∅} . Teda množina, ktorá obsahuje prázdnu
množinu ako jediný prvok. Teraz podľa axiómy zdvojenia (túto sme v našom zozname
neuviedli) existuje množina {∅, {∅}}.
∅ ⟶ {∅} ⟶ {∅, {∅}} ⟶ {∅, {∅}, {∅, {∅}}} ⟶ ⋯
V tomto rade máme množiny, ktoré zrejme majú nejaký počet prvkov:
∅ - nula prvkov
{∅} - jeden prvok
{∅, {∅}} - dva prvky atď.
Tento príklad nám ukazuje na možnú súvislosť teórie množín a aritmetiky. Práve o tom
je táto podkapitola.
9 Výroková forma 𝜑(𝑥) je výraz, ktorý obsahuje premennú 𝑥. Ak za premennú dosadíme vhodnú konštantu
dostaneme výrok. Napríklad 𝜑(𝑥): 𝒙 + 𝟑 = 𝟓 je výroková forma a 𝜑(2): 𝟐 + 𝟑 = 𝟓 je pravdivý výrok.
22
Nekonečným množinám sa budeme venovať podrobnejšie v samostatnej kapitole.
Ústredným pojmom pri množinovom prístupe v aritmetike prirodzených čísel je pojem
ekvivalentnosti dvoch množín. Pri jeho zavedení použijeme termín bijektívne zobrazenie medzi
dvoma množinami. Pri konečných množinách si takéto zobrazenie môžeme predstaviť tak, že
prvky dvoch množín navzájom pospájame podľa pravidla „jeden len s jedným“. Ak budú
pospájané všetky prvky v množine 𝐴 a zároveň všetky prvky v množine 𝐵, tak sme vytvorili
bijektívne zobrazenie. Takéto pravidlo používajú aj deti na prvom stupni základnej školy.
Napríklad, keď porovnávajú dve skupiny s rovnakým počtom prvkov.
Budeme hovoriť, že množina 𝐴 je ekvivalentná s množinou 𝐵, ak existuje prosté zobrazenie
množiny 𝐴 na množinu 𝐵 (bijekcia: 𝐴 ⟶ 𝐵). Skutočnosť, že množina 𝐴 je ekvivalentná
s množinou 𝐵 budeme zapisovať symbolom 𝑨 ≈ 𝑩.
2.2.1 Kardinálne číslo množiny
Nech 𝑀 je nekonečná množina a 𝑃(𝑀) jej potenčná množina10. Existenciu množiny 𝑀
zaručuje axióma nekonečna. Definujme binárnu reláciu 𝑅 na potenčnej množine 𝑃(𝑀):
𝑹 = {(𝑨,𝑩) ∈ 𝑷(𝑴) × 𝑷(𝑴):𝑨 ≈ 𝑩}.
Príklad.
Nech 𝑀 = ℕ = {0,1,2, … , 𝑛, … } je množina prirodzených čísel. Potom relácia 𝑅 bude
obsahovať napríklad dvojice:
({𝟎}, {𝟏}), ({1}, {2}), ..., ({0}, {7}), ..., jednoprvkových podmnožín
({𝟎, 𝟏}, {𝟏, 𝟐}), , ..., ({0,1}, {5,7}), ..., dvojprvkových podmnožín
({𝟎, 𝟏, 𝟐}, {𝟏, 𝟐, 𝟒}), , ..., ({0,1,2}, {5,7,8}), ..., trojprvkových podmnožín
atď.
Veta o ekvivalentnosti množín
Nech 𝑷(𝑴) je potenčná množina. Binárna relácia 𝑹 = {(𝑨,𝑩) ∈ 𝑷(𝑴) × 𝑷(𝑴): 𝑨 ≈ 𝑩} je
reflexívna, symetrická a tranzitívna.
Dôkaz.
Binárna relácia 𝑅 = {(𝐴, 𝐵) ∈ 𝑃(𝑀) × 𝑃(𝑀):𝐴 ≈ 𝐵} je zrejme reflexívna. Stačí
uvažovať o identickom zobrazení na množine 𝐴, ktoré je zrejme bijektívne. V takom
prípade dostaneme 𝐴 ≈ 𝐴, z čoho vyplýva (𝐴, 𝐴) ∈ 𝑅.
10 Potenčná množina P(S) je množina všetkých jej podmnožín.
23
Pre ľubovoľnú usporiadanú dvojicu (𝐴, 𝐵) ∈ 𝑅 musí v zmysle definície relácie 𝑅
existovať bijekcia 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵. Uvažujme o inverznom zobrazení 𝑓−1: 𝐵 ⟶ 𝐴. Také
zobrazenie existuje a zrejme je aj bijektívne. To znamená, že platí (𝐵, 𝐴) ∈ 𝑅. Tým
sme dokázali, že 𝑅 je symetrická.
Tranzitívnosť relácie vyplýva z toho, že zloženie dvoch bijektívnych zobrazení je
bijekcia.
Dôsledok.
Relácia R je reláciou ekvivalencie na množine 𝑃(𝑀). Existuje rozklad množiny 𝑃(𝑀) podľa
relácie 𝑅.
Takýto rozklad označíme symbolom 𝑃(𝑀) ∕ 𝑅. Skúmajme teraz triedy tohto rozkladu.
Príklad.
Nech 𝑀 = ℕ = {0,1,2, … , 𝑛, … } je množina všetkých prirodzených čísel. Potom rozklad
𝑃(ℕ) ∕ 𝑅 bude obsahovať napríklad triedu, ktorá obsahuje:
všetky jednoprvkové podmnožiny: 𝑻{𝟏} = {{0}, {1}, {2}, … , {𝑛}, … }
alebo všetky dvojprvkové podmnožiny: 𝑻{𝟎,𝟏} = {{0,1}, {0,2}, … , {1,2}, … , {1, 𝑛}, … }.
Označenie pre triedy rozkladov 𝑻{𝟏}, 𝑻{𝟎,𝟏},... môžeme nahradiť jednoducho symbolmi 1, 2,...,
čo sú vlastne arabské číslice pre označenie prirodzených čísel.
Vo všeobecnosti trieda rozkladu, do ktorej patrí (pod)množina 𝐴, môže byť symbolicky
zapísaná ako 𝑇𝐴 = {𝑋 ∈ 𝑃(𝑀):𝑋 ≈ 𝐴}. Teda je to množina všetkých podmnožín 𝑋 množiny
𝑀, ktoré sú ekvivalentné s podmnožinou 𝐴.
1. Trieda rozkladu, ktorá prináleží prázdnej množine ∅ môžeme zapísať v tvare: 𝑇∅ =
{𝑋 ∈ 𝑃(𝑀): 𝑋 ≈ ∅}. Zrejme obsahuje len jednu množinu a to je práve prázdna množina.
Teda 𝑇∅ = {∅} obsahuje množinu, ktorá má nula prvkov.
2. Trieda rozkladu, ktorá prináleží množine 𝐴 = {𝑎} môžeme zapísať v tvare: 𝑇𝐴 =
{𝑋 ∈ 𝑃(𝑀): 𝑋 ≈ {𝑎}}. Prvkami tejto triedy sú všetky množiny, ktoré majú práve jeden
prvok.
3. Ak zvolíme konečnú množinu 𝑁𝑘 = {𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑘}, tak trieda rozkladu prislúchajúca
množine 𝑁𝑘 bude obsahovať všetky konečné množiny, ktoré obsahujú práve k prvkov.
Tieto úvahy nás vedú ku konštatovaniu, že všetky množiny v danej triede rozkladu majú
rovnaký počet prvkov. To nás oprávňuje zaviesť pojem kardinálneho čísla množiny.
24
Tvrdenie uvedené v predošlej vete platí aj pre systém 𝑆 všetkých množín. Systém všetkých
množín je korektný termín v axiomatickej teórii množín. Termín množina všetkých množín je
nekorektný a vedie k známym Zenónovým apóriam, ktoré sa objavujú pri úvahách
o nekonečne.
Kardinálne číslo množiny
Každej triede rozkladu 𝑇𝐴 = {𝑋 ∈ 𝑆: 𝑋 ≈ 𝐴} na systéme 𝑆 všetkých množín priradíme symbol,
ktorý nazveme kardinálne číslo množiny 𝑨. Symboly používané pre kardinálne číslo množiny
𝑨 sú: 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑨) alebo �̿� prípadne |𝑨|.
2.2.2 Prirodzené čísla ako kardinálne čísla
Nech 𝑺 je nekonečná množina a nech 𝑲 je ľubovoľná konečná podmnožina množiny 𝑆.
Potom množina ℕ = {𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑲),𝑲 ⊂ 𝑺} je množina prirodzených čísel.
Prirodzené čísla ako kardinálne čísla konečných množín sú východiskom pre zavedenie
pojmu prirodzeného čísla v školskej matematike. Na prvom stupni základných škôl sa žiaci
oboznamujú s prirodzenými číslami tak, že skúmajú vlastnosti konkrétnych konečných
množín pomocou spájania prvkov v týchto množinách.
Napríklad pomocou nasledujúceho diagramu ukážu, že počet „krúžkov“ v prvej skupinke
je rovný počtu „štvorčekov“ v druhej skupinke. Spoločnú vlastnosť týchto dvoch skupín neskôr
pomenujú slovom tri a na označenie použijú arabskú číslicu 3.
Obrázok 3: Porovnávanie množín
Terminológiu teórie množín v zásade nepoužívajú, ale používajú termíny ako skupina,
hromada, a pod. Uvedomme si, že grafické spájanie predstavuje prosté zobrazenie z jednej do
druhej množiny.
Nasledujúci príklad z pracovného listu pre prvý ročník základnej školy hovorí
o kardinálnom čísle množiny, ktorá má práve štyri prvky. Žiaci sú nútení abstrahovať od farby
a veľkosti jabĺk v skupine. Príklad môže byť modifikovaný rôznymi typmi otázok. Napríklad
môžeme sa pýtať, koľko je červených jabĺk a pod. Úlohy tohto typu neskôr rozširuje tak, že
25
vytvárame skupinky rôznych druhov ovocia a zároveň zväčšujeme jeho množstvo. To nám
umožní meniť charakteristickú vlastnosť pre konkrétnu podmnožinu ovocia.
Príklad.
Na obrázku sú jablká rôznej farby a veľkosti. Pýtame sa: Koľko jabĺk vidíme na obrázku?
Obrázok 4: Jablká
Odpovedáme: Na obrázku vidíme 4 jablká.
2.2.3 Aritmetické operácie s kardinálnymi číslami
Sčítanie kardinálnych čísel
Nech 𝐴, 𝐵 sú dve konečné a zároveň disjunktné množiny, ktorých kardinálne čísla sú
𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑨), 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑩). Potom pod súčtom týchto kardinálnych čísel budeme rozumieť kardinálne
číslo zjednotenia 𝑨 ∪ 𝑩. Symbolicky:
𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑨) + 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑩) = 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑨 ∪ 𝑩), ak 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅
V definícii predpokladáme, že množiny 𝐴, 𝐵 sú disjunktné. Ak množiny 𝐴, 𝐵 nie sú
disjunktné, tak vieme nájsť množiny 𝐴∗, 𝐵∗, ktoré budú disjunktné a zároveň bude platiť 𝐴 ≈
𝐴∗, 𝐵 ≈ 𝐵∗. 11 Potom pod súčtom kardinálnych čísel množín 𝐴, 𝐵 budeme rozumieť súčet
kardinálnych čísel množín 𝐴∗, 𝐵∗. Ak má byť definícia súčtu dvoch kardinálnych čísel korektná,
tak nemôže závisieť od výberu množín 𝐴, 𝐵. Dokážeme nasledujúce tvrdenie.
Veta o súčte kardinálnych čísel
Nech 𝐴, 𝐵 sú množiny, pre ktoré platí 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ a nech 𝐴∗, 𝐵∗ sú ľubovoľné disjunktné
množiny, pre ktoré platí 𝐴 ≈ 𝐴∗, 𝐵 ≈ 𝐵∗. Potom platí:
𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑨) + 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑩) = 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑨∗ ∪ 𝑩∗)
Dôkaz. Stačí ukázať, že existuje bijekcia 𝑓: 𝐴 ∪ 𝐵 ⟶ 𝐴∗ ∪ 𝐵∗.
1. Množiny 𝐴,𝐴∗ sú ekvivalentné existuje bijekcia 𝑓1: 𝐴 ⟶ 𝐴∗.
2. Podobne pre množiny 𝐵,𝐵∗ vieme nájsť bijekciu 𝑓2: 𝐵 ⟶ 𝐵∗
3. Definujme zobrazenie 𝑓: 𝐴 ∪ 𝐵 ⟶ 𝐴∗ ∪ 𝐵∗ takto:
𝑓(𝑥) = {𝑓1(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐴
𝑓2(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐵 .
11 Premyslite dôkaz tohto tvrdenia.
26
Zobrazenie 𝑓(𝑥) je zrejme bijekcia. Ilustrujte to konkrétnom príklade a premyslite
podrobný zápis dôkazu.
Príklad.
Nech 𝐴, 𝐵 sú množiny, pre ktoré platí 𝐴 = {1,2,3} a 𝐵 = {3,4}. Vypočítajte súčet 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴) +
𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐵) .
Keďže množiny 𝐴, 𝐵 nie sú disjunktné, nahraďme napríklad množinu 𝐵 inou ale s ňou
ekvivalentnou množinou. Napríklad 𝐵∗ = {𝑎, 𝑏}, ktorá obsahuje písmená. Potom už bude platiť
𝐴 ∩ 𝐵∗ = ∅ a podľa predchádzajúcej vety dostaneme:
𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴) + 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐵) = 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴 ∪ 𝐵∗) = 𝑐𝑎𝑟𝑑({1,2,3, 𝑎, 𝑏}) = 𝟓 .
Na začiatku tejto podkapitoly sme uviedli, že axiomatická teória množín sa stala
základnou teóriou v matematike 20. storočia. Silu teórie množín teraz môžeme prezentovať pri
odvodení vlastností sčítania prirodzených čísel, ak využijeme vlastnosti zjednotenia dvoch
množín. Pre zjednotenie dvoch množín (a teda aj disjunktných množín) platí komutatívny
a asociatívny zákon. Ak označíme
𝑐𝑎𝑟𝑑(∅) = 0, 𝑐𝑎𝑟𝑑({𝑎}) = 1, ..., 𝑐𝑎𝑟𝑑({𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑘}) = 𝑘,
tak tvrdenia z Vety o sčítaní a násobení prirodzených čísel týkajúce sa komutatívnosti,
asociatívnosti a distributívnosti uvedené v Peanovej aritmetike sú jednoduchým dôsledkom
tvrdení z teórie množín.
Napríklad platí 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑨) + 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑩) = 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑩) + 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑨) lebo platí 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴.
Táto skutočnosť je hlavným dôvodom, prečo sa v školskej matematike zavádzajú
prirodzené čísla ako kardinálne čísla konečných množín.
Násobenie kardinálnych čísel
Nech 𝐴, 𝐵 sú dve konečné množiny, ktorých kardinálne čísla sú 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑨), 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑩).
Potom pod súčinom týchto kardinálnych čísel budeme rozumieť kardinálne číslo
karteziánskeho súčinu 𝑨 × 𝑩. Symbolicky:
𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑨) ∙ 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑩) = 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑨 × 𝑩).
Pre karteziánsky súčin dvoch množín platí komutatívny a asociatívny zákon. To znamená,
že násobenie prirodzených čísel je komutatívne a asociatívne. Tiež platí množinová rovnosť (v
logike jej zodpovedá tautológia)
𝐴 × (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∪ (𝐴 × 𝐶),
odkiaľ vyplynie distributívnosť násobenia voči sčítaniu. Pomocou množinových rovností
môžeme ľahko ukázať vlastnosť násobenia číslami nula a jedna.
27
V tejto podkapitole sme niekoľko krát použili termín konečná resp. nekonečná množina,
ktorých význam intuitívne chápeme. V teórii množín sa zaužívali dva prístupy k definovaniu
pojmu konečná resp. nekonečná množina. Uvedieme obidva prístupy. Predtým ešte uvedieme
aký je vzájomný vzťah medzi Peanovou aritmetikou a množinovým prístupom.
Vzájomný vzťah medzi Peanovou aritmetikou a množinovým prístupom popisuje
nasledujúca konštrukcia. Nasledovníka prirodzeného čísla 𝑛 zavedieme ako kardinálne číslo
množiny 𝐴 ∪ {𝑥}, kde 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴) = 𝑛 a zároveň 𝑥 ∉ 𝐴.
2.2.4 Konečná a nekonečná množina
Tarskeho definícia konečnej množiny: Množina A je konečná, pokiaľ každá neprázdna
podmnožina potenčnej množiny 𝑃(𝐴) má aspoň jeden maximálny prvok vzhľadom k
usporiadaniu „byť podmnožinou“. Nekonečná množina je taká množina, ktorá nie je konečná.
Príklad.
Maximálny prvok množiny 𝐴 = {{1}, {2}, {1,2,3}} je podmnožina {1,2,3}, pretože množiny
{1}, {2} sú zároveň jej podmnožinami. Prešetrením všetkých možných podmnožín množiny
𝑃(𝐴) zistíme, že každá má maximálny prvok. Z uvedeného vyplýva, že množina 𝐴 je konečná.
Mimochodom počet všetkých podmnožín množiny 𝐴 = {{1}, {2}, {1,2,3}} je rovný 23 = 8!
Pri množinách s veľkým počtom prvkov je aplikácia Tarskeho definície príliš náročná
a rozsiahla.
Dedekindova definícia nekonečnej množiny: Množina 𝐴 je nekonečná, ak je ekvivalentná
s nejakou jej vlastnou podmnožinou. Konečná množina je taká množina, ktorá nie je nekonečná.
Pre naše ďalšie skúmania vlastností prirodzených čísel bude vhodná Dedekindova
definícia nekonečnej množiny. Ukážeme, že množina všetkých prirodzených čísel je nekonečná
množina.
28
Veta o nekonečnosti množiny prirodzených čísel
Množina všetkých prirodzených čísel je nekonečná množina
Dôkaz.
Nech 𝑀 = ℕ− {0} je množina všetkých prirodzených čísel okrem nuly. Zrejme platí:
𝑀 ⊂ ℕ . Definujme zobrazenie
𝜐: ℕ ⟶ 𝑀,
kde 𝜐(𝑛) označuje nasledovníka prirodzeného čísla 𝑛. Z definície nasledovníka vyplýva, že
funkcia nasledovník je prostá. Keďže 0 ∉ 𝑀, tak zobrazenie 𝜐 bude aj zobrazením „na“. Pozri
obrázok.
Obrázok 5: Bijekcia
To znamená, že množina prirodzených čísel je ekvivalentná so svojou vlastnou
podmnožinou. Odtiaľ vyplýva, že množina ℕ nekonečná.
V definícii kardinálneho čísla sme predpokladali, že 𝑆 je systém všetkých množín. To
znamená, že tento systém obsahuje aj množinu všetkých prirodzených čísel ℕ. Preto má zmysel
pýtať sa, aké je kardinálne číslo množiny všetkých prirodzených čísel. Je zrejmé, že to nemôže
byť žiadne prirodzené číslo.
V opačnom prípade, by množina ℕ všetkých prirodzených čísel bola konečná.
Pripomíname, že sme prirodzené čísla v predchádzajúcej časti zaviedli takto: Nech 𝑆 je
nekonečná množina a nech 𝑲 je ľubovoľná konečná podmnožina množiny 𝑆. Potom množina
ℕ = {𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑲),𝑲 ⊂ 𝑺} je množina prirodzených čísel.
Na označenie kardinálneho čísla množiny všetkých prirodzených čísel použil Cantor
písmeno hebrejskej abecedy ℵ - alef, pričom pridal dolný index 0. Z uvedeného vyplýva, že
𝒄𝒂𝒓𝒅(ℕ) ≝ ℵ𝟎.
Úvahy aplikované v dôkaze vety o nekonečnosti množiny prirodzených čísel nám
umožňujú tvrdiť, že pre kardinálne číslo množiny 𝑀 = ℕ− {0} platí:
𝒄𝒂𝒓𝒅(ℕ − {𝟎}) = ℵ𝟎 ale tiež platí ℵ𝟎 + 𝟏 = ℵ𝟎.
Analogickými úvahami by sme prišli k záveru, že
𝒄𝒂𝒓𝒅(ℕ − 𝑵𝒌) = ℵ𝟎, kde 𝑁𝑘 = {1,2, … , 𝑘}
29
Uvedené vzťahy sa často interpretujú známou historkou, ako sa ubytovať v „nekonečnom
hoteli“12. Kardinálne číslo ℵ0 je prvým nekonečným kardinálnym číslom. Teória, ktorá skúma
vzťahy medzi nekonečnými kardinálnymi číslami, tvorí samostatnú časť v teoretickej
aritmetike a nesie názov Spočítateľné a nespočítateľné množiny. Kapitolu o obore
prirodzených číslach uzavrieme podkapitolou o usporiadaní na množine prirodzených čísel.
2.2.5 Usporiadanie na množine prirodzených čísel
Pri štúdiu binárnych relácií sme sa stretli s pojmom lineárneho usporiadania. Vo
všeobecnosti binárnu reláciu nazývame lineárnym usporiadaním, ak táto relácia je
antisymetrická, tranzitívna a úplná. V prípade, že relácia je zároveň antireflexívna hovoríme
o ostrom lineárnom usporiadaní.
Na množine prirodzených čísel ℕ zavedieme binárnu reláciu ≤ takto:
Prirodzené číslo 𝑚 je menšie nanajvýš rovné číslu 𝑛 (označenie 𝑚 ≤ 𝑛 ) práve vtedy, ak
existuje prirodzené číslo 𝑝 ∈ ℕ a zároveň 𝒎+ 𝒑 = 𝒏, kde 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ.
Z vlastností množiny prirodzených čísel ako kardinálnych čísel vyplýva, že existujú
množiny 𝑁𝑚 = {1,2, … ,𝑚} a 𝑁𝑛 = {1,2, … , 𝑛} a zároveň pre ich kardinálne čísla platí:
𝑐𝑎𝑟𝑑(𝑁𝑚) = 𝑚, 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝑁𝑛) = 𝑛.
Teraz môžeme reláciu ≤ zaviesť nasledovne: 𝑚 ≤ 𝑛 práve vtedy, ak 𝑁𝑚 ⊂ 𝑁𝑛. Takto
definovaná binárna relácia ≤ má tri základné vlastnosti: je antisymetrická, tranzitívna a úplná.
Veta o lineárnom usporiadaní množiny prirodzených čísel
V nasledujúcej vete použijeme formálne matematické zápisy z dôvodu, aby sme čitateľovi
priblížili aj ukážku čisto matematického dôkazu. Komentár k nasledujúcej vete prenechávame
pre čitateľa.
Binárna relácia ≤ je lineárnym usporiadaním.
Relácia ≤ je antisymetrická:
∀𝑚, 𝑛 ∈ ℕ: (𝑚 ≤ 𝑛) ∧ (𝑛 ≤ 𝑚) ⟹ 𝑚 = 𝑛
Relácia ≤ je tranzitívna:
∀𝑚, 𝑛, 𝑘 ∈ ℕ: (𝑚 ≤ 𝑛) ∧ (𝑛 ≤ 𝑘) ⟹ 𝑚 ≤ 𝑘
Relácia ≤ je úplná:
∀𝑚, 𝑛 ∈ ℕ: (𝑚 ≤ 𝑛) ∨ (𝑛 ≤ 𝑚)
12 Viac na http://necyklopedie.wikia.com/wiki/Paradox_nekonečna
30
Dôkaz.
1. Antisymetričnosť. Predpokladajme, že výrok ∀𝑚, 𝑛 ∈ ℕ: (𝑚 ≤ 𝑛) ∧ (𝑛 ≤ 𝑚) je
pravdivý. Z definície binárnej operácie ≤ vyplýva, že existujú prirodzené čísla 𝑝1, 𝑝2 a
zároveň platia rovnosti:
𝑚 + 𝑝1 = 𝑛 a zároveň 𝑛 + 𝑝2 = 𝑚.
Dosaďme do druhej rovnosti za číslo n hodnotu 𝑚 + 𝑝1. Po vhodných úpravách (ak
použijeme asociatívnosť pre sčítanie a vlastnosť nuly) dostaneme rovnosť 𝑚 +
(𝑝1 + 𝑝2) = 𝑚 + 0. Využitím vlastnosti „vety o krátení pre sčítanie“ dostaneme, že
𝑝1 + 𝑝2 = 0. Posledná rovnosť platí len pre 𝑝1 = 𝑝2 = 0. Dokážte to! Záver: 𝒎 = 𝒏.
2. Tranzitívnosť. Predpokladajme, že výrok ∀𝑚, 𝑛, 𝑘 ∈ ℕ: (𝑚 ≤ 𝑛) ∧ (𝑛 ≤ 𝑘) je
pravdivý. Z definície operácie ≤ vyplýva, že existujú prirodzené čísla 𝑝1, 𝑝2 a zároveň
platia rovnosti:
𝑚 + 𝑝1 = 𝑛 a zároveň 𝑛 + 𝑝2 = 𝑘.
Dosadením za 𝑛 dostaneme (𝑚 + 𝑝1) + 𝑝2 = 𝑘 a využitím asociatívnosti sčítania
dostaneme požadované tvrdenie.
Dôkaz posledného tvrdenia prenechávame na čitateľa.
Operácie sčítania a násobenia prirodzených čísel sú kompatibilné s reláciou lineárneho
usporiadania v nasledujúcom význame. Pre ľubovoľné prirodzené čísla knm ,, platí:
1. Ak 𝑚 ≤ 𝑛, tak 𝑚 + 𝑘 ≤ 𝑛 + 𝑘 .
2. Ak 𝑚 ≤ 𝑛, tak 𝑚. 𝑘 ≤ 𝑛. 𝑘 .
Dokážte tieto tvrdenia využitím vlastností kardinálnych čísel. Zrejme druhé tvrdenie
triviálne platí pre 𝑘 = 0.
V školskej matematike tieto tvrdenia môžeme prezentovať ako ekvivalentné úpravy pri
riešení nerovníc. Pričítanie prirodzeného čísla k obidvom stranám nerovnice a vynásobenie
oboch strán nerovnice nenulovým prirodzeným číslom (teda kladným).
31
Cvičenie
1. Spočítajte a zdôvodnite:
0 + 2 = 0 . 2 =
5 + 1 = 5 . 1 =
4 + 3 = 4 . 3 =
2. Pomocou matematickej indukcie dokážte, že pre ľubovoľné prirodzené čísla 𝑥, 𝑦 ∈ ℕ
platí:
𝑥 = 0 + 𝑥 = 𝑥 + 0
𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥
𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑦 ∙ 𝑥
3. Dokážte, že pre všetky prirodzené čísla 𝑛 ≥ 1 platí:
1 + 3 +⋯+ (2𝑛 − 1) = 𝑛2
13 + 23 +⋯+ 𝑛3 =1
4𝑛2(𝑛 + 1)2
4. Zdôvodnite priamo z definície, prečo platí:
0 ≤ 2 5 ≤ 12
32
3 Obor celých čísel
Ako sme ukázali na začiatku prvej kapitoly jednoduchá algebrická rovnica 𝑥 + 5 = 2,
ktorej koeficienty 1, 2, 5 sú prirodzené čísla nemá v obore prirodzených čísel riešenie. Naše
vedomosti z elementárnej matematiky nám napovedajú, že riešenie existuje v inom číselnom
obore, v obore celých čísel. Jednoducho, ak budeme aplikovať jednu z ekvivalentných úprav
„odčítanie“ čísla 5 k obidvom stranám rovnice, tak dostaneme
(𝑥 + 5) − 5 = 2 − 5.
Po úprave na ľavej strane rovnice dostaneme 𝑥, ale na pravej strane rovnice to nie je
prirodzené číslo. Výsledkom je záporné číslo -3. Táto jednoduchá rovnica a jej riešenie skrýva
v sebe základnú myšlienku pre zavedenie celých čísel. Pomocou inverznej operácie k sčítaniu
– pomocou odčítania. V kapitole o prirodzených číslach sme sa nezmienili o možnostiach
odčítania v množine ℕ. Zrejme niekedy odčítať dve prirodzené čísla vieme a niekedy nie. Vo
všeobecnosti odčítanie v obore prirodzených čísel zavedieme nasledovne.
Nech 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ sú prirodzené čísla. Ak existuje jediné prirodzené číslo 𝑟 ∈ ℕ, pre ktoré je
splnená rovnosť 𝑚 + 𝑟 = 𝑛, tak toto číslo nazveme rozdielom čísel 𝑛,𝑚 v tomto poradí
a budeme ho označovať symbolom 𝒏 −𝒎.
Zrejme pre čísla 2, 5 neexistuje rozdiel 𝑟 = 2 − 5. Pri jeho hľadaní vlastne riešime
rovnicu 5 + 𝑟 = 2, čo je naša rovnica z úvodu tejto kapitoly.
Keď chcel človek vyjadriť hodnoty menšie ako nula (nadmorská výška pod úrovňou
morskej hladiny, teplota pod 0°𝐶 a pod.) začal používať aj opačné čísla k prirodzeným číslam.
Opačné číslo k prirodzenému číslu 𝑛 ∈ ℕ, ktoré už nevyjadruje počet prvkov nejakej množiny
(nie je to už prirodzené číslo), označme symbolom −𝒏. Číslo opačné k prirodzenému číslu
budeme nazývať záporné číslo. Opačné číslo −𝑛 jednoznačne dokážeme určiť pomocou
prirodzeného čísla 𝑛. Jednoducho postačí, ak budeme požadovať platnosť vzťahu
𝑛 + (−𝑛) = 0.
Napríklad pri interpretácii pojmu záporného čísla (−3) v piatom ročníku základnej školy
s výhodou môžeme použiť termín „pasíva“. Na druhej strane prirodzené číslo 3 interpretujme
ako „aktíva“. Žiaci potom budú prirodzene chápať, že platí aj rovnosť
3 + (−3) = 0 alebo rovnosť (−3) + 3 = 0.
Túto rovnosť potom využijú pri riešení rovnice 𝑥 + 5 = 2. Po jednoduchej úprave
(asociatívnosť sčítania prirodzených čísel) dostanú rovnicu
(𝑥 + 3) + 2 = 2.
33
Predpokladajme, že od obidvoch strán rovnice žiaci vedia odčítať to isté prirodzené číslo.
V tomto prípade zvolia číslo 2. Poznamenajme, že toto odčítanie je predstavuje vetu o krátení
pri sčítaní. Po odčítaní dostaneme „jednoduchšiu“ rovnicu
𝑥 + 3 = 0.
Keďže už ukázali, že platí rovnosť 3 + (−3) = 0, tak zrejme dokážu nájsť riešenie rovnice.
Bude ním záporné číslo 𝑥 = (−3).
Navrhnutý spôsob riešenia rovnice 𝑥 + 5 = 2 je nepraktický, ktorý žiakom na 2. stupni
ZŠ nebude vyhovovať. Zrejme by očakávali, že bude výhodnejšie poznať rozdiel (2 − 5)
a danú rovnicu potom riešiť pomocou odčítania čísla 5 od obidvoch strán rovnice. K tomu budú
potrebovať nové teoretické rozšírenie oboru prirodzených čísel práve o takéto rozdiely.
Celé čísla (prirodzené čísla spolu so zápornými) môžeme v určitom širšom význame
chápať ako všetky možné rozdiely dvoch prirodzených čísel. Problém je však v tom, že niektoré
rozdiely neexistujú v množine prirodzených čísel.
Napríklad ako sme už poukázali rozdiel (2 − 5), ktorý by mal byť riešením našej rovnice
neexistuje v množine prirodzených čísel. Na druhej strane, zrejme aj rozdiel (0 − 3) je
riešením našej rovnice. Všimnime si jednu podstatnú skutočnosť. Ak rozdiel prirodzených čísel
(2 − 5) a zároveň aj rozdiel (0 − 3) je hľadaným riešením rovnice, potom musí platiť rovnosť
(𝟐 − 𝟓) = (𝟎 − 𝟑).
Po jednoduchej úprave (postupné pričítanie čísla 5 a čísla 3 k obidvom stranám rovnosti)
dostaneme rovnosť
𝟐 + 𝟑 = 𝟎 + 𝟓.
To znamená, že dva rozdiely prirodzených čísel (𝟐 − 𝟓) a (𝟎 − 𝟑) budú predstavovať to isté
záporné číslo (−3) práve vtedy, ak platí rovnosť 𝟐 + 𝟑 = 𝟎 + 𝟓.
Platnosť poslednej rovnosti vieme bez problémov overiť, pretože sčitovať prirodzené čísla
sme sa naučili v prvej kapitole.
Z uvedeného vyplýva, že celé čísla môžeme zaviesť pomocou dvojíc prirodzených čísel,
pričom dve dvojice prirodzených čísel (𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑) budú predstavovať to isté celé číslo, ak
bude platiť rovnosť 𝑎 + 𝑑 = 𝑐 + 𝑏.
34
3.1 Rozšírenie oboru prirodzených čísel na obor celých čísel
Nech ℕ je množina všetkých prirodzených čísel a nech ℕ × ℕ je karteziánsky súčin tejto
množiny. Definujme binárnu reláciu 𝑅 ⊂ ℕ × ℕ takto:
(𝑎, 𝑏)𝑅(𝑐, 𝑑) ⟺ 𝑎 + 𝑑 = 𝑐 + 𝑏.
Slovom:
Dve usporiadané dvojice prirodzených čísel (𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑) sú v relácii13, ak platí rovnosť 𝑎 +
𝑑 = 𝑐 + 𝑏 (súčet prvého člena prvej dvojice s druhým členom druhej dvojice sa rovná súčtu prvého člena druhej
dvojice s druhým členom prvej dvojice).
Relácia R je reflexívna, symetrická a tranzitívna.
Dôkaz:
1. Nech 𝑅 je binárna relácia s požadovanou vlastnosťou a nech (𝑥, 𝑥) ∈ ℕ × ℕ je
ľubovoľná dvojica prirodzených čísel. Potom zrejme platí (𝑥, 𝑥)𝑅(𝑥, 𝑥), lebo platí 𝑥 +
𝑥 = 𝑥 + 𝑥. Odkiaľ dostaneme, že relácia 𝑅 ⊂ ℕ × ℕ je reflexívna.
2. Nech ľubovoľné dve usporiadané dvojice sú v relácii 𝑅: (𝑎, 𝑏)𝑅(𝑐, 𝑑). Posledný vzťah
je ekvivalentný s rovnosťou: 𝑎 + 𝑑 = 𝑐 + 𝑏. Rovnosť prirodzených čísel je symetrická,
preto tiež platí: 𝑐 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑑. Táto rovnosť je ekvivalentná so vzťahom (𝑐, 𝑑)𝑅(𝑎, 𝑏),
preto platí: binárna relácia je 𝑅 symetrická.
3. Nech platí (𝑎, 𝑏)𝑅(𝑐, 𝑑) a zároveň (𝑐, 𝑑)𝑅(𝑒, 𝑓). Z definície relácie 𝑅 vyplýva, že musí
platiť 𝑎 + 𝑑 = 𝑐 + 𝑏 a zároveň 𝑐 + 𝑓 = 𝑑 + 𝑒. Pripočítajme k prvej rovnosti číslo 𝑓 a
k druhej rovnosti číslo 𝑏. Dostaneme rovnosti 𝑎 + 𝑑 + 𝑓 = 𝑐 + 𝑏 + 𝑓, 𝑐 + 𝑓 + 𝑏 =
𝑑 + 𝑒 + 𝑏.
Zrejme platí 𝑐 + 𝑏 + 𝑓 = 𝑐 + 𝑓 + 𝑏 (komutatívnosť sčítania). Ak využijeme, že
rovnosť prirodzených čísel je tranzitívna, tak dostaneme 𝑎 + 𝑑 + 𝑓 = 𝑑 + 𝑒 + 𝑏. Teraz
stačí aplikovať komutatívnosť a vetu o krátení a dostaneme (𝑎, 𝑏)𝑅(𝑒, 𝑓).
Dôsledky:
Relácia R je reláciou ekvivalencie na množine ℕ × ℕ.
Existuje rozklad množiny ℕ × ℕ podľa relácie R.
Tento rozklad budeme označovať symbolom ℕ × ℕ/𝑅. Skúmajme triedy rozkladu.
13 Binárna relácia 𝑅 je množina, ktorej prvky sú dvojice prirodzených čísel!
35
Nech ℕ = {0,1,2, … , 𝑛, … } je množina všetkých prirodzených čísel. Potom rozklad ℕ ×
ℕ ∕ 𝑅 je množina, ktorej prvky/triedy sú podmnožiny karteziánskeho súčinu. Každá trieda
obsahuje len prvky, ktoré sú usporiadanými dvojicami prirodzených čísel!
Príklad.
Označme symbolom 𝑻(𝟏,𝟎) triedu, ktorá obsahuje dvojicu (𝟏, 𝟎) ∈ ℕ × ℕ. Potom trieda
𝑇(1,0) bude obsahovať aj všetky usporiadané dvojice typu (𝒏 + 𝟏, 𝒏), lebo platí (1, 0)𝑅(𝑛 +
1, 𝑛) ⟺ 1 + 𝑛 = (𝑛 + 1) + 0. Triedu 𝑇(1,0) môžeme určiť vymenovaním jej prvkov:
𝑻(𝟏,𝟎) = {(1, 0), (2, 1), (3, 2), … , (𝑛 + 1, 𝑛),… }.
Podobne by sme ukázali, že trieda 𝑇(0,1), ktorá obsahuje dvojicu (0,1) ∈ ℕ × ℕ bude
obsahovať aj všetky usporiadané dvojice typu (𝑛, 𝑛 + 1).
𝑻(𝟎,𝟏) = {(0, 1), (1, 2), … , (7, 8), … , (𝑛, 𝑛 + 1),… }.
Označenie pre triedy rozkladov 𝑻(𝟏,𝟎), 𝑻(𝟎,𝟏) môžeme nahradiť aj inými symbolmi.
Napríklad v literatúre sa objavujú symboly (1, 0)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅, (0, 1)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅. My použijeme jednoduchšie symboly
1, -1, čo sú vlastne arabské číslice pre označenie celých čísel.
Poznámky.
Vo všeobecnosti trieda rozkladu, do ktorej patrí usporiadaná dvojica (𝑎, 𝑏) je množina
všetkých usporiadaných dvojíc (𝑥, 𝑦), ktorá môže byť symbolicky zapísaná ako
𝑻(𝒂,𝒃) = {(𝒙, 𝒚) ∈ ℕ × ℕ: 𝒂 + 𝒚 = 𝒙 + 𝒃}
Všimnime si, že triedy rozkladu, ktoré prináležia usporiadanej dvojici (𝑎, 𝑏), kde 𝑎 ≥
𝑏, budú reprezentované prirodzenými číslami. V prípade, že 𝑎 < 𝑏 dostaneme triedy
rozkladu, ktoré budú reprezentované zápornými číslami.
Naše úvahy o triedach rozkladu ℕ × ℕ/𝑅 nás oprávňujú zaviesť množinu všetkých celých
čísel ako množinu tried tohto rozkladu. Zhrňme si naše úvahy:
1. Za základnú (východiskovú) množinu sme zvolili množinu prirodzených čísel ℕ,
ktorú sme napríklad popísali Peanovou aritmetikou.
2. Vytvorili sme množinu všetkých usporiadaných dvojíc (𝑥, 𝑦) prirodzených čísel
pomocou karteziánskeho súčinu ℕ × ℕ.
3. Dvojice prirodzených čísel sme zatriedili do skupín tak, že pre ľubovoľné dve dvojice
čísel (𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑) z rovnakej skupiny platí rovnosť 𝑎 + 𝑑 = 𝑐 + 𝑏.
Uvedieme definíciu množiny celých čísel, ktorá vychádza z týchto úvah.
36
3.2 Množina celých čísel
Nech 𝑅 ⊂ ℕ × ℕ je relácia ekvivalencie, pre ktorú platí:
(𝑎, 𝑏)𝑅(𝑐, 𝑑) ⟺ 𝑎 + 𝑑 = 𝑐 + 𝑏
a nech ℤ = ℕ × ℕ/𝑅 je rozklad množiny ℕ × ℕ podľa relácie 𝑅. Potom prvky množiny ℤ
budeme nazývať celé čísla.
Poznámka.
Nech (𝑎, 𝑏) ∈ ℕ × ℕ, potom v prípade:
𝑎 ≥ 𝑏 triedu rozkladu 𝑇(𝑎,𝑏) budeme označovať symbolom 𝒏, kde 𝑛 = 𝑎 − 𝑏 je
prirodzené číslo, zrejme platí 𝑻(𝒂,𝒃) =𝑻(𝒂−𝒃,𝟎) ≝ 𝒏. Tieto čísla budeme nazývať
nezáporné celé čísla a množinu všetkých nezáporných čísel symbolom ℤ+.
𝑎 < 𝑏 triedu rozkladu 𝑇(𝑎,𝑏) budeme označovať symbolom −𝒏, kde 𝑛 = 𝑏 − 𝑎 je
zrejme prirodzené číslo. V tomto prípade je 𝑻(𝒂,𝒃) =𝑻(𝟎,𝒃−𝒂) ≝ −𝒏. Takéto celé čísla
budeme nazývať záporné celé čísla a množinu všetkých nezáporných čísel symbolom
ℤ−.
3.2.1 Súčet a súčin celých čísel
Relácia ekvivalencie 𝑅 z predchádzajúcej definície nám zabezpečila, že máme „nosič“ pre
celé čísla. Teraz musíme definovať súčet a súčin celých čísel. Nech 𝑇(𝑎,𝑏) a 𝑇(𝑐,𝑑) sú dve celé
čísla (dve triedy rozkladu), potom súčet ⊕ a súčin ⊙ 14 týchto celých čísel popisujú
nasledujúce dve definície.
Sčítanie celých čísel: 𝑻(𝒂,𝒃)⊕𝑻(𝒄,𝒅) = 𝑻(𝒂+𝒄,𝒃+𝒅)
Násobenie celých čísel: 𝑻(𝒄,𝒅) = 𝑻((𝒂.𝒄+𝒃.𝒅),(𝒂.𝒅+𝒃.𝒄))
Zvoľme si tri celé čísla 𝟐, 𝟑, −𝟑. Z definície množiny celých čísel vyplýva, že tieto čísla
sú triedy rozkladu ℕ × ℕ/𝑅. Bez ujmy na všeobecnosti môžeme povedať, že platia vzťahy
𝑇(2,0) ≝ 𝟐, 𝑇(3,0) ≝ 𝟑, 𝑇(0,2) = −𝟐, 𝑇(0,3) = −𝟑.15
Interpretujme súčet tried
𝟐⊕ 𝟑 = 𝑇(2,0)⊕𝑇(3,0) = 𝑻(2+3,0+0) = 𝑇(5,0) = 𝟓
𝟑⊕ (−𝟐) = 𝑇(3,0)⊕𝑇(0,2) = 𝑻(3+0,0+2) = 𝑇(3,2) = 𝟏
𝟐⊕ (−𝟑) = 𝑇(2,0)⊕𝑇(0,3) = 𝑻(2+0,0+3) = 𝑇(2.3) = −𝟏
14 Bežne používané symboly pre sčítanie a násobenie v algebrických štruktúrach. 15 Uvedené vzťahy nezávisia od výberu reprezentantov. Napríklad 𝑇(2,0) = 𝑇(3,1) = 𝑇(n+2,n). Pozri cvičenia
k tejto kapitole.
37
Interpretujme súčin tried
𝟐⊙ 𝟑 = 𝑇(2,0)⊙𝑇(3,0) = 𝑻((2⋅3+0⋅0),(2⋅0+0⋅3)) = 𝑇(6,0) = 𝟔
𝟐⊙ (−𝟑) = 𝑇(2,0)⊙𝑇(0,3) = 𝑻((2⋅0+0⋅3),(2⋅3+0⋅0)) = 𝑇(0,6) = −𝟔
(−𝟐)⊙ (−𝟑) = 𝑇(0,2)⊙𝑇(0,3) = 𝑻((0⋅0+2⋅3),(0⋅3+2⋅0)) = 𝑇(6,0) = 𝟔
Poznámka.
Súčin 𝑻(𝒂,𝒃). 𝑻(𝒄,𝒅) si ľahko zapamätáme pomocou súčinu dvojčlenov
(𝒂 − 𝒃)(𝒄 − 𝒅) = (𝒂. 𝒄 + 𝒃. 𝒅) − (𝒂. 𝒅 + 𝒃. 𝒄).
Takto definovaný súčet a súčin celých čísel je korektný. To znamená, že nie je závislý od
výberu „reprezentantov“ 𝑻(𝒂,𝒃), 𝑻(𝒄,𝒅). Korektnosť definície súčtu znamená, že platí
nasledujúce tvrdenie.
Ak 𝑻(𝒂,𝒃) = 𝑻(𝒑,𝑞) a zároveň 𝑻(𝒄,𝒅) = 𝑻(𝒓,𝒔), tak:
𝑻(𝒂,𝒃)⊕𝑻(𝒄,𝒅) = 𝑻(𝒑,𝑞)⊕𝑻(𝒓,𝒔)
𝑻(𝒂,𝒃)⊙𝑻(𝒄,𝒅) = 𝑻(𝒑,𝑞)⊙𝑻(𝒓,𝒔)
Dôkazy týchto tvrdení presahujú rámec tejto publikácie. Vo vysokoškolských kurzoch
z aritmetiky ich študenti dostávajú ako samostatné cvičenia.
Na základe predchádzajúcich úvah môžeme množinu celých čísel symbolicky zapísať ako
množinu:
ℤ = {… ,−3, −2,−1, 0, 1, 2, 3, … }
alebo
ℤ = { 0, ±1,±2,±3, … }.
Vlastnosti celých čísel
1. Pre súčet a súčin celých čísel (tried rozkladu) platí vlastnosť komutatívnosti
a asociatívnosti, pričom súčin je distributívny k sčítaniu.
2. Neutrálny (nulový) prvok pre sčítanie je trieda 𝑻(𝒙,𝒙) ≝ 𝟎.
3. Neutrálny (jednotkový) prvok pre násobenie je trieda 𝑻(𝒙+𝟏,𝒙) ≝ 𝟏.
4. Pre operáciu sčítania k ľubovoľnému číslu (triede) 𝑻(𝒂,𝒃) existuje inverzný prvok
(opačné číslo) 𝑻(𝒃,𝒂). Budeme používať označenie 𝑻(𝒃,𝒂) = −𝑻(𝒂,𝒃) . Napríklad
k celému číslu 𝑇(3,1) ≝ 𝟐 opačné číslo je 𝑇(1,3) = −𝑇(3,1) ≝ −𝟐.
5. Pre ľubovoľné tri celé čísla platia vzťahy (vety o krátení):
𝑎 = 𝑏 ⟺ 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐 , 𝑎 = 𝑏 ⟺ 𝑎 ∙ 𝑐 = 𝑏 ∙ 𝑐.
38
Pre operáciu násobenia neexistujú inverzné prvky. Napriek tomu má zmysel hovoriť
o inverznej operácii k násobeniu. Budeme ju nazývať delenie.
Ak pre dve celé čísla 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ≠ 0 existuje jediné číslo 𝑑 ∈ ℤ, pre ktoré platí rovnosť 𝑎 =
𝑏 ⋅ 𝑑, tak číslo 𝑑 ∈ ℤ nazveme podielom celých čísel 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ v tomto poradí. Symbolicky
zapíšeme 𝑑 = 𝒂 ∶ 𝒃.
Tiež budeme hovoriť, že číslo 𝑏 ∈ ℤ je deliteľ čísla 𝑎 ∈ ℤ.
V ďalšom texte budeme pre súčet i súčin celých čísel používať symboly používané pre
sčítanie a násobenie prirodzených čísel: +, ∙ 16
3.2.2 Absolútna hodnota celého čísla
Každému celému číslu 𝑥 môžeme priradiť nezáporné celé číslo, ktoré sa volá absolútna
hodnota tohto čísla.
Absolútnu hodnotu celého čísla 𝑥 ∈ ℤ označujeme |𝑥| a definujeme takto:
|𝑥| = 𝑥, ak 𝑥 ≥ 0
|𝑥| = −𝑥, ak 𝑥 < 0
V zmysle tejto definície bude absolútna hodnota nezáporného čísla rovná tomu istému
číslu.
Príklad.
Pre nezáporné celé číslo (napríklad pre 𝑥 = 5) bude absolútna hodnota to isté nezáporné
číslo. Symbolicky |5| = 5, |0| = 0, čo sú zrejme nezáporné celé čísla.
Pre záporné celé číslo (napríklad pre 𝑥 = −3) bude absolútna hodnota opäť nezáporné číslo,
presnejšie bude to opačné číslo k tomuto číslu. Symbolicky: |−3| =
−(−3) = 3.
K číslu (triede) 𝑻(𝟎,3) je opačné číslo (trieda) −𝑻(𝟎,3) = 𝑻(𝟑,0) = 3.
V nasledujúcom tvrdení sú zahrnuté niektoré základné vlastnosti absolútnej hodnoty.
Vlastnosti absolútnej hodnoty celých čísel
Pre ľubovoľné reálne čísla 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ platí:
1. |𝑥| = |−𝑥|
2. |𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|
3. |𝑎. 𝑏| = |𝑎|. |𝑏|.
16 Uvedomte si, že operácie sčítania a násobenia v obore celých čísel sú odlišné od operácii sčítania a násobenia
v obore prirodzených čísel. Napriek tomu má zmysel používať rovnaké symboly v obidvoch oboroch.
39
3.2.3 Usporiadanie na množine celých čísel
Podobne ako na množine prirodzených čísel môžeme zaviesť aj usporiadanie na množine
celých čísel.
Na množine celých čísel ℤ zavedieme binárnu reláciu ≤ takto:
Celé číslo 𝑎 je menšie nanajvýš rovné celému číslu 𝑏 (označenie 𝑎 ≤ 𝑏 ) práve vtedy, ak
existuje prirodzené číslo 𝑝 ∈ ℕ a zároveň 𝑎 + 𝑝 = 𝑏.
Takto definovaná binárna relácia ≤ má tri základné vlastnosti: je antisymetrická,
tranzitívna a úplná. Dôkazy týchto tvrdení sú analogické ako pri množine prirodzených čísel.
Usporiadanie ≤ celých čísel uvedené v našej definícii budeme jednoducho nazývať prirodzené
usporiadanie. Viac o usporiadaní celých čísel čitateľ môže získať v literatúre [KLENOVČAN,
HAVIAR, 1996, 1998]
3.2.4 Záporné čísla – historický pohľad a modely
Dejiny matematiky nám naznačujú, že ak chceme pochopiť podstatu pojmu záporného
čísla, tak to nebude ľahká vec. Matematici v rôznych historických obdobiach považovali
záporné čísla za absurdné (Diofantos), klamné (Descart) a fiktívne (Bombelli). „Táto
informácia nám prezrádza, že záporné čísla neboli pre týchto matematikov prirodzené a ich
prijatie nebolo elementárne.“ [KAPUSTOVÁ, 2012].
Podľa doteraz známych archeologických objavov záporné čísla sa objavili po prvýkrát
v čínskej matematike. V knihe „Deväť kapitol matematického umenia“ (Jiu Zhang Suan-shu17),
ktorá v súčasnej podobe pochádza z obdobia dynastie Han (202 pred n. l - 220 n. l.) sú použité
červené „úsečky“ pre kladné čísla a čierne pre záporné čísla18.
Obrázok 6: Kladné a záporné čísla v Číne
17 Tiež Chou Pei Suan Ching, (周髀算經) 18 TEMPLE, 1986, str. 141.
40
Tento systém je presný opak súčasného zapisovania kladných a záporných čísel v oblasti
bankovníctva, účtovníctva a obchode, kde červené čísla označujú záporné hodnoty a čierne
číslice znamenajú kladné hodnoty. Bežne sa hovorí: Firma sa ocitla v červených číslach.
V 7. storočí nášho letopočtu v Indii, boli záporné čísla použité na vyjadrenie dlhu. Indický
matematik Brahmagupta19 v Brahma-Sphuta-Siddhanta, píše o záporných čísel pri riešení
kvadratickej rovnice. Tiež uvádza pravidlá pre operácie sčítania a násobenia so zápornými
číslami. Používal termíny "dlh“ a „úver“.
Islamskí matematici v 8. storočí prevzali záporné čísla od indickej matematiky, pomocou
ktorých tiež vyjadrovali dlhy. Známy islamský text, ktorý používa záporné čísla je Kniha o
nevyhnutnosti aritmetiky pre pisárov a podnikateľov od Abū al-Wafā' al-Būzjānī.
Záporné čísla „prišli“ do Európy cez latinské preklady arabských a indických diel.
Európski matematici sa bránili konceptu záporných číslach až do 17. storočia, hoci Fibonacci
používal pri riešení finančných problémov záporné čísla (Libier Abaci, 1202). Gottfried
Wilhelm Leibniz bol prvý matematik, ktorý systematicky využíval záporné čísla.
Zaujímavý model pre záporné čísla - čierne a červené paličky - vychádza z čínskeho
spôsobu zápisu záporných čísel. Tento model je vhodný aj pre žiakov základných škôl. Stačí
im povedať pravidlo: Jedna čierna a jedna červená palička sa vyruší. Teda rovnaký počet
čiernych a červených paličiek dáva nulu. Potom napríklad rovnosť 3 + (−2) = 1 môžeme
reprezentovať ako obrázok
Obrázok 7: Sčítanie – čínsky model
Model „Tajná chodba“ je popísaný v práci [HEJNÝ, 2004], v ktorom používame
pravidlo: Vystúp o jeden schod predstavuje prirodzené číslo 1 a zostup o jeden schod
predstavuje záporné číslo (−1). Potom matematickú úlohu na sčítanie v obore celých čísel
môžeme prezentovať ako prechádzku po chodbe, v ktorej sa nachádzajú viaceré schodištia
v smere nahor ako aj nadol.
Pravdepodobne najprirodzenejším a najpraktickejším modelom pre operácie sčítania ale
i násobenia v obore celých čísel zrejme ostane číselná os. V tomto prípade na grafické
19 Pozri http://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta
41
znázornenie celých čísel využívame priamku 𝑜 ako jednorozmerný geometrický útvar, na ktorej
vyznačíme dva pevné body 0,1. Označme veľkosť úsečky, ktorá je určená týmito bodmi
symbolom: 𝑑(0,1) = 1𝑗.
Celému číslu 𝑎 ∈ ℤ potom priradíme bod na priamke podľa pravidiel:
1. Napríklad, ak číslo 𝑎 = 3 je nezáporné, tak jeho obraz na číselnej osi bude bod 3 na
polpriamke 01⃗⃗⃗⃗ , pričom pre veľkosť úsečky 03 bude platiť 𝑑(03) = 3. 𝑑(01) = 3𝑗.
2. Ak číslo 𝑎 = −4 je záporné, tak jeho obraz na číselnej osi bude bod −4 na opačnej
polpriamke k polpriamke 01⃗⃗⃗⃗ , pričom vzdialenosť bodu (−4) bude rovná číslu
|−4|. 𝑑(01) = 4𝑗.
Číselná os je teda priamka, na ktorej sú znázornené celé čísla. Využívame ju hlavne
v školskej matematike v aplikačných úlohách o teplote alebo úlohách z finančnej
matematiky o aktívach a pasívach. Teplomer s výhodou používame na interpretáciu záporných
čísel, napríklad pri úlohe:
Večer bola teplota vzduchu 𝟑℃ . V noci klesla teplota o 𝟓℃. Aká bola teplota vzduchu
ráno?
Na číselnej osi môžeme aplikovať model profesora Milana Hejného Panáček, ktorý sa
pohybuje po priamke vpravo a vľavo (alebo dopredu a dozadu).
3.2.5 Ďalšie spôsoby zavedenia oboru celých čísel
Zavedenie oboru celých čísel ℤ pomocou relácie ekvivalencie (𝑎 + 𝑑 = 𝑏 + 𝑐) na
množine karteziánskeho súčinu ℕ × ℕ si vyžaduje od študujúceho dobrú počtársku zručnosť
pri práci s dvojicami dvojíc prvkov. To niekedy prináša mnohé numerické chyby, najmä pri
dôkazoch tvrdení o vlastnostiach operácií sčítania a násobenia.
Existujú aj iné spôsoby zavedenia oboru celých čísel. Mac Lane a Birkhoff v ich dobre
známej knihe Algebra uvádzajú nasledujúci spôsob.
Najskôr si označia množinu kladných prirodzených čísel 𝑃 = {𝑝 ∈ ℕ: 𝑝 > 0} a zároveň
vytvoria množinu {−}, ktorá obsahuje len jeden prvok " − ". Množinu celých čísel ℤ
jednoducho zavedú ako disjunktné zjednotenie množín ({−} × 𝑃)⨃ℕ, pričom usporiadanú
dvojicu ({−}, 𝑝) označia symbolom – 𝑝. Neformálne tak vytvorili množinu celých čísel ℤ =
42
{… ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, … }. Je to jednoduché a prirodzené. Väčší problém nastane pri
definovaní sčítania a násobenia. MacLane a Birkhoff definujú najskôr funkciu „odčítania“
𝒇: ℕ × ℕ → ℤ pre všetky 𝑚, 𝑛, 𝑘 ∈ ℕ pomocou pravidiel
𝒇(𝒏 + 𝒌, 𝒏) = 𝒌, 𝒇(𝒎,𝒎 + 𝒌) = −𝒌.
Súčet dvoch celých čísel potom definujú nasledovne
𝑓(𝑢)⊕ 𝑓(𝑣) = 𝑓(𝑢 + 𝑣), 𝑢, 𝑣 ∈ ℕ × ℕ.
Na prvý pohľad je takáto definícia veľmi jednoduchá. Sčítanie celých čísel je zavedené
pomocou „sčítania usporiadaných dvojíc“ prirodzených čísel, ktoré sa chápe ako „sčítanie po
zložkách“20. Problém je v tom, že treba dokázať existenciu a korektnosť takto definovaného
sčítania 𝑓(𝑢)⊕ 𝑓(𝑣). Naznačíme myšlienku dôkazu.
Z vlastností funkcie „odčítania“ 𝒇: ℕ × ℕ → ℤ vyplýva, že pre pevne zvolené celé číslo
𝑎 ∈ ({−} × 𝑷)⨃ℕ existuje nekonečne veľa dvojíc 𝑢 ∈ ℕ × ℕ, pre ktoré zároveň platí 𝑎 =
𝑓(𝑢). V karteziánskom súradnom systéme všetky takéto dvojice 𝑢 = (𝑚, 𝑛) reprezentujú body
s celočíselnými súradnicami (𝑚, 𝑛), ktoré ležia v prvom kvadrante a zároveň na polpriamke.
MacLane a Birkhoff dvojice tvaru (𝑚,𝑚) nazývajú diagonále dvojice. Na obrázku č.8 sú to
body ležiace na modrej polpriamke..
Ukázať korektnosť sčítania 𝑓(𝑢)⊕ 𝑓(𝑣) znamená dokázať tvrdenie:
Pre ľubovoľné dve reprezentácie 𝑢, 𝑢´ celého čísla 𝑎 (𝑎 = 𝑓(𝑢) = 𝑓(𝑢´)) a zároveň pre
ľubovoľné dve reprezentácie 𝑣, 𝑣´ celého čísla 𝑏 (𝑏 = 𝑓(𝑣) = 𝑓(𝑣´)) platí vzťah
𝒇(𝒖)⊕ 𝒇(𝒗) = 𝒇(𝒖´) ⊕ 𝒇(𝒗´), 𝑢, 𝑢´, 𝑣, 𝑣´ ∈ ℕ × ℕ.
Dôkaz, ktorý je uvedený v práci [BIRKHOFF,1979] využíva vlastnosti funkcie
„odčítania“ 𝑓: ℕ × ℕ → ℤ a k nej pravej inverznej funkcie 𝑔: ℤ → ℕ × ℕ. Dôkaz je ukážka
typického matematického prístupu. Pri súčine dvoch celých čísel postupujú analogicky.
20 Ak (𝑝, 𝑞), (𝑟, 𝑠) ∈ ℕ × ℕ sú dve usporiadané dvojice, tak ich súčet je dvojica (𝑝 + 𝑟, 𝑞 + 𝑠) ∈ ℕ × ℕ.
43
Obrázok 8: Funkcia "odčítania"
Spôsob zavedenia celých čísel podľa MacLane, Birkhoff vlastne ukrýva rozklad množiny ℕ ×
ℕ podľa relácie „odčítania“. Relácia je zrejme ekvivalencia a triedy rozkladu sú dvojice ležiace
na polpriamkach rovnobežných s polpriamkou, ktorá obsahuje len diagonálne dvojice.
44
Cvičenie
1. Spočítajte a zdôvodnite:
𝟐 ⨁(−𝟑) =
(−𝟓 )⨁(−7) =
𝟑 ⨀ (−𝟐) =
(−𝟓 )⨀(−𝟕) =
2. Dokážte, že pre ľubovoľné celé čísla 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ platí:
𝑎 + (−𝑏) = −(𝑏 + (−𝑎))
(−𝑎) + (−𝑏) = −(𝑎 + 𝑏)
𝑎 ∙ (−𝑏) = −(𝑎 ∙ 𝑏)
(−𝑎) ∙ (−𝑏) = 𝑎 ∙ 𝑏
3. Dokážte, že pre dve triedy 𝑇(𝑎,𝑏), 𝑇(𝑐,𝑑) rozkladu ℕ × ℕ ∕ 𝑅 platí práve jeden zo
vzťahov: 𝑇(𝑎,𝑏) = 𝑇(𝑐,𝑑) alebo 𝑇(𝑎,𝑏) ∩ 𝑇(𝑐,𝑑) = ∅. Dve triedy sa buď rovnajú alebo
nemajú žiadny spoločný prvok!
4. V množine celých čísel riešte:
a. rovnicu |𝑥| + 2 = 5
b. nerovnicu |𝑥| + 2 ≤ 5.
5. Ukážte, že množinu celých čísel možno rozdeliť do dvoch disjunktných skupín
ℤ2𝑘 = {0,±2 , ±4,… ,±2𝑘,… } a ℤ2𝑘+1 = { ±1 , ±3,… ,±(2𝑘 + 1), … },
kde 𝑘 je prirodzené číslo. Čísla z množiny ℤ𝟐𝒌 nazývame párne celé čísla a čísla
z množiny ℤ𝟐𝒌+𝟏 nazývame nepárne celé čísla.
6. Dokážte, že platí 𝑇(2,0) = 𝑇(3,1) = 𝑇(n+2,n).
45
4 Obor racionálnych čísel
Ľahko sa presvedčíme, že algebrická rovnica 6𝑥 + 3 = 6, ktorej koeficienty sú celé čísla
nemá v obore celých čísel riešenie. Stačí pripočítať k obidvom stranám rovnice číslo −3
a dostaneme rovnicu
6𝑥 = 3,
ktorej riešením nemôže byť celé číslo.
Na ľavej strane rovnice 6𝑥 = 3 máme párne číslo 2 ∙ (3𝑥) = 2 ∙ 𝑘, ale na pravej strane nepárne
číslo 3 = 2. 1 + 1. To nie je možné!
Na chvíľu predpokladajme, že existuje celé číslo, ktoré je riešením danej rovnice 6𝑥 = 3.
Z predchádzajúcej kapitoly vieme, že také číslo 𝑥 musí byť podiel 𝟑 ∶ 𝟔 celých čísel 3, 6. Teda
muselo by platiť: 𝑥 = (3 ∶ 6).
Zároveň zo základnej školy vieme, že rovnicu 6𝑥 + 3 = 6 môžeme upraviť na tvar 2𝑥 +
1 = 2 . Riešením tejto rovnice je číslo 𝑥 =1
2, ktoré nie je celé. Zlomok
1
2 vlastne predstavuje
podiel 𝟏 ∶ 𝟐, teda 𝑥 = (1 ∶ 2).
Ľahko sa presvedčíme, že rovnica 6𝑥 + 3 = 6 má nanajvýš jedno riešenie. Totiž, ak by
existovali dve rôzne riešenia 𝑥1, 𝑥2[𝑥1 ≠ 𝑥2], tak by muselo platiť 6𝑥1 + 3 = 6 a zároveň
6𝑥1 + 3 = 6. Odkiaľ dostaneme, že 6𝑥1 + 3 = 6𝑥1 + 3. Aplikovaním viet o krátení v obore
celých čísel dostaneme 𝑥1 = 𝑥2, čo je v spore s predpokladom.
Zistili sme, že riešením rovnice 6𝑥 + 3 = 6 sú „podiely“ (3 ∶ 6), (1 ∶ 2). Lenže takéto
podiely v obore celých čísel neexistujú. Na druhej strane, ak zostrojíme vhodný číselný obor,
v ktorom rovnica bude mať riešenie, tak musí platiť (3 ∶ 6) = (1 ∶ 2). V nasledujúcej časti
vytvoríme obor racionálnych čísel, v ktorom naša rovnica bude mať riešenie.
Racionálne čísla môžeme v určitom širšom význame chápať ako všetky možné podiely
dvoch celých čísel. Ukázali sme jednu podstatnú skutočnosť. Ak „podiel“ celých čísel (3 ∶ 6)
a zároveň aj podiel (1 ∶ 2) je hľadaným riešením rovnice, potom musí platiť rovnosť
(𝟑 ∶ 𝟔) = (𝟏 ∶ 𝟐).
Ak na chvíľu použijeme označenie 𝑥1 = (3 ∶ 6) a 𝑥2 = (1 ∶ 2), tak je zrejmé, že
(𝑥1 = 𝑥2) ⟺ (6𝑥1 = 6𝑥2) ⟺ (1. 6. 𝑥1 = 2. 3. 𝑥2).
Po vykrátení dostaneme ekvivalentnú rovnosť: (𝟏. 𝟔 = 𝟐. 𝟑).
Inými slovami „Rovnosť podielov (𝟑 ∶ 𝟔)=(𝟏 ∶ 𝟐) je ekvivalentná s rovnosťou súčinov
(𝟏. 𝟔 = 𝟐. 𝟑). Rovnosť podielov dvoch celých čísel sme nahradili rovnosťou, kde sa vyskytuje
46
len súčin celých čísel. Súčin je však neobmedzene definovaná operácia v obore celých čísel, t.j.
vieme vynásobiť ľubovoľné dve celé čísla.
Z uvedeného vyplýva, že racionálne čísla môžeme zaviesť pomocou dvojíc celých čísel,
pričom dve dvojice celých čísel (𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑) budú predstavovať to isté racionálne číslo
[(𝒂, 𝒃) = (𝒄, 𝒅)], ak bude platiť rovnosť [𝒂 ∙ 𝒅 = 𝒄 ∙ 𝒃].
4.1 Množina racionálnych čísel
V tejto kapitole nebudeme podrobne rozoberať postup definovania racionálnych čísel.
Zameriame sa na vzájomný vzťah medzi zavedením množiny celých čísel a zavedením
množiny racionálnych čísel. Z tabuľky č.1 je zrejmé, že rozdiel je len v základnej množine a
v predpise pre reláciu ekvivalencie.
Pri celých číslach sú východiskom prirodzené čísla a pri racionálnych číslach už môžeme
použiť celé čísla! Relácia ekvivalencie pri celých číslach predstavuje „rozdiel“ prirodzených
čísel a pri racionálnych číslach je to „podiel“ celých čísel.
Tabuľka 1: Vzťah medzi Z a Q
Celé čísla, označenie ℤ Racionálne čísla, označenie ℚ
Definujeme binárnu reláciu
𝑹 ⊂ ℕ × ℕ 𝑹 ⊂ ℤ × ℤ∗
celé číslo – ako „rozdiel“ racionálne číslo – ako „podiel“
(𝒂, 𝒃)𝑹(𝒄, 𝒅) ↔ 𝒂 + 𝒅 = 𝒄 + 𝒃 (𝒂, 𝒃)𝑹(𝒄, 𝒅) ↔ 𝒂 ∙ 𝒅 = 𝒄 ∙ 𝒃
Relácia je reláciou ekvivalencie
Existuje rozklad na množine ℕ × ℕ resp. ℤ × ℤ∗
𝑻(𝒂,𝒃) = {(𝒙, 𝒚) ∈ ℕ × ℕ: (𝒙, 𝒚)𝑹(𝒂, 𝒃)} 𝑻(𝒂,𝒃) = {(𝒙, 𝒚) ∈ ℤ × ℤ∗: (𝒙, 𝒚)𝑹(𝒂, 𝒃)}
𝑇(1,2) = {(1,2), (0,1), (5,6), … } = −𝟏 𝑇(1,2) = {(1,2), (2,4), … } =𝟏
𝟐
Upozornenie: Pri racionálnych číslach musí pre každú dvojicu (𝑥, 𝑦) platiť: 𝑦 ≠ 0.
47
Rozdiely v definícii operácií sčítania a násobenia popisuje tabuľka č.2.
Tabuľka 2: Sčítanie a násobenie
Definujeme operáciu sčítanie v (ℤ,,⊙) a (ℚ,,⊙)
Celé čísla - (ℤ,,⊙) Racionálne čísla - (ℚ,,⊙)
𝑻(𝒂,𝒃) 𝑻(𝒄,𝒅) = 𝑻(𝒂+𝒄,𝒃+𝒅) 𝑻(𝒂,𝒃) 𝑻(𝒄,𝒅) = 𝑻(𝒂∙𝒅+𝒄∙𝒃,𝒃∙𝒅)
(𝟐, 𝟏)(𝟑, 𝟓) ↔ (4, 5) ↔ 𝑇(0,1) ↔ −𝟏 (𝟐, 𝟏)(𝟑, 𝟓) ↔ (13, 5) ↔ 𝑇(13,5) ↔𝟏𝟑
𝟓
𝟏 + (−𝟐) = −𝟏 𝟐
𝟏+𝟑
𝟓=𝟏𝟑
𝟓
Operácia sčítania je komutatívna, asociatívna
Definujeme operáciu násobenie v (ℤ,,⊙) a (ℚ,,⊙)
𝑻(𝒂,𝒃) 𝑻(𝒄,𝒅) = 𝑻(𝒂∙𝒄+𝒃∙𝒅,𝒂∙𝒅+𝒃∙𝒄) 𝑻(𝒂,𝒃) 𝑻(𝒄,𝒅) = 𝑻(𝒂∙𝒄,𝒃∙𝒅)
(𝟐, 𝟏) ⊙ (𝟑, 𝟓) ↔ (11, 13) ↔ 𝑇(0,2) ↔ −𝟐 (𝟐, 𝟏)⊙ (𝟑, 𝟓) ↔ (6, 5) ↔ 𝑇(6,5) ↔𝟔
𝟓
𝟏 ∙ (−𝟐) = −𝟐 𝟐𝟏⁄ ∙ 𝟑 𝟓⁄ = 𝟔 𝟓⁄
Operácia násobenia je komutatívna, asociatívna a
distributívna vzhľadom na operáciu sčítania
(ℤ,,⊙) je obor integrity (ℚ,,⊙) je teleso21
Postupy pri dôkazoch vlastností operácií v množine ℚ všetkých racionálnych čísel sú
analogické ako pre množinu celých čísel ℤ.
Z tvrdenia (ℚ,,⊙) je teleso, vyplýva aj skutočnosť, že pre ľubovoľné racionálne číslo
𝑟 ≠ 0 existuje inverzné číslo 𝑟−1 ∈ ℚ. Ak označíme 𝑟 = 𝑇(𝑝,𝑞), tak 𝑟−1 = 𝑇(𝑞,𝑝). V tomto
prípade je 𝑝 ≠ 0 a naviac [𝑟 ⊙ 𝑟−1 = 𝟏 ] ⇔ [ 𝑝
𝑞⋅𝑞
𝑝= 1]. Dôkaz tvrdenia: Operácia sčítania
a násobenia je komutatívna, ... prenechávame čitateľovi ako samostatné cvičenie.
Zjednodušene povedané množinu racionálnych čísel reprezentujú všetky zlomky, ktoré sú
v základnom tvare. Mimochodom sú to aj všetky celé čísla, lebo pre 𝑎 ∈ ℤ je zlomok 𝑎
1
21 Termíny používané v algebre
48
v základnom tvare a teda reprezentuje racionálne číslo. Zlomky je možné zobraziť aj na číselnej
osi, ak využijeme prirodzené usporiadanie na množine racionálnych čísel. Napríklad pre
zlomky 1
3,1
2 platí 0 <
1
3<1
2< 1, preto obrazy týchto zlomkov budú ležať medzi bodmi 0,1.
Príklad.
Nech 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ sú dve rôzne racionálne čísla a ich reprezentácie na číselnej osi nech sú body
𝐴, 𝐵. Ukážeme, že aritmetický priemer 𝑎+𝑏
2 je opäť racionálne číslo a jeho obraz na číselnej osi
je stred úsečky 𝐴𝐵.
Aritmetický priemer 𝑎+𝑏
2 je zlomok. Môžu nastať dva prípady:
1. Zlomok 𝑎+𝑏
2 je v základnom tvare (nemožno ho krátiť). V tomto prípade daný zlomok
reprezentuje racionálne číslo určené triedou rozkladu 𝑇(𝑎+𝑏,2).
2. Zlomok 𝑎+𝑏
2 nie je v základnom tvare: Vtedy existuje nejaké prirodzené číslo 𝑘, ktorým
zlomok vykrátime na základný tvar 𝑝
𝑞. Z vlastností o krátení zlomkov totiž musí platiť
𝑎+𝑏
2=𝑝.𝑘
𝑞.𝑘=𝑝
𝑞 . Z týchto rovností ľahko odvodíme, že platí rovnosť (𝑎 + 𝑏) ∙ 𝑞 = 𝑝 ∙ 2.
Posledná rovnosť hovorí, že dvojica (𝑎 + 𝑏, 2) je ekvivalentná s dvojicou (𝑝, 𝑞).
Obidve dvojice patria do rovnakej triedy rozkladu, preto musí platiť 𝑇(𝑎+𝑏,2) = 𝑇(𝑝,𝑞) .
Posledná rovnosť hovorí, že zlomok 𝑎+𝑏
2 reprezentuje racionálne číslo.
Ukázať, že obraz aritmetického priemeru bude stred úsečky je jednoduché. Stačí si uvedomiť,
že pre stred 𝑆 úsečky 𝐴𝐵 platí vzťah |𝐴𝑆| = |𝑆𝐵|.
Skutočnosť, že aritmetický priemer dvoch racionálnych čísel je opäť racionálne číslo, je
veľmi zaujímavá z hľadiska rozloženia racionálnych čísel na číselnej osi.
Vytvorme algoritmus „aritmetický priemer“:
1. Nech 𝑎1, 𝑎2 sú dve rôzne racionálne čísla a ich reprezentácie na číselnej osi nech sú
body 𝐴1, 𝐴2. Označme stred úsečky 𝐴1𝐴2 symbolom 𝐴3, ktorý reprezentuje
aritmetický priemer 𝑎3 =𝑎1+𝑎2
2 .
2. Prvý krok zopakujme s racionálnymi číslami 𝑎𝑘, 𝑎𝑘+1 postupne pre 𝑘 = 2, 3, …
Tento algoritmus nie je konečný, pretože pre ľubovoľne veľké prirodzené číslo 𝑘 sú body
𝑨𝒌, 𝑨𝒌+𝟏 rôzne!
Interpretujme niekoľko krokov tohto algoritmu. V prvom kroku zvoľme racionálne čísla 𝑎1 =
0, 𝑎2 = 1. Aritmetický priemer týchto čísel je 𝟏
𝟐. Zobrazme tieto tri čísla na číselnej osi.
Vypočítajme aritmetické priemery
49
𝟎+
𝟏
𝟐
𝟐=𝟏
𝟒,𝟏
𝟐+𝟏
𝟐=𝟑
𝟒
a zobrazme čísla 𝟏
𝟒, 𝟑
𝟒 na číselnej osi. Teraz môžeme vypočítať ďalšie aritmetické priemery
𝟏
𝟖,
𝟑
𝟖,𝟓
𝟖,𝟕
𝟖 a zároveň vyznačiť ďalšie stredy úsečiek.
Postupne na číselnej osi budú pribúdať ďalšie a ďalšie stredy úsečiek. Po dostatočnom počte
krokov bude množina stredov úsečiek „hustá“. Pozri obrázok č.9.
Obrázok 9: Hustota racionálnych čísel
Úvahy o hustote množiny ℚ nás navádzajú k tvrdeniu, že obrazy racionálnych čísel
„pokryjú“ celú číselnú os. Takýto záver by bol predčasný.
Napríklad √2
2 nie je racionálne číslo (neskôr ukážeme, že je to iracionálne číslo). Jeho obraz
leží niekde v otvorenom intervale (0, 1). Ak budeme toto číslo postupne deliť dvomi, tak
dostaneme nekonečne veľa iracionálnych čísel ležiacich v otvorenom intervale (0, 1).
4.2 Vzťahy medzi množinami ℕ, ℤ,ℚ
Prirodzené čísla a celé čísla
Zaujímavú podmnožinu množiny celých čísel tvoria nezáporné celé čísla, ktoré sú
reprezentované triedami rozkladu 𝑇(𝑛,0), kde 𝑛 ∈ ℕ. Na označenie tejto podmnožiny používame
symbol ℤ+. Skúmajme vlastnosti tejto podmnožiny. Ľahko nahliadneme, že platí
𝑇(𝑚,0)⊕𝑇(𝑛,0) = 𝑇(𝑚+𝑛,0) a zároveň 𝑇(𝑚,0)⊙𝑇(𝑛,0) = 𝑇(𝑚.𝑛,0)
pre ľubovoľné dve prirodzené čísla 𝑚, 𝑛. Súčet a súčin dvoch nezáporných celých čísel je opäť
nezáporné celé číslo.
Uvažujme o usporiadaných trojiciach (ℕ,+, . ) a (ℤ+,⊕,⊙). Takýmto trojiciam v algebre
hovoríme algebrické štruktúry. Definujme zobrazenie 𝑓: ℕ → ℤ+ pomocou predpisu 𝒏 ↦
𝑻(𝒏,𝟎).
Zobrazenie 𝑓 zrejme dvom rôznym prirodzeným číslam priradí dve rôzne triedy resp.
dve rôzne nezáporné celé čísla.
Pre ľubovoľné nezáporné celé číslo 𝑇(𝑛,0) existuje prirodzené číslo 𝑛, pre ktoré platí
𝑓(𝑛) = 𝑇(𝑛,0).
50
Uvedené dve vlastnosti hovoria, že zobrazenie 𝑓: ℕ → ℤ+ je bijektívne zobrazenie. Z vlastnosti
súčet a súčin dvoch nezáporných celých čísel je opäť nezáporné celé číslo vyplýva, že
𝒇(𝒎 + 𝒏) = 𝒇(𝒎)⊕ 𝒇(𝒏) a zároveň 𝒇(𝒎.𝒏) = 𝒇(𝒎)⊙ 𝒇(𝒏)
V množine celých čísel sme našli podmnožinu ℤ+, ktorá má „rovnaké“ vlastnosti ako
množina všetkých prirodzených čísel. V algebre tomu hovoríme, že štruktúry (ℕ,+, . ) ,
(ℤ+,⊕,⊙) sú izomorfné.
Celé čísla a racionálne čísla
V množine racionálnych čísel je zaujímavá podmnožina ℚ∗ reprezentovaná triedami
rozkladu 𝑻(𝒂,𝟏), ktorým odpovedajú zlomky v základnom tvare 𝑎
1. Podobne ako
v predchádzajúcej časti nájdeme bijekciu 𝑓: ℤ → ℚ∗, ktorá „zachováva“ súčet a súčin.
Podmnožina ℚ∗ má „rovnaké“ vlastnosti ako množina všetkých celých čísel.
Závery z týchto dvoch častí znázornime graficky.
Obrázok 10: Vzťahy medzi číselnými množinami
51
Cvičenie
1. Popíšte triedy rozkladu v obore racionálnych čísel pre súčet a súčin tried 𝑇(1,2), 𝑇(4,3).
𝑇(1,2)⊕𝑇(4,3) =
𝑇(1,2)⊙𝑇(4,3) =
2. Vyznačte na číselnej osi zlomky, ktoré reprezentujú všetky triedy rozkladu
z predchádzajúceho cvičenia.
3. Ukážte, že (−3) nie je prirodzené číslo a 1
2 nie je celé číslo.
4. Pomocou tried rozkladu dokážte, že pre ľubovoľné racionálne čísla 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℚ platí:
𝑎 ⊕ 𝑏 = 𝑏 ⊕ 𝑎,
𝑎 ⊙ 𝑏 = 𝑏 ⊙ 𝑎
𝑎 ⊙ (𝑏 ⊕ 𝑐) = ((𝑎 ⊙ 𝑏)⊕ (𝑎 ⊙ 𝑐))
5. Ukážte, že pre ľubovoľné racionálne číslo 𝑟 ∈ ℚ rôzne od nuly existuje racionálne číslo
−𝑟 ∈ ℚ, pre ktoré platí 𝑟⊕ (−𝑟) = 0.
52
5 Obor reálnych čísel
Matematik Pytagorovej školy menom Hippasus (5. storočie pred n. l.) dokázal, že
uhlopriečka 𝑢 štvorca s jednotkovou stranou 𝑎 = 1 nemôže byť vyjadrená racionálnym
číslom22. Nepoznáme jeho dôkaz, ale keďže bol členom Pytagorovej školy určite dospel
k rovnici 𝑢2 = 12 + 12 a po jednoduchej úprave dostal ekvivalentnú kvadratickú rovnicu s
celočíselnými koeficientmi
𝒖𝟐 = 𝟐.
S využitím vlastností deliteľnosti ukážeme, že táto rovnica nemá v obore racionálnych čísel ℚ
riešenie.
Dokážeme to nepriamo.
Nech existuje racionálne číslo 𝑟 ∈ ℚ, ktoré je riešením našej rovnice. Potom zrejme 𝑟 =
𝑝
𝑞 , pričom celé čísla 𝑝, 𝑞 sú nesúdeliteľné, ich najväčší spoločný deliteľ je rovný číslu 1. Po
dosadení do rovnice 𝑢2 = 2 a po ekvivalentných úpravách dostaneme rovnosť
𝒑𝟐 = 𝟐. 𝒒𝟐.
Na pravej strane rovnosti je určite číslo párne. Z vlastností deliteľnosti celých čísel
vyplýva, že číslo 2 delí číslo na pravej strane rovnosti a zároveň musí deliť aj číslo na ľavej
strane rovnosti. Využijeme skutočnosť, že druhá mocnina párneho čísla je opäť párne číslo
a druhá mocnina nepárneho čísla je nepárne číslo. [Pozri cvičenie]. Teda číslo 𝑝2 je párne, preto
musí byť aj číslo 𝑝 párne. To znamená, že je v tvare 𝑝 = 2𝑘. Po dosadení do rovnosti 𝑝2 =
2. 𝑞2 dostávame
(2𝑘)2 = 2. 𝑞2 ⟺ 𝟐𝒌𝟐 = 𝒒𝟐.
Analogickou úvahou zistíme, že číslo 𝑞 je párne. Keďže aj číslo 𝑝 je párne, tak najväčší
spoločný deliteľ čísel 𝒑, 𝒒 je väčší alebo rovný číslu 2. To je spor s našim predpokladom, že
riešením je racionálne číslo 𝑟 =𝑝
𝑞 , kde 𝑝, 𝑞 sú nesúdeliteľné celé čísla.
Ak označíme jedno riešenie rovnice 𝑢2 = 2 symbolom √2 (druhá odmocnina z dvoch), tak toto
číslo nie je racionálne číslo. Zrejme aj −√2 je riešením rovnice 𝑢2 = 2 a tiež nie je racionálne.
5.1 Množina reálnych čísel
Pri definovaní pojmu reálne číslo vychádzame z existujúcej množiny racionálnych čísel,
ale rozšírenie neurobíme pomocou karteziánskeho súčinu. Konštrukcia, ktorá popíše reálne
číslo je náročnejšia ako pri celých resp. racionálnych číslach. Zo strednej školy si možno
22 Podľa povesti bol Hippasus zvrhnutý z lode do mora a utopený, aby tento objav zostal utajený.
53
pamätáte, že √2 má nekonečný a neperiodický dekadický rozvoj. Dokonca niektorí si pamätajú
aj niekoľko cifier za desatinnou čiarkou, napr. √2 ≈ 1.41421 . Na stránke Wikipedie23 môžete
nájsť až 10 miliónov cifier. Vyjadriť √2 presne ciframi sa nikomu nemôže podariť. Môžeme
však nájsť racionálne číslo, ktoré aproximuje √2 s vopred danou presnosťou, napr. na 10
miliónov cifier.
Z matematického pohľadu vieme nájsť vhodnú postupnosť racionálnych čísel, ktorej
členy sa budú „približovať“ k druhej odmocnine z dvoch. Ak vezmeme do úvahy všetky možné
konvergentné postupnosti racionálnych čísel, tak ich limity budú zahŕňať aj čísla typu √𝑛.
Zostáva otázkou, či popíšeme všetky neracionálne čísla. Odpoveď na túto otázku je kladná.
K tomu by sme však potrebovali „trochu“ viac z matematickej analýzy prípadne algebry. My
zvolíme cestu, ktorou sa vybral Dedekind.
Reálne číslo pomocou dedekindových rezov na množine ℚ.
Podmnožinu 𝛼 ⊂ ℚ nazývame rezom množiny ℚ , ak:
1. Podmnožina 𝛼 je neprázdna množina: 𝛼 ≠ ∅.
2. Doplnok podmnožiny 𝛼 v množine ℚ je tiež neprázdny: ℚ− 𝛼 ≠ ∅.
3. Nech 𝑎 je prvkom rezu 𝛼 a nech 𝑏 ∈ ℚ má vlastnosť 𝑏 ≤ 𝑎. Potom musí aj racionálne
číslo 𝑏 patriť do rezu: 𝑏 ∈ 𝛼.
4. Rez 𝛼 nemá najväčší prvok. Ak 𝑎 ∈ 𝛼, tak existuje a´∈ 𝛼 , pre ktoré je 𝑎 < 𝑎´.
Množinu všetkých rezov množiny ℚ označíme symbolom ℝ . Prvky patriace do množiny ℝ
voláme reálne čísla.
Poznámky:
Množinu reálnych čísel sme vytvorili pomocou už známej množiny racionálnych čísel. Proces
tvorby sa opiera o podmnožiny 𝛼 ⊂ ℚ, ktoré majú predpísané štyri vlastnosti.
Prvé dve vlastnosti hovoria, že za podmnožinu nemôžeme vziať prázdnu množinu
ani množinu všetkých racionálnych čísel.
Tretia vlastnosť požaduje, aby podmnožina 𝛼 ⊂ ℚ bola „slušne“ usporiadaná: Ak
podmnožina 𝛼 obsahuje racionálne číslo 𝑎, tak táto podmnožina musí obsahovať
aj všetky racionálne čísla menšie od čísla 𝑎. Ak by sme zobrazili bod 𝐴
reprezentujúci racionálne číslo 𝑎 ∈ ℚ, tak podmnožina 𝛼 musí obsahovať
polpriamku smerujúcu doľava od bodu 𝐴.
23 http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root
54
Štvrtá vlastnosť hovorí, že podmnožine 𝜶 ⊂ ℚ zodpovedá na číselnej osi sprava
otvorený interval (−∞,𝜶). Pozri obrázok č. 11.
Obrázok 11 Rez na množine racionálnych čísel
Príklady.
1. Nech 𝑟 ∈ ℚ je ľubovoľné ale pevne zvolené racionálne číslo. Pomocou výrovej
formy 𝑥 < 𝑟 vytvorme množinu �̅� = {𝑥 ∈ ℚ: 𝑥 < 𝑟}. Potom �̅� je rezom na množine
racionálnych čísel, ktorý reprezentuje racionálne číslo r. Ukážte, že množina �̅� má
všetky štyri vlastnosti.
2. Zameňme výrokovú formu x < 𝑟 za výrokovú formu x2 < 2. Dostaneme opäť rez
r̅ = {x ∈ Q: x2 < 2}, ktorý reprezentuje iracionálne číslo √2 .
Reálne čísla, ktoré nie sú racionálne budeme nazývať iracionálne čísla. Príkladmi
iracionálnych čísel sú druhé odmocniny z prvočísel24, číslo 𝜋 alebo prirodzený základ
logaritmov 𝑒.
5.2 Súčet a súčin reálnych čísel
Operácie sčítanie a násobenie dvoch reálnych čísel zavedieme pomocou súčtu a súčinu
dedekindových rezov. Princíp je pomerne jednoduché. Nech 𝛼, 𝛽 sú dva rezy. Z definície
vyplýva, že prvkami rezov sú len racionálne čísla. Sčítať resp. vynásobiť dve racionálne čísla
už vieme.
1. Vytvorme množinu 𝛼 ⨁ 𝛽 všetkých možných súčtov 𝑎 + 𝑏, kde 𝑎 ∈ 𝛼 a zároveň 𝑏 ∈
𝛽 sú racionálne čísla.
i. Množina 𝛼 ⨁ 𝛽 je určite neprázdna, lebo obsahuje racionálne číslo 𝑎 = 𝑎 + 0
a racionálne číslo 𝑏 = 0 + 𝑏.
ii. Ukážeme, že množina ℚ− (𝛼 ⨁ 𝛽 ) je neprázdna. Vieme, že množina ℚ− 𝛼 aj
množina ℚ− 𝛽 sú neprázdne. Nech racionálne čísla 𝑎⋆, 𝑏⋆ sú prvky týchto
množinových doplnkov, potom musí platiť 𝑎 < 𝑎⋆ a zároveň 𝑏 < 𝑏⋆ pre
24 Prvočíslo 𝑝 má len dva kladné delitele, sú to čísla 1, 𝑝.
55
ľubovoľné prvky 𝑎, 𝑏 rezov 𝛼, 𝛽. Z týchto dvoch nerovností ľahko vyplynie, že
𝑎 + 𝑏 < 𝑎⋆ + 𝑏⋆, odkiaľ máme 𝑎⋆ + 𝑏⋆ ∈ ℚ − (𝛼 ⨁ 𝛽 ).
iii. Nech 𝑟 ∈ 𝛼 ⨁ 𝛽 a nech 𝑟∗ je racionálne číslo, pre ktoré platí 𝑟∗ < 𝑟 (resp. 𝑟 =
𝑟∗ + 𝑘). Z definície množiny 𝛼 ⨁ 𝛽 vyplýva, že existujú dve racionálne čísla
𝑟1 ∈ 𝛼, 𝑟2 ∈ 𝛽, pričom 𝑟 = 𝑟1 + 𝑟2. Po dosadení dostaneme
𝑟∗ = 𝑟1 + (𝑟2 − 𝑘),
čo znamená, že 𝒓∗ je súčtom dvoch racionálnych čísel.
iv. Množina 𝛼 ⨁ 𝛽 nemá najväčší prvok. V opačnom prípade, ak by 𝐾 ∈ 𝛼 ⨁ 𝛽 bol
najväčší prvok, tak musia existovať dve racionálne čísla 𝑎 ∈ 𝛼, 𝑏 ∈ 𝛽, pričom
𝐾 = 𝑎 + 𝑏. Bez ujmy na všeobecnosti predpokladajme, že 𝑎 ≤ 𝑏. Nech 𝑟 =
𝑟1 + 𝑟2 je ľubovoľný prvok rezu 𝛼 ⨁ 𝛽. V prípade, že 𝑟2 ≤ 𝑎 dostaneme
𝒓𝟐 ≤ 𝑎 + (𝑏 − 𝑎) ≤ 𝑏 + (𝑎 − 𝑎) ≤ 𝒃.
V prípade, že 𝑎 < 𝑟2 dostaneme
𝒓𝟐 ≤ 𝑟2 + (𝑏 − 𝑎) < (𝑟2 − 𝑎) + 𝑏 ≤ 𝒃.
V obidvoch prípadoch je racionálne číslo 𝑏 najväčším prvkom pre rez 𝛽, čo je
spor s predpokladom. Pozri obrázok č. 12.
Obrázok 12: Najväčší prvok
56
2. Vytvorme množinu 𝛼 ⨀ 𝛽 všetkých vhodných súčinov 𝑎 ⋅ 𝑏, kde 𝑎 ∈ 𝛼 a zároveň 𝑏 ∈
𝛽 sú racionálne čísla. Podobnými úvahami ako pri súčte vieme dokázať, že 𝛼 ⨀ 𝛽 je
rezom na množine racionálnych čísel. Pozri cvičenie.
Závery, ktoré sme urobili pri popise množín 𝛼 ⨁ 𝛽 , 𝛼 ⨀ 𝛽 nás oprávňujú k definovanie
súčtu a súčinu reálnych čísel.
57
Definujeme operácie sčítanie a násobenie pre (ℝ,⨁,⨀)
sčítanie násobenie
𝜶 ⨁ 𝛃 = {𝑎 + 𝑏: (𝑎 ∈ 𝛼)(𝑏 ∈ 𝛽)} 𝜶 ⨀ 𝛃 = {𝑎 ⋅ 𝑏: (𝑎 ∈ 𝛼)(𝑏 ∈ 𝛽)}
Operácia sčítania a násobenia je komutatívna, asociatívna25
Operácia násobenia je distributívna k sčítaniu
(ℝ,⨁,) je komutatívna grupa (ℝ,⨀) je komutatívna grupa
Štruktúra (ℝ,⨁,⨀) je archimedovsky usporiadané pole26
Zavedenie oboru reálnych čísel na základnej škole nie je prijateľné pomocou
dedekindových rezov, ale ani pomocou postupností racionálnych čísel. Napriek tomu sa
didaktika matematiky musí vysporiadať s týmto problémom. Navrhuje, aby sa žiaci s reálnymi
číslami zoznamovali viac na empirickej báze. To znamená, aby bol kladený dôraz na popísanie
vlastností konkrétnych čísel, ktoré nie sú racionálne. Žiaci by mali hľadať vhodné aproximácie
iracionálnych čísel.
Napríklad pre √2 pomocou vhodného tabuľkového kalkulátora zistia, že
Obrázok 13 Druhá odmocnina z dvoch – Excel
Pre aproximáciu čísla 𝜋 by učiteľ mohol využiť Archimedovu metódu vpisovania
pravidelných 𝑛 − 𝑢ℎ𝑜𝑙𝑛í𝑘𝑜𝑣 do kruhu s polomerom 𝑟 = 1. Takýto pravidelný 𝑛 − 𝑢ℎ𝑜𝑙𝑛í𝑘 sa
skladá z 𝑛 rovnoramenných trojuholníkov. Obsah jedného takéhoto trojuholníka ∆ 𝑆𝑈𝑉 určíme
pomocou vzorca 1
2sin
360
𝑛. Tu by mohol nastať problém s funkciou sínus, ak ju žiaci nepreberali.
V tom prípade si môžu odvodiť iný vzorec pomocou Pytagorovej vety. Výpočet hodnoty
25 Pozri cvičenie 26 Viac v práci [HAVIAR, M., KLENOVČAN, P., 1998]
58
obsahu vpísaného 𝑛 − 𝑢ℎ𝑜𝑙𝑛í𝑘 učiteľ môže prezentovať napríklad pomocou appletu
znázorneného na obrázku č. 14 alebo výpočtom pomocou tabuľkového kalkulátora. Funkčný
applet získate tak, že kliknete na obrázok.
Obrázok 14: Obsah kruhu
Po reálnych číslach v teoretickej aritmetike nasledujú zvyčajne komplexné čísla, ktoré sa
zavádzajú len na stredných školách. Existujú ale stredné školy, ktoré toto učivo nemajú
zaradené do svojich školských vzdelávacích programov.
59
Cvičenie
1. Ukážte, že množina �̅� = {𝑥 ∈ ℚ: 𝑥 < 𝑟} má všetky štyri vlastnosti uvedené v definícii
rezu pre ľubovoľné racionálne číslo 𝑟 ∈ ℚ.
2. Ukážte, že √3,√2
2 nie sú racionálne čísla. Vyznačte na číselnej osi body, ktoré
reprezentujú reálne čísla √3, 𝜋.
3. Nech 𝛼 ⨀ 𝛽 je množina všetkých možných súčinov 𝑎 ⋅ 𝑏, kde 𝑎 ∈ 𝛼 a zároveň 𝑏 ∈ 𝛽
sú racionálne čísla. Dokážte, že 𝛼 ⨀ 𝛽 je rez na množine racionálnych čísel.
4. Dokážte, že operácie sčítanie a násobenie reálnych čísel sú komutatívne i asociatívne.
5. Dokážte, že množina ℚ− (𝛼 ⨁ 𝛽 ) je neprázdna. Návod: Zvoľte racionálne čísla 𝑎⋆ ∈
ℚ − 𝛼 a 𝑏⋆ ∈ ℚ− 𝛽, pre ktoré platí 𝑎 < 𝑎⋆, 𝑏 < 𝑏⋆.
6. Dokážte, že operácia násobenia je distributívna k sčítaniu.
60
6 Obor komplexných čísel
Pri riešení kvadratickej rovnice zistíme, že rovnica
𝑥2 + 1 = 0
nemá riešenie v obore reálnych čísel.
V opačnom prípade, ak by existovalo reálne číslo 𝑎 ∈ ℝ, ktoré je koreňom hľadanej rovnice,
tak musí byť splnená rovnosť 𝑎2 + 1 = 0. Súčet na ľavej strane rovnosti je súčtom dvoch
reálnych čísel:
reálneho čísla 𝑎2, ktoré je v tvare druhej mocniny27, preto musí platiť 𝑎2 ≥ 0,
čísla 1, ktoré je zrejme kladné.
Ich súčet bude kladné číslo väčšie alebo rovné číslu 1. Teda platí 𝒂𝟐 + 𝟏 ≥ 1 > 0. To je spor
s predpokladom, že existuje reálne číslo 𝑎, ktoré je riešením rovnice 𝑥2 + 1 = 0.
Skutočnosť, že rovnica 𝑥2 + 1 = 0 nemá v obore reálnych čísel riešenie, nás privádza
k myšlienke rozšíriť obor reálnych čísel na taký číselný obor, kde rovnice tohto typu budú mať
riešenie. Budeme požadovať, aby existovalo nejaké „imaginárne“ číslo 𝑖, pre ktoré je druhá
mocnina rovná −1.
Na chvíľu si predstavme, že také číslo 𝑖 už máme. Nech platí 𝑖2 = −1, potom zrejme bude
platiť aj rovnosť (2𝑖)2 = (2𝑖) ⋅ (2𝑖) = 4𝑖2 = −4 resp. pre ľubovoľné reálne číslo 𝑘 bude
(𝑘𝑖)2 = −(𝑘2). Čísla 𝑖, 2𝑖, … , 𝑘𝑖, … nie sú reálne, ale podľa nášho pracovného návrhu sú
„imaginárne“. Musíme ich nejako formálne odlíšiť od reálnych čísel. Urobme to takto:
1. Reálne číslo 𝑟 ∈ ℝ zapíšme ako usporiadanú dvojicu (𝑟, 0).
2. „Imaginárne“ číslo 𝑘𝑖 zapíšme ako usporiadanú dvojicu (0, 𝑘𝑖).
3. Súčty dvojíc definujeme takto:
(𝑥, 0)⨁(𝑦, 0) = (𝑥 + 𝑦, 0), (0, 𝑢𝑖)⨁(0, 𝑣𝑖) = (0, (𝑢 + 𝑣)𝑖)
resp. pre dvojice (𝑥, 𝑢𝑖), (𝑦, 𝑣𝑖)
(𝑥, 𝑢𝑖)⨁(𝑦, 𝑣𝑖) = (𝑥 + 𝑦, (𝑢 + 𝑣)𝑖)
4. Súčiny dvojíc definujeme ako „súčiny dvojčlenov“. Vo všeobecnosti súčin vytvoríme
pomocou vzťahu(𝑥, 𝑢𝑖)⨀(𝑦, 𝑣𝑖) = (𝑥𝑦 − 𝑢𝑣, 𝑥𝑣 + 𝑢𝑦).
Operácia násobenia usporiadaných dvojíc (𝑥, 𝑢𝑖), (𝑦, 𝑣𝑖) je založená na násobení dvoch
dvojčlenov typu 𝐴 + 𝐵.
27 Druhá mocnina reálneho čísla je vždy nezáporné číslo.
61
Zo základnej školy poznáme vzorec pre násobenie dvoch rovnakých dvojčlenov alebo vzorec
pre druhú mocninu dvojčlena:
(𝐴 + 𝐵) ⋅ (𝐴 + 𝐵) = 𝐴2 + 2𝐴𝐵 + 𝐵2.
Formálne dosaďme 𝐴 = 0, 𝐵 = 𝑖 a dostaneme
(0 + 𝑖) ⋅ (0 + 𝑖) = (0 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 ⋅ 𝑖 + (𝑖)2).
Ak využijeme náš pracovný návrh a dosadíme 𝑖2 = −1, tak výsledok súčinu dvojčlenov
(0 + 𝑖) ⋅ (0 + 𝑖) môžeme zapísať ako dvojčlen (−1 + 0).
Vidíme, že súčin „imaginárneho“ čísla (0, 𝑖) so sebou je číslo reálne (−1, 0)!
V tejto časti urobíme rozšírenie oboru reálnych čísel ℝ na obor komplexných čísel ℂ
nasledovne.
6.1 Množina komplexných čísel
Nech ℂ = ℝ × ℝ je karteziánsky súčin na množine reálnych čísel, potom prvky karteziánskeho
súčinu ℝ ×ℝ nazveme komplexné čísla.
V podstate je to veľmi jednoduché zavedenie komplexných čísel, lebo vytvorenie
karteziánskeho súčinu je jednoduché. Z definície vyplýva:
Komplexné číslo 𝒛 je usporiadaná dvojica reálnych čísel: 𝒛 = (𝒂, 𝒃).
1. Nosič oboru komplexných čísel je karteziánsky súčin ℝ × ℝ.
2. Zavedieme operácie sčítania a násobenia komplexných čísel podľa pravidiel:
Operácia sčítania: (𝑥1, 𝑦1)⨁(𝑥2, 𝑦2) = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2)
Operácia násobenia: (𝑥1, 𝑦1)⨀(𝑥2, 𝑦2) = (𝑥1𝑥2 − 𝑦1𝑦2, 𝑥1𝑦2 + 𝑦1𝑥2)
Poznámka.
Nech 𝑧 = (𝑎, 𝑏) je komplexné číslo, potom reálne číslo 𝑎 sa nazýva reálna časť
komplexného čísla 𝑧. Podobne reálne číslo 𝑏 sa nazýva imaginárna časť.
Dve komplexné čísla (𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑) sa rovnajú, ak platí 𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑.
6.2 Algebrický tvar komplexného čísla
Pri zavádzaní komplexných čísel môžeme využiť aj inú symboliku. Napríklad, každé
komplexné číslo 𝒛 = (𝒂, 𝒃) možno zapísať v tvare 𝒂 + 𝒊𝒃, kde 𝑎, 𝑏 sú reálne čísla a 𝒊 je tzv.
imaginárna jednotka, pre ktorú platí 𝑖2 = −1.
Operácie súčet a súčin zavedieme ako súčet a súčin algebrických dvojčlenov. Potom pre
súčet a súčin komplexných čísel bude platiť:
(𝑎 + 𝑖𝑏)⨁(𝑐 + 𝑖𝑑) = ((𝑎 + 𝑐) + 𝑖(𝑏 + 𝑑))
62
(𝑎 + 𝑖𝑏)⨀(𝑐 + 𝑖𝑑) = ((𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + 𝑖(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐))
Zápis komplexného čísla v tvare 𝑎 + 𝑖𝑏 sa nazýva algebrický28.
Príklad.
Nájdite také reálne čísla x, y, pre ktoré bude platiť:
(2 − 𝑖)𝑥 + (5 + 6𝑖) = 1 − 3𝑖
Riešenie. Ak upravíme ľavú stranu rovnice na tvar a + bi, dostaneme:
(2𝑥 + 5𝑦) + 𝑖(−𝑥 + 6𝑦) = 1 − 3𝑖
Ak využijeme vlastnosť, ktorá platí pre rovnosť komplexných čísel, tak dostaneme sústavu
rovníc
2𝑥 + 5𝑦 = 1
−𝑥 + 6𝑦 = −3
Riešením sústavy je dvojica reálnych čísel 𝑥 =21
17, 𝑦 =
−5
17.
Z definície súčinu dvoch komplexných čísel vyplynie zaujímavá vlastnosť, ak jedno z čísel
bude reálne. Nech 𝑧1 = (𝑎 + 𝑖𝑏) je komplexné číslo a nech 𝑧2 = (𝑘 + 𝑖0) = 𝑘 je reálne číslo.
Potom 𝑘(𝑎 + 𝑖𝑏) = (𝑘𝑎 + 𝑖𝑘𝑏).
6.3 Geometrická interpretácia - komplexná rovina
Existuje bijektívne zobrazenie 𝑓 („prosté“ a „na“) množiny všetkých komplexných čísel ℂ
na body euklidovskej roviny Ε2.
𝑓: ℂ ⟶ Ε2, 𝑧 = (𝑎, 𝑏) ↦ Z(𝑎, 𝑏),
kde Z(𝑎, 𝑏) je bod Z ∈ Ε2 so súradnicami (𝑎, 𝑏).
Ak v rovine zvolíme pravouhlý súradnicový systém, tak obrazom každého komplexného
čísla bude práve jeden bod roviny. Obrazom komplexného čísla 𝑧 = (𝑎, 𝑏) resp. 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 je
bod Z so súradnicami (𝑎, 𝑏). Pozri obrázok č. 15.
Obrázok 15: Obraz komplexného čísla
28 V literatúre sa tiež používa termín algebraický.
63
Niekedy však za obraz čísla 𝑧 = (𝑎, 𝑏) pokladáme vektor, ktorý je daný orientovanou
úsečkou so začiatočným bodom (0, 0) a koncovým bodom so súradnicami (𝑎, 𝑏).
6.4 Goniometrický zápis komplexného čísla
Pri zavádzaní goniometrických funkcií sínus a kosínus pomocou jednotkovej kružnice sme
ukázali29, že platia rovnosti:
sin𝜑 =𝑏
𝑟, cos 𝜑 =
𝑎
𝑟 ,
kde 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2 a 𝜑 je orientovaný uhol ∢𝑍𝑂𝑃. Pre 𝑟 = 1 pozri obrázok č. 16.
Obrázok 16: Funkcia sínus
Číslo 𝑟 predstavuje veľkosť vektora 𝑂𝑍⃗⃗⃗⃗ ⃗. Táto veľkosť sa nazýva absolútna hodnota
komplexného čísla 𝑧 = (𝑎, 𝑏) a označuje sa symbolom |𝑧|. Platí teda |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2.
Z rovností sin𝜑 =𝑏
𝑟, cos 𝜑 =
𝑎
𝑟 môžeme vyjadriť reálnu aj imaginárnu zložku komplexného
čísla 𝑧 = (𝑎, 𝑏). Dostaneme
𝑎 = 𝑟 ⋅ cos 𝜑, 𝑏 = 𝑟 ⋅ sin 𝜑.
Vypočítané hodnoty teraz môžeme dosadiť do algebrického tvaru komplexného čísla 𝑎 + 𝑖𝑏.
Dostaneme nový zápis resp. nový tvar komplexného čísla
𝑧 = |𝑧|(cos𝜑 + 𝑖 sin𝜑)
ktorý nazývame goniometrický tvar komplexného čísla.
Príklad.
Nájdite goniometrický zápis komplexného čísla 𝒛 = √𝟑 − 𝒊.
1. Najskôr si vypočítame absolútnu hodnotu hľadaného komplexného čísla. Vypočítame, že
|𝑧| = √√32+ 12 = 2.
29 Možno už na strednej škole.
64
2. Potom určíme veľkosť uhla 𝜑, pre ktorý platí cos𝜑 =√3
2 a sin𝜑 =
1
2. Uhol, pre ktorý platia
tieto dve rovnosti sa nachádza v II. kvadrante a jeho veľkosť je 150° =5𝜋
6.
3. Goniometrický tvar komplexného čísla je 𝑧 = 2 (cos5𝜋
6+ 𝑖 sin
5𝜋
6).
6.5 Vlastnosti operácií sčítania a násobenia
Podobne ako pri predchádzajúcich oboroch aj pri komplexných číslach platia vlastnosti
o komutatívnosti, asociatívnosti atď. Uvedieme ich stručnú formuláciu.
1. Pre súčet a súčin komplexných čísel platí vlastnosť komutatívnosti a asociatívnosti,
pričom súčin je distributívny k sčítaniu.
2. Neutrálny (nulový) prvok pre sčítanie je komplexné číslo (0, 0).
3. Neutrálny (jednotkový) prvok pre násobenie je komplexné číslo (1, 0).
4. K ľubovoľnému komplexnému číslu 𝑧 = (𝑎, 𝑏) existuje inverzný prvok vzhľadom
na sčítanie. Takýto prvok budeme nazývať opačné komplexné číslo. Je to dvojica
−𝑧 = (−𝑎,−𝑏).
5. K ľubovoľnému nenulovému komplexnému číslu 𝑧 = (𝑎, 𝑏) existuje inverzný prvok
vzhľadom na súčin. Budeme ho označovať symbolom 𝑧−1.
Prvé tri vlastnosti vyplývajú priamo z definície operácií sčítania a násobenia v obore
komplexných čísel.
Ukážeme napríklad, že platí komutatívnosť sčítania:
(𝑥1, 𝑦1)⨁(𝑥2, 𝑦2) = (𝑥2, 𝑦2)⨁(𝑥1, 𝑦1).
1. Ľavú stranu rovnosti upravíme aplikovaním definície súčtu komplexných čísel, ktoré
sme vyjadrili v algebrickom tvare. Dostaneme
(𝑥1 + 𝑖𝑦1)⨁(𝑥2 + 𝑖𝑦2) = ((𝑥1 + 𝑥2) + 𝑖(𝑦1 + 𝑦2)).
Ak využijeme komutatívnosť sčítania reálnych čísel, tak dôjdeme k rovnosti
((𝑥1 + 𝑥2) + 𝑖(𝑦1 + 𝑦2)) = ((𝑥2 + 𝑥1) + 𝑖(𝑦2 + 𝑦1)).
2. Pravú stranu rovnosti tiež upravme aplikovaním definície súčtu komplexných čísel.
Dostaneme rovnosť (𝑥2, 𝑦2)⨁(𝑥1, 𝑦1) = ((𝑥2 + 𝑥1) + 𝑖(𝑦2 + 𝑦1)).
3. V prvom aj v druhom prípade sme dostali rovnaký výsledok. To znamená, že platí
komutatívny zákon pre sčítanie komplexných čísel.
Štvrtú vlastnosť overíme prostým sčítaním komplexného čísla 𝑧 = (𝑎, 𝑏) a opačného čísla
−𝑧 = (−𝑎, −𝑏). Sčítanie dvojíc „po zložkách“ vedie k rovnosti
(𝑎, 𝑏)⨁(−𝑎,−𝑏) = (𝑎 − 𝑎, 𝑏 − 𝑏) = (0, 0).
65
Pri dôkaze piatej vlastnosti budeme postupovať konštruktívnym spôsobom. To znamená
„skonštruujeme“ inverzné číslo 𝑧−1 ku komplexnému číslu 𝑧 = (𝑎, 𝑏) ≠ (0, 0).
Predpokladajme, že existuje takýto inverzný prvok a nech 𝑧−1 = (𝑥, 𝑦). Potom musí platiť
rovnosť
(𝑎, 𝑏)⨀(𝑥, 𝑦) = (1, 0),
ale táto rovnosť predstavuje rovnicu o dvoch neznámych 𝑥, 𝑦. Upravme ju na tvar
(𝑎𝑥 − 𝑏𝑦, 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦) = (1, 0).
Porovnanie dvoch usporiadaných dvojíc vedie na sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych.
𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 1, 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 0,
ktorej riešením sú reálne čísla 𝑥 =𝑎
𝑎2+𝑏2 , 𝑦 =
𝑏
𝑎2−𝑏2.
Na záver tejto kapitoly uvedieme vetu, ktorá má veľké uplatnenie pri numerických
výpočtoch s komplexnými číslami.
Moivreova veta
Francúzsky matematik Abraham de Moivre 30 sformuloval vetu, podľa ktorej môžeme
jednoducho umocňovať komplexné čísla vyjadrené v goniometrickom tvare. Moivreova veta
hovorí, že pre ľubovoľné komplexné číslo 𝑧 = |𝑧|(cos𝜑 + 𝑖 sin𝜑) a ľubovoľné celé číslo 𝑛
platí:
𝑧𝑛 = |𝑧|𝑛(cos 𝑛𝜑 + 𝑖 sin 𝑛𝜑).
V literatúre môžeme nájsť aj odvodený tvar Moivreovej vety pre súčin dvoch
komplexných čísel 𝑧1 = |𝑧1|(cos𝜑 + 𝑖 sin𝜑) a 𝑧2 = |𝑧2|(cos𝜓 + 𝑖 sin𝜓). Pre súčin týchto
dvoch komplexných čísel platí:
𝑧1⨀𝑧2 = |𝑧1. 𝑧2|(cos(𝜑 + 𝜓) + 𝑖 sin(𝜑 + 𝜓)).
Poznámka.
Dôležité je uvedomiť si, že komplexnými číslami končí rozširovanie číselného oboru.
V roku 1799 Gauss dokázal, že každá algebrická rovnica, ktorej koeficienty sú komplexné
čísla, má v obore komplexných čísel riešenie. To znamená, že obor komplexných čísel už nie
je potrebné ďalej rozširovať.
30 Abraham de Moivre sa narodil vo Vitry, v oblasti Champagne 26. mája 1667.
66
Cvičenie
1. Nájdite všetky komplexné čísla, ktoré sú riešením rovnice:
𝑥2 + 2𝑥 + 5 = 0.
2. Nájdite goniometrický zápis komplexného čísla 𝑧 = 2 + 3𝑖.
3. Dokážte, že pre súčet a súčin komplexných čísel vyjadrených v goniometrickom tvare
platí vlastnosť komutatívnosti a asociatívnosti. Pri násobení použite Moivrovu vetu.
4. Nájdite inverzný prvok k číslu (3, 5).
5. Vypočítajte 𝑧5, ak 𝑧 = 2 + 3𝑖.
6. Dokážte, že operácia násobenia komplexných čísel je distributívna k sčítaniu.
67
7 Spočítateľné a nespočítateľné množiny
Aktuálne nekonečno neexistuje!
Henri Poincaré
Každý z nás sa určite v bežnom živote stretol s úlohou, v ktorej bolo treba porovnať
veľkosť nejakých skupín prvkov. Napríklad už žiakom na základnej škole otázky typu Kto
z triedy má najviac nasporených peňazí? sú celkom prirodzené. V obchode často krát
porovnávame naše finančné možnosti s cenou tovaru: Môžem si dovoliť kúpiť ...?
Z matematického pohľadu porovnať veľkosť dvoch konečných množín znamená spočítať
počty ich prvkov.
Predstavme si, že nepoznáme žiadnu teóriu o číslach ale poznáme len pojmy jeden, dva
a viac. Našou úlohou bude zistiť, ktorých krúžkov je viac – modrých alebo červených? Pozri
obrázok č. 17. Úlohu jednoducho vyriešime tak, že budeme spájať jeden modrý krúžok
s jedným červeným krúžkom. Dostaneme sa do situácie, keď už nemôžeme spájať a pritom
máme ešte voľné dva modré krúžky. Vtedy „slávnostne“ vyhlásime, že modrých krúžkov je
viac ako červených krúžkov.
Obrázok 17: Porovnávanie množín
7.1 „Veľkosť“ množín
Oveľa väčší problém vznikne, ak by sme sa pokúsili nájsť odpoveď na otázku: Je celých
čísel je viac ako prirodzených? V tejto otázke mimovoľne myslíme, že vezmeme všetky celé
i všetky prirodzené čísla.
Na základe Dedekindovej definície nekonečnej množiny už vieme, že množina ℕ
všetkých prirodzených čísel je nekonečná. V tretej kapitole sme ukázali, že množina všetkých
celých čísel ℤ je rozšírením množiny ℕ. Z toho vyplýva, že množina ℕ je vlastnou
podmnožinou množiny ℤ. Našu otázku teraz mierne preformulujme: Ktorá z nekonečných
množín má viac prvkov, množina ℕ alebo množina ℤ? Ak použijeme metódu „spájania“, tak
toto spájanie môžeme matematicky vyjadriť funkciou 𝑓: ℤ ⟶ ℕ, ktorá zobrazuje nezáporné
68
celé číslo 𝑛 na prirodzené číslo (2𝑛 − 1) a záporné celé číslo −𝑛 na prirodzené číslo 2𝑛. Pozri
obrázok č. 19.
Obrázok 18: Celé a prirodzené čísla
Zobrazenie 𝑓: ℤ ⟶ ℕ je bijektívne, preto množiny ℕ, ℤ sú ekvivalentné. Ich kardinálne
čísla sú rovnaké, teda 𝑐𝑎𝑟𝑑 ℕ = 𝑐𝑎𝑟𝑑 ℤ = ℵ0. Tento záver by nás naviedol na odpoveď:
Množiny ℕ, ℤ majú „rovnaký počet“ prvkov.
Na druhej strane intuitívny prístup k vlastnosti byť vlastnou podmnožinou nás navádza na
odpoveď, ktorá vo svojej podstate protirečí predchádzajúcej odpovedi.
Množina ℤ má „viac“ prvkov ako množina ℕ.
Tento zdanlivý rozpor matematika vyriešila ako vždy „po svojom“. Cantor navrhol, aby
sa nepoužíval termín veľkosť množiny ale zaviedol nový termín mohutnosť množiny.
V školskej matematike pracujeme len s konečnými číselnými množinami, preto termín počet
prvkov množiny má zmysel. Chápe sa ním mohutnosť konečnej množiny, čo predstavuje
prirodzené číslo.
V matematike sa na označenie „veľkosti“ množiny používa pojem mohutnosť množiny .
7.2 Spočítateľné množiny
V druhej kapitole sme zaviedli pojem konečnej a nekonečnej množiny. Profesor Zlatoš
vo svojej práci Ani matematika si nemôže byť istá sama sebou prezentuje zaujímavé pohľady
na konečno a nekonečno. V nasledujúcom odseku uvádzame niektoré jeho myšlienky týkajúce
sa prirodzeného nekonečna.
To, čo „vidíme“ pred obzorom, môžeme oprávnene prehlásiť za konečné. Vidieť
neznemená len pohľad zrakom, ale ľubovoľné vedomé zmyslové, prípadne i čisto myšlienkové
uchopenie nejakého javu.
Javy, vstupujúce až k (do) obzoru nazveme prirodzené nekonečno.
69
Každý náš pohľad ohraničuje obzor. Číselnú os prirodzených čísel môžeme pokladať za
prirodzené nekonečno. Obzor bude v tomto prípade to, čo nikdy nemôžeme dosiahnuť. To, čo
je za týmto obzorom, už nevidíme. Svet plynule pokračuje aj za obzorom (tam práve
„nevidíme“).
Množina ℕ všetkých prirodzených čísel (nekonečná množina) zohráva ústrednú rolu
medzi nekonečnými množinami. Nekonečné množiny rozdelíme do dvoch kategórií
1. Spočítateľné množiny.
2. Nespočítateľné množiny
Nekonečná množina 𝑀 je spočítateľná, ak je ekvivalentná s množinou prirodzených čísel.
V terminológii kardinálnych čísel:
Existuje bijekcia 𝑓:𝑀 → ℕ, odkiaľ dostávame 𝒄𝒂𝒓𝒅 (𝑴) = ℵ𝟎.
Množina všetkých racionálnych čísel je spočítateľná.
Príklad.
Uvažujme o množine ℤ⊞ všetkých možných zlomkov nad oborom celých čísel, ktoré
sa nachádzajú v schéme na obrázku č. 20. Schéma je matica s nekonečným počtom riadkov
a stĺpcov.
Obrázok 19: Matica zlomkov
V matici najskôr vyznačme záhlavie (žltý riadok a stĺpec) pomocou množiny celých
čísel, ktoré sú usporiadané do postupnosti {0, 1, −1, 2, −2,… , 𝑘, −𝑘,… } kde 𝑘 je prirodzené
70
číslo. Prvky matice budú zlomky 𝑚
𝑛 , pričom celé čísla 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ sú v záhlaví matice. Zrejme sa
v matici budú nachádzať všetky možné zlomky nad oborom celých čísel. Nie všetky zlomky
budú v základnom tvare. Napríklad zlomok 2
2, ktorý sa nachádza v treťom riadku a zároveň
v treťom stĺpci nie je v základnom tvare. Zlomok 2
2 sa dá vykrátiť na zlomok
1
1, ktorý sa
nachádza na inom mieste matice.
Z kapitoly o racionálnych číslach vieme, že každé racionálne číslo môžeme vyjadriť
v tvare zlomku. Predchádzajúce úvahy o „matici všetkých zlomkov“ nám umožňujú urobiť
záver, že množina racionálnych čísle je podmnožinou množiny ℤ⊞.
1. Musí teda platiť: 𝑐𝑎𝑟𝑑(ℚ) ≤ 𝑐𝑎𝑟𝑑(ℤ⊞).
Množina všetkých prirodzených čísel je podmnožinou množiny všetkých racionálnych
čísel.
2. Preto platí 𝑐𝑎𝑟𝑑(ℕ) ≤ 𝑐𝑎𝑟𝑑(ℚ).
Orientované úsečky vyznačené v matici popisujú zobrazenie 𝑓: ℤ⊞ → ℕ, ktoré je
bijektívne.
3. Platí 𝑐𝑎𝑟𝑑 (ℤ⊞) = 𝑐𝑎𝑟𝑑(ℕ).
Z týchto troch (ne)rovností dostaneme záver 𝑐𝑎𝑟𝑑(ℚ) = 𝑐𝑎𝑟𝑑(ℕ) = ℵ0.
Množina racionálnych čísel je spočítateľná.
Pre spočítateľné množiny platí:
Ľubovoľná podmnožina spočítateľnej množiny je nanajvýš spočítateľná množina.
Zjednotenie a prienik dvoch spočítateľných množín je spočítateľná množina.
Karteziánsky súčin dvoch spočítateľných množín je tiež spočítateľná množina.
Dôkazy týchto tvrdení prenechávame na čitateľa vo forme cvičení.
7.3 Nespočítateľné množiny
Pri skúmaní kardinality nekonečných množín sme zatiaľ zistili, že tri základné číselné
množiny sú spočítateľné. Z definície je to množina všetkých prirodzených čísel, potom sme
ukázali, že aj množiny celých i racionálnych čísel sú spočítateľné. Pre kardinálne čísla týchto
množín platí
𝑐𝑎𝑟𝑑(ℕ) = 𝑐𝑎𝑟𝑑(ℤ) = 𝑐𝑎𝑟𝑑(ℚ) = ℵ0.
71
Zostáva nám množina všetkých reálnych a komplexných čísel. Množinu reálnych čísel
hlbšie skúmal už G. Cantor, ktorý pomocou diagonálnej metódy dokázal tvrdenie
Množina všetkých reálnych čísel je nespočítateľná.
Cantorova diagonálna metóda je dôkaz, ktorý ukazuje, že množina všetkých reálnych čísel
v intervale (0, 1) nie je spočítateľná množina.
Naznačíme hlavnú myšlienku dôkazu.
Predpokladajme, že množina ℝ je spočítateľná. To znamená, že všetky reálne čísla
z intervalu (0, 1) môžeme usporiadať do postupnosti:
𝛼1 = 0, 𝒂𝟏𝟏𝑎12𝑎13𝑎14𝑎15…
𝛼2 = 0, 𝑎21𝒂𝟐𝟐𝑎23𝑎24𝑎25…
𝛼3 = 0, 𝑎31𝑎32𝒂𝟑𝟑𝑎34𝑎35…
𝛼4 = 0, 𝑎41𝑎42𝑎43𝒂𝟒𝟒𝑎45…
𝛼5 = 0, 𝑎51𝑎52𝑎53𝑎54𝒂𝟓𝟓…
kde 𝛼𝑘 je dekadický rozvoj reálneho čísla z intervalu (0, 1). Reálne čísla, ktoré nemajú
jednoznačný dekadický rozvoj31, budú v postupnosti reprezentovať ich „jednoduchšie“
dekadické rozvoje. Týmto spôsobom zaručíme, že postupnosť bude obsahovať všetky reálne
čísla z intervalu (0, 1).
Ukážeme, že existuje reálne číslo 𝛽 = 0, 𝑏1𝑏2𝑏3𝑏4𝑏5… , ktoré patrí do intervalu (0, 1),
ale nie je uvedené v postupnosti 𝛼1𝛼2𝛼3𝛼4𝛼5….
Stačí vziať 𝒃𝒊 ≠ 𝒂𝒊𝒊 . Zrejme 𝜷 ≠ 𝒂𝒊 pre ľubovoľné 𝑖 ∈ ℕ. Pri konštrukcii reálneho
čísla 𝛽 nepoužívame číslice 0, 9.
Týmto postupom by sme sa dostali k sporu.
Dokážte, že:
A. Množina všetkých reálnych čísel je nespočítateľná.
B. Množina všetkých bodov danej úsečky je nespočítateľná.
C. Množina všetkých priamok v rovine je nespočítateľná.
31 Niektoré reálne čísla nemajú jednoznačný dekadický rozvoj. Číslo, ktoré má konečný desatinný rozvoj možno
zapísať dvoma rozličnými spôsobmi. Od určitého miesta môže postupnosť číslic v jeho zápise pozostávať zo
samých núl alebo samých deviatok. Napr.: 0,2 = 0,200000 ... = 0,199999 ...
72
Kardinálne číslo množiny reálnych čísel nazývame mohutnosť kontinua,
označujeme ho symbolom 𝒄.
Symbolicky: 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑹) = 𝒄 , kde ℝ je množina reálnych čísel.
Hľadajme odpovede na otázky:
Aký je vzťah medzi spočítateľnými množinami a množinami mohutnosti kontinua?
Existujú nekonečné množiny väčšej mohutnosti, ako je mohutnosť kontinua?
Existuje „najväčšie“ kardinálne číslo?
Najskôr dokážeme tvrdenie známe ako Cantor-Bernsteinova veta. Nech sú 𝐴, 𝐵
ľubovoľné množiny, ktorých kardinálne čísla sú 𝑎 = 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴), 𝑏 = 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐵).
1. Nech sú A, B ľubovoľné množiny a nech existujú injektívne zobrazenia
𝑓: 𝐴 → 𝐵 , 𝑔: 𝐵 → 𝐴 .
Potom sú množiny A, B ekvivalentné.
2. Nech pre kardinálne čísla 𝑎 = 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴), 𝑏 = 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐵) platí 𝑎 ≤ 𝑏 𝑏 ≤ 𝑎,
potom sa kardinálne čísla 𝑎, 𝑏 rovnajú: 𝒂 = 𝒃.
Dôkaz:
Keďže 𝑓 je injekcia32, tak obrazom prvku 𝑎 ∈ 𝐴 je nanajvýš jeden prvok 𝑏 ∈ 𝐵: 𝑓(𝑎) =
𝑏. Tento prvok, ak existuje, má najviac jedného rodiča 𝑎´ = 𝑓−1(𝑏) atd.
Obrázok 20: Cantorova veta
Takýmto spôsobom sledujme všetkých predkov daného prvku 𝑎 ∈ 𝐴 tak dlho ako to je
len možné. Môžu nastať tri navzájom sa vylučujúce prípady:
1. každý predok daného prvku má rodiča; t.j. existuje nekonečná reťaz predkov,
2. prvok má takého predka v množine A, ktorý už nemá rodiča (reťaz končí v A),
3. prvok má takého predka v množine B, ktorý už nemá rodiča (reťaz končí v B).
Vzhľadom na uvedené tri prípady rozdelíme A na tri podmnožiny 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 a podobne
32 Injektívne zobrazenie je prosté zobrazenie
73
rozdelíme B na tri podmnožiny 𝐵1, 𝐵2, 𝐵3.
Definujme zobrazenie 𝒉:𝑨 → 𝑩 takto:
ℎ(𝑥) = {𝑓(𝑥), 𝑎𝑘 𝑥 ∈ 𝐴1 ∪ 𝐴3𝑔−1(𝑥), 𝑎𝑘 𝑎𝑘 𝑥 ∈ 𝐴2
,
ktoré je bijektívne. Odtiaľ vyplýva pravdivosť prvého tvrdenia v Cantorovej vete. Druhé
tvrdenie je jednoduchým dôsledkom prvého tvrdenia.
Pre ľubovoľnú množinu 𝑀 a pre množinu všetkých jej podmnožín 𝑃(𝑀) platí nerovnosť:
𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑴) < 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝑷(𝑴)).
Dôkaz tvrdenia:
1. Zobrazenie 𝑓: 𝑀 → 𝑃(𝑀), kde 𝒙 ↦ {𝒙} je zrejme injekcia. Preto platí: 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑴) ≤
𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑷(𝑴)).
2. Zložitejšie bude ukázať, že neexistuje injekcia 𝑔: 𝑃(𝑀) → 𝑀. Dokážeme to tak, že nájdeme
aspoň jednu množinu X, ktorá sa „nemá na čo zobraziť“. Predpokladajme, že taká injekcia
𝑔: 𝑃(𝑀) → 𝑀 existuje. Nech X je množina
𝑿 = {𝒂 ∈ 𝑴; 𝒂 𝒈−𝟏(𝒂)}
všetkých prvkov množiny M, ktoré nepatria do svojho vzoru. Takáto množina je určite
neprázdna. Označme 𝒈(𝑿) = 𝒙 resp. 𝑿 = 𝑔−1(𝑥). Môžu nastať dva prípady: 𝒙 𝑿 alebo
𝒙 ∈ 𝑿.
𝒙 𝑿 𝒙 ∉ 𝒈−𝟏(𝒙)
potom podľa definície množiny 𝑿 by malo
platiť 𝒙 ∈ 𝑿
𝒙 ∈ 𝑿 𝒙 ∈ 𝒈−𝟏(𝒙)
potom podľa definície množiny 𝑋 musí
𝒙 ∉ 𝑿
Obrázok 21: Množina všetkých podmnožín
V obidvoch prípadoch sme dospeli k sporu. Tým je veta dokázaná.
Toto tvrdenie umožňuje vytvárať nové (väčšie) kardinálne čísla.
Poznámky.
1. Kardinálne číslo množiny 𝑃(𝑀) označujeme tiež symbolom 𝟐𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑴).
2. Ak za 𝑀 zvolíme množinu prirodzených čísel, dostaneme nerovnosť: ℵ𝟎 < 𝟐ℵ𝟎.
3. Pretože množina ℝ všetkých reálnych čísel je nespočítateľná, tiež platí: ℵ𝟎 < 𝒄.
4. Neskôr ukážeme, že platí rovnosť: 𝟐ℵ𝟎 = 𝒄
74
Medzi kardinálnymi číslami ℵ0 a 𝒄 neexistuje iné kardinálne číslo. Pre mohutnosť kontinua
platí: 𝒄 = 𝟐ℵ𝟎
Dôkaz:
Každú podmnožinu A množiny prirodzených čísel ℕ je možné jednoznačne zadať
pomocou charakteristickej funkcie:
𝝌𝑨(𝒙) = {𝟏, 𝒙 ∈ 𝑨𝟎, 𝒙 ∉ 𝑨
.
Napríklad množine 𝐴 = {1, 3, 7} resp. množine 𝐵 = {0, 6, 7} priradíme postupnosti :
𝐴 = {1, 3, 7} ↔ ⟨0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, … ⟩
𝐵 = {0, 6, 7} ↔ ⟨1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, … ⟩
Postupnosť ⟨0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, … ⟩ možno považovať za dvojkový zápis reálneho čísla
𝑎 = (0,01010001)2, ktoré patrí do intervalu (0,1).
𝑎 = 0. 2−1 + 1. 2−2 + 0. 2−3 + 1.2−4 + 0. 2−5 + 0. 2−6 + 0. 2−7 + 1. 2−8
To znamená, že existuje bijekcia z intervalu (0,1) do systému podmnožín 𝑃(𝑁) množiny
prirodzených čísel, čím je veta dokázaná.
75
Cvičenie
1. Dokážte, že:
Množina všetkých párnych prirodzených čísel je spočítateľná.
Množina všetkých bodov danej úsečky je nespočítateľná.
2. Dokážte, že pre spočítateľné množiny platí:
Ľubovoľná podmnožina spočítateľnej množiny je spočítateľná množina.
Zjednotenie a prienik dvoch spočítateľných množín je spočítateľná množina.
Karteziánsky súčin dvoch spočítateľných množín je tiež spočítateľná množina.
76
8 Číselné sústavy
Keď bolo v prehistorickej dobe známe len niekoľko málo najmenších prirodzených čísel,
nebol problém vyjadrovať ich napríklad pomocou vrypov na tyči alebo pomocou kamienkov.
Napríklad vo Věstoniciach bola nájdená vlčia kosť zo staršej doby kamennej, na ktorej bolo 55
vrypov. Ako však začali pribúdať ďalšie čísla, stal sa taký spôsob zápisu neprehľadný. Veľkým
pokrokom preto bolo, keď sa značky začali zoskupovať do skupín o rovnakom počte. Tak sa
zrodila myšlienka číselných sústav. Tak napríklad v Zaire bola nájdená tyč (obr. 22)
z doby asi pred 10 000 rokmi, na ktorej už bolo zrejmé zoskupovanie vrypov.
Obrázok 22: Kosť s drážkam nájdená pri osade Ishango v Zaire
Neskôr prišli matematici na to, že je výhodné označiť vzniknutú skupinu novým znakom.
Tak vznikli aditívne nepozičné sústavy. Každý znak mal svoju hodnotu a číslo sa určilo sčítaním
hodnôt všetkých znakov. Nezáležalo na tom, v akom poradí sme znaky napísali. Takáto sústava
bola používaná napr. v starom Egypte. Z tej doby je známy aj Rhindov papyrus (18. až 16.
storočie pred Kristom) . Určité znaky takejto sústavy má aj rímska sústava, pomocou ktorej sa
počítalo v Európe až do 16. storočia.
Veľmi skoro sa objavila myšlienka, aby pozícia znaku určovala aj jeho hodnotu. Tak sa začali
objavovať pozičné sústavy. Príkladom bolo vyjadrovanie čísel u starých Sumerov a neskôr u
stredoamerických indiánov Mayov (4. storočie pred Kristom). V histórii sa popri desiatkovej
sústave objavili aj sústavy o iných základoch. Historicky doložené sú sústavy o základoch 5, 7,
9, 12, 20 a 60, ale tiež kombinované sústavy ako napr. 5 - 20. Skutočne dôsledná desiatková
pozičná sústava vznikla asi v 6. až 8. storočí v Indii. Indickí matematici mali totiž veľkú vášeň
pre počítanie s veľkými číslami a tak výhody počítanie v pozičnej desiatkovej sústave dokázali
naplno oceniť. Z Indie sa potom táto sústava rozšírila do celého sveta. Do Európy ju priniesli
Arabi v desiatom storočí. Trvalo však celých 600 rokov, než túto sústavu Európa dôsledne
prijala. Matematici ju samozrejme prijali oveľa skôr a jedným z najväčších propagátorov bol
v 12. storočí veľký taliansky matematik Fibonacci. Využívanie rímskych číslic v Európe trvalo
až do šestnásteho storočia. Až potom ich nahradili arabské číslice.
77
8.1 Vyjadrenie prirodzeného čísla v pozičnej číselnej sústave
Historický prehľad „kultúry počítania“ je podrobne spracovaný napríklad aj v knihe Pí na
nebesích (Barrow 1992, český preklad 2000). V súvislosti so zavedením sústav s rôznymi
základmi uvádza, že technika počítania na prstoch je zaujímavá už preto, že je podľa všetkého
nejakým spôsobom spojená so základom číselnej sústavy, v ktorej sa počíta. Mohli by sme síce
počítať do nekonečna a pre každé nové číslo mať iné slovo, taký postup by však bol ťažkopádny
a nepraktický a naša pamäť by bola čoskoro zaťažená nad únosnú mieru. Účinnejšie je mať
určitý počet ako hromadnú jednotku. Tak je možné počítať päť oviec na jednej ruke a na tej
istej ruke začať znova a pritom si zaznamenávať počet pätíc na prstoch druhej ruky. Táto
myšlienka tvorí základ všetkých číselných sústav. Počet, ktorý určuje veľkosť hromadnej
jednotky sa nazýva základ číselnej sústavy. V našej desiatkovej sústave je základom číslo 10.
Objav toho, ako pomocou desiatich znakov označiť ľubovoľné prirodzené číslo patrí
určite medzi najväčšie objavy, ku ktorým ľudstvo vo svojich dejinách dospelo. Navyše nejde
len o to, že rôznym prirodzeným číslam odpovedajú jednoznačne rôzne zápisy, ale dôležité je
aj to, že sa s takýmito zápismi dá efektívne počítať. Ak sa napríklad v stredoveku u nás používali
rímske číslice, bolo numerické počítanie veľmi komplikované a dokázať spamäti vypočítať
napr. 17.23 dokázali iba vynikajúci počtári.
Obrázok 23: Margareta philosophica
Zástancovia rímskych číslic počítali tak, že pohybovali žetónmi či guličkami na počítacím
stole alebo abaku. Nemohli gumovať a mali oveľa menej priestoru pre uchovanie informácií
počas výpočtu aj po ňom. Do 14. storočia sa vďaka zvyšujúcim sa nárokom na zložité
matematické výpočty a vďaka rastúcej dostupnosti papiera preukázalo, že „pero je mocnejšie
ako abakus“. Drevoryt Gregora Reischa z roku 1504 (obr. 23) s názvom Margareta philosophica
(Perla filozofia) ukazuje kontrast medzi výkonnosťou algoritmika vľavo (Boetius) a
neschopnosťou abakistu vpravo (nešťastný Pytagoras).
78
Na nasledovnom príklade budeme ilustrovať podstatu vyjadrovanie čísel v číselných
sústavách.
Príklad.
Ukážeme graficky, ako by sme dospeli k zápisu počtu hviezdičiek na nasledovnom obrázku
(obr. 24) v číselnej sústave so základom 4 (v štvorkovej číselnej sústave).
Poznámka. Vieme, že zápis počtu hviezdičiek z obrázka v (nám dobre známej) desiatkovej
sústave je 27 (dve desiatky a sedem jednotiek).
Obrázok 24: Grafické znázornenie počtu predmetov v sústave o základe 4
Na obrázku je 27 hviezdičiek a zoskupili sme ich do skupín po štyri hviezdičky. Dostali
sme 6 skupín po štyri hviezdičky a 3 zostali nezoskupené. Týchto 6 skupín opäť zoskupíme po
4 Dostali sme 1 veľkú skupinu, zostali dve malé skupiny a ešte máme tri voľné (nezoskupené)
hviezdičky.
Zápis čísla 27 v sústave o základe 4 teda vyzerá nasledovne: 123, čo čítame „jedna dva
tri“. Čítanie „sto dvadsať tri“ je používané iba pre desiatkovú sústavu. Samozrejme číslice
(cifry) sme si požičali z desiatkovej sústavy. Aby nedošlo k nedorozumeniu, v akej sústave
práve pracujeme, napíšeme základ sústavy ako index, tzn.
(27)10 = (123)4.
Poznámka.
Pri desiatkovej sústave väčšinou index 10 nepíšeme. V prípade, že ak nemôže dôjsť
k nedorozumeniu, tak vynecháme aj zátvorky.
Teda zápis (27)10 = (123)4 môžeme nahradiť aj zápisom 27 = 1234.
79
Samozrejme to postupné zoskupovanie, ktoré je znázornené na obrázku môžeme zapísať
postupne ako delenie (so zvyškom) číslom 4:
27 = 4.6 + 3
6 = 4.1 + 2
1 = 4.0 + 1
Potom už stačí napísať získané zvyšky v poradí ako idú zdola nahor (a dopísať index 4). Pri
prevode čísla z desiatkovej sústavy do inej sústavy (v našom prípade do štvorkovej) sme počítali
v desiatkovej sústave, t.j. v pôvodnej sústave a použili sme tzv. algoritmus postupného delenia.
Bolo by užitočné, keby si čitateľ uchoval predstavu, ktorú sme si práve o vyjadrení čísla
v štvorkovej sústave vytvorili. Už žiaci základnej školy vedia, že napr. zápis 5 652 v desiatkovej
sústave znamená
5.103 + 6.102 + 5.10 + 2.
Podobne teraz vieme, že zápis 1234 v štvorkovej sústave znamená 1.42 + 2.4 + 3.
Doterajšie úvahy a pozorovania teraz sformulujeme precíznejšie a vyslovíme vetu, na
ktorej spočíva vyjadrovanie čísel v pozičnej číselnej sústave so základom 𝑧.
Veta o rozvoji prirodzeného čísla v číselnej sústave o základe 𝒛. Nech 𝑧 je prirodzené
číslo, 𝑧 > 1. Potom každé nenulové prirodzené číslo 𝑥 je možné jednoznačne vyjadriť
v tvare:
(R) 𝑥 = 𝑎𝑛𝑧𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑧
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑧𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑧 + 𝑎0,
kde 𝑎𝑖 sú prirodzené čísla pre ktoré platí 0 ≤ 𝑎𝑖 < 𝑧, pre 𝑖 ∈ {0,1,2, … 𝑛} a 𝑎𝑛 0.
Ak je prirodzené číslo 𝑥 zapísané v tvare (R) hovoríme, že sme ho vyjadrili v číselnej
sústave o základe z alebo v 𝑧-adickej sústave. Skrátene píšeme
𝑥 = (𝑎𝑛𝑎𝑛−1𝑎𝑛−2…𝑎1𝑎0)𝑧 .
Pri zápise konkrétneho čísla môžeme zátvorky v predchádzajúcom zápise vynechať.
Číslo z nazývame základom číselnej sústavy. Symboly 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛−2, … , 𝑎1, 𝑎0 sa nazývajú
číslice alebo cifry. O číslici 𝑎𝑖 hovoríme, že je 𝑖 − 𝑡𝑒ℎ𝑜 rádu alebo rádu 𝑖. Číslo 𝑧𝑖 sa volá
jednotka rádu i. Ak je z = 10, tak bude písať len 𝑥 = 𝑎𝑛𝑎𝑛−1𝑎𝑛−2…𝑎1𝑎0 a hovoriť, že číslo x
je zapísané v desiatkovej (dekadickej) sústave.
80
Veta o rozvoji prirodzeného čísla predstavuje základ vyjadrovania prirodzených čísel
v sústave o základe 𝑧 a preto (aspoň stručne) popíšeme jej dôkaz. To, čo bude v dôkaze
popisované vo všeobecnej rovine, sme už mali možnosť vidieť v konkrétnej situácii v príklade
„prevodu čísla 27 do sústavy o základe 4“.
Dôkaz vety o rozvoji prirodzeného čísla. Ak 𝑛 = 0, tak 𝑥 = 𝑎0. Pre 𝑛 > 0 je 𝑥 ≥ 𝑧.
Myšlienka vytvorenia rozvoja (R) pre číslo 𝑥 spočíva v tom, že číslo 𝑥 delíme základom 𝑧,
potom vzniknutý neúplný (čiastočný) podiel opäť delíme číslom 𝑧, atď. Toto delenie robíme
tak dlho, kým čiastočný podiel nie je nulový. Zo získaných zvyškov potom vytvoríme rozvoj.
Uvedený popis teraz zapíšeme podrobnejšie.
Deľme číslo 𝑥 základom 𝑧. Dostávame 𝑥 = 𝑧. 𝑞0 + 𝑎0, kde 0 ≤ 𝑎0 < 𝑥. Teraz vydelíme
neúplný podiel 𝑞0 opäť základom 𝑧. Dostávame 𝑞0 = 𝑧. 𝑞1 + 𝑎1. Takto pokračujeme ďalej.
Pretože 𝑥 > 𝑞0 > 𝑞1 > 𝑞2 > ⋯, dostaneme sa po určitom počte delení k neúplnému podielu
𝑞𝑛 = 0. Popísaný postup zapíšeme prehľadnejšie:
𝒙 = 𝑧. 𝑞0 + 𝑎0 0 𝑎0 < 𝑧
𝑞0 = 𝑧. 𝑞1 + 𝑎1 0 𝑎1 < 𝑧
𝑞1 = 𝑧. 𝑞2 + 𝑎2 0 𝑎2 < 𝑧
𝑞𝑛−2 = 𝑧. 𝑞𝑛−1 + 𝑎𝑛−1 0 𝑎𝑛−1 < 𝑧
𝑞𝑛−1 = 𝑧. 𝑞𝑛 + 𝑎𝑛 𝟎 ≤ 𝒂𝒏 < 𝑧
Tieto rovnosti násobíme postupne číslami 1, 𝑧, 𝑧2, . . . , 𝑧𝑛−1, 𝑧𝑛. Ak potom všetky získané
rovnosti sčítame, dostaneme:
𝑥 = 𝑎𝑛𝑧𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑧
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑧𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑧 + 𝑎0.
Pretože delenie so zvyškom je jednoznačné je jednoznačným aj uvedené vyjadrenie čísla
𝑥. Precízny zápis dôkazu jednoznačnosti vyjadrenia prirodzeného čísla v tvare (R) je možné
urobiť metódou matematickej indukcie.
Z vety o rozvoji vyplýva, že k zápisu prirodzeného čísla v číselnej sústave o základe 𝑧
potrebujeme práve 𝑧 rôznych symbolov pre označenie jednotlivých číslic. Ak chceme napríklad
vyjadrovať čísla v päťkovej číselnej sústave budeme k tomu potrebovať päť číslic. Zvyčajne sa
to robí tak, že symboly pre číslice sa „požičajú“ z desiatkovej číselnej sústavy. V prípade
päťkovej sústavy to teda budú: 0, 1, 2, 3 a 4.
Postup, ktorým sme sa k rozvoju (R) dostali, môžeme využiť pri prevode čísla z jednej
číselnej sústavy do inej. Predvedieme to na nasledujúcom príklade.
81
Príklad.
Zapíšeme číslo 482 v číselnej sústave o základe 5. Postupným delením čísla 482 a následných
čiastočných podielov číslom 5 postupne dostávame.
482 = 5.96 + 2
96 = 5.19 + 1
19 = 5.3 + 4
3 = 5.0 + 3
Teraz už stačí vypísať získané zvyšky zdola nahor a z uvedenej schémy už bezprostredne
vyplýva, že 482 = 34125.
Ak ale chceme vyjadrovať čísla napríklad v sústave o základe 12, musíme mať
k dispozícii 12 číslic. Dohodneme sa, že číslo 10 označíme číslicou (symbolom) 𝐴 a číslo 11
označíme číslicou (symbolom) 𝐵. Pri vyššom základe ako 12 postupujeme analogicky
a využívame ďalšie písmená (C, D, E, ...). Teraz môžeme riešiť aj nasledujúci príklad.
Príklad.
Zapíšeme číslo 279 v číselnej sústave o základe 12. Postupným delením čísla 279 a následných
čiastočných podielov číslom 12 postupne dostávame.
279 = 12.23 + 3
23 = 12.1 + 11 (B)
1 = 12.0 + 1
Vypíšeme získané zvyšky zdola nahor a dostávame, že 279 = 1B312.
Naozaj, 1B312 = 1.122 + 11.12 + 3 = 279.
82
8.2 Počtové výkony s prirodzenými číslami
Teraz sa budeme zaoberať počítaním v číselných sústavách. Začneme sčítaním. Využitie
algoritmu pre sčítanie viacciferných čísel v desiatkovej sústave poznáme už zo základnej školy.
Príklad.
Vypočítame v desiatkovej sústave s využitím algoritmu pre písomné sčítanie nasledovné súčty:
a) 263 + 324,
b) 2 638 + 785.
Riešenie.
a) 263 3 + 4 = 7
+324 2 + 6 = 8
587 3 + 2 = 5
b) 2 638 8 + 5 = 10 + 3
+ 785 1 + 3 + 8 = 10 + 2
3 423 1 + 6 + 7 = 10 + 4
1 + 2 = 3
V prípade a) sa jedná o tzv. sčítanie bez prechodu cez základ a v prípade b) o sčítanie
s prechodom cez základ.
Okomentujme teraz postup v prípade b). Tento postup spočíva v tom, že najprv sčítame
číslice rádu 0, t.j. 5 + 8 = 13 = 10 + 3. Napíšeme číslicu 3 hľadaného súčtu a číslicu 1
pripočítame k súčtu číslic rádu 1, t.j. 1 + 3 + 8 = 12 = 10 + 2. Napíšeme číslicu 2 a číslicu 1
pripočítame k súčtu číslic rádu 2, t.j. 1 + 6 + 7 = 14 = 10 + 4. Napíšeme číslicu 4 a číslicu 1
pripočítame k súčtu číslic rádu 3, t.j. 1 + 2 + 0 = 3. Napíšeme číslicu 3. Skrátený (schematický)
zápis uvedeného „komentára“ je v riešení príkladu časti b) uvedený vpravo od zápisu tzv.
písomného sčítania (sčítania podľa algoritmu). Samozrejme pri praktických výpočtoch už
uvedené komentáre nezapisujeme.
Analogicky môžeme postupovať v číselnej sústave s ľubovoľným základom. Užitočné je
ale (pre zjednodušenie výpočtov) mať napísanú tzv. tabuľku základných spojov pre sčítanie pre
danú sústavu. To odpovedá aj postupu v školskej praxi, kde žiaci pred tým ako majú zvládnuť
sčítanie viacciferných čísel s využitím algoritmu, tzv. písomné sčítanie, musia najprv ovládať
základné spoje sčítania pre čísla 0, 1, 2, ..., 9.
Napíšme teraz tabuľku (tab. 3) základných spojov pre sedmičkovú číselnú sústavu. Kvôli
prehľadnosti v tabuľke vynechávame index 7.
83
Tabuľka 3: Tabuľka základných spojov pre sčítanie v sedmičkovej sústave
Pomocou tejto tabuľky ukážeme príklad sčítania viacciferných čísel v sedmičkovej
sústave.
Príklad.
Vypočítame v sedmičkovej sústave s využitím algoritmu pre písomné sčítanie nasledovné
súčty:
a) 1347 + 2317,
b) 2 5367 + 5547.
Riešenie.
a) 1347 4 + 1 = 5
+2317 3 + 3 = 6
3657 1 + 2 = 3
b) 2 5367 6 + 4 = 107 + 3
+ 5547 1 + 3 + 5 = 107 + 2
3 4237 1 + 5 + 5 = 107 + 4
1 + 2 = 3
V prípade a) sa jedná o tzv. sčítanie bez prechodu cez základ a v prípade b) o sčítanie
s prechodom cez základ.
Zapíšme ešte raz trochu podrobne postup pri hľadaní súčtu 2 5367 + 5547:
2 5367 + 5547 = (2.73 + 5.72 + 3.7 + 6) + (5.72 + 5.7 + 4) =
= 2.73 + (5 + 5).72 + (3 + 5).7 + (6 + 4) = 2.73 + (5 + 5).72 + (3 + 5).7 + (7 + 3) =
= 2.73 + (5 + 5).72 + (1 + 3 + 5).7 + 3 = 2.73 + (5 + 5).72 + (7 + 2).7 + 3 =
= 2.73 + (1 + 5 + 5).72 + 2.7 + 3 = 2.73 + (7 + 4).72 + 2.7 + 3 =
= (1 + 2).73 + 4.72 + 2.7 + 3 = 3.73 + 4.72 + 2.7 + 3 = 3 4237.
Všimnime si, že to, čo sme robili pri riešení príkladu v časti b) je vlastne skrátený zápis
predchádzajúceho (pomerne zdĺhavého) päťriadkového výpočtu. Využívali sme základné
vlastnosti operácií sčítania a násobenia prirodzených čísel a postupovali sme tak, aby sme vo
84
výslednom rozvoji dostali číslo zapísané v sedmičkovej sústave (t.j. aby pred mocninami
základu 7 boli čísla menšie ako 7). V obidvoch prípadoch sme postupovali podľa algoritmu pre
sčítanie, ktorý teraz uvedieme pre číselnú sústavu so základom 𝑧. Pre tento prípad pripustíme
aj zápis prirodzeného čísla v tvare (00 . . . 0𝑒𝑛 . . . 𝑒1𝑒0)𝑧.
Algoritmus pre sčítanie. Nech 𝑥 = (𝑎𝑛𝑎𝑛−1…𝑎1𝑎0)𝑧, 𝑦 = (𝑏𝑛𝑏𝑛−1…𝑏1𝑏0)𝑧. Potom
𝑥 + 𝑦 = (𝑑𝑛+1𝑐𝑛𝑐𝑛−1…𝑐1𝑐0)𝑧,
pričom o číslach 𝑐0, 𝑐1, . . . , 𝑐𝑛, 𝑑𝑛+1 platí
𝑎0 + 𝑏0 = 𝑑1. 𝑧 + 𝑐0, 0 𝑐0 < 𝑧,
𝑑1 + 𝑎1 + 𝑏1 = 𝑑2. 𝑧 + 𝑐1, 0 𝑐1 < 𝑧,
𝑑2 + 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑑3. 𝑧 + 𝑐2, 0 𝑐2 < 𝑧,
𝑑𝑛 + 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 = 𝑑𝑛+1. 𝑧 + 𝑐𝑛, 0 𝑐𝑛 < 𝑧.
Dôkaz možno urobiť podobnou metódou ako to bolo pri „vete o rozvoji prirodzeného
čísla“. Stačí prvú rovnosť vynásobiť číslom 1, druhú číslom 𝑧 atď., až poslednú číslom 𝑧𝑛
a takto získané rovnosti sčítať.
Skôr ako sa budeme zaoberať odčítaním, musíme vedieť porovnať prirodzené čísla, t.j.
musíme vedieť zistiť, ktoré z nich je väčšie.
Usporiadanie prirodzených čísel. Z dvoch čísel v danej číselnej sústave je väčšie to, ktoré má
v zápise väčší počet cifier. Ak majú rovnaký počet cifier, tak je väčšie to, ktoré má pri
porovnávaní číslic rovnakého rádu sprava skôr väčšiu číslicu.
Odčítanie je inverznou operáciou k sčítaniu a preto pri odčítaní dvoch prirodzených čísel
môžeme využiť poznatky o sčitovaní. Postup najprv ukážeme na príklade rozdielu dvoch čísel
zapísaných v desiatkovej sústave a budeme ilustrovať využitie písomného odčítania.
Príklad.
Vypočítajme rozdiel 738 – 253. Využijeme rozvoje daných čísel a postupne upravujeme:
738 – 253 = (7.102 + 3.10 + 8) – (2.102 + 5.10 + 3) =
(6.102 + 13.10 + 8) – (2.102 + 5.10 + 3) = 4.102 + 8.10 + 5 = 485.
Všimnite si, že pri úprave sme vyžili to, že k číslu 738 sme vhodne pripočítali číslo 100 aj
odčítali číslo 100, teda použili sme úpravu „a – b = (a – c + c) – b“.
Skrátený písomný zápis (aj so schematickým komentárom) teda bude:
85
738 3 + 5 = 8
- 253 5 + 8 = 10 + 3
485 2 + 4 = 6
Všimnime si, že aj tu využívame, že odčítanie je inverznou operáciou k sčítaniu. Prvý riadok
schematického zápisu 3 + 5 = 8 vlastne znamená, že sa pýtame na riešenie rovnice 3 + 𝑥 = 8
(„3 plus koľko je 8“), kde 𝑥 je rozdiel čísel 8 a 3.
Ukážeme si aj trochu odlišný postup. Opäť využijeme rozvoje a upravujeme:
738 – 253 = (7.102 + 3.10 + 8) – (2.102 + 5.10 + 3) =
= (7.102 + 13.10 + 8) – (3.102 + 5.10 + 3) = 4.102 + 8.10 + 5 = 485.
V tomto prípade sme číslo 100 pripočítali aj k číslu 738 aj k číslu 253. Použili sme úpravu „a –
b = (a + c) – (b + c)“. Skrátený písomný zápis (aj so schematickým komentárom) teda bude:
738 3 + 5 = 8
– 253 5 + 8 = 10 + 3
485 3 + 4 = 7
Posúďte, ktorý z uvedených dvoch postupov sa v súčasnosti používa v školskej praxi.
Ukážeme ešte jeden príklad pre odčítane v sedmičkovej sústave.
Príklad.
Vypočítame v sedmičkovej sústave rozdiel 6457 – 2517.
6457 1 + 4 = 5
– 2517 5 + 6 = 107 + 4
3647 3 + 3 = 6
Využívanie algoritmu pre násobenie v desiatkovej sústave poznáme. Uvedieme najprv
algoritmus pre násobenie prirodzeného čísla jednociferným číslom v číselnej sústave so
základom 𝑧 a ukážeme jeho použitie. Jeho formálny dôkaz by bolo opäť možné urobiť podobne
ako dôkaz „vety o rozvoji prirodzeného čísla“.
Algoritmus pre násobenie prirodzeného čísla jednociferným číslom.
Nech 𝑥 = (𝑎𝑛𝑎𝑛−1…𝑎1𝑎0)𝑧 a nech 𝑏 je jednociferné číslo. Potom
𝑥 ∙ 𝑏 = (𝑑𝑛+1𝑐𝑛𝑐𝑛−1…𝑐1𝑐0)𝑧,
pričom o číslach 𝑐0, 𝑐1, . . . , 𝑐𝑛, 𝑑𝑛+1 platí
𝑎0 ∙ 𝑏 = 𝑑1 ∙ 𝑧 + 𝑐0, 0 𝑐0 < 𝑧,
𝑑1 + 𝑎1 ∙ 𝑏1 = 𝑑2 ∙ 𝑧 + 𝑐1, 0 𝑐1 < 𝑧,
𝑑𝑛 + 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛 = 𝑑𝑛+1 ∙ 𝑧 + 𝑐𝑛, 0 𝑐𝑛 < 𝑧.
86
Pri násobení v desiatkovej sústave využívame základné spoje násobenia (tzv. malú
násobilku). Pretože nasledovná ukážka bude ukážkou násobenia v číselnej sústave so základom
7 využijeme tabuľku základných spojov násobenia pre sedmičkovú sústavu. Kvôli prehľadnosti
v tabuľke vynechávame index 7.
Tabuľka 4: Tabuľka základných spojov pre násobenie v sedmičkovej sústave
Budeme ilustrovať využitie algoritmu násobenia jednociferným číslom.
Príklad.
Vypočítame súčin 1367.4. Využijeme rozvoj a úpravy robíme tak, aby sme vo výslednom
rozvoji dostali číslo zapísané v sedmičkovej sústave (t.j. aby pred mocninami základu 7 boli
čísla menšie ako 7):
1367.4 = (1.72 + 3.7 + 6).4 = 4.72 + 12.7 + 24 = 4.72 + 12.7 + 3.7 + 3 =
= 4.72 + 15.7 + 3 = 4.72 + (2.7 + 1).7 + 3 = 4.72 + 2.72 + 1.7 + 3 =
6.72 + 1.7 + 3 = 6137.
Uvedieme skrátený písomný zápis (aj so schematickým komentárom):
1367 4.7 = 24 = 3.7 + 3
. 4 3 + 4.3 = 15 = 2.7 + 1
6137 2 + 4.1 = 6
Na ďalšom príklade ukážeme postup pri písomnom násobení viacciferných čísel.
Príklad.
Vypočítame súčin 567. 243.
Riešenie. Využijeme základné vlastnosti operácií sčítania a násobenia prirodzených čísel
a postupnými úpravami dostávame:
567. 243 = 567.(2.102 + 4.10 + 3) = 567.2.102 + 567.4.10 + 567.3 =
= 1 134. 102 + 2 268.10 + 1 701 = 113 400 + 22 68 + 1 701 = 137 781.
Vidíme, že pre ukončenie výpočtu potrebujeme vlastne poznať algoritmus násobenia
jednociferným číslom, násobenie mocninou základu („pripísanie núl“) a algoritmus pre
sčítanie. Zápis písomného výpočtu môže byť potom napríklad nasledovný
87
567
.243
1701
22680
113400
137781
Pri praktických výpočtoch vynecháme v štvrtom riadku zápis nuly na mieste jednotiek
a v piatom riadku vynecháme zápisy núl na mieste jednotiek a desiatok (v našom zápise sú
prečiarknuté).
Delenie je inverznou operáciou k násobeniu a preto pri delení dvoch prirodzených čísel
môžeme využiť poznatky o násobení. Písomné delenie dvoch prirodzených čísel v pozičnej
číselnej sústave spočíva v tom, že od delenca odčítame čo najväčší násobok deliteľa. Delenca
preto zapíšeme v tvare súčtu, ktorého každý sčítanec s výnimkou posledného (ktorý bude
zvyškom) je násobkom deliteľa. Tieto sčítance potom vydelíme deliteľom a získané podiely
sčítame. Na príklade ukážeme postup, o ktorý sa opiera písomné delenie.
Príklad.
Vypočítame podiel 4 087 : 7.
Riešenie. Úpravou delenca postupne dostávame
4 087 = 3500 + 560 + 2+ + 6 = 5.7.102 + 8.7.10 + 3.7 + 6 = (5.102 + 8.10 + 3).7 + 6 = 583.7 + 6.
Pri delení čísla 4 087 číslom 7 dostávame teda neúplný (čiastočný) podiel číslo 583 a zvyšok je
6.
Vidíme, že obtiažnym môže byť určenie hľadaných násobkov deliteľa, najmä v prípade
delenia viacciferným číslom. Písomný zápis potom môže byť napríklad nasledovný:
4 087 : 7 = 583 (neúplný podiel)
–3 500
587
–560
27
–21
6 (zvyšok)
Opäť v zápise niektoré číslice vynechávame (v našom zápise sú prečiarknuté). Ako sme
už na začiatku hovorili, jednotlivé číslice neúplného podielu odhadujeme. Najskôr hľadáme čo
najväčší násobok čísla 7, ktorý nie je väčší ako 40 (stoviek). Je to číslo 5 (stoviek). Od čísla 40
odčítame číslo 7.5 = 35. K rozdielu 40 – 35 = 5 pripíšeme číslicu 8. Dostávame číslo 58
(desiatok) a toto číslo opäť delíme číslom 7, teda hľadáme čo najväčší násobok čísla 7, ktorý
nie je väčší ako číslo 58. Je to číslo 8 (desiatok). Od čísla 58 odčítame číslo 7.8 = 56. K rozdielu
88
58 – 56 = 2 pripíšeme číslicu 7. Dostávame číslo 27. Hľadáme čo najväčší násobok čísla 7,
ktorý nie je väčší ako číslo 27. Je to číslo 3. Od čísla 27 odčítame číslo 7.3 = 21. Vzniknutý
rozdiel 27 – 21 = 6 je menší ako deliteľ 7 a je to hľadaný zvyšok.
Zvyčajne sa ale používa jednoduchší skrátený zápis, napríklad
4 087 : 7 = 583 (6)
58
27
6
Postup pri písomnom delení budeme ešte ilustrovať na príklade delenia v číselnej sústave
so základom 8.
Príklad.
Vypočítame podiel 413208 : 5.
Riešenie. Pre uľahčenie hľadania príslušných násobkov zostrojíme najprv tabuľku násobkov
čísla 5 v osmičkovej číselnej sústave. Nahradí nám to pre daný príklad tabuľku základných
spojov (poznanie „malej násobilky“).
n 1 2 3 4 5 6 7
5.n 5 128 178 248 318 368 438
Tabuľka 5: Tabuľka násobkov čísla 5 jednocifernými číslami v osmičkovej číselnej sústave
Upozorňujeme, že v priebehu výpočtu nebudeme zapisovať index číselnej sústavy.
413208 : 5 = 65348
–36
33
–31
22
–17
30
–24
4
Pri delení čísla 413208 číslom 5 je teda čiastočný podiel 65348 a zvyšok je 4.
89
8.3 Kritériá (znaky) deliteľnosti
Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí pojem deliteľnosť prirodzených (ale
aj celých) čísel. Mnohé z vlastností deliteľnosti sú využiteľné aj v rôznych oblastiach
matematiky. Známu a často používanú vetu a delení so zvyškom sme využili napríklad už aj pri
dôkaze vety o rozvoji prirodzeného čísla. Pretože aj v tejto časti využijeme niektoré vlastnosti
deliteľnosti, stručne si ich pripomenieme. Začneme už spomínaným delením so zvyškom.
Veta o delení so zvyškom. Ku každým dvom prirodzeným číslam 𝑎, 𝑏, (𝑏 ≥ 0), existuje jediná
dvojica celých čísel 𝑞, 𝑟, pre ktorú platí:
𝑎 = 𝑏. 𝑞 + 𝑟, 𝑟 < 𝑏.
Číslo 𝑎 nazývame delenec, číslo 𝑏 deliteľ, číslo 𝑞 čiastočný (alebo neúplný) podiel a číslo 𝑟
zvyšok.
Tvrdenie vety je intuitívne jasné. Hovorí, že pri delení prirodzeného čísla a nenulovým
prirodzeným číslom b dostaneme (čiastočný) podiel q a zvyšok r < b, pričom podiel a zvyšok
sú delencom a deliteľom jednoznačne určené.
Hovoríme, že prirodzené číslo b delí prirodzené číslo a, ak existuje prirodzené číslo c, že platí
𝑎 = 𝑏. 𝑐. V takomto prípade píšeme 𝒃|𝒂 a hovoríme tiež, že číslo a je deliteľné číslom b alebo,
že číslo a je násobkom čísla b. Ak číslo b nedelí číslo a píšeme 𝒃 ∤ 𝒂.
V nasledujúcom tvrdení zhrnieme niektoré zo základných vlastností deliteľnosti
prirodzených čísel.
Základné vlastnosti deliteľnosti. Pre ľubovoľné prirodzené čísla 𝑎, 𝑏, 𝑐 platí:
a) 1|𝑎, 𝑎|𝑎, 𝑎|0,
b) ak 𝑏|𝑎, 𝑎 0, tak 𝑏 < 𝑎,
c) ak 𝑏|𝑎 a 𝑎|𝑐, tak 𝑏|𝑐,
d) 𝑎|𝑏 a 𝑏|𝑎 práve vtedy, keď 𝑎 = 𝑏,
e) ak 𝑎|𝑏 a 𝑎|𝑐, tak 𝑎|(𝑏 + 𝑐),
f) ak 𝑎|𝑏 a 𝑎|𝑐 a 𝑏 ≥ 𝑐, tak 𝑎|(𝑏 – 𝑐).
Ako ukážku urobíme dôkaz časti c). Ak 𝑏|𝑎 a 𝑎|𝑐, tak existujú prirodzené čísla 𝑥, 𝑦, pre
ktoré platí 𝑎 = 𝑏. 𝑥, 𝑐 = 𝑎. 𝑦. Po dosadení dostávame 𝑐 = 𝑏. (𝑥. 𝑦), kde 𝑥. 𝑦 je prirodzené číslo
a preto 𝑏|𝑐.
90
Poznámka.
Často budeme využívať najmä tvrdenie e) a f). Z uvedených tvrdení bezprostredne vyplýva, že
ak je prirodzené číslo zapísané ako súčet dvoch prirodzených čísel, napríklad 𝑥 = 𝑦 + 𝑧 a dve
z nich sú deliteľné číslom d, tak aj to tretie je deliteľné číslom d.
Ďalej sa budeme venovať niektorým vybraným kritériám (znakom) deliteľnosti.
Skúmajme, kedy je prirodzené číslo deliteľné dvomi. Napíšme si niekoľko prirodzených čísel
deliteľných dvomi: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30. Všimnime si ich posledné
cifry. Vidíme, že na mieste jednotiek sa striedajú iba číslice 0, 2, 4, 6, 8.
Toto pozorovanie ľahko zovšeobecníme pre ľubovoľné prirodzené číslo. Napíšme rozvoj
čísla x v desiatkovej číselnej sústave. Nech
𝑥 = 𝑎𝑛10𝑛 + 𝑎𝑛−110
𝑛−1 + 𝑎𝑛−210𝑛−2 +⋯+ 𝑎110
1 + 𝑎0.
Po úprave dostávame
𝑥 = 10(𝑎𝑛10𝑛−1 + 𝑎𝑛−110
𝑛−2 + 𝑎𝑛−210𝑛−3 +⋯+ 𝑎1) + 𝑎0.
Pretože sčítanec 10(𝑎𝑛10𝑛−1 + 𝑎𝑛−110
𝑛−2 + 𝑎𝑛−210𝑛−3 +⋯+ 𝑎1) je deliteľný číslom 2, tak
deliteľnosť čísla x závisí len od toho, či aj druhý sčítanec, t.j. cifra nultého rádu 𝑎0 je párna.
Súčasne vidíme, že od poslednej cifry závisí aj deliteľnosť číslom 5 a 10.
Tvrdenia, ktoré umožnia zistiť, či nejaké číslo je deliteľné iným (obvykle jednociferným)
bez toho, aby sme vykonali delenie jedného druhým, sa volajú kritériá alebo znaky deliteľnosti.
Niektoré z nich teraz uvedieme vo všeobecnejšom tvare pre číselnú sústavu so základom z.
Nech 𝑎 = (𝑎𝑛𝑎𝑛−1…𝑎1𝑎0)𝑧 a nech 𝑝 delí 𝑧. Potom číslo 𝑎 je deliteľné číslom 𝑝 vtedy a len
vtedy, keď 𝑝 delí 𝑎0.
Dôkaz. Ak 𝑝 | 𝑧, t.j. 𝑧 = 𝑝. 𝑞, 𝑞 ∈ ℕ, tak
𝑎 = 𝑎𝑛𝑧𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑧
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑧𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑧 + 𝑎0 =
= 𝑧(𝑎𝑛𝑧𝑛−1 + 𝑎𝑛−1𝑧
𝑛−2 + 𝑎𝑛−2𝑧𝑛−3 +⋯+ 𝑎1) + 𝑎0 =
= 𝑝. 𝑞(𝑎𝑛𝑧𝑛−1 + 𝑎𝑛−1𝑧
𝑛−2 + 𝑎𝑛−2𝑧𝑛−3 +⋯+ 𝑎1) + 𝑎0.
Pretože sčítanec 𝑝. 𝑞(𝑎𝑛𝑧𝑛−1 + 𝑎𝑛−1𝑧
𝑛−2 + 𝑎𝑛−2𝑧𝑛−3 +⋯+ 𝑎1) je deliteľný číslom 𝑝, tak
číslo 𝑎 je deliteľné číslom 𝑝 vtedy a len vtedy, keď 𝑝 delí 𝑎0.
Z uvedeného tvrdenia vyplýva priamo dôsledok pre desiatkovú číselnú sústavu.
91
Dôsledok. Prirodzené číslo 𝑚 = 𝑎𝑛𝑎𝑛−1…𝑎1𝑎0 zapísané v desiatkovej sústave je deliteľné
číslom 2 (resp. 5, resp.10) vtedy a len vtedy, keď je číslom 2 (resp. 5, resp.10) deliteľné číslo
𝑎0.
Na príklade ukážeme použitie uvedeného kritéria v číselnej sústave so základom 9.
Príklad.
Číslo 12169 je deliteľné číslom 3 lebo 3 delí 6. Presvedčte sa o tom vydelením aj výpočtom
v desiatkovej číselnej sústave.
V nasledujúcich úvahách využijeme nasledovné pomocné tvrdenia.
Pre ľubovoľné celé číslo 𝑚 a pre ľubovoľné prirodzené číslo 𝑛 existuje také celé číslo 𝑥, že
(𝑚 + 1)𝑛 = 𝑚. 𝑥 + 1,
(𝑚 − 1)2𝑛 = 𝑚. 𝑥 + 1,
(𝑚 − 1)2𝑛+1 = 𝑚. 𝑥 − 1.
Dôkaz uvedených tvrdení vyplýva priamo z binomickej vety alebo ho možno ľahko urobiť
s využitím matematickej indukcie.
Dôkaz (matematickou indukciou) vzťahu a).
I. Pre 𝑛 = 0 je 𝑥 = 0.
II. Ukážeme, že z platnosti daného vzťahu pre 𝑛 = 𝑘 vyplýva platnosť daného vzťahu
pre 𝑛 = 𝑘 + 1. Predpokladajme, že vzťah a) platí pre 𝑛 = 𝑘, t.j., že
(𝑚 + 1)𝑘 = 𝑚. 𝑦 + 1, 𝑦 ∈ ℤ.
Potom
(𝑚 + 1)𝑘+1 = (𝑚 + 1)𝑘. (𝑚 + 1) = (𝑚. 𝑦 + 1). (𝑚 + 1) =
= 𝑚2. 𝑦 + 𝑚 + 𝑚. 𝑦 + 1 = 𝑚. (𝑚. 𝑦 + 1 + 𝑦) + 1 = 𝑚. 𝑥 + 1,
kde 𝑥 = (𝑚. 𝑦 + 1 + 𝑦) ∈ ℤ.
Príklad.
Uvažujme štvorciferné číslo 𝑥 = 𝑎𝑏𝑐𝑑 zapísané v desiatkovej sústave. Jeho rozvoj je
𝑥 = 𝑎. 103 + 𝑏. 102 + 𝑐. 10 + 𝑑 = 1 000𝑎 + 100𝑏 + 10𝑐 + 𝑑.
Po ďalšej (trochu umelej ale pochopiteľnej) úprave dostávame
𝑥 = 999𝑎 + 𝑎 + 99𝑏 + 𝑏 + 9𝑐 + 𝑐 + 𝑑 = 9. (111𝑎 + 11𝑏 + 𝑐) + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑).
92
Pretože sčítanec 9. (111𝑎 + 11𝑏 + 𝑐) je deliteľný číslom 9, tak číslo x je deliteľné číslom 𝟗
práve vtedy, keď je číslom 𝟗 deliteľný ciferný súčet 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 čísla 𝒙 = 𝒂𝒃𝒄𝒅.
Uvedený postup je vlastne ukážkou kritéria pre deliteľnosť štvorciferného čísla číslom 9.
Ľahko si už vieme predstaviť zovšeobecnenie kritéria (znaku) deliteľnosti číslom 9
v desiatkovej sústave pre ľubovoľné prirodzené číslo. Uvedený postup môže byť motiváciou
(návodom) pre analogické kritérium v ľubovoľnej číselnej sústave.
Teraz uvedieme dve kritéria pre deliteľnosť v číselnej sústave o základe z. Prvé pre
deliteľnosť číslom z – 1 a druhé pre deliteľnosť číslom z + 1.
Kritérium deliteľnosti číslom z – 1. Prirodzené číslo 𝑎 = (𝑎𝑛𝑎𝑛−1…𝑎1𝑎0)𝑧 je deliteľné
číslom 𝑧 − 1 vtedy a len vtedy, keď číslo 𝑎𝑛+𝑎𝑛−1+…+𝑎1+𝑎0 je deliteľné číslom 𝑧 – 1.
Dôkaz. Napíšeme rozvoj čísla 𝑎 v 𝑧 − 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑘𝑒𝑗 sústave. Po úprave s využitím pomocného
tvrdenia a) ((𝑚 + 1)𝑛 = 𝑚. 𝑥 + 1) postupne dostávame
𝑎 = 𝑎𝑛𝑧𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑧
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑧 + 𝑎0 =
= 𝑎𝑛(𝑧 − 1 + 1)𝑛 + 𝑎𝑛−1(𝑧 − 1 + 1)
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1(𝑧 − 1 + 1) + 𝑎0 =
= 𝑎𝑛((𝑧 – 1)𝑏𝑛 + 1) + 𝑎𝑛−1((𝑧 – 1)𝑏𝑛−1 + 1) + . . . . . + 𝑎1(𝑧 – 1 + 1) + 𝑎0 =
= 𝑎𝑛(𝑧 – 1)𝑏𝑛 + 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1(𝑧 – 1)𝑏𝑛−1 + 𝑎𝑛−1+ . . . . . + 𝑎1(𝑧 – 1) + 𝑎1 + 𝑎0 =
= (𝑧 – 1)(𝑎𝑛𝑏𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑏𝑛−1+ . . . . . + 𝑎1) + (𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 +⋯+ 𝑎1 + 𝑎0) =
= (𝑧 – 1)𝐴 + (𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 +⋯+ 𝑎1 + 𝑎0),
kde 𝐴 = 𝑎𝑛𝑏𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑏𝑛−1+ . . . . . + 𝑎1 ∈ ℤ. Pretože sčítanec (𝑧 – 1)𝐴 je deliteľný číslom
(𝑧 – 1), tak číslo 𝑎 je deliteľné číslom (𝑧 – 1) vtedy a len vtedy, keď (𝑧 – 1) delí ciferný súčet
𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 +⋯+ 𝑎1 + 𝑎0 čísla 𝑎.
Príklad.
Číslo 14368 je deliteľné číslom 7 lebo 7 delí ciferný súčet 1 + 4 + 3 + 6. Presvedčte sa
o tom vydelením aj výpočtom v desiatkovej číselnej sústave.
Pre desiatkovú sústavu vyplýva z kritéria deliteľnosti číslom z – 1 kritérium deliteľnosti
číslom 9.
Dôsledok. Prirodzené číslo zapísané v desiatkovej sústave je deliteľné číslom 9 práve vtedy,
keď jeho ciferný súčet je deliteľný číslom 9.
Pred uvedením kritéria pre deliteľnosť číslom z + 1 v číselnej sústave o základe
z uvedieme nasledovný príklad.
93
Príklad.
Uvažujme štvorciferné číslo 𝑥 = 𝑎𝑏𝑐𝑑 zapísané v desiatkovej sústave. Jeho rozvoj je
𝑥 = 𝑎. 103 + 𝑏. 102 + 𝑐. 10 + 𝑑 = 1 000𝑎 + 100𝑏 + 10𝑐 + 𝑑.
Po ďalšej (trochu umelej) úprave dostávame
𝑥 = 1 001𝑎 – 𝑎 + 99𝑏 + 𝑏 + 11𝑐 – 𝑐 + 𝑑 =
= 11.91𝑎 – 𝑎 + 11.9𝑏 + 𝑏 + 11𝑐 – 𝑐 + 𝑑 =
= 11. (91𝑎 + 9𝑏 + 𝑐) + (𝑑 + 𝑏) – (𝑐 + 𝑎).
Pretože sčítanec 11. (91𝑎 + 9𝑏 + 𝑐)je deliteľný číslom 11, tak číslo x je deliteľné číslom 11
práve vtedy, keď je číslom 11 deliteľný rozdiel súčtu cifier párneho rádu a súčty cifier
nepárneho rádu.
Uvedený postup je ukážkou kritéria pre deliteľnosť štvorciferného čísla číslom 11.
Ľahko si už vieme predstaviť zovšeobecnenie kritéria (znaku) deliteľnosti číslom 11
v desiatkovej sústave pre ľubovoľné prirodzené číslo. Uvedený postup môže byť motiváciou
(návodom) pre analogické kritérium v ľubovoľnej číselnej sústave.
Kritérium deliteľnosti číslom 𝒛 + 𝟏. Prirodzené číslo 𝑎 = (𝑎𝑛𝑎𝑛−1…𝑎1𝑎0)𝑧 je deliteľné
číslom 𝑧 + 1 vtedy a len vtedy, keď číslo 𝑎0 – 𝑎1 + 𝑎2 – 𝑎 3+ . . . + (−1)𝑛. 𝑎𝑛 je deliteľné
číslom 𝑧 + 1.
Dôkaz tohto tvrdenia je analogický ako dôkaz kritéria deliteľnosti číslom z – 1. Aj v tomto
prípade dostávame pre desiatkovú sústavu priamy dôsledok pre kritérium deliteľnosti číslom
11.
Dôsledok. Prirodzené číslo 𝑎 = 𝑎𝑛𝑎𝑛−1…𝑎1𝑎0 zapísané v desiatkovej sústave je deliteľné
číslom 11 práve vtedy, keď je deliteľné číslom 11 číslo 𝑎0 – 𝑎1 + 𝑎2 – 𝑎 3+ . . . + (−1)𝑛. 𝑎𝑛.
Postup (úpravy), ktoré sme využili pri dôkazoch jednotlivých kritérií, resp. pri príkladoch
umožňuje dokázať aj niektoré ďalšie kritériá pre deliteľnosť v desiatkovej sústave. Niektoré
z nich uvedieme.
Kritérium deliteľnosti číslom 4 (číslom 25). Prirodzené číslo 𝑎 = 𝑎𝑛𝑎𝑛−1…𝑎1𝑎0 je deliteľné
číslom 4 (číslom 25) vtedy a len vtedy, keď číslo 𝑎1. 10 + 𝑎0, t.j. jeho posledné dvojčíslie a1a0
je deliteľné číslom 4 (číslom 25).
Kritérium deliteľnosti číslom 3. Prirodzené číslo 𝑎 = 𝑎𝑛𝑎𝑛−1…𝑎1𝑎0 zapísané v desiatkovej
sústave je deliteľné číslom 3 práve vtedy, keď jeho ciferný súčet 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 +⋯+ 𝑎1 + 𝑎0 je
deliteľný číslom 3.
94
Využitie niektorých kritérií ukážeme na nasledovnom príklade.
Príklad.
Budeme hľadať cifry a, b tak, aby 7-ciferné číslo 6701a1b bolo deliteľné číslami 4 a 11.
Riešenie. 4|6701a1b práve vtedy, keď 4|1b, teda keď b {2, 6}.
Ak b = 2, tak 11|6701a12 práve vtedy, keď 11|(2 + a + 0 + 6) – (1 + 1 + 7), teda keď 11|(a – 1),
z čoho dostávame, že a = 1. Jedno z riešení je teda číslo 6701112.
Ak b = 6, tak 11|6701a16 práve vtedy, keď 11|(6 + a + 0 + 6) – (1 + 1 + 7), teda keď 11|(a +
3), z čoho dostávame, že a = 8. Ďalšie z riešení je teda číslo 6701816.
Daná úloha má teda dve riešenia. Sú to čísla 6701112 a 6701816.
95
Cvičenie
1. Číslo 32517 zapíšte v číselnej sústave so základom a) 5, b) 2.
Výsledok: a) 141235, b) 100100010112.
2. Číslo 3A1B12 zapíšte v číselnej sústave so základom 2.
Výsledok: 11001111101112.
3. Ak medzi číslice dvojciferného čísla vpíšeme 0, tak dostaneme trojciferné číslo, ktoré
je o 11 väčšie ako 8 násobok pôvodného. Určte pôvodné číslo.
Výsledok: 37.
4. Nájdite všetky trojciferné čísla s danou vlastnosťou: ak pred hľadané číslo napíšeme
číslicu, ktorá je na mieste jednotiek, tak dostaneme štvorciferné číslo, ktoré je o 18
menšie ako 7 násobok hľadaného čísla.
Výsledok: 503.
5. Vypočítajte
a) 375268 + 157668,
b) 621347 – 152467,
c) 2A91B12 + 1645412,
d) 2315412 – A47112.
Výsledok: a) 555148, b) 435557, c) 4517312, d) 148A312.
6. Vypočítajte
a) 53728 . 6,
b) 26358 . 578,
c) 160148 : 5,
d) 2154378 : 628.
Výsledok: a) 407348, b) 2037238, c) 26348, d) 26518 (zvyšok 358).
7. Doplňte miesto hviezdičiek číslice tak, aby výsledok bol správny:
a) *333 + 2*22 + 66*6 = **9* ,
b) 8*06 – 78*8 = **8*,
c) *12BB13 + *C*613 + 357A*13 = 113*9513 .
Výsledok: a) 1333 + 2022 + 6636 = 9991, b) 8906 – 7818 = 1088,
c) A122B13 + 9C0613 + 357A113 = 11399513.
96
8. Doplňte miesto hviezdičiek číslice tak, aby bol súčin správny
3 * *
* * 3
* * *
* * *
* * * * * 3
9. V čísle 837521584 vyškrtnite 4 číslice tak, aby ste dostali 5-ciferné číslo deliteľné
číslami 9 a 5. Nájdite všetky možnosti.
Výsledok: 87525, 37215.
10. Ukážte, že číslo 𝑎 = 𝑎𝑛𝑎𝑛−1…𝑎1𝑎0 je deliteľné číslom 4 (číslom 25) práve vtedy,
keď číslo 𝑎1. 10 + 𝑎0, t.j. jeho posledné dvojčíslie a1a0 je deliteľné číslom 4 (číslom
25).
Návod: Všimnite si v texte úvahy o deliteľnosti číslami 2, 5 a 10.
11. Nech číslo 𝑥 má v desiatkovej číselnej sústave zápis 𝑥 = 𝑎2𝑎1𝑎0. Ukážte, že
a) 7 delí 𝑥 práve vtedy, keď 7 delí 2. 𝑎2 + 3. 𝑎1+𝑎0,
b) 7 delí 𝑥 práve vtedy, keď 7 delí 𝑎2𝑎1 – 2. 𝑎0.
Návod: a) V rozvoji 𝑥 = 100. 𝑎2 + 10. 𝑎1 + 𝑎0 vhodne upravte jednotlivé sčítance.
b) Ako prvý krok využite úpravu 𝑥 = 100. 𝑎2 + 10. 𝑎1 + 𝑎0=
= 10. ( 10. 𝑎2 + 𝑎1) + 𝑎0 = ...
12. Nájdite celé číslo 𝑥 a cifru y tak, aby (360 + 3. 𝑥)2 = 492𝑦04.
Návod: Využite, že ľavá strana danej rovnice je deliteľná číslom 9.
Výsledok: Cifra y = 8 a číslo x = 114 alebo x = -354.
97
9 Kultúra počítania
Vieme už (dohodli sme sa), že počet, ktorý určuje veľkosť hromadnej jednotky sa volá
základ číselnej sústavy, v číselnej sústave, a že počas historického vývinu sa objavovali rôzne
číselné sústavy. Najčastejšie to boli sústavy so základom 2, 5, 10, 20 a 60. Podrobne sú tieto
sústavy a rozvoj počítania zmapované v rôznej literatúre. Jednou z nich je spomínaná
publikácia Pí na nebesích (John D. Barrow, český preklad 2000), z ktorej čerpáme tieto
záverečné poznámky.
Pri pohľade späť na vývoj počítania sa dajú identifikovať kľúčové kroky, ktoré umožnili
prechod od základných pojmov počítania k zložitým a účinným schémam. Nestačí len pochopiť
pojem kvantita, ale je nutné vytvoriť aj účinnú metódu pre zápis čísel. Videli sme (a snáď sa aj
presvedčili) aký dôležitý je výber dobrého spôsobu zápisu a rozumný základ číselnej sústavy
pre počítanie smerom k vyšším násobkom základného čísla. V desiatkovej sústave sú to
desiatky, stovky tisícky, atď. Ešte dôležitejším sa ukázalo prijatie pozičnej číselnej sústavy so
symbolom pre nulu. Tie kultúry, ktoré to dokázali rýchlo zistili, že majú v rukách spôsob
zápisu, ktorý dokáže omnoho viac ako len zapisovať čísla.
98
10 Zoznam použitej literatúry
[1] BARROW, J. D.: Pí na nebesích. Český preklad. Mladá fronta,2000.
[2] BIRKHOFF, G., Mac LANE, S.: Prehľad modernej algebry, ALFA, 1979.
[3] BLAŽEK, J.,VOJTÁŠKOVÁ, J.: Teorie množín. PF UJEP, Ústí nad Labem, 1994.
[4] BLAŽEK, J.: Algebra a teoretická aritmetika. Praha: SPN, 1985.
[5] DRÁBEK, J. a kol.: Základy elementární aritmetiky pro učitelství 1. stupně ZŠ. SPN
Praha, 1985.
[6] FOLTA, J.: Věstonická vrubovka. Vesmír 76, 310, 1997/6. Dostupné na internete
http://www.vesmir.cz/clanek/vestonicka-vrubovka
[7] FOLTA, J., NOVÝ, Ľ.: Dějiny přírodních věd v datech. Mladá fronta, Praha, 1979.
[8] HANZEL. P.,: Kardinálne a ordinálne čísla z pohľadu prípravy učiteľov pre I. stupeň
ZŠ. In: Acta Univ. Matthaei Belli, PF UMB č. 2, Banská Bystrica 1995, s. 155-162.
[9] HANZEL. P.,: Aritmetika v štúdiu učiteľstva I. stupňa ZŠ. In: Matematika v příprave
učitelu elementární školy, Litoměřice, 2000, s. 148-153.
[10] HANZEL. P.,: Číslo – jeho rôznorodosť a jednoduchosť. In: Acta Fac. Paed. Banská
Bystrica. Prírodné vedy IX. Bratislava, SPN 1989, s. 23-29.
[11] HEJNÝ, M. Teória vyučovania matematiky 2. Bratislava: SPN 1990. ISBN 80-08-
01344-3.
[12] HEJNÝ, M.; NOVOTNÁ, J.; STEHLÍKOVÁ, N. Dvacet pět kapitol z didaktiky
matematiky. Praha: PedF UK, 2004. dostupné online
[13] HAVIAR, M., KLENOVČAN, P.: Algebra I, algebraické štruktúry. Univerzita Mateja
Bela, Banská Bystrica 1998.
[14] KLENOVČAN, P., HAVIAR, A., HAVIAR, M.: Úvod do štúdia matematiky.
Univerzita Mateja Bela, Pedagogická fakulta, Banská Bystrica 1996.
[15] HÍC, P.: Blended Learning in Arithmetic Teaching. In: ICETA 2012, 10th IEEE
International Conference on Emerging eLearning Technologies and Applications.
Košice, TU, 2012, s. 127-130. ISBN 978-1-4673-5123-2
[16] HÍC, P., POKORNÝ, M.: Interaktívne prvky v e-learningovom kurze Aritmetika. In:
Matematika 5, UP, Olomouc, 2012, s. 84-88. ISBN 978-80-244-3048-5, ISSN 0862-
9765
[17] KAPUSTOVÁ, L.: Epistemologické prekážky žiakov spojené s prijímaním záporných
čísel. Dizertačná práca, MFF UK Bratislava, 2012.
[18] KATRIŇÁK, T. a kol.: Algebra a teoretická aritmetika, Bratislava 2002.
99
[19] KLENOVČAN, P.: Algebra a aritmetika v príprave učiteľov I. stupňa ZŠ. In:
Matematika v přípravĕ učitelů 1. stupnĕ ZŠ, Olomouc, 1999, s. 38-40.
[20] KLENOVČAN, P.: Operácie a rovnice. Rozhledy mat.-fyz., r. 76, 1999, s. 61-68.
[21] KLENOVČAN, P.: Základy elementárnej aritmetiky . Univerzita Mateja Bela,
Pedagogická fakulta, Banská Bystrica 2000.
[22] KLENOVČAN, P.: Matematika v príprave učiteľov pre 1. stupeň ZŠ a kreditový
systém. In: Podíl matematiky na přípravě učitele primární školy. Sborník mezinárodní
konference. – Olomouc, Univerzita Palackého v Olomouci, 2002.
[23] KLENOVČAN, P.: Autentickosť a bádanie vo vyučovaní matematiky. Univerzita
Mateja Bela, Banská Bystrica 2007, 2007. ISBN 978-80-8083-516-3.
[24] KOPECKÝ, M.: Aritmetika. UPOL Olomouc, 2006
[25] KOPKA, J.: Hrozny problému ve školské matematice. Acta Universitatis Purky-nianae
40, Studia Matematica I., Ústí nad Labem, 1999
[26] KOPKA, J.: Kapitoly o přirozených čislech. UJEP Ústí nad Labem, 2003.
[27] PARTOVÁ, E.: Prirodzené čísla. PF UK v Bratislave, 2002.
[28] POKORNÝ, M.: Interactive Elements Can Increase the Efficiency of e-learning Course.
Advances in Education Research. ISSN 2160-1070 (in print)
[29] POKORNÝ, M.: E-learningové kurzy ako efektívny nástroj vo vyučovaní matema-
tických predmetov na PdF TU. Praha, powerprint, 2011. ISBN 978-80-87415-25-2
[30] POKORNÝ, M., MALATINSKÁ, S.: Interaktívne prvky vo vyučovaní pozičných čí-
selných sústav. In: Matematika v primárnej škole, rôzne cesty, rovnaké ciele. Prešovská
univerzita, Prešov, 2013, s. 276-280. ISBN 978-80-555-0765-1
[31] ROGERS L.: The History of Negative Numbers. Mathematics Enrichment,
http://nrich.maths.org/5961
[32] STRUIK D. J.: Dějiny matematiky, Praha: Orbis, 1963.
[33] ŠALÁT, T. a kol.: Algebra a teoretická aritmetika, ALFA, 1986
[34] ŠALÁT, T. a kol.: Malá encyklopédia matematiky. Bratislava, Obzor, 1981
[35] TEMPLE , R.: The Genius of China: 3,000 Years of Science, Discovery, and Invention.
New York, 1986: Simon & Schuster , ISBN 0-671-62028-2 .
[36] ZLATOŠ, P.: Ani matematika si nemôže byť istá sama sebou. Iris 1995, ISBN 80-
88778-09-3.
[37] ZNÁM, Š.: Teória čísel. Bratislava, Alfa, 1977
Autori: Prof. RNDr. Pavol Hanzel, CSc., Doc. RNDr. Pavel Klenovčan, CSc.
Vedecký editor: Prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc.
Názor: Čísla a počítanie
Vydavateľ: Vydavateľstvo Univerzity Mateja Bela v Banskej Bystrici - Belianum
Tlač: Fakulta Prírodných Vied, UMB v Banskej Bystrici
Grafická úprava: Prof. RNDr. Pavol Hanzel, CSc.
Návrh obálky: Prof. RNDr. Pavol Hanzel, CSc.
Vydanie: prvé
Rozsah: 99 strán, 4,45 AH
Formát: A5
Náklad: 100 ks
Miesto vydania: Banská Bystrica
Rok vydania: 2013
ISBN 978-80-557-0638-2