UNIVERZA V LJUBLJANI - pefprints.pef.uni-lj.sipefprints.pef.uni-lj.si/1997/1/Diploma.ZupanK.pdf ·...

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOŠKA FAKULTETA

DIPLOMSKO DELO

KARMEN ZUPAN

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOŠKA FAKULTETA

Študijski program: Matematika in tehnika

Opazovanje v šolski geometriji

DIPLOMSKO DELO

Mentor: Kandidatka:

dr. Zlatan Magajna Karmen Zupan

Ljubljana, oktober 2013

ZAHVALA

Najlepše se zahvaljujem:

Mentorju dr. Zlatanu Magajni za vso strokovno pomoč in usmerjanje ter za čas in

svetovanje, ki mi jih je namenil med pisanjem diplomske naloge.

Svojim bližnjim, ki so mi nesebično stali ob strani vsa študijska leta:

- hvala mami Darinki in očetu Franciju, ki sta mi omogočila vso pomoč v času

študija, me podpirala pri mojih odločitvah, spodbujala in motivirala;

- hvala Gregorju za spodbudo, nasvete in vsestransko pomoč;

- hvala sošolkam, ki ste mi stale ob strani in zaradi katerih je študij minil hitro in

poln dogodivščin.

Ostalim, ki so mi na kakršen koli način priskočili na pomoč in prispevali košček k mojemu

mozaiku.

POVZETEK

Diplomsko delo govori o opazovanju, kot pomembnem procesu pri učenju geometrije. V

prvem delu je predstavljeno opazovanje s psihološkega vidika. Opisana je gestalt teorija,

njena zgodovina, razdelitev gestalt kvalitet, različne raziskave in teorije predlog s primeri. V

nadaljevanju je opazovanje opisano z didaktičnega vidika, s pomočjo stopenj geometrijskega

znanja po van Hielu. Ker so barve ključnega pomena pri opazovanju, so našteti nasveti, ki bi

jih morali učitelji upoštevati, ko uporabijo barve. V nadaljevanju se osredotočimo na pojma

kot in trikotnik - kot zgleda objektov, ki jih opazujemo pri geometriji. Opisani so tudi razni

didaktični nasveti, kako predstaviti snov učencem. Prav tako so opisane nekatere naloge, s

katerimi preko opazovanja preidemo na določanje lastnosti posameznih objektov. V

diplomskem delu so predstavljene naloge iz izbranih učbenikov, in sicer naloge, namenjene

opazovanju in prepoznavanju geometrijskih objektov.

V empiričnem delu je predstavljena raziskava, s katero sem želela ugotoviti, katere lastnosti

upodobitev geometrijskih objektov olajšajo oziroma otežijo prepoznavanje geometrijskih

objektov in lastnosti. Kot osnovni instrument sem v ta namen izdelala preizkus. Preizkus so

reševali učenci sedmih razredov osnovne šole. Preizkus so učenci reševali zgolj z

opazovanjem (brez kakršnih koli pripomočkov, ravnil, šestil ipd.). V preizkusu sem

preverjala, kako barva in lega slike geometrijskih objektov vplivata na njihovo

prepoznavanje. Prav tako me je zanimalo, kako barva, bližina in lega slik geometrijskih

objektov vplivajo na prepoznavanje skladnosti geometrijskih objektov. Izkazalo se je, da

imajo učenci največ težav pri prepoznavanju objektov, ki so rotirani. Preverila sem tudi,

kako poudarjenost oglišč, stranic oz. ploskve lika vpliva na prepoznavo likov. Ugotovila

sem, da so nekateri učenci povezovali dana oglišča in si s tem pomagali pri opazovanju

določenih objektov. Zanimalo me je tudi, kako izbira barve in barve ozadja vpliva na

prepoznavo likov. Rezultati so pokazali, da je izbira barvne kombinacije ključna pri

prepoznavi danega objekta.

Ključne besede: geometrija, gestalt psihologija, opazovanje, prepoznavanje likov, slike

geometrijskih objektov

ABSTRACT

Observing in school geometry

Observing is an important process in learning geometry. In the first part of the thesis

observing is considered from a psychological perspective: the Gestalt theory, its history, the

distribution of gestalt qualities, as well as various studies and theories of templates. The

observing process is considered also from the didactic point of view by means of the van

Hiele’s theory of levels of geometric reasoning. Since colours also influence observing, a list

of advices for teachers about using colours is included. In the thesis we consider also the

concepts of angle and triangle, as examples of objects which students observe in geometry.

Different didactic tips on how to present these topics to students are also included, as well as

some exercise tasks aimed at improving observing skills. Finally, we present how observing

geometric shapes is treated in selected textbooks.

In the empirical part of the thesis we present a simple research, in which we investigated

how various visual elements in the representation of a geometric configuration facilitate or

hinder the recognition of geometric objects and geometric properties. As part of the research

a test was taken by students of grade seven of a lower secondary school. The tasks of the test

required only visual observation, thus the students made no use of measuring or construction

aids as they worked them out. Regarding the influence of colours, proximity, and position of

images of geometric objects we found that students find difficult to recognise a shape in

‘non-standard’ positions and find difficult to identify congruent objects if one of them is

rotated. We also investigated how the emphasis of specific elements (vertices, sides,

surfaces) as well as the choice of foreground/background colours of the shape affects its

recognition by the students. We found that in this respect the choice of colour combinations

plays an important role.

Key words: geometry, Gestalt psychology, images of geometric objects, observation, shape

recognition.

KAZALO VSEBINE

0 UVOD .................................................................................................................... 1

1 OPAZOVANJE ..................................................................................................... 3 1.1 ZAZNAVANJE ............................................................................................... 3

2 GESTALT TEORIJA ........................................................................................... 6 2.1 ZGODOVINA ................................................................................................. 6

2.2 EMPIRIZEM IN NATIVIZEM........................................................................ 6 2.3 EHRENFELS .................................................................................................. 7

2.4 RAZDELITEV GESTALT KVALITET .......................................................... 7 2.5 RAZISKAVE .................................................................................................. 9

2.6 PREPOZNAVANJE VZORCEV ................................................................... 11 2.6.1 TEORIJE PREDLOG ............................................................................... 11

2.6.2 POZORNOST........................................................................................... 11 2.6.3 ORGANIZACIJE ZAZNAV ..................................................................... 12

2.6.4 RAZLIČNI PRIMERI ORGANIZACIJE ZAZNAV ................................. 15 2.6.5 ZUNANJI IN NOTRANJI DEJAVNIKI POZORNOSTI .......................... 16

2.7 KRITIKE GESTALT PSIHOLOGIJE ........................................................... 17

3 VAN HIELOVA TEORIJA ................................................................................ 18 3.1 STOPNJE GEOMETRIJSKEGA ZNANJA ................................................... 18 3.1.1 STOPNJA 0: VIZUALNA STOPNJA....................................................... 18

3.1.2 STOPNJA 1: OPISNA STOPNJA............................................................. 19 3.1.3 STOPNJA 2: NEFORMALNA DEDUKCIJA ........................................... 19

3.1.4 STOPNJA 3: FORMALNO DEDUKTIVNA STOPNJA .......................... 20 3.1.5 STOPNJA 4: STROGO MATEMATIČNA STOPNJA ............................. 20

3.2 NAPREDOVANJE SKOZI STOPNJE .......................................................... 20 3.3 POUČEVANJE GEOMETRIJE SKOZI IGRO .............................................. 21

3.4 KRITIKA VAN HIELOVE TEORIJE ........................................................... 23

4 BARVE ................................................................................................................ 25 4.1 LASTNOSTI BARV ..................................................................................... 25 4.2 NASVETI IN PRAVILA UPORABE BARV ................................................ 26

5 ELEMENTI UČNEGA PROCESA .................................................................... 28 5.1 POUČEVANJE MATEMATIKE .................................................................. 28

5.2 SPOZNAVANJE POJMOV KOT IN TRIKOTNIK ....................................... 30 5.2.1 POJEM VELIKOSTI KOTA IN DIDAKTIČNI NASVETI ...................... 31

5.2.2 OBLIKE TRIKOTNIKOV IN NJIHOVE ZNAČILNOSTI ....................... 34 5.2.3 RAZLIČNE VAJE .................................................................................... 35

5.2.3.1 TRIKOTNIKI ........................................................................................ 35

6 PREGLED UČBENIKOV IN DELOVNIH ZVEZKOV ................................... 37 6.1 PRESEČIŠČE 5 ........................................................................................... 37 6.2 PRESEČIŠČE 7 ........................................................................................... 38

6.3 SKRIVNOSTI ŠTEVIL IN OBLIK 7 .......................................................... 40 6.4 STIČIŠČE 7................................................................................................. 42

6.5 KOCKA 7.................................................................................................... 43

7 EMPIRIČNI DEL ............................................................................................... 45 7.1 NAMEN EMPIRIČNEGA DELA ................................................................. 45 7.2 CILJI ............................................................................................................. 47

7.3 METODOLOGIJA ........................................................................................ 48 7.3.1 OPIS VZORCA ........................................................................................ 48

7.3.2 METODE IN TEHNIKE ZBIRANJA PODATKOV ................................. 48

7.4 PREDSTAVITEV PREIZKUSA ................................................................... 49

7.5 OBDELAVA PODATKOV ........................................................................... 50 7.6 REZULTATI Z ANALIZO ........................................................................... 50

Naloga 1.a ......................................................................................................... 51 Naloga 1.b ......................................................................................................... 55

Naloga 2.a ......................................................................................................... 57 Naloga 2.b ......................................................................................................... 62

Naloga 2.c ......................................................................................................... 64 Naloga 3 ............................................................................................................ 70

Naloga 4.a ......................................................................................................... 73 Naloga 4.b ......................................................................................................... 75

7.9 PREGLED RAZISKOVALNIH VPRAŠANJ IN UGOTOVITVE ................. 76

8 VIRI IN LITERATURA ..................................................................................... 79 8.1 SPLETNI VIRI .............................................................................................. 82

9 PRILOGE ............................................................................................................ 83

KAZALO SLIK

Slika 1: Kako pride do zaznave ............................................................................................ 4

Slika 2: Neckerjeva kocka .................................................................................................... 5 Slika 3: Faze reševanja problemov (Marentič Požarnik, 2000, str. 79) ................................ 10

Slika 4: Prepoznava črke .................................................................................................... 10 Slika 5: Lik in podlaga ....................................................................................................... 12

Slika 6: Načelo bližine ....................................................................................................... 13 Slika 7: Načelo podobnosti ................................................................................................. 13

Slika 8: Primer načela strnjenosti ....................................................................................... 14 Slika 9: Načelo simetričnosti .............................................................................................. 14

Slika 10: Načelo zaprtosti ali dopolnitve ............................................................................ 15 Slika 11: Primer zaznav 1 ................................................................................................... 15

Slika 12: Primer zaznav 2 ................................................................................................... 16 Slika 13: Stopnje van Hiela ................................................................................................ 18

Slika 14: Tangram .............................................................................................................. 21 Slika 15: Iskanje podobnih trikotnikov

6 .............................................................................. 22

Slika 16: Barvni krog ......................................................................................................... 25

Slika 17: Velikost kota, opisani z dolžino krakov ............................................................... 31 Slika 18: Velikost kota, opisana z lokom ............................................................................ 32

Slika 19: Velikost kotov v različnih legah .......................................................................... 32 Slika 20: Predstavitev geometrijskih likov (po Dickson, 1993, str. 30) ............................... 33

Slika 21: Razvrščanje kotov po velikosti (po Dickson, 1993, str. 77) .................................. 33 Slika 22: Dobra ponazoritev kota ....................................................................................... 34

Slika 23: Naloga 1 (Presečišče 5, str. 203) .......................................................................... 37 Slika 24: Naloga 2 (Presečišče 7, str. 18) ............................................................................ 38

Slika 25: Naloga 3 (Presečišče 7, str. 217) .......................................................................... 39 Slika 26: Naloga 4 (Presečišče 7, str. 210) .......................................................................... 39

Slika 27: Naloga 5 (Presečišče 7, str. 225) .......................................................................... 40 Slika 28: Naloga 6 (Skrivnosti števil in oblik 7, str. 135) .................................................... 41

Slika 29: Naloga 7 (Skrivnosti števil in oblik – zbirka vaj, str 71) ....................................... 42 Slika 30: Naloga 8 (Stičišče 7, str. 46) ................................................................................ 43

Slika 31: Naloga 9 (Kocka, str. 144) ................................................................................... 44

KAZALO TABEL

Tabela 1: Razvrstitev trikotnikov in opis ............................................................................ 35 Tabela 2: Vaja 1 ................................................................................................................. 36

Tabela 3: Napačni odgovori učencev pri nalogi 1.a............................................................. 53 Tabela 4: Število napačnih odgovorov pri nalogi 2.a .......................................................... 59

Tabela 5: Napačni odgovori učencev pri nalogi 2.a............................................................. 59 Tabela 6: Primerjava para kotov naloge 1.a in 2.a ............................................................... 60

Tabela 7: Primerjava uspešnosti ......................................................................................... 60 Tabela 8: Primerjava prepoznavana trikotnikov iz nalog 1.b, 2.b in 2.c ............................... 66

KAZALO GRAFOV

Graf 1: Uspešnost pri reševanju naloge 1.a ......................................................................... 51

Graf 2: Število napačnih odgovorov pri nalogi 1.a .............................................................. 53 Graf 3: Uspešnost pri reševanju naloge 1.b ......................................................................... 55

Graf 4: Primerjava uspešnosti ............................................................................................. 56 Graf 5: Uspešnost pri reševanju naloge 2.a ......................................................................... 58

Graf 6: Uspešnost pri reševanju naloge 2.b ......................................................................... 62 Graf 7: Uspešnost pri reševanju naloge 2.c ......................................................................... 65

Graf 8: Primerjava trikotnikov, primer 1............................................................................. 67 Graf 9: Primerjava trikotnikov, primer 2............................................................................. 67

Graf 10: Primerjava trikotnikov, primer 3 ........................................................................... 68 Graf 11: Primerjava trikotnikov, primer 4 ........................................................................... 68

Graf 12: Primerjava trikotnikov, primer 5 ........................................................................... 68 Graf 13: Primerjava trikotnikov, primer 6 ........................................................................... 69

Graf 14: Primerjava trikotnikov, primer 7 ........................................................................... 69 Graf 15: Uspešnost pri reševanju naloge 3 .......................................................................... 70 Graf 16: Odgovori učencev, razdeljeno po skupinah ........................................................... 71

Graf 17: Uspešnost pri reševanju naloge 4 .......................................................................... 73 Graf 18: Primerjava odgovorov .......................................................................................... 74

1

0 UVOD

Diplomska naloga govori, kako učenci v osnovni šoli opazujejo geometrijske objekte.

Učenec z opazovanjem spoznava okolje že od rojstva. Krapše (1996) opozarja, da je

opazovanje pri pouku močno odvisno od otrokovih predstav in zamisli, ki jih oblikuje že

pred vstopom v šolo. Opazovanje kot učna metoda ima velik pomen predvsem pri pouku

naravoslovja. Namen diplomske naloge je ugotoviti, kateri so tisti ključni dejavniki, ki

vplivajo na opazovanje. Je to organizacija zaznav? So to barve? Stopnje geometrijskega

razumevanja?

V teoretičnem delu je predstavljena gestalt teorija. Gestalt psihologi so raziskovali

zaznavanje. Poudarjali so, da je zaznava celota različnih njenih delov. Izhajali so iz

predpostavke, da človek pri zaznavanju teži k ustvarjanju smiselnih vzorcev oziroma celot.

To se dogaja tudi pri učenju, ko problemsko situacijo preoblikujemo tako, da postane

podobna temu, kar že vemo, in da za nas dobi logično obliko. V nadaljevanju so opisane

raziskave, ki so jih izvedli gestalt psihologi. Podrobneje so predstavljene organizacije

zaznav, ki so predstavljene s slikovnimi primeri.

V nadaljevanju spoznamo model, ki ponazarja stopnje geometrijskega znanja. Van Hielov

model ima pet stopenj. Vsaka stopnja je podrobneje opisana in predstavljena s primeri.

Poučevanje geometrije pa je lahko tudi zabavno. Van Hiele predstavi naloge, kako

poučujemo geometrijo skozi igro. Podrobneje predstavi tangram in opiše različne naloge. Pri

teh nalogah učenci opazujejo in spoznavajo različne like in njihove lastnosti.

Trstenjak (1983) pravi, da človek približno 87 % vseh čutnih vtisov dobiva po posredovanju

vidnih zaznav. Ključnega pomena pri opazovanju so barve. Izbira barve in barvne podlage je

pomembna pri opazovanju. Debevec1 opiše nekaj nasvetov, ki bi se jih morali učitelji držati

pri izbiri barv in barvne podlage.

V naslednjem poglavju se osredotočimo na poučevanje geometrije. V šoli je opazovanje

zavestna dejavnost, saj je le-ta tesno povezana s poglabljanjem in širjenjem znanja.

Podrobneje spoznamo kot in trikotnik. Opišemo značilna napačna razumevanja in

1 http://www.debevc.uni-mb.si/hci2003/PDF_2003_predavanja/HCI_12_barve.pdf#page=9&zoom=133,0,453

http://www.debevc.uni-mb.si/hci2003/PDF_2003_predavanja/HCI_12_barve.pdf#page=9&zoom=133,0,453

2

poimenovanja kotov in trikotnikov. Podrobneje pogledamo v Učni načrt za matematiko,

kdaj se učenci srečajo z geometrijo, in pregledamo didaktične nasvete.

V nadaljevanju so predstavljeni izbrani učbeniki in delovni zvezki za učence šestih in

sedmih razredov devetletne osnovne šole. V njih so predstavljene različne naloge, ki učenca

pripravijo do opazovanja. Lipovšek in Ferjan (2005) opazovanje povezujeta z motivacijo, saj

je le-ta močno povezana z učenčevo vnemo in vedoželjnostjo. Izvira iz zanimivosti snovi,

zato vpliva na učenčevo dejavnost pri reševanju nalog.

Glavni del predstavlja empirična raziskava. Učencem sedmega razreda sem sestavila

preizkus z naslovom Opazovanje v geometriji. Preizkus je rešilo 47 učencev sedmega

razreda. Sestavljen je iz štirih različnih nalog. Z zastavljenimi nalogami sem želela ugotoviti

pomen nekaterih dejavnikov pri opazovanju v geometriji. Osredotočila sem se na ključne

elemente, ki vplivajo na razumevanje skladnosti geometrijskih objektov. To so: barva,

bližina, usmerjenost in lega. V nadaljevanju preizkusa sem želela ugotoviti, kateri elementi

predstavitev likov vplivajo na prepoznavo likov. Osredotočila sem se tudi na barve; katere

izbire barve so dobre in katere neprimerne. Prav tako me je zanimala uporaba barvnega

ozadja. V zadnji nalogi so morali učenci z opazovanjem ugotoviti, katera oglišča tvorijo

enakostranični trikotnik. Nekateri učenci so si pomagali s povezovanjem oglišč. Zanimalo

me je, ali je to učencem pomagalo pri reševanju. Odgovore, ki sem jih pridobila s

preizkusom, sem podrobneje analizirala. Svoje ugotovitve sem grafično predstavila in

opisala.

3

1 OPAZOVANJE

Ferbar in Russell (1992) opredelita glagol opazovati kot videti, zaznavati, opaziti. Noriss (po

Ferbar in Russell, 1992) je mnenja, da je opazovanje mogoče bolje razumeti kot dejavnost,

ki jo bolj vodijo opazovalčevi nameni in cilji kot pa njegove zaznave.

Opazovanje kot dejavnost obsega: zaznavanje, namen, znanje in pomen.

Opazovanje omogoča ugotavljanje pravilnosti, zaznavanje podrobnosti in razlik,

ugotavljanje različnih struktur in spremljanje pomembnih sistematičnih časovnih sprememb.

Z očmi lahko zaznamo barvo in osvetljenost, obliko in strukturo, velikost in razdaljo (Ferbar

in Russell, 1992).

V didaktiki opazovanje opredelimo kot zavestno zaznavanje z uporabo vseh čutil in s

kakršnim koli pripomočkom. Kot pravi Bačnikova (2005): »Ideja, da mora biti opazovanje

skrbno, pazljivo in zavestno, je bistvena za opazovanje v spoznavnem procesu pri pouku.«

Ločimo neposredno in posredno opazovanje. Pri neposrednem opazovanju gre za opazovanje

predmetov in pojavov, pri posrednem opazovanju pa gre za navezavo učenčeve čutne

izkušnje in predstave.

1.1 ZAZNAVANJE

Zaznavanje je proces organizacije in interpretacije občutkov oziroma informacij, ki jih

sprejemamo s čutili. Občutek je proces sprejemanja dražljajev iz okolja. Poznamo svetlobne

(vid), mehanične (sluh, ravnotežje, tip, bolečina), toplotne (hladno, toplo) in kemične (vonj,

okus) občutke (Kompare, 2001).

Dražljaji delujejo na naše čutnice in s tem postanemo pozorni. Dražljaji so tisti energetski

procesi, pri katerih se čutni organi odzovejo z vzburjanjem. Čutni organi so specializirane

anatomske strukture v katerih pod vplivom dražljajev nastane živčno vzburjanje (Kompare,

2001).

4

Dražljaji imajo dve funkciji. Prva je spoznavanje, katere vloga je dajanje sporočila o okolju

in usmerjanju reakcije. Druga funkcija pa je vzburjanje ali aktiviranje organizma (Pečjak,

2006).

Vsak čutni organ sestavljajo čutne celice (pri očesu paličice in čepki na mrežnici) kot njegov

glavni del. Prav tako pripomoreta k učinkovitejšemu delovanju čutnega organa pomožna

organa očesna leča, ki fokusira svetlobo na mrežnico, in zenica, ki spreminja svojo velikost

glede na svetlobo (Kompare, 2001).

Živčni impulzi, ki nastanejo v čutnih organih, se razširijo po senzornih vlaknih vse do

možganskega debla in nato do možganske skorje. Nato nastane občutek v možganih, ki

občutke organizira, tako da jih prepoznamo kot celoto. Poznamo primarna in sekundarna

senzorna središča. Za primarna je značilno, da se porajajo občutki, za sekundarna pa, da se

impulzi integrirajo z izkušnjami in tako nastanejo zaznave. Rezultat tega je zaznava (Slika

1).

Slika 1: Kako pride do zaznave

Pečjak poudarja, da so v zadnjih desetletjih odkrili marsikaj novega pri procesih, ki

privedejo do občutka. Za vid so ugotovili, da se živčne celice odzivajo selektivno na celotni

poti od mrežnice do možganskih središč (Pečjak, 2006).

Trstenjak (1983) opisuje občutke kot znake znamenj ali simbolov, ne pa »podobe« ali

»odtise« zunanjih predmetov.

Lep primer, ki ponazarja razliko med občutkom in organizacijo občutkov, je Neckerjeva

kocka.

5

Slika 2: Neckerjeva kocka2

Neckerjeva kocka je primer reverzibilne slike. Iz istih vzorcev dražljajev izmenoma nastajajo

različne organizacije. Če gledamo v figuro dlje, se nam zdi, da se spreminja. Zatemnjena

stran se enkrat pojavi spredaj, drugič pa zadaj (Slika 2). Naši možgani vidijo hkrati dve

različni, vendar enako verjetni domnevi, in ni pravila, po katerem je ena domneva

pravilnejša od druge. Občutek je vedno isti, vendar so zaradi procesov v možganih zaznave

drugačne (Hayes, 1998).

Citiram Pečjaka (2006): »Po klasični teoriji občutkov naj bi človek zaznaval oblike, like ter

predmete in pojave najprej v elementarnih doživljajih, občutkih, ki jih nato združi v

kompleksne zaznave.«

2 http://www.yogaartandscience.com/pblog/archive/files/category-big-ideas.php

http://www.yogaartandscience.com/pblog/archive/files/category-big-ideas.php

6

2 GESTALT TEORIJA

2.1 ZGODOVINA

Gestalt teorija se je razvila ob koncu 19. stoletja in na začetku 20. stoletja. Razvila jo je

graška šola predmetnostne teorije. Prvi, ki je uporabil izraz »gestalt kvalitete« v filozofiji in

psihološki literaturi, je bil Christian von Ehrenfels (1859–1932). V njegovem delu »O gestalt

kvalitetah« (»Über Gestaltqualitäten«), objavljenem v letu 1890 v Trimesečniku za

znanstveno filozofijo Richarda Avenariusa, je uporabil izraz kot oznako za pojave, ki so v

primerjavi s svojimi sestavnimi deli nekaj povsem kvalitativno novega. Beseda gestalt

pomeni lik, celota, kompleksna zaznava. Gestalt teorijo je raziskovalo veliko ljudi: Alexius

von Meinong (1853–1920), Rudolf Ameseder, Stepan Witasek in Vittorio Benussi. Graška

šola je nastala pod vodstvom A. von Meinonga, ki je leta 1894 ustanovil prvi psihološki

laboratorij v Avstriji. Gestalte so raziskovali z različnih vidikov. Kakšen je odnos med

gestalti in njihovo podlago? Kakšna je narava gestaltov? Ali lahko gestalte neposredno

zaznamo tako kot realne predmete ali so njihove predstave nasprotno rezultat posebnega

procesa oblikovanja? V graški šoli se niso ukvarjali le s teoretično podlago, ampak so

gestalte proučevali tudi eksperimentalno. V središču njihovega zanimanja so bile

geometrično-optične iluzije, ki po njihovem mnenju predstavljajo neadekvatne predstavne

produkcije (Pihlar, 2008).

2.2 EMPIRIZEM IN NATIVIZEM

Vsak človek dojema dražljaje organizirano. V preteklosti sta se oblikovali dve veji oziroma

teoriji o organizaciji zaznav. Empiristično teorijo zaznavanja sta zagovarjala Helmholtz in

Wundut. Proces organizacije so reducirali na golo asociiranje in predhodne izkušnje. Nek

predmet, npr. avto, je znan kot celota, ker je človek zaznal posamezne dele: okna, vrata,

gume, volan idr. (Pečjak, 1975).

Nativistično teorijo ta zagovarjala Herin in Stumpf. Trdila sta, da naj bi površina mrežnice

npr. determinirala zaznavo prostora. Tudi gestalt psihologija je blizu nativizma, saj izhaja iz

vnaprej prirojenih principov organizacije in zmanjšuje pomen izkušenj. Empirizem in

7

nativizem si kot teoriji zaznavanja ne nasprotujeta. Obe predpostavljata organizem, ki je

sposoben odražati odnose med dražljaji in se učiti (Pečjak, 1975).

2.3 EHRENFELS

Kot sem že omenila, je Christian von Ehrenfels leta 1890 izdal delo o gestaltih. V njegovem

nadaljnjem filozofskem razvoju njegovo zanimanje ni bilo usmerjeno samo v izpopolnitev

teorije o gestalt kvalitetah, ampak se je osredotočil na njeno uporabo še na drugih področjih,

predvsem v metafiziki in matematiki. Na začetku se Ehrenfels sprašuje, kaj so takšni pojavi,

kot sta melodija in neka prostorska figura sami po sebi. Ali so to zgolj kompleksi elementov

ali pa so v primerjavi z njimi nekaj kvalitativno novega. Pri odgovoru na ta vprašanja si je

Ehrenfels pomagal z delom Macha z naslovom Prispevki k analizi občutkov iz leta 1886.

Macha je zanimalo vprašanje, na kakšen način spoznamo, da sta dve telesi, ki imata enako

obliko, a sta različne barve, enaki. Ali lahko to spoznamo neposredno s čutili ali šele s

pomočjo razuma? Njegov odgovor:

»Če opazujemo dva enaka lika, ki sta različne barve, kot na primer dve enaki črki

različne barve, bomo na prvi pogled spoznali enako obliko kljub različnosti barvnih

občutkov. Vidne zaznave morajo torej vsebovati enake sestavine občutkov. To so prav

prostorski občutki (ki so v obeh primerih enaki).«

Da sta dve telesi enaki, si lahko razlagamo, da ima naša vidna zaznava v obeh primerih

enake sestavne dele, to je enake barvne občutke. Lahko pa se zgodi, da so barve različne,

telesa pa enaka. Takrat Mach razlaga o prostorskih občutkih, ki jih povezuje s posebnimi

fiziološkimi procesi z motoričnim gibanjem oči (Pihlar, 2008).

2.4 RAZDELITEV GESTALT KVALITET

Ehrenfels je razdelil gestalt kvalitete na dva dela: na časovne gestalt kvalitete in na

nečasovne gestalt kvalitete.

Časovne gestalt kvalitete (ČGK)

K ČGK prišteva tiste gestalt kvalitete, katerih podlago tvorijo elementi z različnimi

časovnimi določili. Za te je značilno, da zaznamo največ en element podlage, za ostale pa

8

velja, da so dane kot spominske ali domišljijske podobe. Pri ČGK ima ključno vlogo čutilo

za sluh. Po Ehrenfelsu slušne gestalt kvalitete bistveno lažje dojamemo kot vidne. O tem

nam priča že vsakdanja izkušnja o tem. Primer plesalke: v spomin si melodijo lažje vtisnemo

kot pa gibe plesalke (Pihlar, 2008).

Nečasovne gestalt kvalitete (NGK)

K NGK sodijo kvalitete, pri katerih nasprotno zaznavamo hkrati vse elemente podlage. Pri

dojemanju ima odločilno vlogo vid. S tem ima vodilno mesto pri prostorskih gestaltih. Poleg

vidnih NGK Ehrenfels navede še slušne NGK, NGK, ki jih posredujejo druga čutila

(pridobimo jih na podlagi abstrakcije) in hibridne NKG (Pihlar, 2008).

Ehrenfels pa si postavi vprašanje, če obstajajo tudi gestalt kvalitete različnih redov. Primer

takih je podobnost, ki jo dobimo na podlagi primerjav gestalt kvalitet nižjega reda in rezultat

je naša primerjalna dejavnost. Običajno jo imenujemo tudi abstrakcija. Gre za predvsem

zapleteno zadevo, saj je težko določiti, v čem se kvalitete ujemajo med seboj. Ehrenfels poda

še nekaj primerov gestalt kvalitete višjega reda. Predstavi jih kot nadpomenke: samostalniki,

glagoli ipd. Meni, da na podlagi duševnih in fizičnih pojavov povezujemo enotne pojme.

Poznamo pa tudi gestalt kvalitete nižjega reda. Gre predvsem za razčlenitev in posplošitev

pojmov. Analiziramo jih posebej, tako da jih razlikujemo med posameznimi elementi, ki

tvorijo njihovo podlago.

Dojemanje gestalt kvalitet je odvisno hkrati od naše zavesti in podlage opazovanega objekta.

Gre predvsem za tiste elemente, ki se vidno razlikujejo od podlage – ozadja. Če vidimo na

belem ozadju rdeč štirikotnik, koliko gestalt kvalitet pri tem zaznamo? Štirikotnik lahko

poljubno spremenimo, ga razpolovimo, dodamo diagonale, včrtamo/očrtamo krožnico idr.

Naštejemo veliko primerov, zato se zdi, da gre za mnoštvo gestaltov, vendar ni tako.

Ehrenfels meni, da gre v resnici samo za tiste primere gestaltov, ki se jasno ločijo od ozadja.

Ehrenfelsovo teorijo je nadaljeval Meinong. Leta 1891 je izdal delo »K teoriji relacij in

kompleksij« (»Zur Theorie der Relationen in Komplexionen«). Meinong nadaljuje

Ehrenfelsovo delo, le da pri tem uvede spremembe. Gestalt kvalitete poimenuje »temelječe

vsebine« oziroma »temelječi predmet«. Obrazloži, da gre za predmete, ki predpostavljajo

obstoj drugih predmetov. Izraz gestalt po nemško pomeni »lik«, ki je predvsem pogost pri

geometriji. Lik je rezultat prostorskih točk, katerega konstruiramo. Meinong poimenuje

9

temelječe predmete tiste predmete, ki so dobesedno grajeni drug na drugem. K njim prišteva

dva pojava; kompleksije in relacije. Pri kompleksijah mora obstajati neka relacija – sestavni

deli niso dovolj. Relacija jih povezuje v kompleksijo kot celoto. Rezultat je, da če pri

kompleksiji usmerimo našo pozornost na njene posamezne dele, dobimo relacijo (Pihlar,

2008).

2.5 RAZISKAVE

Senden (po Pečjak, 2006) je proučeval vedenje sleporojenih otrok, ki so po operaciji

spregledali. Osebe so se zavedale, da nekaj vidijo, le da predmetov niso prepoznale. Na otip

so prepoznale kocko in kroglo, z opazovanjem pa jih niso razlikovale. Še večjo težavo so

imeli pri prepoznavi likov. Belega kvadrata niso več prepoznali, če je bil obarvan npr. z

rumeno svetlobo. Študijo so nadaljevali različni psihologi. Umez (po Pečjak, 2006) opisuje,

kako so učili ozdravljence pravilnega zaznavanja. Ugotovili so, da se vidno zaznavanje

razvija zelo počasi. Pri razlikovanju kvadrata, trikotnika in kroga je večina oseb hitro izločila

trikotnik od drugih dveh likov. Kvadrat in krog pa so še nekaj let zamenjevali (Pečjak,

2006).

Gestalti so eksperimentalne izkušnje prenesli na človeško reševanje problemov. Upoštevali

so naslednje faze:

- Preparacija (pripravljalna faza). V tej fazi spoznamo problem, ga opredelimo in

ugotovimo kaj že znamo in kaj iščemo.

- Inkubacija (faza navideznega mirovanja). Naše razmišljanje poteka v podzavesti.

- Iluminacija (razsvetlitev) – aha efekt, ko se nam rešitev kar naenkrat pojavi.

- Verifikacija (preverjanje ustreznosti rešitve).

10

Slika 3: Faze reševanja problemov (Marentič Požarnik, 2000, str. 79)

Pri tem gestaltisti opozarjajo na pomembno vlogo podzavestnih procesov, ki pripomorejo pri

reševanju problemov. P. Russell opozarja, da reševanje problemov ne poteka linearno (glej

zgornjo sliko), ampak vmes prihaja do zastojev oziroma frustracij (napačnih rešitev), katere

je treba znati premagati (Marentič Požarnik, 2000).

Eden od ključnih pojmov, ki so jih poudarjali gestalti, je bil »celota je več kot le vsota njenih

delov«. Dokaz, da je celota bolj pomembnejša kot posamezni deli, je podrobneje opisal

Navon (po Hayes, Orrell, 1998). Udeležencem je pokazal sliko (Slika 4).

Slika 4: Prepoznava črke

Udeleženci so se morali odločiti, ali gre za črko H ali E. Čas, v katerem so se odločali, ali

gre za veliko črko H ali E, ni nič vplivala na izbor manjših črk. Ta odkritja so pripeljala do

ugotovitve, da vizualni dražljaj vedno začne pri celoti in šele nato preide na njegove dele

(Hayes, Orrell, 1998).

11

2.6 PREPOZNAVANJE VZORCEV

Dvodimenzionalni vzorci nam ne povzročajo težav pri prepoznavi. Mi prepoznamo in

preberemo različne pisave, ne glede na to, kako so napisane: različen vrstni red, različen tip

pisave ipd. Razlog za to je, da se z njimi srečujemo vsak dan. Glavno vprašanje teoretikov pa

je, kako se soočati s to prilagodljivostjo (Hayes, Orrell, 1998).

2.6.1 TEORIJE PREDLOG

Eden najlažjih pristopov pri prepoznavi vzorcev je, da prevzamemo predlogo, tj. »majhno

kopijo vsakega vzorca posebej, ki ga poznamo«. Posamezen vzorec shranimo v dolgotrajni

spomin.

Glede na preproste teorije predlog je vse kar se zgodi v prepoznavanju vzorcev, da se

vizualni dražljaj ujema s predlogo, ki zagotavlja najboljše prileganje. Glavni problem je, da

teorija osnovnih predlog ne razloži, kako mi upravljamo prepoznavo kakršnih koli vzorcev,

kljub veliki spremenljivosti vizualnih dražljajev. Poznamo vsaj dve rešitvi, ki naj bi

odgovorili na to vprašanje. En način je, da opustimo predpostavko, da gre za enotno

predlogo za vsak vzorec, in jo nadomestimo s predpostavko, da je vsak vzorec prisoten v več

predlogah. To bi omogočalo večjo prilagodljivost pri prepoznavi oblik, vendar bi bila teorija

zapletenejša in težje predstavljiva (Hayes, Orrell, 1998).

Gibson trdi, da je v dražljaju že dovolj informacij za zaznavo globine. Teorija neposrednega

zaznavanja trdi, da si človek mora razložiti dražljaj. Gibson trdi, da je vse za našo zaznavo

vsebovano že v dražljaju (Hayes, Orrell, 1998).

2.6.2 POZORNOST

Obseg pozornosti je odvisen od vrste in razporeditve gradiva, predvsem pa na pozornost

vpliva starost. Zaznava pri majhnih otrocih je v desetinki sekunde omejena na le dve do tri

pike, pri odraslih pa do sedem pik. Obseg pozornosti se poveča, ko povezujemo in

združujemo enote v višje enote (pare, trojke ipd.) (Musek, Pečjak, 1996).

12

2.6.3 ORGANIZACIJE ZAZNAV

Zaznave so organizirane na podlagi več principov oziroma načel (Musek, Pečjak, 1996 in

Hayes, Orrell, 1998):

1. Figura in ozadje (lik in podlaga)

Ko gledamo stvari, jih vidimo kot predmete z raznimi oblikami, ki so postavljene pred

ozadjem/podlago. Lik je del čutnega polja, ki je v središču pozornosti. Zdi se nam, da leži

pred podlago. Lik predstavlja nekaj jasnega, razločnega in celovitega, čemur pripada rob. Če

je podlaga nedoločena, slabo organizirana, nejasna in nima prave oblike, ne dojamemo

razločno ali leži pred likom ali za likom.

Slika 5: Lik in podlaga

2. Načelo bližine

Človek organizira dražljaje glede na njihovo medsebojno oddaljenost. Bližnje dražljaje

zazna skupaj. Bližina je lahko prostorska ali časovna. V spodnjem primeru a in b vidimo tri

skupine in ne posameznih ničel in črk x oziroma pokončnih paličic.

13

Slika 6: Načelo bližine

3. Načelo podobnosti

Človek organizira dražljaje glede na njihovo podobnost (vrstice, stolpci, barve, velikost,

podobni liki, krepki in poševni tisk, podobni predmeti ipd.). V nekaterih primerih pride do

spontanega razvrščanja. Bolj ko so si dražljaji podobni, močnejša je težnja, da jih grupiramo

v celoto. V a primeru (Slika 7) vidimo štiri vodoravne črte sestavljene iz enakih likov, ne pa

štiri navpične črte sestavljene iz različnih likov. V b primeru opazimo štiri stolpce enakih

likov. Pri c primeru pa grupiramo črke skupaj in številke skupaj.

Primeri:

Slika 7: Načelo podobnosti

4. Načelo strnjenosti

Človek zazna skupaj dražljaje, ki se nadaljujejo drug zraven drugega, tako da se začeta smer

ali krivulja nadaljuje. To načelo velikokrat prepreči, da bi se združili v »celoto« deli, ki

pripadajo različnim predmetom (Slika 8).

14

Slika 8: Primer načela strnjenosti

5. Načelo simetričnosti

Človek zazna skupaj simetrično razporejene dražljaje. Skupaj grupiramo tiste dražljaje, ki

nas pripeljejo do simetrične ali uravnovešene celote. V a primeru opazimo dve kari, ki se

prekrivata, v b primeru pa tri pare oglatih oklepajev.

Slika 9: Načelo simetričnosti

6. Načelo zaprtosti ali dopolnitve

Človek zazna skupaj zaprte like, kot sta kvadrat ali krog (Slika 10, primera a in b). Vrzeli

opazovalec zapolni s pričakovanji in z izkušnjami. V c primeru opazimo krog obdan s stožci

in v d primeru bel trikotnik.

15

Slika 10: Načelo zaprtosti ali dopolnitve3

7. Načelo gibanja

Človek dojema dele, ki se gibljejo ali menjajo, kot celoto. Primer vojak v gozdu, opazimo ga

šele, ko se premakne.

2.6.4 RAZLIČNI PRIMERI ORGANIZACIJE ZAZNAV

Načela organizacije zaznav se razlikujejo glede na smer in jakost delovanja. Zaznave včasih

delujejo skladno, včasih pa tudi ne. Prevlada najpreprostejša organizacija zaznav.

Primer 1:

Slika 11: Primer zaznav 1

V a primeru zaradi načela bližine vidimo tri pare navpičnih črt in eno navpično črto. V b

primeru opazimo navpično črto in tri pravokotnike (načelo zaprtosti). V primeru 1 prevlada

načelo zaprtosti nad načelom bližine.

3 http://fr.slideshare.net/DrDG/zaznavni-procesi-2-fiziologija-gestalt-konstruktivizem-direktivna-teorija-

perception-2-physiology-gestalt-constructivist-and-directional-theory

http://fr.slideshare.net/DrDG/zaznavni-procesi-2-fiziologija-gestalt-konstruktivizem-direktivna-teorija-perception-2-physiology-gestalt-constructivist-and-directional-theory


16

Primer 2:

Slika 12: Primer zaznav 2

V tem primeru zaznamo dve načeli; načelo bližine (like v stolpce) in podobnosti (vrstice). V

primeru 2 prevlada načelo podobnosti (Kompare, 2001).

2.6.5 ZUNANJI IN NOTRANJI DEJAVNIKI POZORNOSTI

K zunanjim dejavnikom spadajo:

Intenzivnost dražljajev (močna svetloba). Učinek odkrivanja redkih signalov je večji,

če so intenzivnejši. Ob šibkih signalih senzomotorična dejavnost hitreje upada.

Prisotnost dražljajev. Z velikostjo dražljajev raste tudi obseg pozornosti, a se kmalu

ustavi, ker dražljaji zavzemajo prevelik del vidnega polja.

Trajanje in pogostost. Tudi šibki dražljaji lahko zbudijo pozornost, če trajajo dolgo

ali če se pogosto ponavljajo.

Kontrast in spreminjanje dražljajev. S kontrasti zbujamo pozornost (v črno-belem

besedilu izstopa barvna fotografija).

Gibanje (veliki premikajoči se reklamni plakati).

Modalnost dražljajev. Pri barvah imajo prednost rumena, oranžna in rdeča barva

(Pečjak, 1975).

K notranjim dejavnikom spadajo:

Motivacija in potrebe. Pozorni smo na določene stvari, ki jih potrebujemo oziroma si

jih želimo.

Čustva. Usmerjajo pozornost in vplivajo na obseg pozornosti.

Znanje in izkušnje. Na že osvojeno znanje ali poznane stvari postanemo hitreje

pozorni (Pečjak, 1975).

17

2.7 KRITIKE GESTALT PSIHOLOGIJE

Kritiki so gestalt psihologijo kritizirali zato, ker so organizacijo zaznav le opisovali, ne pa

tudi pojasnjevali. Gestalt psihologi so le opisovali prikaz združevanja posameznih elementov

v celoto, medtem ko razlage mehanizmov, ki stojijo za organizacijo zaznav, niso ponudili.

Behavioristi so gestaltistom očitali poudarjanje fenomenologije4 (veda o vseh izkustvenih

pojavih, tako tistih, ki so predmet teoretičnega premisleka kot razumskega spoznanja),

strukturalisti pa so imeli gestaltiste bolj za pripadnike religije kot pa za prave znanstvenike.

Kljub vsem tem kritikam je gestalt teorija med letoma 1920 in 1930 prevzela številne

psihologe v Ameriki, da so se lotili študija fenomena percepcije. Tako so teorijo razširili še

na druga področja, kot so izobraževanje, šport, umetnost itd. (Marentič Požarnik, 2000).

4 http://sl.wikipedia.org/wiki/Fenomenologija

18

3 VAN HIELOVA TEORIJA

Van Hielov model ima pet stopenj, ki se nanašajo na razumevanje geometrije. Vsaka stopnja

opisuje miselne procese, ki so značilni za geometrijsko znanje. Ko učenec osvoji določeno

stopnjo, lahko napreduje na naslednjo. Rezultat razmišljanja na določeni stopnji že vpliva na

predmet razmišljanja na naslednji stopnji. Rezultat med stopnjami je van Hiele prikazal na

spodnji sliki (Van de Walle, 2011).

Slika 13: Stopnje van Hiela

Ta model bom v nadaljevanju podrobneje opisala, zlasti stopnjo 0 in stopnjo 1, saj bo

ključnega pomena pri empirični raziskavi.

3.1 STOPNJE GEOMETRIJSKEGA ZNANJA

3.1.1 STOPNJA 0: VIZUALNA STOPNJA

Pri tej stopnji učenec prepozna in poimenuje oblike glede na videz. Pogosto učenec primerja

oblike z že poznanimi, npr: trikotnik primerja z obliko strehe, kvadrat je kvadrat, ker je

videti kot kvadrat. Oblike pogosto razvršča glede na njihov videz; skupaj poda like, ki so

obrnjeni v isto smer, ga spominja na določeno stvar, npr. hišo ipd. Učenec se na tej stopnji

19

odloča zgolj na podlagi zaznavanja in ne razumevanja. Posamezne like zna poimenovati, ne

zna pa opisati njihovih lastnosti oziroma definicij. Lahko nastane problem, da učenec ne

prepozna določenega lika (npr. kvadrat), ko ena stranica ni v horizontali z učencem (ni

vzporedna z listom).

Pri osvojitvi vizualne stopnje so nam na voljo razne dejavnosti. Pri učencih podamo naloge,

kjer razvrščajo razne like, primerjajo po velikosti in obliki. Podamo jim veliko možnosti za

risanje, sestavljanje, razstavljanje in gradnjo (Van de Walle, 2011).

3.1.2 STOPNJA 1: OPISNA STOPNJA

Pri tej stopnji učenci že poznajo gradnike likov in lastnosti posameznih likov. Ko vidijo

kvadrat, ga prepoznajo, saj ima štiri enako dolge stranice, po dve vzporedni in štiri prave

kote. Značilnosti, kot sta na primer lega in velikost posameznih likov, so bile na prejšnji

stopnji pomembne, sedaj postanejo nepomembne. Učenci se sedaj zavedajo, da določene

oblike tvorijo enako skupino zaradi določenih skupnih lastnosti. Niso pa sposobni razložiti

odnosov med lastnostmi in še vedno ne razumejo definicij (ne zavedajo se, da so kvadrati

podskupina pravokotnikov).

Pri osvojitvi te stopnje poznamo različne dejavnosti, npr: opazovanje in merjenje,

razvrščanje po lastnosti likov ter uporaba različnih modelov. Pri modelih se osredotočimo na

eno lastnost, katero lahko kasneje spremenimo. Prepoznajo posamezni lik po njegovih

lastnostih, tudi če ga ne vidijo pred seboj.

3.1.3 STOPNJA 2: NEFORMALNA DEDUKCIJA

Predmet razmišljanja na drugi stopnji so lastnosti oblik. Učenci na tej stopnji so sposobni

razmišljati o lastnostih geometrijskih oblik, ne da bi ob tem pomislili na konkretno obliko.

Učenci zaznajo in razumejo odnose med lastnostmi in oblikami. Razumejo logične

implikacije in vključevanje oblik v skupine. Rezultat razmišljanja na drugi stopnji so odnosi

med lastnostmi geometrijskih oblik. Razumejo, da je lik opredeljen že z lastnostmi

(definicijo). Razumejo, da je npr. kvadrat pravokotnik.

20

3.1.4 STOPNJA 3: FORMALNO DEDUKTIVNA STOPNJA

Predmet razmišljanja na stopnji 3 so odnosi med lastnostmi geometrijskih oblik. Učenci na

tej stopnji preidejo od razmišljanja o lastnostih k implikacijam in dokazovanju. Učenci

oblikujejo dokaze s pomočjo aksiomov, teorij, definicij, rezultatov ipd. in jih utemeljijo. Ta

stopnja je značilna za učence na visokošolski ravni. Na stopnji 3 dijak razume deduktivni

aksiomatski sistem za Evklidovo geometrijo.

3.1.5 STOPNJA 4: STROGO MATEMATIČNA STOPNJA

Predmet razmišljanja na stopnji 4 so deduktivni aksiomatski sistemi za geometrijo. To je

najvišja stopnja po van Hielovem modelu. Značilna je za univerzitetno raven študija

matematike. Študenti so na tej stopnji sposobni razumeti uporabo posrednega dokaza.

Razumejo neevklidske sisteme in formalne vidike dedukcije (vpeljevanje in primerjava

matematičnih sistemov) (Van de Walle, 2011).

3.2 NAPREDOVANJE SKOZI STOPNJE

Napredovanje skozi stopnje zahteva geometrične izkušnje. Učenci morajo raziskovati,

govoriti o tem in pridobivati izkušnje z vsebino na naslednji stopnji. Hkrati pa morajo

povečati izkušnje na obstoječi ravni.

Vloga učitelja je zelo pomembna. Učitelj se mora prilagajati različnim stopnjam. Če učenec

ob koncu osnovne šole doseže stopnjo 2, ga je treba pravilno usmerjati in spodbujati naprej,

da bo dosegel še višje cilje. Pri vsaki stopnji so ne samo dobrodošli, vendar nujni pripomočki

kot so: skice, računalniški modeli, fizični materiali ipd. (Van de Walle, 2011).

Van Hiele je opredelil še nekaj značilnosti pri ravneh geometrijskega mišljenja. Opredelil je,

da ima vsaka raven svoje jezikovne simbole in svoj sistem zvez, ki povezuje te simbole. Te

zveze so lahko na eni ravni pravilne, na drugi ravni pa se izkažejo za napačne. Navaja tudi,

da lahko ugotovimo, na kateri stopnji učenec je, tako da opazujemo njegov način reševanja

geometrijskih problemov. Lahko se zgodi, da učenec na stopnji 0 določa dane like glede na

njihove značilnosti, vendar se le-teh ne zaveda.

21

Van Hiele je še opisal problem, ki lahko nastane pri sporazumevanju med učencem in

učiteljem. Učenec in učitelj lahko razmišljata na različnih stopnjah in nihče od njiju ne uspe

slediti miselnemu procesu drugega. Pomembno je, da se učitelj zave, na kakšen način

razmišlja učenec, in na podlagi tega določi stopnjo, na kateri je učenec (Van de Walle,

2011).

3.3 POUČEVANJE GEOMETRIJE SKOZI IGRO

Van Hiele5 v svojem delu poudarja, da se za otroke učenje geometrije začne skozi igro. Pri

poučevanju geometrije predlaga različne dejavnosti, kot so mozaik, sestavljanje puzzlov; kot

primer opiše tangram. Podrobneje in s primeri predstavi učiteljem, kako moramo učiti

geometrijo. Navede nekaj idej in podrobneje predstavi uporabo sedemdelnega tangrama

(Slika 14).

Slika 14: Tangram5

Pri tangramu preko igre raziščemo različne oblike in njihove značilnosti. Tangram je

sestavljen iz sedmih likov: enega pravokotnika, dveh pravokotnih trikotnikov,

enakostraničnega trikotnika, enakokrakega trikotnika in dveh trapezov. Van Hiele opiše

nekaj dejavnosti, ki so ključne za dosego zastavljenih ciljev.5

5 http://print.nycenet.edu/NR/rdonlyres/0EFD73D4-340A-42E2-8EB4-

3BC2A6B05603/38319/30vanHielePlay.pdf

http://print.nycenet.edu/NR/rdonlyres/0EFD73D4-340A-42E2-8EB4-3BC2A6B05603/38319/30vanHielePlay.pdf


22

Sprva učencem pustimo, da sami iz danih likov sestavijo kar želijo; npr. hišo, človeka.

Želimo, da uporabijo svojo domišljijo. Pri tem imamo učitelji dovolj časa, da opazujemo

učence, kako uporabljajo, sestavljajo in opisujejo dane like. Med igro lahko učenci

ugotovijo, da lahko iz dveh likov sestavijo enega. Na primer iz dveh pravokotnih trikotnikov

(št. 5 in 6) sestavijo pravokotnik (št. 3). Podamo jim navodila, da naj poiščejo vse možne

kombinacije. Poiščejo naj tudi primer, ko iz treh likov sestavijo enega. Učenci lahko dane

like polagajo neposredno na izbran lik. Nato jim podamo navodila, da like obrišejo in

razložijo, kako so prišli do danih ugotovitev.6

Naslednja dejavnost vodi učence, da raziščejo vse možne kombinacije, ki jih dobijo, če

sestavijo dva lika skupaj. Če vzamemo trikotnik št. 5 in 6, lahko dobimo 6 različnih

kombinacij.

Pri raziskovanju lahko učenci odkrijejo podobnosti med danimi liki. Če pravilno združijo

lika 2 in 4, nastane lik, ki je podoben liku št. 2 (nastali lik ima enkrat večjo stranico).

Podobni trikotniki lahko nastanejo tudi iz dveh ali treh likov.

Velik izziv za učence je, da lik št. 2 (enakokraki trikotnik) naredijo v povečani obliki.

Poiščejo podobne trikotnike, ki so sestavljeni iz treh, štirih, petih ali celo sedmih likov. Pri

tem učenci ugotovijo, da ne glede na to kolikokrat povečamo dani lik, se stranice povečujejo,

koti pa ostanejo enaki (Slika 15).

Slika 15: Iskanje podobnih trikotnikov6





23

Učenje trikotnikov lahko naredimo tudi zabavno. Učencem podamo trikotnik št. 2 ter jim

naročimo, naj opazujejo njegove stranice. Učenci hitro opazijo, da so vse stranice enako

dolge. Temu sledi poimenovanje trikotnika – enakostranični trikotnik. Pomembno je, da

učenci pri vaji tudi rotirajo dani lik in s tem spoznajo, da lik ostane nespremenjen, prav tako

učenci še raziščejo simetričnost danega lika6.

Ko učenci iščejo določen lik, da sestavijo sestavljanko, se ne vedoč osredotočijo na

značilnosti stranic in kotov določenega lika. Ugotovijo, da so nekateri koti majhni, drugi

veliki, pravokotni, nekateri liki imajo dolge stranice, nekateri vse enake itd., pri tem

učencem vpeljemo poimenovanje kotov, vendar ne po principu formalne definicije. Naloga

učencev je, da primerjajo vse trikotnike ter povedo, v čem so si podobni in v čem se

razlikujejo. Svoje ugotovitve naj preverijo s prekrivanjem danih likov. S to vajo bodo učenci

ugotovili, da velikost kota ni povezana z dolžino stranic.

Za nadaljnjo raziskovanje in spoznavanje kotov vpeljemo izraza ostri in topi kot. Učenci

iščejo kote, ki so manjši od pravega kota (ostri kot), in kote, ki so večji od pravega kota (topi

kot). Učenci kote primerjajo med seboj in iščejo odnose med njimi.7

3.4 KRITIKA VAN HIELOVE TEORIJE

Pierre in Dina van Hiele sta zasnovala 5-stopenjski model (od stopnje 0 do stopnje 4). Kritiki

so stopnje preštevilčili od stopnje 1 do stopnje 5 in dodali stopnjo 0, katero so poimenovali

predspoznavno. Stopnjo 0 so dodali zato, ker so bili mnenja, da je premajhna pozornost do

mlajših otrok.

Van Hielov model stopnje ne povezuje s starostjo učenca. Tako sta lahko tako učenec

četrtega razreda kot visokošolski študent na enaki stopnji, npr. na drugi stopnji po van

Hielovem modelu.





24

Za učenca ni jasno določeno, ali je dosegel posamezno stopnjo geometrijskega znanja. Prav

tako ni določeno, v katero stopnjo učenca točno omejimo. Geometrija je zelo široko področje

in je možno, da učenec dosega različne stopnje znanja glede na ta področja (Wolff, 2011).

Kritiki so predlagali, da se dodajo še podstopnje, vendar ti predlogi niso bili nikoli

realizirani.

25

4 BARVE

Trstenjak pravi, da človek svet oblikuje z barvami, katerim daje nove oblike. Tako je vsaka

oblika ali forma tako rekoč povezana z barvo, če ne že pojmovno, pa vsaj v izvedbah, se

pravi tako barvnih kot likovnih izvedbah. Ugotavlja, da sta barva in lik ozko med seboj

povezana in se dopolnjujeta (Trstenjak, 1996).

Barve lahko preučujemo z vidika različnih ved:

Fizika: barve predstavljajo elektromagnetna valovanja različnih valovnih dolžin,

Kemija: barve so pigmenti,

Psihologija: zaznavanje barv je posledica psihičnega procesa vidnega zaznavanja,

Fiziologija: zaznavanje barv je fiziološki proces.8

Slika 16: Barvni krog9

4.1 LASTNOSTI BARV

Ločimo kromatske barve (rdeča, modra, zelena itd.) in akromatske barve (bela, siva in črna).

Kromatske barve lahko razporedimo v snovni barvni krog. Barve, ki si ležijo nasproti,

imenujemo komplementarne barve: zelena-rdeča, oranžna-modra, rumena-vijolična…(Slika

16). Poznamo primarne in sekundarne barve. Primarne so modra, rdeča in rumena,

8 http://www.debevc.uni-mb.si/hci2003/PDF_2003_predavanja/HCI_12_barve.pdf#page=9&zoom=133,0,453 9 http://www.educa.fmf.uni-lj.si/izodel/sola/2002/di/Cerc/ena/predstavitve.html


http://www.educa.fmf.uni-lj.si/izodel/sola/2002/di/Cerc/ena/predstavitve.html

26

sekundarne barve pa so zmešane iz primarnih barv. Tako dobimo preostale barve (zeleno,

vijolično, oranžno itd.) (Kompare, 2001).

4.2 NASVETI IN PRAVILA UPORABE BARV

V šoli pri ponazoritvi določenih stvari uporabljamo barve. Izbira barve in barvne

kombinacije je zelo pomembna. Pri napačni izbiri barve se mora oko bolj truditi in

posledično napačno določimo detajle. Izbira barv je tudi ključnega pomena pri moji

empirični raziskavi.

Prilagam nekaj nasvetov za izbiro barv10

:

Izogibamo se uporabi parov intenzivnih barv s konca barvnega spektra – intenzivno

rdeča ali vijolična. Oko se mora pri teh barvah bolj truditi. Najboljše kombinacije

parov so rdeča proti zeleni in rumena proti modri.

Izogibamo se sosednjim barvam, ki se razlikujejo v količini modre barve. Modre

barve ne uporabimo pri oznakah, točkah, tankih črtah ipd. Za modro barvo je

značilno, da ima kratko valovno dolžino in posledično težko ločimo detajle.

Če uporabimo barvno ozadje, izberemo barvo, ki je prijetna za oko. Primer dobro

izbranih barv: modra, zelena, rumena, rjava in svetlo rjava. Izogibamo se intenzivni

rdeči, modri in gorčično rumeni. Med ospredjem in ozadjem naj bo razmerje v

kontrastu 3:1, s tem so podrobnosti dovolj dobro razvidne. Če imamo temno ozadje

uporabimo na njem kombinacijo rdeče in modre barve, saj nam to nudi občutek

globine in s tem se ena od teh barv zazna kot bližnja od ostalih barv.

Pri robovih večjih površin uporabimo belo, rumeno, modro ali zeleno barvo, za

katere je značilno, da so manj intenzivne barve. Lahko pa uporabimo tudi črno kot

rob na nenasičenem ozadju.

Če želimo nek del poudariti, uporabimo svetle barve, nasičene, kot so npr. rdeča,

oranžna, rumena ali zelena. Pri tem upoštevamo, da se barve razlikujejo glede na

okolico.

10 http://www.debevc.uni-mb.si/hci2003/PDF_2003_predavanja/HCI_12_barve.pdf#page=9&zoom=133,0,453


27

Izogibamo se kombinaciji visokonasičenih spektralno nasprotnih barv, primer sta

rdeča in modra. Razlog je v akomodaciji očesne leče, kar vodi k nejasnosti in

utrujenosti leče.

Na področju rdeče in škrlatne barve težje prepoznamo razlike v barvnih tonih.

Nadomestimo ju z rumeno ali pa modro. To se kaže predvsem zaradi spektralne

občutljivosti treh tipov detektorjev na očesni mrežici.11

Barva je občutek, ki pri ljudeh izhaja iz zmožnosti očesa za ločevanje treh različnih

filtriranih slik. Na zaznavanje barve vplivajo dolgotrajni pojavi (vzgoja) opazovalca in tudi

kratkotrajni, kot so bližnje barve. Izraz barva označuje tudi lastnost svetlobnih virov, ki jih

lahko oko zaznava.12

Na človeka deluje le omejen obseg dražljajev. Naše čutnice v očesu vzburjajo

elektromagnetni valovi z valovno dolžino od 400 do 800 nanometrov. Občutki barv so

posledica mešanja barv ali barvnih dražljajev (Pečjak 2006). Človek razlikuje približno 150

različnih barvnih odtenkov, največ v modrem in rumenem odtenku. Če upoštevamo še

različne nasičenosti in svetlosti, lahko človek razlikuje do sedem milijonov barvnih

odtenkov (Kompare, 2001).

Svetlobni valovi imajo različne valovne dolžine in vsaka valovna dolžina da različen barvni

občutek. Valovne dolžine, ki veljajo za vakuum, so dane v nanometrih (rdeča barva 700 nm,

rumena 600 nm, zelena približno 500 nm in modra 450 nm) (Musek, Pečjak, 1996).

12 http://sl.wikipedia.org/wiki/Barva

http://sl.wikipedia.org/wiki/Barva

28

5 ELEMENTI UČNEGA PROCESA

Z načinom dela moramo učence navajati na medsebojno sodelovanje, s tem pa jim

omogočimo verbalizacijo njihovih idej in rešitev. Pri tem se med drugimi učijo procesnih

znanj. Med njih spadajo: postavljanje hipotez, napovedovanje, ugotavljanje, presojanje in

sklepanje, opazovanje, ugibanje, postavljanje vprašanj, kritično preverjanje in samostojno

odkrivanje določenih ocen, iskanje lastnosti in pravil, sortiranje in urejanje podatkov,

ustvarjalno in abstraktno mišljenje ipd. (Žakelj 2003)

Od učencev pri matematiki zahtevamo, da so natančni, dosledni, da znajo povezovati,

primerjati, sklepati ter svoja opažanja ustrezno zapisati ter argumentirati.

5.1 POUČEVANJE MATEMATIKE

Citiram A. Žakelj (2003): »Sodobno poučevanje matematike poudarja razumevanje

matematičnih pojmov, problemska in splošna procesna znanja, kar pa zahteva spremembe

tudi v načinu učenja in poučevanja.« Naloge moramo sestavljati tako, da bodo poleg

spoznavanja algoritmov in postopkov vključevale tudi procesna znanja, kot so postavljanje

vprašanj, analiziranje, opazovanje, utemeljevanje.

Kaj opazujemo in kako, je odvisno od sposobnosti opazovanja. Kot učitelji moramo v

razredu ustvariti pogoje, priložnosti, da se učenci učijo opazovati. Tukaj je v ospredju

usmerjanje s postavljanjem ustreznih vprašanj, pogovorom, premišljeno izbiro ciljev

opazovanja. S tem bodo učenci širili svoja znanja, kar bo spodbudilo drugačnost in

kakovostnejše opazovanje. Opazovanje je lahko usmerjeno v podobnosti in razlike, v

predmete ali pojave, v celoto ali posamezne dele (Budnar 2005).

Pri opazovanju je zelo pomembna dejavnost učencev, ki je odvisna od metode izvajanja

pridobivanja znanja, od načina pridobivanja snovi, od uporabe in pristopa k tehnologiji itd.

Učiteljeva naloga je, da v učencu vzbudi radovednost in posledično naredi učenca dejavnega.

Napotki, kako lahko učitelj vodi pouk:

- Po modelu, ki ga vodi sam, učencem omogoča dejavnost v okviru smernic.

- Po modelu, ki ga ponudi učencu, ki ima svojo ustvarjalnost.

29

- Po samostojnem učenčevem modelu, ki pomeni za učenca ustvarjalno pot.

Po teh modelih se lahko odvija tudi opazovanje. Ko imamo odprte vse možnosti za

dejavnost, je odprta pot za ustvarjalnost. Ustvarjalnost je izziv za tiste, ki želijo več. Bistvo

opazovanja kot oblike učnega dela je, da učenci ustvarjalno opazujejo, zavzemajo stališča,

individualno spoznajo bistvo snovi, ki ga izrazijo na sliki, v poročilu, nalogi ipd. (Lipovšek,

Ferjan 2005).

Pri opazovanju je ključnega pomena motivacija. Učenca lahko motiviramo na več načinov; z

enkratnostjo, nenavadnostjo, drugačnostjo, zanimivostjo opazovanega predmeta ipd.

Kot učitelji imamo dve možnosti pri vpetosti opazovanja v kontekst:

a) Učenca opazovalca seznanimo z vlogo opazovanja na poti do rezultata.

b) Učenca opazovalca motiviramo samo za opazovanje in mu prepustimo prosto pot, da

ugotovi, kako se opazovano vklaplja v njegova pričakovanja, predvidevanja, dokaze

itd.

Pri a primeru lahko ustvarjalnost pričakujemo šele na koncu in šele takrat lahko učenca

povprašamo, kako bi izvedbo naloge zastavil drugače. Pri b primeru se spodbuja

ustvarjalnost učenca. Pot do cilja ni tako predvidljiva in ne zagotavlja enosmerne časovne

gospodarne poti do ciljev, katere je zastavil učitelj. Recept za izbiro prave poti je, da kot

učitelji izberemo kombinacijo obeh, saj oba pristopa temeljita na procesu učenja in

poučevanja s poudarkom na aktivnem učenju. Pri obeh primerih spodbujamo opazovanje,

preiskovanje, izbiranje, primerjanje, sklepanje ter kritično razmišljanje. Pri tem je

pomembno, da učenec povezuje znanje z obstoječim, ne le znotraj predmeta matematike,

ampak tudi medpredmetno (Lipovšek, Ferjan 2005).

30

5.2 SPOZNAVANJE POJMOV KOT IN TRIKOTNIK

Učenci spoznajo kot prvič v četrtem razredu. Pri sklopu Geometrijski elementi učenci

opazujejo odnos med sosednjima stranicama v večkotniku (pridobivanje izkušenj za

poznejše vpeljevanje kotov). V petem razredu opazujejo in primerjajo kote v večkotniku,

prav tako opazujejo in primerjajo kote, ki nastanejo pri sekanju premic. V šestem razredu

učenci osvojijo pojem kot, s tem osvojijo tudi pojme in simboliko, vrste kotov, rišejo kote ter

grafično in računsko določijo vsoto in razliko kotov (Učni načrt za matematiko, 2011).

Učenci se s koti in trikotniki srečujejo v vsakdanjem življenju. Svoja pojmovanja o kotih

uporabljajo v pogovornem jeziku.

Napačna razumevanja pri kotih najpogosteje izrazijo pri primerjavi dveh kotov; kateri kot je

večji oziroma manjši. Najpogostejša napaka, ki jo učenci navajajo, je, da skladna kota nista

enaka, ker sta kota v različnih legah.

Učenci kote različno poimenujejo (Dickson, 1993):

kot je kot vogal;

kot je kot točka;

kot je kot izvor;

kot je kot rotacija;

kot je kot dve spojeni črti.

Najpogostejša napaka pri izražanju se pojavi, ko učenci opisujejo odnos med kotom in

rotacijo: »Koti imajo zasuk«, »Koti se sučejo«, »Koti kot zasuk« idr. Rotacijo običajno

učenci prvič spoznajo pri vrtenju teles. Res je, da nekatere rotacije izvajamo pogosteje kot

druge, npr. »Obrni se v desno«, »Zavij polkrožno«, »Obrni se naokrog«. S tem učence

navajamo na pogovorni jezik, namesto da bi jim rekli: »Zasuk za 45 stopinj v desno«,

»Zasuk za 180 stopinj«, »Zasuk za 360 stopinj«.

Rotacija je zelo zahtevna transformacija. Učenci do desetega leta mislijo, da se pri rotaciji

dolžine spremenijo. Rotacijo po učnem načrtu obravnavamo v drugem vzgojno-

izobraževalnem obdobju pri sklopu Transformacije.

31

Poglejmo, kako učenci postopoma spoznajo transformacije:

Učenci v četrtem razredu prepoznajo simetrične oblike, določijo simetralo likom in

predmetom.

V petem razredu prepoznajo in oblikujejo simetrične oblike, oblikujejo vzorce s

premiki in z vrteži.

V šestem razredu oblikujejo vzorce s premiki, z vrteži in zrcaljenjem.

V sedmem razredu poznajo transformacije (zrcaljenje, premik, vrtež) in njihove

lastnosti, zrcalijo točko, premico, daljico, kot, lik čez izbrano točko oziroma premico,

opišejo lastnosti zrcaljenja in ga simbolično zapišejo itd. (Učni načrt za matematiko,

2011).

Učenci razlikujejo kote in trikotnike po tem, da ima trikotnik tri točke, medtem ko naj bi bil

kot sam po sebi točka (kar seveda ni res).

5.2.1 POJEM VELIKOSTI KOTA IN DIDAKTIČNI NASVETI

Velikost kota si učenci razlagajo na različne načine. Poglejmo nekaj tipičnih napak oziroma

razlag učencev:

Učenec si razlaga, da je desni kot večji, saj ima daljša kraka (Slika 17):

Slika 17: Velikost kota, opisani z dolžino krakov

32

Učenec meni, da je desni kot večji, saj ima daljši lok (Slika 18):

Slika 18: Velikost kota, opisana z lokom

Učenec meni, da dana kota nista skladna (Slika 19):

Slika 19: Velikost kotov v različnih legah

Kerslake (po Dickson, 1993) se strinja, da učitelji prevečkrat uporabljajo za predstavitev

geometrijskih likov standardne oblike in postavitve likov (Slika 20, primer a). Za učence je

težko posploševati take koncepte, ko so le redko soočeni z ilustracijami, kot so prikazane na

Sliki 20, b primer (po Dickson, 1993).

33

Slika 20: Predstavitev geometrijskih likov (po Dickson, 1993, str. 30)

Raziskave kažejo (Dickson, 1993), da trikotnik na Sliki 20, primer b, učenci pri starosti 8 let

prepoznajo v 65 %, pri devetih letih 50 % in pri desetih letih 67 %. Uporaba različnih leg pri

ponazoritvi likov, kotov ipd. je zelo pomembna, zato bi jo morali učitelji čim večkrat

uporabljati. Pri ponazoritvi skladnih kotov lahko kot pripomoček uporabimo uro. Učencem

na primerih pokažemo, da sta dva kota skladna, čeprav sta v različnih legah.

Dober primer je tudi (Slika 21), ko morajo učenci dane kote razvrstiti po velikosti. Ne le, da

so rotirani, imajo tudi loke, ki so različno dolgi. Pri tej nalogi preverimo učenčevo

razumevanje pojma velikost kota.

Slika 21: Razvrščanje kotov po velikosti (po Dickson, 1993, str. 77)

34

Ko morajo učenci primerjati dva kota, jih pogosto vprašamo, kateri je manjši oziroma večji.

Če gre za manjši kot, si učenci velikokrat predstavljajo kot kot točko, zato imajo pri

reševanju oziroma pri razumevanju težave. Bolje je, da vprašamo učence, kateri kot je

ostrejši oziroma kateri je bolj top.

Ponazoritev velikosti kota je ključnega pomena. Učenci velikost kota velikokrat napačno

razumejo (velikost kota je dolžina loka, dolžina krakov ipd.). Najboljša ponazoritev velikosti

kota je z razpršenostjo (Slika 22). Tako učencem predstavimo, da kot ni omejena množica.

Velikosti kota ne povežemo z »ostrostjo«.

Slika 22: Dobra ponazoritev kota

5.2.2 OBLIKE TRIKOTNIKOV IN NJIHOVE ZNAČILNOSTI

Tukaj se bom osredotočila na trikotnike in kote, saj jih kasneje uporabim pri preverjanju, ki

sem ga sestavila za učence.

Proclus (Prokl), grški filozof in matematik, je razdelil trikotnike glede na stranice in nato na

notranje kote. Trikotnike je klasificiral takole:13

1. enakostranični trikotnik,

2. pravokotni enakokraki trikotnik,

3. topokotni enakokraki trikotnik,

4. ostrokotni enakokraki trikotnik,

5. pravokotni raznostranični trikotnik,

6. topokotni raznostranični trikotnik,

7. ostrokotni raznostranični trikotnik.

13 http://en.wikipedia.org/wiki/Proclus

http://en.wikipedia.org/wiki/Proclus

35

Van de Walle (2011) v svojem delu razvrsti trikotnike po stranicah in kotih ter jih opiše

(Tabela 1). To klasifikacijo uporabljamo tudi v naših šolah.

Kategorije dvodimenzionalnih oblik – trikotniki:

OBLIKA OPIS

TRIKOTNIKI Mnogokotnik z natančno tremi stranicami.

Razvrščeni po stranicah

Enakostranični trikotnik Vse stranice so enako dolge.

Enakokraki trikotnik Vsaj dve stranici sta enako dolgi.

Raznostranični trikotnik Nobeni dve stranici se ne ujemata v dolžini.

Razvrščeni po kotih

Pravokotni trikotnik Trikotnik vsebuje en pravi kot.

Ostrokotni trikotnik Vsi koti so manjši od pravega kota.

Topokotni trikotnik En kot je večji od pravega kota.

Tabela 1: Razvrstitev trikotnikov in opis

Na van Hielovi stopnji 0 morajo učenci pridobivati čim več izkušenj. Podamo jim čim več

različnih trikotnikov. Pozorni smo, da trikotniki niso vsi enakostranični in da vrh trikotnika

ni vedno zgoraj na sredini. Nekateri liki naj imajo ravne stranice, drugi pa krive. S tem bodo

učenci izločili neustrezne oblike.

Na stopnji 1 se učenci osredotočijo na lastnosti posameznih likov. Učenci spoznajo in se

naučijo prava imena posameznih likov in njihovih podskupin.

5.2.3 RAZLIČNE VAJE

5.2.3.1 TRIKOTNIKI

Učenci naj izrežejo različne trikotnike, tako da bo vsak ustrezal določenemu delu v tabeli

(Tabela 2). Zapolniti je treba celotno tabelo. Noben trikotnik ne sme pripadati dvema

skupinama.

36

Enakostranični

trikotnik

Enakokraki trikotnik

(ki ni enakostraničen)

Raznostranični

trikotnik

Pravokotni trikotnik

Ostrokotni trikotnik

Topokotni trikotnik

Tabela 2: Vaja 1

Kot vemo, dveh trikotnikov ne moremo izrezati/narisati. Učenci, ki imajo učne težave, ne

bodo takoj ugotovili, da dveh trikotnikov v dani tabeli ni mogoče izrezati. S preizkušanjem

bodo prišli do spoznanja, da taka trikotnika ne obstajata. Drugi bodo to zgolj ugotovili s

primerjanjem kotov in stranic (Van de Walle, 2011).

Vizualizaciji bi lahko rekli »geometrija narejena z umom naših oči«. To vključuje, da si

sposoben ustvariti mentalne slike raznih oblik in jih v mislih obračati, tako da veš, kako je

videti dano telo iz drugih zornih kotov. S tem tudi napoveš rezultate različnih transformacij.

Vsaka dejavnost, ki vsebuje učenčevo razmišljanje, manipuliranje in prenos raznih oblik

miselno ali pa da predstavi obliko, kako jo vidi vizualno, bo prispevala veliko k razvoju

učenčevih vizualnih sposobnosti (Van de Walle, 2011).

Vizualizacija po van Hielovi na stopnji 0: Naj spomnimo, da učenec na tej stopnji prepozna

obliko le na podlagi tega, kako je videti. Za vizualne dejavnosti na tej stopnji bodo učenci

uporabljali različne fizične oblike in skice. Spodbujamo jih, da te oblike opazujejo z

različnih zornih kotov. Na tej stopnji poznamo različne vaje. Podamo mu določeno obliko in

učenec nam mora povedati število različnih dobljenih oblik, s tem da obliko miselno obrača

(Van de Walle, 2011).

37

6 PREGLED UČBENIKOV IN DELOVNIH ZVEZKOV

V tem poglavju so predstavljeni izbrani učbeniki, delovni zvezki in slikovno gradivo za šesti

in sedmi razred predmeta matematika. Namen je ugotoviti, kako učence na različne načine

motivirajo za opazovanje. Podrobno so predstavljene posamezne naloge, ki so zastavljene v

učbeniku.

6.1 PRESEČIŠČE 5

Učbenik je namenjen za peti razred osemletne osnovne šole in za šesti razred devetletne

osnovne šole za predmet matematika.

Ponazoritev pojma kot je jasna in pregledna. Uporabljene so barvne slike. Učenci morajo

dane kote razvrstiti po velikosti (koti, ki so manjši od četrtine kroga, manjši od polovice

kroga ipd.). Danih kotov ne merijo, ampak jih le opazujejo. Med nalogami ni primerov, da bi

učenci iskali skladne kote. Največkrat se v navodilu pojavita besedi »oceni« in »primerjaj«,

ki opomnita učenca, da rešuje nalogo le z opazovanjem.

V učbeniku je dana naloga (Slika 23), kjer morajo učenci oceniti, kateri kot je največji in

kateri najmanjši. Pri tem spodbujajo učenčevo opazovanje in preverjajo razumevanje

velikosti kota. V nalogi so poleg standardnih ponazoritev velikosti kota narisani tudi koti v

različnih legah (rotirani). Žal pa sta rešitvi dane naloge v »standardni« obliki, tako da je en

krak v horizontalni legi. Nalogo bi lahko dopolnili tako, da vse narisane kote razvrstijo po

velikosti od najmanjšega do največjega.

Slika 23: Naloga 1 (Presečišče 5, str. 203)

38

6.2 PRESEČIŠČE 7

Učbenik za matematiko v 7. razredu devetletne osnovne šole.

Ponazoritev kotov v učbeniku je jasna in zelo pregledna. Uporabljene so barve in slike. V

učbeniku je opisan dober primer dveh skladnih kotov. Opisan je z besedo in barvno sliko.

Kota sta v različnih legah (en kot je zasukan). Na strani 18 je naloga (Slika 24), da morajo

učenci oceniti velikost kota. Opazovani kot nato preverijo z merjenjem. Koti so predstavljeni

v različnih legah. Iskani kot je rahlo obarvan. Izbira barv je neprimerna, nekaterih barv se

skoraj ne zazna. Koti so narisani zelo na majhno, tako da učenec težje izmeri dani kot.


V Presečišču 7 so opisani trikotniki. Razporejeni so glede na stranice in kote. Narisani

trikotniki so v standardni legi, tako da je en krak v horizontalni legi. Pri opisu posameznega

trikotnika so uporabljene barve. V učbeniku so uporabljene besede »oceni«, »opiši«, »oglej«,

ki učenca pripravijo do opazovanja. V učbeniku je naloga, da mora učenec poiskati pare

skladnih trikotnikov. Nalogo lahko učenec reši zgolj z opazovanjem. Dani trikotniki so v

različnih legah in različno obarvani (Slika 25).

39


V učbeniku je na strani 210 naloga (Slika 26), ki od učenca zahteva, da izpolni tabelo.

Opazovati mora dane trikotnike in jim določiti lastnost. Navodilo je nejasno. Od učenca

zahteva, da v polja vpiše število trikotnikov posamezne vrste. Bolje bi bilo, če bi pisalo: »V

tabelo vpiši številko narisanega trikotnika. Katerih trikotnikov je največ?« Ponazoritev

trikotnikov je dobra, saj so uporabljene barve in so liki narisani v različnih legah.


40

V Presečišču 7 je tudi naloga, ki narekuje, da učenec oceni, za kateri trikotnik gre. V

navodilu je poudarjeno, da osnovnica ni vedno navpična. V nalogi sta narisani dve vodoravni

črti, ki pomagata učencu pri prepoznavi trikotnika. Naloge naj bi se v učbeniku stopnjevale

po težavnosti. Dana naloga (Slika 27) je v zadnjem sklopu (osno simetrični trikotniki).

Umestitev dane naloge bi morala biti pred nalogami, kot so npr. na Sliki 26.


6.3 SKRIVNOSTI ŠTEVIL IN OBLIK 7

V učbeniku so opisani trikotniki sprva po kotih in nato po stranicah. Trikotniki so

predstavljeni tako, da je osnovnica v horizontalni legi. V celotnem sklopu je uporabljena le

modra barva. V učbeniku so predstavljeni skladni trikotniki. Primeri so dobro opisani in

označeni.

V učbeniku je zastavljena naslednja naloga (Slika 28).

41

Slika 28: Naloga 6 (Skrivnosti števil in oblik 7, str. 135)

Navodilo naloge je, da morajo učenci dane trikotnike razvrstiti glede na stranice in kote. V

navodilu ni obrazloženo, zakaj sta dva prostora v tabeli obarvana modro. Pri določanju

lastnosti je v veliko pomoč oznaka za pravi kot v trikotniku.

42

V zbirki vaj (2. del) Skrivnosti števil in oblik 7 sta na strani 71 zastavljeni nalogi:

Slika 29: Naloga 7 (Skrivnosti števil in oblik – zbirka vaj, str 71)

Nalogi sta dobro zastavljeni. V prvi nalogi je v pomoč narisan pravi kot. Naloge učenec

rešuje zgolj z opazovanjem. Liki so enobarvni in predstavljeni v različnih legah.

6.4 STIČIŠČE 7

Stičišče 7 je učbeniški komplet, ki vsebuje tudi mapo z učnim gradivom, namenjen je

učencem in učiteljem za preglednejše zapiske. V njem so sestavljene naloge po posameznih

poglavjih. Na začetku poglavja je opisano, kaj bomo ponovili, obravnavali, spoznali ipd. V

43

celotnem gradivu so uporabljene barve. Različne barve v navodilu predstavljajo različne

stopnje zahtevnosti.

V gradivu je na strani 46 predstavljena naloga:

Slika 30: Naloga 8 (Stičišče 7, str. 46)

Trikotniki v dani nalogi so majhni, barvni in v različnih legah.

6.5 KOCKA 7

Učbenik je nazoren, uporabljene so barve in slike. Naloge so jasno zastavljene. V učbeniku

zasledimo besedi »opazuj« in »oglej si«, ki učenca pripravita do opazovanja. V učbeniku so

predstavljeni trikotniki različnih oblik. Vsi trikotniki so narisani v različnih legah.

Na strani 144 je naloga:

44

Slika 31: Naloga 9 (Kocka, str. 144)

Trikotniki so nazorno narisani in dovolj veliki. Navodilo je jasno, za pomoč je že napisana

ena rešitev. V trikotnikih so narisani koti (pravi in topi). Ne razumem smisla v označevanju

kotov, če so že narisani, zakaj niso narisani v vseh trikotnikih (npr. trikotnik številka 9).

Menim, da lahko te oznake zavedejo učenca pri opazovanju in reševanju naloge. Nekateri

trikotniki imajo z modro barvo obarvana dva ali tri krake. Obarvani kraki so odveč, saj

učencem s tem povedo lastnost, da gre za enakokraki oziroma enakostranični trikotnik.

45

7 EMPIRIČNI DEL

7.1 NAMEN EMPIRIČNEGA DELA

Pri geometriji se pogosto srečamo s primeri nalog, ki so dvoumne za učence. Tudi zato, ker

imajo nekateri učenci težave z opazovanjem določenih oblik, predmetov, teles, grafov ipd.

Zakaj nekdo nekaj »vidi«, »zazna«, spet drugi ne?

Kot bodoči profesorici matematike se mi poraja vprašanje, kako predstaviti geometrijsko

snov oziroma nalogo, da jo bodo učenci kar se da ustrezno razumeli, dojeli. S tem namenom

sem se odločila pisati to diplomsko nalogo, posebej velja to za empirični del. Na konkretnih

nalogah sem želela preveriti in preučiti, kako učenci opazujejo pri geometriji.

Ugotavljanje podobnosti je pomembna dejavnost, ker na njej temelji razvrščanje.

Razvrščanje pa omogoča prenos izkušenj z enega telesa na vsa podobna telesa, ki sodijo v

isti ekvivalenčni razred.

Opazovanje je »sredstvo«, ki nas senzibilizira za pomen spretnosti v okviru dejavnosti,

hkrati pa tudi za raznolike dejavnike, ki vplivajo na izvajanje dejavnosti. Pri reševanju

preizkusa srečamo različne vplive (Bačnik, 2005):

- vpliv počutja ob zadani nalogi, na izvajanje in s tem odnos do naloge;

- vpliv navodil, razumevanje, formulacija naloge (jasnost, nedvoumnost);

- vpliv vrste naloge, problematika rešitev (odprtost, zaprtost naloge);

- vpliv osebnih okoliščin (npr. starost in s tem subjektivnosti);

- vpliv predznanja, stroke (obvladanje, omejenosti);

- vpliv drugega, kolega, skupine;

- vpliv okolja (lokalno, globalno);

- vpliv časa itd.

Učitelj je tisti, ki snov razlaga, postavlja in izbira tipe nalog. Njegova naloga je, da izbere

primerne dejavnosti, da so v procesu reševanja vključeni sklepanje, razmišljanje,

izpeljevanje ugotovitev. Matematična kompetenca vključuje matematično razmišljanje

(logično mišljenje in prostorsko predstavo), matematično pismenost, predvsem pa poudarja

vlogo, ki jo ima matematika v vsakdanjem življenju (Učni načrt za matematiko, 2011).

46

V tretjem vzgojno-izobraževalnem obdobju učni načrt razdeli snov na tri teme: geometrija in

merjenje, aritmetika in algebra ter obdelava podatkov. Vsaka tema je razdeljena na sklope.

Učenci v tretjem vzgojno-izobraževalnem obdobju med drugimi pri temi geometrija in

merjenje razvijajo geometrijske predstave v ravnini in prostoru.

Tema geometrija in merjenje je razdeljena na dva sklopa; geometrijski liki in transformacije.

V sedmem razredu je tej temi namenjenih 46 ur. V sklopu geometrijski pojmi učenci opišejo

trikotnik (označijo oglišča, stranice, kote), razvrščajo trikotnike glede na kote in stranice ter

spoznajo odnos med dolžinami stranic (trikotniško pravilo), razlikujejo notranji in zunanji

kot trikotnika, načrtajo trikotnike, podobno tudi za štirikotnik.

V učnem načrtu so navedeni učni cilji, standardi znanja in minimalni standardi znanja.

Mnogi cilji in standardi znanja se posredno ali neposredno nanašajo na opazovanje.

V šestem in sedmem razredu npr. minimalni standardi narekujejo, da učenec:

prepozna, opiše in nariše lego točke in premice ter dveh premic;

primerja kote po velikosti;

oceni, meri in primerja količine;

poimenuje trikotnik glede na stranice in kote (Učni načrt za matematiko, 2011).

V učnem načrtu za matematiko so še opisana didaktična priporočila. Tam so zapisana

navodila, kako naj učitelji vodijo pouk. Priporočajo, da naj pouk izhaja iz izkustvene ravni

učencev, ki se postopoma v višjih razredih ob različnih dejavnostih nadgrajuje v formalno

matematiko. Dodatno motivacijo lahko dosežemo s konkretnimi ponazorili, z različnimi

didaktičnimi pripomočki, izzivi, s sodobnimi gradivi ipd. Učenci naj spoznavajo matematiko

sprva preko izkustva materialnega sveta, torej tudi opazovanja, nato preko govornega jezika,

ki generalizira to izkustvo, v naslednji fazi preko slike in prikazov ter šele nazadnje na

simbolni in abstraktni ravni (Učni načrt za matematiko, 2011).

47

7.2 CILJI

Ugotoviti želim, kako učenci opazujejo pri geometriji. Kateri elementi vplivajo na

opazovanje danih kotov in trikotnikov? Kaj je tisto, kar učence pritegne k reševanju, jih

motivira, prevzame njihovo pozornost? Zanima me tudi, katere so pogoste napake, ki jih

učenci naredijo pri opazovanju.

Zastavila sem si naslednja raziskovalna vprašanja:

RV1: Kako barva in lega slike geometrijskih objektov vplivata na prepoznavanje

geometrijskih objektov?

RV2: Kako bližina, barva in lega slik geometrijskih objektov vplivajo na

prepoznavanje skladnosti geometrijskih objektov?

RV3: Kako izbira barve lika in barve ozadja lika vplivata na prepoznavanje likov?

RV4: Kako povezanost oglišč, stranic oziroma ploskve lika vplivajo na prepoznavanje

likov?

48

7.3 METODOLOGIJA

7.3.1 OPIS VZORCA

Podatke, ki sem jih potrebovala za raziskavo, sem zbirala aprila leta 2013. V raziskavo sem

vključila učence sedmih razredov devetletne osnovne šole. V raziskavi so sodelovali učenci

dveh oddelkov, skupaj 47 učencev OŠ Riharda Jakopiča v Ljubljani. Vzorec je namenski, saj

sem potrebovala pri raziskavi le učence sedmih razredov devetletne osnovne šole. V sedmem

razredu učni načrt predvideva obravnavo trikotnikov.

7.3.2 METODE IN TEHNIKE ZBIRANJA PODATKOV

Raziskavo sem izvedla s pomočjo preizkusa, kamor so učenci zapisovali svoja opažanja.

Učenci so preizkus reševali individualno. Preizkus je bil popolnoma anonimen. Časovno

učenci niso bili omejeni. Preizkuse sem razdelila učencem v dveh oddelkih med uro

matematike. Med reševanjem sem bila prisotna v razredu. Rešene preizkuse sem dobila

takoj, ko so učenci končali z reševanjem. Pri reševanju jim ni bila dovoljena uporaba raznih

pripomočkov (geotrikotnik, šestilo, ravnilo ipd.). Vsak oddelek je zaključil reševanje po

približno tridesetih minutah.

Učenci so zapisovali svoja opažanja individualno. Med reševanjem sem imela dovolj časa,

da sem jih opazovala pri njihovem delu. Prvi oddelek je reševal povsem samostojno, medtem

ko je bilo v drugem oddelku opaziti medsebojno tekmovalnost. Tekmovali so, kdo bo zbral

več opažanj (skladnih kotov, trikotnikov). To je vsekakor motiviralo učence za opazovanje.

Hkrati pa so zapisali več napačnih zaznav. Čeprav sem v navodilo zapisala »Upoštevaj, da

nekateri koti nimajo para!«, so učenci zapolnili celotno tabelo in s tem našteli vse kote.

Pred izvedbo preizkusa sem s pilotiranjem preverila ustreznost preizkusa. Zanimalo me je,

koliko časa bodo učenci reševali preizkus, ali so navodila dovolj jasna in če so kakšne

naloge preveč zahtevne.

Pilotski preizkus je reševalo šest učencev. Časovno niso bili omejeni. Med reševanjem so me

opozorili na nejasnosti. Na podlagi rešenih preizkusov sem ugotovila, da sta dve nalogi

49

nejasno napisani. Test je bil preobsežen, saj so ga učenci reševali 50 minut. Nekateri učenci

so imeli težave, ker so pozabili lastnosti enakostraničnega in enakokrakega trikotnika. Ker v

mojem preizkusu preverjam kako učenci opazujejo, sem se odločila, da pred reševanjem

namenim nekaj trenutkov, da z učenci ponovim osnove trikotnikov.

V nadaljevanju diplomskega dela vam predstavljam preizkus, ki sem ga uporabila za

raziskovanje.

7.4 PREDSTAVITEV PREIZKUSA

Preizkus je sestavljen iz štirih nalog. Učenci svoje ugotovitve zapisujejo v razpredelnice in

na črte z odgovorom. Zapišejo tudi svoja opažanja in razloge. Preizkus je priložen v prilogi.

Preizkus je napisan v programu Microsoft Word, geometrijske slike pa so narisane v

programu Geogebra.

Pri prvi nalogi sem želela, da učenci zgolj z opazovanjem poiščejo med seboj skladne kote.

Pri tem sem želela, da napišejo tudi utemeljitve, zakaj tako mislijo. Pri b delu naloge so imeli

učenci podana oglišča, ki predstavljajo različne trikotnike. Učenci so morali zgolj na podlagi

opazovanja napisati, za katere vrste trikotnikov gre.

Pri drugi nalogi sem vključila obarvane slike kotov. Učenci so morali, tako kot pri prvi

nalogi poiskati skladne kote. V b delu so narisani različni trikotniki s poudarjenimi

stranicami. V c delu pa obarvani trikotniki, ki so podani na barvni podlagi. Trikotnike je

treba razvrstiti v določene skupine. Prav tako tudi v tej nalogi učenci rešujejo naloge zgolj z

opazovanjem.

V tretji nalogi sprašujem učence, ali so dani koti skladni. Koti so predstavljeni v različnih

položajih.

V četrti nalogi so podana le oglišča likov. Učenci morajo poiskati oglišča, ki tvorijo

enakostranični trikotnik.

50

7.5 OBDELAVA PODATKOV

Podatke sem vnesla v statistični program SPSS. Obdelala sem vsak odgovor posebej in tako

dobila frekvenčne porazdelitve. Med seboj sem primerjala tudi aritmetične sredine in

standardne odklone. Grafe sem oblikovala s pomočjo programov SPSS, Microsoft Excel in

Word.

7.6 REZULTATI Z ANALIZO

V nadaljevanju bom opisala in analizirala vsako nalogo posebej.

51

Naloga 1.a

Navodilo naloge:

Kateri koti so med seboj skladni? Dopolni spodnjo tabelo. (Upoštevaj, da nekateri koti

nimajo para!)

Skladna kota Zakaj misliš, da sta skladna?

Rešitev: Skladni koti so: a in i, b in l, d in g, f in h

Graf 1: Uspešnost pri reševanju naloge 1.a

a, i b, l d, g f, h

prazno 4,3 2,1 2,1 2,1

napačen odgovor 12,8 10,6 8,5 40,4

pravilen odgovor 83 87,2 89,4 57,4

0

20

40

60

80

100

120

52

Odgovor »Skladna kota sta d in g« je učencem predstavljal najmanj težav. Kar 89,4 % jih je

pravilno odgovorilo (Graf 1). Kota d in g sta obrnjena v isto smer. En krak je vzporeden z

listom, kar učencem pomaga, da hitreje in pravilno opazijo podobnost med kotoma. Prav

tako učencem nista povzročala težav kota a in i. Kota sta zrcalna; obrnjena eden proti

drugemu. Kota b in l merita 120° in sta edina velika kota. Pri reševanju so učenci uspešno

(87,2 %) opazili par. Pri ugotavljanju skladnosti kotov b in l je bil v veliko pomoč krak, ki je

bil pri obeh primerih v horizontalnem položaju.

V razpredelnici odgovorov sem bila posebno pozorna, katere pare kotov so napisali v prvo

vrstico, torej tiste pare kotov, katere so sprva opazili. Odgovor a, i je bil napisan na prvem

mestu 21-krat (44,7 %), 17-krat odgovor g, d (36,2 %), 6-krat odgovor b, l (12,8 %) in 3-krat

odgovor h, f (6,4 %).

Odgovori učencev na vprašanje »Zakaj misliš, da sta skladna?« so bili:

- »Ker sta enako obrnjena.«

- »Ker sta enako velika.«

- »Izgledata enako – sta skladna.«

- »Na videz sta enaka.«

- »Oba sta ostra kota.«

- »Spominja me na kot 60°.«

- »Oba kota sta malo manjša od pravega kota.«

- »Ker sta si podobna.«

Največ problemov so imeli učenci pri ugotavljanju skladnosti kotov f in h (57,4 %

uspešnost). Kota sta rotirana in obrnjena vsak v svojo smer. Oba merita 75°. Pogosto so

naredili napako, saj so ju enačili s kotom c, ki meri 90°, in kotom j, ki meri 105°.

V nalogi sem opazila kar nekaj napačnih odgovorov. V povprečju se je učenec zmotil kar za

1,53-krat na preizkus (Graf 2).

53

Graf 2: Število napačnih odgovorov pri nalogi 1.a

Napačne kombinacije, ki so jih navedli učenci, so:

Par Število takih odgovorov

e, k 32

h, j 12

b, j 6

c, j 4

h, c 3

Tabela 3: Napačni odgovori učencev pri nalogi 1.a

Kota e (10°) in k (15°) sta najmanjša kota. Veliko učencev (68 %) je napisalo, da sta skladna

(Tabela 3). Njihovi razlogi so bili:

»Ker izgledata enaka.«

»Ker sta si podobna.«

»Ker imata enako obliko.«

»Ker sta majhna.«

»Ker sta najtanjša.«

»Ker sta samo narobe obrnjena.«

»Ker sta edina, ki imata najmanjši kot.«

»Ker sta najmanjša.«

Učenci večinoma iščejo pare tako, da gredo na izločanje. Začnejo s črko a in iščejo njegov

skladni kot. Spet drugi dajo na prvo mesto skladna kota, ki sta si blizu. Odgovor »Skladna

54

kota sta e in k« (e meri 10°, k pa 15°) so učenci napisali na koncu seznama, tako da so

zapolnili celotno tabelo, čeprav je v navodilu pisalo, da so nekateri koti brez para.

55

Naloga 1.b

Navodilo naloge: Podana so oglišča. V tabelo na ustrezna mesta vpiši oznake trikotnikov, ki

imajo zapisano lastnost.

Enakostranični trikotnik Pravokotni trikotnik Enakokraki trikotnik

Rešitve: Enakostranični trikotnik: b, i, j. Pravokotni trikotnik: a, d, e in h. Enakokraki

trikotnik: c, f, g in h.

Graf 3: Uspešnost pri reševanju naloge 1.b

91,5 87,2 87,2

95,7

66

27,7

83

14,9

76,6 80,9

76,6

0

20

40

60

80

100

120

b i j a d e h h c f g

56

Z modro barvo so označeni enakostranični trikotniki, z zeleno barvo pravokotni trikotniki in

z oranžno barvo enakokraki trikotniki.

Učenci so najbolje opazovali primer a in ga pravilno uvrstili, da gre za pravokotni trikotnik

(95,7 %). Največ težav jim je predstavljal primer e. Kar 44,7 % učencev je narobe uvrstilo

dani trikotnik, 27,6 % učencev pa je pustilo prazno. Pri primeru h gre za pravokotni in

enakokraki trikotnik. Samo dva učenca sta odgovorila pravilno, da gre za oba trikotnika.

Večina jih je odgovorila, da gre za pravokotni trikotnik (83 %), nekaj malega (14,9 %) pa, da

gre za enakokraki trikotnik.

Pri reševanju te naloge si je veliko učencev pomagalo s povezovanjem oglišč. Povezovalo

jih je kar 18 učencev od skupno 47 (38 %). Primerjala sem uspešnost pri reševanju tistih, ki

so povezovali oglišča, in tistih, ki jih niso povezovali (Graf 4).

Graf 4: Primerjava uspešnosti

Oglišča v dani nalogi so bila nazorno predstavljena. Uporabljena je bila črna barva oglišč

(pik). Za črno barvo je značilno, da jo uporabimo, če želimo kaj poudariti in nazorno

prikazati. Uporabimo jo na beli podlagi. Iz Grafa 4 je razvidno, da so učenci bolje opazovali

in določili lastnost trikotnikov, če niso povezovali oglišč. Verjetno so povezovali tisti, ki so

imeli več težav pri prepoznavanju.

71,2

85,5

0

20

40

60

80

100

Povezovali Prazno

57

Naloga 2.a

Navodilo naloge: Oglej si kote. Kateri so med seboj skladni? Dopolni tabelo. (Upoštevaj, da

nekateri koti nimajo para!)


Rešitve: a in i, b in c, g in h, f in k

Odgovor »Skladna kota sta a in i« je učencem predstavljal najmanj težav. Pravilno jih je to

ugotovilo 91,5 %. Kota sta obarvana z enako barvo in imata vsak po en krak, ki je vzporeden

z listom. V tem primeru je prevladovalo načelo podobnosti, saj so učenci kota najprej

opazili, ker sta enake barve.

Največ težav so imeli pri odgovoru, da sta kota g in h skladna. Ta odgovor je navedlo le 25,5

%. Kota merita 50°, sta različno obarvana in rotirana vsak v svojo smer.

Kota f in k merita 70° in sta obrnjena v isto smer. Čeprav sta obarvana z drugačno barvo jih

je 80,9 % pravilno ugotovilo, da sta skladna.

Kota b in c sta enake barve, zrcalna in po legi eden zraven drugega. Učenci niso imeli težav

pri ugotavljanju skladnosti teh dveh kotov. V tem primeru pri organizaciji zaznav prevlada

58

načelo bližine. Učenci so kota b in c opazili takoj, saj je njuna medsebojna oddaljenost zelo

majhna.

Graf 5: Uspešnost pri reševanju naloge 2.a

Odgovori učencev »Zakaj misliš, da sta skladna?« so bili

- »Ker sta enake barve.«

- »Enako velika.«

- »Zgleda kot, da se prekrivata.«

- »Podobna velikost.«

- »Enaka na videz.«

- »Ker sta samo okrog obrnjena.«

- »Enako dolg lok.«

- »Enaki legi.«

- »Gledata v isto smer.«

- »Ker sta si blizu.«

Največ učencev je odgovorilo, da sta kota skladna, ker sta enake barve. Tako je odgovorilo

kar 37 % učencev.

a, i b, c g, h f, k

prazno 2,1 2,1 2,1 2,1

napačen odgovor 6,4 12,8 72,3 17

pravilen odgovor 91,5 85,1 25,5 80,9

0

20

40

60

80

100

120

59

V razpredelnici odgovorov sem bila pozorna na prvi odgovor, ki so ga navedli učenci, torej

na skladna kota, ki so ju učenci najprej opazili. Par b,c je bil na prvem mestu zapisan 22-krat

(46,8 %), par a, i 21-krat (44,7 %), par f, k dvakrat (4,3 %), par g, h pa ni bil nikoli napisan

na prvem mestu.

Čeprav je v navodilu pisalo, da so nekateri koti brez para, je kar nekaj učencev napisalo

napačne kombinacije. Kar 29,8 % jih je napisalo še en par (Tabela 4).

Število napačnih kombinacij Frekvenca Odstotek

0 29 61,7

1 14 29,8

2 1 2,1

3 3 6,4

Tabela 4: Število napačnih odgovorov pri nalogi 2.a

Napačne kombinacije, ki so jih navedli učenci, so:

Par Število takih odgovorov

d,j 3

j,i 3

d,h 2

h,f 2

Tabela 5: Napačni odgovori učencev pri nalogi 2.a

Razlogi, da so učenci navedli napačne kombinacije, so bile barve in dolžine lokov na

obarvanem delu kota. Kote, ki so bili enako obarvani, so učenci navedli kot skladne kote (d,

h in i, j). Da sta dva kota enako velika, si razlagamo, da ima naša vidna zaznava v obeh

primerih enake sestavne dele, torej enake barvne občutke. V tem primeru sta kota različno

velika, a enako obarvana. Razlaga za to so nemara tudi prostorski občutki, ki jih povežemo s

posebnimi fiziološkimi procesi in z motoričnim gibanjem oči.

Med pojasnili »Zakaj misliš, da sta kota skladna?« sta dva učenca napisala, da sta kota

skladna, ker imata enako dolg lok. To je eden izmed najpogostejših napačnih odgovorov, ki

ga podajo učenci. Če ima učenec težave pri razumevanju kota, mu ga predstavimo razpršeno

obarvanega.

60

Primerjava parov nebarvnih in barvnih kotov

Primer 1

Primer 2

Primer 3

Primer 4

Tabela 6: Primerjava para kotov naloge 1.a in 2.a

Primer Uspešnost nebarvanih

kotov v odstotkih

Uspešnost barvnih kotov

v odstotkih

Povprečje barvnih in

nebarvnih kotov

1 83 85,1 84,1

2 87,2 91,5 89,4

3 89,4 80,9 85,2

4 57,4 25,5 41,5

Tabela 7: Primerjava uspešnosti

Na podlagi rezultatov ugotavljam, da obarvani koti ne pripomorejo veliko pri opazovanju

skladnosti (Tabela 7). V veliki meri postane to zavajajoče. Učenci nimajo težav pri

ugotavljanju skladnih kotov, če sta kota zrcalna. Mislim, da to velja le za simetrijo preko

horizontalne ali vertikalne simetrale. To nakazujeta primera 1 in 2. Njuna povprečna

uspešnost znaša 84,1 % oziroma 89,4 % (Tabela 7). Večje težave se pojavijo pri rotaciji, kar

je razvidno iz primera 4 (Tabela 6), ko je uspešnost le 41,5 % uspešnost. Ko ponazorimo kot,

61

ki je rotiran, učencem predstavlja veliko težavo. Pri tem izgubijo občutek za določanje

velikosti kota. En kot se jim zdi manjši oziroma večji v primerjavi z drugim.

62

Naloga 2.b

Navodilo naloge: Podani so trikotniki. V tabelo na ustrezna mesta vpiši oznake trikotnikov,

ki imajo zapisano lastnost.


Rešitve naloge: Enakostranični trikotnik: d, f in j. Pravokotni trikotnik: a, c, e in h.

Enakokraki trikotnik: a, b, c, g in i.

Graf 6: Uspešnost pri reševanju naloge 2.b

78,7 83

78,7 78,7 83

31,9

72,3

27,7

72,3

25,5

80,9

72,3

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

d f j a c e h a b c g i

63

V grafu modri stolpci predstavljajo enakostranične trikotnike, zeleni stolpci pravokotne

trikotnike in oranžni stolpci enakokrake trikotnike.

Trikotnika a in c sta pravokotna in enakokraka. 10 učencev (21,3 %) je pravilno odgovorilo,

da a pripada dvema skupinama, pri c primeru pa 11 učencev (23,4 %). Trikotnik e je

predstavljal učencem največ težav, kar 8,5 % je trikotnik napačno uvrstilo, 59, 6 % pa je

pustilo prazno.

Trikotnika k in l sta raznostranična. Za trikotnik k je pravilno ugotovilo, da ne spada

nikamor. 78,7 % učencev, za trikotnik l pa 83 % učencev.

Predvidevam, da so učenci, ki so pravilno umestili trikotnike, razmišljali na van Hielovi

stopnji 1 (opisna stopnja). Učenci so upoštevali lastnosti trikotnikov, lega le-teh ni

pomembna. Da osvojijo dano stopnjo je najpomembneje, da čim več opazujejo in merijo. V

primeru, da učenec ni pravilno umestil danega trikotnika, pomeni, da je še vedno na van

Hielovi stopnji 0 (vizualna stopnja) pri razumevanju geometrijskega znanja.

64

Naloga 2.c

Navodilo naloge: Na sliki so trikotniki. V tabelo na ustrezna mesta vpiši oznake trikotnikov,

ki imajo zapisano lastnost.


Rešitve naloge: Enakostranični trikotnik: a, e in g. Pravokotni trikotnik: b, c, h in j.

Enakokraki trikotnik: b, d, i in f.

65

Graf 7: Uspešnost pri reševanju naloge 2.c

V grafu modro obarvani stolpci predstavljajo enakostranične trikotnike, z zeleno so barvani

pravokotni trikotniki in z oranžno barvo enakokraki trikotniki.

Trikotnik b ima dve lastnosti; je pravokoten in enakokrak. Trije učenci so pravilno ugotovili

obe lastnosti.

Trikotnik a je bil kar 27-krat napisan na prvem mestu v tabeli pod enakostranični trikotnik.

Razlog za to je v barvi trikotnika. Izbrana je intenzivna barva, tako da je učinek odkritja

večji. Ob močnejših signalih je senzomotorična dejavnost še hitrejša/večja.

Trikotnik h je predstavljal učencem največ težav. 19 učencev ga je napačno uvrstilo, sedem

pa jih je pustilo prazno. Izbira barve je dobra, problem pri opazovanju nastopi, ker je

trikotnik rotiran.

Uporabljene so različne barve trikotnikov. Pravilo je, da izbiramo barvo ozadja, ki je prijetna

za oko. Rjava spada med dobro izbrane barve. Med ospredjem in ozadjem mora biti razmerje

v kontrastu 3:1. Primer trikotnika f ni dobra izbira, saj razlika med temno in svetlo rjavo ni

tako očitna. Uspešnost pri reševanju je temu tudi primerna.

93,6 89,4

83

21,3

78,7

44,7

89,4

61,7

83 76,6

83

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

a e g b c h j b d f i

66

1

66 % 72,3 % 89,4 %

2

27,7 % 31,9 % 44,7 %

3

91,5 % 78,7 % 83 %

4

87,2 % 78,7 % 89,4 %

5

87,5 % 83 % 93,6 %

6

76,6 % 72,3 % 83 %

7

14,9 % 25,5 % 61,7 %

Tabela 8: Primerjava prepoznavanja trikotnikov iz nalog 1.b, 2.b in 2.c

67

Primer 1

Graf 8: Primerjava trikotnikov, primer 1

V tem primeru gre za pravokotni trikotnik. Obe kateti sta vzporedni z listom, kar učencem

pomaga pri ugotavljanju, za kateri trikotnik gre. Opazimo, da učenci veliko bolje opazujejo

trikotnike, če so poudarjeni, in še boljše, če so obarvani.

Primer 2


V tem primeru je vrh trikotnika pravi kot. Učenci so imeli pri teh treh trikotnikih največ

težav. Vsi trikotniki so rotirani, v horizontalni legi je hipotenuza. Učenci so navajeni, da je

kateta v horizontalni ali vertikalni legi. V takem primeru učenec takoj ugotovi, da gre za

pravokotni trikotnik. Iz grafa je razvidno, da dani trikotnik bolje opazijo in prepoznajo, če je

poudarjen, in še boljše, če je obarvan. Pri tem je pomembna pravilna izbira barve in ozadja.

Primer 3

66 % 72,30 %

89,40 %

0%

20%

40%

60%

80%

100%

1 2 3

27,70 % 31,90 %

44,70 %

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

1 2 3

68


V tem primeru gre za enakostranični trikotnik. Učenci niso imeli težav pri ugotavljanju.

Rezultati kažejo, da so učenci najbolje prepoznali trikotnik, če je bil narisan samo z oglišči.

Rezultat uspešnosti je boljši, če je trikotnik obarvan kot pa poudarjen.

Primer 4


Primer 4 je podoben primeru 3, le da gre za rotiran enakostranični trikotnik. Dobro je bil

opazovan zadnji trikotnik, saj je izbira barv zelo dobra. V prvem trikotniku so oglišča zelo

skupaj, kar učencem olajša delo pri opazovanju in določanju lastnosti trikotnika.

Primer 5


91,50 %

78,70 %

83 %

70,00%

75,00%

80,00%

85,00%

90,00%

95,00%

1 2 3

87,20 %

78,70 %

89,40 %

70,00%

75,00%

80,00%

85,00%

90,00%

95,00%

1 2 3

87,50 %

83 %

93,60 %

75,00%

80,00%

85,00%

90,00%

95,00%

1 2 3

69

V primeru 5 so narisani enakostranični trikotniki. Razlog, da je stolpec 2 (poudarjen

enakostranični trikotnik) slabši po uspešnosti, je ta da je trikotnik rotiran.

Primer 6


V primeru 6 so predstavljeni enakokraki topokotni trikotniki. Trikotnik so učenci najbolje

opazili, če je bil obarvan, najslabše pa ko je bil lik poudarjen.

Primer 7


V zadnjem primeru so vsi trije trikotniki pravokotni in enakokraki. Graf prikazuje, kako so

učenci dani trikotnik videli kot enakokrakega. Opazi se, da se stopnja opazovanega zvišuje,

če je trikotnik poudarjen, in je še boljša, če je trikotnik obarvan. Čeprav zadnji trikotnik

(obarvani trikotnik) rotiran, ni predstavljal učencem težav (če ga primerjamo s prvima

dvema).

76,60 %

72,30 %

83 %

65,00%

70,00%

75,00%

80,00%

85,00%

1 2 3

14,90 %

25,50 %

61,70 %

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

1 2 3

70

Naloga 3

Navodilo naloge: Ali so dani koti skladni?

Kota Skladna (obkroži) Zakaj misliš, da je tako?

a in b DA NE

c in d DA NE

e in f DA NE

Pravilen odgovor pri vseh je DA.

Graf 15: Uspešnost pri reševanju naloge 3

Zanimalo me je, na kaj so bili pozorni učenci pri opazovanju danih parov. Odgovore sem

podala v skupinah.

Prva skupina:

- »Izgledata enako.«

- »Enaka, skladna.«

- »Enaka na videz.«

- »Ker je to opazno.«

97,9

61,7

93,6

0

20

40

60

80

100

120

a in b c in d e in f

71

Druga skupina:

- »Če enega obrnem, bi se prekrivala.«

- »Samo drugače obrnjena.«

- »V isti legi.«

Tretja skupina:

- »Podobna velikost.«

- »Enaka oblika, glede na stranice.«

Graf 16: Odgovori učencev, razdeljeno po skupinah

Največ učencev je pri opazovanju danih kotov odgovorilo, da sta dana kota skladna, ker sta

videti enako (65,7 %). V drugi skupini so učenci opazovali dane kote glede na lego kotov;

njihove rotacije, zrcaljenja ipd. Najmanj učencev (12,1 %) je opazovalo na podlagi velikosti

in oblike danih stranic.

Najslabši rezultat je bil pri b primeru (kota c in d). En kot je zasukan, kar predstavlja

učencem težavo pri ocenitvi velikosti kota in primerjavi z drugim. Razlogi, ki so jih učenci

navedli, da kota c in d nista skladna:

- »Ena stranica je daljša.«

- »En kot je manjši.«

- »Nista v isti legi.«

- »En kot je višji od drugega.«

- »En je bolj nagnjen.«

65,7

22,2

12,1

0

10

20

30

40

50

60

70

1. skupina 2. skupina 3. skupina

72

Pri prvem paru (skladna kota a in b) sem pričakovala odgovor, da sta kota skladna, saj če bi

podaljšali krake, bi dobili enakokrak trikotnik.

Pri zadnjem paru (skladna kota e in f) učenci niso imeli težav pri opazovanju. Veliko jih je

navedlo razlog, da sta skladna, ker sta zrcalna. Trije učenci so narisali premico med kotoma

in s tem razložili, da če bi kot prezrcalili na drugo stran, bi se kota prekrivala.

Učencem zrcaljenje ne povzroča težav pri določanju skladnih kotov. V mislih znajo

prestaviti »enega v drugega«, ne znajo pa rotirati danih kotov.

73

Naloga 4.a

Navodilo naloge: Nekatere trojice oglišč tvorijo enakostranični trikotnik. Zapiši vse take

trojice, ki jih opaziš.

Rešitev: Trojice, ki tvorijo enakostranični trikotnik, so: ADC, BGH in BIJ.

Graf 17: Uspešnost pri reševanju naloge 4

Odgovor »Enakostranični trikotnik je ADC« je učencem predstavljal najmanj težav. Pravilno

jih je odgovorilo 89,4 % in kar 73 % učencev je odgovor napisalo na prvo mesto. Dana

oglišča so v primerjavi z drugimi zelo skupaj, kar učencem pomaga pri opazovanju in

89,4 85,1

59,6

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

ADC BGH BIJ

74

ugotovitvah. Prav tako učenci niso imeli težav pri ugotovitvi, da je trikotnik BGH

enakostranični (85,1 % uspešnost).

Pri trikotniku BIJ so imeli učenci več težav. Niso ga zaznali, ker sta bili dve oglišči na

stranicah velikega trikotnika.

Pri tej nalogi je veliko učencev povezovalo oglišča (55,3 %). Zanimalo me je, kako so

učenci opazovali dana oglišča. Ali je uspešnost višja, če učenec povezuje ali ne? Rezultat je

pokazal (Graf 18), da učencem pomaga, če si narišejo dani trikotnik in na podlagi tega

ugotovijo, če gre za predpisano lastnost.

Graf 18: Primerjava odgovorov

38,3

36,2

25,5

48,9

48,9

36,2

ADC

BGM

BIJ

povezani nepovezani

75

Naloga 4.b

Navodilo naloge: Nekatere trojice oglišč tvorijo enakostranični trikotnik. Zapiši vse take

trojice, ki jih opaziš.

Pri tej nalogi je pravilni odgovor trikotnik ADF. V tem primeru gre za tipično organizacijo

zaznav. Gre za princip lik-podlaga. Pri tej nalogi je kar učencev 85,1 % pravilno odgovorilo.

V tem primeru gre tudi za načelo dopolnitve ali zaprtosti. Učenec-opazovalec vrzeli zapolni

s pričakovanji ali z izkušnjami.

Ko smo končali s preizkusom me je nekaj učencev vprašalo, kaj je pravilni odgovor pri tej

nalogi. Rekli so mi, da nikakor ne najdejo trikotnika. Preizkus sem postavila en meter stran

od njihovih oči in rekla, naj pogledajo še enkrat. Takoj so opazili trikotnik.

76

7.9 PREGLED RAZISKOVALNIH VPRAŠANJ IN UGOTOVITVE

Na podlagi preizkusa, ki sem ga izvedla na osnovni šoli Riharda Jakopiča, sem dobila

različne odgovore in rezultate. Ti so mi pomagali, da sem na postavljena raziskovalna

vprašanja dobila naslednje odgovore:

RV1: Kako barva in lega slike geometrijskih objektov vplivata na prepoznavanje

geometrijskih objektov?

V okviru danega raziskovalnega vprašanja me je zanimala primerjava prepoznavanja

različnih predstavitev trikotnikov, ki so bili predstavljeni v preizkusu. Raziskava je pokazala,

da so učenci najuspešnejši pri opazovanju in prepoznavi, če je trikotnik obarvan. Kontrasti in

spreminjanje dražljajev so ključni pri zunanjih dejavnikih pozornosti. Z njimi zbujamo

pozornost in pripravimo učenca k reševanju novih problemov. Ugotavljam, da je največji

problem pri opazovanju/prepoznavanju pravokotnega trikotnika. Če je pravokotni trikotnik

zasukan, tako da ni nobena od katet v horizontali ali vertikali, ga učenci težko prepoznajo.

Tisti učenci, ki danega trikotnika ne poznajo, so še vedno na van Hielovi stopnji 0 (vizualna

stopnja) pri razumevanju geometrijskega znanja. Učenec ve, da gre za trikotnik, vendar ker

ni vsaj ena stranica v horizontalni legi, ga ne prepozna kot pravokotni trikotnik. Učitelji

predstavljajo like v »standardni« obliki, tako da je osnovnica vedno v horizontali. V

učbenikih najdemo povprečno le po eno nalogo, ki ponazarja trikotnike v različnih legah.

RV2: Kako bližina, barva in lega slik geometrijskih objektov vplivajo na

prepoznavanje skladnosti geometrijskih objektov?

V preizkusu sta bili sestavljeni dve nalogi, pri katerih so morali učenci poiskati skladne kote,

v prvi nalogi so bili koti nebarvni v drugi pa barvni. Predvidevala sem, da bodo barve veliko

pripomogle k opazovanju in da bodo učenci uspešneje rešili nalogo, če bodo objekti

obarvani. Izkazalo se je, da so kote, ki so bili skladni in obarvani z isto barvo, hitro opazili in

zapisali ugotovitev. Tisti koti, ki so bili skladni in obarvani z različno barvo, pa so

predstavljali oviro pri opazovanju. Ugotavljam, da obarvanost kota ne vpliva na razumevanje

učencev, vpliva pa na hitrost opažanja.

77

Analiza je pokazala, da imata največji pomen pri razumevanju objektov usmerjenost in

bližina. Pri teh dveh elementih so bili učenci najuspešnejši. Prav tako učenci niso imeli težav

pri opazovanju skladnih kotov, če je bil en krak prvega kota vzporeden kraku drugega kota.

V teh primerih prevlada načelo bližine. Največ problemov so imeli učenci pri legi danih

objektov. Če je bil kot rotiran, so izgubili občutek za velikost. Ugotavljam, da učitelji

ponazarjajo dane objekte vedno oziroma zelo pogosto v »standardni« legi. Na voljo imajo

veliko primerov, kako učencem predstaviti različne kote. Nekaj primerov sem navedla v

diplomski nalogi. V učbenikih je malo primerov, ki učencem ponazarjajo objekte v različnih

legah. Menim, da učenci pri osvojitvi pojma velikost kota in skladnost kota potrebujejo čim

več različnih nalog.

RV3: Kako izbira barve lika in barve ozadja lika vplivata na prepoznavanje likov?

V okviru danega raziskovalnega vprašanja me je zanimalo, kako bodo učenci opazovali

barve trikotnika. V dani nalogi sem uporabila rjavo barvno ozadje, za katero velja, da je

primerno, saj je barva prijetna za oko. V teoretičnem delu sem predstavila nekaj napotkov pri

uporabi barv. Med drugim sem zapisala, da če izberemo temno ozadje, na njem ne

uporabimo kombinacije rdeče in modre. V preizkusu sem uporabila med drugim rdečo,

modro in gorčično rumeno barvo. Analiza je pokazala, da so bili učenci manj uspešni zaradi

izbire omenjenih barv. Učiteljem svetujem, da so pozorni pri uporabi ozadja in ospredja.

Razmerje naj bo 1:3, tako da je ozadje svetlejše in objekt temnejši. Analiza je pokazala, da

so učenci pravilno ugotovili, za katere trikotnike gre, če je bil trikotnik obarvan v pravilnem

razmerju z ozadjem. Tisti trikotniki, ki so bili obarvani s podobno barvo kot ozadje, so

učencem predstavljali večjo težavo pri opazovanju.

RV4: Kako povezanost oglišč, stranic oziroma ploskve lika vplivajo na

prepoznavanje likov?

V danem preizkusu so bile tri naloge, v katerih so bili trikotniki predstavljeni le z oglišči. V

prvi nalogi so bila oglišča predstavljena s črnimi pikami. Bila so jasno poudarjena in urejena

(vsak primer je bil ločeno narisan). V tej nalogi se je po analizi izkazalo, da povezovanje

oglišč ne pomaga učencem pri prepoznavi trikotnikov. Uspešnejši so bili tisti, ki niso

povezovali.

78

V drugi nalogi so bila oglišča drugače razporejena. Oglišča so bila v obliki križcev, ki so bili

razporejeni po celotni podlagi. Poiskati so morali, katera oglišča tvorijo enakostranični

trikotnik. Izkazalo se je, da so tisti učenci, ki so povezovali oglišča, uspešneje rešili nalogo.

Povezovanje oglišč jim je pomagalo pri opazovanju in ugotavljanju predpisanih lastnosti. V

primerjavi s prvo nalogo se je v drugi nalogi obseg pozornosti pri učencih povečal. Učenci

so imeli v nalogi več pik-oglišč, katera so morali združevati.

V zadnji nalogi je bil »skrit« le en trikotnik. Pri tej nalogi gre za tipično ponazoritev načela

lik-podlaga. Nekateri učenci so povezovali dana oglišča, vendar v tem primeru dane

primerjave ne morem potrditi.

Na podlagi druge naloge lahko potrdim, da učencem pomaga, če povezujejo oglišča lika.

Šele ko povežejo dana oglišča, ugotovijo, ali gre za predpisano lastnost ali ne. V učbenikih

nisem zasledila podobnih nalog. Menim, da so dane naloge koristne za učence, saj z

opazovanjem razvijajo geometrijsko mišljenje. Učitelji bi morali učencem postaviti čim več

podobnih nalog.

79

8 VIRI IN LITERATURA

[1] Bačnik, A. (2005) Smo dovolj senzibilni za pomen opazovanja? Od opazovanja do

znanja. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo.

[2] Berk, J., Draksler, J., Robič, M. (2003) Skrivnosti števil in oblik 7, Učbenik za 7.

razred devetletne osnovne šole. Ljubljana: Založba Rokus

[3] Budnar, M. (2005) Dejavnosti zaradi dejavnosti ali…? Od opazovanja do znanja.

Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo.

[4] Dickson, L., Brown, M., Gibson, O. (1993) Children learning mathematics. A

teacher's Guide to Recent Research. London: Cassell.

[5] Dornik, M., Smolej, T., Turk, M., Vehovec, M., Kmetec, K. (2002) Kocka 7, 1. del,

Matematika za 7. Razred devetletne osnovne šole. Ljubljana: Modrijan.

[6] Eysenck, M. (1998) Psychology and integrated approach. New York: Longman.

[7] Ferbar, J., Russell, A. (1992) Opazovanje, zapis in opis. Kaj hočemo in kaj zmoremo.

Zbornik s posveta o problemih in perspektivah izobraževanja učiteljev. Ljubljana:

Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta v Ljubljani.

[8] Hayes, N., Orrell, S. (1998) Psihologija. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za

šolstvo.

[9] Kompare, A., in ostali (2001) Občutenje in zaznavanje. Didaktični komplet za

učitelje psihologije. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo.

[10] Končan, T., Moderc, V., Strojan, R. (2003) Skrivnosti števil in oblik 7, Zbirka nalog

za 7. razred devetletne osnovne šole – 2. del. Ljubljana: Založba Rokus.

[11] Krapše, T. in ostali (1996) Naravoslovje v šoli in doma. Voda bo gnala moj

mlinček. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo.

80

[12] Lipovšek, I., Ferjan, T. (2005) Od opazovanja do ustvarjalnosti – opazovanje pri

pouku geografije, Od opazovanja do znanja. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije

za šolstvo.

[13] Marentič Požarnik, B. (2000) Psihologija učenja in pouka. Ljubljana: DZS.

[14] Maroska, R. in drugi (2005) Presečišče 5, Matematika za peti razred osemletne

osnovne šole in za šesti razred devetletne osnovne šole. Ljubljana: DZS.

[15] Musek, J., Pečjak, V. (1996) Psihologija. Ljubljana: Educy.

[16] Pečjak, V. (1975) Psihologija spoznanja. Ljubljana: Državna založba Slovenije.

[17] Pečjak, V. (2006) Psihološka podlaga vizualne umetnosti. Ljubljana: Debora.

[18] Pihlar, T. (2008) Gestalt teorija v graški šoli, Izvirni znanstveni članek, Anthropos

I-2 (209–210), str. 101–123.

[19] Roth, W. M. (2011) Geometry as objective science in elementary school

classrooms, Mathematics in the Flesh. New York: Routledge.

[20] Strnad, M., Štuklek, M., Kurillo, D., Žakelj, A. (2003) Presečišče 7, Matematika za

7. razred devetletne osnovne šole. Ljubljana: DZS.

[21] Strnad, M. (2010) Stičišče 7, Slikovno gradivo za preglednejše zapiske, Dopolnilo k

učbeniku. Ljubljana: Založništvo Jutro.

[22] Trstenjak, A. (1983) Teorije zaznav. Ljubljana: Slovenska akademija znanosti in

umetnosti.

[23] Trstenjak, A. (1996) Psihologija barv. Ljubljana: Inštitut Antona Trstenjaka.

81

[24] Učni načrt za matematiko (2011) Ljubljana: Ministrstvo RS za šolstvo in šport,

Zavod RS za šolstvo.

[25] Van de Walle, J. A., Karp, K. S., Bay-Williams, J. M. (2011) Elementary and

Middle School Mathematics, Teaching developmentally, 8. izdaja, Boston: Pearson.

[26] Wolff, M. R. (2011) Geometry as objective science in elementary school

classrooms, Mathematics in the Flesh, Routledge, New York

[27] Žakelj, A (2003) Kako poučevati matematiko. Teoretična zasnova modela in

njegova didaktična izpeljava. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo.

82

8.1 SPLETNI VIRI

[1] Zaznavni procesi. Dostopno na spletnem naslovu:

http://fr.slideshare.net/DrDG/zaznavni-procesi-2-fiziologija-gestalt-konstruktivizem-

direktivna-teorija-perception-2-physiology-gestalt-constructivist-and-directional-

theory, 7. 3. 2013

[2] Lastnosti barv. Dostopno na spletnem naslovu: http://www.debevc.uni-

mb.si/hci2003/PDF_2003_predavanja/HCI_12_barve.pdf#page=9&zoom=133,0,453,

21. 3. 2013

[3] Barvni krog. Dostopno na spletnem naslovu:http://www.educa.fmf.uni-

lj.si/izodel/sola/2002/di/Cerc/ena/predstavitve.html, 22. 3. 2013

[4] Definicija barve. Dostopno na spletnem naslovu:http://sl.wikipedia.org/wiki/Barva,

22. 3. 2013

[5] Fenomenologija. Dostopno na spletnem naslovu:

http://sl.wikipedia.org/wiki/Fenomenologija, 22. 11. 2013

[6] Neckerjeva kocka. Dostopno na spletnem naslovu:

http://www.yogaartandscience.com/pblog/archive/files/category-big-ideas.php, 17. 3.

2013

[7] Van Hiele, Razvijanje geometrijskega razmišljanja preko dejavnosti, ki se začnejo

preko igre. Dostopno na spletnem naslovu:

http://print.nycenet.edu/NR/rdonlyres/0EFD73D4-340A-42E2-8EB4-

3BC2A6B05603/38319/30vanHielePlay.pdf, 7. 8. 2013

[8] Wikipedia, Proclus. Dostopno na spletnem naslovu:

http://en.wikipedia.org/wiki/Proclus, 17. 8. 2013








http://sl.wikipedia.org/wiki/Barva

http://sl.wikipedia.org/wiki/Fenomenologija

http://www.yogaartandscience.com/pblog/archive/files/category-big-ideas.php



http://en.wikipedia.org/wiki/Proclus

83

9 PRILOGE

Priloga I

Opazovanje v geometriji

Osnovna šola Rihard Jakopič

7. razred

Sem Karmen Zupan in sem absolventka Pedagoške fakultete. Pri svoji zaključni nalogi raziskujem kako opazujete pri geometriji. Prosim, da spodnje naloge rešite zgolj z opazovanjem, brez kakršnih koli

pripomočkov (ravnil, šestil, paličic, prstov…).

1. a) Kateri koti so med seboj skladni? Dopolni spodnjo tabelo. (Upoštevaj, da nekateri koti nimajo para!)


b) Podana so oglišča. V tabelo na ustrezna mesta vpiši oznake trikotnikov, ki imajo zapisano lastnost.


2. a) Oglej si kote. Kateri so med seboj skladni? Dopolni tabelo. (Upoštevaj, da nekateri koti nimajo para!)


b) Podani so trikotniki. V tabelo na ustrezna mesta vpiši oznake trikotnikov, ki imajo zapisano lastnost.


c) Na sliki so trikotniki. V tabelo na ustrezna mesta vpiši oznake trikotnikov, ki imajo zapisano lastnost.


3. Ali so dani koti skladni?

Kota Skladna (obkroži) Zakaj misliš, da je tako?

a in b DA NE

c in d DA NE

e in f DA NE

4. a) Nekatere trojice oglišč tvorijo enakostranični trikotnik. Zapiši vse take trojice, ki jih opaziš.

Odgovor: Opazim_____________________________________________________________

b) Nekatere trojice oglišč tvorijo enakostranični trikotnik. Zapiši vse take trojice, ki jih opaziš.

Odgovor: Opazim:________________________________________________________________

UNIVERZA V LJUBLJANI - pefprints.pef.uni-lj.sipefprints.pef.uni-lj.si/1997/1/Diploma.ZupanK.pdf ·...

Documents

Transcript of UNIVERZA V LJUBLJANI - pefprints.pef.uni-lj.sipefprints.pef.uni-lj.si/1997/1/Diploma.ZupanK.pdf ·...