UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO · compared to the conventional structures with...

UNIVERZA V MARIBORU

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO

Mitja ZBIČAJNIK

DEFORMACIJA AVKSETIČNIH STRUKTUR PRI UPOGIBNI OBREMENITVI

Diplomsko delo

univerzitetnega študijskega programa 1. stopnje

Strojništvo

Maribor, september 2018

DEFORMACIJA AVKSETIČNIH STRUKTUR PRI UPOGIBNI

OBREMENITVI

Diplomsko delo

Študent(ka): Mitja ZBIČAJNIK

Študijski program: univerzitetni študijski program 1. stopnje Strojništvo

Smer: Konstrukterstvo

Mentor: red. prof. dr. Matej VESENJAK

Somentor: asist. Nejc NOVAK

Maribor, september 2018

II

I Z J A V A

Podpisani ______________________________ izjavljam, da:

je diplomsko delo rezultat lastnega raziskovalnega dela,

predloženo delo v celoti ali v delih ni bilo predloženo za pridobitev kakršnekoli

izobrazbe po študijskem programu druge fakultete ali univerze,

so rezultati korektno navedeni,

nisem kršil-a avtorskih pravic in intelektualne lastnine drugih,

soglašam z javno dostopnostjo diplomskega dela v Knjižnici tehniških fakultet ter

Digitalni knjižnici Univerze v Mariboru, v skladu z Izjavo o istovetnosti tiskane in

elektronske verzije zaključnega dela.

Maribor,_____________________ Podpis: ________________________

III

ZAHVALA

Zahvaljujem se za vodenje, strokovno pomoč in

nasvete pri opravljanju diplomskega dela mentorju

red. prof. dr. Mateju Vesenjaku in somentorju asist.

Nejcu Novaku.

Posebna zahvala gre moji punci Raheli za podporo,

vzpodbudo in razumevanje. Zahvaljujem se tudi

svojim staršem, ki so me podpirali in mi omogočili

študij.

IV

DEFORMACIJA AVKSETIČNIH STRUKTUR PRI UPOGIBNI

OBREMENITVI

Ključne besede: avksetične strukture, celični materiali, negativno Poissonovo razmerje,

Abaqus CAE, numerične simulacije, metoda končnih elementov

UDK: 621.778.23(043.2)

POVZETEK

V diplomskem delu se poglobimo v področje avksetičnih celičnih materialov. Opisane so

lastnosti avksetičnih celičnih struktur, deformacije pri osni obremenitvi in pri upogibni

obremenitvi. Navedenih in opisanih je več vrst avksetičnih struktur. Namen naloge je

ugotoviti deformiranje avksetičnih struktur pri upogibni obremenitvi v primerjavi s

konvencionalnimi strukturami, ki izkazujejo pozitivno Poissonovo razmerje. V ta namen smo

pripravili modele treh avksetičnih struktur: vbočeno satovje, kiralno strukturo in strukturo

manjkajočih reber ter dve konvencionalni geometriji s šestkotno (satovje) in štirikotno

(rešetka) strukturo. Vsem smo določili enake materialne lastnosti in jih v programskem paketu

Abaqus CAE upogibno obremenili ter analizirali po metodi končnih elementov. Določili smo

ustrezno velikost mreže in preverili vpliv anizotropije ter debeline sten na rezultate simulacije.

V rezultatih simulacij smo sledili pomike neobremenjenih delov strukture in jih primerjali

med strukturami. Ugotovili smo, da se avksetične strukture obnašajo drugače od

konvencionalnih, kadar jih upogibno obremenimo. Le-te izkazujejo bolj sinklastično

deformiranje kot konvencionalne strukture in izrazito pokažejo vpliv avksetičnosti na

deformiranje pri upogibni obremenitvi.

V

DEFORMATION OF AUXETIC STRUCTURES UNDER BENDING

LOAD

Key words: auxetic structures, cellular materials, negative Poisson’s ratio, Abaqus CAE,

numerical simulations, finite element method

UDK: 621.778.23(043.2)

ABSTRACT

In the diploma work, we focus on the field of auxetic cellular materials. Properties of the

auxetic cell structures and the deformation mechanisms under axial load, as well as under

bending load are described. Several types of auxetic structures are presented. The purpose of

this assignment is to determine the deformation of the auxetic structures under bending load,

compared to the conventional structures with positive Poisson's ratio. To this end, we

prepared models of three auxetic structures: auxetic honeycombs, chiral structure and

missing rib structure, as well as two conventional geometries with hexagonal (honeycomb)

and square (grid) structure. We defined the same material properties for each of them and

subjected them to bending load. Simulations are performed and analysed in software package

Abaqus CAE, based on the finite elements method. We determined the suitable size of the

mesh of finite elements, and observed the influence of anisotropy and wall thickness on the

simulation results. We focused on the displacement of the unloaded corners of the structure

and we compared different structures. We have found that auxetic structures behave

differently from the conventional, when structures are exposed to bending load. The former

express more synclastic deformation than conventional structures and show the influence of

the auxetic properties on deformation under bending load.

VI

KAZALO VSEBINE

1 UVOD ............................................................................................................. 1

1.1 Opredelitev obravnavanega problema ................................................. 2

1.2 Cilji in teze ............................................................................................... 2

1.3 Struktura diplomskega dela .................................................................. 2

2 AVKSETIČNE CELIČNE STRUKTURE ................................................. 4

2.1 Mehanizem deformiranja pri enoosni obremenitvi ............................ 4

2.2 Mehanizem deformiranja pri upogibni obremenitvi .......................... 5

2.3 Lastnosti avksetičnih struktur ............................................................... 6

2.4 Uporaba avksetičnih struktur ............................................................... 7

2.5 Vrste struktur ......................................................................................... 8

2.5.1 Vbočeno satovje ................................................................................................... 8

2.5.2 Struktura manjkajočih reber ................................................................................. 9

2.5.3 Kiralne strukture ................................................................................................... 9

2.5.4 Tri-dimenzionalne strukture ............................................................................... 10

2.6 Primerjalna analiza odziva pri upogibu ............................................. 10

3 PRIPRAVA NUMERIČNIH MODELOV ............................................... 13

3.1 Modeliranje struktur ............................................................................ 13

3.1.1 Neavksetična struktura – satovje ........................................................................ 13

3.1.2 Neavksetična struktura – rešetka ........................................................................ 13

3.1.3 Avksetična struktura – vbočeno satovje ............................................................. 14

3.1.4 Avksetična struktura – kiralna struktura ............................................................. 14

3.1.5 Avksetična struktura – struktura manjkajočih reber ........................................... 15

3.2 Določitev materiala ............................................................................... 16

3.3 Mreženje strukture ............................................................................... 16

3.4 Robni pogoji .......................................................................................... 17

4 IZVEDBA RAČUNALNIŠKIH SIMULACIJ ......................................... 18

4.1 Konvergenca pomikov in primerno mreženje modela ...................... 18

4.2 Korak simulacije in pogoj nelinearne geometrije ............................. 19

4.3 Povečanje modelov in poenotenje števila celic ................................... 19

5 REZULTATI SIMULACIJ IN DISKUSIJA............................................ 21

VII

5.1 Primerjava pomikov neobremenjenih vogalov .................................. 21

5.1.1 Običajni strukturi satovje in rešetka ................................................................... 21

5.1.2 Avksetične strukture – vbočeno satovje, kiralna struktura in struktura

manjkajočih reber……………………………………………..……………………………………………………………23

5.2 Primerjava rezultatov .......................................................................... 25

5.3 Vpliv debeline medceličnih povezav in anizotropnosti struktur ...... 26

6 ZAKLJUČEK .............................................................................................. 28

7 SEZNAM UPORABLJENIH VIROV ...................................................... 29

VIII

KAZALO SLIK

Slika 2.1: Materiali s pozitivnim Poissonovim razmerjem pri natezni (levo) in tlačni (desno)

obremenitvi ................................................................................................................................. 5

Slika 2.2: Avksetični materiali pri natezni (levo) in tlačni (desno) obremenitvi ....................... 5

Slika 2.3: Konvencionalni material (levo) in avksetični (desno) pri upogibni obremenitvi ...... 6

Slika 2.4: »Kopičenje« avksetičnega materiala (levo) ob udarcu krogle in »bežanje«

običajnega materiala (desno) [6] ................................................................................................ 7

Slika 2.5: Podplat športnega čevlja iz avksetične strukture zagotavlja boljšo stabilnost [11] ... 7

Slika 2.6: Struktura vbočenega satovja v nedeformirani (levo) in deformirani (desno) obliki

pri natezni obremenitvi [3] ......................................................................................................... 8

Slika 2.7: Nedeformirana struktura manjkajočih reber (levo) in deformirana struktura

manjkajočih reber (desno) [3]..................................................................................................... 9

Slika 2.8: Šest kiralna struktura nedeformirana (levo) in deformirana (desno)[3]. .................. 10

Slika 2.9: Primer tridimenzionalne avksetične strukture, ki je sestavljena iz zvezdastih

elementov ................................................................................................................................. 10

Slika 2.10: Prikazana geometrija posamezne celice v strukturi avksetično satovje ................. 11

Slika 2.11: Geometrija posamezne celice v kiralni strukturi (levo) in strukturi manjkajočih

reber (desno) ............................................................................................................................. 11

Slika 2.12: Geometrija dveh konvencionalnih struktur. satovje (levo) in rešetka (desno) ....... 11

Slika 2.13: Anti-sinklastično deformiranje konvencionalne strukture (levo) ter sinkastično

deformiranje avksetične strukture (desno) [1] .......................................................................... 12

Slika 3.1: Model strukture satovje ............................................................................................ 13

Slika 3.2: Model rešetkaste strukture ....................................................................................... 14

Slika 3.3: Model strukture vbočeno satovje ............................................................................. 14

Slika 3.4: Model kiralne strukture ............................................................................................ 14

Slika 3.5: Model strukture Manjkajoča rebra ........................................................................... 15

Slika 3.6: Diskretizacija strukture z različno velikimi končnimi elementi............................... 16

Slika 3.7: Robni pogoji na primeru strukture satovje. Definirani pomiki na skrajnih točkah

(točka 1, točka 2) modela, ter onemogočeni pomiki in rotacije na sredini (točka 5). .............. 17

Slika 4.1: Konvergenca mreže na strukturi satovje .................................................................. 18

Slika 4.2: Prvotno uporabljen model. Število celic: 9 x 4 ........................................................ 20

Slika 5.1: Deformirana struktura satovje .................................................................................. 21

IX

Slika 5.2: Deformirana struktura rešetka .................................................................................. 21

Slika 5.3: Normirani pomiki točke 3 in 4 ................................................................................ 22

Slika 5.4: Deformiranje strukture vbočeno satovje .................................................................. 23

Slika 5.5: Deformiranje kiralne strukture ................................................................................. 23

Slika 5.6: Deformiranje strukture manjkajočih reber ............................................................... 23

Slika 5.7: Normirani pomiki točk 3 in 4 na avksetičnih strukturah .......................................... 24

Slika 5.8: Primerjava normiranih pomikov točk 3 in 4 vseh struktur (glej legendo) ............... 25

Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Diplomsko delo

1

1 UVOD

Razvoj in napredek tehnike je bil skozi celotno zgodovino tesno prepleten s preučevanjem

različnih materialov in njihovih lastnosti. Že od samega začetka je znanje na področju

materialov bistvenega pomena. Boljši materiali za orodje in orožje so omogočili človeštvu, da

se je širilo po svetu, različnim civilizacijam pa je to pomenilo prednost in moč, da zavzamejo

in pokorijo tuje dežele. Napredek v pridobivanju, oblikovanju ter predelovanju materialov,

kot sta na jeklo in aluminij, pa še danes bistveno oblikuje našo družbo. Posamezni materiali so

bili v zgodovini razvoja človeštva tako ključnega pomena, da smo po njih celo poimenovali

posamezna zgodovinska obdobja. Kamen, baker, bron, zlato ter srebro je le nekaj materialov,

ki so jih začeli preoblikovati v najstarejših obdobjih. Šele kasneje se je množično začelo

uporabljati železo, ki je zaradi svojih mehanskih lastnosti še danes ena izmed najpomembnejši

kovin [2]. Železo z dodanim ogljikom tvori ogljikova jekla, ki močno povečajo pomembno

lastnost jekla; trdnost. Vendar pa je železo ne porozno, kar pomeni, da ima relativno veliko

gostoto, zato se je pojavilo težnja po lažjih materialih. S tem se je povečalo povpraševanje

predvsem po aluminiju in poroznih materialih, kar je privedlo do raziskovanja novih

materialov.

Danes izziv predstavljajo predvsem celični materiali z eno ali več edinstvenimi lastnostmi,

saj s tem omogočajo uporabo na najrazličnejših področjih. Od dobro poznanih in globalno

razširjenih materialov, se tako pozornost sedaj seli na manj znane, nekonvencionalne

materiale. Le-ti so nastali predvsem kot odgovor na zahtevo po vedno boljših, lažjih

odpornejših in hkrati cenejših materialih. V avtomobilski, ladjedelniški, letalski in tudi športni

industriji so celični materiali že uveljavljeni. Na splošno so ti materiali lahke strukture z

manjšo gostoto, bolj vzdržljivi pri dinamičnih obremenitvah, boljši toplotni in zvočni

izolatorji in boljše absorbirajo mehansko energijo, v primerjavi z navadnimi, polnimi

materiali [1]. Vrsta celičnih materialov, ki so še vedno relativno neraziskani, so avksetični

materiali, katerih glavna lastnost je, da izkazujejo negativno Poissonovo razmerje. To pomeni,

da se material ob vzdolžnem raztezanju širi po preseku, obratno pa se pri vzdolžnem stiskanju

presek oži. Prav ta lastnost pa bi se lahko tekom nadaljnjih raziskav izkazala kot ključna za

aplikacijo avksetičnih materialov v mnogih vejah industrije.


2

1.1 Opredelitev obravnavanega problema

Strukture iz konvencionalnih materialov se pri upogibni obremenitvi navadno upognejo v

obliki sedla [1]. Avksetične strukture pa se zaradi negativnega strukturnega Poissonovega

razmerja upognejo sinklastično, v kupolasto obliko [1]. Strukture bomo upogibno obremenili

in preučili deformiranje konvencionalnih in avksetičnih struktur.

1.2 Cilji in teze

Namen diplomskega dela je določitev in opis mehanizma deformacije različnih geometrij in

vrst avksetičnih struktur pri upogibni obremenitvi, s pomočjo računalniških simulacij. Ob tem

pa želimo doseči zastavljene cilje:

- čim natančneje opisati deformacije različnih avksetičnih struktur pri upogibni

obremenitvi,

- analizirati rezultate simulacij in jih primerjati z rezultati konvencionalnih struktur.

Teze, ki jih bomo skušali dokazati:

- avksetične strukture se pri upogibni obremenitvi upognejo sinklastično,

- spremembe geometrijskih parametrov modela pomembno vplivajo na izkazovanje

avksetičnosti pri upogibu.

1.3 Struktura diplomskega dela

Diplomsko naloga je razdeljena na sedem poglavij, v katerih bomo povzeli že znano s

področja avksetičnih celičnih materialov, prikazali bomo potek modeliranja in izvedbe

računalniških simulacij ter predstavili rezultate in jih komentirali.

V prvem poglavju je predstavljena zgodovina na splošno o materialih in uvod v avksetične

celične materiale. Opisana je struktura, cilji, teze in opredelitev same diplomske naloge.

V drugem poglavju je povzeto področje celičnih avksetičnih materialov, mehanizem

deformiranja pri enoosni obremenitvi in pri upogibni obremenitvi. Našteta so področja, kjer se

te strukture uporabljajo in vrste avksetičnih struktur. Opisane so uporabljene strukture,


3

njihova geometrija in vpliv parametrov, kot so: debelina sten, velikost strukture, mesto

obremenitve.

V tretjem poglavju je predstavljena priprava numeričnih modelov. Prikazano je modeliranje

struktur, definiranje materialnih lastnosti, mreženje in robnih pogojev.

Četrto poglavje zajema izvedbo računalniških simulacij po metodi končnih elementov.

Izvedena je konvergenca pomikov in izbrana primerna mreža modela, določeni so tudi ostali

parametri simulacije.

V petem poglavju so predstavljeni rezultati izvedenih simulacij in diskusija le-teh. Rezultati

so predstavljeni v primerjalni tabeli, kjer so primerjani pomiki vseh petih struktur.

V šestem poglavju je povzeto celotno delo v zaključku, sledijo pa mu še viri v sedmem

poglavju.


4

2 AVKSETIČNE CELIČNE STRUKTURE

V tem poglavju bomo podrobneje pregledali področje avksetičnih struktur. Posebno pozornost

bomo namenili povezavi med avksetičnostjo in strukturnim Poissonovim razmerjem. Opisali

bomo lastnosti takšnih struktur, njihove prednosti oziroma slabosti, v primerjavi s

konvencionalnimi strukturami, ter možnost njihove aplikacije v različnih industrijah. Opisali

bomo nekaj različnih geometrij in mehanizem deformiranja, ki privede do avksetičnosti

strukture.

Avksetični materiali so vrsta nekonvencionalnih materialov, ki izkazujejo negativno

Poissonovo razmerje. Takšni materiali so med nami že od nekdaj, vendar pa so bili prvič

podrobneje predstavljeni šele leta 1987 [3]. Beseda »avksetičnost«, ki izhaja iz grške besede

»auxetos« (nekaj, kar se veča), pa je bila prvič uporabljena leta 1991 [4]. Nekaj takšnih

materialov, ki se na prvi pogled obnašajo neobičajno, najdemo tudi v naravi, npr. živalska

tkiva, minerali [1].

2.1 Mehanizem deformiranja pri enoosni obremenitvi

Običajni strukture imajo navadno pozitivno Poissonovo razmerje, kar pomeni, da se pri

enoosni obremenitvi v prečni smeri ožijo, pri avksetičnih strukturah pa se prečni prerez pri

natezni obremenitvi poveča. To je opisano z enačbo, ki opisuje razmerje med prečno

deformacijo in vzdolžno deformacijo:

ν = −𝜀𝑦

𝜀𝑥 (2.1)

Kjer je:

𝜈 -Poissonovo razmerje

𝜀𝑦 -specifična deformacija v y (prečni) smeri

𝜀𝑥 -specifična deformacija v x (vzdolžni) smeri


5

Slika 2.1: Materiali s pozitivnim Poissonovim razmerjem pri natezni (levo) in tlačni (desno)

obremenitvi

Slika 2.2: Avksetični materiali pri natezni (levo) in tlačni (desno) obremenitvi

Zgoraj (slika 2.1, slika 2.2) je prikazano deformiranje običajnega materiala in avksetičnega.

Slika 2.2 prikazuje deformacije avksetičnega materiala pri osni obremenitvi. Ti se pri

nateznem obremenjevanju v prečni smeri razširijo, oziroma se jim poveča volumen. Obratno

pa se obnaša takšen material pri tlačnem obremenjevanju. Pri tlačni obremenitvi se jim prečni

presek oži, zaradi česar se njihov volumen zmanjša.

2.2 Mehanizem deformiranja pri upogibni obremenitvi

Glavno lastnost avksetičnih materialov smo že omenili, ni pa to edina pomembna lastnost.

Avksetični materiali imajo tudi nekatere druge prednosti pred materiali s pozitivnim

Poissonovim količnikom. Le-ti se namreč odzovejo drugače pri upogibnih obremenitvah. Pri

upogibu se te strukture deformirajo sinklastično (v obliki kupole), v nasprotju s preostalimi

strukturami, ki se deformirajo anti-sinklastično (sedlasta oblika) (slika 2.3). To omogoča

vgradnjo tam, kjer je potrebna kupolasta oblika, brez, da bi material izrazito prednapeli ali

pretirano obdelovali. Primer takšne uporabe je v letalski industriji, pri gradnji nosu in kril letal

[1].


6

Slika 2.3: Konvencionalni material (levo) in avksetični (desno) pri upogibni obremenitvi

2.3 Lastnosti avksetičnih struktur

Iz klasične elastične teorije vemo, da je Poissonovo razmerje pomembno in se nanj navezuje

več lastnosti. Enačba za strižni modul G:

𝐺 = 𝐸

2(1+𝜈) (2.2)

Kjer je:

G [N/mm2] -strižni modul

E[N/mm2] -elastični modul

𝜈 -Poissonovo razmerje

Vidno je, da se s približevanjem Poissonovega razmerja (𝜈) mejni vrednosti -1, vrednost

strižnega modula približuje neskončnosti, kar bi pomenilo, da ima takšno telo neskončno

visoko strižno togost [1].

Posledično imajo takšni materiali boljšo sposobnost absorpcije mehanske energije, v

primerjavi z običajnimi. Pri slednjih se material ob udarcih »umika« vstran od mesta udarca,

medtem pa se pri avksetičnih material na mestu udarca »kopiči«. Na tem mestu ima material

večjo »lokalno gostoto«, kar povečuje togost [6].


7

Slika 2.4: »Kopičenje« avksetičnega materiala (levo) ob udarcu krogle in »bežanje«

običajnega materiala (desno) [6]

2.4 Uporaba avksetičnih struktur

Pomembna prednost, ki se izrablja predvsem v vojaški industriji, je možnost absorpcije

mehanske energije pri izdelavi neprebojnih jopičev, čelad in oklepnih vozil. Vse to je seveda

uporabno tudi v avtomobilski industriji, kjer bi lahko te strukture uporabili v odbijačih,

absorberjih deformacijske energije ter dušilcih zvoka in vibracij.

V tekstilni industriji so ti materiali že tudi precej uveljavljeni. Uporabljajo se v podplatih

čevljev (slika 2.5) ter v raznih funkcionalnih tekstilih [3].

Slika 2.5: Podplat športnega čevlja iz avksetične strukture zagotavlja boljšo stabilnost [11]


8

2.5 Vrste struktur

Najpogosteje se v raziskavah in eksperimentih pojavljajo 2D strukture. Geometrija celične

strukture pomembno vpliva na izkazovanje avksetičnega obnašanja. Ob zunanji obremenitvi

strukture se medcelične povezave v strukturi začnejo pomikati tako, da se dimenzije strukture

v globalnem smislu začnejo povečevati oziroma manjšati. Negativno Poissonovo razmerje je

tako posledica različnih geometrij celic strukture.

2.5.1 Vbočeno satovje

Vbočeno satovje je struktura, ki ima obliko satovja, vendar z vbočenima dvema nasprotnima

vogaloma šest kotnika (slika 2.6), kar je odločilnega pomena.

Slika 2.6: Struktura vbočenega satovja v nedeformirani (levo) in deformirani (desno) obliki

pri natezni obremenitvi [3]

Mehanizem deformacije je v tem primeru posledica premikanja stranic satovja, ki ob natezni

obremenitvi prečne stranice potisne navzven. Takšna struktura se zato obnaša avksetično,

Poissonovo razmerje pa je odvisno od same geometrije celic. Na splošno takšne strukture

izkazujejo Poissonovo razmerje do -0,5.


9

2.5.2 Struktura manjkajočih reber

Struktura manjkajočih reber je izpeljana iz preproste rešetkaste strukture, kjer odstranimo

nekaj medceličnih povezav. To privede do učinka avksetičnosti in izkazuje Poissonovo število

okoli -0,6 [3]. Spodaj (slika 2.7) je jasno prikazan mehanizem deformacije takšne strukture.

Slika 2.7: Nedeformirana struktura manjkajočih reber (levo) in deformirana struktura

manjkajočih reber (desno) [3]

2.5.3 Kiralne strukture

Kiralne strukture so sestavljene iz dveh elementov – cilindrov in ligamentov. Ligamenti

povezujejo cilindre tako, da so naviti okoli njih (slika 2.8). Ko se pojavi sila, se začnejo

ligamenti navijati oziroma odvijati okoli teh cilindrov, odvisno od sile. Zanimivost kiralnih

struktur je, da lahko z nekaterimi dosežemo Poissonovo razmerje tudi do -1. Poznamo več

kiralnih struktur, ki se razlikujejo po številu medceličnih povezav, ki povezujejo med sabo

cilindre. Spodaj (slika 2.8) je šest kiralna struktura, ki ima okoli vsakega cilindra navitih šest

ligamentov. Takšna struktura izkazuje Poissonovo razmerje okoli -1 [3].


10

Slika 2.8: Šest kiralna struktura nedeformirana (levo) in deformirana (desno)[3].

2.5.4 Tri-dimenzionalne strukture

Obstajajo seveda tudi strukture, ki niso povlečene iz 2D strukture v normalni smeri, ampak so

tridimenzionalne celične avksetične strukture. To so predvsem pene iz različnih polimerov, ali

pa strukture proizvedene z dodajalnimi tehnologijami. Poissonovo razmerje takšnih struktur

pa je zelo nizko, tudi do -12 v eni posamezni smeri [3].

Slika 2.9: Primer tridimenzionalne avksetične strukture, ki je sestavljena iz zvezdastih

elementov

2.6 Primerjalna analiza odziva pri upogibu

V diplomski nalogi je obravnavanih pet različnih struktur. V nalogo smo zajeli tri avksetične

strukture: avksetično satovje, kiralno strukturo in strukturo manjkajočih reber. Za primerjavo

smo v nalogi zajeli še dve običajni strukturi: šestkotno strukturo (satovje) in štirikotno


11

strukturo (rešetka). Kot smo že omenili, je za izkaz avksetičnosti pomembna geometrija celic

strukture.

Slika 2.10: Prikazana geometrija posamezne celice v strukturi avksetično satovje

Slika 2.11: Geometrija posamezne celice v kiralni strukturi (levo) in strukturi manjkajočih

reber (desno)

Slika 2.12: Geometrija dveh konvencionalnih struktur. satovje (levo) in rešetka (desno)


12

Pri izvajanju simulacij pa smo poleg geometrije pozorni tudi na druge strukturne lastnosti, ki

bi lahko vplivale na končne rezultate. Zanimalo nas je, kako na izkazovanje avksetičnosti

vpliva debelina stene medceličnih povezav. To smo izvedli tako, da smo začetno debelino

stene najprej zmanjšali, nato pa še povečali za 25 %. Izvedli smo simulacije z debelinami sten

0,075 mm, 0,1 mm in 0,125 mm.

Na strukturah smo preverili še anizotropnost struktur tako, da smo jih zavrteli za 90°. To

pomeni, da smo obremenili tudi ostala dva vogala, ter spremljali razlike v sinklastičnem

upogibanju strukture.

Sinklastično upogibanje je zelo dobrodošla lastnost pri aplikacijah, kjer je potrebna kupolasta

oblika. Avksetične strukture lahko upognemo na željeno obliko kupole, brez da bi v samem

materialu ustvarjali nepotrebne napetosti. Če bi želeli upogniti konvencionalni material v

takšno kupolasto obliko, bi material izrazito bolj deformirali, napetosti pa bi se zelo povečale.

Slika 2.13: Sinklastično deformiranje avksetične strukture (levo) in anti-sinklastično

deformiranje konvencionalne strukture (desno) [12]


13

3 PRIPRAVA NUMERIČNIH MODELOV

V tem poglavju je prikazana priprava modelov, ki je potekala v programskem paketu

ABAQUS CAE, v katerem smo izvedli tudi simulacije po metodi končnih elementov [8].

3.1 Modeliranje struktur

Najprej smo pripravili modele vseh petih struktur v programskem paketu ABAQUS CAE.

Začeli smo z modeliranjem same strukture v 2D modelirniku. Oblikovali smo obliko celic, ki

smo jo nato raztegnili v normalno smer za 0,05 mm, da smo dobili realen 3D model, kateremu

smo lahko pripisali materialne lastnosti. Vse strukture smo oblikovali tako, da so bile

približno enakih zunanjih mer, imajo podobno število celic in enako debelino medceličnih

povezav – 0,1 mm.

3.1.1 Neavksetična struktura – satovje

Slika 3.1: Model strukture satovje

Struktura satovje je struktura s pozitivnim Poissonovim količnikom, sestavljena iz pravilnih

šest-kotnikov v obliki satovja. Satovje sestavlja 17 x 16 celic, velikost celotnega modela pa je

8,6 mm x 8 mm. Debelino medceličnih povezav smo v začetku določili 0,1 mm.

3.1.2 Neavksetična struktura – rešetka

Drugo strukturo smo oblikovali v obliki rešetke. Model je sestavljen iz 18 x 18 celic, ki

skupaj tvorijo strukturo veliko 9 mm x 9 mm.


14

Slika 3.2: Model rešetkaste strukture

3.1.3 Avksetična struktura – vbočeno satovje

Najbolj pogosto avksetično strukturo sestavlja 17 x 16 celic, ki skupaj merijo 8,6 mm x 8 mm.

Oblike celic so tudi tu šestkotniki, ki pa imajo vbočeni dve nasprotni oglišči.

Slika 3.3: Model strukture vbočeno satovje

3.1.4 Avksetična struktura – kiralna struktura

Kot smo že omenili, je ta struktura sestavljena iz cilindrov ter ligamentov. Strukturo sestavlja

17 x 20 celic ter je velika 8,9 mm x 7,9 mm.

Slika 3.4: Model kiralne strukture


15

3.1.5 Avksetična struktura – struktura manjkajočih reber

Strukturo manjkajočih reber sestavlja 16 x 8 celic. Ker je razmerje med višino in širino

približno dva, so zunanje mere modela vseeno primerljive z ostalimi. Struktura manjkajoča

rebra meri 8,7 mm x 7 mm.

Slika 3.5: Model strukture manjkajočih reber

V preglednici 3.1 so zbrani podatki o velikostih struktur. Navedeno je število celic v

posamezni strukturi ter velikost struktur v milimetrih.

Preglednica 3.1: Pregled velikosti struktur ter števila celic

Struktura Število celic Širina [mm] Višina [mm]

satovje 17 x 16 8,6 8

rešetka 18 x 18 9 9

vbočeno satovje 17 x 16 8,6 8

kiralna struktura 17 x 20 8,9 7,9

struktura manjkajočih reber 16 x 8 8,7 7


16

3.2 Določitev materiala

Določiti je bilo potrebno še ustrezni materialni model, ki definira lastnosti materiala. Izbrali

smo linearno-elastični materialni model, pripisali smo mu lastnosti aluminijeve zlitine

Al 7075, ki se zaradi svojih mehanskih lastnosti uporablja predvsem v lahki gradnji, letalstvu,

ladjedelski in avtomobilski industriji. Za potrebe simulacij smo definirali ključni lastnosti

materiala: Youngov modul in Poissonovo razmerje materiala.

Preglednica 3.2: Materialni model [13].

Material Youngov modul Poissonovo razmerje

Al 7075 67200 MPa 0,33

3.3 Mreženje strukture

Za diskretizacijo strukture smo uporabili ploskovne končne elemente kvadratne oblike. Pri

mreženju strukture smo uporabili tri velikosti končnih elementov (slika 3.6). Uporabljeni so

bili elementi velikosti 0,05 mm, 0,025 mm in 0,01 mm.

Slika 3.6: Diskretizacija strukture z različno velikimi končnimi elementi


17

1

3.4 Robni pogoji

Za vse strukture smo določili enake robne pogoje, kar je ključnega pomena za enostavno

primerjavo pomikov neobremenjenih koncev. Vseh pet struktur smo obremenili na sredini in

obeh koncih diagonale (slika 3.10). Na sredini smo strukturo fiksno vpeli (omejili vse pomike

in rotacije) – točka 5, obremenitvi pa smo definirali s pomikom -4mm v normalni smeri (z-

smeri) – točka 1, točka 2. Izbrali smo pomik -4 mm, ker je najbolj ustrezal velikosti modela.

Pomike smo v nadaljevanju skalirali tako, da so definirani pomiki -1 mm. Tako lahko

strukture med seboj lažje primerjamo in analiziramo rezultate. Pomika točk 3 in 4 nam služita

kot rezultat simulacij.

Slika 3.7: Robni pogoji na primeru strukture satovje. Definirani pomiki na skrajnih točkah

(točka 1, točka 2) modela, ter onemogočeni pomiki in rotacije na sredini (točka 5).

5

2

3

4


18

4 IZVEDBA RAČUNALNIŠKIH SIMULACIJ

V četrtem poglavju je predstavljena izvedba simulacij vseh predhodno opisanih struktur,

opisani so vhodni podatki ter njihova vloga v samih preračunih. Podani so razlogi za izbiro

ustreznih velikosti končnih elementov in odločitev o povečanju samih velikosti struktur na

predhodno opisane zunanje mere.

4.1 Konvergenca pomikov in primerno mreženje modela

Za izvedbo računalniških simulacij z metodo končnih elementov, smo morali določiti še

parametre posameznih simulacij.

Pomembno je, da nam simulacije podajo natančne, kvalitetne rezultate s čim manjšo napako.

Vendar pa pretirano natančna mreža ne prinaša boljših rezultatov, ampak le drastično poveča

čas računanja, kar ni zaželeno. Potrebna je racionalna priprava mreže končnih elementov, kar

omogoča natančne rezultate v čim krajšem času.

Na modelu strukture satovje smo izvedli simulacije s tremi različnimi mrežami in velikostjo

elementov 0,05 mm, 0,025 mm in 0,01 mm, kar je pomenilo 5704 elementov za prvo, 21692

elementov za drugo in 134100 elementov za tretjo mrežo z najmanjšimi končnimi elementi.

Na treh izvedenih simulacijah smo merili pomike točk tri in štiri (slika 3.7).

Slika 4.1: Konvergenca mreže na strukturi satovje

-0,07

-0,06

-0,05

-0,04

-0,03

-0,02

-0,01

0

5704 21692 134100

Pom

ik [

mm

]

Število končnih elementov [-]


19

Vidimo, da so pomiki pri vseh treh različno kvalitetnih mrežah zelo podobni, ustalijo pa se pri

srednje kvalitetni mreži (slika 4.1), iz česar lahko sklepamo, da bolj natančno mreženje

modela ni učinkovito in je hkrati nepotrebno, saj nam že srednje groba mreža z velikostmi

končnih elementov 0,025 mm poda enako dobre rezultate kot najbolj gosta, pri tem pa je tudi

čas računanja precej manjši (preglednica 4.1). Iz tega lahko sklepamo, da je takšna mreža

najbolj primerna in jo uporabimo tudi pri drugih simulacijah.

Preglednica 4.1: Čas računanja različnih mrež

Mreža Število končnih elementov Računski čas

Mreža 1 – velikost KE: 0,05 mm 5704 2 min 4 s



4.2 Korak simulacije in pogoj nelinearne geometrije

Upoštevali smo, da se ukvarjamo z relativno velikimi deformacijami, glede na velikost

celotnega modela, zato smo v simulacijah upoštevali pogoj nelinearnosti. Zaradi

upoštevanega pogoja nelinearnih učinkov na model, smo temu primerno prilagodili inkrement

oziroma korak računanja. Z več iteracijami smo uspeli določiti inkrement, ki je bil primeren

za izbrano mrežo, hkrati pa je bil čas računanja ustreznejši. Začetna velikost inkrementov je

0,01, spodnjo mejo inkrementov smo omejili na 10-8. Največje dovoljeno število inkrementov

je 1000.

4.3 Povečanje modelov in poenotenje števila celic

Simulacije smo najprej izvajali na modelih, ki niso bili v podobnih velikostnih razredih kot

modeli, ki smo jih kasneje dejansko uporabili in vključili v diplomsko delo. Pri izvajanju

simulacij smo uporabili modele, ki so se razlikovali med seboj po številu celic in sami

velikosti, celo za faktor štiri. Rezultate takšnih simulacij bi nato skalirali, da lahko predpisane

pomike primerjamo. Vendar pa se zaradi manjšega števila celic ni izrazila avksetičnost


20

struktur kot smo pričakovali, zato smo sklenili povečati modele na kasneje uporabljene in

opisane velikosti.

Slika 4.2: Prvotno uporabljen model. Število celic: 9 x 4

Vse simulacije so linearne, zato se avksetičnost strukture opazi tudi pri manjšem modelu,

vendar pa so razlike med avksetičnimi in konvencionalnimi strukturami precej majhne. Ker

pri takšnih majhnih razlikah ne moremo ločiti med dejansko avksetičnostjo strukture in

možnimi napakami, takšen rezultat ni zadovoljiv.


21

5 REZULTATI SIMULACIJ IN DISKUSIJA

V tem poglavju so predstavljeni rezultati simulacij. Grafično so prikazani pomiki dveh točk

(točki 3 in 4, slika 3.7), in primerjani pomiki avksetičnih struktur, v primerjavi s strukturama

rešetke in satovja. Ovrednotili smo ujemanje dobljenih rezultatov z zastavljenimi cilji in

tezami.

5.1 Primerjava pomikov neobremenjenih vogalov

Kot najpomembnejši rezultat, je bil merjen pomik skrajne točke na neobremenjenih vogalih v

smeri z-osi. Kot smo že omenili, smo vse strukture obremenili z enakimi pomiki in drugimi

robnimi pogoji, kar nam omogoča, da lahko vse dobljene vrednosti med sabo neposredno

primerjamo.

5.1.1 Običajni strukturi satovje in rešetka

Slika 5.1: Deformirana struktura satovje

Slika 5.2: Deformirana struktura rešetka


22

Slika 5.3: Normirani pomiki točke 1 (definiran pomik) in 4 (neobremenjen vogal)

Deformiranje obeh struktur je zelo podobno. Kot vidimo na sliki 5.1 in 5.2, sta vogala 1 in 2

močno potegnjena navzdol, za sabo pa delno povlečeta tudi neobremenjena konca (točki 3 in

4). Vogala 3 in 4 obeh struktur se pomakneta v z-smeri za-0,05 mm. Čeprav smo pričakovali,

da se bosta točki 3 in 4 pomaknili navzgor in se bo struktura upognila anti-sinklastično, se to

ni zgodilo. Na sliki 5.3 je prikazan pomik točk 3 in 4 na obeh strukturah. Kot vidimo, se obe

strukturi deformirata skoraj identično.

Skalirane rezultate je enostavno ovrednotiti tudi procentualno. Kot vidimo na grafu 5.1, se

točki 3 in 4, ki ležita na vogalih strukture, deformirata v z-smeri za približno 5 %

predpisanega pomika (100%).

-1-0,95-0,9-0,85-0,8-0,75-0,7-0,65-0,6-0,55-0,5-0,45-0,4-0,35-0,3-0,25-0,2-0,15-0,1-0,050

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Norm

iran

pom

ik [

-]

Delež obremenitve [-]Definiran pomik Pomiki Rešetka Pomiki Satovje


23

5.1.2 Avksetične strukture – vbočeno satovje, kiralna struktura in struktura manjkajočih

reber

Izvedba simulacij avksetičnih struktur nam pokaže konsistentnost deformacij avksetičnih

struktur. Tukaj se točki 3 in 4 (slika 3.7) bistveno bolj pomaknejo v z-smer.

Slika 5.4: Deformiranje strukture vbočeno satovje

Slika 5.5: Deformiranje kiralne strukture

Slika 5.6: Deformiranje strukture manjkajočih reber


24

Slika 5.7: Normirani pomiki točk 1 (definiran pomik) in 4 (neobremenjen vogal) na

avksetičnih strukturah

Na sliki 5.7 se nazorno pokaže drugačno obnašanje avksetičnih struktur, ki so sicer pod enako

obremenitvijo, kot strukturi s pozitivnim Poissonovim količnikom. Točki 3 in 4 (slika 3.7) na

strukturi vbočeno satovje in strukturi manjkajočih reber se pomaknejo za približno 0,26 mm,

kiralna struktura pa se deformira nekoliko manj, saj se točki 3 in 4 pomakneta za približno

0,15mm.

Procentualno predstavlja pomik točk 3 in 4 strukture vbočeno satovje in strukture manjkajočih

reber 26 %, medtem ko pa pomik na kiralni strukturi predstavlja približno 15% predpisanega

pomika točk 1 in 2.

-1-0,95-0,9-0,85-0,8-0,75-0,7-0,65-0,6-0,55-0,5-0,45-0,4-0,35-0,3-0,25-0,2-0,15-0,1-0,050

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

No

rmir

ani

po

mik

i [-

]

Delež obremenitve [-]

Definiran pomik Vbočeno satovje Kiralna struktura Manjkajoča rebra


25

5.2 Primerjava rezultatov

Rezultati računalniških simulacij vseh petih struktur so enolično pokazali, da se avksetične

strukture deformirajo drugače od konvencionalnih pri upogibni obremenitvi. Kot smo

predvidevali že v tezah naloge, se avksetične strukture deformirajo sinklastično, v obliki

kupole, kar smo dokazali z izrazitim pomikom neobremenjenih vogalov v smeri definirane

obremenitve. Vsi trije modeli z avksetično strukturo se obnašajo precej podobno med seboj.

Malenkostno izstopa le kiralna struktura, ki se deformira nekoliko manj izrazito sinklastično.

Vseeno pa se tudi tu pokaže avksetičnost za več kot 2-kratnik pomika konvencionalne

strukture (preglednica 5.1).

Slika 5.8: Primerjava normiranih pomikov točk 1 (definiran pomik) in 4 (neobremenjen

vogal) vseh struktur

-1-0,95-0,9-0,85-0,8-0,75-0,7-0,65-0,6-0,55-0,5-0,45-0,4-0,35-0,3-0,25-0,2-0,15-0,1-0,050

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Norm

iran

i pom

iki

[-]

Delež obremenitve [-]

Definiran pomik Vbočeno satovje Kiralna struktura

Manjkajoča rebra Rešetka Satovje


26

Kot vidimo zgoraj (slika 5.8) se pomiki struktur očitno razlikujejo. Črti, ki prikazujeta pomike

točk na običajnih strukturah skoraj sovpadata. Črte, ki prikazujejo pomike avksetičnih

struktur, pa so zelo odvisne od geometrije avksetične strukture.

Preglednica 5.1: zbrani pomiki struktur v mm in %

Struktura Pomik točke 3 in 4 [mm] Pomik točke 3 in 4 [%]

Satovje -0,05 5

Rešetka -0,06 6

Vbočeno satovje -0,26 26

Kiralna -0,15 15

Manjkajoča rebra -0,27 27

5.3 Vpliv debeline medceličnih povezav in anizotropnosti struktur

Omenili smo že, da nas zanima kakšen vpliv ima na celotne simulacije debelina medceličnih

povezav. Vsem strukturam smo določili debelino medceličnih povezav 0,1 mm, kar je

predstavljalo realno razmerje dimenzij struktur. Nato smo definirali še dve debelini: 0,075

mm, kar predstavlja stanjšanje debeline za 25 % in 0,125 mm, kar predstavlja odebelitev za

25 %.

Vse strukture smo izpostavili še obremenitvam, ki so bile rotirane za kot 90°. S tem smo

preverili še vpliv orientacije celic strukture na deformacije struktur pri upogibni obremenitvi.


27

Preglednica 5.2 Pomiki točk pri različnih debelinah stene in pri rotaciji

Debelina

povezav

Struktura

Pomik

[mm]

Pomik (rotacija)

[mm]

0,075 0,1 0,125 0,1

satovje -0,055 -0,050 -0,047 -0,064

rešetka -0,068 -0,062 -0,057 -0,062

vbočeno satovje -0,313 -0,272 -0,249 -0,281

kiralna struktura -0,168 -0,15 -0,136 -0,151

st. manjkajočih reber -0,290 -0,27 -0,261 -0,288

V preglednici 5.2 vidimo, da se pomiki obravnavanih točk pri manjši debelini stene nekoliko

poveča glede na prvotno debelino stene. Nasprotno se deformacije nekoliko zmanjšajo pri

večji debelini stene medceličnih povezav. Takšni rezultati so povsem logični in pričakovani,

saj debelina stene pomembno vpliva na togost strukture.

Pomiki pri rotaciji strukture za 90° se minimalno razlikujejo od prvotnih deformacij. Največja

razlika se pojavi pri strukturi satovje in strukturi manjkajočih reber. Pri vseh ostalih strukturah

pa je anizotropnost zelo majhna, oziroma je ni (struktura rešetka).


28

6 ZAKLJUČEK

V diplomskem delu smo obravnavali avksetične strukture in njihove mehanske lastnosti pri

upogibu. Navedli smo glavne prednosti in slabosti v primerjavi s konvencionalnimi

strukturami. Najpomembnejša lastnost avksetičnih struktur, ki je izražena z negativnim

Poissonovim razmerjem, je zaslužna za nenavadno obnašanje takšnega materiala, ob delujoči

sili na strukturo. V diplomski nalogi nas je zanimalo predvsem obnašanje takšnih struktur pri

upogibni obremenitvi. Želeli smo dokazati, da se v nasprotju z običajnimi strukturami, pri

upogibni obremenitvi deformirajo sinklastično. To nam je uspelo s pomočjo računalniških

simulacij. Analizirali smo pet struktur: dve s pozitivnim Poissonovim razmerjem (strukturi

rešetka in satovje) in tri avksetične (vbočeno satovje, kiralna struktura in struktura

manjkajočih reber), ki smo jih izpostavili upogibni obremenitvi. Spremljali smo pomike točk

na vogalih strukture, kar nam je pokazalo avksetično deformiranje. Dobljene rezultate smo

primerjali med seboj in uspeli najti razliko med deformiranjem avksetične in konvencionalne

strukture pri upogibni obremenitvi. Pomiki omenjenih točk so v konvencionalnih strukturah

veliko manjši (približno 5 % predpisanega pomika, medtem ko so v avksetičnih strukturah

pomiki od 15 % do 26 % predpisanega pomika.

Smiselno bi bilo nadaljevati raziskovanje deformacije avksetičnih struktur pri upogibni

obremenitvi z uporabo elasto-plastičnega materialnega modela, s čimer bi lahko raziskali

prehod materiala strukture v trajno deformacijo. V okviru diplomskega dela smo se omejili na

pomike vogalov strukture, kar bi lahko kasneje razširili tako, da bi spremljali pomike na več

mestih v strukturi in vključili še več drugih avksetičnih struktur. Smiselno bi bilo tudi

spremljati upogibne deformacije v tridimenzionalnih avksetičnih strukturah.

Avksetične strukture, ki so na splošno manj znane širšemu krogu ljudi, dobivajo na veljavi v

industrijah, kjer so pomembne mehanske lastnosti materialov. Potencial le-teh je ogromen in

menim, da bodo v prihodnosti prisotne na mnogih področjih. Raziskovalci širom sveta se

trenutno ukvarjajo z avksetičnimi strukturami in pričakujemo lahko, da se bodo kmalu

pojavile nove, cenejše metode proizvodnje, ter s tem njihova razširitev uporabe.


29

7 SEZNAM UPORABLJENIH VIROV

[1]A. Alderson, K. L. Alderson, »Auxetic materials«, UK: Centre for Materials Research and

innovation, The University of Bolton, 2012

[2] C. Ferguson. Historical Introduction to the Development of Material science and

Engineering as a Teaching Discipline. (2014) Dosegljivo: http://www.materials.ac.uk/pub/Ma

terials-History-Intro.pdf [Datum dostopa: 14.8.2018]

[3] N. Novak, M. Vesenjak, Z. Ren, »Auxetic Cellular Materials – a Review«, Strojniški

vestnik – Journal of Mechanical Engineering, let. 62, št. 9, str. 485-493, junij 2016

[4] K. E. Evans, M. A. Nkansah, I. J. Hutchinson, S. C. Rogers, »Molecular Network

Design«, Nature, let. 353, str. 124, september 1991

[5] A. Alderson, »A triumpf of lateral tought«, Chemistry & Industry, maj 1999

[6] N. Chan, K. E. Evans, »Indentation Resilience of Conventional and Auxetic Foams«,

Journal of Cellular Plastics, let. 34, maj/junij 1998

[7] G. Imbalzano, P.Tran, T.D. Ngo, P. V. Lee, »Three-dimensional modelling of auxetic

sandwich panels for localised impact resistance«. Journal of Sandwich Structures and

Materials

[8] Z. Ren, M. Ulbin, MKE Praktikum za ABAQUS, Maribor, Založništvo Fakultete za

strojništvo, 2010

[9] A. Alderson, K. L. Alderson, G. Chirima, N. Ravirala, K. M. Zied, »The in-plane elastic

constants and out-of-plane bending of 3-coordinated ligament and cylinder-ligament

honeycombs«, Composites Science and Technology, let. 70, str. 1034-1041, 2010

http://www.materials.ac.uk/pub/Materials-History-Intro.pdf

http://www.materials.ac.uk/pub/Materials-History-Intro.pdf


30

[10] Y. Hou, Y.H. Tai, C. Lira, F. Scarpa, J.R. Yates, B. Gu, »The bending and failure of

sandwich structures with auxetic gradient cellular cores«, Composites: Part A, let. 49, str.

119-131, 2013

[11] The New Dimensions of Nike Free, Nike, Inc., Dosegljivo:

https://news.nike.com/news/nike-free-2016-running-training [Datum dostopa: 2.9.2018]

[12] Defense Applications of Auxetic Materials, Defense systems information analysis center,

Dosegljivo: https://www.dsiac.org/resources/journals/dsiac/summer-2014-volume-1-number-

1/defense-applications-auxetic-materials [Datum dostopa: 2.9.2018]

[13]Kraut, B.: Krautov strojniški priročnik, 15. izdaja. Ljubljana: Litterapicta, 2011.

https://news.nike.com/news/nike-free-2016-running-training

https://www.dsiac.org/resources/journals/dsiac/summer-2014-volume-1-number-1/defense-applications-auxetic-materials

https://www.dsiac.org/resources/journals/dsiac/summer-2014-volume-1-number-1/defense-applications-auxetic-materials

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO · compared to the conventional structures with...

Documents

Transcript of UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO · compared to the conventional structures with...